03 Goniometrie

Hoofdstuk 3 : Goniometrie A. Goniometrische waarden van een scherpe hoek : 1) definities :

sinus scherpe hoek =

overstaande rechthoekszijde schuine zijde

cosinus scherpe hoek =

aanliggende rechthoekszijde schuine zijde

tangens scherpe hoek =

overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde

b sin Bˆ = a

cos Bˆ =

c sin Cˆ = a

b cos Cˆ = a

c a

tanBˆ =

b c

c tanCˆ = b −1

We stellen vast: sin Bˆ = cos Cˆ ; sin Cˆ = cos Bˆ ; tan Bˆ = (tan Cˆ )

Sinus, cosinus en tangens noemen we de goniometrische waarden van een hoek.

2) geheugensteuntje : "SOS CASTOA".

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 1 / 16

B. Verband tussen sinus, cosinus en tangens : 1) afleiding :

sin =

overstaande rechthoekszijde schuine zijde

def. sin

cos =

aanliggende rechthoekszijde schuine zijde

def. cos

overstaande rechthoekszijde sin schuine zijde = aanliggende rechthoekszijde cos schuine zijde =

overstaande rechthoekszijde schuine zijde ⋅ schuine zijde aanliggende rechthoekszijde

=

overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde

def. tan = tan 2) algemeen:

tanBˆ =

sin Bˆ cos Bˆ

OEFENINGEN

- vlaf@telenet.be -

sin Cˆ tanCˆ = cos Cˆ

B6, nrs. 2, 3, 4, 8 en 9

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 2 / 16

2

Zet de decimale getallen om in onvereenvoudigbare breuken.

3

Vul aan.

2

Pythagoras : AB = 82 + 62 ⇒ AB = 82 + 62 = 10 6 3 = 10 5 8 4 cos α = = 10 5 6 3 tan α = = 8 4 sin α =

10 15

2

Pythagoras : BC + 82 = 172 2

⇔ BC = 172 − 82 ⇒ BC = 172 − 82 = 15 15 17 8 cos α = 17 15 tan α = 8 Merk op: Cosinus en sinus zijn steeds kleiner dan 1, omdat de schuine zijde steeds groter is dan een rechthoekszijde. sin α =

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 3 / 16

4

Vul aan.

1) sin α =

3 4

3) cos α =

α ≈ 49°

5 3

onmogelijk, want

- vlaf@telenet.be -

2) cos α =

2 3

α ≈ 48°

4) tan α =

5 4

α ≈ 51°

5 >1 3

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 4 / 16

8

1 Bereken met je rekentoestel en rond af op 5 decimalen.

a) sin52°53 ' = 0,79741 b) cos18°20' 37 " = 0,94919 c) tan78°53 ' 27 " = 5,09273

2 Bepaal, indien mogelijk, de scherpe hoek α in zestigdelige graden.

a) sin α = 0,682

α = 43°

b) cos α = 0,69466

α = 46°

c) tanα = 1,37638

α = 54°

d) sin α = 1,39

/

e) cos α = 0,24

α = 76°6' 48"

f) tanα = 57,5

α = 89°0'13"

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 5 / 16

9

Bere

3 In ∆ABC : tan Aˆ1 = ⇒ Aˆ1 = 30°57'50" 5 ˆ = 15 ⇒ C ˆ = 33°35'33" In ∆ACD : sinC 1 1 7 ˆ = 5 ⇒C ˆ = 59°2'10" of ook: Cˆ 2 = 180° − 90° − 30°57'50" In ∆ABC : tanC 2 2 3 15 In ∆ACD : cos Dˆ = ⇒ Dˆ = 56°24' 27" 7

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

idem

pagina 6 / 16

C. Grondformule van de goniometrie : 1) algemeen :

sin2 Bˆ + cos2Bˆ = 1 sin2 Cˆ + cos2Cˆ = 1

2) bewijs : We leveren het bewijs voor hoek B. Voor de andere hoek verloopt het bewijs op dezelfde manier.

Gegeven: ∆ABC met Aˆ = 90° Te bewijzen: sin2Bˆ + cos2Bˆ = 1 Bewijs: sin2Bˆ + cos2Bˆ 2

b c =  +  a a

2

def sin en cos

b2 c 2 = 2+ 2 a a b2 + c 2 = a2 a2 = 2 a =1

OEFENINGEN

- vlaf@telenet.be -

Pythagoras

wwmb

B6, nrs. 11 (1,2), 14 (1,3), 16, 49, 50, 17, 20, 22, 25, 44 en 55

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 7 / 16

Bere

11

sin2 α + cos2 α = 1

1)

2

sin α cos α 3 ⇔ tan α = 5 4 5 3 ⇔ tan α = 4

3 ⇔   + cos2 α = 1 5 3 ⇔ cos α = 1 −   5

tan α =

2

2

3 ⇔ cos α = 1 −   5 4 ⇔ cos α = 5

2)

2

sin2 α + cos2 α = 1 2

 1 ⇔ sin α +   = 1 7 2

 1 ⇔ sin α = 1 −   7

2

2

 1 ⇔ sin α = 1 −   7 ⇔ sin α =

- vlaf@telenet.be -

2

tan α =

sin α cos α

4 3 ⇔ tan α = 7 1 7 ⇔ tan α = 4 3

4 3 7

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 8 / 16

14

Vereenvoudig.

