Operació món: Matemàtiques aplicades a les ciències socials I. Batxillerat (demo) by Grupo Anaya, S.A.

DEMO

INCLOU

PROJECTE DIGITAL

Ill

lear

BATX ILLER AT

MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS I José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

ió

c ra

O mó

Índex Els sabers bàsics del curs

B reu història de les matemàtiques 10 ..

Unitat inicial 0 Resolució de problemes

...................................... 14

• Anàlisi d’algunes estratègies Problemes per practicar

BLOC I.

Aritmètica i àlgebra

1 Els nombres reals

.......................................................... 30

1. 2. 3. 4. 5.

Llenguatge matemàtic. Conjunts i símbols Nombres reals. La recta real Arrels i radicals Logaritmes Expressió decimal dels reals. Nombres aproximats Exercicis i problemes Autoavaluació

2 Aritmètica mercantil 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

. . ............................................ 56

Augments i disminucions percentuals Taxes i nombres índexs Interessos bancaris Què és la «Taxa anual equivalent» (TAE)? Amortització de préstecs Progressions geomètriques Càlcul d’anualitats o mensualitats per amortitzar deutes 8. Productes financers Exercicis i problemes Autoavaluació

3 Àlgebra

. . ................................................................................................ 78

1. 2. 3. 4. 5.

Polinomis. Factorització Fraccions algebraiques Resolució d’equacions Resolució de sistemes d’equacions Inequacions i sistemes d’inequacions amb una incògnita 6. Inequacions lineals amb dues incògnites Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc I

BLOC II.

Anàlisi

4 Funcions I

.................................................................................... 108

1. Les funcions i el seu estudi 2. Domini de definició 3. Funcions lineals. Interpolació 4. Funcions quadràtiques. Interpolació 5. Funcions de proporcionalitat inversa 6. Funcions arrel 7. Funcions definides a «trossos» 8. Valor absolut d’una funció Exercicis i problemes Autoavaluació

5 Funcions II

................................................................................. 134

1. Transformacions elementals de funcions 2. Composició de funcions 3. Funció inversa o recíproca d’una altra 4. Funcions exponencials 5. Funcions logarítmiques 6. Funcions trigonomètriques Exercicis i problemes Autoavaluació

6 L ímits de funcions.

Continuïtat i branques infinites

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

BLOC III. .............................................. 158

Comportament d’una funció en l’infinit Càlcul de límits de funcions quan x → +∞ Límit d’una funció quan x → –∞ Càlcul de límits de funcions quan x → –∞ Comportament d’una funció en un punt. Límits i continuïtat Càlcul de límits en un punt Branques infinites. Asímptotes Branques infinites en les funcions racionals Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques Exercicis i problemes Autoavaluació

7 D erivades

.. ...................................................................................... 188

1. Mesura del creixement d’una funció 2. Obtenció de la derivada a partir de l’expressió analítica 3. Funció derivada d’una altra 4. Regles per a obtindre les derivades d’algunes funcions 5. Taula de derivades 6. Utilitats de la funció derivada 7. Optimització de funcions 8. Representació de funcions Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc II

Estadística i probabilitat

8D istribucions

bidimensionals

1. 2. 3. 4. 5. 6.

. . ................................................................. 222

Distribucions bidimensionals. Núvols de punts Correlació lineal Paràmetres associats a una distribució bidimensional Recta de regressió Hi ha dues rectes de regressió Taules de contingència Exercicis i problemes Autoavaluació

9 Combinatòria i probabilitat

................. 244

1. Diagrama en arbre 2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) 3. Quan no influeix l’ordre. Combinacions 4. Factorials i nombres combinatoris 5. Càlcul de probabilitats Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc III

Annex S olucionari

de les autoavaluacions

............................................. 263

4 Funcions I Primeres aproximacions a la idea de funció El concepte de funció apareix com a tal al segle xvii, però el procés fins a arribar-hi va ser lent i es remunta fins a l’Antiguitat. En la matemàtica babilònica de fa 4 000 anys trobam les primeres aproximacions en forma de lleis que descriuen relacions entre magnituds, de tal manera que coneixent-ne el valor d’una s’obté, inequívocament, el valor de l’altra. Al segle ii aC, el matemàtic grec Ptolemeu va estudiar relacions entre variables, sense arribar a comprendre el concepte de funció. Oresme (matemàtic francès del segle xiv) va afirmar el 1350 que les lleis de la naturalesa són relacions de dependència entre «dues quantitats». Varen ser aquest tipus de relacions les que serviren d’origen al concepte de funció. La primera idea de funció és, per tant, la d’una fórmula que relaciona algebraicament diverses magnituds. Galileu, al final del segle xvi, va utilitzar per primera vegada l’experimentació quantitativa com a font d’informació. Va començar a mesurar, anotar i valorar quantitativament causes i efectes per establir relacions numèriques que descriguessin fenòmens naturals.

Reproducció del mapamundi inclòs a l’obra Geographia de Ptolemeu.

El concepte de funció es generalitza Les investiguicions de Galileu sobre les relacions matemàtiques entre dues variables (x i y, causes i efectes) són un antecedent molt clar del concepte de funció, que va prenent forma al llarg del segle xvii. La representació gràfica mitjançant diagrames cartesians (segle xvii) va permetre la visualització de les funcions. D’aquesta manera, el concepte de funció es generalitza a qualsevol relació numèrica que respongui a un gràfic sobre uns eixos de coordenades. Leibniz, el 1673, adopta la paraula funció per designar aquestes relacions. Euler, entre l’any 1748 i el 1755, va anar perfilant el concepte, al qual va donar precisió i generalitat, admetent que una relació entre dues variables pot ser funció, encara que no hi hagi una expressió analítica que la descrigui. El mateix Euler va ser qui va aportar la nomenclatura f (x) per indicar el valor de la funció f associat al nombre x. Es pot dir que amb Euler s’assenta el concepte de funció.

114

Utilitat de les funcions Les funcions s’utilitzen per modelitzar i estudiar multitud de fenòmens socials, naturals, científics… Encara que algunes tenen expressions molt complexes, és sorprenent veure la simplicitat de moltes altres. Com es determina la quantitat d’oxigen en sang? Entre altres, s’utilitza una funció amb corba en forma d’eix (es diu que és de manera sigmoide). Intervé alguna funció en la determinació de l’edat dels fòssils? Sí, una logarítmica. Un equip d’investiguidors i investiguidores de la NASA va desenvolupar un complex model matemàtic destinat a predir els eclipsis de Fobos (satèl·lit de Mart) per poder observar-los amb el vehicle Curiosity des de la superfície de Mart. Entre altres dades, la predicció d’aquests eclipsis requereix conèixer, per a qualsevol instant de temps, les coordenades de Fobos i del Sol des de Mart. Aquest model dictamina en quins instants la càmera situada en el pal del Curiosity La sonda Curiosity a la superfície de havia d’enfocar el Sol. Mart.

RESOL Famílies de funcions Ja coneixes moltes famílies de funcions: els noms, com són les seves expressions analítiques i quina forma tenen els gràfics. Associa cada nom de família amb la representació gràfica corresponent i amb la seva expressió analítica general. 1. Quadràtica 2. Arrel 3. Proporcionalitat inversa 4. Exponencial 5. Logarítmica A

B Y

E Y

X X

E Y

X X

I. y = x – 4

II. y = 4x

III. y = x 2 – 4x

IV. y = log2 x

V. y =

2 x –3

115

Estudi de les funcions Concepte de funció En la ciència, en la tècnica, a la naturalesa, podem identificar infinitat de funcions: • La velocitat que duu una partícula depèn del temps, és funció del temps. • La pressió de l’aigua de la mar és funció de la profunditat. • La grandària amb què es veu un objecte a través d’una lupa és funció de la distància a la qual es col·loqui la lupa. • La sensació amb la qual es percep un estímul és funció de la intensitat d’aquest. En totes es relacionen dues variables. Tant en aquestes com en les altres funcions que manejam habitualment, les variables prenen valors reals (és a dir, es mouen en el conjunt Á dels nombres reals). f és una funció de Á en Á si a cada nombre real, x ∈ Dom, s’hi fa correspondre un altre nombre real, f (x): Dom ⊂ Á

Dom ⎯→ Á x ⎯→ f (x)

El conjunt Dom dels valors que pot prendre la variable independent, x, es diu domini de definició de la funció. Y

RECORREGUT

El conjunt dels valors que pren la funció es diu recorregut.

y = f (x)

➜

anayaeducacion.es Animació per visualitzar el domini i el recorregut de diversos tipus de funcions.

X DOMINI

Hem de destacar que perquè f (x) sigui funció, cada valor de x ∈Dom ha de tenir assignat un únic valor f (x): f (x) és únic per a cada x ∈ Dom Com que tant la variable x com la funció f (x) prenen valors reals, aquestes funcions es diuen funcions reals de variable real.

Com venen donades les funcions Les funcions ens arriben en diversos formats: • Mitjançant el seu gràfic Permet que ens fem una idea molt clara de com és la funció amb un sol cop d’ull. • Per la seva expressió analítica (fórmula) Sintetitza algebraicament de manera perfecta la relació entre les dues variables. És la més precisa, però no és fàcil veure’n el comportament d’una sola ullada. • Mitjançant un enunciat Si ens ve donada per un enunciat (acompanyat o no d’una taula de valors) haurem de traduir-lo a un gràfic o, si fos possible, a una expressió analítica. 116

y=x

3 x +1 –x –3

La temperatura d’un pacient que comença a estar malalt fins que torna a tenir 37 °C…

Aspectes rellevants d’una funció Analitzar el comportament d’una funció donada pel seu gràfic és senzill. Evidentment, per a això hi ha el gràfic, perquè sigui fàcil visualitzar els vaivens de la funció. Hi podem veure les pujades i baixades (creixement i decreixement), així com els màxims (punts on la corba deixa de pujar i comença a baixar) i mínims. Les discontinuïtats (ruptures), les branques infinites… Tot això és molt rellevant per a l’anàlisi de la funció que s’està descrivint. Y

En els cursos anteriors ens vàrem familiaritzar amb la interpretació de fenòmens físics, biològics, econòmics… descrits mitjançant gràfics. No obstant això, en aquest curs ens marcam un nou i gran objectiu: ser capaços de representar una funció a partir de la seva expressió analítica. Per a això, necessitam dues eines importants (límits i derivades) que estudiarem a les pròximes unitats i que, ara, passam a descriure molt breument. Límits Les branques infinites, tant les que es donen en punts finits com les que sorgeixen quan la funció s’allunya cap a l’esquerra o cap a la dreta, s’obtenen mitjançant els límits.

PREGUNTAR A L’EXPRESSIÓ ANALÍTICA Hem d’aprendre a fer preguntes a l’expressió analítica d’una funció. • Ets contínua? • Tens branques infinites? On estan? Com són? • On ets creixent? On decreixent? • Quins són els teus màxims i mínims?

•… I ser capaços de trobar les respostes a aquestes preguntes.

L’estudi dels límits (unitat 11) ens permetrà esbrinar si existeixen aquestes branques, on estan localitzades i quina forma tenen. Els límits també ajuden a dilucidar si una funció és o no contínua en un punt o si existeix algun tipus de «ruptura».

crei X

cre

El bon maneig de les derivades ens permetrà esbrinar els intervals on una funció és creixent i on és decreixent, així com a obtenir-ne els màxims i mínims.

La derivada d’una funció és una altra funció que descriu el pendent (inclinació) de la primera a cada un dels seus punts. A la unitat 12 aprendrem les tècniques de càlcul de derivades.

cre

Derivades

117

Domini de definició Per què es restringeix el domini de definició • La funció y = –5x 2 + 20x correspon a una paràbola. A cada valor real de la x cor respon un valor de y. El domini de definició és tot Á.

Y 20

• La funció a = 20t – 5t 2 correspon a l’altura a què es troba una pedra que llançam cap amunt a una velocitat de 20 m/s. És la mateixa paràbola descrita en el paràgraf anterior, però ara la funció només està definida per a valors de t que facin a ≥ 0 (la pedra s’atura en arribar a terra). El domini de definició d’aquesta funció és [0, 4].

a = 20t – 5t 2

10 0

• La funció amb l’expressió analítica y = x – 7 no està definida en x = 1, perquè 1 – 7 = –6 no és un nombre real. Només està definida si x val 7 o més. El domini de definició és [7, +∞).

y = –5x 2 + 20x

El domini de definició d’una funció queda restringit per algun dels motius següents: • L’enunciat o context real del qual s’ha extret la funció. • La impossibilitat de fer alguna operació amb certs valors de x. Per exemple: — Si s’anul·làs el denominador en una fracció algebraica. — Si aparegués un nombre negatiu dins d’una arrel d’índex parell. — Si un logaritme actuàs sobre un nombre no positiu. • Per voluntat de qui proposa la funció.

OBSERVACIÓ Si no es diu altra cosa, el domini de definició d’una funció és tan ampli com en permeti l’expressió analítica.

Operacions que restringeixen el domini de definició • Denominador zero

x2 – 1 . S’han d’excloure del domini de definició els valors – 2x – 15 de x que anul·len el denominador. Els trobam resolent l’equació x2 – 2x – 15 = 0 → → x = –3, x = 5. Per tant: Per exemple, f (x) =

Dom f = Á – {–3, 5} = (–∞, –3) « (–3, 5) « (5, +∞) • Arrel d’índex parell i radicant negatiu

RECORDA-HO L’interval (–3, 5) abasta tots els nombres compresos entre –3 i 5, però no inclou –3 ni 5. L’interval [–3, + ∞) abasta tots els nombres més grans que –3 incloent el –3.

Per exemple, f (x) = 2x + 6 . Només podem trobar l’arrel quadrada per a valors de x on, 2x + 6 ≥ 0; és a dir, per a x ≥ –3. Per tant: Dom f = [–3, +∞) • Logaritme d’un nombre no positiu Per exemple, f (x) = ln (3x –12). Per poder trobar el logaritme, ha de ser 3x – 12 > 0; és a dir, x > 4. Per tant, el domini de definició és: Dom f = (4, + ∞) • Diverses restriccions Quan en la mateixa funció conflueixen més d’una d’aquestes circumstàncies, s’han de tenir en compte totes. Per exemple: 1 . Per poder calcular l’arrel quadrada, el radicant, x + 4, hauria de x +4 ser major o igual que zero; però, en estar en el denominador, no pot ser zero. Per tant, el domini estarà format pels valors de x tals que x + 4> 0; és a dir, x > – 4. El domini és Dom f = (–4, +∞).

• f (x) =

1 + x . D’una banda, el denominador no pot ser zero, de manera x –5 que x = 5 no forma part del domini. A més, ha de ser x ≥ 0 per poder trobar l’arrel quadrada. Unint les dues condicions, Dom f = [0, 5) « (5, + ∞).

• f (x) =

118

➜

Ajuda’t de GeoGebra per trobar el domini de definició.

Exercicis resolts

1 Troba el domini de definició d’aquestes funcions: a) y = 2x + x – 5 x+4 3 b) y = 3x – 72x – 6 x – 8x + 15x c) y = 2x – 3 x + x +1

a) S’ha d’excloure del domini de definició el 0, que anul·la el primer denominador, i el – 4, que anul·la el segon. Per tant: Dom = Á – {–4, 0} = (–∞, –4) « (–4, 0) « (0, +∞) b) La funció no està definida en els punts en què s’anul·la el denominador, independentment de si el numerador s’anul·la o no: x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ (x2 – 8x + 15) · x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 S’han d’excloure aquests tres valors del domini de definició. Per tant: Dom = Á – {0, 3, 5} = (–∞, 0) « (0, 3) « (3, 5) « (5, +∞)

c) El denominador no s’anul·la en cap punt. Per tant, el domini de definició és tot Á: Dom = Á

2 Troba el domini de definició de les funcions següents: a) y = x 2 – 3x b) y = ln (x 2 – 3x)

a) Vegem per a quins valors de x el radicand és major o igual que zero: Tenim: x 2 – 3x = 0 → x (x – 3) = 0 → x = 0, x = 3 Y

La representació de la paràbola ens ajuda a veure que el radicand és negatiu en l’interval (0, 3).

Per tant, el domini de definició és: 1

Dom = Á – (0, 3) = (–∞, 0) « (3, +∞)

b) L’expressió sobre la qual actua el logaritme és negativa o zero en l’interval [0, 3]. Per tant, el domini de definició és: Dom = Á – [0, 3] = (–∞, 0) « (3, +∞) 3 Troba el domini de definició de: log (x – 1) y= 5x – x 2

La funció log ha d’actuar sobre valors positius → x – 1 > 0 → x > 1 L’arrel, sobre valors no negatius → 5x – x2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 5 El denominador no s’ha d’anul·lar → 5x – 1

° ¢0<x<5 ≠ 0 → x ≠ 0 i x ≠ 5£

Les dues condicions es compleixen en (1, 5). Per tant: Dom = (1, 5)

x>1 0

0<x<5

Pensa i practica

➜

anayaeducacion.es Amplia el càlcul de dominis.

Troba el domini de definició de cadascuna de les funcions següents: 1 a) y =

1 2 x – 4x – 3

2 b) y = x –24x + 3 x +1

1 3x – 9

2 a) y = 3x + 9

b) y =

3 a) y = x 2 – 5x

b) y = 3x2 – 5 x – 5x

4 a) y = log (5x – 20)

b) y = ln (x2 – 5x)

5 a) y =

2x + 1 x 3 – 6x 2 + 8x

b) y = x 3 – 6x 2

6 a) y =

1 – 3x – 1 x +1 x –2

b) y =

x log x

119

Funcions lineals. Interpolació Les funcions descriuen fenòmens quotidians, psicològics, econòmics, científics, tècnics… Aquestes funcions habitualment s’obtenen de forma experimental i, ben sovint, responen a alguna de les grans famílies que ja coneixem de cursos anteriors. Recordem aquestes famílies i algunes funcions obtengudes experimentalment que s’hi corresponen.

anayaeducacion.es

➜

Representació gràfica d’una funció lineal.

