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uma Ciência para a Vida Antônio Carlos Rosso Jr. Patrícia Furtado
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MATEMÁTICA
uma Ciência para a Vida
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ANTONIO CARLOS ROSSO Jr.
Mestre em Sistemas Dinâmicos pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Bacharel em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo
AP
PATRÍCIA FURTADO
Mestre em Ensino da Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Bacharel e Licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
edi ç ã o
Direção Geral: Supervisão Editorial: Edição de Texto: Revisão de Provas:
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Julio E. Emöd Maria Pia Castiglia Roberto Gumercindo Furtado Hacsa Mariano Franco Isabela Zanoni Morgado Nathalia Wenceslau Auxiliar de Edição: Ana Olívia Ramos Pires Justo História & Matemática: Alessandra Hissa Ferrari Sartor Elisabete Teresinha Guerato José Maria Carlini Mário de Almeida Toledo Mauro de Almeida Toledo Oscar João Abdounur Tecnologia & Desenvolvimento: Antonio Gil Vicente de Brum Maria Cristina Pires de Brum Ilustrações: Kanton Gráficos: Stella Bellicanta Ribas Danilo Molina Vieira Programação Visual: Grasiele Lacerda Favatto Cortez Editoração Eletrônica: Neusa Sayuri Shinya Capa: Mônica Roberta Suguiyama Impressão e Acabamento: Am Produções Gráficas Ltda. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ R738m 2. ed.
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
R738m Rosso Jr., Antonio Carlos 2. ed. Matemática uma ciência para a vida, 3 / Antonio Carlos Rosso Jr., Patrícia Rosso Jr., Antonio Carlos Furtado. - 2. ed. - São Paulo :uma Harbra, Matemática ciência2024. para a vida, 3 / Antonio Carlos Rosso Jr., Patrícia Furtado. 542 p.- 2.; 28 (Matemática uma ciência para a vida ; 3) ed.cm. - São Paulo : Harbra, 2024. 542 p. ; 28 cm.
(Matemática uma ciência para a vida; 3)
Inclui bibliografia ISBN 978-85-294-0576-6 Inclui bibliografia
ISBN 978-85-294-0576-6
1. Matemática (Ensino médio) - Estudo e ensino. I. Furtado, Patrícia. II. Título. Matemática (Ensino médio) - Estudo e ensino. I. Furtado, Patrícia. II. Título. III. III. Série. Série.
23-85595
23-85595
CDD: 510.712 CDD: 510.712 CDU: 373.5.016:51 CDU: 373.5.016:51
Gleice Rodrigues de Souza - Bibliotecária - CRB-7/6439 Meri GleiceMeri Rodrigues de Souza - Bibliotecária - CRB-7/6439
AP
14/08/2023 16/08/2023 MATEMÁTICA – Uma Ciência para a Vida – volume 3 – 2a edição Copyright © 2024 por editora HARBRA ltda. Rua Mauro, 400 – Saúde 04055-041 – São Paulo – SP Tel.: (0.xx.11) 5084-2482 Site: www.harbra.com.br
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta edição pode ser utilizada ou reproduzida – em qualquer meio ou forma, seja mecânico ou eletrônico, fotocópia, gravação etc. – nem apropriada ou estocada em sistema de banco de dados, sem a expressa autorização da editora. ISBN 978-85-294-0576-6 Impresso no Brasil
Printed in Brazil
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APRESENTAÇÃO
O entendimento dos fenômenos naturais e sociais foi, ao longo da história, essencial para que as pessoas pudessem ter uma vida melhor. Atualmente, esse fato se renova em um mundo progressivamente integrado por novas tecnologias, que permitem cada vez mais acesso ao conhecimento. Nesse contexto, a Matemática com suas teorias e linguagens é uma das poucas ferramentas universais para nos comunicarmos dentre as mais variadas culturas. Saber lidar com uma ferramenta valiosa como essa nos permite ler, interpretar e propor soluções a problemas diversos que permeiam nossa vida e nosso trabalho. Esta coleção foi elaborada para você estudante, esperando contribuir, de modo efetivo, na sua formação matemática, cultural e social, para que possa exercer seu papel de cidadão de modo pleno e independente. Esperamos que você caminhe conosco ao longo de sua jornada.
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Os autores
CONHEÇA O SEU LIVRO Organização da obra!
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Cada volume é subdividido em capítulos, organizados em teoria, exercícios de diferentes tipos e seções especiais.
Abertura de capítulo Texto e imagem objetivam instigar a reflexão sobre a presença da Matemática em variados contextos, aproximando os(as) estudantes do tema a ser tratado.
Objetivos de aprendizagem indicam claramente o que se espera que os(as) estudantes compreendam ao final do capítulo.
Competência geral da BNCC: 1
Fartamente ilustrado!
Iconografia esmerada, com diferentes tipos de imagens, complementa o texto, desenvolve a habilidade de leitura de dados por meio de gráficos e tabelas, auxilia na compreensão e retenção das informações apresentadas. Competências gerais da BNCC: 3 e 4
Texto cuidadosamente escrito para você, estudante!
Boxes laterais chamam a atenção para detalhes importantes ou apresentam pequenos desafios para os(as) estudantes, dando suporte ao estudo.
Mais conexões!
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Seções especiais mostram como a Matemática está presente em diferentes contextos na vida de um cidadão.
