Operación Mundo: Matemáticas 1. Bacharelato (demo) by Grupo Anaya, S.A.

INCLÚE

PROXECTO DIXITAL C

DEMO

ZA 12 MES

BACHAR E LATO

MATEMÁTICAS I José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

ic ón

r pe

O u

o d n

Índice Os saberes básicos do curso

B reve historia das matemáticas Unidade inicial 0 Resolución de problemas

. . ............ 10

................................. 14

• Análise dalgunhas estratexias Problemas para practicar

BLOQUE I.

4 F órmulas e funcións trigonométricas

Aritmética e álxebra

1 Números reais

....................................................................... 34

1. 2. 3. 4.

Linguaxe matemática. Conxuntos e símbolos Números reais. A recta real Logaritmos Expresión decimal dos reais. Números aproximados 5. Concepto de sucesión 6. Algunhas sucesións especialmente interesantes Exercicios e problemas Autoavaliación

2 Álxebra

.. ..............................................................................................

Polinomios. Factorización Fraccións alxébricas Resolución de ecuacións Resolución de sistemas de ecuacións Inecuacións e sistemas de inecuacións cunha incógnita 6. Inecuacións lineais con dúas incógnitas Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque I

Trigonometría e números complexos

1. Fórmulas trigonométricas 2. Ecuacións trigonométricas 3. Funcións trigonométricas Exercicios e problemas Autoavaliación ................................................. 132

1. En que consisten os números complexos 2. Operacións con números complexos en forma binómica 3. Números complexos en forma polar 4. Operacións con complexos en forma polar 5. Radicación de números complexos 6. Números complexos coa calculadora 7. Descricións gráficas con números complexos Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque II

BLOQUE III.

Xeometría

6V ectores

. . ........................................................................................... 158

1. Os vectores e as súas operacións 2. Coordenadas dun vector 3. Produto escalar de vectores Exercicios e problemas Autoavaliación

BLOQUE II.

1. Razóns trigonométricas dun ángulo agudo (0° a 90°) 2. Razóns trigonométricas de ángulos calquera (0° a 360°) 3. Ángulos fóra do intervalo 0° a 360° 4. Trigonometría con calculadora 5. Relacións entre as razóns trigonométricas dalgúns ángulos 6. Resolución de triángulos rectángulos

. . ............................................................ 114

5 Números complexos

1. 2. 3. 4. 5.

3 Resolución de triángulos

7. Resolución de triángulos oblicuángulos. Estratexia da altura 8. Dous importantes teoremas para resolver triángulos calquera Exercicios e problemas Autoavaliación

7 Xeometría analítica ..............................

.. ..............................................

174

1. Puntos e vectores no plano 2. Ecuacións dunha recta 3. Feixe de rectas 4. Reflexións sobre ecuacións con e sen «parámetros» 5. Paralelismo e perpendicularidade 6. Posicións relativas de dúas rectas 7. Ángulo de dúas rectas 8. Cálculo de distancias Exercicios e problemas Autoavaliación

8 Lugares xeométricos. Cónicas

.... 202

1. Lugares xeométricos 2. Estudo da circunferencia 3. As cónicas como lugares xeométricos 4. Estudo da elipse 5. Estudo da hipérbole 6. Estudo da parábola 7. Tanxentes ás cónicas mediante papiroflexia Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque III

BLOQUE IV.

Análise

9 Funcións elementais

1. Medida do crecemento dunha función 2. Obtención da derivada a partir da expresión analítica 3. Función derivada doutra 4. Regras para obter as derivadas dalgunhas funcións 5. Táboa de derivadas 6. Utilidades da función derivada 7. Optimización de funcións 8. Regra de L’Hôpital 9. Representación de funcións Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque IV

BLOQUE V.

10 L ímites de funcións. 1. 2. 3. 4. 5.

................................................................................. 296

Estatística e probabilidade

....................................... 236

1. As funcións e o seu estudo 2. Dominio de definición 3. Familias de funcións elementais 4. Funcións definidas «a anacos» 5. Transformacións elementais de funcións 6. Composición de funcións 7. Función inversa ou recíproca doutra 8. Funcións arco Exercicios e problemas Autoavaliación

Continuidade e ramas infinitas

11 D erivadas

.. ............................................ 266

Comportamento dunha función no infinito Cálculo de límites de funcións cando x → +∞ Límite dunha función cando x → –∞ Cálculo de límites de funcións cando x → –∞ Comportamento dunha función nun punto. Límites e continuidade 6. Cálculo de límites nun punto 7. Ramas infinitas. Asíntotas 8. Ramas infinitas nas funcións racionais 9. Ramas infinitas nas funcións trigonométricas, exponenciais e logarítmicas Exercicios e problemas Autoavaliación

12 Distribucións bidimensionais

............... 334

1. Distribucións bidimensionais. Nubes de puntos 2. Correlación lineal 3. Parámetros asociados a unha distribución bidimensional 4. Recta de regresión 5. Hai dúas rectas de regresión 6. Táboas de continxencia Exercicios e problemas Autoavaliación

13 Combinatoria e probabilidade

.... 356

1. Diagrama en árbore 2. Variacións e permutacións (importa a orde) 3. Cando non inflúe a orde. Combinacións 4. Factoriais e números combinatorios 5. Cálculo de probabilidades Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque V

Anexo S olucionario

das autoavaliacións

......................................................... 375

8 Lugares xeométricos. Cónicas Que son as cónicas Unha superficie cónica, tal e como se mostra na ilustración da dereita, é unha figura formada por dous conos infinitos opostos polo vértice. Se unha superficie cónica se corta por un plano, pódese obter unha circunferencia, unha elipse, unha parábola ou unha hipérbole, dependendo do ángulo que forme o devandito plano co eixe da superficie cónica. Por iso, estas curvas se chaman cónicas.

➜

anayaeducacion.es Visualiza como se xeran as cónicas.

As cónicas na historia No século iii a. C., o gran xeómetra grego Apolonio de Perga escribiu un libro dedicado ás cónicas. Cun estilo pulido e sistemático, estudou estas curvas de forma exhaustiva. Seguindo o espírito grego, este tratado foi eminentemente especulativo, sen buscar aplicacións prácticas. Cando Apolonio describiu as elipses, parábolas e hipérboles como cónicas, estaba moi lonxe de imaxinar que as devanditas curvas se axustaban aos movementos dos corpos celestes. Durante moitos séculos considerouse que as órbitas dos planetas eran circulares. Foi a comezos do século xvii cando Kepler enunciou as súas importantes leis, unhas das cales asigna órbitas elípticas aos devanditos corpos. Só un século antes, Copérnico acabara coa concepción xeocéntrica do universo, facendo ver que era a Terra a que xiraba arredor do Sol. ➜

202

anayaeducacion.es Biografía de Apolonio de Perga.

Utilidade das cónicas As cónicas son referentes habituais na tecnoloxía actual. Vexamos algúns exemplos: Antenas parabólicas A parábola ten a propiedade de que todas as rectas paralelas ao seu eixe, ao «rebotar» na curva se reflicten pasando polo foco. As antenas parabólicas serven para recoller un feixe de «raios» procedentes do satélite artificial ao que apuntan e concentralos no foco, onde está o detector que recolle a información. Lámpadas elípticas para dentistas Nunha elipse, se un raio sae dun foco, ao reflectirse na curva, pasa polo outro foco. Esta propiedade aplícase para construír lámpadas cuxos raios se concentren todos nun punto. Por exemplo, nas lámpadas dos dentistas, o punto de luz sitúase nun dos focos da elipse (en vermello na figura), os raios luminosos (en verde) reflíctense na pantalla elíptica e encóntranse no outro foco, onde se coloca o obxecto que se quere iluminar (a boca do paciente).

RESOLVE Onde se situará o depósito? Meta 7.2. Quérese instalar un gran depósito de propano para abastecer unha factoría industrial e a dúas urbanizacións. Han de cumprirse as seguintes condicións: convén que o depósito estea o máis preto da factoría, pero por razóns de seguridade, non pode estar a menos de 500 m dun forno que hai nela. Polo tanto haberá de situarse, exactamente, a 500 m do forno, H. Ademais, deséxase que estea á mesma distancia de A que de B. Para resolvelo, levamos os datos a uns eixes cartesianos (1 cuad = 100 m) e supoñemos que os puntos H, A e B sitúanse A onde se indica na gráfica da dereita. • A circunferencia é o conxunto de puntos que están a 500 m do forno. Analiticamente, son puntos (x, y) cuxa distancia a H(13, 15) é 5. Exprésao mediante unha ecuación. • A recta verde é o conxunto de puntos que equidistan de A e de B. Analiticamente, é unha recta que pasa por (6, 3) e ten pendente 2. Escribe a súa ecuación. • O punto P onde habemos de situar o depósito de propano obtense achando a intersección das dúas liñas que acabamos de describir. Resolve o sistema que forman as súas ecuacións para achar as coordenadas de P.

203

Lugares xeométricos Chámase lugar xeométrico a un conxunto de puntos que cumpren certa propiedade. Por exemplo: a) A mediatriz dun segmento AB é o lugar xeométrico dos puntos, X, que equidistan dos seus extremos:

X A

dist(X, A) = dist(X, B) B

b) A bisectriz dun ángulo de lados r1 e r2 é o lugar xeométrico dos puntos, X, que equidistan de r1 e de r2:

dist(X, r1) = dist(X, r2) r1

ATENCIÓN É moi importante que interpretes cada unha destas liñas descritas nos exemplos como un conxunto de puntos que cumpren unha propiedade: a) Se X é un punto da mediatriz, a súa distancia a A é igual que a súa distancia a B. b) Se X é un punto da bisectriz... c) Se X é un punto da circunferencia...

c) Circunferencia de centro O e raio r é o lugar xeométrico dos puntos, X, cuxa distancia a O é r :

dist(X, O) = r

Chamando X (x, y) ao punto xenérico e aplicando analiticamente a propiedade que debe cumprir, obtense a ecuación da figura xeométrica.

Exercicios resoltos

1 Achar a ecuación da mediatriz do segmento de extremos A(–3, 4) e B(1, 0).

Cada punto da mediatriz, X(x, y), equidista dos extremos do segmento AB. Polo tanto, han de cumprir a condición dist(X, A) = dist(X, B). dist (X, A) = (x + 3)2 + ( y – 4)2 dist (X, B) = (x – 1)2 + y 2

4 8 ( x + 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = (x – 1 ) 2 + y 2

Elevamos ao cadrado os dous membros, desenvolvemos os cadrados indicados e simplificamos: x 2 + 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = x 2 – 2x + 1 + y 2 → 8x – 8y + 24 = 0 → → x – y + 3 = 0 → y = x + 3. É, efectivamente, unha recta. Comprobamos que a recta obtida é perpendicular ao segmento AB no seu punto medio: • Pasa por (–1, 2), que é o punto medio do segmento.

Y A (–3, 4)

• A súa pendente, 1, e a pendente do segmento, –1, cumpren que 1 · (–1) = –1. Logo son perpendiculares.

y=x+3

B (1, 0)

Polo tanto, efectivamente, y = x + 3 é a mediatriz de AB. X

FAINO TI. Acha a ecuación da mediatriz do segmento cuxos extremos son A(0, 0)

➜

204

Resolve con GeoGebra.

e B(6, 4).

Exercicios resoltos

2 Achar a ecuación da bisectriz do ángulo formado por r1: 4x + 3y – 5 = 0 r2: 3x + 4y – 2 = 0

Cada punto X(x, y) da bisectriz equidista das rectas que forman o ángulo. Polo tanto, deben cumprir que dist(X, r1) = dist (X, r2): _ 4x + 3y – 5 4x + 3y – 5 b dist (X, r1) = = b 5 4x + 3y – 5 3x + 4y – 2 42 + 32 = ` 8 5 5 3x + 4y – 2 3x + 4y – 2 b = dist (X, r2) = b 2 2 5 3 +4 a Para interpretar esta ecuación, debemos eliminar os valores absolutos. Ao facelo, aparece un dobre signo, pois: |A| = |B| ⇒ A = B ou ben A = –B A = B → 4x + 3y – 5 = 3x + 4y – 2 → x – y – 3 = 0 (L1) A = –B → 4x + 3y – 5 = –(3x + 4y – 2) → x + y – 1 = 0 (L2) L2

O lugar xeométrico buscado está composto polas dúas rectas, (L1) e (L2), perpendiculares entre si e que se cortan en (2, –1), o mesmo punto en que se cortan r1 e r2.

(2, –1) r2 r1

Son as bisectrices dos ángulos formados polas dúas rectas dadas.

FAINO TI. Acha a ecuación da bisectriz do ángulo formado por r1: 5x – 12y = 0 e

r2: 12x + 5y = 0. 3 Achar o lugar xeométrico dos puntos cuxa diferenza de cadrados de distancias a P(4, 2) e a Q(–2, 5) é 15: [dist (X, P)]2 – [dist (X, Q)]2 = 15

Expresamos analiticamente a condición:

a (x – 4) 2 + ( y – 2) 2k – a (x + 2) 2 + ( y – 5) 2k = 15 2

Operamos e simplificamos:

(x 2 – 8x + 16 + y 2 – 4y + 4) – (x 2 + 4x + 4 + y 2 – 10y + 25) = 15 → → –12x + 6y – 9 = 15 → –2x + y = 4 → y = 2x + 4 É unha recta de pendente 2. A pendente do segmento PQ é 5 – 2 = 3 = – 1 . –2 – 4 –6 2 Logo a recta é perpendicular ao segmento, xa que 2 · c– 1 m = –1. 2 Conclusión: O L.X. buscado é unha recta perpendicular ao segmento PQ. FAINO TI. Acha o lugar xeométrico dos puntos cuxa diferenza de cadrados de distan-

cias a P(2, 5) e a Q(4, –1) é 40, é dicir, XP 2 – XQ 2 = 40. Pensa e practica

Acha as ecuacións destes lugares xeométricos: a) Mediatriz do segmento de extremos A(–5, –3), B (7, 1). Comproba que é unha recta perpendicular ao segmento no seu punto medio. b) Circunferencia de centro O (–3, 4) e raio 5. Comproba que pasa pola orixe de coordenadas.

c) Bisectrices dos ángulos formados polas rectas: r1: 5x + y + 3 = 0 r2: x – 2y + 16 = 0 Comproba que as bisectrices son dúas rectas perpendiculares que se cortan no mesmo punto en que se cortan as rectas r1 e r2. 205

Estudo da circunferencia A ecuación dunha circunferencia de centro O(a, b) e raio r é: dist (X, O) = r →

X(x, y)

(x – a) 2 + ( y – b) 2 = r

Para simplificar a expresión, elevamos ao cadrado os dous membros e reordenamos os termos: (x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r 2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r 2 = 0 Observamos que se trata dun polinomio de segundo grao en x e y, tal que os coeficientes de x 2 e y 2 son «1» e que non ten termo en xy: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Que relacións hai entre os coeficientes deste polinomio e os elementos da circunferencia (centro e raio)? Para velas, comparemos esta ecuación coa anterior e igualemos os termos correspondentes: –2a = A → a = – A 2 –2b = B → b = – B 2

Conclusións: • Se dunha circunferencia coñecemos o centro O(a, b) e o raio r, a súa ecuación será: (x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 Agora podemos desenvolver e simplificar esta expresión ou non facelo, segundo conveña. • Se temos unha expresión de segundo grao en x e y do tipo x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 e queremos saber se é unha circunferencia e, en caso afirmativo, obter o seu centro e o seu raio: I. Observamos que os coeficientes de x 2 e y 2 son 1. Se tivesen ambos os dous un mesmo coeficiente distinto de 1, dividiriamos por el todos os termos. II. Observamos que non ten termo en xy. 2

O seu centro é: c– A , – B m e o seu raio é 2 2

O(a, b)

(x – a)2 + ( y – b)2 = r

➜

Ecuación dunha circunferencia con parámetros.

a2 + b 2 – r 2 = C → c A m + c B m – r 2 = C → r 2 = c A m + c B m – C 2 2 2 2

III. Comprobamos que c A m + c B m – C > 0. 2 2 En tal caso, é unha circunferencia.

c Am +cB m –C . 2 2

EXEMPLOS • Ecuación da circunferencia de centro O(5, –3) e raio r = 7: (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 49 • Corresponde a unha circunferencia a ecuación 5x 2 + 5y 2 – 50x + 30y – 75 = 0? I. Os termos x 2 e y 2 teñen o mesmo coeficiente, 5. Dividimos por el: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 II. Non ten termo en xy. 2

III. c– 10 m + c 6 m – (–15) = 49 > 0 2 2 É unha circunferencia. Centro: (5, –3); raio = 49 = 7 Tamén poderiamos ter procedido completando cadrados como ves a continuación: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 → → x 2 – 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = = 15 + 25 + 9 → (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 72 Vemos de novo que o seu centro é (5, –3) e o seu raio 7.

Exercicios resoltos

1 Escribir a ecuación da circunferencia de centro (3, –2) e raio 4.

(x – 3)2 + ( y + 2)2 = 16. Esta xa é a ecuación. Poderiamos simplificala se fose necesario para os nosos fins: x 2 – 6x + 9 + y 2 + 4y + 4 = 16 → x 2 + y 2 – 6x + 4y – 3 = 0 FAINO TI. Escribe a ecuación da circunferencia de centro

(–5, 2) e raio 3.

206

O(3, –2)

Exercicios resoltos

2 Indicar cales das seguintes ecuacións corresponden a circunferencias e, nelas, identificar o centro e o raio. Facelo coas fórmulas e completando cadrados:

a) • Os coeficientes de x 2 e y 2 son 1. Non hai termo en xy. (Ata aquí todo vai ben). 2

Pero c 4 m – 6 = –2 < 0. Polo tanto, non é circunferencia. 2 • Ao completar cadrados, obtemos o seguinte: x2 – 4x + 4 + y2 = –6 + 4 8 (x – 2)2 + y2 = –2

a) x 2 + y 2 – 4x + 6 = 0 b) 3x 2 + 3y 2 – 12x + 6y – 12 = 0 c) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 13 = 0

É imposible que a suma de dous cadrados sexa –2; é dicir, o raio non pode ser negativo, polo tanto, non é unha circunferencia. b) • Empezamos dividindo entre 3: x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0 Agora os coeficientes de x 2 e y 2 son 1 e non hai termo en xy. 2

c 4 m + c 2 m – (– 4) = 9 > 0. Polo tanto, si é circunferencia. 2 2 O seu raio é 9 = 3. O seu centro é c 4 , – 2 m , é dicir, (2, –1). 2 2 2 • Completamos cadrados a partir de x + y2 – 4x + 2y – 4 = 0.

FAINO TI

Que ecuacións corresponden a circunferencias? Obtén o seu centro e o seu raio utilizando a fórmula e completando cadrados. a) 2x 2 + 2y 2 – 8x = 0 b) x 2 – y 2 + 7x – 2 = 0 c) x 2 + y 2 – 3x + 4xy – 16 = 0 d) x 2 + y 2 + 10x – 2y + 40 = 0 e) x 2 + y 2 – 6x – 8y + 25 = 0 f ) x 2 + y 2 – 2x + 4y + 6 = 0 3 Achar o lugar xeométrico dos puntos P tales que a razón de distancias a dous puntos dados, A(0, 0) e B(6, 3), sexa igual a 2. dist (A, P) É dicir, = 2. dist (B, P)

x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 4 + 4 + 1 8 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 É claro que é unha circunferencia de centro C(2, –1) e raio 9 = 3. c) • Os coeficientes de x 2 e y 2 son 1. Non hai termo en xy. 2

c 4 m + c 6 m – 13 = 4 + 9 – 13 = 0. Polo tanto, non é circunferencia. 2 2 •A o completar cadrados, obtemos o seguinte: x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = –13 + 4 + 9 8 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 0 Só o punto (–2, 3) cumpre esa condición. Expresamos analiticamente a condición: x2 + y2 =2 ( x – 6) 2 + ( y – 3) 2

dist (A, P) =2 → dist (B, P) Operamos e simplificamos:

x 2 + y 2 = 4(x 2 – 12x + 36 + y 2 – 6y + 9) → → 3x 2 + 3y 2 – 48x – 24y + 180 = 0 → x 2 + y 2 – 16x – 8y + 60 = 0

➜

Cociente de distancias: unha circunferencia.

Pensa e practica

➜

A ecuación resultante é unha circunferencia de centro (8, 4) e raio 64 + 16 – 60 = 20 . FAINO TI. Repite a actividade con M(0, 6), N(–2, 0) e PM /PN = 3

anayaeducacion.es Cálculo da ecuación da circunferencia.

1 Acha a ecuación da circunferencia de centro (–5, 12) e raio 13. Comproba que pasa polo punto (0, 0).

2 Acha o lugar xeométrico dos puntos do plano cuxa suma de cadrados de distancias aos extremos do segmento AB, A(–3, 0) e B(5, 0), é 50.