Funcions lineals Les funcions lineals es descriuen amb equacions de primer grau y = mx + n (m, pendent; n, ordenada en l’origen), i es representen amb rectes.

Y y = mx + n n X

El pendent, m, és el coeficient de la x quan la y està aïllada. És la variació que es produeix en la y quan la x augmenta una unitat. Si coneixem les coordenades de dos punts de la recta, P (x1, y1), Q (x2, y2), per trobar el pendent, procedim així: m=

y2 – y1 x2 – x1

y 2 – y 1 és la variació de la y x 2 – x 1 és la variació de la x

Si d’una recta (funció lineal) es coneix un dels punts (x0, y0) i el pendent, m, l’equació es pot posar així: forma punt-pendent de l’equació d’una recta y = m(x – x0) + y0 Exemple de funció lineal: La pressió P (en atmosferes) a la mar i la profunditat h (en m) es relacionen amb l’equació: P=1+ h , h>0 10 A 100 m de profunditat, la pressió és equivalent a la que experimentaries si et posaren un camió de 2 t sobre el cap. Imagina a 3 000 m, on viuen els peixos abissals. Exercici resolt

➜

a b

(atm)

2 10

h h>0 P=1+— 10 50 100 PROFUNDITAT (m)

anayaeducacion.es Escriu l’equació punt-pendent de la recta.

1 Escriu l’equació de les rectes representades en el gràfic. c

PRESSIÓ

Sabies que la zona més profunda de la mar està a la fossa de les Mariannes, al Pacífic, a 10 924 m? Quina pressió suporten els éssers que hi viuen? Una notícia trista: quan el submergible Limiting Factor va marcar el rècord de profunditat en arribar al fons de les Mariannes, va trobar una bossa de plàstic i embolcalls de caramels.

a) Passa per (0, 4) i (2, 5). El pendent és m = 5 – 4 = 1 . L’ordenada en l’origen 2–0 2 és 4. L’equació és: y = 1 x + 4 2 b) Passa per (0, 0) i (3, 2). El pendent és m = 2 . L’ordenada en l’origen és 0. 3 L’equació és: y = 2 x 3 Recorda: aquestes funcions lineals amb les rectes que passen per l’origen s’anomenen funcions de proporcionalitat. c) Passa per (2, 7) i per (5, 3). m = 3 – 7 = – 4 . Equació: y = – 4 (x – 2) + 7 5–2 3 3

120

Interpolació lineal Si d’una funció coneixem només dos dels punts, és evident que res o gairebé res en podrem dir del comportament en altres punts. No obstant això, si tenguéssim motius per suposar que entre aquests dos punts la funció és lineal (almenys aproximadament), en podríem trobar (exactament o aproximadament) els valors en punts intermedis, valent-nos de l’equació d’una recta. y1 – y0 y=— (x – x0 ) + y0 x1 – x0

A(x0, y0)

B(x1, y1) y1 – y0

Una funció passa pels punts A(x0, y0), B(x1, y1), és a dir, f (x0) = y0, f (x1) = y1. Si hi ha raó per suposar que la funció és lineal en l’interval [x0, x1], llavors en podem trobar el valor per a qualsevol abscissa, x, d’aquest interval a partir de la recta que passa per A i B : y –y si x ∈ (x0, x1), llavors f (x ) = 1 0 (x – x0) + y0 x1 – x0

x1 – x0

Aquest procés s’anomena interpolació lineal. Si x és exterior a [x0, x1], el procés s’anomena extrapolació. En l’extrapolació, com més enfora estigui x de l’interval, menys fiable és el valor que obtenim per a f (x ). Exercici resolt

1 Si penjam d’una molla un pes de 40 g, s’estira fins a 12 mm. I si hi penjam un pes de 60 g, s’estira fins a 20 mm. a) Quina en seria la longitud si hi penjàssim un pes de 55 g? b) Quina en seria la longitud si hi penjàssim un pes de 100 g? c) I si el pes fos de 5 kg?

a) Podem suposar que, almenys en l’interval [40, 60], la longitud de la molla depèn linealment del pes que hi pengem. Per tant, podem estimar-ne la longitud per a un pes intermedi: B(60, 20) f (55) = 8 (55 – 40) + 12 = 20 8 (x – 40) + 12 y=— 20 = 2 · 15 + 12 = 18 20 – 12 = 8 5 A(40, 12) Per a 55 g, la longitud de la molla serà de 18 mm. 60 – 40 = 20 b) Per a 100 g, s’obté f (100) = 2 (100 – 40) + 12 = 36 mm. 5 c) Per a 5 kg = 5 000 g, f (5 000) = 2 (5 000 – 40) + 12 = 1 996 mm. 5 L’extrapolació realitzada en b) pot ser raonable, perquè 100 g és pròxim a l’interval [40, 60]. Però en c), allò que s’ha obtengut és un desbarat. Per a aquest pes (5 000 g) la molla es deforma o es romp. No és vàlida aquesta extrapolació.

Pensa i practica

1 Representa la funció següent: y = –2x + 7, x ∈ (1, 4] 2 Una funció lineal f compleix: f (3) = 5, f (7) = – 4, Dom( f ) = [0, 10]. Quina n’és l’expressió analítica? Representa-la. 3 En una universitat, l’any 2014 hi havia 15 200 alumnes matriculats, i 18 000 el 2019. Estima quants n’hi havia: a) L’any 2015. b) L’any 2017. c) L’any 2012.

d) Quants s’han d’esperar que n’hi hagi el 2022? e) I el 2052? 4 El consum de benzina d’un automòbil determinat, per cada 100 km, depèn de la velocitat que duu. A 60 km/h consumeix 5,7 L i a 90 km/h consumeix 7,2 L. a) Estima’n el consum si recorre 100 km a 80 km/h. b) Quant consumirà a 100 km/h? c) I a 200 km/h?

121

Funcions quadràtiques. Interpolació Les funcions quadràtiques es descri- Y uen amb equacions de segon grau

Paràboles que varien en funció

➜

dels paràmetres.

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 i es representen mitjançant paràboles.

• Tenen els eixos paral·lels a l’eix Y. • Les formes d’aquestes paràboles (que les branques estiguin cap amunt o cap avall, que siguin més o menys amples…) depenen, exclusivament, del valor de a. — Si dues funcions quadràtiques tenen el mateix valor de a (el mateix coeficient de x 2), les paràboles corresponents són idèntiques, encara que situades en posicions diferents.

anayaeducacion.es Representa

➜

funcions quadràtiques.

— Si a > 0, les branques van cap amunt, i si a < 0, cap avall. — Com major sigui |a |, més estilitzada és la paràbola. • L’abscissa del vèrtex de la paràbola y = ax 2 + bx + c és x0 = – b . 2a Exemples:

ALTURA

• L’altura h (en m) a la qual es troba un objecte que es llança verticalment cap amunt amb una velocitat de 50 m/s, en funció del temps t (en s), és la següent: h = 50t – 5t 2,

(m)

100

DISTÀNCIA RECORREGUDA

a = 50t – 5t 2

100

0 ≤ t ≤ 10

TEMPS

d = 0,0074v 2 + 0,21v

10 (s)

• La distància d (en m) recorreguda per un cotxe des que el conductor veu el perill fins que el cotxe s’atura completament, en funció de la velocitat v (en km/h) que duu el cotxe en aquest instant, ve donada per aquesta expressió analítica: d = 0,0074v 2 + 0,21v,

(m)

10 10

0 ≤ v ≤ 100

VELOCITAT

100 (km/h)

Exercici resolt

1 Representa les paràboles següents: a) y = x 2 – 4x + 6 b) y =

Les abscisses dels vèrtexs són: a) 2, b) 0, c) 2, d) 2 Donant alguns valors a cadascuna, n’obtenim la representació:

x 2

–1 c) y = – 1 x 2 + 2x + 5 2 d) y = 2x 2 – 8x + 4

Pensa i practica

1 Representa aquestes paràboles: x2

a) y = – 2x + 3 c) y = x 2 – 6x + 5 e) y = (1/3)x 2 – x + 3

122

2 Representa les funcions següents: – x2

b) y = – 2x – 3 2 d) y = 2x – 10x + 8 f ) y = (1/4)x 2 + x – 2

a) y = x 2 – 6x + 1, x ∈ [2, 5) b) y = – x 2 + 3x, x ∈ [0, 4] c) y = x 2 – 4, x ∈ (– ∞, –2) « (2, +∞)

Paràbola que passa per tres punts Si els punts A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) no estan alineats, aleshores existeix una paràbola (i només una) que passa per A, B i C. Per determinar-la, posam l’equació en forma general, y = ax 2 + bx + c, i «l’obligam» a què passi per cadascun dels tres punts. Obtenim, així, un sistema de tres equacions amb tres incògnites, a, b i c. En resoldre’l, s’obtenen els paràmetres de l’equació. Exercici resolt

1 Troba l’equació de la paràbola que passa pels punts (2, –1), (6, –5) i (10, 7).

FES-HO TU

Troba l’equació de la paràbola que passa per (0, 3), (2, –3) i (6, 9).

Expressam l'equació de la paràbola en forma general, y = ax 2 + bx + c, i l’obligam a què passi per cada un dels punts donats: _ (2, –1) 8 –1 = a · 2 2 + b · 2 + c 8 4a + 2b + c = –1 bb (6, –5) 8 –5 = a · 6 2 + b · 6 + c 8 36a + 6b + c = –5 ` (10, 7) 8 7 = a · 10 2 + b · 10 + c 8 100a + 10b + c = 7 b a 1 Resolem aquest sistema i obtenim els coeficients: a = , b = –5, c = 7. 2 1 2 La paràbola cercada és y = x – 5x + 7. 2

Mètode de Newton per obtenir l’equació d’una paràbola Aplicant aquest mètode, l’obtenció de la paràbola que passa per tres punts, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), s’aconsegueix de forma més còmoda. Utilitza l’expressió següent com a equació de la paràbola: y = p + m (x – x1) + n (x – x1) (x – x2) En imposar que passi per A, B i C, el sistema d’equacions obtengut és escalonat i, per tant, més fàcil de resoldre.

Exercici resolt

1 Troba, pel mètode de Newton, l’equació de la paràbola que passa pels punts (2, –1), (6, –5) i (10, 7). FES-HO TU

Troba, pel mètode de Newton, l’equació de la paràbola que passa (0, 3), (2, –3) i (6, 9). Comprova que és la mateixa que s’obté en el FES-HO TU anterior.

Equació de la paràbola: y = p + m(x – 2) + n(x – 2)(x – 6) Imposam que passi pels tres punts donats: (2, –1) → –1 = p + m · (2 – 2) + n · (2 – 2) · (2 – 6) → p = –1 (6, –5) → –5 = p + m · (6 – 2) + n · (6 – 2) · (6 – 6) → p + 4m = –5 → m = –1 (10, 7) → 7 = p + m · (10 – 2) + n · (10 – 2) · (10 – 6) → p + 8m + 32n = 7 → n = 1 2 1 Obtenim, així, l’equació: y = (x – 2)(x – 6) – (x – 2) – 1 2 Operant i reagrupant, s’obté l’equació de l’exercici anterior: y = 1 x 2 – 5x + 7 2

Pensa i practica

3 Troba l’equació de la paràbola que passa pels punts (–1, 0), (2, 12) i (8, –72). a) Usant l’equació en forma general. b) Pel mètode de Newton.

Troba els punts de la paràbola y = x 2 + 6x + 5 que té d’abscisses 0, 3 i 5. Obtén, pel mètode de Newton, la paràbola que passa per aquests tres punts i comprova que és la mateixa.

123

Funcions quadràtiques. Interpolació

Interpolació parabòlica Si d’una funció coneixem només tres punts A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3), x1 < x2 < x3, podrem trobar-ne nous valors aproximats a partir de la paràbola que passa pels punts, y = P (x). La confiança que podem tindre en el valor estimat dependrà del tipus de funció i de la situació del nou punt: • Si x està en l’interval [x1, x3], es tracta d’una interpolació i hem d’esperar que el valor estimat sigui relativament pròxim al real. • Si x està fora de l’interval [x1, x3], es tracta d’una extrapolació i l’estimació serà molt més fiable com més a prop estigui x d’algun dels extrems de l’interval.

Exercici resolt

1 El percentatge d’atur a Espanya en alguns anys passats va ser: any

2013

2017

2019

26,10

17,70

15,78

Estima el percentatge d’atur el 2014, 2018 i 2010 mitjançant una interpolació (o extrapolació) parabòlica. FES-HO TU

El percentatge d’atur a Espanya en alguns anys va ser: any

1994

1997

2000

24,1

20,6

13,9

Estima el percentatge d’atur el 1998, 2001 i 2003 i compara’l amb els valors reals: any

1998

2001

2003

18,6

10,63

11,37

Prenem com a any zero l’any 2013. En conseqüència, hem d’obtenir l’equació de la paràbola que passa pels punts (0; 26,10), (4; 17,70), (6; 15,78). Ho farem mitjançant el mètode de Newton. Equació: y = P (x) = p + m(x – 0) + n(x – 0)(x – 4) → y = P (x) = p + mx + nx(x – 4) Ara, obligam que passi per cada un dels tres punts donats: (0; 26,10) → 26,10 = p + m · 0 + n · 0 · (– 4) → p = 26,10 (4; 17,70) → 17,70 = 26,10 + m · 4 + n · 4 · 0 → m = – 2,10 (6; 15,78) → 15,78 = 26,10 – 2,10 · 6 + n · 6 · 2 → n = 0,19 L’equació és y = P (x) = 26,10 – 2,1x + 0,19x (x – 4). Obtenim el valor de P en cada un dels punts demanats: 2014 → x = 1 → P (1) = 26,10 – 2,1 · 1 + 0,19 · 1 · (–3) = 23,43 (Valor real: 23,67 %, bastant pròxim a l’estimat) 2018 → x = 5 → P (5) = 26,10 – 2,1 · 5 + 0,19 · 5 · 1 = 16,55 (Valor real: 16,61 %, bastant pròxim a l’estimat) 2010 → x = –3 → P (–3) = 26,10 – 2,1 · (–3) + 0,19 · (–3) · (–7) = 36,39 (Valor real: 19,86 %, molt allunyat de l’estimat) Com veim, les estimacions fetes per interpolació a l’interval, són bones. En allunyar-nos de l’interval s’obté un resultat poc ajustat a la realitat.

Pensa i practica

Meta 13.2. Una associació ecologista tenia 12 300 membres l’any 2015, 14 100 membres el 2017 i 15 600 el 2020. Estima quants en tenia: a) L’any 2016. b) El 2018 i el 2012. c) Quants de membres s’ha d’esperar que tengui el 2022? Interpreta cada resultat tenint en compte si és interpolació o extrapolació i com d’allunyades estan les dades de l’interval de dades reals.

124

6 El consum de benzina d’un cert automòbil, per cada 100 km, depèn de la seva velocitat. A 60 km/h consumeix 5,7 L; a 70 km/h, 6 L i a 90 km/h consumeix 7,2 L. Calcula quanta benzina gastarà per cada 100 km recorreguts anant a: a) 80 km/h b) 100 km/h c) 200 km/h Aquest enunciat és com el de l’exercici 4 de l’epígraf anterior, però enriquit amb una nova dada corresponent al consum a 70 km/h, amb la qual cosa ara, amb tres punts, es pot efectuar una interpolació parabòlica.

Funcions de proporcionalitat inversa S’anomenen funcions de proporcionalitat inversa aquelles l’equació de les quals és y = k . Els gràfics en són hipèrboles. El domini de definició és (–∞, 0) ∪ (0, +∞). x 1 y=— x

Hipèrboles y = a/x.

➜

2 y=— x

1 1

anayaeducacion.es Animació

➜

interactiva per veure com funciona una funció del tipus paràmetre.

Recordem que cada hipèrbola «se cenyeix» a un parell de rectes anomenades asímptotes. D’aquesta manera, a les funcions de proporcionalitat inversa les asímptotes són els eixos de coordenades. També són hipèrboles els gràfics de les funcions y = ax + b . cx + d

AUGMENT

4 A=— 4–d DISTÀNCIA (cm) 4

Exemples: •

L’augment A produït per una lupa determinada ve donat per l’equació: A=

4 4–d

on d és la distància (en cm) a la qual se situa l’objecte. •

1 en variar-ne el x –a

LONGITUD

Tapam l’orifici de sortida d’una xeringa de 8 cm de longitud. En estrènyer-ne l’èmbol, l’aire es comprimeix.

(cm)

La relació entre la pressió P (en atmosferes), i la longitud l (en cm) de la columna d’aire respon a l’equació: l = 8 , P ≥ 0 P +1

8 l=— P≥0 P+1

PRESSIÓ

(atm)

Exercici resolt

1 Representar

a) Les asímptotes són els eixos de coordenades.

a) y = 6x

Alguns punts de coordenades enteres són:

b) y = – 4x

(–3, –2), (– 6, –1)

(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (–1, – 6), (–2, –3),

6 y=— x

1 1

b) Les asímptotes són els eixos de coordenades. Alguns punts de coordenades enteres són: (– 4, 1), (–2, 2), (–1, 4), (1, – 4), (2, –2), (4, –1)

4 y = –— x 1

Pensa i practica

1 Representa: a) y = – 1 x

b) y = 8 x

c) y = – 6 x

d) y = 12 x

e) y = – 16 x

125

Funcions arrel Les funcions d’equació

y = kx , k ≠ 0

Funció arrel que varia en canviar

➜

— y = √kx

el valor de k.

es representen mitjançant mitges paràboles amb l’eix paral·lel a l’eix X.

