Hoofdstuk 3 : Goniometrie A. Goniometrische waarden van een scherpe hoek : 1) definities :
sinus scherpe hoek =
overstaande rechthoekszijde schuine zijde
cosinus scherpe hoek =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
tangens scherpe hoek =
overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde
b sin Bˆ = a
cos Bˆ =
c sin Cˆ = a
b cos Cˆ = a
c a
tanBˆ =
b c
c tanCˆ = b −1
We stellen vast: sin Bˆ = cos Cˆ ; sin Cˆ = cos Bˆ ; tan Bˆ = (tan Cˆ )
Sinus, cosinus en tangens noemen we de goniometrische waarden van een hoek. 2) geheugensteuntje : "SOS CASTOA".
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 1 / 16
B. Verband tussen sinus, cosinus en tangens : 1) afleiding :
sin =
overstaande rechthoekszijde schuine zijde
def. sin
cos =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
def. cos
overstaande rechthoekszijde sin schuine zijde = aanliggende rechthoekszijde cos schuine zijde =
overstaande rechthoekszijde schuine zijde ⋅ schuine zijde aanliggende rechthoekszijde
=
overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde
def. tan = tan 2) algemeen:
tanBˆ =
sin Bˆ cos Bˆ
OEFENINGEN
- vlaf@telenet.be -
sin Cˆ tanCˆ = cos Cˆ
B6, nrs. 2, 3, 4, 8 en 9
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 2 / 16
2
Zet de decimale getallen om in onvereenvoudigbare breuken.
3
Vul aan.
2
Pythagoras : AB = 82 + 62 ⇒ AB = 82 + 62 = 10 6 3 = 10 5 8 4 cos α = = 10 5 6 3 tan α = = 8 4 sin α =
10 15
2
Pythagoras : BC + 82 = 172 2
⇔ BC = 172 − 82 ⇒ BC = 172 − 82 = 15 15 17 8 cos α = 17 15 tan α = 8 Merk op: Cosinus en sinus zijn steeds kleiner dan 1, omdat de schuine zijde steeds groter is dan een rechthoekszijde. sin α =
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 3 / 16
4
Vul aan.
1) sin α =
3 4
3) cos α =
α ≈ 49°
5 3
onmogelijk, want
- vlaf@telenet.be -
2) cos α =
2 3
α ≈ 48°
4) tan α =
5 4
α ≈ 51°
5 >1 3
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 4 / 16
8
1 Bereken met je rekentoestel en rond af op 5 decimalen.
a) sin52°53 ' = 0,79741 b) cos18°20' 37 " = 0,94919 c) tan78°53 ' 27 " = 5,09273
2 Bepaal, indien mogelijk, de scherpe hoek α in zestigdelige graden.
a) sin α = 0,682
α = 43°
b) cos α = 0,69466
α = 46°
c) tanα = 1,37638
α = 54°
d) sin α = 1,39
/
e) cos α = 0,24
α = 76°6' 48"
f) tanα = 57,5
α = 89°0'13"
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 5 / 16
9
Bere
3 In ∆ABC : tan Aˆ1 = ⇒ Aˆ1 = 30°57'50" 5 ˆ = 15 ⇒ C ˆ = 33°35'33" In ∆ACD : sinC 1 1 7 ˆ = 5 ⇒C ˆ = 59°2'10" of ook: Cˆ 2 = 180° − 90° − 30°57'50" In ∆ABC : tanC 2 2 3 15 In ∆ACD : cos Dˆ = ⇒ Dˆ = 56°24' 27" 7
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
idem
pagina 6 / 16
C. Grondformule van de goniometrie : 1) algemeen :
sin2 Bˆ + cos2Bˆ = 1 sin2 Cˆ + cos2Cˆ = 1
2) bewijs : We leveren het bewijs voor hoek B. Voor de andere hoek verloopt het bewijs op dezelfde manier. Gegeven: ∆ABC met Aˆ = 90° Te bewijzen: sin2Bˆ + cos2Bˆ = 1 Bewijs: sin2Bˆ + cos2Bˆ 2
b c = + a a
2
def sin en cos
b2 c 2 = 2+ 2 a a b2 + c 2 = a2 a2 = 2 a =1
OEFENINGEN
- vlaf@telenet.be -
Pythagoras
wwmb
B6, nrs. 11 (1,2), 14 (1,3), 16, 49, 50, 17, 20, 22, 25, 44 en 55
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 7 / 16
Bere
11
sin2 α + cos2 α = 1
1)
2
sin α cos α 3 ⇔ tan α = 5 4 5 3 ⇔ tan α = 4
3 ⇔ + cos2 α = 1 5 3 ⇔ cos α = 1 − 5
tan α =
2
2
3 ⇔ cos α = 1 − 5 4 ⇔ cos α = 5
2)
2
sin2 α + cos2 α = 1 2
1 ⇔ sin α + = 1 7 2
1 ⇔ sin α = 1 − 7
2
2
1 ⇔ sin α = 1 − 7 ⇔ sin α =
- vlaf@telenet.be -
2
tan α =
sin α cos α
4 3 ⇔ tan α = 7 1 7 ⇔ tan α = 4 3
4 3 7
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 8 / 16
14
Vereenvoudig.
