MATEMÁTICA – Uma Ciência para a Vida – volume 2 – 2.ª edição by HARBRA

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uma Ciência para a Vida Antônio Carlos Rosso Jr. Patrícia Furtado

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uma Ciência para a Vida

ANTONIO CARLOS ROSSO Jr.

Mestre em Sistemas Dinâmicos pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Bacharel em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo

PATRÍCIA FURTADO

MATEMÁTICA

Mestre em Ensino da Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Bacharel e Licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

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Direção Geral: Supervisão Editorial: Edição de Texto: Coordenação de Produção e Programação Visual: Revisão de Texto: Revisão de Provas:

Julio E. Emöd Maria Pia Castiglia Roberto Gumercindo Furtado

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Grasiele Lacerda Favatto Cortez Patricia Gazza Hacsa Mariano Franco Isabela Zanoni Morgado Auxiliar de Edição: Ana Olívia Ramos Pires Justo História & Matemática: Elisabete Teresinha Guerato José Maria Carlini Mauro de Almeida Toledo Oscar João Abdounur Tecnologia & Desenvolvimento: Antonio Gil Vicente de Brum Ilustrações: Kanton Gráficos: Stella Bellicanta Ribas Danilo Molina Vieira Editoração Eletrônica: Neusa Sayuri Shinya. Capa: Mônica Roberta Suguiyama Impressão e Acabamento: Am Produções Gráficas Ltda. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO

SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ R738m 2. ed.

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

Ross Jr,R738m Antonio Carlos 2. ed. Matemática uma ciência para a vida, 2 / Antonio Carlos Ross Jr, Patrícia Furtado. Rosso Jr., Antonio Carlos - 2. ed. - São PauloMatemática : Harbra, uma 2024. ciência para a vida, 2 / Antonio Carlos Rosso Jr., Patrícia Furtado. 686 p.- 2.: il.ed.; -28Sãocm. uma ciência para a vida; 2) Paulo : Harbra,(Matemática 2024. 686 p. : il. ; 28 cm.

(Matemática uma ciência para a vida; 2)

Inclui bibliografia ISBN 978-85-294-0575-9 Inclui bibliografia

ISBN 978-85-294-0575-9

1. Matemática (Ensino médio) - Estudo e ensino. I. Furtado, Patrícia. II. Título. 1. Matemática (Ensino médio) - Estudo e ensino. I. Furtado, Patrícia. II. Título. III. Série. III. Série.

23-85350

CDD: 510.712 CDD: 510.712 CDU: 373.5.016:51 CDU: 373.5.016:51

Gleice Rodrigues de Souza - Bibliotecária - CRB-7/6439 Meri GleiceMeri Rodrigues de Souza - Bibliotecária - CRB-7/6439

31/07/2023 03/08/2023

MATEMÁTICA – Uma Ciência para a Vida – volume 2 – 2a edição Copyright © 2024 por editora HARBRA ltda. Rua Mauro, 400 – Saúde 04055-041 – São Paulo – SP Tel.: (0.xx.11) 5084-2482 Site: www.harbra.com.br

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta edição pode ser utilizada ou reproduzida – em qualquer meio ou forma, seja mecânico ou eletrônico, fotocópia, gravação etc. – nem apropriada ou estocada em sistema de banco de dados, sem a expressa autorização da editora. ISBN 978-85-294-0575-9 Impresso no Brasil

Printed in Brazil

EN D A O S W PA N LO RA AD DI VU PR L O GA IB ID ÇÃ O O. ! O entendimento dos fenômenos naturais e sociais foi, ao longo da história, essencial para que as pessoas pudessem ter uma vida melhor. Atualmente, esse fato se renova em um mundo progressivamente integrado por novas tecnologias, que permitem cada vez mais acesso ao conhecimento. Nesse contexto, a Matemática com suas teorias e linguagens é uma das poucas ferramentas universais para nos comunicarmos dentre as mais variadas culturas. Saber lidar com uma ferramenta valiosa como essa nos permite ler, interpretar e propor soluções a problemas diversos que permeiam nossa vida e nosso trabalho. Esta coleção foi elaborada para você estudante, esperando contribuir, de modo efetivo, na sua formação matemática, cultural e social, para que possa exercer seu papel de cidadão de modo pleno e independente. Esperamos que você caminhe conosco ao longo de sua jornada. Os autores

APRESENTAÇÃO

CONHEÇA O SEU LIVRO EN D A O S W PA N LO RA AD DI VU PR L O GA IB ID ÇÃ O O. !

Cada volume é subdividido em capítulos, organizados em teoria, exercícios de diferentes tipos e seções especiais.

Abertura de capítulo Texto e imagem objetivam instigar a reflexão sobre a presença da Matemática em variados contextos, aproximando os(as) estudantes do tema a ser tratado.

Objetivos de aprendizagem indicam claramente o que se espera que os(as) estudantes compreendam ao final do capítulo.

Competência geral da BNCC: 1

Fartamente ilustrado!

Iconografia esmerada, com diferentes tipos de imagens, complementa o texto, desenvolve a habilidade de leitura de dados por meio de gráficos e tabelas, auxilia na compreensão e retenção das informações apresentadas. Competências gerais da BNCC: 3 e 4

Texto cuidadosamente escrito para você, estudante!

Boxes laterais chamam a atenção para detalhes importantes ou apresentam pequenos desafios para os(as) estudantes, dando suporte ao estudo.

Mais conexões!

Seções especiais mostram como a Matemática está presente em diferentes contextos na vida de um cidadão.

Matemática, Ciência & Vida – exemplos de aplicação dos conceitos em outras ciências ou em situações do cotidiano destacam o trabalho com a interdisciplinaridade e culturas juvenis na coleção. Competências gerais da BNCC: 2 e 6

No decorrer do texto, inúmeros exercícios resolvidos passo a passo e exercícios propostos complementam a teoria e aplicam os conceitos estudados em diferentes contextos, estabelecendo diversas conexões com outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Competências gerais da BNCC: 4, 6, 8 e 9

Tecnologia & Desenvolvimento – esta seção destaca o trabalho com temas contemporâneos, em que a Matemática é instrumento para inovações e transformações tecnológicas. Competências gerais da BNCC: 5 e 10

Organização da obra!

