Operació món: Matemàtiques I. Batxillerat (demo) by Grupo Anaya, S.A.

DEMO

INCLOU

ÈN

C IA 1 2 ME

C. l Va

en cian

PROJECTE DIGITAL

BATX ILLER AT

MATEMÀTIQUES I José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

ió

c ra

O mó

Índex Els sabers bàsics del curs

B reu història de les matemàtiques 10 ..

Unitat inicial 0 Resolució de problemes

...................................... 14

• Anàlisi d’algunes estratègies Problemes per a practicar

BLOC I.

4 F órmules i funcions trigonomètriques

Aritmètica i àlgebra

1 Nombres reals

.. ....................................................................... 34

1. 2. 3. 4.

Llenguatge matemàtic. Conjunts i símbols Nombres reals. La recta real Logaritmes Expressió decimal dels reals. Nombres aproximats 5. Concepte de successió 6. Algunes successions especialment interessants Exercicis i problemes Autoavaluació

2 Àlgebra

. . ...............................................................................................

Polinomis. Factorització Fraccions algebraiques Resolució d’equacions Resolució de sistemes d’equacions Inequacions i sistemes d’inequacions amb una incògnita 6. Inequacions lineals amb dues incògnites Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc I

.................................................. 132

1. En què consistixen els nombres complexos 2. Operacions amb nombres complexos en forma binòmica 3. Nombres complexos en forma polar 4. Operacions amb complexos en forma polar 5. Radicació de nombres complexos 6. Nombres complexos amb la calculadora 7. Descripcions gràfiques amb nombres complexos Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc II

Geometria

6V ectors

................................................................................................. 158

1. Els vectors i les seues operacions 2. Coordenades d’un vector 3. Producte escalar de vectors Exercicis i problemes Autoavaluació

Trigonometria i nombres complexos 1. Raons trigonomètriques d’un angle agut (0° a 90°) 2. Raons trigonomètriques d’angles qualssevol (0° a 360°) 3. Angles fora de l’interval 0° a 360° 4. Trigonometria amb calculadora 5. Relacions entre les raons trigonomètriques d’alguns angles 6. Resolució de triangles rectangles

1. Fórmules trigonomètriques 2. Equacions trigonomètriques 3. Funcions trigonomètriques Exercicis i problemes Autoavaluació

BLOC III.

BLOC II.

........................................

.......................................................... 114

5 Nombres complexos

1. 2. 3. 4. 5.

3 Resolució de triangles

7. Resolució de triangles obliquangles. Estratègia de l’altura 8. Dos importants teoremes per a resoldre triangles qualssevol Exercicis i problemes Autoavaluació

7 Geometria analítica

................................................

174

1. Punts i vectors en el pla 2. Equacions d’una recta 3. Feix de rectes 4. Reflexions sobre equacions amb i sense «paràmetres» 5. Paral·lelisme i perpendicularitat 6. Posicions relatives de dues rectes 7. Angle de dues rectes 8. Càlcul de distàncies Exercicis i problemes Autoavaluació

8 Llocs geomètrics. Còniques

............... 202

1. Llocs geomètrics 2. Estudi de la circumferència 3. Les còniques com a llocs geomètrics 4. Estudi de l’el·lipse 5. Estudi de la hipèrbola 6. Estudi de la paràbola 7. Tangents a les còniques mitjançant papiroflèxia Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc III

BLOC IV.

................................................................................. 296

1. Mesura del creixement d’una funció 2. Obtenció de la derivada a partir de l’expressió analítica 3. Funció derivada d’una altra 4. Regles per a obtindre les derivades d’algunes funcions 5. Taula de derivades 6. Utilitats de la funció derivada 7. Optimització de funcions 8. Regla de L’Hôpital 9. Representació de funcions Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc IV

Anàlisi

9 Funcions elementals

. . ...................................... 236

1. Les funcions i el seu estudi 2. Domini de definició 3. Famílies de funcions elementals 4. Funcions definides «a trossos» 5. Transformacions elementals de funcions 6. Composició de funcions 7. Funció inversa o recíproca d’una altra 8. Funcions arc Exercicis i problemes Autoavaluació

10 L ímits de funcions.

Continuïtat i branques infinites 1. 2. 3. 4. 5.

11 D erivades

BLOC V.

Estadística i probabilitat

12 Distribucions bidimensionals

............... 334

1. Distribucions bidimensionals. Núvols de punts 2. Correlació lineal 3. Paràmetres associats a una distribució bidimensional 4. Recta de regressió 5. Hi ha dues rectes de regressió 6. Taules de contingència Exercicis i problemes Autoavaluació

13 Combinatòria i probabilitat . . ................................... 266

Comportament d’una funció en l’infinit Càlcul de límits de funcions quan x → +∞ Límit d’una funció quan x → –∞ Càlcul de límits de funcions quan x → –∞ Comportament d’una funció en un punt. Límits i continuïtat 6. Càlcul de límits en un punt 7. Branques infinites. Asímptotes 8. Branques infinites en les funcions racionals 9. Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques Exercicis i problemes Autoavaluació

. . .......... 356

1. Diagrama en arbre 2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) 3. Quan no influïx l’ordre. Combinacions 4. Factorials i nombres combinatoris 5. Càlcul de probabilitats Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc V

Annex S olucionari

de les autoavaluacions

............................................. 375

8 Llocs geomètrics. Còniques Què són les còniques Una superfície cònica, tal com es mostra en la il·lustració de la dreta, és una figura formada per dos cons infinits oposats pel vèrtex. Si una superfície cònica es talla per un pla, es pot obtindre una circumferència, una el·lipse, una paràbola o una hipèrbola, depenent de l’angle que forme aquest pla amb l’eix de la superfície cònica. Per això, aquestes corbes s’anomenen còniques.

➜

anayaeducacion.es Visualitza com es generen les còniques.

Les còniques en la història En el segle iii aC, el gran geòmetra grec Apol·loni de Perge va escriure un llibre dedicat a les còniques. Amb un estil polit i sistemàtic, va estudiar aquestes corbes de forma exhaustiva. Seguint l’esperit dels grecs, aquest tractat va ser eminentment especulatiu, sense buscar aplicacions pràctiques. Quan Apol·loni va descriure les el·lipses, paràboles i hipèrboles com a còniques, estava molt lluny d’imaginar que aquestes corbes s’ajustaven als moviments dels cossos celests. Durant molts segles es va considerar que les òrbites dels planetes eren circulars. Va ser al començament del segle xvii quan Kepler va enunciar les seues importants lleis, una de les quals assigna òrbites el·líptiques a aquests cossos. Només un segle abans, Copèrnic havia desbaratat la concepció geocèntrica de l’univers, fent veure que era la Terra la que girava al voltant del Sol. ➜

202

anayaeducacion.es Biografia d’Apol·loni de Perge.

Utilitat de les còniques Les còniques són referents habituals en la tecnologia actual. Vegem-ne alguns exemples: Antenes parabòliques La paràbola té la propietat que totes les rectes paral·leles al seu eix, en «rebotar» en la corba, es reflectixen passant pel focus. Les antenes parabòliques servixen per a arreplegar un feix de «rajos» procedents del satèl·lit artificial al qual apunten i concentrar-los en el focus, on està el detector que recull la informació. Llums el·líptics per a dentistes En una el·lipse, si un raig ix d’un focus, en reflectir-se en la corba, passa per l’altre focus. Aquesta propietat s’aplica per construir llums els rajos dels quals es concentren tots en un punt. Per exemple, en els llums dels dentistes, el punt de llum se situa en un dels focus de l’el·lipse (en roig en la figura), els rajos lluminosos (en verd) es reflectixen en la pantalla el·líptica i es troben en l’altre focus, on es col·loca l’objecte que es vol il·luminar (la boca del pacient).

RESOL On se situarà el depòsit? Meta 7.2. Es vol instal·lar un gran depòsit de propà per a abastir una factoria industrial i dues urbanitzacions. S’han de complir les condicions següents: convé que el depòsit estiga el més a prop de la factoria, però per raons de seguretat, no pot estar a menys de 500 m d’un forn que hi ha en aquesta. Per tant s’haurà de situar, exactament, a 500 m del forn, H. A més, es desitja que estiga a la mateixa distància de A que de B. Per a resoldre-ho, portem les dades a uns eixos cartesians (1 quad = 100 m) i suposem que els punts H, A i B se situen on s’indica en el gràfic de la dreta.

• La circumferència roja és el conjunt de punts que estan a 500 m del forn. Analíticament, són punts (x, y) la distància a H dels quals (13, 15) és 5. Expressa-ho mitjançant una equació. • La recta verda és el conjunt de punts que equidisten de A i de B. Analíticament, és una recta que passa per (6, 3) i té pendent 2. Escriu-ne l’equació.

• El punt P on hem de situar el depòsit de propà s’obté trobant la intersecció de les dues línies que acabem de descriure. Resol el sistema que formen les seues equacions per a trobar les coordenades de P.

203

Llocs geomètrics S’anomena lloc geomètric un conjunt de punts que complixen una propietat. Per exemple: a) La mediatriu d’un segment AB és el lloc geomètric dels punts, X, que equidisten dels extrems:

dist (X, A) = dist (X, B)

X A

b) La bisectriu d’un angle de costats r1 i r2 és el lloc geomètric dels punts, X, que equidisten de r1 i de r2:

dist (X, r1) = dist (X, r2) r1

ATENCIÓ És molt important que interpretes cada una d’aquestes línies descrites en els exemples com un conjunt de punts que complixen una propietat: a) Si X és un punt de la mediatriu, la distància a A és igual que la distància a B. b) Si X és un punt de la bisectriu, … c) Si X és un punt de la circumferència, …

c) Circumferència de centre O i radi r és el lloc geomètric dels punts, X, la distància a O dels quals és r :

dist (X, O) = r

Anomenat X (x, y) el punt genèric i aplicant-hi analíticament la propietat que ha de complir, s’obté l’equació de la figura geomètrica.

Exercicis resolts

1 Trobar l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(–3, 4) i B(1, 0).

Cada punt de la mediatriu, X(x, y), equidista dels extrems del segment AB. Per tant, han de complir la condició dist (X, A) = dist (X, B). dist (X, A) = (x + 3)2 + ( y – 4)2 dist (X, B) = (x – 1)2 + y 2

4 8 ( x + 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = (x – 1 ) 2 + y 2

Elevem al quadrat els dos membres, desenvolupem els quadrats indicats i simplifiquem: x 2 + 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = x 2 – 2x + 1 + y 2 → 8x – 8y + 24 = 0 → → x – y + 3 = 0 → y = x + 3. És, efectivament, una recta. Comprovem que la recta obtinguda és perpendicular al segment AB en el punt mitjà: • Passa per (–1, 2), que és el punt mitjà del segment.

Y A (–3, 4)

• El seu pendent, 1, i el pendent del segment, –1, complixen que 1 · (–1) = –1. Per tant, són perpendiculars.

y=x+3

B (1, 0)

Per tant, efectivament, y = x + 3 és la mediatriu de AB. X

FES-HO TU. Troba l’equació de la mediatriu del segment els extrems del qual són ➜

204

Resol amb GeoGebra.

A(0, 0) i B(6, 4).

Exercicis resolts

2 Trobar l’equació de la bisectriu de l’angle format per r1: 4x + 3y – 5 = 0 r2: 3x + 4y – 2 = 0

Cada punt X(x, y) de la bisectriu equidista de les rectes que formen l’angle. Per tant, han de complir que dist (X, r1) = dist (X, r2): _ 4x + 3y – 5 4x + 3y – 5 b dist (X, r1) = = b 5 4x + 3y – 5 3x + 4y – 2 42 + 32 = ` 8 5 5 3x + 4y – 2 3x + 4y – 2 b = dist (X, r2) = b 2 2 5 3 +4 a Per interpretar aquesta equació, n’hem d’eliminar els valors absoluts. En fer-ho, apareix un doble signe, perquè |A| = |B| ⇒ A = B o bé A = –B A = B → 4x + 3y – 5 = 3x + 4y – 2 → x – y – 3 = 0 (L1) A = –B → 4x + 3y – 5 = –(3x + 4y – 2) → x + y – 1 = 0 (L2) L2

El lloc geomètric buscat està compost per les dues rectes, (L1) i (L2), perpendiculars entre si i que es tallen en (2, –1), el mateix punt en què es tallen r1 i r2.

(2, –1) r2 r1

Són les bisectrius dels angles formats per les dues rectes donades.

FES-HO TU. Troba l’equació de la bisectriu de l’angle format per r1: 5x – 12y = 0

i r2: 12x + 5y = 0. 3 Trobar el lloc geomètric dels punts la diferència de quadrats de distàncies a P(4, 2) i a Q(–2, 5) dels quals és 15: [dist (X, P) ]2 – [dist (X, Q)] 2 = 15

Expressem analíticament la condició:

a (x – 4) 2 + ( y – 2) 2k – a (x + 2) 2 + ( y – 5) 2k = 15 2

Operem i simplifiquem:

(x 2 – 8x + 16 + y 2 – 4y + 4) – (x 2 + 4x + 4 + y 2 – 10y + 25) = 15 → → –12x + 6y – 9 = 15 → –2x + y = 4 → y = 2x + 4 És una recta de pendent 2. El pendent del segment PQ és 5 – 2 = 3 = – 1 . –2 – 4 –6 2 Per tant, la recta és perpendicular al segment, ja que 2 · c– 1 m = –1. 2 Conclusió: El lloc geomètric buscat és una recta perpendicular al segment PQ. FES-HO TU. Troba el lloc geomètric dels punts la diferència de quadrats de distàn-

cies a P(2, 5) i a Q(4, –1) dels quals és 40, és a dir, XP 2 – XQ 2 = 40. Pensa i practica

Troba les equacions dels següents llocs geomètrics: a) Mediatriu del segment d’extrems A(–5, –3), B (7, 1). Comprova que és una recta perpendicular al segment en el punt mitjà. b) Circumferència de centre O (–3, 4) i radi 5. Comprova que passa per l’origen de coordenades.

c) Bisectrius dels angles formats per les rectes: r1: 5x + y + 3 = 0 r2: x – 2y + 16 = 0 Comprova que les bisectrius són dues rectes perpendiculars que es tallen en el mateix punt en què es tallen les rectes r1 i r2.

205

Estudi de la circumferència L’equació d’una circumferència de centre O(a, b) i radi r és: dist (X, O) = r →

– a) 2 + ( y

X(x, y)

– b) 2 = r

Per a simplificar-ne l’expressió, elevem al quadrat els dos membres i reordenem els termes:

O(a, b)

(x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r 2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r 2 = 0

(x – a)2 + ( y – b)2 = r

Observem que es tracta d’un polinomi de segon grau en x i y, tal que els coeficients de x 2 i y 2 són «1» i que no té terme en xy : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Quines relacions hi ha entre els coeficients d’aquest polinomi i els elements de la circumferència (centre i radi)? Per veure-les, comparem aquesta equació amb l’anterior i n’igualem els termes corresponents: –2a = A → a = – A 2 B –2b = B → b = – 2 2 2 2 2 a2 + b 2 – r 2 = C → c A m + c B m – r 2 = C → r 2 = c A m + c B m – C 2 2 2 2 Conclusions: • Si d’una circumferència coneixem el centre O(a, b) i el radi r, l’equació serà: (x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 Ara podem desenvolupar i simplificar aquesta expressió o no fer-ho, segons convinga. • Si tenim una expressió de segon grau en x i y del tipus x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 i volem saber si és una circumferència i, en cas afirmatiu, obtindre’n el centre i el radi: I. Observem que els coeficients de x 2 i y 2 són 1. Si tingueren els dos un mateix coeficient diferent d’1, dividiríem per aquest tots els termes. II. Observem que no té terme en xy. 2

III. Comprovem que c A m + c B m – C > 0. 2 2 En tal cas, és una circumferència. El centre és: c– A , – B m i el radi és 2 2

c Am +cB m –C . 2 2

➜

Equació d’una circumferència amb paràmetres.

EXEMPLES • Equació de la circumferència de centre O(5, –3) i radi r = 7: (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 49 • Correspon a una circumferència l’equació 5x 2 + 5y 2 – 50x + 30y – 75 = 0? I. Els termes x 2 i y 2 tenen el mateix coeficient, 5. Dividim per aquest: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 II. No té terme en xy. 2

III. c– 10 m + c 6 m – (–15) = 49 > 0 2 2 És una circumferència. Centre: (5, –3); radi = 49 = 7. També podríem haver procedit completant quadrats com veus a continuació: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 → → x 2 – 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = = 15 + 25 + 9 → (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 72 Veiem de nou que el centre és (5, –3) i el radi 7.

Exercicis resolts

1 Escriure l’equació de la circumferència de centre (3, –2) i radi 4.

(x – 3)2 + ( y + 2)2 = 16. Aquesta ja és l’equació. Podríem simplificar-la si fora necessari per als nostres fins: x 2 – 6x + 9 + y 2 + 4y + 4 = 16 → x 2 + y 2 – 6x + 4y – 3 = 0 FES-HO TU. Escriu l’equació de la circumferència de centre

(–5, 2) i radi 3.

206

O(3, –2)

Exercicis resolts

2 Indicar quines de les equacions següents corresponen a circumferències i, en aquestes, identificar-ne el centre i el radi. Fer-ho amb les fórmules i completant quadrats:

a) • Els coeficients de x 2 i y 2 són 1. No hi ha terme en xy. (Fins ací tot va bé). 2

Però c 4 m – 6 = –2 < 0. Per tant, no és circumferència. 2 • En completar quadrats, obtenim el següent: x2 – 4x + 4 + y2 = –6 + 4 8 (x – 2)2 + y2 = –2

a) x 2 + y 2 – 4x + 6 = 0 b) 3x 2 + 3y 2 – 12x + 6y – 12 = 0 c) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 13 = 0

És impossible que la suma de dos quadrats siga –2; és a dir, el radi no pot ser negatiu, per tant, no és una circumferència. b) • Comencem dividint entre 3: x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0 Ara els coeficients de x 2 i y 2 són 1 i no hi ha terme en xy. 2

c 4 m + c 2 m – (– 4) = 9 > 0. Per tant, sí que és circumferència. 2 2 El radi és 9 = 3. El centre és c 4 , – 2 m , és a dir, (2, –1). 2 2 • Completem quadrats a partir de x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0.

FES-HO TU

Quines equacions corresponen a circumferències? Obtín-ne el centre i el radi utilitzant la fórmula i completant quadrats. a) 2x 2 + 2y 2 – 8x = 0 b) x 2 – y 2 + 7x – 2 = 0 c) x 2 + y 2 – 3x + 4xy – 16 = 0 d) x 2 + y 2 + 10x – 2y + 40 = 0 e) x 2 + y 2 – 6x – 8y + 25 = 0 f ) x 2 + y 2 – 2x + 4y + 6 = 0 3 Trobar el lloc geomètric dels punts P tals que la raó de distàncies a dos punts donats, A(0, 0) i B(6, 3), siga igual a 2 dist (A, P) És a dir, = 2. dist (B, P)

x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 4 + 4 + 1 8 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 És clar que és una circumferència de centre C(2, –1) i radi 9 = 3. c) • Els coeficients de x 2 i y 2 són 1. No hi ha terme en xy. 2

c 4 m + c 6 m – 13 = 4 + 9 – 13 = 0. Per tant, no és circumferència. 2 2 • En completar quadrats, obtenim el següent: x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = –13 + 4 + 9 8 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 0 Només el punt (–2, 3) complix aquesta condició. Expressem analíticament la condició: dist (A, P) =2 → dist (B, P)

x2 + y2 =2 ( x – 6) 2 + ( y – 3) 2

Operem i simplifiquem: x 2 + y 2 = 4(x 2 – 12x + 36 + y 2 – 6y + 9) → → 3x 2 + 3y 2 – 48x – 24y + 180 = 0 → x 2 + y 2 – 16x – 8y + 60 = 0

➜

Quocient de distàncies: una circumferència.

Pensa i practica

➜

L’equació resultant és una circumferència de centre (8, 4) i radi 64 + 16 – 60 = 20 . FES-HO TU. Repetix l’activitat amb M(0, 6), N(–2, 0) i PM /PN = 3

anayaeducacion.es Càlcul de l’equació de la circumferència

1 Troba l’equació de la circumferència de centre (–5, 12) i radi 13. Comprova que passa pel punt (0, 0).

2 Troba el lloc geomètric dels punts del pla la suma de quadrats de distàncies als extrems del segment AB, A(–3, 0) i B(5, 0) dels quals, és 50.

207

Estudi de la circumferència

(a)

Posicions relatives d’una recta i d’una circumferència Una recta, s, i una circumferència, C, poden ser exteriors (a), tangents (b) o secants (c i d). Analíticament se’n pot identificar la posició de dues maneres:

(b)

d OC

I. Resolent el sistema format per les dues equacions, que tindrà dues solucions (es tallen), una (són tangents) o cap (són exteriors). II. Comparant el radi, r, amb la distància, d, del centre a la recta:

exteriors (c)

• Si d > r, són exteriors.

tangents (d)

d OC

• Si d = r, són tangents.

• Si d < r, són secants, i si d = 0, la recta passa pel centre.

OC s secants

secants

Exercici resolt

1 Trobar la posició relativa de la recta s: y = x i la circumferència següent: x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0

• Resolent el sistema format per les equacions de la recta i la circumferència, s’obtenen els punts de tall. (Si el sistema no tinguera solució, la recta seria exterior a la circumferència): x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0 4 x 2 + x 2 – 8x + 2x + 1 = 0 → 2x 2 – 6x + 1 = 0 → y=x 3 + 7 = 2, 82 2 3 – 7 = 0, 18 2 La recta i la circumferència es tallen en els punts (0,18; 0,18) i (2,82; 2,82).

→ x = 6 ± 36 – 8 4

• Si només ens importa la posició relativa, aquesta es podria esbrinar comparant el radi, r, de la circumferència amb la distància, d, del seu centre a la recta. Trobem el centre i el radi: HAZLO TÚ

Troba la posició relativa de les rectes s1: y = x – 1 s3: y = 3 respecte de la circumferència anterior.

Pensa i practica

= –1 + 16 + 1 8 (x – 4)2 + (y + 1)2 = 16 Centre: OC (4, –1)

➜

dist (OC , s) = d = 4 + 1 = 5 = 3, 5 1+1 2 Com que r > d, la recta talla la circumferència en dos punts.

anayaeducacion.es Estudia la posició relativa d’una recta i una circumferència.

3 Estudia la posició relativa de la circumferència y 2

C : + – 6x – 4y – 12 = 0 respecte de les rectes: s1: 3x – 4y – 26 = 0 s2: 5x – 8y + 60 = 0 s3: 3x – 4y – 1 = 0 s4: x = 5 Troba’n els punts de tall i de tangència, si els hi haguera.

208

Radi: r = 16 = 4

s2: y = x + 1

x 2

x2 + y2 – 8x + 2y = –1 8 x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 =

4 Per a quins valors de b la recta y = x + b és tangent a la circumferència x 2 + y 2 = 9? 5 Troba la posició relativa de C : x 2 + y 2 – 6x + 8y = 0 respecte de les rectes: s1: x + y = 10 s3: 3x – 4y = 0

s2: 4x + 3y + 20 = 0 s4: y = –2

Potència d’un punt a una circumferència Donats un punt P(α, β) i una circumferència C de centre O(a, b) i radi r, anomenem d la distància de P a O: d = dist (O, P ).

S’anomena potència P del punt P la circumferència C a d 2 – r 2. P=

d 2

–

r 2

= (α –

a)2

+ (β –

b)2

–

O(a, b)

r 2

d P(a, b)

• Si el punt és exterior a la circumferència (d > r) → P > 0 • Si el punt és de la circumferència (d = r) → P = 0 • Si el punt és interior a la circumferència (d < r) → P < 0 Observant l’equació de C, (x – a)2 + ( y – b)2 – r 2 = 0, advertim que P és el resultat de substituir les coordenades del punt P (α, β) per x i y en aquesta equació. Exercici resolt

1 Calcular les potències del punt P(7, – 4) a aquestes circumferències: a) Té centre O(1, 4) i radi 12. b) x2 + y2 – 8x + 3y + 12 = 0

a) P = d 2 – r 2 = OP 2 – r 2 = a (7 – 1) 2 + (– 4 – 4) 2 k – 12 2 = 100 – 144 = – 44 < 0 2

Com que P < 0, el punt és interior a la circumferència.

b) P = 72 + (– 4)2 – 8 · 7 + 3 · (– 4) + 12 = 9 > 0 Com que P > 0, el punt és exterior a la circumferència.

Eix radical de dues circumferències S’anomena eix radical de dues circumferències el lloc geomètric dels punts del pla que tenen la mateixa potència respecte a ambdues. L’eix radical de dues circumferències és una recta perpendicular al segment que n’unix els centres. Exercici resolt

1 Trobar l’eix radical de les circumferències:

Expressem analíticament les potències d’un punt genèric X (x, y) a ambdues circumferències i les igualem:

C1: x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = 0

P(X a C1) = x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 Els punts que tenen la mateixa potència respecte a

C2: x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1 = 0

P(X a C2) = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

C1 i C2 s’obtenen igualant les dues expressions.

x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

simplificant

7x – 3y + 5 = 0

És, evidentment, una recta. Es pot comprovar que és perpendicular a la recta que unix els centres de C1 i C2 (el pendent és –3/7). Pensa i practica

6 Troba la potència de P(–3, 8) a aquestes circumferències: C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0 C2: O(4, –3), r = 20 Digues si P és interior o exterior a C1 i a C2.

7 Troba l’eix radical d’aquestes circumferències: C1: x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0 C2: x 2 + y 2 – 6y = 0 Comprova que és perpendicular a la línia dels centres.

209

Les còniques com a llocs geomètrics Com es dibuixa una el·lipse Els jardiners es valen del mètode següent per a traçar un parterre de forma el·líptica: es claven en el sòl dues estaques, es lliga entre ambdues una corda prou àmplia i es procedix com en la fotografia. Mentre es traça la corba, la corda ha d’estar sempre tesa.

Observa com ens hem valgut d’aquesta trama formada per dues famílies de circumferències concèntriques per a representar algunes el·lipses. Per exemple, la roja: si sumes la distància d’un dels punts a F1 i a F2 obtens 28 unitats. Comprova que aquesta suma no varia en canviar de punt. En ambdues construccions s’observa que la suma de distàncies de cada punt de l’el·lipse als dos punts fixos és sempre la mateixa. Com es dibuixa una hipèrbola La mateixa trama anterior ens servix per a representar hipèrboles. Observa, per exemple, la roja: pren-ne un punt. Resta les distàncies a F1 i a F2. Comprova amb un altre punt que la diferència és la mateixa (18). És a dir, la diferència de distàncies de cada punt de la hipèrbola als dos punts fixos és sempre la mateixa.

UNA ALTRA PARÀBOLA Observa aquesta altra paràbola amb la directriu més allunyada del focus. d

Com es dibuixa una paràbola

Aquesta altra trama ens servirà per a representar paràboles. Observa la roja. Pren-ne un punt i mesura’n les distàncies a F i a d. Compara-les. Fes el mateix amb altres punts de la mateixa corba. Els punts de la paràbola equidisten d’un punt fix, F, i d’una recta fixa, d. 210

Definicions Donats dos punts, F1 i F2, anomenats focus, i una distancia k, anomenada «constant de l’el·lipse» [k > dist (F1, F2)], s’anomena el·lipse el lloc geomètric dels punts P la suma de distàncies a F1 i a F2 del qual és igual a k: dist (P, F1) + dist (P, F2) = k Donats dos punts, F1 i F2, anomenats focus, i una distancia k, anomenada «constant de la hipèrbola» [k < dist (F1, F2)], s’anomena hipèrbola el lloc geomètric dels punts P la diferència de distàncies a F1 i a F2 dels quals és, en valor absolut, igual a k : |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = k

EXEMPLES Les dues el·lipses dibuixades en la pàgina anterior tenen la mateixa distància focal: dist (F1, F2) = 24. • En la roja, k = 28. • En la blava, k = 42. Les tres hipèrboles dibuixades en la pàgina anterior tenen la mateixa distància focal: dist (F1, F2) = 24. • En la blava, k = 22. • En la roja, k = 18. • En la verda, k = 10.

Donats un punt F, anomenat focus, i una recta, d, anomenada directriu, s’anomena paràbola el lloc geomètric dels punts, P, que equidisten de F i de d: dist (P, F ) = dist (P, d ) Mitjançant aquestes definicions es poden obtindre, amb tota senzillesa, les equacions d’aquestes figures. No obstant això, donada una equació, és menys fàcil aprendre a reconéixer quina és la figura a la qual correspon. Per a això, les estudiarem amb més detall en els pròxims apartats.

➜

anayaeducacion.es Visualitza les còniques en funció de les seues equacions.

Exercici resolt

1 Donats els punts F1(–2, 5), F2(7, –3) i la recta r: x – y – 1 = 0, obtindre les equacions de: a) L’el·lipse de focus F1 i F2 i la constant de la qual és 17. b) La hipèrbola de focus F1 i F2 i la constant de la qual és 6. c) La paràbola el focus de la qual és F1 i la directriu és r.

a) dist (P, F1) + dist (P, F 2) = 17 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 + (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 17

b) |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = 6 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 – (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 6

c) dist (P, F1) = dist (P, r) →

( x + 2) 2 + ( y – 5 ) 2 =

x – y –1 1+1

FES-HO TU. Donats els punts F1(–3, 0) i F2(1, –2) i la recta r : x + 2y – 5 = 0,

obtín les equacions de: a) L’el·lipse de focus F1 i F2 i constant 20. b) La hipèrbola de focus F1 i F2 i constant 2. c) La paràbola el focus de la qual és F1 i la directriu és r.

Pensa i practica

Troba l’equació de l’el·lipse de focus F1(4, 0) i F2(– 4, 0) i la constant de la qual és 10. Una vegada posada l’equació inicial, passa una arrel al segon membre, eleva al quadrat (atenció amb el doble producte!), simplifica, aïlla l’arrel, torna a elevar al quadrat i simplifica fins a arribar a l’equació 9x 2 + 25y 2 = 225.

2 Troba l’equació de la hipèrbola de focus F1(5, 0) i F2(–5, 0) i la constant de la qual és 6. Simplifica com en l’exercici anterior fins a arribar a l’expressió 16x 2 – 9y 2 = 144. 3 Troba l’equació de la paràbola de focus F(–1, 0) i directriu r : x = 1. Simplifica fins a arribar a l’expressió y 2 = – 4x.

211

Estudi de l’el·lipse Elements característics

VÈRTEXS DE L’EL·LIPSE

Tenim una el·lipse de focus F i F'. En tracem els dos eixos de simetria. Els elements característics es designen així: B O centre de l’el·lipse a = OA = OA' semieix major a b b = OB = OB' semieix menor c = OF = OF' semidistància focal A' c O F' F La constant, k, de l’el·lipse és 2a, perquè: k = AF + AF' = AF + A'F = 2a A més, com que B és un punt de l’el·lipse: B' BF + BF' = 2a ⇒ BF = BF' = a a 2 2 2 Observant el triangle rectangle BOF, es té que a = b + c . Resumint:

Els punts A, A', B i B' se solen anomenar vèrtexs de l’el·lipse.

A B a

b O

• Constant de l’el·lipse: k = 2a

• BF = BF' = a

• OF = OF' = c < a • a 2 = b 2 + c 2

Excentricitat

➜

Per a un mateix valor de a, com major siga c més allargada serà l’el·lipse, i com menor siga c més s’assemblarà a una circumferència. Per mesurar fins a quin punt es diferencia la forma d’una el·lipse de la d’una circumferència, se’n definix l’excentricitat. S’anomena excentricitat d’una el·lipse el quocient entre la distància focal i l’eix major: exc = c a L’excentricitat d’una el·lipse és un nombre major que 0 i menor que 1.

anayaeducacion.es Talls de les còniques que formen el·lipses.

ÒRBITES Els planetes giren al voltant del Sol descrivint òrbites el·líptiques en un focus de les quals està el Sol (Primera Llei de Kepler). Aquestes òrbites són molt poc excèntriques. Per exemple, l’excentricitat de l’òrbita de la Terra és tan xicoteta que si la dibuixem a escala en un full de paper, pareix una circumferència. Els cometes també descriuen òrbites el·líptiques, però molt més excèntriques.

planeta

exc = 0,88

exc = 0,61

exc = 0,21

Aquestes tres el·lipses tenen el mateix eix major, 2a. Com més disten els focus (2c), major n’és l’excentricitat 2c = c . 2a a Pensa i practica

212

Vertader o fals? Si diverses el·lipses tenen la mateixa distància focal, com més gran siga la constant k = 2a, major és l’excentricitat.

sol cometa

Equació reduïda de l’el·lipse Y

Per simplificar l’equació de l’el·lipse, triem els eixos de coordenades convenientment: prenem el centre de l’el·lipse com a centre de coordenades i els seus eixos com a eixos de coordenades. Les coordenades dels focus són F'(–c, 0) i F(c, 0).

P (x, y)

Qualsevol punt P(x, y) de l’el·lipse complix la condició: dist (P, F) + dist(P, F' ) = 2a

F' (–c, 0) O

F(c, 0)

Aquesta igualtat, expressada analíticament, dona lloc a l’equació següent: (x – c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Es passa una arrel al segon membre:

PF + PF' = 2a

(x – c) 2 + y 2 = 2a – (x + c) 2 + y 2 S’eleven al quadrat els dos membres: x 2 – 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 – 4a (x + c) 2 + y 2 → → – 4cx – 4a 2 = – 4a (x + c) 2 + y 2 → cx + a 2 = a (x + c) 2 + y 2 S’eleven al quadrat els dos membres i s’opera: c 2x 2 + a4 + 2ca 2x = a 2(x 2 + 2cx + c 2 + y 2) → → c 2x 2 + a2a2 + 2ca 2x = a 2x 2 + a22cx + a2c 2 + a2 y 2 Es posen els termes amb x2 i y2 en el mateix membre, s’anul·len els 2ca2x i s’agrupen termes: (a 2 – c 2)x 2 + a 2y 2 = a 2(a 2 – c 2) Es té en compte que a 2 – c 2 = b 2: b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 Dividint per a2b2 s’obté, finalment: 2 x 2 + y = 1 equació reduïda de l’el·lipse a2 b2

➜

Juga amb l’equació reduïda de l’el·lipse.

Exercici resolt

1 Trobar els elements característics i l'equació reduïda de l'el·lipse de focus F1(4, 0) i F2(– 4, 0) i constant k = 10.

Semieix major: k = 10 → 2a = 10 → a = 5 Semidistància focal:

Equació reduïda: 2 x2 + y =1 25 9

F1 F2 = 8 → 2c = 8 → c = 4

Semieix menor: b 2 = a 2 – c 2 = 25 – 16 → b = 3 Excentricitat: c/a = 4/5 = 0,8 → exc = 0,8 Pensa i practica

➜

F2(–4, 0)

5 4 F1(4, 0) 5

anayaeducacion.es Representació d’una el·lipse.

2 Una el·lipse té els focus en els punts F(5, 0) i F'(–5, 0) i la constant és k = 26. Troba’n els elements característics i l’equació reduïda. Representa-la.

213

Estudi de l’el·lipse

El·lipse amb els focus en l’eix Y F(0, 4)

Aquesta el·lipse és idèntica a la del marge, però amb els eixos canviats. Els focus estan sobre l’eix Y.

F (–4, 0)

L’equació és: 2 x2 + y =1 32 52

F' (0, –4)

y2 x2 + — — =1 52 32

Per a poder continuar usant la nomenclatura habitual: eix major = 2a

F (4, 0)

eix menor = 2b

excentricitat = c a

en aquests casos en què el denominador de x2 és menor que el de y2, posarem l’equació de l’el·lipse així: 2 x2 + y =1 b2 a2

EL·LIPSES AMB CENTRE EN (5, 3) 2 ( y – 3) 2 En roig: (x – 25) + =1 4 22 2 ( y – 3) 2 =1 En blau: (x – 25) + 2 42

El·lipse amb centre diferent del (0, 0) L’equació d’una el·lipse de semieixos a i b (a > b), amb el centre en (α, β) i eixos paral·lels als eixos de coordenades és:

(5, 3)

(x – a) 2 ( y – b) 2 (x – a)2 ( y – b)2 + = 1 o bé + =1 a2 b2 b2 a2 Exercici resolt

1 Representar les el·lipses següents i trobar-ne l'excentricitat i els focus: 2 y2 I. x + =1 16 36 ( x – 3) 2 II. + y2 = 1 25 (x + 2) 2 (y – 1) 2 III. + =1 16 25 IV. x 2 + 4y 2 = 4

c = 6 2 – 4 2 = 20

F (3 – 24, 0)

exc = 20 = 0, 75 6

X F' (3 + 24, 0)

c = 52 – 12 = 24

X F (0, 20)

F' (0, – 20) III

c = 52 – 42 = 3

exc = 24 = 0, 98 5 IV

exc = 3 = 0, 6 5 X F (–2, 4)

F' (–2, –2)

x2 + y2 =1 4 2 2 X c = 2 –1 = 3 exc = 3 = 0, 87 2 F ( 3, 0) F' (– 3, 0)

Pensa i practica

214

Representa i troba l’excentricitat i els focus. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) + =1 b) 9x 2 + 16y 2 = 144 16 4

2 ( y – 7) 2 c) (x – 3) + =1 16 64

d) x 2 + 4( y – 3)2 = 4

Estudi de la hipèrbola Elements característics r

Tenim una hipèrbola de focus F i F'. En tracem els dos eixos de simetria. Anomenem: O

centre de la hipèrbola

c = OF = OF'

semidistància focal

a = OA = OA'

semieix

r i r'

asímptotes

c a

F' A' O

c b a A F c

La constant de la hipèrbola és 2a, perquè:

k = AF' – AF = AF' – A'F' = AA' = 2a En el cas de la hipèrbola, el segment b es representa com es fa en la figura del marge. Es complix la relació: c 2 = a 2 + b 2 (Atenció, ara és c > a) Observem que els pendents de les asímptotes són: b i – b . a a Per a un mateix valor de a, en variar c, varia la forma de la hipèrbola:

c a

exc = 1,41

TIN EN COMPTE Si vols dibuixar una hipèrbola, comença traçant-ne les asímptotes. Després, dibuixa la corba cenyint-te a aquestes.

c a

exc = 1,22

exc = 1,10

Igual que en l’el·lipse, la relació entre c i a s’anomena excentricitat: excentricitat = c a Però, així com en l’el·lipse l’excentricitat és menor que 1, en la hipèrbola l’excentricitat és major que 1. Resumint:

➜

anayaeducacion.es Talls de les còniques que formen hipèrboles.

• Constant de la hipèrbola: k = 2a • OF = OF' = c > a • c 2 = a 2 + b 2

• Pendents de les asímptotes: b i – b a a c • exc = > 1 a

COMETES «EXPULSATS»

c r'

En la igualtat c 2 = a 2 + b 2 dividim els dos membres per a 2: 2

c 2 = a 2 + b 2 8 c 2 = 1 + b 8 exc 2 = 1 + (pendent) 2 b l cam a a2 a2 a2 Com major siga el pendent, b /a, de l’asímptota, major serà l’excentricitat, c /a, de la hipèrbola.

Els llibres d’astronomia ens conten que, a vegades, un cometa és expulsat del sistema solar per una espenta de Júpiter. El cometa portava una trajectòria el·líptica i, en passar prop de Júpiter, aquest gran planeta en desvia la trajectòria i la convertix en hiperbòlica. En aquest cas, ja no podrà tornar. Una el·lipse molt excèntrica (exc un poc menor que 1) és molt pareguda, en un cert tram, a una hipèrbola molt poc excèntrica (exc un poc major que 1). 215

Estudi de la hipèrbola

Equació reduïda de la hipèrbola Per trobar una equació de la hipèrbola raonablement simplificada, igual que féiem amb l’el·lipse, triarem convenientment els eixos de coordenades tal com s’indica en la figura del marge. D’aquesta manera, els focus són: F(c, 0) i F'(–c, 0).

Y P (x, y)

Un punt P(x, y) de la hipèrbola complix la condició següent: |dist (P, F ) – dist (P, F' )| = 2a

F'(–c, 0)

F (c, 0)

En suprimir el valor absolut, cal contemplar la possibilitat del doble signe: (x – c) 2 + y 2 – (x + c) 2 + y 2 = ± 2a En passar una arrel a l’altre membre, elevar al quadrat, simplificar, agrupar, elevar de nou al quadrat, etc., es procedix igual que amb l’el·lipse i s’arriba a una expressió idèntica a aquella: c 2x 2 + a 4 = a 2x 2 + a 2y 2 + a 2c 2 Però, ara, és b 2 = c 2 – a 2. Per tant, agrupant i substituint: (c 2 – a 2)x 2 – a 2y 2 = a 2(c 2 – a 2) → b 2x 2 – a 2y 2 = a 2b 2 Dividint ambdós membres per a 2b 2 s’obté, finalment, l’equació reduïda. 2 x 2 – y = 1 equació reduïda de la hipèrbola a2 b2

Exercici resolt

1 Trobar els elements característics i l'equació reduïda de la hipèrbola de focus F1(5, 0) i F2(–5, 0) i constant k = 8.

Semieix: k = 2a = 8 → a = 4 Semidistància focal: F1 F2 = 10 → c = 5 Càlcul de b: c 2 = a 2 + b 2 → b = 25 – 16 = 3

5 4

Excentricitat: exc = c = 5 = 1,25 a 4

Asímptotes: y = 3 x, y = – 3 x 4 4 2 2 y Equació reduïda: x – =1 16 9

Pensa i practica

anayaeducacion.es Representació d’una hipèrbola.

