8 maths ijamss fixed point theorem for sreedhara rao

Page 1

International Journal of Applied Mathematics & Statistical Sciences (IJAMSS) ISSN(P): 2319-3972; ISSN(E): 2319-3980 Vol. 2, Issue 5, Nov 2013, 67-74 Š IASET

FIXED POINT THEOREM FOR SET-VALUED RESTRICTED-QUASI-CONTRACTION MAPS IN A đ?‘Ťâˆ— - METRIC SPACE MATTHEW BRIJESH SOOKOO & SREEDHARARAO GUNAKALA Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science and Technology, The University of the West Indies, St. Augustine Campus, Trinidad and Tobago

ABSTRACT In this paper we achieve a fixed point theorem for đ??ˇ ∗ -metric set-valued restricted-quasi-contraction mappings in a đ??ˇ ∗ -metric space. The result was obtained analogously by the method followed by Aydi [1] and extends the set-valued fixed point theory from đ?‘?-metric spaces to đ??ˇ ∗ -metric spaces.

KEYWORDS: Fixed Point Theorem, Quasi-Contraction Mappings, Set-Valued Mappings, đ??ˇâˆ— -Metric Space, đ??ˇâˆ— -Metric Set-Valued Restricted, Quasi, Contraction Mappings

1. INTRODUCTION AND PRELIMINARIES The idea of the đ?‘?-metric space as a generalization of the notion of an ordinary metric space was defined in 1998 by Czerwik, his motivation for this new concept was an observation that some mathematical problems lead to a different kind of triangle inequality in which the ordinary triangle inequality does not hold see Example 1.1 and [2]. The đ??ˇ-metric space was introduced by B. C. Dhage [3] as an attempt to obtain equivalent metric space results in a more general setting. The geometric representation of the đ??ˇ-metric space can be thought of as the perimeter of a triangle in â„?2 with vertices đ?‘Ľ, đ?‘Ś and đ?‘§. Unfortunately, many authors such as Mustafa, Sims and Naidu have found flaws with the topological properties of the đ??ˇ-metric space see [4, 5], which lead Sedghi [6] to provide a modification of the đ??ˇ-metric space known as the đ??ˇ ∗ -metric space. Definition 1.1 [2] Letđ?‘‹ be a non-empty set and đ?‘ ≼ 1 be a given real number. A function đ?‘‘: đ?‘‹ Ă— đ?‘‹ â&#x;ś â„?, is called a đ?‘?-metric if for all đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?‘‹ the following conditions are satisfied, 

� �, � ≼ 0



đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0 if and only if đ?‘Ľ = đ?‘Ś



đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś = đ?‘‘ đ?‘Ś, đ?‘Ľ



đ?‘‘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≤ đ?‘ đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘§ + đ?‘‘ đ?‘§, đ?‘Ś . The pair đ?‘‹, đ?‘‘ is called a đ?‘?-metric space. It is clear that the (usual) d-metric space is a đ?‘?-metric space, however the converse is not true. The following

example shows that a đ?‘?-metric on đ?‘‹ need not be a metric on đ?‘‹. Example 1.1: Let đ?‘‹ = {đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 }, đ?‘‘ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ3 = đ?‘˜ ≼ 2, đ?‘‘ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = đ?‘‘ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = 1, đ?‘‘ đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Ľđ?‘— = đ?‘‘ đ?‘Ľđ?‘— , đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–, đ?‘— = 1,2,3, đ?‘– ≠đ?‘— and đ?‘‘ đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Ľđ?‘– = 0 for đ?‘– = 1,2,3.

for

68

Matthew Brijesh Sookoo & Sreedhararao Gunakala

Then, � �� , �� ≤

đ?‘˜ 2

đ?‘‘ đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Ľđ?‘š + đ?‘‘ đ?‘Ľđ?‘š , đ?‘Ľđ?‘— for đ?‘š, đ?‘–, đ?‘— = 1,2,3.

