TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES
CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números racionales. Los números reales. • 1.1.1. Sucesivas ampliaciones el campo numérico. LOS NÚMEROS NATURALES. N= {1,2,3,4,...} LOS NÚMEROS ENTEROS. Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} LOS NÚMEROS RACIONALES. Los números racionales se simbolizan con la letra Q. Decimos que x es racional si y solo si existen dos números enteros p,q tales que x=p/q
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1.1. Números racionales. Los números reales. • 1.1.2. Expresión decimal de los números racionales Todos los números racionales admiten una expresión decimal, que se obtiene al realizar la operación indicada. Pueden ser de tres tipos: Números decimales exactos: cuando el número de cifras decimales es finito. Por ejemplo: 0,5. Números decimales periódicos puros: cuando el número de cifras decimales es infinito y existe un conjunto de cifras decimales que se repite infinitamente (periodo). Por ejemplo: 0,33333... Números decimales periódicos mixtos: cuando el número de cifras decimales es infinito y existen algunas cifras decimales que no se repiten (parte no periódica) y otras cifras decimales que se repiten infinitamente (parte periódica). Por ejemplo: 0,122222…
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1.1. Números racionales. Los números reales. • 1.1.3. Fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos Sea x=E,D un número decimal exacto, donde E son las cifras de la parte entera, y D las cifras de la parte decimal, siendo n el número de ED cifras de D, entonces x 10 0 n ceros
Sea x=E,P un número decimal periódico puro, donde E son las cifras de la parte entera, y P las cifras de la parte periódica, siendo n el número de cifras de P, entonces x EP E 9 9
n nueves
Sea x=E,AP un número decimal periódico mixto, donde E son las cifras de la parte entera, A las cifras del anteperiodo y P las cifras de la parte periódica, siendo m el número de cifras de A y n el número de cifras de P, EAP EA x entonces 9 9 0 0
n nueves m ceros
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1.1. Números racionales. Los números reales. • 1.1.4. Densidad de los números racionales Consideremos dos números racionales cualesquiera p y q, es claro que el número pq también es racional y está situado entre p y q. Si ahora consideramos el número 2
pq q 2 2
este número estará situado entre
pq 2
y q. Repitiendo este proceso
indefinidamente podríamos conseguir infinitos números racionales entre p y q.
Dados dos números racionales p y q cualesquiera, existen infinitos números racionales entre p y q. Esta característica define la densidad de Q, y por eso decimos que Q es un conjunto DENSO.
•
1.1.5. Los números irracionales Los números irracionales son aquellos números que no se pueden expresar como cocientes de números enteros. La expresión decimal de un número irracional es un número decimal que no es exacto ni periódico, tiene infinitas cifras decimales que no se repiten. Este conjunto se expresa mediante la letra I
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1.1. Números racionales. Los números reales. • 1.1.6. Los números reales. La recta real El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se denomina conjunto de los números reales y se representa mediante la letra R.
1'6180339887...
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1.1. EJERCICIOS 1. Determinar si los siguientes números son o no números racionales: a) 7’555555.... b) 3’034035036037... c) 1’03034444444.... d) 34,350350350351 2. Efectuar las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número decimal: a) 0'6 1'2 b) 4 0'3 0'6 c) 0'4 0'5 0'132 0'06
1'5
3. Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales: a) 1’23234234523456....b) 1’23232323.... c) 1’234235236237... d) 1’23 4. Representar en la recta real los siguientes radicales cuadráticos: a)
34
b)
5. Calcula la fracción irreducible correspondientes a a. 1,2222222… b) 0,1262626…. c) 0,08755555… d) 38,01343434… 6. Escribe dos números racionales comprendidos entre: a. 4/5 y 5/7 b) 1 y 3/2 c) -8/9 , 0
21
CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con intervalos • 1.2.1. Orden en R Dados dos números reales a y b, diremos que a b si y solo si en la representación de dichos números, b queda situado a la derecha de a o bien b coincide con a. Dados dos números reales a y b, diremos que cero.
ab
si y solo si b-a es positivo o
a b “a es mayor o igual que b” b a a b “a es menor que b” a b, a b a b “a es mayor que b” b a
•
1.2.2. Propiedades de las desigualdades de números reales Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces se verifica que si a b a c b c. Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real positivo entonces si a b a c b c . Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real negativo si a b a c b c.