➜

1 Vertader o fals?

2 Una hipèrbola té els focus en els punts: F1(5, 0)

a) La hipèrbola III és la més excèntrica. b) La hipèrbola I és la menys excèntrica.

216

III

i F2(–5, 0)

i la constant és k = 6. Troba’n els elements característics i l’equació reduïda. Representa-la.

Hipèrbola amb els focus en l’eix Y La hipèrbola I és idèntica a la II , però amb els eixos canviats. Els focus estan sobre l’eix Y.

II a

y2 x2 – =1 correspon a2 b2 a una hipèrbola amb focus F(0, c) i F'(0, –c), sent c = a 2 + b 2 . Les asímptotes són y = ± a x . b L’excentricitat és exc = c . a En general, l’equació

y2 x2 – — — =1 2 3 22

y2 x2 – =1 32 22

Hipèrbola amb centre diferent del (0, 0)

L’equació d’una hipèrbola de semieixos a i b amb el centre en (α, β) i eixos paral·lels als eixos de coordenades és una de les següents: a

(a, b)

b (a, b)

( y – b)2 (x – a)2 – — — =1 2 a b2

(y – b)2 (x – a)2 — –—=1 a2 b2

Exercici resolt

1 Representar les hipèrboles següents: 2 y2 I. x – =1 16 36 ( x – 3) 2 II. y 2 – =1 25 ( y – 2) 2 (x – 1) 2 – III. =1 16 25 IV. 4y 2 – x 2= 4

III

Pensa i practica

3 Representa. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) – =1 16 4

b) 9x 2 – 16y 2 = 144

( y – 7) 2 ( x – 3 ) 2 – =1 64 16

d) x 2 – 4( y – 3)2 = 4

217

Estudi de la hipèrbola

Hipèrboles equilàteres

2 y Si en una hipèrbola d’equació x 2 – 2 = 1 fem que a = b, aleshores es pot exa b 2 y2 x pressar de la forma 2 – 2 = 1 → x2 – y2 = a2. Les asímptotes seran aleshores a b y = ±x, és a dir, són perpendiculars entre si i formen un angle de 45° amb els eixos. Aquesta classe de corbes es coneix com hipèrboles equilàteres.

c a

OBSERVA Com que en les hipèrboles equilàteres a = b, aleshores: c2 = a2 + a2 = 2a2 8 c = 2 a. L’excentricitat és, per tant: 2a excentricitat = c = = 2 a a Podem assegurar que totes les hipèrboles equilàteres són semblants.

Hipèrboles y = k/x Els gràfics de les funcions de proporcionalitat inversa, y = k/x, que has estudiat en cursos passats, són hipèrboles equilàteres. Es representen girades respecte a les del tipus x2 – y2 = a2. Però, on es troben els focus? I les asímptotes? Quin és el valor dels paràmetres a, b i c? Vegem-ho: ky= k k y =— x — x y =— x

ky= k k y =— x — x y =— x

( k , (k k ) , (k k) , k ) k

ky= k k y =— x — x y =— x

a a F ( a ( 2k, )F ( 2k ) 2k ) 2k, 2k 2k 2k 2k,F 2k c c c a a a

És clar que les asímptotes són els eixos de coordenades. El vèrtex de la hipèrbola y = k/x està en ( k , k ), és a dir, es troba a 2k del centre. Per tant, com veus en el dibuix, els focus són F ( 2k , 2k ) i F'(– 2k , – 2k ) i els paràmetres són a = b = 2k i c = 4k = 2 k . Exercici resolt

1 Trobar les coordenades dels focus i la distància focal de cada una d'aquestes hipèrboles equilàteres: a) y = 3 b) y= – 8 x x

a) Els focus són F ( 2 $ 3, 2 $ 3 ) = F ( 6, 6) i F'( – 6, – 6 ). La distància focal és 4 3 u. b) Els focus estan en els quadrants 2n i 4t. Per tant, els focus es troben en F(–4, 4) i F'(4, –4). La distància focal és 8 2 u.

Pensa i practica

4 Calcula la distància focal i les coordenades dels focus de les següents hipèrboles equilàteres: a) y = 1 x 218

b) y = – 2 x

c) y = 18 x

d) xy = 1 4

Donades les funcions de proporcionalitat inversa de l’exercici anterior, escriu l’equació que descriu cada un dels gràfics girats 45° respecte a l’origen de coordenades.

Estudi de la paràbola Elements característics

TOTES LES PARÀBOLES SÓN SEMBLANTS

Anomenem V: vèrtex de la paràbola

La forma d’una cònica queda determinada per la seua excentricitat. Dues el·lipses amb la mateixa excentricitat són semblants, tenen la mateixa forma. Anàlogament ocorre amb les hipèrboles. Aleshores, com que l’excentricitat de totes les paràboles és la mateixa, 1, totes són semblants.

p: distància del focus a la directriu A més dels elements ja coneguts:

F: focus d: directriu L’excentricitat d’una paràbola és sempre 1.

Equació reduïda Y

Tenim una paràbola de focus F i directriu d. Prenem com a eix X la recta que passa per F i és perpendicular a d. El centre de coordenades el situem en el punt mitjà entre F i d.

P (x, y)

Segons açò, i tenint en compte que anomenem p la distància entre F i d, tenim que: p p F c , 0m i d: x = – 2 2

( )

p 0 F —, 2

p x = –— 2

Un punt P(x, y) de la paràbola complix la condició: dist (P, F ) = dist (P, d ) Aquesta igualtat, expressada analíticament, dona lloc a l’equació: 2 2 2 cx – p m + y 2 = x + p → x 2 + p – px + y 2 = x 2 + p + px 2 2 4 4

y 2 = 2px

OBSERVA

equació reduïda de la paràbola

Les paràboles no tenen asímptotes.

Paràboles amb vèrtex diferent de (0, 0) Com has vist, l’equació d’una paràbola el vèrtex de la qual està en (0, 0) és y2 = 2px. Una paràbola amb el vèrtex en V(a, b) té per equació: (y – b)2 = 2p(x – a) Per exemple, la paràbola amb p = 3 i vèrtex (3, –2) és (y +

anayaeducacion.es Talls de les

➜

2)2 =

6(x – 3).

còniques que formen paràboles.

Exercici resolt

1 Trobar l'equació reduïda de les paràboles següents: a) Focus F(2, 0) i directriu x = –2. b) Igual que l'anterior, però amb el vèrtex en el punt (3, –1).

Pensa i practica

➜

a) Distància del focus a la directriu: p = 4 Equació reduïda: y2 = 8x

b) Equació reduïda: (y + 1)2 = 8(x – 3)

Y 2 1

anayaeducacion.es Calcula l’equació reduïda d’una paràbola.

1 Troba l’equació reduïda de la paràbola de focus F(1,5; 0) i directriu x = –1,5.

2 Troba l’equació reduïda d’una paràbola com la de l’exercici 1 però amb el vèrtex en (–2, 3).

219

Estudi de la paràbola

Càlcul del focus i de la directriu d’una paràbola amb eix paral·lel a l’eix Y

y = k x2

p Com hem vist en la pàgina anterior, el focus de la paràbola y2 = 2px és F c , 0m i 2 p la directriu, d: x = – . 2 Si en l’equació y2 = 2px canviem la x per la y, obtenim x2 = 2py. Es tracta de la mateixa paràbola girada 90° respecte a l’origen de coordenades. p p Per tant, el seu focus és F c0, m i la directriu, d: y = – . 2 2 Però, com trobar el focus i la directriu d’una paràbola d’equació y = kx2? Per a això, l’expressem així x2= 1 y i la comparem amb x2 = 2py. D’aquesta forma, k relacionem k amb p, així trobem el focus i la directriu en funció de k. 1 = 2p 8 p = 1 8 p = 1 k 2k 2 4k

x = k y2

y 2 = 2px

y 2 = –2px

x 2 = 2py

x 2 = –2py

En la paràbola y = kx2, amb k > 0, el focus és F c0, 1 m i la directriu, d: y = – 1 . 4k 4k Per exemple: • En la paràbola y = x2, el focus és F c0, 1 m i la directriu, d: y = – 1 . 4 4 1 • En y = – 1 x2, el focus és F c0, – 1 m i la directriu, d: y = . 2 2 2 Exercicis resolts

1 Trobar les coordenades del focus i l'equació de la directriu de les paràboles següents: a) y = 2x2 b) y= – 1 x2 4 Dibuixar cada una sobre uns eixos de coordenades.

1 a) El focus és: F c0, 8 m

La directriu, d: y = – 1 . 8 1 F

0,5

F 1

2 Calcular el focus i la directriu de la paràbola d'equació: y = 1 x 2 – 2 x + 11 6 3 3

b) C om que la paràbola està «oberta cap avall», el focus i la directriu canvien de costat. El focus és F(0, –1) i la directriu, d: y = 1. d

El vèrtex de la paràbola és V(2, 3). En la paràbola y =

1 2 x el focus és F c0, 3 m i la directriu, d: y = – 3 . 6 2 2

Com que V(2, 3), el focus és F c2, 3 + 3 m = F c2, 9 m i la directriu, d: y = 3 – 3 = 3 2 2 2 2

Pensa i practica

3 Troba les coordenades del focus i l’equació de la directriu de les paràboles següents: a) y = 4x2

220

b) y =

1 2 x 2

c) y = – 1 x2 8

d) y = –0,1x2

4 Dibuixa les paràboles de l’exercici anterior i els seus elements. 5 Calcula el focus i la directriu d’aquesta paràbola: y = – 1 x2 + x – 1 2 10

Tangents a les còniques mitjançant papiroflèxia Tangents a una el·lipse L’activitat següent és molt interessant.

Dibuixa una circumferència de centre C i radi r i, en l’interior, un punt P diferent del centre. Doblega el paper de manera que es faça passar la circumferència pel punt P. Torna a fer-ho més de dotze vegades. Si, com en la il·lustració, vas recorrent totes les parts de la circumferència, veuràs que les línies dels plecs envolten una bella el·lipse els focus de la qual són P i C.

P F'

Cada un dels plecs és una tangent a l’el·lipse, i la constant de l’el·lipse (suma de les distàncies de cada punt als focus) és el radi, r, de la circumferència.

La tangent en cada punt, Q, és la bisectriu exterior dels segments QF i QF'.

Tangents a una hipèrbola

També ací el radi de la circumferència és la constant de la hipèrbola: diferència de distàncies als focus (P i C ).

Si es repetix l’activitat descrita més amunt posant el punt P exterior a la circumferència, s’obté una hipèrbola com a corba tangent als plecs.

Q F

La tangent a una hipèrbola en un punt és la bisectriu interior dels radis vectors que partixen d'aquest punt.

Tangents a una paràbola Si sobre un paper traces una recta d i un punt F, i doblegues el paper fent coincidir el punt F amb un punt de la recta, els plecs r són tangents a una paràbola de focus F i directriu d.

Observa ara els dibuixos del marge. Les rectes paral·leles a l’eix (perpendiculars a d ) es «reflectixen» en la paràbola i passen pel punt F. I viceversa, una recta que ix de F, es «reflectix» en la paràbola i ix paral·lela a l’eix.

Aquesta propietat s’usa moltíssim: fars de cotxes, forns parabòlics, antenes parabòliques…

Far d’un cotxe.

Forn solar a Font Romeu, França. 221

Exercicis i problemes resolts 1. Determinació d’una circumferència coneguts tres punts pels quals passa Obtindre el centre, el radi i l'equació de la circumferència que passa pels punts P(0, 0), Q(10, 0) i R(18, 12).

Anàlisi del problema. Com que el centre de la circumferència, O, equidista dels tres punts, pertany a les mediatrius dels segments PQ i PR i es pot trobar com la intersecció d'aquestes mediatrius. És a dir, cal trobar el circumcentre del triangle PQR. • Trobem les mediatrius de PQ i PR, respectivamen mPQ i mPR .

La recta mPQ passa pel punt mitjà de PQ, MPQ = (5, 0), i és perpendicular a PQ = (10, 0), és a dir, paral·lela a l’eix Y. Per tant, mPQ: x = 5. La recta mPR passa pel punt mitjà de PR, MPR = (9, 6), i és perpendicular a PR = (18, 12) (3, 2). Per tant:

P 2

mPR : 3(x – 9) + 2(y – 6) = 0 → mPR: 3x + 2y – 39 = 0 Calculem el centre O com la intersecció d’aquestes mediatrius: x =5 4 x = 5, y = 12 → O (5, 12) 3x + 2y – 39 = 0 • Obtenim el radi com la distància O a qualsevol dels punts donats: r = dist (O, P ) = (5 – 0) 2 + (12 – 0) 2 = 169 = 13 • L’equació de la circumferència és: (x – 5)2 + ( y – 12)2 = 169 Un altre mètode de resolució L’equació reduïda d’una circumferència és: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

FES-HO TU

Obtín el centre, el radi i l’equació de la circumferència que passa per P(–1, 3), Q(2, –2) i R(3, 0).

Com que P, Q i R pertanyen a la circumferència, complixen la seua equació: _ Z 0 2 + 0 2 + 0 · A + 0 · B + C = 0b ]C = 0 2 2 10 + 0 + 10A + 0 · B + C = 0` → [10 2 + 10A = 0 8 A = –10 b ] 2 18 2 + 12 2 + 18A + 12B + C = 0 18 + 12 2 + 18A + 12B = 0 8 B = –24 a \ L’equació de la circumferència és: x 2 + y 2 – 10x – 24y = 0 Centre: O c –A , –B m = (5, 12). 2 2

Radi: r = c A m + c B m – C = 5 2 + 12 2 = 13 2 2

2. Circumferència que passa per un punt i el centre de la qual està sobre una recta determinada Trobar analíticament l'equació de la circumferència de radi 17 que passa per (4, –1) i el centre de la qual pertany a la 1 1 recta y = x + 2 2

FES-HO TU

Obtín l’equació de la circumferència de radi 40 que passa per P(2, 11) i el centre de la qual pertany a la recta d’equació x – 3y + 11 = 0.

222

Anàlisi del problema. Hem de trobar l'equació d'una circumferència de la qual ja coneixem el radi. Sabem que el centre està en una recta. Tracem una circumferència de centre (4, –1) i radi 17 . La intersecció d'aquesta circumferència amb la recta és el centre que busquem. Equació de la circumferència de centre (4, –1) i radi 17 és: (x – 4)2 + (y + 1)2 = 17 1 1 Vegem els punts de tall de la circumferència i la recta y = x + : 2 2 Z ]]x 1 = 1 8 y 1 = 1 $ 1 + 1 = 3 (x – 4) 2 + (y + 1) 2 = 17 Y 5 2 5 2 5 8 [ * y= 1x+ 1 ]x 2 = 5 8 y 2 = 1 $ 5 + 1 = 3 2 2 2 2 \ 1 3 Hem trobat dos punts, c , m i (5, 3), que són els centres 5 5 de les dues circumferències, C1 i C2, que complixen les condicions: 3 2 1 2 C1: cx – m + c y – m = 17 5 5

(4, –1)

C2: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 17

3. Descripció d’una cònica a partir de la seua equació Descriure les còniques següents, obtindre'n els elements i dibuixar-les: a)

x 2 + y 2 –

x 2 +

y 2 –

2y –

y 2 –

2y – 4x – 11 = 0

2x + 4y + 2 = 0

4y 2 –

8y = 0

x 2 =

a) Es tracta d’una circumferència perquè els coeficients de x 2 i y 2 són 1. Operem en l’equació fins a obtindre-la en la forma Completem quadrats: (x 2 – 2x + 1) + ( y 2 + 4y + 4) + 2 – 5 = 0 →

(x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. Y 1

→ (x – 1)2 + ( y + 2)2 = 3 Circumferència de centre O(1, –2) i radi r = 3. b) Els coeficients de x 2 i y 2 són diferents, però del mateix signe; és una el·lipse. (x – x 0) 2 ( y – y 0) 2 Operem en l’equació fins a obtindre-la en la forma + = 1. a2 b2 Completem quadrats: x 2 + (4y 2 – 8y + 4) – 4 = 0 → x 2 + (4y 2 – 8y + 4) = 4 → 2 2 ( 4 y 2 – 8 y + 4) 4 → x + = 8 x + ( y – 1)2 = 1 4 4 4 4 És una el·lipse de centre O(0, 1) i eix major paral·lel a l’eix X. Semieixos: a = 2, b = 1 Semidistància focal: c 2 = a 2 – b 2 = 4 – 1 = 3 → c = 3

1 Excentricitat: exc = c = 3 a 2 c) És una hipèrbola perquè els coeficients de x 2 i y 2 tenen signe diferent. ( y – y 0 ) 2 ( x – x 0) 2 – Operem en l’equació fins a obtindre-la en la forma = 1. b2 a2 Completem quadrats:

y 2 – 2y – x 2 = 0 → ( y 2 – 2y + 1) – x 2 – 1 = 0 → ( y – 1)2 – x 2 = 1 Es tracta d’una hipèrbola equilàtera (és a dir, a = b) de centre O(x0, y0) = (0, 1) i focus en l’eix Y. Semieixos: a = 1, b = 1 c 2

FES-HO TU

Descriu les còniques següents, obtín-ne els elements i dibuixa-les: a) x 2 – 2y + 2 = 0 b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0 c) x 2 + 9y 2 – 2x – 8 = 0 d) x 2 + y 2 + 4x + 6y + 9 = 0

b 2

Semidistància focal: = + = + =2 → c= 2 Asímptotes: y = ± a (x – x 0) + y 0 → y = x + 1 i y = –x + 1 2 b X Excentricitat: exc = c = 2 = 2 a 1 d) En tindre terme en y 2 i no en x 2 és una paràbola amb eix horitzontal. A més, O(0, 0) no complix l’equació de la paràbola; per tant, el vèrtex V(x0, y0), no està situat en l’origen de coordenades. L’equació d’una paràbola d’aquest tipus és p p ( y – y0)2 = 2p(x – x0), sent el focus F cx 0 + , y 0m i la directriu x = x 0 – . Operem 2 2 fins a tindre l’equació inicial d’aquesta manera. Completem quadrats: ( y 2

– 2y + 1) – 4x – 11 – 1 = 0 → ( y –

→ ( y – 1)2 = 2 · 2(x + 3)

1)2

= 4x + 12 →

p Vèrtex: V(x0, y0) = (–3, 1) Focus: F cx 0 + , y 0m = (–2, 1) 2 p Directriu: x = x0 – → x = – 4 2

223

Exercicis i problemes resolts 4. Equació d’una el·lipse no centrada en l’origen Obtindre l'equació de l'el·lipse de focus F'(–1, 1) i F(5, 1) i l'excentricitat de la qual és exc = 3 . 5

Trobem el centre de l’el·lipse com el punt mitjà dels focus:

O = MF'F = c –1 + 5 , 1 + 1 m = (2, 1). L’el·lipse no està centrada en (0, 0). 2 2 ( x – 2) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 L’equació de l’el·lipse ha de tindre la forma: a2 b2 Per a determinar els semieixos utilitzarem la distància focal i l’excentricitat: dist (F', F ) = 6 = 2c → c = 3; exc = c 8 3 = 3 8 a = 5 5 a a 2 2 2 2 2 b = a – c 8 b = a – c = 25 – 9 = 16 = 4

FES-HO TU

Obtín l’equació de l’el·lipse de focus F' (3, –2) i F(3, 6) i l’excentricitat de la qual és exc = 4 . 5

L’equació requerida és:

(x – 2) 2 + ( y – 1) 2 = 1 25 16

5. Equació d’una hipèrbola no centrada en l’origen a partir de la seua representació gràfica Calcular les equacions de les hipèrboles roja i blava representades a continuació:

El centre és el punt d’intersecció de les dues asímptotes: C (2, 1) ( x – 2 ) 2 – ( y – 1) 2 = 1 a2 b2 Com que a = 2 i els pendents de les asímptotes són m = ±3/4, aleshores: 2 b = 3 8 b = 3 . Per tant, l’equació buscada és: (x – 2) 2 – ( y – 1) = 1 2 4 2 4 9/4 Hipèrbola roja. La línia dels focus és paral·lela a l’eix X:

( y – 2) 2 ( x – 1) 2 – =1 a2 b2 Com que les asímptotes són iguals, a i b continuen valent el mateix, l’equació és: (y – 2) 2 ( x – 1) 2 – =1 4 9/4 Hipèrbola blava. Com que la línia dels focus és paral·lela a l’eix Y:

(–3, 2)

6. Elements d’una paràbola d’eix vertical a partir de la seua representació gràfica Calcular el focus i la directriu d'aquesta paràbola: Y

(–2, 3)

FES-HO TU

L’equació general d’una paràbola d’eix vertical és: y = ax2 + bx + c –b 8 2 = –b L’abscissa del vèrtex de la paràbola és: Vx = 8 4a + b = 0 2a 2a Com que (2, 1) pertany a la paràbola: 1 = a · 22 + b · 2 + c 8 4a + 2b + c = 1 Com que (–2, 3) també hi pertany: 3 = a · (–2)2 + b · (–2) + c 8 4a – 2b + c = 3

(1, –6)

Calcula el focus i la directriu d’aquesta paràbola.