Clearly (đ?‘‹, đ?‘‘) is a đ?‘?-metric space. However for đ?‘˜ > 2 sayđ?‘˜ = 3 lđ?‘‘ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ3 = 3, đ?‘‘ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = 1, đ?‘‘ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = 1 This implies, đ?‘‘ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ3 ≰ đ?‘‘ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 + đ?‘‘ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 . Hence the ordinary triangle inequality does not hold. Therefore (đ?‘‹, đ?‘‘) is not a metric space. Definition 1.2 [3] Letđ?‘‹ be a non-empty set and let đ??ˇ: đ?‘‹ Ă— đ?‘‹ Ă— đ?‘‹ â&#x;ś [0, ∞) be a function satisfying the following conditions, for all đ?‘Ž, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?‘‹ 

đ??ˇ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ≼ 0



đ??ˇ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = 0 if and only if đ?‘Ľ = đ?‘Ś = đ?‘§



đ??ˇ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = đ??ˇ đ?‘Ľ, đ?‘§, đ?‘Ś = đ??ˇ đ?‘Ś, đ?‘Ľ, đ?‘§ = đ??ˇ đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ľ = đ??ˇ đ?‘§, đ?‘Ľ, đ?‘Ś = đ??ˇ(đ?‘§, đ?‘Ś, đ?‘Ľ)



đ??ˇ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ≤ đ??ˇ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ž + đ??ˇ đ?‘Ľ, đ?‘Ž, đ?‘§ + đ??ˇ(đ?‘Ž, đ?‘Ś, đ?‘§). Then đ??ˇ is called a đ??ˇ-metric on đ?‘‹ and the pair (đ?‘‹, đ??ˇ) is called đ??ˇ-metric space. In addition, if đ??ˇ đ?‘Ľ, đ?‘Ľ, đ?‘Ś = đ??ˇ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ś) for all đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘‹ then đ??ˇ is called a symmetric đ??ˇ-metric. It should be noted that the usual đ?‘‘-metric is often called the distance function while the đ??ˇ-metric is called the

diameter function. Definition 1.3 [6] Letđ?‘‹ be a non-empty set and let đ??ˇ ∗ : đ?‘‹ Ă— đ?‘‹ Ă— đ?‘‹ â&#x;ś [0, ∞) be a function satisfying the following conditions, for all đ?‘Ž, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?‘‹ 

đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ≼ 0



đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = 0 if and only if đ?‘Ľ = đ?‘Ś = đ?‘§



đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘§, đ?‘Ś = đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘Ľ, đ?‘§ = đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ľ = đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘Ľ, đ?‘Ś = đ??ˇ ∗ (đ?‘§, đ?‘Ś, đ?‘Ľ)



đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ≤ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ž + đ??ˇ ∗ đ?‘Ž, đ?‘§, đ?‘§ . Then đ??ˇ ∗ is called a đ??ˇ ∗ -metric on đ?‘‹ and the pair (đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) is called đ??ˇ ∗ -metric space. Remark 1.1 [6]Let(đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) be a đ??ˇ ∗ -metric space.



Then đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ś = đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľ, đ?‘Ľ, đ?‘Ś) for all đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘‹.



From (a) we can write condition (iv) of Definition 1.3 as đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ≤ a đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ž, đ?‘Ž + a đ??ˇ ∗ (đ?‘Ž, đ?‘Ś, đ?‘§)for all đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ž ∈ đ?‘‹ Definition 1.4 [6]A sequence {đ?‘Ľđ?‘› } in a đ??ˇ ∗ -metric space is said to be convergent or đ??ˇ ∗ -convergent to đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹ if for

every đ?œ– > 0, there exist đ?‘›0 = đ?‘›0 (đ?œ–) ∈ â„•, such thatđ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľ < ∈ for all đ?‘› > đ?‘›0 . That is, đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľ â&#x;ś 0 as đ?‘› â&#x;ś ∞, or simply limđ?‘› →∞ đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘Ľ. It is also noted that đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľ = đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ľ, đ?‘Ľđ?‘› for all đ?‘› > đ?‘›0 .

