Integrales

MOISES VILLENA MUÑOZ

La integral Indefinida

1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1.2.1 FORMULAS 1.2.2 PROPIEDADES 1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES 1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivo: Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas

1

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral.

1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA

Llamamos a F una antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en el intervalo I , si D x F ( x ) = f ( x ) es decir F ´( x ) = f ( x ) 1.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

∫

f ( x)dx = F ( x) + C

1.1.2 Teorema

Si F´(x) = G´(x) , ∀x ∈ (a, b) entonces existe una constante C tal que F ( x) = G ( x) + C , ∀x ∈ (a, b) Demostración: Sea H ( x) = F ( x) − G ( x) definida en un intervalo (a, b ) entonces H ´(x) = F´(x) − G´(x) . Por Hipótesis, como F´(x) = G´(x) entonces H ´(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b ) .

Como H es derivable ∀x ∈ (a, b ) , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para derivada, ∃x0 ∈ ( x, x1 ) ⊆ (a, b ) tal que H ´(x 0 ) = tenemos

H ( x1 ) − H ( x ) = 0 es decir H ( x) = H ( x1 ) = C . x1 − x

Por lo tanto F ( x) − G ( x) = C

2

H ( x1 ) − H ( x ) . Haciendo H ´(x0 ) = 0 x1 − x

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

1.2 INTEGRACIÓN. Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación.

En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas.

1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales

∫ dx = x + C x 2. ∫ x dx = n + 1 + C ; n ≠ −1 1 3. ∫ x dx = ln x + C 4. ∫ e dx = e + C a 5. ∫ a dx = ln a + C 6. ∫ sen xdx = − cos x + C 7. ∫ cos xdx = sen x + C 8. ∫ sec xdx = tg x + C 9. ∫ csc xdx = − cot gx + C 10. sec x tg xdx = sec x + C ∫ 1.

n +1

n

x

x

x

x

2

2

11.

∫

csc x cot gdx = − csc x + C

∫ tg xdx = − ln cos x + C = ln sec x + C 13. cot gxdx = ln sen x + C ∫ 14. sec xdx = ln sec x + tg x + C ∫ 15. csc xdx = ln csc x − cot gx + C ∫ 1 ⎛x⎞ 16. ∫ a − x dx = arcsen⎜⎝ a ⎟⎠ + C 12.

17.

18.

19.

20.

∫ ∫ ∫

2

2

1

dx =

a2 + x2

1 x x −a 2

2

1 ⎛ x⎞ arctg⎜ ⎟ + C a ⎝a⎠

dx =

⎛a⎞ ⎛ x⎞ 1 1 arcsen⎜ ⎟ + C = arccos⎜ ⎟ + C ⎟ ⎜ ⎜ x⎟ a a ⎝a⎠ ⎝ ⎠

senh xdx = cosh x + C

∫ cosh xdx = senh x + C 3

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.

Ejemplo 1 Calcular

∫ x dx 2

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. x 2+1 x3 x 2 dx = +C = +C 2 +1 3

∫

Ejemplo 2 Calcular

∫

1

dx

x

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.

∫

1

dx =

x

∫x

−1

2 dx

=

x

− 12 +1

− 12 +1

+C

Ejemplo 3 Calcular

∫ 4+ x 1

2

dx

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 17.

1 1 dx = arctan 2 2 2 2 +x

∫

(2x ) + C

Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades.

1.2.2 PROPIEDADES. decir:

La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es

∫[ 2. ∫ 1.

f ( x) ± g ( x)]dx =

kf ( x)dx = k

4

∫

∫

∫

f ( x)dx ± g ( x)dx

f ( x)dx; k ∈ R

La integral Indefinida

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Ejemplo 4 Calcular

∫ ⎜⎝ x + 3 sin x − 4e ⎟⎠dx ⎛2

x

⎞

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades y fórmulas: ⎛2 x⎞ ⎜ + 3 sin x − 4e ⎟dx = ⎠ ⎝x

∫

∫ ∫ 3 sin dx − ∫ 4e dx 1 =2 ∫ x dx + 3∫ sin xdx − 4∫ e dx 2 dx + x

x

x

= 2 ln x − 3 cos x − 4e x + C

Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo.

1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA. Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas.

Ejemplo 1 Calcular

∫

(1 − x )3 dx x3 x

SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:

∫

∫ ∫ ∫ ∫

(1 − x )3 dx = 3

x x =

=

=

=

1 − 3x + 3x 2 − x 3 4

x

dx

3

⎡ 1 x3 3x 3x 2 ⎢ − + − 4 4 4 4 ⎢ 3 x 3 x 3 x 3 ⎣x

⎤ ⎥ dx ⎥ ⎦

5 ⎤ 2 −1 ⎡ − 43 − 3x 3 + 3 x 3 − x 3 ⎥ dx ⎢x ⎣ ⎦

x

x

−4

−1 3

−1 3

= −3 x

3 dx − 3 2

∫

x

−1 3 dx + 3 5

∫

2

x

3 dx −

∫

5

x

3 dx

8

x 3 x 3 x 3 +3 − +C 2 5 8 3 3 3 9 23 9 53 3 83 − x + x − x +C 2 5 8

−3

−1 3

5

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejercicios Propuestos 1.1 Encuentre las antiderivadas de: 1.

2.

3.

∫ ∫ ( ∫

(3 − x ) dx

4.

⎛ 1 ⎞ ⎜1 − ⎟ x x dx ⎜ ⎟ x2 ⎠ ⎝

5.

23

)(

x2 +1 x2 − 2 3 2

)dx

∫ ∫

2 x +1 − 5 x −1 10 x

dx

x 4 + x −4 + 2 x3

dx

x

1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas.

En este caso las formulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable.

Ejemplo 1 Calcular

∫

(1 − x )30 dx

SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente si empleamos el cambio de variable t = 1 − x .

dt = −1dx → dx = − dt . dx

Del cambio de variable, tenemos: Ahora sustituyendo resulta:

∫

t 30 (− dt ) = −

Una vez integrado, reemplazando

t

∫

t 30 dt = −

se obtiene:

∫

t 31 +C 31

(1 − x )30 dx = − (1 − x )

31

31

+C

Ejemplo 2 Calcular

∫

sen x

dx

x

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x .

Del cambio de variable se obtiene:

Sustituyendo resulta:

6

∫

sen x x

dt 1 = → dx = 2 x dt . dx 2 x

dx =

∫

sen t x

2 x dt = 2

∫

sen tdt = 2(− cos t ) + C

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

∫

Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos:

sen x

dx = −2 cos x + C

x

Ejemplo 3 Calcular

∫

x x − 1dx

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x − 1

dt = 1 → dx = dt dx

Del cambio de variable se obtiene: Sustituyendo resulta:

∫x

∫

x x − 1dx =

Como no se simplifica la

x t dt

, debemos reemplazarla.

