MATERIAL DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Unidad 2 Programaci贸n Lineal Aplicaciones

1

2.1 Modelo de Transporte El objetivo general es encontrar el mejor plan de distribución, es decir, la cantidad que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos de suministro hasta los puntos de demanda.

El “mejor plan” es aquel que minimiza los costos totales de envío, produzca la mayor ganancia u optimice algún objetivo corporativo.

Se debe contar con:

i) Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

ii) Costo de transporte unitario de mercadería desde cada fuente a cada destino.

2

2.1 Modelo de Transporte

TambiĂŠn es necesario satisfacer ciertas restricciones: 1. No enviar mĂĄs de la capacidad especificada desde cada punto de suministro (oferta).

2. Enviar bienes solamente por las rutas vĂĄlidas.

3. Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes en los puntos de demanda.

3

2.1 Modelo de Transporte

Gráficamente: Para m fuentes y n destinos

Esquemáticamente se podría ver como se muestra en la siguiente figura Fuentes Destinos C11, X11

s1

1

1

d1

s2

2

2

. . .

d2

. . .

sm

m Cmn, Xmn

donde

n

dn

Xij: cantidad transportada desde la fuente i al destino j Cij: Costo del transporte unitario desde la fuente i al destino j 4

2.1 Modelo de Transporte

Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte

m

minimizar

n

Z   cij xij i 1 j 1

sa

n

x j 1

ij

m

x i 1

ij

 si

i=1,2,...,m

 dj

j=1,2,...,n

xij  o

para toda i y j

El modelo implica que al menos la oferta debe ser igual a la demanda 5

2.1 Modelo de Transporte

Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte Modelo de transporte equilibrado: Oferta = Demanda

n

x j 1

ij

m

x i 1

ij

 Si

i=1, 2, 3,....,m

 Dj

j=1, 2, 3,....,n

xij  0

para toda i y j 6

2.1 Modelo de Transporte

Soluci贸n del Modelo de Transporte

2.1 Modelo de Transporte

Algoritmos Específicos 2.1.1 Regla de la esquina noroeste (MEN) 2.1.2 Método por aproximación de Vogel (MAV) 2.1.3 Método del costo mínimo (MCM) 2.1.4 Método del paso secuencial y 2.1.5 DIMO (método de distribución modificada)

8

2.1 Modelo de Transporte

Descripción de los algoritmos La regla de la esquina noroeste, el método de aproximación de Vogel y el método del costo mínimo son alternativas para encontrar una solución inicial factible.

El método del escalón y el DIMO son alternativas para proceder de una solución inicial factible a la óptima.

Por tanto, el primer paso es encontrar una solución inicial factible, que por definición es cualquier distribución de ofertas que satisfaga todas las demandas 9

2.1 Modelo de Transporte

Descripción de los algoritmos Una vez obtenida una solución básica factible, el algoritmo procede paso a paso para encontrar un mejor valor para la función objetivo.

La solución óptima es una solución factible de costo mínimo

Para aplicar los algoritmos, primero hay que construir una tabla de transporte.

10

2.1 Modelo de Transporte

Tabla Inicial Origen 1

1 C11

Destinos 2 3 C12 C13

4 C14

....

n C1n

2

C21

C22

C23

C24

....

C2n

3

C31

C32

C33

C34

....

C3n

...

....

.....

....

....

....

Cm1

Cm2

Cm3

Cm4

....

Cmn

m

Ofertas

Demanda

11

2.1 Modelo de Transporte

Tabla Inicial del Ejemplo Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6 500

2

6

4

10

11 700

3 Demanda

10 400

9 900

12 200

4 500

800 2000

12

2.1 Modelo de Transporte

2.1.1 Regla de la esquina Noroeste Se inicia el proceso desde la esquina izquierda superior Se ubican tantas unidades como sea posible en la ruta Cantidad de Unidades = MĂ­nimo(disponibilidad, demanda) Las siguientes asignaciones se hacen o bien recorriendo hacia la derecha o bien hacia abajo.

Las demandas se satisfacen recorriendo sucesivamente de izquierda a derecha y las ofertas se destinan recorriendo de arriba hacia abajo.

13

2.1 Modelo de Transporte

Primera asignaci贸n

Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6

400 2

100 6

4

10

500

11 700

3 Demanda

10 0 400

9 900

12 200

4 500

800 2000

14

2.1 Modelo de Transporte

Hasta cuarta asignaci贸n

Plantas Puertos 1

1

2 12

400 2

3 13

4 4

Oferta 6

100 6

4

10

Demanda

10

9

100 0 400 0 900

12 200

500

0

700

700

800 2000

11

700 3

100

4 500

15

2.1 Modelo de Transporte

Esquina Noroeste: Soluci贸n final factible Plantas Puertos 1

1

2 12

400 2

3 13

4 4

Oferta 6

100 6

4

10

Demanda

10

9

12

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

4

100 200 500 0 400 0 900 200 500

Valor FO: 400*12+100*13+700*4+100*9+200*12+500*4= $14.200 16

2.1 Modelo de Transporte

2.1.2 Método de aproximación de Vogel (MAV) MAV usa información de costos mediante el concepto de costo de oportunidad para determinar una solución inicial factible.

Seleccionar en una fila la ruta más barata y la que le sigue.

Hacer su diferencia (penalidad), que es el costo adicional por enviar una unidad desde el origen actual al segundo destino y no al primero.

En nuestro caso, para el puerto1, C13 y C14; Penalidad = 6 - 4 MAV asigna un costo de penalidad por no usar la mejor ruta en esta fila.

17

2.1.2 Método de aproximación de Vogel

2.1 Modelo de Transporte

Lo anterior se repite para cada fila y cada columna, esto es, determinar todas las penalidades

Los pasos iterativos de MAV son los siguientes: 1. Identificar la fila o columna con la máxima penalidad.

2.Colocar la máxima asignación posible a la ruta no usada que tenga menor costo en la fila o columna seleccionada en el punto 1 (los empates se resuelven arbitrariamente) 3. Reajustar la oferta y demanda en vista de esta asignación.

4. Eliminar la columna en la que haya quedado una demanda 0 (o la fila con oferta 0), de consideraciones posteriores.

5. Calcular los nuevos costos de penalidad.

18

2.1.2 M茅todo de aproximaci贸n de Vogel

2.1 Modelo de Transporte

El MAV contin煤a aplicando este proceso en forma sucesiva hasta que se haya obtenido una soluci贸n factible.

Los resultados obtenidos se muestran en las siguientes tablas

19

2.1.2 Método de aproximación de Vogel

2.1 Modelo de Transporte

Paso 0: Cálculo de penalidades Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4

Oferta

4

Penalidades 2

6 500

2

6

4

10

11

2 700

3 Demanda Penalidades

10

9

12

4

400

900

200

500

4

5

6

2

5 800 2000

Paso 1: Identificar máxima penalidad (fila o columna) Calculadas todas las penalidades, la mayor corresponde a la columna 3 (penalidad = 6) 20

2.1.2 M茅todo de aproximaci贸n de Vogel

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Asignaci贸n de unidades (MIN(oferta,demanda)) Paso 3:Reajuste de oferta y demanda Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6

200 2

6

4

300 10

500

11 700

3 Demanda

10 400

9 900

12 0 200

4 500

800 2000

21

2.1.2 M茅todo de aproximaci贸n de Vogel

2.1 Modelo de Transporte

Paso 4: Eliminar columna (fila) con demanda (oferta) 0 Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6

200 2

6

4

300 10

500

11 700

3 Demanda

10 400

9 900

12 0 200

4 500

800 2000

22

2.1.2 M茅todo de aproximaci贸n de Vogel

2.1 Modelo de Transporte

Paso 5: Calcular los nuevos costos de penalidad Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6

200 2

6

4

300 10

Penalidades 6 500

11

2 700

3 Demanda Penalidades

10

9

400

900

4

5

12 0 200

4 500

5 800 2000

2

23

2.1.2 Método de aproximación de Vogel

2.1 Modelo de Transporte

Repitiendo los pasos anteriores, finalmente se llega a la siguiente solución Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

200 2

6

4

Oferta 6

300 10

300

500

0

700

11

700 3

10 400

Demanda

9 200

400

900

12

4

200 600 800 0 200 200 500 2000

¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI Costo: 200*4+300*6+700*4+400*10+200*9+200*4 = $12.000 24

2.1.3. Método del Costo Mínimo

2.1 Modelo de Transporte

Fundamento Asignar la mayor cantidad de unidades a una ruta disponible de costo mínimo Algoritmo 1. Dada una tabla de transporte 2. Asignar la mayor cantidad de unidades a la variable (ruta) con el menor costo unitario de toda la tabla.

3. Tachar la fila o columna satisfecha.

4. Ajustar oferta y demanda de todas las filas y columnas 5. Si hay más de una fila o columna no tachada repetir los puntos 2, 3 y 4 25

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

Ejemplo: Aplicar MCM a la tabla de transporte Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6 500

2

6

4

10

11 700

3

10

Demanda

Paso 2

400

9 900

12 200

4 500

800 2000

Existen tres rutas costo mínimo. Elijamos la 1_3 Unidades a asignar = MIN(200,400) = 200 26

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 3: Tachar fila o columna (columna 3) Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6

200

2

6

4

300

10

500

11 700

3

10

Demanda

400

9 900

12 0 200

4 500

800 2000

Paso 4

Ajustar ofertas y demandas (fila 1 y columna 3)

Paso 5

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2 27

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_4 (ó 2_2) Unidades = MIN(500,800) = 500 Paso 3: Tachar columna 4 Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 4 Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6

200

2

6

4

300

10

500

11 700

3

10

9

12

4 500

Demanda

Paso 5

400

900

0 200

0 500

300

800 2000

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2 28

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Ruta de costo menor -> 2_2 Unidades = MIN(700,900) = 300 Paso 3: Tachar fila2 Paso 4: Tachar ajustar fila 2 y columna 2 Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6

200

2

6

4

10

10

9

12

Paso 5

400 200 900

0 200

0

700

4 500

Demanda

500

0

700

3

300

0 500

300

800 2000

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2 29

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_2 Unidades = MIN(200,300) = 200 Paso 3: Tachar columna 2 Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 2 Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6 300

500

10

0 700

12

0 4 100 300

200

2

6

4 700

3 Demanda

Paso 5

10

9

400

200 200 900

500

0 200

0 500

800 2000

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2 30

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_1 Unidades = MIN(400,100) = 100 Paso 3: Tachar fila 3 Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 1 Puertos 1

1

2 12

3 13

4 4

Oferta 6 300

500

10

0 700

12

0 4 100 300

200

2

6

4 700

3 Demanda

Paso 5

10

9

100 300 400

200 200 900

500

0 200

0 500

0

800 2000

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2 31

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Ruta de costo menor -> 1_1 Unidades = MIN(300,300) = 300 Paso 3: Tachar fila 1 ó columna 1 (sólo una de ellas) Paso 4: Tachar ajustar fila 1 y columna 1 Puertos 1

1

2 12

3 13

300

2

4 4

6 0 300

500

10

0 700

12

0 4 100 300

200

6

4 700

3 Demanda

Paso 5

Oferta

10

9

100 300 400

200 200 900

500

0 200

0 500

0

800 2000

Queda sólo una fila sin tachar. Terminar 32

2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)

2.1 Modelo de Transporte

¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI Costo: 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4 = $12.000 Comparación de los resultados Método MEN MAV MCM

Rutas 6 6 6

Costo $14.200 $12.000 $12.000

Conclusión Los tres métodos entregan soluciones básicas factibles, pero ninguno asegura que la solución sea óptima.

33

2.1.4. Método de Pasos Secuenciales

2.1 Modelo de Transporte

Fundamento Este método comienza con una solución inicial factible.

En cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no se haya usado en la solución factible actual, en tanto se elimina una ruta usada actualmente.

En cada cambio de ruta debe cumplirse que: 1. La solución siga siendo factible y 2. Que mejore el valor de la función objetivo El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor de la función.

34

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

2.1 Modelo de Transporte

Algoritmo

1

Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para crear una trayectoria única del paso secuencial. Usar estas trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a la solución cada ruta no usada.

2

Si todos los costos marginales son iguales o mayores que cero, terminar; se tendrá la solución óptima. Si no, elegir la celda que tenga el costo marginal más negativo (empates se resuelven arbitrariamente)

3

Usando la trayectoria del paso secuencial, determine el máximo número de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajustar la distribución adecuadamente.

