Cinematica de la partícula by Guillermo Barcia Gallardo

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA DONCENTE: GUSTAVO SALINAS E.

CINEMATICA DE LA PARTICULA CINEMATICA DE LA PARTICULA TEMARIO: CONCEPTOS BÁSICOS CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

GUSTAVO SALINAS E.

¿Qué es la Cinemática?

CINEMÁTICA La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas.

GUSTAVO SALINAS E.

Todos los objetos ocupan un lugar en el espacio, en el universo todo está en movimiento, la Tierra gira alrededor del Sol a 1786 [km/min], entonces usted y sus compañeros de clase, que se hallan sobre la Tierra, se mueven a esa gran velocidad. DEFINICIONES CINEMÁTICAS Partícula.- En nuestro estudio se considerará como partícula a cualquier cuerpo, sin importar sus dimensiones, ya que este con relación a su entorno es demasiado pequeño.

GUSTAVO SALINAS E.

Sistema de referencia.- Un sistema de referencia, son los ejes de coordenadas rectangulares, los mismos que se intersecan en un punto llamado origen, éste siempre se considera en reposo. Vector Posición ( r ).- Determina la posición de una partícula respecto a un y sistema de referencia.

   r = rx i  ry j  rz k Unidad. [ r ] = [ m ] S.I. [ r ] = [ cm ] C.G.S. [ r ] = [ pies ] Inglés.

Dimensión

r rx

[r]=[L] rz z

GUSTAVO SALINAS E.

Trayectoria.- Es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupó un cuerpo al moverse de un lugar a otro. Es el camino que recorre la partícula. y

Vector Desplazamiento (r).Es el vector que tiene su origen la posición inicial y su extremo en la posición final. Simplemente cambió su posición con respecto a otros cuerpos. ro + r = r r = r – ro.

Unidad. [ r ] = [ m ] S.I. [ r ] = [ cm ] C.G.S. [ r ] = [ pies ] Inglés.

Δr ro

r O

Dimensión [r]=[L] GUSTAVO SALINAS E.

Vector Desplazamiento (r).- Es el vector que tiene su origen la posición inicial y su extremo en la posición final. Simplemente cambió su posición con respecto a otros cuerpos. y

   ro = rox i  roy j  roz k

Δr

   r = rx i  ry j  rz k

ro O

ro + r = r r = r – ro.

GUSTAVO SALINAS E.

Reposo.- Una partícula está en reposo durante cierto intervalo de tiempo ( t ) cuando su posición ( r ) permanece constante dentro de un mismo sistema de referencia, es decir que ro = r. Movimiento.- Es el cambio de posición que experimentan los cuerpos con respecto a un sistema de referencia, es decir r o = r. y

ro O

GUSTAVO SALINAS E.

Distancia (d).- Es la longitud medida sobre la trayectoria recorrida por el cuerpo o partícula al moverse de una posición a otra. Distancia y

ro O

d = ∆r → Trayectoria rectilínea d ≥ ∆r d > ∆r → Trayectoria curvilínea GUSTAVO SALINAS E.

Velocidad ( v ).- Es la relación que se establece entre el cambio de posición (desplazamiento) realizado por la partícula y el intervalo de tiempo en que se efectúo. y

r r  r o v= = t t  t o

∆r to + ∆t

ro O

Velocidad Instantánea ( v inst.).- Se define como el límite de su velocidad promedio en cualquier instante en el límite conforme el intervalo t y su desplazamiento asociado r tiende a cero.

r v( t ) = lim v = lim t ® 0 t ® 0 t

GUSTAVO SALINAS E.

Sin embargo, el límite del cociente, en este caso, por definición, es la derivada con respecto al tiempo, dx/dt, de la función de posición x(t). De aquí se desprende la forma alternativa de:

dr v( t ) = dt La velocidad expresada vectorialmente en función de su derivada tenemos:

r drx r dry r drz r v( t ) = i j k dt dt dt

Rapidez ( v ).- Es el módulo de la velocidad media o promedio, es necesario aclarar mientras la velocidad es una cantidad vectorial y la rapidez es un escalar. GUSTAVO SALINAS E.

Unidades:

Dimensión:

[ v ] = [ m/s ó ms-1] S.I. [ v ] = [ cm/s ó cms-1] C.G.S. [ v ] = [ pies/s ó fts-1] Inglés.

[v ] = [ L/T ó LT-1 ] .

Aceleración ( a ).- La aceleración es la magnitud vectorial que mide la variación de velocidad en la unidad de tiempo. La ecuación de la aceleración para moverse desde A hasta B es: y

uur r r r v v  v o a= = t t  to

∆r

v a

to + ∆t

GUSTAVO SALINAS E.