Fixed Point Theorem for Set-Valued Restricted-Quasi-Contraction Maps in a đ?‘Ťâˆ— -Metric Space

69

Definition 1.5 [6] A sequence {đ?‘Ľđ?‘› } in a đ??ˇ ∗ -metric space is said to be a đ??ˇ ∗ -cauchy sequence if for every đ?œ– > 0, there exist đ?‘›0 = đ?‘›0 (đ?œ–) ∈ â„•, such thatđ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘š < ∈ for all đ?‘š, đ?‘› > đ?‘›0 . The space (đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) is said to be complete if every đ??ˇ ∗ -Cauchy sequence in đ?‘‹ is convergent in đ?‘‹. Definition 1.6 Let (đ?‘‹, đ?‘‘) be a metric space. The family of all non-empty closed and bounded subsets of đ?‘‹ is denoted by đ??śđ??ľ đ?‘‹ . The following definition is identical to the definition given by Ashraf [7] Definition 1.7 Let đ?‘‹, đ?‘‘ be a metric space, (đ?‘‹, đ??ˇ) be a đ??ˇ-metric space and đ??śđ??ľđ??ˇ (đ?‘‹) be the family of all non-empty closed and bounded subsets of đ?‘‹ in a đ??ˇ-metric space. 

The distance between any point đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹ and any two non-empty subsets đ??´, đ??ľ ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ (đ?‘‹) is denoted by đ??ˇ(đ?‘Ľ, đ??´, đ??ľ) and is defined by, đ??ˇ đ?‘Ľ, đ??´, đ??ľ = đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ + đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??ľ + đ?‘‘(đ??´, đ??ľ) Where, đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ = infâ Ą {đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś : đ?‘Ś ∈ đ??´},đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??ľ = infâ Ą {đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś : đ?‘Ś ∈ đ??ľ}and đ?‘‘ đ??´, đ??ľ = inf đ?‘‘ đ?‘Ž, đ?‘? : đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘? ∈ đ??ľ .



Let đ??´, đ??ľ, đ??ś ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ (đ?‘‹). The Hausdorff đ??ˇ-metric or Hausdorff đ??ˇ-metric distance is denoted by đ??ˇđ??ť (đ??´, đ??ľ, đ??ś) and is defined by, đ??ˇđ??ť đ??´, đ??ľ, đ??ś = max đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??´ đ??ˇ đ?‘Ľ, đ??ľ, đ??ś , đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??ľ đ??ˇ đ?‘Ľ, đ??ś, đ??´ , đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??ś đ??ˇ đ?‘Ľ, đ??´, đ??ľ . Informally, if (đ?‘‹, đ??ˇ) is a đ??ˇ-metric space, the đ??ˇ-metric Hausdorff distance is the greatest of all distances from a

point in one set to the closest points in the other two sets plus the distance between those two sets. Definition 1.8 [8]Let đ?‘‹, đ?‘‘ be a metric space. The set-valued map đ?‘‡: đ?‘‹ â&#x;ś đ??śđ??ľ(đ?‘‹) is said to be a đ?‘ž-set-valued quasi-contraction if, đ?‘‘đ??ť đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ś ≤ đ?‘ž. đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś , đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ?‘‘ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ś , đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ś , đ?‘‘(đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ľ) , for any đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘‹ where 0 ≤ đ?‘ž < 1 and đ?‘‘đ??ť denotes the Hausdorff metric on đ??śđ??ľ(đ?‘‹) induced by đ?‘‘. That is, đ?‘‘đ??ť đ??´, đ??ľ = đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??´ đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??ľ , đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ś ∈đ??ľ đ?‘‘ đ?‘Ś, đ??´ for all đ??´, đ??ľ ∈ đ??śđ??ľ(đ?‘‹). The following is a fixed point theorem for set-valued quasi-contraction maps in đ?‘?-metric spaces. Theorem 1.1 [1]Let(đ?‘‹, đ?‘‘) be a complete đ?‘?-metric space. Suppose that đ?‘‡ is a đ?‘ž-set-valued quasi-contraction. Assume that <

