13 maths ijamss an exact expression for the mean square error of ratio estimator

Page 1

International Journal of Applied Mathematics & Statistical Sciences (IJAMSS) ISSN(P): 2319-3972; ISSN(E): 2319-3980 Vol. 2, Issue 5, Nov 2013, 125-142 Š IASET

AN EXACT EXPRESSION FOR THE MEAN SQUARE ERROR OF RATIO ESTIMATOR, REGRESSION ESTIMATOR AND GENERALIZED REGRESSION ESTIMATOR IN FINITE POPULATION SAMPLING ARUN KUMAR ADHIKARY Bayesian and Interdisciplinary Research Unit, Indian Statistical Institute, Kolkata, West Bengal, India

ABSTRACT Following Rao (1979) an attempt has been made to derive an exact expression for the mean square error of ratio estimator, regression estimator, generalized regression estimator, separate ratio and regression estimator and combined ratio and regression estimator in stratified random sampling and also an exact expression for an unbiased estimator of their mean square error. Noting that Rao’s (1979) procedure fails to derive an exact expression for the mean square error of product estimator of the population total, an alternative procedure is suggested to get an exact expression for the variance of a homogeneous linear unbiased estimator of the population total and also an exact expression for an unbiased estimator of the variance of the estimator. This procedure is illustrated in case of Horvitz-Thompson (1952) estimator, Hansen-Hurwitz (1943) estimator based on PPSWR sampling, Murthy’s (1957) unordered estimator based on PPSWOR sampling, ratio estimator based on Lahiri (1951), Midzuno (1952) and Sen’s (1953) sampling scheme and Hartley – Ross (1954) unbiased ratio type estimator based on SRSWOR sampling scheme.

KEYWORDS: Generalized Regression Estimator, Homogeneous Linear Unbiased Estimator, Mean Square Error, Ratio Estimator, Regression Estimator, Separate and Combined Ratio Estimator, Separate and Combined Regression Estimator

1. INTRODUCTION Let đ?‘ˆ = 1,2, ‌ , đ?‘ denote a finite population of size N and let đ?‘Śđ?‘– denote the value of a study variable y assumed on the ith unit of the population. Our problem is to estimate the population total đ?‘Œ =

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– based

on a sample s drawn

from a population of size N with a probability p đ?‘ . A homogeneous linear estimator of the population total Y is given by đ?‘Œ=

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

đ?‘Śđ?‘–

where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– ’s are independent of đ?‘Śđ?‘– ’s but may depend on đ?‘Ľđ?‘– ’s where đ?‘Ľđ?‘– is the value of an auxiliary variable x highly correlated with the study variable y assumed on the ith unit and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 if i does not belong to s or s does not contain i. According to Rao (1979), if MSE đ?‘Œ = 0 for for some choice of đ?‘Śđ?‘– as đ?‘Śđ?‘– = đ?‘?đ?‘¤đ?‘– where đ?‘? ≠0 and đ?‘¤đ?‘– ’s are some known constants, the MSE đ?‘Œ can be written as MSE đ?‘Œ

=−

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘–đ?‘—

đ?‘¤đ?‘– ăˆ°đ?‘—

�� ��

−

đ?‘Śđ?‘—

2

��

where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— = đ??¸đ?‘? đ?‘‘đ?‘ đ?‘– − 1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘— − 1 = đ??¸đ?‘? đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— − đ??¸đ?‘? đ?‘‘đ?‘ đ?‘– − đ??¸đ?‘? đ?‘‘đ?‘ đ?‘— + 1 =

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ −

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −

đ?‘ ∋đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? ă˜¸ +1.

126

Arun Kumar Adhikary

An unbiased estimator of MSE đ?‘Œ is given by đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œ = −

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘–đ?‘—

đ?‘ đ?‘¤đ?‘– đ?‘¤đ?‘—

�� ��

2

đ?‘Śđ?‘—

−

��

where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ = 0 if s does not contain i and j and đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ is such that đ??¸đ?‘? đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘

= đ?‘‘đ?‘–đ?‘— or

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘? đ?‘ = đ?‘‘đ?‘–đ?‘— .

The several choices of đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ have been suggested by Rao(1979) but they are all applicable in case of a homogeneous linear unbiased estimator đ?‘Œ in which case đ?‘‘đ?‘–đ?‘— =

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ = 1∀đ?‘– and as a consequence đ?‘‘đ?‘–đ?‘— reduces to

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1.

In case đ?‘Œ corresponds to a biased estimator, the only possible choice of đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?œ‹đ?‘–đ?‘— =

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘? đ?‘ is the second order inclusion probability so that

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

is đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ =

đ?‘‘ đ?‘–đ?‘— đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

where

đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘? đ?‘ = đ?‘‘đ?‘–đ?‘— .

2. MEAN SQUARE ERROR OF RATIO ESTIMATOR The ratio estimator of the population total Y is given by đ?‘Ś

đ?‘Œđ?‘… = đ?‘‹ đ?‘Ľ

where đ?‘Ś =

1

á´° đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘›

and đ?‘Ľ =

1

đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘›

are the sample means of y and x respectively based on a sample of size n đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

drawn from a population of size N by SRSWOR and đ?‘‹ =

is the population total of the auxiliary variable x.

Now đ?‘Œđ?‘… can be written as đ?‘Œđ?‘… =

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘Śđ?‘–

where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– =

đ?‘‹ đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘–

=

1 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘? đ?‘–

=

1 đ?‘?đ?‘

if đ?‘– ∈ đ?‘ or đ?‘ ∋ đ?‘– where đ?‘?đ?‘– =

đ?‘Ľđ?‘– đ?‘‹

and đ?‘?đ?‘ =

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘?đ?‘–

and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 otherwise.

We may note that MSE đ?‘Œă€ą = 0 if đ?‘Śđ?‘– = đ?‘?đ?‘Ľđ?‘– ∀đ?‘– and as a consequence MSE đ?‘Œđ?‘… can be written as MSE đ?‘Œđ?‘… = − where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— = =

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘–đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ −

1 1 đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘? 2 đ?‘ đ?‘ đ?‘›

−

đ?‘Śđ?‘–

đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

1 1 đ?‘ ∋đ?‘– đ?‘? đ?‘ đ?‘ đ?‘›

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −

−

đ?‘ ∋đ?‘—

1 1 đ?‘ ∋đ?‘— đ?‘? đ?‘ đ?‘ đ?‘›

đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ +1

+1

An unbiased estimator of MSE đ?‘Œđ?‘… is given by đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘… = −

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘ᥰđ?‘—

đ?‘ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘—

where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ = 0 if s does not contain i and j and đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ =

đ?‘‘ đ?‘–đ?‘— đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

if đ?‘–, đ?‘— ∈ đ?‘ where đ?œ‹đ?‘–đ?‘— =

3. MEAN SQUARE ERROR OF REGRESSION ESTIMATOR The regression estimator of the population total is given by đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; = đ?‘ đ?‘Ś + đ?‘? đ?‘‹ − đ?‘Ľ

đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘ đ?‘ −1

.

127

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

Where đ?‘Ś, đ?‘Ľ are the sample means of y and x respectively based on a sample of size n drawn from a population of size N by SRSWOR and đ?‘‹ =

1

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘

is the population mean of the auxiliary variable x.

Here đ?‘? is the sample regression coefficient of y on x and is given by 1

đ?‘?=đ?‘›

đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘Ś đ?‘– −đ?‘Ś đ?‘Ľ đ?‘– −đ?‘Ľ 1 đ?‘› đ?‘Ľ −đ?‘Ľ 2 đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘–

=

đ?‘› đ?‘–−1 đ?‘Ś đ?‘– đ?‘Ľ đ?‘– −đ?‘Ľ đ?‘› 2 đ?‘–=1 đ?‘Ľ đ?‘– −đ?‘Ľ

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

Now đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; can be written as đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; =

đ?‘Śđ?‘–

Where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 if s does not contain đ?‘– or đ?‘– does not belong to đ?‘ and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = đ?‘

1 đ?‘›

đ?‘Ľ đ?‘– −đ?‘Ľ 2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘– −đ?‘Ľ

+

if đ?‘ ∋ âťž or đ?‘– ∈ đ?‘ .

đ?‘‹âˆ’đ?‘Ľ

We may note that MSE đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; = 0 if đ?‘Śđ?‘– = đ?‘?đ?‘Ľđ?‘– ∀đ?‘– and as a consequence MSE đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; can be written as đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

MSE đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; = − Where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— =

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘–đ?‘—

đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ −

đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −

đ?‘ ∋đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ +1 where đ?‘? đ?‘ =

1 đ?‘ đ?‘›

.

An unbiased estimator of MSE đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; is given by đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x; = −

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘–đ?‘—

đ?‘ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘—

Where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ = 0 if s does not contain i and j and đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ =

đ?‘‘ đ?‘–đ?‘— đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

if đ?‘–, đ?‘— ∈ đ?‘ where đ?œ‹đ?‘–đ?‘— =

đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘ đ?‘ −1

.

