Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto
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C O N C E I T O S Desenho.
FUNDAMENTAIS
Criação e organização dos elementos formais de uma obra de arte.
TIPOS: > Orgânico: Formas e figuras de contornos irregulares que se assemelham àqueles das plantas ou animais vivos.
> Figura: Contorno ou a configuração superficial de uma forma. Enquanto a forma geralmente se refere ao princípio que confere unidade a um todo, e inclui amiúde um sentido de massa ou volume, a figura sugere um contorno com alguma ênfase na área ou massa delimitada. > Padrão: Desenho artístico ou decorativo, esp. aquele que apresenta um arranjo característico e é considerado uma unidade, do qual é possível transmitir uma idéia através de um fragmento.
> Não figurativo: Figuras e formas que não representam objetos naturais ou reais.
> Geométrico: Figuras e formas que se assemelham a ou que utilizam elementos retilíneos ou curvilíneos simples da geometria. > Abstrato: Figuras e formas dotadas de um conteúdo intelectual e efetivo apoiado exclusivamente em suas linhas e cores intrínsecas, bem como na relação destas entre si. >Perspectiva: Composição unificada de formas bidimensionais ou volumes tridimensionais, esp. quando transmite a impressão do peso, densidade e porte.
>Símbolo: Algo que representa determinada coisa por associação, semelhança ou convenção, e cujo significado provém principalmente da estrutura na qual aparece.
> Composição: Arranjo de partes ou elementos em que uma proporção ou relação adequadas, de modo a formarem um todo unificado. > Diagrama: Desenho, não necessariamente figurativo, que esboça, explica ou esclarece o arranjo e as relações entre partes de um todo.
> Colagem: Composição artística de elementos normalmente diversos numa justaposição inusitada ou inesperada.
> Contraste: Oposição ou justaposição de elementos dessemelhantes em uma obra de arte a fim de realçar as propriedades de cada elemento e produzir uma expressividade mais dinâmica. 1
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Equilíbrio.
Estado de repouso ou estabilidade contrastantes ou forças oponentes.
entre
elementos
> Simetria Radial: Simetria que resulta do arranjo de partes semelhantes, que se irradiam a partir de um ponto ou eixo centrais.
TIPOS: > Equilíbrio dinâmico: Distribuição equilibrada de peso relações ou forças. > Contrapeso: Peso ou força que serve para contrabalançar. Também, peso de compensação.
Movimento. Harmonia. Arranjo ou proporção agradável ou equilibrada das partes ou elementos de um desenho ou composição.
Simetria. Exata correspondência de tamanhos, formas e arranjo das partes nos lados opostos de uma linha ou plano divisório, ou em torno de um centro ou eixo.
TIPOS: > Eixo: Linha imaginária em relação à qual é simétrica uma figura, um corpo ou composição. > Simetria local: Condição simétrica que ocorre em determinada parte de um desenho, e que via de regra serve para centralizar um padrão regular.
Quantidade ou caráter rítmico de uma composição, que sugere movimento através de representação de gestos ou da relação entre os elementos estruturais.
Direção. Ritmo. Movimento caracterizado por uma repetição ou alternância padronizada de elementos ou motivos formais na mesma forma ou em uma forma modificada. > Repetição: Ato ou processo de repetir elementos ou motivos formais em um desenho. > Intervalo: Espaço entre dois objetos, pontos ou estados.
Linha ao longo da qual algo se move, aponta ou está voltado, com referência ao ponto para o qual está direcionado.
Gradação. Processo de mudança que se dá por graus ou por uma série de estágios graduais sucessivos.
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OS
INSTRUMENTOS Antes de começar a fazer exercícios de geometria, o aluno deve estar ciente de como usar os instrumentos, por isso aqui vão algumas dicas:
1. COMPASSO a) Deve-se segurar na haste superior para rotacioná-lo, sem encostar nas “pernas”, pois isso pode modificar o raio da circunferência.
c) Se possível, use minas um pouco duras, como HB ou 2H e mantenha-as apontadas, poissão mais precisas do que as macias (B, 2B...), e a geometria requer precisão.
2. ESQUADROS a) O esquadro são peças geralmente feitas de acrílico que nos b)
Quando for gerar a circunferência,deite o compasso um pouco na direção da rotação, como mostra a figura ao lado.
permite a realiação de umas retas com uma facilidade maior, oque gera uma velocidade maior na hora do desenho. O jogo de esquadros permite desenhar retas paralelas...
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3. LAPISEIRA a) É aconselhado o uso de minas HB, pois não são tão macias ao ponto de sujar muito o papel, e nem muito duras, o que dificulta a visibilidade da linha e às vezes, se muito dura, pode até rasgar a folha.
b) Da mesma forma que o compasso, quando for desenhar um linha, incline-a um pouco no sentido em que se está fazendo o traço, ou mantenha-a em pé. Mas nunca incline-a no sentido contrário do percurso do traço, pois pode quebrar a mina.
b)... retas concorrentes com ângulos de 30°, 45°, 60° e seus múltiplos.
150°
30°
Também tente girar um pouco a lapiseira quando estiver inclinada, para que o desgaste da mina seja uniforme.
30°
O jogo de esquadro permite combinações que são muito úteis para o desenho técnico
c) Para melhor precisão dos traços, é aconselhado o uso de pontas 0.5 ou 0.3. 4
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ESCALAS ESCALA GRÁFICA A escala gráfica é representada por uma linha reta graduada.
ESCALA NUMÉRICA A escala numérica é representada por uma fração, na qual o numerador corresponde à distância no mapa (1 cm), e o denominador corresponde à distância real, aquela que nós medimos no terreno. Temos então algumas maneiras de representar isso de forma escrita, são elas, por exemplo:
1/100.000 e 1 : 100.000 Numerador/denominador distância medida no mapa (1 cm)/distância real (100.000 cm) Cada intervalo da reta graduada no mapa corresponde a 1 cm, que nesse exemplo representa 10 km no terreno. Em mapas é comum o uso de subdivisões para facilitar a verificação de distancias menores, na medida em que diminui a necessidade de cálculos.
Como você pode observar nos dois casos mostrados anteriormente, podemos ler a escala da seguinte forma: um para cem mil, o que significa dizer que a distância real no terreno sofreu uma redução de 100.000 vezes para ser representado no papel, nosso objetivo quando estamos desenhando um mapa.
ESCALÍMETRO O escalímetro é uma régua graduada usada para marcar as dimensões do desenho sem a necessidade de cálculos. Nele as medidas já estão determinadas em escalas fixas(1:20,1:25,1:50,1:75,1:100,1:125).