1)
tan75° =
1,5 b
1,5 tan75° ⇔ b = 0,40 ⇔b=
sin75° =
1,5 c
1,5 sin75° ⇔ c = 1,55
⇔c=
Bˆ = 90° − 75° = 15°
3)
a 2 + 2,42 = 3,62 ⇔ a 2 = 3,62 − 2,42 ⇔ a = 3,62 − 2,42 ⇔ a = 2,68
- vlaf@telenet.be -
2,4 cos Aˆ = 3,6 ⇔ Aˆ = 48°11' 23" 2,4 sin Bˆ = 3,6 ⇔ Bˆ = 41°48 '37 "
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 9 / 16
16
Vereenvoudig.
in ∆ACD: cos 26°37' =
AC 32,6
⇔ AC = 32,6.cos 26°37' ⇔ AC = 29,15 → A in ∆ABC: tan53°14' =
AB A
⇔ AB = A .tan53°14 ' ⇔ AB = 39,01
in ∆ABC: cos 53°14 ' =
A BC
A cos53°14 ' ⇔ BC = 48,69
⇔ BC =
De zijden zijn 29,15 cm, 39,01 cm en 48,69 cm lang.
49
Vereenvoudig.
AE =
78 − 40 = 19 2
19 cos Aˆ = ⇔ Aˆ = 53°34 '35 " 32 Aˆ = Bˆ = 53°34 '35" 360° − 2.53°34'35" Cˆ = Dˆ = 2 = 126°25 ' 25" - vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 10 / 16
in ∆ADE: DE = 322 − 192 = 25,75 → A
SABCD =
( 78 + 40 ) . A 2
= 1519,18
De hoeken zijn 53°34'35" en 126°25'25" en de oppervlakte bedraagt 1519,18 cm2 .
50
Ontbind in factoren.
In ∆ADE : sin57° =
DE
25 ⇔ DE = 25.sin57° ⇔ DE = 20,97 → D
SABCD = AB . DE = 30. D = 629,00
17
Vereenvoudig.
tan83° =
3 3 ⇔h= ⇔ h = 0,368 h tan83°
Het vliegtuig bevindt zich op 368 m hoogte. - vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 11 / 16
20
Vereenvoudig.
tan α =
2,5 ⇔ α = 2°51' 45" 50
De hellingshoek van de bodem is 2°51'45" .
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 12 / 16
22
Vereenvoudig.
8 BD
in ∆BCD: tan18°24 ' = ⇔ BD =
8 tan18°24 '
⇔ BD = 24,05 → B in ∆BDE: tan 49° =
DE B
⇔ DE = B .tan 49° ⇔ DE = 27,67 → D CE = 8 + D = 35,67
Het gebouw is 35,67 m hoog.
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 13 / 16
25
Vereenvoudig.
6 4 ⇔ α = 56°18 '36 "
in ∆ABE: tan α =
in ∆ABE: BE = 62 + 42 = 7,21 → B
5 B ⇔ β = 34°44'11"
in ∆BCE: tan β =
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 14 / 16
44
Vereenvoudig.
1) In ∆ABF : sin10° =
AB
235 ⇔ AB = 235.sin10° ⇔ AB = 40,81 → A
De oefenschans is 40,81 m hoog.
2) In ∆BCF : CF = 2352 + 302 ⇔ CF = 236,91 → C
A In ∆CDF : sin Fˆ = C ⇔ Fˆ = 9°55 '7 " Pieter skiet naar beneden onder een hoek van 9°55'7".
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 15 / 16
55
Vereenvoudig.
1) In ∆ABC: AS =
1 1 ⋅ AC = ⋅ 42 + 62 = 3,61 → A 2 2
In ∆AST : TS = 102 − A
2
= 9,33
2) In ∆AMT : TM = 102 − 22 = 9,80 = 3) In ∆AMT : sin ATM
2 = 11°32'13 " ⇔ ATM 10
= 2.11°32'13 " = 23°4 ' 26 " ATB
= 4) In ∆AST : sin ATM
A = 21°8'3" ⇔ ATM 10
= 2.21°8'3 " = 42°16 '7" ATC
- vlaf@telenet.be -
Goniometrie - theorie & oefeningen
pagina 16 / 16