207

Estudo da circunferencia

Posicións relativas dunha recta e dunha circunferencia

(a)

Unha recta, s, e unha circunferencia, C, poden ser exteriores (a), tanxentes (b) ou secantes (c e d). Analiticamente pode identificarse a súa posición de dúas maneiras:

C d

I. Resolvendo o sistema formado polas dúas ecuacións, que terá dúas solucións (córtanse), unha (son tanxentes) ou ningunha (son exteriores).

exteriores (c)

II. Comparando o raio, r, coa distancia, d, do seu centro á recta:

(b)

tanxentes (d)

d OC

• Se d > r, son exteriores. • Se d = r, son tanxentes.

• Se d < r, son secantes, e se d = 0, a recta pasa polo centro.

secantes

Exercicio resolto

1 Achar a posición relativa da recta s: y = x e a circunferencia seguinte: x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0

• Resolvendo o sistema formado polas ecuacións da recta e a circunferencia, obtéñense os puntos de corte. (Se o sistema non tivese solución, a recta sería exterior á circunferencia): x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0 4 x 2 + x 2 – 8x + 2x + 1 = 0 → y=x 3 + 7 = 2, 82 6 ± 36 – 8 2 2 → 2x – 6x + 1 = 0 → x = 3 – 7 = 0, 18 4 2 A recta e a circunferencia córtanse nos puntos (0,18; 0,18) e (2,82; 2,82). • Se só nos importa a posición relativa, esta podería descubrirse comparando o raio, r, da circunferencia coa distancia, d, do seu centro á recta. Achamos o centro e o raio:

x2 + y2 – 8x + 2y = –1 8 x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = FAINO TI

= –1 + 16 + 1 8 (x – 4)2 + (y + 1)2 = 16

Acha a posición relativa das rectas

Centro: OC (4, –1) Raio: r = 16 = 4

s2: y = x + 1

dist (OC , s) = d = 4 + 1 = 5 = 3, 5 1+1 2

s3: y = 3 respecto da circunferencia anterior.

Pensa e practica

➜

Posto que r > d, a recta curta á circunferencia en dous puntos.

anayaeducacion.es Estudia a posición relativa dunha recta e unha circunferencia.

3 Estuda a posición relativa da circunferencia x 2

y 2

C : + – 6x – 4y – 12 = 0 respecto das rectas: s1: 3x – 4y – 26 = 0 s2: 5x – 8y + 60 = 0 s3: 3x – 4y – 1 = 0 s4: x = 5 Acha os puntos de corte e de tanxencia, se os houbese.

208

s1: y = x – 1

4 Para que valores de b a recta y = x + b é tanxente á circunferencia x 2 + y 2 = 9? 5 Acha a posición relativa de C : x 2 + y 2 – 6x + 8y = 0 respecto das rectas: s1: x + y = 10 s3: 3x – 4y = 0

s2: 4x + 3y + 20 = 0 s4: y = –2

Potencia dun punto a unha circunferencia Dados un punto P(α, β) e unha circunferencia C de centro O(a, b) e raio r, chamamos d á distancia de P a O: d = dist (O, P ).

Chámase potencia P do punto P á circunferencia C a d 2 – r 2.

O(a, b)

P = d 2 – r 2 = (α – a)2 + (β – b)2 – r 2

d P(α, β)

• Se o punto é exterior á circunferencia (d > r) → P > 0 • Se o punto é da circunferencia (d = r) → P = 0 • Se o punto é interior á circunferencia (d < r) → P < 0 Observando a ecuación de C, (x – a)2 + ( y – b)2 – r 2 = 0, advertimos que P é o resultado de substituír as coordenadas do punto P(α, β) por x e y na devandita ecuación. Exercicio resolto

1 Calcular as potencias do punto P(7, –4) a estas circunferencias: a) Ten centro O(1, 4) e raio 12. b) x2 + y2 – 8x + 3y + 12 = 0

a) P = d 2 – r 2 = OP 2 – r 2 = a (7 – 1) 2 + (– 4 – 4) 2 k – 12 2 = 100 – 144 = – 44 < 0 2

Como P < 0, o punto é interior á circunferencia.

b) P = 72 + (– 4)2 – 8 · 7 + 3 · (– 4) + 12 = 9 > 0 Como P > 0, o punto é exterior á circunferencia.

Eixe radical de dúas circunferencias Chámase eixe radical de dúas circunferencias ao lugar xeométrico dos puntos do plano que teñen a mesma potencia respecto a ambas as dúas. O eixe radical de dúas circunferencias é unha recta perpendicular ao segmento que une os seus centros. Exercicio resolto

1 Achar o eixe radical das circunferencias:

Expresamos analiticamente as potencias dun punto xenérico X (x, y) a ambas as dúas circunferencias e igualámolas:

C1: x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = 0

P(X a C1) = x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 Os puntos que teñen a mesma potencia respecto a

C2: x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1 = 0

P(X a C2) = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

C1 e C2 obtéñense igualando as dúas expresións.

x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

simplificando

7x – 3y + 5 = 0

É, evidentemente, unha recta. Pódese comprobar que é perpendicular á recta que une os centros de C1 e C2 (a súa pendente é –3/7). Pensa e practica

6 Acha a potencia de P(–3, 8) a estas circunferencias: C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0 C2: O(4, –3), r = 20 Di se P é interior ou exterior a C1 e a C2.

7 Acha o eixe radical destas circunferencias: C1: x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0 C2: x 2 + y 2 – 6y = 0 Comproba que é perpendicular á liña dos seus centros.

209

As cónicas como lugares xeométricos Como se debuxa unha elipse Os xardineiros válense do seguinte método para trazar un xardín de forma elíptica: crávanse no chan dúas estacas, átase entre ambas as dúas unha corda suficientemente ampla e procédese como na fotografía. Mentres se traza a curva, a corda debe estar sempre tensa.

Observa como nos valemos desta trama formada por dúas familias de circunferencias concéntricas para representar algunhas elipses. Por exemplo, o vermello: se sumas a distancia dun dos seus puntos a F1 e a F2 obtés 28 unidades. Comproba que esta suma non varía ao cambiar de punto. En ambas as dúas construcións obsérvase que a suma de distancias de cada punto da elipse aos dous puntos fixos é sempre a mesma. Como se debuxa unha hipérbole A mesma trama anterior nos serve para representar hipérboles. Observa, por exemplo, o vermello. Toma un punto dela. Resta as súas distancias a F1 e a F2. Comproba con outro punto que a diferenza é a mesma (18).

OUTRA PARÁBOLA Observa esta outra parábola coa directriz máis afastada do foco.

É dicir, a diferenza de distancias de cada punto da hipérbole aos dous puntos fixos é sempre a mesma.

Como se debuxa unha parábola

Esta outra trama vainos servir para representar parábolas. Observa o vermello. Toma un punto dela e mide as súas distancias a F e a d. Compáraas. Fai o mesmo con outros puntos da mesma curva. Os puntos da parábola equidistan dun punto fixo, F, e dunha recta fixa, d. 210

Definicións Dados dous puntos, F1 e F2, chamados focos, e unha distancia k, chamada «constante da elipse» [k > dist (F1, F2)], chámase elipse ao lugar xeométrico dos puntos P cuxa suma de distancias a F1 e a F2 é igual a k: dist (P, F1) + dist (P, F2) = k Dados dous puntos, F1 e F2, chamados focos, e unha distancia k, chamada «constante da hipérbole» [k < dist (F1, F2)], chámase hipérbole ao lugar xeométrico dos puntos P cuxa diferenza de distancias a F1 e a F2 é, en valor absoluto, igual a k : |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = k

EXEMPLOS As dúas elipses debuxadas na páxina anterior teñen a mesma distancia focal: dist (F1, F2) = 24 • Na vermella, k = 28. • Na azul, k = 42. As tres hipérboles debuxadas na páxina anterior teñen a mesma distancia focal: dist (F1, F2) = 24 • Na azul, k = 22. • Na vermella, k = 18. • Na verde, k = 10.

Dados un punto F, chamado foco, e unha recta, d, chamada directriz, chámase parábola ao lugar xeométrico dos puntos, P, que equidistan de F e de d: dist (P, F ) = dist (P, d ) Mediante estas definicións pódense obter, con toda sinxeleza, as ecuacións destas figuras. Non obstante, dada unha ecuación, é menos doado aprender a recoñecer cal é a figura á que corresponde. Para iso, estudarémolas con máis detalle nos próximos apartados.

➜

anayaeducacion.es Visualiza as cónicas en función das súas ecuacións.

Exercicio resolto

1 Dados os puntos F1(–2, 5), F2(7, –3) e a recta r: x – y – 1 = 0, obter as ecuacións de: a) A elipse de focos F1 e F2 e cuxa constante é 17. b) A hipérbole de focos F1 e F2 e cuxa constante é 6. c) A parábola cuxo foco é F1 e cuxa directriz é r.

a) dist (P, F1) + dist (P, F 2) = 17 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 + (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 17

b) |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = 6 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 – (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 6

c) dist (P, F1) = dist (P, r) →

( x + 2) 2 + ( y – 5 ) 2 =

x – y –1 1+1

FAINO TI. Dados os puntos F1(–3, 0) e F2(1, –2) e a recta r : x + 2y – 5 = 0, obtén

as ecuacións de: a) A elipse de focos F1 e F2 e constante 20. b) A hipérbole de focos F1 e F2 e constante 2. c) A parábola cuxo foco é F1 e cuxa directriz é r.

Pensa e practica

Acha a ecuación da elipse de focos F1(4, 0) e F2(– 4, 0) e cuxa constante é 10. Unha vez posta a ecuación inicial, pasa unha raíz ao segundo membro, eleva ao cadrado (atención co dobre produto!), simplifica, illa a raíz, volve elevar ao cadrado e simplifica ata chegar á ecuación 9x 2 + 25y 2 = 225.

2 Acha a ecuación da hipérbole de focos F1(5, 0) e F2(–5, 0) e cuxa constante é 6. Simplifica como no exercicio anterior ata chegar a expresión 16x 2 – 9y 2 = 144. 3 Acha a ecuación da parábola de foco F(–1, 0) e directriz r : x = 1. Simplifica ata chegar a expresión y 2 = – 4x.

211

Estudo da elipse Elementos característicos

VÉRTICES DA ELIPSE

Temos unha elipse de focos F e F'. Trazamos os seus dous eixes de simetría. Os seus elementos característicos desígnanse así: O

centro da elipse

a = OA = OA'

semieixe maior

b = OB = OB'

semieixe menor

c = OF = OF'

semidistancia focal

Aos puntos A, A', B e B' adóitaselles chamar vértices da elipse.

B a

b A'

A constante, k, da elipse é 2a, pois:

k = AF + AF' = AF + A'F = 2a

Ademais, como B é un punto da elipse:

Observando o triángulo rectángulo BOF, tense que a 2 = b 2 + c 2.

Resumindo: • Constante da elipse: k = 2a

BF + BF' = 2a ⇒ BF = BF' = a

B a

• BF = BF' = a

• OF = OF' = c < a • a 2 = b 2 + c 2

B' ➜

Excentricidade

anayaeducacion.es Cortes das cónicas que forman elipses.

Para un mesmo valor de a, canto maior sexa c máis alongada será a elipse, e canto menor sexa c máis parecerase a unha circunferencia. Para medir ata que punto se diferencia a forma dunha elipse da dunha circunferencia, defínese a súa excentricidade. Chámase excentricidade dunha elipse ao cociente entre a distancia focal e o eixe maior: exc = c a A excentricidade dunha elipse é un número maior que 0 e menor que 1.

ÓRBITAS Os planetas xiran arredor do Sol describindo órbitas elípticas nun de cuxos focos está o Sol (primeira lei de Kepler). Estas órbitas son moi pouco excéntricas. Por exemplo, a excentricidade da órbita da Terra é tan pequena que se a debuxamos a escala nunha folla de papel, parece unha circunferencia. Os cometas tamén describen órbitas elípticas, pero moito máis excéntricas.

planeta

exc = 0,88

exc = 0,61

exc = 0,21

Estas tres elipses teñen o mesmo eixe maior, 2a. Canto máis distan os focos (2c), maior é a súa excentricidade 2c = c . 2a a Pensa e practica

212

Verdadeiro ou falso? Se varias elipses teñen a mesma distancia focal, canto máis grande sexa a constante k = 2a, maior é a excentricidade.

sol cometa

Ecuación reducida da elipse Para simplificar a ecuación da elipse, escollemos os eixes coordenados convenientemente: tomamos o centro da elipse como centro de coordenadas e os seus eixes como eixes de coordenadas. As coordenadas dos focos son F'(–c, 0) e F(c, 0).

Y P (x, y)

Calquera punto P(x, y) da elipse cumpre a condición: F'(–c, 0) O

dist(P, F) + dist(P, F' ) = 2a

F(c, 0)

Esta igualdade, expresada analiticamente, dá lugar á seguinte ecuación: ( x – c) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a Pásase unha raíz ao segundo membro:

PF + PF' = 2a

(x – c) 2 + y 2 = 2a – (x + c) 2 + y 2 Elévanse ao cadrado os dous membros: x 2 – 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 – 4a (x + c) 2 + y 2 → → – 4cx – 4a 2 = – 4a (x + c) 2 + y 2 → cx + a 2 = a (x + c) 2 + y 2 Elévanse ao cadrado os dous membros e opérase: c 2x 2 + a4 + 2ca2x = a 2(x 2 + 2cx + c 2 + y 2) → → c 2x 2 + a2a2 + 2ca2x = a 2x 2 + a22cx + a2c 2 + a2 y 2 Póñense os termos con x2 e y2 no mesmo membro, anúlanse os 2ca2x e agrúpanse termos: (a 2 – c 2)x 2 + a 2y 2 = a 2(a 2 – c 2) Tense en conta que a 2 – c 2 = b 2: b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 Dividindo por a 2b 2 obtense, finalmente: 2 x 2 + y = 1 ecuación reducida da elipse a2 b2

Xoga coa ecuación reducida da

➜

elipse.

Exercicio resolto

1 Achar os elementos característicos e a ecuación reducida da elipse de focos F1(4, 0) e F2(– 4, 0) e constante k = 10.

Semieixe maior:

Ecuación reducida:

k = 10 → 2a = 10 → a = 5 Semidistancia focal:

2 x2 + y =1 25 9

F1 F2 = 8 → 2c = 8 → c = 4

Semieixe menor: b 2 = a 2 – c 2 = 25 – 16 → b = 3 Excentricidade: c/a = 4/5 = 0,8 → exc = 0,8 Pensa e practica

➜

F2(–4, 0)

5 4 F1(4, 0) 5

anayaeducacion.es Representación dunha elipse.

2 Unha elipse ten os seus focos nos puntos F(5, 0) e F'(–5, 0) e a súa constante é k = 26. Acha os seus elementos característicos e a súa ecuación reducida. Represéntaa.

213

Estudo da elipse

Elipse cos focos no eixe Y F(0, 4)

Esta elipse é idéntica á da marxe, pero cos eixes cambiados. Os seus focos están sobre o eixe Y.

F (–4, 0)

A súa ecuación é: 2 x2 + y =1 32 52

F' (0, – 4)

y2 x2 + — — =1 2 32 5

Para poder seguir usando a nomenclatura habitual: eixe maior = 2a

F (4, 0)

excentricidade = c a

eixe menor = 2b

nestes casos en que o denominador de x 2 é menor que o de y 2, poñeremos a ecuación da elipse así: 2 x2 + y =1 b2 a2

ELIPSES CON CENTRO EN (5, 3) 2 ( y – 3) 2 En vermello: (x – 25) + =1 4 22 2 ( y – 3) 2 =1 En azul: (x – 25) + 2 42

Elipse con centro distinto do (0, 0) A ecuación dunha elipse de semieixes a e b (a > b), co seu centro en (α, β) e eixes paralelos aos eixes coordenados é:

(5, 3)

(x – a) 2 ( y – b) 2 (x – a)2 ( y – b)2 + = 1 ou ben + =1 a2 b2 b2 a2 Exercicio resolto

1 Representar as seguintes elipses e achar a súa excentricidade e os seus focos: 2 y2 I. x + =1 16 36 ( x – 3) 2 II. + y2 = 1 25 (x + 2) 2 (y – 1) 2 III. + =1 16 25 IV. x 2 + 4y 2 = 4

c = 6 2 – 4 2 = 20

F (3 – 24, 0)

exc = 20 = 0, 75 6 X

III

c = 52 – 12 = 24

F' (0, – 20)

exc = 24 = 0, 98 5 IV

exc = 3 = 0, 6 5 X

F' (3 + 24, 0)

F (0, 20)

c = 52 – 42 = 3

F (–2, 4) F' (–2, –2)

Y X

x2 + y2 =1 4 c = 22 – 12 = 3 exc = 3 = 0, 87 2 F ( 3, 0) F' (– 3, 0)

Pensa e practica

214

Representa e acha a excentricidade e os focos. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) + =1 b) 9x 2 + 16y 2 = 144 16 4

2 ( y – 7) 2 c) (x – 3) + =1 16 64

d) x 2 + 4( y – 3)2 = 4

Estudo da hipérbole Elementos característicos Temos unha hipérbole de focos F e F'. Trazamos os seus dous eixes de simetría.

Chamamos: O

centro da hipérbole

c = OF = OF'

semidistancia focal

a = OA = OA'

semieixe

r e r'

asíntotas

c a

F' A' O

A constante da hipérbole é 2a, pois:

k = AF' – AF = AF' – A'F' = AA' = 2a No caso da hipérbole, o segmento b represéntase como se fai na figura da marxe. Cúmprese a relación: c 2 = a 2 + b 2 (Atención, agora é c > a) Observamos que as pendentes das asíntotas son: b e – b . a a Para un mesmo valor de a, ao variar c, varía a forma da hipérbole.

c a

exc = 1,41

c b a A F

TEN EN CONTA Se queres debuxar unha hipérbole, empeza trazando as súas asíntotas. Despois, debuxa a curva cinguíndose a elas.

c a

exc = 1,22

exc = 1,10

Ao igual que na elipse, a relación entre c e a chámase excentricidade: excentricidade = c a Pero, así como na elipse a excentricidade é menor que 1, na hipérbole a excentricidade é maior que 1. Resumindo:

➜

anayaeducacion.es Cortes das cónicas que forman hipérboles.

• Constante da hipérbole: k = 2a

• OF = OF' = c > a • c 2 = a 2 + b 2

• Pendentes das asíntotas: b e – b a a c • exc = > 1 a

COMETAS «EXPULSADOS»

c r'

Na igualdade c 2 = a 2 + b 2 dividimos os dous membros por a 2: 2

c 2 = a 2 + b 2 8 c 2 = 1 + b 8 exc 2 = 11++(pendiente ) 22 (pendente) b l cam a a2 a2 a2 Canto maior sexa a pendente, b /a, da asíntota, maior será a excentricidade, c /a, da hipérbole.

Os libros de astronomía cóntannos que, ás veces, un cometa é expulsado do sistema solar por un empuxón de Xúpiter. O cometa levaba unha traxectoria elíptica e, ao pasar preto de Xúpiter, este gran planeta desvía a súa traxectoria converténdoa en hiperbólica. En tal caso, xa non poderá volver. Unha elipse moi excéntrica (exc pouco menor que 1) é moi parecida, en certo tramo, a unha hipérbole moi pouco excéntrica (exc pouco maior que 1). 215

Estudo da hipérbole

Ecuación reducida da hipérbole Para encontrar unha ecuación da hipérbole razoablemente simplificada, ao igual que faciamos coa elipse, escolleremos convenientemente os eixes coordenados tal como se indica na figura da marxe. Dese modo, os focos son: F(c, 0) e F'(–c, 0).

Y P (x, y)

Un punto P(x, y) da hipérbole cumpre a condición seguinte:

F'(–c, 0)

|dist(P, F ) – dist(P, F' )| = 2a

F (c, 0)

Ao suprimir o valor absoluto, hai que considerar a posibilidade do dobre signo: (x – c) 2 + y 2 – (x + c) 2 + y 2 = ± 2a Ao pasar unha raíz ao outro membro, elevar ao cadrado, simplificar, agrupar, elevar de novo ao cadrado, etc., procédese igual que coa elipse e se chega a unha expresión idéntica a aquela: c 2x 2 + a 4 = a 2x 2 + a 2y 2 + a 2c 2 Pero, agora, b 2 = c 2 – a 2. Por tanto, agrupando e substituíndo: (c 2 – a 2)x 2 – a 2y 2 = a 2(c 2 – a 2) → b 2x 2 – a 2y 2 = a 2b 2 Dividindo ambos os dous membros por a2b 2 obtense, finalmente, a ecuación reducida. 2 x 2 – y = 1 ecuación reducida da hipérbole a2 b2

Exercicio resolto

1 Achar os elementos característicos e a ecuación reducida da hipérbole de focos F1(5, 0) e F2(–5, 0) e constante k = 8.

Semieixe: k = 2a = 8 → a = 4 Semidistancia focal: F1 F2 = 10 → c = 5 Cálculo de b: c 2 = a 2 + b 2 → b = 25 – 16 = 3

5 4

Excentricidade: exc = c = 5 = 1,25 a 4

Asíntotas: y = 3 x, y = – 3 x 4 4 2 y2 Ecuación reducida: x – =1 16 9

Pensa e practica

anayaeducacion.es Representación dunha hipérbole.