ESCALÍMETRO COMUM
ESCALÍMETRO DE BOLSO
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P
Ponto É a menor unidade de medida da Geometria. Resulta da interseção de duas retas.
Podem se apresentar das seguintes formas:
Linha
É formado por infinitos pontos colineares, tão próximos que se confundem em um traço contínuo, unidimensional. Se classificam como: Posição ABSOLUTA:
Projeção Projetar significa representar graficamente em um plano pontos, retas e planos de uma mesma figura no espaço. Existem dois tipos de projeção: Cônica O centro do eixo está a uma distância finita do plano de projeção, Os raios projetantes se encontram em algum plano. Cilíndrica
Poligonal
Linha mista
Linha curva
Horizontal
Vertical
Inclinada
(A)
Reta
(B)
O centro de projeção está a uma distância infinita do plano de projeção. Os raios de projeção são infinitos entre si.
Cilíndrica - Ortogonal
(C)
Resultante de uma linha, com uma direção.
o
Posições RELATIVAS: Concorrentes Tem um ponto em comum e podem ser: Oblíquas
a
Possuem um ponto em comum Perpendiculares
B C
(A)
a
Cilíndrica - Oblíqua
b
Raios projetantes formam com o plano de projeção ângulo diferente de 90o
Pontos equidistantes a uma reta dada
(B) (C)
A
B
a
Coincidente
p
a b
Raios projetantes formam com o plano de projeção, ângulo de 90º
Paralelas
a
b
x=90
A
a b
C
p
Representação de um ponto na projeção ortogonal.
p
O ponto em comum das duas retas, forma um ângulo reto
Retas que estão no mesmo lugar do plano.
Representação em épura
Plano Resultante da extrusão de uma reta sem mudanças de direção originando um plano que é infinito em todos os sentidos designado por letras minúsculas do alfabeto grego.
A representação em épura consiste em uma representação bidimensional para formas tridimensionais.
r Plano
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Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto Mediatriz
Sistema ortogonal de projeção Plano vertical Plano lateral
É o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes a dois pontos dados num mesmo plano.
Um sistema de três planos de projeções,ortogonais entre sí. Um plano horizontal e dois planos verticais (um frontal e um lateral) que se interceptam ortogonalmente com o horizontal formando a Linha de Terra (LT).
Plano horizontal
As vistas do objeto são projetadas nos planos de projeção. Como no exemplo:
1o Centro do compasso em A, abertura maior que a ometade da distância entre A e B. Traçe um arco. 2 Centro do compasso em B, com a mesma abertura do compasso anterior, Traçe outro arco. o 3 No cruzamento dos arcos, define-se os pontos 1 e 2 que ao serem ligados, obtém-se a mediatriz.
Linhas projetantes ortogonais aos planos de projeção.
A
1
2
Paralelas
B
PH posterior+PV superior
É o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de uma reta dada.
r s
r
rio
pe
su
d{
r s
d
Bissetriz É o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de duas retas concorrentes, ou o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados de um ângulo dado.
PV
a
PV inferior+PH anterior
r
rio
a
e inf
o
Lugar geométrico
O Lugar geométrico de pontos é o lugar do plano onde todos os pontos nele situados gozam de uma mesma propriedade. Existem vários lugares geométricos, no entanto, cinco são considerados os mais importantes. São eles: Circunferência, Mediatriz, Bissetriz, Paralela e Arco capaz.
Circunferência É o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado num mesmo plano.
o
r
o b
b
o
1 Centro do compasso no ponto de concorrência das retas, aqui, chamado de ponto O, e faz uma abertura qualquer, determinando o ponto 1 e 2 nas retas que formam o ângulo. 2oCentro do compasso em 1 e abertura qualquer, maior que a metade do ângulo, e traça-se um arco. 7
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 3oCentro do compasso em 2, com a mesma abertura, e traça outro arco, formando o ponto 3, ponto de encontro dos arcos. 4oLiga o ponto 0 ao ponto 3, formando-se assim a bissetriz.
Ângulos consecutivos Quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum
a
q
2
3
o
g
a
Ângulos congruentes w Dois ângulos de mesma medida se dizem congruentes. a=w
q
É o lugar geométrico dos pontos de um arco de onde se vê sob um mesmo ângulo um segmento dado. Num mesmo plano.
A
A
Acontece quando seus lados formam dois pares de semi-retas opostas.
a
a q
q
q
B
y x
A
a>90 O
a<90O
Ângulos
Tipos de ângulos Ângulo reto Igual a 90º.
Ângulos agudos o Maior que 0 e menor que 90º.
Ângulos planos Duas semi-retas com a mesma origem mas que não estão contidas na mesma reta.
q
q
Ângulo raso ou meia volta Igual a 180º.
Ângulo obtuso
Ângulos complementares Soma da medida dos dois ângulos soma 90º. a + g = 90º
Medida maior que 90º e menor que180º.
g a
q
Construção e divisão de ângulos
q
Quando a soma da medida de dois ângulos é 180º e cada um é chamado suplemento do outro. a + g = 180º
Quando a soma de suas medidas resulta em 360º. a + g = 360º
y
B
a
a=90O
Ângulos replementares
a cord
C
C
B
Ângulos suplementares
x
Ângulos opostos pelo vértice
1
Arco capaz
g
a q
g q
Ângulo de 60o Trace uma semi-reta a partir de um ponto O. Centro do compasso em O com abertura qualquer, trace um arco obtém-se A. Centro compasso em A, mesma abertura trace arco a partir de O, obtém-se B no arco anterior. Ligando segmento OB, obtém-se o ângulo AÔB=60º Obs.: Para construir um ângulo de 30º é só traçar a bissetriz de 60º B
a
Ângulo adjacentes Quando possuir dois ângulos sucessivos contendo uma intersecção entre o conjunto de pontos e q interiores.
q
60
g
o
a O
A
8
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto Ângulo de 120o 120
Construa um ângulo de 60º normal. Depois centro do compasso em B, mesma abertura compasso anterior, trace arco, obtendo ponto C. Trace segmento OC, obtendo ângulo AÔC=120º.
B
C
E
B H
O
O
Bissetriz
A
F
A
Ângulo de 90o Construa um ângulo de 120º. Depois trace bissetriz CÔD do ângulo BÔC. Obtém-se o ânguloAÔD=90º.