La funció y = 3 x és contínua i creixent i el domini de definició és tot Á.

3— y = √x

Exemples: •

El període T d’un pèndol (temps, en s, que tarda a realitzar una oscil·lació completa) en funció de la seva longitud l (en m). L’equació és:

T — T = 2√l

T=2 l •

En psicologia té una gran importància l’estudi de percepcions. Percebem llum, olors, sons... La percepció (sensació) depèn (és funció) dels estímuls físics que arriben a través dels sentits.

La fórmula que relaciona la sensació S amb la intensitat I de l’estímul és: SENSACIÓ (estimada per l’individu) 3— S = k √I

S=k 3I 1

8 ESTÍMUL FÍSIC

Aquesta relació entre estímuls (físics) i sensacions (psicològiques) s’anomena llei psicofísica. Exercici resolt

1 Representa:

a) y = – 4x b) y = 3 –27x X

Pensa i practica

1 Representa: a) y = 4x

126

b) y = 9x

c) y = – 9x

d) y = – 9x

e) y = 3 –8x

Pensa i practica

➜

anayaeducacion.es Representació de funcions radicals.

2 Associa a cada un dels gràfics següents una de les equacions de davall. Observa que hi ha més equacions que gràfics. Y

Y (4, 16π)

50 1 1

F Y

1 H

800

1 X

100 X

1 Y

1 X

X 10

2 Y

1 1

1 X

lineals

quadràtiques

proporcionalitat inversa

radicals

y= 3x 2

y = x 2 – 8x + 15

PI1

y= 1 x

y = – 2 (x – 1) + 5 3

y = (x + 3) (x + 5)

PI2

y = 25πx

y = x 2, x > 0

PI3

y= 2 x

R3 y = 2 4 – x

y = 3 x + 1, x ≥ 0 4

y = πx 2, x > 0

PI4

y= 6, x>0 x

R4 y = 4x , x > 0

2 ,x≥0 2–x

R1 y = 2x + 4 R2 y = x + 4

3 Cadascun dels enunciats següents es correspon amb un gràfic d’entre els de l’exercici anterior. Identifica’l. 1. Superfície, en centímetres quadrats, d’un cercle. Radi, en centímetres. 2. Augment d’una lupa. Distància a l’objecte, en centímetres. 3. Període d’un pèndol. Longitud, en metres. 4. Volum d’un cilindre, en centímetres cúbics. El radi del cercle de la base fa 5 cm. Altura, en centímetres. 5. Longitud d’una molla, en decímetres. Fa 1 dm i s’allarga 75 mm per cada quilo que s’hi penja. 6. Dimensions (llarg i ample, en centímetres) de rectangles amb una superfície de 6 cm2.

127

Funcions definides «a trossos» Les expressions analítiques de les funcions següents són molt peculiars: x 2 + 2x + 1

y = *1 x –3

x si x ≤ 2 y=( 1 si x > 2

Dibuixa una funció definida a

➜

trossos.

si x ≤ 0 si 0 < x < 4 si x ≥ 4

Requereixen de diverses «fórmules», cada una de les quals regeix el comportament de la funció en un cert tram. Y

Y y=1

y = x2 + 2x + 1 X

y=x–3

y=1

y=x

Les seves representacions gràfiques són fàcils si sabem representar cada un dels trams i es presta atenció al seu comportament en els punts d’entroncament. També és senzill obtenir-ne l’expressió analítica, a partir d’un gràfic format per trossos de rectes.

anayaeducacion.es Funcions

➜

lineals a trossos.

Exercici resolt

1 El gràfic següent descriu la temperatura T de l’aigua que, essent gel, s’aboca en una cassola, es posa al foc i es manté fins que duu una estona bullint. T (° C)

El pendent és:

0 – (–20) = 20 = 2 (El gel augmenta la temperatura de –20° a 0°). 10 – 0 10

Equació: y = 2(x – 0) – 20 → y = 2x – 20 • Segon tram: y = 0 (Mentre el gel es descongela la seva temperatura continua sent 0°). • Tercer tram: pertany a una recta que passa per (20, 0) i (35, 100). Equació: y = 100 (x – 20) → y = 20 x – 400 (L’aigua puja la temperatura de 0° a 100°). 3 3 15

–20

• Primer tram: pertany a una recta que passa per (0, –20) i (10, 0).

• Quart tram: y = 100 (L’aigua bullint es manté a 100°).

t (min) 45 30

Obtén-ne l’expressió analítica en funció del temps, t.

Si en lloc de x i y posam t (temps) i T (temperatura), la seva expressió analítica és: Z si 0 ≤ t ≤ 10 ]2t – 20 ]0 si 10 < t < 20 T = f (t) = [ 20 400 ] 3 t – 3 si 20 ≤ t ≤ 35 ]100 si 35 < t ≤ 50 \

Pensa i practica

1 Representa aquesta funció: si –3 ≤ x < 0 x +1 f (x) = *x 2 – 2x + 1 si 0 ≤ x < 3 4 si 3 ≤ x < 7 2 Fes la representació gràfica de la funció següent: 2x + 1 si x < 1 g (x) = ) 2 x – 1 si x ≥ 1 128

3 Escriu l’expressió analítica que correspon al gràfic següent: Y 2 2

Funció «part entera» Es diu part entera d’un nombre x el major nombre enter menor o igual a x. A partir d’això, definim la funció part entera de x, Ent (x), que fa correspondre a cada nombre x la seva part entera. 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

PRACTICA Ent (7,5) = 7 Ent (–4) = –4 Ent (–5,3) = –6 Atenció! Continua: Ent (6,48) Ent (7) Ent (–3,9) Ent (–11,3) Ent (–8)

1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3

Funció «part decimal» La part decimal o mantissa d’un nombre x és Mant (x) = x – Ent (x). Per exemple: Mant (7,54) = 7,54 – 7 = 0,54

PRACTICA

Mant (–7,54) = –7,54 – (–8) = 0,46

Mant (7,68) = 0,68 Mant (–8) = 0 Mant (–7,68) = 0,32 Continua: Mant (3,791) Mant (2)

A partir d’això, definim la funció part decimal de x , Mant (x), que fa correspondre a cada nombre x la seva part decimal. 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1 2 3 4 5 6 7X

Mant (–6,94) Mant (–4,804)

Funció «valor absolut» Recordem que el valor absolut d’un nombre a coincideix amb a si és positiu o nul, o amb el seu oposat, si és negatiu: –a si a < 0 |a| = ( a si a ≥ 0 La funció y = |x| es defineix, en conseqüència, així: –x si x < 0 y = |x| = ( x si x ≥ 0 Pensa i practica

4 Vertader o fals? a) La gràfica vermella correspon a la funció y = Ent b x l . 4 b) La gràfica verda correspon a la funció y = 5 + Ent b x l . 4 5

Vertader o fals?

a) La gràfica vermella correspon a y = 3Mant b x l . 4 b) La gràfica vermella correspon a y = 3Mant (4x). c) La gràfica verda correspon a y = 5 – Mant b x l . 4 5

5 Representa: a) y = Ent (x) + 2

b) y = Ent (x + 0,5)

7 Representa: a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5|

129

Valor absolut d’una funció f (x) si f (x) ≥ 0 El valor absolut d’una funció es defineix així: | f (x)| = * –f (x) si f (x) < 0 y = f (x)

y = | f (x)|

Per tant, per representar el valor absolut d’una funció f (x) hem de representar primer la funció f (x) i després deixar la part positiva com està i fer una simetria respecte a l’eix X de la part negativa. Per a això, hem de trobar els punts de tall amb els eixos. Vegem-ne uns exemples:

anayaeducacion.es Visualització

➜

d’una funció amb valor absolut.

Exercicis resolts

1 Representa la funció següent: y = | x2 – 5 x + 4 |

Trobam els punts de tall de la funció f (x) = x2 – 5x + 4 amb l’eix X: x1 = 1

f (x) = x2 – 5x + 4 = 0

x2 = 4

y = f (x)

Per tant, entre 1 i 4 la gràfica puja sobre l’eix X.

2 Representa la funció següent:

Y y = | f (x)|

y = | 2x – 4 |, x é [–1, 5] y = f (x)

y = | f (x)|

3 Representa aquesta funció:

y = | x3 – x | X y = f (x)

X y = | f (x)|

Pensa i practica

1 Representa: y = | –x2 + 4x + 5|

130

x 2 Representa gràficament: y = 2 – 3

Exercicis i problemes resolts 1. Domini de definició Troba el domini de definició de les funcions següents: a) f (x) = b) f (x) =

x + ln (5 – x) x2 – 4 1 2x 2 + 7x – 4

x no està definida en els punts on el denominador és nul, x2 – 4 que són x = 2 i x = –2. El seu domini és Á – {–2, 2}.

a) La funció

En la funció y = ln (5 – x) el logaritme només està definit per valors positius. Resolem 5 – x > 0 → x <5. El seu domini és (– ∞, 5). Perquè existeixi la funció f s’han de complir les dues condicions. Per tant, Dom f = (– ∞, –2) « (–2, 2) « (2, 5). b) La funció està definida per als valors de x que compleixen 2x2 + 7x – 4> 0. Resolem la inequació, cercant en primer lloc les solucions de l’equació: 2x 2 + 7x – 4 = 0 → x = – 4; x = 1/2

FES-HO TU

Troba el domini de definició de la funció: f (x) = –x 2 + 5x – 6

Aquests valors determinen els intervals en què s’ha d’estudiar el signe de 2x2 + 7x – 4. signe de

2x 2

+ 7x – 4

(– ∞, – 4)

(– 4, 1/2)

(1/2, +∞)

–

Domini de definició de f = (– ∞, – 4) « (1/2, +∞).

2. Interpolació lineal Un boeing 747 consumeix 83 912 litres de combustible en un vol Madrid-Caracas (7 001 km) i 13 143 litres en un vol Madrid-París (1 054 km). Estima el consum en un vol Madrid-Moscou (3 044 km). FES-HO TU

El 2020, el percentatge de persones que tenien accés a Internet a Espanya era del 93,2% i el 2016 del 80,56%. Estimau-ne el percentatge el 2018.

Anàlisi del problema. Suposam que el consum en l’interval [1 054, 7 001] depèn linealment dels quilòmetres recorreguts. Per tant, podem estimar el consum, per a un recorregut intermedi, mitjançant interpolació lineal. Trobam l’equació de la recta que passa pels punts (1 054 13 143) i (7 001, 83 912): Pendent:

m = 83 912 – 13143 = 11,9 7 001 – 1054

Equació:

f (x ) = 13 143 + 11,9(x – 1 054) = 11,9x + 600,4

Per x = 3 044 → f (3 044) = 36 824. El consum estimat per al vol Madrid-Moscou és de 36 824 litres.

3. Funció quadràtica Una fira ramadera està oberta al públic entre les 10 i les 20 hores. El nombre de visitants ve donat per la funció: N(t ) = –20t 2 + Bt + C on t és l’hora de visita. Sabent que a les 17 h s’arriba al màxim de 1 500 visitants, troba B i C i representa’n la funció.

La funció N (t ) és una paràbola oberta cap avall. El seu punt més alt (17, 1 500) és el vèrtex. Amb l’abscissa del vèrtex calculam B : t = –b → 17 = –B → B = 680 2a 2 (–20) La paràbola passa per (17, 1 500). N (17) = 1 500 → –20 · 172 + 680 · 17 + C = 1 500 → C = – 4 280 La funció és: N(t ) = –20t 2 + 680t – 4 280; 10 ≤ t ≤ 20 Per representar la funció trobam alguns punts: t = 10 → N (10) = 520 → (10, 520) t = 20 → N (20) = 1 320 → (20, 1 320)

FES-HO TU

NRE. DE VISITANTS

1 500

1 000

500

Representa la funció següent: f (t ) = –t 2 + 12t – 31, 4 ≤ t ≤ 7

HORES

131

Exercicis i problemes resolts 4. Equació i representació d’una paràbola a) Escriu l’equació d’una paràbola que té el vèrtex en el punt (1, 9) i talla a l’eix Y en (0, 8). b) Representa-la. c) Determina’n el domini de definició i el recorregut.

a) Una paràbola té per equació y = ax2 + bx + c. Hem de trobar a, b i c. Amb l’abscissa del vèrtex, –b , relacionam les incògnites a i b : 2a 1 = –b → –b = 2a 2a La paràbola passa per (1, 9) i (0, 8). Substituïm aquests punts a l’equació i obtenim dues equacions amb a, b i c com a incògnites: (1, 9) → 9 = a ∙ 12 + b ∙ 1 + c

(0, 8) → 8 = a ∙ 0 + b ∙ 0 + c

Resolem el sistema: –b = 2a 9 = a + b + c4 a = –1; b = 2; c = 8 8=c L’equació de la paràbola és y = –x 2 + 2x + 8. Una altra forma de resoldre–ho: Ja que l’abscissa del vèrtex és 1, una forma més ràpida d’obtenir la paràbola és escriure–la en la forma y = a (x –1)2 + k i substituir–hi els punts (1, 9) i (0, 8). Y 9

b) Talls amb l’eix X: 0 =

–x 2

+ 2x + 8 → x = –2, x = 4

Talla a l’eix X en (–2, 0) i (4, 0). FES-HO TU

Escriu l’equació de la paràbola que té el vèrtex en (2, –4) i passa pel punt (3, –3).

c) Com en totes les funcions polinòmiques, el seu domini és tot Á. Per determinar el recorregut, observam que el major valor que assoleix la funció és y = 9. Per tant, el seu recorregut és (–∞, 9].

–2

5. Representació d’una funció definida «a trossos» donada per un enunciat El salari net mensual és el que s’obté en restar els imposts obligatoris al salari brut. En un cert país s’apliquen aquests imposts:

a) Tenim en compte que els primers 500 € no tenen imposts.

• 20 % de la part del salari brut compresa entre 500 €, que és el salari mínim, i 2 000 €.

b) Calculam la funció que ens dona els imposts I (x) en els casos en què 500 < x ≤ 2 000 i x > 2 000.

• 40 % de la part del salari brut superior a 2 000 €. a) Quin salari net correspon a 1 200 € de salari brut? I a 2 500 €? b) Escriu la funció que dona els imposts segons el salari brut x, i representa-la. c) Quin ha de ser, com a mínim, el salari brut perquè el net sigui superior a 2 500 €?

El salari net per a 1 200 € és 1 200 – 0,2 ∙ (1 200 – 500) = 1 060 € El salari net per a 2 500 € és 2 500 – 0,2 ∙ 1 500 – 0,4 ∙ 500 = 2 000 €

• Si 500 ≤ x ≤ 2 000: I (x) = 0,2(x – 500) = 0,2x – 100 • Si x > 2 000:

(€)

800

I (x) = 0,2 ∙ 1 500 + 0,4(x – 2 000) = 0,4x – 500 500

Per tant:

0, 2x – 100 si 500 ≤ x ≤ 2000 I (x) = ) 0, 4x – 500 si x > 2000 c) Resolem la inequació x – I (x) > 2 500:

100

SALARI BRUT

500 1000

x – (0,4x – 500) > 2 500 → 0,6x > 2 000 → x > 3 333,33 El salari brut ha de ser superior a 3 333,33 €.

132

IMPOSTS

2000

(€) 3000

6. Funció «part entera» Una botiga de roba ofereix a la clientela la targeta «2MÉS» on ingressarà 2 € per a futures compres, per cada 10 € de despesa que es faci a la botiga.

a) Per una compra inferior a 10 € no ingressen res. Si gastam més de 10 € i menys de 20 €, ingressen 2 €; entre 20 i 30 € ens corresponen 4 €; … ingressos (€) 6

a) Representa la funció que ens dona la quantitat ingressada a la targeta segons la despesa realitzada.

4 2

b) Escriu-ne l’expressió analítica.

FES-HO TU

Representa f (x) = Ent (2x).

40 despeses (€)

Z ]0 si x é[0, 10) ]]2 si x é[10, 20) b) És una funció definida «a trossos»: f (x) = [4 si x é[20, 30) ]6 si x é[30, 40) ]] … \ x També podem definir-la utilitzant la funció «part entera»: f (x) = 2 Ent b 10 l

7. Valor absolut d’una funció Defineix per intervals les funcions següents i representar–les gràficament: a) f (x) = 4|x| – x2 b) f (x) = |x – 4| – |x| c) f (x) = | x|

–x si x < 0 a) Recordam que la funció y = |x | es defineix així: y = ) 3 . Per tant: x si x ≥ 0 4 (–x) – x 2 si x < 0 –4x – x 2 si x < 0 = f (x) = * 4 * 4 4x – x 2 si x ≥ 0 4x – x 2 si x ≥ 0 Cercam els vèrtexs i els punts de tall amb els eixos de cada paràbola: talls amb eix

paràbola

vèrtex

y = – 4x – x 2

(–2, 4)

(0, 0) i (– 4, 0)

y = 4x – x 2

(2, 4)

(0, 0) i (4, 0)

–2

–x + 4 si x < 4 b) |x – 4| = ) x – 4 si 4 ≥ x

–x si x < 0 |x| = ) x si 0 ≤ x

Disposam els càlculs en una taula per trobar la funció resultant:

FES-HO TU

Defineix per intervals i representa: a) f (x) = |x 2 – x – 6| b) f (x) = x – |x | c) f (x) = 1 x

(–@, 0)

[0, 4)

[4, +@)

|x – 4|

–x + 4

x–4

|x|

–x

|x – 4| – |x|

4 – 2x

–4

Y 4 X

4 si x < 0 f (x) = *4 – 2x si 0 ≤ x < 4 –4 si 4 ≤ x

c) La funció està definida per a tots els nombres reals. La seva definició és f (x) = *

–x si x < 0 . Per a x ≥ 0 la x si x ≥ 0 gràfica és la de la funció arrel i per x < 0 la gràfica passa per (–1 , 1); (–2, 2); (– 4, 2); …

Y 2 –4 –2

–2

X 4

133

Exercicis i problemes guiats 1. Funcions lineals Una empresa de lloguer de cotxes ofereix dues tarifes: A: 120 km → 80 € 350 km → 137,5 €

Suposam que el preu depèn linealment dels quilòmetres recorreguts. • Aconsegueix, en cada un dels dos casos, l’expressió analítica de la funció que ens dona la despesa segons els quilòmetres recorreguts. • Representa en els mateixos eixos les dues funcions, triant una escala adequada.