➜

1 Verdadeiro ou falso?

2 Unha hipérbole ten os seus focos nos puntos: F1(5, 0)

a) A hipérbole III é a máis excéntrica. b) A hipérbole I é a menos excéntrica.

216

III

e F2(–5, 0)

e a súa constante é k = 6. Acha os seus elementos característicos e a súa ecuación reducida. Represéntaa.

Hipérbole cos focos no eixe Y A hipérbole I é idéntica á II , pero cos eixes cambiados. Os seus focos están sobre o eixe Y.

II a

y2 x2 – = 1 corresponde a a2 b2 unha hipérbole con focos F(0, c) e F'(0, –c), sendo c = a 2 + b 2 . As súas asíntotas son y = ± a x . b A súa excentricidade é exc = c . a En xeral, a ecuación

y2 x2 – — — =1 2 3 22

y2 x2 – =1 32 22

Hipérbole con centro distinto do (0, 0)

A ecuación dunha hipérbole de semieixes a e b co seu centro en (α, β) e eixes paralelos aos eixes coordenados é unha das seguintes: a

(α, β)

b (α, β)

(y – β)2 (x – α)2 – — — =1 a2 b2

(y – β)2 (x – α)2 — –—=1 a2 b2

Exercicio resolto

1 Representar as seguintes hipérboles: 2 y2 I. x – =1 16 36 ( x – 3) 2 II. y 2 – =1 25 ( y – 2) 2 (x – 1) 2 – III. =1 16 25 IV. 4y 2 – x 2= 4

III

Pensa e practica

3 Representa. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) – =1 16 4

b) 9x 2 – 16y 2 = 144

( y – 7) 2 ( x – 3 ) 2 – =1 64 16

d) x 2 – 4( y – 3)2 = 4

217

Estudo da hipérbole

Hipérboles equiláteras

2 y2 Se nunha hipérbole de ecuación x 2 – 2 = 1 facemos que a = b, entón pódese a b 2 y2 expresar da forma x 2 – 2 = 1 → x2 – y2 = a2. As súas asíntotas serán entón a b y = ±x, é dicir, son perpendiculares entre si e forman un ángulo de 45° cos eixes.

Como nas hipérboles equiláteras a = b, entón: c2 = a2 + a2 = 2a2 8 c = 2 a. A súa excentricidade é, polo tanto: 2a excentricidade = c = = 2 a a Podemos asegurar que todas as hipérboles equiláteras son semellantes.

Este tipo de curvas son coñecidas como hipérboles equiláteras.

OBSERVA

Hipérboles y = k/x As gráficas das funcións de proporcionalidade inversa, y = k/x, que estudaches en cursos pasados, son hipérboles equiláteras. Represéntanse xiradas con respecto ás do tipo x2 – y2 = a2. Pero, onde se encontran os seus focos? E as súas asíntotas? Cal é o valor dos seus parámetros a, b e c? Vexámolo: ky= k k y =— x — x y =— x

ky= k k y =— x — x y =— x

( k , (k k ) , (k k) , k ) k

ky= k k y =— x — x y =— x

a a F ( a ( 2k, )F ( 2k ) 2k ) 2k, 2k 2k 2k 2k,F 2k c c c a a a

É claro que as asíntotas son os eixes de coordenadas. O vértice da hipérbole y = k/x está en ( k , k ), é dicir, encóntrase a 2k do centro. Polo tanto, como ves no debuxo, os focos son F ( 2k , 2k ) e F'(– 2k , – 2k ) e os seus parámetros son a = b = 2k e c = 4k = 2 k . Exercicio resolto

1 Achar as coordenadas dos focos e a distancia focal de cada unha destas hipérboles equiláteras: a) y = 3 b) y= – 8 x x

a) Os focos son F ( 2 $ 3, 2 $ 3 ) = F ( 6, 6) e F'( – 6, – 6 ). A distancia focal é 4 3 u. b) Os focos están nos cuadrantes 2.° e 4.°. Polo tanto, os focos encóntranse en F(–4, 4) e F'(4, –4). A distancia focal é 8 2 u.

Pensa e practica

4 Calcula a distancia focal e as coordenadas dos focos das seguintes hipérboles equiláteras: a) y = 1 x 218

b) y = – 2 x

c) y = 18 x

d) xy = 1 4

Dadas as funcións de proporcionalidade inversa do exercicio anterior, escribe a ecuación que describe cada unha das gráficas xiradas 45° con respecto á orixe de coordenadas.

Estudo da parábola Elementos característicos

TODAS AS PARÁBOLAS SON SEMELLANTES

Chamamos V: vértice da parábola

A forma dunha cónica queda determinada pola súa excentricidade. Dúas elipses coa mesma excentricidade son semellantes, teñen a mesma forma. Analogamente acontece coas hipérboles. Pois ben, como a excentricidade de todas as parábolas é a mesma, 1, todas elas son semellantes.

p: distancia do foco á directriz Ademais dos elementos xa coñecidos:

F: foco d: directriz

A excentricidade dunha parábola é sempre 1. Ecuación reducida Temos unha parábola de foco F e directriz d.

Tomamos como eixe X a recta que pasa por F e é perpendicular a d. O centro de coordenadas situámolo no punto medio entre F e d.

P (x, y)

Segundo isto, e tendo en conta que chamamos p á distancia entre F e d, temos que: p p F c , 0m e d: x = – 2 2

( )

p 0 F —, 2

p x = –— 2

Un punto P(x, y) da parábola cumpre a condición: dist (P, F ) = dist (P, d ) Esta igualdade, expresada analiticamente, dá lugar á ecuación: 2 2 2 cx – p m + y 2 = x + p → x 2 + p – px + y 2 = x 2 + p + px 2 2 4 4

y 2 = 2px

ecuación reducida da parábola

OBSERVA As parábolas non teñen asíntotas.

Parábolas con vértice distinto de (0, 0) Como viches, a ecuación dunha parábola cuxo vértice está en (0, 0) é y2 = 2px. Unha parábola co vértice en V(a, b) ten por ecuación: (y – b)2 = 2p(x – a) Por exemplo, a parábola con p = 3 e vértice (3, –2) é (y + 2)2 = 6(x – 3).

➜

anayaeducacion.es Cortes das cónicas que forman parábolas.

Exercicio resolto

1 Achar a ecuación reducida das seguintes parábolas: a) Foco F(2, 0) e directriz x = –2. b) Igual que a anterior, pero co vértice no punto (3, –1).

Pensa e practica

➜

a) Distancia do foco á directriz: p = 4 Ecuación reducida:

= 8x 2

b) Ecuación reducida: (y + 1)2 = 8(x – 3) a

2 1

anayaeducacion.es Calcula a ecuación reducida dunha parábola.

1 Acha a ecuación reducida da parábola de foco F(1,5; 0) e directriz x = –1,5.

2 Acha a ecuación reducida dunha parábola como a do exercicio 1 pero co vértice en (–2, 3).

219

Estudo da parábola

Cálculo do foco e da directriz dunha parábola con eixe paralelo ao eixe Y p Como vimos na páxina anterior, o foco da parábola y2 = 2px é F c , 0m e a súa 2 p directriz, d: x = – . 2 Se na ecuación y2 = 2px cambiamos a x pola y, obtemos x2 = 2py. Trátase da mesma parábola xirada 90° con respecto á orixe de coordenadas. p p Polo tanto, o seu foco é F c0, m e a súa directriz, d: y = – . 2 2

y = k x2

x = k y2

Pero, como achar o foco e a directriz dunha parábola de ecuación y = kx2? Para iso, expresámola así: x2= 1 y e comparámola con x2 = 2py. Desta forma, relak cionamos k con p, así achamos o foco e a directriz en función de k. 1 = 2p 8 p = 1 8 p = 1 k 2k 2 4k

y 2 = 2px

y 2 = –2px

x 2 = 2py

x 2 = –2py

Na parábola y = kx2, con k > 0, o foco é F c0, 1 m e a directriz, d: y = – 1 . 4k 4k Por exemplo: • Na parábola y = x2, o foco é F c0, 1 m e a directriz, d: y = – 1 . 4 4 1 • En y = – 1 x2, o foco é F c0, – 1 m e a directriz, d: y = . 2 2 2 Exercicios resoltos

1 Achar as coordenadas do foco e a ecuación da directriz das seguintes parábolas: a) y = 2x2 b) y= – 1 x2 4 Debuxar cada unha sobre uns eixes coordenados.

1 a) O foco é: F c0, 8 m

A directriz, d: y = – 1 . 8 1 F

b) Como a parábola está «aberta cara abaixo», o foco e a directriz cambian de lado. O foco é F(0, –1) e a directriz, d: y = 1.

0,5

F 1

2 Calcular o foco e a directriz da parábola de ecuación: y = 1 x 2 – 2 x + 11 6 3 3

O vértice da parábola é V(2, 3). Na parábola y =

1 2 x o foco é F c0, 3 m e a directriz, d: y = – 3 . 6 2 2

Como V(2, 3), o foco é F c2, 3 + 3 m = F c2, 9 m e a directriz, d: y = 3 – 3 = 3 2 2 2 2

Pensa e practica

3 Acha as coordenadas do foco e a ecuación da directriz das seguintes parábolas: a)

220

y = 4x2

1 b) y = x2 2

c) y = – 1 x2 8

d) y = –0,1x2

4 Debuxa as parábolas do exercicio anterior e os seus elementos. 5 Calcula o foco e a directriz desta parábola: y = – 1 x2 + x – 1 2 10

Tanxentes ás cónicas mediante papiroflexia Tanxentes a unha elipse A seguinte actividade é moi interesante. Debuxa unha circunferencia de centro C e raio r e, no seu interior, un punto P distinto do centro. Dobra o papel de modo que se faga pasar a circunferencia polo punto P. Volve facelo máis de doce veces. Se, como na ilustración, vas percorrendo todas as partes da circunferencia, verás que as liñas das dobras envolven unha fermosa elipse cuxos focos son P e C.

t Q

P F'

Cada unha das dobreces é unha tanxente á elipse, e a constante da elipse (suma das distancias de cada punto aos focos) é o raio, r, da circunferencia.

A tanxente en cada punto, Q, é a bisectriz exterior dos segmentos QF e QF'.

Tanxentes a unha hipérbole

Se se repite a actividade descrita máis arriba poñendo o punto P exterior á circunferencia, obtense unha hipérbole como curva tanxente ás dobreces. Tamén aquí o raio da circunferencia é a constante da hipérbole: diferenza de distancias aos focos (P e C ).

t Q F

A tanxente a unha hipérbole nun punto é a bisectriz interior dos raios vectores que parten dese punto.

Tanxentes a unha parábola Se sobre un papel trazas unha recta d e un punto F, e dobras o papel facendo coincidir o punto F cun punto da recta, as dobreces r son tanxentes a unha parábola de foco F e directriz d.

Observa agora os debuxos da marxe. As rectas paralelas ao eixe (perpendiculares a d ) «reflíctense» na parábola e pasan polo punto F. E viceversa, unha recta que sae de F, «reflíctese» na parábola e sae paralela ao eixe.

Esta propiedade utilízase moitísimo: faros de coches, fornos parabólicos, antenas parabólicas...

Antena parabólica

Faro de coche

Faro dun coche.

Forno solar en Font Romeu, Francia. 221

Exercicios e problemas resoltos 1. Determinación dunha circunferencia coñecidos tres puntos polos que pasa Obter o centro, o raio e a ecuación da circunferencia que pasa polos puntos P(0, 0), Q(10, 0) e R(18, 12).

Análise do problema. Como o centro da circunferencia, O, equidista dos tres puntos, pertence ás mediatrices dos segmentos PQ e PR e pode ser achado como a intersección das devanditas mediatrices. É dicir, hai que encontrar o circuncentro do triángulo PQR. • Achamos as mediatrices de PQ e PR, respectivamente mPQ e mPR .

P 2

A recta mPQ pasa polo punto medio de PQ, MPQ = (5, 0), e é perpendicular a PQ = (10, 0), é dicir, paralela ao eixe Y. Polo tanto, mPQ: x = 5.

A recta mPR pasa polo punto medio de PR, MPR = (9, 6), e é perpendicular a PR = (18, 12) (3, 2). Polo tanto: mPR : 3(x – 9) + 2(y – 6) = 0 → mPR: 3x + 2y – 39 = 0

Calculamos o centro O como a intersección destas mediatrices: x =5 4 x = 5, y = 12 → O (5, 12) 3x + 2y – 39 = 0 • Obtemos o raio como a distancia de O a calquera dos puntos dados: r = dist (O, P ) = (5 – 0) 2 + (12 – 0) 2 = 169 = 13 • A ecuación da circunferencia é: (x – 5)2 + ( y – 12)2 = 169 Outro método de resolución A ecuación reducida dunha circunferencia é: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

FAINO TI

Obtén o centro, o raio e a ecuación da circunferencia que pasa por P(–1, 3), Q(2, –2) e R(3, 0).

Como P, Q e R pertencen á circunferencia, cumpren a súa ecuación: _ Z 0 2 + 0 2 + 0 · A + 0 · B + C = 0b ]C = 0 2 2 10 + 0 + 10A + 0 · B + C = 0` → [10 2 + 10A = 0 8 A = –10 b ] 2 18 2 + 12 2 + 18A + 12B + C = 0 18 + 12 2 + 18A + 12B = 0 8 B = –24 a \ A ecuación da circunferencia é: x 2 + y 2 – 10x – 24y = 0 Centro: O c –A , –B m = (5, 12). 2 2

Raio: r = c A m + c B m – C = 5 2 + 12 2 = 13 2 2

2. Circunferencia que pasa por un punto e cuxo centro está sobre unha determinada recta Achar analiticamente a ecuación da circunferencia de raio 17 que pasa por (4, –1) e cuxo centro pertence á recta: 1 1 y= x+ 2 2 Y

(4, –1)

FAINO TI

Obtén a ecuación da circunferencia de raio 40 que pasa por P(2, 11) e cuxo centro pertence á recta de ecuación x – 3y + 11 = 0.

222

Análise do problema. Debemos achar a ecuación dunha circunferencia da que xa coñecemos o raio. Sabemos que o seu centro está nunha recta. Trazamos unha circunferencia de centro (4, –1) e raio 17 . A intersección desta circunferencia coa recta é o centro que buscamos. Ecuación da circunferencia de centro (4, –1) e raio 17 é: (x – 4)2 + (y + 1)2 = 17 1 1 Vexamos os puntos de corte da circunferencia e a recta y = x + : 2 2 Z 1 3 1 1 1 ]]x 1 = 8 y 1 = $ + = (x – 4) 2 + (y + 1) 2 = 17 5 2 5 2 5 8 [ * y= 1x+ 1 ]x 2 = 5 8 y 2 = 1 $ 5 + 1 = 3 2 2 2 2 \ 1 3 Encontramos dous puntos, c , m e (5, 3), que son os centros das dúas circunferencias, 5 5 C1 e C2, que cumpren as condicións: 3 2 1 2 C1: cx – m + c y – m = 17 5 5

C2: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 17

3. Descrición dunha cónica a partir da súa ecuación Describir as seguintes cónicas, obter os seus elementos e debuxalas: a)

x 2 + y 2 –

x2 +

y 2 –

2y –

y 2 –

2y – 4x – 11 = 0

2x + 4y + 2 = 0

4y 2 –

8y = 0

x2 =

a) Trátase dunha circunferencia porque os coeficientes de x 2 e y 2 son 1. Operamos na ecuación ata obtela na forma (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. Y

Completamos cadrados: (x 2

– 2x + 1) +

( y 2

+ 4y + 4) + 2 – 5 = 0 →

→ (x – 1)2 + ( y + 2)2 = 3 Circunferencia de centro O(1, –2) e raio r = 3. b) Os coeficientes de x 2 e y 2 son distintos, pero do mesmo signo; é unha elipse. (x – x 0) 2 ( y – y 0) 2 Operamos na ecuación ata obtela na forma + = 1. a2 b2 Completamos cadrados: x 2 + (4y 2 – 8y + 4) – 4 = 0 → x 2 + (4y 2 – 8y + 4) = 4 → 2 2 ( 4 y 2 – 8 y + 4) 4 → x + = 8 x + ( y – 1)2 = 1 4 4 4 4 É unha elipse de centro O(0, 1) e eixe maior paralelo ao eixe X. Semieixes: a = 2, b = 1 Semidistancia focal: c 2 = a 2 – b 2 = 4 – 1 = 3 → c = 3

1 Excentricidade: exc = c = 3 a 2 c) É unha hipérbole porque os coeficientes de x 2 e y 2 teñen distinto signo. ( y – y 0 ) 2 ( x – x 0) 2 – Operamos na ecuación ata obtela na forma = 1. b2 a2 Completamos cadrados:

y 2 – 2y – x 2 = 0 → ( y 2 – 2y + 1) – x 2 – 1 = 0 → ( y – 1)2 – x 2 = 1 Trátase dunha hipérbole equilátera (é dicir, a = b) de centro O(x0, y0) = (0, 1) e focos no eixe Y. Semieixes: a = 1, b = 1 c 2

FAINO TI

Describe as seguintes cónicas, obtén os seus elementos e debúxaas: a) x 2 – 2y + 2 = 0 b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0 c)

x 2 +

9y 2

– 2x – 8 = 0

d) x 2 + y 2 + 4x + 6y + 9 = 0

b 2

Semidistancia focal: = + = + =2 → c= 2 2 Asíntotas: y = ± a (x – x 0) + y 0 → y = x + 1 e y = –x + 1 b X 2 c = 2 Excentricidade: exc = = a 1 d) Ao ter termo en y 2 e non en x 2 é unha parábola con eixe horizontal. Ademais, O(0, 0) non cumpre a ecuación da parábola; polo tanto, o seu vértice V(x0, y0), non está situado na orixe de coordenadas. A ecuación dunha parábola deste tipo é p p (y – y0)2 = 2p(x – x0), sendo o foco F cx 0 + , y 0m e a directriz x = x 0 – . Opera2 2 mos ata ter a ecuación inicial desta forma. Completamos cadrados:

( y 2 – 2y + 1) – 4x – 11 – 1 = 0 → ( y – 1)2 = 4x + 12 → → ( y – 1)2 = 2 · 2(x + 3)

p Vértice: V(x0, y0) = (–3, 1) Foco: F cx 0 + , y 0m = (–2, 1) 2 p Directriz: x = x0 – → x = – 4 2

223

Exercicios e problemas resoltos 4. Ecuación dunha elipse non centrada na orixe Obter a ecuación da elipse de focos F'(–1, 1) e F(5, 1) e cuxa excentricidade é exc = 3 . 5

FAINO TI

Obtén a ecuación da elipse de focos F' (3, –2) e F(3, 6) e cuxa excentricidade é exc = 4 . 5

Achamos o centro da elipse como o punto medio dos focos:

O = MF'F = c –1 + 5 , 1 + 1 m = (2, 1). A elipse non está centrada en (0, 0). 2 2 ( x – 2) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 A ecuación da elipse ha de ter a forma: a2 b2 Para determinar os semieixes utilizaremos a distancia focal e a excentricidade: dist(F', F ) = 6 = 2c → c = 3; exc = c 8 3 = 3 8 a = 5 5 a a 2 2 2 2 2 b = a – c 8 b = a – c = 25 – 9 = 16 = 4 A ecuación requirida é:

(x – 2) 2 ( y – 1) 2 + =1 25 16

5. Ecuación dunha hipérbole non centrada na orixe a partir da súa representación gráfica Calcular as ecuacións das hipérboles vermella e azul representadas a continuación: Y

O centro é o punto de intersección de ambas as dúas asíntotas: C (2, 1) ( x – 2 ) 2 – ( y – 1) 2 = 1 Hipérbole vermella. A liña dos focos é paralela ao eixe X: a2 b2 Como a = 2 e as pendentes das asíntotas son m = ±3/4, entón: 2 b = 3 8 b = 3 . Polo tanto, a ecuación buscada é: (x – 2) 2 – ( y – 1) = 1 2 4 2 4 9/4 ( y – 2) 2 ( x – 1) 2 – =1 a2 b2 Como as asíntotas son iguais, a e b seguen valendo o mesmo, a ecuación é: (y – 2) 2 ( x – 1) 2 – =1 4 9/4 Hipérbole azul. Como a liña dos focos é paralela ao eixe Y:

6. Elementos dunha parábola de eixe vertical a partir da súa representación gráfica Calcular o foco e a directriz desta parábola: Y

(–2, 3)

(2, 1) X

A ecuación xeral dunha parábola de eixe vertical é: y = ax2 + bx + c –b 8 2 = –b A abscisa do vértice da parábola é: Vx = 8 4a + b = 0 2a 2a Como (2, 1) pertence á parábola: 1 = a · 22 + b · 2 + c 8 4a + 2b + c = 1 Como (–2, 3) tamén pertence: 3 = a · (–2)2 + b · (–2) + c 8 4a – 2b + c = 3

FAINO TI

Calcula o foco e a directriz desta parábola. (–3, 2)

Y 1 X

(1, –6)

224

Análise do problema. A partir do vértice e doutro punto da parábola calculamos a súa ecuación. Co coeficiente da x2 podemos calcular o foco e a directriz dunha parábola igual a esta centrada na orixe. Calculamos o foco e a directriz real trasladándoos co vector posición do vértice.