B
7o O resultado da divisão são os três ângulos
AÔG=GÔH=HÔB. E
B H
O
Obs.: Para construir ângulo de 45º é só traçar bissetriz de 90º
C
D G Bissetriz
A
F
O
D
C G
D 90o C
6o Ligue as semi-retas passando por OG e OH
o
A
Divisão do ângulo em três partes iguais 1o Trace uma circunferência com centro em O;
Obtendo os pontos A e B; B
Transferência, soma e subtração de ângulos Na transferência de ângulo, centro do compasso em 0, traça um arco de raio qualquer, desenhe a mesma abertura de arco na reta onde se pretende levar o ângulo. 2 2o
O
1o a
A o 2 Trace a bissetriz do ângulo AÔB obtendo o ponto C; A distância CD é igual a OC;
3o Prolongue AO obtendo o ponto E e BO 4
o
obtendo o ponto F na circunferência; Na arco AB marque G e H;
q
1
Com o compasso, mede abertura 1,2, e marque essa distância no arco feito no desenho para onde se vai transferir o ângulo. Liga o ponto 0 ao 2, e forma-se o ângulo 2
3 E
q
1
2
o
4
o
B H
O
D
C
q
G F
A
Bissetriz
1
q
1
Obs. Na soma e na subtração, vai ser utilizado a transferência de ângulo.
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Construções fundamentais
o
Perpendicular - 1 caso Traçar uma reta s perpendicular a reta r passando pelo ponto P
o
Paralela - 1 caso Dado um ponto P e uma reta r, e pede-se uma reta y paralela a r, que passe pelo ponto P. 1o Centrar compasso em P , abertura qualquer,
desenhe um arco que determine 1 em x. 2o Centrar o compasso em 1, com mesma abertura,
desenhe um arco que passe por P determinando 2 em x. 3 Centro do compasso em 1, com a abertura 2P, determine 3. o
4o
Ligue o ponto P ao ponto 3 que é a reta y, paralela a x. P
3
P
y
1
o
r P
Centro do compasso em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre r.
2o Traçar a bissetriz do arco 1 e 2
determinando a perpendicular que passa por P.
r P
1
Perpendicular - 2ocaso Traçar uma reta s perpendicular a reta r passando pelo ponto P fora da reta.
2
P
1o Centro do compasso em P, abertura qualquer,
r
2
1
trace arco 12 sobre a reta r.
x
1
2o Trace a bissetriz do arco 12, determinando
2
r
a reta s, passando por P, perpendicular a r. o
Dado a reta r e uma distancia x .Passe uma reta y parela a r a uma distância x. Marque em x os pontos q1 e q2. Centre o compasso em q1 com abertura igual a x, trace o arco AB. Centre o compasso em q2 com abertura igual a x, trace o arco CD;
Paralela - 2 caso 1
o
o Perpendicular - 3 caso Traçar uma reta s perpendicular a uma reta r dada, passando pelo ponto P no extremo da reta r
1o
Centro do compasso no ponto P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando o ponto 1 sobre r.
2o
Com a mesma abertura, centrar o compasso em 1, descreve-se um arco determinando o ponto 2.
o
2 Traçar bissetriz dos arcos AB e CD, obtendo os pontos EF. o
3 Liga-se o ponto E ao F, encontrando a reta y tangente aos arcos e paralela a r.
3
X
E
y
F
o
Centro do compasso em 2 e descreve-se um arco determinando o ponto 3, ainda sobre o arco inicial.
4o
Centro do compasso em 3 e descreve-se um arco determinando o ponto 4.
5o
Liga-se o ponto 4 ao ponto P, determinando assim a reta s perpendicular à reta r no ponto P. 4
s A
q1
B
C
q2
D
r
2
3
P
r
P
1
r
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Teorema de Tales
Nomenclatura
O teorema de tales é utilizado para a divisão de um segmento de reta em partes iguais. Dado o segmento de reta AB. 1o Para dividi-lo em n partes iguais traçe a partir de A um segmento de reta com abertura qualquer formando um ângulo com AB. Depois transfira o mesmo ângulo para o lado oposto de AB.
4 1 B
A r
r
3
Um polígono com n lados, é chamado um n-ágono. Portanto, um com três lados, 3-ágonos, 4-ágonos. Exemplo: pentágono, hexágono, dodecágono.
Principais classificações: Polígonos Côncavos
Polígonos Convexos Aqui, quando todos os seus lados e ângulos são iguais. Semi-retas com ambas extremidades contidas na área do polígono, está totalmente na figura.
Aqui, um segmento de reta que tenha suas duas pontas pertencentes a área interna do polígono tem um momento em que esse segmento de reta não está contido na figura. Como no exemplo ao lado.
1,2 = 4,3
2
2o Faça uma abertura qualquer no compasso,e marque nas retas obliquas ao segmento de reta AB,as aberturas que deseja dividir, em ambos os lados. 3o Ligue as aberturas, formando paralelas.
Polígonos Regulares
Polígonos Irregulares
Possui todos seus angulos e Aquele que não possui os ângulos lados iguais. com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho. 120°
4o Com a intercessão das paralelas sobre AB, encontra-se a divisão em partes iguais do segmento. 0 1 2 3 4 5 6 7 B A 0 1 2 3 4 5 6 7
Polígonos inscritos
Polígono
Quadrado ou octógono
120°
120°
120° 120° 120°
Triângulos e hexágonos
Em um hexágono, o lado do polígono é do tamanho do raio da circunferência. 2 1
r L3 3
2
L6= r
Polígonos
Figura plana fechada com três ou mais lados retilíneos.Como nas figuras a seguir:
1
3
4
6 5
No caso do quadrado, basta dividir a circunferência em quadrantes,e ligando os quadrantes, encontra-se o polígono. O octógono, divide-se os lados do quadrado, e ao ligar, acha-se o octógono. 2
3
1
11 4
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto Pentágono ou decágono
4o Liga-se ponto P até cada numero 5o Mesmo processo em relação ao p¹ par OU ímpar. Encontra a reta no diâmetro; B B
pentágono C
1o Traça a mediatriz de qB. 2o Liga o ponto E ao ponto C
L5
3o Centro do compasso em E, abertura de E à C, desenhe um arco, encontrando o ponto F no diâmetro da circunferência.
L10
A
4o A distancia CF é o lado do pentágono.
F
5 A distancia qF ao centro da circunferência, é o lado do decágono.
q E
L5 - Lado do pentágono L10 - Lado do decágono 1
Heptágono 1o Centro do compasso em B, tamanho igual ao raio, trace um arco. o 2 Onde encontrar o arco com a circunferência, A trace uma reta, encontrando assim o ponto D.
