Libro mates 1º ciclo

1º ciclo

ESO

MATEMÁTICAS

“Algunos trucos de cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos que escriben libros de matemáticas avanzados pocas veces se toman la molestia de mostrar cuan fáciles son los cálculos fáciles”.

Silvanus P. Thomson

Autor : Lino López Castaño Profesor de Pedagoxía Terapéutica

ÍNDICE Números naturales ...................................................................................................................... 2 Potencias................................................................................................................................... 19 Criterios de divisibilidad .......................................................................................................... 23 Números decimales .................................................................................................................. 49 Fracciones................................................................................................................................. 70 Números enteros ....................................................................................................................... 91 Expresiones algebraicas ......................................................................................................... 113 Ecuaciones de primer grado ................................................................................................... 124 Sistema sexagesimal ............................................................................................................... 141 Identificar y operar con Polinomios ....................................................................................... 167 Ecuaciones de segundo grado ................................................................................................ 177 Proporcionalidad ................................................................................................................... 190 Porcentajes ............................................................................................................................ 202 Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................................. 208 Rectas y ángulos ..................................................................................................................... 222 Teorema de Pitágoras ............................................................................................................. 232 Perímetros y áreas de figuras planas ...................................................................................... 238 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos .......................................................................... 254

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Números y operaciones Los n ú me ros n atu r al es si rven pa ra co nt ar l os el em ent os de un conj unt o (n ú me ro card i n al ). O bi en para ex presar l a posi ci ón u orden qu e ocupa un el em ent o en un conj unt o (n ú mero o rd i n al ).

Los n ú meros n atu r al es est án ord en ad os , l o que nos perm i te com para r dos n ú meros n atu ral es : 7 > 2;

7 es mayo r q u e 2.

2 < 7; 2 es men or q u e 7.

Los n ú meros n atu r al es son i l i mi tad os , si a un núm ero nat ural l e sum am os 1, obt enem os ot ro n ú me ro n atu ral .

RE PRE S E NT ACIÓ N DE L O S NÚME RO S NAT URAL E S Los n ú meros n atu r al es se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. En una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los números naturales: 1, 2, 3...

O PE RACIO NE S C O N NÚME RO S NA T URAL E S S u ma d e n ú meros n atu ral es a + b = c; Los términos de la sum a, a y b, se llaman sum andos y el resultado, c, sum a .

Res ta d e n ú meros n atu ral es a - b = c; Los términos que intervienen en una r esta se llaman: a, mi n u en d o y b , s u s traen d o . Al resultado, c, lo llamamos d i f eren ci a .

Mu l ti p l i caci ón d e nú me ros n atu ral es a · b = c; Los términos a y b se llaman f actor es y el resultado, c, p ro d u cto .

Di vi s i ón d e nú mero s n atu ral es D : d = c ; Los términos que intervienen en una di vi si ón se llaman, D, di vi dendo y d di vi s or . Al resultado, c, lo llamamos coci ent e . 

Pri o ri d ad es en l as op eraci on es

1 º .Efect ua r l as oper aci ones ent r e p arén tesi s, corch etes y l l aves..

2 º .C al cul ar l as p ote n ci as y raí c es .

3 º .Efect ua r l os p rod u ctos y coci en t es .

4 º .R eal i z ar l as su mas y r estas .

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Descompón estos números. Fíjate en el ejemplo: 4.168 = 4 UM + 1 C + 6 D + 8 U 51.245 = 754.390 = 3.790.050 = Escribe los siguientes números en cifras: Cuatrocientos cuarenta y un mil quinientos siete Ocho millones doscientos cinco mil Cincuenta y tres mil doscientos cinco Setecientos ocho millones trescientos mil noventa y uno Setecientos cuarenta y un mil veintiocho Tres millones seiscientos dos mil cinco Escribe los siguientes números en letra: 90.035 206.456 1.500.357 546.008 Escribe cuántas unidades vale la cifra 4 en estos números: 5.467.329: la cifra 4 vale

unidades

6.021.490: la cifra 4 vale

unidades

2.948.034: la cifra 4 vale

unidades

4.612.002: la cifra 4 vale

unidades

9.115.348: la cifra 4 vale

unidades

1.420.836: la cifra 4 vale

unidades

Coloca el símbolo < o> entre cada dos números: 44.999

45.712

909

288

4.080

8.040

351.024

352.100

7.136

6.905

3.456

4.356

Ordena estas cantidades de mayor a menor: 123.456 – 24.000 – 89.765 – 87.465 – 94.500 – 150.000 - 90.980

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Escribe el nº anterior y el siguiente: 34.000

5.100

9.899

39.856

6.900

9.999

Redondea estos números por truncamiento y aproximación a las centenas.

Números

Truncamiento

Redondeo

789.989 465.879 58.214 54.879 54.879 26.487 Sigue las series: 57

60 1008

1013

Efectúa las siguientes operaciones.

1 3. 2 6 0

4 8. 5 4 9

3 7. 4 0 5

9 7. 3 8 7

8. 3 6 0

5. 8 5 3

+ 5. 7 8 6

+

101

986.795 - 9 9. 8 7 5

1 9 2. 5 0 0 - 8 6. 3 2 0

Completa Minuendo 22.548

Sustraendo

Diferencia

19.879

598.236

25895 458368

200149

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Realiza las siguientes sumas y restas: 23.187 – 6.980 =

12.400 – 8.345 =

45.780 + 2.349 + 987 =

8.746 + 12.386 + 408 =

40.196 + 37.798 + 5.243 =

24.567 + 78.350 + 465 =

6.381 – 5.997 =

4.576 + __________ = 9.345

__________ - 73.408 = 47.685

_________- 5.689 = 6.740

4.570 + _________= 13.579

_________ + 7.965 = 23.358

34.533 - _________ = 29.405

36 5079 + 89 301=

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Calcula 7.135 x 1.000 = ___________

45.000 : 10 = ___________

307 x 100 = ____________

9.800 : 100 =___________

___________ x 10 = 3.400

__________ : 1.000 = 605

789 x _________ = 78.900

123.000 : ______ = 1.230

257842 x

9

1 .6 9 2 | 3

356.908 x 408 =

86.905 x 9 =

905732 x67

408

9 2 6 4 8 5 | 25

406.573 x 76 =

24 0 .6 8 5 | 74

Pรกgina 6 de 266

Realiza las siguientes operaciones: 8 9 4 .6 2 3 | 58

3 7 9 .7 3 0 | 42

406.573 x 76 =

98.658.784 x 458=

2 8 5 .4 5 8 | 69

356.908 x 408 =

8.246.878 | 54

789412546 | 68

Pรกgina 7 de 266

Aproxima los siguientes números a la decena, centena y millar más próximo.

Número Decena

Centena

Unidades de millar

Truncamiento Redondeo Truncamiento Redondeo Truncamiento Redondeo 7.436 8.258 9.173 6.881 5.743 4.289 Descompón los espectadores de estos estadios y redondea a la decena, centena y millar más próximo.

ESTADIO

DESCOMPOSICIÓN

REDONDEO DECENA

REDONDEO CENTENA

REDONDEO MILLAR

96540

96500

97000

9DM + 6UM+ 5C+ 4D+3U 90000+6000+500+40+3

Camp Nou 96543 espectadores

Santiago Bernabéu 84678 espectadores

Vicente Calderón 53217 espectadores

José Zorrilla.

18544 espectadores

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Efectúa: (4 + 7) x 3 =

(34 – 17) x 3=

2 x ( 3 + 80)=

12 + 15 x 5=

4 x 5 + 12 : 2=

55 : 5 + 14=

5 – (13 – 9)=

4.320 - (1.280 + 936)=

17 x 2 – 16=

3.620 - (3.120 - 960)=

2.864 - 1.328 + 830=

2 + 5 x 6 – 40 : 5 =

(3 + 12 x 2) + 45 : 3 + 9=

25 x 5 – (150 : 2 + 25) + 25=

50 – 15 x 2 + 45 : 3=

(30 + 15) x (13 – 9)=

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5 x (8 + 3) – 44=

66 + (13 – 5) x 74 + 10 – 23 x 4=

2 + [ 5 + ( 10 + 2) x 3] =

5 x (4 – 2) + 12 : 4 =

(1 + 2 x 5 – 4) : 7 + 15 : 3 =

3x4–2x5=

3 x [ 2 – (3 – 2)] + 20 : 10 + 3 =

5 + 27 : 9 – 2 x 3 + 10 =

2 + 5 x 6 – 40 : 5=

(3 + 12 x 2) + 45 : 3 + 9=

35 – 9 x 2 =

25 x 5 – (150 : 2 + 25) + 25=

3x4–2x5=

(24 + 47) - (32 + 26) =

Página 10 de 266

3 x [ 2 – (3 – 2)] + 20 : 10 + 3 =

5 + 27 : 9 – 2 x 3 + 10 =

48 - (21 + 47) + (36 + 15)=

(17 + 92) - (13 + 46) – 9=

296 - (47 + 36) - (4 + 37)=

(324 - 188) : 8=

(37 + 48 - 54) x 16=

7 x (4 + 3) - [ 6 : (2 + 1) ] + 6=

4620 : (43 + 21 - 34) =

81: (20 – 11) + (5 x 20)

32 · (14 : 2 + 35) + 15=

5 · (125 – 20 + 15) + 3 · (156 : 3 – 5)=

160 + 2 · (161 – 605 : 5) + 4 · 21=

420 · 3 · 4 – 40 · 5 · 2=

120 : 4 + 8 – 3 · 5=

4 · (3 · 5 – 7) – 12 : (8 + 9 – 13)=

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5 · (25 – 21 + 1) + 7 · (15 : 3 – 5)=

23 + 12 · 2 – 30 : 6=

28 – 14 : 2 + 5=

4 · 10 + 240 : 120=

400 : 4 : 4 – 2 · 10 + 5 · 2=

60 . (20 - 5 + 1) + (3 + 5) . 5 =

5 . (9 - 3) + 6 - 7 . 2=

(15 - 2 . 5) . 8 - (12 - 4) . 3=

30 – 4 · (5 + 2)

5 · (11 – 3) + 7

2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4)

3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2)

4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)

2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)

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(15 - 2 . 5) . 8 - (12 - 4) . 3

60 . (20 - 5 + 1) + (3 + 5) . 5 =

6 . (10 + 8) - (23 + 5 . 3)

[(10+2.5.4:8) – (2+4-3)] – 9

[(7.2-6) : 2] : (5.2-6)

3 . 7 . (4-2) : 6 + (10-14:7)

60 : (3+2) . (6-2.2) - 64 : 8

(9+2.5+1) : 4 + 4 . (6-8:2)

Calcula y relaciona cada operación con su resultado.