4. MEAN SQUARE ERROR OF GENERALIZED REGRESSION ESTIMATOR Let a population of size N be divided into D non-overlapping domains đ?‘ˆđ?‘‘ such that đ?‘ˆđ?‘‘ đ??ˇ đ?‘‘=1 đ?‘ˆđ?‘‘

đ?‘ˆđ?‘‘ ′ = ∅ for đ?‘‘ ≠đ?‘‘ ′ and

= đ?‘ˆ. Let đ?‘Œđ?‘‘ =

đ?‘–∈đ?‘ˆ đ?‘‘

đ?‘Śđ?‘– and đ?‘‹đ?‘‘ =

đ?‘–∈đ?‘ˆ đ?‘‘

đ?‘Ľđ?‘– denote the population domain totals of y and x respectively. Let a sample s

be drawn from the population with a probability đ?‘ . Let đ?‘ đ?‘‘ = đ?‘

đ?‘ˆđ?‘‘ denote the part of the sample s coming from đ?‘ˆđ?‘‘ . Then the generalized regression estimator of đ?‘Œđ?‘‘

is given by đ?‘Œđ?‘‘ = đ?‘‹đ?‘‘ đ?›˝đ?‘„ + Where đ?›˝đ?‘„ = Then

đ?‘’đ?‘– đ?‘–∈đ?‘ đ?‘‘ đ?œ‹ đ?‘– đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ś đ?‘– đ?‘Ľ đ?‘– đ?‘„đ?‘– 2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘– đ?‘„đ?‘–

following

, đ?‘„đ?‘– ’s being arbitrarily assignable positive constants and đ?‘’đ?‘– = đ?‘Śđ?‘– − đ?›˝đ?‘„ đ?‘Ľđ?‘– , đ?œ‹đ?‘– =

Cassel,

Sđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘›đ?‘‘đ?‘Žđ?‘™ and

Wretman

(1976),

Adhikary (1995, 1998) and Adhikary (2000, 2005), đ?‘Œđ?‘‘ can be written as đ?‘Œđ?‘‘ =

đ?‘Śđ?‘– đ?‘–∈đ?‘ đ?œ‹ đ?‘–

đ?‘”đ?‘ đ?‘‘đ?‘–

Where đ?‘”đ?‘ đ?‘‘đ?‘– = đ??źđ?‘‘đ?‘– + đ?‘‹đ?‘‘ − Where đ??źđ?‘‘đ?‘– = 1 if đ?‘– ∈ đ?‘ˆđ?‘‘

đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–∈đ?‘ đ?‘‘ đ?œ‹ đ?‘–

đ?œ‹ đ?‘– đ?‘Ľ đ?‘– đ?‘„đ?‘– 2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘– đ?‘„đ?‘–

Sđ?‘Žrndal

(1980,

1982),

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘? đ?‘ .

Chaudhuri

and

128

Arun Kumar Adhikary

= 0 otherwise. We may note that MSE đ?‘Œđ?‘‘ = 0 if đ?‘Śđ?‘– = đ?‘?đ?‘Ľđ?‘– ∀đ?‘– and as a consequence MSE đ?‘Œđ?‘‘ can be written as đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

MSE đ?‘Œđ?‘‘ = − Where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— =

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘–đ?‘—

đ?‘Śđ?‘–

đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ −

đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

−

2

đ?‘Śđ?‘— đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −

đ?‘ ∋đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ + 1

Where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 if s does not contain i or i does not belong to s and đ?‘” đ?‘ đ?‘‘đ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– =

đ?œ‹đ?‘–

if ∈ đ?‘ .

An unbiased estimator of of MSE đ?‘Œđ?‘‘ is given by đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘‘ = −

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘–đ?‘—

đ?‘ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘—

Where đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ = 0 if s does not contain i and j and đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ =

đ?‘‘ đ?‘–đ?‘—

if đ?‘–, đ?‘— ∈ đ?‘ .

đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

5. MEAN SQUARE ERROR OF SEPARATE RATIO ESTIMATOR Let a population of size N be divided into L strata, the hth stratum consisting of đ?‘ đ?‘• units so that

đ??ż đ?‘• =1 đ?‘ đ?‘•

= đ?‘ and

let đ?‘Śđ?‘•đ?‘– and đ?‘Ľđ?‘•đ?‘– denote respectively the value of the study variable y and the auxiliary variable x assumed on the ith unit of the hth stratum, i=1,2,‌,đ?‘ đ?‘• , đ?‘• = 1,2, ‌ , đ??ż. Let a sample đ?‘ đ?‘• of size đ?‘›đ?‘• be drawn from the hth stratum by SRSWOR. Then the separate ratio estimator of the population total is given by đ?‘Œđ?‘…đ?‘† =

đ?‘Śđ?‘• đ??ż đ?‘• =1 đ?‘Ľ

Where đ?‘Śđ?‘• = đ?‘‹đ?‘• =

đ?‘ đ?‘• đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘•đ?‘–

đ?‘‹đ?‘•

đ?‘•

1

�� �=1 ���

��

and đ?‘Ľđ?‘• =

1 ��

�� �=1 ���

are the sample means of y and x respectively for the hth stratum and

is the population total of x for the hth stratum, h=1,2,‌,L.

Now đ?‘Œđ?‘…đ?‘† can be written as đ?‘Œđ?‘…đ?‘† =

đ??ż đ?‘• =1

đ?‘ đ?‘• đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘–

đ?‘Śđ?‘•đ?‘–

WHERE đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘– = 0 if i does not belong to đ?‘ đ?‘• or đ?‘ đ?‘• does not contain i and đ?‘‘đ?‘• ć?Šđ?‘– =

đ?‘‹đ?‘•

=

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘• đ?‘Ľ đ?‘• đ?‘–

1 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘• đ?‘? đ?‘• đ?‘–

=

1 đ?‘? đ?‘ đ?‘•

, say, if đ?‘– ∈ đ?‘ đ?‘• where đ?‘?đ?‘•đ?‘– =

đ?‘Ľđ?‘• đ?‘– đ?‘‹đ?‘•

and đ?‘?đ?‘ đ?‘• =

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘•

đ?‘?đ?‘•đ?‘– .

We may note that MSE đ?‘Œđ?‘…đ?‘† = 0 if đ?‘Śđ?‘•đ?‘– = đ?‘?đ?‘Ľđ?‘•đ?‘– ∀đ?‘– and as a consequence MSE đ?‘Œđ?‘…đ?‘† can be written as

Where đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— =

đ?‘ đ?‘• đ?‘–<đ?‘— =1

đ??ż đ?‘•=1

MSE đ?‘Œđ?‘…đ?‘† = −

đ?‘ đ?‘• ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘ đ?‘• đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘—

đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ −

đ?‘Ľđ?‘•đ?‘– đ?‘Ľđ?‘•đ?‘— đ?‘ đ?‘• ∋đ?‘–

đ?‘Śđ?‘• đ?‘– đ?‘Ľđ?‘• đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘• đ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘• đ?‘—

đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −

đ?‘ đ?‘• ∋đ?‘—

đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ +1.

An unbiased estimator of MSE đ?‘Œđ?‘…đ?‘† is given by đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘…đ?‘† = −

đ??ż đ?‘• =1

đ?‘ đ?‘• đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘• đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘—

đ?‘ đ?‘• đ?‘Ľđ?‘•đ?‘– đ?‘Ľđ?‘•đ?‘—

đ?‘Śđ?‘• đ?‘– đ?‘Ľđ?‘• đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘• đ?‘— đ?‘Ľđ?‘• đ?‘—

2

129

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

Where đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘• = 0 if i and j do not belong to đ?‘ đ?‘• and đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘• = is given by đ?œ‹đ?‘•đ?‘–đ?‘— =

đ?‘‘ đ?‘• đ?‘–đ?‘—

if đ?‘–, đ?‘— ∈ đ?‘ đ?‘• where đ?œ‹đ?‘•đ?‘–đ?‘— is the inclusion probability of a pair of units i and j from the hth stratum and

đ?œ‹ đ?‘• đ?‘–đ?‘—

đ?‘› đ?‘• đ?‘› đ?‘• −1 đ?‘ đ?‘• đ?‘ đ?‘• −1

.

6. MEAN SQUARE ERROR OF COMBINED RATIO ESTIMATOR The combined ratio estimator of the population total Y is given by đ?‘Œđ?‘…đ?‘? =

đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ą đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘Ą

đ?‘‹ đ??ż đ?‘• =1 đ?‘Šđ?‘•

Where đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ą =

đ?‘Śđ?‘• , đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Ą =

đ??ż đ?‘• =1 đ?‘Šđ?‘•

đ?‘Ľđ?‘• and đ?‘‹ =

đ??ż đ?‘• =1 đ?‘‹đ?‘•

where đ?‘Šđ?‘• =

đ?‘ đ?‘• đ?‘

, đ?‘• = 1,2, ‌ , đ??ż.

Now đ?‘Œđ?‘…đ??ś can be written as đ?‘Œđ?‘…đ??ś =

đ?‘ đ?‘• đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘–

đ??ż đ?‘•=1

đ?‘Śđ?‘•đ?‘–

Where đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘– = 0 if đ?‘– does not belong to đ?‘ đ?‘• or đ?‘ đ?‘• does not contain đ?‘– and đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘– =

đ?‘ đ?‘• đ?‘›đ?‘•

.

