ESPOL ‐ FEN Deber # 1 de Econometría I Mayo del 2011 – Eco. Efraín Quiñónez J. Sección I. Resuelva los siguientes ejercicios Ejercicio 1 (Modelo sin pendiente).‐ Dado un modelo de la forma Yi = α + μ i en el cual μi corresponde al error aleatorio. Demuestre que la estimación de mínimos cuadrados ordinarios del intercepto es αˆ MCO = Y , donde Y es el promedio muestral de los datos. Ejercicio 2 (Varianza del intercepto).‐ Considere un modelo Yi = β1 + β 2 X i + μ i en el cual μi corresponde al error aleatorio que cumple con los supuestos
⎛ ⎞ X i2 ∑ 2⎜ ⎟ ˆ ˆ clásicos. Determine que la expresión para la varianza del intercepto β1 es Var ( β1 ) = σ ⎜ n∑ ( X − X ) 2 ⎟ i ⎝ ⎠
Ejercicio 3 (Residuos heterocedásticos).‐ En un modelo Yi = βX i + μ i en el cual μi corresponde al error aleatorio que cumple con los supuestos clásicos. Determine que los residuos ( μˆ i ) tienen, al igual que el error, valor esperado igual 0, pero son heterocedásticos, ya
⎛ ⎜ ⎝
que la varianza se define como Var ( μˆ i ) = σ 2 ⎜1 −
X i2 ∑ X i2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Ejercicio 4 (Varianza de la pendiente).‐ Suponga un modelo sin constante Yi = βX i + μ i en el cual μi corresponde al error aleatorio que cumple con los supuestos clásicos. Determine que la Var ( βˆ ) =
σ2
∑X
2 i
Ejercicio 5 (Covarianza de estimadores).‐ Derive la expresión para calcular la covarianza entre el estimador de la pendiente y la constante Cov(αˆ ; βˆ ) Ejercicio 6 (Linealidad de los modelos).‐ De los siguientes modelos. ¿Cuáles son modelos de regresión lineales? En los que no son lineales, ¿existe forma de aplicar transformaciones que los vuelvan lineales?
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Ejercicio 7 (Modelo en desviaciones con respecto a la media).‐ Demuestre que el modelo Yi = αˆ + βˆX i + μˆ i , se puede rescribir de la forma yi = βˆxi + μˆ i , donde las variables minúsculas corresponden a los datos originales medidos en desviaciones con respecto a las media (usando xi = X i − X y yi = Yi − Y ). Observe que el intercepto desaparece en la segunda expresión. Ejercicio 8 (Cambio de Escala).‐ Suponga que en un modelo Yi = β1 + β 2 X i + μ i en el que se obtienen las estimaciones de la pendiente y la constante, los datos de la variable independiente son multiplicados por una constante λ. ¿Cómo afecta este cambio de valores a las estimaciones de MCO? ¿Qué hubiese ocurrido si el cambio se aplica tanto a la variable dependiente como a la independiente? En el segundo caso, ¿existen modificaciones en los valores ajustados de la variable explicada? ¿Se logra incrementar el R cuadrado con este tipo de transformaciones? Ejercicio 9 (Regresión sobre valores ajustados).‐ Indique si la siguiente afirmación es correcta: Al hacer una regresión de la Yi observada sobre la Yi estimada el valor de la intersección y de la pendiente que se estima por mínimos cuadrados serán 0 y 1 respectivamente. Ejercicio 10 (Independencia entre los residuos y los valores estimados).‐ Demuestre que en un modelo de regresión lineal simple, Yi = αˆ + βˆX i + μˆ i los valores ajustados Yˆi no están correlacionados con los residuos μˆ i , por lo que
∑ Yˆ μˆ i
i
= 0 . ¿Guarda alguna intuición este resultado?
Ejercicio 11 (Coeficiente de bondad de ajuste) Demuestre que en un modelo de regresión lineal simple, con constante y pendiente, el coeficiente de bondad de ajuste (R cuadrado) coincide con el coeficiente de correlación entre la variable dependiente e independiente, pero 2 elevado al cuadrado (es decir R2 = ρ xy ). ¿Se cumple esta relación si el modelo no tuviese constante? Ejercicio 12 (Ejemplo numérico del modelo de regresión lineal simple).‐ Considere los siguientes datos hipotéticos de consumo e ingreso familiar en el año X, expresados en miles de dólares X Y 5 8 6 10 10 12 a) Realice un diagrama scatterplot de las variables dependiente e independiente. b) De acuerdo al gráfico ¿Qué relación se esperaría exista entre estas dos variables? c) ¿A qué es igual X Y Sxx, Sxy y Syy? d) Determinar el valor de la constante y la pendiente en un modelo de regresión lineal, estimado por mínimos cuadrados ordinarios. e) Realizar el gráfico scatterplot incorporando la recta de regresión estimada. ¿Es bueno el ajuste? f) Calcular el valor de la suma de los residuos al cuadrado (RSS) g) Estimar la varianza que presentan los errores del modelo h) Exprese la descomposición de la varianza total de la variable dependiente (TSS = RSS + ESS) i) Calcular el valor del coeficiente de determinación (R cuadrado) j) Demuestre el cumplimiento de las ecuaciones normales del método de mínimos cuadrados ordinarios k) Determinar los valores de las varianzas de las estimaciones de la constante y la pendiente. Página 2
Sección II.‐ Problemas del Libro “Econometría” Segunda Edición. Alfonso Novales
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