História & Matemática – apresenta, de forma acessível, o processo histórico que gerou o desenvolvimento da teoria estudada no capítulo ou aspectos históricos que, de alguma forma, estão relacionados a essa teoria, ou parte dela, com propostas de reflexão sobre o texto.

Encare Essa! – questões que estimulam o(a) estudante a investigações que lhe propiciam ampliar sua capacidade de aprender e sua destreza mental.

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Competências gerais da BNCC: 1 e 7

Enigmas, Jogos & Brincadeiras – um momento em que conceitos estudados no capítulo são tratados de forma lúdica e descontraída, aplicados em resolução de problemas.

Conheça mais... – assuntos que ampliam e enriquecem o tema tratado no capítulo, visando o protagonismo juvenil, desenvolvendo a autonomia do(a) estudante no processo ensino-aprendizagem.

Competências gerais da BNCC: 4 e 9

Competências gerais da BNCC: 2 e 7

Avaliação!

Ao final de cada volume, banco de questões de vestibular e do Enem, além de respostas a todos os exercícios. Competências gerais da BNCC: 2, 4, 7, 8 e 9

Ao final do capítulo, atividades de revisão e questões propostas permitem ao(à) estudante revisar, ampliar os conhecimentos construídos e fazer autoavaliação

Competências gerais da BNCC: 2 e 7

Projetos!

Propostas temáticas com o objetivo de estimular o protagonismo estudantil na apreensão dos conteúdos e construção de significados preconizados pelas habilidades apresentadas na BNCC são apresentadas nos três volumes da coleção. Competências gerais da BNCC: 7, 9 e 10

Revisão! No volume 3, uma revisão dos principais conceitos estudados ao longo do curso de Matemática do Ensino Médio.

TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA .................. 2

1. Conceitos básicos em Trigonometria....................... 4 1.1 As razões trigonométricas no triângulo retângulo ..................................................... 6 Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis....................................................... 7 1.2 A circunferência ............................................. 11 Comprimento da circunferência ..................... 11 Arcos de circunferência e ângulo central ........ 13 Graus e radianos ............................................ 14 2. A circunferência trigonométrica ........................... 22 2.1 Arcos trigonométricos .................................... 22 Arcos côngruos .............................................. 24 Simetria na circunferência trigonométrica ...... 29

3. Razões trigonométricas na circunferência............. 31 3.1 Seno e cosseno de um arco trigonométrico .... 31 Variação e sinal do seno e do cosseno de um arco ................................................ 32 Relação fundamental da Trigonometria........... 36 Redução ao primeiro quadrante ..................... 38 3.2 Tangente de um arco trigonométrico .............. 42 Variação e sinal da tangente de um arco ........ 46 3.3 Outras razões trigonométricas ........................ 48 Cotangente de um arco trigonométrico .......... 48 Secante e cossecante de um arco trigonométrico .......................................... 50 Mais algumas relações trigonométricas .......... 53 4. Transformações trigonométricas ........................... 55 4.1 Fórmulas de adição e de subtração de dois arcos .................................................. 56 Cosseno da soma de dois arcos ...................... 56 Cosseno da diferença de dois arcos ................ 57 Seno da soma de dois arcos ........................... 57 Seno da diferença de dois arcos ..................... 58 Tangente da soma e da diferença de dois arcos .................................................. 58 4.2 Arco duplo e arco metade .............................. 61 Seno e cosseno do arco duplo ........................ 61 Tangente do arco duplo .................................. 62 Arco metade................................................... 62 4.3 Transformação em produto ............................. 66 5. Resolução de triângulos quaisquer ....................... 70 5.1 Lei dos senos .................................................. 70 5.2 Lei dos cossenos............................................. 73 5.3 Área de uma região triangular e Trigonometria ............................................ 78 Seções especiais e leituras Conheça mais… ....................................................... 35 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Sudoku trigonométrico ......................................... 69 Matemática, Ciência & Vida ...................................... 16 Tecnologia & Desenvolvimento Trigonometria e navegação celestial ..................... 54 Encare Essa!.............................................................. 80 História & Matemática .............................................. 80

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CONTEÚDO

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ..........................94

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1. Função e Trigonometria ........................................ 96 1.1 Funções periódicas......................................... 97 1.2 A circunferência trigonométrica e o eixo real .................................................... 99 2. Função seno e seu gráfico .................................. 101 2.1 Esboço de gráficos que envolvem a função seno e conjunto imagem ......................... 102 2.2 Estudo da função seno.................................. 107 Sinal da função seno .................................... 108 Período da função seno e amplitude de seu gráfico .......................................... 108 Crescimento e decrescimento da função seno ........................................................ 110 Paridade da função seno .............................. 111 3. Função cosseno e seu gráfico ............................. 112 3.1 Esboço de gráficos que envolvem a função cosseno e conjunto imagem .................... 114 3.2 Estudo da função cosseno ............................ 117 Sinal da função cosseno ............................... 117 Período da função cosseno e amplitude de seu gráfico .......................................... 117 Crescimento e decrescimento da função cosseno ................................................... 119 Paridade da função cosseno ......................... 120 4. Função tangente e seu gráfico ............................ 122 4.1 Esboço de gráficos que envolvem a função tangente e conjunto imagem ................... 123 4.2 Estudo da função tangente............................ 127 Sinal da função tangente .............................. 127 Período da função tangente .......................... 128 Crescimento e decrescimento da função tangente .................................................. 129 Paridade da função tangente ........................ 131 5. Outras funções trigonométricas .......................... 132 5.1 Função cotangente e seu gráfico .................. 132 5.2 Funções secante e cossecante ...................... 134 Função secante e seu gráfico ........................ 134 Função cossecante e seu gráfico................... 135

5.3 Funções trigonométricas inversas ................. 136 Função arco-seno ......................................... 137 Função arco-cosseno.................................... 137 Função arco-tangente ................................... 138 6. Identidades, equações e inequações trigonométricas. 142 6.1 Identidades trigonométricas.......................... 142 6.2 Equações trigonométricas ............................. 143 6.3 Inequações trigonométricas .......................... 150 7. Aplicações das funções trigonométricas ............. 155 Seções especiais e leituras Conheça mais… ........................................... 121 e 141 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Fazendo onda! ................................................... 113 Matemática, Ciência & Vida .................................... 155 Tecnologia & Desenvolvimento Funções trigonométricas e modelagem matemática .................................................. 100 Encare Essa!............................................................ 158 História & Matemática ............................................ 159