Matemática, Ciência & Vida – exemplos de aplicação dos conceitos em outras ciências ou em situações do cotidiano destacam o trabalho com a interdisciplinaridade e culturas juvenis na coleção. Competências gerais da BNCC: 2 e 6
No decorrer do texto, inúmeros exercícios resolvidos passo a passo e exercícios propostos complementam a teoria e aplicam os conceitos estudados em diferentes contextos, estabelecendo diversas conexões com outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Competências gerais da BNCC: 4, 6, 8 e 9
Tecnologia & Desenvolvimento – esta seção destaca o trabalho com temas contemporâneos, em que a Matemática é instrumento para inovações e transformações tecnológicas. Competências gerais da BNCC: 5 e 10
História & Matemática – apresenta, de forma acessível, o processo histórico que gerou o desenvolvimento da teoria estudada no capítulo ou aspectos históricos que, de alguma forma, estão relacionados a essa teoria, ou parte dela, com propostas de reflexão sobre o texto.
Encare Essa! – questões que estimulam o(a) estudante a investigações que lhe propiciam ampliar sua capacidade de aprender e sua destreza mental. Competências gerais da BNCC: 2 e 7
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Competências gerais da BNCC: 1 e 7
Enigmas, Jogos & Brincadeiras – um momento em que conceitos estudados no capítulo são tratados de forma lúdica e descontraída, aplicados em resolução de problemas.
Conheça mais... – assuntos que ampliam e enriquecem o tema tratado no capítulo, visando o protagonismo juvenil, desenvolvendo a autonomia do(a) estudante no processo ensino-aprendizagem.
Competências gerais da BNCC: 4 e 9
Competências gerais da BNCC: 2 e 7
Avaliação!
Ao final de cada volume, banco de questões de vestibular e do Enem, além de respostas a todos os exercícios. Competências gerais da BNCC: 2, 4, 7, 8 e 9
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Ao final do capítulo, atividades de revisão e questões propostas permitem ao(à) estudante revisar, ampliar os conhecimentos construídos e fazer autoavaliação
Projetos!
Propostas temáticas com o objetivo de estimular o protagonismo estudantil na apreensão dos conteúdos e construção de significados preconizados pelas habilidades apresentadas na BNCC são apresentadas nos três volumes da coleção. Competências gerais da BNCC: 7, 9 e 10
Revisão! No volume 3, uma revisão dos principais conceitos estudados ao longo do curso de Matemática do Ensino Médio.
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CONTEÚDO
ESTATÍSTICA .................................................... 2
1. O que é a Estatística ............................................... 4
5. Representação gráfica de dados............................ 28
1.1 O método estatístico e suas etapas ................... 5
5.1 Gráficos de linhas .......................................... 29
2. Variáveis qualitativas e variáveis quantitativas ........ 5 2.1 Classificação de variáveis quantitativas ............ 7 2.2 Classificação de variáveis qualitativas .............. 8 3. A população e a amostra ........................................ 9
Gráficos de múltiplas linhas ........................... 29
4. Organização de dados ......................................... 11 4.1 Distribuição de frequências............................ 12 Frequência relativa ......................................... 18 Frequências acumuladas ................................ 21 Dados agrupados em classes .......................... 24
Variações dos gráficos de linhas ..................... 30
5.2 Gráficos de colunas e de barras ..................... 32 Gráficos de múltiplas colunas e de múltiplas barras ......................................... 33
5.3 Gráficos de setores ......................................... 37 5.4 Cartogramas ................................................... 39 5.5 Pictogramas ................................................... 41 5.6 Histograma e polígono de frequência............. 44
6. Medidas estatísticas .............................................. 50 6.1 Medidas de tendência central ........................ 50 A média aritmética ......................................... 50 A moda .......................................................... 55 A mediana ..................................................... 58
6.2 Medidas de dispersão..................................... 64 Amplitude total.............................................. 65 Desvios .......................................................... 66
AP
Variância e desvio-padrão .............................. 68
Seções especiais e leituras
Conheça mais… ................................................ 36, 64 Enigmas, Jogos & Brincadeiras Cruzadinha estatística .......................................... 49 O rali da regularidade.......................................... 70 Matemática, Ciência & Vida ...................................... 24 Tecnologia & Desenvolvimento Estatística e informação na era da globalização .... 16 Encare Essa!.............................................................. 71 História & Matemática .............................................. 71
2
DOS PONTOS AOS VETORES .............................. 92
1. Caminhando em linha reta ................................... 94 1.1 Localizando um ponto em um eixo ................ 94 1.2 Distância entre dois pontos em um eixo......... 95
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Simétrico de um ponto em relação à origem do eixo real ............................................... 95 2. O plano cartesiano ............................................... 97 2.1 Localizando um ponto no plano .................... 98 2.2 Alinhamento de pontos .................................. 99 Condição de alinhamento de três pontos ..... 100 2.3 Os quatro quadrantes ................................... 104 2.4 Distância entre dois pontos no plano ........... 105 Simétrico de um ponto no plano .................. 106 2.5 Ponto médio de um segmento de reta .......... 109
3. Translação de um ponto e vetor ......................... 115 4. Sistemas de coordenadas no espaço ................... 121 4.1 Localizando um ponto no espaço ................ 122 4.2 Distância entre dois pontos no espaço ........ 124
Matemática, Ciência & Vida ............................ 117, 123
Seções especiais e leituras Conheça mais… ............................................. 121, 125
Tecnologia & Desenvolvimento
Enigmas, Jogos & Brincadeiras
Encare Essa!............................................................ 126
Ligue-pontos analítico........................................ 104
3
O voo do helicóptero e os vetores ..................... 113
História & Matemática ............................................ 127
A RETA NO PLANO CARTESIANO ..................... 134
Forma segmentária da equação da reta ........ 156
2. A reta e sua posição no plano cartesiano ............ 138
4. Posições relativas entre duas retas no plano........ 158
2.1 Inclinação de uma reta................................. 139
4.1 Retas paralelas ............................................. 158
O coeficiente angular de uma reta............... 142
4.2 Retas concorrentes ....................................... 161
