Probabilidad y Estadística I 1. Distribución de la Probabilidad 1.1. Variable aleatoria discreta 1.1.1. Definición Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos (Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikiversity.org/wiki/Variable_aleatoria_discreta).
1.1.2. Recorrido o Rango Se llama rango o recorrido de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la función X, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una variable aleatoria es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:
Ejemplo:
(Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria).
1.2. Distribuciones de probabilidad de variable aleatoria discreta En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
1.2.1. Propiedades
(Recuperada el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad).
1.2.2. Distribución acumulada
(Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://www.monografias.com/trabajos81/distribuciones-de-probabilidaddiscreta/distribuciones-de-probabilidad-discreta2.shtml#funciondea).
1.2.3. Parámetros: Valor Esperado y Desviación Estándar El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.
Variancia: Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.
La primera está representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto anterior, y la segunda por la variancia o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria X. Por ejemplo, en un espacio muestral equiprobable vemos que los valores 5, 10 y 15 tienen una media de 10 y que los valores 9.9, 10 y 10.1 la media también es 10. Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran importancia. Por lo tanto, para tener un conocimiento claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la variancia o la desviación estándar de la distribución de probabilidad.
La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar de x es la raíz cuadrada positiva de la varianza de x. 1.3. Distribución binomial En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.
Funci贸n de probabilidad
Funci贸n de distribuci贸n de probabilidad
Ejemplos: Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:
Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6) Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)
1.3.1. Experimento binomial Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el nĂşmero de ĂŠxitos que se han producido en los n experimentos. Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribuciĂłn de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).
Otro Definici贸n
1.3.2. Variable aleatoria binomial La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo
puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Ejemplo: k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras. 1.3.3. ParĂĄmetros Media (ď ) = n * p Varianza (ď ł2) = n * p * q = n * p * (1 – p) DesviaciĂłn tĂpica (ď ł) = √đ?‘› ∗ đ?‘? ∗ đ?‘ž = √đ?‘› ∗ đ?‘? ∗ (1 − đ?‘?) 1.3.4. Aplicaciones
1.4. Distribución normal En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: Caracteres morfológicos de individuos como la estatura; Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco; Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; Caracteres psicológicos como el cociente intelectual; Nivel de ruido en telecomunicaciones; Errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad". En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidades continuas y discretas.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. 1.4.1.Modelo de probabilidades continuo
1.5. Distribuciรณn normal estรกndar
La probabilidad de la variable X dependerรก del รกrea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
1.5.1. Ă rea bajo la curva normal y manejo de tablas
1.5.2. Problemas de aplicaci贸n
Resultados de los ejercicios: