Alexander Heinz
FALTFORMEN
Papierdesign zwischen Symmetrie und freiem Spiel
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Alexander Heinz Faltformen
N AT U R U N D K U N S T Natur und Kunst, sie scheinen sich zu fliehen und haben sich, eh’ man es denkt, gefunden; der Widerwille ist auch mir verschwunden, und beide scheinen gleich mich anzuziehen. Es gilt wohl nur ein redliches Bemühen! Und wenn wir erst in abgemeßnen Stunden mit Geist und Fleiß uns an die Kunst gebunden, mag frei Natur im Herzen wieder glühen. So ist’s mit aller Bildung auch beschaffen. Vergebens werden ungebundne Geister nach der Vollendung reiner Höhe streben. Wer Großes will, muß sich zusammenraffen. In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister, und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben. JOHANN WOLFGANG VON GOETHE
Alexander Heinz
FALTFORMEN
Papierdesign zwischen Symmetrie und freiem Spiel
Haupt Verlag
Inhalt
Inhalt
6 8 12 16 19 20
Vorwort Zur Einführung Raumstrukturen und Symmetrien Praktische Umsetzung: Zuschnitt, Faltungen und Farben Übersicht Module, Formen, Farben und Falten Aufbau der Modellseiten
22 24 26 28 30
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün) N01 12-Flach N02 15-Flach N03 18-Flach N04 21-Flach (Torso)
32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
O-Modelle: aus Quadraten (gelb, orange) O01 18-Flach O02 22-Flach O03 26-Flach O04 20-Flach (zwei Versionen) O05 19-Flach O06 23-Flach O07 22-Flach O08 21-Flach O09 18-Flach (chiral)
52 54 56 58 60 62 64 66 68
P-Modelle: aus Quadraten (gemischt) P01 10-Flach P02 11-Flach P03 14-Flach P04 17-Flach P05 13-Flach P06 15-Flach P07 16-Flach P08 14-Flach (chiral)
70 72 74 76 78 80
Q-Modelle: aus Dreiecken (pink) Q01 11-Flach Q02 26-Flach Q03 17-Flach Q04 22-Flach Q05 37-Flach (Zwillings-Ikosaeder-Stumpf)
82 84 86 88 90 92
R-Modelle: aus Dreiecken (türkis) R01 8-Flach R02 14-Flach R03 20-Flach R04 12-Flach R05 15-Flach
Inhalt
R06 16-Flach R07 32-Flach R08 80-Flach
134 136 138
T06 T07 T08
100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120
S-Modelle aus Dreiecken (gemischt) S01 14-Flach S02 18-Flach S03 22-Flach S04 12-Flach S05 15-Flach S06 18-Flach S07 14-Flach S08 22-Flach S09 14-Flach S10 14-Flach
140 142 144 146 148 150 152 154 156 158
U-Modelle: aus Vielecken (gemischt) U01 24-Flach U02 36-Flach U03 22-Flach U04 26-Flach U05 12-Flach (oloidal) U06 16-Flach (oloidal) U07 20-Flach U08 16-Flach U09 18-Flach
122
T-Modelle: Formen aus Dreiecken und Quadraten (gemischt) T01 14-Flach T02 18-Flach T03 22-Flach T04 20-Flach T05 25-Flach
160 162 166 169 170 172 173
Anhang Didaktische Hinweise Glossar Literatur und Abbildungen Über den Autor: Alexander Heinz Danksagung Bezugsquellen
94 96 98
124 126 128 130 132
30-Flach 24-Flach (Torso) 16-Flach
Vorwort
Vorwort
Alexander Heinz habe ich im Frühjahr 2010 auf der Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Geometrie und Grafik (DGfGG) kennengelernt. Ich hatte mich bereit erklärt, diese Tagung in der ehemaligen Reichsabtei in Kornelimünster auszurichten, einem historischen Stadtteil von Aachen, der nach meiner Emeritierung an der Hochschule für bildende Künste in Hamburg wieder zu meinem Wohnsitz geworden war. Um dieser mehrtägigen Veranstaltung einen besonderen Höhepunkt zu verleihen, hatte ich einen Ideenwettbewerb ausgelobt, an dem sich alle Tagungsteilnehmer beteiligen konnten. Es ging dabei um einen Beitrag aus dem Bereich der Geometrie, der als physisches oder virtuelles Modell in der Lage sein sollte, Verwunderung, Staunen oder Schmunzeln hervorzurufen. Den Gewinner erwarteten ein Preisgeld und die Phänomena-Skulptur, die als Wanderpokal der DGfGG weitergegeben werden sollte. Diesen Wettbewerb konnte Alexander Heinz mit seinen Falt- und Steckpolyedern mit großem Abstand für sich entscheiden. Das war für mich Grund und Aufforderung zugleich, mich mit seinem Werk und seiner Biografie auseinanderzusetzen, und dazu sollte es in den folgenden Jahren viele Gelegenheiten geben. Auf der Fahrt zu einer späteren Tagung der DGfGG in Dresden, die wir gemeinsam in meinem Wagen unternahmen, entdeckten wir, dass es eine Menge Gemeinsamkeiten zwischen uns gab. Wir hatten beide eine handwerkliche Ausbildung, aber wir unter-
