UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA NIVELCACIÓN: 2018-2019 ASIGNIATURA: MATEMÁTICAS DOCENTTE: ING. ARNALDO ANDRADE TALLER GRUPAL
INTEGRANTES
CATHERINE INTRIAGO KATHERINE LINO FAVIANA MACIAS THALIA MERINO GENÉSIS MULLO MELANIE ORTEGA HELEN PARRALES BELÉN SUAREZ YAHIRIS VARGAS
ÍNDICE Definición De Estadística ........................................................................................................ 1 La Estadística Descriptiva ....................................................................................................... 2 La Estadística Inferencial ........................................................................................................ 2 DEFINICIONES............................................................................................................................. 4 Mediana ..................................................................................................................................... 7 Media Aritmética.................................................................................................................... 8 Medidas De Dispersión Para Datos No Agrupados ................................................................ 9 Datos No Agrupados ................................................................................................................ 10 Varianza.................................................................................................................................... 10 DESVIACIÓN ESTÁNDAR ........................................................................................................... 10 RANGO ..................................................................................................................................... 11 COEFICIENTE DE VARIACIÓN .................................................................................................... 11 DESVIACIÓN MEDIA ................................................................................................................. 11 TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECENCIA ............................................................................. 12 FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULUDA.................................................................................... 12 FRECUENCIA RELATIVA ............................................................................................................ 12 LA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ................................................................................. 12 DESCRIPCION DE DATOS U OBSERVACIONES .......................................................................... 13 Medida De Tendencia Central Para Datos Agrupados ......................................................... 16 Los Propósitos De Las Medidas De Tendencia Central Son: .................................................... 16 Medida De Dispersión Para Datos Agrupados ......................................................................... 18 Rango ....................................................................................................................................... 18 Varianza.................................................................................................................................... 18 Cuartil ....................................................................................................................................... 19 Para Datos No Agrupados ........................................................................................................ 20 Deciles ...................................................................................................................................... 21 Fórmulas Datos No Agrupados ................................................................................................ 21 Centiles O Percentiles .............................................................................................................. 22 Fórmulas Datos No Agrupados ................................................................................................ 22 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 23
Definición de Estadística El termino estadística proviene del latín statisticum collegium (“consejo de Estado”) y de su derivado italiano statista (“hombre de Estado o político”). En 1749, el alemán Gottfried Achenwall comenzó a utilizar la palabra alemana statistik para designar el análisis de datos estatales. Por lo tanto, los orígenes de la estadística están relacionados con el gobierno y sus cuerpos administrativos. Hoy puede decirse que la recopilación y la interpretación de los datos obtenidos en un estudio es tarea de la estadística, considerada como una rama de la matemática. Las estadísticas (el resultado de la aplicación de un algoritmo estadístico a un grupo de datos) permiten la toma de decisiones dentro del ámbito gubernamental, pero también en el mundo de los negocios y el comercio. Además de todo lo expuesto hemos de dejar patente que para que esta rama de las Matemáticas tenga lugar y desarrolle sus trabajos deben contar con una serie de instrumentos que se han convertido en fundamentales. En concreto, nos referimos a los llamados niveles de medición (intervalo, nominal, razón y ordinal), los estudios observacionales y también las técnicas de análisis estadístico. En este último grupo de herramientas habría que incluir algunas tan conocidas e importantes como la frecuencia estadística, el análisis de varianza, la gráfica estadística, el análisis de regresión, la prueba t de Student o el análisis factorial confirmatorio. La estadística aplicada puede ser dividida en dos ramas: la estadística descriptiva (refiere a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de los datos, que pueden ser presentados en forma numérica o gráfica) y la inferencia estadística (la generación de los modelos y predicciones relacionadas a los fenómenos estudiados, teniendo en cuenta el aspecto aleatorio y la incertidumbre en las observaciones). Además de la estadística aplicada, también existe una disciplina denominada estadística matemática, que abarca las bases teóricas de la materia. Al hablar de esta rama científica tampoco podemos pasar por alto el hecho de que en España existe lo que se conoce como Instituto Nacional de Estadística (INE). Un organismo este de gran valor pues se encarga de acometer una serie de funciones esenciales para el Estado. En concreto, y según le tiene atribuida la legislación vigente, tiene como misión el realizar, por ejemplo, los distintos censos demográficos y económicos. El censo electoral y operaciones estadísticas entorno a las cuentas nacionales son otros de los trabajos que realiza este citado organismo que tiene entre sus áreas más relevantes al Departamento de Planificación, Coordinación y Difusión Estadística, así como al de Cuentas Económicas y Empleo o el de Muestreo y 1
Recogida de Datos. Para su mejor estudio, la estadística se ha dividido en dos grandes ramas: la estadística descriptiva y la estadística inferencial.
