Operació món: Matemàtiques 1º ESO (demo) by Grupo Anaya, S.A.

DEMO

INCLOU

ÈN

C IA 1 2 ME

Ill

Ba lear

PROJECTE DIGITAL

ESO

MATEMÀTIQUES José Colera J., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C.

ió c a

n ó O m pe

Índex Els sabers bàsics del curs

Entrena’t resolent problemes 1. Ten molt clar l’enunciat! 2. Fes un dibuix 3. Fes una bona planificació 4. Representa les dades esquemàticament 5. Representa sistemàticament 6. Tempteja Problemes DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Equipament esportiu

1 Els nombres naturals 1. Sistemes de numeració 2. Els nombres grans 3. Aproximació de nombres naturals 4. Operacions bàsiques amb nombres naturals 5. Expressions amb operacions combinades Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

2 Potències i arrels 1. Potències 2. Potències de base 10. Aplicacions 3. Operacions amb potències 4. Arrel quadrada Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

3 Divisibilitat 1. 2. 3. 4.

La relació de divisibilitat Els múltiples i els divisors d’un nombre Nombres primers i composts Descomposició d’un nombre en els seus factors primers 5. Mínim comú múltiple 6. Màxim comú divisor Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

4 Els nombres enters 1. Nombres positius i negatius 2. El conjunt dels nombres enters 3. Sumes i restes de nombres enters 4. Sumes i restes amb parèntesis 5. Multiplicació i divisió de nombres enters 6. Operacions combinades 7. Potències i arrels de nombres enters Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Estimació de l’aigua perduda en una ciutat

5 Els nombres decimals 1. Estructura dels nombres decimals 2. Suma, resta i multiplicació de nombres decimals 3. Divisió de nombres decimals 4. Arrel quadrada i nombres decimals Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

6 Les fraccions 1. El significat de les fraccions 2. Relació entre fraccions i decimals 3. Fraccions equivalents 4. Alguns problemes amb fraccions Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

7 Operacions amb fraccions 1. Reducció a comú denominador 2. Suma i resta de fraccions 3. Multiplicació i divisió de fraccions 4. Operacions combinades 5. Alguns problemes amb fraccions Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

8 Proporcionalitat i percentatges 1. Relació de proporcionalitat entre magnituds 2. Problemes de proporcionalitat directa 3. Problemes de proporcionalitat inversa 4. Percentatges 5. Augments i disminucions percentuals Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

9 Àlgebra 1. 2. 3. 4. 5.

Lletres en lloc de nombres Expressions algebraiques Equacions Primeres tècniques per a la resolució d’equacions Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita 6. Resolució de problemes mitjançant equacions Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge

12 El sistema mètric decimal 1. Les magnituds i la mesura 2. El sistema mètric decimal 3. Unitats de mesura en les magnituds bàsiques 4. Canvis d’unitat 5. Quantitats complexes i incomplexes 6. Mesura de la superfície Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

13 Àre es i perímetres 1. Mesures en els quadrilàters 2. Mesures en els triangles 3. Mesures en els polígons 4. Mesures en el cercle 5. El teorema de Pitàgores per al càlcul d’àrees Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Pressupost per a la construcció d’una caseta per a l’hort

Dossier d’aprenentatge

10 Rectes i angles

DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

1. Elements geomètrics bàsics 2. Dues rectes importants 3. Angles 4. Mesura d’angles 5. Operacions amb mesures angulars 6. Relacions angulars 7. Angles en els polígons 8. Angles en la circumferència Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Anàlisi de poblacions mesclades aleatòriament

14 Gràfics de funcions 1. Coordenades cartesianes 2. Punts que transmeten informació 3. Punts que es relacionen 4. Interpretació de gràfics 5. Funcions lineals. Equació i representació Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

11 Figures geomètriques 1. Polígons i altres figures planes 2. Simetries en les figures planes 3. Triangles 4. Quadrilàters 5. Polígons regulars i circumferències 6. Triangle cordovès i figures relacionades amb aquest 7. Teorema de Pitàgores 8. Aplicacions del teorema de Pitàgores 9. Cossos geomètrics 10. Poliedres 11. Cossos de revolució Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

15 Estadística 1. Procés per realitzar un estudi estadístic 2. Freqüència i taules de freqüències 3. Gràfics estadístics 4. Paràmetres estadístics 5. Paràmetres de posició Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge

5 Els nombres decimals La major part de les antigues civilitzacions varen utilitzar sistemes de numeració amb base decimal, és a dir, representaven quantitats emprant deu dígits diferents. L’ús de la base decimal prové, sens dubte, de comptar amb els dits de les mans. D’aquí l’origen de la paraula «dígit», que ve del llatí digitus, dit. A Babilònia, no obstant això, varen emprar un sistema de numeració de base 60 (sexagesimal). Que complicat, no? Perquè el més sorprenent és que es va mantenir moltíssims segles en algunes cultures, com l’àrab, i ha arribat fins als nostres dies per mesurar, per exemple, el temps. T’imagines per què? Perquè va ser a Babilònia on es va establir el sistema de mesura del temps. Al segle VII, a l’Índia es va afegir a la base decimal una notació posicional (el valor de cada dígit depèn del lloc que ocupa). En tots els sistemes de numeració anteriors, cada dígit tenia un valor independent del lloc. Per arribar a aquest avenç grandiós, un pas importantíssim va ser la invenció del zero, perquè s’hi assenyalaven les posicions en les quals no hi ha quantitat. Aquest sistema de numeració decimal posicional es va usar a Europa durant molt de temps només per designar nombres enters (per a les parts de la unitat es continuava utilitzant el sistema sexagesimal dels babilonis!). Va ser al segle XVI quan el sistema decimal es va fer extensiu, també, per quantificar parts de la unitat, incorporant ordres nous (dècimes, centèsimes, mil·lèsimes…), amb la mateixa estructura que els ordres enters.

Amb el que ja saps, resol Na Carmela té tendència a engreixar i la dietista li ha recomanat baixar el consum de sucre. Com a exemple, li ha suggerit substituir els refrescs, que en tenen molt, per sucs naturals. A la fruiteria del barri ofereixen suc de taronja fet en el moment, en botelles de dues grandàries:

suc

2,35 €

1,10 €

50 cL

20 cL

1. Quina és la capacitat, en litres, de cada botella? 2. Quantes botelles petites equivalen a una de gran? 3. A quant surt el litre de suc a cada grandària? Na Carmela en compra una botella gran i n’umpl tres tassons.

4. Quant de suc entra a cada tassó? Expressa’n el resultat en centilitres aproximant a les dècimes. I també en litres aproximant a les mil·lèsimes.

5. A quant li surt cada tassó? Expressa’n el resultat en cèntims.

T’animes a fer-ho tu? Pots investigar pel teu compte fent-te les mateixes preguntes amb algun altre producte que trobis al supermercat. Per exemple, amb gaspatxo. I millor encara: pots fer el pressupost per a una festa d’aniversari, indicant el nombre de convidats i convidades, les compres necessàries, consultant els preus, etc.

Estructura dels nombres decimals Los órdenes de unidades decimals Per a expressar quantitats més petites que la unitat, utilitzam els ordres d’unitats decimals.

1 DÈCIMA 1 UNITAT

• En dividir una unitat en deu parts iguals, cada part és una dècima. 5,3

5 1 0,1 = — 10

1 CENTÈSIMA 10 DÈCIMES

5,4

5,5

5,3 → Cinc unitats i tres dècimes • En dividir una dècima en deu parts iguals, cada part és una centèsima. 5,3

5,36

5,4

5,5

1 0,01 = — 100

100 CENTÈSIMES

1 MIL·LÈSIMA

5,36 → Cinc unitats i trenta-sis centèsimes • En dividir una centèsima en deu parts iguals, cada part és una mil·lèsima. 5,36

1 000 MIL·LÈSIMES

5,365

5,37

1 0,001 = — 1000

5,365 → Cinc unitats i tres-cents setanta-cinc mil·lèsimes 2,34 € ↓

• En el sistema de numeració decimal, una unitat de qualsevol ordre es divi-

deix en deu unitats de l’ordre immediat inferior.

1 U = 10 d = 100 c = 1 000 m = …

dècimes centèsimes mil·lèsimes deumil·lèsims centmil·lèsimes milionèsimes

0,3

unitats desenes

0,04 Dues unitats i trenta-quatre centèsimes

…

m dm cm mm …

retze unitats i cinc-cents T setanta-quatre deumil·lèsimes • Per llegir un nombre decimal:

— S’anomena la part entera expressada en unitats. anayaeducacion.es

➜

Practica la lectura de nombres decimals.

— S’anomena la part decimal expressada en l’ordre d’unitats de la xifra decimal que queda a la dreta.

Ordre en els nombres decimals Els nombres decimals queden ordenats en la recta numèrica.

TEN-HO EN COMPTE

Els zeros a la dreta d’un nombre decimal no modifiquen el valor del nombre. U,

–0,5

–1,7 –2

–1

2,5

1,7

0,4 1

–1,7 < –0,5 < 0,4 < 1,7 < 2,5 Però també pots comparar nombres sense fer-ne la representació en la recta, observant les xifres i el lloc que ocupen: • Per comparar dos nombres decimals, U, d c m se’n compara la part entera. 5, 3 7 5 Per exemple: 6, 1 0 0 5,375 < 6,1 → perquè 5 U < 6 U • Si tenen la mateixa part entera, s’iguala la quantitat de xifres decimals posant zeros a la dreta i es compara la part decimal. Per exemple: U, d c m 3,25 3,4

2,5 = 2,50 = 2,500

↓

3,25 < 3,40 → perquè 25 c < 40 c

PER PRACTICAR

1 Escriu amb xifres:

6 Observa la taula

a) Huit dècimes.

b) Dos centèsimes.

c) Tres mil·lèsimes.

d) Tretze mil·lèsimes.

2 Escriu com es llegeixen:

a) 1,2

b) 12,56

c) 5,184

d) 1,06

e) 5,004

f ) 2,018

Escriu amb xifres:

i contesta les preguntes.

m dm cm mm

a) Quantes centèsimes hi ha en 40 mil·lèsimes? b) Quantes centèsimes fan 200 deumil·lèsimes? c) Quantes milionèsimes hi ha en 3 mil·lèsimes? 7 Indica el valor que representa cada lletra.

a) Onze unitats i quinze centèsimes. b) Vuit unitats i vuit centèsimes.

c) Una unitat i tres-centes onze mil·lèsimes. d) Cinc unitats i catorze mil·lèsimes.