đ?‘‹

if đ?‘– ∈ đ?‘ đ?‘• .

đ??ż đ?‘• =1 đ?‘ đ?‘• đ?‘Ľ đ?‘•

We may note that đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘…đ??ś = 0 if đ?‘Śđ?‘•đ?‘– = đ?‘?đ?‘Ľđ?‘•đ?‘– ∀đ?‘– and as a consequence đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘…đ??ś can be written as

Where đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— =

đ?‘ đ?‘• đ?‘–<đ?‘— =1

đ??ż đ?‘• =1

đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘…đ??ś = −

đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ đ?‘• −

đ?‘ đ?‘• ∋đ?‘–,đ?‘—

Where đ?‘? đ?‘ đ?‘• =

1 đ?‘ đ?‘• đ?‘›đ?‘•

đ?‘ đ?‘• đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘—

đ?‘Ľđ?‘•đ?‘– đ?‘Ľđ?‘•đ?‘— đ?‘ đ?‘• ∋đ?‘–

đ?‘Śđ?‘• đ?‘– đ?‘Ľđ?‘• đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘• đ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘• đ?‘—

đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ đ?‘• −

đ?‘ đ?‘• ∋đ?‘—

đ?‘‘đ?‘•đ?‘ , đ?‘? đ?‘ đ?‘• + 1

.

An unbiased estimator of đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘…đ??ś is given by đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘…đ??ś = −

đ??ż đ?‘• =1

đ?‘ đ?‘• đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘• đ?‘— =1 đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘—

đ?‘ đ?‘• đ?‘Ľđ?‘•đ?‘– đ?‘Ľđ?‘•đ?‘—

đ?‘Śđ?‘• đ?‘– đ?‘Ľđ?‘• đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘• đ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘• đ?‘—

Where đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘• = 0 if đ?‘ đ?‘• does not contain đ?‘– and đ?‘— and đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘• =

đ?‘‘ đ?‘• đ?‘–đ?‘— đ?œ‹ đ?‘• đ?‘–đ?‘—

probability of a pair of units đ?‘– and đ?‘— from the hth stratum and is given by đ?œ‹đ?‘•đ?‘–đ?‘— =

if đ?‘–, đ?‘— ∈ đ?‘ đ?‘• , where đ?œ‹đ?‘•đ?‘–đ?‘— is the inclusion

đ?‘› đ?‘• đ?‘› đ?‘• −1 đ?‘ đ?‘• đ?‘ đ?‘• −1

, đ?‘• = 1,2, ‌ , đ??ż.

7. MEAN SQUARE ERROR OF SEPARATE REGRESSION ESTIMATOR The separate regression estimator of the population total is given by đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x;đ?‘ =

đ??ż đ?‘• =1 đ?‘ đ?‘•

Where đ?‘?đ?‘• = and đ?‘‹đ?‘• =

đ?‘‹đ?‘• đ?‘ đ?‘•

đ?‘Śđ?‘• + đ?‘?đ?‘• đ?‘‹đ?‘• − đ?‘Ľđ?‘•

đ?‘›đ?‘• đ?‘Ś −đ?‘Ś đ?‘• ) đ?‘Ľ đ?‘• đ?‘– −đ?‘Ľ đ?‘• đ?‘–=1 đ?‘• đ?‘– đ?‘›đ?‘• đ?‘Ľ −đ?‘Ľ đ?‘• 2 đ?‘–=1 đ?‘• đ?‘–

=

đ?‘›đ?‘• đ?‘Ś đ?‘Ľ −đ?‘Ľ đ?‘• đ?‘–=1 đ?‘• đ?‘– đ?‘• đ?‘– đ?‘›đ?‘• đ?‘Ľ −đ?‘Ľ đ?‘• 2 đ?‘–=1 đ?‘• đ?‘–

is the sample regression coefficient of y on x in the hth stratum

is the population mean of the auxiliary variable x in the hth stratum, h=1,2,‌,L.

Now đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x;đ?‘ can be written as đ?‘Œđ?‘™đ?‘&#x;đ?‘ =

đ??ż đ?‘• =1

đ?‘ đ?‘• đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘•đ?‘ đ?‘–

đ?‘Śđ?‘•đ?‘–

130

Arun Kumar Adhikary

Where ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ = 0 if ­ЮЉќ does not belong to ­ЮЉа­ЮЉЋ or ­ЮЉа­ЮЉЋ does not contain ­ЮЉќ and ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ =

­ЮЉЂ­ЮЉЋ

­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ 2 ­ЮЉќРѕѕ­ЮЉа ­ЮЉЋ ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ

1+

­ЮЉЏ­ЮЉЋ

­ЮЉІ­ЮЉЋ Рѕњ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ

if­ЮЉќ Рѕѕ ­ЮЉа­ЮЉЋ .

We may note that ­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉа = 0 if ­ЮЉд­ЮЉЋ­ЮЉќ = ­ЮЉљ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉќ Рѕђ­ЮЉќ and as a consequence ­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉа can be written as

Where ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ =

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉќ<­ЮЉЌ =1

­Юљ┐ ­ЮЉЋ=1

­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉа = Рѕњ

­ЮЉа­ЮЉЋ РѕІ­ЮЉќ.­ЮЉЌ

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ =1 ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉќ

­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉќ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉЌ

­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉЌ ­ЮЉЮ ­ЮЉа­ЮЉЋ Рѕњ

­ЮЉа­ЮЉЋ РѕІ­ЮЉќ

­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉќ

Рѕњ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉЌ

2

­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ

­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ ­ЮЉЮ ­ЮЉа­ЮЉЋ Рѕњ

­ЮЉа­ЮЉЋ РѕІ­ЮЉЌ

­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉЌ ­ЮЉЮ ­ЮЉа­ЮЉЋ + 1

An unbiased estimator of­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉа is given by ­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉќ<­ЮЉЌ =1

­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1

­ЮЉђТадсђ▒ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉа = Рѕњ

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ =1 ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉќ

­ЮЉа­ЮЉЋ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉќ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉЌ

­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉќ

Рѕњ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉЌ

2

­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ

Where ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ ­ЮЉа­ЮЉЋ = 0 if ­ЮЉа­ЮЉЋ does not contain ­ЮЉќ, ­ЮЉЌ or ­ЮЉќ, ­ЮЉЌ do not belong to ­ЮЉа­ЮЉЋ and ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ ­ЮЉа­ЮЉЋ = by ├░­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ =

­ЮЉЏ ­ЮЉЋ ­ЮЉЏ ­ЮЉЋ Рѕњ1 ­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉЂ­ЮЉЋ Рѕњ1

­ЮЉЉ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ­ЮЉЌ ├░­ЮЉЋ ­ЮЉќ­ЮЉЌ

, where ├░­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ is the inclusion probability of a pair of units ­ЮЉќ and ­ЮЉЌ from the hth stratum and is given

, ­ЮЉЋ = 1,2, Рђд , ­Юљ┐.

8. MEAN SQUARE ERROR OF COMBINED REGRESSION ESTIMATOR The combined regression estimator of the population total is given by ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ = ­ЮЉЂ ­ЮЉд­ЮЉа­ЮЉА + ­ЮЉЈ ­ЮЉІ Рѕњ ­ЮЉЦ­ЮЉа­ЮЉА Where ­ЮЉЈ = ­ЮЉІ=

­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1 ­ЮЉі­ЮЉЋ

­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1

­ЮЉЏ­ЮЉЋ ­ЮЉд Рѕњ­ЮЉд ­ЮЉЋ ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ=1 ­ЮЉЋ ­ЮЉќ ­ЮЉЏ­ЮЉЋ ­Юљ┐ 2 ­ЮЉЋ =1 ­ЮЉќ=1 ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ

­ЮЉЂ­ЮЉЋ

­ЮЉІ­ЮЉЋ , ­ЮЉі­ЮЉЋ =

­ЮЉЂ

уЇд­ЮЉЋ ­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1 ­ЮЉќ=1 ­ЮЉд ­ЮЉЋ ­ЮЉќ ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉЏ­ЮЉЋ ­Юљ┐ 2 ­ЮЉЋ =1 ­ЮЉќ=1 ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ

=

is the sample regression coefficient of y on x and

, ­ЮЉЋ = 1,2, Рђд , ­Юљ┐

Now ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ can be written as ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ =

­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉќ=1 ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ

­ЮЉд­ЮЉЋ­ЮЉќ

Where ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ = 0 if ­ЮЉќ does not belong to ­ЮЉа­ЮЉЋ or ­ЮЉа­ЮЉЋ does not contain ­ЮЉќ and ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ = ­ЮЉЂ

­ЮЉі­ЮЉЋ ­ЮЉЏ­ЮЉЋ

+

­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­ЮЉќ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ ­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1

­ЮЉЏ­ЮЉЋ ­ЮЉЦ Рѕњ­ЮЉЦ ­ЮЉЋ 2 ­ЮЉќ=1 ­ЮЉЋ ­ЮЉќ

if ­ЮЉќ Рѕѕ ­ЮЉа­ЮЉЋ .