1 đ?‘ 2 +đ?‘

, then đ?‘‡ has a fixed point in đ?‘‹, that is there exist đ?‘˘ ∈ đ?‘‹ such that đ?‘˘ = đ?‘‡đ?‘˘ đ?‘˘ ∈ đ?‘‡đ?‘˘ .

Our main result extends Theorem 1.1 to đ??ˇ ∗ -metric spaces.

MAIN RESULTS Before we get into the specifics of the main result, the following definitions are required. It shows the natural extension of Definition 1.6 and Definition 1.7 as it applies to the đ??ˇ ∗ -metric space. Definition 2.1 Let (đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) be a đ??ˇ ∗ -metric space. The family of all non-empty closed and bounded subsets of đ?‘‹ is denoted by đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ đ?‘‹ .

70

Matthew Brijesh Sookoo & Sreedhararao Gunakala

Definition 2.2 Let đ?‘‹, đ?‘‘ be a metric space, (đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) be a đ??ˇ ∗ -metric space and đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ (đ?‘‹) be the family of all non-empty closed and bounded subsets of đ?‘‹ in a đ??ˇ ∗ -metric space. 

The distance between any point đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹ and any two non-empty subsets đ??´, đ??ľ ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ (đ?‘‹) is denoted by đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľ, đ??´, đ??ľ) and is defined by, đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??´, đ??ľ = đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ + đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??ľ + đ?‘‘ đ??´, đ??ľ Where,đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ = infâ Ą {đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś : đ?‘Ś ∈ đ??´}, đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??ľ = infâ Ą {đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś : đ?‘Ś ∈ đ??ľ} and đ?‘‘ đ??´, đ??ľ = inf đ?‘‘ đ?‘Ž, đ?‘? : đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘? ∈ đ??ľ .



Let đ??´, đ??ľ, đ??ś ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ (đ?‘‹). The Hausdorff đ??ˇ ∗ -metric or Hausdorff đ??ˇ ∗ -metric distance is denoted by đ??ˇ ∗ đ??ť (đ??´, đ??ľ, đ??ś) and is defined by, đ??ˇ ∗ đ??ť đ??´, đ??ľ, đ??ś = max đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??´ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??ľ, đ??ś , đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??ś, đ??´ , đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??ś đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??´, đ??ľ . Informally, if (đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) is a đ??ˇ ∗ -metric space, the đ??ˇ ∗ -metric Hausdorff distance is the greatest of all distances from a