1
2
2 3
3
B
decágono
o
1
P
5
6
6
7
7
A
A 7
C
0
2
o
D
P
B
4
5
5
0
2
Triângulo
7
4
P
5
3 5
4 5
6
6
1 2
6 7
Apresenta dois lados iguais ( a=b )
0 1
3
2 4
3 4
5
5
6 7
Triângulo isóceles
P¹
Triângulo escaleno Apresenta todos os lados diferentes
6
7
7
Polígono de três lados. São classificados de acordo com a dimensão e a forma dos lados, e com relação à natureza dos ângulos.
Triângulo eqüilátero Os três lados iguais. ( a=b=c )
B
3
1
6
4
Quanto a dimensão dos lados
0
2
3
o 3 Centro do compasso em B, abertura de p a p¹;
1
4
6
A
2o Centro do compasso em A, abertura de p a p¹;
1
3
P¹
4
7
2 3
2
3
5
B 2
1
6
L7
Inscrição de um polígono pelo processo geral
1
B 1
L7 - Lado do heptágono
Dividir o diâmetro igual ao numero de lados do polígono que pretende-se inscrever com o teorema de tales (segmento qualquer, partes proporcionalmente iguais);
P¹
6o Liga cada ponto encontrado na circunferência, formando assim o polígono
encontrado, é o lado do polígono.
o
4
5
3o A distancia do ponto D ao ponto C
1
P
P¹
4
7
A
A
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Quanto a natureza dos ângulos
Segmento de reta que divide cada ângulo interno do triângulo em duas partes iguais.
Triângulo retângulo
Triângulo acutângulo Os três angulos internos são agudos(menores que 90º).
<90º
<90º
A
Bissetriz
<90º
Possui um ângulo interno reto(igual a 90º).
C
B
Triângulo Obtusângulo
Pontos notáveis do triângulo
Que possui um ângulo obtuso (maior que 90º). >90º
Ortocentro
Incentro
Ponto de encontro das três alturas do triângulo.
Ponto de encontro das bissetrizes triângulo.Trata-se também do centro A circunferência inscrita.
A Ortocentro
Cevianas
do da
Incentro
Segmentos de retas que ligam um vértice do Triângulo a qualquer ponto de reta suporte do seu lado oposto. A
i
Cevianas notáveis Altura Segmento que liga o vértice com uma perpendicular a reta suporte do lado oposto.
B
c
b a
B
Mediana Segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
B
C
iT - Apótema
Baricentro
Raio de circunferência inscrita no triângulo.
Ponto de encontro das medianas do triângulo.É também o centro de gravidade do triângulo.
C Baricentro
A
Mc
Mc
G
Mb G
Mb
c
b
B
B
C
T
Ma
a
C
Ma
C
Circuncentro
Circuncentro
A
Ponto de encontro das mediatrizes do triângulo. Trata-se também do centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Mediatriz entre os vértices do triângulo para obter os pontos médios dos lados.
B
M
C
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Secante
Quadriláteros
Flecha
São os polígonos de quatro lados.Podem ser classificados da seguinte forma:
Paralelogramo Lados opostos paralelos
D
C
r
Quadrado Retângulo Paralelogramo Losango Lados iguais e Lados opostosLados opostos Lados iguais e ângulos retos. iguais e ângulosângulos opostos iguais e Diagonais opostos iguais. iguais. ângulos retos. Diagonais iguais e Diagonais perpendicularesDiagonais diferentes e diferentes, e diferentes e oblíquoas. entre si. perpendiculares.
E A
B
o
Tangente
r
oblíquoas.
t T
Trapézio Dois lados paralelos Retângulo dois ângulos retos.
Escaleno Isósceles Lados não paralelos Lados e ângulos iguais. não iguais.
Como achar o centro da circunferência Dada a circunferência com o centro desconhecido,como achar o seu centro:
1o Marque três pontos quaisquer na circunferência;
2
Circunferência e Círculos Circunferência
o
2 Trace a bissetriz entre os 1 e 2 e 1 entre 2 e 3;
São pontos equidistantes de um ponto dado (centro). Cuja distância é o raio. Em um mesmo plano. AB
3
Diâmetro (maior corda)
CD Corda AB Semi-circunferência (arco), metade da circunferência
2
3
CD Arco
o
r
3
Secante É uma reta (r) que corta a circunferência
em dois pontos. Tangente É a reta (t) que toca a circunferência em
um ponto (T) perpendicular ao raio.
1
o
Trace a bissetriz entre os 1 e 2 e entre 2 e 3. O ponto de encontro das mediatrizes é o centro da circunferência.
Flecha (EF) É o segmento de reta (s) perpendicular à
Corda sobre a reta que passa pelo centro da circunferência.
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Círculo
Tangência
É o espaço plano dentro da circunferência.
Uma reta ou uma circunferência é tangente a outra circunferência se tiver um ponto em comum com a mesma. Casos:
Circunferência
Reta tangente A reta possui um ponto em comum com a circunferência. A reta (t) tangente tem de formar um ângulo de 90º (perpendicular) ao raio no ponto (T) de tangência.
T o
Elementos do círculo t
Corda Segmento circular
r Setor circular
q
q
Circunferência tangente A circunferência possui um ponto em com uma outra circunferência.
o
r
P1
Zona circular
q
q
P2
T
Trapézio circular
Concordância Metade do círculo
q
Semi-círculo
q
C
Coroa circular o
Um arco ou uma semi-reta é concordante a outro arco se eles tiverem um ponto em comum entre ambos.Ocorre de duas formas: Uma semi-reta pode concordar com um arco, ou uma semi circunferência.
c
15
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto Ou um arco de circunferência concordar com outro.
T o
o1
Poliedros Irregulares
Exercícios de concordância, o principal é levar em consideração algumas regras. São elas: No caso da concordância com o arco e reta, o raio que passa pelo ponto onde vai acontecer a tangencia, forma 90º. No caso da tangência de dois arcos, os centros dos mesmos tem de estar na mesma reta, que liga os centros dos arcos.
Prismas Poliedro irregular formado porPirâmides duas faces ou bases poligonais, iguais e paralelas, e por faces laterais que são retangulares ou paralelogramos.
Poliedros Um sólido limitado externamente por planos no espaço. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. POLIEDROS DE PLATÃO: são aqueles que possuem o mesmo número de faces e o mesmo número de lados. São tipos de poligonos regulares, exemplo: tetraedro regular, hexaedro regular, entre outros.
Prisma irregular Aqueles cuja base são polígonos irregulares.
Classificação Prismas
Nomenclatura São segundo o número de faces que apresentam. Por exemplo, o tetraedro (tetra –quatro; edro – face), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), octaedro(8), eneaedro(9), decaedro(10), etc.
São classificados como regulares ou irregulares.
Quanto às arestas Reto Arestas verticais perpendiculares às bases.
