Exercisis d’estimació de parámetres PREGUNTA 1. En una muestra de 360 personas el nivel medio de glucemia es 5 mmol/l. y la desviación estándar es 0,5. ¿Cuál es el intervalo de referencia al 95% para los valores de glucemia en la población origen?: 1) 4.28 – 5.72 2) 4.74 – 5.26 3) 4.02 – 5.98 4) 4.75 – 5.25 PREGUNTA 2. El percentil 90 de la talla de los recién nacidos de una determinada población es 53 cm. Esto quiere decir que: 1) El 90% de los recién nacidos miden más de 53 cm. 2) El 10 % de los recién nacidos miden más de 53 cm. 3) El 90 % de los recién nacidos miden 53 cm. 4) El 10 % de los recién nacidos miden menos de 53 cm. PREGUNTA 3. ¿Qué significa que el intervalo de confianza de una probabilidad tenga una confianza del 95%? 1) El valor de la probabilidad se encuentra dentro del intervalo con probabilidad 0.95 2) Hay una probabilidad de 0.95 de que la probabilidad del suceso este realmente dentro de este intervalo. 3) Hay una probabilidad 0.95 de que el intervalo considerado sea uno de los que contienen el verdadero valor del probabilidad del suceso. 4) El 95% de los valores de la frecuencia observada en la muestra estarán dentro del intervalo. PREGUNTA 4. En una muestra sobre 78 pacientes se prueba la eficacia de un nuevo fármaco. Al final del tratamiento, 52 pacientes muestran una evolución positiva, mejorando apreciablemente. Estima la eficacia del fármaco con una confianza del 95%. 1) 0.57 – 0.77 2) 0.52 – 0.82 3) 0.59 – 0.75 4) 0.48 – 0.96 PREGUNTA 5. En un ensayo clínico, se estima el efecto del tratamiento mediante el intervalo de confianza de la diferencia de probabilidades dado que se trata de evaluar si el tratamiento aumenta el porcentaje de mejoras. El resultado obtenido es (-0.05, 0.22), con una confianza de 0.95. ¿Qué valor de p correspondería a este resultado? 1) p < 0.05 2) p < 0.001 3) p > 0.05 4) p = 0.05
Ejercicios de estimación de parámetros
1
PREGUNTA 6. En función del IC que se indica en la pregunta anterior, ¿qué comentario es más indicado? 1) El tratamiento no es efectivo 2) El tratamiento muestra una efectividad escasa. Debemos aumentar el tamaño muestral 3) La efectividad del tratamiento no queda demostrada. Debemos aumentar el tamaño muestral 4) Es bastante probable que el tratamiento sea efectivo. Debemos aumentar el tamaño muestral PREGUNTA 7 En un ensayo clínico, se quiere determinar la sensibilidad de un método diagnóstico. Los resultados obtenidos son: Tabla de contingencia DIAGNOST * GRUPO Recuento
DIAGNOST
(+) (-)
Total
GRUPO Enfermos Sanos 72 33 12 83 84 116
Total 105 95 200
Estima la sensibilidad con una confianza del 95%. 1) 2) 3) 4)
(0.63, 0.80) (0.79, 0.93) (0.65, 0.78) (0.81, 0.91)
PREGUNTA 8 En una muestra de 25 pacientes se determina una media de 23.4mg/L con una desviación típica de 3mg/L. De acuerdo con esta información, se quiere determinar si podemos admitir que la media poblacional es superior a 23mg/L. ¿Qué conclusión es más adecuada de acuerdo con estos datos? 1) El IC al 95% de la media poblacional indica que no podemos concluir que la media poblacional sea superior a 23mg/L 2) La media muestral es 25mg/L, por lo tanto indica que la media poblacional probablemente es superior a 23mg/L. El IC al 95% de la media poblacional indica que la media es superior al límite indicado. 3) Para analizar dichos datos es necesario conocer datos de un grupo control y calcular la diferencia de medias. 4) Deberíamos calcular el IC al 95% de la media poblacional, pero esto no es posible con los datos que proporciona el enunciado. PREGUNTA 9. En un ensayo clínico se ha estudiado el porcentaje de mejoras del grupo de tratamiento respecto del grupo control utilizando la diferencia de probabilidades. ¿Qué otra técnica podría emplearse? 1) IC del cociente de probabilidades 2) IC del odds ratio 3) IC de la diferencia de medias 4) IC de la probabilidad de cada grupo.