En este caso, despejando del cambio de variable: x = t + 1

∫

Entonces:

x t dt =

∫

= 52 t

(t + 1) 5

2

t dt =

+ 23 t

Una vez integrado, reemplazando

3

t

2

∫

(t

)

t + t dt =

∫ ∫ 3

t

2 dt +

1

t

2 dt

+C

resulta:

∫

x x − 1dx =

2 5

(x − 1)5 2 + 23 (x − 1) 32 + C

Ejemplo 4 Calcular

∫

⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎜ ⎜ x 2 +1 ⎝

SOLUCIÓN: Separando las integrales, tenemos:

∫

4x

dx − x +1 2

∫

1 x +1 2

⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠

dx +

∫

arctanx x +1 2

dx −

Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado.

1.

∫

∫

e arc tan x x2 + 1

dx

4x

dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = x 2 + 1 , de donde x +1 2

dt dt . = 2 x , entonces dx = dx 2x

Sustituyendo, resulta:

2.

3.

∫ ∫

∫

∫

4x

dx = x +1 2

1 dx . Esta integral es directa. x 2 +1 arctg x x2 + 1

4 x dt =2 t 2x

∫

∫

1 dt = 2 ln t + C = 2 ln x 2 + 1 + C t

1 dx = arctanx + C x 2 +1

dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = arctg x , de donde

(

)

dt 1 = , entonces dx = x 2 + 1 dt . dx x 2 + 1

7

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ Sustituyendo, resulta:

4.

∫

∫

e arc tg x x2 + 1

arctanx x 2 +1

dx =

∫

x2

(x + 1)dt = +1 2

∫

tdt =

(arctanx)2 + C t2 +C = 2 2

dx . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto:

∫

e arc tan x x +1 2

dx =

FINALMENTE:

∫

t

∫

⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎜ ⎜ x 2 +1 ⎝

(x + 1)dt = +1

et x

2

2

∫

e t dt = e t + C = e arctanx + C

2 ⎞ ⎟ dx = 2 ln x 2 + 1 − arc tan x + (arc tan x ) − e arc tan x + C ⎟ 2 ⎠

Ejemplo 5 Calcular

∫(

dx

)

1 + x 2 ln⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝

SOLUCIÓN: Tomando el cambio de variable: t = ln ⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

⎞ ⎛ 1 ⎜1 + 2x ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 1+ x 2 ⎛ 1+ x + x ⎞ 1 ⎜ ⎟ = Del cambio de variable: ⎟ 2 ⎜ 2 x + 1+ x ⎝ 1+ x ⎠ dt 1 = → dx = 1 + x 2 dt 2 dx 1+ x dt 1 = dx x + 1 + x 2

Reemplazando, resulta:

∫(

)

dx

⎛ ⎞ 1 + x 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ ⎝ ⎠

=

=

∫ ∫

1 + x 2 dt 1 + x2 t

t

−1

1 2 dt = 2t 2 + C

⎛ ⎞ = 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ + C ⎝ ⎠

8

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dx

(5x − 2)

5

11.

2

x 2 x − 1dx

12.

dx π⎞ ⎛ sen 2 ⎜ 2 x + ⎟ 4⎠ ⎝

13.

14.

1 − sen (2 x ) dx

15.

x2 +1 dx x −1

(1 + x )2 1+ x2

16. dx

dx

(1 + x )

17. x

arc tan x

x (1 + x ) 1

1 − x2

10.

18.

dx

⎛1+ x ⎞ ln ⎜ ⎟ dx ⎝1− x ⎠

19.

dx

20.

x +1 + x −1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1+ x2 + x 1− x2

dx

1 − x4 ln x dx x 1 + ln x dx x ln x ln (ln x ) a+x dx a−x sen x cos x

dx

2

a sen 2 x + b 2 cos 2 x dx sen 2 x 4 c tg x

⎛ ⎞ ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1+ x 2 2 x 3x 9x − 4x

dx

dx

x dx 1 + x2 +

(1 + x )

x −1

2 3

dx

2

4 x − 8x + 3

1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES. Para el producto de funciones, tenemos: d (uv ) = udv + vdu udv = d (uv ) − vdu

Despejando y tomando integral, resulta:

∫

udv =

∫

d (uv ) −

∫

vdu

En definitiva, la formula que se emplea en integración por partes es:

∫

udv = uv −

∫

vdu

Ejemplo 1 Calcular

∫

x e x dx

SOLUCIÓN:

Haciendo u = x y dv = e x dx .

9

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Entonces du = dx y v =

Integrando, resulta:

∫

∫

e x dx = e x

dv8 v 67 u } } x x e dx = x e x −

u }

= x e

x

∫

v du } } e x dx

− ex + C

Ejemplo 2 Calcular

∫(

)

2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx

SOLUCIÓN:

Haciendo u = 2 x 2 + 3 x − 5 y dv = sen x dx .

∫

Entonces du = (4 x + 3 )dx y v = Por lo tanto, integrando tenemos:

∫

sen xdx = − cos x

u 44 u 44 dv 4 v4 6 447 86 6 447 86 47 8 47 8 2 2 2 x + 3 x − 5 sen x dx = 2 x + 3 x − 5 (− cos x ) −

(

)

(

)

(

)

= − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + Ahora, la integral

∫

4 x + 3 ) cos xdx

4 x + 3) cos xdx también se la realiza por partes.

u = 4x + 3

Haciendo v =

∫(

∫(

∫

v4 du 4 6 47 8 647 8

(− cos x )(4 x + 3 )dx

dv = cos x dx .

y

Entonces

du = 4 dx

y

cos xdx = sen x

Por tanto:

∫(

4 x + 3) cos xdx = (4 x + 3) sen x −

∫

sen x(4dx )

= (4 x + 3) sen x + 4 cos x

FINALMENTE:

∫

(2 x

2

)

(

)

+ 3 x − 5 sen x dx = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + (4 x + 3 )sen x + 4 cos x + C

Ejemplo 3 Calcular

∫

e x cos xdx

SOLUCIÓN:

Haciendo u = e x y dv = cos x dx .

Entonces du = e x dx y v =

10

∫

cos xdx = sen x

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Por tanto:

∫ ∫

e x cos xdx = e x sen x −

La integral

sen xe x dx se la calcula por parte. Hacemos u = e x y dv = sen x dx .

Entonces du = e x dx y v =

Por lo tanto

∫

∫

sen x e x dx

∫

sen xdx = − cos x .

e x sen xdx = −e x cos x +

∫

e x cos xdx

FINALMENTE:

∫ ∫

⎡ e x cos xdx = e x sen x − ⎢− e x cos x + ⎢ ⎣ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x −

∫

∫

⎤ e x cos xdx ⎥ ⎥ ⎦

e x cos xdx

Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando 2

∫ ∫

e x cos xdx = e x sen x + e x cos x

e x cos xdx =

e x sen x + e x cos x +C 2

Ejemplo 4 Calcular

∫

x ln xdx

SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar u = ln x y dv = x dx .(¿por qué?)