224

1 X

(2, 1) 1

Anàlisi del problema. A partir del vèrtex i d'un altre punt de la paràbola en calculem l'equació. Amb el coeficient de la x2 podem calcular el focus i la directriu d'una paràbola igual a aquesta centrada en l'origen. Calculem el focus i la directriu real traslladant-los amb el vector posició del vèrtex.

Obtenim els coeficients a, b i c amb aquest sistema d’equacions: Z ]]4a + b = 0 2 [4a + 2b + c = 1 8 a = 1 ; b = – 1 ; c = 3 8 y = x – x + 3 2 2 2 8 2 8 ]4a – 2b + c = 3 \ Trobem el focus i la directriu: 1 = 1 8 p = 4 8 2p p p Paràbola amb vèrtex en (0, 0): F c0, m 8 F(0, 2); d : y = – 8 d: y = –2 2 2 Paràbola amb vèrtex en (2, 1): F (2, 3); d: y = –1

7. Centre radical de tres circumferències Calcula un punt que tinga la mateixa potència respecte d'aquestes tres circumferències. C1: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0 C2: x2 + y2 + 10y = 0 C3: x2 + y2 – 12x + 11 = 0 Aquest punt es diu centre radical de les tres circumferències.

Anàlisi del problema. Per a trobar el centre radical, R, cal obtindre dos dels eixos radicals i determinar-ne el punt de tall. Eix radical de C1 i C2: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = x2 + y2 + 10y 8 6x + 16y – 9 = 0 Eix radical de C2 i C3: x2 + y2 + 10y = x2 + y2 – 12x + 11 8 12x + 10y – 11 = 0 Punt de tall dels dos eixos radicals:

6x + 16y – 9 = 0 7 43 7 43 8 y= 8 x= 8 Rc , m 22 66 22 66 12x + 10y – 11 = 0

FES-HO TU: Troba el centre radical d’aquestes tres circumferències:

C1: x2 + y2 – 6x + 6y – 14 = 0 C2: x2 + y2 – 10y – 8y + 37 = 0 C3: x2 + y2 – 8x + 7 = 0 8. Equació d’una paràbola amb vèrtex diferent de (0, 0) donats el focus i la directriu Calcular l'equació de la paràbola, l'eix de la qual és paral·lel a l'eix X de focus F(3, 5) i directriu x = –1. FES-HO TU

Troba l’equació de la paràbola d’eix horitzontal el focus del qual és F(4, –3) i la directriu de la qual és x = 2.

Si el focus d’una paràbola és F(3, 5) i la directriu és x = –1, la distància del focus a la directriu és p = 3 – (–1) = 4. Per tant, el vèrtex es troba a la mateixa distància del focus i de la directriu. És a dir: 3 –1,5 Vc m = V(1, 5) 2 Com que l’equació d’una paràbola el vèrtex de la qual està en (0, 0) és y2 = 2px, l’equació de la paràbola buscada serà: (y – 5)2 = 8(x – 1)

9. Càlcul de la recta tangent a una paràbola en un punt Trobar la recta tangent a la paràbola y 2 = 8x en el punt A(8, 8). Y

8 X

Anàlisi del problema. Com que la recta tangent no és paral·lela a l'eix Y i passa per A(8, 8), ha de ser de la forma y = m(x – 8) + 8. Per a trobar-ne el pendent, usarem el fet que una recta tangent a la paràbola ha de tindre un únic punt en comú amb aquesta, A. És a dir, el sistema que formen les seues equacions ha de tindre solució única. y = m ( x – 8) + 8 4 → [m(x – 8) + 8]2 = 8x y 2 = 8x Desenvolupant i operant, hi obtenim: m2x 2 + (–16m2 + 16m – 8)x + 64m2 – 128m + 64 = 0 Perquè aquesta equació de 2n grau tinga solució única, el seu discriminant ha de ser 0. (–16m2 + 16m – 8)2 – 4m2(64m2 – 128m + 64) = 0 → → 256m4 – 512m3 + 512m2 – 256m + 64 – 256m4 + 512m3 – 256m2 = 0 → → 256m2 – 256m + 64 = 0 → 4m2 – 4m + 1 = 0 → (2m – 1)2 = 0 → m = 1/2 La recta tangent buscada és r : y = 1 (x – 8) + 8 → r : x – 2y + 8 = 0 2 FES-HO TU: Resol aquest exercici per a la paràbola y 2 = – 4x i el punt A(– 4, 4). 225

Exercicis i problemes guiats 1. Càlcul dels elements d’una el·lipse Calcular la distància focal, el semieix menor i l'excentricitat d'aquesta el·lipse: 50 cm 1 cm

• Troba el semieix major i, a partir d’aquesta mesura i de la distància del focus a l’extrem esquerre, calcula la Semidistància focal. • Amb les dades que tens, pel teorema de Pitàgores, ja pots calcular el semieix menor. • Troba, a partir de les dades calculades, l’excentricitat de l’el·lipse. Solució:

distància focal = 48 cm; semieix menor = 10 cm; excentricitat = 12/13 = 0,92 2. Circumferència inscrita en un triangle Trobar l'equació de la circumferència inscrita en el triangle de costats a, b i c, sent: a: y = 0

• Troba la bisectriu de l’angle que definixen a i b. Obtín-la com el lloc geomètric dels punts P(x, y) que equidisten dels dos costats: dist (P, a) = dist (P, b). Expressa en coordenades aquesta condició i resol-ne l’equació resultant. Els valors absoluts donaran lloc a dues equacions diferents, corresponents a les dues bisectrius d’aquestes rectes. Ajuda’t d’una representació gràfica per a distingir quina és la que correspon a l’angle interior de triangle.

b: 3x – 4y = 0 c: 4x + 3y – 50 = 0 Y b

O(x0, y0)

• De manera anàloga, calcula la bisectriu corresponent als costats a i c.

r 1

Anàlisi del problema. Una circumferència queda determinada pel centre i el radi. El centre de la circumferència inscrita en un triangle és l'incentre; és a dir, el punt de tall de les bisectrius dels angles interiors d'aquest triangle. El radi, en ser la circumferència tangent als costats del triangle, es pot calcular com la distància del centre a qualsevol d'aquests costats.

• Calcula l’incentre O(x0, y0) com el punt de tall de les dues bisectrius, resolent el sistema que en formen les equacions. • Obtín el radi de la circumferència com la distància de O a qualsevol dels costats del triangle. Observa que si calcules la distància al costat a, els càlculs són més simples: r = dist (O, a). • L’equació de la circumferència és: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. En aparéixer denominadors en les coordenades del centre i en el radi, pot ser convenient desenvolupar l’expressió obtinguda per a simplificar-la. 2 2 Solució: 4x + 4y – 60x – 20y + 225 = 0

3. Rectes tangent i normal a una circumferència en un punt Siguen r i s, respectivament, les rectes tangent i normal a una circumferència en un punt P. r: x + y – 7 = 0

s: x – y – 9 = 0

Calcular l'equació de la circumferència sabent que el radi és r = 2 2 .

• El punt de la circumferència, P, on r és tangent es pot trobar com el punt d’intersecció de r i s resolent el sistema que formen les seues equacions. • Per a trobar el centre de la circumferència O(x0, y0), tin en compte que ha de complir aquestes dues condicions: O ∈ s i dist (P, O) = 2 2. Expressa analíticament aquestes condicions i resol el sistema que formen ambdues equacions. N’obtindràs Y dues solucions, O i O'. • Troba les expressions de les circumferències solució mitjançant l’equació: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2 Solució:

(x – 6)2 + ( y + 3)2 = 8; (x – 10)2 + ( y – 1)2 = 8

226 226

O' 1

P O

Exercicis i problemes proposats Per a practicar Llocs geomètrics

1 Troba, en cada cas, la mediatriu del segment AB. a) A(5, –1) B(–3, 1) b) A(3, 6) B(–1, 6) Comprova que és una recta perpendicular a AB. 2 Troba el lloc geomètric dels punts P(x, y) la diferència de quadrats de distàncies als punts A(0, 0) i B(6, 3) dels quals és 15. Quina figura hi obtens? 3 Troba el lloc geomètric dels punts la distància a la recta 4x – 3y + 11 = 0 dels quals és 6. 4 Troba el lloc geomètric dels punts que equidisten de les rectes r i s. Interpreta’n el resultat. r : 3x – 5y + 11 = 0 s : 3x – 5y + 3 = 0 5 Troba les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r i s: r : 4x – 3y + 8 = 0 s : 12x + 5y – 7 = 0 6 Calcula el lloc geomètric dels punts la distància a P(1, 0) dels quals siga la meitat de la distància a la recta x = 4. Quina figura hi obtens?

11 Escriu l’equació de la circumferència que passa per c0, – 1 m 3 i té centre en c 1 , – 1 m . 2 3 12 Troba l’equació de la circumferència que té el centre en el punt C(0, –5) i el diàmetre del qual és igual a 10. 13 Escriu l’equació de la circumferència que passa per A(1, –2) i per B(2, –1) i té radi 1. 14 Un dels diàmetres d’una circumferència té per extrems A(3, –2) i B(7, 0). Troba l’equació de la circumferència. 15 Determina l’equació de la circumferència que passa per A(2, – 4), B(8, –10) i C(4, –8). * Mira l'exercici resolt 1. 16 Dona l’equació de la circumferència que té per centre el punt (2, –5) i és tangent a l’eix d’abscisses. 17 Obtín l’equació de la circumferència el centre de la qual està en el punt (3, – 4) i que és tangent a l’eix d’ordenades. 18 Determina l’equació de la circumferència que té el centre en l’origen de coordenades i és tangent a la recta x + y – 3 = 0. 19 Determina les rectes tangent i normal a la circumferència (x + 4)2 + ( y + 2)2 = 13 en el punt A(–2, 1).

Circumferències

Posicions relatives de rectes i circumferències

7 Troba, en cada cas, el lloc geomètric dels punts del pla la distància al punt A del qual és d. a) A(0, 5) i d = 2 b) A(0, 0) i d = 1

20 Calcula la distància del centre de la circumferència x 2 + y 2 – 2y – 1 = 0 a la recta r : 2x – y + 3 = 0. Quina és la posició de r respecte a la circumferència?

c) A(–2, 0) i d = 1 2

d) A(–1, –5) i d = 3 5

8 Troba el lloc geomètric dels punts el quocient de distàncies als punts A(0, 6) i B(0, 3) del qual és 2, és a dir: dist (P, A) =2 dist (P, B) 9 Dona, en cada cas, l’equació de la circumferència que té centre C i radi r. a) C(0, 0) i r = 1 b) C(2, –3) i r = 2 c) C(–1, 0) i r = 2 d) C(0, 3) i r = 5 4 3 10 Esbrina quines de les expressions següents corresponen a circumferències i, en aquestes, troba’n el centre i el radi: a) x 2 + y 2 – 8x + 2y + 10 = 0 b) x 2 – y 2 + 2x + 3y – 5 = 0 c) x 2 + y 2 + xy – x + 4y – 8 = 0 d) 2x 2 + 2y 2 – 16x + 24 = 0

21 Estudia la posició relativa de la circumferència d’equació x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 respecte de cada una de les rectes següents: r1: x + y – 1 = 0 r2: 3x – 4y + 9 = 0 22

Estudia la posició relativa de la circumferència d’equació (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4 respecte a cada una de les rectes següents: r1: x – 2 = 0 r2: y = 0 r3: y = 2x + 1 Usa, en cada cas, els dos mètodes següents: a) Resolent els sistemes d’equacions formats per la circumferència i cada recta. b) Comparant la mesura del radi amb la distància de cada recta al centre de la circumferència.

23 Estudia la posició relativa de la recta y = x + b i la circumferència x 2 + y 2 = 1 en funció del paràmetre b. 24 Determina la posició relativa de la recta y = 2x – 3 i la circumferència x2 + y2 = a en funció del valor del paràmetre a. 227 227

Exercicis i problemes proposats Potència d’un punt a una circumferència

25 Determina la potència dels punts P(5, 2), Q(2, 1) i R(–1, 0) a la circumferència: C: x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 Utilitza-ho per a estudiar la posició relativa de P, Q i R respecte de C. 26 Troba i representa l’eix cumferències: a) x 2 + y 2 = 4 i b) (x – 3)2 + y 2 = 5 i c) x 2 + ( y – 3)2 = 2 i

radical dels següents parells de cir-

36 Troba els vèrtexs, els focus i l’excentricitat d’aquestes el·lipses no centrades en l’origen de coordenades. Representa-les: 2 ( y + 3) 2 (x – 1) 2 ( y + 2) 2 =1 a) x + b) + =1 25 9 9 16 37 Indica l’equació d’aquestes el·lipses i calcula’n l’excentricitat: Y Y a) b)

x 2 + ( y – 1)2 = 9 (x – 7)2 + y 2 = 9 (x – 5)2 + y 2 = 1

27 Calcula el centre radical d’aquestes tres circumferències: C1: x2 + y2 – 4x + 6y = 0 C2: x2 + y2– 1 = 0 C3: x2 + y2 + 6x + 5 = 0 * Mira l'exercici resolt 7.

El·lipses

28 Troba l’equació del lloc geomètric dels punts la suma de distàncies a P(– 4, 0) i Q(4, 0) dels quals és 10. 29 D’una el·lipse coneixem els focus F(0, 1) i F' (0, –1) i la constant k = 4. Determina’n l’equació. 30 Troba l’equació de l’el·lipse de focus (–2, 0) i (2, 0) sabent que la longitud de l’eix major és 10. 31 Escriu l’equació de l’el·lipse els focus de la qual són F(–3, 0) i F' (3, 0) i l’excentricitat de la qual és igual a 0,5. 32 Dona l’equació de l’el·lipse que passa per (3, 1) i té per focus (4, 0) i (– 4, 0). 33 D’una el·lipse, centrada en (0, 0), se sap que l’eix major, que és igual a 10, està sobre l’eix X. A més, passa pel punt (3, 3). Obtín-ne l’equació. 34 Determina, en cada cas, l’equació de l’el·lipse, centrada en (0, 0), que té aquestes característiques: a) L ’excentricitat és 1/2 i l’eix major està sobre l’eix Y i és igual a 2. b) Els vèrtexs són (–2, 0), (2, 0), (0, – 4) i (0, 4). 35 Troba els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de les el·lipses següents donades per les seues equacions. Representa-les: 2 2 y2 y2 a) x + =1 b) x + =1 100 36 64 100 c) 9x 2 + 25y 2 = 25 228

d) 9x 2 + 4y 2 = 3

Hipèrboles

38 Troba el lloc geomètric dels punts la diferència de distàncies a F'(– 4, 0) i F (4, 0) és 6. 39 Troba l’equació de la hipèrbola de focus (– 4, 0) i (4, 0) i distància entre vèrtexs, 4. 40 Obtín l’equació de la hipèrbola les asímptotes de la qual són y = ± 1 x i un dels vèrtexs és (2, 0). 5 41 D’una hipèrbola sabem que passa pel punt `8, 5 3j i els focus són (–3, 0) i (3, 0). Calcula’n l’equació. 42 Troba l’equació de la hipèrbola de focus (–3, 0) i (3, 0) i asímptotes y = ± 2 5 x . 5 43 Troba els vèrtexs, els focus, les excentricitats i les asímptotes de les hipèrboles donades per aquestes equacions. Dibuixa-les: 2 y2 a) x – =1 100 36

2 b) 9x – y 2 = 1 16

c) x 2 – 4y 2 = 1

d) x 2 – 4y 2 = 4

y2 x2 – =1 4 36

g) 9x 2 – 4y 2 = 36

f ) y 2 – 16x 2 = 16 h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0

2 (y – 1) 2 (y – 1) 2 (x – 1) 2 =1 – i) x – j) =1 16 9 36 64 44 Indica l’equació de cada una de les hipèrboles següents i calcula’n l’excentricitat. a) b) Y Y

45 Troba les coordenades dels focus i la distància focal d’aquestes hipèrboles equilàteres: a) y = 1 b) y = – 3 c) y = 12 x 4x x Paràboles

46 Troba el lloc geomètric dels punts que equidisten del punt (3, 0) i de la recta y = –3. 47 Troba, en cada cas, l’equació de la paràbola de focus F i directriu d. a) F (5, 0); d: x = –5 b) F (–3, 0); d: x = 3 c) F (0; 2,5); d: y = –2,5 d) F (0, – 4); d: y = 4 48 Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex en l’origen de coordenades i la directriu de la qual és y = 3. 49 Calcula l’equació de la paràbola de focus F i directriu d: a) F (3, 5); d: x = 1 b) F (–2, 1); d: x = –6 c) F (1, –2); d: y = –4 d) F (0, 3); d: y = –5 * Mira l'exercici resolt 8.

51 Troba els vèrtexs, els focus i les directrius de les paràboles següents. Representa-les: 2 a) y 2 = 6x b) y 2 = – 6x c) y = x 2 d) y = x 4 f ) (y – 2)2 = 8x

g) (x – 1)2 = –8(y + 1)

h) (y + 2)2 = –4(x – 1)

52 Calcula les equacions d’aquestes paràboles: Y Y a) b) c) X

Per a resoldre 54 Identifica les còniques següents, calcula’n els elements característics i dibuixa-les: a) 4x 2 + 9y 2 = 36 b) 16x 2 – 9y 2 = 144 c) 9x 2 + 9y 2 = 25

d) x 2 – 4y 2 = 16

e) y 2 = 14x

f ) 25x 2 + 144y 2 = 900

(x – 1) 2 + ( y – 4) 2 = 1 9 25 2 i) (x + 2) = 4( y + 5)

2 ( y + 1) 2 =1 h) (x – 1) – 16 9 j) x 2 + y 2 – 2x + 4y = – 4

55 Calcula el vèrtex, el focus i la directriu de cada una de les paràboles següents: a) y2 – x + 2 = 0 b) y2 – 2y – 4x + 1 = 0 c) x2 – 4x – 6y – 2 = 0 d) y2 – 4y – 6x – 5 = 0 * Mira l'exercici resolt 3d). 56 a) Troba l’equació de la circumferència el centre de la qual és C(–1, 1) i és tangent a la recta 3x – 4y – 3 = 0. b) De totes les rectes paral·leles a la bisectriu del primer quadrant, troba les que siguen tangents a la circumferència trobada en l’apartat anterior. 57 Troba l’equació de la circumferència que passa per (–3, 2) i (4, 1) i és tangent a l’eix X. 58 De la circumferència C se sap que té el centre en la recta x – 3y = 0 i passa pels punts (–1, 4) i (3, 6). Obtín l’equació de C.

50 Troba l’equació de la paràbola amb focus F(1, 1) i vèrtex V(1, 1/2).

e) y2 = 4(x – 1)

que passa pel punt (4, 5).

59 Determina l’equació de la circumferència de radi 10 que, en el punt (7, 2), és tangent a la recta 3x – 4y – 13 = 0. 60 Troba l’equació de la circumferència inscrita en el triangle de vèrtexs A(3, 2), B `1 – 2, – 2j i C `5 + 2, – 2j .

61 Troba l’equació de la circumferència circunscrita al triangle determinat per la recta y = –x + 4 i els eixos de coordenades. Calcula l’equació de la recta tangent a aquesta circumferència en (0, 0). 62 Troba l’equació de la circumferència inscrita en el quadrat de vèrtexs A(–3, 3), B(–1, 3), C(–1, 1) i D(–3, 1).

* Mira l'exercici resolt 6. 53 Troba l’equació de la paràbola de vèrtex en el punt (2, 3) i

63 Troba l’equació de la circumferència de radi 5 que passa per P(1, 1) i el centre de la qual pertany a la recta x + 3y – 19 = 0. * Mira l'exercici resolt 2. 64 Estudia la posició relativa del punt P(0, 3) respecte a la circumferència (x – m)2 + y 2 = 25 en funció dels valors del paràmetre m. 229

Exercicis i problemes proposats 65 Estudia en funció de k la posició relativa de la recta s : 4x + 3y + k = 0 respecte a la circumferència d’equació x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0. 66 Troba els punts d’intersecció de cada parell de circumferències i digues quina n’és la posició relativa. x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 a) * 2 2 x + y =4

x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 b) * 2 2 x + y – 6x + 2y + 9 = 0

67 Considera les circumferències C1: (x – 1)2 + ( y + 1) 2 = 2 i C2: (x – 3)2 + ( y + 3) 2 = 10. a) Comprova que les dues circumferències són secants i calcula’n els punts de tall, A i B. b) Troba les potències dels punts A i B a les circumferències C1 i C2. c) A la vista del resultat obtingut en l’apartat anterior, què podries dir de l’eix radical de les dues circumferències? d) Pots generalitzar aquest resultat per a un parell qualsevol de circumferències secants?