We may note that ­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ = 0 if ­ЮЉд­ЮЉЋ­ЮЉќ = ­ЮЉљ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉќ Рѕђ­ЮЉќ and as a consequence ­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ can be written as ­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ = Рѕњ Where сђ▒­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ =

­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1

­ЮЉа­ЮЉЋ РѕІ­ЮЉќ,­ЮЉЌ

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉќ<­ЮЉЌ =1

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ =1 ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ

­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉќ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉЌ

­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉЌ ­ЮЉЮ ­ЮЉа­ЮЉЋ Рѕњ

­ЮЉа­ЮЉЋ РѕІ­ЮЉќ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉќ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉќ

Рѕњ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉЌ

2

­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ

­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉќ ­ЮЉЮ ­ЮЉа­ЮЉЋ Рѕњ

­ЮЉа­ЮЉЋ РѕІ­ЮЉЌ

An unbiased estimator of ­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ can be written as ­ЮЉђ­ЮЉє­ЮљИ ­ЮЉї­ЮЉЎ­ЮЉЪ­ЮЉљ = Рѕњ

­Юљ┐ ­ЮЉЋ =1

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉќ<­ЮЉЌ =1

­ЮЉЂ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ =1 ­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉќ­ЮЉЌ

­ЮЉа­ЮЉЋ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉќ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ­ЮЉЌ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉќ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉќ

Рѕњ

­ЮЉд­ЮЉЋ ­ЮЉЌ ­ЮЉЦ­ЮЉЋ ­ЮЉЌ

2

­ЮЉЉ­ЮЉЋ­ЮЉа­ЮЉЌ ­ЮЉЮ ­ЮЉа­ЮЉЋ + 1

131

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

Where đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘• = 0 if đ?‘– and đ?‘— do not belong to đ?‘ đ?‘• or đ?‘ đ?‘• does not contain đ?‘– and đ?‘— and đ?‘‘đ?‘•đ?‘–đ?‘— đ?‘ đ?‘• = belong

to

đ?‘ đ?‘• or

đ?‘ đ?‘•

contains

đ?‘– đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ?‘— đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘”đ?‘–đ?‘Łđ?‘’đ?‘› đ?‘?đ?‘Ś đ?œ‹đ?‘•đ?‘–đ?‘—

=

đ?‘–

and

j

đ?‘› đ?‘• đ?‘› đ?‘• −1

đ?œ‹đ?‘•đ?‘–đ?‘—

and

is

the

inclusion

probability

of

a

đ?‘‘ đ?‘• đ?‘–đ?‘— đ?œ‹ đ?‘• đ?‘–đ?‘—

pair

if đ?‘– and đ?‘— of

units

, đ?‘• = 1,2, ‌ , đ??ż.

đ?‘ đ?‘• đ?‘ đ?‘• −1

9. MEAN SQUARE ERROR OF PRODUCT ESTIMATOR The product estimator of the population total Y is given by đ?‘Œđ?‘ƒ = đ?‘

đ?‘Śđ?‘Ľ đ?‘‹

Where đ?‘Ś and đ?‘Ľ are the sample means of y and x based on a sample of size n drawn from a population of size N by SRSWOR and đ?‘‹ is the population mean of x. đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

Now đ?‘Œđ?‘ƒ can be written as đ?‘Œđ?‘ƒ =

đ?‘Śđ?‘–

Where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 if đ?‘– does not belong to đ?‘ or đ?‘ does not contain đ?‘– and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = =

đ?‘ 2

đ?‘ 2 đ?‘Ľ

if đ?‘– ∈ đ?‘ or đ?‘ ∋ đ?‘–

đ?‘› đ?‘‹

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘–

đ?‘›2

đ?‘‹

=

đ?‘ 2

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘?đ?‘–

đ?‘›2

=

đ?‘ 2 đ?‘›2

đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘?đ?‘ , say, where đ?‘?đ?‘– =

đ?‘‹

and đ?‘?đ?‘ =

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘?đ?‘– .

We may note that there does not exist a choice đ?‘Śđ?‘– = đ?‘?đ?‘¤đ?‘– for which đ?‘€đ?‘†đ??¸ đ?‘Œđ?‘ƒ = 0. Thus the method of Rao (1979) fails here to derive an exact expression for the mean square error of đ?‘Œđ?‘ƒ . In the next section we suggest an alternative procedure of deriving an exact expression for the variance of a homogeneous linear unbiased estimator of the population total in which one need not necessarily search for a choice đ?‘Ść?Ż = đ?‘?đ?‘¤đ?‘– for which the variance of the estimator vanishes and there is no need of calculation of đ?‘‘đ?‘–đ?‘— and đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ as is required in the method suggested by Rao(1979).

10. AN ALTERNATIVE PROCEDURE OF DERIVING THE VARIANCE OF A HOMOGENEOUS LINEAR UNBIASED ESTIMATOR OF THE POPULATION TOTAL Let ęž–=

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

đ?‘Śđ?‘– be a homogeneous linear unbiased estimator of the population total Y where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 if đ?‘– does

not belong to đ?‘ or đ?‘ does not contain đ?‘– and

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ = 1 ∀đ?‘–.

The variance of đ?‘Ą is given by đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ą = đ??¸đ?‘? đ?‘Ą − đ?‘Œ

2

= đ??¸đ?‘? đ?‘Ą 2 −đ?‘Œ 2

= đ??¸đ?‘?

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

đ?‘Śđ?‘–

2

− đ?‘Œ2

= đ??¸đ?‘?

đ?‘ 2 2 đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘Śđ?‘–

+

đ?‘ đ?‘–=1

=

đ?‘

2

2

〹=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘Śđ?‘–

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘—

đ?‘? đ?‘ +

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘ đ?‘–=1

− đ?‘Œ2

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘— đ?‘? đ?‘ − đ?‘Œ 2

Where S is the collection of all possible samples đ?‘ 2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

=

đ?‘ ∈đ?‘†

=

đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘? đ?‘ +

đ?‘ ∈đ?‘†

2 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −1 +

đ?‘–≠đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘ đ?‘–=1

đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘‘đ??śđ?‘–

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘— đ?‘? đ?‘ − đ?‘Œ 2

đ?‘Śđ?‘—

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1

132

Arun Kumar Adhikary

đ?‘ 2 đ?‘–=1 ⎤đ?‘–

=

2 đ??¸đ?‘? đ?‘‘đ?‘ đ?‘– −1 +

đ?‘ đ?‘–=1

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ??ˇ

đ??¸đ?‘? đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— − 1 .

An unbiased estimator of đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ą is given by đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ą =

2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Śđ?‘–

2 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– − đ?‘“đ?‘– đ?‘

+

đ?‘— ≠đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Śđ?‘–

đ?‘–∈đ?‘

đ?‘Śđ?‘— đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— − đ?‘“đ?‘–đ?‘— đ?‘

Where đ?‘“đ?‘– đ?‘ and đ?‘“đ?‘–đ?‘— đ?‘ are such that đ?‘ ∋đ?‘– đ?‘“đ?‘–

đ?‘ đ?‘? đ?‘ = 1 and

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘“đ?‘–đ?‘—

đ?‘ đ?‘? đ?‘ = 1.

The possible choices of đ?‘“đ?‘– đ?‘ and đ?‘“đ?‘–đ?‘— đ?‘ are đ?‘“đ?‘– đ?‘ =

1 đ?œ‹đ?‘–

1

, đ?‘“đ?‘– đ?‘ =

And đ?‘“đ?‘–đ?‘— đ?‘ =

1

đ?‘€1 đ?‘? đ?‘

, đ?‘“đ?‘–đ?‘— đ?‘ =

đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

1 đ?‘€2 đ?‘? đ?‘

Where đ?œ‹đ?‘– and đ?œ‹đ?‘–đ?‘— denote respectively the first order and second order inclusion probabilities and đ?‘€đ?‘&#x; =

đ?‘ −đ?‘&#x; , r=1, 2.Type equation here. đ?‘›âˆ’đ?‘&#x; This

procedure

is

applied

to

find

the

variances

of

the

Horvitz-Thompson

(1952)

estimator,

Hansen-Hurwitz (1943) estimator, Murthy’s (1957) unordered estimator, ratio estimator based on Lahiri (1951), Midzuno (1952) and Sen’s (1953) sampling scheme and Hartley – Ross (1954) unbiased ratio type estimator based on SRSWOR sampling scheme and also to find an exact expression for an unbiased estimator of the variance in each case.

11. VARIANCE OF HORVITZ - THOMPSON (1952) ESTIMATOR The Horvitz-Thompson (1952) estimator is đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ =

đ?‘Śđ?‘– đ?‘–∈đ?‘ đ?œ‹ . đ?‘–

Thus đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ can be written as đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ = and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– =

1 đ?œ‹đ?‘–

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

đ?‘Śđ?‘– where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– is zero if đ?‘– does not belong to đ?‘ or đ?‘ does not contain đ?‘–

if đ?‘– ∈ đ?‘ or đ?‘ ∋ đ?‘–.

