4to. Año Secundaria
I.E SANTA MARIA REINA 3
GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
I.E Santa María Reina INTRODUCCIÓN: Desde tiempos pasados el hombre tenía la necesidad de medir extensiones superficiales (terrenos de cultivo, viviendas, territorios, etc.) con el cuál surge la necesidad de crear una magnitud de medidas superficiales derivada de la magnitud de medidas lineales (longitud); a la cual se le denomina área. REGIÓN PLANA Es una porción de plano limitada por una línea cerrada. Línea cerrada Región plana H Plano H:
H
ÁREA Es la medida de una región, la cuál resulta de comparar a dicha región con otra tomada como unidad (región unitaria). Convencionalmente se toma como región unitaria a una región cuadrada (Región limitada por un cuadrado), donde la longitud de su lado es la unidad de longitud (m) cuya área es 1 m2 (unidad de área). Región unitaria C B
1m
D
U 1m
H
A
E Plano H:
Del gráfico: A
= K(Au)
ÁREAS Pero: Au = 1m REGIONES Lic. HUGO RIVERA PRIETO VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com 4to. D-E-F-G 2
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
4to. D-E-F-G-
H
4to. Año Secundaria
I.E SANTA MARIA REINA
ABC =
A
= Km2
A
GEOMETRÍA B
bh
FÓRMULA BÁSICA
B circunferencia inscrita
2
B
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
4to. Año Secundaria
r
c A
El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado.
A
A
ABC: equilátero AB = BC = AC =
C
b
C
En la figura: r : inradio del ABC p : semiperímetro de la región ABC
B
AB y AC h
A
H
A C b
En el gráfico: BH es la altura relativa a AC Si: AC = b y BH = h
: catetos
=
ABC
A∆
b.c 2
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de dos lados, multiplicados con el seno del ángulo determinado, por dichos lados.
ABC
=
bh = 2
Observación:
B
circunferencia inscrita
a A
c θ C
b
En la figura: AB = c , AC = b y m BAC =
B
A∆
h
C
C
M
n
m
A
A
A ABC = pr
B
Observación:
H
2 3 4
FORMULA DE HERÓN El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del producto del semiperímetro de la región triangular y la diferencia de dicho semiperímetro con la longitud de cada uno de los lados. B
c A ∆ ABC
C
ABC
Observación:
b
=
bc sen θ 2
A
C
b
En el ABC:
p =
En la figura: AM = m y MC = n
a +b+c 2
A
ABC
= mn
p: semiperímetro de la región ABC A∆
ABC
=
p (p − a ) (p − b) (p − c)
FÓRMULAS ADICIONALES Con el inradio
RELACIÓN DE ÁREA EN REGIONES TRIANGULARES Consiste en establecer la comparación de las áreas de regiones triangulares que presentan ciertas características. Al trazar una ceviana
BH : altura relativa a AC
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
4to. D-E-F-G-
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
4to. D-E-F-G
4to. Año Secundaria
I.E SANTA MARIA REINA B
A∆
ABC
=
A∆ MNL
GEOMETRÍA B
bc n
C
B
m
A
C
D
n
En el ABC
β
BD : ceviana interior A ∆ ABD A ∆ DBC
=
A
ABCD : convexo N
M
∆ ∆ ABC
Observación:
AMNL
B
=
M
A
M
m
C
m
A
En el ABC
α b
α C M
θ n
A
L
A∆ ABC a2 b2 c2 = = = = K2 A∆ MNL m 2 n2 2
A∆ ABM = A∆ MBC
K : razón de semejanza
Triángulos con un ángulo de igual medida
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
N
B
c
α
α C
M
B
n
L
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
h
α A
N
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
H
En la figura: ABCD : paralelogramo A
A
h
m
b
D
b
ABCD
= bh
Además:
C
M
A
4to. D-E-F-G-
a
C
a
El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.
El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales, multiplicado con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.
En la figura: m BAC = m NML =
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
MNLP
mn = . sen β 2
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
FÓRMULA GENERAL
b
B
d 1d 2 . sen θ 2
En la figura ABC MNL
BM : Mediana
A
Región Romboidal El área de una región romboidal es igual al producto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado.
m
θ
ABCD =
A
β a
L
MNLP : cóncavo en P
β
= mh
ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA n
N
c
ABCD
m P β
Triángulos semejantes
a +b = h 2
Si MN es la base media del trapecio ABCD A
ab m .n
B
ABCD
Además:
L
n
En la figura, los ángulos ACB y MLN son suplementarios, es decir: + = 180
m n
A
α
C
b
Entonces: D
m
a
BC y AD : bases
d2
d1
N
En el gráfico: ABCD : trapecio
θ
Triángulos con un ángulo suplementario
A
4to. Año Secundaria
D
ABCD
= ab sen α
Región Rombal El área de una región rombal es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
4to. D-E-F-G
4to. Año Secundaria
I.E SANTA MARIA REINA B
B
d
1 A
C m
A
ABCD
08. En la figura ABCD es un paralelogramo y
135 e) 2
S MP C + S AMD
26 m,
miden D
a) 18 m2 d) 15 m2
18 m y
b) 9 m2 e) 12 m2
A
d1 d 2 2
M
c) 6 m2
B
ABCD
04. En un cierto triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 2m y la hipotenusa es los 5/4 de uno de los catetos. ¿Cuál es el área del triángulo?