Obtemos os coeficientes a, b e c con este sistema de ecuacións: Z ]]4a + b = 0 2 [4a + 2b + c = 1 8 a = 1 ; b = – 1 ; c = 3 8 y = x – x + 3 2 2 2 8 2 8 ]4a – 2b + c = 3 \ Achamos o foco e a directriz: 1 = 1 8 p = 4 8 2p p p Parábola con vértice en (0, 0): F c0, m 8 F(0, 2); d : y = – 8 d: y = –2 2 2 Parábola con vértice en (2, 1): F (2, 3); d: y = –1

7. Centro radical de tres circunferencias Calcula un punto que teña a mesma potencia respecto destas tres circunferencias. C1: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0 C2:

+ 10y = 0

C3: x2 + y2 – 12x + 11 = 0 O devandito punto chámase centro radical das tres circunferencias.

Análise do problema. Para achar o centro radical, R, hai que obter dous dos eixes radicais e determinar o seu punto de corte. Eixe radical de C1 e C2: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = x2 + y2 + 10y 8 6x + 16y – 9 = 0 Eixe radical de C2 e C3: x2 + y2 + 10y = x2 + y2 – 12x + 11 8 12x + 10y – 11 = 0 Punto de corte dos dous eixes radicais:

6x + 16y – 9 = 0 7 43 7 43 8 y= 8 x= 8 Rc , m 22 66 22 66 12x + 10y – 11 = 0

FAINO TI. Acha o centro radical destas tres circunferencias:

C1: x2 + y2 – 6x + 6y – 14 = 0 C2: x2 + y2 – 10y – 8y + 37 = 0 C3: x2 + y2 – 8x + 7 = 0 8. Ecuación dunha párabola con vértice distinto de (0, 0) dados o foco e a directriz Calcular a ecuación da parábola, cuxo eixe é paralelo ao eixe X de foco F(3, 5) e directriz x = –1. FAINO TI

Acha a ecuación da parábola de eixe horizontal cuxo foco é F(4, –3) e cuxa directriz é x = 2.

Se o foco dunha parábola é F(3, 5) e a súa directriz é x = –1, a distancia do foco á directriz é p = 3 – (–1) = 4. Polo tanto, o vértice encóntrase á mesma distancia do foco e da directriz. É dicir: 3 –1,5 Vc m = V(1, 5) 2 Como a ecuación dunha parábola cuxo vértice está en (0, 0) é y2 = 2px, a ecuación da parábola buscada será: (y – 5)2 = 8(x – 1)

9. Cálculo da recta tanxente a unha parábola nun punto Achar a recta tanxente á parábola y 2 = 8x no punto A(8, 8). Y

8 X

Análise do problema. Como a recta tanxente non é paralela ao eixe Y e pasa por A(8, 8), ten que ser da forma y = m(x – 8) + 8. Para achar a pendente, utilizaremos o feito de que unha recta tanxente á parábola ten que ter un único punto en común con ela, A. É dicir, o sistema que forman as súas ecuacións debe ter solución única. y = m ( x – 8) + 8 4 → [m(x – 8) + 8]2 = 8x y 2 = 8x Desenvolvendo e operando, obtemos: m2x 2 + (–16m2 + 16m – 8)x + 64m2 – 128m + 64 = 0 Para que esta ecuación de 2.º grao teña solución única, o seu discriminante debe ser 0. (–16m2 + 16m – 8)2 – 4m2(64m2 – 128m + 64) = 0 → → 256m4 – 512m3 + 512m2 – 256m + 64 – 256m4 + 512m3 – 256m2 = 0 → → 256m2 – 256m + 64 = 0 → 4m2 – 4m + 1 = 0 → (2m – 1)2 = 0 → m = 1/2 A recta tanxente buscada é r : y = 1 (x – 8) + 8 → r : x – 2y + 8 = 0 2 FAINO TI. Resolve este exercicio para a parábola y 2 = – 4x e o punto A(– 4, 4). 225

Exercicios e problemas guiados 1. Cálculo dos elementos dunha elipse Calcular a distancia focal, o semieixe menor e a excentricidade desta elipse: 2 cm

• Acha o semieixe maior e, a partir desa medida e da distancia do foco ao extremo esquerdo, calcula a semidistancia focal. • Cos datos que tes, polo teorema de Pitágoras, xa podes calcular o semieixe menor.

50 cm

• Acha, a partir dos datos calculados, a excentricidade da elipse. Solución:

distancia focal = 48 cm; semieixe menor = 10 cm; excentricidade = 12/13 = 0,92 2. Circunferencia inscrita nun triángulo Achar a ecuación da circunferencia inscrita no triángulo de lados a, b e c, sendo: a: y = 0 b: 3x – 4y = 0 c: 4x + 3y – 50 = 0

• Acha a bisectriz do ángulo que definen a e b. Obtena como o lugar xeométrico dos puntos P(x, y) que equidistan de ambos os dous lados: dist(P, a) = dist(P, b). Expresa en coordenadas esta condición e resolve a ecuación resultante. Os valores absolutos darán lugar a dúas ecuacións distintas, correspondentes ás dúas bisectrices destas rectas. Axúdate dunha representación gráfica para distinguir cal é a que corresponde ao ángulo interior do triángulo.

Y b

O(x0, y0)

r 1

Análise do problema. Unha circunferencia queda determinada polo seu centro e o seu raio. O centro da circunferencia inscrita nun triángulo é o incentro; é dicir, o punto de corte das bisectrices dos ángulos interiores dese triángulo. O raio, ao ser a circunferencia tanxente aos lados do triángulo, pode ser calculado como a distancia do centro a calquera destes lados.

• De forma análoga, calcula a bisectriz correspondente aos lados a e c. • Calcula o incentro O(x0, y0) como o punto de corte de ambas as dúas bisectrices, resolvendo o sistema que forman as súas ecuacións. • Obtén o raio da circunferencia como a distancia de O a calquera dos lados do triángulo. Observa que se calculas a distancia ao lado a, os cálculos son máis simples: r = dist(O, a). • A ecuación da circunferencia é: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. Ao aparecer denominadores nas coordenadas do centro e no raio, pode ser conveniente desenvolver a expresión obtida para simplificala. 2 2 SOLUCIÓN: 4x + 4y – 60x – 20y + 225 = 0

3. Rectas tanxente e normal a unha circunferencia nun punto Sexan r e s, respectivamente, as rectas tanxente e normal a unha circunferencia nun punto P. r: x + y – 7 = 0

s: x – y – 9 = 0

Calcular a ecuación da circunferencia sabendo que o seu raio é r = 2 2 .

• O punto da circunferencia, P, onde r é tanxente pódese achar como o punto de intersección de r e s resolvendo o sistema que forman as súas ecuacións. • Para achar o centro da circunferencia O(x0, y0), ten en conta que debe cumprir estas dúas condicións: O ∈ s e dist (P, O) = 2 2. Expresa analiticamente estas condicións e resolve o sistema que forman ambas as dúas ecuacións. Obterás dúas solucións, O e O'. Y • Acha as expresións das circunferencias solución mediante a ecuación: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2 SOLUCIÓN:

(x – 6)2 + ( y + 3)2 = 8; (x – 10)2 + ( y – 1)2 = 8

226 226

O' 1

P O

Exercicios e problemas propostos Para practicar Lugares xeométricos

1 Acha, en cada caso, a mediatriz do segmento AB. a) A(5, –1) B(–3, 1) b) A(3, 6) B(–1, 6) Comproba que é unha recta perpendicular a AB. 2 Acha o lugar xeométrico dos puntos P(x, y) cuxa diferenza de cadrados de distancias aos puntos A(0, 0) e B(6, 3) é 15. Que figura obtés? 3 Acha o lugar xeométrico dos puntos cuxa distancia á recta 4x – 3y + 11 = 0 é 6. 4 Acha o lugar xeométrico dos puntos que equidistan das rectas r e s. Interpreta o resultado. r : 3x – 5y + 11 = 0 s : 3x – 5y + 3 = 0 5 Acha as ecuacións das bisectrices dos ángulos que forman as rectas r e s: r : 4x – 3y + 8 = 0 s : 12x + 5y – 7 = 0 6 Calcula o lugar xeométrico dos puntos cuxa distancia a P(1, 0) sexa a metade da distancia á recta x = 4. Que figura obtés? Circunferencias

7 Acha, en cada caso, o lugar xeométrico dos puntos do plano cuxa distancia ao punto A é d. a) A(0, 5) e d = 2 b) A(0, 0) e d = 1 c) A(–2, 0) e d = 1 2

d) A(–1, –5) e d = 3 5

8 Acha o lugar xeométrico dos puntos cuxo cociente de distancias aos puntos A(0, 6) e B(0, 3) é 2, é dicir: dist (P, A) =2 dist (P, B) 9 Dá, en cada caso, a ecuación da circunferencia que ten centro C e raio r. a) C(0, 0) e r = 1 b) C(2, –3) e r = 2 c) C(–1, 0) e r = 2 3

d) C(0, 3) e r = 5 4

10 Descobre cales das seguintes expresións corresponden a circunferencias e, nelas, acha o seu centro e o seu raio: a) x 2 + y 2 – 8x + 2y + 10 = 0 b) x 2 – y 2 + 2x + 3y – 5 = 0 c) x 2 + y 2 + xy – x + 4y – 8 = 0 d) 2x 2 + 2y 2 – 16x + 24 = 0

11 Escribe a ecuación da circunferencia que pasa por c0, – 1 m 3 e ten centro en c 1 , – 1 m . 2 3 12 Acha a ecuación da circunferencia que ten o seu centro no punto C(0, –5) e cuxo diámetro é igual a 10. 13 Escribe a ecuación da circunferencia que pasa por A(1, –2) e por B(2, –1) e ten raio 1. 14 Un dos diámetros dunha circunferencia ten por extremos A(3, –2) e B(7, 0). Acha a ecuación da circunferencia. 15 Determina a ecuación da circunferencia que pasa por A(2, – 4), B(8, –10) e C(4, –8). * Mira o exercicio resolto 1. 16 Dá a ecuación da circunferencia que ten por centro o punto (2, –5) e é tanxente ao eixe de abscisas. 17 Obtén a ecuación da circunferencia cuxo centro está no punto (3, – 4) e que é tanxente ao eixe de ordenadas. 18 Determina a ecuación da circunferencia que ten o seu centro na orixe de coordenadas e é tanxente á recta x + y – 3 = 0. 19 Determina as rectas tanxente e normal á circunferencia (x + 4)2 + ( y + 2)2 = 13 no punto A(–2, 1). Posicións relativas de rectas e circunferencias

20 Calcula a distancia do centro da circunferencia x 2 + y 2 – 2y – 1 = 0 á recta r : 2x – y + 3 = 0. Cal é a posición de r respecto á circunferencia? 21 Estuda a posición relativa da circunferencia de ecuación x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 respecto das seguintes rectas: r1: x + y – 1 = 0 r2: 3x – 4y + 9 = 0 22

Estuda a posición relativa da circunferencia de ecuación (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4 respecto a cada unha das seguintes rectas: r1: x – 2 = 0 r2: y = 0 r3: y = 2x + 1

23 Utiliza, en cada caso, os dous métodos seguintes: a) Resolvendo os sistemas de ecuacións formados pola circunferencia e cada recta. b) Comparando a medida do raio coa distancia de cada recta ao centro da circunferencia. 24 Estuda a posición relativa da recta y = x + b e a circunferencia x 2 + y 2 = 1 en función do parámetro b. 25 Determina a posición relativa da recta y = 2x – 3 e a circunferencia x2 + y2 = a en función do valor do parámetro a. 227 227

Exercicios e problemas propostos Potencia dun punto a unha circunferencia

26 Determina a potencia dos puntos P(5, 2), Q(2, 1) e R(–1, 0) á circunferencia: C: x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 Utilízao para estudar a posición relativa de P, Q e R respecto de C. 27 Acha e representa o eixe radical dos seguintes pares de circunferencias: a) x 2 + y 2 = 4 e x 2 + ( y – 1)2 = 9 b) (x – 3)2 + y 2 = 5 e (x – 7)2 + y 2 = 9 c) x 2 + ( y – 3)2 = 2 e (x – 5)2 + y 2 = 1 28 Calcula o centro radical destas tres circunferencias: C1: x2 + y2 – 4x + 6y = 0 C2: x2 + y2– 1 = 0 C3: x2 + y2 + 6x + 5 = 0 * Mira o exercicio resolto 7.

37 Acha os vértices, os focos e a excentricidade destas elipses non centradas na orixe de coordenadas. Represéntaas: 2 ( y + 3) 2 =1 a) x + 25 9

(x – 1) 2 ( y + 2) 2 + =1 9 16

38 Indica a ecuación destas elipses e calcula a súa excentricidade: Y Y a) b)

Elipses

29 Acha a ecuación do lugar xeométrico dos puntos cuxa suma de distancias a P(– 4, 0) e Q(4, 0) é 10. 30 Dunha elipse coñecemos os seus focos F(0, 1) e F' (0, –1) e a súa constante k = 4. Determina a súa ecuación. 31 Acha a ecuación da elipse de focos (–2, 0) e (2, 0) sabendo que a lonxitude do seu eixe maior é 10. 32 Escribe a ecuación da elipse cuxos focos son F(–3, 0) e F' (3, 0) e cuxa excentricidade é igual a 0,5. 33 Dá a ecuación da elipse que pasa por (3, 1) e ten por focos (4, 0) e (– 4, 0). 34 Dunha elipse, centrada en (0, 0), sábese que o seu eixe maior, que é igual a 10, está sobre o eixe X. Ademais, pasa polo punto (3, 3). Obtén a súa ecuación. 35 Determina, en cada caso, a ecuación da elipse, centrada en (0, 0), que ten estas características: a) A súa excentricidade é 1/2 e o seu eixe maior está sobre o eixe Y e é igual a 2. b) Os seus vértices son (–2, 0), (2, 0), (0 – 4) e (0, 4). 36 Acha os vértices, os focos e a excentricidade das seguintes elipses dadas polas súas ecuacións. Represéntaas: 2 y2 a) x + =1 100 36

c) 228

9x 2

25y 2

= 25

2 y2 b) x + =1 64 100

d) 9x 2

4y 2

Hipérboles

39 Acha o lugar xeométrico dos puntos cuxa diferenza de distancias a F'(– 4, 0) e F (4, 0) é 6. 40 Acha a ecuación da hipérbole de focos (– 4, 0) e (4, 0) e distancia entre vértices, 4. 41 Obtén a ecuación da hipérbole cuxas asíntotas son y = ± 1 x e un dos seus vértices é (2, 0). 5 42 Dunha hipérbole sabemos que pasa polo punto `8, 5 3j e os seus focos son (–3, 0) e (3, 0). Calcula a súa ecuación. 43 Acha a ecuación da hipérbole de focos (–3, 0) e (3, 0) e asíntotas y = ± 2 5 x . 5 44 Acha os vértices, os focos, as excentricidades e as asíntotas das hipérboles dadas por estas ecuacións. Debúxaas: 2 y2 a) x – =1 100 36

2 b) 9x – y 2 = 1 16

c) x 2 – 4y 2 = 1

d) x 2 – 4y 2 = 4

y2 x2 – =1 4 36

f ) y 2 – 16x 2 = 16

g) 9x 2 – 4y 2 = 36

h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0

2 ( y – 1) 2 i) x – =1 36 64

(y – 1) 2 (x – 1) 2 – =1 16 9

45 Indica a ecuación de cada unha das seguintes hipérboles e calcula a súa excentricidade. a) b) Y Y X

46 Acha as coordenadas dos focos e a distancia focal destas hipérboles equiláteras: b) y = – 3 x

a) y = 1 4x

c) y = 12 x

Parábolas

47 Acha o lugar xeométrico dos puntos que equidistan do punto (3, 0) e da recta y = –3.

Para resolver

55 Identifica as seguintes cónicas, calcula os seus elementos característicos e debúxaas: a) 4x 2 + 9y 2 = 36 b) 16x 2 – 9y 2 = 144 c) 9x 2 + 9y 2 = 25

d) x 2 – 4y 2 = 16

e) y 2 = 14x

f ) 25x 2 + 144y 2 = 900

(x – 1) 2 + ( y – 4) 2 = 1 9 25 i) (x + 2)2 = 4( y + 5) g)

( x – 1) 2 – ( y + 1 ) 2 = 1 16 9 l) x 2 + y 2 – 2x + 4y = – 4

56 Calcula o vértice, o foco e a directriz de cada unha das seguintes parábolas: a) y2 – x + 2 = 0 b) y2 – 2y – 4x + 1 = 0 c) x2 – 4x – 6y – 2 = 0 d) y2 – 4y – 6x – 5 = 0 * Mira o exercicio resolto 3d).

48 Acha, en cada caso, a ecuación da parábola de foco F e directriz d. a) F (5, 0); d: x = –5 b) F (–3, 0); d: x = 3 c) F (0; 2,5); d: y = –2,5 d) F (0, – 4); d: y = 4

57 a) Acha a ecuación da circunferencia cuxo centro é C(–1, 1) e é tanxente á recta 3x – 4y – 3 = 0. b) De todas as rectas paralelas á bisectriz do primeiro cuadrante, encontra as que sexan tanxentes á circunferencia achada no apartado anterior.

49 Determina a ecuación da parábola que ten o seu vértice na orixe de coordenadas e cuxa directriz é y = 3.

58 Acha a ecuación da circunferencia que pasa por (–3, 2) e (4, 1) e é tanxente ao eixe X.

50 Calcula a ecuación da parábola de foco F e directriz d: a) F (3, 5); d: x = 1 b) F (–2, 1); d: x = –6 c) F (1, –2); d: y = –4 d) F (0, 3); d: y = –5 * Mira o exercicio resolto 8.

59 Da circunferencia C sábese que ten o seu centro na recta x – 3y = 0 e pasa polos puntos (–1, 4) e (3, 6). Obtén a ecuación de C.

51 Acha a ecuación da parábola con foco F(1, 1) e vértice V(1, 1/2). 52 Acha os vértices, os focos e as directrices das seguintes parábolas. Represéntaas: 2 a) y 2 = 6x b) y 2 = – 6x c) y = x 2 d) y = x 4 2 2 e) y = 4(x – 1) f ) (y – 2) = 8x g) (x – 1)2 = –8(y + 1)

61 Acha a ecuación da circunferencia inscrita no triángulo de vértices A(3, 2), B `1 – 2, – 2j e C `5 + 2, – 2j .

62 Acha a ecuación da circunferencia circunscrita ao triángulo determinado pola recta y = –x + 4 e os eixes de coordenadas. Calcula a ecuación da recta tanxente a esta circunferencia en (0, 0). 63 Acha a ecuación da circunferencia inscrita no cadrado de vértices A(–3, 3), B(–1, 3), C(–1, 1) e D(–3, 1).

h) (y + 2)2 = –4(x – 1)

53 Calcula as ecuacións destas parábolas: a) b) Y Y

60 Determina a ecuación da circunferencia de raio 10 que, no punto (7, 2), é tanxente á recta 3x – 4y – 13 = 0.

64 Acha a ecuación da circunferencia de raio 5 que pasa por P(1, 1) e cuxo centro pertence á recta x + 3y – 19 = 0. * Mira o exercicio resolto 2.

* Mira o exercicio resolto 6. 54 Acha a ecuación da parábola de vértice no punto (2, 3) e que pasa polo punto (4, 5).

65 Estuda a posición relativa do punto P(0, 3) respecto á circunferencia (x – m)2 + y 2 = 25 en función dos valores do parámetro m. 66 Estuda en función de k a posición relativa da recta s : 4x + 3y + k = 0 respecto á circunferencia de ecuación x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0. 229

Exercicios e problemas propostos 67 Acha os puntos de intersección de cada parella de circunferencias e di cal é a súa posición relativa. x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 a) * 2 2 x + y =4 – 6x – 4y + 9 = 0 b) * 2 2 x + y – 6x + 2y + 9 = 0 x2 + y2

68 Considera as circunferencias C1: (x – 1)2 + ( y + 1) 2 = 2 e C2: (x – 3)2 + ( y + 3) 2 = 10. a) Comproba que ambas as dúas circunferencias son secantes e calcula os seus puntos de corte, A e B.

