Probabilidad y estadística ii

Probabilidad y Estadística II 1. Conjunto y Técnicas de Conteo 1.1. Definición y notación de conjuntos Definición Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:  A es el conjunto de los números naturales menores que 5.  B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.  C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.  D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈ la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: 3∈A,♠∈D amarillo ∉ B, z ∉ C Notación Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: B = {verde, blanco, rojo} C = {a, e, i, o, u} Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad: A = {Números naturales menores que 5} D = {Palos de la baraja francesa} Otra notación habitual para denotar por comprensión es: A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5} D = {p : p es un palo de la baraja francesa} F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10}, En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/». Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

1.2. Operaciones y leyes de conjuntos Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:  Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. Se nota A U B.

La disyunción V, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”. 

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B. Se nota A  B.

Si A y B no tienen elementos en común, es decir, si A  B = , entonces diremos que A y B son conjuntos disjuntos. 

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se nota por A \ B.

El conjunto A \ B se lee “A menos B” y recibe también el nombre de complementario relativo del conjunto B respecto del conjunto A. 

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto Ac que contiene todos los elementos que no pertenecen a A. El complementario de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Se nota Ac.

Obsérvese que el complementario de A es igual a la diferencia entre U y A, es decir, Ac = U \ A.



Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Ejemplos:     

{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0} {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠} {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z} {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8} {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_conjuntos

Leyes de los conjuntos  Ley de Idempotencia:

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Ley conmutativa:

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Ley asociativa:

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Ley distributiva:

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Ley de identidad:

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Ley involutiva:

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Ley de complementario:

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Ley de De Morgan:

1.3. Diagrama de Venn Euler Una representaciรณn grรกfica para los conjuntos son los diagramas de Venn. El conjunto universal se representa por el interior de un rectรกngulo y todos los demรกs conjuntos se representan por regiones cerradas incluidos en el mismo.

1.4. Principios aditivo y multiplicativo Principio Aditivo:

Principio Multiplicativo:

1.5. Permutaciones

1.6. Combinaciones

1.7. Ejercicios de aplicaci贸n