75 Associa cada una de les equacions següents a una dels gràfics que estan a continuació: a) x 2 + 4y 2 = 4 b) x 2 + y 2 = 9 c) y 2 – 9x 2 = 9 d) 2xy = 1 2 2 2 y e) x + =1 f ) x – y = 0 9 16 9 2 g) x – y 2 = 1 h) y 2 = 2(x – 1) 4 2 2 y2 i) x + =0 j) (x – 1) + ( y – 1) 2 = 1 25 9 4 I

III

VII

VIII

68 Dues circumferències es tallen en els punts (0, 0) i (0, 8). Quin n’és l’eix radical? Justifica la resposta. 69

Escriu l’equació d’una el·lipse amb centre en l’origen de coordenades i focus en l’eix d’abscisses, sabent que passa pel punt P(8, –3) i que l’eix major és igual al doble del menor.

70 Troba l’equació de la hipèrbola centrada en el punt (4, 5), els focus del qual són F (2, 5) i F'(6, 5) i el semieix menor és b = 1. 71 Troba l’equació de la hipèrbola següent: • Té el centre en l’origen de coordenades. • Té els focus en l’eix d’abscisses. • Passa pel punt P ` 5/2, 1j .

• Una de les asímptotes és la recta y = 2x. 72 Troba l’equació de la hipèrbola equilàtera els focus de la qual són (5, 0) i (–5, 0).

73 El cometa Halley descriu una òrbita el·líptica i el Sol es troba en un dels focus, d’excentricitat 0,96657. Si la seua distància mínima al Sol (periheli) és de 0,6 UA, calcula quina n’és la màxima (afeli). Recorda que 1 UA (unitat astronòmica) és la distància mitjana entre la Terra i el Sol.

Cuestions teòriques

74 La Terra descriu una òrbita el·líptica, i el Sol es troba en un dels focus. En aquesta trajectòria, la distància mínima Terra-Sol és de 147 095 248 km, i la màxima és de 152 100 492 km. Calcula l’excentricitat de l’òrbita i interpreta’n el resultat obtingut.

76 Determina si les equacions següents corresponen a còniques. Si és així, indica quina cònica és: 2 2 y2 y2 a) – x = +1 b) x = –1 4 9 4 9 c) x 2 + y 2 + x + y + 1 = 0 d) y 2 + 2y = x

230

77 Sabem que en aquesta hipèrbolaa | PF – PF' | = 4. Quina branca correspon a F PF – PF' = 4 i quina correspon a PF' – PF = 4? 78

Tenint en compte la definició d’el·lipse i prenent-ne sobre el dibuix algunes mesures, digues quines d’aquestes el·lipses amb els seus focus estan mal dibuixades: a) b) c) d)

Per a aprofundir F'

80 a) Troba el lloc geomètric dels punts P(x, y) la suma de quadrats de distàncies als punts A(–3, 0) i B(3, 0) dels quals és 68. Pots comprovar que es tracta d’una circumferència de centre O(0, 0). Quin n’és el radi? b) Generalitza: troba el lloc geomètric dels punts la suma de quadrats de distàncies a A(–a, 0) i B(a, 0) dels quals és k (constant), i comprova que es tracta d’una circumferència de centre O(0, 0). Digues el valor del seu radi en funció de a i de k. Quina relació han de complir a i k perquè realment siga una circumferència?

a) Si la distància d’una recta al centre d’una el·lipse és major que el semieix major, no es tallen.

81 a) Considera la circumferència C : (x – 1)2 + y 2 = 25 i el punt P(9, 6). Siga r la recta que unix P amb el centre de la circumferència. Troba A i B, punts de tall de r i C. Comprova que la potència de P respecte a C coincidix amb d (P, A) · d (P, B).

b) Totes les hipèrboles equilàteres tenen la mateixa excentricitat.

b) Demostra que l’apartat anterior és cert si substituïm r per qualsevol recta secant a C que passe per P.

c) Les paràboles del tipus y2 = –2px tenen excentricitat –1.

* Fes un dibuix i anomena

Vertader o fals?

d) P er tres punts alineats no pot passar una circumferència. e) Com més s’allunyen el focus i la directriu d’una paràbola, major és l’excentricitat.

AUTOAVALUACIÓ 1 Troba l’equació de la bisectriu dels angles formats per les rectes següents: r1: x = 3 r2: 3x – 4y + 1 = 0 2 Escriu l’equació de la circumferència el centre de la qual és el punt C(1, –3) i passa pel punt A(5, 0). 3 Considerem la circumferència x 2 + y 2 – 2x = 0 i la recta r : 3x – 4y + k = 0. Calcula els valors que ha de prendre k perquè r siga interior, tangent o exterior a la circumferència. 4 Descriu les còniques següents. Obtín-ne els elements i dibuixa-les: 2 2 y2 ( y + 1) 2 =1 a) x – =1 b) (x – 5) – 9 16 9 16 5 Obtín l’equació de l’el·lipse de focus F (– 4, 0) i F' (4, 0) i excentricitat 0,8. 6 Escriu l’equació de la paràbola que té directriu x = 3 i com a vèrtex, l’origen de coordenades.

A' i B' els punts de tall de C i la nova recta. Aplica semblança als triangles AB'P i A'PB.

82 Calcula el lloc geomètric dels punts el producte de distàncies a aquestes rectes del qual és 2: 2 r: 2x + 3y = 0 s: y = x 3 anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

➜

7 Troba els focus, l’excentricitat i les asímptotes de la hipèrbola que té per equació: 9y 2 – 16x 2 = 144. Dibuixa-la. 8 Indica les equacions de les còniques següents: a)

9 Donades aquestes circumferències: C1: x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 C2: x2 + y2 – 4x – 18y + 21 = 0 C3: x2 + y2 – 8x – 5y + 1 = 0 Representa-les i calcula’n el centre radical. 231

9 Funcions elementals Primeres aproximacions a la idea de funció El concepte de funció apareix com a tal en el segle xvii, però el procés fins a arribar-hi va ser lent i es remunta fins a l’antiguitat. En la matemàtica babilònica de fa 4 000 anys trobem els primers acostaments en forma de lleis que descriuen relacions entre magnituds, de tal manera que coneixent-ne el valor d’una s’obté, inequívocament, el valor de l’altra. En el segle ii aC, el matemàtic grec Ptolemeu va estudiar relacions entre variables, sense arribar a comprendre el concepte de funció. Oresme (matemàtic francés del segle xiv) va afirmar el 1350 que les lleis de la naturalesa són relacions de dependència entre «dues quantitats». Van ser aquest tipus de relacions les que van servir d’origen al concepte de funció. La primera idea de funció és, per tant, la d’una fórmula que relaciona algebraicament diverses magnituds. Galileu, al final del segle xvi, va utilitzar per primera vegada l’experimentació quantitativa com a font d’informació. Va començar a mesurar, anotar i valorar quantitativament causes i efectes per a establir relacions numèriques que descrigueren fenòmens naturals.

Reproducció del mapamundi inclòs en l’obra Geographia de Ptolemeu.

El concepte de funció es generalitza Les investigacions de Galileu sobre les relacions matemàtiques entre dues variables (x i y, causes i efectes) són un antecedent molt clar del concepte de funció, que va prenent forma al llarg del segle xvii. La representació gràfica mitjançant diagrames cartesians (segle xvii) va permetre la visualització de les funcions. D’aquesta manera, el concepte de funció es generalitza a qualsevol relació numèrica que responga a un gràfic sobre uns eixos de coordenades. Leibniz en 1673, adopta la paraula funció per designar aquestes relacions. Euler entre 1748 i 1755, va anar perfilant el concepte, al qual va donar precisió i generalitat, admetent que una relació entre dues variables pot ser funció, encara que no hi haja una expressió analítica que la descriga. El mateix Euler va ser qui va aportar la nomenclatura f (x) per a indicar el valor de la funció f associat al nombre x. Es pot dir que amb Euler s’assenta el concepte de funció.

236

Utilitat de les funcions Les funcions s’utilitzen per a modelitzar i estudiar multitud de fenòmens socials, naturals, científics… Encara que algunes tenen expressions molt complexes, és sorprenent veure la simplicitat de moltes altres. Com es determina la quantitat d’oxigen en sang? Entre altres, s’utilitza una funció la corba de la qual té forma d’eix (es diu que és de manera sigmoide). Intervé alguna funció en la determinació de l’edat dels fòssils? Sí, una logarítmica. Un equip d’investigadors i investigadores de la NASA va desenvolupar un complex model matemàtic destinat a predir els eclipsis de Fobos (satèl·lit de Mart) per poder observar-los amb el vehicle Curiosity des de la superfície de Mart. Entre altres dades, la predicció d’aquests eclipsis requerix conéixer, per a qualsevol instant de temps, les coordenades de Fobos i del Sol des de Mart. Aquest model dictamina en quins instants la càmera situada en el màstil de Curiosity La sonda Curiosity a la superfície de havia d’enfocar el Sol. Mart.

RESOL Famílies de funcions Ja coneixes moltes famílies de funcions: els noms, com són les expressions analítiques i quina forma tenen els gràfics. Associa cada nom de família amb la seua representació gràfica i amb la seua expressió analítica general. 1. Quadràtica 2. Arrel 3. Proporcionalitat inversa 4. Exponencial 5. Logarítmica A

B Y

E Y

X X

E Y

X X

I. y = x – 4

II. y = 4x

III. y = x 2 – 4x

IV. y = log2 x

V. y =

2 x –3

237

Les funcions i el seu estudi Concepte de funció En la ciència, en la tècnica, en la naturalesa, podem identificar infinitat de funcions: • La velocitat que porta una partícula depén del temps, és funció del temps. • La pressió de l’aigua de la mar és funció de la profunditat. • La grandària amb què es veu un objecte a través d’una lupa és funció de la distància a la qual es col·loque la lupa. • La sensació amb la qual es percep un estímul és funció de la intensitat d’aquest. En totes es relacionen dues variables. Tant en aquestes com en les altres funcions que manegem habitualment, les variables prenen valors reals (és a dir, es mouen en el conjunt Á dels nombres reals). f és una funció de Á en Á si a cada nombre real, x ∈ Dom, li fa correspondre un altre nombre real, f (x): Dom ⊂ Á

Dom ⎯→ Á x ⎯→ f (x)

El conjunt Dom dels valors que pot prendre la variable independent, x, es diu domini de definició de la funció. Y

RECORREGUT

El conjunt dels valors que pren la funció es diu recorregut.

➜

que permet visualitzar el domini i el recorregut de diversos tipus de funcions

y = f (x)

DOMINI

anayaeducacion.es Animació

Destaquem que perquè f (x) siga funció, cada valor de x ∈ Dom ha de tindre assignat un únic valor f (x): f (x) és únic per a cada x ∈ Dom Com que tant la variable x com la funció f (x) prenen valors reals, aquestes funcions es diuen funcions reals de variable real. Com venen donades les funcions Les funcions ens arriben en diversos formats: • Mitjançant el seu gràfic Permet que ens fem una idea molt clara de com és la funció amb un sol colp d’ull. • Per la seua expressió analítica (fórmula) Sintetitza algebraicament de manera perfecta la relació entre les dues variables. És la més precisa, però no és fàcil veure’n el comportament d’una sola ullada. • Mitjançant un enunciat Si ens ve donada per un enunciat (acompanyat o no d’una taula de valors) haurem de traduir-lo a un gràfic o, si fora possible, a una expressió analítica. 238

y=x

3 x +1 –x –3

La temperatura d’un pacient que comença la seua malaltia fins que torna a tindre 37 °C…

Aspectes rellevants d’una funció Analitzar el comportament d’una funció donada pel seu gràfic és senzill. És clar, per a això està aquest gràfic, perquè siga fàcil visualitzar els vaivens de la funció. Observem les pujades i baixades (creixement i decreixement), així com els màxims (punts on la corba deixa de pujar i comença a baixar) i mínims. Les discontinuïtats (trencaments), les branques infinites… Tot això és molt rellevant per a l’anàlisi de la funció que s’està descrivint. Y

En els cursos anteriors ens vam familiaritzar amb la interpretació de fenòmens físics, biològics, econòmics… descrits mitjançant gràfics. No obstant això, en aquest curs ens marquem un nou i gran objectiu: ser capaços de representar una funció a partir de la seua expressió analítica. Per a això, necessitem dues eines importants (límits i derivades) que estudiarem en les pròximes unitats i que, ara, passem a descriure molt breument. Límits Les branques infinites, tant les que es donen en punts finits com les que sorgixen quan la funció s’allunya cap a l’esquerra o cap a la dreta, s’obtenen mitjançant els límits.

PREGUNTAR A L’EXPRESSIÓ ANALÍTICA Hem d’aprendre a fer preguntes a l’expressió analítica d’una funció. • Ets contínua? • Tens branques infinites? On estan? Com són? • On ets creixent? On decreixent?

• Quins són els teus màxims i mínims? •… X

I ser capaços de trobar les respostes a aquestes preguntes.

L’estudi dels límits (unitat 10) ens permetrà esbrinar si existixen aquestes branques, on estan localitzades i quina forma tenen. Els límits també ajuden a dilucidar si una funció és o no contínua en un punt o si existix algun tipus de «trencament».

crei X

cre

El bon maneig de les derivades ens permetrà esbrinar els intervals on una funció és creixent i on és decreixent, així com a obtindre’n els màxims i mínims.

La derivada d’una funció és una altra funció que descriu el pendent (inclinació) de la primera en cada un dels seus punts. En la unitat 12 aprendrem les tècniques de càlcul de derivades.

cre

Derivades

239

Domini de definició Per què es restringix el domini de definició • La funció y = –5x 2 + 20x correspon a una paràbola. A cada valor real de la x cor-respon un valor de y. El domini de definició és tot Á.

• La funció a = 20t – 5t 2 correspon a l’altura a què es troba una pedra que llancem cap amunt amb una velocitat de 20 m/s. És la mateixa paràbola descrita en el paràgraf anterior, però ara la funció només està definida per a valors de t que facen a ≥ 0 (la pedra para en arribar a terra). El domini de definició d’aquesta funció és [0, 4].

• La funció l’expressió analítica de la qual és y = x – 7 no està definida en x = 1, perquè 1 – 7 = –6 no és un nombre real. Només està definida si x val 7 o més. El domini de definició és [7, +∞).

y = –5x 2 + 20x

El domini de definició d’una funció queda restringit per algun dels motius següents: • L’enunciat o context real del qual s’ha extret la funció.

• La impossibilitat de fer alguna operació amb certs valors de x. Per exemple: — Si s’anul·lara el denominador en una fracció algebraica. — Si apareguera un nombre negatiu dins d’una arrel d’índex parell. — Si un logaritme actuara sobre un nombre no positiu. • Per voluntat de qui proposa la funció.

OBSERVACIÓ Si no es diu una altra cosa, el domini de definició d’una funció és tan ampli com en permeta l’expressió analítica.

Operacions aritmètiques que restringixen el domini de definició • Denominador zero

Per exemple, f (x) = 1 + x – 5 . S’ha d’excloure el 0 del domini de definició, que x x +4 anul·la el primer denominador, i el –4, que anul·la el segon. Per tant:

OBSERVA

Dom = Á – {–4, 0} = (–∞, –4) « (–4, 0) « (0, +∞)

• Arrel d’índex parell i radicand negatiu

Per exemple, f (x) = x 2 – 3x . El radicand és negatiu en l’interval (0, 3). Per tant, el domini de definició és:

Dom = Á – (0, 3) = (–∞, 0] « [3, +∞) • Logaritme d’un nombre no positiu Per exemple, f (x) = ln (x2 – 3x). L’expressió sobre la qual actua el logaritme és negativa o zero en l’interval [0, 3]. Per tant, el domini de definició és:

y = x2 – 3x és negativa en l’interval (0, 3).

Dom = Á – [0, 3] = (–∞, 0) « (3, +∞) • Diverses restriccions. Quan en la mateixa funció confluïxen més d’una d’aquestes circumstàncies, cal tindre-les totes en compte.

OBSERVA Y

Per exemple:

1 • f (x) = . S’ha de suprimir del domini de definició els valors de x que 2 x + 5x anul·len el denominador, –5 i 0, i també els de l’interval (–5, 0) que fan negatiu el radicand. Per tant, Dom = Á – [–5, 0] = (–∞, –5) « (0, +∞). • f (x) = ln (x – 4) . El logaritme neperià obliga a excloure el tram (–∞, 4]. Però, a més, quan x é (4, 5), ln(x – 4) < 0, per la qual cosa l’arrel obliga a suprimir també aquests valors. Per tant, Dom = Á – (–∞, 5) = [5, +∞). 240

1 1

4 5

En el tram (4, 5), ln (x – 4) pren valors negatius.

Exercicis resolts

1 Trobar el domini de definició d’aquestes funcions: x 3 – 7x – 6 a) y = 3 x – 8x 2 + 15x x –3 b) y = 2 x + x +1

a) La funció no està definida en els punts en els quals s’anul·la el denominador, sense importar si el numerador s’anul·la o no en aquests: x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ (x2 – 8x + 15) · x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 Cal excloure aquests tres valors del domini de definició. Per tant: Dom = Á – {0, 3, 5} = (–∞, 0) « (0, 3) « (3, 5) « (5, +∞)

b) El denominador no s’anul·la en cap punt. Per tant, el domini és tot Á: Dom = Á

2 Trobar el domini de definició de les funcions següents: a) y = x 3 – 8x 2 + 15x b) y =

a) Vegem per a quins valors de x el radicand, al qual anomenem g(x) és positiu. g (x) = x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 El polinomi s’anul·la en 0, 3 i 5. En cada un dels intervals, (–∞, 0), (0, 3), (3, 5) i (5, +∞), el signe del polinomi (positiu o negatiu) es manté constant. Per això, calculem el valor del polinomi en un punt en cada interval perquè el seu signe serà el signe de g(x) en tot aquest interval:

+ x2

c) y = log (x4 + x2)

g(–1) = –24

g(1) = 8

g(4) = –4

g(6) = 18

g<0

g>0

g<0

g>0

g (x) ≥ 0 en [0, 3] i en [5, +∞). Per tant: Dom = [0, 3] « [5, +∞) b) g (x) = x4 + x2 només s’anul·la en x = 0 i és positiu en la resta. És a dir, g (x) ≥ 0 sempre. Per tant, no hi ha cap punt en el qual no estiga definida la funció g (x) . Dom = Á Estudia el domini representat.

➜

3 Trobar el domini de definició de: log (x – 1) y= 5x – x 2

c) g (x) = x4 + x2 s’anul·la en x = 0 i és positiu en la resta. Per tant, en el domini de log g(x) cal suprimir x = 0: Dom = Á – {0} = (–∞, 0) « (0, +∞) La funció log ha d’actuar sobre valors positius → x – 1 > 0 → x > 1 L’arrel, sobre valors no negatius → 5x – x2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 5 El denominador no s’ha d’anul·lar → 5x –

° ¢0<x<5 ≠ 0 → x ≠ 0 i x ≠ 5£

Les dues condicions es complixen en (1, 5).

x>1 0

Per tant: Dom = (1, 5)

0<x<5

Pensa i practica

➜

anayaeducacion.es Amplia el càlcul de dominis.

Troba el domini de definició de cada una de les funcions següents: 2 1 a) y = x3 – 4x2 + 3 x – 4x + 3x

2 b) y = x –24x + 3 x +1

2 a) y = log (x3 – 6x2 + 8x)

b) y = x 3 – 6x 2 + 8x

3 y=

log (x 3 – 6x 2 + 8x) x 3 – 6x 2 + 8x

4 a) y = x 3 – 2x 2 + x – 2 5 y=

b) y = log (x3 – 2x2 + x – 2)

x Atenció: per a quins valors de x s’anul·la el denolog x

6 a) y =

minador? log x = 0 → x = …

log (x – 3) x 2 – 7x + 10

b) y =

x 2 – 7x + 10 log (x – 3)

241

y = ax + b

Famílies de funcions elementals

Les funcions descriuen fenòmens quotidians, psicològics, econòmics, científics, tècnics… Tals funcions habitualment s’obtenen de forma experimental i, ben sovint, responen a alguna de les grans famílies que ja coneixem de cursos anteriors.

Recordem aquestes famílies i algunes funcions obtingudes experimentalment que hi corresponen.