76 Asocia cada unha das seguintes ecuacións a unha das gráficas que están a continuación: a) x 2 + 4y 2 = 4 b) x 2 + y 2 = 9 c) y 2 – 9x 2 = 9 d) 2xy = 1 2 y2 e) x + =1 9 16 2 g) x – y 2 = 1 4 2 y2 =0 i) x + 25 9

2 f ) x – y = 0 9

h) y 2 = 2(x – 1) 2 j) (x – 1) + ( y – 1) 2 = 1 4

III

VII

VIII

b) Acha as potencias dos puntos A e B ás circunferencias C1 e C2. c) Á vista do resultado obtido no apartado anterior, que poderías dicir do eixe radical de ambas as dúas circunferencias? d) Podes xeneralizar este resultado para un par calquera de circunferencias secantes? 69 Dúas circunferencias córtanse nos puntos (0, 0) e (0, 8). Cal é o seu eixe radical? Xustifica a túa resposta. 70

Escribe a ecuación dunha elipse con centro na orixe de coordenadas e focos no eixe de abscisas, sabendo que pasa polo punto P(8, –3) e que o seu eixe maior é igual ao dobre do menor.

71 Acha a ecuación da hipérbole centrada no punto (4, 5), cuxos focos son F (2, 5) e F'(6, 5) e cuxo semieixe menor é b = 1. 72 Acha a ecuación da seguinte hipérbole: • Ten o centro na orixe de coordenadas. • Ten os focos no eixe de abscisas. • Pasa polo punto P ` 5/2, 1j .

• Unha das súas asíntotas é a recta y = 2x. 73 Acha a ecuación da hipérbole equilátera cuxos focos son (5, 0) e (–5, 0). 74 O cometa Halley describe unha órbita elíptica, estando o Sol nun dos seus focos, de excentricidade 0,96657. Se a súa distancia mínima ao Sol (perihelio) é de 0,6 UA, calcula cal é a máxima (afelio). Recorda que 1 UA (unidade astronómica) é a distancia media entre a Terra e o Sol. 75 A Terra describe unha órbita elíptica, estando o Sol nun dos seus focos. Nesta traxectoria, a distancia mínima Terra-Sol é de 147 095 248 km, e a máxima é de 152 100 492 km. Calcula a excentricidade da órbita e interpreta o resultado obtido. 230

Cuestións teóricas 77 Determina se as seguintes ecuacións corresponden a cónicas. Se é así, indica que cónica é: 2 2 y2 y2 a) – x = +1 b) x = –1 4 9 4 9 c) x 2 + y 2 + x + y + 1 = 0 d) y 2 + 2y = x

78 Sabemos que nesta hipérbole | PF – PF' | = 4. Que rama corresponde a PF – PF' = 4 e cal corresponde a PF' – PF = 4? 79

81 a) Acha o lugar xeométrico dos puntos P(x, y) cuxa suma de cadrados de distancias aos puntos A(–3, 0) e B(3, 0) é 68. Podes comprobar que se trata dunha circunferencia de centro O(0, 0). Cal é o seu raio? b) Xeneraliza: Acha o lugar xeométrico dos puntos cuxa suma de cadrados de distancias a A(–a, 0) e B(a, 0) é k (constante), e comproba que se trata dunha circunferencia de centro O(0, 0). Di o valor do seu raio en función de a e de k. Que relación deben cumprir a e k para que realmente sexa unha circunferencia?

Tendo en conta a definición de elipse e tomando sobre o debuxo algunhas medidas, di cales destas elipses cos seus focos están mal debuxadas:

Para afondar

Verdadeiro ou falso? a) Se a distancia dunha recta ao centro dunha elipse é maior que o semieixe maior, non se cortan. b) Todas as hipérboles equiláteras teñen a mesma excentricidade. c) As parábolas do tipo y2 = –2px teñen excentricidade –1. d) Por tres puntos aliñados non pode pasar unha circunferencia. e) Canto máis se afastan o foco e a directriz dunha parábola, maior é a súa excentricidade.

AUTOAVALIACIÓN 1 Acha a ecuación da bisectriz dos ángulos formados polas seguintes rectas: r1: x = 3 r2: 3x – 4y + 1 = 0 2 Escribe a ecuación da circunferencia cuxo centro é o punto C(1, –3) e pasa polo punto A(5, 0). 3 Consideramos a circunferencia x 2 + y 2 – 2x = 0 e a recta r : 3x – 4y + k = 0. Calcula os valores que debe tomar k para que r sexa interior, tanxente ou exterior á circunferencia. 4 Describe as seguintes cónicas. Obtén os seus elementos e debúxaas: 2 2 y2 ( y + 1) 2 =1 a) x – =1 b) (x – 5) – 9 16 9 16 5 Obtén a ecuación da elipse de focos F (– 4, 0) e F' (4, 0) e excentricidade 0,8.

82 a) Considera a circunferencia C : (x – 1)2 + y 2 = 25 e o punto P(9, 6). Sexa r a recta que une P co centro da circunferencia. Acha A e B, puntos de corte de r e C. Comproba que a potencia de P respecto a C coincide con d (P, A) · d (P, B). b) Demostra que o apartado anterior é certo se substituímos r por calquera recta secante a C que pase por P.

* Fai un debuxo e chama A' e B' aos puntos de corte de C e a nova recta. Aplica semellanza aos triángulos AB'P e A'PB.

83 Calcula o lugar xeométrico dos puntos cuxo produto de distancias a estas rectas é 2: 2 r: 2x + 3y = 0 s: y = x 3 ➜

anayaeducacion.es Resolucións destes exercicios.

6 Escribe a ecuación da parábola que ten directriz x = 3 e como vétice, a orixe de coordenadas. 7 Acha os focos, a excentricidade e as asíntotas da hipérbole que ten por ecuación: 9y 2 – 16x 2 = 144. Debúxaa. 8 Indica as ecuacións das seguintes cónicas: a) b) c) Y Y X

9 Dadas estas circunferencias: C1: x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 C2: x2 + y2 – 4x – 18y + 21 = 0 C3: x2 + y2 – 8x – 5y + 1 = 0 Represéntaas e calcula o seu centro radical.

231

9 Funcións elementais Primeiras aproximacións á idea de función O concepto de función aparece como tal no século xvii, pero o proceso ata chegar a el foi lento e remóntase ata a Antigüidade. Na matemática babilónica de hai 4 000 anos encontramos os primeiros achegamentos en forma de leis que describen relacións entre magnitudes, de tal maneira que coñecendo o valor dalgunha delas se obtén, inequivocamente, o valor da outra. No século ii a. C., o matemático grego Ptolomeo estudou relacións entre variables, sen chegar a comprender o concepto de función. Oresme (matemático francés do século xiv) afirmou en 1350 que as leis da natureza son relacións de dependencia entre «dúas cantidades». Foron este tipo de relacións as que serviron de orixe ao concepto de función. A primeira idea de función é, pois, a dunha fórmula que relaciona alxebricamente varias magnitudes. Galileo, a finais do século xvi, utilizou por primeira vez a experimentación cuantitativa como fonte de información. Empezou a medir, anotar e valorar cuantitativamente causas e efectos para establecer relacións numéricas que describisen fenómenos naturais.

Reprodución do mapamundi incluído na obra Geographia de Ptolomeo.

O concepto de función xeneralízase As investigacións de Galileo sobre as relacións matemáticas entre dúas variables (x e y, causas e efectos) son un antecedente moi claro do concepto de función, que vai collendo forma ao longo do século xvii. A representación gráfica mediante diagramas cartesianos (século xvii) permitiu a visualización das funcións. Deste modo, o concepto de función xeneralízase a calquera relación numérica que responda a unha gráfica sobre uns eixes coordenados. Leibniz en 1673, adopta a palabra función para designar estas relacións. Euler entre 1748 e 1755, foi perfilando o concepto, ao que deu precisión e xeneralidade, admitindo, que unha relación entre dúas variables pode ser función, aínda que non haxa unha expresión analítica que a describa. O propio Euler foi quen achegou a nomenclatura f (x) para indicar o valor da función f asociado ao número x. Pódese dicir que con Euler se asenta o concepto de función.

236

Utilidade das funcións As funcións utilízanse para modelizar e estudar multitude de fenómenos sociais, naturais, científicos... Aínda que algunhas teñen expresións moi complexas, é sorprendente ver a simplicidade de moitas outras. Como se determina a cantidade de osíxeno en sangue? Entre outras, utilízase unha función cuxa curva ten forma de ese (dise que é de forma sigmoide). Intervén algunha función na determinación da idade dos fósiles? Si, unha logarítmica. Un equipo de investigadores e investigadoras da NASA desenvolveu un complexo modelo matemático destinado a predicir as eclipses de Fobos (satélite de Marte) para poder observalos co vehículo Curiosity desde a superficie de Marte. Entre outros datos, a predición das devanditas eclipses require coñecer, para calquera instante de tempo, as coordenadas de Fobos e do Sol desde Marte. Este modelo ditamina en que instantes a cámara situada no mastro de CurioA sonda Curiosity na superficie de Marte. sity debía enfocar o Sol.

RESOLVE Familias de funcións Xa coñeces moitas familias de funcións: os seus nomes, como son as súas expresións analíticas e que forma teñen as súas gráficas. Asocia cada nome de familia coa súa representación gráfica e coa súa expresión analítica xeral. 1. Cuadrática 2. Raíz 3. Proporcionalidade inversa 4. Exponencial 5. Logarítmica A

B Y

E Y

X X

E Y

X X

I. y = x – 4

II. y = 4x

III. y = x 2 – 4x

IV. y = log2 x

V. y =

2 x –3

237

As funcións e o seu estudo Concepto de función Na ciencia, na técnica, na natureza, podemos identificar infinidade de funcións: • A velocidade que leva unha partícula depende do tempo, é función do tempo. • A presión da auga do mar é función da profundidade. • O tamaño con que se ve un obxecto a través dunha lupa é función da distancia á que se coloque a lupa. • A sensación coa que se percibe un estímulo é función da intensidade deste. En todas elas se relacionan dúas variables. Tanto nestas coma nas demais funcións que manexamos habitualmente, as variables toman valores reais (é dicir, móvense no conxunto Á dos números reais). f é unha función de Á en Á se a cada número real, x ∈ Dom, faille corresponder outro número real, f (x): Dom ⊂ Á

Dom ⎯→ Á x ⎯→ f (x)

O conxunto Dom dos valores que pode tomar a variable independente, x, chámase dominio de definición da función. Y PERCORRIDO

O conxunto dos valores que toma a función chámase percorrido.

➜

y = f (x)

anayaeducacion.es Animación que permite visualizar o dominio e o percorrido de varios tipos de funcións

DOMINIO

Destaquemos que para que f (x) sexa función, cada valor de x ∈ Dom debe ter asignado un único valor f (x): f (x) é único para cada x ∈ Dom Posto que tanto a variable x como a función f (x) toman valores reais, estas funcións chámanse funcións reais de variable real.

Como veñen dadas as funcións As funcións chégannos en diversos formatos: • Mediante a súa gráfica Permite que nos fagamos unha idea moi clara de como é a función cun só golpe de vista. • Pola súa expresión analítica (fórmula) Sintetiza alxebricamente de forma perfecta a relación entre as dúas variables. É a máis precisa, pero non é doado ver o seu comportamento dunha soa ollada. • Mediante un enunciado Se nos vén dada por un enunciado (acompañado ou non dunha táboa de valores) deberemos traducilo a unha gráfica ou, se fose posible, a unha expresión analítica. 238

y=x

3 x +1 –x –3

A temperatura dun paciente que comeza a súa enfermidade ata que volve ter 37 °C...

Aspectos relevantes dunha función Analizar o comportamento dunha función dada pola súa gráfica é sinxelo. Claro, para iso está a devandita gráfica, para que sexa doado visualizar os vaivéns da función. Observamos as subidas e baixadas (crecemento e decrecemento), así como os máximos (puntos onde a curva deixa de subir e empeza a baixar) e mínimos. As descontinuidades (roturas), as ramas infinitas... Todo iso é moi relevante para a análise da función que se está a describir. Y

Nos cursos anteriores familiarizámonos coa interpretación de fenómenos físicos, biolóxicos, económicos... descritos mediante gráficas. Non obstante, neste curso marcámonos un novo e grande obxectivo: ser capaces de representar unha función a partir da súa expresión analítica. Para iso, necesitamos dúas importantes ferramentas (límites e derivadas) que estudaremos nas próximas unidades e que, agora, pasamos a describir moi brevemente. Límites As ramas infinitas, tanto as que se dan en puntos finitos coma as que xorden cando a función se afasta cara á esquerda ou cara á dereita, obtéñense mediante os límites.

PREGUNTAR Á EXPRESIÓN ANALÍTICA Habemos de aprender a facerlle preguntas á expresión analítica dunha función. • Es continua? • Tes ramas infinitas? Onde están? Como son? • Onde es crecente? Onde decrecente? • Cales son os teus máximos e mínimos? •… E ser capaces de encontrar as respostas a estas preguntas.

O estudo dos límites (unidade 10) permitiranos descubrir se existen estas ramas, onde están localizadas e que forma teñen. Os límites tamén axudan a dilucidar se unha función é ou non continua nun punto ou se existe algún tipo de «rotura».

crec X

cre

O bo manexo das derivadas permitiranos descubrir os intervalos onde unha función é crecente e onde é decrecente, así como a obter os seus máximos e mínimos.

A derivada dunha función é outra función que describe a pendente (inclinación) da primeira en cada un dos seus puntos. Na unidade 12 aprenderemos as técnicas de cálculo de derivadas.

cre

Derivadas

239

Dominio de definición Por que se restrinxe o dominio de definición • A función y = –5x 2 + 20x corresponde a unha parábola. A cada valor real da x correspóndelle un valor de y. O seu dominio de definición é todo Á.

Y 20

• A función a = 20t – 5t 2 corresponde á altura á que se encontra unha pedra que lanzamos cara a arriba cunha velocidade de 20 m/s. É a mesma parábola descrita no parágrafo anterior, pero agora a función só está definida para valores de t que fagan a ≥ 0 (a pedra se para ao chegar ao chan). O dominio desta función é [0, 4].

a = 20t – 5t 2

10 0

• A función cuxa expresión analítica é y = x – 7 non está definida en x = 1, pois 1 – 7 = –6 non é un número real. Só está definida se x vale 7 ou máis. O seu dominio de definición é [7, +∞).

y = –5x 2 + 20x

O dominio de definición dunha función queda restrinxido por algún dos seguintes motivos: • O enunciado ou contexto real do que se extraeu a función. • A imposibilidade de facer algunha operación con certos valores de x. Por exemplo: — Se se anulase o denominador nunha fracción alxébrica. — Se aparecese un número negativo dentro dunha raíz de índice par. — Se un logaritmo actuase sobre un número non positivo. • Por vontade de quen propón a función.

OBSERVACIÓN Se non se di outra cousa, o dominio de definición dunha función é tan amplo como permita a súa expresión analítica.

Operacións aritméticas que restrinxen o dominio de definición • Denominador cero

Por exemplo, f (x) = 1 + x – 5 . Hai que excluír do dominio de definición ao 0, x x +4 que anula ao primeiro denominador, e ao –4, que anula ao segundo. Polo tanto: Dom = Á – {–4, 0} = (–∞, –4) « (–4, 0) « (0, +∞)

OBSERVA Y

• Raíz de índice par e radicando negativo Por exemplo, f (x) = x 2 – 3x . O radicando é negativo no intervalo (0, 3). Polo tanto, o dominio de definición é:

1 1

Dom = Á – (0, 3) = (–∞, 0] « [3, +∞)

• Logaritmo dun número non positivo Por exemplo, f (x) = ln (x2 – 3x). A expresión sobre a que actua o logaritmo é negativa ou cero no intervalo [0, 3]. Polo tanto, o dominio de definición é:

y = x2 – 3x é negativa no intervalo (0, 3).

Dom = Á – [0, 3] = (–∞, 0) « (3, +∞) • Varias restricións. Cando na mesma función conflúen máis dunha destas circunstancias, hai que telas todas en conta.

OBSERVA

Por exemplo: 1 • f (x) = 2 . Hai que suprimir do dominio de definición os valores de x que x + 5x anulan o denominador, –5 e 0, e tamén os do intervalo (–5, 0) que fai negativo o radicando. Polo tanto, Dom = Á – [–5, 0] = (–∞, –5) « (0, +∞). • f (x) = ln (x – 4) . O logaritmo neperiano obriga a exluir o tramo (-∞, 4]. Pero ademais cando x é (4, 5), ln(x – 4) < 0, polo que a raíz obriga a suprimir tamén estes valores. Polo tanto, Dom = Á – (–∞, 5) = [5, +∞). 240

Y 1 1

4 5

No tramo (4, 5), ln (x – 4) toma valores negativos.

Exercicios resoltos

1 Hallar el dominio de definición de estas funcións: x 3 – 7x – 6 a) y = 3 x – 8x 2 + 15x x –3 b) y = 2 x + x +1

a) La función no está definida en los puntos en los que se anula el denominador, sin importar se el numerador se anula o no en ellos: x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ (x2 – 8x + 15) · x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 Hay que excluir estos tres valores del dominio de definición. Polo tanto: Dom = Á – {0, 3, 5} = (–∞, 0) « (0, 3) « (3, 5) « (5, +∞)

b) El denominador no se anula en ningún punto. Polo tanto, el dominio es todo Á: Dom = Á

2 Hallar el dominio de definición de las siguientes funcións: a) y = x 3 – 8x 2 + 15x b) y =

a) Veamos para qué valores de x el radicando, al que llamamos g(x), es positivo. g (x) = x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 El polinomio se anula en 0, 3 y 5. En cada uno de los intervalos, (–∞, 0), (0, 3), (3, 5) y (5, +∞), el signo del polinomio (positivo o negativo) se mantiene constante. Por ello, calculamos el valor del polinomio en un punto en cada intervalo pues su signo será el signo de g(x) en todo ese intervalo:

+ x2

c) y = log (x4 + x2)

g(–1) = –24

g(1) = 8

g(4) = –4

g(6) = 18

g<0

g>0

g<0

g>0

g (x) ≥ 0 en [0, 3] y en [5, +∞). Polo tanto: Dom = [0, 3] « [5, +∞) b) g (x) = x4 + x2 solo se anula en x = 0 y es positivo en el resto. Es decir, g (x) ≥ 0 siempre. Polo tanto, no hay ningún punto en el que no esté definida la función g (x) . Dom = Á c) g (x) = x4 + x2 se anula en x = 0 y es positivo en el resto. Polo tanto, en el dominio de log g(x) hay que suprimir x = 0: Dom = Á – {0} = (–∞, 0) « (0, +∞) 3 Hallar el dominio de definición de: log (x – 1) y= 5x – x 2

La función log debe actuar sobre valores positivos → x – 1 > 0 → x > 1 La raíz, sobre valores no negativos → 5x – x2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 5 El denominador no debe anularse → 5x –

° ¢0<x<5 ≠ 0 → x ≠ 0 y x ≠ 5£

Ambas condiciones se cumplen en (1, 5).

x>1 0

Polo tanto: Dom = (1, 5)

0<x<5

Pensa e practica

➜

anayaeducacion.es Amplía o cálculo de dominios.

Halla el dominio de definición de cada una de las siguientes funcións: 2 1 a) y = x3 – 4x2 + 3 x – 4x + 3x

2 b) y = x –24x + 3 x +1

2 a) y = log (x3 – 6x2 + 8x)

b) y = x 3 – 6x 2 + 8x

3 y=

log (x 3 – 6x 2 + 8x) x 3 – 6x 2 + 8x

4 a) y = x 3 – 2x 2 + x – 2 5 y=

b) y = log (x3 – 2x2 + x – 2)

x Atención: para qué valores de x se anula el denolog x

6 a) y =

minador? log x = 0 → x = …

log (x – 3) x 2 – 7x + 10

b) y =

x 2 – 7x + 10 log (x – 3)

241

Familias de funcións elementales Las funcións describen fenómenos cotidianos, psicológicos, económicos, científicos, técnicos… Tales funcións habitualmente se obtienen de forma experimental y, con frecuencia, responden a alguna de las grandes familias que ya conocemos de cursos anteriores. Recordemos estas familias y algunas funcións obtenidas experimentalmente que corresponden a ellas. Funcións lineales Las funcións lineales se describen con ecuaciones de primer grado

FUNCIÓNS DE OFERTA Y DEMANDA Y y = ax + b

y = ax + b y se representan mediante rectas.