Aceleración instantánea (ainst).- La aceleración instantánea de una partícula es el límite de la aceleración media cuando t tiende a cero. r r v a ( t ) = lim a = lim t ® 0 t ® 0 t Por definición el valor limitador del cociente es la derivada v(t), y tenemos la forma equivalente en módulo.

a (t)

dv = dt

Así mismo la aceleración en forma vectorial y en función de su derivada se tiene:

r dvx r dv y r dvz r a( t ) = i j k dt dt dt GUSTAVO SALINAS E.

Unidades: [ a ] = [ m/s2 ó ms-2] S.I. [ a ] = [ cm/s2 ó cms-2] C.G.S. [ a ] = [ pies/s2 ó fts-2] Inglés. Dimensión: [a ] = [ L/T2 ó LT-2 ] .

GUSTAVO SALINAS E.

CLASIFICACION DE LOS MOVIMIENTOS El movimiento pone en juego tres magnitudes: espacio, tiempo y velocidad. Conociendo dos de ellas podemos siempre hallar la tercera desconocida. Los parámetros en función de los cuales se realiza la clasificación de los movimientos son: La forma de la Trayectoria y las características del vector velocidad en función del tiempo.

GUSTAVO SALINAS E.

CLASIFICACION DE LOS MOVIMIENTOS

MRU RECTILÍNEO MRUV

TRAYECTORIA

PARABÓLICO CURVILÍNEO

CIRCULAR

MCU MCUV

M.A.S. ELIPTICO v = 0.

Reposo

v ≠ 0.

••Dirección Dirección constante. constante. M.R.U. M.R.U. ••Dirección Dirección variable. variable. M.C.U. M.C.U.

CONSTANTE

VECTOR VELOCIDAD VARIABLE

••Módulo Módulo variable variable yy dirección dirección constante. constante. M.R.U.V. M.R.U.V. ••Módulo Módulo variable variable yy dirección dirección variable. variable. M.C.U.V. M.C.U.V.

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME CINEMATICA DE LA PARTÍCLA

• Trayectoria rectilínea

• Velocidad constante • Aceleración nula

uur r r r r r  r o = • v= t t  to •

r ur r r =ro vt

• M.R.U.V. • Movimiento Parabólico • Movimiento Circular

M.R.U.

v(m/s)

vt + r(m) ro ∆r r=  v = cnte ro ∆t o t(s) t(s)

GUSTAVO SALINAS E.

ANALISIS E INTERPRETACIÃ&#x201C;N GRAFICO DEL M. R. U.

Gráfica de posición versus tiempo r(m)

Conclusiones • Si m (+) el mov. es (+). • Si m = 0, Está en reposo. • Si m(-), la partícula regresa.

r2 r1 ro r4 r3 o

∆r

 ∆t t1

t5 t(s)

-r5

∆t(s)

∆r(m)

TIP.MOV

v(m/s)

a(m/s²)

SENTIDO

---

----

tO→t1

ro→r1

MRU

v = cte

(+)

t1→t2

r1 = r2

Reposo

v=0

----

t2→t3

r2→r3

MRU

v = cte

(-)

t3→t4

r3=r4

Reposo

v=0

----

t4→t5

r4→-r5

MRU

v = cte

(-) GUSTAVO SALINAS E.

Gráfica de velocidad versos tiempo v(m)

Conclusiones

• El área bajo la recta es igual al módulo del desplazamiento.

∆r

t(s)

-v

∆t(s)

∆r(m)

TIP.MOV

v(m/s)

a(m/s²)

SENTIDO

tO→t1

ro→r1

MRU

v = cte

(+)

t1→t2

r1 = r2

Reposo

v=0

----

t2→t3

r2→r3

MRU

-v = cte

(-)

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO M.R.U.V. Es aquel que tiene trayectoria rectilínea, se mueve con aceleración constante y su velocidad varia uniformemente. Si su velocidad aumenta el movimiento es acelerado, si ésta disminuye el movimiento es desacelerado. En caída libre de los cuerpos y lanzamiento vertical, la aceleración es igual a la gravedad (a = g = -9,8 j [m/s²]) uur r r r v v  vo a= = r rt r  t

v = v o  at

r r r r 2 r = r o  v o t  12 at

v 2 = vo2  2ar

a(m/s²) r(m) v(m/s) rvoo oo

a = cnte a = cnte

t(s) t(s)

