4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
4.3 Distribuciones de Probabilidad para variables aleatorias discretas 4.3.1 Distribuciones de Probabilidad Discreta 4.3.1.1. Distribución Binomial 4.3.1.2. Distribución Geométrica 4.3.1.3. Distribución Hipergeométrica 4.3.1.4. Distribución de Poisson . 4.3.2. Ejercicios Resueltos 4.3.3 Ejercicios Propuestos
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4.3.1 Introducción Caso Real: Variables Aleatorias Discretas Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 baterías de cada lote de 24 baterías para automóvil listo para ser embarcado. Si uno de esos lotes contiene seis baterías con ligeros defectos, ¿qué probabilidades hay de que la muestra del inspector contenga al menos dos baterías con defectos?
El número de mensajes que se envían por computadora a un boletín electrónico es una variable aleatoria Poisson con una media de cinco mensajes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba cinco mensajes en una hora?
4.3.1.1. Distribución de Probabilidad Binomial: La distribución binomial es una de las distribuciones discretas de probabilidad más útiles. Sus áreas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones, etc. Un experimento binomial tiene las siguientes propiedades: 1.- El experimento consiste en "n" ensayos idénticos e independientes entre sí. 2.- Cada ensayo tiene dos resultados posibles: el éxito, ocurrencia del evento, y el fracaso, la no ocurrencia. 3.- La probabilidad de éxito en un ensayo es igual a "p", la cual permanece constante para cada ensayo. La probabilidad de fracaso es igual a l - p = q. 4.- La variable aleatoria discreta "x" representa el número de éxitos en los "n" ensayos.
Definición: Sea "x" una variable aleatoria que se presenta el número de éxitos en "n" ensayos y "p" la probabilidad de éxito con cualquiera de éstos. Se dice entonces que "x" tiene una distribución binomial con función de probabilidad:
b( x; n; p) n Cx p x q n x Donde: n: número de intentos repetidos x: número de éxitos p: probabilidad de éxito q: probabilidad de fracaso.
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Ejemplo: Si la probabilidad de cualquier elector registrado (seleccionando al azar de las listas oficiales) vote en una elección determinada es 0.70. ¿ Cuál es la probabilidad de que dos de cinco electores registrados voten en la elección?. Solución: x = variable aleatoria discreta que representa el evento. "Electores que votan en la elección" : x = 2. p = probabilidad de éxito: p = 0.70 l-p = probabilidad de fracaso: q = 1 - 0.70 = 0.30. n = total de electores: n = 5.
De una distribución de probabilidad binomial, se puede calcular su valor esperado, (media o esperanza matemática) su varianza y desviación estándar. Media: Varianza: Desviación Estándar:
Las observaciones durante un largo periodo muestran que un vendedor determinado puede concluir una sola entrevista con una probabilidad de 0.2. Supóngase que el vendedor entrevista a cuatro prospectos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos prospectos compren el producto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos prospectos compren el artículo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los prospectos compren el producto? d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo mucho dos prospectos compren el artículo? e) Calcular la media y desviación estándar.
