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INDICE
INDICE ----------------------------------------------------------------------------------------- 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ------------------------------------------------------------ 3 PROPOSICIONES DE LOS EXPONENTES ----------------------------------------------- 4 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES: ------------------------------------------------- 5 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS --------------------------------- 6 PRODUCTOS NOTABLES ------------------------------------------------------------------ 7 FACTORIZACION ---------------------------------------------------------------------------- 9 RAZÓN -------------------------------------------------------------------------------------- 18 PROPORCIÓN ------------------------------------------------------------------------------ 19 REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA ---------------------------------------------------- 20 REGLA DE TRES COMPUESTA --------------------------------------------------------- 23 PORCENTAJES ----------------------------------------------------------------------------- 26 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ------------------------------------------------------- 27 VIDEOS DE LA UNIDAD 3 --------------------------------------------------------------- 27
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es el conjunto o la unión de términos algebraicos (números y letras), los cuales se encuentran separados por el signo más (+) o el signo menos (-).
Ejemplo: 5
= Ten en cuenta:
7
9
=
(
)
Si un término no tiene parte literal (letra) se llama término independiente.
= 13
Ten en cuenta: Los paréntesis agrupan a todos los términos de su interior en 1 solo término. 3
Operaciones con fracciones:
1+ 4+ =
(
=
1+ = 1 + = 1+ =
(
=
) )(
(
) )
=
=
PROPOSICIONES DE LOS EXPONENTES Se llama así a los conjuntos numéricos expresados como potenciación y que se pueden representar de la siguiente manera: an = P
a es la base n es el exponente P es la potencia
¡Mejora tu aprendizaje! Para conocer más sobre este tema puedes acceder a la siguiente página web: www.wiener.edu.pe/manuales/1er-ciclo/matematica.../manual-de-matematica.doc
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PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES: 1. EXPONENTE CERO x0 1
Ejemplo : 50 1
2. EXPONENTE NEGATIVO 1 x m m x
Ejemplo : x -8
1 x8
3. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES xm xn x
p
x
m n p
Ejemplo : x5x7 x10 x5710 x22
4. DIVISIÓN DE BASES IGUALES xm x mn n x
Ejemplo :
x10 10 5 x x105 x15 5 x
5. MULTIPLICACION DE BASES DIFERENTES
x * y m xm * y m
3 Ejemplo : 2 * 7 23 * 73 8 * 343 2744
6. DIVISON DE BASES DIFERENTE S x y
m
4 24 16 2 Ejemplo : 3 34 81
xm m y
7. DIVISIÓN DE FRACCIONES CON EXPONENTE NEGATIVO x y
m
y x
m
2 Ejemplo : 3
4
4 34 81 3 2 24 16
Retroalimentación del conocimiento: Si deseas más información, puedes acceder al siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=fyAR4s5pyq0
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SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos supone aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta. La igualdad (1) enuncia la propiedad distributiva respecto de la suma y la igualdad (2) enuncia la propiedad distributiva respecto de la resta: (1) k(a + b) = ka + kb (2) k(a – b) = ka – kb
Para simplificar, unas veces convertiremos un producto en una suma, y otras convendrán lo contrario, es decir, sacar factor común en la expresión. Podemos simplificar una expresión algebraica al convertir un producto en una suma, aplicando la propiedad distributiva. Ejemplo: A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24; Simplificada: A = - 10x + 26 B = a(a – 7) = a² – 7a
Cuando el producto es de dos paréntesis Usamos una “doble distributiva”, esto es: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd, (a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd, (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd. Ejemplo: queremos simplificar las expresiones siguientes: A = (2x + 5) (x – 4) = 2x² – 8x + 5x – 20; simplificada: A = 2x² - 3x - 20 B = (–5 + 3y) (y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y; simplificada: B = 3y² - 11y + 10 Al sacar factor común en una expresión algebraica, convertimos una suma algebraica en un producto. Ejemplo: ka + kb = k(a + b) o ka – kb = k(a – b) Para más información puedes acceder a la siguiente página web: https://es.coursera.org/lecture/algebrabasica/simplificacion-de-expresiones-algebraicas-f7AuA 6
RECUERDA: También podemos usar los desarrollos de los productos notables para simplificar este tipo de expresiones.