MATRIZES E DETERMINANTES ...........................174

1. O conceito de matriz ......................................... 176 1.1 Representações de uma matriz ..................... 177 Representação genérica de uma matriz ........ 177 1.2 Matrizes especiais ........................................ 180 Matriz linha e matriz coluna ........................ 180 Matriz nula................................................... 180 Matriz quadrada ........................................... 180 Matriz transposta .......................................... 183 2. Igualdade de matrizes ........................................ 184 3. Operações com matrizes .................................... 186 3.1 Adição de matrizes....................................... 186

Propriedades da adição de matrizes ............. 188 3.2 Subtração de matrizes .................................. 190 3.3 Multiplicação de um número real por uma matriz ..................................................... 191 Propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz .................... 192 3.4 Multiplicação de matrizes ............................ 194 Propriedades da multiplicação de matrizes .. 198 3.5 Propriedades que envolvem matriz transposta ................................................ 200 3.6 Matriz inversa .............................................. 201

Seções especiais e leituras Conheça mais… ..................................................... 234 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Procurando caminhos......................................... 179 Jogo “a procura de matrizes” .............................. 182 Jogo do maior ou menor ..................................... 215 Matemática, Ciência & Vida .................................... 193 Tecnologia & Desenvolvimento Você sabia que as imagens digitais são conjuntos de pontos dispostos em matrizes? ................. 210 Determinantes e investigação matemática .......... 221 Encare Essa!............................................................ 238 História & Matemática ............................................ 238

SISTEMAS LINEARES .......................................250

1. Conceito de equação linear e de sistema linear .. 252 1.1 Equação linear ............................................. 253 Solução de uma equação linear ................... 254 Representação geométrica de uma equação linear ...................................................... 256 1.2 Sistema de equações lineares ....................... 257 Solução de um sistema linear ....................... 260 Interpretação geométrica de um sistema linear ...................................................... 262 2. Sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas..................................................... 264 2.1 Resolução de sistemas lineares 2 × 2 ............ 264 Método da adição ........................................ 264 Método da substituição ................................ 267 2.2 Classificação de um sistema linear 2 × 2 ...... 267 3. Sistemas lineares com m equações e n incógnitas .. 271 3.1 Matrizes associadas a um sistema linear ....... 271 3.2 Representação matricial de um sistema linear ...................................................... 272 3.3 Classificação de um sistema linear m × n ..... 274 4. Métodos de resolução de um sistema linear m × n. 278 4.1 Método do escalonamento ........................... 278 Sistema escalonado ...................................... 278 Como escalonar um sistema ......................... 280 Resolução de sistemas por escalonamento ... 281

4.2 Regra de Cramer .......................................... 283 5. Aplicações de sistemas lineares .......................... 287 6. Discussão de um sistema linear .......................... 291 7. Sistemas homogêneos ........................................ 294 Seções especiais e leituras Conheça mais… ........................................... 277 e 287 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Dominó dos sistemas ......................................... 297 Matemática, Ciência & Vida .......................... 270 e 289 Tecnologia & Desenvolvimento Sistemas lineares: ferramenta para modelagem ... 259 Encare Essa!............................................................ 298 História & Matemática ............................................ 298

5.ª propriedade: determinante de uma matriz triangular ...................................... 225 6.ª propriedade: multiplicação dos elementos de uma fila por um número real .............. 227 7.ª propriedade: determinante do produto de um número real por uma matriz ......... 228 6.2 Teoremas sobre determinantes...................... 230 Teorema de Jacobi ........................................ 231 Teorema de Binet ......................................... 232 6.3 Determinantes e matriz inversa .................... 234 Condição para que uma matriz seja invertível ................................................. 234 Determinação da matriz inversa ................... 236

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4. Equações matriciais e aplicações de matrizes................................................... 204 4.1 Equações envolvendo matrizes ..................... 205 4.2 Aplicações gerais de matrizes....................... 208 5. O conceito de determinante ............................... 212 5.1 Matrizes quadradas de ordem 1, de ordem 2 e de ordem 3 ........................................... 213 Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 ............................................. 213 Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 ............................................. 213 Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 ............................................. 215 5.2 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n maior que 3 .......................... 218 Cofator de uma matriz quadrada .................. 218 Teorema de Laplace ..................................... 219 6. Propriedades e teoremas importantes sobre determinantes ..................................... 222 6.1 Principais propriedades de determinantes ......................................... 223 1.ª propriedade: fila nula .............................. 223 2.ª propriedade: filas paralelas iguais ou proporcionais .......................................... 223 3.ª propriedade: troca de filas paralelas ........ 224 4.ª propriedade: determinante da matriz transposta ................................................ 224

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS ............................308

3.1 O polígono regular e seus elementos............ 335 O cálculo da área delimitada por um polígono regular ...................................... 336 4. Área de superfícies circulares ............................. 339 4.1 Área do círculo e de suas partes ................... 339 O cálculo da área de um círculo .................. 339 O cálculo da área de uma coroa circular ..... 341 O cálculo da área de um setor circular......... 342

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1. Áreas no cotidiano ............................................. 310 1.1 O conceito de medida de área ..................... 311 1.2 Unidades convencionais de medida de área .. 312 2. Área de superfícies delimitadas por polígonos .... 316 2.1 Área de uma superfície retangular ................ 316 Caso particular: área de uma superfície quadrada ................................................. 317 2.2 Área de uma superfície paralelogrâmica ....... 320 Área de uma superfície paralelogrâmica não retangular nem losangular ................ 320 2.3 Área de uma superfície losangular................ 321 2.4 Área de uma superfície triangular ................. 326 Caso particular: área delimitada por um triângulo equilátero ................................. 326 Outras expressões para a área de uma superfície triangular ................................ 329 2.5 Área de uma superfície trapezoidal .............. 330 3. Área de superfícies poligonais regulares ............. 335