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Solución:
4.3.1.2. Distribución de Probabilidad Geométrica: De nuevo supóngase una serie de ensayos Bernoulli independientes con una probabilidad constante de éxito p en cada ensayo. Sin embargo, lugar de tener un número fijo de ensayos, ahora éstos se realizan hasta que se obtiene un éxito. Se la variable aleatoria X el número de ensayos realizados hasta obtener el primer éxito. Considere que se analiza una serie de cilindros de aire, uno tras otro, hasta que se encuentra uno que contenga una molécula rara. En este caso, X es el número de muestras analizadas. En la transmisión de bits, X puede ser el número de bits transmitidos hasta que se presenta un error en la transmisión. Ejemplo: La probabilidad de recibir de manera errónea un bit enviado por un canal de transmisión digital es 0.1. supóngase que las transmisiones son eventos independientes, y sea la variables aleatoria X el número de bits transmitidos hasta que se presenta el primer error. Entonces P(X=5) es la probabilidad de que se transmitan de manera correcta los cuatro primeros bits y que el quinto sea erróneo. Este evento puede denotarse como {CCCCE}, donde C indica una transmisión correcta del bit. Dado que los ensayos son independientes y la probabilidad de una transmisión correcta es 0.9,
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Nótese que existe cierta probabilidad de que X sea igual a cualquier entero. Por otra parte si el primer ensayo es un éxito, entonces X= 1. Por consiguiente, el rango de X es {1,2,3...}, esto es, todos los enteros positivos. Definición: En una serie de ensayos Bernoulli independientes, con una probabilidad constante p de éxito, sea la variable aleatoria X el número de ensayos realizados hasta la obtención del primer éxito. Entonces X tiene una distribución geométrica con parámetro p:
g ( x; p) pq n x para x 1,2,..... Ejemplo: La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. si se supone que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara ¿cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 muestras antes de detectar una molécula rara? Solución: Sea X el número de muestras analizadas hasta que se detecta las presencia de la molécula rara. Entonces X es una variable aleatoria geométrica con p= 0.01. La probabilidad pedida es
Si X es una variable aleatoria geométrica con parámetro p, entonces las media y la varianza de X son
Ejemplo: Considérese de nuevo la transmisión de bits del ejemplo anterior. Calcular la media y desviación estándar Solución: En este caso, p= 0.1. El número promedio de transmisiones hasta que se presente el primer error es
La desviación estándar del número de transmisiones hasta que se presente el primer error es:
Propiedad de la Carencia de Memoria: Se ha definido una variable aleatoria geométrica como el número de ensayos realizados hasta obtener el primer éxito. Sin embargo, dado que los ensayos son independientes, el conteo del número de éstos hasta que tienen el primer éxito puede comenzar en cualquier ensayo sin cambiar la distribución de probabilidad de Vázquez, H. 2009
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la variable aleatoria. Por ejemplo, en la transmisión de bits, si se transmite 100 bits, la probabilidad de que el primer error, después del bits 100, se presente en l bit 106, es la probabilidad de que los próximos seis resultados sean CCCCCE. Esta probabilidad es (0.9)5 (0.1) = 0.059 , que es idéntica a la probabilidad de que el error inicial ocurra en el bit seis. La suposición para el uso de un modelo geométrico es que el sistema presuntamente no se desgastará. La probabilidad del error permanece constante para todas las transmisiones. En este sentido, se dice que la distribución geométrica carece de memoria. La propiedad de la carencia de memoria será discutida de nuevo en el capítulo siguiente, dentro del contexto de la variable aleatoria exponencial.
4.3.1.3. Distribución Hipergeométrica: Considérense un sistema de producción diaria de 850 partes, el cual contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman dos partes al azar, sin reemplazo, de la producción del día. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos partes no cumplan con los requerimientos?. Este experimento consiste en dos ensayos: seleccionar la primera parte y luego escoger la segunda. Sin embargo, el experimento es fundamentalmente distinto de los ejemplos basados en la distribución binomial. En este experimento, los ensayos no son independientes. Nótese que, en el caso poco usual de que cada unidad seleccionada se devuelva al lote antes de hacer la selección siguiente, los ensayos son independientes y la probabilidad de que una parte no cumpla con los requerimientos es constante. En este caso, el número de partes que no cumplen con los requerimientos es una variable aleatoria binomial. Sean A y B los eventos donde la primera y la segunda parte no cumplen con los requerimientos, respectivamente. Aplicando probabilidad condiciona P(B|A) = 49/849 y P(B)=50/850. En consecuencia, el hecho de saber que la primera parte no cumple con los requerimientos sugiere que es menos probable que la segunda tampoco los cumpla. En este ejemplo, sea X igual al número de partes en la muestra que no cumplen con los requerimientos. P(X=0) = P (ambas apartes cumplen con los requerimientos)} __..___= (800/850)(799/849)=0.886 P(X=1) = P (primera parte seleccionada cumple con los requerimientos y la segunda no, o la primera no los cumple pero la segunda sí) ___..__= (800/850)(50/849)+(50/850)(800/849)=0.111 P(X=2) = P (ambas partes no cumplen con los requerimientos) ___..__= (50/850)(49/849)=0.003 Tal como sucede en este ejemplo, a menudo las muestras se seleccionan sin reemplazo; esto es, las unidades seleccionadas no se devuelven al lote antes de hacer la siguiente selección. Aunque las probabilidades pueden obtenerse con un razonamiento similar al del ejemplo anterior, siempre es de gran utilidad tener una fórmula general para el cálculo de las probabilidades cuando las muestras se toman sin reemplazo.