PRODUCTOS NOTABLES (a + b)
Cuadrado de un Binomio
Formas:
Lectura: el cuadrado de la suma de dos cantidades (a + b) es igual al cuadrado del primer término más el duplo del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. Ejemplo: (3x + 5y) = (3 ) + 2 (3x) (5y) + (5y) = (
)
(
)
(
)(
)
(
) =
+
+
Lectura: el cuadrado de la diferencia de dos cantidades (a - b) es igual al cuadrado del primer término menos el duplo del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. Ejemplo: (2w - 4z) = (2w) (
) =(
)
(
)( (
)(
)
( )
) =4 (
) =
7
(
Cubo de un Binomio
)
( ) ( )
Formas:
Lectura: El cubo de la suma de dos cantidades (a + b)
( )( )
( )
es igual al cubo del primer
término, más el triple producto del cuadrado de la primer término por el segundo término, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término. Ejemplo: (3x + y) = (3 ) + 3 (3x) (y)
3 (3x) (y) + (y) =
Lectura: El cubo de la diferencia de dos cantidades (a - b) es igual al cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado de la primer término por el segundo término, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término. Ejemplo: (m
n) = (a)
3 (m) (n)
3 (m) (n)
(n) =
Retroalimentación del conocimiento: -Si deseas más información sobre productos notables, puedes acceder al siguiente sitio web: www.julioprofe.net y referirte al tema Productos Notables. -También puedes acceder a ver este video: https://www.youtube.com/watch?v=hTGYQ9GJWvo
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FACTORIZACION Factor Común Extraer factor común consiste en separar el elemento que sea común en cada término de una expresión, es decir, que se repita en todos los términos y colocarlo multiplicando a los términos en los que estaba inicialmente. En el siguiente cuadro podemos ver claramente una explicación en lo que consiste
Ilustración 1. Explicación- Factor Común. Recuperado de: https://ekuatio.com/apuntesde-matematicas/algebra/sacar-factor-comun/
Consiste básicamente en volver a deshacer la multiplicación, es decir, partir del resultado de la multiplicación y volver a tener un monomio por un polinomio. Ejemplo: 1) En el primer término, tenemos x², es decir, tenemos la x multiplicada dos veces y en el segundo término tenemos la x repetida sólo una vez.
Al sacar factor común, quitamos una x de cada término y la ponemos delante de los dos términos multiplicando (ahora con una x menos cada uno):
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2) 25y2 - 35y = 5y (5y-7) Decimos que 5 es un número el cual se puede multiplicar por ambos términos en este caso 25 y 35, siendo su número en común, mientras que quitamos una y de cada termino ya que en el primero ya estaría multiplicando por uno en cambio en el segundo se está incluyéndolo con el cinco. 3) 9a 2- 12ab + 15a3b2 - 24ab3 = 3a (3a – 4b + 5 a2b2 – 8b3) En conclusión: Factor: está multiplicando al resto del término Común: se repite en todos los términos
Factor Común por Agrupación de Términos Se denomina
factor común por agrupación de términos, si los términos de un
polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas. Ejemplo:
2ax + 2bx - ay + 5a – by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común:
(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)
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Se saca el factor común de cada grupo:
a (2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se obtiene:
(2x -y +5 )(a + b)
Ejercicios:
1) 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)= (17x +3y +7z)(a – m)
2) m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1] = (x + 2)(m + 3 – 1)
3) m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)
Para más información puedes acceder a la siguiente página web: https://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n 11
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. El resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:
a2 - b2 = (a + b) (a - b) Donde a2 y b2 son los dos cuadrados. Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.
Como realizar la factorización:
Se extrae la raíz cuadrada de cada término.
Al coeficiente numérico se le extrae la raíz cuadrada normalmente, y a las letras, su exponente se divide entre 2.
Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando
Ejemplo: 49x² - 16 = 7²x² - 4² = (7x + 4) (7x - 4) 49 = 7*7 X2/2= x 16= 4*4
CASOS DE DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS EJEMPLO 1: (Fácil) x2 - 9 = (x + 3) (x - 3)
EJEMPLO 2: (Con dos letras) x2 - y2 = (x + y) (x - y) 12
EJEMPLO 3: (Con el "1") b2 - 1 = (b + 1) (b - 1)
EJEMPLO 4: (Con fracciones) x2 - 9/25 = (x + 3/5) (x - 3/5)
EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2) x6 - 4 = (x3 + 2) (x3 - 2)
EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos") 36x2 - a6b4 = (6x + a3b2) (6x - a3b2)
EJEMPLO 7: (Con números decimales) x2 - 0,16 = (x + 0,4) (x - 0,4)
EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés") -x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x) (2 - x)
EJEMPLO 9: (Uno "con todo") 4/25 x6a2 - 0,01 b4y10 = (2/5 x3a + 0,1 b2y5) (2/5 x3a - 0,1 b2y5)
EJEMPLO 10: (Con números que no son cuadrados) x2 - 3 = (x +
) (x -
)
Para más información puedes acceder a la siguiente página web: https://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/ factoreo/difcuadr/qtocaso.htm 13
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es doble producto de las bases de esos cuadrados es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Ejemplo: 36x2 + 12xy2+y4
Es un primer término es el cuadrado de 6x ya que 6x por 6x =36x2
El último es el cuadrado de Y2 porque (Y2)2= y4, Y el segundo término es el doble producto de las bases de estos cuadrados, es decir 6x y y2 .
Pues 2 x 6X x y2 = 12xy2
2 2
2) (
2)
(6x + y ) = (6x + y 6x + y
=36x2 + 12xy2 + y4
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Ejemplos:
25 + 10xy + x2y2.
= (5 + xy)2
1 + a10 – 2a5
= (1- a5)2
225x4 + 25m2n4 – 150x2mn2
= (15x2 + 5mn2)2
X2+2x(x – y) +(x - y)2
= [x + (x – y)]2= [2x +y]2
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Trinomio de la forma:
+ bx + c
Este caso de factorización se conoce por separar la parte cuadrática en dos, variando sus signos (+ o -), además se deben buscar dos números reales cuya suma den el valor de b y cuya multiplicación den el valor de C. Ejemplo: + 8x + 16 = (x + 4) (x + 4) - 9 x + 20 = (x – 5) (x – 4) + 3z + 2 = (z + 2) (z + 1)
Trinomio de la forma:
+ bx + c
Este caso de factorización se caracteriza por multiplicar la expresión algebraica por el valor de a, para luego separar el término cuadrático, aplicar la ley de signos y encontrar dos números reales, cuya suma den el valor de b y cuya multiplicación den el valor C. Al finalizar se procede a sacar factor común del primer término algebraico para dividirlo con el valor de a. Ejemplo: 2
- 5x – 3
a = 2 ; b = -5 ; c = -3
) - 2 (5x) – 2 (3)
2(2 (
)
(2 )
( (
) )
=
(
)(
)
=
(
)(
)
= (x – 3) (2x + 1)
Otra forma de resolver este mismo ejemplo es: Multiplicar a por C 2
- 5x – 3 = 2
- 5x – 6 =
(
– )(
– )
=
(
)(
)
= (x – 3) (2x + 1)
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CUBO PERFECTO DE BINOMIO Este caso de factorización se reconoce ya que
dos de sus términos son cubos
perfectos, y su desarrollo es del cubo de un binomio. Ejemplo:
( x + y)
Ejemplo:
(
)
SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIA CÓMO RECONOCER: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. CÓMO FACTORIZAR: Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio
donde
el
primer
término
vaya
decreciendo y el segundo término vaya creciendo. Si es una suma, el polinomio es de signos
Formas
intercalados y si es una resta, el polinomio es de signos positivos.
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Recordar que: toda potencia elevada al exponente 1 (đ?‘Ľ ) es igual a la base “xâ€?; y que toda potencia elevada al exponente 0 (đ?‘Ľ 0 ) es igual a la unidad (1).
Ejemplos: a) Factorizar la expresiĂłn > Extrayendo la raĂz de los tĂŠrminos de las potencias: Y > Sustituyendo el valor de las raĂces en la fĂłrmula:
> Desarrollando y simplificando las operaciones para llegar a la soluciĂłn:
SoluciĂłn.
b) Y =
SoluciĂłn.