4

Regrese al paso 1 35

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 1

a) Ponga un signo + en la celda de interés no ocupada b) Ponga un signo - en una celda usada de la misma fila c) Ponga un + en una celda usada de la misma columna

El proceso continúa alternando los signos + y - tanto en las filas como en las columnas hasta que se obtenga una sucesión de celdas (trayectoria) que satisfagan dos condiciones 1. Hay un signo + en la celda desocupada original de interés, y 2. Cualquier fila o columna que tenga un signo + debe tener también un signo - y viceversa.

36

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 1

Algoritmo

Plantas Puertos 1

1

2 12

400 2

3 13

4 4

Oferta 6

100 6

4

10

Demanda

10

9

12

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

4

100 200 500 0 400 0 900 200 500

Solución básica factible obtenida aplicando el método de la Esquina Noroeste 37

2.1.4. MĂŠtodo de pasos secuenciales (cont..)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 1

Algoritmo

Plantas Puertos 1

1

2 12

400 2

100 6

3 13 4

4 4 + 10

Oferta 6

Demanda

10

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

9

12 4 100 + 200 - 500 0 400 0 900 0 200 0 500

Trayectoria 1: +C13-C12+C32-C33 38

2.1.4. MĂŠtodo de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 1 Plantas

Puertos 1

1

2 12

400

100

2

6

3 13 4

4 4 + 10

Oferta 6

Demanda

10

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

9

12 4 100 + 200 - 500 0 400 0 900 0 200 0 500

Costos de las Trayectorias

1: +(4)-(13)+(9)-(12)= -12

2: +(6)-(13)+(9)-(4) = -2

3: +(6)-(4)+(13)-(12)= 3

4: +(10)-(4)+(9)-(12) = 3

5: +(11)-(4)+(9)-(4) = 12

6: +(10)-(9)+(13)-(12)= 2 39

2.1.4. M茅todo de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2

1: +(4)-(13)+(9)-(12)= -12

2: +(6)-(13)+(9)-(4) = -2

3: +(6)-(4)+(13)-(12)= 3

4: +(10)-(4)+(9)-(12) = 3

5: +(11)-(4)+(9)-(4) = 2

6: +(10)-(9)+(13)-(12)= 2

La soluci贸n factible NO es 贸ptima !!

Se selecciona la trayectoria 1 (costo marginal m谩s negativo)

40

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 3 (Generación de la nueva tabla)

¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?

Acción

Ruta

Aumentar 1 unidad

1_3

Disminuir 1 unidad

1_2

Aumentar 1 unidad

3_2

Disminuir 1 unidad

3_3

Unidades disponibles en celdas decrecientes 100

200

41

2.1.4. M茅todo de pasos secuenciales (cont..)

2.1 Modelo de Transporte

Paso 3 (Generaci贸n de la nueva tabla)

Algoritmo

Plantas Puertos 1

1

2 12

13 - 100 4

400 2

3

6

4 4 + 10

Oferta 6

Demanda

10

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

9

12 4 200 + 100 - 500 0 400 0 900 0 200 0 500

Costo: $13.000

42

2.1.4. MĂŠtodo de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 4

Volver al Paso 1:

Para cada trayectoria evaluar costo marginal Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

400 2

4 4

Oferta 6

100 6

4

10

Demanda

10

9

12

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

4

200 100 500 0 400 0 900 0 200 0 500

43

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Elección de CMg menor Plantas

Puertos 1 2 3 Demanda

1

2 12

3 13 +12 100 4

4

Oferta

4

6 400 +10 100 500 6 10 11 -9 700 +3 +12 0 700 10 9 12 4 -10 200 100 500 0 800 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

La celda más negativa es c 31 (-10) y la trayectoria es: C31 – C33 + C13 – C11

44

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 3 (Generación de la nueva tabla)

¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?

Acción

Ruta

Aumentar 1 unidad

31

Disminuir 1 unidad

33

Aumentar 1 nidad

13

Disminuir 1 unidad

11

Unidades disponibles en celdas decrecientes 100

400

45

2.1.4. M茅todo de pasos secuenciales (cont..)

2.1 Modelo de Transporte

Algoritmo Paso 3 (Generaci贸n de la nueva tabla) Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

300 2

4 4

Oferta 6

200 6

4

10

Demanda

10

9

100 200 0 400 0 900

12

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

4

500 0 200 0 500

Costo: $12.000

46

2.1.4. MĂŠtodo de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 4

Volver al Paso 1:

Para cada trayectoria evaluar costo marginal Plantas Puertos 1

1

2 12

3 13

300 2

4 4

Oferta 6

200 6

4

10

Demanda

10

9

100 200 0 400 0 900

12

500

0

700

0

800 2000

11

700 3

100

4

500 0 200 0 500

47

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)

Algoritmo

2.1 Modelo de Transporte

Paso 2: Determinar costos marginales Plantas

Puertos 1

1 12 300

2 3 Demanda

2

3 13 +2 200 4

6 +1 700 10 9 100 200 0 400 0 900

4

Oferta

4

6 0 100 500 10 11 +13 +12 0 700 12 4 +10 500 0 800 0 200 0 500 2000

Todas rutas son no negativas (positivas o cero) Solución factible óptima!!! $12.000 Compare esta solución con la obtenida con MAV y MCM ¿ ...?

48

2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)

2.1 Modelo de Transporte

Algoritmo 1. Usar la solución actual (NE, MAV o MCM) y las siguientes operaciones (a) y (b) para determinar el costo marginal de enviar material para cada una de las rutas no usadas.

Asociar a cada fila un índice ui y a cada columna un índice vj a) Hacer u1 = 0. Encuéntrese los índices de las filas u2, ..., um y los índices de las columnas v1, ...., vn tales que cij = ui + vj para cada celda usada. b) Sea eij = cij - (ui+vj) para cada celda no usada; eij será el costo marginal de introducir la celda (ruta) i, j a la solución.

Los pasos 2 a 4 son los mismos que en el método secuencial.

49

2.1 Modelo de Transporte

2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)

Aplicar el algoritmo al problema en estudio y comparar resultados obtenidos con los métodos anteriores Comentar resultados ¿Qué explica que existan dos soluciones óptimas factibles?

50

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)

Aplicación

vj Plantas

Puertos 1

1

2 12

400

4

13

Oferta

4

6

100

2

ui

3

6

4

10

Demanda

10

9

12 200 200

100 0 400 0 900

Paso 0: Asociar índices

Costo por Ruta en uso motor ($) 11 12

500

0

700

11

700 3

100

4 500 700 800 500 2000

Ecuación u1 + v1 = 12

12

13

u1 + v2 = 13

22

4

u2 + v2 = 4

32

9

u3 + v2 = 9

33

12

34

4

u3 + v3 = 12 u3 + v4 = 4

51

2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)2.1 Modelo de Transporte Paso1.a) Solucionar la ecuaci贸n

Existen 6 ecuaciones y siete variables entonces se hace u1 = 0 (puede ser cualquiera) y se determina el resto de los 铆ndices

v1 = 12

v2 = 13 u2 = - 9 u3 = -4

v3 = 16 v4 = 8

Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cada celda no usada. eij = cij - (ui + vj)

52

2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)2.1 Modelo de Transporte Costos marginales para las celdas no usadas. eij = cij - (ui + vj) 1) e13 = c13 - (u1 + v3)= 4 - (0 + 16) = -12 2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 + 8)

= -2

3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (-9 + 13) = 2 4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (-9 + 16) = 3 5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (-9 + 8) = 12 6) e31 = c31 - (u3 + v1)= 10 - (-4 + 12) = 2

53

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)

Plantas Puertos 1

400 2 3 Demanda

13

12

4

3

2

1

100

4 6 2 700 9 10 2 100 0 900 0 400

4 -12 10 3 12 200 200

Oferta 6 -2 100 500 11 12 0 700 4 500 700 800 2000 500

Paso 2: Prueba de Optimalidad.

Hay costos negativos por lo tanto no es óptima La ruta de reasignación es: +C13 -C33 +C32 -C12 (más negativo, -12) 54

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)

Paso 3: Asignaci贸n de unidades a la ruta elegida.

Unidades disponibles a mover:

Disminuir 1 unidad C12

100

Disminuir 1 unidad C33

200 Plantas

Puertos 1

1

2 12

3 13

400 2

6

4

4 4 100 10

700 3 Demanda

10

9

200 0 400 0 900

12 100 200

Oferta 6 100

500

0

700

11 4 500 700 800 500 2000 55

2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)

2.1 Modelo de Transporte

Vuelta al Paso 1: Costo por Ruta en uso motor ($) 11 12 13 4 22 4 32 9 33 12 34 4

Ecuación u1 + v1 = 12 u1 + v3 = 4 u2 + v2 = 4 u3 + v2 = 9 u3 + v3 = 12 u3 + v4 = 4

Paso1.a) Solucionar la ecuación

Se hacer u1 = 0 y se determina el resto de los índices v1 = 12

v2 = 1 v3 = 4 v4 = -4 u2 = 3

u3 = 8

Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cada celda no usada. eij = cij - (ui + vj) 56

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)

Costos marginales para las celdas no usadas. eij = cij - (ui + vj) 1) e12 = c12 - (u1 + v2)= 13 - (0 + 1) = 12 2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 - 4)

= 10

3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (3 + 12) = -9 4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (3 + 4) = 3 5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (3 - 4)

= 12

6) e31 = c31 - (u3 + v1)= 10 - (8 + 12) = -10

57

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)

Plantas Puertos 1 2

1 400

2 12

3 13 + 19 4

6 0 700 3 + 10 9 -1 200 Demanda 0 400 0 900

4 4 100 10 3 12 100 200

Oferta 6 1 100 500 11 12 0 700 4 500 700 800 500 2000

Paso 2: Prueba de Optimalidad.

Hay costos negativos por lo tanto no es 贸ptima La ruta de reasignaci贸n es: +C31 -C33 +C13 -C11 58

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)

Paso 3: Asignaci贸n de unidades a la ruta elegida.

Unidades disponibles a mover:

Disminuir 1 unidad C11

400

Disminuir 1 unidad C33

100 Plantas

Puertos 1

13

12 300

2

4

6

4 200 10

700 9

12

200 100 0 900 0 400 Demanda

200

3

10

Oferta

4

3

2

1

6 100

500

0

700

11 4 500 700 800 2000 500 59

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)

Vuelta al Paso 1: Costo por Ruta en uso motor ($) 11 12 13 4 22 4 31 10 32 9 34 4

Ecuación u1 + v1 = 12 u1 + v3 = 4 u2 + v2 = 4 u3 + v1 = 10 u3 + v2 = 9 u3 + v4 = 4

Paso1.a) Solucionar la ecuación

u1 = 0 y se determina el resto de los índices v1 = 12

v2 = 11 v3 = 4 v4 = 6 u2 = - 7

u3 = -2

Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cada celda no usada. eij = cij - (ui + vj) 60

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)

Costos marginales para las celdas no usadas. eij = cij - (ui + vj) 1) e12 = c12 - (u1 + v2)= 13 - (0 + 11) = 2 2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 + 6)

= 0

3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (-7 + 12) = 1 4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (-7 + 4) = 13 5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (-7 + 6) = 12 6) e33 = c33 - (u3 + v3)= 12 - (-2 + 4) = 10

61

2.1 Modelo de Transporte 2.1.5. M茅todo de Distribuci贸n Modificada (DIMO)

Plantas Puertos 1

1 12 300

2

2

3 13 0 4

6 1 700 3 10 9 100 200 Demanda 0 400 0 900

4 4 200 10 13 12 10 200

Oferta 6 0 100 500 11 12 0 700 4 500 700 800 500 2000

Paso 2: Prueba de Optimalidad.

No hay costos negativos por lo tanto es 贸ptima VO = 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4=$12.000 Ver Transporte RPG Equilibrio

62

2.1 Modelo de Transporte

2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales

1. Soluci贸n en problemas de maximizaci贸n de transporte 2. El caso en que la oferta excede a la demanda.

3. Eliminaci贸n de rutas inaceptables.

4. Degeneraci贸n en problemas de transporte.

5. Propiedades especiales del modelo de transporte

63

2.1 Modelo de Transporte

2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales

1. Soluci贸n en problemas de maximizaci贸n de transporte.

a) Se utilizan los beneficios marginales en lugar de los costos.