Entonces du =

1 dx y v = x

Por tanto:

∫

∫

xdx =

x2 2

∫ ∫

⎛ x2 ⎞ x ln xdx = (ln x )⎜ ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ =

1 x 2 ln x − 1 2 2

=

1 x 2 ln x − 1 ⎜ 2 2⎜

x2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ dx ⎟ 2 ⎝x ⎠

xdx

⎛ x2 ⎞ ⎟+C ⎟ ⎝ 2 ⎠

Ejemplo 5 Calcular

∫

ln xdx

SOLUCIÓN:

11

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

u = ln x

Entonces, aquí sería también v =

∫

dv = dx . Entonces

y

du =

1 dx x

dx = x

Por tanto:

∫

ln xdx = x ln x −

∫

⎛1 ⎞ x⎜ dx ⎟ ⎝x ⎠

= x ln x − x + C

Ejemplo 6 Calcular

∫

x arctg x dx

SOLUCIÓN:

Tomamos u = arctg x y dv = xdx , entonces: du = Por tanto:

∫

⎛ x2 ⎞ x arctg xdx = (arctg x )⎜ ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ =

1 x 2 arctg x − 1 2 2

∫ ∫

1 1+ x 2

dx y v =

x2 2

x2 ⎛ 1 ⎞ dx ⎟⎟ ⎜ ⎜ 2 2 ⎝1+ x ⎠ x2

dx x +1 2

Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta: Reemplazando

FINALMENTE:

∫ ∫

2

x dx = x2 + 1

∫

x arctg xdx =

1 ⎞ ⎛ ⎟⎟dx = ⎜⎜1 − 2 x +1⎠ ⎝

1 x 2 arctg x − 1 2 2

∫ ∫ dx −

x2 x +1 2

1 dx = x − arctg x x2 + 1

[x − arctg x] + C

Ejercicios Propuestos 1.3 Encuentre las antiderivadas de: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

12

∫ ∫(

∫ ∫

x e 3 x dx

11.

x + 1)e 2 x dx

12.

(2 x − 1)sen 3xdx

13.

x sen (3 x − 1)dx

14.

∫ ∫(

x 2 e − 2 x dx

∫

15.

)

x 2 − 3x + 2 e 2 x dx

16.

(2 x − 1)ln xdx

17.

∫(

x arctg x )2 dx

∫ ∫ ∫

e x dx ⎛ ⎞ ln ⎜ x + 1 + x 2 ⎟ dx ⎝ ⎠ arcsin x dx

∫ ∫ ∫

= 1−

arctg xdx

( )

arc tan x dx cos (ln x ) dx

1 x +1 2

y

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

8.

9.

∫ ∫

10.

18.

x ln 2 x dx

∫

x ln x dx

19.

x cos x dx

20.

sen 2 x

∫ ∫ ∫

sen x dx sen (ln x ) dx sen x ln (tg x ) dx

1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha clasificado de la siguiente manera: TIPO I: Integrales de la forma:

∫

∫

sen n x dx o

cos n x dx

Para este caso se sugiere, lo siguiente: 1.

Si " n " es IMPAR usar:

sen 2 x = 1 − cos 2 x cos 2 x = 1 − sen 2 x

1 − cos 2 x 2 + 1 cos 2x cos 2 x = 2

sen 2 x =

2.

Si " n " es PAR usar:

Ejemplo 1 Calcular

∫

cos 2 x dx

SOLUCIÓN: Usamos la regla para la potencia par:

∫

cos2 x dx =

∫

⎛ 1 + cos 2 x ⎞ ⎜ ⎟dx 2 ⎝ ⎠

∫ ∫

⎤ cos 2 xdx⎥ ⎥⎦ 1⎡ sen 2 x ⎤ +C = ⎢x + 2⎣ 2 ⎥⎦ =

1⎡ ⎢ 1dx + 2 ⎢⎣

Ejemplo 2 Calcular

∫

sen 3 x dx

SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia impar:

∫

sen 3 x dx = = =

∫ ∫( ∫

sen 2 x sen xdx

)

1 − cos 2 x sen xdx

sen xdx −

∫

cos2 x sen xdx

De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.

13

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

1.

2.

∫ ∫

sen xdx = − cos x cos 2 x sen xdx requiere el cambio de variable t = cos x entonces dt = − sen xdx .

Reemplazando resulta: FINALMENTE:

∫

∫

cos 2 x sen xdx =

∫

t 2 (− dt ) = −

cos3 x 3

3

cos x +C 3

sen 3 xdx = − cos x +

Ejemplo 3 Calcular

∫

cos 4 x dx

SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia par:

∫

∫ (cos x) dx

cos 4 x dx =

2

2

=

∫

=

1⎡ ⎢ 1dx + 4⎢ ⎣

=

sen 2 x 1⎡ ⎢x + 2 + 2 4⎢ ⎣

2

⎛ 1 + cos 2 x ⎞ ⎟ dx ⎜ 2 ⎠ ⎝

∫ ∫

2 cos 2 xdx +

∫

⎤ cos 2 2 xdx ⎥ ⎥⎦

∫ ∫ ∫

⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎤ ⎟dx ⎥ ⎜ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝

⎞⎤ 1⎛ 1 ⎡⎢ x + sen 2 x + ⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟⎥ ⎟⎥ ⎜ 2 4⎢ ⎠⎦ ⎝ ⎣ 1⎛ sen 4 x ⎞⎤ 1⎡ = ⎢ x + sen 2 x + ⎜ x + ⎟⎥ + C 2⎝ 4 ⎠⎦ 4⎣

=

TIPO II. Integrales de la forma

∫

sen m x cos n x dx

1. si m ∨ n son impares Ejemplo Calcular

∫

sen 3 x cos − 4 x dx

SOLUCIÓN: Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente:

∫

sen 3 x cos − 4 x dx = = =

∫ ∫( ∫(

sen 2 x sen x cos − 4 x dx

)

1 − cos2 x sen x cos − 4 x dx cos x )− 4 sen x dx −

∫(

cos x )− 2 sen x dx

Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable t = cos x de donde dt = − sen xdx , resulta

14

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

∫(

cos x )− 4 sen x dx −

∫(

cos x )− 2 sen x dx =

∫

=− =

t − 4 (− dt ) −

∫

t − 2 (− dt )

t −3 t −1 + +C − 3 −1

cos −3 x − cos −1 x + C 3

2. si m ∧ n son pares Ejemplo Calcular

∫

sen 2 x cos 4 x dx

SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces:

∫ ∫ ∫ ∫ ( ∫( ∫ ∫ ∫ sen 2 x cos4 x dx =

(

sen 2 x cos2 x

)2 dx

2

⎛ 1 − cos 2 x ⎞⎛ 1 + cos 2 x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ dx 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

(1 − cos 2 x )1 + 2 cos 2 x + cos2 2 x )dx

=

1 8

=

1 8

1 + cos 2 x − cos2 2 x − cos3 2 x dx

=

⎡ 1⎢ 8⎢ ⎣

1dx +

cos 2 xdx −

)

cos2 2 xdx −

∫

⎤ cos3 2 xdx ⎥ ⎥ ⎦

Las dos últimas integrales son trigonométricas =

1⎡ sen 2 x − ⎢x + 8 ⎢⎣ 2

∫

⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎟dx − ⎜ 2 ⎠ ⎝

∫

⎤ cos 2 2 x cos 2 xdx ⎥ ⎥⎦

∫(

)