4 + (3 + 9) · (8 – 2) =________________●

●6

(5 · 3) – (3· 3)=____________________ ●

●12

7 · (5 + 6) =________________________●

●76

(15 – 7) + (8 · 5) : 10 =_______________●

●77

Completa la tabla: MINUENDO

SUSTRAENDO

500

300

4.872

2.431

DIFERENCIA 200

7.358

1.341

8.253

1.220

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Si: A = 250 , B = 48 , C = 9 y D = 135 ; halla: (A - B) x C + D

A + B x (C + D)

(A + B) x (C + D)

(A – C + B) . C

Escribe la expresión numérica y calcula el resultado.

La suma de 6 y 8 multiplícala por 3 Multiplica 4 y 7 y réstale 15 Multiplica por 9 la diferencia de 21 y 6 Resta 18 a la suma de 12 y 21 A 14 le restas 8 y le sumas 4 Al producto de 4 por 5 le sumas el producto de 3 por 2 Al doble de 32 le restas la suma de 12 y 5 Al triple de 15 le sumas la diferencia entre 40 y 18 Al triple de 15 le sumas la diferencia entre 40 y 18 A la diferencia entre 36 y 19 le sumas el producto de 4 x 20 Página 14 de 266

Problemas Un gran almacén puso a la venta 810 En un colegio hay 1003 alumnos, de los ordenadores. Por la mañana se vendieron cuales 516 son chicas. ¿Cuántos chicos hay?

543, y por la tarde, 179. ¿Cuántos ordenadores quedaron sin vender?

El peso de un camión vacío es de 8.500 Kg. y está cargado de 5.870 Kg. de naranjas más 3.650 Kg. de peras.¿Cuál será la masa total del camión?

En una tienda hay tres facturas por cobrar: una de 144 €, otra de 188 € y la tercera por un valor igual a las dos anteriores. ¿Qué cantidad de dinero hay por cobrar?

En un almacén de patatas hay 8780 Kg.. El lunes se venden 388 Kg. , el martes el doble y el miércoles 190 Kg. más que el martes. ¿Cuántos Kg. quedan en el almacén?

Entre Juan y Carlos han cargado un camión de transporte de mercancías. Juan ha conseguido cargar 13.655 kg. Y Carlos 10.570 kg. ¿Cuántos kg. han cargado entre los dos? ¿Cuántos kg. más ha cargado Juan que Carlos?

Un ciclista quiere realizar un recorrido entre dos ciudades que están separadas por 560 km. en tres etapas. El primer día recorre 156 km. y el segundo 230 km. ¿Cuántos Km. tendrá que recorrer el tercer día para completar las tres etapas?

Si ganase 56 € más al mes podría gastar: 420 € en el alquiler de la casa, 102 € en gasolina para el coche, 60 € en la manutención y 96 € en gastos generales, y ahorraría 32 €. ¿Cuánto gano al mes?

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El entrenador del equipo ha comprado 7 trajes de deporte a 36 euros cada uno y 7 pares de zapatillas a 30 euros cada uno. a) ¿cuánto ha pagado por todo? b) Si para pagar entrega un billete de 500 euros, ¿cuánto dinero le devolverán?

Marcos ha salido de casa con 60 €. Se ha gastado 22 € en un libro, 18 € en un CD y 12 € en una camiseta. ¿Cuánto dinero le ha sobrado?

¿Cuántas cajas de 12 rotuladores cada una se pueden formar con 2.800 rotuladores?

María compra un ordenador por 874 € y pagará mensualmente 72 €. ¿Cuántos meses tendrá que estar pagando?

Adrián ha comprado una moto por un valor de 4.786. Primero pagó la mitad del valor y el resto en 12 mensualidades iguales. ¿Cuánto pagó Adrián en cada mensualidad?

Roberto tiene 124 cromos de mamíferos, 69 cromos de insectos más que de mamíferos y 38 cromos de aves más que de insectos. ¿Cuántos cromos le faltan a Roberto para completar una colección de 1.000 cromos?

Vamos a repartir 720 € entre tres personas y Tenemos 320 kg de naranjas que se quieren se sabe que la primera recibirá 280 €. empaquetar en bolsas de 12 kg, 5 kg y 3 kg. ¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto se ¿Cuántas bolsas se necesitan como mínimo? reparte en partes iguales?

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Fíjate en los precios de cada cosa y luego contesta a las preguntas: ¿Cuánto costarán 3 kilogramos de fresas?

Susana compró 7 Kg de peras y pagó con un ¿Qué cuesta más caro: 4 Kg de limones o 3 billete de 50 euros.¿Cuánto le cobraron? Kg de uvas? Realiza las operaciones ¿Cuánto le devolvieron? correspondientes.

Óscar quiere comprar 5 Kg de plátanos y 4 Pedro tiene 79 € para comprar sillas.

Kg de cebollas. ¿Podrá hacer esa compra con Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas un billete de 20 Euros? Realiza las sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra? operaciones.

María quiere ordenar de mayor a menor la recaudación que ha conseguido su tienda en los siguientes meses. ¿Puedes ayudarle a realizarlo?

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

567.832

486.520

569.053

648.865

486.617

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La valla de mi colegio presenta ocho barrotes por cada metro, y tiene una longitud de 327 metros. ¿Cuántos barrotes componen la valla?

Marcos ha salido de casa con 60 €. Se ha gastado 22 € en un libro, 18 € en un CD y 12 € en una camiseta. ¿Cuánto dinero le ha sobrado?

Una librería compra una remesa de 40 libros Un comerciante tiene 5 garrafas de aceite de a 10 € cada uno. Cuánto gana por la venta de 135 litros cada una. Quiere distribuirlo en los libros si los vende a 13 € cada uno? otras garrafas de 3 litros cada una. ¿Cuántas necesitará?

Se vendieron 50 camisetas a 10 € cada una. Mi padre tiene 36 años, mi madre 34 y yo 12.

Que beneficio se obtuvo si las camisetas se ¿Cuántos años tendrá mi madre cuando yo compraron a 7 € cada una? tenga 21 años?

Tengo ahorrado 38 euros y quiero comprar Un restaurante pagó el mes pasado a su unos discos, ¿Cuántos puedo comprar si cada proveedor 1 144 € por una factura de 143 kg disco vale 7 euros?¿Me sobra algo? de carne. ¿Cuántos kilos ha gastado este mes sabiendo que la factura asciende a 1 448 €?

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Operaciones con potencias DEFINICIÓN DE POTENCIA Una potencia es una forma abreviada de escribir el producto de un número por sí mismo varias veces. “ an se lee a elevado a n y significa a ⋅ a ⋅ a ⋅ ............ ⋅a (n veces).

El número “a” se denomina base y “ n” exponente.

OPERACIONES CON POTENCIAS: Reglas para operar con potencias.

Potencias de exponente

a0=1

5º=1

an ⋅am = an+m

32 ⋅ 33 =32+3= 35 = 243

an ⋅ bn = ( a ⋅ b)n

23⋅33= (2⋅3)3=63=216

an: am=an-m

74:73=74-3=71=7

an:bn=(a:b)n

94:34=(9:3)4=34=81

(an)m=an⋅m

(23)2=23⋅2=26=64

cero.

Producto de potencias de igual base.

Producto de potencias de igual exponente Cociente de potencias de igual base.

Cociente de potencias de igual exponente.

Potencia de una potencia

Escribe en forma de potencia.

5 x 5 x 5 x 5=

2 x 2 x 2=

8 x 8 x 8 x 8 x 8=

8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8=

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1=

9 x 9=

Escribe en forma de producto.

107 =

76 =

84 =

59 =

Expresa con una sola potencia.

22 ⋅ 24 ⋅ 23=

55 ⋅ 52=

44 ⋅ 44=

64 ⋅ 6 ⋅ 63 ⋅ 62=

52 ⋅ 53=

103 ⋅ 103 ⋅ 104=

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Completa la tabla.

Producto

Potencia Base

Exponente

Se lee

3x3x3x3x3 1x1x1x1x1x1x1 12 x 12 x 12 7x7x7x7x7x7 2·2·2·2 4 4 4 5 5 5

Coloca los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso.)

22 ⋅ 2.... ⋅ 2.... = 26

5.... ⋅ 5.... = 55

3.... ⋅ 3.... ⋅ 3.... = 35

24 ⋅ 2.... ⋅ 2.... = 28

42 ⋅ 4.... ⋅ 4.... ⋅ 4.... = 47

10.... ⋅ 10.... = 105

7.... ⋅ 7.... = 75

106 ⋅ 10.... ⋅ 10.... = 109

6.... ⋅ 6.... ⋅ 6.... = 66

Escribe los siguientes números como potencias de base 10.

Cien

Cien mil

Diez millones

Un millón

Expresa como una sola potencia: 23 · 25=

(155)3 =

38 : 36=

(96)4 =

(23)2=

(1210)1 =

25 · 35=

(76)4 =

5 · 52 · 53=

(1145)0 =

78 : 75=

(416)1 =

(231)2 =

(543)0 =

(5 · 3)2=

42 · 43=

(15: 5)3=

64 : 63=

Expresa con todas sus cifras: 4 6 · 10 = 11

62 · 10

45 · 100 =

9

34 · 10 = =

64 · 105 = 240 · 102 =

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Expresa como una sola potencia y calcula su valor: 2

3

2 3

2 ·2 =

(2 ) =

5 3 3 :3 =

(4 : 4 ) · 4 =

2

5

3

4

5

9

(5 · 5 ) : 5 =

6

2

(6 · 6) : (6 · 6 )=

Calcula 4

3

2

3

(8 : 8 ) . (5) = 5

5

4

2 4

(2 . 3 ) : 6 = 4

2

3

2

(8 : 8) . 9 = (7 ) =

8

5

(5 . 5 . 5 ) : 5 =

2

3

(6 : 6 ) 5 =

Expresa como una sola potencia .