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schieden uns durch das Material, dessen Bearbeitung wir erlernt hatten. Bei Alexander Heinz als Buchbindermeister war es Papier, bei mir als Tischler war es zunächst Holz und später auch Metall. Dabei beschäftigte uns die Frage, ob handwerkliches Tun Auswirkungen auf geometrisches Verständnis haben könnte. Wir waren uns einig, dass bei jeder bildnerisch handwerklichen Tätigkeit wie Messen, Formen, Falten, Biegen, Fügen usw. auch immer Geometrie mit im Spiel ist. Dieser Zusammenhang wird während des Arbeitsprozesses so gut wie nicht erkannt, er vollzieht sich eher im Unterbewusstsein und führt dazu, geometrische Erkenntnisse zu gewinnen und zu speichern. Im Laufe meiner Lehrtätigkeit an der Hochschule für bildende Künste in Hamburg habe ich die Erfahrung gemacht, dass Studierende mit handwerklicher Vorbildung im Allgemeinen wesentlich weniger Verständnisprobleme mit der Darstellenden Geometrie hatten. Bei ihnen hatte sich die räumliche Vorstellungskraft schon weiterentwickelt, die bei der Anwendung der Darstellenden Geometrie unabdingbar ist. Es gibt aber noch einen anderen Aspekt bei handwerklicher Vorbildung – und das ist die Materialkenntnis. Dies ist ein Vorteil besonders für diejenigen, die kreativ mit dem Material arbeiten wollen. Je besser man seine Eigenschaften und Fähigkeiten kennt, desto größer sind die Möglichkeiten, mit diesem Material Neues zu entdecken und auch zu wagen.
Vorwort
Eine weitere Gemeinsamkeit ist die Faszination, die regelmäßige Körper auf uns beide ausüben. Ich habe seit meiner Studienzeit immer wieder regelmäßige und halbregelmäßige Polyeder gebaut und dabei verschiedene Darstellungstechniken ausprobiert. Zu Anfang aus Karton durch Zeichnen und Ausschneiden ihrer Abwicklung und durch den Zusammenbau mithilfe von Klebelaschen. Später in Kugel-Stab-Technik oder aus auf Gehrung gefrästen Aluminiumplatten, die mit Epoxydharz verklebt wurden. Zuletzt aus Schnittebenen, die senkrecht zu den verschiedenen Drehachsen gelegt und mit einem Laser aus Edelstahlblech geschnitten wurden. Aber Polyeder, die aus modularen Papierelementen zusammengesteckt wurden, das war für mich etwas ganz Neues. Auf eine solch geniale Idee kann man nur kommen, wenn man mit dem Werkstoff Papier sehr vertraut ist.
als trichterförmige Vertiefungen erscheinen und eine Durchsicht des Körpers erlauben.
Bei den verschiedenen Darstellungstechniken verändert sich auch das Erscheinungsbild der Polyeder und dabei werden verschiedene Eigenschaften evident. Ist die Oberfläche geschlossen, erscheinen die Körper monolithisch. Werden stattdessen nur Ecken und Kanten dargestellt wie bei der Kugel-Stab-Technik, so sind deren Verknüpfungen dominant. Werden die Körper aus Schnittebenen senkrecht zu den Drehachsen zusammengesetzt, treten die Symmetrieeigenschaften in den Vordergrund. Die Falt- und Steckpolyeder von Alexander Heinz sind ecken- und kantenbetont, während die Flächen im Allgemeinen ohne Material
Ich wünsche diesem Buch viel Erfolg und seinen Lesern ein Maximum an Kreativität.
Alexander Heinz hat in seinem ersten Band FALTPOLYEDER die Konstruktion aller platonischen, archimedischen und catalanischen Polyeder systematisch dargestellt, sodass sie vom Leser nachgebaut werden können. In dem hier vorliegenden Nachfolgeband FALTFORMEN wird das Konstruktionsprinzip von „Ross und Reiter“ zwar beibehalten, doch es wird auf die Stringenz der Polyedergeometrie verzichtet. Das erlaubt dem Leser, seiner Fantasie freien Lauf zu lassen, ohne sich an die strengen Symmetriegesetze halten zu müssen. Dadurch können viele neue Formen generiert werden, die sich von den regulären Polyedern ableiten lassen.