Funcions lineals

FUNCIONS D’OFERTA I DEMANDA

Les funcions lineals es descriuen amb equacions de primer grau y = ax + b i es representen mitjançant rectes. Exemples: • La longitud l (en cm) d’un cert moll del qual pengen pesos de massa M (en g) ve donada per l’equació: l = 2 + 0,29M,

0 ≤ M ≤ 50

• La pressió P (en atmosferes) en la mar i la profunditat h (en m) es relacionen amb l’equació: P=1+ h , 10

h>0

pressió (atm)

2 10

h h>0 P=1+— 10 50 100

En el procés de compra-venda de qualsevol producte es poden considerar dues funcions: • Funció oferta, o (x): com més gran siga el preu del producte, major serà la quantitat d’unitats que l’empresa estiga disposada a produir i, per tant, major serà l’oferta. o (x) és creixent. • Funció demanda, d (x): com més gran siga el preu del producte, menor serà el nombre de persones disposades a comprar i, per tant, menor serà la demanda. d (x) és decreixent. Amb freqüència les funcions d’oferta i demanda són lineals: es representen mitjançant trossos de rectes.

profunditat (m)

Funcions quadràtiques Les funcions quadràtiques es des- Y criuen amb equacions de segon grau

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 i es representen mitjançant paràboles.

Exemples: • L’altura a (en m) a la qual es troba un objecte que es llança verticalment cap amunt amb una velocitat de 50 m/s, en funció del temps t (en s), és la següent: a = 50t – 5t 2,

0 ≤ t ≤ 10

altura (m)

100 a = 50t – 5t 2

distància recorreguda (m)

100

20 5

d= 242

+ 0,21v,

0 ≤ v ≤ 100

d = 0,0074v 2 + 0,21v

temps (s)

• La distància d (en m) recorreguda per un cotxe des que el conductor veu el perill fins que el cotxe para per complet en funció de la velocitat v (en km/h) que porta el cotxe en aquest instant, ve donada per aquesta expressió analítica: 0,0074v 2

El punt de tall és un punt d’equilibri: per a aquest preu, el que s’oferix és igual al que es demanda i ni sobra ni falta mercaderia. nota: En economia, aquestes funcions es descriuen prenent la quantitat com a variable independent i el preu com a variable depenent. Però en aquest nivell creiem que són més senzilles d’entendre presentant-les com ho fem ací.

10 10

velocitat (km/h100 )

Funcions arrel

Funció arrel que varia en canviar

➜

el valor de k.

Les funcions d’equació y = kx , k > 0

es representen mitjançant mitges paràboles amb l’eix paral·lel a l’eix X.

— y = √kx

Les arrels d’índexs diferents de 2 es representen (per a x ≥ 0) de manera similar.

Exemples: • El període T d’un pèndol (temps, en s, que tarda a realitzar una oscil·lació completa) és funció de la seua longitud l (en m). L’equació és:

Quina longitud ha de tindre la cadena d'un pèndol per que tarde un segon a realitzar una oscil·lació?

T=2 l • En psicologia té gran importància l’estudi de percepcions. Percebem llum, olors, sons… La percepció (sensació) depén (és funció) dels estímuls físics que arriben per mitjà dels sentits. La relació entre la sensació S amb la intensitat I de l’estímul, llei psicofísica, ve donada per aquesta fórmula:

sensació (estimada per l'individu) 3– S = k √I

S=k 3I Per exemple, si una persona experimenta un cert dolor en apretar-lo amb un dit, per a «duplicar» aquest dolor la pressió ha de ser huit vegades major.

estímul físic

Funcions de proporcionalitat inversa L’expressió analítica és

➜

k y=— x

y= k, k≠0 x i es representen mitjançant hipèrboles.

Hipèrboles y = ax.

Representa la funció f (x) = a i mou el desx lizador per a comprovar com es modifica la hipèrbola en variar el valor de a. Què ocorre quan a és negatiu?

augment

Exemples:

4 A=— 4–d

L’augment A produït per una certa lupa ve donat per l’equació:

distància (cm)

A= 4 4–d

on d és la distància (en cm) a la qual se situa l’objecte. • Tapem l’orifici d’eixida d’una xeringa de 8 cm de longitud. En estrényer l’èmbol, l’aire es comprimix. La relació entre la pressió P (en atmosferes), i la longitud l (en cm) de la columna d’aire respon a l’equació: l=

8 , P +1

longitud (cm)

8 8 l=— P≥0 P+1

P≥0 –1

pressió (atm) 243

Famílies de funcions elementals

Funcions exponencials Creixement de la població mundial

S’anomenen funcions exponencials les que tenen per equació

()

a > 0, a ≠ 1

y = 2x

• Si a > 1, la funció és creixent i creix molt més ràpidament com major siga a. El creixement de qualsevol d’aquests arriba a ser molt ràpid, superant fins i tot qualsevol funció potència. Per això l’expressió creixement exponencial és sinònima de creixement molt ràpid.

població total

y = a x,

1 xY y= — 2

• Si 0 < a < 1, és decreixent.

y = log2 x X 4

–4

des de l’any 10000 ac fins a l’any 2000 dc

Exemples: Un capital de 50 000 € depositat al 6 % anual es transforma en t anys en un capital C seguint aquesta equació:

150 000

C = 50 000 ∙ 1,06t

100 000

C = 50 000 ∙ 1,06t

50 000 2

• Les substàncies radioactives es desintegren amb el pas del temps i la seua massa disminuïx en forma exponencial. En unes, la desintegració és rapidíssima, en altres molt lenta. Per exemple, 5 g d’una certa substància es desintegren segons aquesta equació:

M = 5 ∙ 0,76t

M = 5 ∙ 0,76t 1

anayaeducacion.es

➜

Representació de funcions exponencials.

t : milers d’anys; M: quantitat, en g, de substància radioactiva al cap de t anys. Funcions logarítmiques

ATENCIÓ

Les funcions logarítmiques responen a l’equació

La base, a, d’un logaritme també pot ser 0 < a < 1. En tal cas, la corba seria decreixent en tot el seu domini. Observa el gràfic de y = log1/2 x.

y = loga x, a > 1 Són creixents de manera tal que superen qualsevol nombre per gran que siga.

El seu creixement és molt lent, molt més com major siga a. Exemple: • La llei psicofísica, de la qual hem parlat en la pàgina anterior, i que es descrivia mitjançant una arrel cúbica, en altres casos s’enuncia seguint el model logarítmic (llei de Weber-Fechner): S = k log10 I 244

2 sensació (estimada per l'individu)

y = log —1 x 2

S = k log10 I ➜

estímul físic

anayaeducacion.es Representació de funcions logarítmiques.

Pensa i practica

anayaeducacion.es Representació de diferents tipus de funcions.

➜

1 Associa a cada un dels gràfics següents una equació: A

D 80 Y

(4, 16p)

50 1

1 X

F Y

1 H

Y (5, 32)

50 1 10

50 X

1 K

(4, 16)

1 1

lineals

y= 3x 2 y = – 2 (x – 1) + 5 3

quadràtiques

proporcionalitat inversa

radicals

exponencials

y = x 2 – 8x + 15

PI1

y= 1 x

y = 2x + 4

y = 2x

y = (x + 3)(x + 5)

PI2

y = x +4

y = 0,5x

L3 3x + 2y = 0

y = x 2, x > 0

PI3

y=2 4–x

y = 20 + 80 ∙ 0,95x

L4 y = 3 x + 1, x ≥ 0 4

y = πx 2, x > 0

PI4

2 ,x≥0 2–x y= 2 x y= 6, x>0 x

y = – 4+x

y = 3x

L1 L2

2 Cada un dels enunciats següents es correspon amb un gràfic d’entre els de l’exercici anterior. Identifica’l. 1. Superfície, en centímetres quadrats, d’un cercle. Radi, en centímetres. 2. Augment d’una lupa. Distància a l’objecte, en centímetres. 3. Temperatura d’un casset d’aigua que es deixa refredar des de 100 °C. Temps, en minuts. 4. Nombre d’amebes que es dupliquen cada hora. Es comença amb una. 5. Longitud d’un moll, en decímetres. Mesura 1 dm i s’allarga 75 mm per cada quilo que s’hi penja. 6. Dimensions (llarg i ample, en centímetres) de rectangles la superfície dels quals és de 6 cm².

Vertader o fals? a) En una funció quadràtica y = ax 2 + bx + c, com més gran és a, més ampla és la paràbola que la representa. b) Els gràfics de y = 5x 2 + bx + c són idèntics. Se situen en posicions diferents en variar b i c. c) Totes les paràboles d’equació y = ax 2 + c tenen el vèrtex en el punt d’abscissa x = 0.

4 Vertader o fals? a) Les funcions y = – kx es representen mitjançant mitges paràboles amb l’eix paral·lel a l’eix Y. b) El domini de definició de y = –a x + b és [–b, +∞). c) Els eixos X i Y són asímptotes de les funcions y = k . x d) El domini de definició de y = k és Á – {k }. a+x

245

Funcions definides «a trossos» Les expressions analítiques de les funcions següents són molt peculiars:

trossos.

x 2 + 2x + 1 si x ≤ 0 y = *1 si 0 < x < 4 x –3 si x ≥ 4

x si x ≤ 2 y=( 1 si x > 2

Dibuixa una funció definida a

➜

Requerixen de diverses «fórmules», cada una de les quals regix el comportament de la funció en un cert tram. Y

Y y=1

+ 2x + 1 y=x–3

y=1

y=x

Les seues representacions gràfiques són fàcils si sabem representar cada un dels trams i es para atenció al seu comportament en els punts d’entroncament. També és senzill obtindre’n l’expressió analítica, a partir d’un gràfic format per trossos de rectes.

anayaeducacion.es Funció

➜

lineal a trossos.

Exercici resolt

1 El gràfic següent descriu la temperatura T de l’aigua que, sent gel, es fica en una cassola, es posa al foc i es manté fins que porta una estona bullint.

• Primer tram: pertany a una recta que passa per (0, –20) i (10, 0). El pendent és:

0 – (–20) = 20 = 2 (El gel augmenta la temperatura de –20° a 0°). 10 – 0 10

Equació: y = 2(x – 0) – 20 → y = 2x – 20 • Segon tram: y = 0 (Mentre el gel es descongela la seua temperatura continua sent 0°).

T (° C)

• Tercer tram: pertany a una recta que passa per (20, 0) i (35, 100). Equació: y = 100 (x – 20) → y = 20 x – 400 (L’aigua puja la temperatura de 0° a 100°). 3 3 15

• Quart tram: y = 100 (L’aigua bullint es manté a 100°).

–20

t (min)

Obtindre’n l’expressió analítica en funció del temps, t.

Si en lloc de x i y posem t (temps) i T (temperatura), la seua expressió analítica és: Z si 0 ≤ t ≤ 10 ]2t – 20 ]0 si 10 < t < 20 T = f (t) = [ 20 400 ] 3 t – 3 si 20 ≤ t ≤ 35 ]100 si 35 < t ≤ 50 \

Pensa i practica

1 Representa aquesta funció: si –3 ≤ x < 0 x +1 2 f (x) = *x – 2x + 1 si 0 ≤ x < 3 4 si 3 ≤ x < 7 2 Fes la representació gràfica de la funció següent: 2x + 1 si x < 1 g (x) = ) 2 x – 1 si x ≥ 1

246

3 Escriu l’expressió analítica que correspon al gràfic següent: Y 2 2

Funció «part entera»

PRACTICA

S’anomena part entera d’un nombre x el nombre més gran enter menor o igual a x. A partir d’açò, definim la funció part entera de x, Ent (x), que fa correspondre a cada nombre x la seua part entera. 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

Ent (7,5) = 7 Ent (–4) = –4 Ent (–5,3) = –6 atenció! Continua: Ent (6,48) Ent (7) Ent (–3,9) Ent (–11,3) Ent (–8)

1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3

Funció «part decimal» La part decimal o mantissa d’un nombre x és Mant (x) = x – Ent (x). Per exemple: Mant (7,54) = 7,54 – 7 = 0,54

PRACTICA

Mant (–7,54) = –7,54 – (–8) = 0,46

Mant (7,68) = 0,68 Mant (–8) = 0 Mant (–7,68) = 0,32 Continua: Mant (3,791) Mant (2)

A partir d’açò, definim la funció part decimal de x, Mant (x), que fa correspondre a cada nombre x la seua part decimal. 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1 2 3 4 5 6 7X

Mant (–6,94) Mant (–4,804)

Funció «valor absolut» Recordem que el valor absolut d’un nombre a coincidix amb a si és positiu o nul, o amb el seu oposat, si és negatiu: a si a ≥ 0 |a| = ( –a si a < 0 La funció y = |x| es definix, en conseqüència, així: –x si x < 0 y = |x| = ( x si x ≥ 0 Pensa i practica

4 Vertader o fals? a) El gràfic roig correspon a la funció y = Ent b x l . 4

b) El gràfic verd correspon a la funció y = 5 + Ent b x l . 4 5

5 Representa: a) y = Ent (x) + 2

6 Vertader o fals?

a) El gràfic roig correspon a y = 3Mant b x l . 4 b) El gràfic roig correspon a y = 3Mant (4x). c) El gràfic verd correspon a y = 5 – Mant b x l . 4 5

b) y = Ent (x + 0,5)

7 Representa: a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5|

247

Transformacions elementals de funcions Veurem com es transforma el gràfic de y = f (x) quan sotmetem la funció a certes transformacions molt senzilles.

Mou qualsevol funció canviant-

➜

ne els paràmetres.

Translacions Si k és un nombre positiu, aleshores: f(x) + 5

s’obté traslladant el gràfic de f (x)

El gràfic de

f (x – 5)

f (x + 5)

f (x) + k

k unitats cap amunt

f (x) – k

k unitats cap avall

f (x + k)

k unitats cap a l’esquerra

f (x – k)

k unitats cap a la dreta

f (x) X

f (x) – 5

Simetries Y

és el simètric del gràfic de f (x)

El gràfic de –f (x)

respecte a l’eix X

f (–x)

respecte a l’eix Y

–f(x)

X f(–x)

f(x)

Exercici resolt

1 Relacionar els gràfics següents mitjançant les equacions: Y

5 1

2 X 4

1 És el gràfic de la funció y = x . 2 S’obté traslladant 1 6 unitats a la dreta → y = x – 6 . 3 S’obté traslladant 2 3 unitats cap amunt → y = x – 6 + 3 .

4 És el simètric respecte a l’eix X de 1 → y = – x . 5 S’obté traslladant 4 5 unitats cap amunt → y = – x + 5 .

k – 0,5

Pensa i practica

k + 0,5

1 Representa successivament. a) y = 1 x

248

b) y =

1 x +3

c) y = –

1 x +3

d) y = –

1 +8 x +3

Estiraments i contraccions

2f (x)

Si k és un nombre major que 1, aleshores: f (x)

s’obté a partir del gràfic de f (x)

El gràfic de

1 f (x) — 2

kf (x)

estirant-lo en sentit vertical multiplicant per k

1 f (x) k

contraient-lo en sentit vertical dividint entre k

Exercicis resolts

1 Representar successivament les funcions següents: 1 y= 6 x

2 s’obté desplaçant 1 5 unitats a la dreta. 4

4 s’obté pujant 3 4 unitats. Y

6 x–5 3 y = – 6 x–5 2 y=

2 3 1

2 s’obté estirant 1 en sentit vertical multiplicant per 2.

1 y= x

3 és la simètrica de 2 respecte a l’eix X.

2 y=2 x

4 és la simètrica de 3 respecte a l’eix Y.

3 y = –2 x

per a arribar, finalment, a la representació de: 4 y = – 6 + 4 x–5 2 Representar successivament:

3 és la simètrica de 2 respecte a l’eix X.

5 s’obté desplaçant 4 6 unitats a l’esquerra.

4 y = –2 –x per a arribar, finalment, a la representació de: 5 y = –2 – (x + 6 )

1 X

Pensa i practica

2 Si y = f (x) passa per (3, 8), digues un punt de: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = 1 f (x), y = 2f (x), 2 y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3

3 Representa. 4 –3 x +8 b) y = 3 –x + 10 a) y = –

249

Transformacions elementals de funcions

Valor absolut

f (x) si f (x) ≥ 0 El valor absolut d’una funció es definix així: | f (x)| = * –f (x) si f (x) < 0 y = f (x)

y = | f (x)|

Per tant, per representar el valor absolut d’una funció f (x) hem de representar primer la funció f (x) i després deixar-ne la part positiva com està i realitzar una simetria respecte a l’eix X de la part negativa. Per a això, hem de trobar els punts de tall amb els eixos. Vegem-ne uns exemples: Exercicis resolts

1 Representar la funció següent: y = | x2 – 5 x + 4|

Trobem els punts de tall de la funció f (x) = x2 – 5x + 4 amb l’eix X: x1 = 1

f (x) = x2 – 5x + 4 = 0

x2 = 4

y = f (x)

Per tant, entre 1 i 4 el gràfic puja sobre l’eix X.

2 Representar la funció següent:

Y y = | f (x)|

y = | 2x – 4|, x é [–1, 5] y = f (x)

y = | f (x)|

3 Representar aquesta funció: y = | x3 – x|

y = f (x) 1

y = | f (x)| 1

Pensa i practica

4 Representa: y = | –x2 + 4x + 5|

250

x 5 Representa gràficament: y = 2 – 3

Composició de funcions Vegem, amb uns exemples, com a partir de dues funcions se n’obté una altra, anomenada funció composta d’ambdues. • Observa la seqüència següent: 16

16 = 4

1/x

OBSERVA

1 = 1 16 4

Si ara actuem sobre una variable, x, obtenim la funció x

1/x

1 : x

1 x

1/4

4 Ä8

√x

1/4

100

0,1

0,0001

0,01

100

Ä8 1/ √x

Posem noms a les funcions utilitzades: 1 = v (x) x = r (x) x La funció resultant es diu funció composta de r i v i es designa v ° r: 1 v ° r (x) = v [r (x)] 8 v ° r (16) = v [r (16)] = v ( 16 ) = v(4) = 4 OBSERVA

• Un altre exemple: f (x) = x2 – 5x; r(x) = x x

x 2 – 5x

4 4 – 54 2 ÄÄ8 x2 – 5x Ä8 √x – 5x

r % f (x) = r [ f (x)] = x 2 – 5x r ° f (9) = r (81 – 45) = r (36) = 36 = 6

–3

–0,1

0,51

6 √24 0 √0,51

Donades dues funcions, f i g, es diu funció composta de f i g, i es designa per g ° f, la funció que transforma x en g [ f (x)]: g°f

x ⎯⎯→ g [ f (x)]

g°f

x ⎯→ f (x) ⎯→ g [ f (x)]

f (x)

L’expressió g ° f (x) es llig f composta amb g. S’anomena en primer lloc la funció de la dreta perquè és la primera a actuar sobre la x.

En general, la funció f [ g (x)] és diferent de g [ f (x)].

g [ f (x)]

• Observa que, en general, no és el mateix compondre dues funcions en un sentit que en sentit contrari: x

( x) 2 – 5 · x = x – 5 x

➜

Composició de funcions amb GeoGebra.

f % r (x) = f [r (x)] = x – 5 · x ≠ r % f (x) = x 2 – 5x f % r (9) = f ( 9) = f (3) = 3 2 – 5 · 3 = –6 ≠ r % f (9) = 6 • No obstant això, també hi ha casos en els quals en compondre dues funcions en tots dos sentits el resultat és el mateix: f (x) = 2x + 1

g(x) = 3x + 2

• f ° g (x) = f [g(x)] = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5 • g ° f (x) = g[ f (x)] = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5 Per tant, en aquest cas, f ° g (x) = g ° f (x).

TIN EN COMPTE En general, no és el mateix f ° r (x) que r ° f (x).

251

Composició de funcions

Exercicis resolts

1 Considerar les funcions:

f (x) = x 2 – x i g(x) =

4 x +1

a) Obtindre l’expressió analítica de: f°g

g°f

f°f

g°g

b) Trobar f [g(1)] i g[ f (1)].

4 (x + 1) = 12 – 4x a) • f [ g (x)] = f < 4 F = c 4 m – 4 = 16 2 – ⇒ x +1 x +1 x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 (x + 1) 2 ⇒ f % g (x) = 12 – 4x2 (x + 1) • g [ f (x)] = g (x 2 – x) =

4 4 ⇒ g % f (x) = 2 4 = (x 2 – x) + 1 x 2 – x + 1 x – x +1

• f [ f (x)] = f (x 2 – x) = (x 2 – x)2 – (x 2 – x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – x 2 + x ⇒

⇒ f ° f (x) = x 4 – 2x 3 + x

• g [ g (x)] = g < 4 F = x +1

4 ( 1) 4 4 = = x + = 4x + 4 ⇒ 4 +1 4 + x +1 4 + x +1 x + 5 x +1 x +1 4 x + 4 ⇒ g % g (x) = x +5

g f b) • f [ g (1)] = 12 – 4 $21 = 8 = 2; o bé, 1 ⎯→ 4 = 2 ⎯→ 22 – 2 = 2 1+ 1 4 (1 + 1)

• g [ f (1)] = 2 Donades aquestes funcions: f (x) = 1 x g(x) = x2

a) En cada cas es tracta de veure la composició de dues funcions. És prou intuïtiu.

h(x) = x + 1 a) Indicar com s’han de compondre per obtindre aquestes altres: y1 = 12 y2 = x2 + 1 x y3 = x2 + 2x + 1 y4 = 1 x +1 b) Compondre f{g[h(x)}.