Exemplos: • La longitud l (en cm) de un cierto muelle del que se cuelgan pesas de masa M (en g) viene dada por la ecuación: l = 2 + 0,29M,

0 ≤ M ≤ 50

• La presión P (en atmósferas) en el mar y la profundidad h (en m) se relacionan con la ecuación: P=1+ h , 10

presión (atm) 10

h>0 2 10

h h>0 P=1+— 10 50 100 profundidad (m)

En el proceso de compra-venta de cualquier producto se pueden considerar dos funcións: • Función oferta, o(x): cuanto mayor sea el precio del producto, mayor será la cantidad de unidades que la empresa esté dispuesta a producir y, polo tanto, mayor será la oferta. o(x) es creciente. • Función demanda, d(x): cuanto mayor sea el precio del producto, menor será el número de personas dispuestas a comprar y, polo tanto, menor será la demanda. d(x) es decreciente. Con frecuencia las funcións de oferta y demanda son lineales: se representan mediante trozos de rectas. Cantidad (y)

oferta Punto de equilibrio

Funcións cuadráticas

demanda Precio (x)

Las funcións cuadráticas se des- Y criben con ecuaciones de segundo grado

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 X

y se representan mediante parábolas. Exemplos: • La altura a (en m) a la que se encuentra un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 m/s, en función del tiempo t (en s), es la siguiente: a = 50t –

5t 2,

0 ≤ t ≤ 10

altura (m) 100 a = 50t – 5t 2 10 tiempo (s)

• La distancia d (en m) recorrida por un coche desde que el conductor ve el peligro hasta que el coche para por completo en función de la velocidad v (en km/h) que lleva el coche en ese instante, viene dada por esta expresión analítica:

242

0 ≤ v ≤ 100

distancia recorrida (m) 100

20 5

d = 0,0074v 2 + 0,21v,

El punto de corte es un punto de equilibrio: para ese precio, lo que se oferta es igual a lo que se demanda y ni sobra ni falta mercancía. nota: En economía, estas funcións se describen tomando la cantidad como variable independiente y el precio como variable dependiente. Pero en este nivel creemos que son más sencillas de entender presentándolas como lo hacemos aquí.

d = 0,0074v 2 + 0,21v

10 10

100 velocidad (km/h)

Funcións raíz

Función raíz que varía ao

➜

cambiar o valor de k.

Las funcións de ecuación y = kx , k > 0

se representan mediante medias parábolas con el eje paralelo al eje X.

— y = √kx

Las raíces de índices distintos de 2 se representan (para x ≥ 0) de forma similar.

Exemplos: • O período T dun péndulo (tempo, en s, que tarda en realizar unha oscilación completa) é función da súa lonxitude l (en m). A súa ecuación é:

Qué lonxitude debe ter a cadea dun péndulo para que tarde un segundo en facer unha oscilación?

T=2 l • En psicoloxía ten grande importancia o estudo de percepcións. Percibimos luz, olores, sons... A percepción (sensación) depende (é función) dos estímulos físicos que chegan por medio dos sentidos. A relación entre a sensación S coa intensidade I do estímulo, lei psicofísica, vén dada por esta fórmula:

sensación (estimada por el individuo) 3– S = k √I

S=k I Por exemplo, se una persona experimenta un cierto dolor al apretarle con un dedo, para «duplicar» ese dolor la presión debe ser ocho veces mayor.

8 estímulo físico

Funcións de proporcionalidad inversa Su expresión analítica es

➜

k y=— x

y= k, k≠0 x y se representan mediante hipérbolas.

Hipérboles y = ax.

Representa la función f (x) = a y mueve el x deslizador para comprobar cómo se modifica la hipérbola al variar el valor de a. ¿Qué ocurre cuándo a es negativo?

aumento 4 A=— 4–d

Exemplos: • El aumento A producido por una cierta lupa viene dado por la ecuación: 4 4–d donde d es la distancia (en cm) a la que se sitúa el objeto.

distancia (cm)

• A una jeringa de 8 cm de longitud le tapamos el orificio de salida. Al apretar el émbolo, el aire se comprime.

longitud (cm) 10 8

La relación entre la presión P (en atmósferas), y la longitud l (en cm) de la columna de aire responde a la ecuación: l=

8 , P +1

P≥0

8 l=— P≥0 P+1

–1

presión (atm) 243

Familias de funcións elementales

Funcións exponenciales Crecemento da poboación mundial

y = a x,

()

1 xY y= — 2

a > 0, a ≠ 1

y = 2x

poboación total

Se llaman funcións exponenciales las que tienen por ecuación

• Se a > 1, la función es creciente y crece tanto más rápidamente cuanto mayor sea a. El crecimiento de cualquiera de ellas llega a ser muy rápido, superando incluso a cualquier función potencia. Por eso la expresión «crecimiento exponencial» es sinónima de crecimiento muy rápido.

X 4

–4

dende o ano 10.000 a. c. ata o ano 2.000 d. c.

• Se 0 < a < 1, es decreciente. Exemplos: capital (€)

• Un capital de 50 000 € depositado al 6 % anual se transforma en t años en un capital C siguiendo esta ecuación: C = 50 000 ∙

150 000

C = 50 000 ∙ 1,06t

100 000

1,06t

50 000 2

• Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo y su masa disminuye en forma exponencial. En unas, la desintegración es rapidísima, en otras muy lenta. Por exemplo, 5 g de una cierta sustancia se desintegran según esta ecuación:

10 20 tiempo (años)

masa (g) 5 M = 5 ∙ 0,76t 1 tiempo (miles de años)

M = 5 ∙ 0,76t

anayaeducacion.es

➜

Representación de funcións

t : miles de años; M: cantidad, en g, de sustancia radiactiva al cabo de t años.

exponenciais.

Funcións logarítmicas Las funcións logarítmicas responden a la ecuación

ATENCIÓN Y

y = log2 x

La base, a, de un logaritmo también puede ser 0 < a < 1. En tal caso, la curva sería decreciente en todo su dominio. Observa la gráfica de y = log1/2 x.

y = loga x, a > 1 Son crecientes de modo tal que superan a cualquier número por grande que sea.

Su crecimiento es muy lento, tanto más cuanto mayor sea a. Exemplo: • La ley psicofísica, de la que hemos hablado en la página anterior, y que se describía mediante una raíz cúbica, en otros casos se enuncia siguiendo el modelo logarítmico (ley de Weber-Fechner): S = k log10 I 244

2 sensación (estimada por el individuo)

y = log —1 x 2

S = k log10 I ➜

estímulo físico

anayaeducacion.es Representación de funcións logarítmicas.

Pensa e practica

anayaeducacion.es Representación de diferentes tipos de funcións.

➜

1 Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación: A

D 80 Y

(4, 16π)

50 1

1 X

F Y

1 H

Y (5, 32)

50 1 10

50 X

1 K

(4, 16)

1 1

lineales

y= 3x 2 y = – 2 (x – 1) + 5 3

cuadráticas

proporcionalidad inversa

radicales

exponenciales

y = x 2 – 8x + 15

PI1

y= 1 x

y = 2x + 4

y = 2x

y = (x + 3)(x + 5)

PI2

y = x +4

y = 0,5x

L3 3x + 2y = 0

y = x 2, x > 0

PI3

y=2 4–x

y = 20 + 80 ∙ 0,95x

L4 y = 3 x + 1, x ≥ 0 4

y = πx 2, x > 0

PI4

2 ,x≥0 2–x y= 2 x y= 6, x>0 x

y = – 4+x

y = 3x

L1 L2

2 Cada uno de los siguientes enunciados se corresponde con una gráfica de entre las del ejercicio anterior. Identifícala. 1. Superficie, en centímetros cuadrados, de un círculo. Radio, en centímetros. 2. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centímetros. 3. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 100 °C. Tiempo, en minutos. 4. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una. 5. Longitud de un muelle, en decímetros. Mide 1 dm y se alarga 75 mm por cada kilo que se le cuelga. 6. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie es de 6 cm2.

Verdadero o falso? a) En una función cuadrática y = ax 2 + bx + c, cuanto mayor es a, más ancha es la parábola que la representa. b) Las gráficas de y = 5x 2 + bx + c son idénticas. Se sitúan en posiciones distintas al variar b y c. c) Todas las parábolas de ecuación y = ax 2 + c tienen su vértice en el punto de abscisa x = 0.

4 Verdadero o falso? a) Las funcións y = – kx se representan mediante medias parábolas con el eje paralelo al eje Y. b) El dominio de definición de y = –a x + b es [–b, +∞). c) Los ejes X e Y son asíntotas de las funcións y = k . x d) El dominio de definición de y = k es Á – {k }. a+x

245

Funcións definidas «a anacos» As expresións analíticas das seguintes funcións son moi peculiares:

anacos.

x 2 + 2x + 1 se x ≤ 0 y = *1 se 0 < x < 4 x –3 se x ≥ 4

x se x ≤ 2 y=( 1 se x > 2

Debuxa unha función definida a

➜

Requiren de varias «fórmulas», cada unhas das cales rexe o comportamento da función en certo tramo. Y

Y y=1

y = x2 + 2x + 1 X

y=x–3

y=1

y=x

As súas representacións gráficas son doadas se sabemos representar cada un dos tramos e se pon atención ao seu comportamento nos puntos de empalme. Tamén é sinxelo obter a expresión analítica, a partir dunha gráfica formada por anacos de rectas.

anayaeducacion.es Función

➜

lineal a anacos.

Exercicio resolto

1 A seguinte gráfica describe a temperatura T da auga que, sendo xeo, se bota a unha cazola, se pon ao lume e se mantén ata que leva un anaco fervendo. T (° C)

A súa pendente é:

0 – (–20) = 20 = 2 (O xeo aumenta a súa temperatura de –20° a 0°). 10 – 0 10

Ecuación: y = 2(x – 0) – 20 → y = 2x – 20 • Segundo tramo: y = 0 (Mentres o xeo se desconxela a súa temperatura segue sendo 0°). • Terceiro tramo: pertence a unha recta que pasa por (20, 0) e (35, 100). Ecuación: y = 100 (x – 20) → y = 20 x – 400 (A auga sobe a súa temperatura de 0° a 100°). 3 3 15

–20

• Primeiro tramo: pertence a unha recta que pasa por (0, –20) e (10, 0).

• Cuarto tramo: y = 100 (A auga fervendo mantense a 100°).

t (min) 45 30

Obter a súa expresión analítica en función do tempo, t.

Se en lugar de x e y poñemos t Z ]2t – 20 ]0 T = f (t) = [ 20 400 ]3 t– 3 ]100 \

(tempo) e T (temperatura), a súa expresión analítica é: se se se se

0 ≤ t ≤ 10 10 < t < 20 20 ≤ t ≤ 35 35 < t ≤ 50

Pensa e practica

1 Representa esta función: x +1 se –3 ≤ x < 0 2 f (x) = *x – 2x + 1 se 0 ≤ x < 3 4 se 3 ≤ x < 7 2 Fai a representación gráfica da seguinte función: 2x + 1 se x < 1 g (x) = ) 2 x – 1 se x ≥ 1

246

3 Escribe a expresión analítica que corresponde á seguinte gráfica: Y 2 2

Función «parte enteira»

PRACTICA

Chámase parte enteira dun número x ao maior número enteiro menor ou igual a x. A partir disto, definimos a función parte enteira de x, Ent(x), que fai corresponder a cada número x a súa parte enteira. 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

Ent (7,5) = 7 Ent (–4) = –4 Ent (–5,3) = –6 atención! Continúa: Ent (6,48) Ent (7) Ent (–3,9) Ent (–11,3) Ent (–8)

1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3

Función «parte decimal» A parte decimal ou mantisa dun número x é Mant(x) = x – Ent(x). Por exemplo: Mant (7,54) = 7,54 – 7 = 0,54

PRACTICA

Mant (–7,54) = –7,54 – (–8) = 0,46

Mant (7,68) = 0,68 Mant (–8) = 0 Mant (–7,68) = 0,32 Continúa: Mant (3,791) Mant (2)

A partir disto, definimos a función parte decimal de x, Mant(x), que fai corresponder a cada número x a súa parte decimal. 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1 2 3 4 5 6 7X

Mant (–6,94) Mant (–4,804)

Función «valor absoluto» Recordemos que o valor absoluto dun número a coincide con a se é positivo ou nulo, ou co seu oposto, se é negativo: a se a ≥ 0 |a| = ( –a se a < 0 A función y = |x| defínese, en consecuencia, así: –x se x < 0 y = |x| = ( x se x ≥ 0 Pensa e practica

4 Verdadeiro ou falso? a) A gráfica vermella corresponde á función y = Ent b x l . 4 b) A gráfica verde corresponde á función y = 5 + Ent b x l . 4 5

a) A gráfica vermella corresponde a y = 3Mant b x l . 4 b) A gráfica vermella corresponde a y = 3Mant (4x). c) A gráfica verde corresponde a y = 5 – Mant b x l . 4 5

5 Representa: a) y = Ent (x) + 2

6 Verdadeiro ou falso?

7 Representa: b) y = Ent (x + 0,5)

a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5|

247

Transformacións elementais de funcións Imos ver como se transforma a gráfica de y = f (x) cando sometemos a función a certas transformacións moi sinxelas.

Move calquera función

➜

cambiando os parámetros.

Translacións Se k é un número positivo, entón: f (x) + 5

obtense trasladando a gráfica de f (x)

A gráfica de

f (x – 5)

f (x + 5)

f (x) + k

k unidades cara arriba

f (x) – k

k unidades cara abaixo

f (x + k)

k unidades cara á esquerda

f (x – k)

k unidades cara á dereita

f (x) X

f (x) – 5

Simetrías Y

é a simétrica da gráfica de f (x)

A gráfica de –f (x)

respecto ao eixe X

f (–x)

respecto ao eixe Y

k – 0,5

–f (x)

X f (–x)

f (x)

k + 0,5

Exercicio resolto

1 Relacionar as seguintes gráficas mediante as súas ecuacións: Y

5 1

2 X 4

1 É a gráfica da función y = x . 2 Obtense trasladando 1 6 unidades á dereita → y = x – 6 . 3 Obtense trasladando 2 3 unidades cara arriba → y = x – 6 + 3 . 4 É a simétrica respecto ao eixe X de 1 → y = – x . 5 Obtense trasladando 4 5 unidades cara arriba → y = – x + 5 .

Pensa e practica

1 Representa sucesivamente. a) y = 1 x

248

b) y =

1 x +3

c) y = –

1 x +3

d) y = –

1 +8 x +3

Estiramentos e contraccións

2f (x)

Se k é un número positivo, entón: A gráfica de

f (x)

obtense a partir da gráfica de f (x)

1 f (x) — 2

kf(x)

estirándoa en sentido vertical multiplicando por k

1 f (x) k

contraéndoa en sentido vertical dividindo entre k

Exercicios resoltos

1 Representar sucesivamente as seguintes funcións: 1 y= 6 x

2 obtense desprazando 1 5 unidades á dereita. 4 obtense subindo 3 4 unidades. Y

6 x–5 3 y = – 6 x–5 2 y=

1 X

2 obtense estirando 1 en sentido vertical multiplicando por 2.

1 y= x

3 é a simétrica de 2 respecto ao eixe X.

2 y=2 x

4 é a simétrica de 3 respecto ao eixe Y.

3 y = –2 x

para chegar, finalmente, á representación de: 4 y = – 6 + 4 x–5 2 Representar sucesivamente:

3 é a simétrica de 2 respecto ao eixe X.

5 obtense desprazando 4 6 unidades á esquerda. Y

4 y = –2 –x para chegar, finalmente, á representación de: 5 y = –2 – (x + 6 )

1 X

Pensa e practica

2 Se y = f (x) pasa por (3, 8), di un punto de: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = 1 f (x), y = 2f (x), 2 y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3

3 Representa. 4 –3 x +8 b) y = 3 –x + 10 a) y = –

249

Transformacións elementais de funcións

Valor absoluto

f (x) se f (x) ≥ 0 O valor absoluto dunha función defínese así: | f (x)| = * –f (x) se f (x) < 0 y = f (x)

y = | f (x)|

Polo tanto, para representar o valor absoluto dunha función f (x) debemos primeiro representar a función f (x) e logo deixar a parte positiva como está e realizar unha simetría con respecto ao eixe X da parte negativa. Para iso, debemos encontrar os puntos de corte cos eixes. Vexamos uns exemplos: Exercicios resoltos

1 Representar a seguinte función: y = | x2 – 5 x + 4|

Achamos os puntos de corte da función f (x) = x2 – 5x + 4 co eixe X: x1 = 1

f (x) = x2 – 5x + 4 = 0

x2 = 4

y = f (x)

Polo tanto, entre 1 e 4 a gráfica sobe sobre o eixe X.

2 Representar a seguinte función:

Y y = | f (x)|

y = | 2x – 4| x é [–1, 5] y = f (x)

y = | f (x)|

3 Representar esta función:

y = | x3 – x| X y = f (x)

X y = | f (x)|

Pensa e practica

4 Representa: y = | –x2 + 4x + 5|

250

x 5 Representa graficamente: y = 2 – 3

Composición de funcións Vexamos, cuns exemplos, como a partir de dúas funcións se obtén outra, chamada función composta de ambas as dúas. • Observa a seguinte secuencia: 16

16 = 4

1/x

OBSERVA

1 = 1 16 4

Se agora actuamos sobre unha variable, x, obtemos a función x

1/x

1 : x

1 x

1/4

4 Ä8

√x

1/4

100

0,1

0,0001

0,01

100

Ä8 1/ √x

Poñamos nomes ás funcións utilizadas: 1 = v (x) x = r (x) x A función resultante chámase función composta de r e v e desígnase v ° r: 1 v ° r (x) = v [r (x)] 8 v ° r (16) = v [r (16)] = v ( 16 ) = v(4) = 4 OBSERVA

• Outro exemplo: f (x) = x2 – 5x; r(x) = x x

x 2 – 5x

4 4 – 54 ÄÄ8 x2 – 5x Ä8 √x2 – 5x

r % f (x) = r [ f (x)] = x 2 – 5x r ° f (9) = r (81 – 45) = r (36) = 36 = 6

–3

6 √24

–0,1

0,51

√0,51

Dadas dúas funcións, f e g, se chama función composta de f e g, e desígnase por g ° f, á función que transforma x en g [ f (x)]: g°f

x ⎯⎯→ g [ f (x)]

g°f

x ⎯→ f (x) ⎯→ g [ f (x)]

f (x)

A expresión g ° f (x) lese f composta con g. Noméase en primeiro lugar a función da dereita porque é a primeira en actuar sobre o x.

En xeral, a función f [ g (x)] é distinta de g [ f (x)].

g [ f (x)]

• Observa que, en xeral, non é o mesmo compoñer dúas funcións nun sentido que en sentido contrario: x

( x) 2 – 5 · x = x – 5 x

➜

Composición de funcións con GeoGebra.

f % r (x) = f [r (x)] = x – 5 · x ≠ r % f (x) = x 2 – 5x f % r (9) = f ( 9) = f (3) = 3 2 – 5 · 3 = –6 ≠ r % f (9) = 6 • Non obstante, tamén hai casos nos que ao compoñer dúas funcións en ambos os dous sentidos o resultado é o mesmo: f (x) = 2x + 1

g(x) = 3x + 2

• f ° g (x) = f [g(x)] = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5 • g ° f (x) = g[ f (x)] = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5 Polo tanto, neste caso, f ° g (x) = g ° f (x).

TEN EN CONTA En xeral, non é o mesmo f ° r (x) que r ° f (x).

251

Composición de funcións

Exercicios resoltos

1 Considerar as funcións:

f (x) = x2 – x e g(x) =

4 (x + 1) = 12 – 4x a) • f [ g (x)] = f < 4 F = c 4 m – 4 = 16 2 – ⇒ x +1 x +1 x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 (x + 1) 2 ⇒ f % g (x) = 12 – 4x2 (x + 1)

4 x +1

a) Obter a expresión analítica de: f°g

g°f

f°f

g°g

• g [ f (x)] = g (x 2 – x) =

b) Achar f [g(1)] e g[ f (1)].

4 4 ⇒ g % f (x) = 2 4 = (x 2 – x) + 1 x 2 – x + 1 x – x +1

• f [ f (x)] = f (x 2 – x) = (x 2 – x)2 – (x 2 – x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – x 2 + x ⇒

⇒ f ° f (x) = x 4 – 2x 3 + x

• g [ g (x)] = g < 4 F = x +1

4 ( 1) 4 4 = = x + = 4x + 4 ⇒ 4 +1 4 + x +1 4 + x +1 x + 5 x +1 x +1 4 x + 4 ⇒ g % g (x) = x +5

g f b) • f [ g (1)] = 12 – 4 $21 = 8 = 2; ou ben, 1 ⎯→ 4 = 2 ⎯→ 22 – 2 = 2 1+ 1 4 (1 + 1)

• g [ f (1)] = 2 Dadas estas funcións: f (x) = 1 x g(x) = x2

a) En cada caso trátase de ver a composición de dúas funcións. É bastante intuitivo.

h(x) = x + 1 a) Indicar como deben compoñerse para obter estas outras: y1 = 12 y2 = x2 + 1 x y3 = x2 + 2x + 1 y4 = 1 x +1 b) Compoñer f{g[h(x)}.

