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Disquisitiones arithmeticae Numero 1,-- Volumen 1 -- 1era Edicion

Autores: Miguel Novella Diego P rez Pablo Garc a Ď… Sophia Mendez

INDICE Vectores Componentes de un vector-- -----------------------------------------------------------------------5 Vector Renglón------------------------------------------------------------------------------------------5 Vector Columna-----------------------------------------------------------------------------------------5 Suma de Vectores--------------------------------------------------------------------------------------6 Diferencia de Vectores--------------------------------------------------------------------------------6 Producto Cruz-------------------------------------------------------------------------------------------7 Producto Punto-----------------------------------------------------------------------------------------7 Magnificación de un vector--------------------------------------------------------------------------8 Vectores en Rn------------------------------------------------------------------------------------------8 Magnitud de un Vector-------------------------------------------------------------------------------8 Vectores Equivalentes--------------------------------------------------------------------------------9 Vectores en posición Estándar---------------------------------------------------------------------9 Vectores Paralelos------------------------------------------------------------------------------------9 Vectores Ortogonales--------------------------------------------------------------------------------10 Vector Unitario----------------------------------------------------------------------------------------10 Vector Nulo o Cero-----------------------------------------------------------------------------------11 Desigualdad Cauchy-Swartz------------------------------------------------------------------------11 Desigualdad del Triángulo--------------------------------------------------------------------------11 Combinación Lineal----------------------------------------------------------------------------------12 Angulo entre Vectores------------------------------------------------------------------------------13 Proyección de un Vector---------------------------------------------------------------------------13 Rectas Rectas en R2 y R3 -------------------------------------------------------------------------------------15 Vector Normal----------------------------------------------------------------------------------------15 Vector Dirección-------------------------------------------------------------------------------------15 Ecuaciones Paramétricas--------------------------------------------------------------------------16 Ecuaciones Simétricas------------------------------------------------------------------------------16 Distancia entre Rectas Paralelas-----------------------------------------------------------------16 Distancia entre Dos Planos------------------------------------------------------------------------16 Angulo entre dos rectas----------------------------------------------------------------------------16

φ

Angulo entre dos planos-------------------------------------------------------------------------16 Angulo entre rectas y planos-------------------------------------------------------------------16 Planos Forma General de la Ecuación de un Plano en R3-----------------------------------------18 Forma Normal de la Ecuación de un Plano en R3------------------------------------------18 Forma Vectorial de la Ecuación de un Plano en R3----------------------------------------18 Forma Paramétrica de la Ecuación de un Plano en R3------------------------------------18 Distancia entre un Punto y una Recta--------------------------------------------------------18 Distancia entre un Punto y un Plano----------------------------------------------------------18 Aritmética Modular Módulos----------------------------------------------------------------------------------------------20 Vectores de Verificación--------------------------------------------------------------------------21

χ

VECTORES

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El presente volumen impreso gracias a… … somos la “Norma” de tus vectores.

ψ

Vectores Características: • Tiene sentido, dirección y magnitud • Puede descomponerse entre sus diferentes componentes: x, y, z‌ • Representan fenómenos físicos • Se representa su dirección utilizando ångulos de separación o elevación con respecto a un punto de referencia • Se puede expresar como renglón [x, y, z] o como columna • La suma o resta de vectores resulta en la suma o resta de sus componentes: [x, y, z] + [a, b, c] = [x+a, y+b, z+c] Definición: Es un segmento de recta dirigido que va de un punto inicial hacia un punto final. Puede representarse de las siguientes maneras: • Siendo este la representación de un vector que va desde un punto inicial A a

•

un punto final B. TambiÊn es posible usar únicamente → como representación teniendo esta

componentes [x, y].

Se puede obtener la magnitud o “Normaâ€? de un vector (||V||) obteniendo la raĂ­z cuadrada de la suma del cuadrado de sus componentes , asĂ­ como operando la raĂ­z cuadrada del

producto punto del vector consigo mismo √ .

Componentes de un vector Un vector en el espacio tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i,j ,k, Vector renglón: es una matriz que tiene un solo renglón. Un vector renglón R con n elementos r1j tiene una dimensión 1x n y la forma general R = (r11 r12 r13‌ r1n) Vector columna: es una matriz que tiene una columna solamente. Un vector columna C que posea m elementos cj1 tiene la dimensión m x 1 y la forma general.

ω

Operaciones con vectores

Suma de vectores: La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v.

Diferencia de vectores: Resultado de la resta de dos vectores dados. Encontrar el vector resultante (A - B) es equivalente a encontrar un vector C que satisfaga la ecuación C = A - B ó C + B = A. La última ecuación nos hace posible utilizar el conocimiento de la suma de dos vectores para encontrar la regla sobre la resta de vectores.