Pensa i practica

➜

f g 4 = 4; o bé, 1 ⎯→ 12 – 1 = 0 ⎯→ 4 = 4 0 +1 12 – 1+ 1

• y 1: és clar que cal aplicar f i g, però sembla que si es fa d’una forma o una altra s’obté el mateix: 2 f ° g (x) = f (x2) = 12 ; g ° f (x) = g b 1 l = b 1 l = 12 x x x x Val tant f ° g (x) com g ° f (x). • y2: primer s’aplica g(x) i després h(x). És a dir, h ° g(x) = h(x2) = x2 + 1. • y3: s’ha aplicat el quadrat a x + 1, per tant: g ° h(x) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

• y4: s’aplica primer h(x) i després f (x). És a dir, f ° h(x) = f (x + 1) = 1 . x +1 1 b) f {g[h(x)]} = f [g(x + 1)] = f [(x + 1)2] = (x + 1) 2

anayaeducacion.es Practica la composició de funcions.

1 Si f (x) = x 2 – 5x + 3 i g (x) = x 2, obtín les expressions de f [ g (x)] i g [ f (x)]. Troba f [ g (4)] i g [ f (4)]. 2 Si f (x) = sin x i g (x) = x + π , obtín les expressions de 2 f ° g, g ° f, f ° f i g ° g. Troba el valor d’aquestes funcions en x = 0 i x = π/4.

252

3 Si f (x) = sin x, g(x) = x2 + 5, troba les expressions de les funcions f ° g, g ° f, f ° f i g ° g. Troba el valor d’aquestes funcions en x = 0 i x = 2. 4 Donat f (x) = x + 1, obtín en cada cas la funció g(x) perquè es complisca: a) g[f (x)] = x – 2 c) g ° f (x) = x2 + 2x

b) f [g(x)] = x2 + 3x – 2 d) f ° g (x) = x

Funció inversa o recíproca d’una altra Compondrem les funcions f (x) = x 3 – 6 i f –1(x) = 3 x + 6 : f –1

x ⎯→ x 3 – 6 ⎯→ f –1

x ⎯→

Inversa d'una funció.

➜

f –1[ f (x)] = x

(x 3 – 6) + 6 = 3 x 3 = x

f x + 6 ⎯→ `3 x + 6j – 6 = (x + 6) – 6 = x 3

f [ f –1(x)] = x

Veiem que f i f –1 tenen la peculiaritat que en actuar successivament sobre un nombre x, el nombre es manté, és a dir, cada una d’aquestes funcions desfà el que fa l’altra. Per això es diu que f –1 és la inversa de f, o que cada una d’aquestes és inversa de l’altra. Observa la simetria dels punts d’una i altra funció respecte a y = x : punts de

f (x): y = x 3 – 6

(–1, –7)

(0, –6)

(2, 2)

…

(a, b)

punts de

f –1(x): y = 3 x + 6

(–7, –1)

(– 6, 0)

(2, 2)

…

(b, a) GRÀFICS DE FUNCIONS INVERSES Y y = f –1(x)

S’anomena funció inversa o recíproca de f una altra funció (es designa per f –1) que complix la condició següent: Si f (a) = b, aleshores f –1(b) = a Com a conseqüència, es donen les relacions següents: f

f –1

x ⎯→ f (x) ⎯→ x ; és a dir, f –1[ f (x)] = x

y = f (x)

x ⎯→ f –1(x) ⎯→ x ; és a dir, f [ f –1(x)] = x y=x

La funció inversa de f –1 és, al seu torn, f. Per això es diu, simplement, que les funcions f i f –1 són inverses o recíproques.

El domini de f coincidix amb el recorregut de f –1 i el recorregut de f coincidix amb el domini de f –1.

Els gràfics de dues funcions inverses són simètrics respecte de la recta y = x. Perquè una funció tinga inversa ha de ser injectiva, és a dir, cada valor de y ha de correspondre a un únic valor de x. Si no és així, s’ha de descompondre en trams en què siga injectiva, cada un dels quals tindrà la seua funció inversa. Per exemple, com que y = x 2 no és injectiva, per trobar-ne la inversa procedim així: y = f1 (x) = x 2, x ≥ 0 " f1–1 (x) = x y = f (x) = x 2 * y = f2 (x) = x 2, x ≤ 0 " f2–1 (x) = – x

y = x 2, x ≥ 0 y= x

Y y = x 2, x ≤ 0

X y=– x

Pensa i practica

Vertader o fals? a) La funció recíproca de y = x és y = 1 . x b) Cada una de les funcions y = x, y = 1 és recíproca de x si mateixa. c) La inversa de y = 9 , x ∈ [3, 9] x és y = 9 , x ∈ [1, 3]. x d) Si una funció és creixent, la recíproca és decreixent.

2 Representa y = 2x, y = x i comprova que són inverses. 2 3 Comprova que cal descompondre y = x 2 – 1 en dues branques per trobar-ne les inverses. Esbrina quines són. 4 Comprova que la funció recíproca de y = 2x + 4 és y = 1 x – 2. 2

253

Funció inversa o recíproca d’una altra

Expressió analítica de la funció inversa d’una altra Per trobar la inversa de y = f (x), s’intercanvien les dues incògnites, x = f ( y). Ara, si es pot, s’aïlla la y. Per exemple, f (x) = 2x – 3:

OBSERVA

y = 2x – 3 → x = 2y – 3 → y = x + 3 2 Per tant, f –1(x) = x + 3 2

y = ex

Vegem com procediríem si f (x) tinguera el domini de definició limitat: Y

f (x) = 2x – 3, x ∈ [–1, 4] Per trobar-ne la inversa, trobem els valors que pren la funció en els extrems de l’interval: f (–1) = –5, f (4) = 5.

y = f –1(x) X

Per tant, f –1(x) = x + 3 , x ∈ [–5, 5] 2

y = ln x

y = f (x)

Les funcions y = ex, y = ln x, simètriques respecte a la recta y = x, són de gran importància en matemàtiques superiors.

Exponencials i logarítmiques són recíproques Partim d’una funció exponencial, y = 2x. Per trobar-ne la recíproca canviem les variables: x = 2y. Per a aïllar la y, prenem logaritmes en base 2: log2 x = y log2 2 = y.

Y 20

Per tant, y = log2 x. Hem obtingut, per tant, que la funció recíproca de y = 2x és y = log2 x.

y = 2x y=

En general, la recíproca de y = a x és y = loga x. Observa que: •*

y = a x passa pels punts (0,1) i (1, a) y = log a x passa pels punts (1, 0) i (a, 1)

y = log2 x 2

• Si a > 1, y = a x té un creixement molt ràpid, mentre que y = loga x té un creixement molt lent.

–4

Exercici resolt

1 Trobar la funció recíproca de: y = 10 x,

x ∈ [–2, 4]

10–2 = 1 = 0,01; 104 = 10 000 100 La funció y = 10x passa per (–2; 0,01) i per (4, 10 000). Per tant, la seua recíproca passa per (0,01; –2) i per (10 000, 4). Conclusió: la recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4] és y = log x, x ∈ [0,01; 10 000].

Pensa i practica

anayaeducacion.es Funció inversa d’una altra.

➜

5 Vertader o fals? La funció recíproca de y =

254

6 Troba la funció recíproca de: 2x,

x > 0 és y = log2 x, x > 1.

y = log2 x, x ∈ [8, 32]

Funcions arc Definirem les inverses de les funcions trigonomètriques y = sin x, y = cos x, y = tg x, que es van estudiar en la unitat 5. La funció arc sinus Quin és l’angle el sinus del qual val 1/2? La resposta pot ser 30° o bé π rad. Això s’expressa així: 6

(

)

arc sin 1 = π l’arc el sinus del qual és 1 mesura π rad 2 2 6 6 Estudiarem les característiques de la funció arc sin (arc sinus). La funció arc sin és la inversa (recíproca) de la funció sin. Y

y = arc sen x 5p — 6 p — 6

y = sen x 1 — 2

11p – —— 6

El seu gràfic, que és el que està en roig, és el simètric del gràfic de y = sin x respecte de la recta y = x. No obstant això, aquest gràfic no correspon a una funció, perquè a cada valor de x corresponen molts (infinits) valors de y.

OBSERVA

Per exemple, per a x = 1 , pot valdre: π , 5π , 13π , …, – 11π , … 2 6 6 6 6 Perquè arc sin siga una funció, hem de quedar-nos amb un tros de gràfic que siga unívoc, és a dir, que a cada valor de x li corresponga un únic valor de y. Qualsevol dels infinits trams podria servir, però s’acostuma a seleccionar el que apareix dibuixat en traç continu en el gràfic anterior. Aquests són els valors amb els quals treballa la calculadora quan utilitzem la funció arc sin ( ).

La funció y = sin x no és injectiva. Ens quedem amb un tram que sí que ho és: sin :– π , π D ⎯→ [–1, 1] 2 2 La seua inversa és la funció y = arc sin x: arc sin [–1, 1] ⎯→ :– π , π D 2 2

En definitiva, definim la funció arc sin de la manera següent: arc sin és una funció definida en [–1, 1] i que pren valors en :– π , π D , tal que: 2 2 arc sin a = b ⇔ sin b = a És una funció creixent. Verifica que: sin(arc sin x) = x

arc sin(sin x) = x

p Y — 2 –1

y = arc sen x

1 p –— 2

X y = sen x

➜

Inversa del sinus.

255

Funcions arc

La funció arc cosinus De manera anàloga a com es feia amb arc sin, la funció arc cos (arc cosinus) es definix com a funció recíproca de la funció cosinus. Y

OBSERVA La funció y = cos x no és injectiva. Ens quedem amb un tram que sí que ho és: cos [0, π] ⎯→ [–1, 1] La inversa és la funció y = arc cos x: arc cos [–1, 1] ⎯→ [0, π]

p y = arc cos x –1

y = cos x

Hem de quedar-nos amb un dels trams perquè siga una funció. Se sol triar el que en el gràfic apareix en traç continu. Els seus valors són els que dona la calculadora quan utilitzem la funció arc cos ( ). arc cos és una funció definida en [–1, 1] i que pren valors en [0, π], tal que: arc cos a = b ⇔ cos b = a Y

És una funció decreixent. Verifica que: cos(arc cos x) = x

arc cos(cos x) = x y = arc cos x –1

1 y = cos x

La funció arc tangent La funció arc tg (arc tangent) es definix anàlogament: arc tg és una funció definida en (–∞, +∞) que pren valors en b– π , π l , tal que: 2 2 arc tg a = b ⇔ tg b = a És una funció creixent. Verifica que: tg(arc tg x) = x

arc tg(tg x) = x

p — 2

y = tg x y = arc tg x X

p –— 2

anayaeducacion.es Visualització

➜

de les funcions arc.

Pensa i practica

1 Vertader o fals? a) La funció y = arc tg x, x ∈ (–∞, +∞) és la recíproca de π π la funció y = tg x, x ∈ b– 2 , 2 l .

256

b) arc sin 0 = π 2 d) arc cos π = –1 f ) arc sin π no existix 2

c) arc cos 0 = π 2 e) arc cos (–1) = π g) arc tg 1 = π 4

8 U9

Exercicis i problemes resolts 1. Domini de definició Trobar el domini de definició de les funcions següents: x a) f (x) = 2 + ln (5 – x) x –4 b) f (x) =

x+3 2x – 5

a) La funció no està definida en els punts on el denominador és nul, que són x = 2 i x = –2. El seu domini és Á – {–2 ,2}. En la funció y = ln (5 – x) el logaritme només està definit per a valors positius. Resolem 5 – x > 0 8 x < 5. El domini és (–∞, 5). Per tant: Dom f = (–∞, –2) « (–2, 2) « (2, 5) x +3 b) Busquem els valors de x tals que ≥ 0. Per a això, trobem els valors que anul· 2x – 5 len el numerador i denominador i n’estudiem el signe.

5 c–3, 2 m +

5 2 +

5 c 2 , +@m

–

(–∞, –3)

–3

x+3

–

FES-HO TU

2x – 5

Troba el domini de definició de les funcions: a) f (x) = –x 2 + 5x – 6

x +3 2x – 5

En x = 5/2 la funció no existix perquè el denominador és 0. En x = –3 la funció existix

b) g(x) = ln (sin x)

i val 0. Per tant: Dom f = (–∞, –3] « (5/2, +∞)

2. Funció definida «a trossos» Les tarifes d’una empresa de transport són:

a) Calculem els ingressos en alguns casos concrets. Siga x la càrrega en tones:

• 40 € per tona de càrrega si aquesta és menor o igual que 20 t. • Si la càrrega és major que 20 t, el preu per tona serà 40 €, menys tants euros com tones sobrepassen les 20.

ingresos (€)

f (x)

15 t

15 · 40 = 600 €

800

20 t

20 · 40 = 800 €

600

25 t

(40 – 5) · 25 = 875 €

400

30 t

(40 – 10) · 30 = 900 €

200

a) Dibuixar la funció «ingressos» segons la càrrega (càrrega màxima: 30 t). b) Obtindre’n l’expressió analítica.

10 15 20 25 30 carga (t)

40 x si 0 ≤ x ≤ 20 si 0 ≤ x ≤ 20 40 x b) f (x) = * 3 4 . És a dir f (x) = ) 2 60x – x si 20 < x ≤ 30 [40 – (x – 20)] x si 20 < x ≤ 30

3. Funció exponencial El procés de cicatrització d’una ferida seguix una llei exponencial. La superfície S de la ferida al cap de t dies es pot calcular mitjançant la fórmula S = So e kt, on So és la superfície inicial, i k, una constant. a) Si una ferida tenia una superfície inicial de 50 cm² i al cap de dos dies mesura 24,83 cm², quin és el valor de k? b) Calcular la superfície de la ferida després de 8 dies. c) Representar la funció.

a) Coneixem S0 = 50 i un punt (2; 24,83). Substituint aquests valors en la fórmula S = S0e kt podem obtindre k. t=2

S = 50e kt ⎯→ 24,83 = 50e 2k → e 2k = 0,4966 → 2k = ln 0,4966 → k = – 0,35 t=8

b) S = 50e – 0,35t ⎯→ S = 50e – 0,35 ∙ 8 = 3 cm2 superfície (cm2)

c) 50

S = 50e –0,35t

5 1

temps (dies) 257

Exercicis i problemes resolts 4. Valor absolut d’una funció Definir per intervals les funcions següents i representar-les gràficament: a) f (x) = 4|x| – x2 b) f (x) = |x – 4| – |x| c) f (x) = |ln x|

–x si x < 0 a) Recordem que la funció y = |x | es definix així: y = ) 3 . Per tant: x si x ≥ 0 4 (–x) – x 2 si x < 0 –4x – x 2 si x < 0 = f (x) = * * 4 4 4x – x 2 si x ≥ 0 4x – x 2 si x ≥ 0 Busquem els vèrtexs i els punts de tall amb els eixos de cada paràbola: talls amb eix

paràbola

vèrtex

y = – 4x – x 2

(–2, 4)

(0, 0) i (– 4, 0)

y = 4x – x 2

(2, 4)

(0, 0) i (4, 0)

–2

–x + 4 si x < 4 b) |x – 4| = ) x – 4 si 4 ≥ x

–x si x < 0 |x| = ) x si 0 ≤ x

Disposem els càlculs en una taula per trobar-ne la funció resultant: (–@, 0)

[0, 4)

[4, +@)

|x – 4|

–x + 4

x–4

|x|

–x

|x – 4| – |x|

4 – 2x

–4

b) f (x) = x – |x | c) f (x) = ln |x – 3|

4 si x < 0 f (x) = *4 – 2x si 0 ≤ x < 4 –4 si 4 ≤ x

FES-HO TU

Definix per intervals i representa: a) f (x) = |x 2 – x – 6|

Y 4

c) La funció y = ln x talla l’eix X en x = 1, per tant: – ln x si 0 < x < 1 f (x) = ) ln x si 1 < x

Y 1 1

5. «part entera» Una botiga de roba oferix a la clientela la targeta «2MÉS» en la qual ingressarà 2 € per a futures compres, per cada 10 € de despesa que s’hi faça. a) Representar la funció que ens dona la quantitat ingressada en la targeta segons la despesa realitzada. b) Escriure’n l’expressió analítica.

FES-HO TU

Representa f (x) = Ent (2x).

258

a) Per una compra inferior a 10 € no ingressen res. Si gastem més de 10 € i menys de 20 €, ingressen 2 €; entre 20 i 30 € ens corresponen 4 €; … ingressos (€)

6 4 2 10

40 despeses (€)

b) És una funció definida «a trossos»: Z ]0 si x é[0, 10) ]]2 si x é[10, 20) f (x) = [4 si x é[20, 30) ]6 si x é[30, 40) ]] … \ x També podem definir-la utilitzant la funció «part entera»: f (x) = 2 Ent b 10 l

6. Composició de funcions i funció inversa Donades les funcions: f (x) = 2 x+1 g (x) = 3 x + 1 h (x) = x3 – 1 trobar: a) g ° f b) h ° f c) g ° h -1 d) h ° g ° f e) f FES-HO TU

Troba g ° f i f ° g, sent: f (x) = 3 x 2 – 5 i g (x) = 2 x – 1

Observem que f ( ) = 2

+ 1;

g( ) = 3 4+ 1 ; h( ) =

– 1.

a) g ° f (x) = g[ f (x)] = g(2x + 1) = 3 2 x + 1 + 1 b) h ° f (x) = h[ f (x)] = h(2x + 1) = (2x + 1)3 – 1 = 23x + 3 – 1

c) g ° h (x) = g [ h (x)] = g(x3 – 1) = 3 (x 3 – 1) + 1 = x Les funcions g i h són inverses perquè verifiquen ( g ° h)(x) = x. 3 d) h ° g ° f (x) = h 7g ^2 x + 1hA = h ^3 2 x + 1 + 1 h = ^3 2 x + 1 + 1 h – 1 = 2x + 1 = f (x)

e) Per calcular la inversa de f, canviem les variables, x = 2y + 1, i prenem logaritmes de base 2 per a aïllar x : log2 x = log2 2y + 1 → log2 x = y + 1 → y = –1 + log2 x → f – 1(x)= –1 + log2 x

7. Representació d’hipèrboles a) Representar la funció següent: 2x + 1 f (x) = x+1 b) Trobar-ne la funció inversa i representar-la. c) Determinar el domini i recorregut de f i de f –1.

Utilitzant la relaci Dividend = quocient + residu , podem representar aquest tipus de divisor divisor 1 funcions a partir de la hipèrbol y = mitjançant transformacions elementals. x a) Dividim: Y 2x + 1 x + 1 2 x + 1 – 1 → =2+ x +1 x +1 –2x – 2 2 –1 2 Per tant, el gràfic demanat és com el de y = – 1 desplaçat x 2 unitats cap amunt i 1 cap a l’esquerra. X b) Canviem les variables i aïllem: 2y + 1 x= → x (y + 1) = 2y + 1 → xy – 2y = 1 – x → y = 1 – x y +1 x –2 Per tant, f – 1(x) = 1 – x = –1 + –1 . x –2 x –2 El gràfic és el simètric de 1 respecte l’eix X, desplaçat 1 x unitat cap avall i 2 unitats cap a la dreta.

FES-HO TU

Representa la funció y = 3x – 5 i la x –2 seua inversa.

c) Observem que Dom f = Á{–1} i Rec f = Á{–2}.

–2

–1

En la inversa Dom f –1 = Á{–2} i Rec f –1= Á{–1}. El domini de f és el recorregut de f –1 i el recorregut de f és el domini de f –1.

8. Transformacions elementals de funcions Descriure les transformacions que hem de fer en la funció següent per representar-la a partir del gràfic d’una altra de més simple: f (x) = – 1 x2 – 2x – 5 2 FES-HO TU

Descriu les transformacions que hem de fer en el gràfic de y = x2 per a representar f (x) = x2 – 2x – 3.

Hem d’escriure f de la forma y = m (x – n)2 + p. Per a això, separem els termes en x i completem quadrats omplint els símbols amb els nombres adequats: f (x) = – 1 (x2 + 4x + ) – 5 + 2 f (x) = – 1 (x2 + 4x + 4) – 5 + 2 –1 2 –1 f (x) = – 1 (x + 2)2 – 3 2 Per representar f (x) partim del gràfic de y = – x2 i fem una translació de 2 unitats cap a l’esquerra, 3 unitats cap avall i un eixamplament en sentit vertical dividint per 2. 259

Exercicis i problemes guiats 1. Interpolació lineal El percentatge de persones que tenien accés a Internet a Espanya, era el 2018 el 86,1% i, el 2014, el 74,4%.