Se asignar谩 unidades a la celda que tenga el mayor valor marginal y el procedimiento concluir谩 cuando todas las rutas tengan valores marginales negativos. b) Convertir la tabla de beneficios en una tabla de costo: Se busca el beneficio mayor, en cada celda se le resta al mayor el beneficio de la celda. Ejemplo: 64

2.1 Modelo de Transporte

2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales Tabla de beneficios Destinos 2

1 Fuentes

1 2 3

Tabla de costo

14

19

12

17

19

15

16

20

11

Destinos 2

1 Fuentes

1 2 3

3

Mayor = 20

3

6

1

8

3

1

5

4

0

9 65

2.1 Modelo de Transporte

2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales 2. El caso en que la oferta excede a la demanda.

Se utiliza un destino ficticio en la tabla de transporte. Se considera como nulo el costo de enviar una unidad a dicho destino desde cada una de las fuentes (orígenes).

Si la demanda es mayor que la oferta el problema no tiene solución factible, sin embargo el administrador podría abastecer toda la demanda que sea posible a un costo mínimo.

Se utiliza un origen ficticio. El costo de abastecer cualquier destino desde dicho origen será cero. Sin embargo podría haber un cargo por orden no cubierta.

Ver Transporte RPG (O>D) y (O<D

66

2.1 Modelo de Transporte

2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales 3. Eliminación de rutas inaceptables.

Se asocia a una ruta no aceptable un costo lo suficientemente alto para que no sea atrayente la ruta en cuestión. El costo M Por ejemplo: producir en abril para vender en febrero del mismo año.

4. Degeneración en problemas de transporte.

Se dice que un problema se degenera cuando hay menos de m + n - 1 rutas ocupadas. Esto puede ocurrir cuando simultáneamente se satisface una demanda y se agota una oferta.

Ver Transporte RPG (inaceptable)

67

2.1 Modelo de Transporte

2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales

5. Propiedades especiales del modelo de transporte

Todo problema de transporte es posible resolverlo mediante algoritmos que usan sólo la adición y la sustracción.

Si todas las ofertas y demandas tienen valores enteros en un problema de transporte, los valores óptimos de las variables de decisión serán también enteros.

68

2.1 Modelo de Transporte

Ejercicios 1 Suponer que se tienen tres fรกbricas M1, M2 y M3 que producen 39, 48 y 33 toneladas respectivamente, de un cierto producto que debe llevarse a cuatro destinos, D1, D2, D3 y D4, los cuales requieren 40, 37, 18 y 25 toneladas.

Los costos estรกn dados por la siguiente tabla: D1

D2

D3

D4

M1

2

3

1

2

M2

1

4

7

6

M3

8

9

4

5

69

2.1 Modelo de Transporte

2 Planificación de la producción: Periodo 1 2 3 4

Capacidad de Producción Demanda a Costo de Máxima (unidades) satisfacer Producción ($) 1200 900 15 800 800 18 1100 1000 17 900 700 20

Costo de Almacenaje ($) 1.2 1.4 1.1 1.5

¿Cuánto hay que producir en cada periodo para satisfacer la demanda al mínimo costo (tanto de producción como de almacenaje)?.

Supuesto: No existe inventario inicial ni final.

Plantear el problema usando el modelo de transporte.

Encuentre las respuestas usando Solver.

70

2.2 Modelo de Asignación Situación: Asignar m trabajos (o trabajadores) a n máquinas.

Un trabajo i (=1, 2, 3 ,...,m) cuando se asigna a la máquina j (=1,2,....,n) incurre en un costo cij.

El objetivo es asignar los trabajos a las máquinas uno a uno al menor costo.

La formulación de este problema puede considerarse como un caso especial del modelo de transporte.

71

Descripción Los trabajos representan las “fuentes” y las máquinas los “destinos” La oferta disponible en cada fuente es 1 como también lo es la demanda en cada destino.

cij es el costo de transportar (asignar) el trabajo i a la máquina j El costo puede representar también características de competencia de cada trabajador 72

Descripción En el caso que un trabajo no deba ser asignado (porque no cumple con los requisitos) a una máquina (actividad) en particular, este costo debe tener un valor alto (M) En el caso de existir desequilibrio, esto es, más trabajos que máquinas o más máquinas que trabajos, hay que equilibrar con máquinas o trabajos figurados (ficticios), logrando de esta forma que m = n 73

Expresión matemática del modelo 0, si el i-ésimo trabajo no se asigna a la j-ésima máquina Xij =

1, si el i-ésimo trabajo se asigna a la j-ésima máquina Máquina 1

Trabajo

2

…..

n

1

C11

C12

…..

C1n

1

2

C21

C22

…..

C2n

1

…..

…..

…..

…..

…..

…..

n

Cn1

Cn2

…..

Cnn

1

1

1

…..

1 74

Por lo tanto el modelo está dado por: n

n

 c x

minimizar z =

i 1 j 1

n

sujeto a

x

ij

 1 i=1,2, ...,n

ij

1

j 1

n

x i 1

ij ij

j=1,2,..n

xij = 0 ó bien 1

75

Ejemplo: La gerencia general de RPG (ejemplo de transporte) con sede en Bruselas, este año, como parte de su auditoría anual, decidió que cada uno de sus cuatro vicepresidentes visite e inspeccione cada una de sus plantas de ensamblaje durante las primeras dos semanas de junio. Las plantas están ubicadas en Leipzig (Alemania), Nancy (Francia, Lieja (Bélgica) y Tilburgo (Holanda).

Para decidir a que vicepresidente enviar a una planta determinada, se asignaron puntos (costos) a cada uno de ellos de acuerdo a su experiencia, habilidades lenguísticas, tiempo que durará la inspección y otros. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:

76

Ejemplo

PLANTA Leipzig (1) Nancy(2) Lieja (3) Tilburgo(4) Finanzas (F) (1) 24 10 21 11 Mercadotecnia(M) (2) 14 22 10 15 Operaciones (O) (3) 15 17 20 19 Personal(P) (4) 11 19 14 13

Plantear el modelo de PL

77

Ejemplo: Modelo de PL MIN Z = 24 X11 + 10 X12 + ... + 14 X43 + 13 X44

sujeto a: a) Oferta

X11 + X12 + X13 + X14 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 = 1 b) Demanda X11 + X21 + X31 + X41 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 = 1 c) No negatividad Xij >= 0 i=1,...,4, j=1,....,4 78

Métodos de Solución Existen varias formas de obtener la solución: a) Listar todas las alternativas posibles con sus costos y seleccionar la de menor costo (algoritmo exhaustivo) b) Método Húngaro: método iterativo a) Listar todas las alternativas: ¿Cuántas alternativas posibles existen?

- El primer trabajo se puede asignar de n formas formas posibles - El segundo de n-1 formas - El último sólo de 1 forma En total existen n! formas de hacer la asignación completa 79

Método Húngaro: Paso 0: Construir la matriz de asignación Para obtener la solución óptima cada nueva matriz de asignación debe satisfacer: Propiedad 1: Todos los números son no negativos Propiedad 2: Cada fila y cada columna tiene al menos una celda con un valor cero Paso 1: a) Reducción de filas: Restar el costo menor de cada fila a la fila correspondiente y/o b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de cada columna a la columna correspondiente Con esto se crea una nueva matriz con las propiedades 1 y 2 80

Método Húngaro: Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de Optimalidad).

Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnas para cubrir todos los ceros.

Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se dice que esta matriz es reducida.

Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4

81

MĂŠtodo HĂşngaro: Paso 3: Movimiento

De todas las celdas no cruzadas identifique una con el menor valor y haga lo siguiente: a) Restar el valor a cada celda no cruzada

b) Sumar el valor a cada celda de intersecciĂłn de rectas Volver al paso 2

82

Método Húngaro:

Paso 4: Solución óptima (Asignación) Primero se asigna a las que tengan sólo una alternativa, se van marcando y así sucesivamente

Determinar el costo: Se suman todos los costos correspondientes a las asignaciones (o sumar todos los pi y qj). ¿Qué valor se obtiene al sumar todos los valores que se restaron en las reducciones de filas y columnas?

83

Ejemplo: Aplique el método Húngaro al ejemplo Paso 0: Matriz de Asignación

F M O P qj

1 24 14 15 11

2 10 22 17 19

3 21 10 20 14

4 11 15 19 13

pi

Nota: En negrita los menores de cada fila 84

Paso 1: Reducci贸n de filas y columnas

F M O P qj

F M O P qj

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 1 5 4 2 1

pi 10 10 15 11

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 0 4 3 1 1

pi 10 10 15 11

85

Paso 2: Determinar si la matriz es reducida

F M O P qj

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 0 4 3 1 1

pi 10 10 15 11

No es reducida: s贸lo tres rectas (para ser reducida deben ser 4) Ir al paso 3 86

Paso 3: Movimiento (Seleccionar el menor: restar a las no tachadas, sumar a las intersecciones)

F M O P qj

F M O P qj

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 0 4 3 1 1

pi 10 10 15 11

1 15 4 0 0

2 0 11 1 7

3 12 0 5 3

4 0 3 2 0 1+1

pi 10 10 15 11

Volver al paso 2 !!

87

Iteraci贸n paso 2:

F M O P qj

1 15 4 0 0

2 0 11 1 7

3 12 0 5 3

4 0 3 2 0 1+1

pi 10 10 15 11

Se tachan todos los ceros con cuatro rectas, por tanto es 贸ptima Ir al paso 4 !!

88

Paso 4: Asignación

F M O P qj

1 15 4 0 0

2 0 11 1 7

3 12 0 5 3

4 0 3 2 0 1+1

pi 10 10 15 11

Costo = c12 + c23 + c31 +c44

= 10+10+15+13 = 48 Costo   pi   q j

=10 + 10 + 15 + 11 + 1 + 1 = 48 Ver Asignación RPG

89

Modelo de Asignación: Otras consideraciones El modelo de asignación de RPG es un modelo de minimización en el cual el número de vicepresidentes es igual al número de plantas, y todas las asignaciones posibles son aceptables.

Consideremos ahora modelos tipo asignación donde no todas las condiciones anteriores se cumplen. En particular se considerarán situaciones en las que: 1 Hay una desigualdad entre el número de “personas” por asignar y el número de “destinos” que requieren personas asignadas.

2 Hay un modelo de maximización 3 Existen asignaciones inaceptables 90

Modelo de Asignación: Otras consideraciones 1. Ofertas y demandas desiguales a) Oferta mayor que la demanda Suponer que el presidente de RPG quiere auditar a la planta de Tilburgo, por tanto tendrá que decidir cual de los cuatro vicepresidentes debe asignar a cada una de las tres plantas restantes.

Solución: Se elimina la restricción que requería un vicepresidente para Tilburgo. El resultado de este cambio es que la holgura para uno de los cuatro vicepresidentes será 1 en la nueva solución óptima Ver Asignación RPG (O>D) 91

Modelo de Asignación: Otras consideraciones 1. Ofertas y demandas desiguales b) Demanda mayor que la oferta Suponer que el vicepresidente de Personal tiene que viajar a Illinois durante la primer semana de junio, por lo tanto no puede participar en la auditoría en Europa.

Solución: Se agrega un vicepresidente ficticio (igual al modelo de transporte) para obtener una solución factible, pero es claro que una de las plantas quedará sin auditar.

92

Modelo de Asignación: Otras consideraciones 2. Hay un modelo de maximización La respuesta de asignación es un beneficio y no un costo Ejemplo: Suponga que RPG tiene que asignar vendedores a sus territorios de venta.

Existen cuatro personas bien capacitadas listas para ser asignadas y tres territorios requieren un nuevo vendedor. Uno de los vendedores no será asignado.

En este caso la asignación de un vendedor cualquiera a un territorio se mide por el incremento marginal esperado en la contribución de dicha asignación a las ganancias.

93

Modelo de Asignaci贸n: Otras consideraciones 2. Hay un modelo de maximizaci贸n La matriz de ganancia es la siguiente

Contribuci贸n del Vendedor\a A B C D

Territorio 1 $ 40 $ 18 $ 12 $ 25

Territorio 2 $ 30 $ 28 $ 16 $ 24

Territorio 3 $ 20 $ 22 $ 20 $ 27

Ver Asignaci贸n Vendedores RPG 94

Modelo de Asignación: Otras consideraciones 3. Situaciones con asignaciones inaceptables

Ejemplo: Suponga que el presidente de RPG no tiene el menor deseo de que el vicepresidente de Operaciones realice una auditoría a la Planta Nancy.

Solución: Asignar un costo arbitrariamente alto a esta “ruta”, de tal modo que al restar de él cualquier número finito se obtiene siempre un valor mayor que otros números relevantes Ver Asignación RPG inaceptable 95

2.3 Modelo de Transbordo Este modelo permite que las unidades no vayan directamente desde un origen a un destino, sino que pasen por nodos intermedios o transitorios.