B: 150 km → 75 €

• Troba el punt de tall de les dues funcions i observa els valors de la funció a l’esquerra i a la dreta d’aquest punt.

250 km → 125 € Analitza quina tarifa és més avantatjosa segons els quilòmetres que recorrerem.

Solució: L’opció B és més avantatjosa si es recorren menys de 200 km. A partir

d’aquesta distància, és més avantatjosa l’opció A.

2. Una funció quadràtica Els costs de producció d’un cert producte (en euros) d’una empresa, venen donats per: C = 40 000 + 20q + q 2 sent q el nombre d’unitats produïdes. El preu de venda de cada unitat és de 520 euros. a) Expressa en funció de q el benefici de l’empresa i representa’l gràficament. b) Quantes unitats s’han de produir perquè el benefici sigui màxim?

a) • Obtendràs la funció benefici, B, restant del preu de venda de q unitats, 520q, el cost per produir aquestes q unitats. • Obtendràs una funció quadràtica. Representa-la. b) Observant la representació gràfica de la funció benefici, apreciaràs en quin punt s’aconsegueix el valor màxim (en el vèrtex, ja que és una paràbola amb les branques cap avall). Solució:

a) B(q) = – 40 000 + 500q – q 2 b) El benefici màxim de 22 500 euros s’obté produint 250 unitats.

3. Expressió analítica d’una funció Escriu l’expressió analítica d’aquesta funció f (x):

Una altra opció consisteix a aplicar el mètode de Newton utilitzant l’expressió y = p + m (x – x1) + n(x – x1)(x – x2) per calcular p, m, n i amb aquests l’equació.

8 4

• Prenem dos punts de la recta, i n’escrivim l’equació. 4

–8 –4

• Per trobar l’equació de la paràbola l’escrivim en forma general y = ax2 + bx + c i hi substituïm tres dels punts del seu gràfic.

–4 –8

• Ten en compte que el punt (3, 1) no pertany a la funció, però sí que hi pertany (3; –2,5). 1 2 Solució: f (x) = *– 2 x + 2 si x ≤ 3 2x – 5

si x > 3

4. Producció màxima En un hort hi ha 40 pomeres. Cada una produeix 600 pomes. Per cada arbre addicional que es planti, la producció de cada arbre es redueix en 10 pomes. Quants d’arbres s’han de plantar per obtenir la producció més alta possible? Quina és aquesta producció?

134 134

• Calcula la producció total de pomes amb 40 arbres. En plantar 5 arbres més, quina serà la producció de cada arbre? • Escriu la funció que dona la producció total si es planten x arbres més. La funció obtenguda és una paràbola oberta cap avall. El seu vèrtex correspon al valor màxim de la funció. Solució:

La funció és p (x) = –10x2 + 200x + 24 000. S’han de plantar 10 arbres més per assolir la producció màxima i aquesta serà de 25 000 pomes.

Exercicis i problemes proposats Per practicar

Funcions lineals i quadràtiques. Interpolació

8 Escriu les equacions de les rectes següents i representa-les gràficament: a) Passa per P (1, –5) i Q (10, 11). b) Passa per (–7, 2) i el pendent és –0,75. c) Talla els eixos en (3,5; 0) i (0, –5). d) És paral·lela a la recta 3x – y + 1 = 0 i passa per (–2, –3).

Domini de definició

1 Troba el domini de definició d’aquestes funcions: 2 a) y = b) y = 3x3 + 2 (x + 5)2 x +x c) y = 2 x d) y = 1 + 1 x x +2 x – x +2 e) y = 1 (x – 2)3 + x 2 2

f ) y = x2 – 4

2 Estudia el domini de definició d’aquestes funcions: a) y = 2x + 5 b) y = 7 – x c) y =

x 2 + 3x + 4

–2

3 Digues quin és el domini de definició de: 1 a) y = 1 b) y = 2 4–x x +1 1 c) y = 3 1 d) y = x 2 – 3x 9 – x2

x +1 x–4

5 Observa els gràfics d’aquestes funcions i indica quin n’és el domini de definició i el recorregut: a) b) Y 2Y 2

–2

6 La funció h(t) = 80 + 64t – 16t 2 ens dona l’altura a la qual està una pilota llançada cap amunt en l’instant t, fins que torna a terra. Quin n’és el domini de definició? 7

0,45

0,5

0,6

…

0,25

112

120

…

x (tones)

y (milions d’euros)

5,2

14,8

21,2

Estima, mitjançant interpolació quadràtica, els ingressos obtenguts si es venen 2 t i 4 t. 12 Representa les funcions següents: a) y = x 2 + 2x + 1

e) y = – 4x 2 + 1

2 2

c) y = – x 2 + 3x – 5

11 La taula següent mostra els ingressos, en milions d’euros, d’una fàbrica de ciment segons el nombre de tones venudes:

2 d) y = 4 – x 2x + 1

f) y =

–2

10 Calcula, mitjançant interpolació o extrapolació lineal, els valors de y que falten a cada taula:

4 Determina el domini de definició d’aquestes funcions: a) y = ln (x 2 – 4x) b) y = ln ^ x – 2h e) y = ln c 21 m x +3

Calcula el pendent de les rectes r, s i t i escriu-ne l’equació.

d) y = x – 1 + x – 2

c) y = 3 5 – x

Y 4

La temperatura d’un pacient, des que comença la malaltia fins que torna a tenir 37 °C, ha evolucionat segons la funció T = – 0,1t 2 + 1,2t + 37, sent t el nombre de dies transcorreguts des de l’inici de la malaltia. Quin n’és el domini de definició? I el recorregut?

2 b) y = x + 3x + 1 2 2 d) y = x + 3x + 6 3 f ) y = –2x 2 – 3x + 0,5

13 Troba l’equació de la paràbola que passa pels punts (–2, –9), (2, –5) i (4, 0). Fes-ho de dues maneres diferents. a) Utilitzant l’expressió y = ax 2 + bx + c. b) Pel mètode de Newton. 14 Troba, en cada cas, l’equació de la paràbola que passa pels punts donats. a) (1, –1), (3, 3), (5, –1) b) (0, – 4), (1, –6), (3, – 4) Troba les ordenades dels punts de les paràboles anteriors amb abscissa x = 4 i x = –3. 135 135

Exercicis i problemes proposats Representació de funcions elementals

Funcions definides «a trossos»

Associa a cada gràfica la seva expressió analítica. a) y = –0,5x 2 + 3

b) y = x + 2

1 x–4 g) y = 1 – x 2 3

e) y = 3x 2 + 5x – 1

d) y =

c) y =

–1 3 f) y = 1 + 2 x

h) y = – – x

4 Y

–2

–1

2 X

–1

–2

Y 4

2 4 Y

III

–2

–4

4 Y

III

2 2

–2

–4 –2

6 X

4 X

–4

–2 –2

20 Representa gràficament les funcions següents:

6 Y

VIII

–2 2

–4 Y

–2

–4

–4 –2

–2

6 X

–2

4 Y

VII

2 –2

–8 –6 –4 –2

4 Y

4 X

–2

16 Representa aquestes funcions en l’interval indicat: 2 a) y = 2x 2 – 4, [0, 2] b) y = – 3x , x ≥ –1 2 c) y = 1 , x < 0 d) y = 3x – 30 , [–5, 5] x 5 17 Representa les funcions següents: a) y = 2x b) y = – x c) y = 2 x d) y = –x e) y = –1 f) y = 2 x x 18 Troba el valor de k perquè: a) La funció y = k passi pel punt (2, 1/4). x b) La funció y = kx passi pel punt (2, 2). c) Representa les funcions obtengudes. 136

19 Associa a cada gràfic l’expressió analítica que li correspon: Z ] 2 – 2x si x < 0 ] 3 –(x + 2)2 si x < 0 a) y = [ 2 b) y = * si 0 ≤ x ≤ 4 x –2 si x ≥ 0 ] ] 8 – 3x si x > 4 2 \ Z ] 2 + 4x si x < 0 ] x 2 – 4x + 2 si x < 4 3 c) y = * 14 – 2x d) y = [ 2 si 0 ≤ x ≤ 4 si x ≥ 4 ] x 3 3 – 4 si x > 4 ] \ 2

–3

–4

si x < 0 –2 a) y = * x – 2 si 0 ≤ x < 4 2 si x ≥ 4

b) y = )

c) y = *

–x 2 d) y = * 2 + 2 si x ≤ 3 2x – 5 si x > 3

x 2 – 2x si x < 2 2x – 4 si x ≥ 2

–2x – 1 si x ≤ 1 x +1 si x > 1

21 Representa: si x < 2 –x 2 a) y = * –x + 6 si 2 ≤ x < 7 3 si x ≥ 7

–x – 1 si x ≤ –1 b) y = * 2x 2 – 2 si –1 < x < 1 x –1 si x ≥ 1

c) y = *

d) y = *

1/x si x < 0 x si x ≥ 0

–x si x ≤ 0 – x si x > 0

22 Obtén l’expressió analítica d’aquestes funcions: a) b) Y Y 4

4 2 2

* Ten en compte l’exercici guiat 3.

2 –2 –2

4 X

Valor absolut d’una funció

23 Representa la funció y = |x – 5| i comprova que l’expressió analítica en intervals és: y=)

–x + 5 si x < 5 x – 5 si x ≥ 5

24 Representa les funcions següents i defineix-les com a funcions «a trossos»: a) y = |4 – x | b) y = |3x + 6| c) y = x – 3 2

d) y = | –x – 1|

25 Representa les funcions següents i defineix–les per intervals. a) y = |x 2 – 1| b) y = |x 2 – 4x | 2 c) y = |x + 2x – 3| d) y = |x 2 – 2x + 1| 26 Defineix les funcions següents com a funcions «a trossos» i representa-les. a) y = 1 b) y = 1 + |x | x x c) y = d) y = 2|x | + x x * Ten en compte l’exercici resolt núm. 7. 27 Escriu l’expressió analítica d’aquestes gràfiques com a funcions «a trossos» i com a valor absolut. I

1 –5 –4 –3 –2 –1

1 X

–1

X 4

Per resoldre 28 El preu del bitllet d’una línia de rodalia depèn dels quilòmetres recorreguts. Per 57 km he pagat 2,85 euros, i per 168 km, 13,4 euros. Calcula el preu d’un bitllet per a una distància de 100 km. 29 Amb unes despeses en publicitat de 3 000 €, les vendes obtengudes per una empresa han estat de 28 000 €; i amb 5 000 € invertits en publicitat, les vendes han pujat a 39 000 €. a) Estima, mitjançant interpolació lineal, quines serien les vendes si s’invertissin 4 000 € en publicitat. b) Si sabem que amb una despesa de 6 000 € s’han obtengut unes vendes de 40 000 €, estima mitjançant interpolació parabòlica les vendes que s’obtendrien invertint 4 000 € en publicitat. Utilitza el mètode de Newton.

30 Mesurant la temperatura a altures diferents, s’ha observat que per cada 180 m d’ascens el termòmetre baixa 1 °C. Si a la base d’una muntanya de 800 m estam a 10 °C, quina serà la temperatura al cim? Representa gràficament la funció altura-temperatura i cerca’n l’expressió analítica. 31 Observam en una farmàcia una taula amb els pesos dels infants menors de 9 anys, segons l’edat: x (anys)

y (kg)

Representa aquestes dades i utilitza el model d’interpolació que creguis més adequat per estimar el pes d’un infant als 5 anys i als 10 anys. 32 A la cuina d’un restaurant, un equip de 2 persones és capaç de preparar les comandes per a 30 comensals. Si l’equip és de 4 persones la capacitat s’eleva fins als 50 comensals. I si l’equip arriba a 8 persones, es destorbarien uns als altres i no hi hauria focs per a tothom, de manera que la capacitat es mantendria en 50 comensals. Estima mitjançant interpolació parabòlica quants de comensals podria atendre un equip de 5 persones. 33 Un opositor s’enfronta a un temari de 3 100 pàgines. Sap que si estudia 4 hores diàries és capaç de memoritzar 4 pàgines per dia. Si hi dedica 8 hores, aprèn 7 pàgines; i si hi dedica 12 hores, aconsegueix 9 pàgines. Es planteja una jornada diària de 10 hores i vol saber el nombre de dies que li suposarà donar una primera volta al temari complet. Utilitza la interpolació parabòlica per aclarir–ho. 34 La dosi d’un fàrmac comença amb 10 mg i cada dia ha d’augmentar 2 mg fins a arribar a 20 mg. S’ha de continuar 15 dies amb aquesta quantitat i a partir de llavors anar disminuint 4 mg cada dia. a) Representa la funció que descriu aquest enunciat i determina’n l’expressió analítica. b) Digues quin és el domini i el recorregut. 35 El pes en mil·ligrams d’un embrió d’una espècie animal ve donat a la taula següent: temps (dies) pes

(mg)

Troba, mitjançant interpolació quadràtica, el pes d’un embrió de 6 dies. 36 Els guanys esperats d’una empresa en els propers 10 anys, en milions d’euros, venen donats per la funció G (t) = –2t2 + + 20t + 5; t, en anys. Representa la funció i determina quan hi haurà els guanys màxims. 137

Exercicis i problemes proposats 37 En les funcions d’oferta i demanda, s’anomena quantitat d’equilibri el nombre d’unitats que fa falta produir perquè l’oferta i la demanda s’igualin, o (x) = d (x); i s’anomena preu d’equilibri el preu amb el qual s’aconsegueix aquesta igualtat. a) Troba el preu i la quantitat d’equilibri d’un producte que té aquestes funcions d’oferta i demanda o (x) = 2,5x – 100 i d (x) = 300 – 1,5x (x en euros, d i o en milers d’unitats del producte). b) Si el preu del producte és de 80 €, n’hi haurà escassetat o excés? I si el preu fos de 120 €? c) Quin seria el preu i la quantitat d’equilibri si les funcions d’oferta i demanda fossin o (x) = 0,25x 2 – 100 i d (x) = 185 – 2x ? 38 El cost de producció de x unitats d’un producte és igual a 1 x 2 + 35x + 25 euros i el preu de venda d’una unitat és 4 50 – x euros. 4 a) Escriu la funció que ens dona el benefici total si es venen les x unitats produïdes, i representa-la. b) Troba el nombre d’unitats que s’han de vendre perquè el benefici sigui màxim. 39 En una fàbrica es venen mensualment 100 electrodomèstics a 400 euros cada un i saben que per cada 10 euros de pujada vendran 2 electrodomèstics menys. a) Quins seran els ingressos si s’apugen els preus 50 euros? b) Escriu la funció que relaciona la pujada de preu amb els ingressos mensuals. c) Quina ha de ser la pujada perquè els ingressos de la fàbrica siguin màxims? 40 Els beneficis mensuals d’una fàbrica de llepolies, en milers d’euros, venen donats per f (x) = – 0,1 x 2 + 2,5 x – 10, quan es venen x tones de producte. a) Representa’n la funció. b) Calcula la quantitat mínima que s’ha de vendre per no tenir pèrdues. c) Quantes tones s’han de vendre perquè el benefici sigui màxim? Quin és aquest benefici? 41 Per enviar un paquet des d’Adelaida a París, un servei de correu cobra 50 € per paquets que pesin fins a 2 kg i 10 € per cada kg o fracció addicional. a) Calcula el que costa enviar un paquet de 5 kg. b) Escriu l’expressió analítica del preu d’enviar un paquet de x kg per x menor o igual a 8. c) Representa-la gràficament. 138

42 Tres operadors telefònics ofereixen aquestes tarifes mensuals: 2h

abonament

cost a partir de

tarifa

30 €

0,50 € per minut

tarifa

20 €

0,75 € per minut

tarifa

40 €

0,25 € per minut

Analitza quina és la tarifa més avantatjosa segons el temps que sobrepassi les 2 h de l’abonament. 43 Una discoteca obre a les 10 de la nit i tanca quan se’n va tota la clientela. Representa la funció que ens dona el nombre de clients, N, segons el nombre d’hores que duu oberta, t, és N (t) = 80t – 10t2. a) A quina hora el nombre de clients és màxim? b) A quina hora tancarà la discoteca? 44 El percentatge d’estudiants que assisteixen a un curs d’anglès de 10 mesos de durada ve donat per la funció: P (t ) = *

at 2 + bt + c si 0 ≤ t ≤ 3 t, en mesos 28 si 3 < t ≤ 10 Sabem que, inicialment, el 100 % dels estudiants assisteix al curs; que transcorregut un mes, hi assisteix el 60 %, i que en complir-se el tercer mes, l’assistència es redueix al 28 %. Calcula a, b, c i representa’n la funció. 45 Les funcions I (t) = –0,5t 2 + 17t i C (t) = 0,5t 2 – t + 32, 0 ≤ t ≤ 18, representen, respectivament, els ingressos i els costs d’una empresa, en milers d’euros, en funció dels anys transcorreguts des del seu començament i en els darrers 18 anys. a) Per quin valor de t, es dona la igualtat C (t) = I (t)? b) Troba la funció que expressa els beneficis (ingressos menys costs) en funció de t i representa-la gràficament. c) Quants d’anys després de l’inici de l’activitat l’empresa va aconseguir el benefici màxim? Calcula’n el valor. 46 Aconsegueix l’expressió analítica de les funcions següents: a) 6 Y

4 2

2 2

2 –4 –2 –2

–4 –2

10 X

2 4

X 6

2 –4 –2

X 6

47 Representa les funcions següents i defineix-les com a funcions «a trossos»: a) y = |2x + 5| b) y = |4 – x 2| c) y = 3x – 3 2

d) y = |– x 2 + 2x + 3|

Qüestions teòriques

Per aprofundir

48 Vertader o fals? a) La funció y = a – x no existeix si a < 0. b) Una funció no pot tallar l’ eix Y en dos punts. c) La gráfica de y = mx 2 + n és una recta. d) La paràbola y = 3x 2 és més estreta que y = x2. e) El domini de definició de la funció f (x) = 3 x 2 – 4 és (–∞, +∞).

51 Defineix per intervals i representa: a) y = |x + 1| + |x – 3| b) y = |2x – 4| – |x – 1| 52 Troba el domini de definició d’aquestes funcions: x +3 b) y = x – 9 x –2 x 53 L’evolució mensual del nombre de persones associades d’un club, durant un any, ve donada per la funció: a) y =

49 Quin és el domini de definició i el recorregut de les funcions següents? Y 4 Y a) b)

– x 2 + 6x + a si 0 ≤ x ≤ 6 f (x) = * 50 si 6 < x ≤ 8 x, en mesos x 2 – 20x + 146 si 8 < x ≤ 12

X –4

a) Troba a sabent que es va fundar amb 50 persones associades. b) Representa la funció i digues en quin mes el nombre de persones associades va ser màxim i en quin mes va ser mínim. c) Si per cobrir despeses el club necessita tenir més de 47 persones associades, en quin mes va tenir pèrdues?

50 Quantes solucions pot tenir cada un dels sistemes d’equacions següents? Justifica–ho amb exemples gràfics. a) *

y = x2 y = ax + b

b) *

1 c) * y = x y = ax + b

y= x y = ax + b

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Troba el domini de definició de les funcions següents: b) y =

c) y = 4 – 2x

d) y = 5x – x 2

5 Posam al foc un perola amb aigua a 10 °C. En 5 minuts arriba als 100 °C i es manté així durant mitja hora, fins que l’aigua s’evapora totalment. Representa la funció que descriu aquest fenomen i troba’n l’expressió analítica.

2 Representa les funcions següents: a) f (x) = – 0,5x 2 + 2x – 2 b) f (x) = |5 + 2x | 1 – x 2 si x ≤ 0 x + 3 si x > 0

d) f (x) = – –x

3 Determina l’expressió analítica d’aquesta funció definida en l’interval [–6, 6]. Quin és el seu recorregut?

Y 2 –4 –2

2 –2

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis

4 Assistir a un gimnàs durant 6 mesos ens costa 246 €. Si hi assistim 15 mesos, el preu és 570 €. Quant haurem de pagar si hi volem anar durant un any?

3x (2x – 6)2

a) y = x 3 – x 2

c) f (x) = *

54 Les tarifes d’una empresa de transports són: • 40 € per tona de càrrega si aquesta és menor o igual a 20 t. • Si la càrrega és major que 20 t, es restarà, dels 40 euros, tants d’euros com tones sobrepassin les 20. Dibuixa la funció ingressos de l’empresa segons la càrrega que transporti (càrrega màxima: 30 t) i obtén-ne l’expressió analítica.

6 El preu de venda d’un article ve donat per l’expressió p = 12 – 0,01x (x = nombre d’articles fabricats; p = preu, en centenars d’euros). a) Si es venen 500 articles, quins seran els ingressos? b) Representa la funció nombre d’articles-ingressos. c) Quants articles s’han de fabricar perquè els ingressos siguin màxims?

139

5 Funcions II Funcions exponencials i logarìtmiques Ja coneixes aquestes funcions de cursos anteriors. Com ja saps, les funcions exponencials es troben amb moltíssima freqüència al món: a la natura (creixement de poblacions animals o vegetals), en l’economia (creixement d’un capital depositat en un banc), etc. Les funcions logarítmiques s’utilitzen per determinar l’edat dels fòssils, per descriure el pH (grau d’acidesa) de les substàncies químiques...

Ammonit fossilitzat.

La trigonometria: del món àrab a Europa La matemàtica àrab, i en concret la trigonometria, es va nodrir dels coneixements de Grècia i de l’Índia. Però les seves aportacions varen ser moltes i notables. Una va ser la de prendre r = 1 en la circumferència goniomètrica (a Grècia s’usava r = 60). A més a més, Al-Khwarizmi, el matemàtic àrab més destacat, va fer les primeres taules exactes del sinus i del cosinus, i va tabular per primera vegada els valors de la tangent. La matemàtica sorgida de la cultura àrab, inclosos els coneixements sobre trigonometria, es va estendre per Europa a partir de segle xii. L’astrònom prussià Johan Müller (Regiomontanus), nascut a Königsberg al segle xv, va ser el primer europeu a sistematitzar i ampliar els coneixements trigonomètrics rebuts d’aquella cultura. Com és que un prussià s’anomenava Regiomontanus? En aquella època el llenguatge de la ciència era el llatí i els científics també llatinitzaven els seus noms, de manera que Königsberg, muntanya règia en alemany, va passar a ser Regiomontanus. Müller va traduir l’Almagest grec directament al llatí, sense partir d’una traducció àrab i va escriure diversos llibres de trigonometria. En un, De triangulis omnimodis (1464), va fer una exposició sistemàtica dels mètodes de resolució de triangles. Aquest llibre constitueix una de les grans fites de la trigonometria i, per això, Regiomontanus és considerat el pare de la trigonometria moderna.

La primera representació del sinus El 1635, Gilles de Roberval, matemàtic francès especialment interessat en l’estudi de diverses corbes, va esbossar per primera vegada el gràfic de la meitat d’un arc de la corba sinus. El que fins aleshores era una col·lecció de valors (taula numèrica) útil per a la trigonometria, va passar a considerar-se com a gràfic d’una funció. Més endavant, Leibniz (1646-1716) va donar carta de naturalesa a la funció sinus, al costat de les altres funcions trigonomètriques.

140

Les funcions trigonomètriques avui Al començament del segle xix la trigonometria va aconseguir arribar al punt culminant amb les sèries de Fourier, que varen unir estretament la trigonometria a l’anàlisi, i varen proporcionar un instrument sense precedents per a l’exploració de les vibracions i moviments periòdics que pertot arreu apareixen a la naturalesa. L’anàlisi harmònica és l’eina que tracta de les funcions periòdiques. Va començar amb l’estudi de la vibració d’una corda musical i s’ha desenvolupat de tal manera que amb aquesta es poden analitzar i descriure tot tipus d’ones. Física, química, medicina, enginyeria, tecnologia… són deutores d’aquesta branca de les matemàtiques. Els ingredients bàsics són les funcions trigonomètriques que s’estudien en aquesta unitat.

RESOL Dues formes de visualitzar la corba sinus 1a En un full de paper transparent, pinta una diagonal amb un retolador vermell de traç gruixat. Enrotlla la transparència sobre el costat llarg del full i hi veuràs la corba sinus amb tota nitidesa.

2a Enrotlla un full de paper al voltant d’una bugia o al voltant del suport de cartó d’un rotllo de paper higiènic o de paper de cuina. Talla’l amb un ganivet, cúter o xerrac, traçant un angle de 45° amb el seu eix. Desenrotlla-ho. La corba resultant és la corba sinus.

141

Transformacions elementals de funcions Veurem com es transforma el gràfic de y = f (x) quan sotmetem la funció a certes transformacions molt senzilles. Translacions Si k és un nombre positiu, llavors: s’obté traslladant el gràfic de f (x)

El gràfic de

k unitats cap amunt

f (x) – k

k unitats cap avall

f (x + k)

k unitats cap a l’esquerra

f (x – k)

k unitats cap a la dreta

ne els paràmetres.

f (x – 5)

f (x + 5)

f (x) + k

Mou qualsevol funció canviant-

➜

f (x) + 5

f (x) X

f (x) – 5

Simetries Y

és el simètric del gràfic de f (x)

El gràfic de –f (x)

respecte a l’eix X

f (–x)

respecte a l’eix Y

–f (x)

X f (x)

f (–x)

Exercici resolt

1 Relaciona els gràfics següents mitjançant les equacions: Y

1 És el gràfic de la funció y =

2 S’obté traslladant 1 6 unitats a la dreta → y = x – 6 .

5 1

3 S’obté traslladant 2 3 unitats cap amunt → y = x – 6 + 3 .

4 És el simètric respecte a l’eix X de 1 → y = – 1.

20 x – 5 S’obté traslladant 4 5 unitats cap amunt → y = – 3 .

Pensa i practica

1 Representa successivament: a) y = 1 x c) y = –

142

b) y = 1 x +3

1 x +3

d) y = –

1 +8 x +3

2 Representa en els mateixos eixos de coordenades les funcions següents: a) y = x 2

b) y = (x + 2)2

c) y = (x – 3)2 + 1

d) y = (x + 1)2 – 3

Estiraments i contraccions

2f (x)

Si k és un nombre major que 1, llavors: f (x)

s’obté a partir del gràfic de f (x)

El gràfic de kf (x)

estirant-lo en sentit vertical multiplicant per k

1 f (x) k

contraient-lo en sentit vertical dividint entre k

1 f (x) — 2

anayaeducacion.es

➜

Transformacions elementals de funcions.

Exercicis resolts

1 Representa successivament les funcions següents: 1 y= 6 x

2 s’obté desplaçant 1 5 unitats a la dreta. 3 és la simètrica de 2 respecte a l’eix X. 4 s’obté pujant 3 4 unitats. Y

2 y= 6 x–5 3 y = – 6 x–5

1 y= x 2 y=2 x 3 y = –2 x

4 2 3 1 X

per arribar, finalment, a la representació de: 4 y = – 6 + 4 x–5 2 Representa successivament:

2 3 4 5

s’obté estirant 1 és la simètrica de és la simètrica de s’obté desplaçant

en sentit vertical multiplicant per 2. 2 respecte a l’eix X. 3 respecte a l’eix Y. 4 6 unitats a l’esquerra. Y

4 y = –2 –x per arribar, finalment, a la representació de: 5 y = –2 – (x + 6 )

1 X

Pensa i practica

3 Si y = f (x) passa per (3, 8), digues un punt de: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = 1 f (x), y = 2f (x), 2 y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3

4 Representa: 4 –3 x +8 b) y = 3 –x + 10 a) y = –

143

Composició de funcions Vegem, amb uns exemples, com a partir de dues funcions se n’obté una altra, anomenada funció composta d’ambdues. • Observa la seqüència següent: 16

16 = 4

1/x

OBSERVA

1 = 1 16 4

1 Si ara actuam sobre una variable, x, obtenim la funció : x 1/x 1 x x x

— √■

1/■

Ä8

√x

Ä8 1/ √x

1/4

100

0,1

0,0001

0,01

100

Posam noms a les funcions utilitzades: 1 = v (x) x = r (x) x La funció resultant es diu funció composta de r i v i es designa v ° r: 1 v ° r (x) = v [r (x)] 8 v ° r (16) = v [r (16)] = v ( 16 ) = v(4) = 4 • Un altre exemple: f (x) = x2 – 5x; r(x) = x x

– 5x

OBSERVA x

– 5x

–3

√24

–0,1

0,51

√0,51

r % f (x) = r [ f (x)] = x 2 – 5x r ° f (9) = r (81 – 45) = r (36) = 36 = 6

—

■ – 5■ √■ ÄÄ8 x2 – 5x Ä8 √x2 – 5x

Donades dues funcions, f i g, es diu funció composta de f i g, i es designa per g ° f, la funció que transforma x en g [ f (x)]: g°f

x ⎯⎯→ g [ f (x)]

g°f

x ⎯→ f (x) ⎯→ g [ f (x)]

f (x)

L’expressió g ° f (x) es llegeix f composta amb g. S’anomena en primer lloc la funció de la dreta perquè és la primera a actuar sobre la x.

En general, la funció f [ g (x)] és diferent de g [ f (x)].

g [ f (x)]

• Observa que, en general, no és el mateix compondre dues funcions en un sentit que en sentit contrari: x

( x) 2 – 5 · x = x – 5 x

f % r (x) = f [r (x)] = x – 5 · x ≠ r % f (x) = x 2 – 5x f % r (9) = f ( 9) = f (3) = 3 2 – 5 · 3 = –6 ≠ r % f (9) = 6

➜

Composició de funcions amb Geogebra.

• No obstant això, també hi ha casos en els quals en compondre dues funcions en tots dos sentits el resultat és el mateix: f (x) = 2x + 1

g(x) = 3x + 2

• f ° g (x) = f [g(x)] = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5 • g ° f (x) = g[ f (x)] = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5 Per tant, en aquest cas, f ° g (x) = g ° f (x). 144

TEN-HO EN COMPTE En general, no és el mateix f ° r (x) que r ° f (x).

Exercicis resolts

1 Considera les funcions:

f (x) = x 2 – x i g(x) =

4 (x + 1) = 12 – 4x a) • f [ g (x)] = f < 4 F = c 4 m – 4 = 16 2 – ⇒ x +1 x +1 x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 (x + 1) 2 ⇒ f % g (x) = 12 – 4x2 (x + 1)

4 x +1

a) Obtén l’expressió analítica de: f°g

g°f

f°f

g°g

b) Troba f [g(1)] i g[ f (1)].

• g [ f (x)] = g (x 2 – x) =

4 4 ⇒ g % f (x) = 2 4 = (x 2 – x) + 1 x 2 – x + 1 x – x +1

• f [ f (x)] = f (x 2 – x) = (x 2 – x)2 – (x 2 – x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – x 2 + x ⇒

⇒ f ° f (x) = x 4 – 2x 3 + x

• g [ g (x)] = g < 4 F = x +1

4 ( 1) 4 4 = = x + = 4x + 4 ⇒ 4 +1 4 + x +1 4 + x +1 x + 5 x +1 x +1 4 x + 4 ⇒ g % g (x) = x +5

g f b) • f [ g (1)] = 12 – 4 $21 = 8 = 2; o bé, 1 ⎯→ 4 = 2 ⎯→ 22 – 2 = 2 1+ 1 4 (1 + 1)

• g [ f (1)] = 2 Donades aquestes funcions: f (x) = 1 x g(x) = x2

f g 4 = 4; o bé, 1 ⎯→ 12 – 1 = 0 ⎯→ 4 = 4 0 +1 – 1+1

a) En cada cas es tracta de veure la composició de dues funcions. És prou intuïtiu.

h(x) = x + 1 a) Indica com s’han de compondre per obtenir aquestes altres: y1 = 12 y2 = x2 + 1 x 1 y3 = x2 + 2x + 1 y4 = x +1 b) Compon f{g[h(x)}.

• y 1: és clar que s’ha d’aplicar f i g, però sembla que si es fa d’una forma o una altra s’obté el mateix: 2 f ° g (x) = f (x2) = 12 ; g ° f (x) = g b 1 l = b 1 l = 12 x x x x Val tant f ° g (x) com g ° f (x). • y2: primer s’aplica g(x) i després h(x). És a dir, h ° g(x) = h(x2) = x2 + 1. • y3: s’ha aplicat el quadrat a x + 1, per tant: g ° h(x) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 • y4: s’aplica primer h(x) i després f (x). És a dir, f ° h(x) = f (x + 1) = b) f {g[h(x)]} = f [g(x + 1)] = f [(x + 1)2] =

Pensa i practica

➜

1 . x +1

1 (x + 1) 2

anayaeducacion.es Practica la composició de funcions.

1 Si f (x) = x 2 – 5x + 3 i g (x) = x 2, obtén les expressions de f [ g (x)] i g [ f (x)]. Troba f [ g (4)] i g [ f (4)]. 2 Si f (x) = x i g (x) = x + 4, obtén les expressions de f ° g, g ° f, f ° f i g ° g. Troba el valor d’aquestes funcions en x = 0 i x = 5.

1 , g(x) = x2 + 5, troba f ° g, g ° f, f ° f i g ° g. x Troba el valor d’aquestes funcions en x = 1 i x = 2.