Ejercicios de estimación de parámetros
2
PREGUNTA 10. Queremos estimar la proporción de persones que, en un determinado grupo de riesgo, desarrollan una enfermedad. Cuantos individuos seria necesario estudiar para obtener una estimación con una precisión de ±0.03. Por estudios previos, se ha determinado que esta proporción estará alrededor del 20%. 1) 384 2) 683 3) 725 4) 1322 PREGUNTA 11. En un ensayo clínico hemos evaluado el porcentaje de mejoras en un grupo control y en uno de tratamiento. La estimación de la diferencia de proporciones entre las mejoras del grupo de tratamiento y el control nos da un intervalo de confianza (95%) entre -0.12 y 0.02. ¿Qué conclusión es más adecuada? 1) 2) 3) 4)
El efecto del tratamiento no es significativo Deberíamos estimar la diferencia de medias Es probable que el tratamiento sea efectivo Deberíamos calcular el riesgo relativo
PREGUNTA 12 Un estudio epidemológico de casos y controles proporciona los resultados siguientes: Tabla de contingencia EXPOSICI * GRUPO Recuento
EXPOSICI
Expuestos No expuestos
Total
GRUPO Casos Controles 65 33 45 74 110 107
Total 98 119 217
Calcula una estimación (95% de confianza) de la proporción de casos que no han estado expuestos: 1) (0.32, 0.50) 2) (0.35, 0.47) 3) (0.30,0.52) 4) No se puede calcular PREGUNTA 13 En una referencia bibliográfica se comenta que alrededor del 23% de los individuos que siguen una determinada medicación presentan problemas de concentración y motricidad fina. ¿Cuantos individuos serian necesarios para estimar la probabilidad de padecer este tipo de trastornos con una precisión del 2% y una confianza de 0.97? 1) 2085 2) 1701 3) 1923 4) 2132
Ejercicios de estimación de parámetros
3
PREGUNTA 14 En una muestra de 234 pacientes determinamos la concentración sérica de un metabolito obteniendo una media de 122.7 mg/ml con una d.t. de 12.2 mg/ml. ¿Cuántos individuos sería necesario estudiar para estimar el valor medio poblacional de este metabolito con una precisión de 0.5 mg/ml. y una confianza del 95%? 1) 2) 3) 4)
1234 3156 158 2287
PREGUNTA 15. Queremos demostrar que la exposición a un determinado agente químico duplica la proporción de casos de dermatitis en una determinada población. En un ensayo clínico controlado, los resultados que se obtienen son: Tabla de contingencia EXPUESTO * DERMATIT Recuento
EXPUESTO Total
Si No
DERMATIT Si No 33 12 15 18 48 30
Total 45 33 78
Estimación de riesgo
Razón de las ventajas para EXPUESTO (Si / No) Para la cohorte DERMATIT = Si Para la cohorte DERMATIT = No N de casos válidos
Valor
Intervalo de confianza al 95% Inferior Superior
3,300
1,274
8,549
1,613 ,489 78
1,067 ,275
2,439 ,870
¿Qué conclusión es más apropiada? 1) El valor de Odds Ratio (3.3) indica que la proporción de dermatitis aumenta más de tres veces 2) El intervalo de confianza del riesgo relativo (1.067 – 2.439) permite concluir que la exposición duplica el porcentaje de dermatitis. 3) El intervalo de confianza del riesgo relativo (1.067 – 2.439) no permite concluir que la exposición duplica el porcentaje de dermatitis. 4) El valor de riesgo relativo (1.613) no permite concluir que la exposición duplica el porcentaje de dermatitis.