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Un conjunto de N objetos contiene: a = Objetos clasificados como éxitos y N-a = Objetos clasificados como fallas Se toma una muestra de "n" objetos al zar (sin reemplazo) que contiene: x= Objetos clasificados como de éxitos n= Objetos que conforman la muestra Donde: A≤N n<N x≤a n–x≤N–a Sea la variable aleatoria X el número de éxitos en la muestra. Entonces, X tiene una distribución hipergeométrica es aquella en la que se seleccionan x éxitos de a éxitos totales y n-x fracasos de N-a fracasos totales:
h( x; n; a; N )
a
Cx
N a N
Cn x
Cn
a: Número de éxitos totales x: Número de éxitos seleccionados N-a: Número de fracasos totales n-x: Número de fracasos seleccionados Ejemplo: El ejemplo antes mencionado del proceso de producción, ahora se resolverá con la formula:
h( x 0)
50
h( x 1)
50
C0
C2
850 C2
C1 850
h( x 2)
800
50
800
C1
C2
C2 850
800
C2
C0
0.886 0.111 0.003
Observe que son los mismos resultados.
Ejemplo: Un lote de piezas contiene 100 de un proveedor local de tubería, y 200 de un proveedor del mismo material, pero de otro estado. Si se eligen cuatro piezas al azar y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad que todas provengan del proveedor local? Vázquez, H. 2009
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Sea X el número de partes en la muestra que son del proveedor local. Entonces, X tiene una distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(X=4). En consecuencia,
h( x 4)
100
C4
200
300
C4
C0
0.0119
¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?
P( x 2) h(2) h(3) h(4) h( x 2) h( x 3)
100
100
C2
200
300
C4
C3 300
h( x 3)
100
200
C2
0.298
C1
0.098
C0
0.0119
C4
C4
200
300
C4
P(x≥2) =0.298+0.098+0.0119= 0.108
La media y la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica pueden obtenerse alconsiderar los ensayos que conforman el experimento. Sin embargo, los ensayos no son independientes, razón por la que resultan inapropiados los cálculos utilizados para la variable aleatoria binomial. Se deja como ejercicio de comprensión para el lector el cálculo de la media y la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica. Sea p=a/N. Entonces, p puede interpretarse como la proporción de éxitos en el conjunto del cual se toma la muestra. Si X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, a y n, entonces la media y la varianza de X son Media y desviación estándar: Ejemplo: Continuando con el ejemplo de producción. Calcular la media y la desviación estándar. Solución: La variable aleatoria X es el número de partes defectuosas contenidas en la muestra. Entonces, p=50/850=1/17. Por consiguiente, E(X)=4(1/17)=0.235 σ 2= 4(1/17)(16/17)
= 0.209
σ = 0.457 Vázquez, H. 2009
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4.3.1.4. DistribuciĂłn Poisson: ConsidĂŠrese la transmisiĂłn de "n" bits sobre un canal de comunicaciĂłn digital. Sea la variable aleatoria X el numero de bits transmitidos de manera errĂłnea. Cuando la probabilidad de transmitir un bit de manera errĂłnea es constante y las transmisiones son independientes, X tiene una distribuciĂłn binomial. Sea "p" la probabilidad de transmitir un bit de manera errĂłnea. Entonces, E(X)=np. Ahora supĂłngase que el nĂşmero de bits transmitidos aumenta y la probabilidad del error disminuye de modo que "np" se mantenga igual a una constante, por ejemplo " . Esto es, "n" aumenta y " p" disminuye, de modo que E(X) permanezca constante. E AdemĂĄs, dado que el nĂşmero de bits transmitido tiende a infinito, el nĂşmero de errores puede ser igual a cualquier entero no negativo. Por consiguiente, el recorrido de X es el conjunto de los enteros desde cero hasta infinito. La distribuciĂłn obtenida como el lĂmite en el ejemplo anterior es mucho mĂĄs Ăştil de lo que la deducciĂłn de la misma deja entrever. El ejemplo siguiente ilustra la aplicabilidad de esta distribuciĂłn. DefiniciĂłn: Dado un intervalo de nĂşmeros reales, supĂłngase que el conteo de ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo. Si ĂŠste puede dividirse en subintervalos suficientemente tales que: 1.