La estadística descriptiva Consiste en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Ésta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos como tales. Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Estas técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en control de calidad, contabilidad, mercadotecnia, estudios de mercado, análisis deportivos, administración de instituciones, educación, política, medicina, y por aquellas personas que intervienen en la toma de decisiones.
La estadística inferencial Se deriva de muestras, que son subconjuntos de una población con alguna característica de interés. A partir de las observaciones hechas a una parte de un conjunto numeroso de elementos, se infiere acerca de las características que posee la población. Esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que sirven para hacer
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generalizaciones. La estadĂstica inferencial investiga o analiza una poblaciĂłn partiendo de una muestra tomada.
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DEFINICIONES Elemento o ente: Cualquier elemento información
que
aporte
sobre
la
característica que se estudia. Población:
Conjunto
o
colección de los entes de interés. Cada ente presenta características determinadas, observables y medibles. La población se puede clasificar, según su tamaño, en dos tipos:
Población finita: El número de elementos es finito. Por ejemplo: la cantidad de alumnos de una escuela.
Población infinita: El número de elementos es infinito o tan grande que pueden considerarse en cantidad infinita. Por ejemplo: las estrellas de la Vía Láctea.
Valor: Son todos los resultados que podemos obtener. En el caso de una moneda serían cara y cruz. Muestra: Presenta parte que es representativa de la población, posee el mismo comportamiento y características. Esta siempre será más pequeña que la población. Muestreo: Se le llama muestreo al conjunto de datos obtenidos de la muestra. Dato: Se le llama dato a cada uno de los valores obtenidos después de realizar el estudio estadístico. Variable: se le llama al tipo de dato, que son una determinada característica de la muestra o población (número de hijos, estatura, peso, color, profesión, etc.) Las variables se pueden clasificar en dos tipos: Variables cuantitativas: Se expresan por medio de números y pueden ser:
Discretas: Sólo se miden por medio de valores puntuales. Por ejemplo: número de materias, cantidad de médicos en un hospital; y, 4
Continuas: Pueden tomar cualquier valor intermedio entre dos números, es decir, intervalos. Por ejemplo: el peso y la estatura de una persona.
Variables cualitativas o atributos: No se pueden expresar numéricamente, sino por medio del nombre de la característica en estudio; se pueden clasificar en:
Ordinales: Aquellas que sugieren una ordenación. Por ejemplo: nivel de estudio, posición de
Nominales: Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establecen orden por su contenido. Por ejemplo: género, estado civil, color de cabello.
Binaria: Sólo tiene dos categorías. Por ejemplo, chico y chica, abierto y cerrado, correcto e incorrecto, etc.
Las variables también se pueden clasificar en:
Variables unidimensionales: Sólo recogen información sobre una característica. Por ejemplo: edad de los alumnos de una clase.
Variables bidimensionales: Recogen información sobre dos características de la población. Por ejemplo: edad y estatura de los alumnos de una clase.