Ejercicios de estimación de parámetros
4
PREGUNTA 16 En un estudio de casos y controles, se observa que un 25.6% de los casos (n=125) estaban expuestos, mientras que en los controles (n=145) este porcentaje era del 12.4%. El riesgo relativo de acuerdo con estos datos. 1) 2.43 2) 2.06 3) 1.51 4) 3.43 PREGUNTA 17. En un estudio de casos y controles se obtienen los resultados siguientes: Tabla de contingencia EXPOSATS * MALALTIA
EXPOSATS
Si No
Total
Recuento % de MALALTIA Recuento % de MALALTIA Recuento % de MALALTIA
MALALTIA No 45 11 57,0% 34,4% 34 21 43,0% 65,6% 79 32 100,0% 100,0% Si
Total 56 50,5% 55 49,5% 111 100,0%
Estimación de riesgo
Razón de las ventajas para EXPOSATS (Si / No) Para la cohorte MALALTIA = Si Para la cohorte MALALTIA = No N de casos válidos
Valor 2,527 1,300 ,514 111
Intervalo de confianza al 95% Inferior Superior 1,075 5,939 1,018 1,660 ,275 ,963
¿Qué interpretación es más adecuada? 1) Existe un riesgo importante asociado a la exposición (OR=2.527) 2) Deberíamos aumentar el tamaño muestral para poder sacar conclusiones (RR=1.3, IC=(1.018 – 1.660)) 3) El riesgo no es muy importante (OR=2.527, IC=(1.075 – 5.939)) 4) Deberíamos aumentar el tamaño muestral para poder sacar conclusiones (OR=2.527, IC=(1.075 – 5.939)) PREGUNTA 18. ¿Qué cálculo deberíamos hacer para estimar el efecto de un tratamiento para reducir el nivel de colesterol? 1) 2) 3) 4)
Intervalo de confianza del riesgo relativo Intervalo de confianza de la media muestral Intervalo de confianza de la diferencia de proporciones Intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales
Ejercicios de estimación de parámetros
5
PREGUNTA 19. ¿Qué cálculo deberíamos hacer para estimar la posible relación entre dos fenotipos (A/a y B/b) en una determinada población? 1) 2) 3) 4)
Intervalo de confianza del odds ratio Intervalo de confianza de la media muestral Intervalo de confianza de la diferencia de proporciones Intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales
PREGUNTA 20. Queremos evaluar el riesgo de recaída en infartos de miocardio en función del nivel de colesterol medido en percentiles respecto a la distribución en personas normales. Para ello, disponemos de datos de pacientes que han recaido y pacientes que no han presentado problemas después del primer infarto, midiendo su percentil de colesterol. Los resultados son: Recaída Percentil No Si 99 3 9 95 7 15 90 8 11 88 12 8 En función de estos resultados, ¿qué valor de riesgo relativo darías si queremos indicar el riesgo asociado a un nivel de colesterol en el percentil 99 respecto del riesgo en el percentil 90? 1) 2.18 2) 0.46 3) 1.29 4) 0.77 PREGUNTA 21. En un estudio univariante sobre el efecto de diversas variables sobre la probabilidad de padecer una enfermedad, se obtienen los siguientes resultados: Variable Edad (Incremento de 5 años) Colesterol (Alto vs Bajo) Sexo (Hombre vs Mujer) Hipertensión Hiperuricemia
OR (IC 95%) 0.78 1.23 1.32 3.65 0.53 0.78 0.94 5.64 0.90 2.34
De acuerdo con esto resultados, ¿qué variables pueden considerarse como posibles factores de riesgo? 1) Todas 2) Todas excepto la edad, el sexo y la hiperuricemia 3) El colesterol y la hipertensión 4) El colesterol y el sexo
Ejercicios de estimación de parámetros
6