Seções especiais e leituras Conheça mais… ..................................................... 334 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Jogo do “quem cabe em quem” .......................... 340 Matemática, Ciência & Vida .................................... 316 Tecnologia & Desenvolvimento A tecnologia e o velho problema de cálculo de áreas ..324 Encare Essa!............................................................ 344 História & Matemática ............................................ 345

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ESPACIAL .............. 356

1. Ponto, reta e plano: representações e relações .... 358 1.1 A relação de pertinência, a colinearidade e a coplanariedade .................................. 358 Relações de pertinência e de inclusão .......... 358 2. Postulados e teoremas ........................................ 364 2.1 Postulados da existência ............................... 364 Pontos na reta e fora dela ............................. 364 Pontos no plano e fora dele .......................... 364 2.2 Postulados da determinação ......................... 365 Determinação da reta ................................... 365 Determinação do plano................................ 365 2.3 Postulado da inclusão................................... 366 2.4 Postulados da separação............................... 367 Separação do plano...................................... 367 Separação do espaço.................................... 367 2.5 Postulado da intersecção de planos .............. 368 3. Posições relativas entre retas no espaço .............. 369 3.1 Retas ortogonais ........................................... 370 3.2 O quinto postulado de Euclides.................... 370 3.3 Determinação de um plano .......................... 371 4. Posições relativas entre reta e plano ................... 374 4.1 Paralelismo entre reta e plano....................... 375 4.2 Perpendicularismo entre reta e plano ........... 376 Projeção ortogonal ............................ 379 4.3 Distâncias ........................................ 382 Distância entre dois pontos ..............382 Distância entre ponto e reta ............ 383 Distância entre ponto e plano ........ 384 Distância entre duas retas.............. 385 Distância entre reta e plano...........385 5. Posições relativas entre dois planos ....386

5.1 Paralelismo entre planos ............................... 387 Distância entre planos .................................. 388 5.2 Perpendicularismo entre planos.................... 389 Algumas propriedades do perpendicularismo entre planos .............. 390 6. Ângulos .............................................................. 391 6.1 Ângulo entre reta e plano ............................. 391 6.2 Ângulo entre dois planos .............................. 392 Medida de um ângulo diedro ....................... 392 Seções especiais e leituras Conheça mais… ..................................................... 371 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Jogo da memória geométrico .............................. 382 Matemática, Ciência & Vida .................................... 373 Tecnologia & Desenvolvimento Espaço real e realidade virtual ............................ 362 Encare Essa!............................................................ 393 História & Matemática ............................................ 394

POLIEDROS ................................................. 400

Seções especiais e leituras Conheça mais… ..................................................... 460 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Jogo do quem é quem? ....................................... 440 Matemática, Ciência & Vida .................................... 410 Tecnologia & Desenvolvimento Vírus, cristais, metais e poliedros ........................ 424 Encare Essa! .................................................... 465 História & Matemática ................................. 465

Secções de uma pirâmide............................. 438 4. Prismas e pirâmides: aspectos métricos .............. 440 4.1 Prismas e algumas propriedades métricas ..... 441 Relação entre elementos de um paralelepípedo reto retângulo.................. 441 A área da superfície de um prisma ............... 443 4.2 Pirâmides e algumas propriedades métricas .................................................. 446 Relação entre elementos de uma pirâmide regular .................................................... 446 A área da superfície de uma pirâmide .......... 447 4.3 O volume de um sólido................................ 449 O volume de um paralelepípedo reto retângulo ................................................. 450 O princípio de Cavalieri ............................... 452 O volume de um prisma............................... 452 O volume de uma pirâmide ......................... 455 Tronco de pirâmide de bases paralelas ......... 461

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1. Os sólidos geométricos ...................................... 402 1.1 Secção plana de um sólido........................... 402 Caracterização dos sólidos ........................... 404 2. Os poliedros ....................................................... 405 2.1 Elementos de um poliedro ............................ 405 2.2 Poliedros convexos....................................... 406 Propriedade dos poliedros convexos ............ 407 Nomenclatura dos poliedros ....................... 408 2.3 Planificação da superfície de um poliedro .................................................. 411 Vistas de um poliedro................................... 414 2.4 Poliedros convexos e a relação de Euler ....... 415 Soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo ......................... 419 2.5 Poliedros de Platão ....................................... 420 Poliedros regulares ....................................... 420 Como são os poliedros de Platão? ................ 422 3. Prismas e pirâmides: aspectos geométricos ......... 426 3.1 Os prismas ................................................... 427 Elementos de um prisma .............................. 427 Classificação de um prisma .......................... 429 Planificação da superfície de um prisma ...... 431 Secções de um prisma .................................. 432 3.2 As pirâmides ................................................ 434 Elementos de uma pirâmide ......................... 434 Classificação de uma pirâmide ..................... 436 Planificação da superfície de uma pirâmide ............................................437

CORPOS REDONDOS .....................................478

1. Os sólidos arredondados .................................... 480 2. O cilindro circular .............................................. 481 2.1 Outros elementos de um cilindro circular ................................................... 482 2.2 A planificação da superfície do cilindro circular ................................................... 484 Área da superfície do cilindro circular.......... 484 2.3 O volume do cilindro circular ...................... 486 3. O cone circular .................................................. 490 3.1 Outros elementos de um cone circular ......... 491

3.2 A planificação da superfície do cone circular .. 494 Área da superfície do cone circular .............. 494 3.3 Volume do cone circular .............................. 496 3.4 Tronco de cone reto ..................................... 500 Volume do tronco de cone reto .................... 500 4. A esfera .............................................................. 503 4.1 Outras características de uma esfera ............. 505 Propriedades específicas da esfera................ 505 4.2 Elementos da esfera ...................................... 506 Relação entre raios de secções da esfera ...... 507

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Seções especiais e leituras Conheça mais… ..................................................... 504 Enigmas, Jogos & Brincadeiras O mistério do milk-shake .................................... 499 Meu pé de jabuticaba! ....................................... 513 Matemática, Ciência & Vida ................................... 511 Tecnologia & Desenvolvimento Ciência e tecnologia em corpos redondos .......... 488 Encare Essa!............................................................ 517 História & Matemática ............................................ 517