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LAS GRAFICAS DEL M.R.U.V. r(m) v2

r3 r2 r1

v1 -v4

ro o

t3 ∆t(s)

t(s) ∆r(m)

TIP.MOV

---

tO→t1

ro→r1

MRUV

t1→t2

r1 → r2

desacelerado

t2→t3

r2 = r3

Reposo

r3 ®r4

MRUV acelerado

t3→t4

acelerado

MRUV

v(m/s)

a(m/s²)

SENTIDO

----

a = (+) mov a = (+) sent

(+)

a = (-) mov a = (-) sent

(+)

vo Vo ® V1

v=0 v3

-v 4

0 a = (+) mov a = (-) sent

----

(-)

v(m/s) v2 v1 vo v4v3 o

∆v

 ∆t t1

t5 t(s)

-v5

∆t(s)

∆r(m)

TIP.MOV

v(m/s)

a(m/s²)

SENTIDO

---

----

tO→t1

ro→r1

MRU

v = cte

(+)

t1→t2

r1 = r2

Reposo

v=0

----

t2→t3

r2→r3

MRU

v = cte

(-)

t3→t4

r3=r4

Reposo

v=0

----

t4→t5

r4→-r5

MRU

v = cte

(-)

Gráfica de aceleración vs tiempo a(m/s²) a

t(s)

-a

∆t(s)

∆r(m)

TIP.MOV

tO→t1

ro→r1

MRUV acelerado

t1→t2

r1→r2

MRU

r2→r3

MRUV

t2→t3

desacelerado

v(m/s) vo ® v v  vo

v = cte v1 ® v2 v1  v2

a(m/s²) a = cte a (+) mov. a (+) sent.

SENTIDO (+)

(+)

a = cte a (-) mov. a(-) sent.

(+)

EVALUACIÓN ¿Cuál es el significado de la pendiente en un gráfico de velocidad en función del tiempo para un MRUV?

. Indica la posición del móvil . Indica la aceleración del móvil . Ninguna de las anteriores En un MRU la aceleración es constante

. Verdadero . Falso En un MRU, la gráfica de posición en función del tiempo es una parábola.

. Verdadero . Falso

El desplazamiento siempre coincide con la distancia recorrida por un cuerpo

. Verdadero . Falso De las grรกficas

Las que corresponden al movimiento uniformemente variado Son: a) A, B y C. d) A, D y E. b) C, D y E. e) Ninguna. c) A, C y D.

En el MRUV. La ………………. Se mantiene ……….. Y es acelerado cuando tiene el mismo sentido que la velocidad. a) Velocidad – constante. d) Aceleración – la velocidad b) Aceleración - constante. e) Aceleración - variando. c) Velocidad – en dirección.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN r r 3 i  2 k 1.- rConociendo que la posición inicial de una partícula es de  m  , la velocidad inicial r 3i  4 j  m / s  y con una aceleración constante de 2,5 m/s². Determinar para t = 5 s.

(

a) b) c) d) e) f)

(

)

La posición final de la partícula. El desplazamiento realizado. La velocidad final. La velocidad media. La distancia recorrida. Los unitarios de la aceleración, velocidad media y desplazamiento.

r y

o ro z

x x

2.- El diagrama vx – t de la figura, representa el movimiento de dos partículas A y B por una carretera recta y a partir de una misma posición inicial. Determinar. a) El movimiento de cada partícula. b) La distancia que recorre cada partícula. c) La distancia que existe entre las dos partículas luego de 30 s y 60 s de haberse iniciado el movimiento. d) Dónde y cuando se encontrarán (solución analítica y gráfica). e) Los gráficos rx –t y ax –t, de cada partícula. vx(m/s) 40 30

0 -10 -20

A4 = r4

A1 = r1

20 A3

A1 = r1A2 = r2 B

= r303

A2 = r2 A3 = r3 40

A4 = r4

t (s)

a) El movimiento de la partícula A ∆t(s)

∆r(m)

TIPO DE MOV.

v(m/s)

a(m/s²)

SENTIDO

b) Cálculo de la distancia para la partícula A. Por Áreas A1 = b * h

Por Ecuaciones r1 = vot + ½at²

c) La distancia que existe entre las dos partículas luego de 30 s y 60 s de haberse iniciado el movimiento. Para 30 s rA -600

-500

-400

-300

-200

O -100

100

200

300

400

500

600

700

800 rx (m)

200

300

400

500

600

700

800 rx (m)

dAB Para 60 s O -600

-500

-400

-300

-200

-100

100

rB rA dAB

GUSTAVO SALINAS E.