6,2

6,4

4 Escriu com es llegeixen:

a) 0,0007

b) 0,0042

c) 0,0583

d) 0,00008

e) 0,00046

f ) 0,00853

g) 0,000001

h) 0,000055

i) 0,000856

5 Escriu amb xifres:

1,56

1,57

8 Ordena els nombres de menor a major.

a) Quinze deumil·lèsimes.

a) 5,83

5,51

5,09

5,511

5,47

b) Cent vuitanta-tres centmil·lèsimes.

b) 0,1

0,09

0,099

0,12

0,029

c) Cinquanta-vuit milionèsimes.

c) 0,5

– 0,8

– 0,2

1,03

–1,1 89

Estructura dels nombres decimals

Entre dos decimals sempre hi ha altres decimals • Triam dos nombres qualsevol; per exemple, 2,3 i 2,6. És evident que entremig hi ha altres decimals: 2,3 < 2,4 < 2,5 < 2,6 • Cercam, ara, un nombre decimal comprès entre 2,3 i 2,4. Aquests dos nombres es diferencien en una dècima, i aquest dècima es pot dividir en deu centèsimes. 2,32

2,3

2,35

2,38

2,4

Afegint alguna d’aquestes centèsimes a 2,3, obtenim decimals compresos entre 2,3 i 2,4. 2,3 = 2,30 < 2,32 < 2,35 < 2,38 < 2,40 = 2,4 El procés pot continuar indefinidament o repetir-se per a qualsevol altre parell de nombres. PER FIXAR IDEES

1 Intercala en cada cas un nombre decimal diferent al que es mostra en

l’exemple. a) 2 <

< 2,1

b) 2,1 <

< 2,11

c) 4,9 <

d) 4,99 <

Exemple

a) 2,00 < 2,05 < 2,10 b) 2,100 < 2,105 < 2,110 c) 4,90 < 4,95 < 5 d) 4,990 < 4,995 < 5

PER PRACTICAR

9 Copia-ho al teu quadern i escriu un nombre a cada ca-

sella. a) 7 < < 8 c) 2,6 < < 2,8 e) 0,4 < < 0,5

b) 0,3 < < 0,5 d) 1,25 < < 1,27 f ) 3,42 < < 3,43

13 Na Lola té una bàscula al lavabo que aprecia fins a les

dècimes de quilo. Si el pes no coincideix amb un nombre exacte de dècimes, parpelleja entre la dècima anterior i la següent. Quin pes li atribuiries si la bàscula parpelleja entre 53,6 kg i 53,7 kg?

10 Intercala un nombre decimal entre cada parell de nom-

bres. a) 0,5 i 0,6 d) 0 i 0,1 g) 0,9 i 1

b) 1,5 i 1,6 e) 3 i 3,1 h) 2,9 i 3

c) 1,35 i 1,36 f ) 3,2 i 3,21 i) 2,99 i 3

11 Escriu, en cada cas, un nombre decimal que estigui a la

mateixa distància dels dos nombres donats. a) 4 i 5 b) 1,8 i 1,9 c) 2,04 i 2,05

12 Intercala, a intervals iguals, tres nombres entre 2,7 i 2,8.

14 En una trobada internacional d’atletisme, es disputa la

prova dels 100 metres llisos. Dos jutges s’encarreguen de prendre el temps del guanyador, però obtenen una lleugera diferència en els mesuraments: • Jutge A → 9 segons i 92 centèsimes

2,7

2,8

• Jutge B → 9 segons i 93 centèsimes

2,700

2,800

Quin temps assignaries al guanyador de la prova?

Aproximació per arrodoniment En algunes ocasions se’ns presenten nombres amb massa xifres decimals i preferim, o ens hi veim obligats, a substituir-los per uns altres de més manejables de valor aproximat. |Exemple Al banc m’han calculat els interessos de dos comptes bancaris: A → 18,2733 € B → 35,3682 € No obstant això, les quantitats ingressades han estat: A → 18,27 € B → 35,37 € Per què les quantitats aplicades no coincideixen amb les que s’havien calculat? La unitat monetària més petita és el cèntim. Per això, els resultats amb moltes xifres decimals s’han de concretar amb arrodoniments als cèntims. • En el primer cas, compte A, la quantitat 18,2733 està més a prop de 18,27 que de 18,28. Per això es prenen 27 cèntims (observa que la xifra de les centèsimes no canvia). 18,27

18,2733

18,28

• En el segon cas, compte B, la quantitat 35,3682 està més a prop de 35,37 que de 35,36. Ara es prenen 37 cèntims (observa que s’ha sumat 1 a la xifra de les centèsimes).

OBSERVA

En les transaccions bancàries i comercials, s’apliquen els arrodoniments considerant que els que van a la baixa es compensen amb els que ho fan a l’alça.

35,36

35,3682

35,37

Com pots comprovar, en cada cas es pren el cèntim complet més pròxim. Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats: • Se suprimeixen totes les xifres a la dreta d’aquest ordre. • Si la primera xifra suprimida és igual o major que cinc, se suma 1 a la xifra

anterior. I si no ho és, es deixa com està.

PER PRACTICAR

15 Arrodoneix a les dècimes.

a) 6,27 d) 0,094

18 Aproxima als grams el pes de cada caixa. Recorda que

b) 3,84 e) 0,341

c) 2,99 f ) 0,856

un gram és una mil·lèsima de quilo.

16 Arrodoneix a les centèsimes.

a) 0,574 d) 3,0051

b) 1,278 e) 8,0417

c) 5,099 f ) 2,998

17 Aproxima als decilitres la capacitat d’una botella.

4L 4 : 3 = 1,3333…

5,000 kg

19 Copia les frases i completa-les.

! El valor 3,5777… = 3, 57 s’ha arrodonit a 3,6. ! 3, 57 3,5 3,6 L’error de l’arredoniment és menor que cinc… 91

Suma, resta i multiplicació de nombres decimals Ja coneixes la suma, la resta i la multiplicació de decimals. Per això, ens limitarem a repassar-ho incorporant el maneig dels nombres negatius.

Suma i resta PROBLEMA RESOLT

Per sumar o restar nombres decimals: • Es col·loquen en columna fent correspondre les comes. • S e sumen (o es resten) unitats amb unitats, dècimes amb dècimes, etcètera.

Al depòsit de fred d’una granja, que estava buit, hi han abocat dues gerres de llet, amb 12,35 litres i 7,65 litres. Després, se n’han extret dos bidons per fer formatge, un de 8,9 litres i un altre de 5,45 litres. Quants de litres queden al depòsit? n’hi entren en surten 12,35 8,9 + 7,65 + 5,45 20,00 14,35 ?L 12,35 L n’hi queden 7,65 L 8,9 L 5,45 L 20,00 – 14,35 (12,35 + 7,65) – (8,9 + 5,45) = 20 – 14,35 = 5,65 5,65 Solució: Al depòsit queden 5,65 litres de llet.

Multiplicació PROBLEMA RESOLT

Per multiplicar nombres decimals: • Es multipliquen com si fossin enters.

Si una hora d’aparcament costa 2,50 €, quant pagarem per una estada de tres hores i quart (3,25 h)?

•E s col·loca la coma en el producte, apartant tantes xifres decimals com les que reuneixin entre tots els factors.

3, 2 5 ← 2 xifres decimals × 2, 5 ← 1 xifra decimal 1 6 2 5 ⏐ 6 5 0 ↓ 8, 1 2 5 ← 2 + 1 = 3 xifres decimals arrodoniment Solució: 8,125 € ⎯⎯⎯⎯⎯→ 8,13 € pagarem per l’estada.

anayaeducacion.es

➜

Practica la multiplicació de nombres decimales.

Multiplicació per 10, 100, 1 000… Recorda que per multiplicar un nombre decimal per 10, per 100, per 1 000… només s’ha de moure la coma cap a la dreta un, dos, tres... llocs. |Exemple es fotocòpi

at ,04 € unit ................. 0 at D’1 a 10 ..... n ,025 € u it ................. 0 0 10 a 1 ’1 D € unitat ....... 0,019 ... ... 0 10 e Més d

Tenint en compte els preus que anuncia el cartell de l’esquerra, calculam: • Cost de 10 fotocòpies → 0,04 · 10 = 0,40 € • Cost de 100 fotocòpies → 0,025 · 100 = 2,50 € • Cost de 1 000 fotocòpies → 0,019 · 1 000 = 19,00 €

U5 PER FIXAR IDEES

1 Fes aquests càlculs mentalment:

a) 1 – 0,4 d) 0,75 – 0,5

Ajudes

b) 1,5 – 0,6 e) 1,25 – 0,75

c) 2,1 – 0,2 f ) 2 – 1,25

1 Imagina-t’ho en una recta. 0,8

2 Observa les operacions, copia-les i completa-les al teu quadern.

a) 1,5 – 1 = 0,5 → 1 – 1,5 = … b) 1 – 0,75 = 0,25 → 0,75 – 1 = … c) 2,2 – 0,4 = 1,8 → 0,4 – 2,2 = …

0,5

0,8 – 0,5 = 0,3 2 0,5 – 0,3 = 0,2 → 0,3 – 0,5 = –0,2 3 Aplica la regla dels signes:

3 Fes els càlculs.

a) (–0,3) · 4 c) (–0,1) · 0,4

• (–0,5) · 3 = –1,5

b) 0,8 · (–2) d) (–0,2) · (–0,3)

• (–0,3) · (–0,4) = +0,12

PER PRACTICAR

1 Fes aquests càlculs mentalment.

a) 0,8 + 0,4 d) 1 – 0,3

b) 1,2 + 1,8 e) 2,4 – 0,6

8 Fes els càlculs amb llapis i paper.

c) 3,25 + 1,75 f ) 2,5 – 0,75

2 Recorda les operacions amb nombres positius i negatius

i fes els càlculs mentalment. a) 0,4 – 0,6 b) 0,9 – 1,6 d) 1,2 – 1,5 e) 0,5 – 0,75

c) 0,25 – 1 f ) 2 – 1,95

3 Afegeix tres termes a aquestes sèries:

a) 0,25 - 0,50 - 0,75 - … b) 8,25 - 8,2 - 8,15 - 8,1 - … a) 17,28 – 12,54 – 4,665 b) 17,28 – (12,54 – 4,665) c) 12,4 – 18,365 + 7,62 d) 12,4 – (18,365 + 7,62) 5 Copia les operacions al teu quadern i col·loca la coma

decimal que falta a cada producte. a) 2,7 · 1,5 → 405 b) 3,8 · 12 → 456 c) 0,3 · 0,02 → 0006 d) 11,7 · 0,45 → 5265

6 Fes les multiplicacions.

b) 35,29 · 10 e) 6,24 · 100

c) 4,7 · 1 000 f ) 0,475 · (–10)

7 Fes aquestes multiplicacions.

a) (–2) · 0,7 c) 0,6 · (–3) e) (–0,2) · (–0,8)

b) 2,6 · 5,8 e) 4,03 · 2,7

c) 27,5 · 10,4 f ) 5,14 · 0,08

9 Opera com en l’exemple.

• 5,6 – 2,1 · (0,5 – 1,2) = 5,6 – 2,1 · (–0,7) = = 5,6 + 1,47 = 7,07 a) 8,3 + 0,5 · (3 – 4,2) b) 3,5 – 0,2 · (2,6 – 1,8) c) (5,2 – 6,8) · (3,6 – 4,1) d) (1,5 – 2,25) · (3,6 – 2,8) 10 Vertader o fals?