RetroalimentaciĂłn del conocimiento: Si deseas mĂĄs informaciĂłn sobre este tema puedes acceder a los siguientes videos: https://www.youtube.com/watch?v=9iAMN1DI8e4 https://www.youtube.com/watch?v=5Dzi-FSccBk
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RAZĂ“N
Se
presentan
comparaciĂłn
de
como 2
o
la
Se comparan a travĂŠs de una
mĂĄs
fracciĂłn.
cantidades.
a :b Lectura: “a es a
TambiĂŠn pueden
a /b
encontrarse
đ?’‚ đ?’ƒ
b�
expresadas de la siguiente forma:
Ejemplo: 1) En una quinceaĂąera hay 15 mujeres y 10 hombres ÂżCuĂĄl es la razĂłn numĂŠrica que existe entre el nĂşmero de mujeres y el de hombres? a= 15 b= 10
2) Si la razĂłn entre dos nĂşmeros reales es 6:4 y ambos suman 30, ÂżCuĂĄles son los nĂşmeros? a = 6x
a + b = 30
b = 4x
6x + 4x = 30 10x = 30
a = 6x = 6 (3) = 18 b = 4x = 4 (3) = 12
X=
0 0
RazĂłn
Respuesta: los nĂşmeros son 18 y 12 18
PROPORCIĂ“N
Se
presentan
como
đ?’‚ đ?’ƒ
la
comparaciĂłn de 2 razones.
đ?’„ đ?’…
ProporciĂłn directa: axd=bxc
Estas pueden ser
ProporciĂłn inversa: axb=cxd
Ejemplos: 1) Para construir un edificio se requiere la mano de obra de
20 hombres,
ÂżCuĂĄntos hombres se necesitan para construir 3 edificios?
ProporciĂłn directa: 20 x 3 = 60 Respuesta: Se necesitan 30 hombres
2) Dos grĂşas mueven 25 contenedores en 1 hora (60 minutos), ÂżCuĂĄntas grĂşas se requieren para mover los mismos contenedores en 30 minutos?
ProporciĂłn inversa: 2 x 60 / 30 =
0 0
4
Respuesta: Se requieren de 4 grĂşas
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REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Dos valores son directamente proporcionales cuando:
Al aumentar un valor, el otro aumenta en la misma proporción.
Al disminuir un valor, el otro disminuye en la misma proporción.
Cómo realizar una regla de tres directa: Si para un valor A de una magnitud, tenemos un valor B de la otra magnitud, para un valor de C de la primera magnitud, a la segunda magnitud le corresponderá un valor de X
Se resuelve multiplicando en cruz:
La fórmula de la x sería:
Ejemplos: Si 3 kilos de naranjas cuestan $4,00, ¿cuántos kilos de naranjas se pueden comprar con $ 32,00? A más kilos más dinero, luego hay que usar una regla de tres directa:
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Una moto recorre 30 km en unos 15 minutos, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas? A más tiempo más distancia, luego hay que usar una regla de tres directa Aquí hay que pasar todo el tiempo a minutos. Para pasar las horas a minutos podemos utilizar otra regla de tres directa:
Ahora vamos con el problema:
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Dos valores son inversamente proporcionales cuando:
Al aumentar un valor, el otro disminuye en la misma proporción.
Al disminuir un valor, el otro aumenta en la misma proporción.
Cómo realizar una regla de tres inversa: Si para un valor A de una magnitud, tenemos un valor B de la otra magnitud, para un valor de C de la primera magnitud, a la segunda magnitud le corresponderá un valor de X:
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La fórmula sería:
Ejemplos: 1 grifo con un determinado caudal tarda 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuántos minutos tardaría en llenarse el depósito con 3 grifos con el mismo caudal? A más grifos (o más caudal) menos tiempo, luego hay que usar una regla de tres inversa:
Un autobús tarda 1 hora en acabar su trayecto a una velocidad de 80 km/h. Si aumenta la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará en terminar su trayecto? A más velocidad menos tiempo tardado, luego hay que usar una regla de tres inversa:
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Si queremos saber el tiempo en minutos, utilizamos una regla de tres directa:
REGLA DE TRES COMPUESTA La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente, por lo que se pueden distinguir tres casos de regla de tres compuesta: Regla de tres compuesta directa
Ilustración 2. Explicación de cómo realizar la Regla de tres Compuesta Directa. Recuperado de: https://www.vitutor.com/di/p/a_11.html
Ejemplo: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
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A más grifos, más euros
Directa.