4

2

2

2 ·2 = 6

3

2

6

(x : x ) · x = 5

5

3

a ·a = 6

18 : 6 =

5

53 · ( 454 : 152)=

30 : (5 ·3 )= Calcula 4

2

3

3

3

5 ·4 =

3

36 : 18 =

9 :3 =

125 : 65=

2 3 (2 ) =

(4 : 4 ) · 4=

9

5

6

5

(52 · 120)2 =

2

(6 · 6) : (6 · 6 )= Calcula (–2)5=

(–10)3=

(–3)4=

(–5)3=

(–1)16=

(–1)17=

(–2)3 + (–3)3 – (–4)3=

(–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3)=

(–2)2 · [(–5)2 – (+4)2]=

(–6)3: (–3)3 + (–8)2: (–4)2=

Calcula.

(32)3 · (32)2=

(53)4 : (52)3=

(3 · 2)2 · (3 · 2)3=

(14 · 5)7 : (14 · 5)4=

(56 · 52) : 57=

97 : 95=

–25=

–103=

–15=

104 · 105=

206 : 206=

(216 : 24)3=

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CALCULA 24 · 22=

33 · 36=

57 : 56=

108 : 10=

(25 · 23) : 26=

(54 : 53) · 52=

(210 : 24) : 23=

(63 · 65) : (62 · 65)=

(32)2=

(27: 23) . (20· 22)=

(27· 26) : 23=

(32)7=

(25 · 23) : 26=

(54 : 53) · 52=

(210 : 24) : 23=

(56 · 52) : 57=

(3 · 2)4 · (3 · 2)5=

(14 · 5)7 : (14 · 5)4=

(53)4 : (52)3=

(32)5 · (34)2=

(14 · 5)7 : (14 · 5)4=

(3 · 2)4 · (3 · 2)5=

(53)4 : (52)3=

(216 : 24)3=

[28 : (22)3]4 =

[(22)4 : (23)2]3 =

(3² :3)² · 32=

38 : 36=

(–4)3=

(–1)28=

(85 : 42 ): 23 =

3² (15 + 5)² + 2³ =

(8 – 5)³ +2 (4² – 13)=

En una mesa hay 6 platos. En cada plato hay En una pajarería hay 7 jaulas. En cada jaula 6 sándwiches y en cada sándwich hay 6 hay 7 canarios. ¿Cuántos canarios hay en rodajas de salchichón. ¿Cuántas rodajas de total? salchichón hay en total?

Un tablero de ajedrez tiene 8 filas y 8 Escribe en forma de potencia el número de columnas. Expresa en forma de potencia el abuelos que tiene cada persona, y calcula el número total de cuadrados que tiene, y halla resultado. el resultado.

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Criterios de divisivilidad IDENTIFICAR LOS MÚLTIPLOS Y LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Los múltiplos de un número son aquellos números que se obtienen multiplicando dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, por los números naturales.

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

…

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

…

Múltiplos de 5

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...

EJEMPLO: En una tienda las rosquillas se venden en paquetes de 3 unidades. ¿Cuántas puedo comprar si me llevo varios paquetes?

3 ⋅ 1 = 3 rosquillas 1 3 ⋅ 2 = 6 rosquillas 1 3 ⋅ 3 = 9 rosquillas 3 ⋅ 4 = 12 rosquillas 3 ⋅ 5 = 15 rosquillas 3 ⋅ 6 = 18 rosquillas • Podemos comprar 3, 6, 9, 12, 15, 18… rosquillas.

• 3, 6, 9, 12, 15, 18... son múltiplos de 3.

• Los múltiplos de un número contienen a este una cantidad exacta de veces: 1, 2, 3, 4, 5, 6... paquetes de 3 unidades.

Los divisores de un número son aquellos números enteros que caben en él una cantidad exacta de veces.

Para hallarlos: 1.º Realizamos todas las divisiones posibles (entre números menores e igual que él) tomando el número como dividendo.

2.º Buscamos las divisiones que sean exactas (resto = 0).

Calculamos los divisores de 8.

8 |1 8|2 8|2 8|4 0 8 0 4 2 3 0 2 • 1, 2, 4 y 8 son divisores de 8. Dividen exactamente a 8, es decir el resto de la división es 0.

• No hacemos más divisiones porque al dividir 8 entre 4 vemos que el 4 ya está de cociente al dividir 8 entre 2; dicho de otra manera cuando el cociente es menor que el divisor ya podemos parar , pues no habrá más divisores.

• Cualquier número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.

Criterios de divisibilidad: 1º. Un número es divisible por 2 si acaba en cero o cifra par.(2,4,6,8) 2º. Un número es divisible por tres si la suma de sus cifras es un múltiplo de tres;3,6,9,12,…

3º. Un número es divisible por 5 si acaba en cero o 5.

4º. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de las cifras pares e impares es 0, 11 o un múltiplo de 11.

Múltiplo y divisor son dos conceptos estrechamente ligados. En una división exacta entre dos números existe una relación especial llamada divisibilidad.

• 49 es múltiplo de 7.

• El número mayor es múltiplo del menor.

• 7 es divisor de 49

• El número menor es divisor del mayor.

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DESCOMPONER EN FACTORES PRIMOS. EL m.c.d. Y EL m.c.m.

• Número primo: es aquel número que solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad.

• Número compuesto: es aquel número que tiene más de dos divisores.

Divisores de 5 = 1 y 5 ; 5 es un número primo.

DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS • Ya sabemos que los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

• Todo número compuesto se puede expresar como producto de otros que sean primos, y expresar sus divisores mediante la combinación de esos números, que llamamos factores primos.

• Para realizar la descomposición seguimos estos pasos.

1.º Intentar dividir el número entre 2, tantas veces como se pueda.

2.º Luego intentar también dividir el número restante entre 3, tantas veces como se pueda.

3.º Seguir probando a dividir el número restante entre 5, 7, 11... tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente 1.

4.º Expresar el número como producto de potencias de factores primos.

EJEMPLO Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 60.

En la práctica se hace así: 60 2 30 2 15 3

y se expresa: 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

5 5

Recordando las potencias quedaría: 60 = 22 . 3 . 5

1

60 queda así expresado como producto de factores primos.

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DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

Luis tiene 12 trenes de plástico y Pedro 18 aviones. Quieren hacer grupos con el mismo número de vehículos en cada uno de ellos. ¿Cuál será el grupo más grande y que tenga igual número de ambos juguetes?

• Calculamos los divisores de ambos números: Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisores de 18 ={1, 2, 3, 6, 9, 18} Luis puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 4, 6 y 12 trenes.

Pedro puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 6, 9 y 18 aviones.

• 1, 2, 3 y 6 son divisores comunes de 12 y 18.

• 6 es el divisor mayor (máximo) de 12 y 18 y es común a ambos números.

• 6 es el máximo común divisor de 12 y 18 y se expresa así: m.c.d. (12 y 18) = 6.

El grupo más grande y con el mismo número de juguetes de los dos tipos estará formado por 6 trenes y 6 aviones.

MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.d. es adecuado para números sencillos.

Vamos a estudiar un método más directo y para números de cualquier tamaño.

Seguiremos estos pasos.

1.º Descomponer los números en factores primos.

2.º Expresar los números como producto de factores primos.

3.º Escoger en ambos números los factores que sean comunes y que tengan el menor exponente.

4.º El producto de esos factores es el m.c.d.

EJEMPLO

Calcula el m.c.d. de 24 y 36 1º

2º 24=2.2.2.3=23.3

24 2

36 2

12 2

18 2

36=2.2.3.3=22.32

6 2

9 3

3º Factores comunes: 2,3

3 3

3 3

1

1

Con menor exponente 22. 31 4º

m.c.d. (24 y 36) = 22 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12

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MÚLTIPLOS COMUNES A VARIOS NÚMEROS. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Ana va a nadar al polideportivo cada 3 días y Eva cada 4. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán en el polideportivo?

• Ana va los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... Son los múltiplos de 3.

• Eva va los días 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32... Son los múltiplos de 4.

• 12, 24 ... son los múltiplos comunes de 3 y 4.

• 12 es el múltiplo menor (mínimo) de 3 y 4 y es común a ambos números.

• 12 es el mínimo común múltiplo de 3 y 4 y se expresa así: m.c.m. (3 y 4) = 12.

Ana y Eva coincidirán en el polideportivo cada 12 días.

MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.m. es adecuado para números sencillos.

Vamos a estudiar un método más directo y para números de cualquier tamaño.

1.º Descomponer los números en factores primos.

2.º Expresar los números como producto de factores primos.

3.º Escoger en ambos números los factores que sean comunes y no comunes y que tengan el mayor exponente.

4.º El producto de esos factores es el m.c.m.

EJEMPLO Calcula el m.c.m. de 12 y 60 2º 12 = 2. 2. 3 = 22 . 3

1º 12 2

60 2

60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5

6 2

30 2

3 3

15 3

3º Factores comunes 2 y 3 Factores no comunes 5 Con mayor exponente 22 . 3 . 5

1

5 5 1

4º m.c.m. (12 y 60) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

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Escribe los números que sean: a) Múltiplos de 5 y menores que 51.

X

1

2

3

4

5

6

5

6

7

8

9

10

9

10

5 b) Múltiplos de 25 y menores que 105.

X

1

2

3

4

25 c) Múltiplos de 30 y que estén comprendidos entre 50 y 280.

X

2

3

4

5

6

7

8

30 d) Múltiplos de 1.000 y que estén comprendidos entre 1.000 y 10.100.

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1.000 Halla los divisores de 12.

Tacha aquellos números que no sean: Divisores de 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Divisores de 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Divisores de 11

1

3

7

9

11

22

1001

99

45

57

Divisores de 25

1

3

5

10

15

20

25

4

25

8

Divisores de 48

1

2

3

4

5

6

7

8

24

16

Divisores de 100

1

2

4

5

10

20

25

40

50

90

Calcula los divisores de 36.

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Escribe verdadero (v) o falso (F).

V

F

Si a un múltiplo de 3 le sumamos 12, obtenemos otro múltiplo de 3.

Si a un múltiplo de 10 le sumamos 15, obtenemos otro múltiplo de 10.

Si un número es múltiplo de 15 , también es múltiplo de 3 y de 5.