Cada origen, punto intermedio y destino final se representan como nodos y se conectan a travĂŠs de arcos dirigidos RestricciĂłn en cada nodo transitorio: suma flujos entrantes = suma flujos saliente TambiĂŠn se puede representar por medio de una matriz donde un mij = 1 cuando existe un enlace directo entre el nodo i y el nodo j; y mij = 0 cuando no hay enlace directo entre estos nodos

96

Modelo de Transbordo: Algoritmo 1

Inicialización: Encuentre un plan de embarque factible que satisfaga todas las restricciones de suministro y demanda, al mismo tiempo que mantiene un equilibrio en todos los nodos de transbordo.

2

Prueba de Optimalidad: Pruebe el plan de embarque actual para ver si es óptimo, es decir, si es el plan que incurre en los costos totales mínimos. Si es así, deténgase con la solución óptima, sino vaya al paso 3.

3

Movimientos: Use el hecho de que el plan de embarque actual no es óptimo para crear un nuevo plan de embarque factible con menos costo total que el actual. Vaya al paso 2.

97

Consideraciones: • Los pasos del algoritmo son análogos a los del algoritmo de pasos sucesivos (escalón).

• Tanto los nodos origen como los destinos pueden ser a su vez nodos de transbordo.

• Al igual que el modelo de transporte, puede haber desequilibrio, en ese caso se agregan fuentes o destinos ficticios con costo cero.

• El numero total del sistema está dado por el total de la oferta o de la demanda.

• A cada nodo de transbordo se asigna un suministro (demanda) igual a su suministro (demanda) original (cero, si no coincide originalmente con un destino) más el total de unidades del sistema. Esto permite que todas las unidades puedan pasar por un empalme dado.

98

Ejemplo 1: DetermĂ­nese un programa de embarque que cubra todas las demandas a un costo mĂ­nimo total para los datos correspondientes al siguiente grafo (costo en $).

1 +95

2 +70

8

+15

3

4

3

2

5 4

3 7

4

-30

2

-30 6 -45

99

Solución • • • • •

Los sitios 1 y 2 son orígenes Los sitios 5 y 6 son destinos El sitio 3 es origen y empalme El sitio 4 es destino y empalme La oferta es mayor que la demanda por tanto se requiere un destino ficticio que demande 75 unidades • Agregar 180 unidades a cada empalme (oferta y demanda) • El costo de las unidades que van de un empalme (como origen) a él mismo (como destino) y de cualquier origen al sitio ficticio es cero.

• A las rutas no permitidas se les asocia un valor relativamente alto (por 1.000)

100

La tabla inicial es:

3

Destinos 5

4

6

F

Oferta 95

1 OrĂ­genes

3

1000

8

1000

0

2

70 2

7

1000

1000

0

3

195 0

3

4

4

0

4 Demanda

180 1000 180

0 210

1000 30

2 45

0 75

101

La tabla final es:

1

3 20

4

OrĂ­genes

3 2

1000

8

F 75 1000

Oferta 95 0 70

90

7 30

0 4 Demanda

6

70 2

3

Destinos 5

1000 30

3

1000

0

45 4

195 4

0

180 1000 180

180 0 210

1000 30

2 45

0 75

Costo = 20*3+75*0+70*2+90*0+30*3+30*4+45*4+180*0=$590 102

Ejemplo 2: Una corporación necesita transportar 70 unidades de un producto, del sitio 1 a los sitios 2 y 3 en cantidades de 45 y 25 unidades, respectivamente. Las tarifas cij (en miles de pesos por unidad) de carga aérea entre los sitios comunicados por carguero se dan en la tabla, en la cual las líneas punteadas indica que no hay servicio disponible. Determínese un programa de embarque que asigne el número requerido de artículos a cada destino, a un costo mínimo de transporte.

Ningún embarque requiere de vuelo directo, se permiten los envíos empleando puntos intermedios.

1 2 3 4

1

2

3

4

....

38 56 34

38 ...

27 ...

56 27 ...

19

34 ...

19 ...

103

Ejemplo 3: 8

Nodos de transbordo 100

7

1

2 4

8

4

6

6

6

200

3

2

3

80

10

70

7

7 4

5

9

8

5

4

150

120

7

5

6 11

110

104

Planteamiento del modelo PL : Plantear el modelo de PL para el ejemplo mostrado en el grafo anterior.

105

2.4. Modelos de Redes 2.4.1 Teoría de Grafos 2.4.2 Modelo de la Ruta más corta

2.4.3 Modelo del Árbol Expandido Mínimo 2.4.4 Problema del Flujo Máximo

106

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos Grafo no dirigido: Un grafo no dirigido G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de lados (ramas o enlaces) tales que cada lado e ε E está asociado a un par no ordenado de vértices v y w. Si un lado e está asociado a un único par de vértices v y w, entonces e= (v,w) o e=(w,v).

Grafo dirigido: Un grafo dirigido (o digrafo) G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de lados (o ramas) tales que cada lado e ε E está asociado a un par ordenado de vértices. Si un lado e está asociado a un par ordenado único de vértices v y w, se escribe e = (v,w).

107

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos Se dice que un lado e = (v,w) de un grafo (dirigido o no dirigido) es incidente en v y w. Se dice que los vértices v y w son incidentes en e y también son vértices adyacentes.

Si G es un grafo (dirigido o no dirigido) con un conjunto de vértices V y un conjunto de lados E, se escribe G = (V,E) Nodo (Vértice): Un círculo de una red utilizada para representar una planta, almacén o tienda.

Nodo de Suministro: Nodo desde le cual los productos se van a enviar.

108

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos Nodo de demanda: Nodo que va a recibir los productos para cumplir con una demanda conocida.

Nodo de transbordo: Nodo que recibe productos desde otros nodos para su distribución.

Arco (enlace): Línea de una red que conecta un par de nodos. Se le utiliza para representar una ruta válida desde el nodo origen al nodo de distribución.

109

2.4.1 IntroducciĂłn a la TeorĂ­a de Grafos Arco dirigido: Indica el sentido de movimiento de los productos.

Camino: Una secuencia de nodos en una red unidos por arcos (dirigidos o no dirigidos) Trayectoria (lazo): Es un camino cerrado (ciclo) donde el primer nodo es a su vez el Ăşltimo.

110

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos Representación de un grafo:

Un grafo se puede representar matemáticamente como: a) Una matriz b) Una lista enlazada c) Árbol Representación Matricial i) Matriz de Adyacencia ii) Matriz de costo (beneficio)

111

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos (cont.)

Matriz de Adyacencia:

Para un grafo G, es una matriz A de dimensión NxN, donde A[i,j] es verdadero (1) si, y sólo si, existe un arco que vaya del vértice i al vértice j. En ausencia de arco directo se representa generalmente por 0.

Ejemplo:Dado el siguiente grafo encontrar su matriz de adyacencia

112

2.4.1 Introducci贸n a la Teor铆a de Grafos (cont.)

1

2

3

4 1 1

2

3

1

1

2

3 4

4

1

1 1 113

2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos (cont.)

Matriz de Costo:

Para un grafo G etiquetado, es una matriz C de dimensión NxN, donde A[i,j] es el costo (valor de la etiqueta) si, y sólo si, existe un arco que vaya del vértice i al vértice j.

En ausencia de arco directo se representa generalmente por infinito (costo extremadamente alto, para la simulación se hace uso de un valor fuera de contexto).

Ejemplo:Dado el siguiente grafo encontrar su matriz de costo

114

2.4.1 Introducci贸n a la Teor铆a de Grafos (cont.)

10

1

15

2

12

20 3

5

1 1

4

2

3

10

15

2

3 4

4

12

20 5 115

2.4.1 Introducci贸n a la Teor铆a de Grafos (cont.)

Para un grafo no dirigido, tanto la matriz de adyacencia como la matriz de costo son sim茅tricas, esto es:

A[i,j] = A[j,i] 贸

C[i,j] = C[j,i]

116

Ejemplo Introductorio Seymour Miles es el gerente de distribución de Zigwell. Zigwell distribuye sus motores oruga en cinco estados del medio oeste. Por lo regular, Seymour Miles tiene 10 aparatos E-9 in situ en lo que designaremos como local 1. Estos tractores deben ser enviados a los dos locales de construcción más importantes designados como 3 y 4.

Se necesitan tres E-9 en el local 3 y siete en el local 4. Debido a itinerarios arreglados con anterioridad, relativos a la disponibilidad de conductores, los tractores solo pueden ser distribuidos de acuerdo con las rutas alternativas que se muestran en el grafo de la figura.

La figura tiene un número +10 en el nodo 1, esto significa que hay 10 aparatos E-9 disponibles (oferta). Los indicadores -3 y -7 asociados a los locales 3 y 4, respectivamente, denotan los requerimientos (demandas) de éstos.

117

-3 3 c23 +10

c12

1

2 u12

u23 c24 u24 c25 u25

c34 u34 c43 u43 -7 4

c53

u53

c54 c54 5

Rutas alternativas para el destino 3 1-2-3, 1-2-4-3, 1-2-5-4-3, 1-2-5-3 118

Los costos cij son unitarios. Por ejemplo el costo de recorrer el arco (5,3) es c53 por cada tractor.

Debido a los acuerdos sostenidos con los conductores, Zigwell debe cambiarlos en cada local que se encuentre sobre la ruta. Las limitaciones en la disponibilidad de conductores ocasionan que haya una cota superior en el nĂşmero de tractores que pueden recorrer cualquier arco dado.

Por ejemplo: u53 es la cota superior o capacidad en el arco (5,3).

El problema de Sygmour consiste en encontrar un plan de embarque que satisfaga la demanda y las restricciones de capacidad a costo mĂ­nimo.

119

El problema en particular se conoce como modelo de transbordo con capacidades.

Expresar el problema como un PL a) Variables de decisión

xij = número total de E-9 que se enviarán a través del arco (i,j).

= flujo del nodo i al nodo j

120

b) Función Objetivo MIN Z =C12X12+C23X23+C24X24+C25X25+C34X34+C43X43+C53X53+C54X54

c) Restricciones sa + X12

= 10

- X12+X23+X24+X25

= 0

-X23

-X43 -X53 +X34 -X24 -X25

+X43 +X53

= -3

-X34 -X54 = -7

Balance de flujo

+X54 = 0

0  xij  cij , todos los ar cos (i,j) de la red 121

Matriz Incidencia nodo-arco a

r

c

o

Nodo (1,2) (2,3) (2,4) (2,5) (4,3) (5,3) (3,4) (5,4)

LD

1

+1

0

0

0

0

0

0

0

10

2

-1

+1

+1

+1

0

0

0

0

0

3

0

-1

0

0

-1

-1

+1

0

-3

4

0

0

-1

0

+1

0

-1

-1

-7

5

0

0

0

-1

0

+1

0

+1

0

122

Formulación General del Modelo de Transbordo con Capacidades

Xij denotan el flujo del nodo i al nodo j a lo largo del arco que conecta esos nodos.

Lj representa la oferta en el nodo j minimice

s.a.

cx

ij ij ij



k

x jk  k xkj  L j , j  1,2,....,n

0  xij  cij , todos los ar cos (i,j) de la red 123

Resolver para las siguientes capacidades y costos Capacidad de\ a Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 Sitio 4 Sitio 5

Costo Unitario de\ a Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 Sitio 4 Sitio 5

Sitio 1

Sitio 2

Sitio 3

Sitio 4

Sitio 5

4

3 2

3

10

Sitio 1

Sitio 2

4 3

5

Sitio 3

Sitio 4

Sitio 5

$45

$50 $60

$20

$100

$85 $10

$55

Ver transbordo con capacidades

124

2.4.2 Modelo de la Ruta mรกs corta Situaciones: Se pueden dar dos casos para representar la red: a

Como grafo no dirigido

b

Como grafo dirigido

Cualquiera que sea el caso corresponde a grafos ponderados (con peso)

125

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta a) Algoritmo: Grafo no dirigido 1

Considerénse todos los nodos que estén directamente conectados con el origen. Etiquetarlos con la distancia al origen y su nodo predecesor. Etiquetas temporales, [distancia, nodo].

2

De entre todos los nodos con etiquetas temporales, escoger el que tenga la distancia menor y se marca como permanente. Si todos están con etiquetas permanentes se va al paso cuatro.