Friedhelm Kürpig em. Professor für Konstruktive Geometrie an der Hochschule für bildende Künste Hamburg (1978–2007)
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Praktische Umsetzung: Zuschnitt, Faltungen und Farben
Praktische Umsetzung: Zuschnitt, Faltungen und Farben Erforderliche Papierqualität Am besten eignet sich gut geleimtes, durchgefärbtes und formsteifes Papier mit einer Grammatur von 120 g/m2, so beispielsweise f.color® glatt, Efalin glatt oder Surbalin glatt (siehe Seite 173). Es findet häufig Verwendung beim Beziehen von Buchdecken oder als Vorsatzpapier. Für alle Modelle in FALTFORMEN wurde f.color® verwendet. Ein festes, gut geleimtes, formsteifes Universalpapier von 120 g/m2 ist eine denkbare Alternative. Es muss sich deutlich fester anfühlen als gängiges Kopierpapier und wird gerne für hochwertige Landkarten verarbeitet. Zuschnitt Quadrate und Dreiecke aus Streifen Für den Zuschnitt der Blattformen ist es am besten, mehrere (fünf bis zehn) Papierlagen mit einem Klammerhefter zu einem Stapel zusammenzutackern. So lassen sich mit jedem Schnitt mehrere Faltflächen gleichzeitig erstellen. Für Quadrate und Dreiecke schneidet man zunächst aus ganzen Bogen einzelne Streifen zu. Die Breite der Streifen für Quadrate entspricht der gewünschten Seitenlänge. Für Dreiecke müssen die Streifen so breit sein wie die Höhe der Dreiecke. Kennt man nur deren erforderliche Kantenlänge, muss entsprechend umgerechnet und konstruiert werden. Die Streifen für Quadrate werden rechtwinklig im Endmaß abgeschnitten. Mit einer Schlagschere ist das eine einfach zu bewältigende Aufgabe, mit Geodreieck und Cutter ist dies auch
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auf einer Schneidematte zu bewerkstelligen. Für Dreiecke wird der Streifen im Winkel von 60° abgeschnitten, dann muss der Streifen nach jedem Schnitt gewendet werden. Sonst entstehen Rauten (Abb. 2). Zuschnitt Fünf- und Sechsecke aus Schablonen Für Fünf- und Sechsecke am besten eine Kopie der Vorlagen (mehr dazu siehe Seite 19) anfertigen und diese als Stechschablone verwenden. Dazu die Kopie auf das Faltpapier legen. In alle Eckpunkte mit einer Buchbinder-Ahle einstechen. Nun mit dem Cutter von Loch zu Loch schneiden – so entsteht das gewünschte Vieleck. Auch hierfür können mehrere Blätter gleichzeitig geschnitten werden. Dabei darauf achten, das Cuttermesser immer senkrecht zu halten, sonst fallen die unteren Lagen Papier aus dem angestrebten Maß. Größe und Farben der Faltflächen Alle Faltflächen sind in der erforderlichen Farbe und Umsetzung in der Übersichtstabelle (siehe Seite 19) abgebildet. Anfangs empfiehlt es sich, diesen Angaben zu folgen. Doch für bestimmte Zwecke und aus praktischen Erwägungen kann es sinnvoll sein, davon abzuweichen. Möchte man kleinere Modelle bauen (weil diese leichter aufzubewahren und zu transportieren sind), lassen sich die Vorlagen mit einem Kopierer verkleinern. Sollen Modelle realisiert werden, die
Praktische Umsetzung: Zuschnitt, Faltungen und Farben
Abb. 1: Benötigtes Werkzeug
Abb. 2: Zuschnitt der Dreiecke und Quadrate
aus mehreren verschiedenen Faltformen zusammengesetzt sind, müssen diese proportional (um den gleichen Faktor) gegenüber der Vorlage verkleinert werden. Selbiges gilt entsprechend für die Vergrößerung.
Größe der Faltblätter Die fertig zugeschnittenen Dreiecke, Quadrate, Fünfecke und Sechsecke werden zu dreieckigen, viereckigen, fünfeckigen und sechseckigen Modulen verarbeitet (siehe dazu Tabelle Seite 19). Die freie Kombinierbarkeit aller Module untereinander setzt voraus, dass alle Verbindungsstücke die gleiche Breite haben müssen. Schneiden Sie die Faltformen also in den angegebenen Größen zu. Wenn Sie eine andere Größe wählen, denken Sie daran, alle Faltblätter gegenüber den in der Tabelle angegebenen Größen einheitlich zu vergrößern oder zu verkleinern. Alle Vorlagen erhalten Sie hier: https://www.haupt.ch/faltformen
Verwendung von Klebstoff Die meisten Steckverbindungen halten als formschlüssige Verbindung von selbst: Die Module halten sich gegenseitig zusammen. In manchen Fällen – dies macht sich dann deutlich bemerkbar – ist es sinnvoll, die umgeklappten Spitzen der Reiter am unteren Boden des Rosses festzukleben (besonders bei fünf- und sechseckigen Modulen) und/oder die Steckverbindungen zu verkleben. Bei den entsprechenden Anleitungen ist dies vermerkt. Klarer Klebstoff auf Lösungsmittelbasis hat sich hier bewährt, manche bevorzugen stattdessen Weißleim. Stützen Insbesondere da, wo fünf- und sechseckige Module miteinander verbunden werden, ist die Steckverbindung labil. Neben Klebstoff hilft auch die Verwendung von Stützen: Schmale, in der Mitte geknickte Streifen von Faltpapier oder gar Overhead-Folie in der Breite der Steckverbindung sind eine optimale Stütze, die jeder Steckverbindung eine große Stabilität verleiht. Im folgenden Link finden sich entsprechende Vorlagen: https:// www.haupt.ch/faltformen.