Si un número es múltiplo de 3 y de 5 , También es múltiplo de 8.

Los números que se pueden descomponer en factores se llaman compuestos.

Un número primo es aquel que tiene varios divisores.

12 es divisor de 48.

15 es divisor de 3.

9 es divisor de 720.

7 es divisor de 777.

44 es divisor de 44.

100 es divisor de 10.

123 es divisor de 123.

1 es divisor de 17.

56 es múltiplo de 8.

Si 28 es divisible por 7, ¿cuáles de las afirmaciones son ciertas?

28 es múltiplo de 7 4 es divisor de 28.

28 es múltiplo de 4.

7 es divisor de 28.

Al hacer la división 57 : 5, vemos que no es exacta. Decide si es verdadero o falso.

57 es divisible por 5.

5 no es divisor de 57.

57 es múltiplo de 5.

57 no es divisible por 5.

Si 175 = 5 ? 35, ¿cuáles de las afirmaciones son ciertas?

175 es divisible por 5.

175 es divisible por 35.

175 es múltiplo de 35.

5 es múltiplo de 175.

Página 28 de 266

Completa los huecos con la palabra adecuada: múltiplo o divisor. a) 25 es .................................. de 5

b) 60 es ................................. de 120

c) 16 es .................................. de 8

d) 11 es ................................... de 33

¿Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5 y 11?

12, 48, 1320, 7381, 5.555, 9

Múltiplos de 2

Múltiplos de 3

Múltiplos de 5

Múltiplos de 11

Escribe un número que sea divisible a la vez por 5 y por 10. ¿En qué cifra termina? _________________________________________________________________________.

Escribe los seis primeros múltiplos de: 6 .13.11.Busca por orden todos los divisores de los siguientes números: 24.-

28.-

30.-

Sin hacer la división, rodea aquellos números que son divisibles por 3: 24 - 35 - 135 - 321 – 504 - 605 - 723 –

991

Completa los siguientes números para que: Sea divisible entre 2 : 54725….... "

"

3 : 7648.........

"

"

5 : 4793….....

"

"

11 : 8756……...

Página 29 de 266

Complete la siguiente tabla, utilizando los criterios de divisibilidad: Divisor

75

4510

243

275

5786

528

1001

1320

525

2 3

X

5

X

11 Con 28 canicas, ¿qué grupos, del mismo Puedes pagar 4.575 € con billetes de 5 €. número de canicas, podemos formar sin que ¿Por qué? sobre ninguna?

¿Es posible repartir 3.420 lápices en ¿Puedes colocar 726 canarios en jaulas de 6 montones de 15 lápices cada uno? ¿Por qué? canarios cada una? ¿Por qué?

¿Cuánto debe valer a para que el número 3a2 Ana tiene un álbum de 180 cromos. Los cromos se venden en sobres de 5 cromos sea múltiplo de 3? cada uno. Suponiendo que no se repita ningún cromo, ¿cuántos sobres tiene que comprar como mínimo?

Luis quiere pegar las 49 fotos de sus Tres amigos han reunido 1 300 € y se han vacaciones en filas de 3 fotos cada una. gastado en un viaje 655 €. ¿Pueden repartir ¿Cuántas filas enteras obtendrá? ¿Le sobra lo que les queda de una manera equitativa? alguna foto?

Página 30 de 266

Escriba todos los divisores de los siguientes números: 9; 15; 16; 42; 60 9.-

15.-

16.-

42.-

60.-

Aplica los criterios de divisibilidad que conoces a estos números.

Divisor

33

5025

616

900

1100

812

3322

785

2 3 5 10 11 Haz la criba de Eratóstenes: copia los números naturales del 2 al 100. Tacha los múltiplos de 2, excepto el 2, tacha los múltiplos de 3 excepto el 3, sigue con el 5 y el 7.

Los números que quedan sin tachar son los primos menores que 100 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Página 31 de 266

Complete la siguiente tabla, utilizando los criterios de divisibilidad: Divisor

228

4224

5745

7810

930

41578

3575

41250

9864

2 3 5 10 11

Completa la tabla y busca el m.c.m.

Números

x1

x2

x3

x4

x5

m.c.m.

x1

x2

x3

x4

x5

m.c.m.

x1

x2

x3

x4

x5

m.c.m.

12 18

Números 15 30

Números 21 14

Completa la siguiente tabla: Números

Divisores

Primo/Compuesto

33 61 79 72 39 69 51 99

Página 32 de 266

Señala los números de esta lista que sean divisores de 40 3 , 10 , 4, 6 ,7, 1 , 5 , 8,11,15, 20 Al dividir el número 300 entre 12 se obtiene de resto 0 y cociente 15.Es decir, 300 = 12 · 25. A partir de esta información complete con las palabras múltiplo o divisor las siguientes frases a) El número 300 es __________________________________ del número 12 b) El número 12 es __________________________________ del número 300 c) El número 25 es __________________________________ del número 300 d) El número 300 es __________________________________ del número 25 Complete las siguientes frases a) 400 es __________________________________ de 80, porque 400 = 80 · ____________ b) 500 es __________________________por 25, porque ____________ = 25 · ___________ c) 60 es _______________________ de 1200. porque 1200 = ____________ · ____________ Complete la siguiente tabla. Utiliza los criterios de divisibilidad.

Número

2

3

5

10

11

342 176 600 343 525 1320 

Una bola cuesta 6 céntimos :

¿Cuántas bolas compró Luis si pagó con 72 ¿Es posible gastar exactamente 1 euro en céntimos? bolas de 6 céntimos?

Rosa quiere gastar entre 40 y 50 céntimos en bolas.¿Cuántas puede comprar? ¿Hay más de una respuesta?

Página 33 de 266



Entre los números 51 y 61 cuantos números hay que sean:

divisibles por 2.divisibles por 3.divisibles por 5.divisibles por 10.-

Busca todos los números primos que hay entre 1 y 50.



Ya sabes que 6 X 3 = 18. A partir de esta igualdad, completa:

18 es un múltiplo de ________ y de _________.

18 es divisible por ________ y por __________.

6 es un divisor de _____________.

18 no es un ___________________ de 3.

Tenemos 20 botones y queremos hacer grupos de igual número de botones sin que sobre ninguno.¿De cuántas maneras lo podemos hacer?

María quiere comprar 150 lápices en cajas de 6 lápices: ¿Cuántas cajas tiene que pedir?

¿150 es múltiplo de 6?

¿150 es múltiplo de25?

En la siguiente serie de números, rodea los que son compuestos (los que tienen más de dos divisores).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 58 60

Página 34 de 266

¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales?

2 · 32.-

2 · 33 · 5.-

32 · 5.-

32 · 5 · 7.-

23 · 7.-

2 · 3 · 11.-

Halla los divisores comunes de los siguientes números y rodea el MCD. 20 25 MCD.-

12 8 MCD.16 24 MCD.12 8 10 MCD.Completa la siguiente tabla.

NÚMEROS

60 y 40

DESCOMPOSICIÓN EN

PRODUCTO DE FACTORES COMUNES

FACTORES PRIMOS

CON MENOR EXPONENTE

22 ⋅ 3 ⋅ 5 23 ⋅ 5

22 ⋅ 5

m.c.d.

20

18 y 30

52 22 ⋅ 52

Página 35 de 266

Descompón en factores primos y exprésalos como producto de ellos. Sigue el ejemplo.

24 2 12 2 6 2 3 3 1 24= 2.2.2.3 24=23.3

30

45

30=

45=

30=

45=

60

100

180

60=

100=

180=

60=

100=

180=

75

98

120

75=

98=

120=

75=

98=

120=

126

140

250

126=

140=

250=

126=

140=

250=

Página 36 de 266

Descompón en factores primos y exprésalos como producto de ellos.

64

80

105

64= 64=

80=

105=

80=

105=

226

256

360

226=

256=

360=

226=

256=

360=

300

280

625

300=

280=

625=

300=

280=

625=

124

184

94

124=

18=

94=

124=

18=

94=

Página 37 de 266

Descompón en factores primos y exprésalos como producto de ellos.

176

132

504

176= 176=

132=

504=

132=

504=

362

270

150

362=

270=

150=

362=

270=

150=

600

84

220

600=

84=

220=

600=

84=

220=

50

70

96

50=

70=

96=

50=

70=

96=

¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales?

Página 38 de 266

Calcule, para las siguientes parejas de nĂşmeros, el M.C.D y el m.c.m. Sigue el ejemplo.

30 2 20 2 36 24 42 21 15 3

10 2

5 5

5 5

1

1

30= 2.3.5 20= 22.52.5=10 mcm: 22.3.5 = 60 24

102

13

90

12

35

60

24

56

72

44

100

PĂĄgina 39 de 266

Calcule, para las siguientes parejas de nĂşmeros, el M.C.D y el m.c.m.

310 180 45 90 300

240

1.100

90

48

35

420

250

720

120

18

54

264

525

PĂĄgina 40 de 266

Calcule, para los siguientes nĂşmeros, el M.C.D y el m.c.m.

12 18 24 20 300 40

24

36

40

60

72

90

50

125

100

45

60

105

48

54

18

84

126

45

110

80

30

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Calcule, para los siguientes nĂşmeros, el M.C.D y el m.c.m.

132 176 220 60 80 120

98

392

441

200

400

500

120

60

100

240

600

960

28

64

96

136

325

126

45

54

81

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Calcule, para los siguientes nĂşmeros, el M.C.D y el m.c.m.

8 2 12 24 6 10

15

25

42

38

76

20

100

200

150

175

28

52

94

88

24

30

46

60

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Problemas Yaiza quiere repartir 36 montones, de forma que cada el mismo número de cromos ninguno. ¿Cuántos cromos Yaiza en cada montón?

cromos en montón tenga y no le sobre puede poner

María tiene un bidón de 60 litros de aceite que quiere envasar en botellas lo más grandes posible y sin que sobre nada.¿Cómo puede hacerlo?

Un bidón contiene 140 litros de zumo de naranja, y otro 352 de manzana. Diga qué tamaño tendría que tener una botella, lo más grande posible, que sirviese para envasar los dos zumos, por separado, de manera que quepa justo el líquido en ellas

Una cartulina mide 27cm. De largo y 18 de ancho. Se dividió en dos dimensiones en trozos iguales , ¿podré recortar la cartulina en cuadrados? ¿Cuál es el mayor tamaño que podrán tener eses cuadrados?