126

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GND) Algoritmo: 3

Todo nodo que no tenga etiqueta permanente, tendrá etiqueta temporal o estará sin etiqueta. Sea L el último nodo con etiqueta permanente. Considerénse todas las etiquetas de los vecinos de L (directamente conectados a L mediante un arco). Para cada uno de estos nodos calcúlese la suma de su distancia a L. Si el nodo en cuestión no está etiquetado, asígnese una etiqueta temporal que conste de esta distancia y de L como predecesor. Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta temporal, cámbiese sólo si la distancia recién calculada es menor que la componente de distancia de la etiqueta actual. En este caso, la etiqueta contendrá esta distancia y a L como predecesor. Regresar al paso 2 127

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GND) Algoritmo: 4 Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta entre el nodo origen a cada nodo de la red. También indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo. Para encontrar el camino más corto de un nodo dado, comiéncese en él y retroceda al nodo anterior. Continuar con el recorrido hasta llegar al origen.

128

2.4.2 Modelo de la Ruta mรกs corta (GND) Ejemplo: Para el siguiente grafo encontrar la distancia mรกs corta desde el nodo H al resto de los nodos.

7

1

8

2

H

6

3

7 4 1 4

1

3

3 3 1

5

1 6

2

2

129

2.4.2 Modelo de la Ruta m谩s corta (GND) Soluci贸n: (8,H)

7

1

8

贸

2

H

(9,7)

6

3

7

(9,4)

4 1

(5,1) 4

1

3

(6,3) 1

1 (4,H)

2

6

3 3

5 2

(6,3) 1:Ver ejemplo 1 Ruta mas corta

2: Hacer problema 19 gu铆a 2 (Ejemplo 2 Ruta mas corta

(8,2) 130

Para su pr谩ctica y ejercitaci贸n neuronal

E 10

5 7

2

A

B

1

1

8

10 D

4

3 7

4 C

F

G 3

131

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD) b) Algoritmo de Dijkstra Es una técnica exhaustiva, esto es, prueba todas las alternativas posibles.

Opera a partir de un conjunto S de vértices cuya distancia más corta desde el origen ya es conocida. Inicialmente S contiene sólo el nodo de origen. En cada paso se agrega algún vértice restante v a S, cuya distancia desde el origen es la más corta posible.

Para cada paso del algoritmo, se utiliza una matriz D para registrar la longitud del camino más corto a cada vértice.

132

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD) Algoritmo de Dijkstra INICIO 0) V = {1, 2, 3, 4, ..., n} 1) S = {1} // nodo 1 se supone que es el origen 2) Para i=2 Hasta n Hacer 3) Di = C1i 4) Para i=1 Hasta n-1 Hacer 5) Elegir un vértice w en V-S tal que Dw sea un mínimo 6) agregar w a S 7) Para cada vértice v en V-S Hacer SI ((Dw+Cwv)<Dv) //Pv = w Dv = Dw+Cwv 8) //Dv=mínimo(Dv,Dw+Cwv) FIN 133

2.4.2 Modelo de la Ruta mรกs corta (GD) Algoritmo de Dijkstra Ejemplo: Aplicar el algoritmo al siguiente grafo dirigido

1

100

10

5

30

2

60

10 50

3

4 20

134

2.4.2 Modelo de la Ruta mรกs corta (GD) Algoritmo de Dijkstra Inicial 0)

V = {1, 2, 3, 4, 5}

1)

S = {1}

2) 3)

D2 = 10,

Iteraciรณn Inicial

D3 = inf, D4=30, D5 = 100

S {1}

w --

D2 10

D3 inf

D4 30

D5 100

4) Iterar 4 veces 5) Seleccionar nodo con distancia mรกs corta de V-S, En el ejemplo es el nodo 2 135

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD) Algoritmo de Dijkstra 6) Agregar el nodo 2 a S : 7) Iterar |V-S|,

S = {1,2}

(V-S = {3,4,5})

D3=mínimo(D3,D2+C23) =mínimo(inf,10+50) = 60 D4=mínimo(D4,D2+C24) =mínimo(30,10+inf) = 30

D5=mínimo(D5,D2+C25) =mínimo(100,10+inf) = 100 Iteración Inicial 1

S {1} {1,2}

w -2

D2 10 10

D3 inf 60

D4 30 30

D5 100 100

136

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD) Algoritmo de Dijkstra 2a Iteración V-S = {3,4,5} 5)

w=4

6)

S = {1,2,4}

7) Iterar |V-S|

V-S = {3,5}

D3=mínimo(D3,D4+C43) =mínimo(60,30+20) = 50 D5=mínimo(D5,D4+C45) =mínimo(100,30+60) = 90 Iteración Inicial 1 2

S {1} {1,2} {1,2,4}

w -2 4

D2 10 10 10

D3 inf 60 50

D4 30 30 30

D5 100 100 90

137

2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD) Algoritmo de Dijkstra 3a Iteración V-S = {3,5} 5)

w=3

6)

S = {1,2,4,3}

7) Iterar |V-S|

(V-S = {5})

D5=mínimo(D5,D3+C35) =mínimo(90,50+10) = 60 Iteración Inicial 1 2 3

S {1} {1,2} {1,2,4} {1,2,4,3}

w -2 4 3

D2 10 10 10 10

D3 inf 60 50 50

D4 30 30 30 30

D5 100 100 90 60

138

2.4.2 Modelo de la Ruta m谩s corta (GD) Algoritmo de Dijkstra 4a Iteraci贸n V-S = {5} 5)

w=5

6)

S = {1,2,4,3,5}

7) Iterar |V-S|

(V-S = {})

Tabla Final Iteraci贸n S Inicial {1} 1 {1,2} 2 {1,2,4} 3 {1,2,4,3} 4 {1,2,4,3,5}

w -2 4 3 5

D2 10 10 10 10 10

D3 inf 60 50 50 50

D4 30 30 30 30 30

D5 100 100 90 60 60 139

¿Cuál es el camino?

Para conocer el camino hay que incluir otra matriz P de vértices, tal que Pv contenga el vértice inmediato anterior a v en el camino más corto.

Se asigna a Pv valor inicial 1 para todo v  1

La matriz P se actualiza después de la línea 8.

Si Dw + Cwv < Dv en la línea 8, después se hace Pv = w Al término de la corrida del algoritmo, el camino a cada vértice puede encontrarse regresando por los vértices predecesores de la matriz P

140

ÂżCuĂĄl es el camino?

Para el ejemplo, la matriz P debe tener los valores P2 =1,

P3 = 4,

P4 = 1,

P5 = 3

Para encontrar el camino mĂĄs corto del vĂŠrtice 1 al 5, se siguen los predecesores en orden inverso.

3 es el predecesor de 5 4 es el predecesor de 3 1 es el predecesor de 4

141

Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos Para visualizar el problema se emplea un grafo dirigido G = (V,A) en el que cada arco v w tiene un costo no negativo Cv,w. El problema consiste en encontrar el camino de longitud más corta (menor costo) entre v y w para cada par ordenado de vértices (v,w).

Algoritmo de Floyd

Se utiliza una matriz A, donde Aij = Cij para toda i j, si no existe camino directo entre i y j se supone que Cij = inf. Cada elemento de la diagonal se hace cero.

142

Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos

Después se hacen n iteraciones en la matriz A. Al final de la k-ésima iteración Aij tendrá por valor la longitud más pequeña de cualquier camino que vaya desde el vértice i hasta el vértice j y que no pase por un vértice mayor que k.

Esto es, i y j, los vértice extremos del camino, pueden ser cualquier vértice, pero todo vértice intermedio debe ser menor o igual a k.

En la k-ésima iteración se aplica la siguiente fórmula para calcular A k-1Aij kAij

= min k-1Aik

+ k-1Akj 143

Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos

Para calcular Aij, se compara k-1Aij, el costo de ir de i a j sin pasar por k o cualquier otro nodo con numeración mayor, con k-1Aik + k-1Akj, el costo de ir primero de i a k y después de k a j, sin pasar a través de un vértice mayor que k. Si el paso por el vértice k produce un camino más económico que el de k-1Aij, se elige ese costo para kAij. k

j

i k-1Aij

144

Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos

Algoritmo de Floyd // Se supone que se cuenta con la matriz de costo C 0) INICIO 1) Desde i = 1 Hasta N 2) Desde j = 1 Hasta N 3) Aij  Cij 4) Desde i = 1 Has ta N 5) Aii = 0 6) Desde k = 1 Hasta N 7) Desde i = 1 Hasta N 8) Desde j = 1 Hasta N 9) SI (Aik + Akj < Aij) 10) Aij = Aik + Akj 11) FIN 145

Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos

Recuperación de caminos para el Algoritmo de Floyd

Cuando es de interés conocer el camino más corto entre dos vértices, hay que consignarlo en una matriz P, donde Pij tiene el vértice k que permitió a Floyd encontrar el valor menor de Aij. Si Pij es cero, el camino de i a j es directo.

146

Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos

Algoritmo de Floyd Modificado 0) INICIO 1) Desde i = 1 Hasta N 2) Desde j = 1 Hasta N 3) Aij  Cij 3) Pij  0 4) Desde i = 1 Has ta N 5) Aii = 0 6) Desde k = 1 Hasta N 7) Desde i = 1 Hasta N 8) Desde j = 1 Hasta N 9) SI (Aik + Akj < Aij) 10) Aij  Aik + Akj 10) Pij  k 11) FIN 147

Problema de los caminos mรกs cortos entre todos los pares de nodos

Ejemplo: Aplique Floyd al grafo ponderado mostrado en la figura

8 2 1

2

2

3

3

5

148

Problema de los caminos m谩s cortos entre todos los pares de nodos

Soluci贸n:

Tabla Inicial

Nodos 1 2 3

1 0 3 inf

2 8 0 2

3 5 inf 0

0Aij

149

Problema de los caminos m谩s cortos entre todos los pares de nodos

Soluci贸n:

Despu茅s de la primera iteraci贸n

Nodos 1 2 3

1 0 3 inf

2 8 0 2

3 5 8 0

1Aij

150

Problema de los caminos m谩s cortos entre todos los pares de nodos

Soluci贸n:

Despu茅s de la segunda iteraci贸n

Nodos 1 2 3

1 0 3 5

2 8 0 2

3 5 8 0

2Aij

151

Problema de los caminos m谩s cortos entre todos los pares de nodos

Soluci贸n:

Despu茅s de la tercera iteraci贸n

Nodos 1 2 3

1 0 3 5

2 7 0 2

3 5 8 0

3Aij

152

2.4.3 Modelo de árbol extensión mínima

Definición 1

Un árbol es un grafo que tiene sus n nodos (vértices) conectados (conexo) con n-1 arcos (aristas), no existiendo ciclos (caminos cerrados)

Definición 2

Un árbol de expansión de costo mínimo es aquel en que todos los enlaces tienen longitudes (costos) mínimas

153

Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima.

Método Gráfico 1

Se selecciona un nodo cualquiera y se conecta al nodo más cercano a éste.

2

Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos

Nota:

Empates se deciden en forma arbitraria. Los empates indican que existen soluciones alternativas para la construcción.

154

Ejemplo: Encontrar el AEM para el siguiente grafo

7

1

8

2

H

6

3

7 4 1 4

1

3

3 3 1

5

1 6

2

2

155

Soluci贸n :

7

1 2

H

6 4

1 1

4

3

1

5

1 2

2

156

Algoritmo tabular Paso

Acción

0 Se construye la tabla de costos de enlaces

1 Se comienza arbitrariamente con cualquier nodo. Se designa a este nodo como conectado y se pone una marca al lado de la fila correspondiente al nodo. Se tacha el índice de la columna que corresponde a él.

2 Considerando todas las filas marcadas, buscar el mínimo en las columnas cuyo índice aún no haya sido tachado encerrándolo en un círculo. Designándose de esta manera el nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de la columna y pone una marca en la fila correspondiente a este nodo. Se repite este paso hasta que todos los nodos estén conectados.