Erforderliche Berg- und Talfalten an den verschiedenen Modulen Ausnahmslos alle Module benötigen alle möglichen Bergfalten wie in der Tabelle von Seite 19 ersichtlich. Die Winkel zwischen zwei Bergfalten bestimmen, in welchem Winkel zwei Polyeder-Kanten beim fertigen Modell zusammenlaufen. Dieser Winkel zwischen zwei Bergfalten kann nicht vergrößert, sondern nur verkleinert werden, indem zwischen den Bergfalten eine Talfalte gefaltet wird. Dadurch wird der Winkel zwischen zwei Bergfalten innerhalb bestimmter Grenzen variabel und entsprechend individuell nach Bedarf einsetzbar. Die notwendigen Falten können per Hand oder mit dem Falzbein ausgeführt werden. Nehmen Sie sich Zeit für jede Ross- und Reiterfläche sowie für die Module. Achten Sie darauf, die Falten exakt auszuführen.
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Praktische Umsetzung: Zuschnitt, Faltungen und Farben
Abb. 3: Übertragung der Maße von Vorlage auf das Faltpapier
Abb. 4: Ausschnitt der Fünf- und Sechsecke
Besondere Talfalten und die Farben der Module Je nach Modulart werden aber nur die in der Tabelle angegebenen Talfalten benötigt. Es hat sich bewährt, die Faltmodule entsprechend ihrer Talfalten farblich zu kodieren. Dreiecke mit allen drei möglichen Talfalten werden in Hellblau dargestellt (siehe gegenüberliegende Seite). Werden bei Dreiecken nur zwei von drei möglichen Talfalten ausgefaltet, so wird türkisfarbenes Papier verwendet. Pinkfarbenes Papier wird für Dreiecke mit nur einer Talfalte eingesetzt. Entsprechendes gilt jeweils auch für Quadrate. Hier sind insgesamt fünf verschiedene Versionen möglich, die alle auch beim Modellbau zum Einsatz kommen. Bei den fünfeckigen und sechseckigen Faltmodulen wurden stets alle fünf bzw. sechs möglichen Talfalten genutzt. Die jeweilige Form kommt am besten zur Geltung, wenn sie einfarbig weiß ausgeführt wird, wie die Doppelseiten vor jedem Kapitel zeigen. Die Orientierung fällt mithilfe von Modulen, deren Farbe gleichzeitig die erforderlichen Talfalten anzeigen, leichter.
Eckige Ringschlüsse* und Modellnamen (Viel-Flach) Alle Module schließen sich zu geschlossenen, eckigen Ringen zusammen, deren Seiten bzw. Ecken abzählbar sind. Ein fünfzähliger Ringschluss bildet am Modell eine gedachte fünfeckige Fläche. Zählt man alle Ringschlüsse eines Modells zusammen, erhält man den Namen des Modells (z. B. 19-Flach, siehe Seite 20/21). Es gehört zu den staunenswerten Tatsachen, dass auf den ersten Blick ganz verschiedene Modelle die gleiche Anzahl von Flächen haben – und dabei völlig unterschiedliche Symmetrien besitzen.
Abweichende Sondergrößen von Ross und Reiter Für ganz wenige Modelle ist es notwendig, bei einzelnen Modulen von der Standard-Größe abzuweichen: Ross oder/und Reiter haben dann andere Größen als sonst angegeben. Sie sind mit dem Sonderzeichen ° besonders gekennzeichnet (etwa R07 32-Flach auf Seite 96 und R08 80-Flach auf Seite 98). Die genauen Größen für die entsprechenden Module finden Sie hier: https://www.haupt.ch/faltformen.