4 Resol les operacions al teu quadern.

a) 3,26 · 100 d) 9,48 · 1 000

a) 3,25 · 16 d) 3,70 · 1,20

b) (–0.5) · 4 d) 0,2 · (–10) f ) (–4) · (–0,25)

a) En multiplicar un nombre per 0,8, augmenta el seu valor. b) El resultat de multiplicar un nombre per 1,1 és major que el nombre original. c) Per multiplicar per 100, es desplaça la coma dos llocs a la dreta. d) Desplaçar la coma un lloc cap a l’esquerra equival a multiplicar per deu. 11 A la carrera dels 200 metres llisos, en Jon Dalton ha in-

vertit vint-i-dos segons i tres dècimes, i en Bobi Garcia, vint-i-tres segons i catorze centèsimes. Quin temps ha tret en Jon a en Bobi?

12 A la ferreteria es ven el cable blanc a 0,80 € el metre,

i el negre, més gruixat, a 2,25 € el metre. Quant pagarem per 3,5 m del blanc i 2,25 m del negre?

13 Quantes botelles de suc, de mig litre, es necessiten en

un menjador escolar, amb 65 comensals, si se’n donàs a cada un un tassó de 15 centilitres? 93

Divisió de nombres decimals Ara profunditzaràs en el que saps sobre la divisió de nombres decimals. Començarem amb les divisions de divisor enter.

Divisor enter. Aproximació del quocient Repassarem la forma d’obtenir les xifres decimals del quocient fins a aconseguir l’aproximació desitjada. PROBLEMES RESOLTS

Per obtenir el quocient decimal: • En baixar la xifra de les dècimes del dividend, es posa la coma decimal en el quocient i es continua la divisió. • S i no hi ha suficients xifres decimals en el dividend, s’hi afegeixen els zeros necessaris per aconseguir l’aproximació desitjada. anayaeducacion.es

➜

Practica la divisió de nombres decimals.

1. Volem repartir un bidó de 15 litres d’oli en quatre garrafes iguals. Quants de litres posarem a cada garrafa? 15 3

4 3

→ El quocient enter deixa un residu de 3 unitats.

4 1 5, 0 Transformam les tres unitats del residu en 30 dècimes 3 0 3,7 → i les dividim entre 4. Per a això, posam la coma en el quocient. Sobren 2 dècimes. 2 4 1 5, 0 Continuam la divisió transformant les 2 dècimes en 3 0 3,75 → 20 centèsimes. 20 0 Solució: Posarem 3,75 litres a cada garrafa. 2. La senyora Emília compra un formatge d’un quilo i set-cents vint-i-cinc grams per repartir-lo amb les seves dues germanes. Quina quantitat de formatge tocarà a cada una? 1, 725

3 0

→ 1, 725 2

3 0,5

→ 1, 725 22 15 0

3 0,575

Solució: Cada germana s’endurà 0,575 kg de formatge (575 grams).

Divisió entre 10, 100, 1 000… Recorda que per dividir un nombre entre 10, entre 100, entre 1 000… només s’ha de moure la coma cap a l’esquerra un, dos, tres... llocs. |Exemple Tenint en compte el pes del paquet de 500 folis, calculam: • Pes de 100 folis → 2 331 : 5 = 466,2 grams • Pes de 10 folis → 466,2 : 10 = 46,62 grams • Pes d’1 foli → 466,2 : 100 = 4,662 grams

2 331 grams

Per dividir un nombre decimal entre la unitat seguida de zeros, es desplaça la coma cap a l’esquerra tants llocs com zeros acompanyen la unitat.

Divisió amb nombres decimals en el divisor Fins ara no hem abordat divisions amb xifres decimals en el divisor. Per resoldre-les, ens ajudarem d’una propietat que ja coneixes i que ara convé recordar. ❚ una propietat important de la divisió

Compara els exemples següents:

TEN-HO EN COMPTE

Si la divisió és entera, en multiplicar el dividend i el divisor pel mateix nombre, el residu queda multiplicat per aquest nombre. · 10

13 1

2 130 6 10 · 10

20 6

|Exemples • Si envasam 15 quilos de cireres en 3 caixes, en posam 5 quilos en cada caixa. 15 3 0 5

• Si envasam 150 quilos de cireres en 30 caixes, en posam 5 quilos en cada caixa. 150 30 00 5

Observa que en multiplicar per 10 el nombre de quilos (dividend) i el nombre de caixes (divisor), el resultat no varia. Propietat de la divisió: En multiplicar el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia. ❚ procediment per eliminar les xifres decimals del divisor

Quan el divisor és un nombre decimal, utilitzam la propietat anterior per canviar la divisió per una altra amb el mateix resultat i el divisor enter. |Exemple El cambrer umpl una gerra amb 0,6 litres de llet i a cada cafè posa, de mitjana, 0,04 litres. Quants de cafès podrà atendre amb el contingut de la gerra? 0,6 0,04 ⎯→ Multiplicam el dividend i el divisor per 100. Segons la propietat anterior, el quocient no varia. · 100

· 100

60 4 ⎯→ El divisor és ara un nombre enter. Ja podem fer la divisió. 20 15 0 Solució: Podrà posar 60 : 4 = 15 tasses de café. Quan hi ha decimals en el divisor: • Es multipliquen el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros

com xifres decimals hi hagi en el divisor.

• Així, la divisió es transforma en una altra de divisor enter. El quocient no varia. EXERCICI RESOLT

Obtén el quocient de les divisions següents: · 10

21 : 16,8 210 0420 0840 000

168 1,25

· 10

· 10 000

0,3 : 0,0025 3000 50 00

· 10 000

25 120

3 Divisió de nombres decimals PER FIXAR IDEES

1 Fes els càlculs arrodonint el quocient a les dècimes.

Exemples

a) 10 : 3

b) 16 : 9

c) 25 : 7

d) 9,2 : 8

e) 15,9 : 12

f ) 45,52 : 17

1 Observa.

7 18 arrodoniment 40 2,57 ⎯⎯⎯⎯→ 2,6 50 1

2 Calcula el quocient amb dues xifres decimals.

a) 3 : 4

b) 3 : 7

c) 30 : 8

d) 2 : 9

e) 6 : 11

f ) 5 : 26

3 Per dividir 7,158 : 0,03 multipli-

3 Copia i completa cada divisió al teu quadern.

18 : 2,4

· 10

… … …

· 10

2,7 : 0,075

· 1 000

24 7,5

2700 … …

· 1 000

… …

cam per 100. 7,158 : 0,03 · 100

· 100

715,8 : 3

PER PRACTICAR

1 Fes les divisions mentalment.

a) 1 : 2 d) 1 : 4 g) 1,2 : 2

b) 5 : 2 e) 2 : 4 h) 1,2 : 3

7 Fes aquests càlculs.

c) 7 : 2 f) 5 : 4 i) 1,2 : 4

2 Fes els càlculs amb dues xifres decimals, si n’hi ha.

a) 28 : 5 d) 47 : 3

b) 53 : 4 e) 6,2 : 5

c) 35 : 8 f ) 12,5 : 4

b) 8 : 100 e) 5,7 : 100

c) 2 : 1 000 f ) 2,8 : 1 000

3 Fes aquestes division

a) 5 : 10 d) 3,6 : 10

4 Fes els càlculs amb tres xifres decimals, si n’hi ha.

a) 0,9 : 5 d) 1,2 : 7

b) 0,5 : 4 e) 0,08 : 2

c) 0,3 : 9 f ) 0,02 : 5

5 Copia les divisions al teu quadern i completa-les.

a) 8 : 0,9 = … : 9 c) 2 : 1,37 = … : 137

b) 15 : 0,35 = … : 35 d) 7 : 0,009 = … : 9

6 Substitueix cada divisió per una altra equivalent sense

decimals en el divisor i calcula’n el quocient. a) 32 : 0,8 b) 6 : 0,7 c) 1,82 : 0,7 d) 18 : 0,24 e) 0,72 : 0,06 f ) 1,52 : 0,24 g) 7 : 0,05 h) 0,2 : 0,025 i) 11,1 : 0,444

a) 0,4 : 0,84 d) 2 : 5,4

b) 0,7 : 1,4 e) 3,2 : 8,36

c) 0,8 : 1,25 f ) 3,654 : 6,3

8 Tres llaunes de refresc fan un litre. Expressa en litres la

capacitat d’una llauna.

9 Una empresa de manteniment de carreteres es com-

promet a senyalitzar 15 quilòmetres d’una nova autopista en vuit dies. Quants de quilòmetres ha de senyalitzar de mitjana cada dia?

10 Quantes files de caixes de 0,2 m × 0,2 m × 0,2 m es po-

den apilar en un contenidor d’1,85 m d’alçària? Quin forat quedaria entre la darrera caixa i el sostre del contenidor?

11 Una dosi d’una certa vacuna conté 0,25 mil·lilitres

(0,00025 litres) de principi actiu. Quantes dosis se n’obtindran d’un litre de principi actiu?

COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

12 Un grifó que goteja ha omplit un tassó de 0,2 litres en

10 minuts. Si per recollir el degoteig posam un poal de 12,5 litres, quant tardarà l’aigua a fer vessar el poal?