En una granja tienen 264 gallinas y 450 pollos. Se han de transportar en jaulas, sin mezclarlos, lo más grande posibles de modo que en todas haya el mismo número de animales. ¿Cuántos animales irán en cada jaula?

Alba tiene 16 lonchas de queso y 24 de jamón. Tiene que preparar sándwiches con la misma cantidad de queso y jamón cada uno sin que sobre nada. ¿Cuántos sándwiches puede hacer?

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Dos aviones de una línea aérea salen siempre del mismo aeropuerto. Uno lo hace cada 10 días y el otro cada 12. Si han salido hoy, ¿cuándo volverán a coincidir en el aeropuerto?

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto.

A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.¿A qué hora volverán a coincidir los tres juntos?

Se desea dividir un terreno rectangular de 240 metros de largo y 100 metros de ancho en parcelas cuadradas lo más grandes posible. ¿Cuánto medirá el lado de cada parcela?

Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y otro, cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1968 ¿En qué año volverán a coincidir?.

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

Ana lleva el papel al contenedor del barrio cada 12 días, y Sonia, cada 15. Si un determinado día coinciden, ¿cada cuántos días volverán a coincidir?

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En una terraza de un edificio de 40 m de longitud por 24 m de anchura se desea colocar placas solares cuadradas lo mayores posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada placa?

Una fábrica de coches envía un camión de coches a Sevilla cada 24 días y a Málaga cada 36 días. Si un determinado día coinciden los dos camiones, ¿cuántos días tardarán en volver a coincidir?

Dos barcos salen de un puerto un determinado día. El primero vuelve cada 24 días, y el segundo, cada 36. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez?

Tenemos tres rollos de tela de 22 m, 32 m y 44 m, para hacer vestidos. Queremos cortarlos en trozos que tengan un número entero de metros e igual longitud. ¿Cuál es la mayor longitud en que los podemos cortar?

Un cometa aparece en la Tierra cada 160 años, y otro cada 210 años. Si aparecieron juntos en 2008, ¿cuándo volverán a hacerlo al mismo tiempo por primera vez?

En una frutería tienen 360 kg de manzanas y 455 kg de peras, y las quieren distribuir en bolsas de un número entero de kilos e igual peso. ¿Con cuántos kilos, como máximo, pueden llenar cada bolsa?

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¿Se podrían dividir tres varillas de 20 cm, 24 cm y 30 cm en trozos de 4 cm de longitud sin que sobre ni falte nada entre cada varilla? ¿Cuál es la mayor longitud en la que podríamos dividir las varillas?

Alba y Sonia van a ver a su abuela un determinado día; a partir de ese día Alba vuelve cada 18 días, y Sonia, cada 30. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez?

En una tienda disponen de 12 figuritas de cristal y 15 de metal. Desean hacer paquetes para regalar a los clientes, con el mismo número de figuras y con la mayor cantidad posible. ¿Cuántos paquetes tienen que hacer y con cuántas figuritas?

En una casa utilizan para la cocina una bombona de butano que dura 8 días; otra bombona para una estufa, que dura 6 días, y otra para el agua caliente, que dura 10 días. ¿Cada cuántos días se acaban las tres bombonas al mismo tiempo?

Un bodeguero tiene vino de la clase A: 125 litros; vino de la clase B: 155 litros, y vino de la clase C: 175 litros. Desea envasar este vino en toneles lo más grandes posible.

Averigua el número de litros de cada tonel. ¿Cuántos toneles le harán falta para cada clase de vino?

La alarma del reloj de Sergio suena cada diez minutos y la del reloj de Ana cada quince minutos. Ambas alarmas han sonado a las doce de la mañana. ¿A qué hora volverán a coincidir las alarmas por primera vez?

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Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las 7 de la mañana desde el mismo punto de partida. Si la línea A pasa cada 24 minutos y la línea B cada 36, ¿A qué hora, después de las 7, volverán a coincidir?

¿Qué medida tendrá el lado de una baldosa cuadrada que se empleó para pavimentar el suelo de un garaje de 123dm de largo por 90dm de ancho?

Queremos dividir dos cuerdas de 20 cm y 30 En el árbol de Navidad hay luces verdes , cm en trozos iguales, lo más grandes posible. amarillas y rojas. Las primeras se encienden ¿Cuánto medirá cada trozo? cada 2 segundos, las amarillas cada 4 segundos y las rojas cada 6 segundos ¿Cuánto tiempo tardan en coincidir todas encendidas a la vez?

Carmen cuenta sus 48 coches de juguete de 4 Se van a poner plaquetas cuadradas del en 4 y Alberto lo hace de 6 en 6. ¿Coinciden mayor tamaño posible en un aula rectangular en algún número? de 12 m de largo y 10 m de ancho. a) ¿Cuál será el tamaño de cada plaqueta? b) ¿Cuántas plaquetas se pondrán?

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Números decimales SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS DECIMALES • En nuestra vida diaria medimos, calculamos, comparamos, etc. Hablamos de cantidades que no son exactas. Para expresar correctamente estas cantidades, utilizamos los números decimales.

• Ejemplos: 3,60 €; 2,5 kg de manzanas; 78,9 km de distancia; 0,7 m de altura.

• Nuestro sistema de numeración es decimal: cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden superior.

1 unidad = 10 décimas = 100 centésimas = 1.000 milésimas 1 décima = 10 centésimas = 100 milésimas 1 centésima = 10 milésimas NÚMEROS DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA • Los números decimales se pueden representar sobre la recta numérica.

Si dividimos una unidad arbitraria en diez partes iguales, obtenemos la escala decimal.

En ella se podrán representar de forma precisa decimales exactos con una única cifra decimal.

3 A B C D 7 Si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada parte es una décima.

La flecha A señala el número 3'3, la B 3,8, la C 4,7 y la D 6,4.

A su vez, cada décima puede ser dividida en diez partes iguales En esta actividad la escala superior divide la unidad en décimas y la inferior en centésimas: podremos representar decimales exactos con dos cifras decimales.

3,1 A

B3,2

C 3,3

3,4 D

3,5

Si dividimos una décima en 10 partes iguales, cada parte es una centésima.

La flecha A indica 3'13. la B 3,18, C 3,27 y D 3,44.

Por su parte , cada centésima puede ser dividida también en diez partes iguales; así dividiremos las centésimas milésimas.

2,66 A

B

C

D

2,70 Si dividimos una centésima en 10 partes iguales, cada parte es una milésima.

La flecha A señala el número 2,663, la B 2,668, la C 2,677 y la D 2,694.

• Entre dos números decimales, siempre podemos encontrar otros números decimales.

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ORDEN Y COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para comparar números decimales, se siguen estos pasos.

1.º Comparamos la parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera.

2.º Comparamos la parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas, las centésimas, las milésimas, siendo mayor el número con mayor parte decimal, cifra a cifra.

Mayor que > Menor que < EJEMPLO : 4,56 >3,7 porque: 4 > 3 (parte entera) 8,37>8,34 porque: 8 = 8 (parte entera) 3 = 3 (décimas) 7 > 4 (centésimas) APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES • Aproximar un número decimal es considerar el número más próximo a él.

• Para aproximar un número se suprimen las cifras situadas a la derecha. Si la cifra eliminada es mayor que 5, a la última cifra se le suma uno.

• Podemos aproximar a las unidades, a las décimas, a las centésimas...

EJEMPLO: Aproxima 5,3 a las unidades. El resultado es 5, ya que 5,3 está más cerca de 5 que de 6.

Aproxima 1,67 a las décimas. El resultado es 1,7, ya que 1,67 está más cerca de 1,7 que de 1,6.

TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES En una fracción, al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un número decimal.

• Si el resto es cero, el número decimal es exacto.

3 = 0,6 5

9 = 4,5 2

12 = 1,2 10

• Si el resto no es cero, obtenemos un número con infinitas cifras decimales.

Un número periódico tiene infinitas cifras decimales que se repiten siempre.

 1 = 0,33333... (0, 3 ) 3

 12 = 1,09090909... (1, 09 ) 11

Si el periodo empieza inmediatamente después de la coma, es un decimal periódico puro.

Si el periodo no empieza justo después de la coma , es un decimal periódico mixto. Las cifras que están antes del período se llaman anteperíodo.

Un decimal es no exacto y no período cuando tiene infinitas cifras decimales y no se repite ninguna.

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OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Para sumar o restar números decimales, se colocan de forma que coincidan en la misma columna las cifras del mismo orden. Después, se suman o se restan como si fueran números naturales y se pone la coma en el resultado debajo de la columna de las comas.

Para multiplicar números decimales, se multiplican como si fueran números naturales y, en el producto, se separan con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tengan en total los dos factores. 

Para dividir un número decimal entre un número natural, se hace la división como si fueran números naturales y, al bajar la primera cifra decimal del dividendo, se pone la coma en el cociente.



Para dividir un número natural entre un número decimal, se multiplican ambos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y después se hace la división de números naturales obtenida.



Para dividir un número decimal entre un número decimal, se multiplican ambos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y después se hace la división obtenida.

Un número decimal lo podemos descomponer de varias formas y proceder a su lectura.

Fíjate en los ejemplos y completa las siguientes tablas.

NÚMERO 3,156

DESCOMPOSICIÓN 1 3U+1d+5c+6m

LECTURA 1 3 unidades, 1 décima, 5 centésimas, 6 milésimas

0,28 152,72 NÚMERO 3,156

DESCOMPOSICIÓN 2 3 U + 156 m

LECTURA 2 3 unidades y 156 milésimas

0,28 152,72 Escribe con números las siguientes expresiones 15 centésimas

300 milésimas

9 décimas

100 centésimas

200 centésimas

587 milésimas

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Sitúa los siguientes números decimales en la tabla adjunta.

Veinticuatro unidades treinta y cinco centésimas.

Diez unidades doscientas doce milésimas.

Ochenta y dos centésimas.

Doscientas noventa y una unidades quinientas cincuenta y ocho milésimas.

Cuatrocientas unidades diecinueve milésimas.