Variables
multidimensionales:
Recogen
información
sobre
tres
o
más
características. Por ejemplo: edad, estatura y peso de los alumnos de una clase
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Medidas de tendencia central para datos no agrupados. Las medidas de tendencia central sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba. Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
Las medidas de centralización son:
Moda También llamada modo o promedio típico de un conjunto de valores; La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta , es decir el. que más se repite dentro de los datos . Es considerada como el valor más típico en una serie de datos, por esa razón se denomina , UNIMODAL. Es posible que en algunas ocasiones se presenten dos (bimodal), o más valores (multimodal), con mayor frecuencia, o que no haya ningún valor que se repita, en este último caso se dice que no hay moda
Se representa por M o . 1. EJEMPLO 1:
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M o = 4
2. EJEMPLO 2:
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 9
M o = 1, 5, 9 6
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
1. EJEMPLO 4:
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima , la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Mediana
Es
el valor que
ocupa
el lugar
central de
todos
los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se
representa
por M e .
La mediana se
puede hallar sólo para variables cuantitativas .
1. EJEMPLO 1: Ordenamos los datos de menor a mayor. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 1,2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Me= 5 7
2. EJEMPLO 2:
Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16
Me= 9.5
9 + 10= 19/2=9,5
Media aritmética La media aritmética, o promedio aritmético, es la suma de los valores del grupo de datos dividida entre la cantidad de valores. Su fórmula se puede describir de la siguiente manera.
Es el símbolo de la media aritmética .
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EJEM PL O 1 :
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
EJEMPLO 2:
Medidas De Dispersión Para Datos No Agrupados Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto sea ese valor, mayor será la variabilidad. Cuanto menor sea, más homogénea será a la media
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Datos No Agrupados Una manera para construir una medida de dispersión seria promediar las desviaciones de la media. Calculó usando la frecuencia absoluta, recolección simple o no organizado (datos no agrupados) es el listado de los datos presentados en su forma primaria, es decir tal como fueron obtenidos durante el proceso de observación o medición en la muestra o población
Varianza Es el resultado de la división de la sumatoria de las distancias existentes entre cada dato y su media aritmética elevadas al cuadrado, y el número total de datos. Distinguimos dos símbolos para identificar la varianza: S2 para datos muéstrales y o2 para datos poblacionales
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución, de echo específicamente la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio" se calcula de manera sencilla, si se conoce la varianza.
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RANGO Se mide como la diferencia entre el valor mayor y el valor menor, este rango se obtiene del resultado de la resta del valor mayor y menor ejemplo: 12,9,3,6,15,17,26,2,8. R=X max.- X min. = 26-2=24
COEFICIENTE DE VARIACIÓN El coeficiente de variación indica la importancia de la desviación estándar en relación al promedio aritmético y cuya definición puede representarse de la siguiente forma.
DESVIACIÓN MEDIA Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media y se representa así
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TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECENCIA El primer procedimiento que se emplea para organizar y resumir un conjunto de datos es una tabla de frecuencias. La tabla es un resumen de los datos en el cual, cada opción de respuesta de la variable se relaciona con el número de datos correspondiente. La distribución de frecuencias para una variable cualitativa está constituida por: CLASES: Que corresponde a tamaño de población o muestra que estas pueden ser opiniones, gustos, preferencias, cualidades o características. FRECUENCIA ABSOLUTA: Indica cuantos elementos pertenecen a cada clase. Frecuencia Absoluta
fi
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULUDA: La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Frecuencia Absoluta Acumulada
Fi
FRECUENCIA RELATIVA: Indica la proporción de elementos en cada clase, por lo tanto está dada por la razón entre la frecuencia absoluta de cada clase y el número total de observaciones. Obviamente, si se multiplica por 100 cada valor se obtiene la distribución de frecuencias porcentuales. Frecuencia Relativa