ANÁLISE COMBINATÓRIA................................532 532

1. Princípio fundamental da contagem ................... 534 2. Fatorial ............................................................... 543 3. Tipos de agrupamento ........................................ 547 3.1 Permutações ................................................. 547 Permutações simples .................................... 547 Permutações com elementos repetidos ......... 550 Permutações circulares ................................. 552 3.2 Arranjos simples ........................................... 555 3.3 Combinações simples................................... 558 3.4 Situações que envolvem arranjos e combinações ........................................... 564 4. Binômio de Newton ........................................... 568 4.1 Números binomiais ...................................... 568 Propriedades dos números binomiais ........... 569 O triângulo de Pascal ................................... 572

4.2 Somatório..................................................... 576 4.3 Desenvolvimento do binômio de Newton .... 578 Termo geral de um binômio de Newton ....... 581

Seções especiais e leituras Conheça mais… ..................................................... 554 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Anagramas, poesia e vice-versa .......................... 546 O caminho da contagem .................................... 564 Matemática, Ciência & Vida .................................... 542 Tecnologia & Desenvolvimento Dsjquphsbgjb f Tfhvsbodb (Criptografia e Segurança) ............................ 566 Encare Essa!............................................................ 583 História & Matemática ............................................ 583

PROBABILIDADE .......................................... 594

1. Experimento aleatório, espaço amostral e evento ....................................................... 596 1.1 Número de elementos de um espaço amostral e de um evento ......................... 598 2. Probabilidade de um evento ............................... 600 Classificação de eventos............................... 601 2.1 Propriedades das probabilidades .................. 606 Possíveis valores de uma probabilidade ........ 606 Probabilidade de eventos complementares ...................................... 606 3. Probabilidade da união e da intersecção de eventos .................................................... 609 4. Probabilidade condicional ................................. 616 5. Eventos independentes ....................................... 620 6. A distribuição binomial ...................................... 625

4.3 O volume da esfera e a área da superfície esférica ................................................... 509 4.4 Partes da esfera ............................................. 514 A cunha esférica........................................... 514 O fuso esférico ............................................. 515

Seções especiais e leituras Conheça mais… ..................................................... 604 Enigmas, Jogos & Brincadeiras O mistério das figurinhas difíceis ........................ 609 Mudar ou não mudar, eis a questão! .................. 620 Matemática, Ciência & Vida .................................... 624 Tecnologia & Desenvolvimento Caos e Probabilidade ......................................... 613 Encare Essa!............................................................ 628 História & Matemática ............................................ 629 Bibliografia ............................................................. 638 Crédito das Fotos .................................................... 639 Banco de Questões de Vestibular e Enem ............... 640 Integrando Conhecimentos ..................................... 658 Respostas ............................................................... 662

EN D A O S W PA N LO RA AD DI VU PR L O GA IB ID ÇÃ O O. !

o l u t í p a C

Objetivos do Capítulo

Retomar conceitos básicos de Trigonometria. Apresentar a circunferência trigonométrica e seus arcos, medidos em graus ou em radianos. Estender a deﬁnição das razões trigonométricas para um arco qualquer da circunferência unitária. Explorar a representação geométrica dos conceitos estudados, sempre lidando com a circunferência trigonométrica. Deduzir as principais relações trigonométricas. Aplicar as fórmulas que envolvem transformações trigonométricas. Ampliar o estudo de triângulos aplicando as leis do seno e do cosseno em variadas situações.

TRIGONOMETRIA EN D A O S W PA N LO RA AD DI VU PR L O GA IB ID ÇÃ O O. !

NA CIRCUNFERÊNCIA

A “NOSSA RODA”

Você vive como se a roda-gigantte sempre houvesse existiV do. A bem da verdade, para você que nasceu no século XX, do ela sempre fez parte de sua vida.. E é notável como alguns el inve in v ntos, no caso a “nossa roda”,, surgiram com propósitos pouc po uco exóticos. Era nal do século XIX e a Torre e Eiffel, construída em Paris e in inaaugurada na Exposição Universal de 1889, do alto de se euss 3 324 metros era alvo de todas aas atenções. Como rivalizar co om ela? Como surpreender os participantes p da Exposição Univ Un iveersal de Chicago, em 1893? Coube ao engenheiro de po ont ntes es George Washington Gale Ferris Jr., mais conhecido co omo Ferris, surpreender ao mund do e a todos nós. Ele adaptou u al algo que já se conhecia e construiu o que na época se ch ham amou de “roda”: um conjunto de circunferências paralelas,, q que u girava em torno de um eixxo, e com bancos dispostos a in inte tervalos precisamente calculaados, levando-se em conta se emp mpre o mesmo ângulo central de d circunferência. As rodas-gigantes evoluíram muito. m A roda de Ferris tinh ha 80 8 metros met e ro ros de altura alt ltur urra e hoje hoje a maio ma ior de delas é a de Cingapura, dela com co m 16 65 metros de altura e cabi ca bine n s co c m ca c pacidade para pa ra 28 pessoas cada. Atéé ja At janttar tem m a bordo o! Circu Circ unferênc n ias e ângulo gu lo os, s ele leme m nttos imp me por or-tant ta ntes da Tr Trig igono omet etria e com in in ni nita tass ap pli lica cações, sãão o te tema ma d deste te nosso capí p tulo.

1. CONCEITOS BÁSICOS EM TRIGONOMETRIA

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A Trigonometria surgiu da necessidade de se obter medidas as de objetos distantes ou inacessíveis, resolvendo problemas práticos icos de Agrimensura, Astronomia ou Navegação. Essa área estuda as relações de lados e ângulos de triângulos, tendo como base e a semelhança de triângulos. Muitas são as situações em que podemos utilizar oss conceitos estudados em Trigonometria como, por exemplo, determinar a distância entre duas árvores separadas por um rio, a altura de um monte, edifício ou poste, o comprimento de uma rampa ou sua altura em relação ao chão, ou, ainda, seu ângulo de inclinação. Na época das Grandes Navegações muitos instrumentos náuticos surgiram para dar suporte aos astrônomos e pilotos. Com eles se mediam ângulos relativos à posição dos astros e, assim, determinavam as coordenadas geográficas da embarcação, por exemplo, a latitude. Dentre eles encontramos o astrolábio, o quadrante e a balestilha. Hoje em dia, um instrumento que também nos dá o ângulo e tem grande importância na Topografia é o teodolito. o. Desde a Grécia Antiga, eram comuns os chamados anfiteatros, enormes construções com palcos circulares, locaiss em que eram realizadas apresentações para grandes públicos,, construídos de modo a permitir que os espectadores, independentemenentemente de onde estivessem sentados, tivessem uma boa visão do espetáculo. Seguindo esse mesmo princípio são construídos hoje os estádios de futebol.