PREGUNTA 22. En un estudio univariante sobre el efecto de diversas variables sobre la probabilidad de padecer una enfermedad, se obtienen los siguientes resultados: Variable OR (IC 95%) Edad (Incremento de 5 años) 0.78 2.23 Colesterol (Alto vs Bajo) 1.32 3.65 Sexo (Hombre vs Mujer) 0.53 0.78 Hipertensión 2.34 5.64 Hiperuricemia 1.90 8.34 Genotipo (AA vs. Aa) 0.23 0.57 De acuerdo con esto resultados, ¿podemos aceptar la hipótesis de que el genotipo no es un factor de riesgo para esta enfermedad? 1) No, el genotipo AA se asocia con un riesgo elevado de padecer la enfermedad 2) No, el genotipo mutante Aa se asocia con una mayor probabilidad de padecer la enfermedad 3) Si, el genotipo no es un factor de riesgo en este caso. 4) No, el genotipo, junto con la edad, son factores de riesgo en este caso. PREGUNTA 23. Estudiamos el posible efecto de la mutación en un gen determinado como factor de riesgo en el desarrollo de una variedad maligna de tumor. Mediante un estudio genético se seleccionan individuos mutantes e individuos normales, estudiando la frecuencia de aparición de tumores en los cinco años siguientes. De acuerdo con este planteamiento, ¿qué tipo de análisis te parece más adecuado? 1) Es un diseño de casos y controles. Por lo tanto, estimaría el riesgo relativo calculando el odds ratio y su correspondiente intervalo de confianza. 2) Es un diseño de casos y controles. Por lo tanto no tiene sentido estimar el riesgo relativo. Es mejor estimar la diferencia de proporciones. 3) Es un diseño de cohortes. Por lo tanto, estimaría el riesgo relativo y su correspondiente intervalo de confianza. 4) El diseño no está claro. Deberíamos conocer los datos antes de decidir qué análisis es más adecuado.
Ejercicios de estimación de parámetros
7
PREGUNTA 24 Disponemos de los siguientes resultados sobre la concentración de un metabolito en función del fenotipo del individuo: Concentración del metabolito (mg/ml.) n Media Desviación típica 32 8.7 2.3 15 10.4 2.6
Fenotipo A (Salvaje) a (Muntante)
Estima la diferencia de medias entre ambos fenotipos asumiendo varianzas iguales. 1) 2) 3) 4)
(0.44, 2.96) (-0.04, 3.94) (0.19, 3.21) (0.20, 3.02)
PREGUNTA 25 En un ensayo clínico se evalúa el posible efecto de un tratamiento para bajar la concentración de un metabolito en pacientes que muestran una elevación patológica del mismo. Los resultados obtenidos son: Estadísticos de grupo
CONC
GRUP Control Tractament
N 24 19
Media 49,2 47,9
Desviación típ. 3,1 2,6
Error típ. de la media ,6 ,6
Estima el efecto del tratamiento asumiendo varianzas iguales. 1) 2) 3) 4)
(-0.49, 3.09) (-0.43, 3.04) (-0.51, 3.13) (-0.41, 3.02)
Ejercicios de estimación de parámetros
8
PREGUNTA 26 En un ensayo clínico se evalúa el posible efecto de un tratamiento para bajar la concentración de un metabolito en pacientes que muestran una elevación patológica del mismo. Se considerará que el tratamiento es efectivo si logra disminuir en más de 1 unidad la concentración media de los pacientes tratados. Los resultados obtenidos son: Prueba de muestras independientes Prueba de Levene para la igualdad de varianzas
CONC
Se han asumido varianzas iguales No se han asumido varianzas iguales
F 11,744
Sig. ,001
Prueba T para la igualdad de medias
t
gl
Sig. (bilateral)
Diferencia de medias
Error típ. de la diferencia
95% Intervalo de confianza para la diferencia Inferior Superior
3,008
41
,004
4,8271
1,60476
1,58624
8,06799
2,773
23,427
,011
4,8271
1,74067
1,22991
8,42433
De acuerdo con este resultado, ¿qué interpretación es más correcta? 1) El IC de la diferencia de medias prueba que el tratamiento es efectivo ya que no incluye valor cero 2) El IC de la diferencia de medias prueba que el tratamiento es efectivo ya que incluye valor 3 3) El IC (1.59, 8.07) de la diferencia de medias prueba que el tratamiento alcanza efectividad buscada. 4) El IC (1.23, 8.42) de la diferencia de medias prueba que el tratamiento alcanza efectividad buscada.