- La probabilidad de mas de una ocurrencia en el subintervalo es cero, 2.- La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintervalos, y se proporcional a la longitud de ĂŠstos y 3.- El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independientes del de los demĂĄs subintervalos, Entonces el experimento aleatorio recibe el nombre de proceso Poisson. Si el nĂşmero promedio de ocurrencias en el intervalo es đ?&#x153;&#x2020; >0, la variable aleatoria X que es igual al nĂşmero de ocurrencias en el intervalo tiene una distribuciĂłn Poisson con parĂĄmetro đ?&#x153;&#x2020; y la funciĂłn de probabilidad de X es:
e ď&#x20AC;ď Ź ď Źx p( x; ď Ź ) ď&#x20AC;˝ x! Donde: x: NĂşmero de ĂŠxitos en un intervalo de tiempo o regiĂłn dada. Îť: Promedio de ĂŠxitos en un intervalo de tiempo o regiĂłn dada. e: es la base del logaritmo neperiano: e=2.71828.
En el cĂĄlculo de probabilidades, medias y varianzas de variables aleatorias Poisson, es importante utilizar unidades que sean consistentes. El ejemplo que sigue ilustra conversiones entre unidades. Por ejemplo, si el ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ
NĂşmero promedio de fallas por milĂmetro de alambre es 3.4, entonces el NĂşmero promedio de fallas en 10 milĂmetros de alambres es 34, y el NĂşmero promedio de fallas en 100 milĂmetros de alambres es 340.
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Ejemplo: Para el caso del alambre delgado de cobre supóngase que el número de fallas está descrito por una distribución Poisson con una media de 2.3 fallas por milímetro. Determínese la probabilidad de tener exactamente dos fallas en un mm de alambre. Sea X el número de fallas en un mm de alambre. Entonces, E(X)=2.3 fallas y
Calcúlese la probabilidad de tener 10 fallas en cinco milímetros de alambre. Sea X el número de fallas en cinco milímetros de alambre. Entonces, X tiene una distribución Poisson con E(X)=5mm * 2.3 fallas mm =11.5 fallas Por consiguiente
Determínese la probabilidad de tener al menos una falla en dos milímetros de alambre. Sea X el número de fallas en dos milímetros de alambre. Entonces X tiene una distribución Poisson con E(X) = 2mm * 2.3 fallas / mm =4.6 mm Por tanto,
La deducción de las expresiones para la media y la varianza de una variable aleatoria Poisson se deja como ejercicio para el lector. Los resultados son los siguientes. Si X es una variable aleatoria Poisson con parámetro , entonces la media y la varianza de X son
Existen tablas de distribuciones de probabilidades de Poisson: Tabla # 7 lambda=0.1,...,3
Tabla # 8 lambda=3.1.5
Tabla # 9 lambda=6,...,15
(Consultarlas en la Carpeta adjunta:"Tablas") Para trabajar con la tabla, basta con conocer el valor de , y el valor de la variable aleatoria que se desea calcular su probabilidad. Considere el siguiente ejemplo Para el caso del alambre delgado de cobre supóngase que el número de fallas está descrito por una distribución Poisson con una media de 2.3 fallas por milímetro. Determínese la probabilidad de tener exactamente dos fallas en un Vázquez, H. 2009
10
mm de alambre. Sea X el nĂşmero de fallas en un mm de alambre. Entonces, đ?&#x153;&#x2020; = E(X)=2.3 fallas
Entra con đ?&#x153;&#x2020; = 2.3 en la primera fila y para x=2 en la columna correspondiente P(X=2)= P(2, 2.3)= 0.2652
4.3.2. Ejercicios resueltos 1.- Todos los dĂas se seleccionan de manera aleatoria 15 unidades de un proceso de manufactura con el propĂłsito de unificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producciĂłn. Con base en informaciĂłn pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. La gerencia ha decidido detener la producciĂłn cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o mĂĄs defectuosos. Âż CuĂĄl es la probabilidad de que, en cualquier dĂa, la producciĂłn se detenga?. SoluciĂłn: n x p q
