ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
m o
Χρήσιμες παρατηρήσεις:
c . t o
Ισχύουν οι προτάσεις •
z = 0 ⇔ Re ( z ) = 0 και Im ( z ) = 0
•
z + z = 2 Re ( z ) , z − z = 2 Im ( z ) και με απόδειξη οι: z = z ⇔ z ∈ \ , z = − z ⇔ z ∈ I
•
z = z = −z = −z
•
z = ρ ⇔ z = ρ2 ⇔ z ⋅ z = ρ2 ⇔ z =
ρ ≠0
2
ρ2 z
z a l s
Αν z = w , τότε z = w το αντίστροφο δεν ισχύει !
•
Ισχύει z = z ⋅ z για κάθε z ∈^ .
•
Ισχύουν οι προτάσεις z = z ⇔ z ∈ \ και z = − z ⇔ z ∈ I 2
(απαιτείται απόδειξη)
i n n
2
a i g
2
: tt p
Αν z 2 − z + 1 = 0 , τότε z 3 + 1 = 0 και z = 1 .
•
(1 ± i )
o l .b 2
•
Δεν έχει νόημα η διάταξη και οι ιδιότητές της, δηλαδή οι σχέσεις
z > 0 , z > w κ.λ.π. θα έχουν νόημα, μόνο αν z , w ∈ \ .
2
•
Αν z 2 + w2 = 0 , τότε δε μπορώ να συμπεράνω ότι z = w = 0 . Η σχέση γίνεται: z 2 − i 2 w2 = 0 ⇔ ( z − iw ) ⋅ ( z + iw ) = 0 ...
•
Δεν ισχύει γενικά z = z 2 . 2
z − u ≤ z −u ≤ z + u •
h
Αν z 2 + z + 1 = 0 , τότε z 3 − 1 = 0 και z = 1 .
3
⎛1 3⎞ = ±2i και ⎜⎜ ± i ⎟ = −1 2 ⎟⎠ ⎝2
Στο ^ δεν ισχύουν προτάσεις και ιδιότητες που ισχύουν στο \ :
z − w ≤ z + w ≤ z + w και αν w = −u , τότε
•
•
s i id
r a
•
2
p s g
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Αν Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , τότε :
Μιγαδικοί και γεωμετρία
•
m o
c . t o
Καθετότητα
JJJG JJJG JJJG JJJG ΟΑ ⊥ ΟΒ ⇔ ΟΑ ⋅ ΟΒ = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0 ή
sp
g lo
ΒΑ 2 = ΟΑ 2 + ΟΒ 2 ⇔ z1 − z2 = z1 + z 2 •
ir d
a z a l s
i n n
JJJG JJJG JJJG JJJG x ΟΑ & ΟΒ ⇔ det ΟΑ, ΟΒ = 0 ⇔ 1 x2
a i g : tt p
z + w + z − w = 2⋅ z + 2⋅ w 2
2
2
Που είναι γνωστή ως “ κανόνας του παραλληλογράμμου ” και είναι ιδιαί‐ τερα χρήσιμη στη λύση ασκήσεων, όπου εμφανίζονται σχέσεις της μορ‐
h
φής z + w + u = c ∈ \ .
2
(
)
y1 = 0 ⇔ x1 y2 − y1 x2 = 0 y2
.
Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 , τότε : •
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ αν
z1 − z2 = z1 − z3
Για τα μέτρα των μιγαδικών z , w, ( z − w ) και ( z + w ) , ισχύει η σχέση 2
2
Συνευθειακά σημεία
b . is
2
•
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο αν
z1 − z2 = z2 − z3 = z3 − z1 •
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυφή Α αν
z2 − z3 = z1 − z2 + z3 − z1 2
2
2
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
m o
c . t o
Η εξίσωση
x + y + Αx + Βy + Γ = 0 με 2 2 Η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ ( x0 , x0 ) και Α + Β − 4Γ > 0 , παριστάνει κύκλο με ⎛ Α Β⎞ ακτίνα ρ είναι κέντρο το σημείο Κ ⎜ − , − ⎟ και ακτί‐ 2⎠ ⎝ 2 2 2 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = ρ 2 να 2
z a l s
i n n
h
a i g : tt p
r a
p s g
o l .b
s i id
2
ρ=
Α 2 + Β 2 − 4Γ 2
Έλλειψη με εστίες τα σημεία E και E ' , ονομάζεται ο γ.τ. των σημείων του επιπέ‐ δου για τα οποία το άθροισμα των απο‐ στάσεών τους από τις εστίες είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση E ' E
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
i n n
a i g : tt p
h
z a l s
r a
c . t o
p s g
o l .b
s i id
m o
Υπερβολή με εστίες τα σημεία E και E ' , ονομάζεται ο γ.τ. των σημείων του επιπέ‐ δου για τα οποία η απόλυτη τιμή της δια‐ φοράς των αποστάσεών τους από τις εστί‐ ες είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση E ' E
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
οι μιγαδικοί με εικόνες τα Μ, Ν τότε ισχύει
o l .b
z1 − z 2 ≤ 2 ρ
r a
z a l s
i n n
s i id
c . t o
p s g
Για δύο σημεία Μ, Ν ενός κύκλου, ακτίνας ρ ισχύει ( ΜΝ ) ≤ 2 ρ . Άρα αν z1 , z2
m o
Για δύο σημεία Μ, Ν μιας έλλειψης με μεγάλο άξονα 2α και μικρό άξονα 2 β ισχύει 2 β ≤ ( ΜΝ ) ≤ 2α . Άρα αν z1 , z2 οι μιγαδικοί με εικόνες τα Μ, Ν τότε ι‐
a i g : tt p
σχύει
2 β ≤ z1 − z2 ≤ 2α
h
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
s i id
Για δύο σημεία Μ, Ν μιας υπερβολής με κορυφές A′A ισχύει ( ΜΝ ) ≥ 2α . Άρα αν z1 , z2 οι μιγαδικοί με εικόνες τα Μ, Ν τότε ισχύει
z1 − z 2 ≥ 2α
i n n
z a l s
a i g : tt p
h
r a
c . t o
p s g
o l .b
m o
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φέρνουμε την κάθετη από το σημείο Α προς την ευθεία ε και έστω Η το σημείο τομής. Ισχύει ( ΑΗ ) ≤ ( ΑΜ ) , για οποιοδήποτε σημείο Μ της ευθείας ε . Επομένως αν Α η εικόνα του z1 και Μ η εικόνα του z ισχύει :
Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ΑΗ , με λ ⋅ λε = −1 , όπου λε ο συντελεστής
s i id
διεύθυνσης της ε και εξίσωση που δίνεται από το γνωστο τύπο y − yΑ = λ ( x − xΑ ) .
z a l s
r a
Ελάχιστη και μέγιστη απόσταση σημείου από κύκλο
i n n
p s g
o l .b
Η ελάχιστη τιμή για το z − z1 είναι το ( ΑΗ )
m o
c . t o
Ελάχιστη απόσταση σημείου από ευθεία
Φέρνουμε τη διάκεντρο ΑΚ και έστω Β, Γ τα σημεία τομής με τον κύκλο. Ισχύει ( ΑΒ ) ≤ ( ΑΜ ) ≤ ( ΑΓ ) , για οποιοδήποτε σημείο Μ του κύκλου.
a i g : tt p
Επομένως αν Α η εικόνα του z1 και Μ η εικόνα του z ισχύει: το z − z1 έχει •
ελάχιστη τιμή ( ΑΚ ) − ρ
•
μέγιστη τιμή ( ΑΚ ) + ρ
h
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φέρνουμε την κάθετη από το κέντρο Κ προς την ευθεία ε και έστω Η, Α τα σημεία τομής με την ευθεία και τον κύκλο αντίστοιχα. Ισχύει ( ΑΗ ) ≤ ( ΝΜ ) , για οποιοδήποτε σημεία Μ της ευθείας ε και Ν του κύκλου.
p s g
o l .b
Επομένως αν Ν η εικόνα του w και Μ η εικόνα του z ισχύει:
Η ελάχιστη τιμή για το z − w είναι ( ΚΗ ) − ρ
s i ir d
m o
c . t o
Ελάχιστη απόσταση κύκλου από ευθεία
a z a l s
Ελάχιστη και μέγιστη απόσταση κύκλου από κύκλο
i n n
Φέρνουμε τη διάκεντρο ΛΚ και έστω Α, Β, Γ, Δ τα σημεία τομής με τους κύκλους. Ισχύει ( ΒΓ ) ≤ ( ΝΜ ) ≤ ( ΑΔ ) , για οποιοδήποτε σημεία Μ, Ν των κύκλων.
a i g : tt p
Επομένως αν Ν η εικόνα του w και Μ η εικόνα του z , το z − w έχει: •
ελάχιστη τιμή ( ΛΚ ) − ρ1 − ρ 2
•
μέγιστη τιμή ( ΛΚ ) + ρ1 + ρ 2
h