HOJA 3

MATEMÁTICA II ECUACIONES EN DIFERENCIA FINITA

HOJA 3. Ecuaciones en diferencia finita 1. Determine la solución de cada una de las ecuaciones en diferencia finita que tiene el valor inicial indicado y estudie si la solución obtenida es convergente o no en los casos siguientes 2  an+1 = an + 1 a. ( E )  3 a1 ∈ R  a = − an + 2 b. ( E )  n+1 a1 ∈ R n +1  an an+1 = c. ( E )  n+2 a1 ∈ R

2. Determine

la

solución n

de

2 12an+1 − 9an +   = 0 que cumple 3

la

ecuación

en

diferencia

finita

+∞

∑a

n

= 11

n =1

an  an+1 = 1 + an 3. Se considera la ecuación en diferencia finita no lineal ( E )  a > 0  1 1 a. demostrar que an > 0 ∀n ∈ N y haciendo bn = mostrar que la ecuación se an

transforma en una ecuación lineal que se determinará b. Resolver la ecuación (E) y mostrar que toda solución converge a cero 4.

1  an+1 = − an + 3 a. Se considera la ecuación en diferencia finita ( E )  2 a1 ∈ R i. Hallar an solución de (E)

ii. Sea bn tal que bn = an − 2 ∀n ∈ N siendo an la sucesión encontrada en la parte a. Calcular a1 para que lim b1 + b2 + + bn = 6 Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

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iii. para la sucesión an encontrada en la parte i, se pide hallar si 1 corresponde lim an y lim an b. sea cn una sucesión convergente al numero real L. ¿Es posible afirmar 1 que converge? cn 5. Se considera ( EH )an + 2 − 2an +1 − 8an = 0 a. determine todas las soluciones de ( EH ) b. determine todas las soluciones de ( E )an+2 − 2an+1 − 8an = 32n2n (se sugiere buscar una solución de la forma zn = ( kn + h ) .2n ) c. determine todas las soluciones de ( E )an+ 2 − 2an+1 − 8an = 144n.4n (se sugiere buscar una solución de la forma zn = n ( kn + h ) .4n ) d. determine todas las soluciones de determine todas las soluciones de ( E )an+ 2 − 2an+1 − 8an = 16n ( 22n + 94n ) n

2 6. Resuelva la ecuación en diferencia finita ( E )an+ 2 − 6an+1 + 3an = 14.  3 7. a. construya todas las soluciones de la ecuación en diferencia finita ( EH )an+ 2 − 2γ an+1 + γ 2 an = 0 con 0 < γ < 1

( bn )n∈N es una sucesión cualquiera y lim ( cn − d n ) = 0 para todo par de sucesiones ( cn )n∈N n →+∞

b. si

0 < γ < 1 demuestre que

y ( d n )n∈N que sean solución

de la ecuación en diferencia finita an+ 2 − 2γ an+1 + γ 2 an = bn 8. Se

considera la ecuación 2 αn + β ( E ) an + 2 − 4 an = , n ∈ N , α ∈ R, β ∈ R ( n + 2) n

en

diferencia

finita

n+γ sea solución de (E) n b. para los valores de α , β , γ obtenidos en la parte anterior, se pide: i. halle todas las soluciones de la ecuación (E)

a. determine los números α , β , γ para que la sucesión

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ii. para cada

( an )n∈N solución de (E)

a2 n+3 − 1 n →+∞ a 2 n +1 − 1

determine lim

7  2 9. Se considera la ecuación en diferencia finita ( E )an+ 2 + α an+1 + β an = . −  4  5

n

n

3 a. determine los números reales α , β sabiendo que n.  es solución de ( EH ) 5 ( ( EH ) es la ecuación en diferencia finita homogénea asociada a (E))

b. con los valores de α , β obtenidos en la parte a i. resuelva completamente (E) ii. determine todas las soluciones ( an )n∈N de (E) que cumplen +∞

5 ∑0 an = − 4 sabiendo que

n

 3  15 ∑0 n  5  = 4 +∞

10. Se considera la ecuación en diferencia finita an+ 2 + γ 2 an = 1 + γ 2 , γ ∈ R, 0 < γ < 1 a. resuelva completamente la ecuación dada b. demuestre que todas esas soluciones son convergentes e indique a cuanto convergen 3 11. Se considera la ecuación en diferencia finita ( E )an+ 2 + an+1 + β an = 3 + γ .2n 2 n a. halle los números β , γ de modo que 2 + 2 sea solución de la ecuación dada b. para los valores de β , γ hallados en la parte anterior halle todas las soluciones ( an )n∈N de la ecuación dada que cumplen lim an = +∞ n →+∞

Observación Decimos que el conjunto

{( w )

n n∈N

, ( zn )n∈N

}

es LI si y solo si la única combinación

lineal que nos da la sucesión nula, es la trivial, es decir que los coeficientes de esa combinación lineal son ceros.

Teorema: Si ( wn )n∈N , ( zn )n∈N son sucesiones reales que cumplen w1 z2 ≠ w2 z1 Entonces,

{( w )

n n∈N

, ( zn )n∈N

}

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( wn )n∈N , ( zn )n∈N son sucesiones reales, estudie la dependencia lineal de {( wn )n∈N , ( zn )n∈N } en los siguientes casos:

12. Si

1 n! n b. wn = n , zn = n!

a. wn = 2n , zn = c. wn = 2n ,

d. wn = n 2 ,

zn = 2 n + 3 zn = n 2 − 3n + 2

13. Se considera la ecuación en diferencia finita

( E )an + 2 + 2an +1 − 15an = 7 n

∀n ∈

a. determine todas las soluciones de (E) b. Calcule: an para cualquier ( an )n∈N solución de (E) 7n a ii. lim nn para cualquier ( an )n∈N solución de (E) y b ∈ con b > 1. Discuta según b n →+∞ b

i. lim n →+∞

14. Una de las soluciones de la ecuación en diferencia finita an + 2 + α an +1 + β an = 0 es π  an = 2n −1 cos  ( n − 1)  . Entonces α = 3 

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y β=

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