Arrel quadrada i nombres decimals El concepte d’arrel quadrada, que ja coneixes, s’aplica de la mateixa forma en els nombres decimals. a = b ↔ b 2 = a

0, 81 = 0,9 ↔ (0,9)2 = 0,81

No obstant això, la majoria dels nombres no tenen arrel exacta; en aquest cas, treballarem amb aproximacions. 2 " 2 2 = 4 < 7, 5 7, 5 = * 3 " 3 2 = 9 > 7, 5

2, 7 " 2, 7 2 = 7, 29 < 7, 5 7, 5 = * 2, 8 " 2, 8 2 = 7, 84 > 7, 5

7, 5 = 2, …

7, 5 = 2, 7…

L’arrel quadrada a la calculadora El càlcul de les aproximacions per tempteig és lent i molest, i per això se sol recórrer a la calculadora. 7, 5 → 7 . 5 $ → {“…|«°\‘“|} Normalment, no és necessari prendre totes les xifres decimals que ofereix la màquina, i per això s’arrodoneix a un determinat ordre d’unitats. 2, 7 " Arrodoniment a les dècimes 7, 5 = * 2, 74 " Arrodoniment a les centèsimes

Càlcul amb llapis i paper Recorda l’algoritme que vares aprendre a la unitat 2 per al càlcul de l’arrel quadrada de nombres naturals. Amb els nombres decimals has d’actuar de la mateixa forma, tenint en compte que les xifres se separen de dues en dues, a la dreta i a l’esquerra de la coma. |Exemple √ 7 , 50 2 – 4 3

√ 7 , 50 2,7 – 4 47 · 7 = 329 3 50 –3 29 21

√ 7 , 50 00 2,73 – 4 47 · 7 = 329 3 50 543 · 3 = 1 629 –3 29 21 00 –16 29 71

El procés pot continuar, afegint parelles de zeros en el radicand, fins a aconseguir l’aproximació desitjada. PER PRACTICAR

1 Fes aquests càlculs mentalment.

2 Aproxima-ho a les dècimes i a les centèsimes.

a) 0, 01

b) 0, 09

c) 0, 25

a) 58

b) 7, 2

c) 0, 5

d) 0, 64

e) 0, 0001

f ) 0, 0049

d) 14

e) 8, 5

f ) 0, 03 97

Exercicis i problemes DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

El sistema de numeració decimal

Escriu com es llegeixen: a) 13,4 b) 0,23 d) 0,0017 e) 0,0006

c) 0,145 f ) 0,000148

Escriu amb xifres: a) Huit unitats i sis dècimes. b) Tres centèsimes. c) Dues unitats i cinquanta-tres mil·lèsimes. d) Dues-centes tretze centmil·lèsimes. e) Cent vuitanta milionèsimes. Expressa en dècimes: a) 6 desenes. c) 200 centèsimes.

b) 27 unitats. d) 800 mil·lèsimes.

Multiplicació i divisió 12

Fes les multiplicacions i les divisions mentalment. a) 0,12 · 10 b) 0,12 : 10 c) 0,002 · 100 d) 0,002 : 100 e) 0,125 · 1 000 f ) 0,125 : 1 000

Fes aquestes multiplicacions. a) 0,6 · 0,4 b) 0,03 · 0,005 c) 1,3 · 0,08 d) 15 · 0,007 e) 2,65 · 1,24 f ) 0,25 · 0,16

Fes els càlculs amb dues xifres decimals, si n’hi ha. a) 0,8 : 0,3 b) 1,9 : 0,04 c) 5,27 : 3,2 d) 0,024 : 0,015 e) 2,385 : 6,9 f ) 4,6 : 0,123

Fes les multiplicacions. Què hi observes? a) 6 · 0,5 b) 10 · 0,5 c) 22 · 0,5 d) 0,8 · 0,5 e) 1,4 · 0,5 f ) 4,2 · 0,5

Fes les divisions. Què hi observes? a) 3 : 0,5 b) 5 : 0,5 c) 11 : 0,5 d) 0,4 : 0,5 e) 0,7 : 0,5 f ) 2,1 : 0,5

Ordre. Representació. arrodoniment

Ordena-ho de menor a major en cada cas. ! 1, 39 a) 1,4 1,390 1,399 1,41 b) – 0,6 0,9 – 0,8 2,07 –1,03 Aproxima, en cada cas, a les unitats, a les dècimes i a les centèsimes. a) 2,499 b) 1,992 c) 0,999 Indica el valor de cada lletra: 7

7,2

Intercala un nombre decimal entre: a) 3 i 4 b) 2,3 i 2,4 c) 3,25 i 3,26

Intercala, a intervals iguals, tres nombres entre: a) 0 i 1 b) 7 i 8 c) 15 i 16

Operacions combinades

4,8 + 1,3 – 1,8 3 + 1,3 4,3 4,8 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1 = 4,8 + 1,3 – 1,8 = = 3 + 1,3 = 4,3

Suma i resta

Fes aquests càlculs mentalment. a) Quant falta a 4,7 per valdre 5? b) Quant falta a 1,95 per valdre 2? c) Quant falta a 7,999 per arribar a 8? Realitza aquestes operacions: a) 13,04 + 6,528 b) 2,75 + 6,028 + 0,157 c) 4,32 + 0,185 – 1,03 d) 6 – 2,48 – 1,263

EXERCICI RESOLT

4,8 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1

Operacions

Opera les expressions següents: a) 5 – (0,8 + 0,6) b) (3,21 + 2,4) – (2,8 – 1,75) c) 2,7 – (1,6 – 0,85) d) (5,2 – 3,17) – (0,48 + 0,6)

Fes les operacions ajudant-te del càlcul mental. a) 5,6 – 0,8 : 0,5 + 6,2 · 0,5 b) 0,62 : 0,1 – 4,3 – 12 · 0,1 c) 15 · 0,5 + 0,5 : 0,2 – 9,8 d) 5,5 · 0,2 + 1,1 + 0,66 : 0,6

Arrel quadrada

Fes aquests càlculs mentalment.

0,7

a) 0, 04

b) 0, 16

c) 0, 36

d) 0, 0009

e) 0, 0025

f ) 0, 0081

b) 217

c) 2 829

d) 42

e) 230

f ) 1425

ENTRENA’T I PRACTICA 21

Copia i completa-ho al quadern. a) 8 U = 80 d = … c = … m b) … U = … d = 30 c = … m c) … U = … d = … c = 1 700 m d

Fes les multiplicacions mentalment. a) 18 · 0,1 b) 15 · 0,01 c) 400 · 0,001 d) 5 · 0,2 e) 200 · 0,02 f ) 3 000 · 0,002 g) 20 · 0,5 h) 20 · 0,05 i) 2 000 · 0,005

Fes les divisions mentalment. a) 7 : 0,1 b) 9 : 0,01 d) 2 : 0,2 e) 6 : 0,02 g) 1 : 0,5 h) 1 : 0,05

El nombre que veus a la taula és igual a… a) … dècimes. b) … centèsimes. c) … mil·lèsimes. d) … milionèsimes. 23

Fes els càlculs, observa els resultats i respon: a) 200 · 0,1 30 · 0,1 8 · 0,1 Què li ocorre a un nombre en multiplicar-lo per 0,1? b) 7 : 0,1 35 : 0,1 0,5 : 0,1 Què li ocorre a un nombre en dividir-lo entre 0,1?

Observa i completa-ho al quadern. U,

Escriu amb xifres. a) Mitja unitat. c) Mitja centèsima. B

b) Mitja dècima. d) Un quart d’unitat.

M R

2,3 5,28

6,5

O 5,29

P 2,4 T

c) 8 : 0,001 f ) 10 : 0,002 i) 1 : 0,005

EXERCICI RESOLT

3,25 · 2,4 – 1,5 · (2,1 – 3,9) = 7,8 – 1,5 · (–1,8) = = 7,8 + 2,7 = 10,5 3,25 3,9 1,5 7,8 × 2,4 – 2,1 × 1,8 + 2,7 1300 1,8 120 10,5 650 15 7,800 2,70

Associa un nombre a cada lletra. A

0,8

Resol les operacions amb la calculadora i aproxima els resultats a les centèsimes. a) 13

Escriu els nombres que divideixen l’interval 0,7-0,8 en cinc parts iguals.

Fes aquests càlculs. a) 1,9 + 2 · (1,3 – 2,2) b) 0,36 – 1,3 · (0,18 + 0,02) c) 2,5 – 1,25 · (2,57 – 0,97) d) 6,5 · 0,2 – 0,4 : (2,705 – 3,105) e) 12 : 6,4 – 2 · (1 : 8) f ) – (3,5 · 1,2) : 2,1 + (0,865 – 3) g) (–5,33 + 1,79) · 3 – (8,75 : 0,5)

Observa l’exemple i resol les operacions amb la calculadora. • 1,42 – 2,4 · (2,15 – 1,6) ⇒ ⇒ 2,15 - 1,6 = * 2,4 µ 1,42 ≤ Ñ ⇒ {∫∫≠Ÿ‘} 1,42 – 2,4 · (2,15 – 1,6) = 0,1 a) 2,755 – 0,5 · (1,69 – 0,38) b) 2,3 · (6,07 – 3,77) – 0,45

Q V

Intercala un nombre decimal entre: a) 0,5 i 0,6 b) 1,1 i 1,2 c) 0,24 i 0,25 d) 6,16 i 6,17 e) 1 i 1,1 f ) 3 i 3,01

Calcula, copia i completa-ho al quadern. a) 4,75 – … = 1,86 b) … + 12,44 = 15,33 c) 11,09 + … = 13,98 d) … – 1,27 = 1,62

Copia i completa-ho al quadern. a) 72 : … = 7,2 b) 3,8 : … = 0,038 c) … : 1 000 = 0,05 d) … : 100 = 2,3

Exercicis i problemes RESOL PROBLEMES SENZILLS

N’Adela fa 1,67 m i el seu germà petit, un metre i nou centímetres. Quant li treu n’Adela al seu germà?

En Bernat compra un retolador, un llapis i una goma. Si paga amb dues monedes de 2 euros, quant li tornen? 2 € i 8 cèntims

60 cèntims

Fes primer: Amb un depòsit que contenia 28 litres d’aigua s’han omplit quatre bidons de 5 litres. Quanta aigua queda al depòsit? COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

En una ciutat de 100 000 habitants, cada casaalberga, de mitjana, 2,44 persones. Quantes cases hi ha a la ciutat? (Aproxima’n el resultat als milers).

Un aparcament cobra 0,50 € per entrar, més 0,012 € per minut. Quant pagarà una persona que hi ha aparcat durant una hora i tretze minuts?

Un depòsit té una capacitat de 19,35 metres cúbics i s’abasteix d’un pou connectat a una bomba que aporta un cabal de 4,3 litres per segon. Quan tarda a omplir-se el depòsit, si la bomba es connecta quan està buit?

0,85 €

37 38

Una capsa conté 80 bossetes de te de 3,125 grams. Quants de grams de te conté la capsa? PROBLEMA RESOLT

Resol un problema similar, amb dades més senzilles.

Amb una gerra que contenia 2,8 litres d’aigua s’han omplit quatre tassons de 45 centilitres. Quanta aigua queda a la gerra?

Un paquet de te pesa 150 grams. Quants de paquets duu una comanda si el contingut de la caixa pesa tres quilos i sis-cents grams?