3. Equações de uma reta ........................................ 145
Retas perpendiculares .................................. 163
3.1 Equação fundamental de uma reta .............. 145
Ângulo entre retas concorrentes ................... 165
3.2 Equação reduzida de uma reta ..................... 146
5. Distâncias e áreas ............................................... 166
Coeficiente linear de uma reta ..................... 148
5.1 Distância entre um ponto e uma reta ........... 166
Equação reduzida de uma reta e função afim.. 150
5.2 Distância entre duas retas paralelas.............. 167
3.3 Equação geral de uma reta ........................... 151
5.3 Área de uma região triangular ...................... 169
Determinação da equação reduzida da reta
6. Semiplanos e inequações do 1.º grau ................. 171
AP
1. Trabalhando a ideia de reta no cotidiano............ 136
conhecendo a equação geral................... 154
6.1 Inequações do 1.º grau com uma
3.3 Outras formas de equação de uma reta ........ 155
incógnita ................................................. 171
Forma paramétrica da equação da reta......... 155
6.2 Semiplanos .................................................. 172
Semiplanos obtidos por meio de uma reta perpendicular ao eixo das abscissas ........ 172
Enigmas, Jogos & Brincadeiras
Semiplanos obtidos por meio de uma reta não perpendicular ao eixo das abscissas... 174
Matemática, Ciência & Vida ............................ 149, 170
6.3 Inequações do 1.º grau com duas incógnitas .................................................... 176
Cobrindo figuras ................................................. 175 Tecnologia & Desenvolvimento Retas: sempre o melhor caminho entre dois pontos?................................................. 137 Encare Essa!............................................................ 178
Conheça mais… ..................................................... 163
História & Matemática ............................................ 178
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Seções especiais e leituras
A CIRCUNFERÊNCIA ...................................... 186
1. Trabalhando com a ideia de circunferência no cotidiano................................................. 188
3.1 Posições relativas entre ponto e circunferência ...................................... 200
2. Equações de uma circunferência ........................ 188
3.2 Posições relativas entre reta e circunferência 203 3.3 Posições relativas entre duas circunferências 206 4. Regiões do plano determinadas por uma circunferência .............................................. 209
2.1 Equação reduzida de uma circunferência .... 188 Equação de uma circunferência com centro na origem ............................. 189 2.2 Equação geral de uma circunferência ........... 195 Reconhecimento de uma circunferência por meio de uma equação ...................... 198 3. Posições relativas envolvendo circunferência ..... 200
4.1 Resolução de inequações do 2.º grau com duas incógnitas ............................................ 210
Seções especiais e leituras
Conheça mais… ..................................................... 200 Enigmas, Jogos & Brincadeiras
As argolas analíticas ........................................... 202
Matemática, Ciência & Vida .................................... 197 Tecnologia & Desenvolvimento
A roda e a evolução da humanidade.................. 193
Encare Essa!............................................................ 213 História & Matemática ............................................ 214
AS CÔNICAS ............................................... 222
AP
5
1. O conceito de cônica ......................................... 224
3. A hipérbole ........................................................ 237
2. A elipse .............................................................. 226
3.1 Elementos de uma hipérbole ........................ 238
2.1 Elementos de uma elipse .............................. 226
Relações entre medidas de elementos de uma hipérbole .................................... 238
Relações entre medidas de elementos de uma elipse .......................................... 227 2.2 Equações de uma elipse ............................... 229 Equação reduzida de uma elipse com centro na origem ..................................... 229 Equação reduzida de uma elipse com centro fora da origem .............................. 233
3.2 Equações de uma hipérbole ......................... 240 Equação reduzida de uma hipérbole com centro na origem ............................. 240 Equação reduzida de uma hipérbole com centro fora da origem ...................... 245 3.3 Assíntotas de uma hipérbole ........................ 247
4. A parábola.......................................................... 251
Seções especiais e leituras
4.1 Elementos de uma parábola ......................... 251
Conheça mais… ..................................................... 236
4.2 Equação de uma parábola ............................ 253 Equação reduzida de uma parábola ............. 253
Enigmas, Jogos & Brincadeiras
5. Reconhecimento de uma cônica por meio de uma equação .......................................... 259 6. Cônicas e funções .............................................. 260
Matemática, Ciência & Vida .................................... 249 Tecnologia & Desenvolvimento Trajetórias cônicas e astronáutica ....................... 267 Encare Essa!............................................................ 269
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7. Aplicações das cônicas ...................................... 263
Caça-palavras cônico ......................................... 258
História & Matemática ............................................ 269
NÚMEROS COMPLEXOS .................................. 278
AP
6
1. A origem dos números complexos ...................... 280 1.1 A unidade imaginária ................................... 281 2. O conjunto dos números complexos.................. 282 2.1 A forma algébrica de um número complexo ................................................ 283 Parte real e parte imaginária de um número complexo ................................... 283 Igualdade entre números complexos expressos na forma algébrica .................. 286 Conjugado de um número complexo........... 286
2.2 Operações com números complexos na forma algébrica .................................. 290 Adição e subtração de números complexos na forma algébrica ................ 290 Multiplicação de números complexos na forma algébrica .................................. 290 Divisão de números complexos na forma algébrica .................................. 292 Potenciação de números complexos na forma algébrica .................................. 293
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3. Outras formas de representar um número complexo ..................................................... 296
Potenciação de números complexos na forma trigonométrica .......................... 310
3.1 Representação geométrica de um número complexo ........................................ 296 O plano de Argand-Gauss ............................ 296