el el la la
PREGUNTA 27 En un ensayo clínico, estimamos un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales del grupo de tratamiento respecto al grupo control entre -5.23 y -6.75 con un 95% de confianza. ¿Qué interpretación te parece más adecuada? 1) El tratamiento consigue disminuir de forma significativa la concentración, aunque deberíamos aumentar el tamaño muestral para precisar el efecto. 2) El tratamiento consigue aumentar de forma significativa la concentración. 3) El tratamiento no tiene un efecto significativo, aunque deberíamos aumentar el tamaño muestral para precisar el efecto. 4) El tratamiento no tiene un efecto significativo.
Ejercicios de estimación de parámetros
9
PREGUNTA 28 En un estudio de casos y controles queremos validar la hipótesis de que la exposición a un determinado agente contaminante produce un aumento de más de 2 veces en la probabilidad de padecer una alteración dermatológica. Los resultados del estudio son: Estimación de riesgo
Razón de las ventajas para EXPOSICI (Expuestos / No expuestos) Para la cohorte ENFERMO = Enfermos Para la cohorte ENFERMO = No enfermos N de casos válidos
Valor
Intervalo de confianza al 95% Inferior Superior
7,667
2,739
21,460
3,157 ,412 76
1,691 ,247
5,892 ,686
¿Qué interpretación es más adecuada? 1) La exposición es un factor de riesgo, pero no tan importante como indica la hipótesis 2) La exposición no es un factor de riesgo 3) De acuerdo con el IC del riesgo relativo, no podemos concluir que se produzca un aumento de más de 2 veces en la probabilidad de padecer una alteración dermatológica debido a la exposición. 4) La exposición se asocia significativamente con un aumento de más de 2 veces de la probabilidad de padecer el problema dermatológico (OR=7.7, IC = (2.74, 21.46)). Sin embargo, sería conveniente aumentar el tamaño muestral para obtener una estimación más precisa. PREGUNTA 29 Queremos estudiar la posible relación entre la dieta rica en grasas y los trastornos cardiovasculares. Para ello, establecemos un ensayo clínico en ratones de laboratorio con los siguientes resultados: Tabla de contingencia Problema cardiovascular * Tipo de dieta Recuento
Problema cardiovascular Total
Si No
Tipo de dieta Grasa No grasa 25 7 11 22 36 29
Total 32 33 65
De acuerdo con este resultado, ¿qué valor de riesgo relativo calcularías? 1) 2) 3) 4)
2.88 7.14 2.34 5.34
Ejercicios de estimación de parámetros
10
PREGUNTA 30 Una enfermedad afecta a veinte de cada cien mil individuos nacidos de madres portadoras de una mutación en un gen determinado. Estamos interesados en evaluar si esta mutación puede considerarse asociada a la aparición de la enfermedad. ¿Cuál de los siguientes comentarios es más adecuado? 1) La prevalencia de la enfermedad es muy baja. No puede considerarse que haya una asociación significativa. 2) Deberíamos estudiar qué sucede en los nacimientos de madres normales. 3) Deberíamos estimar la frecuencia de madres normales en los niños nacidos con la enfermedad. 4) Dado que la prevalencia es muy baja, podemos utilizar el odds ratio como estimación del riesgo relativo. Debemos diseñar un estudio de cohortes, teniendo en cuenta si los nacidos presentan o no la enfermedad y determinar si su madre presentaba o no la mutación.