ϊ

Producto cruz: Es una operación binaria entre dos vectores cuyo resultado es otro vector, este vector es normal a los dos anteriores y por lo tanto normal al plano que los contiene. Para realizar el producto cruz es necesario que cada vector tenga únicamente tres componentes, es decir [x,y,z]. Notas de los autores:

Producto punto: También conocido como producto escalar, es una operación entre dos vectores cuyo resultado es un escalar. Al contrario del producto cruz esta puede ser realizada con n componentes. Notas de los autores:

ϋ

MagnificaciĂłn de un vector: Esto consiste en multiplicar un vector x por un escalar c. Si c > 0 entonces la magnitud del vector serĂĄ c veces la del original y tendrĂĄ la misma direcciĂłn. Si c < 0 entonces la magnitud del vector serĂĄ ||c|| veces la del vector original pero con una direcciĂłn opuesta. Vectores en Rn: Un elemento de Rn. Es un punto de una recta, de un plano, de un espacio tridimensional o en general de un espacio n-dimensional determinado por sus componentes al ser tomadas como coordenadas respecto a un sistema de n ejes perpendiculares Magnitud de un vector: La magnitud de un vector PQ es la distancia entre el punto inicial P y el punto final Q . En sĂ­mbolos la magnitud de PQ es escrita como PQ. Para conocer la magnitud de un vector por medio de sus componentes es necesario seguir este procedimiento:

||PQ||= â‹Ż siendo n el nĂşmero de componentes.

Leer tanto concepto puede ser cansado, ÂĄrelĂĄjate con un chiste!

ĎŒ

Tipos de vectores Vectores equivalentes: son vectores A y B que comparten una misma magnitud y direcciĂłn.

Vectores en posiciĂłn estĂĄndar: cuando el punto inicial coincide con el sistema de coordenadas.

Vectores paralelos: Se consideran vectores paralelos aquellos que son múltiplos escalares entre sí. Notación: → || →

Ď?

Vectores ortogonales (perpendiculares): Cuando el Angulo entre los dos vectores es recto. NotaciĂłn: →⍠→

Vector unitario: es un vector con magnitud o longitud igual a uno. “Normalizarâ€? un vector es obtener un vector unitario con la misma direcciĂłn. Resulta por la fĂłrmula: U = [1/||V||] V

Ď…Ď„

Vector nulo o cero: El vector nulo es el elemento neutro de su espacio vectorial para la operaciĂłn interna de la suma de vectores, pues cumple (siendo cualquier vector del espacio vectorial)

Desigualdad Cauchy-Schwarz

→ ∗ → ! || → || || → ||

Desigualdad del TriĂĄngulo

|| → → || ! || → || || → || "

#

Se puede obtener la magnitud entre dos vectores por medio de ||→ - →|| "

Ď…Ď…

#

"

#

CombinaciĂłn Lineal: Dados dos vectores: w y v, y dos nĂşmeros: a y b, se dice que el vector u es una combinaciĂłn lineal de los vectores v y w.

→$ % → & → "

Tomate tu descansito

υφ

#

'

Algunas aplicaciones del producto punto

Angulo entre Vectores También se puede calcular el ángulo entre dos vectores por medio de la fórmula: →∙→ cos + $ || → |||| → ||

La que nos indica que el angulo entre → → esta dado por el coseno inverso del producto "

#

punto entre ambos vectores partido la multiplicación de sus magnitudes.

Proyección de Un vector La proyección de un vector sobre otro se puede interpretar como la “sombra” sobre ese vector. Otra forma de verlo es como la componente horizontal del vector que se está proyectando.

-. / & $

0∗/

/∗/

∗→ /

PROPIEDADES DE VECTORES

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

υχ

U x v = -(v x u) Uxu=0 U x kv = k(U x v) Ux0=0 U. (v x w)= (U x v). w U x (v + w)=( U x v) + (u x w) U+v=v+u U +(v + w) =( U + v) + w U +(- u) = 0 U+0=u c(U + v) = cu + cv (c+d)u = cu + du c(du) = (cd)u 1u = u

RECTAS

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para cualquier curso de álgebra necesitas la mejor tecnología!

υψ

RECTAS •

Rectas en R2 y R3

En el plano xy, general de la ecuación de una recta es ax+by=c. si b≠0, entonces la ecuación puede /

reexpresarse como $ 1 0

2

0

, lo cual tiene forma de y=mx+k [Ésta es la forma con

intercepción al origen; m es la pendiente de la recta, y el punto con coordenadas (0, k) es la intercepción en y.] •

Vector Normal

Es aquel vector que es perpendicular a la recta, es decir, es octogonal a cualquier vector que sea paralelo a la recta y se denota con la letra n, la ecuación n.x=0 es la forma normal de la ecuación de la recta. •

Vector DirecciĂłn

Es un vector particular paralelo a la recta L, se denota con la letra d y la forma vectorial es x=td. FORMA NORMAL La forma normal de la ecuaciĂłn de una recta L en R2 es 7 ∙ 3 1 8 $ 9 : 7 ∙ 3 $ 7 ∙ 8 Donde p es un punto especĂ­fico sobre L y n≠0 es un vector normal para L

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE UNA RECTA L ;3 <= $ > ;

Donde 7 $ < es un vector normal para L FORMA VECTORIAL DE LA ECUACIĂ“N DE UNA RECTA L EN R2 o R3 3 $ 4 t6