3 Los nodos encerrados en círculo identifican el árbol.

157

Aplicaci贸n Algoritmo tabular Tabla inicial

Nodo H H 1 4 2 3 4 7 5 6 7 8

1 4 6 1

2

3

6

1 1

1

4 7

6

7 8

3 3

2

2 1

1 2

5

3 3 3 2

3

1 1 158

Aplicaci贸n Algoritmo tabular Inicio: Nodo H

a) b)

* *

Nodo H H 1 4 2 3 4 7 5 6 7 8

1 4 6 1

2

3

6

1 1

1

4 7

6

7 8

3 3

2

2 1

1 2

5

3 3 3 2

3

1 1 159

Aplicaci贸n Algoritmo tabular Nodo 1 a) b)

c)

* * *

Nodo H H 1 4 2 3 4 7 5 6 7 8

1 4 6 1

2

3

6

1 1

1

4 7

6

7 8

3 3

2

2 1

1 2

5

3 3 3 2

3

1 1

160

Aplicaci贸n Algoritmo tabular Tabla final a) b)

c)

* * * * * * * *

Nodo H H 1 4 2 3 4 7 5 6 7 8

1 4 6 1

2

3

6

1 1

1

4 7

6

7 8

3 3

2

2 1

1 2

5

3 3 3 2

3

1 1

161

Arbol de expansi贸n m铆nima :

7

1 2

H

6 4

1 1

4

3

1

5

1 2

2

162

2.4.4 Problema del Flujo Máximo Descripción

En este problema hay un solo nodo fuente (nodo de entrada) y un solo nodo destino (nodo de salida), y el resto son nodos de transbordo. El problema consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total (petróleo, gas, efectivo, mensajes, tránsito, etc.) en una unidad de tiempo.

La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitada por las restricciones de capacidad.

Este problema se puede representar como una red dirigida y conexa.

163

Descripción

Para cada nodo interno debe cumplirse que: flujo que sale del nodo = flujo que entra al nodo En términos formales, siendo 1 la fuente y n el destino el problema consiste en: MAX f f si i = 1

sujeto a

x x ij

j

ji

f

si i = n

j

0 en otro caso 0  xij  uij, para todos (i,j) de la red

xij : flujo por unidad de tiempo por el arco (i,j) uij : capacidad del arco (i,j) f : flujo total a través de la red 164

Descripción

Considérese la i-ésima restricción, para algún valor fijo de i, La suma  xij se considera sobre j toda j para la cual el arco (i,j) con i fijo, pertenezca a la red. Entonces,  xij será el flujo j total que sale del nodo i. En forma semejante, la suma  x ji se considera sobre toda j para la cual j exista el arco (j,i) en la red, (i fijo). De modo que es el flujo que entra al nodo i

165

Algoritmo

Antes de hacer la presentaci贸n formal del algoritmo, revisemos el siguiente ejemplo.

6

2

4

6

4 2

1

6

1 6

3 2

3

5

4

166

Algoritmo

Grafo inicial: Inicializaci贸n delos flujos en cada nodo

0

2

0

4

6

2

0

4

6

0

0

6

1 3

6 0

3

0

0

1 2 5

4

0 Consideremos un camino desde el nodo 1 al nodo 6 Ejemplo: 1-2-5-6 167

Se dice que la cantidad de flujo a lo largo de dicho recorrido es factible si: 1

No excede la capacidad de ningún arco del camino

2

Con excepción de los nodos 1 y 6, el flujo en cada nodo debe satisfacer la condición de conservación La cantidad máxima que puede fluir desde la fuente a lo largo de un camino es igual a la menor de las capacidades de los arcos de dicho camino

Al asignar un flujo a un arco nos atendremos a las reglas:

1 Se reduce la capacidad en la dirección del flujo (cantidad de flujo) 2 Se aumenta la capacidad en sentido opuesto (cantidad de flujo)

168

Ejemplo: Considerar el arco 1-2 4

1

0

2

Asignar dos unidades a este arco: Aplicando las reglas 1 y 2 se tiene 2

1

2 (2

2

)

Se gener贸 una capacidad ficticia en la direcci贸n 2-1 Enviar una unidad de 2 a 1 1

3

1 (1

)

2

169

Algoritmo Inicial

Inicializar cada nodo del grafo con capacidades uij en la dirección del flujo y cero en la dirección opuesta.

1

Encontrar cualquier camino de la fuente a destino que tenga capacidad de flujo positiva, si no los hay, se habrá encontrado la solución óptima.

2

Sea cmin la capacidad mínima de flujo entre los arcos seleccionados en el paso 1, se aumenta el flujo existente a través de la red al enviar un flujo adicional cmin para todos los arcos del camino.

3

Para todos los arcos del camino, disminúyanse las capacidades en la dirección del flujo y auméntese las capacidades en la dirección opuesta en cmin. Volver al paso 1 170

Aplicar el algoritmo al grafo del ejemplo: Paso Inicial

0

2

0

4

6

2

0

4

6

0

0

6

1 3

6 0

3

0

0

1 2 5

4

0

171

Iteraci贸n 1:

Elegir arbitrariamente el camino 1-3-5-6 cmin = MIN(6,4,2)=2; actualizando la red se tiene

0

2

2

0

4

6

2

0

4

6

0

0

6

1 4

3

6 0 2

3

0

4 2

0

1 5

2

2 0

2

0 2

172

Iteraci贸n 2:

Elegir arbitrariamente el camino 1-2-4-6 cmin = MIN(4,6,6)=4; actualizando la red se tiene

4 0 6 2

0 4

2

4 0

2 6

4

2 6

4 0

2

0

0

6

1 3

6

0

4

0 2

3

4 2

0

1 5

6 2

2 0

2

0 2 173

Iteraci贸n 3:

Elegir arbitrariamente el camino 1-3-2-4-6 cmin = MIN(4,3,2,2)=2; actualizando la red se tiene

4 0

8 6 2

0 4

2

6 4 0

0 2 6

4

0 2 6

6 4 0

2

2 0

0

6

1 4

1 3

6

2

0 42

3

0 4 2

0

1 5

8 6 2

2 0

2

0 2 174

CĂĄlculo de la cantidad de flujo en cada arco Se determina comparando la capacidad inicial de cada arco con la capacidad inicial. Para cada arco la regla es: Si la capacidad final es menor que la capacidad inicial, calcular la diferencia. Esta es la cantidad del flujo a travĂŠs del arco.

Ejemplo: Arco 3-5 Inicial

Final

3

4

0 5

3

2

2 5

Final < inicial entonces el flujo es 4-2=2 175

Aplicando la regla anterior a todos los arcos se tiene el siguiente grafo: 6

2

4

4

6

8

6

1

8

2 4

2 3

5 2

176

Unidad 3 Administraci贸n de Proyectos

PERT y CPM

177

3 Administración de Proyectos (PERT y CPM) Todo proyecto debe ser comprobado y controlado, dado que éste tiene involucrado numerosas tareas interrelacionadas.

A través de algunas técnicas se puede responder a preguntas como: 1. ¿Cuándo sería lo más pronto que el proyecto pudiera estar terminado?

2. Para cumplir con este tiempo de conclusión, ¿qué tareas son críticas, en el sentido de que un retraso en cualquiera de esas tareas provoca un retraso en la conclusión del proyecto?

3. Es posible acelerar ciertas tareas para terminar todo el proyecto más pronto?. Si es así, ¿qué tareas serán éstas y cuál sería el costo adicional?

178

Método de la Ruta Crítica (CPM, Critical Path Method): Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para terminar las tareas individuales se conocen con relativa certeza (determinísticos).

Técnica de Evaluación de Proyectos (PERT, Program Evaluation and Review Technique): Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para terminar las tareas individuales son inciertos (probabilísticos).

179

3.1 Desarrollo de la Red de Proyectos

Para determinar el tiempo de conclusión de un proyecto puede usar los siguientes pasos: 1. Identifique las tareas individuales que componen el proyecto 2. Obtenga una estimación del tiempo de conclusión de cada tarea.

3. Identifique las relaciones entre las tareas. ¿Qué tareas deben concluirse antes de que otras puedan iniciarse?

4. Dibuje un diagrama de red de proyecto para reflejar la información de los pasos 1 y 3

180

Traslado de las oficinas de una ciudad a otra

Ejemplo:

Actividad A B C D E F G H I J

El directorio ha fijado un plazo m谩ximo de 22 semanas para la mudanza Prdecesoras inmediatas Elegir local de oficinas Crear el plan financiero y de Determinar requerimientos B de personal Dise帽o de local A, C Construir el interior D Elegir personal a mudar C Contratar nuevos F empleados Mudar registros, personal F clave, etc.

Hacer arreglos finacieros de B la organizaci贸n Entrenar personal nuevo H, E, G Descripci贸n

Tiempo

Recursos

181

Construcci贸n del diagrama de Red:

2 A 4

1 C

B 3

驴C贸mo agregamos la actividad D?. Sus predecesoras inmediatas son A y C, adem谩s C es predecesora directa de F

182

Actividades Ficticias (figurada): Es una actividad artificial que no requiere tiempo y que se incluye en una red de proyecto para asegurar la relaci贸n de precedencia correcta entre ciertas tareas.

Generalmente se representan por l铆neas segmentadas.

Se usan s贸lo para reflejar las relaciones de precedencia adecuadas 2 A

4 C 183

Volviendo al ejemplo: Agregando el resto de las actividades a la red finalmente se tiene

D

5

2

E H

A 6

F 4

1

7 G

J 8

C

B I 3 184

Siguiendo con el ejemplo: G y H tienen como predecesora inmediata F, ademรกs ambas son predecesoras de J, agregar actividad ficticia.

D

5

2

E A

H 6

F 4

1

7

G

8

Fic

J 9

C

B I 3 Red Final 185

Se requiere de las estimaciones de tiempo de cada actividad (supuestos)

Ruta Crítica: Dar cumplimiento al plazo límite Actividad

Descripción

A

Elegir local de oficinas Crear el plan financiero y de organización Determinar requerimientos de personal Diseño de local Construir el interior Elegir personal a mudar Contratar nuevos empleados Mudar registros, personal clave, etc.

Hacer arreglos finacieros de la organización Entrenar personal nuevo

B C D E F G H I J

Prdecesoras inmediatas -

Tiempo

Recursos

3

-

5

B

3

A, C D C

4 8 2

F

4

F

2

B

5

H, E, G

3 186

Retomando el ejemplo: Agregando los tiempos a las actividades

D (4)

5

2

E (8)

(3)

A H (2) F (2) 4

1

6 G (4)

8

7 Fic

J (3) 9

(3)

C B

I (5)

(5)

3 187

Cálculo de la ruta crítica: Tiempo de término del proyecto Definiciones

Tiempo de inicio más inmediato: El tiempo más cercano en que una tarea posiblemente pueda iniciarse (TI)

Tiempo de término más breve: El tiempo más corto en el que una tarea posiblemente pueda concluir (TT)

188

Reglas a cumplir:

Dado que en el proyecto existen tareas predecesoras es necesario conocer cuando termina una y cuando empieza la otra:

Regla 1. Para calcular el TI de una tarea se debe conocer los TT de cada tarea predecesora inmediata 2. El TI más inmediato de una tarea de la que se conocen los tiempos de término más breves de todas sus tareas predecesoras inmediatas es el máximo de todos esos tiempos de término más breves.

3. Tiempo de término más breve = (tiempo de inicio más inmediato) + (tiempo de tarea(t))

189

Pasos para determinar los TI y TT mรกs inmediatos: Paso 0

Identificar el nodo de inicio de la red del proyecto

Calcule y escriba en cada arco saliente a) TI mรกs cercano, esto es, 0 b) El TT mรกs breve de acuerdo a la regla 3 TT mรกs breve = (TI mรกs inmediato) + (t) =0+t

1

Seleccionar cualquier nodo donde todos los arcos entrantes han sido etiquetados con sus TI y TT

190

Pasos para determinar los TI y TT más inmediatos: Paso 2

Para el nodo seleccionado en el paso 1 calcule y registre en cada arco saliente

a) El TI más breve de acuerdo a la regla 2

TI más breve = MAXIMO(TT de los arcos entrantes) b) El TT más breve de acuerdo a la regla 3 TT más breve = TI más inmediato + t

191

Cรกlculo de TI y TT: D[8,12]

5

2

7

6

Fic

4

1

8

9

3 192

Identificación de las tareas críticas:

Para identificar las tareas críticas hay que realizar un recorrido hacia atrás hasta el inicio del proyecto, analizando cada tarea.

1. Último Tiempo de término: Lo más tarde que puede concluirse una tarea, en tanto permita que el proyecto se complete lo más pronto posible 2. Último tiempo de inicio: Lo más tarde que pueda iniciarse una tarea, pero finalizando dentro de su tiempo de término.

3. Tarea sucesora: Una tarea para la que la tarea de interés es una predecesora 193

Identificación de las tareas críticas: Regla 4

Para calcular el último tiempo de término (UTT) de una tarea particular, debe conocer los últimos tiempos de inicio (UTI) de cada tarea sucesora inmediata.