Poliedros Irregulares Aqueles que possuem as faces e os ângulos irregulares. Basta possuir uma face diferente para ser considerado irregular. Poliedros Regulares Aqueles que têm suas faces representadas por polígonos regulares iguais entre si. Cujos ângulos, arestas também são iguais.
Oblíquo As arestas oblíquas a base.
Prima regular Quando as bases do prisma, são polígonos regulares.
Classificação Pirâmides Quanto ao eixo Reta Eixo perpendicular à base. Oblíqua Eixo oblíquo a base.
Poliedros Regulares Não convexos Aqui o plano de pelo menos uma face divide o poliedro em duas ou mais partes.
Quanto à forma da base
Quanto à forma das bases Regular Base poligonal regular.
Sólido cuja a base é um polígono qualquer e cujas faces laterais são triângulos que concorrem num ponto que é o vértice da pirâmide.
Regular A base é um polígono regular.
Convexos Aqui o plano de cada face deixa todas as outras faces no mesmo lado do plano.
Irregular Irregular Base poligonal irregular.
A base é um polígono irregular
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Sólidos de revolução Geratriz
Nomeclatura
São sólidos gerados a partir de uma figura plana qualquer em torno de um eixo imaginário.
Diretriz
Geratriz: Elemento que gera uma figura geométrica, esp.uma linha reta que gera uma superfície ao deslocar-se de uma forma específica. Também chamada geradora.
Sólidos de revolução irregulares Geratriz
Diretriz: Linha fixa utilizada na descrição de uma curva ou superfície.
Diretriz
Geratriz
Geratriz
Diretriz
Diretriz
Sólidos de revolução regulares
Geratriz
Geratriz Diretriz
Diretriz
Planificação Geratriz Diretriz
Hexaedro regular
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Cone reto Prisma de base triangular
3xD+D 7
Pirâmide de base quadrada
0
1
2
3
4
5 6 7
A
B
0 1
2
3
4
5 6
D
D
D
D 7
Cilindro
Truncamento de sólidos geométricos Octaedro regular
Dodecaedro regular
Tetraedro regular
Icosaedro regular
O trucamento de sólidos consiste em uma secção no corpo do sólido, que pode estar paralelo ou oblíquo a base.Observe alguns exemplos: Secção do cone por um plano oblíquo ao plano da base.
Elipse: Seção cônica formada pela intersecção e um cone circular reto com um plano que o corta; o primeiro ao longo de ambos os eixos e da superfície do segundo.
Secção do cone por um plano paralelo ao plano da base.
Secção do cilindro por um plano oblíquo ao plano da base.
Parábola: Seção cônica formada pela intersecção de um cone circular reto com um plano paralelo à geratriz do cone.
Hipérbole: Seção cônica formada pela intersecção de um cone circular reto com um plano que forma com a base um ângulo maior do que aquele formado pela geratriz do cone.
18
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto As dimensões do objeto são delimitadas em cada eixo.
Perspectiva
Altura
Perspectiva linear-Sistema matemático para representação de objetos tridimensionais e relações espaciais em uma superfície bidimensional através de projeção em perspectiva. Largura
Comprimento
Altura
É a representação dos objetos mais próximos ao que observamos na realidade. A perspectiva é o resultado de uma projeção. Trata-se do objeto visto em projeção, mas agora visualmente se aproximando mais da realidade.
Perspectiva isométrica O objeto é visto de tal maneira que permite demonstrar três de suas faces, oque corresponde normalmente a frontal, lateral e superior. Aqui os três eixos no espaço estão colocados igualmente inclinados em relação ao plano de projeção, sendo assim, os ângulos formados pelos eixos são iguais a 120° C
C
120O
Perspectiva cavaleira Aqui, o objeto também terá os seus três lados a vista. A diferença, é que um dos lados vai estar na chamada verdadeira grandeza, estará de frente para o observador, com suas dimensões exatas com a realidade
120O
30º
B
120O
B
A
A
A posição do papel no eixo OZ é vertical (eixo das alturas) os outros eixos formam um ângulo de 30º com a reta horizontal. 45º
Z
30º
30º O
60º
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PERSPECTIVA DE
1 PONTO DE FUGA ESTRUTURAÇÃO DE OBJETOS NO ESPAÇO Nesta aula começaremos a desenvolver noções muito simples de perspectiva, que ajudarão no desenho de um espaço regular. Também aprenderemos a incorporar, neste espaço, objetos e elementos conforme as regras gerais do método de perspectiva. Os croquis, a perspectiva possuem, em si mesmos, uma qualidade inestimável: são magnífico instrumento de estudo e verificação do produto arquitetônico que se queira oferecer, desde as questões do espaço, da forma, da escala, do caráter do projeto, dos percursos, até pensar os detalhes e encontros que permitirão construir o projeto final do edifício. As leis da perspectiva clássica significam simplesmente um método completo e útil da representação da realidade, do espaço. Neste módulo iremos abordar noções de perspectivas, iniciando com a PERSPECTIVA CÔNICA ou CENTRAL e pode-se deduzir logo que, dado um objeto, um espaço em posição determinada, o desenho em perspectiva dependerá de:
LH PF 1
LH
1. A localização do ‘‘ponto de vista’’ a empregar. 2. A orientação do plano que se deseja projetar.
PF 1
3. A distância entre o ‘‘ponto de vista’’ e o observador, ou seja, a profundidade ou distância real.
OBSERVAÇÕES PF 1 L.H. :A linha do horizonte é a linha imaginária que determina a altura dos olhos de um observador fixo ( campo de visão ).
LH
P.F. : O ponto de fuga é um ente do plano de visão, que representa a interseção aparente de duas, ou mais, retas paralelas, segundo um observador fixo, no caso do desenho com 2 P.F. ( pontos de fuga ) o procedimento é o mesmo, mas duas vezes.
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Passo a Passo para a construção de um sólido.
3º.Desenhe as arestas posteriores ( invisíveis ) obedecendo sempre o ponte de fuga.
1º. Trace a linha do horizonte (altura do olhar do observador) e o ponto de fuga lateral logo acima da folha que irá desenhar.
L.H.
P.F. L.H.
P.F.
L.H.
P.F.
2º.Desenhe um quadrado no meio da L.H., ao centro (ou conforme angulo de rotação definido pela posição do observador). Ele será a face de um cubo . Após, ligue os vértices no ponto de fuga.
L.H.
P.F.
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OBSERVAÇÕES IMPORTANTES O tamanho da L.H e a distância entre os pontos de fuga, em relação à folha, determinará a distância do observador em relação ao objeto de desenho.