Radiciação de números complexos na forma trigonométrica .......................... 312
Módulo de um número complexo ................ 298 Argumento de um número complexo ........... 301 3.2 A forma trigonométrica de um número complexo ........................................ 304
Seções especiais e leituras
Conheça mais… ..................................................... 295 Enigmas, Jogos & Brincadeiras
Jogo da memória imaginário............................... 306
Igualdade de números complexos na forma trigonométrica .......................... 305
Matemática, Ciência & Vida .................................... 309
3.3 Operações com números complexos na forma trigonométrica ............................... 307
Números complexos, asas e circuitos integrados .................................................... 288
Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica ........ 307
Encare Essa!............................................................ 315 História & Matemática ............................................ 315
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Tecnologia & Desenvolvimento
POLINÔMIOS ............................................... 324
1. Funções polinomiais .......................................... 326
Teoremas sobre divisão de
polinômios .............................................. 348
Polinômio nulo e polinômio constante ......... 328
3. Equações polinomiais ou algébricas ................... 352
Grau de um polinômio................................. 328
3.1 Teorema fundamental da Álgebra ................. 355
Valor numérico de um polinômio ................ 331
3.2 Teorema da decomposição .......................... 355
AP
1.1 Polinômio e função polinomial .................... 326
Gráfico de um polinômio ............................. 331
3.3 Multiplicidade de uma raiz .......................... 357
Raiz de um polinômio ................................. 334
3.4 Métodos para a resolução de equações
1.2 Igualdade de polinômios .............................. 335
polinomiais .................................................. 360
2. Operações com polinômios................................ 336
Raízes complexas não reais.......................... 360
2.1 Adição e subtração de polinômios ............... 336
Relações de Girard....................................... 362
2.2 Multiplicação de polinômios ....................... 337
Raízes racionais ........................................... 365
2.3 Divisão de polinômios ................................. 339
Raízes reais de uma função
Método da chave ......................................... 339
polinomial .............................................. 367
Método dos coeficientes a determinar .......... 341
Seções especiais e leituras
Dispositivo de Briot-Ruffini .......................... 343
Conheça mais… ............................................. 335, 365
Enigmas, Jogos & Brincadeiras
Tecnologia & Desenvolvimento
Dr. Pol e o mistério final ..................................... 359
Polinômios e elementos finitos ........................... 347
Matemática, Ciência & Vida .................................... 330
Encare Essa!............................................................ 369 História & Matemática ............................................ 370
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO ............................ 380
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1. Limites ............................................................... 382 1.1 Limite de uma função .................................. 385 1.2 Propriedades operatórias dos limites ............ 392 Limite de uma soma de duas funções ........... 392 Limite de um produto de duas funções ........ 392 Limite de um quociente de duas funções ..... 392 Limite de uma potência de expoente racional ................................................... 393 1.3 Limites infinitos e limites no infinito ............. 395 Limites infinitos de uma função ................... 395 Limites de uma função no infinito ................ 397 1.4 Limites fundamentais ................................... 400 Limite fundamental exponencial .................. 400
4. Estudo da variação de uma função ..................... 434
Limite fundamental trigonométrico .............. 404
4.1 Crescimento e decrescimento ...................... 434
2. Funções contínuas ............................................. 407
4.2 Máximos e mínimos de uma função ............ 436
3. Derivadas ........................................................... 410
4.3 Pontos críticos e pontos de inflexão ............. 440
3.1 A noção de derivada .................................... 410
4.4 Construção de gráficos ................................. 445
3.2 A derivada de uma função em um ponto ..... 412
5. Aplicações do Cálculo Diferencial ..................... 449
Interpretação geométrica da derivada .......... 414
Seções especiais e leituras
3.3 A função derivada ........................................ 417
Conheça mais… ............................................. 422, 444
3.4 Derivada de algumas funções importantes ... 419
Enigmas, Jogos & Brincadeiras
Derivada de uma função constante .............. 419
Sudoku dos limites ............................................. 406
Derivada da função potência ....................... 419
Matemática, Ciência & Vida .................................... 416
Derivada do produto de uma constante
Tecnologia & Desenvolvimento
Sistemas dinâmicos e a teoria do caos ................ 425
Derivada da função seno ............................. 420
O pouso da Águia (o primeiro pouso lunar) ........ 438
Derivada da função cosseno ........................ 421
Encare Essa!............................................................ 453 História & Matemática ............................................ 453
AP
por uma função ....................................... 420
Derivada da função exponencial de base e .. 423 Derivada da função logarítmica de base e .... 423 Derivadas sucessivas .................................... 424 3.5 Propriedades operatórias das derivadas ........ 427 Derivada da soma ........................................ 427 Derivada do produto .................................... 428 Derivada do quociente ................................ 430 3.6 Derivada da função composta ..................... 432
APÊNDICE: REVISÃO ............ 458 Bibliografia ............................................................. 490 Crédito das Fotos .................................................... 491 Banco de Questões de Vestibular e Enem ............... 492 Integrando Conhecimentos ..................................... 510 Respostas ............................................................... 516
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o l u t í p a C
AP
Objetivos do Capítulo
Organizar dados em tabelas e gráficos. Analisar dados utilizando as principais medidas de posição: média, moda e mediana. Estudar as principais medidas de dispersão: variância e desvio-padrão. Explorar os conceitos estudados em diferentes contextos.
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ESTATÍSTICA
AP
UM ESPETÁCULO À PARTE!