3 Si f (x) =

4 Donat f (x) = x + 1, obtén en cada cas la funció g(x) perquè es compleixi: a) g[f (x)] = x – 2 c) g ° f (x) = x2 + 2x

b) f [g(x)] = x2 + 3x – 2 d) f ° g (x) = x 145

Funció inversa o recíproca d’una altra Compondrem les funcions f (x) = x 3 – 6 i f –1(x) = 3 x + 6 : f –1

x ⎯→ x 3 – 6 ⎯→ f –1

x ⎯→

➜

Inversa d’una funció.

f –1[ f (x)] = x

(x 3 – 6) + 6 = 3 x 3 = x

f x + 6 ⎯→ `3 x + 6j – 6 = (x + 6) – 6 = x 3

f [ f –1(x)] = x

Veim que f i f –1 tenen la peculiaritat que en actuar successivament sobre un nombre x, el nombre es manté, és a dir, cadascuna d’aquestes funcions desfà el que fa l’altra. Per això es diu que f –1 és la inversa de f, o que cadascuna d’aquestes és inversa de l’altra. Observa la simetria dels punts d’una i altra funció respecte a y = x : punts de

f (x): y = x 3 – 6

punts de f –1(x):

y = x +6 3

(–1, –7)

(0, –6)

(2, 2)

…

(a, b)

(–7, –1)

(– 6, 0)

(2, 2)

…

(b, a) GRÀFICS DE FUNCIONS INVERSES

S’anomena funció inversa o recíproca de f una altra funció (es designa per f –1) que compleix la condició següent: Si f (a) = b, llavors

f –1(b)

y = f –1(x)

Com a conseqüència, es donen les relacions següents: f

f –1

x ⎯→ f (x) ⎯→ x ; és a dir, f –1[ f (x)] = x

y = f (x)

x ⎯→ f –1(x) ⎯→ x ; és a dir, f [ f –1(x)] = x

y=x

La funció inversa de f –1 és, al seu torn, f. Per això es diu, simplement, que les funcions f i f –1 són inverses o recíproques.

El domini de f coincideix amb el recorregut de f –1 i el recorregut de f coincideix amb el domini de f –1.

Els gràfics de dues funcions inverses són simètrics respecte de la recta y = x. Perquè una funció tengui inversa ha de ser injectiva, és a dir, cada valor de y ha de correspondre a un únic valor de x. Si no és així, s’ha de descompondre en trams en què sigui injectiva, cadascun dels quals tendrà la seva funció inversa. Per exemple, com y = x 2 no és injectiva, per trobar-ne la inversa procedim així: y = f1 (x) = x 2, x ≥ 0 " f1–1 (x) = x y = f (x) = x 2 * y = f2 (x) = x 2, x ≤ 0 " f2–1 (x) = – x

y = x 2, x ≥ 0 y = √x

Y y = x 2, x ≤ 0

X y = –√x

Pensa i practica

Vertader o fals? a) La funció recíproca de y = x és y = 1 . x b) Cadascuna de les funcions y = x, y = 1 és recíproca de x si mateixa. c) La inversa de y = 9 , x ∈ [3, 9] x és y = 9 , x ∈ [1, 3]. x d) Si una funció és creixent, la recíproca és decreixent.

146

2 Representa y = 2x, y = x i comprova que són inverses. 2 3 Comprova que s’ha de descompondre y = x 2 – 1 en dues branques per trobar-ne les inverses. Digues quines són. 4 Comprova que la funció recíproca de y = 2x + 4 és y = 1 x – 2. 2

Expressió analítica de la funció inversa d’una altra Per trobar la inversa de y = f (x), s’intercanvien les dues incògnites, x = f ( y). Ara, si es pot, s’aïlla la y. Per exemple, f (x) = 2x – 3: y = 2x – 3 → x = 2y – 3 → y = x + 3 2 Per tant, f –1(x) = x + 3 2 Vegem com procediríem si f (x) tengués el domini de definició limitat: Y

f (x) = 2x – 3, x ∈ [–1, 4] Per trobar-ne la inversa, obtenim els valors que pren la funció en els extrems de l’interval: f (–1) = –5, f (4) = 5. Per tant, f

–1(x)

y = f –1(x)

2 2 y = f (x)

= x + 3 , x ∈ [–5, 5] 2

Vegem-ne un altre exemple; trobam la inversa de la funció y = f (x) = x 2 – 6x + 8 : Per representar y = (puntejat en blau).

– 6x + 8 (en verd) ens recolzam en el gràfic de

y = x 2 – 6x + 8

Com veus, y = f (x) no està definida en els valors que tenen el radicand negatiu, és a dir, a (2, 4). Per tant, el seu gràfic està compost per dues branques: y = f1(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≤ 2

8 6 4 — y = √x 2 – 6x + 8 2 x≤2 –4 –2

y = f2(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≥ 4

y = x 2 – 6x + 8

— y = √x 2 – 6x + 8 x≥4 2

Obtenim les expressions analítiques de les inverses: y = x 2 – 6x + 8 → x = y 2 – 6y + 8 → x 2 = y 2 – 6y + 8 → → y 2 – 6y + (8 – x 2) = 0 → y = 6 ± 36 – 4 (8 – 2 = 3 ± x2 + 1

x 2)

f 2–1

= 3 ± 9 – 8 + x2 = f2

És a dir

La inversa de y = f1(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≤ 2, és:

y = f1–1(x) = 3 – x 2 + 1 , x ≥ 0

f 1–1

La inversa de y = f2(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≥ 4, és: y = f2–1(x) = 3 + x 2 + 1 , x ≥ 0

Pensa i practica

➜

anayaeducacion.es Exercicis sobre funcions inverses de funcions.

5 Troba l’expressió analítica de la funció inversa de: a) f (x) = x – 5 , x ∈ [3, 13] 2 2 b) g (x) = – x , x ∈ [–7, 14] 3

6 La funció y = x 2 – 2x té dues branques: una decreixent per a x ≤ 1, i una altra de creixent per a x ≥ 1. Expressa-la com dues funcions f 1(x) i f 2(x) i troba’n la funció inversa de cadascuna.

147

Funcions exponencials La funció exponencial de base 2: y = 2x La gràfica de l’esquerra mostra la representació de la funció y = 2x . Es tracta d’una funció definida en tot Á , contínua i creixent.

y = 2x 10

Creix més de pressa que qualsevol funció potència. Per exemple, encara que la funció y = x 10 al principi és major que y = 2x , aquesta «la supera» per a valors suficientment grans de x.

–4

x10 1 024 1 048 576 10 000 000 000 1,049 · 1016 2x

1 024

1,1 ·

1012

…

6,05 · 1017

…

1018

…

1,15 ·

La funció exponencial de base 1/2: y = (1/2)x x

La gràfica de la funció y = c 1 m és simètrica, respecte de l’eix Y, de la de y = 2x . La 2 raó d’això és la següent: y = f 1 (x) = 2 x 4 f (–x ) = f2(x ) y = f2 (x) = (1/2) x = 2 –x 1

f1(–x)

()

1 y= — 2

y = 2x

f1(x)

–x

x x

Com a conseqüència de la propietat anterior, la funció y = c 1 m és també contínua 2 en tot Á, però decreixent.

–4

Característiques de les funcions exponencials S’anomenen funcions exponencials les que tenen per equació y = a x, sent la base a un nombre positiu diferent d’1. • Totes són contínues en Á, i passen per (0, 1) i (1, a). • Si a > 1, són creixents, tant més com major sigui a. El creixement de qualsevol d’aquestes arriba a ser molt ràpid, superant fins i tot qualsevol funció potència. Per això l’expressió creixement exponencial és sinònim de creixement molt ràpid. • Si 0 < a < 1, són decreixents.

➜

anayaeducacion.es Representació de funcions

• En matemàtiques superiors la funció y = e x és extraordinàriament important. Tant és així que quan es parla de «la funció exponencial», sense esmentar quina és la seva base, s’hi està fent referència.

exponencials.

• També són exponencials les funcions y = akx , ja que akx = (ak )x. És a dir, y = akx és una funció exponencial de base ak. • En les calculadores científiques hi sol haver dues tecles, i , amb les quals s’obtenen valors de les funcions y = 10x i y = ex, respectivament. 148

➜

Juga amb la base de funcions exponencials.

Fenòmens que es descriuen amb la funció exponencial La funció exponencial es presenta en multitud de fenòmens de creixement animal, vegetal, econòmic, etc. En tots aquests, la variable independent és el temps. Vegem-ne alguns exemples: • En un lloc aïllat s’introdueixen 1 000 mosques d’una certa espècie. La població (N = nre. de mosques) varia al llarg del temps t (expressat en dies) segons la funció següent: N = 1 000 · 1,02t

NRE. DE MOSQUES

3 000 2 000 1 000

• Un capital de 50 000 € imposat al 6 % anual es transforma en un capital C al cap de t anys de la manera següent: C = 50 000 ·

1,06t

La funció exponencial també serveix per descriure fenòmens de decreixement. Per exemple:

M = m · 0,76t

QUANTITAT DE SUBSTÀNCIA RADIOACTIVA

on t és el temps i ve donat en milers d’anys, m és la quantitat inicial de substància radioactiva i M és la quantitat de substància radioactiva passat un temps t .

DIES TRANSCORREGUTS

Creixement de la població mundial

població total

• Les substàncies radioactives es desintegren amb el pas del temps i la quantitat de substància radioactiva disminueix de forma exponencial. En unes, la desintegració és rapidíssima; en d’altres, molt lenta. Per exemple, una certa quantitat de massa d’una substància es desintegra segons l’equació:

m des de l'any 10.000 a. c. fins a l'any 2.000 d. c.

4 5 d’anys)

TEMPS (milers

• Si un capital de 80 000 € depositats en divises es devalua un 3,5 % a l’any, la seva evolució amb el temps es descriu mitjançant la funció: t

C = 80 000 · c 100 – 3, 5 m = 80 000 · 0,965t 100

Pensa i practica

1 La massa de fusta d’un bosc augmenta en un 40 % cada 100 anys. Si prenem com a unitat de massa vegetal (biomassa) la que hi havia l’any 1800, que consideram l’instant de partida, i com a unitat de temps 100 anys, la funció M = 1,4t ens dona la quantitat de massa vegetal, M, en un instant qualsevol, t, expressat en segles a partir de 1800 (raona per què). a) Esbrina quan hi haurà una massa de fusta el triple que a l’any 1800 (1,4t = 3) i quan n’hi havia la tercera part. Observa que els dos períodes de temps són iguals.

b) Calcula la quantitat de fusta que hi havia el 1900, 1990, 2000, 1600 i 1550. 2 Comprova que, a l’exemple anterior referent a la desintegració d’una certa substància radioactiva, M = m · 0,76t (t expressat en milers d’anys), el període de semidesintegració (temps que la substància radioactiva tarda a reduir-se a la meitat) és, aproximadament, de 2 500 anys. Per a això, comprova que una quantitat inicial qualsevol es redueix a la meitat al cap de 2 500 anys (t = 2,5).

149

Funcions logarítmiques Y 20

El gràfic de y = log2 x és simètric respecte de la recta y = x del gràfic de y = 2x, per ser-ne la funció inversa.

y = 2x

➜

Exponencial i logarítmica: funcions inverses.

La funció inversa de y = 2x s’anomena funció logarítmica de base 2 i es designa així: y = log2 x. Els valors que pren aquesta funció són, òbviament, els dels logaritmes en base 2.

y = log2 x 2 –4

–4

nota: També hi ha les funcions logarítmiques y = loga x, per a 0 < a < 1, però aquí no les estudiarem.

Característiques de les funcions logarítmiques Es diuen funcions logarítmiques les que tenen l’equació y = loga x, sent a un nombre positiu major que 1. • Totes són contínues en (0, +∞) i passen pels punts (1, 0) i (a, 1).

SENSACIÓ (estimada S = SENSACIÓN (estimada per por l’individu) el individuo)

• Són creixents. El creixement és molt lent, molt més com major sigui a. • En matemàtiques superiors la funció y = loge x és molt important. S’anomena logaritme neperià i es designa y = ln x o y = Lx. És la funció inversa de l’exponencial de base e. • En les calculadores científiques hi sol haver tres tecles, , i , amb les quals s’obtenen valors de les funcions y = loga x (a qualsevol), y = log x i y = ln x, respectivament.

II==ESTÍMULO FÍSICO ESTÍMUL FÍSIC ➜

anayaeducacion.es Visualitza funcions logarítmiques.

La funció logarítmica com a model En psicologia té una gran importància l’estudi de percepcions. L’individu percep colors, sons, olors, gusts... La percepció depèn (és funció) dels estímuls físics. Per exemple, parlem de la il·luminació (I), que pot ser mesurada físicament, i la percepció, S, que aprecia un individu. La relació entre les dues variables ve donada per l’anomenada llei psicofísica o llei de Weber-Fechner: S = C log I

(C és una constant)

Per a valors petits de I l’individu aprecia canvis petits. Però com major sigui I majors han de ser els canvis perquè s’apreciïn. Exercici resolt

1 Trobar la funció recíproca de y = 10 x, x ∈ [–2, 4].

10–2 = 1 = 0,01; 104 = 10 000 100 La funció y = 10x passa per (-2; 0,01) i per (4, 10 000). Per tant, la seva recíproca passa per (0,01; -2) i per (10 000, 4). Conclusió: la recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4] és y = log x, x ∈ [0,01; 10 000].

Pensa i practica

1 Vertader o fals? La funció recíproca de y = 2x, x > 0 és y = log2 x, x > 1. 150

2 Troba la funció recíproca de: y = log2 x, x ∈ [8, 32]

Funcions trigonomètriques Visió intuïtiva Estam arreglant una punxada d’una roda de bicicleta, que tenim situada a la vora d’una taula, tal com es veu a la fotografia.

En girar la roda, el punt P on té la punxada varia l’altura respecte de la taula. La funció que relaciona x amb y x: longitud recorreguda pel punt P en girar y: altura a la qual es troba P respecte al nivell de la taula prenent la longitud del radi com a unitat de mesura, s’anomena funció sinus: sin

x (recorregut) ⎯→ y = sin x (altura) 3 2 y x

π x=— 2

x=π 4 y

π 3π x=— 2

x = 2π 10

y y

9 8

Així és el gràfic que obtenim: OBSERVA

3 2 1

10 5 9 8

6 7

A partir de la primera volta, els valors de la funció es repeteixen una vegada i una altra. Es tracta d’una funció periòdica. El seu període és 2π, perquè aquesta és la distància que recorre P quan fa una volta completa. α x

Podem observar que cada posició de P correspon a un angle de gir, α. Si aquest angle el mesuram pel valor de x, direm que està mesurat en radians. 151

Funcions trigonomètriques

Sinus d’un angle

Y P

Un punt P gira sobre una circumferència de radi 1. Hi traçam uns eixos de coordenades X i Y amb origen en el centre de la circumferència.

Si α és l’angle de gir, es diu sinus de α, i s’expressa sin α l’ordenada del punt P. És la distància de P a l’eix X de manera que si el punt queda damunt de l’eix X, la distància és positiva (sin α > 0) i si el punt queda davall de l’eix X, la distància és negativa (sin β < 0).

–1 ≤ sin α ≤ 1

La circumferència de radi unitat que empram per mesurar els valors del sinus s’anomena circumferència goniomètrica.

GRAUS I RADIANS AMB CALCULADORA A la calculadora s’utilitzen per defecte els graus. Per configurar la mesura angular es pitja i se selecciona 2:Unitat angular. Apareixen tres opcions per triar: 1: Grau sexag (D) 2: Radian 3: Grau cent (G)

Graus i radians 1 rad ≈ 57° 17' 1 rad 1 180 α° = —— α rad π

El valor d’un angle α en radians és igual a la longitud de l’arc corresponent mesurat sobre la circumferència goniomètrica. Valors del sinus

y = sin x, x ∈[0, 2π]

Els valors del sinus d’un angle es poden obtenir amb la calculadora:

= 0,714676

en graus:

sin 45° 37' →

en radians:

sin 1,5 rad →

1,5 = 0,997495

sin β

El sinus d’un angle pren, per tant, valors entre –1 i 1: –1 ≤ sin α ≤ 1

Els angles es mesuren, habitualment, en graus. No obstant això, per representar les funcions trigonomètriques és molt útil una altra unitat de mesura d’angles: el radian.

sin α

1 –1

π 2 — 2

π 3

3π —5 2

2π 6

x : mesura de l’angle en radians.

Observa alguns valors interessants que donen lloc a la gràfica del marge: graus

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radians

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

sin

1 2

2 2

3 2

2 2

1 2

–1 2

– 2 – 3 2 2

–1

– 3 – 2 2 2

–1 2

La funció sinus El gràfic representat al marge és el de la funció y = sin x, sent x la mesura en radians d’un angle de l’interval [0, 2π], és a dir, entre 0° i 360°. Si consideram angles majors que 360° (2π rad) fent que el punt continuï girant després de la primera volta, i angles negatius quan l’angle gira en sentit contrari, els valors del sinus es repeteixen. S’obté, així, la funció següent, definida en tot Á, contínua i periòdica de període 2π.

–π –2π

152

–1

y = sin x π 2π

3π

FUNCIÓ PERIÒDICA Una funció és periòdica si: f (x ) = f (x + l ) = … = f (x + kl ), k ∈ És a dir, si els valors de f es repeteixen cada vegada que s’avança o es retrocedeix un interval de longitud l.