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Schwierigkeitsgrade und Zeitangaben Der eigenhändige Modellbau hängt erfahrungsgemäß stark von individuellen Begabungen, Erfahrungen und manchmal auch von der Tagesform ab. Für alle Modelle in FALTFORMEN sind Zeitangaben und Schwierigkeitsgrad angegeben. Sie geben nur eine Orientierung. Generell ist zu empfehlen, mit einfachen Modellen zu beginnen, und sich nach und nach mit zunehmendem Erfolg an schwierigere Formen zu begeben. * siehe auch Glossar Seite 166
Übersicht Module, Formen, Farben und Falten
Form
Seite
Dreieck
79
alle Talfalten
73
1 von 3 Talfalten
85
2 von 3 Talfalten
25
alle Talfalten
55
3 von 4 Talfalten
35
2 von 4 Talfalten (jede zweite)
25
2 von 4 Talfalten (2 benachbart)
35
1 von 4 Talfalten
Fünfeck
27
alle Talfalten
Sechseck
29
alle Talfalten
Quadrat
Farbe
Talfalten
Grafik Reiter
Foto Reiter
Grafik Ross
Foto Ross
Ross/Reiter
Foto Modul
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Aufbau der Modellseiten
Aufbau der Modellseiten
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Info Diese Beispielseite dient der Übersicht des Aufbaus für den Modellbau im folgenden Anleitungsteil. Jede Doppelseite folgt dem gleichen Schema. Dadurch wird die Orientierung für den eigenhändigen Nachbau erleichtert.
Hinweis zu 5–7 Maßstäbliche Größen der Grundflächen für Ross und Reiter können Sie unter dem Link https://www.haupt.ch/faltformen als 1:1-Kopiervorlagen herunterladen. Sofern für ein Modell nur eine Modul-Art mit gleich großen Ross- und Reiterblättern erforderlich ist, kann es in beliebiger Größe ausgeführt werden.
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1
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Modell-Nummer Buchstabe: Zuordnung zu einer Gruppe (nach technischer Besonderheit, z.B. Modelle aus Dreiecken, Quadraten, Fünfecken und Sechsecken) Zahl: fortlaufende Modell-Nummer
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Modell-Name/ Technische Besonderheit Beispiel: O05, 19-Flach. Gehört zu den O-Modellen, die vorwiegend aus orangen und gelben Quadraten hergestellt sind.
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Schema Modul/Hauptachse am Beispiel 19-Flach: Dieses Modell hat eine 3-zählige Hauptachse, hier senkrecht abgebildet mit dreieckigen Enden.
Aufbau der Modellseiten
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Ross-Grundflächen (schematisch) Ross-Grundflächen werden von Reiter-Grundflächen überdeckt und bilden den unteren Teil des Moduls.
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Piktogramme Reiter liegt in jedem Modul oben. Ross liegt in jedem Modul unten.
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Anzahl der Elemente Die beistehende Zahl gibt an, wie viele einzelne Blätter je Ross und Reiter für den Bau dieses Modells erforderlich sind. Siehe dazu auch Übersicht auf Seite 19.
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Schritt-für-Schritt-Anweisungen Sinngemäß ausführen, wie am Beispiel des 19-Flachs erklärt. Erste Schritte helfen beim Einstieg, der weitere Fortgang folgt. Gegebenenfalls wird auf ähnliche Modelle verwiesen. Abschließend eine ungefähre zeitliche Einschätzung.
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Schritt-für-Schritt-Zusammenbau Das Modell wie auf den Fotos der Reihenfolge nach zusammenbauen. Diese Schritte finden sich in den Schritt-für-Schritt-Anweisungen wieder.
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2
4
9 5
6x
6x
6
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Schema Modul/Nebenachsen Dieses Modell hat drei 2-zählige Nebenachsen, hier radial um die senkrechte Hauptachse dargestellt.
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Reiter-Grundflächen (schematisch) Reiter-Grundflächen liegen immer auf Ross-Grundflächen auf und sind als oberer Teil des Moduls sichtbar.
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N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
Alle vier N-Modelle haben quadratische Module mit zwei Talfalten (hellgrün). Je zwei Module gehören als Zwillingsmodule zusammen, die sich weiter zu 2 x 4, 2 x 5 oder 2 x 6 Modulen schlauchförmig verbinden lassen. Dabei ergeben sich entsprechend eine 4-zählige (N01), eine 5-zählige (N02) und eine 6-zählige (N03) Haupt-Symmetrieachse. Rechtwinklig finden sich die 2-zähligen Nebenachsen: vier bei N01, fünf bei N02 und sechs bei N03. Die Zähligkeit der Hauptachse entspricht bei den N-Modellen der Anzahl der 2-zähligen Nebenachsen. Das einfache Weiterzählen nach oben und unten hat praktische und geometrische Grenzen. Als Modell lassen sich in der gleichen Bauart das 9-Flach (3-zählige Hauptachse), das 21-Flach (7-zählige Hauptachse) und das 24-Flach (8-zählige Hauptachse) nur als Torso ausführen. Mit zunehmender Modellzahl ergeben sich immer mehr Bezüge (Konstruktion, Module, Symmetrien, Topologie) zwischen den Modellen, auf die in loser Folge im Anleitungstext verwiesen wird, wenn die Ähnlichkeiten besonders offensichtlich oder besonders beachtenswert sind. Alle Modelle in diesem Kapitel bilden eine eigene Baureihe für sich. Einige Anordnungen von Modulen finden sich bei Modellen in anderen Kapiteln wieder.