Ejercicios de estimación de parámetros
11
SOLUCIONES Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Soluci贸n 3 2 3 1 3 3 2 1 1 2 1 1 1 4 3
Ejercicios de estimaci贸n de par谩metros
Pregunta 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Soluci贸n 1 4 4 3 1 4 2 3 3 1 4 1 4 1 2
12
Taula de la funció de distribució de la t d’Student g.ll. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.55 0.15838 0.14213 0.1366 0.13383 0.13218 0.13108 0.13029 0.12971 0.12925
0.60 0.32492 0.28868 0.27667 0.27072 0.26718 0.26483 0.26317 0.26192 0.26096
0.65 0.50953 0.44475 0.4242 0.41416 0.40823 0.40431 0.40154 0.39947 0.39787
0.70 0.72654 0.61721 0.58439 0.56865 0.55943 0.55338 0.54911 0.54593 0.54348
0.75 1. 0.8165 0.76489 0.7407 0.72669 0.71756 0.71114 0.70639 0.70272
0.80 1.3764 1.0607 0.97847 0.94096 0.91954 0.9057 0.89603 0.88889 0.8834
0.85 1.9626 1.3862 1.2498 1.1896 1.1558 1.1342 1.1192 1.1081 1.0997
0.90 3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.383
0.95 6.3138 2.92 2.3534 2.1318 2.015 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331
0.975 12.706 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.306 2.2622
0.99 31.821 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.998 2.8965 2.8214
0.995 63.657 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0.12889 0.12859 0.12835 0.12814 0.12796 0.12781 0.12767 0.12755 0.12745 0.12735
0.26018 0.25956 0.25903 0.25859 0.25821 0.25789 0.2576 0.25735 0.25712 0.25692
0.39659 0.39555 0.39469 0.39396 0.39333 0.39279 0.39232 0.3919 0.39153 0.3912
0.54153 0.53994 0.53862 0.5375 0.53655 0.53573 0.53501 0.53438 0.53382 0.53331
0.69981 0.69745 0.69548 0.69383 0.69242 0.6912 0.69013 0.6892 0.68836 0.68762
0.87906 0.87553 0.87261 0.87015 0.86805 0.86624 0.86467 0.86328 0.86205 0.86095
1.0931 1.0877 1.0832 1.0795 1.0763 1.0735 1.0711 1.069 1.0672 1.0655
1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.345 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277
1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291
2.2281 2.201 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.093
2.7638 2.7181 2.681 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395
3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
0.12727 0.12719 0.12712 0.12706 0.127 0.12694 0.12689 0.12685 0.12681 0.12677
0.25674 0.25658 0.25643 0.2563 0.25617 0.25606 0.25595 0.25586 0.25577 0.25568
0.39091 0.39064 0.39039 0.39017 0.38997 0.38978 0.38961 0.38945 0.3893 0.38916
0.53286 0.53246 0.53208 0.53175 0.53144 0.53115 0.53089 0.53065 0.53042 0.53021
0.68695 0.68635 0.68581 0.68531 0.68485 0.68443 0.68404 0.68368 0.68335 0.68304
0.85996 0.85907 0.85827 0.85753 0.85686 0.85624 0.85567 0.85514 0.85465 0.85419
1.064 1.0627 1.0614 1.0603 1.0593 1.0584 1.0575 1.0567 1.056 1.0553
1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.315 1.3137 1.3125 1.3114
1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991
2.086 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452
2.528 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.462
2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
0.12673 0.1267 0.12666 0.12663 0.1266 0.12658 0.12655 0.12653 0.1265 0.12648
0.25561 0.25553 0.25546 0.2554 0.25534 0.25528 0.25523 0.25518 0.25513 0.25508
0.38903 0.38891 0.3888 0.38869 0.38859 0.3885 0.38841 0.38833 0.38825 0.38817
0.53002 0.52984 0.52967 0.5295 0.52935 0.52921 0.52908 0.52895 0.52883 0.52871
0.68276 0.68249 0.68223 0.682 0.68177 0.68156 0.68137 0.68118 0.681 0.68083
0.85377 0.85337 0.853 0.85265 0.85232 0.85201 0.85172 0.85144 0.85118 0.85094
1.0547 1.0541 1.0535 1.053 1.0525 1.052 1.0516 1.0512 1.0508 1.0504
1.3104 1.3095 1.3086 1.3077 1.307 1.3062 1.3055 1.3049 1.3042 1.3036
1.6973 1.6955 1.6939 1.6924 1.6909 1.6896 1.6883 1.6871 1.686 1.6849
2.0423 2.0395 2.0369 2.0345 2.0322 2.0301 2.0281 2.0262 2.0244 2.0227