Teatro de Dionísio (ca. 300 a.C.), em Atenas, Grécia. Os assentos para os espectadores foram escavados na encosta, enquanto os assentos em rocha eram destinados aos cidadãos de honra.

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YANN ARTHUS-BERTRAND/CORBIS/LATINSTOCK

EN D A O S W PA N LO RA AD DI VU PR L O GA IB ID ÇÃ O O. !

Mestre João, astrônomo da esquadra Álvares Cabral, com seu astrolábio de Pedro Álv determinou a latitude das novas terras, determino mais tarde se chamariam Brasil. que ma

CO M

Para isso, o ideal é que a distância da pessoa ao palco não ultrapasse certo limite e que sua visão não ﬁque obstruída, por exemplo, por outro espectador à sua frente. Dessa forma, os lugares destinados ao público são, em geral, colocados de modo que, quanto mais longe do palco, mais alto ele está em relação ao solo. Vamos tomar como exemplo as dimensões do estádio do Maracanã, em que o espectador mais distante está a 126 metros do centro do campo e a 32 metros do solo.

RICARDO AZOURY/PULSAR IMAGENS

EW DR

/ NN DU

TI EA

Inaugurado em 1950, por ocasião da Copa do Mundo, o Estádio Jornalista Mário Filho, no Rio de Janeiro, ficou conhecido por Maracanã. Do D tupi-guarani, maracanã quer dizer “semelhante a um chocalho” — isso em virtude das inúmeras aves que existiam chocal na região e que emitiam sons parecidos aos de um chocalho.

Legenda????

Trigonometria na circunferência

Nessas condições, estimando que a distância do centro do campo (em O) até a base da arquibancada (em B) seja de 100 metros, para determinar qual deve ser o ângulo de inclinação dessa arquibancada, vamos representar a situação pelo seguinte esquema:

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32 m

126 m trave

100 m

arquibancada

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OHA, temos: 1262 322 ( OH )2 ⇒ OH 122 m

Além disso, veriﬁcamos que:

HB OH 100 ⇒ HB 22 m

Como, porém, encontrar a medida α do ângulo de inclinação da rampa dessa arquibancada? É aí que entra a Trigonometria. Você já viu, por exemplo, que a razão entre as medidas AH e HB dos catetos, nessa ordem, nos fornece a tangente do ângulo que essa rampa forma com o solo, o que nos dá sua inclinação. Assim, temos: 32 1,45 AH ____ tg α _____ 22 HB

Então, sabemos que α é a medida do ângulo cuja tangente é 1,45. Para encontrar o valor de α, podemos usar a tabela trigonométrica que você já conhece (para ângulos agudos) ou uma calculadora cientíﬁca, por exemplo, a que se encontra em um computador. Daí, obtemos α 55,4°. Vamos, agora, relembrar alguns conceitos sobre as razões trigonométricas no triângulo retângulo, os quais servem de base para toda a Trigonometria, e a partir daí ampliar esse conceito para todos os ângulos.

1.1 AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Recorde

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Observe o triângulo ABC, retângulo em A, e os segmentos DE, FG e HI, paralelos ao lado AC . C

Podemos verificar se dois ou mais triângulos são semelhantes quando possuem dois ângulos internos respectivamente congruentes ou três lados respectivamente proporcionais.

G I α A

Os triângulos ABC, DBE, FBG, HBI são semelhantes, pois possuem dois ângulos internos respectivamente congruentes: um ângulo reto e o ângulo α comum a eles. Sendo assim, esses triângulos, dois a dois, têm os lados respectivamente proporcionais.

MATEMÁTICA — UMA CIÊNCIA PARA A VIDA

Dessa maneira, podemos aﬁrmar que: AC FG DE HI • _____ _____ _____ ____ k1 (constante) EB IB GB CB DB HB FB AB • _____ _____ _____ _____ k2 (constante) EB IB GB CB

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Você já viu que essas constantes ( k1 e k2 ) deﬁnem as razões trigonométricas seno e cosseno (respectivamente) do ângulo interno agudo α e independem das medidas dos lados do triângulo considerado. Em um triângulo retângulo, temos que:

• o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo, ou seja: medida do cateto oposto a α sen α ___________________________ medida da hipotenusa

• o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo, ou seja: medida do cateto adjacente a α cos α _____________________________ medida da hipotenusa

Ainda em relação à ﬁgura do triângulo ABC, também podemos destacar: AC FG HI DE _____ _____ _____ _____ k3 (constante) DB

Agora a razão constante ( k3 ) nos dá a razão trigonométrica tangente do ângulo interno agudo α. Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a ele, ou seja:

Faça

Mostre que:

sen α tg α _______ cos α

medida do cateto oposto a α tg α _____________________________ medida do cateto adjacente a α

Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

Como já estudamos, os ângulos de 30°, 45° e 60° são conhecidos como ângulos notáveis e suas razões trigonométricas podem ser obtidas a partir do triângulo equilátero e do quadrado. Os valores do seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60° podem ser resumidos na tabela a seguir. 30°

45°

60°

sen

1 ___

dXXX 2 _____

dXXX 3 _____

cos

dXXX 3 _____

dXXX 2 _____

1 ___

dXXX 3 _____

dXXX 3

2 3

2 2

Trigonometria na circunferência

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Resolução: Observe que só nos falta a

medida da hipotenusa BC, que podemos encontrar aplicando o teorema de Pitágoras:

(BC )2 152 82 (BC )2 289 BC 17 cm

8 cm

Recorde Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Por exemplo, no triângulo ABC dado a seguir, temos:

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ER. 1 Considere o triângulo ABC dado abaixo e determine os valores do seno, do cosseno e da tangente relativos ao ângulo interno AB C desse triângulo.