hi
LA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Hi La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Frecuencia Relativa Acumulada
Hi
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DESCRIPCION DE DATOS U OBSERVACIONES Al número de datos u observaciones se lo representan con n. Para describir los dates puede presentar dos casos:
TIPO DE TABLA Nº 1 El tamaño de población o muestra es pequeño, solo se ordena de manera creciente y decreciente. Ejemplo. Un estudiante durante un semestre dio diez exámenes parciales calificados sobre diez (10 puntos), obteniendo los siguientes resultados: 6 – 7 – 6 – 8 – 5 – 7 – 6 – 9 – 10 – 6. En este ejemplo, n = 10 (número de datos). Su tabla quedaría de la siguiente forma: 5 – 6 – 6 – 6 – 6 – 7 – 7 – 9 – 10
TABLA DE TIPO Nº 2 Cuando el conjunto de observación tiene muchos valores diferentes. Para este caso se emplea un procedimiento llamado “Agrupamiento de datos". Esto es posible cuando el numero do datos es mayor que 30 (n >30). OBSERVACIÓN:- El número de clases que se emplea para agrupar los datos en un conjunto depende del número de datos. Si el número de datos es pequeño, el número de clases a emplear será cercano a cinco (5), pero generalmente nunca menos que cinco (5) número de clases debe encontrarse entre ocho (8) y doce (12) clases EJEMPLO: Un sondeo realizado en la Universidad de Cartagena sobre 30 alumnos del sexto semestre de Administración Industrial, pretende mostrar que edad es la más representativa. Las edades de los alumnos fueron:
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17
17
19
19
31
1
18
27
21
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24
19
25
24
24
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20
20
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19
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Elabore una tabla de frecuencia que resuma los resultados. SOLUCIÓN Antes de elaborar la tabla de frecuencia, debemos definir cuál de los dos tipos propuestos es el que mejor se adapta (Tipo A y Tipo B). Si resumimos los datos en una tabla tipo A, tendríamos una tabla muy extensa, en la cuales algunas frecuencias de las edades serian 0. Esto se debe a que el rango manejado es muy amplio (R = 31 17 = 14).
Edad f 17
2
18
1
19
6
20
4
21
6
22
2
,,,
…
31
1
Total 30
TABLA DE TIPO Nº 3 Para hacer la descripción gráfica de los datos es necesario conocer algunos elementos de la estadística antes mencionado: Frecuencia absoluta, Frecuencia absoluta acumulada, Frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada al igual que en el tipo II. Solo que esta se utilizan intervalos. En esta tabla vamos a considerar los intervalos de la misma amplitud, por lo que no vamos a representar la columna de las amplitudes ni la de las densidades. Los intervalos que vamos a considerar van a tener de amplitud 5 cm. 14
Aquí se pone de manifiesto la perdida de precisión, ya no podemos hablar de cual es la altura más frecuente sino de cual es el intervalo de alturas en el que hay más alumnos. De esta forma, la respuesta a la primera pregunta de la actividad -¿Cuál es la altura más frecuente?- es que el intervalo 1.70-1.75 es el que contiene más alumnos. EJEMPLO: Colectivo: 60 cilindros fabricados por una máquina. N = 60 Variable X: longitud en centímetros Valores observados: 239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252, 251, 250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 259, 249, 249, 250, 251, 253, 241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251, 238, 236, 259 249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238
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MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
Son medidas estadísticas que se usan para describir cómo se puede resumir la localización de los datos. Ubican e identifican el punto alrededor del cual se centran los datos. Las medidas de tendencia central nos indican hacia donde se inclinan o se agrupan más los datos. Las más utilizadas son: la media, la mediana y la moda.
Los propósitos de las medidas de tendencia central son: 1. ostrar en qu lugar se ubica el elemento promedio o típica del grupo. 2. Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier valor en relación con el puntaje central o típico. 3. Sirve como un método para comparar el valor adquirido por una misma variable en dos diferentes ocasiones. Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
Medidas de tendencia central para datos agrupados
Media aritmética.
Es el promedio de los datos. X¡:marca de clase F¡:frecuencia absoluta
Mediana
Mediana es el valor que divide el conjunto ordenado de datos en dos subconjuntos de la misma cantidad .