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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones • 1.2.3. Intervalos y semirrectas. Intervalo cerrado de extremos a,b: se designa por [a,b] y esta definido por [a, b] {x R / a x b}, son los números reales comprendidos entre a y b incluidos los extremos. Intervalo abierto de extremos a,b: se designa por (a,b) y esta definido por: (a, b) {x R / a x b}, son los números reales comprendidos entre a y b excluyendo los extremos. Intervalos semiabiertos (a,b] y [a,b) están definidos por:
(a, b] {x R / a x b} [a, b) {x R / a x b}
Semirrectas
(, a) {x R / x a} (a,) {x R / x a}
(, a] {x R / x a} [a,) {x R / x a}
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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con intervalos • 1.2.4. Entornos Se llama entorno de centro a y radio r, y se representa por E(a,r) al intervalo abierto (a-r,a+r). Se llama entorno reducido de centro a y radio r, y se representa por E*(a,r) al intervalo (a-r,a+r)\{a}
•
1.2.5. Operaciones con intervalos Dados dos intervalos como:
I1 , I 2
se definen la operaciones unión e intersección
I1 I 2 {x R / x I1 ó x I 2 } I1 I 2 {x R / x I1 y x I 2 }
Ejemplos: a)
(2,4) [4,7)
b) [2, ) (0,4) c)
(2,4) [4,7)
Ø
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1.2. Ejercicios 1. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordenarlos de menor a mayor: a. 2 , 3 , 1 , 7 y 1 b. c.
6 3 4 12 2 , ,1'67,1'678 y 1'698 3'4,3'38,3' 38,3'388 y 3'40 1
2. Intercalar tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes: a) 1'02,1'03 1 b) 3'02,3'032 . 3. Realizar las siguientes operaciones con intervalos y representar el resultado obtenido: a) [-5,5] (0,6) b) [-5,5] (0,6) c) (4,9](5,8] d) (4,9](5,8] e) (-,0)(-1,4] f) (-,0)(-1,4] g) (-3,4](2,+) h) (-3,4](2,+)
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1.3. Potencias y Radicales • 1.3.1. Potenciación de números reales. Propiedades Sea a un número real ( a R ) , y sea n un número entero ( n Z ) se define la potencia de base a y exponente n como: 1 a n a a a si n>0 y a n n si n>0 . a
n veces
Propiedades de las potencias:
an am am n
a :a a n
m
mn
a b (a b) n n n a : b (a : b) n
n
m n m n (a ) a
(producto de potencias de la misma base) (cociente de potencias de la misma base)
n
(producto de potencias del mismo exponente) (cociente de potencias del mismo exponente) (potencia de una potencia)
1 1 2 2 3 2 3 3 9 Ejemplos: 5 5 5 5 125 ; 3 3 3 27 ; 3 2 2 2 4 3
3
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1.3. Potencias y Radicales • 1.3.2. Raíz n-ésima de un número real Sea a un número real, y n un número natural diremos que x es la raíz n-ésima de a y se escribe x n a a x n . A la expresión a se le llama radical y se puede expresar como potencia de exponente fraccionario a1 / n . En el caso n a m a m / n . n
El valor numérico de un radical es el resultado de efectuar la raíz n-ésima que indica, así: 9 3 ya que 32 9 y (3) 2 9 , 3 27 3 ya que 33 27 , 3 27 3 ya que
(3)3 27 , 4 625 5 pues 54 625 y (5) 4 625 , 6 0 0 , 2 =1’414213... , 3 =1’7320..
32 no existe en los reales,
Como podemos observar el valor numérico de un radical depende del radicando y del índice, así: Si a>0: si el índice n es impar el resultado es una raíz n-ésima positiva si el índice n es par existirán dos raíces una positiva y otra negativa Si a=0: el resultado es siempre 0 Si a<0: si el índice es impar existirá una raíz n-ésima negativa si el índice es par no existirá ninguna raíz real.
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1.3. Potencias y Radicales • 1.3.3. Radicales equivalentes. Dos radicales diremos que son equivalentes si tienen el mismo valor numérico. Ejemplo: Los radicales 6
6
27 y
3 son equivalentes pues su valor numérico es 1’73200508...
27 271/ 6 33 / 6 31/ 2 n
a m
n p
a m p
1.3.4. Reducción de radicales a índice común Una utilidad de la propiedad anterior consiste en la construcción de varios radicales con el índice común. Para ello basta considerar el m.c.m. de los índices de los radicales y aplicar la propiedad. Por ejemplo, consideremos los siguientes radicales n
3
4 , 12 25 , 4 33 ,
am n a p am a p
Esta propiedad permite comparar radicales de índices diferentes.