Ponto de Fuga dentro da folha. Isso indica que o observador está mais longe do objeto.
Pontos de Fuga fora da folha. Isso indica que o observador está mais próximo do objeto, pois desta forma, o campo de visão se torna maior.
Com o mesmo esquema do passo a passo anterior, é possível desenhar infinitos objetos. Esta perspectiva serve para desenhar todos os tipos de objetos, indo de sólidos simples até grandes edifícios e cidades incríveis.
EXEMPLO
L.H.
P.F.
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PERSPECTIVA DE 2 PONTOS DE FUGA
PASSO A PASSO:
EXTERNA
.
A perspectiva de 2 pontos de fuga torna-se necessária principalmente 1º Trace a linha do horizonte (altura do olhar do observador) e os quando informações de largura e altura de um objeto são apresentados oupontos de fuga laterais logo acima da folha que irá desenhar. exibidos de modo igual ou quase total ao observador. Para uma melhor compreensão, observe abaixo a construção de um objeto simples a partir da perspectiva. PF 1
Comprimento
Largura
PF 1
PF 2
PF 2
LH 2º. Trace a linha vertical abaixo da LH, ao centro (ou conforme angulo de rotação definido pela posição do observador). Ela será a aresta vertical frontal do objeto. Após, ligue as extremidades da linha vertical até os pontos de fuga.
PF 1
PF 2
Observe que no exemplo acima, as duas faces estão expostas de forma igual ao observador, ainda que com dimensões diferentes de largura e comprimento. Podemos observar também, que o observador vê o objeto de cima, e que por isso, a linha do horizonte encontra-se acima do objeto. 23
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3º. Faça duas linhas verticais entre as linhas de construção do passo anterior. Eles determinarão a largura e o comprimento do objeto.
PF 1
5º. Por fim, marque apenas as linhas visíveis do objeto, apagando as linhas de construção do desenho. Obs. É importante construir todo o desenho com linhas finas e fracas para que no momento de fortificar as linhas reais e apagar as linhas de construção, o desenho não fique marcado.
PF 2 PF 1
4º. Em seguida, interligue os vértices restantes no ponto de fuga correspondente. Ao final, será possível encontrar o ultimo vértice que não conseguimos ver por ser uma aresta invisível.
PF 1
PF 2
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES O tamanho da L.H e a distância entre os pontos de fuga, em relação à folha, determinará a distância do observador em relação ao objeto de desenho. Além disso, tente manter o ângulo inferior da base, igual ou maior que 90º, para que o desenho não fique muito deformado.
PF 2
Pontos de Fuga dentro da folha. Isso indica que o observador está mais longe do objeto.
Pontos de Fuga fora da folha. Isso indica que o observador está mais próximo do objeto, pois desta forma, o campo de visão se torna maior.
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Com o mesmo esquema do passo a passo anterior, é possível desenhar uma escada. Esta perspectiva ser para desenhar todos os tipos de objetos, indo de sólidos simples até grandes edifícios e cidades incríveis.
EXEMPLOS / APLICAÇÃO
Quando desenhar Edificios, procure explorar as formas e as linhas fracas ou tracejadas e/ou utilize a régua para encontrar as dimensões de largura e altura dos mesmos, como no desenho abaixo.
Fonte: DESENHO ONLINE (2014)
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Em seguida, traçamos a altura do sólido a partir de 1 dos vértices. Essa aresta será utilizada como referência para a geração das outras arestas verticais, a partir do ligamento das extremidades aos pontos de fuga.
PERSPECTIVA DE 2 PONTOS DE FUGA
INTERNA
O processo construtivo da perspectiva interna de 2 pontos é o mesmo da externa. O que difere uma da outra, é somente a inversão dos pontos em que se prolongam as retas. Veja que no exemplo abaixo, temos uma aresta vertical frontal, como sendo uma ‘‘quina’’ invertida. Na perspectiva anterior, as retas que saiam dos pontos terminavam nela. Agora, na perspectiva interna, elas se prolongam. PF 1
PF 2
PF 1
Prolongamento das arestas verticais até os pontos de fuga
PF 2
PF 1
Sólido Finalizado
PF 2
Para inserir objetos dentro do ambiente, o modo mais fácil é desenhar de forma perspectivada, a vista superior do objeto no local de escolha, para em seguida, desenharmos as retas verticais e dar altura ao volume. Vejamos a seguir, a inserção de um cubo no ambiente. PF 1
PF 2
Projeção superior perspectivada de um cubo.
É necessário ser criativo e desenhar móveis modernos e diferentes. O arquiteto também trabalha com criação de móveis e espaços internos. Então, não tenha medo de ousar. 26
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EXEMPLOS / APLICAÇÃO
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PROPORÇÃO
ÁUREA D O número de ouro é denominado também por seção áurea, razão áurea do latim:
E
_ ratio: significa quociente entre dois números a e b; _ aurea significa coberto por ouro, de cor dourada, feito de ouro. Trata-se de um número irracional cuja representação geométrica pode ser obtida por meio da divisão de um segmento em média e extrema razão. Adota-se a letra grega fi, F, para representar o número de ouro. Seu valor pode ser aproximado em 1,618.
A
C
B
M
É possível obter o número de ouro por meio de construções geométricas. CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO ÁUREO Para isso basta determinar a seção áurea através da divisão de um segmento em média e extrema razão. Esse processo consiste em dividir 1) Determinar um ponto C, tal que AC seja segmento áureo do segmento AB; um segmento de reta em duas partes, de tal modo que a razão entre a menor e a maior parte fosse igual à razão entre a maior parte e o 2) Construir uma circunferência com centro em C e raio CA; segmento total. 3) Construir uma circunferência com centro em B e raio CA; 4) Denominar uma das interseções dessas circunferências de H.
ETAPAS DA CONSTRUÇÃO
A
C
B
1) Determinar o ponto médio M do segmento AB. 2) Determinar uma reta perpendicular ao segmento AB que passe pelo ponto B. 3) Marcar um ponto D sobre a reta anterior tal que MB = BD. 4) Traçar o segmento AD. 5) Marcar o ponto E sobre o segmento AD, tal que BD = ED. 6) Marcar o ponto C sobre o segmento AB, tal que AE = AC.
H
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A razão entre a medida da base e a medida de um dos lados congruentes CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO desse triângulo resulta em F. No caso do triângulo obtusângulo ACH a razão deve ser da medida da base para a medida de um dos lados, e novamente resultará no número de ouro. Esses triângulos são Retângulo áureo é aquele que possui como resultado da razão denominados triângulos áureos. entre o seu comprimento e a sua largura. Ele pode ser construído a partir do seguinte processo:
As etapas a seguir constituem na construção de triângulos áureos semelhantes.