Centenas (C)

Decenas( D)

Unidades (U)

décimas (d)

Centésimas (c)

milésimas (m)

Escribe con cifras los siguientes números: Treinta y siete unidades y cincuenta y tres milésimas Dos mil dos unidades y doce centésimas

Ciento cuatro mil treinta y cinco unidades y cincuenta centésimas

Escribe con palabras los siguientes números decimales: 303’97 1.057’372 3.000.003’003

Representa en la recta numérica los números decimales.

3,5 - 3,1 - 3,8 - 3,9 - 3,3

Completa las siguientes series de números decimales.

0,5

1

1,5

4,37

4,40

4,43

5,15

5,20

5,25

8,28

8,23

8,18 Página 52 de 266

Halla dos números decimales comprendidos entre los dados

5,45 y 5,46

0,13 y 0,14

7,3 y 7,9

1,8 y 2,5

Ordena, de menor a mayor , los siguientes números.

5,05 – 6,01 – 7,12 – 0,34 – 2,61 – 5,07 – 1,11

La estatura (en m) de 10 alumnos de 2.º ESO es: 1,55 – 1,59 – 1,52 – 1,63 – 1,60 – 1,58 – 1,65 – 1,61 – 1,67 – 1,70

Aproxima a las unidades los siguientes números.

NÚMERO DECIMAL

NÚMERO APROXIMADO A LAS UNIDADES

34,21 17,8 10,6 13,71 12,52 Aproxima a las décimas.

NÚMERO DECIMAL

NÚMERO APROXIMADO A LAS DÉCIMAS

0,56 17,24 10,68 3,47 2,92

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Juan pesa 52,383 kg. Aproxima su peso a: Las unidades Las décimas Las centésimas

Completa la tabla.

Aproximación

Aproximación

Aproximación

a las unidades

a las décimas

a las centésimas

0,327 16,018 235,019 23,369

Escribe y clasifica el número decimal correspondiente a estas fracciones: Fracción

Número decimal

Tipo

23 10 2 3 7 6 32 9 9 100

3 4

30 3 16 15 100 36

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Realiza las multiplicaciones y divisiones de números decimales.

24’5 · 100 =

235’45 :100 =

34’25 ·1000 =

493 :1000 =

0’045 · 10000 =

30 : 10 =

794’2 · 10 =

1’84 : 1000 =

Indica qué tipo de número decimal obtenemos en las siguientes divisiones.

FRACCIÓN

RESULTADO

TIPO DE NÚMERO DECIMAL

15 12 11 3 7 14 9 99

Expresa los números decimales periódicos de forma abreviada.

NÚMERO

NÚMERO

PARTE

PARTE DECIMAL

ABREVIADO

ENTERA

PERIÓDICA

4,55555...

2,343434...

1,187187...

11,66666...

91,878787...

Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales.

5,6 =

10,86 =

3,8 =

3,875 =

0,2 =

0,034=

Completa la tabla.

Número decimal

Tipo de número

Parte entera

Período

Anteperíodo

5,22334444…

0,6666….

2,5 58,377777….

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Haz las siguientes operaciones.

12,34 + 4,87 + 55,97 =

1,04 + 0,31 + 51,06 =

109,3 + 81,72 + 66,35 =

77,01 + 44 + 19,58 =

Haz las siguientes operaciones.

(2,46 + 39,55) − (11 + 3,82) =

(49,72 − 34,07) + (15 + 23,69) =

78,31 − 45,59 =

11,07 − 9,5 =

Página 56 de 266

123,8 − 77,94 =

132,28 + 5,103 + 42,07=

76 − 39,25 =

681,12− 85,007=

12,435 + 142,36 + 8,7 =

325,9 + 8,75 + 37,296 =

416,7 - 392,18 =

123,7 - 98,49 =

4,3 - 2,84 + 0,52=

852,541+52,61 - 13,72=

Página 57 de 266

Calcula los siguientes productos.

5,67 ⋅ 2,9 =

13,8 ⋅ 45,73 =

39,412 ⋅ 3,4 =

92 ⋅ 4,68 =

45,8 ⋅ 69

45,8 ⋅ 0,69

4,58 ⋅ 0,69

0,458 x 6,9=

804 x 7,5 =

478 x 0,58 =

Página 58 de 266

Efectúa las siguientes operaciones.

5,8 ⋅ 10 =

1,4 ⋅ 1.000 =

0,46 ⋅ 100 =

46,301 ⋅ 100 =

59,3 ⋅ 1.000 =

2,73 ⋅ 10 =

Indica la unidad seguida de ceros que corresponde a cada operación.

23,2 ⋅ ____________ = 23.200

14,85 ⋅ __________ = 148,5

0,51 ⋅ ___________= 51

0,812 ⋅ __________ = 81.200

0,9 ⋅ ___________ = 900

8,2946 ⋅ _________ = 8.294,6

Realiza las siguientes operaciones combinadas.

(12,46 + 3,6) ⋅ (6,7 − 2,8) =

(4,76 ⋅ 23,4) + (19,37 − 16,03) =

3,5 ⋅ (45,76 − 38,72) =

3,4 ⋅ (35,92 + 53) =

Página 59 de 266

(684,87 + 589,452) - (250,784 â&#x20AC;&#x201C; 0,45)=

2,3568 x (1,5 + 4,879)=

Calcula las siguientes divisiones.

56,4 : 12 =

152 : 2,5 =

7,875 : 63 =

7,14 : 0,6 =

11,58 : 20 =

25,8 : 2,4 =

PĂĄgina 60 de 266

17,4 : 3,1 =

254,465 : 3,45=

27,95 : 8,3 =

92,24 : 25 =

Efectúa las siguientes operaciones.

45,8 : 10 =

13,45 : 100 =

5.917,36 : 1.000 =

92.345,4 : 1.000 =

0,51 : 10 =

238 : 10 =

Calcula: 2,5 x (19 – 0,5) x 10 =

(80 – 14) x (35 – 15) x (4,2 – 1,8) =

Página 61 de 266

(26 – 2,2) x 4 x 3 x 5 =

400 + 35 – (18 – 15,2) x 100 =

(0,9 – 0,5) + (3,7 – 0,9) =

6,3 x (15 + 7,5) x (12 – 4,6) =

10 x (9,01 – 0,7) – (10,32 – 7,64) x 9 =

3,2 x (4,8 – 1,9) + (23,4 – 0,97) x 4 =

Página 62 de 266

Calcula (427,18 + 381,23 + 191,59) : 2,5=

(1.214,28 + 672,14 + 113,58) : 1,25=

(4,213 + 21,36) x 4,21=

(32,46 - 18,213) x 21,5=

10–(12·0,10+14·0,15)=

6,7+0,1·(0,7+2,4:100)=

1,4–0.4·(0,25+0,75:0,01)=

1,9·(0,61–0,52)·0,01=

Página 63 de 266

1,4 – 0,4· (0,25+0,75:0,01)=

0,2 – 0,8· (20+9,8:0,01)=

62 – 3,8· (0,33+0,84:0,1)=

0,39+4,2· (0,3+60·0,1)=

5·(10,5–1,9)·0,001=

30·(0,74+0,36):0,01=

9,8·(14–4,2):0,1=

1,9·(0,61–0,52)·0,01=

Página 64 de 266

5

8,2 (3,6 1,9 2,4) + 5 · (2,5-1,4) =

5 : (0,8+0,4) – 12,4 : (1-0,23)=

11,42 – 3,6 · (2,8+1,1)+ 0,33 · 8=

6,3· (7,75 – 5,25) – 1,05 · (8,6+6,4)=

4,3 – 0,2 · (0,7+1,2 – 0,4)=

45: (1,6+1,4)+3· (5,6 – 4,8)=

4,25 – 4 · (1,2+075)+ 6: (2,4+1,6)=

25:2,48 – 3,1 · 0,4+2,8 · 1,7=

Página 65 de 266

Problemas Juanjo ha comprado una lavadora. Pagó con Mar ha comprado para una obra 125 sacos de 3 billetes de 200 € y le devolvieron 138,36 €. cemento de 12,5 kg cada uno. Al final le han ¿Cuánto costaba la lavadora? sobrado 35,8 kg de cemento. ¿Cuántos kilos de cemento ha utilizado Mar?

Alicia ha hecho 9,6 litros de limonada. Los tiene que repartir en 24 jarras, todas con la misma cantidad. ¿Qué cantidad de limonada tiene que poner en cada jarra?

Miguel ha echado en su coche 13,5 litros de gasolina y Laura ha echado 12,75 litros. El litro de gasolina cuesta 1,10 €. ¿Cuánto ha pagado Miguel más que Laura?

He comprado 15 CD por 11,25 €. ¿Cuánto Luis, Ana y Berta han comprado un juego de me ha costado cada CD? ordenador por 46,53 €. Si los tres han aportado la misma cantidad de dinero, ¿cuál ha sido la aportación de cada uno?

Alberto ahorra 2,5 € cada semana durante 10 semanas. Con el dinero ahorrado, compra 4 entradas para el concierto. ¿Cuánto cuesta cada entrada?

María lleva en la cesta de la compra dos kilos y medio de manzanas, medio kilo de plátanos, 0,850 kg. de carne y un melón que ha pesado 3,45 kg. Expresa con un número decimal el peso de la compra.

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Juan recibe 10 € de paga. Tenía de la semanas pasadas 23’57 €. Gasta 5’75 € en la cena del sábado. Cobra 7’50 € por cortar el césped al vecino y compra dos discos en las rebajas a 1’29 € cada uno. ¿Qué dinero le queda?

Ana compró 12 gominolas y 14 chicles. Cada gominola cuesta 0,10 € y cada chicle 0,15.

Pagó con un billete de 10 €. ¿Cuánto dinero le tienen que devolver?

Miguel tiene 43 € en monedas de 5 céntimos. Si el aceite está a 3,15 €el litro, ¿cuánto Cada moneda pesa 3,92 g. ¿Cuánto kg pesan costará una botella de aceite de 0,75 litros? todas las monedas?

La sandía está a 68 céntimos el kilo. ¿Cuánto Una alfombra rectangular mide 3,75 m de pagarás por una sandía que ha pesado 3 kg largo y 2,5 m de ancho. ¿Qué superficie 750 g? cubre?

Arancha ha gastado 51,60 € en los diez días Un paquete con seis botes de refresco pesa que ha estado de vacaciones en la playa. 2,07 kg. ¿Cuánto pesa cada bote? ¿Cuánto ha gastado, por término medio, al día?