Paix‹oÊnacional!ÊDentreÊosÊesportes,ÊoÊfutebolÊŽÊaqueleÊqueÊ mexeÊmaisÊprofundamenteÊcomÊasÊemoç›esÊdosÊbrasileiros.Ê SentadosʈÊfrenteÊdaÊÒtelinhaÓ,ÊnaÊrodaÊdeÊamigosÊouÊvibrandoÊemÊumÊest‡dioÊdeÊfutebol,ÊosÊespectadoresÊbuscamÊoÊmelhorʉnguloÊparaÊassistirÊeÊanalisarÊaÊjogada. NoÊ campeonatoÊ nacional,Ê ŽÊ sempreÊ umÊ suspense,Ê poisÊ para saber quem ficará em primeiro ou quem cairá para a “segundonaÓÊprecisamosÊlevarÊemÊcontaÊumaÊsŽrieÊdeÊdados. EmÊ2010,ÊaÊvit—riaÊvaliaÊ3ÊpontosÊeÊoÊempateÊvaliaÊ1,ÊeÊaÊ œltimaÊrodadaÊdoÊcampeonatoÊprometiaÊfortesÊemoç›es!ÊPelaÊtabela,ÊtrêsÊtimesÊtinhamÊ condiç›esÊ deÊ vencer,Ê poisÊ oÊ CorinthiansÊ eÊ oÊ FlamengoÊ estavamÊ comÊ 45Ê pontosÊ eÊ oÊ CruzeiroÊ comÊ 43.Ê ComoÊ CorinthiansÊ eÊ FlamengoÊ jogavamÊ entreÊ si,Ê casoÊ empatassemÊ iamÊ aÊ 46,Ê eÊ comÊ umaÊ vit—riaÊ doÊ CruzeiroÊ ocorreriaÊ umÊ tr’pliceÊ empate!Ê ComÊisso,Êprecis‡vamosÊdeÊoutrasÊinformaç›esÊparaÊconsagrarÊoÊcampe‹o. ColetarÊ eÊ organizarÊ osÊ resultadosÊ deÊ todosÊ osÊ jogosÊ foiÊ essencialÊ eÊ nosÊ permitir‡Ê analisarÊoÊqueÊocorreuÊduranteÊoÊcampeonatoÊe,ÊdesseÊmodo,ÊdeterminarÊqualÊaÊmelhorÊ equipe.Ê ParaÊ esseÊ trabalhoÊ aÊ Estat’stica,Ê temaÊ desteÊnossoÊcap’tulo,ÊŽÊaÊferramentaÊideal!
1. o Que É A estAtísticA
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FÁBIO COLOMBINI
Frequentemente estamos em contato com muitas informações e dados dos mais variados tipos. Por isso, é preciso compreendê-los para decidir quais deles são relevantes para, muitas vezes, tomar decisões. A Estatística constitui um campo da Matemática que se ocupa em coletar dados, organizá-los, representá-los e interpretá-los, objetivando estudar fenômenos e seu comportamento, além de proporcionar métodos que permitam a tomada de decisões. A parte da Estatística que se preocupa em coletar, organizar, resumir e descrever os dados observados é denominada Estatística Descritiva, e a parte que se preocupa em interpretar, analisar e discutir os dados é conhecida como Estatística Indutiva ou Inferencial. Muitas são as formas em que podemos apresentar as informações observadas, seja por meio de tabelas, gráficos ou medidas estatísticas. A Estatística está presente na área econômica, política e social, em pev3_cap01_001 quenas situações do nosso cotidiano e em situações amplas da sociedade. Assim, conhecer esse campo da Matemática poderá nos fazer pessoas conscientes com mais condições de agir como cidadãos. VEGETAÇÃO REMANESCENTE Vegetação remanescente da Mata Atlântica DA MATA ATLÂNTICA
OCEANO PACÍFICO
OCEANO ATLÂNTICO
AP
OCEANO ATLÂNTICO
Da área original recoberta pela Mata Atlântica resta apenas 7%. Essa devastação foi causada, quase que em sua totalidade, pelos seres humanos.
A Estatística também se utiliza de gráficos, tabelas e infogramas para apresentar os dados obtidos ou esperados.
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MATEMÁTICA — UMA CIÊNCIA PARA A VIDA
1.1 o mÉtodo estatístiCo e suas etaPas
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Ao fazermos uma pesquisa, é imprescindível que exista a preocupação em relatar informações o mais próximo possível da realidade, evitando disparates grotescos entre o que é e o que entendemos que seja. Isso requer um conjunto de meios organizados de maneira que possamos encontrar um resultado, ou seja, necessitamos de um método. Quando temos de observar e considerar todas as causas e as variações presentes em determinada situação, devemos fazer uso de um método específico, o qual é denominado método estatístico. No método estatístico devemos coletar os dados de modo direto ou indireto, buscar possíveis falhas e inconsistências nos dados, reunir os dados observados a partir de um critério estabelecido, apresentar os dados por meio de tabelas e/ou gráficos e, por fim, interpretar e analisar os resultados para que seja possível a tomada de decisão. Essas ações que compõem o processo de coleta, de busca por possíveis falhas e inconsistências e de apresentação dos dados fazem parte da Estatística Descritiva, e as que caracterizam a interpretação, análise, inferências na construção das conclusões e tomadas de decisões fazem parte da Estatística Indutiva ou Inferencial, presentes no método estatístico.
2. VAriáVeis QuAlitAtiVAs e VAriáVeis QuAntitAtiVAs
Como já dissemos, o método estatístico surge pela necessidade de observarmos as causas e as variações presentes em determinadas situações. No campo da Estatística, as variações, ou seja, as variáveis, desempenham um importante papel. Mas o que vem a ser uma variável estatística? Uma qualidade, um atributo que varia entre indivíduos, é o que chamamos de variável estatística ou, simplesmente, variável. Observe algumas variáveis apresentadas a seguir.
AP
• número de irmãos por aluno, por exemplo: 0, 1, 2, 3; • cor dos cabelos, por exemplo: castanho, preto, loiro, ruivo; • salários mensais, por exemplo: R$ 510,50; R$ 1.200,00; R$ 5.345,26; • tamanho de camisetas, por exemplo: pequeno, médio e grande.