1) Construir um triângulo isósceles ABD, com base BD e med(ÐDAB) = 36°. 2) Marcar o ponto C no segmento AB, tal que C seja interseção do segmento AB com a bissetriz de ÐBDA. 3) Marcar o ponto E no segmento CD, tal que E seja interseção do segmento CD com a bissetriz de ÐCBD. 4) Repetir o processo anterior para marcar os pontos F, G e H.
1) Dado o segmento AB, construir um quadrado ABCD. 2) Determinar o ponto médio E do segmento AB. 3) Marcar o ponto F sobre a semirreta AB, tal que EC = EF. 4) Marcar o ponto G, pé da perpendicular a CD pelo ponto F.
Esse processo pode ser repetido infinitas vezes e sempre será obtido um retângulo áureo.
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ESPIRAL EM ÁUREO Espiral do triangulo áureo A partir da construção do triangulo áureo é possível obter uma espiral áurea por meio do seguinte processo:
1. Com centro em C traçar o arco AD. 2. Com centro em E traçar o arco BD. 3. De forma análoga às etapas 1 e 2 continuar o traçado da espiral. 1
2
3
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Espiral do retângulo áureo
2. Com centro em I traçar o arco CJ.
Para iniciar a construção da espiral, primeiro é preciso repetir o processo de construção do retângulo áureo:
3. Analogamente as etapas 1 e 2 continuar o traçado da espiral. Em seguida executar os seguintes passos:
1. Com centro em B traçar o arco AC.
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EXERCÍCIOS PROPORÇÃO ÁUREA
3- A partir do segmento AB construa um triangulo áureo e sua espiral áurea.
1-Divida o segmento AB em média e extrema razão (seção áurea).
2- Divida o segmento AB em média e extrema razão (seção áurea).
4- A partir do segmento AB construa um retângulo áureo e sua espiral áurea.
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Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto Projete os objetos abaixo na malha a seguir de
7
2
1.5 2 1.5 2
7
1
8
6
10
3
10
2 3
1 2 6
3
4
6
3 4
8
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2
2
10
8
2 1 2
2
5
8
2 10 1
4 3
2 3
7
2
5
6 2 3
9
5
3 6
7
9
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3 3
3
3
3
5
1 3
1
2
5
4 10 3
4
2
1 22
2
1
10
7
9
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2 Projete os objetos abaixo na malha a seguir respeitando as proporçþes do desenho:
37
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 4 Dadas as vistas ortogonais dos objetos a seguir, desenhe sua perspetiva isomĂŠtrica
38
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(UFG) Usando as medidas da perspectiva isomÊtrica dada, desenhe as vistas pedidas nos espaços abaixo. Utilize esquadro, compasso e lapiseira.
40
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(UEG/2011) Dada a síntese gráfica da bicicleta ao lado,desenhe:
6 (UEG) Desenhe as vistas frontal, lateral e superior do objeto abaixo.
7 Projeção vertical do guidão
Projeção lateral do guidão
(UEG)Considerando os planos de projeção dos triedos abaixo, defina a posição da bicicleta – paralela ou perpendicular – em relação a cada plano de projeção. Considere o quadro da bicicleta como sua referência.
PV _______________ Projeção vertical da roda
Projeção lateral da roda
PL_______________ PH_______________
5
( UEG, 2010) O desenho abaixo é a representação de uma das vistas da embalagem da fotografia ao lado. Desenhe mais duas vistas considerando o mesmo objeto. Uma vista onde o observador esta por cima e perpendicular ao plano horizontal, e outra onde o observador esta de frente para a face da embalagem. Utilize as proporções da vista dada.
PV _______________ PL_______________ PH_______________ 41
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 8 (UEG 2010) O Brasília Shopping, edifício projetado por Ruy Othake, pode ser abstraído conforme desenho-modelo a seguir. Represente em vista frontal/ vista superior/ vista lateral o modelo abaixo
vista frontal
10 UEG Dada as vistas do objeto abaixo, desenhe sua perspectiva.
vista lateral
11 (UFG) Desenhe a perspectiva isométrica do sólido no espaço indicado, considerando as vistas ortogonais abaixo. Desenhe à mão-livre com precisão. Utilize a lapiseira
9 (UEG 2009) A figura abaixo é a representação de uma cadeira em perspectiva. Uma outra forma de representar os objetos é através das vistas superior, frontal e lateral. No esquema abaixo é dada a vista lateral. Utilizando seu conhecimento de visualização espacial, complete as outraas duas vias da cadeira.
42
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 12 (UFG) A composição com volumes puros é um dos princípios da arquitetura,como se 15 pode ver na foto abaixo. Usando as mesmas medidas da perspectiva isométrica simplificada dada, desenhe as vistas pedidas nos espaços abaixo. Faça a indicação de planos e arestas não visíveis com linha tracejada. Utilize esquadro compasso e lapiseira
17
(UFG) Considerando as vistas ortogonais do objetos abaixo, desenhe uma perspectiva isométrica no espaço indicado.
(UNB)A figura I abaixo apresenta reflexos de um objeto em dois espelhos verticais e sua perspectiva desenhada sob um ângulo de visão específico. Com base no exemplo apresentado, complete o que falta no desenho do exercício 1 a seguir e faça o que se pede no exercício 2 da próxima página.
Exercício 1
43
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(UFG)Sólidos geométricos simples, muitas vezes, resultam em propostas arquitetônicas complexas, como pode ser observado no exemplo fornecido.
1
(UFG) Desenhe a perspectiva isométrica dos objetos abaixo dentro da grade fornecida, rotacionando-os conforme as arestas AB indicadas. Não é obrigatório a representação das arestas invisíveis. Desenhe a mão livre e B com precisão. A
A B
Puerta de Europa, Madri, Espanha. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/wiki/File:Plaza_de_Castilla_(Madrid)_06.jpg>. Acesso em: 25/11//2009.
>Considerando as vistas ortogonais do objeto abaixo, desenhe sua planificação. Utilize esquadro, compasso e lapiseira
2
(UFG)Desenhe a perspectiva isométrica do objeto subtraído do cubo, considerando o ponto de vista posterior (indicado).
44
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 3 (UFG) Desenhe as perspectivas isométricas do objeto subtraído da caixa, dentro das grades fornecidas. Rotacione o objeto conforme as arestas AB indicadas. Não é obrigatório a representação das arestas invisíveis. Desenhe à mão-livre e com precisão.
5 (UFG) Assinale com um ‘X’ as perspectivas que representam sólidos que completam perfeitamente um cubo se rotacionadas e encaixadas no objeto representado.