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El perímetro de un hexágono regular es de Lucía, Irene e Iván se han gastado 1,82 € en 2,16 m. ¿Cuántos centímetros mide cada chucherías, que pagarán a partes iguales. lado? ¿Cuánto pagará cada uno?

Antonio se ha comprado un pantalón que Las alturas de tres amigos suman 5 m. María cuesta 34,26 € y una camisa de precio 19,87 mide 1,61 m y Luis 1,67 m. Halla cuánto €. Ha pagado con un billete de 100 €. mide Alberto. ¿Cuánto dinero tienen que devolverle?

En un ascensor se cargan 5 bolsas de 12,745 kg cada una. Suben dos personas que pesan 65 kg y 85,7 kg. El ascensor admite 350 kg de carga máxima. ¿Puede subir otra persona más que pese 86,7 kg?

En una fábrica de refrescos se preparan 4.138,2 litros de refresco de naranja y se envasan en botes de 0,33 litros. ¿Cuántos botes necesitan?

Andrés corta un listón de madera de 3,22 m Laura ha hecho 43,5 kg de pasta y la quiere en trozos de 0,23 m. ¿Cuántos trozos empaquetar en cajas de 0,250 kg. ¿Cuántas obtiene? cajas necesita Laura?

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Alberto ha comprado 3 botes de tomate y un refresco que cuesta 1,05 €. Ha pagado con 5 € y le han devuelto 1,40 €. ¿Cuánto le ha costado cada bote de tomate?

Elena ha echado 45 litros de gasolina y Juan ha echado 9,8 litros menos que Elena. Si cada litro de gasolina cuesta 0,68 €, ¿cuánto tiene que pagar Juan?

En un río de 7,2 km de largo se han puesto Calcula los metros que ha recorrido cada día carteles de «Coto de pesca» cada 0,16 km. un viajante si durante los 5 días laborables de ¿Cuántos carteles se han puesto? una semana ha realizado 681 km y cada día ha recorrido lo mismo. Calcula al menos 2 decimales.

Durante el mes pasado recorrí 4 veces un sendero de 6’725 kilómetros y 3 veces otro sendero de 8’355 kilómetros ¿Cuántos kilómetros recorrí en total?

De una botella que contiene 1’5 litros de naranjada, Julián ha servido 4 vasos de 0’33 litros cada uno. ¿Cuánta naranjada queda en la botella?

Una costurera ha comprado 4’85 metros de Si un tubo de pegamento tienen 0’05 litros tela para hacer una cortina. Calcula el precio ¿Cuántos litros tendrá una caja con 12 del metro de tela, si la pieza entera ha paquetes de 12 tubos? costado 55’29 euros.

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Concepto y significado de fracciones • Una fracción es una expresión matemática en la que se distinguen dos términos: numerador y denominador, separados por una línea horizontal que se denomina raya de fracción.

En general, si a y b son dos números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), una fracción se escribe:

a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.

SIGNIFICADO DE LA FRACCIÓN La fracción como partes de la unidad Un todo se toma como unidad. La fracción expresa una parte de ese todo.

Un depósito contiene

2 de gasolina.

3

El todo: el depósito. La unidad equivale a

3 , en este caso; pero en general sería una 3

fracción con el mismo número en el numerador y el denominador.

2 de gasolina expresa la 3

relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina.

LA FRACCIÓN COMO COCIENTE ENTRE DOS NÚMEROS. REPRESENTACIÓN DE REPARTOS.

Repartir 4 € entre 5 amigos.

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LA FRACCIÓN COMO OPERADOR Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador.

Calcular los

2 de 60 €.

3

2 · 60= 120

120 : 3 = 40€

FRACCIÓN COMO RAZÓN Y PROPORCIÓN Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones.

Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.

Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno).

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES Fracciones propias:Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor comprendido entre cero y uno.

Fracciones impropias: Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.

Número mixto:El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción impropia:

Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.

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Fracción unidad:Las fracciones unitarias tienen el numerador igual al denominador. El valor numérico es igual a 1.

Fracciones unitarias:Las fracciones unitarias tienen de numerador la unidad.

Fracciones decimales:Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes cuando su valor es el mismo. Para comprobar que los son se debe verificar que el producto de extremos sea igual al producto de medios.

Ejemplo: Calcula si son equivalentes las fracciones: 4 · 12 = 6 · 8

48 = 48

Sí , son equivalentes.

Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.

Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar.

SIMPLIFICAR FRACCIONES Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.

Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.

Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente. Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

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Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.

Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.

FRACCIONES IRREDUCIBLES Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

3=3

12 = 22 · 3

9 = 32

m.c.m.(3. 12. 9) = 22 ·32 = 36

ORDENAR FRACCIONES Fracciones con igual denominador: De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Fracciones con igual numerador : De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

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Con numeradores y denominadores distintos: En primer lugar las tenemos que poner a común denominador.

Es menor la que tiene menor numerador.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES 

Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores. 

División de fracciones La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios..

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Escribe la fracción que representa cada figura y cómo se lee.

Colorea en cada figura la fracción que se indica.

3 4 7 7 6 10 Escribe la fracción y el número mixto que representa la parte coloreada en cada figura.

Escribe en forma de fracción y número decimal los siguientes cocientes: Cociente

Fracción

Número decimal

2:5 7:4 5:6 0:5

Escribe en forma de fracción la parte que se indica en cada caso: De 10 problemas de Matemáticas he realizado 7.

De los 30 alumnos de una clase, 13 tienen gafas.

Han asistido a clase 120 alumnos, de los 500 del instituto.

Conozco a todos los alumnos de mi clase, que son 29.

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De las siguientes fracciones, ÂżcuĂĄles son propias, impropias o iguales a la unidad?

2 8 32 3 4.409 12 11 5 104 , , , , , , , , 5 9 15 4 4.409 11 12 5 103

Propias

,

12 45 2 , , 12 20 2

Impropias

Iguales a la unidad

Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

3 0 5 8 1 4 , , , , , 10 10 10 10 10 10

9 , 4

9 9 , , 3 12

9 , 25

9 9 , 20 18

Ordena de menor a mayor.

5 3 9 , , 4 4 4

11 11 11 , , 5 10 7

9 2 7 , , 5 3 15

8 3 5 , , 3 2 12

y

64 24

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Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones: Fracciones 2 3 6 12

y

Comprobación

Fracciones 2 4

6 9

y

y

Comprobación

5 6

6 9 y 4 6

9 18

Escribe tres fracciones equivalentes por simplificación y otras tres por amplificación.

Por simpl.

36 48

Por ampl..

Por simpl.

80 240

Por ampl..

Por simpl.

216 360

Por ampl..

Simplificar hasta llegar a la fracción irreducible.

15 30

42 12 84 21 300 500

Completa la tabla: Número decimal Fracción decimal

0,432

8,61 3 100

59 1000

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Completa la siguiente tabla: Fracciones

Productos cruzados

Cocientes

¿Equivalentes?

7 3 , 10 5

2 10

,

Sí

3 · 10 = 15 · 2

12 9 , 16 12

,

21 · 11

15 · 16

0,73

0,76

Halla término que falta para que sean equivalentes.

2

7

8 16 3 21

2 5

12 2

3 8

6 20 6 40

Colorea la fracción que se indica y escríbela en forma de número mixto.

5 3 13 5

Completa.

1

2 3

2

1 2

3

2 3

2

3 4

Rodea las fracciones equivalentes a la fracción dada.

3 7 9 21

12 28

5 6 6 7

15 35

10 18

24 20

30 36

40 48

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Completa la siguiente tabla: Operación

Denominador común

Resultado

Fracciones reducidas a común denominador 3 4

1 2

7 6

2 15

3 5

13 20

13 12 7 9

5 8

4 8

5 8

15 8

7 10

17 18 2 3

6 8

m.c.m.(4,2,8) = 8

2 6 5 6

Calcula: 2 de 60 3 4 de 90 5 3 de 180 4 4 de 120 12

Realiza las siguientes sumas y restas con distinto denominador 3 4

7 12

1 3

1 6

7 6

7 4

1 6

4 8

1 15

5 12

1 3

2 9

3 15

1 5

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3 5

7 4

1 10

3 5

13 15

4 10

5 6

1 12

2 3

4 5

2 15

5 9

3 5

1 2

2 3

3 8

8 12

3 9

2 20

6 8

4 15

8 12

5 64

3 9

2 20

6 5

5 12

6 9

6 4

4 32

3 8

6 16

4 15

8 25

3 9

2 15

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3 7

5 14

3 49

3 8

5 12

6 9

3 2

2 5

3 2

2 5

1 4

7 2

2 8

4 6

5 4

3 16

4 6

7 20

5 3

6 15

2 12

4 9

8 12

3 9

15 6

6 15

2 12

4 9

1 2

8 12

15 6

9 4

2 5

8 12

3 9

2 3

1 2

15 6

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3 2

2 5

8 12

5 8

4 6

8 9

8 5

6 4

9 10

3 9

2 3

2 25

15 6

6 8

4 15

3 24

8 5

6 4

9 10

8 5

6 4

9 6

3 2

8 12

3 9

2 20

2 25

3 2

2 9

7 2

EfectĂşa las siguientes multiplicaciones: 3 4 2 5 2 3

4 3 3 4

5 6

3 4 5 7

5 3 6 10

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2 3

5 5 = 2 2 3 4 5 7

2 3

1 2

5 6

5 6

5 3 6 10

3 5

Calcula: 3 2 : 2 5

6 4 : 8 15

5 4 : 8 6

8 6 : 5 4

6 4 : 4 3

4 15 : 15 4

6 4 : 5 8

4 5 : 8 7

Calcula.

3 6 : 5 5

2 3

3 6

1 2 5 3

2 7

2 4 7 · : 5 6 4

8 2 : 3 6

6 4 : 7 3

5 3 · 4 4

6 5

2 5 · 7 4

3 6 : 4 5

2 5 · 7 4

3 4

6 5

5 2 : 9 3

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2

1 3

3 5

1 3

1

1 : 3

1 16

3 4

3 5

1 16

1 3 路 3 4

3 6 : 5 5

1 6

4 8

2 9

3 15

1 2 2 3

1 5

3 4

1 2 6 7

3 4

5 1 : 4 2

3 4

5 1 : 4 2

3 6

1 16

8 2 路 3 6

1 5

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5

1 5 : 3 6

1 2

1 4 + 3 7

2 = 3

2 5

3 1 4

3 5

8 6

2

1 3

1 3

1 4

2

1 3

3

1 4

2 5

2 1 5 10

15 2

5 6

2 3

1

2 3

7 6

6 4 + 5 9

4 2

3

15 7

2

6 15

1 2

8 4

1 2

3 5

3 4

1

1 6 3

43 140

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Problemas 1 de un vaso con leche.