⎤ ⎞ 1⎡ sen 2 x 1 ⎛⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟ − 1 − sen 2 2 x cos 2 x ⎥ − ⎢x + ⎜ ⎟ 8⎢ 2 2⎝ ⎥⎦ ⎠ ⎣ ⎞⎤ 1⎡ sen 2 x 1 ⎛ sen 4 x ⎞ ⎛⎜ = ⎢x + − ⎜x+ ⎟ − ⎜ cos 2 xdx − sen 2 2 x cos 2 xdx ⎟⎟ ⎥ 8 ⎣⎢ 2 2⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥

∫ ∫

=

∫

=

∫

1⎡ sen 2 x x sen 4 x ⎛⎜ sen 2 x sen 3 2 x ⎞⎟⎤ ⎢x + ⎥+C − − − − ⎜ 2 ⎟⎥ 8⎢ 2 2 8 6 ⎝ ⎠⎦ ⎣

FINALMENTE:

∫

sen 2 x cos 4 x dx =

1 ⎡ x sen 4 x sen 3 2 x ⎤ ⎢ − ⎥+C + 8 ⎢2 8 6 ⎥ ⎣ ⎦

15

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

TIPO

∫

III.

Integrales

de

la

∫

forma:

∫

sen mx cos nxdx ,

sen mx sen nxdx ,

cos mx cos nxdx

En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea conveniente: 1 [sen(m + n )x + sen(m − n )x] 2 1 sen mx sen nx = − [cos(m + n )x − cos(m − n )x ] 2 1 cos mx cos nx = [cos(m + n )x + cos(m − n )x ] 2 sen mx cos nx =

Ejemplo 1 Calcular:

∫

sen 2 x cos 3x dx

SOLUCIÓN:

Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta:

∫

sen 2 x cos 3x dx =

∫ ∫

1 [sen (2 + 3)x + sen (2 − 3)x]dx 2

∫

⎤ ⎡ 1⎢ sen 5 xdx + sen (− x )dx ⎥ ⎥ 2⎢ ⎦ ⎣ 1 ⎡ cos 5 x ⎤ = ⎢− + cos x ⎥ + C 2⎣ 5 ⎦ =

Ejemplo 2 Calcular

∫

sen x sen 2 x sen 3xdx

SOLUCIÓN: Agrupando y aplicando identidades, tenemos:

∫

sen x sen 2 x sen 3 xdx = =

∫( ∫

=−

sen x sen 2 x )sen 3xdx

−

1 2

1 [cos(1 + 2)x − cos(1 − 2)x]sen 3xdx 2

∫[ ∫ ∫ ∫

cos 3 x sen 3 x − cos(− x )sen 3x ]dx

1⎡ = − ⎢ sen 3 x cos 3 xdx − 2 ⎣⎢ 1⎡ =− ⎢ 2 ⎣⎢

∫

⎤ sen 3 x cos xdx ⎥ ⎦⎥

1 [sen 6 x + sen 0 x] − 2

∫

∫

⎤ 1 [sen 4 x + sen 2 x]dx ⎥ 2 ⎦⎥

∫

⎤ 1⎡ = − ⎢ sen 6 xdx − sen 4 xdx − sen 2 xdx ⎥ 4 ⎢⎣ ⎥⎦ 1 ⎡ cos 6 x cos 4 x cos 2 x ⎤ = − ⎢− + + +C 4⎣ 6 4 2 ⎥⎦

16

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

TIPO IV. Integrales de la forma:

∫

∫

tg n x dx y

Aquí se recomienda usar las identidades:

cot g n x dx

tg 2 x = sec 2 x − 1 cot g 2 x = csc 2 x − 1

Ejemplo 1 Calcular

∫

tg 3 x dx

SOLUCIÓN:

∫

∫ ∫( ∫

tg3 x dx =

=

=

tg 2 x t gxdx

)

sec2 x − 1 tg xdx

sec2 x tg xdx −

∫

tg xdx

La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución.

t = tg x de donde dt = sec 2 xdx FINALMENTE:

∫

tg 3 x dx =

∫

=

(

tdt − − ln cos x

)

tg 2 x + ln cos x + C 2

Ejemplo 2 Calcular

∫

cot g 4 x dx

SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta:

∫

∫ ∫ ∫

cot g 4 x dx =

=

=

cot g 2 x cot g 2 x dx

(

)

cot g 2 x csc2 x − 1 dx

cot g 2 x csc2 xdx −

∫

cot g 2 xdx

La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir:

17

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

∫

cot g 4 x dx =

∫

TIPO V. Integrales de la forma:

∫

2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ gx ⎟ csc2 x dx − ⎜ cot 1 2 3 424 3 ⎜ ⎟ 1 − dt ⎝ t ⎠

∫ ∫

∫

cot g 2 x dx

(csc2 x − 1)dx

=−

cot g 3 x − 3

=−

cot g 3 x − 3

=−

cot g 3 x + cot gx + x + C 3

∫

csc2 xdx +

tg m x sec n xdx y

∫

dx

cot g m x csc n xdx

Caso 1. Si el exponente de la secante o cosecante " n " es par, se procede con el diferencial de la tangente o cotangente.

Ejemplo Calcular

∫

tg

−3

2

x sec 4 xdx

SOLUCIÓN:

∫

tg

−3

2 x sec4 x dx =

=

=

∫ ∫ ∫

tg

tg

−3

−3

2 x sec2 x sec2 xdx 123

)

(

2 x tg 2 x + 1 sec2 x dx

1

tg 2 x sec2 x dx +

∫

tg

−3

2 x sec2 x dx

Las dos integrales últimas se hacen por sustitución:

∫

tg

−3

4

2 x sec xdx =

∫

1

⎞ 2 ⎛ ⎜ tg x ⎟ sec2 x dx + ⎜⎜ { ⎟⎟ 1 424 3 ⎝ t ⎠ dt

−3

2

sec2 x dx 1 424 3 dt

−1

3

=

∫

⎞ ⎛ ⎜ tg x ⎟ ⎜⎜ { ⎟⎟ ⎝ t ⎠

tg 2 x tg 2 x + +C 3 −1 2 2

− = 2 tg 2 x − 2 tg 2 x + C 3

1

3

Caso 2. Si el exponente de la tangente o cotangente " m " es impar, se procede con el diferencial de la secante o cosecante.