point in one set to the closest points in the other two sets plus the distance between those two sets. The following lemma is an immediate consequence of above Definition 2.2. Lemma 2.1 Let đ?‘‹, đ??ˇ ∗ be a đ??ˇ ∗ -metric space. Let đ??´, đ??ľ, đ??ś ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ đ?‘‹ , then for every đ?›ź > 0 and every đ?‘Ž ∈ đ??´, there exist and đ?‘? ∈ đ??ľ and đ?‘? ∈ đ??ś such that đ??ˇ ∗ đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ≤ đ??ˇ ∗ đ??ť đ??´, đ??ľ, đ??ś + đ?›ź. Definition 2.3 Let đ?‘‹, đ??ˇ ∗ be a đ??ˇ ∗ -metric space. The set-valued map đ?‘‡: đ?‘‹ â&#x;ś đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ đ?‘‹ is said to be a đ??ˇ ∗ -metric đ?‘ž-set-valued restricted-quasi-contraction if for any đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?‘‹ đ??ˇ ∗ đ??ť đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ ≤ đ?‘ž. đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ Where 0 ≤ đ?‘ž < 1 and đ??ˇ ∗ đ??ť denotes the Hausdorff metric on đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ (đ?‘‹) induced byđ??ˇ ∗ , that is, for all đ??´, đ??ľ, đ??ś ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ (đ?‘‹), đ??ˇ ∗ đ??ť đ??´, đ??ľ, đ??ś = maxâ Ąđ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??´ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??ľ, đ??ś , đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??ś, đ??´ , đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ľ ∈đ??ś đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??´, đ??ľ Lemma 2.2 Let đ?‘‹, đ??ˇ ∗ be a đ??ˇ ∗ -metric space and đ??´ ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ đ?‘‹ and đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹. Then đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??´, đ??´ = 0 if and only if đ?‘Ľ ∈ đ??´ = đ??´. Proof: Supposeđ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??´, đ??´ = 0. This implies, đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ + đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ + đ?‘‘ đ??´, đ??´ = 0 Therefore, đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ = 0. That is, inf đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś : đ?‘Ś ∈ đ??´ = 0. Hence there exist đ?‘Ś ∈ đ??´ such that đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0, and since đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0, we have that đ?‘Ľ = đ?‘Ś. Now đ?‘Ś ∈ đ??´, implies đ?‘Ľ = đ?‘Ś ∈ đ??´. That is đ?‘Ľ ∈ đ??´. Also đ??´ is closed since đ??´ ∈ đ??śđ??ľđ??ˇ ∗ đ?‘‹ , which implies that đ??´ = đ??´.Hence, đ?‘Ľ ∈ đ??´ = đ??´. Conversely suppose đ?‘Ľ ∈ đ??´ = đ??´, then đ?‘Ľ ∈ đ??´. This implies, đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ = 0. Therefore, đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ + đ?‘‘ đ?‘Ľ, đ??´ + đ?‘‘ đ??´, đ??´ = 0. Hence, đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ??´, đ??´ = 0. ∎ Lemma 2.3 Let (đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) be a đ??ˇ ∗ -metric space and {đ?‘Ľđ?‘› } be a sequence in đ?‘‹ such that đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľđ?‘› +1 , đ?‘Ľđ?‘› +2 , đ?‘Ľđ?‘› +2 ) ≤ đ?‘˜đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› +1 , đ?‘Ľđ?‘›+1 ) forđ?‘› = 1,2, ‌ where 0 ≤ đ?‘˜ < 1.

Fixed Point Theorem for Set-Valued Restricted-Quasi-Contraction Maps in a đ?‘Ťâˆ— -Metric Space

71

Then the sequence {đ?‘Ľđ?‘› } is a Cauchy sequence in đ?‘‹. Proof: First note that, đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› +1 , đ?‘Ľđ?‘› +2 , đ?‘Ľđ?‘› +2 ≤ đ?‘˜đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› +1 , đ?‘Ľđ?‘› +1 ≤ đ?‘˜ 2 đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› ≤ â‹Ż ≤ đ?‘˜ đ?‘› đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 Using Definition 1.3 and remark 1.1, for đ?‘š > đ?‘›, đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘š ≤ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘›+1 , đ?‘Ľđ?‘›+1 + đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› +1 , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘š ≤ đ?‘˜ đ?‘›âˆ’1 đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 + đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘›+1 , đ?‘Ľđ?‘› +2 , đ?‘Ľđ?‘› +2 + đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› +2 , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘š ≤ đ?‘˜ đ?‘›âˆ’1 đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 + đ?‘˜ đ?‘› đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 + đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› +2 , đ?‘Ľđ?‘› +3 , đ?‘Ľđ?‘› +3 +đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› +2 , đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Ľđ?‘š < đ?‘˜ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘˜ đ?‘› + đ?‘˜ đ?‘›+1 + â‹Ż đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 =

đ?‘˜ đ?‘› −1 1−đ?‘˜

đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 ) â&#x;ś 0as đ?‘› â&#x;ś ∞.