Donde p es un punto específico sobre L y d≠0 es un vector de dirección L

υω

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Ecuaciones ParamÊtricas son aquellas correspondientes a las componentes de la forma vectorial 3 $ 8I EFI = $ 8D EFD G $ 8H EFH

ECUACIONES SIMÉTRICAS Las Ecuaciones SimÊtricas se obtienen al despejar t en las ecuaciones paramÊtricas 1 ? y 1 ? z 1 ?C $ $ @ @ @C

Nótese que en R3 para las ecuaciones mencionadas anteriormente constan de 3 variables, y se proveen 2 ecuaciones de plano los cuales al intersectarse forman una recta. Distancia entre Rectas paralelas Para encontrar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta. Distancia Entre Dos Planos Paralelos Cuando nos referimos a la distancia entre dos planos, Êstos han de ser paralelos, porque si son coincidentes o secantes, la distancia es cero. à ngulo entre dos rectas El ångulo que forman dos rectas es igual al ångulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas. à ngulo entre dos planos El ångulo formado por dos planos es igual al ångulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos à ngulo entre recta y plano El ångulo que forman una recta, r, y un plano, π, es el ångulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r'.

Ď…ĎŠ

PLANOS

Brought to you by… AHORA EN CARTELERA

Las matrices pueden ser más peligrosas de lo que imaginas… υϋ

PLANOS FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE UN PLANO EN R3 Donde d es n∙p siendo n un vector normal al plano y p un punto sobre el plano. % & J $ @

FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE UN PLANO EN R3 Donde p es un punto especĂ­fico sobre el plano y x un punto arbitrario; donde n es un vector a b n $ L O. c P∙? $ P∙

FORMA VECTORIAL DE LA ECUACION DE UN PLANO EN R3 Donde p es un punto sobre el plano y u y v son vectores directores para el plano. $ ? Qu Sv FORMA PARAMETRICA DE LA ECUACION DE UN PLANO EN R3 Donde p es un punto sobre el plano y u y v son vectores directores para el plano. ? Qu Sv U? Qu Sv ?C QuC SvC Distancia entre un punto y una recta EstĂĄ dada por la fĂłrmula || → 1 -. V W||, siendo “dâ€? el vector direcciĂłn de la recta.

Distancia entre un punto y un plano Se obtiene mediante

|/XY0ZY2[YV| √/ \ Y0 \ Y2 \

, donde “x, y, z� son las coordenadas del punto y “a, b, c,

d� son los escalares de la ecuación general del plano.

Ď…ĎŒ

ARITMÉTICA MODULAR

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Tu maestro en casa

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Algebra Modular

En el álgebra modular se trabaja con conjuntos de enteros específicos, denominados por la letra “Z” con subíndice representando la base del sistema numérico. Ejemplo: “Z4” hace referencia a la aritmética con los números {0,1,2,3}. Solamente existen dos operaciones: la suma y la multiplicación. Sumas en Z3 + 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

Multiplicación en Z3 * 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

De igual manera, 0 es el elemento neutro de la suma y 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Otro factor interesante son los inversos aditivos y multiplicativos de un número en un módulo Z. Por ejemplo, en Z4, “3” es el inverso aditivo de “1” (3+1=0) y en Z5 “3” es el inverso multiplicativo de “2” (3*2=6 -> =1). Una forma informal y más fácil de verla es hacer una analogía con un reloj de agujas. Al llegar a la hora 12, la siguiente no marca el número “13” si no regresa al “1”. Podemos aplicar esto a cualquier entero módulo n, apoyándonos de un reloj con números de 0 a n-1. Otra forma expedita de calcular un número equivalente en un Zn, es tomar el cero y sumarle “n” sucesivamente hasta encontrar un resultado cercano al deseado. Cuando se trabajan con números reales realizar operaciones como “2x +1 =5” resulta relativamente fácil debido a nuestro constante uso de dichos números(x=2). No obstante, realizar

ese tipo de operaciones en entero módulo n resulta diferente. En ] esa misma expresión se determina por: Notas de los autores:

φτ

Como se puede apreciar, tiene cierto grado de abstracción el poder realizar las operaciones. Encontrar los inversos aditivos y multiplicativos puede resultar trabajoso, más cuando uno está acostumbrado a “pasar a restar” un número “al otro lado”, como se suele referirse informalmente.

Vectores de verificación El álgebra tiene muchas aplicaciones, y una de las más interesantes y mundialmente utilizadas es la utilización de vectores de verificación. Existen dos tipos de vectores de verificación: el UPC (Universal Product Code) en Z10 y el ISBN en Z14 ó Z10 (International Standard Book Number). Estamos muy familiarizados con los códigos de barras que tienen los productos, así que procederemos a analizar uno de ellos como vector de verificación.

Sea v el vector del código y c el vector de verificación de producto se tiene que: v*c = 0 V=[5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 0] C=[1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1] V*c =5+0+1+6+3+2+5+8+7+4+9+0+0 = 50… que en módulo 10 = 0 El caso es el mismo para el ISBN, salvo que el vector c =[13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] para Z14 y c=[10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] para Z10.

Algo en que pensar…

φυ

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