A más horas, más euros
Directa.
9 grifos
10 horas
15 grifos
12 horas
20 € x€
Regla de tres compuesta inversa
Ilustración 3. Explicación de cómo realizar la Regla de Tres Compuesta Inversa. Recuperado de: https://www.vitutor.com/di/p/a_11.html
Ejemplo: 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias? A menos obreros, más días A más horas, menos días
5 obreros
6 horas
4 obreros
7 horas
Inversa. Inversa.
2 días x días 24
Regla de tres compuesta mixta
Ilustración 4. Explicación de cómo realizar la Regla de Tres Compuesta Mixta. Recuperado de: https://www.vitutor.com/di/p/a_11.html
Ejemplo: Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A más obreros, menos días
Inversa.
A más horas, menos días
Inversa.
A más metros, más días
Directa.
8 obreros
9 días
6 horas
30 m
10 obreros
x días
8 horas
50 m
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PORCENTAJES Los porcentajes o también conocidos como tantos por ciento son un dato matemático. Este dato es muy útil para realizar análisis y valoraciones, y para expresar resultados. Calcular un porcentaje por medio de una regla de tres Las reglas de tres son simples de ver y entender, y pueden ayudarte a resolver tus cálculos de porcentajes. Simplemente deberás tener la cantidad total que compone el 100%, la cantidad de la que quieres saber el porcentaje, o este porcentaje del total. La regla de tres podrá ser utilizada en todos los casos de cálculo de porcentajes que se te presenten.
Ejemplo: Si 2000 es la cantidad total de lápices que tenemos, ¿qué porcentaje representan los 750 que se preparan para enviar a un colegio? 2000 ————– 100% 750 ————— X
0
X=
00 000
Si un pantalón tiene un valor de $10.000 pesos con un descuento de un 60%. ¿Cuál es su valor final? 10.000 = X _____ _____ 100%
x=
60%
0 000
0
00
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Libro de fundamentos de matemáticas de la ESPOL. Recuperado de: https://www.google.com.ec/amp/s/eduardomlopez.wordpress.com/2013/01/28/oper adores-logicos-conjuncion-y-disyuncion/amp/ Cubo de un Binomio. Recuperado de: https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/cubo-de-un-binomio-l10941 Factor Común. Recuperado de: https://ekuatio.com/apuntes-dematematicas/algebra/sacar-factor-comun/ Suma o diferencia de potencias iguales (Impares). Recuperado de: https://ejerciciosalgebradepearson.wordpress.com/2017/01/26/suma-o-diferenciade-potencias-impares-iguales/ Trinomio Cuadrado Perfecto. Recuperado de: https://www.google.com.ec/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://apuntes.celeber rima.com/ejemplos-factorizacion-trinomio-cuadrado perfecto/&ved=2ahUKEwjXpaervvfbAhXOq1kKHXL5C7UQFjAZegQIBBAB&usg=AOvVaw 05LeNQr6Be9cllDU2hxTKB Porcentaje. Recuperado de: https://educar.doncomos.com/como-sacar-un-porcentaje Regla de Tres Simple. Recuperado de: https://ekuatio.com/apuntes-dematematicas/numeros-aritmetica/proporcionalidad/regla-de-tres-directa/ Regla de Tres Compuesta. Recuperado de: https://www.vitutor.com/di/p/a_11.html
VIDEOS DE LA UNIDAD 3 NÚMEROS REALES https://www.youtube.com/watch?v=hTGYQ9GJWvo https://www.youtube.com/watch?v=fyAR4s5pyq0 https://www.youtube.com/watch?v=9iAMN1DI8e4 https://www.youtube.com/watch?v=5Dzi-FSccBk https://www.youtube.com/watch?v=_Wnv1t9ca3I
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