Ejemplo Calcular

18

∫

tg 3 x sec

−1

2

xdx

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ SOLUCIÓN: Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante

∫

tg 3 x sec

−1

xdx =

2

y luego resolviendo, tenemos:

∫

tg 3 x sec

−1

2

xdx = =

∫ ∫

∫

tg 2 x sec

2

x (sec x tg xdx ) 142 4 43 4 d (sec x )

(sec sec

−3

)

−3

x(sec x tg xdx )

2

x − 1 sec

1

x(sec x tg xdx ) −

2

2

estas últimas integrales se resuelven por sustitución:

∫

3

tg x sec

−1

2 xdx =

∫

1

⎛ ⎞ 2 ⎜ sec x ⎟ (sec x tg xdx ) − { 4 43 4 ⎜ ⎟ 142 ⎝ t ⎠ dt 3

= 2 sec 2 x + 2 sec

−1

3

∫

sec

∫

⎛ ⎞ ⎜ sec x ⎟ ⎜{⎟ ⎝ t ⎠

−3

2

x(sec x tg xdx ) −3

2

sec x tg xdx ) (1 42 4 43 4 dt

2x

Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos: Ejemplo Calcular

∫

sec 3 x dx

SOLUCIÓN: Esta integral se resuelve por partes

∫

sec 3 x dx =

∫

2 sec {xsec 1 42xdx 4 3 u

dv

Entonces si tomamos u = sec x tenemos du = sec x tg xdx y si tomamos dv = sec 2 xdx tenemos v = tg x Ahora, integrando

∫

du 48 v 647 } tg xsec x tg xdx

= sec x tg x −

tg 2 x sec xdx

= sec x tg x −

sec 2 x − 1 sec xdx

= sec x tg x −

∫

∫ ∫ ∫( ∫ ∫

u v }} sec 3 x dx = sec x tg x −

sec 3 x dx = sec x tg x −

sec 3 xdx +

)

∫

sec xdx

sec 3 xdx + ln sec x + tg x

FINALMENTE, despejamos la integral buscada

∫ ∫

2

sec 3 x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x

sec 3 x dx = 12 sec x tg x + 12 ln sec x + tg x + C

19

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejercicios Propuestos 1.4 Encuentre las antiderivadas de: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

10.

(2 − 3 cos 2x)dx

11.

2

12.

sen 3 3 xdx

13.

cos6 x dx 14.

cos 5 x sen x dx 15.

sen 3x sen 5 x dx 16.

x 2x sen cos dx 3 3

π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sen ⎜ 2 x − ⎟ cos ⎜ 3x + ⎟ dx 6⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ 2

17.

18.

cos x cos 3x dx sen 3 (2 x ) cos 7 (2 x ) dx

19.

∫

20.

cos x cos 2 x cos 3 x dx

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

tan 5 x dx c tg 6 x dx tan 2 5 x dx

tg 5 x sec

− 32

xdx

dx sen 2 x cos 2 x

dx Sen x Cos 3 x

(2 )

(2 )

dx sen 2 x cos 4 x

(

sen x + π 4

) dx

sen x cos x dx

sen 2 x cos x csc3 x dx

1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una sustitución trigonométrica. Usualmente presenta la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda:

Si

tenemos

a2 − x2

sustituir

x = a sen t

Si

tenemos

a2 + x2

sustituir

Si

tenemos

x2 − a2

sustituir

x = a tg t

x = a sec t

20

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 1 Calcular

∫

4 − x2 x2

dx

SOLUCIÓN: En este caso hacemos x = 2 sen t entonces dx = 2 cos tdt Reemplazando y resolviendo, resulta:

∫

4 − x2 x

2

dx =

=

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ) ∫ ∫

4 − (2 sen t )2

2 cos tdt

(2 sen t )2

4 − 4 sen 2 t 4 sen 2 t

4 1 − sen 2t 2 sen 2 t

4 cos 2 t

2 sen 2 t

2 cos t

2 sen 2 t

cos 2 t

sen 2 t

2 cos tdt

cos tdt

cos tdt

cos tdt

dt

cot g 2tdt

csc2t − 1 dt

csc2 tdt −

dt

= − cot gt − t + C

Ahora hay regresar a un expresión en " x ", para lo cual del cambio de variable tenemos x sen t = . Por trigonometría, hacemos el siguiente triángulo: 2

De la figura, observamos que cot g t = t = arcsen

2

x t 4 − x2

∫

4 − x2 x

y como

x tenemos: 2

4 − x2 x2

dx = − cot gt − t + C

=−

4 − x2 x − arcsen + C x 2

21

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 2 Calcular

∫(

x 3 dx

x2 + 9

)

3

2

SOLUCIÓN:

En este caso hacemos x = 3 tg t entonces dx = 3 sec2 t dt Reemplazando y resolviendo, resulta:

∫(

x3dx

)

2

∫( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ) ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3 tg t )3

=

3

x +9 2 =

=

=

=

(3 tg t )

2

3 sec2 tdt

3

+9 2

27 tg 3 t 3 sec2 t

⎛ ⎞ 2 ⎜ 9 tg t + 9 ⎟ ⎝ ⎠

81 tg 3 t sec2 t

(3 sec t )3

81 tg 3 t sec2 t 27 sec3 t

3

dt

3

dt

dt

tg 3 t dt sec t

=3

tg t tg 2 t dt sec t

=3

tg t sec2 t − 1 dt sec t

⎡ ⎤ ⎢ tg t sec2 t tg t ⎥ dt − dt ⎥ = 3⎢ sec t sec t ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ sen tdt ⎥ = 3⎢ sec t tg tdt − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 3[sec t + cos t ] + C

Ahora por trigonometría, del cambio de variable tg t =

x 3

tenemos el siguiente triángulo:

Por tanto sec t =

x2 + 9

3 x +9 2

FINALMENTE,

x t 3

22

x2 + 9 y cos t = 3

∫(

x 3 dx

x2 + 9

)

3

2

⎡ x2 +9 = 3⎢ + 3 ⎢⎣

⎤ ⎥+C x 2 + 9 ⎥⎦ 3

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 3 Calcular

∫

x 2 − 16 x3

dx

SOLUCIÓN: En este caso hacemos x = 4 sec t entonces dx = 4 sec t tg tdt Reemplazando y resolviendo, resulta:

∫

x 2 − 16 x

3

∫ ∫ ) ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dx =

=

=

=

=

=

(4 sec t )2 − 16 4 sec t tg tdt (4 sec t )3

16 sec 2 t − 16 43 sec3 t

16 sec 2 t − 1

tg tdt

4 2 sec 2 t

16 tg 2 t

tg tdt

4 2 sec 2 t 4 tg t

4 2 sec 2 t tg 2 t

4 sec 2 t

4 sec t tg tdt

tg tdt

dt

sen 2 t

=

1 4

cos 2 t dt 1 cos 2 t

=

=

=

1 4

sen 2 tdt

1 4

⎛ 1 − cos 2t ⎞ ⎜ ⎟dt 2 ⎝ ⎠

⎡ 1⎢ 8⎢ ⎣⎢

1dt −

⎤ cos 2tdt ⎥ ⎥ ⎥⎦

=

1 ⎡ sen 2t ⎤ +C t− 8 ⎢⎣ 2 ⎥⎦

=

1 ⎡ 2 sen t cos t ⎤ t− ⎥+C 8 ⎢⎣ 2 ⎦

Ahora por trigonometría , del cambio de variable sec t =

x tenemos el siguiente triángulo: 4

x x 2 − 16

t 4

Por tanto, t = arc sec

x , sen t = 4

x 2 − 16 4 y cos t = x x

23

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ FINALMENTE:

∫

x 2 − 16 x

3

dx =

=

1 ⎡ 2 sen t cos t ⎤ t− ⎥+C 8 ⎢⎣ 2 ⎦ x 1 ⎡⎢ arc sec − 8⎢ 4 ⎣

x 2 − 16 4 ⎤⎥ +C x x⎥ ⎦

En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero.