Recorda que un metre cúbic equival a 1 000 litres COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

• Proposam un altre problema similar, amb dades més senzilles: Un paquet de te pesa 0,5 kg. Quants de paquets duu una comanda si el contingut de la caixa pesa tres quilos? Dividim el pes de la caixa entre el pes d’un paquet de te: 3 : 0,5 = 6 paquets Solució: La caixa duu 6 paquets. • Resol de la mateixa forma el problema original. 39

100

El grifó del jardí goteja i el poal que té davall ha recollit 1,5 litres d’aigua en 2 hores. Quant perd en un minut? Expressa’n el resultat en litres i en mil·lilitres.

Na Rosa i en Xavier compren al supermercat: — Cinc litres de llet a 1,05 € el litre. — Una bossa de bacallà de 0,92 kg a 13,25 €/kg. — Un paquet de galetes que costa 2,85 €. — Un quart de quilo de cuixot a 38,40 €/kg. Quant paguen a caixa per la compra?

Amb 15 quilos de mel s’han omplit 25 pots. Quin és el pes de cada pot, tenint en compte que el casc i la tapa pesen 120 grams?

En Gustau avança 67 cm amb cada passa. Quantes passes¬ fa per anar des de ca seva a l’escola, que està a 1 km i 340 m? Fes primer: en Gustau avança 0,5 m amb cada passa. Quantes de passes fa per anar des de ca seva a l’escola, que està a 400 metres?

Na Marta compra al forn tres croissants que li costen 4,05 €. El client que entra després demana quatre croissants i els paga amb un bitllet de 10 €. Quant li tornen?

Fes primer: Amb 10 quilos de mel han omplit 20 pots. Quant pesa cada pot si el casc i la tapa pesen 0,2 quilos? 48

Amb una botella de suc de taronja de 0,75 litres, hem omplit dos tassons de 25 centilitres. Quant de suc queda a la botella?

PARA PENSAR UN POCO MÁS

Un cotxe avança 2,68 metres per cada volta que dona la roda. Quantes voltes farà en el trajecte de 620 quilòmetres entre Madrid i Barcelona? (Aproxima el resultat a les centenes).

El cistell del forner, buit, pesa 8,5 kg; i carregat amb barres de pa de 250 grams pesa 18,750 kg. Quantes barres hi ha al cistell?

En una cafeteria, n’Aina, n’Asier, en Toni i na Montse prenen un panet cada un. Els de n ’Aina, n’Asier i en Toni són iguals, però el de na Montse és de cuixot ibèric i costa 1,80 € més. Si en total paguen 14,60 €, quant costava el panet de na Montse?

2,25 €

Quantes posts de 0,8 m de longitud i 0,25 m d’amplada pot obtenir una fusteria, tallant un tauló de 2,40 m × 1,75 m?

Es vol tancar la finca que apareix a la figura amb una tanca de filferro que es ven en rotllos de 5 metres, a 12,99 € el rotllo. Quin serà el pressupost de la tanca? 9,85 m 5,75 m 19,95 m 28,2 m

Una empresa de productes lactis ven els iogurts a 1,20 € la unitat. D’aquesta quantitat, la tercera part correspon a l’envàs; la meitat, a costs de producció, comercialització i guanys, i la resta, al contingut. Quant costa el contingut?

De les 42 tones de raïm que ha recol·lectat un viticultor, un de cada cinc quilos és de raïm de taula, i la resta, per fer vi. Si són necessaris 1,25 quilos de raïm per obtenir un litre de vi, quant de vi sortirà del celler en aquesta campanya?

Després de consultar amb el dietista, el senyor Honorat s’ha posat a règim. A la taula ha recollit els resultats de la bàscula presos el primer dia de cadascun dels sis darrers mesos:

Un celler compra una partida de 30 000 litres de vi per 72 000 € i els envasa en botelles de 75 centilitres. Les botelles, buides, li surten a 14 € la centena, i els suros, a 10 € el miler. A quant ha de vendre la botella per obtenir 54 000 € de beneficis?

Les taules següents recullen els tirs a cistella i els encerts aconseguits per dues jugadores en els cinc darrers partits.

91,38

90,16

88,815 87,801

5é

6é

86,9

86,15

a) En quin mes s’ha aprimat més? b) Quant ha perdut al mes, de mitjana, en aquest període? 56

50 ud.

Què surt més car, un clip o una xinxeta?

Recorda que un metre cúbic equival a 1 000 litres. 54

1,13 €

100 ud.

Meta 6.1. L’aigua és un recurs escàs. Suposa que tardes 5 minuts a dutxar-te i que el grifó, completament obert, aboca 0,4 litres cada segon. Quantes vegades et deus haver dutxat aquest mes si es calcula que has fet una despesa d’aigua de 40 hectolitres? Què faries per reduir aquest consum a la meitat? Quant tardarà una bomba que mou un cabal de 0,4 litres per segon a buidar una bassa que conté 7,2 hectolitres?

Na Larisa compra una caixa de 100 clips de colors i una altra de 50 xinxetes d’acer.

A la papereria venen els bolígrafs a 1,65 € i els retoladors a 2,40 €. Quants de bolígrafs podré comprar si m’enduc dos retoladors i no vull gastar més de 10 €? Quants de doblers em sobraran?

Jugadora A

5é

tirs

encerts

Jugadora B

5é

tirs

encerts

Quina de les dues jugadores creus que té el tir més segur? Justifica la resposta. 101

Taller de matemàtiques LLEGEIX I REFLEXIONA Tipus de decimals Ja saps que, a més dels decimals exactes com 2,50, n’hi ha uns altres amb xifres decimals que continuen i continuen, i no acaben mai. Per exemple, si un # marxador recorre 111 metres en 99 passes, amb cada passa avança 1,121212… = 1,12 metres. És un decimal periòdic, el seu valor no es completa mai. Per moltes xifres que hi posis, sempre n’hi ha més. A més, hi ha altres decimals amb infinites xifres però que no es repeteixen cíclicament, com els anteriors. És a dir, són no exactes i no periòdics. Com a exemple, ens en podem inventar un: 0,123456789101112131415… • Quines serien les tres xifres següents?

INVESTIGA

1:9

0,11111…

2:9

0,22222…

)

a) Completa diverses files d’aquesta taula emprant la calculadora: 0,1

3:9

b) Ara, divideix entre 9 diversos nombres d’aquesta sèrie: 1 - 10 - 19 - 28 - 37 - … • Què tenen en comú aquests nombres? • Què tenen en comú els quocients? c) Fes el mateix amb els nombres d’aquestes sèries: 2 - 11 - 20 - 29 - 38 - … 3 - 12 - 21 - 30 - 39 - … 4 - 13 - 22 - 31 - 40 - … • Què hi observes? • Quins nombres has de dividir per obtenir 4,555…?

DE LÓGICA Tres motoristes, en Robert Vermell, en Bartomeu Blanc i na Greta Grisa, es disposen a sortir de passeig: — Vos hi heu fixat —diu en Robert— que una de les nostres motos és vermella, l’altra blanca i l’altra grisa, però que en cap cas el color coincideix amb el llinatge del pilot? — No m’hi havia fixat —diu el de la moto blanca—, però tens raó. De quin color és cada moto? 102

rober vermell bartomeu blanc greta grisa

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Escriu com es llegeixen les quantitats següents:

6 Ordena els nombres de menor a major i representa’ls a la

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

recta.

0,004 mm

2,07 - 2,27 - 2,71 - 2,7 - 2,17

7 Fes els càlculs. 1,025 kg

16,99 s

a) 4,2 – 0,2 · 5 – 0,6 c) (4,2 – 0,2) · 5 – 0,6

0,000004 m

2 Escriu amb xifres:

b) 4,2 – 0,2 · (5 – 0,6) d) 4,2 – (0,2 · 5 – 0,6)

8 Fes els càlculs amb dues xifres decimals.

a) Vint-i-vuit mil·lèsimes. b) Dues unitats i set centèsimes. c) Cent trenta-dues deumil·lèsimes. d) Nou milionèsimes.

a) 7 : 13 9

3 Pensa i contesta les preguntes.

a) Quantes mil·lèsimes fan una dècima? b) Quantes milionèsimes hi ha en una mil·lèsima? 4 Observa i escriu…

a) … la longitud d’un llistó més llarg que el llistó A i més curt que el llistó B. A

2,25 m

b) 54,5 : 12

c) 8,34 : 15,25

Per fer un regal a na Rosa, hem de posar 33 € entre 10 amics. Per fer un regal a ma mare, hem de posar 10 € entre els 3 fills. Quin dels dos regals em surt més car?

10 El meló es ven a 1,75 €/kg. Quant costarà un meló de

2,800 quilos?

En Manel fa feina de forma eventual, en una botiga, embolicant paquets de regal. Per cada paquet li donen vuitanta cèntims. Ahir va fer 30 paquets. Quant va guanyar?

12 Un senderista inicia una travessia que, segons el llibre de

rutes, fa 9,36 km. Quant tarda a recórrer-la si camina a una velocitat mitjana d’1,2 metres per segon?

2,26 m

b) … el pes d’una pruna més pesada que la vermella i menys pesada que la verda. REFLEXIONA

5 Aquestes són tres ofertes que presenta avui el super-

mercat:

1€

a) A quant surt la unitat en cada lot? b) Arrodoneix les quantitats obtengudes als cèntims.

Fins ara has delimitat la teva investigació, plantejat els instruments de recollida d’informació i registrat les dades. Ja podràs segurament anticipar alguns aspectes o conclusions principals que es poden extreure del procés, però encara ens queden aspectes rellevants que tractar i que veurem a la unitat didàctica següent. Ara revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que s’hi detecten. Descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup. POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa a anayaeducación.es.

103

6 Les fraccions A l’antic Egipte, al segle xviii aC, manejaven les fraccions d’una forma molt curiosa; només admetien aquelles de numerador 1 (fraccions unitàries): 1 2

1 3

…

1 7

…

1 10

…

1 100

Les fraccions es varen usar per respondre a la necessitat de mesurar o de repartir. Per exemple, en el papir de Rhind (s. xvi aC), el primer tractat de matemàtiques que es conserva, es va trobar un problema que divideix 4 pans entre 7 persones. Com ho expressaven? En lloc de donar el resultat com

4 , posaven: 7

1 1 + 14 2 Expressaven totes les fraccions com a suma de fraccions unitàries diferents! Aquesta exigència feia que el maneig de les fraccions fos una tasca complicadíssima, per la qual cosa s’havien d’ajudar d’unes taules llargues i enrevessades. Per estrany que ens paregui, aquesta manera de tractar les fraccions no només va ser imitada pels grecs, sinó que fins i tot va arribar a l’Europa del segle xiii, tres mil anys més tard, on la varen simultaniejar amb l’ús de fraccions ordinàries.