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N01
1
12-Flach
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
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3
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N01
12-Flach
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
12-Flach Erste Schritte Benötigt werden 16 hellgrüne Quadrate (8 x Ross und 8 x Reiter) sowie 4 dunkelblaue Quadrate (2 x Ross und 2 x Reiter). Bergund Talfalten nach nebenstehenden Grafiken falten. Ross und Reiter zu 8 hellgrünen und 2 dunkelblauen Modulen zusammensetzen. Das Modell zusammenbauen 4 hellgrüne Module zu einem ersten quadratischen Ringschluss verbinden (Abb. 1). 2 weitere hellgrüne Module werden angefügt (Abb. 2), die letzten 2 hellgrünen ebenfalls, sodass ein schlauchförmiges Gebilde mit 4 Spitzen an beiden Öffnungen entsteht (Abb. 3 und 4). An diese hellgrünen Spitzen werden auf jeder Seite je ein dunkelblaues Modul angefügt. Das so erhaltene 12-Flach (Abb. 5) hat eine 4-zählige Haupt-Symmetrieachse. Ähnliches Modell Mit 6 hellgrünen Modulen lässt sich eine ähnliche Form (9-Flach) mit 3-zähliger Hauptachse bauen, die aber nur als Torso ausgeführt werden kann (Abb. 6 mit N01). Schwierigkeitsgrad: leicht einfacher Zuschnitt, einfache Montage; Zeitaufwand: ca. 45 Minuten
8x
8x
2x
2x
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N02
15-Flach
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
1
2
3
4
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5
N02
15-Flach
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
15-Flach Erste Schritte Benötigt werden 20 hellgrüne Quadrate (10 x Ross und 10 x Reiter) sowie 4 violette Fünfecke (2 x Ross und 2 x Reiter). Berg- und Talfalten nach nebenstehenden Grafiken falten. Ross und Reiter zu 10 hellgrünen und 2 violetten Modulen zusammensetzen. Das Modell zusammenbauen 6 hellgrüne Module zu ersten quadratischen Ringschlüssen verbinden (Abb. 1), die weiteren hellgrünen Module anfügen (Abb. 2), sodass ein schlauchförmiges Gebilde mit 5 Spitzen an beiden Öffnungen entsteht (Abb. 3). An diese hellgrünen Spitzen werden auf jeder Seite je ein violettes Modul angefügt. Das so erhaltene 15-Flach (Abb. 4) hat eine 5-zählige Haupt-Symmetrieachse. Abb. 5 zeigt N01 und N02 zusammen. Schwierigkeitsgrad: leicht einfacher Zuschnitt, einfache Montage; Zeitaufwand: ca. 1 Stunde
10 x
10 x
2x
2x
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N03
18-Flach
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
1
2
3
4
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N03
18-Flach
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
18-Flach Erste Schritte Benötigt werden 24 hellgrüne Quadrate (12 x Ross und 12 x Reiter) sowie 4 moosgrüne Sechsecke (2 x Ross und 2 x Reiter). Berg- und Talfalten nach nebenstehenden Grafiken falten. Ross und Reiter zu 12 hellgrünen und 2 moosgrünen Modulen verarbeiten. Das Modell zusammenbauen 8 hellgrüne Module zu ersten quadratischen Ringschlüssen verbinden (Abb. 1), weitere hellgrüne Module anfügen, sodass ein schlauchförmiges Gebilde mit 6 Spitzen an beiden Öffnungen entsteht (Abb. 2). An diese hellgrünen Spitzen auf jeder Seite je ein moosgrünes Modul anfügen. Das so erhaltene 18-Flach (Abb. 3) hat eine 6-zählige Haupt-Symmetrieachse. Abb. 4 zeigt N01, N02 und N03 zusammen. Schwierigkeitsgrad: leicht bis mittelschwer Zuschnitt: erste Anforderungen; einfache Montage; Zeitaufwand: ca. 45 Minuten
12 x
12 x
2x
2x
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N04
21-Flach (Torso)
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
1
2
3
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N04
21-Flach (Torso)
N-Modelle: aus Quadraten (hellgrün)
21-Flach (Torso) Erste Schritte Benötigt werden 28 hellgrüne Quadrate (14 x Ross und 14 x Reiter). Berg- und Talfalten nach nebenstehenden Grafiken falten. Ross und Reiter zu 14 hellgrünen Modulen verbinden. Das Modell zusammenbauen 8 hellgrüne Module zu ersten quadratischen Ringschlüssen verbinden, die weiteren hellgrünen Module anfügen (Abb. 1), sodass ein schlauchförmiges Gebilde mit 7 Spitzen an beiden Öffnungen entsteht (Abb. 2). Die so erhaltene Form ist ohne 7-eckige Schlussmodule ein Torso (21-Flach) mit einer 7-zähligen Haupt-Symmetrieachse. Ähnliches Modell Mit 16 hellgrünen Modulen lässt sich eine ähnliche Form (24-Flach) mit 8-zähliger Hauptachse bauen, die aber nur als Torso ausgeführt werden kann (Abb. 3, ganz rechts im Bild: N03). Schwierigkeitsgrad: leicht einfacher Zuschnitt, einfache Montage; Zeitaufwand: ca. 45 Minuten 14 x