2.4573 2.4528 2.4487 2.4448 2.4411 2.4377 2.4345 2.4314 2.4286 2.4258
2.75 2.744 2.7385 2.7333 2.7284 2.7238 2.7195 2.7154 2.7116 2.7079
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
0.12646 0.12644 0.12642 0.12641 0.12639 0.12637 0.12636 0.12634 0.12633 0.12631 0.1263
0.25504 0.255 0.25496 0.25492 0.25488 0.25485 0.25482 0.25479 0.25476 0.25473 0.2547
0.3881 0.38803 0.38797 0.38791 0.38785 0.38779 0.38774 0.38768 0.38763 0.38759 0.38754
0.52861 0.5285 0.5284 0.52831 0.52822 0.52814 0.52805 0.52798 0.5279 0.52783 0.52776
0.68067 0.68052 0.68038 0.68024 0.68011 0.67998 0.67986 0.67975 0.67964 0.67953 0.67943
0.8507 0.85048 0.85026 0.85006 0.84987 0.84968 0.84951 0.84934 0.84917 0.84902 0.84887
1.05 1.0497 1.0494 1.0491 1.0488 1.0485 1.0483 1.048 1.0478 1.0475 1.0473
1.3031 1.3025 1.302 1.3016 1.3011 1.3006 1.3002 1.2998 1.2994 1.2991 1.2987
1.6839 1.6829 1.682 1.6811 1.6802 1.6794 1.6787 1.6779 1.6772 1.6766 1.6759
2.0211 2.0195 2.0181 2.0167 2.0154 2.0141 2.0129 2.0117 2.0106 2.0096 2.0086
2.4233 2.4208 2.4185 2.4163 2.4141 2.4121 2.4102 2.4083 2.4066 2.4049 2.4033
2.7045 2.7012 2.6981 2.6951 2.6923 2.6896 2.687 2.6846 2.6822 2.68 2.6778
Ejercicios de estimación de parámetros
13
Taula de la funci贸 de distribuci贸 de la N(0,1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.00 0.5 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.758 0.7881 0.8159
0.01 0.504 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.695 0.7291 0.7611 0.791 0.8186
0.02 0.508 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212
0.03 0.512 0.5517 0.591 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238
0.04 0.516 0.5557 0.5948 0.6331 0.67 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264
0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289
0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315
0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.834
0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.648 0.6844 0.719 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365
0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389
1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719
0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726
0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.937 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732
0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738
0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744
0.8554 0.877 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.975
0.8577 0.879 0.898 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756
0.8599 0.881 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761
0.8621 0.883 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767
2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981
0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.992 0.994 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982
0.9783 0.983 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982
0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983
0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984
0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.996 0.997 0.9978 0.9984
0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985
0.9808 0.985 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985
0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.998 0.9986
0.9817 0.9857 0.989 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986
3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.
0.9987 0.999 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1. 1.
0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1. 1.
0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
0.999 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
0.999 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1. 1.
Ejercicios de estimaci贸n de par谩metros
14