= = = =
15 NĂşmero de piezas defectuosas. 0.05 1 - p = 1 - 0.05 = 0.95
La producciĂłn se detiene si por lo menos 2 piezas son defectuosas: P (xâ&#x2030;Ľ 2) = 1 - P(x = 0) - P(x =1) Por tabla P(x=0)=P(0; 15, 0.05) = 0.463 P(x=1)=P(1; 15, 0.05) = 0.366 P(x â&#x2030;Ľ 2) = 1 - 0.463 - 0.366 = 0.171 2.- En una planta industrial, los lotes grandes de artĂculos recibidos se inspeccionan para detectar los defectuosos por medio de un esquema de muestreo. Se examinan 10 artĂculos y el lote serĂĄ rechazado si se encuentran dos o mĂĄs artĂculos defectuosos. Si un lote contiene exactamente 5% de defectuosos: a) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el lote sea aceptado? b) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el lote sea rechazado? c) Calcular la media y la desviaciĂłn estĂĄndar SoluciĂłn: Al analizar el enunciado, usted puede observar que es una aplicaciĂłn de la distribuciĂłn binomial, puesto que cumple con sus propiedades: VĂĄzquez, H. 2009
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Sea: x = número de artículos defectuosos Entonces: n=10 p= 0.05 q= 1 - p = 1 - 0.05 = 0.95 a) El lote es aceptado si ( x < 2) Por lo tanto la probabilidad de ser aceptado: P(x < 2)= P(x=0)+ P(x=1) Aplicando la fórmula de distribución binomial:
P(x < 2)= P ( 0, 10, 0.05)+ P ( 1, 10, 0.05)
______.= b) El lote es rechazado si x 2, por lo tanto la probabilidad de rechazo, se calcula por medio del evento complemento: P(x ≥ 2)= 1 - P(x < 2)= 1- 0.914 = 0.086 3.- Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a una estación de radio muy popular tiene una probabilidad de 0.02 de que la línea no esté ocupada. Suponga que las llamadas son independientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima que realiza la persona? b. ¿Cuál es el número promedio de llamadas que deben hacerse para hallar desocupada la línea? c. Calcule la desviación estándar Solución: p=0.02
4.- Un embarque de 20 grabadoras contiene 5 defectuosas. Si 10 de ellas se eligen aleatoriamente para su inspección a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de las 10 sean defectuosas? b) Calcule el promedio y la desviación estándar de grabadoras defectuosas Solución: N= 20, a=5, n=10, x=2 Vázquez, H. 2009
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a)
P(x=2)= P (2, 10, 5, 20) =
b)
5.- La contaminaciĂłn es un problema en la fabricaciĂłn de discos de almacenamiento Ăłptico. El nĂşmero de partĂculas contaminantes que aparecen en un disco Ăłptico tienen una distribuciĂłn Poisson, y el nĂşmero promedio de partĂculas por centĂmetro cuadrado de superficie del medio de almacenamiento es 0.1. El ĂĄrea de un disco bajo estudio es de 100 centĂmetros cuadrados. EncuĂŠntrese la probabilidad de encontrar 12 partĂculas en ĂĄrea del disco. Sea X el nĂşmero de partĂculas en el ĂĄrea del disco. Dado que el nĂşmero promedio de partĂculas es 0.1 de ĂŠstas por cm2, E(X) = 100 cm 2 * 0.1 partĂculas / cm =10 partĂculas
2
Por consiguiente
6.- En una central telefĂłnica el nĂşmero promedio de llamadas por segundo es de 0.05. ÂżCual es la probabilidad: a) De que se reciban 3 llamadas por segundo b) De que se reciban por lo menos 5 llamadas por segundo c) De que se reciban 2 llamadas por minuto d) Calcule la media y la desviaciĂłn estĂĄndar de llamadas por segundo SoluciĂłn: đ?&#x153;&#x2020; = 0.05 llamadas por segundo a) P (x=3) = P(3, 0.05)= b) P( x > =5)= 1 - p(x < =4)= 1- ( P (x=0)+ P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P (x=4))= Utilizando tablas P( x > =5)=1-0.9998=0.0002 c) đ?&#x153;&#x2020; = 0.05 llamadas por segundo đ?&#x153;&#x2020; = (0.05) 60= 3 P(X=2)= P(2, 3)= VĂĄzquez, H. 2009
llamadas por minuto
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d)