Podemos notar que algumas variáveis são expressas por números, tais como número de irmãos por aluno e salários mensais. Essas variáveis são chamadas de variáveis quantitativas. Outras são expressas por qualidades, atributos, tais como cor de cabelos e tamanho de camisetas. Essas variáveis são chamadas de variáveis qualitativas. Portanto, toda variável que pode ser mensurada é classificada como variável quantitativa e toda variável que não pode ser mensurada, como variável qualitativa.
Faça Junte-se com alguns colegas e encontrem em sua sala de aula uma situação que pode ser descrita por uma variável qualitativa e outra descrita por uma variável quantitativa. Em seguida, listem alguns resultados que elas podem assumir.
Estatística
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EXERCÍCIO RESOLVIDO ER. 1 [esporte] O técnico do
Ficha do atleta
time de vôlei da escola solicita aos alunos que preencham uma ficha, que permite a identificação de cada atleta e os dados necessários para a compra dos uniformes.
Nome: ________________________________________________________ Idade: ________ anos
Altura: ________ cm
Número do calçado: __________ Tamanho da blusa:
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a) Dos dados preenchidos pelos alunos, quais são variáveis qualitativas? b) E quais são variáveis quantitativas?
Resolução:
Massa: ________ kg
(
)P
(
)M
(
)G
(
) GG
(
) GG
Tamanho da calça/shorts: (
)P
(
)M
(
)G
a) Observando as informações que os atletas têm para responder na ficha, notamos que algumas dessas respostas são expressas por palavras, qualidades, atributos. Assim, nome, tamanho da blusa e tamanho da calça/shorts são classificados como variáveis qualitativas. b) Entretanto, outras respostas são expressas por números. Assim, idade, massa, altura e número do calçado são classificados como variáveis quantitativas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Classifique as variáveis apresentadas a seguir como quantitativas ou qualitativas. a) massa de uma pessoa b) cor dos olhos de uma pessoa c) quantidade de vezes que a pessoa realiza caminhada na semana d) preferência dos alunos por filmes do gênero suspense ou musical e) número de escolas das cidades de um país f) capacidade de um reservatório g) grau de instrução de uma pessoa
2. [marketing] Sr. Lucas é diretor do departamento comercial de uma revendedora automobilística. Para melhorar e ampliar a qualidade da revendedora, ele resolveu pesquisar algumas características dos seus clientes em relação à renda familiar, modelo de automóvel, quantidade de vezes que o indivíduo troca de automóvel no período de dois anos, se normalmente o cliente compra automóvel novo ou usado, se normalmente o cliente compra o automóvel à vista ou a prazo. Diante do exposto, identifique as variáveis quantitativas e qualitativas.
AP
3. [educação] Observe as notas médias do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) por modalidade de escolas dos alunos concluintes do Ensino Médio no Brasil em 2008. Modalidades para Ensino Médio
Notas da prova objetiva
Média geral
Notas da objetiva com correção
Média geral com correção
Regular Normal/Magistério e Educação de Jovens e Adultos
40,53
49,60
39,70
48,92
Regular Normal/Magistério
41,11
50,14
40,27
49,46
Educação de Jovens e Adultos
32,93
42,31
32,25
41,72
Disponível em: <http://sistemasenem.inep.gov.br/enemMediasEscola>. Acesso em: 12 jul. 2010.
Com base nos dados expostos, identifique e classifique as variáveis como qualitativas e quantitativas.
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MATEMÁTICA — UMA CIÊNCIA PARA A VIDA
2.1 ClassifiCaÇÃo de VariÁVeis quantitatiVas Uma variável quantitativa é dita contínua quando ela pode assumir infinitos valores entre dois valores dados. É o caso, por exemplo, da variável altura de uma pessoa: entre 1,60 m e 1,80 m há infinitos valores reais que a altura pode assumir: 1,60 m, ..., 1,605 m, ..., 1,6512 m, ..., 1,74 m, ..., 1,790003 m, ..., 1,80 m possíveis valores entre 1,60 m e 1,80 m
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A variável quantitativa contínua pode ser medida.
Por outro lado, uma variável quantitativa é dita discreta quando ela pode assumir apenas um número finito de valores entre dois valores dados. É o caso, por exemplo, da variável número de alunos de uma classe: entre os valores 30 e 34 que essa variável pode assumir, há somente três possibilidades numéricas para ela — 31, 32 ou 33 alunos. A variável quantitativa discreta pode ser contada.
Isso significa que esse tipo de variável só pode assumir valores no conjunto dos números inteiros.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4. Classifique cada variável quantitativa abaixo como discreta ou contínua. a) altura dos jogadores de um time de vôlei b) número de alunos das classes de sua escola c) distância média entre o Sol e cada planeta do Sistema Solar d) área média de cada um dos cinco continentes da Terra e) população de um país f) quantidade de carros vermelhos dos moradores de uma cidade
AP
5. [esporte] Para participar de um campeonato juvenil de futebol na escola Professora Júlia Gomes, os alunos precisavam preencher uma ficha de inscrição apresentando informações sobre nome, idade, sexo, altura, massa, filiação, quantidade de dias disponíveis para treino, ídolo esportivo preferido, quantidade de campeonatos de que participou e se atualmente pratica algum esporte. Após o preenchimento dessa ficha, a comissão responsável avaliará e selecionará alguns dos alunos para participarem de uma “peneira”. De acordo com o texto apresentado, identifique as variáveis e classifique-as como variáveis qualitativas, variáveis quantitativas, contínuas ou discretas.