14 x
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Anhang
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Über den Autor: Alexander Heinz
Alexander Heinz Alexander Heinz (*1968) ist Buchbinder-Meister und studierte Kunst (LA) an der TU Dortmund. Er unterrichtet Buchbinden und Geometrie an einer Schule in Nordrhein-Westfalen, leitet Workshops für Jugendliche und Erwachsene, hält Vorträge im Hochschulbereich und in der Erwachsenenbildung in Deutschland, Österreich und der Schweiz. Alexander Heinz ist Autor zahlreicher Artikel über Polyeder-Formen und andere Themen der Geometrie. Mit seinen freien Modellbau-Projekten verbindet er Handwerk, Kunst und Geometrie. Veröffentlichungen (Artikel): • „Polyederfalten als Auswahltest: Studienplatzbewerbung für Zahnmedizin an der Universität Witten/ Herdecke“ (IBDG, 2/2020, Informationsblätter der Geometrie, Mitteilungsorgan des Österreichischen Fachverbands der Geometrie, ADG). • „Aus der Zeit gefallen: Polyeder als momentane Durchgangsstationen von Transformationen. Ein Beitrag zur Polyeder-Morphogenese“ (IBDG, 1/2020) • „Nach den Sternen greifen: Räumliche Sternbilder“ (IBDG, 1/2018) • „Ist die Erde ein Stern? Geometrische und geologische Sicht auf die Erdform“ (IBDG, 2/2017) • „Das Runde muss ins Eckige: Ballformen und ihre Grundlagen“ (IBDG, 1/2017)
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Über den Autor: Alexander Heinz
• „Sonne, Monde, Wandelsterne: Ein Planetarium aus astronomischen Bastelbogen“ (IBDG, 2/2013) • „Faltpolyeder: eine west-östliche Verbindung“ (IBDG, 2/2012) • „Mit Krummen und Geraden auf der Überholspur“ (erziehungsKUNST, 3/2011, S. 32–35) • „Geometrie in Bewegung: 80 Jahre Schatz‘sche Umstülpung“ (IBDG, 1/2010) • „Ein Stein kommt ins Rollen. Oloid-Woche in Basel“ (IBDG, 2/2009) • „Platonische Körper erleben. Gast-Unterricht in einer 8. Klasse“ (erziehungsKUNST, 7/8/2007, S. 812–815) • „Kulturgeschichtliche und geometrische Aspekte zur Entwicklung des Raumbewusstseins“ (Mensch und Architektur, 11/2007, S. 58–63) Inhaltliche Schwerpunkte: • Reguläre und halbreguläre Polyeder als Stationen von Verwandlungs-Prozessen (Polyeder-Morphogenese) • Retro-Perspektive, Camera obscura / Laterna magica, Impossibles (optische Täuschungen) • Umstülpung und umstülpbare Modelle, das Oloid und andere Raum-Zeit-Formen, • Polyeder im Alltag und Kulturgeschichte der Polyeder-Formen
Modellbau: • Reguläre und halbreguläre Polyeder, Kugelpolyeder, Oloid und ähnliche Formen • Bewegliche und umstülpbare Modelle • Begehbare Formen • Handmodelle (Pädagogik) • Präsentations-Modelle (Didaktik, Messe) • Bastelbogen • Bewegliche Bilder Kurse, Vorträge und Ausstellungen: Sternwarte Recklinghausen, Roemer-und-Pelizaeus-Museum Hildesheim, Universität Freiburg im Breisgau, PH Fribourg, Universität Innsbruck, PH Steiermark/Graz, TU Graz, PH Salzburg, PH Kärnten/Klagenfurt, OLMA-Messe St Gallen. Im Rahmen von Tagungen der DGfGG (Deutsche Gesellschaft für Geometrie und Grafik): TU München, TU Dresden, Karlsruher Institut für Technologie (KIT, vormals Universität Karlsruhe) Mehr Informationen unter: www.geomenta.com
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Danksagung
Danksagung
Dem Haupt Verlag, namentlich Frau Heidi Müller, möchte ich danken für die gute Zusammenarbeit. Bei Frank Georgy bedanke ich mich für die bewährte und gute Abstimmung in der Buchgestaltung. Danke auch für die freundlichen und konstruktiven Rückmeldungen und Anregungen meiner Leserinnen und Leser von FALTPOLYEDER. Der lang jährigen Zusammenarbeit mit den Kollegen des österreichischen Fachverbands der Geometrie (ADG) verdanke ich wertvolle Anregungen. Insbesondere durch den Austausch auf den jährlichen Strobl-Tagungen wie auch gelegentlich beim Tag der Geometrie der TU in Graz. Mein besonderer Dank geht an Friedhelm Kürpig für das Vorwort. Für verschiedene hilfreiche Anregungen und Hilfestellungen bedanke ich mich bei Günter Maresch (Universität Salzburg). Auch die Begegnungen mit Dozenten und Fachlehrern für Mathematik waren für mich stets eine Bereicherung an der Universität Karlsruhe (heute KIT), der TU Dresden sowie der TU München, der Universität Freiburg im Breisgau und der PH Fribourg/ CH. Vielen Studierenden und Lehrenden im Fachbereich Kunst der TU Dortmund verdanke ich inhaltlich einen weitreichenden Austausch über den Zusammenhang von Handwerk, Kunst und Wissenschaft.