15 cm

Denotando por α a medida de AB C, temos:

a2 b2 c2

m 7c

8 cm

15 cm

Assim, podemos obter as razões trigonométricas: AC 15 ____ • sen α _____ 17 BC 8 AB ____ • cos α _____ 17 BC 15 AC ____ • tg α _____ 8 AB

ER. 2 [SEGURANÇA] Uma

loja será instalada em um terreno triangular na esquina entre duas ruas perpendiculares entre si, conforme mostra a figura:

Resolução: Note que a medida da divisa que foi dada corresponde à medida da hipotenusa do triângulo que representa o terreno.

20 5

rua 1

outros terrenos

rua 2

O proprietário precisa murar a divisa do terreno com as duas ruas. Sabendo que 1 e que a divisa tg α ___ 2 com o terreno vizinho tem 20dXXX 5 metros de comprimento, calcule o comprimento do muro.

Vamos, então, determinar as medidas a e b dos catetos desse triângulo. Para isso, vamos usar o fato de que conhecemos a tangente de α, isto é: a 1 ⇒ ___ 1 tg α ___ ___ ⇒ b 2a b 2 2

Além disso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras nesse triângulo: a2 b2 ( 20dXXX 5 )2 ⇒ a2 ( 2a )2 400 5 ⇒ ⇒ a2 4a2 2.000 ⇒ 5a2 2.000 ⇒

⇒ a2 400 ⇒ a 20 ou a 20 (não serve, pois a 0) Voltando para b 2a e substituindo a por 20, vem: b 2 20 40 Repare que o comprimento do muro é dado pela soma das medidas dos catetos, isto é: a b 20 40 60 Logo, o comprimento do muro é 60 metros.

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ER. 3 [ENGENHARIA]

Resolução: Sendo x a medida da altura da torre P, pode-

Determine a altura da torre P na figura a seguir, sabendo que a altura da torre Q é 62 metros e que foram dados

mos fazer a representação dada ao lado, destacando os triângulos que têm os ângulos internos de medidas α e β. B Assim, temos:

4 62 x ⇒ BA ___ ( ) 3 5 x 4 4 ⇒ _____ ___ ⇒ BA ___ x • tg β ___ 5 5 4 BA

Igualando as duas expressões obtidas para BA, temos:

5 x ⇒ 12 ___ 5 x ⇒ 4 62 x 4 62 x ___ ( ) ___ ( ) 12 ___ 4

torre P

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α β

62 x 3 3 ⇒ ________ ___ ⇒ • tg α ___ 4 4 BA

3 e tg β ___ 4 . tg α ___ 4 5

62 − x α β

⇒ 16 ( 62 x ) 15x ⇒ 992 16x 15x ⇒

torre Q

992 31 ⇒ 992 31x ⇒ ______ ____x ⇒ x 32 31 31

Logo, a altura da torre P é 32 metros.

ER. 4 Calcule o perímetro e a área do triângulo ABC dado abaixo.

Resolução: Vamos traçar CH, altura relativa ao lado AB. C

4 30°

Recorde

45°

• Perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. • Área de um triângulo é o semiproduto da medida da base pela medida da altura relativa a essa base.

30°

45°

No triângulo AHC obtido, temos que:

CH CH ⇒ ___ 1 _____ ⇒ CH 2 • sen 30° _____ 4 4 2 dXXX 3

AH ⇒ AH 2dXXX AH ⇒ _____ _____ 3 • cos 30° _____ 4 4 2

O triângulo BHC é isósceles. Assim, HB CH 2. Além disso, temos:

Responda Por que o triângulo BHC é isósceles?

dXXX 2 BH ⇒ _____ 2 cos 45° _____ 2 _____ ⇒ BC 2dXXX 2 BC BC

Veja, então, as relações que podemos montar:

3 2 • AB AH HB 2dXXX d XXX • BC 2 2 e AC 4

Daí, encontramos o perímetro do triângulo ABC:

(

)

perímetro AB AC BC 2dXXX 3 2 4 2dXXX 2

(

3 2dXXX 2 6 2 dXXX 3 dXXX 2 perímetro 6 2dXXX

)

Como CH é a altura relativa ao lado AB , tomemos AB como base para calcular a área do triângulo ABC: (medida da base) (medida da altura) área _______________________________________ 2

(

)

2dXXX 3 2 2 ( AB ) ( CH ) 3 2 área ______________ ________________ 2dXXX 2 2

Trigonometria na circunferência

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule as medidas dos segmentos AB e AC no triângulo a seguir, dados sen 40° 0,64 e sen 50° 0,77. B

5. Encontre a medida do lado BC em função das medidas α e β dos ângulos internos e da medida c do lado AB do triângulo abaixo. A c

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100

40°

2. Em um triângulo ABC, temos que o ângulo interno A é reto, AB 4 e AB C mede α. Sabendo que tg α 1, calcule cos α e sen α.

30°

6. [ARQUITETURA] Roberto projetou um jardim para uma casa de veraneio no formato do quadrilátero mostrado a seguir. Quantos metros quadrados de grama são necessários para cobrir todo esse jardim? Adote dXXX 2 1,4 e dXXX 3 1,7.

3. Determine a medida AB em cada caso. a)

60°

14 m

75°

14 m

7. [MEDIÇÃO] Para medir a altura de um monte, Marcos verificou que:

45°

• a uma certa distância, ele observa o topo do monte sob um ângulo de 45°;

• caso ele se afaste 3 metros dessa posição, ele passa a observar o topo do monte sob um ângulo de 30°.

Marcos conseguirá determinar a altura do monte? Se for possível, qual é essa altura?

60°

30°

45°

1,60 m

4. [MEDIÇÃO] Determine a largura de um rio sabendo que a distância entre dois pontos A e B de uma mesma margem é 80 metros e que C é um ponto da outra margem tal que m BA C 60° e m AB C 30°.

(

)

(

)

MATEMÁTICA — UMA CIÊNCIA PARA A VIDA

8. Sabendo que α e β são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5, 12 e 13, determine o valor real de x para que ( sen α, sen β, x ) seja uma PA crescente.