Pensa e practica

f g 4 = 4; ou ben, 1 ⎯→ 12 – 1 = 0 ⎯→ 4 = 4 0 +1 12 – 1+ 1

➜

• y 1: é claro que hai que aplicar f e g, pero parece que se se fai dunha forma ou outra se obtén o mesmo: 2 f ° g (x) = f (x2) = 12 ; g ° f (x) = g b 1 l = b 1 l = 12 x x x x Vale tanto f ° g (x) como g ° f (x). • y2: primeiro aplícase g(x) e despois h(x). É dicir, h ° g(x) = h(x2) = x2 + 1. • y3: aplicouse o cadrado a x + 1, polo tanto: g ° h(x) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

• y4: aplícase primeiro h(x) e despois f (x). É dicir, f ° h(x) = f (x + 1) = 1 . x +1 1 b) f {g[h(x)]} = f [g(x + 1)] = f [(x + 1)2] = (x + 1) 2

anayaeducacion.es Practica a composición de funcións.

1 Se f (x) = x 2 – 5x + 3 e g (x) = x 2, obtén as expresións de f [ g (x)] e g [ f (x)]. Acha f [ g (4)] e g [ f (4)]. 2 Se f (x) = sen x e g (x) = x + π , obtén as expresións de f ° 2 g, g ° f, f ° f e g ° g. Acha o valor destas funcións en x = 0 e x = π/4.

252

3 Se f (x) = sen x, g(x) = x2 + 5, acha as expresións das funcións f ° g, g ° f, f ° f e g ° g. Acha o valor destas funcións en x = 0 e x = 2. 4 Dado f (x) = x + 1, obtén en cada caso a función g(x) para que se cumpra: a) g[f (x)] = x – 2 c) g ° f (x) = x2 + 2x

b) f [g(x)] = x2 + 3x – 2 d) f ° g (x) = x

Función inversa ou recíproca doutra Imos compoñer as funcións f (x) = x 3 – 6 e f –1(x) = 3 x + 6 : f –1

x ⎯→ x 3 – 6 ⎯→ f –1

x ⎯→

Inversa dunha función.

➜

f –1[ f (x)] = x

(x 3 – 6) + 6 = 3 x 3 = x

f x + 6 ⎯→ `3 x + 6j – 6 = (x + 6) – 6 = x 3

f [ f –1(x)] = x

Vemos que f e f –1 teñen a peculiaridade de que ao actuar sucesivamente sobre un número x, o número mantense, é dicir, cada unha desas funcións desfai o que fai a outra. Por iso dise que f –1 é a inversa de f, ou que cada unha delas é inversa da outra. Observa a simetría dos puntos dunha e outra función respecto a y = x : puntos de

f (x): y = x 3 – 6

puntos de f –1(x):

(–1, –7)

(0, –6)

(2, 2)

…

(a, b)

y = x + 6 (–7, –1)

(– 6, 0)

(2, 2)

…

(b, a)

GRÁFICAS DE FUNCIÓNS INVERSAS

Chámase función inversa ou recíproca de f a outra función (desígnase por f –1) que cumpre a seguinte condición: Se f (a) = b, entón f –1(b) = a.

y = f –1(x)

Como consecuencia, danse as relacións seguintes: f

f –1

x ⎯→ f (x) ⎯→ x ; é dicir, f –1[ f (x)] = x

y = f (x)

x ⎯→ f –1(x) ⎯→ x ; é dicir, f [ f –1(x)] = x

y=x

f –1

A función inversa de é, á súa vez, f. Por iso dise, simplemente, que as funcións f e f –1 son inversas ou recíprocas.

O dominio de f coincide co percorrido de f –1 e o percorrido de f coincide co dominio de f –1.

As gráficas de dúas funcións inversas son simétricas respecto á recta y = x. Para que unha función teña inversa ha de ser inxectiva, é dicir, cada valor de y ha de corresponder a un único valor de x. Se non é así, ha de descompoñerse en tramos en que sexa inxectiva, cada uns dos cales terá a súa función inversa. Por exemplo, como y = x 2 non é inxectiva, para achar a súa inversa procedemos así: Y

y = f (x) = x 2 *

y = x 2, x ≥ 0

y = f1 (x) = x 2, x ≥ 0 " f1–1 (x) = x y = f2 (x) = x 2, x ≤ 0 " f2–1 (x) = – x

y = √x

Y y = x 2, x ≤ 0

X y = –√x

Pensa e practica

Verdadeiro ou falso?

2 a) A función recíproca de y = x é y = 1 . x b) Cada unha das funcións y = x, y = 1 é recíproca de si x mesma. c) A inversa de y = 9 , x ∈ [3, 9] é x y = 9 , x ∈ [1, 3]. x d) Se unha función é crecente, a súa recíproca é decrecente.

3 Representa y = 2x, y = x e comproba que son inversas. 2 4 Comproba que hai que descompoñer y = x 2 – 1 en dúas ramas para achar as súas inversas. Descobre cales son. 5 Comproba que a función recíproca de y = 2x + 4 é y = 1 x – 2. 2

253

Función inversa ou recíproca doutra

Expresión analítica da función inversa doutra Para achar a inversa de y = f (x), intercámbianse as dúas incógnitas, x = f ( y). Agora, se se pode, despéxase o y. Por exemplo, f (x) = 2x – 3:

OBSERVA

y = 2x – 3 → x = 2y – 3 → y = x + 3 2 Polo tanto, f –1(x) = x + 3 2

y = ex

Vexamos como procederiamos se f (x) tivese o dominio de definición limitado: f (x) = 2x – 3, x ∈ [–1, 4]

Para achar a súa inversa, achamos os valores que toma a función nos extremos do intervalo: f (–1) = –5, f (4) = 5. Polo tanto,

f –1(x)

y = f –1(x) X

= x + 3 , x ∈ [–5, 5] 2

y = f (x)

y = ln <x

As funcións y = ex, y = ln x, simétricas respecto á recta y = x, son de grande importancia en matemáticas superiores.

Exponenciais e logarítmicas son recíprocas Partimos dunha función exponencial, y = 2x. Para achar a súa recíproca cambiamos as variables: x = 2y. Para despexar o y, tomamos logaritmos en base 2: log2 x = y log2 2 = y. Polo tanto, y = log2 x.

Y 20

Obtivemos, pois, que a función recíproca de y = 2x é y = log2 x.

y = 2x y=

En xeral, a recíproca de y = a x é y = loga x. Observa que:

y = a x pasa polos puntos (0,1) e (1, a) •* y = log a x pasa polos puntos (1, 0) e (a, 1)

y = log2 x 2

• Se a > 1, y = a x ten un crecemento moi rápido, mentres que

–4

y = loga x ten un crecemento moi lento.

–4

Exercicio resolto

1 Achar a función recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4].

10–2 = 1 = 0,01; 104 = 10 000 100 A función y = 10x pasa por (–2; 0,01) e por (4, 10 000). Polo tanto, a súa recíproca pasa por (0,01; –2) e por (10 000, 4). Conclusión: a recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4] é y = log x, x ∈ [0,01; 10 000].

Pensa e practica

anayaeducacion.es Función inversa doutra.

➜

6 Verdadeiro ou falso? A función recíproca de y =

254

7 Acha a función recíproca de 2x,

x > 0 é y = log2 x, x > 1.

y = log2 x, x ∈ [8, 32]

Funcións arco Imos definir as inversas das funcións trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tan x, que se estudaron na unidade 5. A función arco seno Cal é o ángulo cuxo seno vale 1/2? A resposta pode ser 30° ou ben π rad. EIsto exprésase así: 6

(

)

arc sen 1 = π o arco cuxo seno é 1 mide π rad 2 2 6 6 Imos estudar as características da función arc sen (arco seno). A función arc sen é a inversa (recíproca) da función sen. Y

y = arc sen x 5p — 6 p — 6

y = sen x 1 — 2

11p – —— 6

A súa gráfica, que é a que está en vermello, é a simétrica da gráfica de y = sen x respecto á recta y = x. Non obstante, a devandita gráfica non corresponde a unha función, pois a cada valor de x correspóndenlle moitos (infinitos) valores de y.

OBSERVA

Por exemplo, para x = 1 , pode valer: π , 5π , 13π , …, – 11π , … 2 6 6 6 6 Para que arc sen sexa unha función, habemos de quedar cun anaco de gráfica que sexa unívoca, é dicir, que a cada valor de x correspóndalle un único valor de y. Calquera dos infinitos tramos podería servir, pero acostúmase a seleccionar o que aparece debuxado en trazo continuo na gráfica anterior. Estes son os valores cos que traballa a calculadora cando utilizamos a función arc sen ( ).

A función y = sen x non é inxectiva. Quedamos cun tramo que si o é:

sen :– π , π D ⎯→ [–1, 1] 2 2 A súa inversa é a función y = arc sen x: arc sen [–1, 1] ⎯→ :– π , π D 2 2

En definitiva, definimos a función arc sen do seguinte modo: arc sen é unha función definida en [–1, 1] e que toma valores en :– π , π D , tal que: 2 2 arc sen a = b ⇔ sen b = a É unha función crecente. Verifica que: sen(arc sen x) = x π Y — 2 –1

arc sen(sen x) = x y = arc sen x

X y = sen x

π –— 2 ➜

Inversa do seno.

255

Funcións arco

A función arco coseno De forma análoga a como se facía con arc sen, a función arc cos (arco coseno) defínese como función recíproca da función coseno. Y

OBSERVA A función y = cos x non é inxectiva. Quedamos cun tramo que si o é: cos [0, π] ⎯→ [–1, 1] A súa inversa é a función y = arc cos x:

p y = arc cos x –1

y = cos x

arc cos

[–1, 1] ⎯→ [0, π]

Debemos quedar cun dos tramos para que sexa unha función. Adóitase elixir o que na gráfica aparece en trazo continuo. Os seus valores son os que dá a calculadora cando utilizamos a función arc cos ( ). arc cos é unha función definida en [–1, 1] e que toma valores en [0, π], tal que: arc cos a = b ⇔ cos b = a Y

É unha función decrecente. Verifica que: cos(arc cos x) = x

arc cos(cos x) = x y = arc cos x –1

1 y = cos x

A función arco tanxente A función arc tan (arco tanxente) defínese analogamente: arc tan é unha función definida en (–∞, +∞) que toma valores en b– π , π l , tal que: 2 2 arc tan a = b ⇔ tan b = a É unha función crecente. Verifica que: tan(arc tan x) = x

arc tan(tan x) = x

π — 2

y = tg x y = arc tg x X

π –— 2

anayaeducacion.es

➜

Visualización das funcións arco.

Pensa e practica

1 Verdadeiro ou falso? a) A función y = arc tan x, x ∈ (–∞, +∞) é a recíproca da π π función y = tan x, x ∈ b– 2 , 2 l .

256

b) arc sen 0 = π 2 d) arc cos π = –1 f ) arc sen π non existe 2

c) arc cos 0 = π 2 e) arc cos (–1) = π g) arc tan 1 = π 4

8 U9

Exercicios e problemas resoltos 1. Dominio de definición Achar o dominio de definición das seguintes funcións: x a) f (x) = 2 + ln (5 – x) x –4 b) f (x) =

x+3 2x – 5

a) A función non está definida nos puntos onde o denominador é nulo, que son x = 2 e x = –2. O seu dominio é Á – {–2 ,2}. Na función y = ln (5 – x) o logaritmo só está definido para valores positivos. Resolvemos 5 – x > 0 8 x < 5. O seu dominio é (–∞, 5). Polo tanto: Dom f = (–∞, –2) « (–2, 2) « (2, 5) x +3 b) Buscamos os valores de x tales que ≥ 0. Para iso, achamos os valores que 2x – 5 anulan o numerador e denominador e estudamos o seu signo.

5 c–3, 2 m +

5 2 +

5 c 2 , +@m

–

(–∞, –3)

–3

x+3

–

FAINO TI

2x – 5

Acha o dominio de definición das funcións: a) f (x) = –x 2 + 5x – 6

x +3 2x – 5

En x = 5/2 a función non existe porque o denominador é 0. En x = –3 a función existe

b) g(x) = ln (sen x)

e vale 0. Polo tanto: Dom f = (–∞, –3] « (5/2, +∞)

2. Función definida «a anacos» As tarifas dunha empresa de transporte son:

a) Calculamos os ingresos nalgúns casos concretos. Sexa x a carga en toneladas:

• 40 € por tonelada de carga se esta é menor ou igual que 20 t. • Se a carga é maior que 20 t, o prezo por tonelada será 40 € menos tantos euros como toneladas superen as 20.

ingresos (€)

f (x)

15 t

15 · 40 = 600 €

800

20 t

20 · 40 = 800 €

600

25 t

(40 – 5) · 25 = 875 €

400

30 t

(40 – 10) · 30 = 900 €

200

a) Debuxar a función «ingresos» segundo a carga (carga máxima: 30 t). b) Obter a expresión analítica.

10 20 30 40 50 60 carga (t)

40 x se 0 ≤ x ≤ 20 se 0 ≤ x ≤ 20 40 x b) f (x) = * 3 4 . É dicir f (x) = ) 2 60x – x se 20 < x ≤ 30 [40 – (x – 20)] x se 20 < x ≤ 30

3. Función exponencial O proceso de cicatrización dunha ferida segue unha lei exponencial. A superficie S da ferida ao cabo de t días pódese calcular mediante a fórmula S = So e kt, onde So é a superficie inicial, e k, unha constante.

a) Coñecemos S0 = 50 e un punto (2; 24,83). Substituíndo estes valores na fórmula S = S0e kt podemos obter k.

a) Se unha ferida tiña unha superficie inicial de 50 cm2 e ao cabo de dous días mide 24,83 cm2, cal é o valor de k?

b) Calcular a superficie da ferida despois de 8 días.

t=2

S = 50e kt ⎯→ 24,83 = 50e 2k → e 2k = 0,4966 → 2k = ln 0,4966 → k = – 0,35 t=8

b) S = 50e – 0,35t ⎯→ S = 50e – 0,35 ∙ 8 = 3 cm2 superficie (cm2) 50

S = 50e –0,35t

c) Representar a función. 5 1

tempo (días)

257

Exercicios e problemas resoltos 4. Valor absoluto dunha función Definir por intervalos as seguintes funcións e representalas graficamente: a) f (x) = 4|x| – x2 b) f (x) = |x – 4| – |x| c) f (x) = |ln x|

–x se x < 0 a) Recordamos que a función y = |x | defínese así: y = ) 3 . Polo tanto: x se x ≥ 0 4 (–x) – x 2 se x < 0 –4x – x 2 se x < 0 = f (x) = * * 4 4 4x – x 2 se x ≥ 0 4x – x 2 se x ≥ 0 Buscamos os vértices e os puntos de corte cos eixes de cada parábola: parábola

vértice

cortes con eixe

y = – 4x – x 2

(–2, 4)

(0, 0) e (– 4, 0)

y = 4x – x 2

(2, 4)

(0, 0) e (4, 0)

–2

–x + 4 se x < 4 b) |x – 4| = ) x – 4 se 4 ≥ x

–x se x < 0 |x| = ) x se 0 ≤ x

Dispoñemos os cálculos nunha táboa para achar a función resultante: (–@, 0)

[0, 4)

[4, +@)

|x – 4|

–x + 4

x–4

|x|

–x

|x – 4| – |x|

4 – 2x

–4

b) f (x) = x – |x | c) f (x) = ln |x – 3|

4 se x < 0 f (x) = *4 – 2x se 0 ≤ x < 4 –4 se 4 ≤ x

FAINO TI

Define por intervalos e representa: a) f (x) = |x 2 – x – 6|

Y 4

c) A función y = ln x corta ao eixe X en x = 1, polo tanto: Y – ln x se 0 < x < 1 f (x) = ) 1 ln x se 1 < x 1

5. Función «parte enteira» Unha tenda de roupa ofrece á súa clientela a tarxeta «2MÁIS» na que ingresará 2 € para futuras compras, por cada 10 € de gasto que se faga alí. a) Representar a función que nos dá a cantidade ingresada na tarxeta segundo o gasto realizado. b) Escribir a súa expresión analítica.

FAINO TI

Representa f (x) = Ent (2x).

258

a) Por unha compra inferior a 10 € non ingresan nada. Se gastamos máis de 10 € e menos de 20 €, ingresan 2 €; entre 20 e 30 € correspóndennos 4 €; … ingresos (€) 6 4 2 10

40 gasto (€)

b) É unha función definida «a anacos»: Z ]0 se x é [0, 10) ]2 se x é [10, 20) ] f (x) = [4 se x é [20, 30) ]6 se x é [30, 40) ]] … \ x Tamén podemos definila utilizando a función «parte enteira»: f (x) = 2 Ent b 10 l

6. Composición e función inversa Dadas as funcións: f (x) = 2 x+1 g (x) = 3 x + 1 h (x) = x3 – 1 achar: a) g ° f b) h ° f c) g ° h d) h ° g ° f e) f -1 FAINO TI

Acha g ° f e f ° g, sendo: f (x) = 3 x 2 – 5 e g (x) = 2 x – 1

Observamos que f ( ) = 2

+ 1;

g( ) = 3 4+ 1 ; h( ) =

– 1.

a) g ° f (x) = g[ f (x)] = g(2x + 1) = 3 2 x + 1 + 1 b) h ° f (x) = h[ f (x)] = h(2x + 1) = (2x + 1)3 – 1 = 23x + 3 – 1

c) g ° h (x) = g [ h (x)] = g(x3 – 1) = 3 (x 3 – 1) + 1 = x As funcións g e h son inversas porque verifican (g ° h)(x) = x.

d) h ° g ° f (x) = h 7g ^2 x + 1hA = h ^3 2 x + 1 + 1 h = ^3 2 x + 1 + 1 h – 1 = 2x + 1 = f (x) 3

e) Para calcular a inversa de f, cambiamos as variables, x = 2y + 1, e tomamos logaritmos de base 2 para despexar x : log2 x = log2 2y + 1 → log2 x = y + 1 → y = –1 + log2 x → f – 1(x)= –1 + log2 x

7. Representación de hipérboles a) Representar a seguinte función: 2x + 1 f (x) = x+1 b) Achar a súa función inversa e representala. c) Determinar o dominio e percorrido de f e de f –1.

FAINO TI

Representa a función y = 3x – 5 e x –2 a súa inversa.

Utilizando a relación Dividendo = cociente + resto , podemos representar este tipo divisor divisor 1 de funcións a partir da hipérbole y = mediante transformacións elementais. x a) Dividimos: Y 2x + 1 x + 1 2 x + 1 – 1 → =2+ x +1 x +1 –2x – 2 2 2 –1 1 Polo tanto, a gráfica pedida é como a de y = – desprazada x X –2 1 2 unidades cara arriba e 1 cara á esquerda. b) Cambiamos as variables e despexamos: 2y + 1 x= → x (y + 1) = 2y + 1 → xy – 2y = 1 – x → y = 1 – x y +1 x –2 –1 Y Polo tanto, f (x) = 1 – x = –1 + –1 . x –2 x –2 A gráfica é a simétrica de 1 respecto ao eixe X, desprazada x 1 unidade cara abaixo e 2 unidades cara á dereita. –1 c) Observamos que Dom f = Á{–1} e Rec f = Á{–2}.

Na inversa Dom f –1 = Á{–2} e Rec f –1= Á{–1}. O dominio de f é o percorrido de f –1 e o percorrido de f é o dominio de f –1.

8. Transformacións elementais de funcións Describir as transformacións que habemos de facer na seguinte función para representala a partir da gráfica doutra máis simple: f (x) = – 1 x2 – 2x – 5 2 FAINO TI

Describe as transformacións que debemos facer na gráfica de y = x2 para representar f (x) = x2 – 2x – 3.

Debemos escribir f da forma y = m (x – n)2 + p. Para iso, separamos os termos en x e completamos cadrados enchendo os símbolos cos números adecuados: f (x) = – 1 (x2 + 4x + ) – 5 + 2 f (x) = – 1 (x2 + 4x + 4) – 5 + 2 2 –1 1 2 –1 f (x) = – (x + 2) – 3 2 Para representar f (x) partimos da gráfica de y = – x2 e facemos unha translación de 2 unidades cara á esquerda, 3 unidades cara abaixo e un ensanchamento en sentido vertical dividindo por 2. 259

Exercicios e problemas guiados 1. Interpolación lineal A porcentaxe de persoas que tiñan acceso a Internet en España, era en 2018 o 86,1% e, en 2014, o 74,4%.