2
=
También:
Región Rectangular El área de una región rectangular es igual al producto de sus dimensiones.
2
A
ABCD
=
2
a) 12 m d) 25 m2
2
d 2
b) 13/3 m e) 25/6 m2
c) 6 m
2
09. ¿Qué fracción del área del triángulo ABC, nos representa el área de la región sombreada?
c
a) 64
ABCD : rectángulo a y b : dimensiones del rectángulo A
ABCD
= ab
Región Cuadrada El área de una región cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. En un triángulo isósceles ABC el lado desigual AC mide 8cm y el inradio mide 2 cm. Hallar el área del triángulo ABC. (en cm2) a) 32/3 d) 30
c) 124
02. En un triángulo rectángulo ACB, la mediatriz de la hipotenusa AB interseca el cateto BC en el punto “E”. Si AB = 20m; AC = 12m. Hallar el área del cuadrilátero ADEC. (D : Punto medio de AB ) 117 a) 2
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
b) 64/3 e) 16
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
3
d) 135 3
b) 128 e) 128 5
06. En un trapecio, cuyas bases miden 4 y 6 se trazan paralelas a las bases que trisecan a la altura que mide 6. Calcular el área de la región limitada por el trapecio intermedio. a) 10 d) 9
b) 7,5 e) 8
S BHD
4to. D-E-F-G-
137 c) 2
c) 12
a) 12 d) 6
S ABCD
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
b
a) 1/6 d) 1/8
b) 1/12 e) 1/10
C
c) 1/18
10. Dos triángulos semejantes tienen que sus bases miden 8dm y 3 dm. ¿En qué relación se encuentran sus áreas? a) 8/3 d) 8/9
b) 16/9 e) 64/9
c) 64/3
11. En la figura ABCD es un romboide, S
= 92 y P OD = 42. Calcular el área de la región ABCD. B
C
= 16. Calcular
(S : Área) b) 16 e) 4
b
S BOC
07. Se tiene un trapecio isósceles ABCD, BC // AD, en el que se trazan la altura BH y la diagonal BD. Si
111 b) 2
c) 256
a
c A
En la figura:
c) 12
B
a
b
b) 12 e) 24
a
C
A
D
a) 9 d) 18
05. Los lados de un rombo son dos radios y dos cuerdas de un círculo cuyo radio mide 16. Calcular el área de la región limitada por el rombo.
D
C P
A
ABCD : cuadrado
S ABP
= 18 , calcular
B
20 m.
En la figura:
En la figura: ABCD : rombo =
4to. Año Secundaria
03. Hallar el área de un triángulo cuyos lados
d
m D d 2
A
119 d) 2
C
m
m
GEOMETRÍA
O
c) 8
A a) 36 2
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
P b) 30 4to. D-E-F-G
D
c) 27
I.E SANTA MARIA REINA d) 38
4to. Año Secundaria
GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
e) 24
12. En el gráfico, calcular el área de la región sombreada, si las áreas de las regiones triangulares MNP y EPF son 4m2 y 9 m2 respectivamente. (MC // DE) M b N b C P
E
a) 26 m2 d) 31
a
F
a
b) 18 e) 32
D
c) 30
13. Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) cuya base mayor AD mide 14 cm y altura 8cm. Si el área del trapecio es de 80 cm 2. Hallar el área del triángulo BCD. a) 48 cm2 d) 12 cm2
b) 24 cm2 e) 36 cm2
c) 30 cm2
14. En un paralelogramo tiene como base 12m y como altura 3m. Hallar la diagonal del cuadrado equivalente a dicho paralelogramo. a) 6 m d) 4
3 m
b) 6
2 m
e) 2
6 m
c) 8 m
15. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BF y sobre ella se ubica el punto “P”. Calcular la relación de las áreas de las regiones APB y BPC, si 2AB = 3BC. a) 3/2 d) 3/4
b) 1/2 e) 2/5
c) 1
POLIEDRO S Lic. HUGO RIVERA PRIETO
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
4to. D-E-F-G-
Lic. HUGO RIVERA PRIETO
VISITE: matematicafutura-hugo.blogspot.com
4to. D-E-F-G