4.3.3 Ejercicios Propuestos Distribución Binomial 1.- Para una distribución binomial con n=7 y p= 0.2, encuentre a) P(X = 5) b) P(X > 2) c) P(X < 7) d) P(x mayor o igual a 4) 2.- Encuentre la media y la desviación estándar las siguientes distribuciones binomiales: a) n=16, p=0.40. b) n=10, p=0.75 c) n=22, p=0.15 d) n=350, p=0.90 e) n=78, p=0.05 3.- Susana Gutiérrez es la alcaldesa de una ciudad grande. Últimamente, se ha estado preocupando acerca de la posibilidad de que grandes cantidades de personas que cobran el seguro de desempleo en realidad, tenga un trabajo en secreto. Sus asistentes estiman que el 40% de los beneficiarios del seguro de desempleo entran en esta categoría, pero la señora Gutierrez no está convencida. Le pide a uno de sus ayudantes que haga una investigación de 10 beneficiarios del seguro tomados al azar. a) Si los asistentes de la alcaldesa tienen razón ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los individuos investigados tengan un empleo? (no utilice las tablas) b) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tres de los individuos tengan trabajo? (no utilice las tablas). 4.- Con base en la experiencia anterior, el 15% de las facturas de una importante compañía que vende libros por correo están incorrectas. Si se selecciona una muestra aleatoria de tres facturas actuales, ¿cuál es la probabilidad de que a) Exactamente dos facturas estén incorrectas? b) No más de dos facturas estén incorrectas? c) Cuando menos dos facturas estén incorrectas? d) Realice un histograma de distribución de probabilidad.
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5.- Un conocido jugador de baloncesto tiene una posibilidad de 80% de anotar los tiros de castigo cada vez que lanza el balón desde la línea de tiro libre. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haga 4 tiros en el juego y anote las cuatro veces? b) ¿Cuál es la probabilidad de que anote cuando mucho tres veces en sus cuatro intentos? c) Calcular el valor esperado (Interprete los datos) d) Calcular la varianza y la desviación estándar. (Interprete los datos) 6.- Un artillero antitanque tiene una posibilidad de 70% de dar en el blanco cada vez que dispara desde una distancia de 200 m. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dispare a su blanco 10 veces y falle las 10 veces? b) ¿Cuántas veces se puede esperar que dé en el blanco? c) ¿Cuál es la probabilidad de que dé en el blanco cuando menos nueve en 10 tiros? 7.- El 0.5% de las piezas producidas por una máquina son defectuosas. La máquina se lleva a reparación si al tomar una muestra aleatoria de 10 piezas se encuentran 2 o más defectuosas. Obtenga la probabilidad de que la máquina sea sometida a reparación con este esquema de muestreo. 8.- Un estudio demuestra que 50% de las familias de un área metropolitana grande tienen por lo menos dos automóviles. Obtener las probabilidades de que entre 16 familias seleccionadas al azar en esta área metropolitana a) exactamente nueve tengan por lo menos dos automóviles; b) a lo sumo seis tengan por lo menos dos automóviles; c) cualquier cantidad de ocho a doce tenga por lo menos dos automóviles. 9.- La probabilidad de que un paciente no se recupere de una operación particular es de 0.1 a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ocho paciente sometidos no se recuperen? b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo un paciente entre los ocho pacientes no se recupere? c) Calcule el número esperado de pacientes que no se recuperen. d) Calcule la varianza y la desviación estándar. Distribución Geométrica 1.- La Administración Nacional de Aeronáutica y el Espacio (NASA) de Estados Unidos estima que la probabilidad de que falle un "componente crítico" dentro del motor principal de un transbordador espacial es de aproximadamente 1 en 63 (Tampa Tribune, 3 de diciembre de 1993). La falla de un componente crítico durante el vuelo conducirá directamente a una catástrofe del transbordador. a. En promedio, ¿cuántas misiones del transbordador volarán antes de que ocurra una falla de componente crítico? b. ¿Cuál es la desviación estándar del número de misiones antes de que ocurra una falla de componente crítico? c. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una falla de componente crítico c.1) En el quinto vuelo c.2) En el cuarto vuelo o antes