Ejemplo 4 Calcular

∫

5 − 4 x − x 2 dx

SOLUCIÓN: Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebráica y luego la sustitución trigonométrica que convenga.

∫

∫ ∫

5 − 4 x − x 2 dx =

=

(

)

5 − x 2 + 4 x + 4 + 4 dx 9 − (x + 2 )2 dx

En la última integral podemos hacer u = x + 2 entonces du = dx y la integral quedará así:

∫

9 − u 2 du

Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es u = 3 sen t de la cual resulta du = 3 cos tdt . Reemplazando y resolviendo, tenemos:

∫

9 − u 2 du =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

9 − 9 sen 2 t 3 cos tdt

=

3 cos t 3 cos tdt

=9

cos 2 tdt

=9

⎛ 1 + cos 2t ⎞ ⎜ ⎟dt 2 ⎝ ⎠

⎤ ⎡ 9⎢ 1dt + cos 2tdt ⎥ ⎥ 2⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ 9 ⎡ sen 2t ⎤ = ⎢t + +C 2⎣ 2 ⎥⎦ =

=

Del cambio de variable sen t =

9 ⎡ 2 sen t cos t ⎤ t+ ⎥+C 2 ⎢⎣ 2 ⎦

u obtenemos el siguiente triángulo: 3

3

u t

24

9−u2

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

u y cos t = 3

Entonces t = arcsen Por tanto,

∫

9−u2 3

9 [t + sen t cos t ] + C 2

9 − u 2 du =

9 ⎡⎢ ⎛ u ⎞ u 9−u2 arcsen⎜ ⎟ + 2⎢ 3 ⎝3⎠ 3 ⎣ Finalmente, como u = x + 2 , reemplazando resulta: =

∫

9 ⎡⎢ ⎛ u ⎞ u 9−u2 arcsen⎜ ⎟ + 2⎢ 9 ⎝3⎠ ⎣ ⎡ 9 ⎛ x + 2 ⎞ (x + 2 ) = ⎢arcsen⎜ ⎟+ 2⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎣

9 − u 2 du =

⎤ ⎥+C ⎥ ⎦

⎤ ⎥+C ⎥ ⎦ 9 − (x + 2 )2 ⎤⎥ +C ⎥ 9 ⎦

Ejercicio Propuestos 1.5 Encuentre las antiderivadas de: 1.

2.

∫ ∫(

11.

x 2 9 − x 2 dx

dx

12.

)

3

1 − x2 2

3.

∫(

x2 2

1− x

4.

5.

6.

7.

8.

9.

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

10.

)

3

13.

dx 2

x2

14.

dx

9 − x2 dx

15.

x x2 + 9 dx x

3

x

4

16.

x2 − 9 dx

17.

x2 −1 x

2

x2 − 2

dx

18.

1+ e 2x

sec 2 xdx tg 2 x + 4 tg x + 1 sen x cos xdx 9 + sen 4 x x arctg xdx 1 + x2

∫(

x e arc tanx 1+ x

∫

∫

x dx

19.

4x − x 2

dx

)

x 2 + 4x + 13

3

20.

2

)

3

dx

2

x 2 arc cos x dx

ln x dx x 1 − 4 ln x − ln 2 x

∫( ∫ ∫

xdx

1+ x

2

∫(

∫ ∫ ∫ ∫

dx

2

) 1− x

4

x 3 dx 4

x − x2 + 2 x11 dx

x 8 + 3x 4 + 2

25

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES p( x) es una fracción propia, o sea que q( x)

Cuando la función racional

el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se recomienda usar el método de fracciones parciales.

REGLA GENERAL Sea p( x) una fracción propia. Entonces: q( x)

1. Se podrá expresar en tantas fracciones parciales como factores tenga el denominador q(x) .

2. Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de q(x) .

3. El numerador de cada fracción parcial será un polinomio de un grado menor a su denominador.

Ahora veámos por caso.

CASO I: q (x) se descompone en factores lineales diferentes Ejemplo Calcular

∫

5x + 3

x 3 − 2 x 2 − 3x

dx

SOLUCIÓN: Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador 5x + 3 5x + 3 5x + 3 = = x(x − 3)(x + 1) x3 − 2 x 2 − 3 x x x 2 − 2 x − 2

(

)

El denominar se expresa en 3 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente: 5x + 3 A B C = + + x(x − 3)(x + 1) x x − 3 x + 1 Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C Multiplicando por x (x − 3)(x + 1) a cada termino, resulta: 5 x + 3 = A(x − 3)(x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 3) Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de q (x ) : Si x = 0 , resulta: 5(0) + 3 = A(0 − 3)(0 + 1) + B(0)(0 + 1) + C (0)(0 − 3)

3 = −3 A A = −1 Si x = 3 , resulta:

Si x = −1 , resulta:

26

5(3) + 3 = A(3 − 3)(3 + 1) + B (3)(3 + 1) + C (3)(3 − 3) 18 = 12 B B=3 2

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

5(−1) + 3 = A(−1 − 3)(−1 + 1) + B (−1)(−1 + 1) + C (−1)(−1 − 3) − 2 = 4C C=−1 2

Integrando,

∫

5x + 3 x − 2 x − 3x 3

2

dx =

∫ ∫

3 −1 ⎞ ⎛ −1 ⎜ + 2 + 2 ⎟dx ⎜ x x − 3 x +1 ⎟ ⎠ ⎝

=−

1 3 dx + x 2

∫

1 1 dx − x −3 2

∫

1 dx x +1

= − ln x + ln x − 3 − ln x + 1 + C 3 2

1 2

CASO II. En q(x) hay factores lineales repetidos Ejemplo Calcular

∫(

3x 2 − 8 x + 13

x + 3)(x − 1)2

dx

SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma: 3 x 2 − 8 x + 13

multiplicando por

=

A

+

B

+

C

(x + 3)(x − 1)2 x + 3 x − 1 (x − 1)2 (x + 3)(x − 1)2 se obtiene: 3 x 2 − 8 x + 13 = A(x − 1)2 + B (x + 3)(x − 1) + C ( x + 3)

Evaluando para las raíces: Si x = −3 , resulta:

3(− 3)2 − 8(−3) + 13 = A(− 3 − 1)2 + B(− 3 + 3)(x − 1) + C (−3 + 3) 64 = 16 A A=4 Si x = 1 , resulta:

3(1) 2 − 8(1) + 13 = A(1 − 1)2 + B(1 + 3)(1 − 1) + C (1 + 3) 8 = 4C C=2 Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores ya encontrados: Si x = 0 , resulta:

Integrando

3(0) 2 − 8(0) + 13 = 4(0 − 1)2 + B(0 + 3)(0 − 1) + 2(0 + 3) 13 = 4 − 3B + +6 B = −1

∫(

3x 2 − 8 x + 13 x + 3)(x − 1)

2

dx =

∫ ∫

=4

⎛ 4 −1 2 ⎜ + + ⎜ x + 3 x − 1 (x − 1)2 ⎝ 1 dx − x+3

∫

⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠

1 dx + 2 x −1

= 4 ln x + 3 − ln x − 1 −

∫(

1 x − 1)2

dx

2 +C x −1

27

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

CASO III. En q(x) hay factores cuadráticos irreducibles Ejemplo 1 Calcular

∫

5x 2 + 2

x 3 − 4x 2 + 5x

dx

SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:

A B(2 x − 4 ) + C + 2 x x − 4 x + 5x x x − 4 x + 5 x − 4x + 5 Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el factor cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de la derivada.