• Se coñecemos dous puntos dunha función e podemos supoñer que é lineal nun intervalo, podemos estimar o seu valor para calquera x dese intervalo utilizando a ecuación da recta que pasa por eses dous puntos.

Estimar a porcentaxe en 2016.

• Neste caso os puntos coñecidos son A(2018; 86,1) e B(2014; 74,4). • Escribe a ecuación da recta que pasa por A e B. Solución: A porcentaxe en 2016 era do 80,25 %.

2. Ecuación dunha parábola Escribir a ecuación dunha parábola que ten o vértice no punto (1, 9) e corta ao eixe Y en (0, 8).

• Unha parábola ten por ecuación y = ax2 + bx + c. Temos que achar a, b e c. –b • Coa abscisa do vértice relacionamos as incógnitas a e b. 2a • A parábola pasa polos puntos (1, 9) e (0, 8). Substitúeos na súa ecuación. Obterás un sistema de tres ecuacións con incógnitas a, b e c. Resólveo. Outra forma de resolvelo. Posto que coñecemos a abscisa do vértice podemos escribir a ecuación da parábola como y = a(x – 1)2 + k e substituír nela os puntos (1, 9) e (0, 8). Solución: y = –x2 + 2x + 8

3. Unha función polinómica

a) Escribir a función que nos dá o volume do cono segundo o que mide a súa altura, x.

• Deberás expresar o raio do cono en función da altura x (observa no gráfico o triángulo de lados x, R e 15 cm).

b) Cal é o seu dominio de definición?

b) Entre que valores pode variar a altura x ? Solución: a) V(x) =

π (225x – 3

x 3)

a) • Recorda como se calcula o volume dun cono en función do raio da base e da altura. 15

Considerar todos os conos cuxa xeratriz mide 15 cm.

b) Dom V(x) = (0, 15)

4. Función loxística A función

• Observa que has de encontrar o valor de x para o que f (x) = 6 000.

12 000 1 + 499 (1,09 –x ) dá as vendas totais dun videoxogo x días despois do seu lanzamento. En que día se chegou a 6 000 xogos vendidos?

• Opera a expresión ata eliminar denominadores e facela o máis sinxela posible. • Obterás unha expresión do tipo A = C –x. Para obter o valor de x, toma logaritB mos e utiliza a calculadora.

f (x) =

Solución: Chegouse aos 6 000 xogos vendidos 72 días despois do seu lanzamento.

5. Área dun triángulo O perímetro dun triángulo isóscele é 30 cm. Expresa a súa área en función do lado desigual. Cal é o dominio e o percorrido desa función?

• Chama x á metade da base. • Escribe o lado igual en función de x. Ten en conta que coñeces o perímetro. • Expresa a altura en función de x. Solución:

A(x) = x 225 – 30x , x é(0; 7,5). O percorrido é 25 3.

260 260

Exercicios e problemas propostos Para practicar

Funcións elementais

Dominio de definición

1 Acha o dominio de definición destas funcións: 2 b) y = 3x3 + 2 x +x ^x + 5h2 c) y = 2 x d) y = 1 + 1 x x +2 x – x +2 2 Estuda o dominio de definición destas funcións: a) y =

a) y = 1,5x

b) y = x + 2

1 d) y = x – 4

2 c) y = x – 1 3

e) y = 3x 2 + 5x – 1

f ) y = 0,75x

g) y = log2 x

h) y = – – x

b) y = 7 – x

c) y = x 2 + 3x + 4

d) y = x – 1 + x – 2

–2 4

4 Y

–2

–4

6 X

4 X

4 Y

2 –2 2

–2

–4

–2 Y

7 Escribe a función que nos dá a área dun rectángulo de perímetro 16 cm, en función da súa base x. Cal é o seu dominio de definición e o seu percorrido? A temperatura dunha persoa, desde que comeza a súa enfermidade ata que volve ter 37 °C, evolucionou segundo a función T(t)= – 0,1t 2 + 1,2t + 37, sendo t o número de días transcorridos desde o inicio da enfermidade. Cal é o seu dominio de definición? E o seu percorrido?

8 Y

VIII

4 2

2 –2

6 A función h(t) = 80 + 64t – 16t 2 dános a altura á que está unha pelota lanzada cara a arriba no instante t, ata que volve ao chan. Cal é o seu dominio de definición? E o seu percorrido?

–4

–4 –2

–2

2 2

–2

VII

–2

6 X

6 Y

4 Y

–8 –6 –4 –2

5 Observa as gráficas destas funcións e indica cal é o seu dominio de definición e o seu percorrido: Y a) b) Y

–2 –3

d) y =

2 X

4 – x2 2x + 1 x +3 x +3 e) y = f) y = x –2 x –2 Os apartados e) e f ), corresponden á mesma función?

III

4 Determina o dominio de definición das funcións: a) y = e –x b) y = ln ( x – 2)

–1 –1

–4

d) y = 2 x

–2

3 Di cal é o dominio de definición de: a) y = 3 + 21 – x b) y = log2 (x + 3)

c) y = 1 + log 2 x

4 Y 2

a) y = 2x + 5

c) y = ln (2 – x)

Asocia a cada gráfica a súa fórmula.

–4 –2

10 Representa as seguintes parábolas achando o vértice, os puntos de corte cos eixes de coordenadas e algún punto próximo ao vértice: a) y = x 2 + 2x + 1 b) y = 0,5x 2 – 2x + 1 c) y = –x 2 + 3x – 5 d) y = –1,5x 2 – 3x – 2 11 Representa estas funcións no intervalo indicado: a) y = 2x 2 – 4, [0, 2] c) y = 1 , x < 0 x e) y = log2 x, (0, 7]

2 b) y = – 3x , x ≥ –1 2 d) y = 0,6x, [–3, 3]

f ) y = x , [0, 1]

12 Representa as seguintes funcións: a) f (x) = e–x

b) f (x) = –ln x

c) f (x) = 3 x 261 261

Funcións definidas «a anacos»

Transformacións dunha función

13 Representa graficamente as seguintes funcións:

20 Representa f (x) = 4 – x 2 e, a partir dela, representa: a) y = f (x) – 3 b) y = f (x + 2) c) y = | f (x)|

Exercicios e problemas propostos se x < 0 –2 a) y = *x – 2 se 0 ≤ x < 4 2 se x ≥ 4

21 Esta é a gráfica da función y = f (x):

Y 2

–2x – 1 se x ≤ 1 b) y = ) x +1 se x > 1

x 2 – 2x se x < 2 c) y = * 2x – 4 se x ≥ 2 14 Debuxa a gráfica das seguintes funcións: x 2 – 2x se x ≤ 2 a) y = * se x > 2 3 –x 2 – 4x – 2 se x < –1 b) y = * 2 se x ≥ –1 x –x – 1 se x ≤ –1 c) y = *2x 2 – 2 se –1 < x < 1 x –1 se x ≥ 1

x x

d) y = |–x – 1| b) y = |x 2 – 4x | d) y = |x 2 – 2x + 1| b) y = |log2 x| d) y = 2|x| + x

19 Representa as funcións seguintes:

262

1 x +1

b) y =

1 x –1

d) y = –1 x –3

25 Representa as seguintes funcións: a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = 2 + x d) y = 1 – x

16 Representa as seguintes funcións e defíneas como funcións «a anacos»: a) y = |4 – x | b) y = |3x + 6|

c) y =

23 Representa a función f (x) = x e debuxa a partir dela: a) g (x) = f (x + 1) b) h(x) = f (x) – 3 c) j(x) = | f (x)|

c) y = –1 x

2x se x < 2 b) y = *–x + 6 se 2 ≤ x < 7 3 se x ≥ 7

18 Representa. a) y = 1 x

22 A partir da gráfica de f (x) = 1/x, representa: a) g (x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3) c) i(x) = –f (x) d) j(x) = | f (x)|

a) y =

1/x se x < 0 a) y = * x se x ≥ 0

17 Representa estas funcións: a) y = |x 2 – 1| c) y = |x 2 + 2x – 3|

c) y = | f (x)|

24 Representa as seguintes funcións:

15 Representa.

c) y = x – 3 2

Representa, a partir dela, as funcións: a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2

e x se x < 1 a) y = ) ln x se x ≥ 1

cos x se –π ≤ x < 0 b) y = ) sen x se 0 ≤ x ≤ π

5 – x se x < 3 c) y = * 2 x – 2 se x ≥ 3

2 x – 3 se x < 3 d) y = * x – 3 se x ≥ 3

26 Representa estas funcións: a) y = 2x + 1 c) y = 2x – 1 e) y = 1 – 2x

b) y = 2x – 3 d) y = b 1 l 2 –x f) y = 2

x +3

27 Representa estas funcións a partir da gráfica de y = log2 x : a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = – log2 x d) y = log2 (–x) 28 Expresa estas funcións da forma y = a(x – m)2 + p e describe as transformacións que temos que facer para representalas a partir de y = x2: a) y = x2 – 10x + 16 b) y = 3x2 – 3x + 5 k +b e x–a describe as transformacións que temos que facer para repre1 sentala a partir de y = : x 3 x a) y = b) y = x – 2 x –1 x–4 c) y = 3x + 2 d) y = x + 1 x +1 x –1

29 Expresa as seguintes funcións da forma y =

Para resolver

Composición e función inversa

30 Dadas as funcións

36 Obtén a expresión analítica das seguintes funcións:

f (x) = + 1 g (x) = 3 x –2 obtén as expresións de: a) f ° g b) g ° f x2

h(x) = x – 3

h(x) =

pódense obter estas outras: a) m(x) = 2

x +1

b) n(x) =

d) q(x) = 2 x – 3

e) r (x) =

1 x +1

f ) s (x) =

1 2x – 1 – 1

39 Calcula en radiáns. a) arc sen bsen π l 4

c) Y

Calcula sobre a gráfica correspondente: f –1(2) f –1(1)

c) arc tan btan π l 5 e) sen (arc cos (–1))

f –1(–1)

34 Comproba se cada par de funcións son unha inversa da outra. Para iso, calcula f ° f –1 ou ben f –1 ° f : a) f (x) = 1 ; f –1(x) = 1 – 2 x +2 x b) f (x) = 2x + 3 ; f –1(x) =

e) y = arc cos b– 1 l 2

2 2 X

Y 6

a) y = arc sen 3 2 c) y = arc tan 1

X 6

2 –4 –2 –2

X 6

38 Obtén o valor de y en graos e radiáns.

d) y = 2 + log3 (x + 1)

37 Determina, en cada caso, a ecuación da parábola da que coñecemos o vértice e outro punto. a) V(1, – 4), P(–1, 0) b) V(–2, 3), P(0, 6)

b) y = 2x – 1

–4

f ) y = 2x – 3 x +1 33 Representa graficamente a función inversa en cada caso: Y

8 10

–4 –2 –2

e) y = 4 – x , x ≤ 4

32 Acha a función inversa das seguintes funcións: a) y = 3x – 1 2 c) y = 1 + 2x – 3

–4 –2 –2

1 x –3

4–x

1 +2 x –3

2x – 1 + 2

c) p(x) =

Y 6 4

31 Explica como a partir das funcións g (x) = x + 2

c) f ° h d) g ° h e) h ° f f) h ° g Acha, se é posible, o valor das funcións obtidas nos puntos x = 5 e en x = 0.

f (x) = 2x – 1

x2 + 2 3

c) f (x) = 1 + log2 x ; f –1(x) = 3 ∙ 2x – 1 3 35 Considera a función y = x + 2 , x ∈ [–2, 7]. a) Cal é o seu percorrido? b) Obtén a súa función inversa, e determina o dominio de definición e o percorrido desta.

b) y = arc cos 1 2 d) y = arc sen (–1) f ) y = arc tan 3

b) arc cos (cos π) d) tan (arc tan 1) f ) arc cos (tan π)

Nas funcións de oferta e demanda, chámase cantidade de equilibrio ao número de unidades que hai que producir para que a oferta e a demanda se igualen, o (x) = d (x); e chámase prezo de equilibrio ao prezo co cal se consegue esa igualdade. a) Acha o prezo e a cantidade de equilibrio dun produto con funcións de oferta e demanda o (x) = 2,5x – 100 e d (x) = 300 – 1,5x (x en euros, d e o en miles de unidades do produto). b) Se o prezo do produto é de 80 €, haberá escaseza ou exceso deste? E se o prezo fose de 120 €? c) Cales serían o prezo e a cantidade de equilibrio se as funcións de oferta e demanda fosen o (x) = 0,25x 2 – 100 e d (x) = 185 – 2x ? 263

Exercicios e problemas propostos 41 Sábese que a retención de coñecementos dun curso vai diminuíndo co paso do tempo. Un estudo de psicoloxía conclúe que a porcentaxe que se recorda t meses despois de finalizado o curso, vén dado pola función: R(t) = 94 – 46,8 log (t + 1) a) Calcula a porcentaxe do curso que se recordará cando pase un ano. b) Ao cabo de canto tempo se recordará a metade dos coñecementos? 42 En certo país aplícanse estes impostos sobre os salarios mensuais: • 20 % da parte do salario bruto comprendido entre 800 €, que é o salario mínimo, e 2 500 €. • 40 % da parte do salario bruto superior a 2500 €. a) Que salario neto corresponde a 1 500 € de salario bruto? E a 3 000 €? b) Escribe a función que dá os impostos a pagar, segundo o salario bruto x. c) Cal debe ser, como mínimo, o salario bruto para que o neto sexa superior a 2 500 €? 43 Unha feira gandeira está aberta ao público entre as 10 e as 20 horas. O número de visitantes vén dado pola función N (t) = –20t 2 + Bt + C, onde t é a hora de visita. Sabendo que ás 17 h se alcanza o máximo de 1 500 visitantes, acha B e C e representa a función. 44 Nun cilindro de raio 8 cm, depositamos unha bóla esférica de raio x e botamos auga ata que cubra a bóla. Escribe a función que dá a cantidade de auga que hai que botar segundo a medida do raio da bóla.

8 cm

Cal é o seu dominio de definición?

47 Un negocio no que investimos 10 000 €, perde un 4 % mensual. Escribe a función que nos dá o capital que teremos segundo os meses transcorridos, e represéntaa. Canto tempo tardará o capital inicial en reducirse á metade? 48 Unha cunca de café recén feito está a 75 °C. Despois de 3 minutos nun cuarto a 21 °C, a temperatura do café descendeu a 64 °C. Se a temperatura, T, do café en cada instante t vén dada pola expresión T = Ae kt + 21, calcula A e k e representa a función. Canto teremos que esperar para que a temperatura do café sexa de 45 °C? 49 Para enviar un paquete desde Adelaida a París, un servizo de correo cobra 50 € por paquetes que pesen ata 2 kg e 10 € por cada kg ou fracción adicional. a) Calcula o que custa enviar un paquete de 5 kg. b) Escribe a expresión analítica do prezo de enviar un paquete de x kg para x menor ou igual a 8. c) Represéntaa graficamente. 50 Un charco circular de auga estase a evaporar ao sol. Ao cabo de t minutos o seu raio é g(t) = 15 cm. t +2

a) Expresa a área do charco en función do tempo. b) Cal será a área do charco ao cabo de 10 min? c) Que relación ten a función do apartado a) coas funcións f (r) = πr2 e g(t) = 15 ? t +2

51 A recta y = 20x + 1 curta a y = ax en x = 0 e x = 4. a) Calcula a. b) Para ese valor de a, escribe a ecuación da recta, s, que corta a y = loga x en x = 1 e x = 81. c) Que relación hai entre as rectas r e s?

Cuestións teóricas

45 Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada un e sabe que por cada 10 euros de suba venderán 2 electrodomésticos menos. a) Cales serán os ingresos se sobe os prezos 50 euros? b) Escribe a función que relaciona a suba de prezo cos ingresos mensuais. c) Cal debe ser a suba para que os ingresos da fábrica sexan máximos?

46 Un cultivo de bacterias comeza con 100 células. Media hora despois hai 435. Se ese cultivo segue un crecemento exponencial do tipo y = kat (t en minutos), calcula k e a e representa a función. Canto tardará en chegar a 5 000 bacterias?

53 Dadas f (x) = x2 – x + 1 e g(x) = 1 + x – 3 : 2 4 a) Cal debe ser o dominio de f para que exista f –1? b) Acha g ° f, e di como son entre si f e g. c) Cal é dominio de f ° g e de g ° f ?

264

Verdadeiro ou falso? Xustifícao e pon exemplos. a) Se a > 0, cúmprese aloga x = x. b) A función y = arc cos x corta o eixe Y en (0, π/2). c) Na función y = ax non podemos dar a x valores negativos cando 0 < a < 1. π π d) O dominio da función y = arc tan x é b– 2 , 2 l . π e) Se x é :0, 2 D entón arc sen (cos x) = π – x 2

54 Demostra que y = logb (x – a) e y = logc (x – a) cortan ao eixe OX no mesmo punto.

58 Se f (x) = ax – 4 e g(x) = bx + 3, determina a condición que deben cumprir a e b para que f ° g (x) = g ° f (x) para todo x.

55 Calcula x nas seguintes expresións: a) arc tan x = –72° b) arc sen x = 75° π c) arc cos x = rad d) arc tan x = 1,5 rad 3 56 Cantas solucións pode ter cada un destes sistemas?

59 Cantas solucións teñen estas ecuacións? a) – 3 x + 4 = log2 x b) ex = x 2 1 c) ex = 4 – x2 d) ln x = x Busca, cando sexa posible, unha solución aproximada.

a) *

y = x2 y = ax + b

b) *

c) *

y= x y = ax + b

y = 1/x y = ax + b

Para afondar 57 Dadas as funcións f (x) = 2x + 1 e g(x) = 1 – x . x +2 a) Represéntaas e di, en cada caso, cal é o seu dominio e o seu percorrido. b) Cal é dominio de f ° g e de g ° f ?

60 Unha función f ten a seguinte propiedade: f (2x + 1) + 3 = 4x2 + 6x + 2 f (1) Canto vale f (2)? 61 Definimos a función f (x) = a – ax + b para calquera par de números reais (a, b). Dous números reais m e n se di que son substituíbles se existe un par (a, b) tal que a función asociada a ese par, cumpre f (m) = n e f (n) = m. Comproba que 2 e 3 son substituíbles. Sono tamén 4 e 7? Acha en cada caso a e b.

AUTOAVALIACIÓN

➜

1 Acha o dominio de definición das seguintes funcións: a) y = x 2 – 2x

b) y =

2 x3 – x2

2 Representa graficamente as seguintes funcións: –x 2 + 4 se a) y = |2x + 3| b) y = ( se 4–x 3 Representa y = 1 . A partir dela, debuxa a x y = –2x + 5 . x –2 Y 4 Determina a expresión analítica desta función definida no inter2 valo [–6, 6]. Cal é o seu percorrido? – 4 –2

x <1 x ≥1 gráfica de

7 O prezo de venda dun artigo vén dado pola expresión p = 12 – 0,01x (x = número de artigos fabricados; p = prezo, en centos de euros). a) Se se fabrican e se venden 500 artigos, cales serán os ingresos obtidos? b) Representa a función número de artigos-ingresos. c) Cantos artigos se deben fabricar para que os ingresos sexan máximos? 8

A dose dun fármaco comeza con 10 mg e cada día debe aumentar 2 mg ata chegar a 20 mg. Débese seguir 15 días con esa cantidade e a partir de entón ir diminuíndo 4 mg cada día. a) Representa a función que describe este enunciado e determina a súa expresión analítica. b) Di cales son o seu dominio e o seu percorrido.

Meta 11.c. Para estudar o crecemento poboacional dunha cidade requírese unha función do tipo P(t) = P0 e kt. Ao iniciarse o estudo, a cidade tiña 50 000 habitantes e 10 anos despois, 74 590 habitantes. a) Determina a función. b) Canto tempo tardará en chegar aos 100 000 habitantes?

–2

1 , acha: x –3 b) g [ f (15)] c) f ° g

5 Dadas f (x) = x + 1 , g(x) = a) f [ g (2)]

d) g–1(x)

6 Depositamos nun banco 2 000 € ao 6 % anual. a) Escribe a función que nos di como evoluciona o capital ao longo do tempo. Que tipo de función é? Represéntaa. b) En canto tempo se duplicará o capital?

anayaeducacion.es Resolucións destes exercicios

265

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Reservados todos os dereitos. O contido desta obra está protexido pola Lei, que establece penas de prisión e/ou multas, amais das correspondentes indemnizacións por perdas e danos, para quen reproduza, plaxie, distribúa ou comunique publicamente, en todo ou en parte, unha obra literaria, artística ou científica, ou a súa transformación, interpretación ou execución artística fixada en calquera tipo de soporte ou comunicada a través de calquera medio, sen a preceptiva autorización.