Cosinus d’un angle

Situam un angle α sobre la circumferència goniomètrica. El primer costat de l’angle és l’eix X i el segon determina un punt P. S’anomena cosinus de α i es designa cos α, l’abscissa de P, és a dir, la distància a l’eix Y, que serà positiva si està a la dreta i negativa si està a l’esquerra.

cos β

α cos α

El cosinus d’un angle pren valors entre –1 i 1: –1 ≤ cos α ≤ 1 –1 ≤ cos α ≤ 1

Relacions entre sinus i cosinus • Com que sigui quin sigui l’angle α, sin α i cos α són les coordenades d’un punt P de la circumferència goniomètrica, de radi 1, es verifica que:

relació fonamental

90° +

(sin α)2 + (cos α)2 = 1 sin (90° + α)

• Si dos angles difereixen en 90°, α i α + 90°, llavors:

sin α

α cos α

cos (90° + α)

sin (90° + α) = cos α cos (90° + α) = –sin α

Valors del cosinus

= 0,699455

en graus:

cos 45° 37' →

en radians:

cos 1,5 rad →

1,5 = 0,070737

y = cos x, x ∈[0, 2π]

Els valors del cosinus d’un angle es poden obtenir amb la calculadora:

1 –1

Observa alguns valors interessants que donen lloc a la gràfica del marge:

π 2 — 2

π 3

3π —5 2

2π 6

x : mesura de l’angle en radians.

graus

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radians

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

cos

3 2

2 2

1 2

–1 2

– 2 – 3 2 2

–1

– 3 – 2 2 2

–1 2

1 2

2 2

3 2

La funció cosinus El gràfic representat en el marge és el de la funció y = cos x, sent x la mesura en radians d’un angle de l’interval [0, 2π], és a dir, entre 0° i 360°. Si consideram angles majors que 360° (2π rad) i angles negatius, els valors del cosinus es repeteixen. S’obté així la funció següent definida en tot Á, contínua i periòdica de període 2π: 1 –2π

–π

–1

RECORDA-HO

y = cos x

cos α = sin (90° + α) = sin (π/2 rad + α) π

2π

3π

Per tant, la gràfica de la funció y = cos x = sin (π/2 + x ) és la de y = sin x desplaçada π/2 a l’esquerra. 153

Funcions trigonomètriques

Tangent d’un angle

T tg α

90°

En el punt U on la circumferència goniomètrica talla la part positiva de l’eix de les X, traçam una recta t tangent a aquesta.

Situam un angle sobre la circumferència. En prolongar el segon costat de l’angle, o la semirecta oposada, talla la recta t en un punt T. S’anomena tangent de l’angle la mesura UT, que serà positiva si T està sobre l’eix X i negativa si està per davall (observa-ho en el gràfic del marge).

180°

t tg γ

tg β 270° D

Els angles de 90° i 270° no tenen tangent, perquè ni el segon costat de l’angle ni la semirecta oposada tallen la recta t.

tg δ

Relacions entre sinus, cosinus i tangent tg α = sin a cos a

Si α és un angle diferent de 90° i de 270°, es verifica que

tg α

sen α α O U cos α C

Per a provar-ho, observem que els triangles OCS i OUT són semblants. Per tant:

tg a sin a UT = CS → = cos a 1 OU OC Si l’angle està situat en un altre quadrant, també es compleix la igualtat, amb el signe corresponent.

NOTACIÓ Sinus, cosinus i tangent d’un angle s’anomenen les seves raons trigonomètriques.

Valors de la tangent

y = tg x

Observa alguns valors de la tangent, que donen lloc a la gràfica del marge: graus

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radians

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

3 3

–

– 3

–1

– 3 3

3 3

–

– 3

–1

– 3 3

π — 2 1 2

π 3

3π — 2 4 5

2π 6

La funció tangent Procedint de forma pareguda com ho hem fet per a les funcions sin x i cos x, s’obté la funció y = tg x. Es tracta d’una funció definida i contínua en tot Á excepte en les abscisses π + k π, sent k nombres enters (les rectes 2 y = π + k π són asímptotes de la funció y = tg x). És periòdica de període π. 2

➜

anayaeducacion.es Visualitza funcions trigonomètriques.

y = tg x

NOTACIÓ –2π

154

–π

2π

3π

4π

Les funcions y = sin x, y = cos x, y = tg x s’anomenen funcions trigonomètriques o funcions circulars.

Exercicis i problemes resolts 1. Transformacions d’una funció Les gràfiques són aquestes: a) –1

g(x)

Aquesta és la gràfica de la funció: f (x) = x2 – 2x – 3 Representa, a partir d’aquesta, les funcions: a) g (x) = f (x) + 3 b) h (x) = f (x + 2) c) i (x) = – f (x) d) j (x) = | f (x)|

–1

c) 2

–2

–4

h(x)

i(x)

2 2

j(x) 4 2

–4

–2

Pots comprovar-ho amb l’expressió analítica corresponent: a) g (x) = x 2 – 2x b) h (x) = (x + 2)2 – 2(x + 2) – 3 = x 2 + 2x – 3 c) i (x) = –x 2 + 2x + 3 x 2 – 2x – 3 si x ∈ (–@, –1] « [3, +@) d) j (x) = * 2 –x + 2x + 3 si x ∈ (–1, 3)

2. Representació d’hipèrboles Representa les hipèrboles següents: a) y = 3x – 5 x–2 b) y = 2x + 1 x +1

FES-HO TU

Representa la funció y = –2x + 7 . x –3

Utilitzant la relació Dividend = quocient + residu , podem representar aquest tipus de divisor divisor funcions a partir de la hipèrbole y = 1/x mitjançant transformacions elementals. a) Dividim: 3x – 5 x – 2 → 3x – 5 = 3 + 1 x –2 x–2 –3x + 6 3 1 Per tant, el gràfic demanat és com el de y = 1 desplaçat 2 x unitats a la dreta i 3 a dalt. b) Dividim: 2x + 1 x + 1 –2x – 2 2 –1

1 X

1 Y

→

2x + 1 = 2 + –1 x +1 x +1

El gràfic demanat és com el de y = – 1 desplaçat 2 unitats x cap amunt i 1 cap a l’esquerra.

2 –2

3. Transformar una funció Descriu les transformacions que hem de fer a la gràfica de y = x 2 per representar: f (x) = x 2 – 2x – 8

Hem d’escriure f de la forma f (x) = a(x - m)2 + p. Per a això separam els termes en x i completam el quadrat d’una suma o diferència omplint els símbols ■ amb els nombres adequats: Y 2 f (x) = x – 2x + ■ – 8 – ■ X

f (x) = (x 2 – 2x + 1) – 8 – 1 FES-HO TU

Quines transformacions hem de fer a la gràfica de y = x 2 per representar f (x) = x 2 – 4x + 3?

f (x) = (x – 1)2 – 9 Per representar f (x) partim de la gràfica de y = x 2 i feim una translació d’1 unitat a la dreta i 9 unitats cap avall.

–5

Les coordenades de vèrtex són (1, –9).

155

Exercicis i problemes resolts 4. Composició de funcions i funció inversa Donades les funcions: f (x) = 2 x+1 g (x) = 3 x + 1 h (x) = x3 – 1 troba: a) g ° f b) h ° f c) g ° h –1 d) h ° g ° f e) f FES-HO TU

Troba g ° f i f ° g, sent: f (x) = 3 x 2 – 5 i g (x) = 2 x – 1

Observam que f ( ) = 2

+ 1;

g( ) = 3 Y + 1 ; h( ) =

– 1.

a) g ° f (x) = g[ f (x)] = g(2x + 1) = 2 x + 1 + 1 b) h ° f (x) = h[ f (x)] = h(2x + 1) = (2x + 1)3 – 1 = 23x + 3 – 1

c) g ° h (x) = g [ h (x)] = g(x3 – 1) = 3 (x 3 – 1) + 1 = x Les funcions g i h són inverses perquè verifiquen ( g ° h)(x) = x.

d) h ° g ° f (x) = h 7g ^2 x + 1hA = h ^3 2 x + 1 + 1 h = ^3 2 x + 1 + 1 h – 1 = 2x + 1 = f (x) 3

e) Per calcular la inversa de f, canviam les variables, x = 2y + 1, i prenem logaritmes de base 2 per aïllar x : log2 x = log2 2y + 1 → log2 x = y + 1 → y = –1 + log2 x → f – 1(x)= –1 + log2 x

5. Reconèixer funcions compostes Explica com, a partir de les funcions f (x) = 1 + 2x, g(x) = x 2 + 1 , h(x) = 1/x 2, es poden obtenir les funcions: 2

a) m(x) = 1 + 2 x + 1 1 b) n(x) = (1 + 2 x ) 2 c) p(x) = (1/x 4 ) + 1 FES-HO TU

A partir de les funcions f, g, h aquí definides, obtén: a) q (x ) = (1 + 2 x ) 2 + 1 b) r (x ) = 21 x +1

a) Observam que m(x ) = 1 + 2 x + 1 té a veure amb f (x ) = 1 + 2x i amb g (x ) = x 2 + 1 , de manera que per obtenir un valor qualsevol m(a) calculam en primer lloc a 2 + 1 , després elevam a 2 aquest valor i n’hi sumam 1. És a dir, hi aplicam primer g i després f : f [ g (x)] = f ( x 2 + 1 ) = 1 + 2

x2 +1

→ m (x ) = ( f ° g ) (x )

b) En n(x ) intervenen f (x ) i h(x ). La primera que actua sobre x és f i després h. Per tant: 1 h[ f (x)] = h (1 + 2x ) = → n (x ) = (h ° f ) (x ) (1 + 2 x )2 c) Per obtenir p(x ) hi aplicam h(x ) en primer lloc i després g (x ): 2

g [h (x)] = g c 12 m = c 12 m + 1 = 14 + 1 → p(x ) = (g ° h ) (x ) x x x

6. Funció inversa d’una altra Obtén la funció inversa de cadascuna de les funcions següents: a) f (x) =

1 x–3

b) g (x) = 3 + 2 x + 1 c) h(x) = 2 ln (x – 3) FES-HO TU

Obtén la funció inversa de: a) p (x ) =

3x – 2

b) q (x ) = log2 (x + 1) c) r (x ) =

156

2 x +4

a) Per obtenir la funció inversa, intercanviam les variables i aïllam la y : x = 1 → y – 3 = 1 → y = 1 + 3 → f –1(x) = 1 + 3 y –3 x x x b) Després d’intercanviar les variables, passam 3 al primer membre i prenem logaritmes en base 2 per aïllar y : x = 3 + 2 y + 1 → x – 3 = 2 y + 1 → log2 (x – 3) = y + 1 → → y = –1 + log2 (x – 3) → g –1(x ) = –1 + log2 (x – 3) c) Intercanviam les variables, passam 2 al primer membre i hi aplicam la definició de logaritme per aïllar y : x = 2 ln ( y – 3) → x = ln ( y – 3) → e x/2 = y – 3 → e x/2 + 3 = y → 2 –1 x/2 → h (x ) = 3 + e

7. Gràfics de funcions exponencials i logarítmiques a) S’obté desplaçant y = 2x una unitat cap amunt. A partir d’aquests gràfics, b) És la simètrica de y = 2x respecte de l’eix X.

y = 2x

Y 6

c) S’obté traslladant 2x dues unitats cap a la dreta.

y = log2 x

d) És la simètrica de 2x respecte de l’eix Y. Coincideix amb y = (1/2)x. e) S’obté traslladant y = log2 x dues unitats cap a l’esquerra.

8 X

f ) És la simètrica de log2 x respecte de l’eix X. a)

representa: a) y = 2 x + 1

b) y = –2 x

c) y = 2 x – 2

d) y = 2 –x

e) y = log2 (x + 2) f ) y = – log2 x FES-HO TU

c) y = log2 (x – 2)

Y 2

–2

–4

Y 6 y = 2–x

–6

b) y = 2x + 3

–2

6 X

y = log2 (x + 2)

4 X

2 4Y

d) y = log2 (–x )

y = –2x 6Y

y = 2x – 2

Y 6

Representa: a) y = 2x – 1

y = 2x + 1

Y 6

y = –log2 x

8. Funció exponencial El procés de cicatrització d’una ferida segueix una llei exponencial. La superfície S de la ferida al cap de t dies es pot calcular mitjançant la fórmula S = So e kt, on So és la superfície inicial i k una constant. a) Si una ferida tenia una superfície inicial de 50 cm2 i al cap de dos dies fa 24,83 cm2, quin és el valor de k? b) Calcula la superfície de la ferida després de 8 dies.

a) Coneixem S0 = 50 i un punt (2; 24,83). Substituint aquests valors en la fórmula S = S0e kt podem obtenir k. t=2

S = 50e kt ⎯→ 24,83 = 50e 2k → e 2k = 0,4966 → 2k = ln 0,4966 → k = – 0,35 b) Per a t = 8, S = 50e – 0,35 ∙ 8 = 3 cm2

SUPERFÍCIE (cm2)

c) Feim una taula de valors de la funció S = 50 . e – 0,35t. t

S(t) 35,2 24,9 12,3

8,7

S = 50e –0,35t

c) Representa’n la funció.

TEMPS (dies)

9. Funció logarítmica

b) Representa la funció i la seva inversa. FES-HO TU

Troba a i b perquè el gràfic de la funció y = –2 + logb (x + a) passi per (1, 0) i (–1, –1).

El seu domini és (3, +∞). Passa pels punts (3,5; 0), (4, 1) i (7, 3).

El gràfic de la funció inversa és simètric respecte a la bisectriu del primer quadrant. La seva expressió analítica és y = 3 +

2x – 1.

(3, 7)

6 (1, 4)

a) Calcula a i b.

a) Passa per (4, 1): 1 = 1 + logb (4 – a) → logb (4 – a) = 0 → b0 = 4 – a → a = 3 b = –2 (no val) Passa per (7, 3): 3 = 1 + logb (7 – 3) → 2 = logb 4 → b 2 = 4 b=2 b) La funció és y = 1 + log2 (x – 3). Y y=

El gràfic d’una funció logarítmica del tipus y = 1 + logb (x – a) passa pels punts (4, 1) i (7, 3).

(7, 3)

2 2

(4, 1) 4 6

y=1+ 8 X

157

Exercicis i problemes guiats 1. Funció inversa a) El domini de definició de f està limitat. Per saber quin n’és el recorregut considera quin és el valor màxim que pot tenir f (x ).

Y 2 2

Aquest és el gràfic de la funció: f (x) = 2 – x 2, x ≤ 0 a) Dona’n el domini de definició i el seu recorregut. b) Representa’n la funció inversa.

b) Fes una taula de valors de f (x ) i inverteix les variables per obtenir alguns punts de f –1(x ). Recorda que les funcions inverses han de ser simètriques respecte de la bisectriu del primer quadrant. c) En intercanviar les variables i aïllar la y, obtendràs dues funcions amb recorregut diferent. Ten en compte que el domini de f (x ) és el recorregut de f –1(x ). Solució:

a) Domini de f = (–∞, 0]

Y 2 2

Recorregut de f = (–∞, 2]

c) f –1(x ) = – 2 – x

c) Troba l’expressió analítica de f –1(x). 2. Interés compost Depositam en un banc 5 000 € al 4,8 % anual amb un pagament trimestral d’interessos. a) Quin serà el capital acumulat al cap de 3 anys? b) Escriu la funció que ens diu en quant es transforma aquest capital al cap de t anys.

• El 4,8 % anual significa un 4, 8 = 1,2 % trimestral. 4 • Com que els períodes de capitalització són trimestrals, al final del primer any el 4 capital es convertirà en 5 000 · c1 + 1, 2 m . 100 4 • Aquesta quantitat es multiplicarà cada any per c1 + 1, 2 m . 100 Solució: a) 5 769,5 €

b) f (t ) = 5 000 · (1,012)4t ≈ 5 000 · (1,049)t

3. Depreciació Una màquina que va costar 20 000 es deprecia a un ritme del 10 % anual.

a) Al cap d’un any el preu baixa un 10%. Per tant, el valor de la màquina serà 20 000 · (1 – 0,1). Repeteix aquest raonament per a quatre anys.

a) Quin en serà el valor d’aquí a 4 anys?

b) Escriu la funció, f (t ), que dona el preu després de t anys. Fes f (t ) = 12 000 i aïlla t.

b) Quants anys han de passar perquè el valor sigui de 12 000 €? c) Escriu la funció que dona el nombre d’anys que han de passar per arribar a un valor x.

c) La funció petició és la funció inversa de f (t ). Solució:

a) 13 122 €

b) 5 anys

c) f –1(t ) = ln x – ln 20 000 ln 0, 9

4. Funció logística La funció f (x) =

• Observa que has de trobar el valor de x per al qual f (x) = 6 000. 12 000 1 + 499 (1,09 –x )

dona les vendes totals d’un videojoc x dies després de ser llançat. En quin dia es va arribar a 6 000 jocs venuts?

158 158

• Opera l’expressió fins a eliminar denominadors i fer-la el més senzilla possible. • Obtendràs una expressió del tipus A = C –x. Per obtenir el valor de x, pren loB garitmes i usa la calculadora. Solució: Es va arribar als 6 000 jocs venuts 72 dies després del llançament.