5x2 + 2

3

(

=

2

5x2 + 2

)

2

(

=

)

Simplificando, tenemos: 5 x 2 + 2 = A x 2 − 4 x + 5 + [B (2 x − 4 ) + C ](x ) Evaluando para x = 0 ,

(

)

5(0 )2 + 2 = A (0)2 − 4(0) + 5 + [B (2(0 ) − 4 ) + C ](0 ) 2 = 5A A= 2

5 Para x = 2 , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A

(

)

5(2)2 + 2 = A (2 )2 − 4(2 ) + 5 + [B(2(2 ) − 4 ) + C ](2) 22 =

2 5

(1) + 2C

C = 54

5

Evaluando para x = 1 y empleando lo valores de A y C, tenemos:

5(1)2 + 2 =

2 5

7=

2 5

((1)

2

)[

]

(1) − 4(1) + 5 + B(2(1) − 4 ) + 54 5

(2) + [B(− 2) + 545 ]

B = 23 10 Ahora, integrando resulta

∫

5x 2 + 2 x 3 − 4x 2 + 5x

dx =

=

∫ ∫

⎛ 25 ⎜ + ⎜ x ⎝

2 5

23 10

(2 x − 4) + 54 5 ⎞⎟

x 2 − 4x + 5

1 23 dx + x 10

∫

dx ⎟ ⎠

2x − 4 x − 4x + 5 2

dx +

∫

54 5

∫ 1

1 x − 4x + 5 2

=

2 23 54 ln x + ln x 2 − 4 x + 5 + 5 10 5

=

2 23 54 ln x + ln x 2 − 4 x + 5 + arctg(x − 2 ) + C 5 10 5

dx

dx

(x − 2 )2 + 1

Ejemplo 2 Calcular

∫

x 3 −1 x3 + x

dx

SOLUCIÓN: Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene:

x 3 −1 x3 + x La integral sería ahora:

28

= 1−

x +1 x3 + x

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

∫

x3 −1 x3 + x

dx =

=

∫ ∫ ∫

⎛ x +1 ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟dx ⎝ x3 + x ⎠

1dx −

x +1 x3 + x

dx

La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces: x +1 x +1 A B (2 x ) + C = = + x x3 + x x x 2 +1 x 2 +1

(

(

)

)

Simplificando tenemos: x + 1 = A x + 1 + [B (2 x ) + C ](x ) 2

(

)

0 + 1 = A 0 2 + 1 + [B(2(0) ) + C ](0) 1 = A(1) Evaluando para x = 0 , resulta: A =1 Evaluando para x = 1 y utilizando el valor obtenido para A, resulta 1 + 1 = 1 12 + 1 + [B(2(1) ) + C ](1) 2 = 2 + 2B + C 2B + C = 0 Evaluando para x = −1 y utilizando el valor obtenido para A, resulta

(

)

(

)

− 1 + 1 = 1 (− 1)2 + 1 + [B(2(− 1)) + C ](− 1) 0 = 2 + 2B − C

2 B − C = −2 Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C

⎧2 B + C = 0 ⎨ ⎩ 2 B − C = −2 Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B:

4 B = −2 B=−1

2

C = −2 B ⎛ 1⎞ Entonces C = −2⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ C =1

OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue:

(

)

En la expresión x + 1 = A x 2 + 1 + [B (2 x ) + C ](x ) simplificamos hasta obtener un polinomio reducido en ambos lados de la ecuación, es decir:

x + 1 = Ax 2 + A + 2 Bx 2 + Cx x + 1 = ( A + 2 B )x 2 + Cx + A ⎧0 = A + 2 B ⎪ De la última expresión, rápidamente se puede decir que: ⎨1 = C ⎪1 = A ⎩

⎧A = 1 ⎪ Por tanto ⎨ B = − 1 2 ⎪ ⎩C = 1 En fin, ahora integrando tenemos:

29

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

∫

x3 −1 x3 + x

dx =

∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ x +1

1dx −

x3 + x

dx

⎛ 1 − 1 2x + 1 ⎞ ⎜ + 2 ⎟dx ⎜x ⎟ 2 + 1 x ⎝ ⎠

= x−

∫

⎡ 1 ⎤ 1 2x 1 = x−⎢ dx − dx + dx ⎥ ⎢ x 2 x 2 +1 x 2 + 1 ⎥⎦ ⎣ = x − ⎡ln x − 12 ln x 2 + 1 + arctg(x )⎤ + C ⎢⎣ ⎥⎦

Ejercicios Propuestos 1.6 Encuentre las antiderivadas de: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

∫ ∫

∫

11.

(4 x − 2)dx 3

12.

2

x − x − 2x

x dx

13.

(x + 1)(x + 2)(x + 3)2

∫ ( ∫

(2 − x )dx 2

x 2 + x − 10

14.

)

(2 x − 3)(x 2 + 4)

∫

4x2 − x + 1 x3 − x 2 + x − 1

∫ ∫( ∫( ∫

dx

15.

dx

16.

x 3 dx

17.

x + x−2 dx

)(

x 2 − 4x + 4 x 2 − 5x + 6 3x − 1

)(

2

x + 1 x + 2x + 2

)

dx

x5 + 9x3 − 9x 2 − 9 x3 + 9x

dx

2 x 2 + 3x + 2

(x + 2)(x x5

2

)

dx

)

18.

19.

20.

)

+ 2x + 2

) dx

dx

2

4x 2 + 2x + 8 x x2 + 2

2

2

∫ ( ∫ ∫( ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4

x 4 −1

x2 + 4

x 3 + 3x 2 + 2 x

10.