1)

tan75° =

1,5 b

1,5 tan75° ⇔ b = 0,40 ⇔b=

sin75° =

1,5 c

1,5 sin75° ⇔ c = 1,55

⇔c=

Bˆ = 90° − 75° = 15°

3)

a 2 + 2,42 = 3,62 ⇔ a 2 = 3,62 − 2,42 ⇔ a = 3,62 − 2,42 ⇔ a = 2,68

- vlaf@telenet.be -

2,4 cos Aˆ = 3,6 ⇔ Aˆ = 48°11' 23" 2,4 sin Bˆ = 3,6 ⇔ Bˆ = 41°48 '37 "

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 9 / 16

16

Vereenvoudig.

in ∆ACD: cos 26°37' =

AC 32,6

⇔ AC = 32,6.cos 26°37' ⇔ AC = 29,15 → A in ∆ABC: tan53°14' =

AB A

⇔ AB = A .tan53°14 ' ⇔ AB = 39,01

in ∆ABC: cos 53°14 ' =

A BC

A cos53°14 ' ⇔ BC = 48,69

⇔ BC =

De zijden zijn 29,15 cm, 39,01 cm en 48,69 cm lang.

49

Vereenvoudig.

AE =

78 − 40 = 19 2

19 cos Aˆ = ⇔ Aˆ = 53°34 '35 " 32 Aˆ = Bˆ = 53°34 '35" 360° − 2.53°34'35" Cˆ = Dˆ = 2 = 126°25 ' 25" - vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 10 / 16

in ∆ADE: DE = 322 − 192 = 25,75 → A

SABCD =

( 78 + 40 ) . A 2

= 1519,18

De hoeken zijn 53°34'35" en 126°25'25" en de oppervlakte bedraagt 1519,18 cm2 .

50

Ontbind in factoren.

In ∆ADE : sin57° =

DE

25 ⇔ DE = 25.sin57° ⇔ DE = 20,97 → D

SABCD = AB . DE = 30. D = 629,00

17

Vereenvoudig.

tan83° =

3 3 ⇔h= ⇔ h = 0,368 h tan83°

Het vliegtuig bevindt zich op 368 m hoogte.

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 11 / 16

20

Vereenvoudig.

tan α =

2,5 ⇔ α = 2°51' 45" 50

De hellingshoek van de bodem is 2°51'45" .

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 12 / 16

22

Vereenvoudig.

8 BD

in ∆BCD: tan18°24 ' = ⇔ BD =

8 tan18°24 '

⇔ BD = 24,05 → B in ∆BDE: tan 49° =

DE B

⇔ DE = B .tan 49° ⇔ DE = 27,67 → D CE = 8 + D = 35,67

Het gebouw is 35,67 m hoog.

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 13 / 16

25

Vereenvoudig.

6 4 ⇔ α = 56°18 '36 "

in ∆ABE: tan α =

in ∆ABE: BE = 62 + 42 = 7,21 → B

5 B ⇔ β = 34°44'11"

in ∆BCE: tan β =

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 14 / 16

44

Vereenvoudig.

1) In ∆ABF : sin10° =

AB

235 ⇔ AB = 235.sin10° ⇔ AB = 40,81 → A

De oefenschans is 40,81 m hoog.

2) In ∆BCF : CF = 2352 + 302 ⇔ CF = 236,91 → C

A In ∆CDF : sin Fˆ = C ⇔ Fˆ = 9°55 '7 " Pieter skiet naar beneden onder een hoek van 9°55'7".

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 15 / 16

55

Vereenvoudig.

1) In ∆ABC: AS =

1 1 ⋅ AC = ⋅ 42 + 62 = 3,61 → A 2 2

In ∆AST : TS = 102 − A

2

= 9,33

2) In ∆AMT : TM = 102 − 22 = 9,80 = 3) In ∆AMT : sin ATM

2 = 11°32'13 " ⇔ ATM 10

= 2.11°32'13 " = 23°4 ' 26 " ATB

= 4) In ∆AST : sin ATM

A = 21°8'3" ⇔ ATM 10

= 2.21°8'3 " = 42°16 '7" ATC

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 16 / 16