104

100

1 7

1 10

1 100

Amb el que ja saps, resol el problema Reprenguem el problema egipci que apareix a la pàgina anterior. La manera egípcia de presentar la solució segurament responia a la manera de fer el repartiment: • Es xapen els pans per la meitat. Cada una de les set persones agafa mig pa i en sobra mig. • El mig pa sobrant es divideix en set parts i cada persona se n’enduu una.

1. Quina fracció de pa suposa cada una d’aquestes darreres parts?

2. Expressa amb una suma de fraccions els dos trossos de pa que s’enduu cada una de les set persones participants en el repartiment dels quatre pans.

A nosaltres ens sembla més senzill fer el repartiment dividint cada pa en set parts i donant a cada un quatre d’aquestes parts.

3. Quina fracció de pa toca a cada persona?

4. Tradueix a fraccions la sèrie d’igualtats que veus en el gràfic i comprova que, en les dues formes de repartiment, cada persona obté la mateixa quantitat de pa. →

1 1 7 1 + = + =… 14 14 14 2

T’ANIMES A FER-HO TU? Pots imaginar altres repartiments similars, resoldre’ls pels dos mètodes anteriors i comparar-ne els resultats.

105

El significat de les fraccions Una fracció es pot contemplar com una part de la unitat, com un operador o com una divisió. Vejamm cada un d’aquests conceptes amb més detall.

RECORDA-HO

• Una fracció amb el numerador menor que el denominador és una fracció pròpia. 3 — 5

Les fraccions expressen parts de la unitat Un tot es pren com a unitat i es divideix en porcions iguals. Una fracció indica una determinada quantitat d’aquestes porcions. unitat unitat unitat

3 —

0 fracció5 amb el 1 numerador igual • Una 7una o major que el denominador és — 0 1 5 fracció impròpia. 0

7 — 5

• Una fracció major que la unitat es pot expressar amb un nombre enter més una fracció (nombre mixt). 7 = 5 + 2 =1+ 2 5 5 5 5

2 → 1 → 4 → — — — Dos cinquens Un sisè Quatre dotzens 5 6 12 Una fracció pot representar una quantitat menor, igual o major que una unitat. Observa: 1 <1 — 4

4 =1 — 4

5 >1 — 4

Les fraccions són operadors

anayaeducacion.es

➜

Practica el concepte de fracció. anayaeducacion.es

➜

Practica amb les fraccions com operadors.

Una fracció és un nombre que opera una quantitat i la transforma. Per exemple, si el bidó té una capacitat de 20 litres: Z ] 1 de 20 = 20 : 5 = 4 4 2 Al bidó hi ha de 20 litres. [ 5 4 5 ] 2 de 20 = 4 · 2 = 8 20 L 4 \5 4 2 de 20 litres = (20 : 5) · 2 = 8 litres 4 5 Per calcular la fracció d’un nombre, es divideix el nombre entre el denominador, i el resultat es multiplica pel numerador.

Les fraccions són divisions indicades RECORDA-HO

Una fracció és una divisió indicada: a = a :b b

Observa: • 2 → La unitat es divideix en 5 parts i se’n prenen 2, que equival a prendre’n 5 quatre dècimes. 0

0,4

• 2 : 5 → Dividim dues unitats entre 5, i obtenim també quatre dècimes.

anayaeducacion.es

➜

GeoGebra. Concepte de fracció

106

0 0

0,4 0,4

1 1

2– = 2 : 5 = 0,4 52– = 2 : 5 = 0,4 2 5 2

Una fracció equival al quocient entre el numerador i el denominador.

U6 PER PRACTICAR

1 Escriu la fracció que ocupa la part groga a cada figura.

9 Expressa cada divisió amb una fracció que representi el

mateix valor.

a) 1 : 4 = 0,25 → c)

b) 1 : 5 = 0,2 → c) 2 : 3 = 0,66... →

2 Representa les fraccions següents:

a) 3 5

d) 5 8

c) 3 4

b) 1 3

3 Indica, per a cada fracció, si és menor, igual o major que

la unitat. a) 2 b) 3 2 7

c) 6 6

d) 8 5

e) 3 3

f ) 5 6

4 Expressa les particions com a fracció i com a nombre

mixt:

d) 2 : 6 = 0,33...→ 10 Reflexiona: Què val més, tres setens d’un o un setè de tres?

3 de 1 7 1 de 3 7

11 Representa, reflexiona i digues si aquests enunciats són

vertaders o falsos:

a) La meitat de cinc és tant com cinc meitats. b) La tercera part de dues unitats val el mateix que dos terços d’una unitat. 5 Reflexiona i contesta les preguntes.

a) Quina fracció de l’any és un trimestre? b) Quina fracció del dia són dues hores?

12 A classe, entre entre al·lots i al·lotes, som 27. Les al·lo-

c) Quina fracció d’hora són deu minuts? d) Quina fracció de minut són 15 segons? 6 Les set dècimes parts dels clients d’una botiga de discos

tenen menys de 25 anys. Quina fracció dels clients tenen 25 anys o més?

7 Fes els càlculs mentalment, en l’ordre en què apareixen.

a) 1 de 15 b) 3 2 de 15 3 3 de 15 3

1 de 20 c) 1 de 35 5 7 2 de 20 2 de 35 7 5 3 de 20 3 de 35 7 5

8 Fes els càlculs.

a) 3 de 45 5 d) 2 de 72 8 g) 1 de 384 4

b) 3 de 48 4 e) 2 de 90 3 h) 5 de 483 7

c) La cinquena part de tres és el mateix que tres cinquens d’un.

c) 4 de 63 7 f ) 3 de 85 5 i) 3 de 715 5

tes representen els 4/9 del total. Quants d’al·lots i d’al· lotes hi ha a classe?

13 El pollastre està avui al mercat a 5 € el quilo. Quant

costa un pollastre d’un quilo i tres quarts?

14 Segons una enquesta, de cada 100 persones amb feina,

només quatre fan feina els diumenges, i de la resta, les dues terceres parts tampoc fan feina els dissabtes. Quina fracció de les persones ocupades no fan feina ni els dissabtes ni els diumenges?

COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

15 He llegit en el diari que a la nostra ciutat, cada casa al-

berga, de mitjana, 2,5 persones. a) Quants cases hi ha a la ciutat, si som 80 000 habitants? b) Quina fracció del nombre d’habitants coincideix amb el nombre de cases?

107

Relació entre fraccions i decimals Pas de fracció a decimal Ja has vist que una fracció es pot contemplar com una divisió indicada. Això ens permet expressar el valor de les fraccions mitjançant nombres decimals. |Exemple

0,333…

5 = 5 : 4 = 1,25 3 = 3 : 8 = 0,375 1 = 1 : 10 = 0,1 8 4 10 Algunes fraccions generen decimals periòdics. Observa: 2 = 2 : 11 = 0,181818… = 0,# 1 = 1 : 3 = 0,33333… = 0, ! 3 18 11 3 En aquests casos, la fracció resulta més exacta i precisa que l’expressió en forma de nombre decimal, ja que el seu maneig exigeix prendre aproximacions.

1 = 1 : 3 = 0,3333… — 3 0,7

1 7 →— 10

Set dècimes

Pas de decimal exacte a fracció Seguint el procés invers a l’anterior, un nombre decimal exacte es pot transformar en una divisió entre 10, 100, 1 000… i aquesta en una fracció. |Exemple 0,25 = 25 : 100 = 25 100

0,7 = 7 : 10 = 7 10 PER FIXAR IDEES

1 Expressa en forma de fracció i en forma decimal el nombre representat

en cada cas. a) 0

0,7 0,8

1 0

quina és la major.

c) 4 i 7 5 10

b) 4 i 3 7 5

0,6

2 Passa les fraccions a forma decimal i, de cada parella de fraccions, esbrina

a) 3 i 4 4 5

Ajudes

2 2 = 2 : 3 = 0, 666…b b

3 5 = 5 : 8 = 0, 625 8

` b a

3 — 5

0, 666…> 0, 625 2>5 3 8

PER PRACTICAR

Divideix i expressa-ho en forma decimal.

a) 1 2

b) 3 2

c) 3 8

d) 7 10

e) 2 2

f) 4 2

g) 5 4

h) 5 2

para’ls. a) 1 i 5 2 9 d) 6 i 7 11 13

b) 3 i 5 4 7 e) 8 i 9 10 11

c) 2 i 6 3 9 f ) 6 i 4 13 9

4 Quina d’aquestes dues fraccions és major? Per què?

2 Expressa en forma de fracció:

a) 0,1

b) 1,4

c) 0,01

d) 0,3

e) 1,5

f ) 0,23

g) 0,5

h ) 1,9

i) 1,11

108

3 Transforma les fraccions en un nombre decimal i com-

1 →— 3 2 2 →— 6

Fraccions equivalents Fraccions diferents amb el mateix valor Observa que les fraccions 1 , 2 i 5 tenen el mateix valor decimal, encara que 2 4 10 els seus termes siguin diferents. Són fraccions equivalents.

EXEMPLE

1 kg 2

1 =— 2 — 2 4 1 1 kg kg 4 4

1↔ — 2 2 — ↔ 4 5 —↔ 10

Mig quilo equival a dos quarts de quilo.

Practica amb fraccions equivalents.

↔ 1 : 2 = 0,5 ↔ 2 : 4 = 0,5 ↔ 5 : 10 = 0,5

Com obtenir fraccions equivalents Observa que en multiplicar o en dividir els dos termes d’una fracció pel mateix nombre, la porció d’unitat representada no varia. 3:3 =— 1 1·2 =— 2 3 —— —— — 12 : 3 4 4·2 8 12

OBSERVA 1 — 4

1·3 —— 4·3

3:3 —— 12 : 3

0,5

Deim que dues fraccions són equivalents quan expressen la mateixa porció d’unitat; és a dir, quan tenen el mateix valor numèric.

anayaeducacion.es

➜

Com veus, les fraccions anteriors són equivalents. → 1 = 2 = 3 4 8 12 Propietat fonamental de les fraccions Si es multipliquen, o es divideixen, els dos termes d’una fracció pel mateix nombre, s’obté una altra fracció equivalent a la primitiva. És a dir, el valor de la fracció no varia.

3 — 12 12 — 18

Simplificació de fraccions Simplificar una fracció és substituir-la per una altra d’equivalent amb els termes més senzills. Això s’aconsegueix dividint els dos termes pel mateix nombre.

12 : 6 —— 18 : 6

6 — 9

2 — 3

|Exemple 12 8 12 : 2 = 6 8 6 : 3 = 2 18 18 : 2 9 9:3 3

Fracció irreductible

Observa que hem dividit dues vegades, primer per 2 i després per 3, ambdós comuns de 12 i 18. • Per simplificar una fracció, es divideixen el numerador i el denominador pel

mateix nombre.