5

Respecto a una tarea de la que se conocen los últimos tiempos de inicio de todas sus tareas sucesoras inmediatas, el último tiempo de término (UTT) de esa tarea es el mínimo de los últimos tiempos de inicio de todas las tareas sucesoras inmediatas

6

UTI = UTT- t

194

Identificación de las tareas críticas: Pasos para calcular los últimos tiempos de inicio y término

0

Identificar el final del proyecto. Calcular y escribir en cada arco entrante: a) Último tiempo de término del proyecto b) Último tiempo de inicio (Regla 6): UTI=UTT-t

1

Seleccione un nodo, cuyos arcos salientes hayan sido etiquetados todos con sus UTI y UTT

2

Para el nodo seleccionado (paso 1) calcule y escriba lo siguiente a) UTT= MIN(UTI arcos salientes), (regla 5) b) UTI=UTT - t (regla 6)

3

Repetir pasos 1 y 2 hasta cubrir toda la red del proyecto 195

Identificación de las tareas críticas: Cálculo de UTT y UTI para cada actividad

Iteración 1

Iteración 2

Nodo 9 Actividad J

UTT = 23 UTI = 23-3 = 20

Actividad I

UTT = 23 UTI = 23-5 = 18

Nodo 7 Actividad E

UTT = 20 UTI = 20-8 = 12

Actividad H

UTT = 20 UTI = 20-2 = 18

Actividad ficticia

UTT = 20 UTI = 20-0 = 20 196

Identificación de las tareas críticas: Cálculo de UTT y UTI para cada actividad . Finalmente se tiene

D[8,12]

2

5

[8,12]

7

6

Fic

4

1

9

[5,8]

8

3 197

Identificación de las tareas críticas: Holgura:

Es la cantidad de tiempo que puede demorar una actividad sin afectar la fecha de término del proyecto.

El valor de la holgura para cada actividad está dada por: holgura = TI - UTI = TT - UTT Ejemplo:

Actividad C: TI = 5, UTI = 5, TT = 8, UTT = 8 Holgura = 5 - 5 = 8 - 8 = 0 Actividad I: TI = 5, UTI = 18, TT = 10, UTT = 23

La actividad C tiene holgura 0, por tanto no puede retrasarse, en cambio la actividad I tiene 13 semanas de holgura que permite retrasar su inicio.

198

Identificación de las tareas críticas: Resumen de los tiempos de las actividades del proyecto: Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:

Actividad A B C D E F G H I J

Tiempo 3 5 3 4 8 2 4 2 5 3

Inicio 0 0 5 8 12 8 10 10 5 20

Término 3 5 8 12 20 10 14 12 10 23

Inicio 5 0 5 8 12 14 16 18 18 20

Término Holgura 8 5 5 0 8 0 12 0 20 0 16 6 20 6 20 8 23 13 23 0

Tiempo de ejecución del proyecto: 23 semanas 199

Identificación de las tareas críticas: Actividad crítica es aquella que tiene holgura cero

Ruta crítica es una secuencia de tareas (actividades) críticas que conecta el principio del proyecto con el fin

En nuestro ejemplo: Actividades críticas: B, C, D, E y J

Ruta crítica:

Nodos

1-3-2-5-7-9

Actividades

B-C-D-E-J

200

Formas de Reducir la duración del proyecto: 1. Análisis Estratégico Aquí el analista se pregunta: “¿Este proyecto tiene que desarrollarse en la forma programada actualmente?”. En concreto, “¿Todas las actividades de la ruta crítica tienen que realizarse en el orden especificado?”. ¿Podemos hacer arreglos para efectuar algunas de estas actividades en forma distinta de cómo aparecen en la ruta crítica?.

2. Enfoque Táctico El analista presupone que el diagrama en curso es adecuado y trabaja para reducir el tiempo de ciertas actividades de la ruta crítica asignando mayores recursos. Por ejemplo tiempo, aumento de mano de obra, etc.

201

Formas de Reducir la duración del proyecto:

Para el ejemplo en estudio, el directorio estimó un tiempo máximo de 22 semanas para realizar el proyecto, y según el estudio se ha determinado que se requieren 23 semanas, ¿Cómo soluciona Ud. el problema?. Realice distintos supuestos válidos para su solución. ¿Es única?.

202

Formas de Reducir la duración del proyecto: Alternativa de solución Realizados algunos estudios los responsables de la mudanza, se dan cuenta que la actividad J (entrenamiento de los nuevos empleados) debe realizarse en el nuevo edificio (después de completar la actividad E) y después de que el personal clave y de registros se haya mudado (al completar la actividad H).

Estos requerimientos se podrían cambiar: • Realizar J independientemente de H

• El entrenamiento realizarlo en otras dependencias a un costo reducido y que estén listos para cuando se termine la construcción. Esto requiere agregar otra actividad: Garantizar recursos de entrenamiento, actividad K 203

Formas de Reducir la duración del proyecto:

Con los cambios anteriores, es posible que la red redefinida tenga una nueva ruta crítica con un tiempo menor, aunque todavía insatisfactorio (mayor a las 22 semanas establecidas).

204

Diagrama de red para el proyecto redefinido

D (4)

5

2

E (8) H(2)

A(3)

6 F (2) 4

1

G(4) K(3)

7 8

J (3)

9

Fic

C (3) B

I (5)

(5)

3 205

Actualización de los tiempos para el proyecto redefinido Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:

Actividad A B C D E F G H I J K

Tiempo 3 5 3 4 8 2 4 2 5 3 3

Inicio 0 0 5 8 12 8 10 10 5 14 10

Término 3 5 8 12 20 10 14 12 10 17 13

Inicio 5 0 5 8 12 11 13 18 15 17 14

Término Holgura 8 5 5 0 8 0 12 0 20 0 13 3 17 3 20 8 20 10 20 3 17 4

Actividades ruta crítica: B-C-D-E Duración del proyecto: 20 semanas 206

3.3 PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades Hasta ahora hemos trabajado asumiendo que los tiempos de duración de las actividades eran determinísticos, en consecuencia TI, TT, UTI y UTT también fueron deducidos como deterministas. Como este supuesto no siempre es correcto, PERT emplea una fórmula especial para estimar los tiempos de las actividades.

PERT requiere de alguien que conozca bien una actividad en cuestión, para producir tres estimaciones del tiempo de ésta.

207

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

1. Tiempo optimista (denotado por a): el tiempo mínimo. Todo tiene que marchar a la perfección.

2. Tiempo más probable (denotado por m): el tiempo que se necesita en circunstancias ordinarias.

3. Tiempo pesimista (denotado por b): el tiempo máximo. Situación que se da en el peor caso.

208

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

Ejemplo: Para la actividad E (8 semanas). Al examinar en detalle el proyecto de construcciรณn del interior se llegรณ a las siguientes estimaciones: a=4

m=7 b = 16 Para estimar el valor esperado y la desviaciรณn estรกndar de los tiempos de la actividad, se asume que el tiempo de la actividad es una variable aleatoria que tiene una distribuciรณn de probabilidad unimodal beta.

209

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

Distribución beta

4 a

7 8 m

Estimación del tiempo esperado de actividad o tiempo promedio Estimación de la desviación estándar del tiempo de la actividad

16 b

a  4m  b te  6 ba  6 210

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

Estimaci贸n de tiempo

Actividad A B C D E F G H I J K

a 1,0 3,0 2,0 2,0 4,0 1,0 2,5 1,0 4,0 1,5 1,0

m 3,0 4,5 3,0 4,0 7,0 1,5 3,5 2,0 5,0 3,0 3,0

b 5,0 9,0 4,0 6,0 16,0 5,0 7,5 3,0 6,0 4,5 5,0

te 3,0 5,0 3,0 4,0 8,0 2,0 4,0 2,0 5,0 3,0 3,0

desv est varianza 0,667 0,444 1,000 1,000 0,333 0,111 0,667 0,444 2,000 4,000 0,667 0,444 0,833 0,694 0,333 0,111 0,333 0,111 0,500 0,250 0,667 0,444 211

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

Cálculo del tiempo esperado de finalización de proyectos Una vez determinado el tiempo promedio de cada actividad, se puede calcular el tiempo de finalización más temprano esperado para el proyecto completo.

Se determinan los tiempos de inicio y de término más cercano, como también los tiempos de término y de inicio más lejano. Con estos tiempos se determina la holgura en cada actividad, para finalmente determinar la ruta crítica, exactamente igual como se hizo para tiempo determinista.

212

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

Probabilidad de concluir el proyecto a tiempo El análisis procede de la siguiente forma: 1. Sea T el tiempo total que durarán las actividades de la ruta crítica.

2. Encuéntrese la probabilidad de que el valor de T resulte menor o igual que cualquier valor específico de interés. Para el ejemplo en estudio buscaríamos T  22 semanas.

Una buena aproximación de esta probabilidad se encuentra aceptando dos supuestos:

a) Los tiempos de independientes.

actividad

son

variables

aleatorias

b) La variable T tiene una distribución aproximadamente normal.

213

PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades

La meta es encontrar P{T  22}, donde T es el tiempo a lo largo de la ruta crítica.

Estadísticas de la ruta crítica: Desviación estándar

 T      ...   i

2 1

2 2

2 n

estándar de i-ésima actividad  i : Desviación de la ruta crítica

T:

es el tiempo esperado (promedio)

214

Estimación de terminación del proyecto Uso de la tabla de distribución normal, entonces debemos calcular Z para llegar a determinar la probabilidad.

Z

x



215

Cálculos caso en estudio

Ruta crítica: B- C- D y E T = 20 (tiempo esperado, promedio calculado, ) x = 22 (tiempo exigido)

 T2   B2   C2   D2   E2  T2  1  0,111  0,444  4  T2  5,555  T  2,357 216

Cálculos caso en estudio 22  20 Z 2,357 Z = 0,8485

En la tabla de Z

P(Z 0,8485) = 0,80

217

Matriz de Encadenamiento Una matriz de encadenamiento, es una matriz de NxN (N es la cantidad de actividades) donde cada celda se marca con una X si la actividad de la fila requiere que est茅 terminada la actividad de la columna. Esta matriz ayuda a la construcci贸n de la red CPM Para el ejemplo en estudio es: A A B C D F G H I J

B

C

D

E

F

G

H

X

X

I

J

X X

X X X X X X

218

3.4 CPM: TRUEQUE ENTRE TIEMPO Y COSTO CPM considera que el tiempo extra (costo) puede reducir el tiempo de tĂŠrmino de una actividad, y en consecuencia reducir el tiempo total del proyecto Compra de tiempo: CPM usa dos estimaciones: tiempo y costo normal, a lo que se agregarĂĄ tiempo y costo intensivo Se asume que estas estimaciones son lineales: Esfuerzo intensivo

Esfuerzo normal

Tiempo 219

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Red de tiempo mínimo – costo mínimo Debido a las estimaciones de CPM se puede obtener dos redes extremas: 1. Red de costo normal 2. Red de costo intensivo ¿Todas las actividades deben realizarse en forma intensiva?

3. Red de tiempo mínimo—costo mínimo

220

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Enfoques para encontrar red de tiempo mínimo – costo mínimo 1. Comenzar con la red normal e ir reduciendo los tiempos de término hasta un mínimo.

2. Comenzar con la red de todo intensivo y “desintensificar” actividades para reducir el costo sin afectar el tiempo total.

3. Comenzar con la ruta crítica de la red de todo intensivo con un tiempo mínimo, pero con todas la demás actividades normales. Después reducir las otras trayectorias como sea necesario. ¿Todos son igualmente eficaces?

221

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Enfoque: Red normal y reducción de tiempos Proyecto: Construcción de una casa

Actividad A (1,2) B (2,3) C (2,4) D (2,7) Fic(3,4) E (4,5) F (4,6) G (5,7) H (6,7)

Tiempo (semanas) Costo (miles $) Precedencia Normal Intensivo Normal Intensivo Costo ninguna 4 3 1.400 2.000 600 A 2 1 1.500 2.000 500 A 3 1 1.500 2.500 1.000 A 1 1 600 600 -0 0 ---B, C 3 2 1.300 2.000 700 B, C 2 1 300 500 200 E 2 1 800 1.200 400 F 2 1 600 1.000 400

222

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Paso 1: Red del proyecto

Si consideramos la convenci贸n actividad-flecha, el grafo del proyecto es:

5

3

G(2) E(3)

B(2)

1

A(4)

2

C(3)

H(2)

F(2)

4

6

7

D(1)

223

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Paso 2: Tiempos de Inicio y de Término, holgura y ruta crítica En el grafo se muestran los tiempos de inicio y de término más próximos y los más lejanos, y la ruta crítica. El tiempo mínimo para la ruta crítica es de 12 semanas a un costo normal de $8.000.