5 (UEG)
a
a) Dado a esfera, desenhe a figura que a originou, indicando seu eixo de rotação.
b
45
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto b) Crie um sólido de revolução a partir da composição de duas figuras planas regulares. Desenhe a composição e a perspectiva do sólido resultante
9
(UEG) Desenhe um quadrilátero regular ABCD, dado o lado AB.
A 7
B
(UEG) Desenhe um quadrilátero ABCD dado a diagonal BD, sabendo-se: - a diagonal AC é perpendicular à diagonal BD; - a diagonal BD é o dobro da diagonal AC.
7 (UEG) Considerando a caixa de arquivo, desenhe sua planificação.
B
D
8 (UEG) A partir da perspectiva do objeto dado a seguir, assinale a alternativa correta que corresponde à representação do mesmo objeto, em outras posições
a) b) c) d)
I e II são corretas. II e III são corretas. II e IV são corretas. Todas são corretas. 46
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>Exercício 2: Desenhe o objeto A sobre a base tracejada abaixo antes de realizar o exercício conforme exemplo anterior
4 Dê o conceito na geometria de paralela:
5 Dê o conceito na geometria de bissetriz, e desenhe uma entre o ângulo a seguir:
A
Lugar geométrico o
1 O que é lugar geométrico?
B 6 Dê o conceito na geometria de arco capaz.
2 Dê o conceito na geometria de circunferência:
Ângulos 3 Dê o conceito na geometria de mediatriz, e desenhe uma entre os pontos AB a seguir:
1 Comente sobre cada tipo de ângulo, definindo-os:
B A 47
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 2 Dada a reta r abaixo, desenhe uma perpendicular a partir do ponto P: g)120º
P
r
h) 112º30’
3 Contrua ângulos de: 4 Divida o ângulo baixo em três partes iguais:
A
b) 90º
o B c) 45º
Transferencia, soma e subtração de angulos 1 Solucione as equações abaixo:
d) 30º
a)
_
+
=
e) 7º30’ 2 Transfira o ângulo abaixo para a reta a seguir:
A f) 22º30’
B
r 48
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Construções fundamentais
5 Divida o seguimento abaixo em cinco partes iguais, usando o teorema de Tales.
1 Passe uma paralela a reta r, que passe pelo ponto P:
P
r
6 Divida o segmento abaixo em partes proporcionalmente iguais as do retângulo abaixo:
2 Dada a reta r, passe uma paralelaque tenha uma distância x da mesma:
x
r 3 Construa uma perpendicular a reta r que passe pelo ponto P:
Polígonos
P 1o Desenhe dois polígonos quaisquer, dê suas nomenclaturas, e suas classificações:
r 4 Passe uma perpendicular a reta r que passe pelo ponto P:
P
r 49
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 2
Inscreva um pentágono na circunferência abaixo usando a divisão particular:
Triângulos 1 Como um triângulo pode ser classificado? Explique cada classificação:
2 Escreva a definição de o que é a altura de um triângulo, e depois a encontre no desenho abaixo:
3
Inscreva um heptagono na circunferência abaixo usando a divisão geral:
A
C
B
3 Escreva a definição de bissetriz de um triângulo, e depois a encontre na figura abaixo:
A
B
C
50
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 4 Escreva a definição de mediana de um triângulo, e depois a encontre na figura abaixo:
Circunferência e circulos 1
Complete a figura abaixo nomeando as particularidades do desenho.
A
D
C
s
E A B
5
a)Incentro
C
B
o
r t
Defina e faça um desenho explicativo de:
2
(UEG)Escreva o nome dos elementos que compõem o círculo.
b) Ortocentro
51
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 3 (UEG
)A pilha também é um sólido de revolução composto por dois cilindros.
c) Baricentro
A) Na vista superior, podemos identificar dois circulos que possuem o mesmo centro. Em geometria que nome é dado para essa posição em particular? d) Circuncêntro
B) Ainda na vista superior e considerando que o círculo menos foi suprimido do desenho, que nome é dado a esta porção do círculo?
C) Desenhe uma circunferência de raio igual a 3 cm - com compasso - e destaque os seguintes elementos: 1- setor circular 2- segmento circular 3- corda
(UEG 2010)Temos abaixo a representação gráfica de Lúcio Costa, vencedora do concurso que selecionou a proposta urbanística para implantação da cidade de Brasília. A síntese de dois eixos perpendiculares entre si definem um triângulo que se estende até as margens do Lago Paranoá. Sobre a figura geométrica poligonal de três lados, responda: 6
Qual soma de seus ângulos internos? Quanto a igualdade dos lados, temo a seguinte classificação: Dois lados iguais Três lados iguais Três lados diferentes 52
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Desenhe na figura: - Altura do triangulo relativa a base - Bissetriz do angulo  - Mediana relativa ao lado B
Tangência e concordância 1 Trace uma reta tangente à circunferência abaixo:
C
A
B
Quadriláteros 1o
Como são classificados os quadriláteros? Exemplifique com desenhos:
2 Que elementos são necessários para que a reta seja tangente a circunferência?
2o Classifique os poliedros, exemplificando cada um deles:
3 Que elementos são necessários para que dois arcos concordem?
53
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a)
Concorde as retas a seguir com dois arcos:
d)
b)
e) c)
54
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5 Dados os ângulos ABC e uma distância k. Construa uma circunferência de raio k tangente aos lados do ângulo dado:
7
Construa uma circunferência de raio r com tangencia interna à cincunferencia ¢ no ponto T.
k
A
r B C
¢ o 6 São dadas duas retas concorrentes o e p e uma distancia m. Construa uma circunferência de raio m, tangente à reta p, sabendo que seu centro pertence à reta o.
m
T
p
o
55
Prof. Haroldo Dias Flauzino Neto 8 São dados os pontos P e Q e a reta a. Construa uma circunferência que passa por P e Q. Sabendo-se que o centro pertence a reta a.
3 Classifique os poliedros irregulares.
P 4
Q
Dada a perspectiva, identifique os sólidos que compõem a poltrona.
a
Poliedros 1 Como classificar um poliedro como regular? E um como irregular? Demonstre com desenhos.
2
Sólidos de revolução
Classifique os poliedros regulares. Catedral de Brasília Disponível em:
Museu de Arte Contemporânea, Niterói, RJ.
56
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Icosaedro
Farol em St. Mary, MD, EUA.
Centro Cultural Internacional Oscar Niemeyer Avilés, Espanha
Tetraedro
Planificação 1
Planifique os sólidos a seguir:
Dodecaedro Octaedro
57