• Una fracció que no es pot simplificar es diu que és irreductible. 109

3 Fraccions equivalents PER FIXAR IDEES

1 Completa les operacions al teu quadern i observa que s’obté el mateix resultat.

3 =3:2= 2

3·2 = 2·2

3·3 = 2·3

2 Copia les operacions al teu quadern i completa-les per obtenir fraccions

equivalents.

Recorda-ho 1 i 2 Per obtenir fraccions equivalents

a una de donada, es multipliquen o divideixen els dos termes de la fracció pel mateix nombre.

3 Simplificar és dividir el numerador i

el denominador pel mateix nombre.

a) 1 = 1 · 2 = 5 5·

1· = b) 1 = 5 5· 3

c) 18 = 18 : 2 = 30 30 :

18 : = d) 18 = 30 30 : 3

Reflexiona 4 Si dues fraccions expressen la mateixa

part d’un tot, són equivalents?

3 Simplifica les fraccions.

a) 15 → dividint entre 5. 20

1 de 12 = 4 3

b) 7 → dividint entre 7. 21

4 Fes els càlculs i raona. Què pots dir de les fraccions 4 i 6 ?

2 de 12 = 4 6

30 magdalenes

4 de 30 = … 10

6 de 30 = … 15

PER PRACTICAR

1 Cerca, entre les següents, tres parells de fraccions equi-

valents:

1 — 2

2 — 3

6 — 8

4 — 6

3 — 4

2 — 4

4 Calcula, en cada cas, la fracció irreductible:

a) 8 b) 36 c) 42 d) 90 24 20 108 70 5 Fes els càlculs, raona i contesta les preguntes. 6 de 45 = ? 10 de 45 = ? 2 de 45 = ? 9 15 3 Què pots dir de les fraccions 2 , 6 i 10 ? 3 9 15 COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

2 Escriu, en cada cas, dues fraccions equivalents:

a) 1 4

b) 2 3

c) 15 20

d) 18 24

3 Simplifica aquestes fraccions:

a) 6 8

b) 3 6

e) 10 18

f ) 21 28

110

c) 5 10 g) 33 22

d) 9 12 h) 13 26

6 Observa: al tassó s’ha recollit la quantitat d’aigua que ha

perdut el grifó en un quart d’hora. Expressa amb fraccions irreductibles: a) La fracció de litre d’aigua que conté el tassó. b) La fracció de litre que perd el grifó cada hora. c) La fracció de litre que haurà perdut en cinc hores.

100 80 60 40 20 mL

U6 OBSERVA

3 = 3$2 4 4$2

3=6 4 8

↔

3.4.2=4.3.2

Com esbrinar si dues fraccions són equivalents (relació entre els termes) Observa aquestes tres fraccions equivalents i algunes relacions entre els seus termes:

3.8=4.6

3 — 4

6 — 8 3=6 4 8

TEN-HO EN COMPTE

Els termes de dues fraccions equivalents se solen anomenar extrems i mitjans. extrem

3 = 9 mitjà 4 12 extrem

mitjà

3 · 12 = 4 · 9 El producte dels extrems és igual al producte dels mitjans.

9 — 12

3 · 8 = 24 * 4 · 6 = 24

6= 9 8 12

Si dues fraccions són equivalents, els productes creuats dels termes són iguals.

6 · 12 = 72 * 8 · 9 = 72 a = c ↔ a·d=b·c b d

|Exemples • Són equivalents 2 i 3 ? • Són equivalents 3 i 2 ? 4 5 10 15 2 · 15 = 10 · 3 → Són equivalents. 3 · 5 ≠ 4 · 2 → No són equivalents.

Com calcular un terme desconegut en la igualtat de dues fraccions equivalents La relació anterior ens permet calcular un dels termes de dues fraccions equivalents quan es coneixen els altres tres.

NO HO OBLIDES

Recorda aquest esquema:

x= x →

|Exemples

• 3= 4 • 3= x

9 → 3 · x = 4 · 9 → 3 · x = 36 → x = 36 : 3 = 12 x 9 → 3 · 12 = x · 9 → 36 = x · 9 → x = 36 : 9 = 4 12

PER FIXAR IDEES

1 Quant val el producte m · n en cada cas?

a) 1 = n m 14

b) 10 = n m 10

c) m = 8 6 n

Ajuda

d) 5 = n m 12

5 El producte dels extrems és igual

al producte dels mitjans.

2 Copia i completa les operacions per trobar el valor de cada lletra.

2 = a 8a= 10 5

$ 10

4 = 6 8b = b 9

$ 6

3 = n 8 3 $ 20 = m $ n m 20 m . n = 60

PER PRACTICAR

7 Comprova si són equivalents.

a) 1 i 2 d) 6 i 8

3 4 9 11

b) 2 i 6 5 15 e) 2 i 3 12 20

8 Calcula el terme desconegut en cada cas:

c) 4 i 6 6 9 f ) 20 i 30 24 36

a) 5 = 10 d) x = 15

3 x 4 20

b) 4 = 8 5 x e) 2 = x 12 18

c) 4 = 8 x 12 f ) 10 = 5 x 6 111

Alguns problemes amb fraccions Estudia atentament els processos seguits en els problemes que venen a continuació. Et serviran per resoldre altres molts problemes amb fraccions.

68 68 — 85

❚ càlcul de la fracció

Na Ivana va enviar el mes passat 85 missatges amb el seu mòbil. D’aquests, 68 varen ser per a la colla. Quina part dels missatges va ser per a la colla? PER A LA COLLA

TOTAL

4 — 5

" 85

" 68 FRACCIÓ DE MISSATGES 68 2 $ 2 $ 17 4 4 = = " PER A LA COLLA 85 5 $ 17 5

Solució: Quatre missatges de cada cinc d 4 n varen ser per a la colla. 5 ❚ fracció d’un nombre: problema directe

En una carrera de fons, prengueren la sortida 85 corredors i corredores, però només quatre de cada cinc arribaren a meta. Quants de corredors i corredores completaren la carrera?

O TAMBÉ…

Anomenant «x» els que arribaren a meta, la fracció x serà equivalent a 85 la fracció 4 . 5 x = 4 → x = 85 · 4 = 68 85 5 5

85 : 5 → 17

17 · 4 → 68

4 de 85 = (85 : 5) · 4 = 68 5 Solució: Arribaren a la meta 68 corredors i corredores. ❚ fracció d’un nombre: problema invers

O TAMBÉ…

Anomenant «x» el total d’habitacions, la fracció 68 serà equivalent a la fracx ció 4 . 5 68 = 4 → x = 68 · 5 = 85 4 5 x

Un hotel té 68 habitacions ocupades, que suposen quatre cinquenes parts del total. Quantes habitacions té en total? 68

68 : 4 → 17

17 · 5 → 85

4 del total = 68 → 1 del total = 68 : 4 = 17 → 5 del total = 17 · 5 = 85 5 5 5 Solució: L’hotel té, en total, 85 habitacions. PER PRACTICAR

1 Na Raquel té ja 180 dels 300 cromos de la col·lecció

que va començar el trimestre passat. Quina part de la col·lecció ha reunit fins ara?

➜

anayaeducacion.es Practica problemes amb fraccions.

4 A la piscina hi ha 42 banyistes prenent el sol, que són les

dues terceres parts del total de banyistes. Quants n’hi ha a l’aigua? Quants són en total?

2 Dels 15 missatges que ha enviat n’Albert amb el mò-

bil, dos de cada tres eren per a les seves amigues i amics. Quants de missatges els ha enviat?

3 En Manel té ja 200 cromos, que són les dues terceres

parts de la col·lecció. Quants de cromos té la col·lecció?

112

COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

5 Si quatre de cada cent cases necessiten els serveis d’un

llanterner al llarg d’un any, quants de serveis s’estimen a l’any en una ciutat amb 55 000 cases?

Exercicis i problemes DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

Fraccions equivalents

Significat de les fraccions

Observa i representa amb una fracció: 9

a) La part de l’ouera que s’ha usat ja. b) La part d’euro que val la moneda. c) La part del triangle gran que està pintada. 2

no ho aproven tot

1r A

1r B

b) 4 de 20 5 e) 5 de 60 6

d) 18 22 h) 22 33

Quines fraccions expressen la part acolorida? a) 10 b) 15 c) 20 18 36 30

d) 5 9

e) 12 25

f ) 36 20

Calcula x en cada cas. a) 3 = 9 7 x d) 3 = 4 15 x

b) 2 = x 5 20 e) 4 = x 18 27

c) 5 = 10 x 16 f ) 3 = 2 x 14

ENTRENA’T I PRACTICA

Fes els càlculs mentalment. a) 2 de 9 3 d) 2 de 14 7

5 15 21 28

Obtén la fracció irreductible en cada cas: a) 30 b) 20 c) 56 d) 275 45 60 330 80

a) Quina fracció de primer ocupa 1r B? b) Quina fracció de primer ho aprova tot? c) Quina fracció de 1r B en suspèn alguna? La fracció d’un nombre

Simplifica les fraccions. 2 a) b) 10 c) 4 14 e) 5 f) 6 g) 25 27

15 20

La taula mostra dades dels resultats acadèmics dels grups de 1r d’ESO en una escola. ho aproven tot

Cerca parells de fraccions equivalents. 3 3 12 3 1 12 4 4 15 5 12 4 28 7

c) 3 de 80 4 f ) 5 de 400 8

Expressa amb una fracció irreductible la part del cub gran que representa cada figura.

Vertader o fals? a) Tres mesos són un terç d’any. b) Sis dies són la cinquena part del mes de març. c) Nou hores són 3/8 de dia. d) Deu minuts fan un cinquè d’hora. e) Dotze segons fan un cinquè de minut.

Observa e sense fer la divisió, ordena de maior a menor. 5 3 3 3 4 9 10 8 8 8

Sabent que 2 de x valen 20, calcula: 5 1 a) de x b) 3 de x c) 5 de x 5 5 5 d) Quin és el valor de x?

Fraccions i nombres decimals

Transforma cada fracció en nombre decimal. a) 3 b) 2 c) 7 d) 11 e) 5 5 10 8 5 20

Expressa cada decimal en forma de fracció. a) 0,6 b) 1,7 c) 2,5 d) 0,04 e) 0,21

Passa a forma decimal i ordena de major a menor. a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 5 10 11 6 3

113

Exercicis i problemes 16

Fes el càlculs. a) 2 de 192 3 d) 3 de 332 4

RESOL PROBLEMES SENZILLS

c) 3 de 749 7 f ) 4 de 153 9

b) 4 de 375 5 e) 5 de 1 096 8

Copia, fes els càlculs mentalment i completa les frases. a) Els 3 de … valen 15. b) Els 2 de … valen 40. 4 3 c) Els 4 de … valen 20. d) Els 3 de … valen 9. 5 5

La taula recull els llançaments i les cistelles aconseguides per tres jugadores en un partit de bàsquet. llançaments cistelles

7 4

14 7

4 2

a) Indica amb una fracció i amb un nombre decimal l’eficàcia en el llançament de cada jugadora. b) Quina de les tres té el llançament més segur? 19

Escriu tres fraccions equivalents a 7/21 que tenguin per denominador 3, 6 i 30, respectivament.