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Ein ganz besonderer Dank geht an meine Familie: an meine Eltern, durch die ich in eine von Kunst und Gestaltung geprägte Umgebung hineinwachsen durfte, an meine Frau und meine Kinder, die meine Begeisterung all die Jahre mit Verständnis und Geduld mitgetragen haben, durch alle damit verbundenen Höhen und Tiefen. Michael Doman (Kampen/Sylt) hat meine Arbeit über Jahre mit Interesse begleitet, auch durch wertvolle Hinweise und regen Gedankenaustausch zur Polyeder-Geometrie. Dafür herzlichen Dank! Martin Mahle (Eichenau) und Bruno Hoffmann (Lehrte) verdanke ich originelle Beobachtungen und Anregungen. Gert Hansen (Kopenhagen), Ueli Wittorf (Zürich), Fred Voss (Hannover), Jürgen Blasberg (Hagen), Christoph Bednarz (Bochum), Alexander Junge (Berlin), Niels Junge (Hannover) und Rita Baumgart † (Essen) danke ich für hilfreiche Begegnungen. Schließlich bin ich sehr dankbar, dass mir die noch lebenden und bereits verstorbenen Lehrerinnen und Lehrer aus meiner Schulzeit an der Rudolf-Steiner-Schule in Dortmund erste reiche Grundlagen der Geometrie vermittelt haben. Ich danke auch meinen Schülerinnen und Schülern an dieser Schule, die die Faltpolyeder mit regem Interesse aufgenommen und stellenweise auch selbstständig weitergeführt haben.
IMPRESSUM 1. Auflage: 2021 ISBN 978-3-258-60238-7 Text und Fotos, wo nicht anders angegeben: Alexander Heinz (geomenta.com), D-Herdecke Umschlag, Gestaltung und Satz: Frank Georgy (kopfsprung.de), D-Köln Illustrationen: Alexander Heinz, D-Herdecke Lektorat: Claudia Huboi, (kreisrund-redaktion.de), D-Köln Alle Rechte vorbehalten. Copyright © 2021 Haupt Verlag, Bern Jede Art der Vervielfältigung ohne Genehmigung des Verlags ist unzulässig. Gedruckt in Deutschland.
Wir verwenden FSC-Papier. FSC sichert die Nutzung der Wälder gemäß sozialen, ökonomischen und ökologischen Kriterien.
Diese Publikation ist in der Deutschen Nationalbibliografie verzeichnet. Mehr Informationen dazu finden Sie unter http://dnb.dnb.de. Der Haupt Verlag wird vom Bundesamt für Kultur mit einem Strukturbeitrag für die Jahre 2021–2024 unterstützt. Wir verlegen unsere Bücher mit Freude und großem Engagement. Daher freuen wir uns immer über Anregungen zum Programm und schätzen Hinweise auf Fehler im Buch, sollten uns welche unterlaufen sein. Falls Sie regelmäßig Informationen über die aktuellen Titel im Bereich Gestalten erhalten möchten, folgen Sie uns über Social Media oder bleiben Sie via Newsletter auf dem neuesten Stand! www.haupt.ch Die Modelle dürfen nicht zu gewerblichen Zwecken nachgearbeitet und verkauft werden.
Räumliche Strukturen spielen in vielen Lebensbereichen eine wichtige Rolle, sei dies in Technik, Wissenschaft, Handwerk oder Kunst. Alexander Heinz setzt in seinem zweiten Buch die Reihe der Modelle aus dem Vorgängerwerk „Faltpolyeder“ fort, ohne dass man dazu den ersten Band benötigt. Die meisten Faltformen sind technisch weit weniger anspruchsvoll und ergeben sich aus der freien Kombinierbarkeit von Dreiecken, Quadraten, Fünfecken und Sechsecken, die modular zusammengefügt werden – in einer Technik, die der Autor selbst entwickelt hat. Dem Blick auf die Symmetrieachsen kommt dabei eine besondere Bedeutung zu, weil sich einzelne Modelle dadurch gut verstehen und unterscheiden lassen. Weitere didaktische Hinweise machen dieses Buch praktisch einsetzbar sowohl in der Schule als auch in kreativen Workshops, in denen handwerkliches Geschick und Raumerleben im Zentrum stehen.