1.2 A CIRCUNFERÊNCIA

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Você viu que podemos estabelecer relações trigonométricas para ângulos agudos e, nesse caso, o triângulo retângulo é um bom modelo. Porém, como faríamos para estender esses conceitos para outros ângulos, por exemplo, para ângulos maiores que 90°? Vamos estudar agora um novo modelo que nos permite obter relações trigonométricas para quaisquer ângulos. Para isso, vamos usar uma circunferência, como você verá mais adiante. Agora, vamos apresentar alguns conceitos básicos que nos auxiliarão nesse trabalho.

Comprimento da circunferência

Dada uma circunferência qualquer, de raio r, a razão entre o seu comprimento C e a medida D de seu diâmetro é sempre constante. Essa constante é o número irracional π, que é aproximadamente 3,141597. Assim, temos: C ____ π ⇒ C π D ⇒ D

OBSERVAÇÃO

C 2 π r

Saiba

Circunferência é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo desse plano com uma distância constante dada.

Usualmente trabalha-se com π 3,14. Sendo assim, o comprimento de uma circunferência de 3 cm de raio é dado por: C 2πr ⇒ C 2 3,14 3 ⇒ C 18,84 cm

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ER. 5 Determine:

Resolução:

a) o comprimento de uma circunferência cujo diâmetro mede 8 cm; b) a medida do diâmetro de uma circunferência de comprimento 3π cm.

a) Como a medida do diâmetro de uma circunferência é o dobro da medida do raio ( D 2r ), temos: D 2r ⇒ 8 2r ⇒ r 4 cm

Assim, o comprimento dessa circunferência é:

C 2πr 2 ⋅ π ⋅ 4 ⇒ C 8π cm

b) Temos que C 3π cm. Daí, vem:

C 2πr ⇒ 3π 2r π

Como a medida do diâmetro de uma circunferência é D 2r, obtemos:

ER. 6 [COTIDIANO] Qual é

Resolução: A medida do raio é r 30 cm 0,3 m e uma volta do pneu corresponde ao comprimento 2πr da circunferência. Daí, temos que em uma volta o carro percorre 2 3,14 0,3 m ou 1,884 m. Assim, vem:

o menor número de voltas que um pneu de um carro precisa dar para percorrer 1.884 metros, sabendo que o raio do pneu mede 30 cm? Adote π 3,14.

3π D π ⇒ D 3 cm

1 volta

1,884 m

n voltas

1.884 m

1,884n 1.884 ⇒ n 1.000 Logo, para percorrer 1.884 m um pneu de um carro deve dar no mínimo 1.000 voltas.

Trigonometria na circunferência

ER. 7 [LAZER] Uma bicicleta

tem pneus com raios de 20 cm e 50 cm. Em um percurso, o menor pneu deu 120 voltas. Nesse caso, quantas voltas o maior pneu deu?

Resolução: Se o menor pneu deu 120 voltas e seu raio mede r1 20 cm, a distância d percorrida por esse pneu é dada por: 1 volta 120 voltas

2πr1 d cm

d 120 2πr1 ⇒ d 120 2 π 20 ⇒ d 4.800π Repare que o pneu maior, com raio medindo r2 50 cm, percorreu a mesma distância que o pneu menor dando n voltas. Assim, vem: 2πr2 4.800π cm

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1 volta n voltas

n 2πr2 4.800π cm ⇒ n 2 π 50 cm 4.800π cm ⇒ 4.800 π cm ⇒ n 48 ⇒ n ______________ 100 π cm

Logo, o pneu maior deu 48 voltas.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9. [ESPORTE] Para um campeonato de pique-bandeira o professor de Educação Física dividiu uma corda de 20 m de comprimento para formar duas circunferências, que ajudarão no traçado das circunferências que demarcam as áreas onde as bandeiras ficam guardadas, uma para o Ensino Fundamental e outra para o Ensino Médio. As medidas dos raios dessas duas circunferências estão na razão de 1 para 3. Quais são as medidas de seus diâmetros?

10. O primeiro e o terceiro termo de uma PA são respectivamente a medida do diâmetro e o comprimento de uma circunferência de raio r. Determine o segundo termo da PA em função da medida r. 11. [ARTESANATO] Clóvis fabricou 50 cestas com borda circular de 80 cm de diâmetro cada uma. Quantos metros de fita ele deve comprar para enfeitar a borda de todas elas?

STELAN KOLUMBAN PULSAR IMAGENS

12. [LAZER] No final de semana, Silvia fez uma viagem com amigos para a Praia do Francês, em Maceió, e percorreu com seu automóvel 628 km. Quantas voltas deu cada um dos pneus do automóvel, sabendo que eles têm raio de 40 cm? Adote π 3,14.

13. [ESPORTE] Um piloto de Fórmula 1 dá 100 voltas em uma pista circular de 1 km de raio. Aproximadamente, que distância esse piloto percorre?

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14. [MEDIÇÃO] Sabendo que 100 metros de fio são suficientes para construir 40 circunferências de mesmo raio, quantos metros serão necessários para construir 20 circunferências com o dobro da medida do raio das originais?

16. [GEOGRAFIA] Suponhamos que a Terra tenha o formato de uma esfera com raio medindo 6.500 km. Seguindo a linha do Equador, colocamos um cabo circular cujo comprimento é o da circunferência da Terra mais 1 metro, de modo que o cabo tenha o mesmo centro da circunferência terrestre. No “vão” entre a circunferência do cabo e a da Terra é possível passar uma formiga?

15. [DIVERSÃO] Determine os comprimentos mínimo e máximo que um carrinho de autorama percorre em uma volta na pista representada abaixo, em que as curvas são semicircunferências. (Adote π 3.) 1,5 m

Arcos de circunferência e ângulo central

Considere uma circunferência de centro O e dois pontos ( A e B ) dela. O conjunto de pontos compreendidos entre A e B (incluindo esses dois pontos) é denominado arco AB. B

Note que, marcados dois pontos, existem dois arcos na circunferência que são determinados por eles. Para deixar claro qual arco estamos considerando, destacamos um terceiro ponto ( C ) e denominamos os arcos da seguinte maneira: B

C O

arco AB para o arco que não contém C

arco ACB para o arco que contém C Trigonometria na circunferência

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ORDO COM AC

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