• Si coneixem dos punts d’una funció i podem suposar que és lineal en un interval, podem estimar -ne el valor per a qualsevol x d’aquest interval utilitzant l’equació de la recta que passa per aquests dos punts.

Estimar-ne el percentatge el 2016.

• En aquest cas els punts coneguts són A (2018; 86,1) i B (2014; 74,4). • Escriu l’equació de la recta que passa per A i B. Solució: El percentatge el 2016 era del 80,25 %.

2. Equació d’una paràbola Escriure l’equació d’una paràbola que té el vèrtex en el punt (1, 9) i talla l’eix Y en (0, 8).

• Una parábola té per equació y = ax2 + bx + c. Hem de trobar a, b i c. –b • Amb l’abscissa del vèrtex relacionem les incògnites a i b. 2a • La paràbola passa pels punts (1, 9) i (0, 8). Substituïx-los en la seua equació. Obtindràs un sistema de tres equacions amb incògnites a, b i c. Resol-lo. Una altra manera de resoldre’l. Com que coneixem l’abscissa del vèrtex podem escriure l’equació de la paràbola com y = a(x – 1)2 + k i substituir-hi els punts (1, 9) i (0, 8). Solució: y = –x2 + 2x + 8

3. Una funció polinòmica

a) Escriure la funció que ens dona el volum del con segons el que mesura la seua altura, x.

• Hauràs d’expressar el radi del con en funció de l’altura x (observa en el gràfic el triangle de costats x, R i 15 cm).

b) Quin n’és el domini de definició?

b) Entre quins valors pot variar l’altura x ? Solució: a) V(x) =

π (225x – 3

x 3)

a) • Recorda com es calcula el volum d’un con en funció del radi de la base i de l’altura. 15

Considerar tots els cons la generatriu dels quals mesura 15 cm.

b) Dom V(x) = (0, 15)

4. Funció logística La funció

• Observa que has de trobar el valor de x per al qual f (x) = 6 000.

12 000 1 + 499 (1,09 –x ) dona les vendes totals d’un videojoc x dies després del seu llançament. En quin dia es va arribar a 6 000 jocs venuts?

• Opera l’expressió fins a eliminar denominadors i fer-la el més senzilla possible. • Obtindràs una expressió del tipus A = C –x. Per a obtindre el valor de x, pren B logaritmes i utilitza la calculadora.

f (x) =

Solució: Es va arribar als 6 000 jocs venuts 72 dies després del llançament.

5. Àrea d’un triangle El perímetre d’un triangle isòsceles és 30 cm. Expressa’n l’àrea en funció del costat desigual. Quin és el domini i el recorregut d’aquesta funció?

• Anomena x la meitat de la base. • Escriu el costat igual en funció de x. Tin en compte que en coneixes el perímetre. • Expressa l’altura en funció de x. Solució:

A(x) = x 225 – 30x , x é(0; 7,5). El recorregut és 25 3.

260 260

Exercicis i problemes proposats Per a practicar

Funcions elementals

Domini de definició

1 Troba el domini de definició d’aquestes funcions: 2 b) y = 3x3 + 2 x +x ^x + 5h2 c) y = 2 x d) y = 1 + 1 x x +2 x – x +2 2 Estudia el domini de definició d’aquestes funcions: a) y =

a) y = 2x + 5

b) y = 7 – x

c) y = x 2 + 3x + 4

d) y = x – 1 + x – 2

b) y = x + 2

1 d) y = x – 4

2 c) y = x – 1 3

e) y = 3x 2 + 5x – 1

f ) y = 0,75x

g) y = log2 x

h) y = – – x

4 Y

–2

6 X

4 X

7 Escriu la funció que ens dona l’àrea d’un rectangle de perímetre 16 cm, en funció de la base x. Quin n’és el domini de definició i el recorregut? La temperatura d’una persona, des que comença la seua malaltia fins que torna a tindre 37 °C, ha evolucionat segons la funció T(t)= – 0,1t 2 + 1,2t + 37, sent t el nombre de dies transcorreguts des de l’inici de la malaltia. Quin n’és el domini de definició? I el recorregut?

–2

4 Y

–2

–4 –2

–2

–4

–2 Y

8 Y

VIII

–2 2

–4

6 Y

6 La funció h(t) = 80 + 64t – 16t 2 ens dona l’altura a la qual està una pilota llançada cap amunt en l’instant t, fins que torna al sòl. Quin n’és el domini de definició? I el recorregut?

6 X

4 Y

–2

–4

VII

–2

2 2

–2

–8 –6 –4 –2

–3

5 Observa els gràfics d’aquestes funcions i indica quin n’és el domini de definició i el recorregut: Y a) b)

–2

III

d) y =

2 X

–4

4 – x2 2x + 1 x +3 x +3 e) y = f) y = x –2 x –2 Els apartats e) i f ), corresponen a la mateixa funció?

–1 –1

–2

4 Determina el domini de definició de les funcions: a) y = e –x b) y = ln ( x – 2)

–2

d) y = 2 x

c) y = 1 + log 2 x

a) y = 1,5x

3 Digues quin és el domini de definició de: a) y = 3 + 21 – x b) y = log2 (x + 3) c) y = ln (2 – x)

Associa a cada gràfic la seua fórmula.

2 –2

–4 –2

10 Representa les paràboles següents trobant-ne el vèrtex, els punts de tall amb els eixos de coordenades i algun punt pròxim al vèrtex: a) y = x 2 + 2x + 1 b) y = 0,5x 2 – 2x + 1 c) y = –x 2 + 3x – 5 d) y = –1,5x 2 – 3x – 2 11 Representa aquestes funcions en l’interval indicat: a) y = 2x 2 – 4, [0, 2] c) y = 1 , x < 0 x e) y = log2 x, (0, 7]

2 b) y = – 3x , x ≥ –1 2 d) y = 0,6x, [–3, 3]

f ) y = x , [0, 1]

12 Representa les funcions següents: a) f (x) = e–x

b) f (x) = –ln x

c) f (x) = 3 x 261 261

Exercicis i problemes proposats Funcions definides «a trossos»

Transformacions d’una funció

13 Representa gràficament les funcions següents:

20 Representa f (x) = 4 – x 2 i, a partir d’aquest, representa: a) y = f (x) – 3 b) y = f (x + 2) c) y = | f (x)|

si x < 0 –2 a) y = *x – 2 si 0 ≤ x < 4 2 si x ≥ 4

21 Aquest és el gràfic de la funció y = f (x):

Y 2

–2x – 1 si x ≤ 1 b) y = ) x +1 si x > 1

x 2 – 2x si x < 2 c) y = * 2x – 4 si x ≥ 2 14 Dibuixa el gràfic de les funcions següents: x 2 – 2x si x ≤ 2 a) y = * si x > 2 3 –x 2 – 4x – 2 si x < –1 b) y = * 2 si x ≥ –1 x –x – 1 si x ≤ –1 c) y = *2x 2 – 2 si –1 < x < 1 x –1 si x ≥ 1

si x < 2 b) y = *–x + 6 si 2 ≤ x < 7 3 si x ≥ 7 16 Representa les funcions següents i definix-les com a funcions «a trossos»: a) y = |4 – x | b) y = |3x + 6| d) y = |–x – 1|

17 Representa aquestes funcions: a) y = |x 2 – 1| b) y = |x 2 – 4x | c) y = |x 2 + 2x – 3| d) y = |x 2 – 2x + 1|

x x

b) y = |log2 x| d) y = 2|x| + x

19 Representa les funcions següents:

262

23 Representa la funció f (x) = x i dibuixa a partir d’aquest: a) g (x) = f (x + 1) b) h(x) = f (x) – 3 c) j(x) = | f (x)|

d) y = –1 x –3

25 Representa les funcions següents: a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = 2 + x d) y = 1 – x

c) y =

22 A partir del gràfic de f (x) = 1/x, representa: a) g (x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3) c) i(x) = –f (x) d) j(x) = | f (x)|

c) y = –1 x

1/x si x < 0 a) y = * x si x ≥ 0

18 Representa. a) y = 1 x

Representa, a partir d’aquest, les funcions: a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2 c) y = | f (x)|

24 Representa les funcions següents: a) y = 1 b) y = 1 x +1 x –1

15 Representa.

c) y = x – 3 2

e x si x < 1 a) y = ) ln x si x ≥ 1

cos x si –π ≤ x < 0 b) y = ) sin x si 0 ≤ x ≤ π

5 – x si x < 3 c) y = * 2 x – 2 si x ≥ 3

2 x – 3 si x < 3 d) y = * x – 3 si x ≥ 3

26 Representa aquestes funcions: a) y = 2x + 1 b) y = 2x – 3 c) y = 2x – 1 e) y = 1 – 2x

d) y = b 1 l 2 –x f) y = 2

x +3

27 Representa aquestes funcions a partir del gràfic de y = log2 x : a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = – log2 x d) y = log2 (–x) 28 Expressa aquestes funcions de la forma y = a(x – m)2 + p i descriu les transformacions que hem de fer per a representar-les a partir de y = x2: a) y = x2 – 10x + 16 b) y = 3x2 – 3x + 5 k + b i descriu les x–a transformacions que hem de fer per a representar-les a par1 tir de y = : x 3 x a) y = b) y = x – 2 x –1 x–4 c) y = 3x + 2 d) y = x + 1 x +1 x –1

29 Expressa les funcions següents y =

Per a resoldre

Composició i funció inversa

30 Donades les funcions

36 Obtín l’expressió analítica de les funcions següents:

f (x) = + 1 g (x) = 3 x –2 obtín les expressions de: a) f ° g b) g ° f x2

h(x) = x – 3

h(x) =

es poden obtindre aquestes altres: a) m(x) = 2

x +1

b) n(x) =

d) q(x) = 2 x – 3

e) r (x) =

1 x +1

f ) s (x) =

1 2x – 1 – 1

39 Calcula en radians. a) arc sin bsin π l 4

Calcula sobre el gràfic corresponent: f –1(2) f –1(1)

f –1(–1)

34 Comprova si cada parell de funcions són una inversa de l’altra. Per a això, calcula f ° f –1 o bé f –1 ° f : a) f (x) =

c) arc tg btg π l 5 e) sin (arc cos (–1))

2 2

1 ; f –1(x) = 1 – 2 x +2 x

b) f (x) = 2x + 3 ; f –1(x) =

e) y = arc cos b– 1 l 2

c) Y

2 X

Y 6

a) y = arc sin 3 2 c) y = arc tg 1

X 6

2 –4 –2 –2

X 6

38 Obtín el valor de y en graus i radians.

d) y = 2 + log3 (x + 1)

37 Determina, en cada cas, l’equació de la paràbola de la qual coneixem el vèrtex i un altre punt. a) V(1, – 4), P(–1, 0) b) V(–2, 3), P(0, 6)

b) y = 2x – 1

–4

f ) y = 2x – 3 x +1 33 Representa gràficament la funció inversa en cada cas: Y

8 10

–4 –2 –2

e) y = 4 – x , x ≤ 4

32 Troba la funció inversa de les funcions següents: a) y = 3x – 1 2 c) y = 1 + 2x – 3

–4 –2 –2

1 x –3

4–x

1 +2 x –3

2x – 1 + 2

c) p(x) =

Y 6 4

31 Explica com a partir de les funcions g (x) = x + 2

c) f ° h d) g ° h e) h ° f f) h ° g Troba, si és possible, el valor de les funcions obtingudes en els punts x = 5 i en x = 0.

f (x) = 2x – 1

x2 + 2 3

c) f (x) = 1 + log2 x ; f –1(x) = 3 ∙ 2x – 1 3 35 Considera la funció y = x + 2 , x ∈ [–2, 7]. a) Quin n’és el recorregut? b) Obtín-ne la funció inversa, i determina’n el domini de definició i el recorregut d’aquesta.

b) y = arc cos 1 2 d) y = arc sin (–1) f ) y = arc tg 3

b) arc cos (cos π) d) tg (arc tg 1) f ) arc cos (tg π)

En les funcions d’oferta i demanda, s’anomena quantitat d’equilibri el nombre d’unitats que cal produir perquè l’oferta i la demanda s’igualen, o (x) = d (x); i s’anomena preu d’equilibri el preu amb el qual s’aconseguix aquesta igualtat.

a) Troba el preu i la quantitat d’equilibri d’un producte amb funcions d’oferta i demanda o (x) = 2,5x – 100 i d (x) = 300 – 1,5x (x en euros, d i o en milers d’unitats del producte). b) Si el preu del producte és de 80 €, n’hi haurà escassetat o excés? I si el preu fora de 120 €? c) Quins en serien el preu i la quantitat d’equilibri si les funcions d’oferta i demanda foren o (x) = 0,25x 2 – 100 i d (x) = 185 – 2x ? 263

Exercicis i problemes proposats 41 Se sap que la retenció de coneixements d’un curs va disminuint amb el pas del temps. Un estudi de psicologia conclou que el percentatge que es recorda t mesos després de finalitzat el curs, ve donat per la funció: R(t) = 94 – 46,8 log (t + 1) a) Calcula el percentatge del curs que es recordarà quan passe un any. b) Al cap de quant de temps es recordarà la meitat dels coneixements? 42 En cert país s’apliquen aquests impostos sobre els salaris mensuals: • 20 % de la part del salari brut compresa entre 800 €, que és el salari mínim, i 2 500 €. • 40 % de la part del salari brut superior a 2500 €. a) Q uin salari net correspon a 1 500 € de salari brut? I a 3 000 €? b) E scriu la funció que dona els impostos a pagar, segons el salari brut x. c) Q uin ha de ser, com a mínim, el salari brut perquè el net siga superior a 2 500 €? 43 Una fira ramadera està oberta al públic entre les 10 i les 20 hores. El nombre de visitants ve donat per la funció N (t) = –20t 2 + Bt + C, on t és l’hora de visita. Sabent que a les 17 h s’arriba al màxim de 1 500 visitants, troba B i C i representa’n la funció. 44 En un cilindre de radi 8 cm, depositem una bola esfèrica de radi x i hi aboquem aigua fins que cobrisca la bola. Escriu la funció que dona la quantitat d’aigua que cal abocar-hi segons la mesura del radi de la bola.

8 cm

Quin n’és el domini de definició? 45 Un fabricant ven mensualment 100 electrodomèstics a 400 euros cada un i sap que per cada 10 euros de pujada vendran 2 electrodomèstics menys. a) Quins seran els ingressos si en puja els preus 50 euros? b) Escriu la funció que relaciona la pujada de preu amb els ingressos mensuals. c) Quina ha de ser la pujada perquè els ingressos de la fàbrica siguen màxims? 46 Un cultiu de bacteris comença amb 100 cèl·lules. Mitja hora després n’hi ha 435. Si aquest cultiu seguix un creixement exponencial del tipus y = kat (t en minuts), calcula k i a i representa’n la funció. Quant tardarà a arribar a 5 000 bacteris? 264

47 Un negoci en el qual invertim 10 000 €, perd un 4 % mensual. Escriu la funció que ens dona el capital que tindrem segons els mesos transcorreguts, i representa-la. Quant de temps tardarà el capital inicial a reduir-se a la meitat? 48 Una tassa de café acabat de fer està a 75 °C. Després de 3 minuts en una habitació a 21 °C, la temperatura del café ha descendit a 64 °C. Si la temperatura, T, del café en cada instant t ve donada per l’expressió T = A e kt + 21, calcula A i k i representa’n la funció. Quant haurem d’esperar perquè la temperatura del café siga de 45 °C? 49 Per enviar un paquet des d’Adelaide a París, un servei de correu cobra 50 € per paquets que pesen fins a 2 kg, i 10 € per cada kg o fracció addicional. a) Calcula el que costa enviar un paquet de 5 kg. b) E scriu l’expressió analítica del preu d’enviar un paquet de x kg per a x menor o igual a 8. c) Representa-ho gràficament. 50 Un toll circular d’aigua s’està evaporant al sol. Al cap de t minuts el radi és g(t) = 15 cm. t +2

a) Expressa l’àrea del toll en funció del temps. b) Quina serà l’àrea del toll al cap de 10 min? c) Quina relació té la funció de l’apartat a) amb les funcions f (r) = πr2 i g(t) = 15 ? t +2

51 La recta y = 20x + 1 talla y = ax en x = 0 i x = 4. a) Calcula a. b) P er a aquest valor de a, escriu l’equació de la recta, s, que talla y = loga x en x = 1 i x = 81. c) Quina relació hi ha entre les rectes r i s?

Qüestions teòriques 52

Vertader o fals? Justifica-ho i posa’n exemples. a) Si a > 0, es complix al oga x = x. b) La funció y = arc cos x talla l’eix Y en (0, π/2). c) En la funció y = ax no podem donar a x valors negatius quan 0 < a < 1. π π d) El domini de la funció y = arc tg x és b– 2 , 2 l . π e) Si x é :0, 2 D aleshores arc sin (cos x) = π – x 2

53 Donades f (x) = x2 – x + 1 i g(x) = 1 + x – 3 : 2 4 a) Quin ha de ser el domini de f perquè existisca f –1? b) Troba g ° f, i digues com són entre si f i g. c) Quin és domini de f ° g i de g ° f ?

54 Demostra que y = logb (x – a) i y = logc (x – a) tallen l’eix OX en el mateix punt.

58 Si f (x) = ax – 4 i g(x) = bx + 3, determina la condició que han de complir a i b perquè f ° g (x) = g ° f (x) per a tot x.

55 Calcula x en les expressions següents: a) arc tg x = –72° b) arc sin x = 75° π c) arc cos x = rad d) arc tg x = 1,5 rad 3 56 Quantes solucions pot tindre cada un d’aquests sistemes?

59 Quantes solucions tenen aquestes equacions? a) – 3 x + 4 = log2 x b) ex = x 2 1 c) ex = 4 – x2 d) ln x = x Busca’n, quan siga possible, una solució aproximada.

a) *

b) *

y = x2 y = ax + b

c) *

y= x y = ax + b

y = 1/x y = ax + b

Per a aprofundir 57 Donades les funcions f (x) = 2x + 1 i g(x) = 1 – x . x +2 a) Representa-les i digues, en cada cas, quin n’és el domini i el recorregut. b) Quin és domini de f ° g i de g ° f ?

60 Una funció f té la propietat següent: f (2x + 1) + 3 = 4x2 + 6x + 2 f (1) Quant val f (2)? 61 Definim la funció f (x) = a – ax + b per a qualsevol parell de nombres reals (a, b). Dos nombres reals m i n es diu que són substituïbles si existix un parell (a, b) tal que la funció associada a aquest parell, complix f (m) = n i f (n) = m. Comprova que 2 i 3 són substituïbles. Ho són també 4 i 7? Troba en cada cas a i b.

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Troba el domini de definició de les funcions següents: a) y = x 2 – 2x

b) y =

2 x3 – x2

2 Representa gràficament les funcions següents: –x 2 + 4 si x < 1 a) y = |2x + 3| b) y = ( si x ≥ 1 4–x 3 Representa y = 1 . A partir d’aquesta, dibuixa el gràfic de x y = –2x + 5 . x –2 Y 4 Determina l’expressió analítica d’aquesta funció definida en l’in2 terval [–6, 6]. Quin n’és el recorX regut? 2 4 – 4 –2

7 El preu de venda d’un article ve donat per l’expressió p = 12 – 0,01x (x = nombre d’articles fabricats; p = preu, en centenars d’euros). a) Si es fabriquen i es venen 500 articles, quins seran els ingressos obtinguts? b) Representa la funció nombre d’articles-ingressos. c) Quants articles s’han de fabricar perquè els ingressos siguen màxims? 8

La dosi d’un fàrmac comença amb 10 mg i cada dia ha d’augmentar 2 mg fins a arribar a 20 mg. S’ha de seguir 15 dies amb aquesta quantitat i a partir d’aleshores anar disminuint 4 mg cada dia. a) Representa la funció que descriu aquest enunciat i determina’n l’expressió analítica. b) Digues quins en són el domini i el recorregut.

Meta 11.c. Per a estudiar el creixement poblacional d’una ciutat es requerix una funció del tipus P(t) = P0 e kt. En iniciar-se l’estudi, la ciutat tenia 50 000 habitants i 10 anys després, 74 590 habitants. a) Determina la funció. b) Quant de temps tardarà a arribar als 100 000 habitants?

–2

5 Donades f (x) = x + 1 , g(x) = a) f [ g (2)]

b) g [ f (15)]

1 , troba: x –3 c) f ° g

d) g–1(x)

6 Depositem en un banc 2 000 € al 6 % anual. a) Escriu la funció que ens diu com evoluciona el capital al llarg del temps. Quin tipus de funció és? Representa-la. b) En quant de temps es duplicarà el capital?

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

265

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjuís, per a aquells qui reproduïren, plagiaren, distribuïren o comunicaren públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seua transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.