Estatística
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2.2 ClassifiCaÇÃo de VariÁVeis qualitatiVas Dizemos que uma variável qualitativa é ordinal quando ela pode ser colocada em uma certa ordem como, por exemplo, o tamanho das camisetas produzidas por uma confecção: pequeno, médio ou grande. Por outro lado, se uma variável qualitativa não puder ser ordenada, ela é dita nominal, como é o caso da cor dos esmaltes usados em um salão de beleza.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6. [educação] Observe o boletim de Lucia, que cursou o 2.o ano do Ensino Médio: Lucia da Silva Brandão
Componente Curricular
1.o bimestre
2.o bimestre
3.o bimestre
4.o bimestre
Matemática
5,0
5,5
8,0
8,5
Língua Portuguesa
4,0
6,0
7,5
5,0
Biologia
8,0
8,5
7,0
6,0
Física
5,0
6,0
7,5
8,5
9,0
8,5
9,0
9,5
10,0
9,0
10,0
9,5
Química
6,0
7,0
7,0
8,5
Filosofia
7,0
4,0
7,0
6,0
Educação Física
6,0
6,0
6,0
6,0
história
7,5
8,5
7,0
8,0
Geografia
8,0
7,0
5,0
6,5
Sociologia
7,0
6,0
5,5
6,5
Inglês Artes
Identifique e classifique as variáveis que podemos observar no boletim de Lucia.
AP
7. [diVersão] Os colegas de classe de Laís adoram festas, tudo é motivo para comemoração. Por isso, resolveram realizar uma pesquisa para identificar o dia e o mês de aniversário de cada um, além da preferência em relação ao estilo de festa (fantasia, preto e branco, funk, rock, ...). Com base nos dados coletados eles podem organizar as datas e estilos de festa a serem realizados. Diante do exposto, identifique e classifique as variáveis mencionadas.
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MATEMÁTICA — UMA CIÊNCIA PARA A VIDA
8. [cidadania] De acordo com uma pesquisa feita com os alunos que participaram do ENEM 2008, observe os motivos mais importantes que esses alunos apontaram para exercerem uma atividade remunerada. Motivos apontados pelos alunos para exercerem uma atividade remunerada Respostas obtidas ( em % )
para ajudar minha comunidade indígena
0,1
não acho importante ter um trabalho
0,1
para fazer amigos, conhecer pessoas
0,1
sentir-me útil
2,2
crescer profissionalmente
40,8
adquirir experiência
6,8
independência financeira
45,2
para ter mais responsabilidade
4,7
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Motivos mais importantes
Fonte: MEC/INEP/ENEM/2008.
Destaque a variável apresentada e classifique-a.
3. A PoPulAção e A AmostrA
AP
Já vimos alguns conceitos importantes no campo da Estatística, como método estatístico e variáveis qualitativa e quantitativa, mas ainda precisamos conhecer mais sobre essa ciência. Para tanto, vamos observar as situações a seguir. Um pesquisador de opinião disse: “A empresa em que trabalho fez uma pesquisa sobre o candidato preferido para assumir a presidência da república e, para tanto, entrevistou 10.000 pessoas distribuídas em todas as regiões do Brasil e em todas as classes sociais”.
Um operário comenta: “Com o objetivo de melhorar a qualidade das chaves produzidas pela oficina em que trabalho, analisei 360 das 18.000 chaves da produção mensal, retiradas igualmente das 5 máquinas que as produzem. Verifiquei que 2% das chaves apresentou defeito”. Estatística
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Tanto no comentário do pesquisador de opinião quanto no do operário, podemos notar que as pesquisas não foram feitas com todos os elementos dos quais se desejava saber algo: a preferência em relação a um candidato ou defeito na chave produzida. No caso da pesquisa de opinião, seria muito difícil entrevistar todos os eleitores brasileiros, dado o custo demandado e o longo tempo necessário para tais entrevistas, só para citar alguns impedimentos. O mesmo se pode dizer sobre a análise de todas as chaves da produção de uma oficina: quanto tempo isso iria demandar do técnico em detrimento da produção e como examinar a produção de chaves anterior à pesquisa são duas indagações que mostram por que o operário optou por examinar parte da produção de chaves. No caso do pesquisador de opinião, dizemos que a população a que se refere a pesquisa feita é o conjunto de todos os eleitores brasileiros e a amostra considerada é o conjunto dos 10.000 eleitores entrevistados. Em relação à análise do operário, a população é constituída pela produção total da empresa (total de chaves produzidas) e a amostra, pelas 360 chaves da produção mensal.
Saiba
População é o conjunto de todos os elementos sobre os quais se deseja pesquisar algo. Amostra é um subconjunto da população e, portanto, constituída por parte dos elementos da população.
AP
A amostra que nos permite tirar conclusões relativamente precisas a respeito da população na qual está incluída é dita uma amostra confiável.
Para que o resultado da pesquisa revele com fidedignidade aspectos da população indagados na pesquisa, a escolha da amostra precisa ser criteriosa tanto quanto ao número de elementos que a compõem como de quais subconjuntos da população provém seus elementos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO ER. 2 [cotidiano] Em uma pesquisa do IBOPE (Instituto Brasileiro de Opinião Pública e Estatística) foram entrevistados 12.500 brasileiros que acessam a Internet. Para essa pesquisa, identifique a população e a amostra. Resolução: Podemos perceber que a pesquisa busca analisar os brasileiros que acessam a Internet. Portanto, todos os brasileiros que acessam a Internet é o conjunto que forma a população da pesquisa e os 12.500 brasileiros que acessam a Internet efetivamente pesquisados compõem o subconjunto que forma a amostra.
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MATEMÁTICA — UMA CIÊNCIA PARA A VIDA
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9. [cotidiano] Identifique a população na pesquisa sugerida em cada pergunta seguinte: a) Qual é o gênero de filme (suspense, terror, comédia ou musical) preferido pelos alunos da sua classe? b) Como as crianças de até 12 anos da cidade de São Paulo gastam o tempo na utilização do computador? Em qual dos casos anteriores é possível pesquisar todos os elementos da população? 10. [sociedade] Determine a população e a amostra para cada situação.