Moda
Es el valor que más se repite en un conjunto de datos.
Ejemplo:
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Empezamos por la media aritmética la que consiste en multiplicar cada frecuencia por el promedio del intervalo. Luego se suman todos estos resultados, y por último se divide entre el total de datos.
Utilizando el ejemplo anterior se obtendría que la media aritmética es igual a:
(4*2 + 4*4 + 6*6 + 4*8) / 18 = (8+16+36+32)/18 = 5,11111
Esto indica que el valor medio de los datos de la tabla es 5,11111. Procedemos con la mediana La mediana viene dada por la siguiente fórmula:
Me = Li + (Ls-Li) *(N/2 – Frecuencia Acumulada antes de Li) / frecuencia de [Li, Ls)
Ls es el límite superior del intervalo mencionado anteriormente.
Si se utiliza la tabla de datos anterior se tiene que N/2 = 18/2 = 9. Las frecuencias acumuladas son 4, 8, 14 y 18 (una para cada fila de la tabla).
Por lo tanto, se debe seleccionar el tercer intervalo, dado que la frecuencia acumulada es mayor que N/2=9.
De modo que Li=5 y Ls=7. Aplicando la fórmula descrita anteriormente se tiene que:
Me = 5 + (7-5) *(9-8)/6 = 5+2*1/6 = 5 + 1/3 = 16/3 ≈ 5,3333. Después por ultimo con la moda Mo = Li + (Ls-Li)*(frecuencia de Li – Frecuencia de L(i-1)) / ((frecuencia de Li – Frecuencia de L(i-1)) + (frecuencia de Li – Frecuencia de L(i+1)))
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El intervalo [Li, Ls) es el intervalo donde se encuentra la frecuencia mayor. Para el ejemplo hecho en este artículo se tiene que la moda viene dada por:
Mo = 5 + (7-5) *(6-4) / ((6-4) +(6-4)) = 5 + 2*2/4 = 5+1 = 6.
Otra fórmula que se utiliza para obtener un valor aproximado a la moda es la siguiente:
Mo = Li + (Ls-Li) *(frecuencia L(i+1)) / (frecuencia L(i-1) + frecuencia L(i+1)).
Con esta fórmula, las cuentas quedan como sigue a continuación: Mo = 5 + (7-5)*4/(4+4) = 5 + 2*4/8 = 5+1 = 6.
Medida de dispersión para datos agrupados Las medidas de dispersión, variabilidad o variación nos indican si esos datos están próximos entre sí o sí están dispersos, es decir, nos indican cuán esparcidos se encuentran los datos. Estas medidas de dispersión nos permiten apreciar la distancia que existe entre los datos a un cierto valor central e identificar la concentración de los mismos en un cierto sector de la distribución, es decir, permiten estimar cuán dispersas están dos o más distribuciones de datos.
Rango
Varianza
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Recuerde que la fórmula de la Media para datos agrupados es;
Cuartil El Cuartil (Qn) es una medida estadística que se utiliza para indicar el valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de observaciones. Cada cuartil representa un 25% hasta llegar a 100% siendo 100% el total de las
muestras
Cuartil 1 (Q1): valor que es superior al del 25% de las muestras más bajas
Cuartil 2 (Q2): valor que es superior al del 50% de las muestras más bajas
Cuartil 3 (Q3): valor que es superior al del 75% de las muestras más bajas
Cuartil 4 (Q4): valor más alto
analizadas:
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Por ejemplo, supongamos que el percentil 25 (Q1) del peso de un varón de 15 años es 51 kg. Esto significa que hay un 25% de varones de 15 años que pesan menos de 51 kg y un 75% que pesan más.