Exercicis i problemes proposats Per practicar

Composició de funcions

Transformacions d’una funció

10 Donades les funcions f (x ) = x + 3 i g (x ) = 2x 2, troba: a) f [ g (2)] b) g [ f (– 4)] c) f [ g (x )] d) g [ f (x )]

1 Representa f (x) = 4 - x 2 i, a partir d’aquesta, representa les funcions següents: a) y = f (x) – 3 b) y = f (x + 2) c) y = | f (x)| Y

2 Aquesta és la gràfica de la funció y = f (x):

12 Si f (x ) = 2x + 3 y g (x ) = x 2 – 2x, obtén: a) f ° g b) g ° f c) f ° f d) g ° g

13 Donades les funcions f (x ) = 3x + 2 i g (x ) = x , troba: a) ( f ° g ) (x ) b) ( g ° f ) (x ) c) ( g ° g ) (x )

Representa, a partir d’aquesta, les funcions: a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2 c) y = | f (x)|

14 Donades les funcions

3 A partir de la gràfica de f (x) = 1 , representa: x a) g (x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3) c) i(x) = –f (x) d) j(x) = | f (x)| 4 Representa la funció funcions següents: a) g (x) = f (x + 1)

f (x) = x 2 + 1

x i dibuixa a partir d’aquesta les b) h(x) = f (x) – 3

5 L’expressió analítica d’aquesta funció és del tipus y = 1 + b. x–a Observa la gràfica i digués el valor de a i b.

6 L’equació d’aquesta gràfica és del tipus y = (x – m)2 + p . Observa-la i digues el valor de m i p.

c) j(x) = | f (x)|

7 Representa les funcions següents: a) y = 1 b) y = x –1 c) y = –1 d) y = x –3

g (x) =

3 x –2

h(x) = x – 3

obtén les expressions de: a) f ° g b) g ° f c) f ° h d) g ° h e) h ° f f) h ° g Troba, si és possible, el valor de les funcions obtengudes per a x = 5 i x = 0. f (x) = sin x , g (x) = x 2 , h (x) = 1 x troba l’expressió analítica de: a) g ° f b) f ° fg c) f ° g ° h d) h ° g ° f

15 Donades les funcions

1 X

Y 1 –1

11 Considera les funcions f (x ) = x 2 + 1 i g (x ) = 1 . Calcula: x a) ( f ° g ) (2) b) ( g ° f ) (–3) c) ( g ° g ) (x ) d) ( f ° g ) (x )

3 X

1 x +1 1 +2 x

8 Representa les funcions següents: a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = 2 + x d) y = 1 – x 9 Dibuixa la gràfica de la funció. f (x) = x 2 – 6x + 5 . Representa, a partir d’aquesta, les funcions següents i escriu-ne les equacions. a) g (x) = f (x) + 2 b) h (x) = f (x – 3) c) i (x) = –f (x)

16 Amb les funcions f (x ) = 12 i g (x ) = x – 2, hem obx 1 tengut per composició les funcions p (x ) = i (x – 2)2 q (x ) = 12 – 2. Indica quina d’aquestes expressions corresx pon a f ° g i quina a g ° f. 17 Explica com a partir de les funcions f (x) = 2x – 1 g (x) = x + 2 h(x) = 1 x –3 es poden obtenir aquestes altres: a) m(x) = 2 x + 1 b) n(x) = 2 x – 1 + 2 4–x

1 +2 d) q(x) = 2 x – 3 x –3 1 e) r (x) = 1 f ) s (x) = x +1 2x – 1 – 1 18 Considera aquestes funcions: f (x ) = x – 5 g (x ) = x h (x ) = 1 x +2 Explica com, a partir de f, g i h, es poden obtenir, per composició, p, q i r : p (x ) = x – 5 ; q (x ) = x – 5; r (x ) = 1 x +2 c) p(x) =

159 159

Exercicis i problemes proposats Funció inversa d’una altra

19 Donada la funció f (x) = 3x – 1 troba f –1(x). Representa 2 f i f –1 i comprova’n la simetria respecte de la recta y = x. 20 Troba la funció inversa de les funcions següents: a) y = 3x – 2 b) y = x + 3 2 c) y = 2x + 1 d) y = 1 + 2x e) y = 2 + log3 x f ) y = 4 – x 2, x ≥ 0 b)

2 X

V Y

a) f (x) = 1 ; f –1(x) = 1 – 2 x +2 x 2 b) f (x) = 2x + 3 ; f –1(x) = x + 2 3 x c) f (x) = 1 + log2 ; f –1(x) = 3 ∙ 2x – 1 3

25 Representa aquestes funcions a partir del gràfic de y = 2x: a) y = 2x + 2 b) y = 2x – 3 d) y = b 1 l 2 f ) y = 22 – x

x +3

26 Representa les funcions següents a partir del gràfic de y = log2 x : a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = 2 – log2 x d) y = log2 (–x ) 160

–2

–6

–4

–2

Funcions exponencials i logarítmiques

e) y = 1 – 2x

29 Comprova que els gràfics de y = 3x i y = c 1 m són simè3 trics respecte a l’eix OY.

24 Troba la funció inversa de les funcions següents: a) y = 3x – 1 b) y = 3 1 – 3x 2 c) y = 1 + 2x – 3 d) y = 2 + log3 (x + 1) 3 e) y = 1 + f ) y = 2x – 3 x +1 x –1

c) y =

–2

23 Considera la funció y = x + 2 , x ∈ [–2, 7]. a) Quin n’és el recorregut? b) Obtén-ne la funció inversa i determina’n el domini de definició i el recorregut.

2x/2

22 Comprova si cada parell de funcions són una inversa de l’altra. Per a això calcula f ° f –1 o bé f –1 ° f :

–4

–6

IV Y

2 –2

–4

–2

2 2 X

2 2

III Y

c) Y

28 Associa a cadascuna de les expressions següents el gràfic corresponent. a) y = ln x b) y = 21 – x c) y = e x d) y = –log2 x e) y = –(1/2)x f ) y = log2 (x + 3) I Y

21 Representa gràficament la funció inversa en cada cas: a)

27 Amb ajuda de la calculadora, representa aquestes funcions: a) y = 3 · 0,8x b) y = (1/2) · 1,8x c) y = ln (2x ) d) y = ln (x + 1)

30 Fes una taula de valors de la funció y = 3x. A partir d’aquesta, representa la funció y = log3 x. 31 Quin és el domini de y = log2 (2 – x )? Representa-la. Funcions trigonomètriques

32 Si un punt P recorre una circumferència completa de radi 1, l’angle de gir és 360º que, mesurat per l’arc, equival a 2π radians. Per tant: 360° = 2π rad → 180° = π rad → 90° = π rad 2 a) Expressa en radians els angles següents 30°, 45°, 60°, 120°, 135°. b) Expressa en graus els angles següents 5π/6, 7π/4, 4π/3, 3π/2, 7π/6. 33 Representa aquestes funcions: a) y = 1 + sin x b) y = –cos x 34 Representa y = sin 2x . Per a això utilitza la calculadora seleccionant el radian com a unitat angular i completa aquesta taula de valors al quadern. x

π/4

π/2

3π/4

5π/4 3π/2 7π/4

35 Associa a cadascuna de les funcions següents la gràfica corresponent: a) y = cos 2x b) y = –sin x c) y = 2sen x d) y = 1 + cos x I

39 El gràfic d’una funció exponencial del tipus y = kax passa pels punts (0; 0,5) i (1; 1,7). Calcula k i a, i representa’n la funció.

1 – –π 2

–1

π – 2

3π — 2

2π

π – 2

3π — 2

2π

II 1 – –π 2

–1 2

III

1 π – 2

– –π 2

3π — 2

2π

40 Els punts (1; 1,2) i (2; 0,48) pertanyen al gràfic de la funció y = k · a x. a) Calcula k i a. b) Troba el valor de x per al qual y = 120. 41 El gràfic de la funció logarítmica y = –2 + logb (x + a) talla els eixos de coordenades en els punts (0, –2) i (8, 0). a) Calcula a i b. b) Per a quins valor de x és y = 3? 42 La funció y = a + b ln x passa pels punts (e, 5) i (1/e, –1). a) Calcula a i b. b) Quina n’és la funció inversa? 43 La funció y = 5 (x – 32) converteix graus Fahrenheit en 9 graus centígrads. Troba la funció per convertir graus centígrads en graus Fahrenheit.

– –π 2

38 Representa i troba la funció inversa en cada cas. a) y = 3 + 2x – 1 b) y = 0,2 · 23 – x c) y = 1,8 · 50,2x d) y = 1 + log2 (x + 4) e) y = ln (3x + 2) f ) y = 2,5 · e –x/2

–1

π – 2

3π — 2

2π

–2

Per resoldre 1 +b i x–a descriu les transformacions que hem de fer per representar-la a partir de y = 1 . x a) y = 3x b) y = x – 2 x –1 x–4 c) y = 3x + 2 d) y = x + 1 x +1 x –1 * Mira l’exercici resolt núm. 2.

36 Expressa les funcions següents de la forma y =

37 Expressa les funcions següents utilitzant l’expressió y = a (x – m)2 + p i descriu les transformacions que hem de fer per representar-les a partir de y = x 2. a) y = x 2 – 10x + 16 b) y = x2 – x + 2 * Mira l’exercici resolt núm. 3.

44 Un cultiu de bacteris creix segons la funció y = 1 + 2x/10 ( y : milers de bacteris, x : hores). Quants n’hi havia en el moment inicial? I al cap de 10 hores? Quant tardaran a duplicar-se? 45 La funció y = 80 · 2–0,4t ens dona la quantitat (en grams) d’estronci radioactiu en una mostra d’aigua en l’instant t (en anys). a) Quina quantitat hi haurà d’aquí a 10 anys? b) Quan s’haurà reduït al 50% la quantitat actual? 46 La concentració d’un fàrmac a la sang ve donada per y = 100 · (0,94)t ( y en mg, t en h). a) Digues quina és la dosi inicial i la quantitat d’aquest fàrmac que té el pacient al cap de 3 hores. b) Representa’n la funció. c) Si volem que la concentració no baixi de 60 mg, al cap de quant de temps haurem d’injectar-n’hi de nou? 47 La quantitat de material radioactiu que queda al cap de t anys en una mostra de 75 grams, es pot calcular mitjançant l’equació Q (t) = 75(0,62)t. a) Quants anys han de transcórrer perquè hi quedin 10 grams de material radioactiu? b) Representa’n la funció. 161

Exercicis i problemes proposats 48 Un alumne d’un curs de psicologia sap que el percentatge de coneixements que recordarà t mesos després d’acabar el curs, es pot calcular mitjançant la funció: R (t) = 94 – 46,8 log (t – 1) a) Calcula el percentatge que recordarà 6 mesos després d’acabar el curs. b) Representa’n la funció. 49 Sabem que la pressió atmosfèrica varia amb l’altura. L’equació h (x) = 41,97 (0,996)x ens dona l’alçària d’una muntanya, en quilòmetres, si coneixem la pressió atmosfèrica, x, en mil·libars. a) Si al cim de l’Everest la pressió és de 389 mil·libars, quina és l’alçària de l’Everest? b) Quina serà la pressió al cim d’una muntanya de 3 500 metres d’alçària? 50 A questa gràfica representa un moviment que es repeteix periòdicament. a) Representa-la en l’interval [0, 10]. b) Calcula f (7), f (10) i f (20).

Y 2 2

51 Un depòsit de 10 L d’aigua s’umpl i buida automàticament cada 8 minuts. Quan el depòsit està buit comença a omplir-se, tarda 2 minuts, està ple 5 minuts i es buida en 1 minut. Aquest procés es repeteix periòdicament. a) Representa la funció que expressa la quantitat d’aigua que hi ha al depòsit durant mitja hora. b) Calcula f (12), f (16) i f (19) i comprova que f (x + 8k) = f (x), k ∈ Z. Quin és el seu període? 52 El nombre d’exemplars que es ven d’un llibre depèn dels doblers que es dediquen a fer-ne publicitat. La funció que dóna aquesta relació és: y = 2 + 0,5 ln (x + 1); x en milers d’euros, y en milers a) Calcula quants exemplars se’n venen si s’inverteixen 20 000 € en publicitat. b) Quant farà falta invertir per vendre 5 000 llibres? 53 Un capital de 10 000 € es deposita en un banc al 6 % d’interès anual amb pagament mensual d’interessos. Escriu la funció que ens diu en quant es transforma aquest capital en m mesos. Calcula quant tarda a duplicar-se el capital. 54 La població mundial ha crescut de forma exponencial des del 1650. La funció P (t) = 0,5 · e0,0072t, t en anys, P (t) en milers de milions, ens dóna una bona aproximació de la població mundial fins al 2015. a) Quina era la població mundial el 1920? b) Estima la població mundial el 2020. 162

55 El carboni 14 serveix per calcular l’edat dels fòssils i altres objectes. La fórmula que s’usa és C = C0 · e–t ln 2/5730, on C0 és la quantitat de carboni 14 que tenia el fòssil quan es va formar i C la quantitat que tendrà d’aquí a t anys. a) Si en un cert fòssil C0 = 500 g, quants grams de carboni 14 tendrà d’aquí a 2 000 anys? b) S’anomena període de semidesintegració el temps necessari perquè la quantitat inicial es redueixi a la meitat. Calcula el període de semidesintegració del carboni 14. 56 El preu d’un automòbil esportiu és de 24 000 €. Sabem que es deprecia a un ritme d’un 12 % anual. a) Quina funció dóna el valor del cotxe al cap de t anys? b) Quan arribarà a la meitat del valor inicial? 57 Invertim 20 000 € al 4,8 % anual en un compte que es capitalitza semestralment. a) Escriu la funció que ens dóna els doblers que tenim al compte corrent al cap de t anys. b) Quant de temps ha de passar perquè el capital inicial augmenti un 50 %? 58 El nombre de receptes per a medicaments genèrics emeses pels metges del servei de salut d’una comunitat autònoma ha crescut exponencialment des del 2005. La funció és del tipus f (t) = k e at. Calcula k i a sabent que el 2005 (t = 0) es varen emetre 6,52 milers de receptes i en el 2008 en varen ser 9,84 milers. En quin any s’arribarà a 50 milers de receptes? 59 Un estudi de la policia reflecteix que el nombre de robatoris a les cases, per any, d’una ciutat, decreix segons una funció del tipus N (t) = A – B · log (t + 2). Sabem que l’any 2000, que és quan es va iniciar l’estudi, el nombre de robatoris va ser de 520 i l’any 2003 en varen ser 476. a) Determina A i B. b) Calcula el nombre de robatoris que s’esperen el 2020. 60 Un cultiu de bacteris comença amb 100 cèl·lules. Mitja hora després n’hi ha 435. Si aquest cultiu segueix un creixement exponencial del tipus y = k e a t (t en minuts), calcula k i a i representa’n la funció. Quant tardarà a arribar a 5 000 bacteris? 61 Una tassa de cafè acabat de fer està a 75 °C. Després de 3 minuts en una habitació a 21 °C, la temperatura del cafè ha baixat a 64 °C. Si la temperatura T del cafè a cada instant t ve donada per l’expressió T = A e k t + 21, calcula A i k i representa’n la funció. Quant haurem d’esperar perquè la temperatura del cafè sigui de 45 °C? 62 Un estudi estima que la població d’un barri creixerà segons la funció y = 10 000 (t, anys; y, habitants). 1 + ke – 0, 2t a) El barri té, actualment, 1 250 habitants. Troba k. b) Calcula quina serà la població d’aquí a 10 anys.

63 Un bassiot d’aigua circular s’està evaporant al sol. Al cap de t minuts el seu radi és g(t) = 15 cm. t +2

a) Expressa l’àrea del bassiot en funció del temps. b) Quina serà l’àrea del bassiot al cap de 10 min? c) Quina relació té la funció de l’apartat a) amb les funcions f (r) = πr 2 i g(t) = 15 ? t +2

64 La recta y = 20x + 1 talla a y = en x = 0 i x = 4. a) Calcula a. b) Per aquest valor de a, escriu l’equació de la recta, s, que talla y = loga x en x = 1 i x = 81. c) Quina relació hi ha entre les rectes r i s?

65 Donada la funció y = ax , contesta: a) Pot ser negativa la y ? I la x? b) Per a quins valors de a és decreixent? c) Quin és el punt per on passen totes les funcions del tipus y = loga x ? d) Per a quins valors de x es verifica 0 < a x < 1 sent a > 1? I si 0 < a <1?

AUTOAVALUACIÓ b) g [ f (15)]

y = sin bx – π l y = cos bx + π l y = |sin x | y = |cos x | 2 2 a partir de les gràfiques de y = sin x i y = cos x . 69 Justifica quina d’aquestes funcions és la inversa de y = 3x – 2. a) y = 2 + log3 x b) y = 3 x + 2 c) y = log3 (x + 2) 70 Vertader o fals? Comprova-ho i justifica-ho.

Qüestions teòriques

a) f [ g (2)]

67 Representa les funcions y = sin x, y = cos x, y = tg x. a) Quin és el seu període? b) Digues quin és el domini de definició de cada una. c) Entre quins valors varien? 68 Representa les funcions:

1 Donades f (x) = x + 1 , g (x) =

66 Si f (x ) = 2x i g (x ) = log2 x, quina és la funció (g ° f ) ( x )? I ( f ° g ) (x )?

a) Les gràfiques de y = sin bx + π l i y = cos x són iguals. 2 b) En la funció y = a x no podem donar a x valors negatius quan 0 < a < 1. c) Les funcions y = log (x – a) i y = ln (x – a) tallen l’eix X en un mateix punt. d) Les funcions y = ln x i y = 1 es tallen en un punt. x

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis

➜

1 , troba: x –3 c) f ° g

2 Representa el gràfic de la funció inversa de y = f (x).

d) g –1(x) Y

y = f (x)

3 El gràfic d’una funció y = a + b log 2 (x + 2) passa pels punts (0, 1) i (2, 0). Troba a i b i justifica si es tracta d’una funció creixent o decreixent.

6 Representa y = 1 . A partir d’aquesta, dibuixa y = –2x + 5 . x –2 x 7 Representa i troba la inversa en cada cas. a) y = 1,5 · 2x – 3 b) y = 2 + ln (x + 1) 8 Associa a aquesta gràfica una de les expressions següents i digues quin és el seu període: a) y = cos x b) y = cos 2x c) y = 2cos x 1

π — π — π — 6 4 3

4 El preu d’una furgoneta baixa un 8 % cada any. Si va costar 18 000 €, quant tardarà a reduir-se a la meitat? 5 Un cultiu de bacteris comença amb 50 cèl·lules. Dues hores després n’hi ha 162. Si aquest cultiu creix de forma exponencial segons una funció y = ke a t (t en hores) calcula k i a. Quant tardarà a arribar a 5 000 bacteris?

π — 2

π 3— π 5— π 2— 3 4 6

π 5— π 4— π 7— 6 4 3

–1

Completa aquests punts perquè pertanyin a la funció y = 2 cos x : (5π/6, …), (4π/3, …), (–π/4, …). Representa-la en l’interval [0, 2π].

163

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells qui reproduïssin, plagiassin, distribuïssin o comunicassin públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.