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a) Segundo uma pesquisa feita pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) na cidade do Rio de Janeiro, em 2009, mais da metade dos habitantes era da cor branca. b) Em uma cidade com 1.200 habitantes foram selecionados 520 habitantes para participarem de uma pesquisa de opinião pública. c) Segundo dados apresentados pelo MEC/INEP de 2008, dos 2.920.560 alunos que participaram do ENEM 2008, 2.423.346 alunos responderam as questões que compõem a parte objetiva. 11. [negócios] Uma revista sobre tecnologia fornece dados sobre a classificação das 500 maiores empresas de call center mundiais, em termos de tecnologia. Os dados para análise foram extraídos de 120 call center. Diante da situação exposta, identifique a população e a amostra.
4. orGAniZAção de dAdos
As informações estatísticas resultam da coleta direta ou indireta de dados. Assim, em uma pesquisa, os dados podem ser obtidos por meio de vários procedimentos, por exemplo: • consulta a órgãos especializados • observações
AP
• entrevista • questionário
Ao fazer a coleta de dados de uma pesquisa é importante estabelecermos uma estratégia para: • decidir quais são os dados significativos para a tal pesquisa; • saber se existem dados disponíveis na mídia ou em órgãos especializados; • saber de que modo os dados serão obtidos: — diretamente, por meio de entrevistas realizadas pelo pesquisador, chamadas de fontes primárias, ou — indiretamente, por meio de resultados obtidos de coletas diretas feitas por outros (relatórios, revistas, arquivos, instituições encarregadas de coletas) que não o pesquisador, chamadas de fontes secundárias. Por meio da coleta de dados podemos conhecer a realidade e estabelecer metas reais para a tomada de decisão.
Estatística
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4.1 distriBuiÇÃo de frequênCias Uma vez de posse dos dados, é conveniente organizá-los para facilitar sua visualização, bem como facilitar cálculos de medidas estatísticas. Ao fazer a pesquisa com todos os alunos de sua classe (inclusive ele) sobre o gênero de filme preferido, um aluno fez as seguintes anotações: Terror
Suspense
Comédia
Terror
Suspense
Suspense
Musical
Suspense
Comédia
Musical
Terror
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Suspense
Comédia
Suspense
Musical
Comédia
Suspense
Suspense
Comédia
Musical
Comédia
Musical
Suspense
Terror
Terror
Suspense
Terror
Musical
Musical
Comédia
Observe que o gênero suspense aparece 10 vezes, terror 6 vezes, comédia e musical 7 vezes cada. Agora vamos organizar os dados em uma tabela.
Atenção!
Distribuição das respostas quanto ao gênero de filme preferido
No topo da tabela devemos colocar um título, como: Distribuição das respostas quanto ao gênero de filme preferido indicando de modo claro as informações que serão apresentadas na tabela.
Gênero de filme
Número de alunos
suspense
10
terror
6
comédia
7
musical
7
Fonte: Pesquisa realizada com os colegas de classe.
Essa tabela é chamada de distribuição de frequências, pois o número de alunos indica a frequência em que cada gênero foi observado. Frequência ou frequência absoluta é a quantidade de vezes que cada valor é observado na amostra, que indicamos por f.
Saiba
AP
O símbolo Σ significa somatório.
Assim, é fácil perceber, por exemplo, que o total de alunos entrevistado, que é a frequência absoluta total ( ∑ f ), é 30 ( 10 1 6 1 7 1 7 ), sem precisar contar um a um. Frequência absoluta total ( ∑ f ) é a soma de todas as frequências absolutas observadas.
As tabelas de distribuição de frequências permitem vários tipos de organização, de acordo com a quantidade de variáveis observadas. Na tabela anterior, temos uma tabela simples. Entretanto, nem sempre é possível usar uma tabela simples para organizar os dados de uma pesquisa. Observando as anotações feitas pelo aluno, notamos que ele usou duas cores: o azul para indicar que a resposta corresponde a um colega do sexo masculino e o rosa para indicar que é do sexo feminino.
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MATEMÁTICA — UMA CIÊNCIA PARA A VIDA
FOTOS: PANThERMEDIA/kEyDISC
Reorganizado os dados, agora tomando como base essa nova informação, é possível construir outra tabela. Distribuição das respostas quanto ao gênero de filme preferido de acordo com o sexo dos entrevistados Sexo
Suspense Terror Comédia Musical
Masculino
Feminino
7
3
5
1
1
6
5
2
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Gênero
Fonte: Pesquisa realizada com os colegas de classe.
As variáveis sexo e gênero de filme, ambas qualitativas, estão relacionadas com o número de alunos. Chamamos essa distribuição de frequências de tabela de dupla entrada. Com essa organização é possível perceber que, dos alunos entrevistados que preferem filme de suspense, a maioria é homem, enquanto entre os alunos que preferem o gênero comédia, a maioria é mulher.
A atriz Angelina Jolie e o ator Leonardo DiCaprio atuaram em vários filmes de suspense e aventura.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ER. 3 [recursos humanos]
AP
Vinte pessoas interessadas em trabalhar na empresa E&G submeteram-se a uma prova para avaliar suas aptidões para ocuparem o cargo em questão. Os números de pontos obtidos pelos concorrentes estão registrados no quadro abaixo.
Resolução:
a) Vamos montar a tabela de distribuição de frequências. Distribuição da pontuação na prova da E&G
Número de pontos por candidato
Número de candidatos
27
1
79
56
35
2
85
88
56
5
85
27
56
88
79
79
4
79
35
56
85
2
88
6
35
88
56
79
88
88
88 56
a) Organize esses dados em uma tabela de distribuição de frequências simples. b) Identifique e classifique a variável envolvida nessa pesquisa.
Fonte: Empresa E&G.
b) A variável envolvida é o número de pontos por candidato e expressa uma variável quantitativa contínua.
Estatística
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