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1.3. Potencias y Radicales • 1.3.5. Operaciones con radicales. n
Producto de radicales. Si tienen el mismo índice se cumple Cociente de radicales Si tienen el mismo índice se cumple
a
m
am Potencia de radicales Esta propiedad sólo es válida cuando existen los radicales 3 no existe. n
Raíz m-ésima de un radical
m n
n
am n b p n am b p
am : n b p n am : b p
n
n
a
y
n
am
. Ejemplo:
6
3 (3)6
ya que
a p m n a p
Extracción e introducción de factores de un radical.
n
a nr p a r n a p
Suma y diferencia de radicales. Solamente podemos sumar o restar dos radicales si estos son semejantes, por ejemplo: 3 2 5 2 7 2 5 2 . Puede ocurrir que inicialmente los radicales no sean semejantes, pero extrayendo o introduciendo factores se pueden convertir en semejantes y podemos realizar la operación. Por ejemplo: 8 72 18 32
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1.3. Potencias y Radicales • 1.3.6. Simplificación de radicales. Simplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente que tenga el índice menor, y extraer de la raíz todos los factores posibles. Por ejemplo, simplificar el radical
•
4
64 .
1.3.7. Racionalización de denominadores.
El procedimiento por el cual transformamos una expresión algebraica que contiene radicales en el denominador en otra expresión algebraica equivalente sin radicales en el denominador se denomina racionalización de denominadores. Para racionalizar utilizamos varios procedimientos: a) Cuando en el denominador hay un único sumando que contiene un radical de índice 2 del tipo a . Entonces multiplicamos numerador y denominador por a . Por ejemplo: 3 3 3 3 2 3 6 . 2
2 2
2
b) Cuando en el denominador aparece un único sumando que contiene un radical del tipo a con p<m. En ese caso multiplicamos numerador y denominador por el radical a donde p+q=m. Con esto conseguimos hacer desaparecer el radical del denominador. m
m
q
p
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1.3. Potencias y Radicales. EJERCICIOS. 1. Realizar las siguientes operaciones con potencias: x3 y 4 z 5 y3 4 4 3 3 2 a) (3 5 : 4 3 (3 / 8) b) x3 z y 1 z 4 2. Ordenar de mayor a menor los siguientes radicales: a) 8 16 , 125 , 4 49 b) 3 34 , 345, 4 16 3. Efectua y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario: 5 a) 5 5 5
d)
b)
3
2 3 35 4 15
216 150 3 294 15 24
e)
c)
3
5 3 5 3
3 5 5 3 2 5 6 4 5 5
4. Racionaliza los denominadores de: 5 7 75 5 5 3 7 a) b) c) 3 5 7 2 49 2 3 5 5. Simplifica las siguientes expresiones: a)
4 125a 3 4
5 a
2
b)
x 3 yx 4 x3 y 3
5 8 4 c) 34 ay 24 ay 2 y a
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1.4. Logaritmos • 1.4.1. Concepto de logaritmo Sea a>0 y a 1 y consideremos y 0 . El logaritmo en base a de y es el exponente al que debemos elevar a para obtener y. Se representa mediante log a y :
log a y x a x y OBSERVACION Para obtener log a y es necesario que y sea positivo, pues toda potencias a x 0 , es decir, no es posible calcular log 2 (7) pues no existe ningún número real que verifique que
2 x 7
•
1.4.2. Logaritmos decimales y logaritmos neperianos Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos decimales y se escriben sin indicar en el subíndice la base. Así por ejemplo, log 5 log10 5 .. De la misma forma los logaritmos con base el número e, se denominan logaritmos neperianos en honor a John Neper y se escribe mediante la abreviatura ln . Así por ejemplo ln 5 loge 5
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1.4. Logaritmos • 1.4.3. Propiedades de los logaritmos. 1. loga 1 0 para cualquier a>0, a 1 2. loga a 1 para cualquier a>0, a 1 3. loga ( M N ) loga M loga N . 4. loga ( M / N ) loga M loga N 5. loga ( M ) N loga M N
6. CAMBIO DE BASE: log a M
logb M logb a
Ejemplos: 1) log 3 27 log 5 1/ 25 log 7 49 2) Utiliza la calculadora para obtener el valor de >: a) log3 24 3
3
b) log3 121
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1.4. EJERCICIOS: Logaritmos 1. Calcular por definición, sin el uso de la calculadora: a) log 0'01 b) log 1 c) log( 100) d)
e)
log 3 27
2. Sabiendo que
1000 log 5 625
f)
ln( x) 0'25 , ln y 0'15
para obtener el resultado de:
log
y
g)
log1 / 2 32
ln 10 2'30 ,
log 0'2 2 / 50
utiliza las propiedades de los logaritmos y la definición
y x x ln x e 3 0'1x y
3. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener: a) c)
log 2 3 256 log 3 3
27 2
3
log 6 36 65 log 2 6
log 5
625 5
8 2 ln(5e7 ) 16
1
b)
ln 7
d)
e e 5 10 log 0'001 ln
e
2
log 5
1 0'001 log 3 225 10
3
4. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de: a) log 5 72 b) log 6 745 c) log 2 17