The variance of đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ is đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

−1 +

đ?‘ đ?‘–=1

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ = =

đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

1 đ?œ‹đ?‘–

2 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −1 + đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘Śđ?‘—

đ?œ‹ đ?‘–đ?‘— đ?œ‹đ?‘– đ?œ‹đ?‘—

đ?‘ đ?‘–=1

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘Śđ?‘—

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1

−1 .

An unbiased estimator of đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ is đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ = =

2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Śđ?‘–

1−đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹ đ?‘–2

2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Śđ?‘–

+

2 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– −

đ?‘–∈đ?‘

1 đ?œ‹đ?‘–

+

đ?‘— ≠đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Śđ?‘–

đ?‘Śđ?‘—

đ?‘–∈đ?‘

đ?‘— ≠đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Śđ?‘–

đ?œ‹ đ?‘–đ?‘— −đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹ đ?‘— đ?œ‹ đ?‘–đ?‘— đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹ đ?‘—

đ?‘Śđ?‘— đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— −

1 đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

.

This expression is due to Horvitz-Thompson (1952). Now to derive the other expressions for the variance of the Horvitz-Thompson(1952) estimator available in the literature, let us consider the following results.

133

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

Theorem 𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝐴𝑖 =

=

1

2

𝑁 𝑖<𝑗 =1

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

2 1

𝑥𝑖2 +

𝑁 𝑖=1

𝑁 𝑗 ≠𝑖=1 𝑎𝑖𝑗

2

𝑁 𝑥𝑖 𝑖=1 𝛼

𝑥𝑖 𝑥𝑗 =

𝑖

𝑁 𝑖<𝑗 =1

𝐴𝑖 −

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝛼𝑖

𝛼𝑗

𝑥𝑖 𝛼𝑖

−

𝑥𝑗

2

where

𝛼𝑗

𝛼𝑗 .

Proof:

=

𝑁 𝑖=1 𝑎𝑖𝑖

1:

2

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

2

𝑁 𝑥𝑖 𝑖=1 𝛼

=

𝑁 𝑥𝑖 𝑖=1 𝛼

2 𝑖

𝑁 𝑖=1 𝑎𝑖𝑖

𝛼𝑗 −

𝑥𝑖2 +

𝑁 𝑖=1

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

Where 𝐴𝑖 =

Theorem 2: If

𝛼 𝑖2

+

− 𝑥 𝑗2 𝛼 𝑗2

𝛼𝑗

−

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

𝑁 𝑖=1 𝑎𝑖𝑖

𝑁 𝑗 ≠𝑖=1 𝑎𝑖𝑗

2

𝑥𝑗

2𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝛼𝑖𝛼𝑗

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

𝛼𝑗 − 2

𝛼𝑗 −

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝛼𝑖

𝑥 𝑖2

𝛼𝑖 𝛼𝑗

𝑁 𝑗 ≠𝑖=1 𝑎𝑖𝑗

𝑖

𝑥𝑖

𝛼𝑖 𝛼𝑗

𝑥 𝑖2 𝑁 𝑗 ≠𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝛼 𝑖

𝑁 𝑖=1

=

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝑥𝑖2 −

𝑥𝑖 𝑥𝑗

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 2

𝑥𝑖 𝑥𝑗 =

𝑁 𝑥𝑖 𝑖=1 𝛼

𝑖

〱

𝐴𝑖 −

𝑥𝑖

𝑁

뺄=1 𝑎𝑖𝑗 𝛼𝑖 𝛼𝑗

𝑖<𝑗 =1

𝛼𝑖

−

𝑥𝑗

2

𝛼𝑗

𝛼𝑗 . That completes the proof.

𝑁 𝑖=1 𝛼𝑖

𝑁 𝑖<𝑗 =1

= 1,

𝑁 𝑗 =1 𝛼𝑖

𝛼𝑗

𝑥𝑖 𝛼𝑖

−

𝑥𝑗 𝛼𝑗

2

𝑥𝑖

𝑁 𝑖=1 𝛼𝑖

=

𝛼𝑖

2

−𝑋

𝑁 𝑖=1 𝑥𝑖 .

Where 𝑋 =

Proof: Putting 𝑎𝑖𝑗 = 1 for all 𝑖 and 𝑗 in Theorem1, we get 𝑁 𝑖<𝑗 =1

𝑁 𝑗 =1 𝛼𝑖 2

=

𝑁 𝑥𝑖 𝑖=1 𝛼

=

𝑁 𝑖=1 𝛼𝑖

𝑖

𝛼𝑗

𝑥𝑖 𝛼𝑖

−

𝑥𝑗

2

𝛼𝑗

2

=

− 𝑋 2 where 𝑋 = 𝑥𝑖 𝛼𝑖

𝑁 𝑥𝑖 𝑖=1 𝛼

𝑖

–

_ 2 𝑖=1 𝑥𝑖

−

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

𝑁 𝑗 =1 𝑥𝑖 𝑥𝑗

𝑁 𝑖=1 𝑥𝑖

2

− 𝑋 . That completes the proof. 2

Theorem 3: If either 𝐴𝑖 = 0 for every = 1,2, … , 𝑁 or 𝑁 𝑖=1 𝑎𝑖𝑖

𝑥𝑖2 +

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝑥𝑖 𝑥𝑗 = −

𝑁 𝑖<𝑗 =1

𝑁 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗

𝑁 𝑥𝑖 𝑖=1 𝛼

𝑖

𝛼𝑖 𝛼𝑗

𝐴𝑖 = 0, then 𝑥𝑖 𝛼𝑖

−

𝑥𝑗 𝛼𝑗

2

.

Proof: Follows from Theorem 1 by putting 𝐴 = 0 for every = 1,2, … , 𝑁. Now by virtue of Theorem 1, the variance of the Horvitz-Thompson(1952) estimator can be written as 2

𝑉𝑎𝑟 𝑌𝐻𝑇𝐸 =

𝑁 𝑦𝑖 𝑖=1 𝜋

𝑖

𝑁 𝜋 𝑖𝑗 −𝜋 𝑖 𝜋 𝑗 𝑗 =1 𝜋 𝜋 𝑖 𝑗

𝜋𝑗 −

By putting 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝛼𝑖 = 𝜋𝑖 and 𝑎𝑖𝑗 = 𝜋𝑖𝑗

𝑦𝑖 𝜋𝑖

−

𝑦𝑗 𝜋𝑗

2

𝑁 𝑖<𝑗 =1

𝜋 𝑖𝑗 −𝜋 𝑖 𝜋 𝑗 𝜋𝑖 𝜋𝑗

Ꞗ 𝜋 𝑖𝑗 −𝜋 𝑖 𝜋 𝑗 𝑗 =1 𝜋 𝜋 𝑖 𝑗

𝜋𝑖 𝜋𝑗

𝑦𝑖 𝜋𝑖

−

𝑦𝑗

2

𝜋𝑗 2

in Theorem 1 =

𝑁 𝑦𝑖 𝑖=1 𝜋

𝑖

𝑁 〱𝑖𝑗 −𝜋 𝑖 𝜋 𝑗 𝑗 =1 𝜋 𝑖

+

𝑁 𝑖<𝑗 =1

𝑁 𝑗 =1

𝜋𝑖 𝜋𝑗 −

134

Arun Kumar Adhikary

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?œ‹

=

đ?‘–

�� +

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘ đ?œ‹ đ?‘–đ?‘— −đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹ đ?‘— đ?‘— =1 đ?œ‹

Where �� =

= 1+

đ?‘–

đ?‘Śđ?‘–

đ?œ‹đ?‘– đ?œ‹đ?‘— − đ?œ‹đ?‘–đ?‘— 1

đ?œ‹đ?‘–

−

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?œ‹đ?‘–đ?‘—

đ?œ‹đ?‘–

2

đ?‘Śđ?‘—

, say,

đ?œ‹đ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1 đ?œ‹đ?‘— .

−

Now if we denote by đ?›ž đ?‘ the number of distinct units in s and if đ?›ž đ?‘ is constant for every sample đ?‘ with đ?‘? đ?‘ > 0, then đ?›˝đ?‘– = 0 for every đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘ Because đ?›˝đ?‘– = 1 +

1

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?œ‹đ?‘–đ?‘—

đ?œ‹đ?‘–

đ?‘ đ?‘— =1 đ?œ‹đ?‘—

−

= 1+

đ?‘›âˆ’1 đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹đ?‘–

–�

= 1 + đ?‘› − 1 – đ?‘› = 0 as for a fixed effective sample size đ?‘› design we have đ?‘ đ?‘— =1 đ?œ‹đ?‘—

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?œ‹đ?‘–đ?‘—

= đ?‘› − 1 đ?œ‹đ?‘– and

= đ?‘›. Thus for a fixed effective sample size đ?‘› design, we have đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ =

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘Śđ?‘–

đ?œ‹đ?‘– đ?œ‹đ?‘— − đ?œ‹đ?‘–đ?‘—

đ?œ‹đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?œ‹đ?‘—

And an unbiased estimator of the variance of đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ is given by đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ =

đ?‘–<đ?‘— ∈đ?‘

đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹ đ?‘— −đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

đ?‘Śđ?‘–

đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

đ?œ‹đ?‘–

đ?‘— ∈đ?‘

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?œ‹đ?‘—

This expression is due to Yates and Grundy (1953). Now if đ?›ž đ?‘

is not a constant for all đ?‘ with đ?‘? đ?‘ > 0, then a third expression for the variance of the