Emparella les fraccions que siguin equivalents i, tenint això en compte, associa els valors corresponents de les columnes que veus a baix. 75 100

25 100

20 100

5 100

1 20

1 4

3 4

La quarta part d’un euro.

0,75 €

Tres quarts d’euro.

0,25 €

La cinquena part d’un euro.

0,05 €

Un vintè d’euro.

0,01 €

Un cèntim d’euro.

0,20 €

D’un paquet de 500 folis se n’han gastat 125. Quina fracció del paquet queda?

Amb un bidó de 20 litres, s’omplen 30 botelles d’aigua. Quina fracció de litre entra a cada botella?

Una família gasta 1/3 dels seus ingressos a pagar la hipoteca del pis i 7/20 en la cistella de la compra. En quina de les dues partides gasta més?

Una capsa de galetes pesa tres quarts de quilo, i un pot de confitura, 0,8 kg. Quin pesa més?

Un quilo de maduixes costa 2,80 €. Quant pagaràs per tres quarts de quilo?

Dels 1 200 € que guany al mes, estalvi tres vintens. Quant estalvi cada mes?

Na Júlia comprà un formatge de 2 quilos i 800 grams, però ja n’ha consumit dos cinquens. Quant pesa el tros que queda?

Un hotel té 80 habitacions, de les quals 8 de cada 10 estan ocupades. Quina fracció de les habitacions estan buides? Quantes estan buides?

Observa, reflexiona i respon. a) En aquest bidó hi ha 12 litres d’aigua. Quants de litres caben en total al bidó?

1 5

b) He comprat 2/5 d’una coca que ha pesat 300 g. Quant pesava la coca completa? 300 g

Meta 14.4. Un vaixell de pesca torna a port amb 8 550 kg de peix, el màxim permès per restablir les poblacions de peixos. Els 5/6 de la captura són sardines, que ven a la llotja a 1,80 €/kg. Quant obté per la venda de les sardines?

Una bossa de magdalenes de tres quarts de quilo costa 2,25 €. A quant surt el quilo?

HO HAS COMPRÈS? 21

114

Vertader o fals? a) Una fracció equival a una divisió indicada. b) Qualsevol fracció té un nombre decimal associat. c) Dues fraccions amb termes diferents no poden tenir el mateix decimal associat. d) Un decimal periòdic s’expressa amb major exactitud mitjançant una fracció.

COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

Un grifó que goteja ha omplit, en una hora, les tres quartes parts del poal que s’ha col·locat a davall. Quant tardarà encara a omplir-lo per complet?

PER A PENSAR UNA MICA MÉS

COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

En una ciutat hi ha 53 500 cases. Noranta-vuit de cada cent tenen rentadora per a la roba, i 3 de cada 20, assecadora. Quantes rentadores i quantes assecadores hi ha a la ciutat?

Na Laura té, en una bossa, 10 bolles vermelles i 6 bolles verdes. a) Quantes bolles vermelles s’haurien d’afegir a la bossa perquè fossin els tres quarts del conjunt? b) Quantes se n’haurien de llevar perquè fossin només la quarta part?

Resol els problemes mentalment. a) Un quart de quilo d’olives costa 1,50 euros. Quant costa un quilo? b) Tres quarts de quilo d’ametles costen 9 euros. A quant està el quilo?

He tret 5/6 dels doblers que tenia a la vidriola i encara hi queden 11 euros. Quants de doblers hi havia abans d’obrir-la?

S’han sembrat d’alfals els 3/5 de la superfície d’una finca, i encara queden 600 metres quadrats sense sembrar. Quina és la superfície total de la finca?

Un cine ha rebut 320 espectadors a la darrera sessió, fet que suposa els quatre setens del total. Quantes butaques han quedat buides?

Ma mare ens va fer anit una pizza. Jo me’n vaig menjar dues terceres parts, i la meva germana, n’Eva, la meitat del que quedava. Quina fracció de la pizza va sobrar?

COMPRÈN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

El reg gota a gota que ha posat na Laura als geranis de la terrassa aporta 1/20 de litre cada 10 minuts. Respon amb un nombre decimal: quants de litres hi aporta si es manté actiu durant una hora?

Ajuda’t amb alguns d’aquests gràfics.

Un ramader ha munyit ja 3/5 de les seves vaques. Quan en munyi quatre més, ja només li faltarà per munyir-ne una cinquena part. Quantes vaques té el ramader?

PROBLEMA RESOLT

Eva

Dibuixa un gràfic en el qual et puguis recolzar i organitzar les dades.

Un pagès ha collit dues cinquenes parts de les pomeres del seu camp i encara li queden 24 arbres per collir. Quantes pomeres té al camp? Dibuixam un gràfic:

Un hortolà va regar ahir la meitat de l’hort i avui la tercera part del que quedava. Quina fracció de l’hort li queda encara per regar?

Un forn va vendre ahir al dematí la meitat dels llonguets que varen sortir del forn i, a l’horabaixa, les tres quartes parts dels que quedaven. Quina part dels llonguets va quedar sense vendre?

En un club de bàsquet, la meitat de les jugadores fa més d’u vuitanta i només les dues terceres parts han estat titulars alguna vegada a l’equip. Quantes són en total, sabent que passen de 20 però no arriben a 25?

Una comerciant comprà, a principi de temporada, una partida de camisetes per 3 600 € i les va posar a la venda a 12 € la unitat. Passat un mes, havia venut les tres cinquenes parts de la mercaderia, i amb això va cobrir la inversió. Quant guanyarà quan acabi de vendre les que li queden?

Resolució ràpida a la vista del gràfic: 24 : 3 = 8 → 8 · 5 = 40 pomeres Resolució raonada: • Queden per collir 3/5 del camp, que són 24 arbres. • 1/5 del camp són 24 : 3 = 8 arbres. • El camp complet (5/5) té 8 · 5 = 40 pomeres.

115

Taller de matemàtiques matemáticas INVESTIGA La possibilitat que ocorri un esdeveniment que depén de l’atzar, es pot expressar amb una fracció. Per exemple, en tirar una moneda, la probabilitat que surti cara és 1 . 2 No obstant això, no sempre és tan senzill. Suposa ara que es tiren dues monedes i observa com raonen en Manel i na Cristina.

CARA

CREU

Gano si sale una cara y una cruz.

Yo gano si salen dos caras.

MANEL

CRISTINA

Hi ha tres casos possibles:

Hi ha quatre casos possibles:

— Surten dues cares → guanya en manel — Surten dues creus → no guanya ningú — Surten cara i creu → guanya na cristina Probabilitats: Manel → 1 ; Cristina → 1 3 3 Els dos tenim les mateixes possibilitats!

1a moneda 2a moneda

C C + +

C + C +

→ → → →

guanya en manel guanya na cristina guanya na cristina no guanya ningú

Probabilitats: Manel → 1 ; Cristina → 2 = 1 4 4 2 Jo tenc el doble de possibilitats que en Manel!

• Quin dels dos creus que té raó? Per comprovar-ho, tira dues monedes vint vegades, anota els resultats i comprova si donen la raó a en Manel o a na Cristina.

UTILITZA EL TEU ENGINY • Un autobús escolar surt de l’escola carregat d’estudiants. — A la primera parada descarrega la meitat dels estu diants, més mig.

— Després, l’autobús torna al garatge perquè s’ha quedat buit. Quants d’estudiants pujaren a l’autobús? Explica la solució detallant, a cada parada, quants en baixen i quants n’hi queden. • Quina és l’alçaria del pedestal?

29 cm

— A la segona ocorre el mateix: baixa la meitat més mig. — I el mateix passa a la tercera parada, a la quarta i a la cinquena. 116

35 cm

AUTOEVALUACIÓN

➜

1 Quina fracció d’hora són 10 minuts? I 20 minuts? I

10 Escriu:

24 minuts?

anayaeducacion.es Resolucions d’aquestes exercicis.

a) Una fracció equivalent a nador 14. b) Una fracció equivalent a nador 10. 11

2 Representa al teu quadern,

amb gràfics com el que tens a continuació o amb altres que tu decideixis, les fraccions 8/9 i 15/9.

Simplifica les fraccions. a) 14 b) 36 28 48

6 que tengui per denomi21 9 que tengui per denomi15 c) 40 60

12 N’Aina i na Valentina han comprat un bolígraf cada una.

3 A la fruiteria s’han venut al dematí deu caixes de

maduixes i, a l’horabaixa, les quatre que hi quedaven. Quina fracció de les maduixes va quedar sense vendre al dematí?

4 La pizza de na Carme va costar 4,20 €, i la d’en

Carles, 4,80 €. En quant valores el tros que li queda a cada un?

N’Aina ha gastat les quatre cinquenes parts d’un euro, i na Valentina, 75 cèntims. Quin dels dos bolígrafs ha sortit més car?

13 Un poble costaner té 4 500 habitants. La tercera part viu

de la pesca; dos cinquens, de l’agricultura, i la resta, del sector serveis. a) Quants viuen del sector serveis? b) Quina fracció de la població viu del sector serveis?

14 N’Amaia, en comprar unes sabates esportives per 75 €,

gasta les tres quartes parts dels doblers que li va donar la seva padrina. Quants de doblers li va donar la padrina?

15 Les tres cinquenes parts dels fruiters d’un hort són po5 El tros de la pizza que va menjar na Carme a

meres, i la resta, pereres. Si les pereres són 44, quants són les pomeres?

l’activitat anterior pesava 270 grams, i el que va menjar en Carles, 180 grams. Quant pesava cada pizza completa?

6 Fes els càlculs.

a) Tres quarts de 240 c) 3 de 35 3

REFLEXIONA

b) 2 de 80 5 d) Tres mitjos de 10

7 Reflexiona i completa l’exercici al teu quadern.

b) 3 de … = 12 4 d) 7 de … = 14 5

a) 1 de … = 8 3 c) 5 de … = 7 5

8 Expressa les fraccions en forma decimal.

a) 4 10

b) 4 5

c) 1 8

9 Expressa els decimals com una fracció.

a) 0,2

b) 1,2

c) 0,24

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa a anayaeducación.es.

117

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells qui reproduïssin, plagiassin, distribuïssin o comunicassin públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.