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2.- Suponga que el hecho de encontrar petróleo en un sitio de perforación es independiente de encontrarlo en otro y que, en una región determinada, la probabilidad de éxito en un sitio individual es de 0.3. a. ¿Qué probabilidad hay de que un perforador encuentre petróleo en su tercera perforación, o antes? b. Si X es el número de perforaciones hasta que ocurre el primer éxito, calcule la media y la desviación estándar de X. 3.- Un jugador de basquetball acierta el 90% de sus tiros libre. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en el séptimo tiro? a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle después del séptimo tiro? 4.- suponga que la variable aleatoria X tienen una distribución geométrica con p=0.5. calcule las probabilidades siguientes: a. P(X=1) b. P(X=4) c. P(X=8) d. P(X<=2) e. P(X>2) 5.- La probabilidad de un alineamiento óptico exitoso en el ensamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos es 0.8. suponga que los ensayos son independientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera exactamente cuatro ensayos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera como máximo cuatro ensayos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera al menos cuatro ensayos? Distribución Hipergeométrica 1.- Determine lo siguiente: a) Si n = 4, N = 10 y a = 5, entonces P(X = 3) b) Si n = 4, N = 6 y a = 3, entonces P(X = 1) c) Si n = 5, N = 12 y p = 0.25, entonces P(X = 0) d) Si n = 3, a= 3 y p = 0.3, entonces P(X = 3) 2.- Consulte el problema anterior a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para la distribución ipergeométrica descrita en a). b) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para la distribución hipergeométrica descrita en b). 3.- ¿Cuál es la probabilidad de que un auditor de impuestos encuentre sólo 2 declaraciones de impuestos sobre ingresos con deducciones improcedentes si seleccionó aleatoriamente 6 declaraciones entre 18, 8 de las cuales contienen deducciones improcedentes? 4.- Entre los 12 colectores solares en exhibición en una feria comercial, 9 son de placas planas y los demás de concentración. Si una persona de visita en la feria Vázquez, H. 2009
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seleccionara aleatoriamente cuatro de los recolectores solares para su examen, ÂżcuĂĄl serĂa la probabilidad de que 3 de ellos fueran de placas planas? 5.- Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 baterĂas de cada lote de 24 baterĂas para automĂłvil listo para ser embarcado. Si uno de esos lotes contiene seis baterĂas con ligeros defectos, ÂżquĂŠ probabilidades hay de que la muestra del inspector contenga a) ninguna baterĂa con defectos, b) sĂłlo una baterĂa con defectos; c) al menos dos baterĂas con defectos? 6.- Si 6 de 18 edificios nuevos en una ciudad violan el reglamento de construcciĂłn, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que un inspector de construcciones, que selecciona aleatoriamente 4 de los nuevos edificios para su inspecciĂłn, encuentre a) que ninguno de los edificios nuevos viola el reglamento de construcciĂłn, b) que uno de los edificios nuevos viola el reglamento de construcciĂłn; c) que dos de los edificios nuevos violan el reglamento de construcciĂłn; d) que al menos tres de los edificios nuevos violan el reglamento de construcciĂłn? 7.