Horvitz-Thompson (1952) estimator is given by 2

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ =

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?œ‹

đ?‘–

�� +

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘— =1

đ?œ‹đ?‘– đ?œ‹đ?‘— − đ?œ‹đ?‘–đ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?œ‹đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?œ‹đ?‘—

And an unbiased estimator of the variance of đ?‘Œđ??ťđ?‘‡đ??¸ is given by đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘‡ ă„° =

đ?‘Ś đ?‘–2 đ?›˝ đ?‘– đ?‘–∈đ?‘ đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘– đ?‘–

+

đ?‘–<đ?‘— ∈đ?‘

đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹ đ?‘— −đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

đ?‘Śđ?‘–

đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

đ?œ‹đ?‘–

đ?‘— ∈đ?‘

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?œ‹đ?‘—

This expression is due to Chaudhuri(2000). Chaudhuri and Pal (2002),Pal(2002) and Chaudhuri and Stenger(2005) claimed that the above expression of the variance estimator is uniformly non-negative if the following two conditions hold simultaneously đ?œ‹đ?‘– đ?œ‹đ?‘— ≼ đ?œ‹đ?‘–đ?‘— for all đ?‘– and đ?‘—, đ?‘– ≠đ?‘— And đ?›˝đ?‘– > 0 for all đ?‘–. But the above two conditions cannot hold simultaneously as is quite evident from the following result. Theorem 4: If đ?œ‹đ?‘– đ?œ‹đ?‘— ≼ đ?œ‹đ?‘–đ?‘— for all đ?‘– and đ?‘—, đ?‘– ≠đ?‘—, then đ?›˝đ?‘– < 0 for all đ?‘–. Proof: đ?›˝đ?‘– = 1 + = =

1 đ?œ‹đ?‘–

đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?œ‹đ?‘–đ?‘—

đ?‘ đ?œ‹đ?‘– + đ?‘ đ?‘— ≠đ?‘–=1 đ?œ‹ đ?‘–đ?‘— −đ?œ‹ đ?‘– đ?‘— =1 đ?œ‹ đ?‘—

đ?œ‹đ?‘– đ?‘ đ?‘ đ?‘— =1 đ?œ‹ đ?‘–đ?‘— − đ?‘— =1 đ?œ‹ đ?‘– đ?œ‹ đ?‘—

đ?œ‹đ?‘–

−

đ?‘ đ?‘— =1 đ?œ‹đ?‘—

135

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

=

1

𝑁 𝑗 =1

𝜋𝑖

𝜋𝑖𝑗 − 𝜋𝑖 𝜋𝑗

< 0 for all 𝑖.

That completes the proof.

12. VARIANCE OF HANSEN – HURWITZ (1943) ESTIMATOR The Hansen-Hurwitz (1943) estimator is 𝑌𝐻𝐻𝐸 =

𝑁 𝑦 𝑖 𝑓𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖

Where 𝑝𝑖 is the normed size-measure of the 𝑖th unit and 𝑓𝑖 is the frequency with which the 𝑖th unit occurs in the sample, 〰 = 1,2, … , 𝑁. 𝑁 𝑖=1 𝑑𝑠𝑖

Thus 〱𝐻𝐻𝐸 can be written as 𝑌𝐻𝐻𝐸 = and 𝑑𝑠𝑖 =

𝑓𝑖 𝑛𝑝 𝑖

𝑦𝑖 where 𝑑𝑠𝑖 is 0 if 𝑖 does not belong to 𝑠 or 𝑠 does not contain 𝑖

if 𝑖 ∈ 𝑠 or 𝑠 ∋ 𝑖.

The variance of the Hansen-Hurwitz (1943) estimator is 𝑁 2 𝑖=1 𝑦𝑖

𝑉𝑎𝑟 𝑌𝐻𝐻𝐸 = 𝑁 2 𝑖=1 𝑦𝑖

=

𝑓𝑖2

𝐸𝑝

+

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

−1 +

𝑛 2 𝑝 𝑖2

2 𝑁 2 𝑛 𝑛−1 𝑝 𝑖 2 𝑖=1 𝑦𝑖 2 𝑛 𝑝𝑖

2 𝐸𝑝 𝑑𝑠𝑖 −1 +

𝑛𝑝 𝑖 𝑛 2 𝑝 𝑖2

𝑁

𝑖=1

= =

1 𝑛 1 𝑛

2

𝑁 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑝

𝑖

𝑁 𝑖=1 𝑝𝑖

𝑁 𝑗 =1 𝑦𝑖 𝑦𝑗

𝐸𝑝

𝐸𝑝 𝑑𝑠𝑖 𝑑𝑠𝑗 − 1

𝑓𝑖 𝑓𝑗

−1

𝑛 2𝑝𝑖𝑝𝑗

𝑛 𝑛−1 𝑝 𝑖 𝑝 𝑗 𝑁 𝑗 =1 𝑦𝑖 𝑦𝑗 𝑛 2𝑝𝑖𝑝𝑗

𝑛−1 1 + −1 + 𝑛 𝑛𝑝𝑖

𝑦𝑖2

=

𝑁 𝑗 =1 𝑦𝑖 𝑦𝑗

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

−1 +

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

𝑁

−1 𝑁

𝑛−1 −1 𝑛

𝑦𝑖 𝑦𝑗 𝑖≠𝑗 =1 𝑗 =1

1

− 𝑌2 𝑛

𝑦𝑖 𝑝𝑖

2

−𝑌 .

An unbiased estimator of 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝐻𝐻𝐸 is given by 2 𝑁 _=1 𝑦𝑖

𝑉𝑎𝑟 𝑌𝐻𝐻 㚆 =

2 𝑑𝑠𝑖 − 𝑎𝑖 𝑠

+

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

Where 𝑎𝑖 𝑠 and 𝑎𝑖𝑗 𝑠 are such that 𝐸𝑝 𝑎𝑖 𝑠 2

=

𝑁 2 𝑓𝑖 𝑖=1 𝑦𝑖 𝑛 2 𝑝 2 𝑖

−

𝑓 𝑖 𝑓 𝑖 −1 𝑛 𝑛−1 𝑝 𝑖2

On Noting that 𝐸𝑝 𝑓𝑖 𝑓𝑖 − 1 = =

𝑦𝑖2 𝑓 𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑛 𝑛−1 𝑝 2 𝑖 1 𝑛 𝑛−1

−

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

+

𝑦𝑖2 𝑓𝑖2 𝑁 𝑖=1 𝑛 2 𝑛−1 𝑝 2

𝑖

−𝑛

𝑑𝑠𝑖 𝑑𝑠𝑗 − 𝑎𝑖𝑗 𝑠

= 1 and 𝐸𝑝 𝑎𝑖𝑗 𝑠

𝑓𝑖 𝑓𝑗 𝑁 𝑗 =1 𝑦𝑖 𝑦𝑗 𝑛 2 𝑝 𝑝 𝑖 𝑗

= 1.

𝑓𝑖 𝑓𝑗

−

𝑛 𝑛−1 𝑝 𝑖 𝑝 𝑗

= 𝑛 𝑛 − 1 𝑝𝑖2 and 𝐸𝑝 𝑓𝑖 𝑓𝑗 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑝𝑖 𝑝𝑗 −

𝑖

2 𝑁 𝑦𝑖 𝑓 𝑖 𝑖=1 𝑝 2

𝑁 𝑗 =1 𝑦𝑖 𝑦𝑗

𝑁 𝑦 𝑖 𝑓𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖

2

𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 𝑓𝑖 𝑓𝑗 𝑁 𝑗 =1 𝑛 2 𝑛−1 𝑝 𝑝

𝑁 𝑖≠𝑗 =1

=

𝑖 𝑗

1 𝑛 𝑛 −1

𝑁 𝑖=1 𝑓𝑖

𝑦𝑖 𝑝𝑖

− 𝑌𝐻𝐻𝐸

2

Which matches with the traditional unbiased estimator of 𝑉𝑎𝑟 ,𝐻𝐻𝐸 .

136

Arun Kumar Adhikary

13. VARIANCE OF MURTHY’S (1957) UNORDERED ESTIMATOR The Murthy’s (1957) unordered estimator is �� =

đ?‘–∈đ?‘

đ?‘Ś đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘

Where đ?‘? đ?‘ /đ?‘– is the conditional probability of selecting a sample đ?‘ given that the đ?‘– th unit is selected on the first draw and đ?‘? đ?‘ is the probability of selecting the unordered sample đ?‘ . Thus the Murthy’s (1957) unordered estimator can be written as đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

đ?‘Ąđ?‘€ =

đ?‘Śđ?‘–

Where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 if đ?‘ does not contain đ?‘– or đ?‘– does not belong tođ?‘ and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– =

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘

if đ?‘– ∈ đ?‘ or đ?‘ ∋ đ?‘–.

The variance of the Murthy’s (1957) unordered estimator is đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘€ = =

đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

=

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘? 2 đ?‘ /đ?‘– đ?‘ ∋đ?‘–

2 đ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

đ??´đ?‘– −

đ?‘? đ?‘

2 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −1 +

−1 +

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘–≠đ?‘— =1

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

2

= 2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

2

đ?‘Śđ?‘–2

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ??´đ?‘– =

đ?‘–,đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘? đ?‘–

đ?‘–

đ?‘?đ?‘—

đ?‘?