30

dx

(x − 1)(x + 3)

)

2

dx

x 2 − 4x + 3

(x − 1)2 (x 2 + 1) x3 − 1

4x3 − x

dx

dx

sen x dx

cos 2 x + cos x − 6 sec 2 t dt

sec 2 t − 3 tan t + 1 dx

(2 + cos x ) sen x dx x

x

x

1+ e 2 + e 3 + e 6

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

1.2.3.7 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS CASO I. Integrales del tipo

∫(

R sen x, cos x )dx

Se recomienda la siguiente sustitución tg 2x = t de donde

2t ⎧ ⎪sen x = 1+ t 2 ⎪ 1− t 2 ⎪⎪ ⎨cos x = 1+ t 2 ⎪ ⎪ 2 dt ⎪dx = 1+ t 2 ⎩⎪

Ejemplo Calcular

∫

1 dx 1 + sen x + cos x

SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando resulta:

∫

∫ ∫ ∫ ∫( ∫

1 dx = 1 + sen x + cos x

=

=

=

=

1

1+

2t 1+ t2

+

⎛ 2 ⎞ dt ⎟⎟ ⎜⎜ 2 1− t ⎝1+ t ⎠ 2

1+ t2

⎛ 2 ⎞ dt ⎟⎟ ⎜⎜ 2 1 + t + 2t + 1 − t ⎝ 1 + t ⎠ 1

2

2

1+ t2

2 dt 2 + 2t 2 dt 2 1+ t)

1 dt 1+ t

= ln 1 + t + C = ln 1 + tg 2x + C

CASO II

Integrales donde se cumple que

∫(

R − sen x,− cos x )dx =

Se recomienda usar la sustitución tg x = t de donde

∫(

R sen x, cos x )dx

t ⎧ ⎪sen x = 1+ t 2 ⎪ ⎪⎪ 1 ⎨cos x = 1+ t 2 ⎪ ⎪ dt ⎪dx = 1+ t 2 ⎩⎪

31

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo Calcular

∫

1 1 + sen 2 x

dx

SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando

∫

1 2

1 + sen x

dx =

=

=

=

= = =

∫

∫ ∫ ∫ ∫

⎛ dt ⎜ 2 ⎝1+ t ⎞ t ⎟ ⎟ 1 + t 2 ⎟⎠ 1

⎛ 1 + ⎜⎜ ⎜ ⎝ 1

1+

t2

2⎜

⎛ dt ⎜ ⎜ 2 ⎝1+ t

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 + t2

⎛ dt 1 ⎜ ⎜ 1 + t2 + t2 ⎝1 + t2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 + t2 1 1 + 2t 2 1

dt

( 2 t )2 1 arctg( 2 t ) + C 2 1 arctg( 2 tg x ) + C 2 dt

1+

Ejercicios Propuestos 1.7 Encuentre las antiderivadas de: 1.

2.

3.

4.

∫ ∫ ∫

∫

dx 2 sen x + cos x + 5

5.

dx 3 sen x + 4 cos x

6.

1 dx 3 sen x − 4 cos x

7.

2

sen x 1 + sen 2 x

dx

8.

∫ ∫

∫ ∫

dx sen x + tg x dx cot x + csc x

sin x + cos x − 1 dx sin x + cos x + 1 sin x − 2 cos x dx sin x + cos x + 1

Misceláneos Encuentre las antiderivadas de: 1.

2.

3.

32

∫ ∫ ∫

x −1 3

x + 4x x2 − 1 x

3

dx

43.

dx

44.

x 3 x 2 + 9 dx

45.

∫ ∫ ∫

e ar sen x + 3x 2 − 4 x + 2 1 − x2 x2 − 4 x2

dx

sen 2 x cos 2 xdx

dx

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

4.

5.

6.

7.

8.

9.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ (3x

2

)

50.

x 2 − 5 x + 3 e − 2 x dx

21.

22.

23.

2x

51.

dx

x

+ 4e + 1

( x ) dx

52.

x x +1

)

x 2 + 4 x + 5 (x − 1)

dx

1 − x2 dx x

∫

cos x

55.

56.

dx

cos 2 x

cos 3 x cos 7 xdx

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

53.

54.

sen 2 2 x cos xdx

14.

20.

ex

senh

13.

19.

48.

dx

49.

12.

18.

47.

2 cos x dx 9 − cos 2 x

11.

17.

2x − 6

(x − 1)(x 2 + 1)

10.

16.

46.

3 sen 2 x cos 5 2 xdx

e

15.

)

− 2 x e 2 x dx

57.

3x 2 − 5 x + 4

(x − 2)2 (x 2 + 2 x + 3) sen x

(

) dx

cos x cos 2 x + 1

dx

58.

59.

2

x +1 dx x

60.

x 3 x 2 + 9 dx

61. x

(x − 3)2 x

dx

62.

3

x 2 + 25

dx

3x x4 + 4x2 + 5

63. dx

64.

x 2 arctgxdx

65.

∫ ∫

x

dx

1+ 4 x

dx 1 + senx + cos x

∫( ∫ ∫( ∫

)

3 x 2 − 2 x + 5 ln xdx

e3 x + 1

dx

ex + 1

)

2 3 x 2 + 5 xdx x3

dx

8

x +4

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(6x

2

)

− 4 x + 3 arctgx dx

sen 4 x

dx

cos 4 x

2 cos x − sen x dx 3 sen x + cos x

cos x dx

x x3 − 1

∫

dx

x −1 x + 4x 3

∫ ∫ ∫ ( ∫ ∫( ∫ ∫ ∫

x −1

3

x + 4x

dx

dx

5 x3 − 3x 2 + 2 x − 1 x4 + x2 ln x

x + 4 x ln 2 x 9 − x2

)

dx

3

x6

dx

7x + 3

)

x 2 + 2 x´+2 (x − 1) 2x + 3

x3 + 4 x e2 x

ex + 1

1+ x

1 + x2

dx

dx

dx

dx

dx

33

La integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ

24.

25.

26.

27.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

34

66.

e 2 x sen xdx

67.

1 − sen x dx cos x

68.

e

28.

1 − 4x2 dx x

ex 2x

ln x

e2 x + 4

69.

dx

dx

70.

x 2 x + 1dx

71.

x

2

x 3e − x dx

1

x 1 + ln x

72.

73.

dx

2x − 1

x3 − 2 x 2 − 3x

dx

x 4 + 3x3 − 5 x 2 − 4 x + 7 x3 + x 2 − 5 x + 3 dx x 3 x 1+ 3 x

(

)

x2 − 2 dx 3x + 1

ln (2 x + 3)dx 2x + 3

x − 3x + 2

dx

75.

76.

77.

(3x − 1)cos 2 xdx

2

74.

78.

79. dx

80.

x3 − 1

) dx

x2 + 4 x

81.

1 − sen x dx x + cos x 2x + 3

x 2 − 3x + 2

82. dx

83.

2

sen xdx sen x + 2 cos x

84.

∫ ∫ ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x2

dx

1 − x2

x2 − 2x x3 + 1

16 + x 2

dx

)

3 2

x2

dx

3 cos x − 4 sen x dx sen x + cos x + 1

3 tg x − 4 cos 2 x dx cos x 1 dx x (3 + ln x ) dx

x3 − x 2x − 5

3x 2 + 6 x + 9

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x −1 x + 4x 3

dx

dx

2 x arcsen xdx dx sen x cos 3 x

cos x dx 1 + sen x + cos 2 x cos x dx 1 + sen x + cos 2 x

1 + x dx

dx

(x + 1)(x 2 + 2 x + 2) e 4 x + 3e 2 x e4 x + 5

dx

sin 2 x cos 3 x cos 2 xdx

x x+3 x

dx

dx

(sin x + cos x )2