- Las tarjetas de circuito impreso se envĂan a una prueba de funcionamiento despuĂŠs de haber montado en ellas todos los chips. Un lote contiene 140 tarjetas y se toman 20 sin reemplazo para hacerles la prueba de funcionamiento. a. Si 20 tarjetas estĂĄn defectuosas ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que al menos una de ellas se encuentre en la muestra? b. Si 5 tarjetas estĂĄn defectuosas , ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que al menos una de ellas aparezca en la muestra? DistribuciĂłn Poisson 1.- Dada đ?&#x153;&#x2020;=4.2, para una distribuciĂłn de Poisson, encuentre a) P(X â&#x2030;¤ 2) b) P(X â&#x2030;Ľ 5) c) P(X = 8) d) DesviaciĂłn estĂĄndar e) Valor esperado 2.- Las fallas en el interior de plĂĄstico utilizado en automĂłviles se presentan de acuerdo con una distribuciĂłn de Poisson que tiene una media de 0.02 fallas por panel. a) Si se examinan 50 paneles, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que ninguno de ellos tenga fallas? 3.- El nĂşmero de mensajes que se envĂan por computadora a un boletĂn electrĂłnico es una variable aleatoria Poisson con una media de cinco mensajes por hora. a) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el boletĂn reciba cinco mensajes en una hora? b) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el boletĂn reciba 10 mensajes en una hora y media? c) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el boletĂn reciba menos de dos mensajes en media hora? 4.- El nĂşmero de defectos superficiales de los paneles de plĂĄstico utilizados en los interiores de automĂłviles tiene una distribuciĂłn Poisson con una media de 0.5 VĂĄzquez, H. 2009
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defectos por pie cuadrado de panel. Suponga que el interior de un automóvil contiene 10 pies cuadrados de este material. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos superficiales en los interiores de un automóvil? 5.- La concertista de piano Donna Prima se preocupa cada vez más por el número de tosidos que se presentan en la audiencia justo antes de que empiece a tocar. Durante su última gira, Donna estimó un promedio de ocho tosidos justo antes de empezar su concierto. La señora Prima le ha prometido a su director que si escucha más de cinco tosidos en el concierto de esa noche, se rehusará a tocar. ¿Cuál es la probabilidad de que la artista toque esa noche ? 6.- La contaminación es un problema en la fabricación de discos almacenamiento óptico. El número promedio de partículas contaminantes por centímetro cuadrado de superficie del medio de almacenamiento es del 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 cm2 .
de
a) Calcule la probabilidad de encontrar 12 partículas contaminantes en el área del disco. b) Encuentre la probabilidad de que no haya partículas contaminantes en el área del disco bajo estudio. 7.- Se supone que el número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria Poisson con media de 0.1 defectos por metro cuadrado. a. ¿Cuál es la probabilidad de tener dos defectos en un metro cuadrado de tela? b. ¿Cuál es la probabilidad de tener un defectos en 10 metros cuadrado de tela? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos en 20 metros cuadrado de tela? d. ¿Cuál es la probabilidad de que existan al menos dos defectos en 10 metros cuadrado de tela? 8.- El número de defectos superficiales de los paneles de plástico utilizados en los interiores de automóviles tiene una distribución Poisson con una media de 0.5 defectos por pie cuadrado de panel. Suponga que el interior de un automóvil contiene 10 pies cuadrados de este material. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos superficiales en los interiores del auto? b. Si se venden 10 autos a una compañía que los renta, ¿Cuál es la probabilidad de que los interiores de cualquiera de ellos no tengan defectos superficiales? c. Si se venden 10 autos a una compañía que los renta, ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, uno de ellos tengan defectos superficiales en sus interiores?
Vázquez, H. 2009
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