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Žđ?‘–đ?‘— đ?›źđ?‘— đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘— đ?‘? đ?‘

đ?‘? đ?‘

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

=

đ?‘?đ?‘–

đ?‘ đ?‘— =1

=

−

−1 2

đ?‘Śđ?‘— đ?‘?đ?‘—

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘— đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘? đ?‘

− 1 đ?‘?đ?‘— in Theorem1.

2

đ?‘?đ?‘— −

2

–

đ?‘? đ?‘ đ?‘Śđ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘? đ?‘–

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘? đ?‘— đ?‘? đ?‘ /đ?‘— đ?‘— ∈đ?‘

đ?‘? đ?‘

2

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– −

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

=

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘? đ?‘–

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– −

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘– 2

=

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

− 1 đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘—

đ?‘? đ?‘

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘ đ?‘ đ?‘? đ?‘– đ?‘—

2

=

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘—

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘—

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1

On putting đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Śđ?‘– , đ?›źđ?‘– = đ?‘?đ?‘– and đ??´đ?‘– = Now

đ?‘ đ?‘–≠đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– −

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

2

–

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

= 0.

Hence by virtue of Theorem 3, the variance of Murthy’s (1957) unordered estimator can be written as đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘€ =

đ?‘ đ?‘— =1

1−

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘— đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘—

đ?‘? đ?‘

đ?‘Śđ?‘– đ?‘?đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘?ă…Ľ

An unbiased estimator of đ?‘‰đ?‘Žă„° đ?‘Ąđ?‘€ is given by đ?‘? đ?‘ /đ?‘–đ?‘—

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘€ =

đ?‘–<đ?‘— ∈đ?‘

On noting that

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘— ∈đ?‘

đ?‘? đ?‘

−

đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘— đ?‘?2 đ?‘

đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘?đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘?đ?‘—

đ?‘? đ?‘ /đ?‘–đ?‘— = 1 where đ?‘? đ?‘ /đ?‘–đ?‘— is the conditional probability of selecting the sample đ?‘ given that

the units đ?‘– and đ?‘— are selected on the first two draws. After some simplifications, we have đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘€ =

1 đ?‘? đ?‘

2

đ?‘–<đ?‘— ∈đ?‘

đ?‘— ∈đ?‘

đ?‘? đ?‘ /đ?‘–đ?‘— − đ?‘? đ?‘ /đ?‘– đ?‘? đ?‘ /đ?‘— đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘—

đ?‘Śđ?‘–

ă„°đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘?đ?‘—

Which matches with the traditional unbiased estimator of the variance of Murthy’s,(1957) unordered estimator.

137

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

14. VARIANCE OF RATIO ESTIMATOR BASED ON LAHIRI (1951), MIDZUNO (1952) AND SEN’S (1953) SAMPLING SCHEME The ratio estimator of the population total total Y is given by �

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ś đ?‘–

đ?‘Ľ

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘–

đ?‘Ąđ?‘… = đ?‘‹ =

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ś đ?‘–

đ?‘‹=

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘? đ?‘–

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ś đ?‘–

=

đ?‘?đ?‘

where đ?‘?đ?‘ =

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘?đ?‘– .

The ratio estimator can be written as đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

đ?‘Ąđ?‘… =

đ?‘Śđ?‘–

Where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– is 0 if đ?‘– does not belong to đ?‘ or đ?‘ does not contain i and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– =

1 đ?‘?đ?‘

if đ?‘– ∈ đ?‘ or đ?‘ ∋ đ?‘–.

The probability of selecting a sample đ?‘ according to Lahiri (1951), Midzuno (1952) and Sen’s (1953) sampling scheme is given by đ?‘? đ?‘ =

đ?‘?đ?‘

đ?‘ −1 . đ?‘›âˆ’1

where đ?‘€1 =

đ?‘€1

The variance of the ratio estimator based on Lahiri(1951), Midzuno(1952) and Sen’s(1953) sampling scheme is given by đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘… = =

đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

=

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

1 1 đ?‘ ∋đ?‘– đ?‘? đ?‘€ đ?‘ 1

2 đ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘ đ?‘–≠đ?‘— =1

−1 +

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ??´đ?‘– −

2 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −1 +

On putting đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Śđ?‘– , đ?›źđ?‘– = đ?‘?đ?‘– and đ??´đ?‘– =

− 1 đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Žđ?‘–đ?‘— đ?›źđ?‘—

=

Now let us consider the quantity 2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

=

2

đ??´đ?‘– =

đ?‘ đ?‘–=1

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

1 1 đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘? đ?‘€ đ?‘? đ?‘ 1 đ?‘– 1 đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘? 2 đ?‘? đ?‘ đ?‘–

= đ??¸đ?‘?

đ?‘–∈đ?‘

= đ??¸đ?‘?

đ?‘Śđ?‘–2 1 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘? đ?‘? đ?‘– đ?‘

=

− 1 đ?‘?đ?‘— 2

đ?‘ đ?‘ŚćĄŁ đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘?đ?‘— −

đ?‘–

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘?đ?‘— −

đ?‘–

2

−

đ?‘Śđ?‘–2 1 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘? đ?‘? đ?‘– đ?‘

đ?‘ ∈đ?‘†

1 1 đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘? đ?‘€ 1 1

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘–

đ?‘Śđ?‘– đ?‘ −=1 đ?‘?

đ?‘– 2

đ?‘? đ?‘ −

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

Where S is the collection of all possible samples s đ?‘Śđ?‘–2 1 đ?‘? đ?‘ đ?‘–∈đ?‘ đ?‘? đ?‘? đ?‘€ đ?‘– đ?‘ 1

=

đ?‘ ∈đ?‘†

=

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

2 đ?‘–

1 đ?‘ ∋đ?‘– đ?‘€ 1

2

−

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

2

−

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Śç?Ł đ?‘Śđ?‘— 1 1 đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘? đ?‘€ đ?‘ 1

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘—

1 1 đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘? đ?‘€ đ?‘ 1

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘ đ?‘–≠đ?‘— =1

đ?‘Śđ?‘– đ?‘?đ?‘–

−

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘Śđ?‘—

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1

−1 2

đ?‘?đ?‘— 1 1 đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘? đ?‘€ đ?‘ 1

− 1 đ?‘?đ?‘— in Theorem1

138

Arun Kumar Adhikary 2

=

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘?

−

đ?‘–

đ?‘–

=0

Hence by Theorem 3 the variance of the ratio estimator can be written as đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘… =

đ?‘ đ?‘— =1

1−

1 1 đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘— đ?‘? đ?‘€ đ?‘ 1

đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘?đ?‘–

−

2

đ?‘Ś đ?‘?đ?‘—

An unbiased estimator of the variance of đ?‘Ąđ?‘… is given by đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘… =

=

1 đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘€ đ?‘? đ?‘ 2

đ?‘–<đ?‘— ∈đ?‘

đ?‘€1 đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘€ đ?‘? 2 đ?‘

đ?‘–<đ?‘— ∈đ?‘

−

1

ㄲ2đ?‘

đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘—

−

1 đ?‘? đ?‘ 2

đ?‘Śđ?‘– đ?‘?đ?‘–

−

đ?‘?đ?‘– đ?‘?đ?‘— đ?‘Śđ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘?đ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘?đ?‘—

2

đ?‘?đ?‘—

đ?‘ −2 . đ?‘›âˆ’2

Where đ?‘€2 =

A sufficient condition for non-negativity of đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘… is đ?‘?đ?‘ > or or

đ?‘€2 đ?‘€1

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘–

đ?‘‹

đ?‘› −1

>

đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘ −1

>

đ?‘›âˆ’1 đ?‘ −1

暆

đ?‘›âˆ’1 đ?‘‹ đ?‘€đ?‘–đ?‘› or đ?‘Ľ > 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘– đ?‘ −1 đ?‘›

As noted by Rao and Vijayan (1977).