This implies that

đ?‘Ľđ?‘› is a Cauchy sequence. ∎

The following is our main result, it is a fixed point theorem for đ??ˇ ∗ -metric set-valued restricted-quasi-contraction maps in a đ??ˇ ∗ -metric space. Theorem 2.1 Let (đ?‘‹, đ??ˇ ∗ ) be a complete đ??ˇ ∗ -metric space and đ?‘‡: đ?‘‹ â&#x;ś đ??śđ??ľđ??ˇâˆ— đ?‘‹ be a đ??ˇ ∗ -metric đ?‘ž-set-valued restricted-quasi-contraction. If đ?‘ž <

1 đ?‘ 2 +đ?‘

where đ?‘ ≼ 1 then đ?‘‡ has a fixed point in đ?‘‹. That is there exist đ?‘˘ ∈ đ?‘‹ such

that đ?‘˘ ∈ đ?‘‡đ?‘˘. Proof: Since đ?‘‡ is a đ??ˇ ∗ -metric đ?‘ž-set valued restricted-quasi-contraction, we have for any đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?‘‹,

đ??ˇ ∗ đ??ť đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ ≤ đ?‘ž. đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ Now, đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§

= 0 if and only if

� = � = � is a fixed point of �. We therefore assume,

đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ľ, đ?‘‡đ?‘Ľ , đ??ˇ ∗ đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ , đ??ˇ ∗ đ?‘§, đ?‘‡đ?‘Ś, đ?‘‡đ?‘§ 1

Take � ′ = 2

1 đ?‘ 2 −đ?‘

1

− đ?‘ž and đ?›˝ = đ?‘ž + đ?›ź ′ = 2

1 đ?‘ 2 −đ?‘

> 0f or all đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?‘‹.

+đ?‘ž .

1

Since we assumed that đ?‘ž < đ?‘ 2 +đ?‘ , we have đ?›ź ′ > 0 and 0 < đ?›˝ < 1. Let đ?‘Ľ0 ∈ đ?‘‹ and đ?‘Ľ1 ∈ đ?‘‡đ?‘Ľ0 , By Lemma 2.1, there exist đ?‘Ľ2 ∈ đ?‘‡đ?‘Ľ1 and đ?‘Ľ3 ∈ đ?‘‡đ?‘Ľ2 such that, đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ≤ đ??ˇ ∗ đ??ť đ?‘‡đ?‘Ľ0 , đ?‘‡đ?‘Ľ1 , đ?‘‡đ?‘Ľ2 + đ?›ź Also by Lemma 2.1, đ??ˇ ∗ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ2 ≤ đ??ˇ ∗ đ??ť đ?‘‡đ?‘Ľ0 , đ?‘‡đ?‘Ľ1 , đ?‘‡đ?‘Ľ1 + đ?›ź1 where đ?›ź1 > 0.

72

Matthew Brijesh Sookoo & Sreedhararao Gunakala

For 𝛼1 = 𝛼 ′ 𝑚𝑎𝑥

𝐷 ∗ 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , we have, 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1

𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥2 ≤ 𝐷 ∗ 𝐻 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 + 𝛼 ′ 𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑞. 𝑚𝑎𝑥 𝛼 ′ . 𝑚𝑎𝑥 = 𝛽. 𝑚𝑎𝑥

𝐷 ∗ 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1

𝐷 ∗ 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 𝐷 ∗ 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 𝐷 ∗ 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥0 , 𝑇𝑥0 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝐷 ∗ 𝑥1 , 𝑇𝑥1 , 𝑇𝑥1

Thus by induction, there exist a sequence 𝑥𝑛 in 𝑋 such that 𝑥𝑛+1 ∈ 𝑇𝑥𝑛 and for all 𝑛 ∈ ℕ,,

𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛+1 ≤ 𝐷 ∗ 𝐻 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛

𝐷 ∗ 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛−1 , + 𝛼 ′ 𝑚𝑎𝑥 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛

𝐷 ∗ 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛−1 , ≤ 𝛽. 𝑚𝑎𝑥 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 Let𝐷𝑛∗ = 𝐷 ∗ (𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛+1 ), we then have 𝐷𝑛∗

𝐷 ∗ 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛 −1 , ≤ 𝛽. 𝑚𝑎𝑥 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 −1 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛

(2.1)

Case I: If 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 +1 then 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛+1 ∈ 𝑇𝑥𝑛 is a fixed point of 𝑇 and the proof will be complete. Case II: If 𝑥𝑛 ≠ 𝑥𝑛 +1 . Then,

𝐷 ∗ 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝑚𝑎𝑥 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝑇𝑥𝑛−1 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 ≤ 𝑚𝑎𝑥 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛+1 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 , 𝑇𝑥𝑛 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛+1 = 𝑚𝑎𝑥 𝐷 ∗ 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝐷 ∗ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛+1 . ∗ , 𝐷𝑛∗ . = 𝑚𝑎𝑥 𝐷𝑛−1

If 𝑚𝑎𝑥 𝐷𝑛∗ −1 , 𝐷𝑛∗ = 𝐷𝑛∗ , then Equation 2.1 becomes 𝐷𝑛∗ ≤ 𝛽𝐷𝑛∗ which contradicts the fact that 0 < 𝛽 < 1. We therefore conclude that 𝑚𝑎𝑥 𝐷𝑛∗ −1 , 𝐷𝑛∗ ≠ 𝐷𝑛∗ which implies, ∗ ∗ , 𝐷𝑛∗ = 𝐷𝑛−1 𝑚𝑎𝑥 𝐷𝑛−1

Hence Equation 2.1 becomes, ∗ 𝐷𝑛∗ ≤ 𝛽𝐷𝑛−1

This implies that the conditions of Lemma 2.3 are satisfied, hence 𝑥𝑛 is a Cauchy sequence. Now since 𝑋 is complete, there exist 𝑢 ∈ 𝑋 such that 𝑥𝑛 ⟶ 𝑢 as 𝑛 ⟶ ∞, that is,

(2.2)

Fixed Point Theorem for Set-Valued Restricted-Quasi-Contraction Maps in a đ?‘Ťâˆ— -Metric Space

73

limđ?‘›â†’∞ đ?‘Ľđ?‘› = 0 We now proceed to show that đ?‘˘ is a fixed point of đ?‘‡, that is đ?‘˘ ∈ đ?‘‡đ?‘˘. Now by Definition 1.3 we have,

đ??ˇ ∗ đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘˘ ≤ đ??ˇ ∗ đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘Ľđ?‘›+1 + đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľđ?‘›+1 , đ?‘˘, đ?‘˘) ≤ đ??ˇ ∗ đ??ť đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘Ľđ?‘›

đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘˘, đ?‘Ľđ?‘› , đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ , + đ?›ź ′ . đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ , đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘Ľđ?‘› đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘Ľđ?‘›

đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘˘, đ?‘Ľđ?‘› , đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ , ≤ đ?‘ž. đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ , đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘Ľđ?‘› đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘Ľđ?‘›

+ đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľđ?‘›+1 , đ?‘˘, đ?‘˘)

đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘˘, đ?‘Ľđ?‘› , đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ , + đ?›ź . đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ , đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘Ľđ?‘› đ??ˇ ∗ đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘Ľđ?‘› ′

+ đ??ˇ ∗ (đ?‘Ľđ?‘›+1 , đ?‘˘, đ?‘˘) Letting đ?‘› â&#x;ś ∞ we get,

đ??ˇ ∗ đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘˘ ≤ đ?‘ž. đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ + đ?›ź ′ đ??ˇâˆ— đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ = đ?‘ž + đ?›ź ′ đ??ˇâˆ— đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ = đ?›˝. đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ That is,

đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ ≤ đ?›˝. đ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘

(2.3)

Nowsince 0 < đ?›˝ < 1, The only way Equation 2.3 holds is ifđ??ˇ ∗ đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘, đ?‘‡đ?‘˘ = 0. By lemma 2.2 we get đ?‘˘ ∈ đ?‘‡đ?‘˘ = đ?‘‡đ?‘˘, that is đ?‘˘ ∈ đ?‘‡đ?‘˘. This completes the proof.