Para Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas: - El primer cuartil: Cuando n es par:
Cuando n es impar:
Para el tercer cuartil
Cuando n es par:
Cuando n es impar:
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Deciles El Decil (Dn) es una medida estadística que se utiliza para indicar el valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de observaciones. Cada decil representa un 10% hasta llegar a 100% siendo 100% el total de las muestras analizadas:
Decil 1 (D1): valor que es superior al del 10% de las muestras más bajas
Decil 2 (D2): valor que es superior al del 20% de las muestras más bajas
Decil 3 (D3): valor que es superior al del 30% de las muestras más bajas
Por ejemplo, supongamos que el decil 3 (D3) del peso de un varón de 15 años es 53 kg. Esto significa que hay un 30% de varones de 15 años que pesan menos de 53 kg y un 70% que pesan más.
Fórmulas Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas: Cuando n es par:
Cuando n es
impar:
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Siendo A el número del decil.
Centiles o Percentiles El Percentil (Pn) es una medida estadística que se utiliza para indicar el valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de observaciones. Cada percentil representa un 1% hasta llegar a 100% siendo 100% el total de las muestras analizadas. Por ejemplo, supongamos que el percentil 30 (P30) del peso de un varón de 15 años es 53 kg. Esto significa que hay un 30% de varones de 15 años que pesan menos de 53 kg y un 70% que pesan más.
Fórmulas Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:
Para los percentiles, cuando n es par:
Cuando n es impar: Siendo A, el número del percentil. Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.
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BIBLIOGRAFĂ?A https://definicion.de/estadistica/ https://es.slideshare.net/mobile/PZB200/estadistica-descriptiva-3532507 http://musicvalles.blogspot.com/2014/10/ejemplos-de-10-graficas.html?m=1 https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/estadistica-probabilidad/conceptos-basicosde-estadistica-ejemplos/ http://www.seduca2.uaemex.mx/ckfinder/uploads/files/2-1__medidas_de_tend.pdf https://www.ditutor.com/estadistica/medidas_centralizacion.html https://www.youtube.com/watch?v=OHkcBcbKfuY https://www.lifeder.com/medidas-tendencia-central-datos-agrupados/ http://c.blogspot.com/2013/11/medidas-de-dispersion-para-datos.html http://3.bp.blogspot.com/-0VV2y3VAptY/UubypxyuoI/AAAAAAAAAJQ/gW8C6NXZnLA/s1600/slide-15-728.jpg https://image.slidesharecdn.com/medidasdetendenciacentralydeposicinparaseriesagrupada s-150222174043-conversion-gate01/95/medidas-de-tendencia-central-y-de-posicin-paraseries-agrupadas-24-638.jpg?cb=1424648550 http://moodle2.unid.edu.mx/dts_cursos_mdl/lic/AE/E/AM/04/datos_no_agrupados.pdf https://prezi.com/obuvqohnpxtl/medidas-de-dispersion-para-datos-no-agrupados/ https://slideplayer.es/slide/5410458/17/images/9/Medidas+de+dispersi%C3%B3n%3A+dat os+no+agrupados.jpg https://image.slidesharecdn.com/estadistica-151121213856-lva1-app6892/95/medidas-dedispersion-2-638.jpg?cb=1448141998 https://www.wikihow.com/images_en/thumb/e/eb/Calculate_Variance_Step_8_Version_3ES.jpg/728px-Calculate_Variance_Step_8_Version_3-ES.jpg https://www.youtube.com/watch?v=XzYf6--9wsc https://www.youtube.com/watch?v=4yrTaF9qCbo https://www.youtube.com/watch?v=V-hEZLu164c https://www.youtube.com/watch?v=w8uSEV7M9L0 https://www.youtube.com/watch?v=q-kAojXbJX4 23
https://www.youtube.com/watch?v=NxhtMkL0cig https://www.youtube.com/watch?v=9ZtXEWMn09Q
https://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml https://www.matematicas10.net/2017/02/ejemplos-de-cuartiles.html https://www.matematicas10.net/2017/02/ejemplos-de-deciles.html https://www.matematicas10.net/2017/02/ejemplos-de-percentiles.html
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