15. VARIANCE OF HARTLEY –ROSS (1954) UNBIASED RATIO TYPE ESTIMATOR The Hartley-Ross (1954) unbiased ratio type estimator of the population total Y is given by đ?‘Œđ??ťđ?‘… = đ?‘&#x; đ?‘‹ + Where đ?‘&#x; =

1 đ?‘›

đ?‘› đ?‘ −1

đ?‘Ś − đ?‘&#x;đ?‘Ľ

đ?‘›âˆ’1 đ?‘› đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ đ?‘–

is the mean of the ratios and đ?‘Ś =

1 đ?‘›

đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– ,đ?‘Ľ

=

1 đ?‘›

đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

are the sample means of the study

variable y and the auxiliary variable x respectively. With the same notations as above Chaudhuri and Stenger (2005) have provided an incorrect expression for the Hartley-Ross (1954) unbiased ratio type estimator for the population total as đ?‘Œđ??ťđ?‘… = đ?‘&#x; đ?‘‹ +

đ?‘› đ?‘ −1 đ?‘ đ?‘›âˆ’1

đ?‘Ś − đ?‘&#x;đ?‘Ľ

In which the coefficient of the second term involving đ?‘Ś − đ?‘&#x; đ?‘Ľ is appropriate for estimating the population mean đ?‘Œ=

đ?‘Œ đ?‘

rather than đ?‘Œ in which case the first term should be replaced by đ?‘&#x; đ?‘‹. The Hartley-Ross(1954) unbiased ratio type estimator can be written as đ?‘Œđ??ťđ?‘… =

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘•

đ?‘Śđ?‘–

Where đ?‘‘đ?‘ đ?‘– = 0 if đ?‘– does not belong to đ?‘ or đ?‘ does not contain đ?‘– and đ?‘‘đ?‘ đ?‘– =

1 đ?‘‹ đ?‘› đ?‘Ľđ?‘–

+

đ?‘› đ?‘ −1

1

đ?‘›âˆ’1

đ?‘›

−

1 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘Ľđ?‘–

139

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

If đ?‘– ∈ đ?‘ or đ?‘ ∋ đ?‘–. The variance of the Hartley-Ross (1954) unbiased ratio type estimator is given by đ?‘ 2 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘… = 2

=

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ??´đ?‘– −

đ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–

2 đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −1 +

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Žđ?‘–đ?‘—

đ?‘Śđ?‘–

đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

�〹

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘—

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1

2

đ?‘Śđ?‘— đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘ đ?‘— =1 đ?‘Žđ?‘–đ?‘—

On putting đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Śđ?‘– , đ?›źđ?‘– = đ?‘Ľđ?‘– and đ??´đ?‘– = đ?‘Ž䊲đ?‘— =

−

đ?‘ đ?‘–≠đ?‘— =1

đ?‘Ľđ?‘— in Theorem 1 where

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

Now consider the quantity 2

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ?‘ đ?‘Śéś– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ??´đ?‘– =

đ?‘–

2

=

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

=

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘ đ?‘— =1

đ?‘–

đ?‘ đ?‘— =1 ăź đ?‘–đ?‘—

đ?‘–

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ − 1 đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘—

đ?‘–∈đ?‘

đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘Ľđ?‘–

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ?‘? đ?‘ −

đ?‘‹

đ?‘–

Where � is the collection of all possible samples =

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘

2

=

đ?‘ ∈đ?‘†

đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘–∈đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘–

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ đ?‘‹ −

đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘Ľđ?‘—

=

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ?‘–

đ?‘— ∈đ?‘ đ?‘‘đ?‘ đ?‘—

đ?‘Ľđ?‘— = đ?‘‹

2

đ?‘‹

đ?‘ ∋đ?‘–

2 đ?‘–

đ?‘‹

đ?‘‹

đ?‘–

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ?‘–

2

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

Because of the calibration equation =

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘— =1 đ?‘Ľ

−

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘? đ?‘ −

đ?‘–

đ?‘‹

2

đ?‘‹âˆ’

đ?‘ đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľ

đ?‘–

đ?‘‹=0

Using the unbiasedness condition

đ?‘ ∋đ?‘–

đ?‘‘đ?‘ 〰 đ?‘? đ?‘ = 1∀đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘ as the Hartley-Ross (1954) estimator is

known to be unbiased under SRSWOR. Hence by Theorem3 the variance of the Hartley-Ross (1954) unbiased ratio estimator is given by đ?‘ đ?‘–<đ?‘— =1

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťé°ź =

đ?‘ đ?‘— =1

1−

đ?‘ ∋đ?‘–,đ?‘—

đ?‘‘đ?‘ đ?‘– 郜đ?‘ đ?‘— đ?‘? đ?‘ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘—

An unbiased estimator of the variance of Hartley-Ross (1954) unbiased ratio type estimator is given by đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œđ??ťđ?‘… = Where đ?œ‹đ?‘–đ?‘— =

đ?‘–<đ?‘— ∈đ?‘

đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘ đ?‘ −1

1 đ?‘— ∈đ?‘ đ?œ‹ đ?‘–đ?‘—

− đ?‘‘đ?‘ đ?‘– đ?‘‘đ?‘ đ?‘— đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ľđ?‘—

đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–

−

đ?‘Śđ?‘—

2

đ?‘Ľđ?‘—

is the inclusion probability of a pair of units đ?‘– and đ?‘— under SRSWOR.

16. CONCLUSIONS Thus with this newly suggested procedure it is possible to derive the variance of a homogeneous linear unbiased estimator đ?‘Œ =

đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘‘đ?‘ đ?‘–

đ?‘Śđ?‘– of the population total đ?‘Œ based on a sampling design đ?‘? đ?‘ under which it is unbiased and it is

140

Arun Kumar Adhikary

also possible to derive an unbiased estimator of the variance of the estimator based on the same sampling design đ?‘ . In this procedure there is no need to search for a choice đ?‘Śđ?‘– = đ?‘?đ?‘¤đ?‘– for which đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Œ = 0 and also there is no need to calculate đ?‘‘đ?‘–đ?‘— or đ?‘‘đ?‘–đ?‘— đ?‘ as is required in Rao’s (1979) procedure. That is the novelty of this newly suggested technique which has been illustrated in case of several well-known estimators of the population total based on varying probability sampling designs including the Hartley-Ross (1954) unbiased ratio type estimator based on SRSWOR sampling design for which neither an expression for the variance of the estimator nor an unbiased estimator of the variance is available in the literature on Survey Sampling.

17. REFERENCES 1.

A. K. Adhikary, Small Area Estimation – A review, Sankhyikee, 7, pp.41-58, 2000.

2.

A. K. Adhikary, Small Area Estimation – A review, Journal of the Indian Society for Probability and Statistics 9, pp.17-34, 2005.

3.

C. M. Cassel, C. E. Sđ?’‚rndal and J. H. wretman, Some results on generalized difference estimation and generalized regression estimation for finite populations for finite populations, Biometrika, 63, pp. 615 - 620, 1976.

4.

A. Chaudhuri and A.K. Adhikary, On Generalized Regression Estimation of Small Domain Totals–An Evaluation Study, Pakistan Journal of Statistics, 11, 3, pp. 173-189, 1995.

5.

A. Chaudhuri and A. K. Adhikary, On Generalized Regression Predictors of Small Domain Totals – An Evaluation Study in Indian Statistical Institute, Calcutta, Frontiers in Probability and Statistics, pp.100-105, Narosa Publishing House, Edited by S. P. Mukherjee, S. K. Basu and B. K. Sinha, 1998.

6.

A. Chaudhuri, Network and adaptive sampling with unequal probabilities, Calcutta Statistical Association Bulletin, pp. 237 – 253, 2000.

7.

A. Chaudhuri and S. Pal, On certain alternative mean square errors in complex surveys, Journal of Statistical Planning and Inference, 104, 2, pp. 363 – 375, 2002.

8.

A. Chaudhuri and H. Stenger, Survey Sampling – Theory and Methods, Second Edition, Chapman & Hall /CRC,Taylor & Francis Group, New York, 2005

9.

M. H. Hansen and W. N. Hurwitz, On the theory of sampling from finite populations, The Annals of Mathematical Statistics, 14, pp. 333 - 362, 1943.

10. H. O. Hartley and A. Ross, Unbiased ratio estimates, Nature, 174, pp. 270-271, 1954. 11. D. G. Horvitz and D. J. Thompson, A generalization of sampling without replacement from a finite universe, Journal of the American Statistical Association, 47, pp. 663 – 685, 1952. 12. D. B. Lahiri, A method of sample selection providing unbiased ratio estimators, Bulletin of International Statistical Institute, 33, 2, pp. 133 – 140, 1951. 13. H. Midzuno, On the sampling system with probabilities proportionate to sum of sizes, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 3, pp. 99 -107, 1952. 14. M. N. Murthy, Ordered and Unordered estimators in sampling without replacement, Sankhy�, 18, pp. 379 – 390, 1957.

An Exact Expression for the Mean Square Error of Ratio Estimator, Regression Estimator and Generalized Regression Estimator in Finite Population Sampling

141

15. S. Pal, Contributions to emerging techniques in survey sampling, Unpublished Ph.D. Thesis submitted to Indian Statistical Institute, Kolkata, 2002. 16. J. N. K. Rao, On deriving mean square errors and their non-negative unbiased estimators in finite population sampling, Journal of the Indian Statistical Association, 17, pp.125 – 136, 1979. 17. J. N. K. Rao and K. Vijayan, On estimating the variance in sampling with probability proportional to aggregate size, Journal of the American Statistical Association, 72, 359, pp. 579 – 584, 1977. 18. C. E. Sđ?’‚rndal, On đ?œ‹-inverse weighting versus best linear weighting in probability sampling, Biometrika, 67, pp. 639 – 650, 1980. 19. C. E. Sđ?’‚rndal, Implications of survey design for generalized regression estimation of linear functions, Journal of Statistical Planning and Inference, 7, pp. 155 – 170, 1982. 20. A. R. Sen, On the estimation of variance in sampling with varying probabilities, Journal of the Indian Society of Agricultural Statistics, 5, 2, pp. 119 – 127, 1953. 21. F. Yates and P. M. Grundy, Selection without replacement from within strata with probability proportional to size, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 15, pp. 253 – 261, 1953.

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.