∎

REFERENCES 1.

H. Aydi, M.-F. Bota, E. Karapinar and S. Mitrovic', "A fixed point theorem for set-valued quasi-contractions in b-metric spaces," Aydi et al. Fixed Point Theory and applications 2012, pp. 1-8, 2012.

2.

S. Czerwik, "Nonlinear set-valued Contraction mappings in b-Metric Spaces," Atti del Seminario Matematico e Fisico dell'UniversitĂ di Modena, pp. 263-276, 1998.

3.

B. C. Dhage, "Generalised metric spaces and mappings with fixed point," Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, vol. 84, no. 4, pp. 329–336, 1992.

4.

Z. Mustafa and B. Sims, "Some remarks concerning D-metric spaces," School of Mathematical and Physical Sciences, The University of Newcastle, NSW 2308, Australia., pp. 1-10, 2003.

5.

R. S. R. Naidu, "On the topology of D-metric spaces and generation of D-metric spaces from metric spaces," International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 2004, no. 51, pp. 2719-2740, 2004.

6.

S. Sedghi, N. Shobe and H. Zhou, "A Common Fixed Point Theorem in D*-Metric Spaces," Fixed Point Theory and Applications, vol. 2007, pp. 1-13, 2007.

7.

M. Ashraf, "Fixed point theorems in certain spaces," Pakistan Research Repository, pp. 1-146, 2005.

74

Matthew Brijesh Sookoo & Sreedhararao Gunakala

8.

A. Amini-Harandi, "Fixed point theory for set-valued quasi-contraction maps in metric spaces," Applied Mathematics Letters 24, pp. 1791-1794, 2011.

9.

T. Veerapandi and A. M. Pillai, "Some common fixed point theorems in D* - metric spaces," International Journal of Mathematical Sciences and Applications,, vol. 1, no. 3, pp. 1049-1063, 2011.

10. S. L. Singh and B. Prasad, "Some coincidence theorems and stability of iterative procedures," Computers and Mathematics with Applications 55, pp. 2512–2520, 2008. 11. S. L. Singh, S. Czerwik, K. Król and A. Singh, "coincidences and fixed points of hybrid contractions," Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences 24(4), pp. 401-416, 2008. 12. S.-H. Cho, "On Fixed Point Theorems in D-Metric Spaces," International journal of mathematical analysis, pp. 1059 - 1065, 2007. 13. K. Erwin , Introductory Functional Analysis with Applications, New York: John Wiley & Sons, 1978. 14. S. Sedghi, N. Shobe and A. Aliouche, "A Generalization of fixed point theorems in S-metric spaces," Matematiqki Vesnik, vol. 64, no. 3, pp. 258-266, 2012. 15. L. B. Ćirić, "A generalization of Banach's contraction principle," Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 45, no. 2, pp. 267-273, 1974. 16. Z. Mustafa and B. Sims, "A new approach to generalized metric spaces," Journal of Nonlinear and Convex Analysis, pp. 289-297, 2006. 17. J. Mohamed and S. Bessem , "Remarks on G-metric spaces and fixed point theorems," Fixed Point Theory and Applications, pp. 1-7, 2012. 18. R. R. Goldberg, Methods of Real Analysis, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc, 1976. 19. S. K. Mohanta, "Some Fixed Point Theorems in G-metric Spaces," Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta, pp. 285–306, 2012.

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.