5

3

0

0 00

1

12 12 A(4)[0,4] [0,4]

2

C(3)[4,7] [4,7]

4

F(2)[7,9] [8,10]

6

H(2)[9,11]

7

[10,12]

D(1)[4,5] [11,12] 224

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Paso 2: Tabla de tiempos próximos y lejanos

Actividad A (1,2) B (2,3) C (2,4) D (2,7) E (4,5) F (4,6) G (5,7) H (6,7)

Tiempo Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de: Normal Inicio Término Inicio Término 4 0 4 4 4 2 4 6 5 7 3 4 7 4 7 1 4 5 1 12 3 7 10 7 10 2 7 9 8 10 2 10 12 10 12 2 9 11 10 12

Holgura 0 1 0 7 0 1 0 1

Actividades críticas

225

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Paso 3: “Intensificar” actividades ruta crítica a) Actividad A: de 4 a 3 semanas

( 600)

b) Actividad C: de 3 a 1 semana

(1.000)

c) Actividad E: de 3 a 2 semanas

( 700)

d) Actividad G: de 2 a 1 semana

( 400)

¿Es posible hacer estas reducciones?

226

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Reducción de Actividades ruta crítica 5

3

0

0

00

1

A(4 3)

2

C(3 1)

4

F(2)[7,9]

6

H(2)[9,11]

7

D(1)[4,5]

La ruta crítica disminuyó a 7 semanas, ¿seguirá manteniéndose como tal?. No Hay que ver si es posible reducir las actividades paralelas a la ruta crítica inicial, sólo hasta igualar tiempos.

227

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Paso 4: “Intensificar” actividades que no están en la ruta crítica (“paralelas”) a) Actividad B (paralela a C): de 2 a 1 semana

(500)

b) ¿Actividad F o H? (¿o ambas?). En este caso sólo F: de 2 a 1 semana (200) c) Actividad D: No requiere reducción

228

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Paso 4: Resumen de las reducciones

Actividad A (1,2) B (2,3) C (2,4) D (2,7) E (4,5) F (4,6) G (5,7) H (6,7)

Acci贸n 1 semana 1 semana 2 semanas ----1 semana 1 semana 1 semana -----

Costo Adicional 600 500 1000 700 200 400

Normal 1.400 1.500 1.500 600 1.300 300 800 600 $ 8.000

Total 2.000 2.000 2.500 600 2.000 500 1.200 600 $ 11.400

229

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Grafo final En el grafo se muestran los tiempos de inicio y de término más próximos y los más lejanos, y la ruta crítica. El tiempo mínimo para la ruta crítica es de 7 semanas a un costo normal de $11.400.

5

3

0

0 00

1

77 A(3)[0,3] [0,3]

2

C(1)[3,4] [3,4]

4

F(1)[4,5] [4,5]

6

H(2)[5,7]

7

[5,7]

D(1)[3,4] [6,7] 230

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Red óptima ¿Qué sucede si un proyecto lleva más tiempo del especificado?

¿Conviene hacer más “intensivo” el proyecto o pagar la penalización por atraso?

Ejemplo:

Suponga que en el proyecto de la casa hay una penalización de $450 por cada semana de tiempo extra después de ocho semanas. ¿Cuál es la red óptima?.

Solución: Reducir la red en una semana cada vez e ir comparando si los costos por intensificar son menores a los costos por penalización. Se termina cuando los costos de penalización son mayor a los costos de intensificar.

231

Red óptima

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

1. Reducir una semana (de 12 a 11 semanas) De la red normal analizar ruta crítica Actividades Incremento de Costo A 600 C 500 E 700 G 400 Conclusión: Intensificar 1 semana la actividad G (400<450).

2. Intentar reducir una segunda semana (de 11 a 10)

Todos los costos incrementales de la ruta son mayores a la penalización. Intentar por las vías paralelas.

No hay rutas alternativas cuya reducción implique un costo menor al de penalización.

232

Soluci贸n

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Grafo resultante

3

1

A(4)

2

C(3)

5

4

F(2)

6

H(2)

7

D(1)

Conviene hacer intensivo el proyecto hasta la semana 11 y pagar las penalizaciones por las semanas de atraso

Costo total = Costo intensivo + costo penalizaci贸n = (8.000 + 400) + 3*450 = $9.650 233

Ejemplo

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Suponga que un proyecto de investigación tiene las siguientes estimaciones: Actividad A (1,2) B (1,3) C (2,3) D (2,4) E(3,4)

Tiempo (meses) Normal Intensivo 8 4 9 6 3 2 10 7 6 4

Costo (miles $) Normal Intensivo 20.000 30.000 18.000 27.000 12.000 17.000 25.000 34.000 15.000 23.000

a) Dibuje la red. Con los tiempos normales de las actividades, encuéntrese la duración total del proyecto y la ruta crítica. b) Supóngase que el proyecto se debe completar en un tiempo mínimo. ¿Cuál es el menor costo para el proyecto, es decir, cuál es la red de tiempo mínimo—costo mínimo? c) ¿Cuál es el costo mínimo para terminar el proyecto en 17 meses? d) El departamento de comercialización dice que cada mes que el proyecto se pase de 15 meses le cuesta a la firma $5.000. ¿Cuál es el costo y duración óptimo del proyecto?

234

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) a) Identificación de Variables de decisión Están relacionadas directamente con el tiempo a reducir en cada tarea

Yi: Tiempo (horas, días, ..) a reducir de la i-ésima actividad YA: Número de semanas en las cuales acortar la actividad A b) Función Objetivo El objetivo es minimizar los recursos adicionales totales requeridos para satisfacer el tiempo de término del proyecto.

Para el ejemplo en estudio, en la tabla de especificaciones agregamos dos columnas: Tiempo máximo a reducir por tarea y el costo adicional por semana intensiva 235

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) Tiempo (semanas) Costo (miles $) Reducción Costo por Actividad Precedencia Normal Intensivo Normal Intensivo máxima semana A (1,2) ninguna 4 3 1.400 2.000 1 600 B (2,3) A 2 1 1.500 2.000 1 500 C (2,4) A 3 1 1.500 2.500 2 500 D (2,7) A 1 1 600 600 0 -Fic(3,4) 0 0 --0 -E (4,5) B, C 3 2 1.300 2.000 1 700 F (4,6) B, C 2 1 300 500 1 200 G (5,7) E 2 1 800 1.200 1 400 H (6,7) F 2 1 600 1.000 1 400

Por lo tanto la función es: MIN Z = 600YA+500YB+500YC+700YE+200YF+400YG+400YH

236

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) c) Identificación de las restricciones Para el ejemplo, se pueden agrupar en dos grupos

1. La cantidad máxima de tiempo en el cual se puede acortar cada actividad.

2. El tiempo de término del proyecto (en este caso 12 semanas)

Para el grupo 1, lo que se necesita son las cotas superiores sobre las variables de decisión (YA, YB, YC, YE, YF, YG, YH) dada por la columna “Reducción máxima) de la tabla anterior.

237

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) Restricciones de Límite 0<=YA<= 1

(límite de A)

0<=YB<= 1

(límite de B)

0<=YC<= 2

(límite de C)

0<=YD<= 0

(límite de D)

0<=YE<= 1

(límite de E)

0<=YF<= 1

(límite de F)

0<=YG<= 1

(límite de G)

0<=YH<= 1

(límite de H)

238

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) Restricciones del grupo 2 están en función de nuevas variables que expresan cuando las actividades que salen de un determinado evento pueden comenzar. Requiere conocer cuando terminan todas las actividades que llegan al evento. Dependen de Yi X1 : tiempo en que todas las actividades que salen del evento 1 pueden comenzar X2 : tiempo en que todas las actividades que salen del evento 2 pueden comenzar ......

X7 : tiempo en que todas las actividades que salen del evento 7 pueden comenzar Además el proyecto debe comenzar en el tiempo 1 y terminar a lo más en 12 semanas

X1 = 0 X7  12 239

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) Asociando las variables a la red tenemos: X3

X5

3

5

B(2)

(0)

(3-YE)

(2-YB) X1

1

A(4)

(4-YA)

X4

X2

2

C(3)

(3-YC)

G(2)

E(3)

4

F(2)

(2-YF)

(2-YG) X6

6

H(2)

X7

7 (2-YH)

D(1) (1-YD)

240

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) Nodo 2 Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 2  tiempo de terminación de todas las tareas que entran al nodo 2

Tiempo de inicio de las tareas B, C y D  (tiempo de terminación de la tarea A + (tiempo acortado de la tarea A) X2  X1 + (4-YA) Nodo 3 Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 3  tiempo de terminación de todas las tareas que entran al nodo 3 Tiempo de inicio de la tarea Ficticia  (tiempo de terminación de la tarea B + (tiempo acortado de la tarea B) X3  X2 + (2-YB) 241

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo)

Nodo 4 Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 4  tiempo de terminación de todas las tareas que entran al nodo 4.

Hay dos arcos que entran al nodo, las actividades E y F deben comenzar sólo cuando las tareas que entran (C y la ficticia) hayan terminado. Dando origen así a dos restricciones (una por cada actividad) Restricción de la actividad C

Tiempo de inicio de las tareas E y F  tiempo de terminación de la tarea C Tiempo de inicio de las tareas E y F  (tiempo de terminación de la tarea C + (tiempo acortado de la tarea C) X4  X2 + (3-Yc) (tarea C) 242

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo)

Nodo 4 Restricción de la actividad Ficticia Tiempo de inicio de las tareas E y F  tiempo de terminación de la tarea figurada

Tiempo de inicio de las tareas E y F  (tiempo de terminación de la tarea Figurada + (tiempo acortado de la tarea Figurada) X4  X3 + 0 (tarea Figurada)

Aplicando sistemáticamente el procedimiento y se escribe una restricción para cada actividad se obtienen las siguientes restricciones para los nodos 5 al 7

243

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo)

Nodo 5 X5  X4 + (3-YE)

(actividad E)

Nodo 6 X6  X4 + (2-YF)

(actividad F)

Nodo 7 X7  X5 + (2-YG)

(actividad G)

X7  X6 + (2-YH)

(actividad H)

244

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) MIN Z = 600YA+500YB+500YC+700YE+200YF+400YG+400YH Sujeto a: Restricciones de Límite

0<=YA<= 1

(límite de A)

0<=YB<= 1

(límite de B)

0<=YC<= 2

(límite de C)

0<=YD<= 0

(límite de D)

0<=YE<= 1

(límite de E)

0<=YF<= 1

(límite de F)

0<=YG<= 1

(límite de G)

0<=YH<= 1

(límite de H) 245

CPM: Trueque entre el costo y el tiempo

Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo) X1 = 0 X7  12 X2  X1 + (4-YA)

(tarea C)

X3  X2 + (2-YB)

(tarea B)

X4  X2 + (3-Yc)

(tarea C)

X4  X3 + 0

(tarea Figurada)

X5  X4 + (3-YE)

(actividad E)

X6  X4 + (2-YF)

(actividad F)

X7  X5 + (2-YG)

(actividad G)

X7  X6 + (2-YH)

(actividad H)

X1, ..., X7  0 246

Para su entretención

Ejercicios:

La complejidad de las redes CPM está más afectada por las interrelaciones que el número de nodos. Por ejemplo, considérese el proyecto siguiente: Actividad Normal Intensivo A (1,2) 8 7 B (1,3) 15 10 C (1,4) 12 6 D (2,3) 9 9 E (2,5) 11 9 F (3,6) 9 8 G (4,3) 9 7 H (4,7) 13 12 I (5,6) 7 5 J (5,8) 15 11 K (6,8) 10 5 L (7,6) 4 3 M (7,8) 12 9

Normal Intensivo 10.000 12.000 12.000 17.000 13.000 14.000 7.000 7.000 2.000 4.000 5.000 7.000 14.000 16.000 8.000 10.000 6.000 10.000 9.000 10.000 3.000 8.000 7.000 8.000 5.000 6.000

a) Existen 7 trayectorias en esta red. Encuéntrense todas. b) Con tiempos normales, encuéntrese la longitud de cada trayectoria. ¿Cuál es la ruta crítica? c) ¿Cuál es el costo mínimo intensivo para reducir el proyecto a 39 días? ¿a 38 días? ¿a 37 días? d) Encuéntrese la red de tiempo mínimo—costo mínimo.

247