2 1 Camila su hermana, tomo en el mismo 4 vaso. ¿Quién tomó mayor cantidad de leche?

Un padre de familia piensa dejar en herencia a sus cuatro hijos una finca de 300.000 m2.

Al 1º le dejará 1/5, al 2º el doble que al primero, y al 3º 2/8. ¿Cuántos m2 heredará el 4º ?

Un señor posee un capital de 525.400 €. Deja 5 a su hijo los , y el resto a su sobrino. ¿Qué 8 parte corresponde a cada uno?

Una colección de libros cuesta 1678 euros. Si pagamos 9/17 del total y el resto en 10 mensualidades, ¿cuánto pagaremos cada mes?

Entre tres hermanos deben repartirse 15.900 €. El 1º se lleva 7/15 del total, el 2º 5/12 del total y el 3º el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?

En un autobús han subido 50 personas. En la 1ª parada bajan la mitad y suben 7 personas.

En la 2ª parada bajan los 3/4 de los que quedan. ¿Cuántas personas quedan en el autobús?

Carlos se tomó

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3 1 de los alumnos de un instituto van a En un instituto hay 660 alumnos, de 4 15 ellos están en primer curso. Sabiendo que los 1 él andando, en autobús y el resto en coche, 4 5 del alumnado de primero son chicos. ¿qué fracción representan? Si en el instituto 11 hay 600 alumnos matriculados, ¿cuántos ¿Cuántas chicas hay en este curso? alumnos vienen en cada medio?

Los

Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al

1 de los 20 euros que le dan. De 8 4 mayor le da de esa cantidad, al mediano 2 9 lo que le queda ,se gasta los en tomar algo 3 1 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió con los amigos y el resto para comprar CD de música ¿ De cuánto dispone para 3 comprarse discos?. cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el

Juan ahorra

tercero?

Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?

5

Hemos comprado:

1 3 kg. de carne, kg. de 2 4

3 kg. de sal, 2 kg. de manzanas.

4 La cesta de la compra vacía pesa 500 g. ¿Cuántos kg. pesa la cesta llena?

embutido,

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Ana está ahorrando para comprarse una Pablo ha comido dos tercios de tarta y Rosa bicicleta de montaña que cuesta 1.200€ . Ya ha comido un cuarto de la misma tarta. ¿Qué 5 ha ahorrado de su precio. ¿Cuánto le falta fracción de tarta han comido entre los dos?

8 todavía?

Mi hermano pequeño ha comprado un ordenador y un amigo le ha regalado 42 2 juegos. De estos juegos, los son de acción, 3 2 son juegos de estrategias y rol, y el resto 7 de cultura general. ¿Cuántos juegos le regaló de cada tipo exactamente?

En una familia trabajan el padre , la madre, el hijo mayor, ganando conjuntamente $720.000. La madre gana los

1 2 y el hijo 2 3

de lo que gana su madre. ¿Cuánto gana cada uno?

En una carrera de automóviles faltan 372 km Compramos un televisor por 1.300 € y para llegar a meta. ¿Cuántos km debe 1 recorrer en total un coche que ya ha recorrido pagamos 4 al contado y el resto en 6 plazos.

9 ¿Cuál será el importe de cada plazo? ?

40

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Jacinto se come los

2 de una tarta y Pepita 7

3 del resto. ¿Qué fracción se ha comido 5 Pepita? ¿Qué fracción queda?

los

En una bolsa de 24 bolas, las bolas blancas 1 son de ellas. Sin sacar ninguna, ¿cuántas 4 bolas blancas debo añadir para conseguir que las blancas fuesen la mitad?

Tenemos 10 cajas de refresco de 24 botellas cada una y gastamos los

3 5 partes, poco después hubo un incendio, en el 5 que se quemaron los de los pinos que 7 quedaban. ¿Cuántos pinos sobrevivieron?

En un pinar de 210 pinos se talaron sus

Carla tiene una tarrina de helado que pesa tres cuartos kg. ¿Cuántas porciones de helado de un octavo de kg puede hacer con los tres cuartos kg de helado que tiene?

7 de las 9 3 . ¿Cuántas plazas ocupadas. ¿Cuántas plazas quedan 5 libres?

Un autocar de 54 plazas tiene los

botellas nos quedan?

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Compramos una garrafa de 5 litros de agua y Una ciudad tiene 30 000 habitantes; los 2/8 gastamos tres litros y cuarto. ¿Cuánto le tienen menos de 20 años, y de estos los 4/5 queda? son estudiantes. ¿Cuántos estudiantes menores de 20 años tiene esa ciudad?

En una clase de 30 alumnos, aprueban las Matemáticas los 2/3, y 1/4 de estos obtienen sobresaliente. ¿Cuántos alumnos han obtenido sobresaliente?

Una familia gana 18 000 € al año. Gasta en comida 3/10, en ropa 1/8, en transporte 1/12 y en otras cosas 3 000 €. ¿Cuánto ahorra al año?

Una caja contiene 40 bombones. Teresa se En una clase de 30 alumnos, 1/3 son chicos, y comió los 2/5, y Marcos, 1/4. ¿Cuántos el resto, chicas. De las chicas, 1/2 son bombones quedan en la caja? morenas. ¿Cuántas chicas morenas hay en la clase?

Un autocar de 54 plazas tiene los 7/9 de las Calcula el tiempo transcurrido desde las plazas ocupadas. ¿Cuántas plazas quedan nueve y media de la mañana hasta las doce y libres? cuarto de la mañana.

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Números enteros Los números enteros son una ampliación de los números naturales: Los números enteros positivos son los números naturales y van precedidos del signo + : +1, +2, +3 +4 …

Los enteros negativos van precedidos del signo - : -1, -2 , -3 , -4 …

El cero ni es negativo ni positivo y no lleva signo.

El conjunto de los números enteros se representan co el símbolo

:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Representación de los números enteros

1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...

ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor al que él está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda. −7 > −10 SUMA DE NÚMEROS ENTEROS 1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común. 3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto. −3+5=2

3 + (−5) = −2 RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b)

7−5=2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La multiplicación y La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto o el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos:

OPERACIONES COMBINADAS Jerarquía de las operaciones 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

A. Sin paréntesis 1.1 Sumas y diferencias.

9−7+5+2−6+8−4=

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. =9−7+5+2−6+8−4=7 1.2 Sumas, restas y productos.

3·2−5+4·3−8+5·2=

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15 1.3 Sumas, restas , productos y divisiones. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Sumas, restas , productos , divisiones y potencias.

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 = Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 = Seguimos con los productos y cocientes.

Efectuamos las sumas y restas.

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

= 26

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B. Con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)= Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )= Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18 C. Con paréntesis y corchetes [15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) = Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente: = (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2= Operamos en los corchetes. = 12 · 7 − 3 + 2 = 84 − 3 + 2=

Multiplicamos.

Restamos y sumamos. = 83

EJERCICIO DE OPERACIONES COMBINADAS 14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) = Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) = Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) = 14 − (17) + (-5) + 3 - (1) = La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que: Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.

Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = −6

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Ordena.

DE MENOR A MAYOR (<)

DE MAYOR A MENOR (>)

−16, +5, −2, +13, +3, −4, −9, +9, +18, −10

+11, −2, +8, −1, +5, −6, +3, +7, −4, −9, +17

___<___<___<___<___<___<___<___<___<___ ___>___>___>___>___>___>___>___>___>___ Une cada número entero con su opuesto y sitúalos en la recta numérica: -5●

● +1

+7●

● +5

-4●

●-7

-1●

● +4

Calcula los siguientes valores absolutos: Número Valor absoluto

Número

| –4 |

| +9 |

| +2 |

| –8 |

Valor absoluto

Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en cada caso, el número entero: Situación

Número entero

Avancé 4 metros.

Juan tiene en el banco 1 200 €.

El ascensor está en el 3° piso.

Roma se fundó el año 753 antes de Cristo La cometa es capaz de volar a ochenta metros El avión vuela a mil quinientos metros sobre el nivel del mar El submarino está a 40 metros de profundidad.

La gaviota está volando a cincuenta metros sobre el nivel del mar La temperatura en la Antártica es de 3 grados bajo cero.

La estación de metro se encuentra a 45 metros por debajo del suelo El ascensor está en el primer subterráneo.

Debo 100 € Ahorré 20 € Nació en el año 540 antes de Cristo Retrocedí 2 pasos.

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Calcula las siguientes potencias: - 33 =

(- 1)38=

- 32=

(- 2)5 =

Calcula

(+3) + (+4)=

(+4) + (-6)=

(+7) + (-8)=

(-9) - (+3)=

(-5) + (+4)=

(+1) + (-1)=

(-7) + (+7)=

(-12) - (-3)=

(+7) + (+5)=

(-4) + (-10)=

(+6) - (-12)=

(-9) - (+15)=

(+3) + (+6)=

-7 + (+3)=

(+7) - (- 3)=

-4 + (+4)=

(+2) + (+10)=

-6 + (+8)=

(+10) - (-4)=

-12 - (+3)=

4 + (-6)=

- 6 - 8=

-9 + (-3)=

-3 + 3=

-4 - (-10)=

- 3 + 14=

9 + (-3)=

-6 + (-6)=

-12 + (-15)=

7 + (-4)=

-3 + 9=

4 + (-4)=

- 6 – (- 8)=

2 – (- 5+3)=

-4 +(-5 – 8)=

(9 – 12) – 5=

Opera. (+8) - (+3) - (-5) =

(+4) + (+8) - (-16)=

(-5) - (-4) - (+6) =

(+8) + (-8) - (-17)=

Página 95 de 266

(+6) + (-15) - (+ 8)=

(-24) - (+12) +(+6)=

(-3) + (-6) - (+15)=

(-8) + (+17) + (+6)=

(+2) +(-14) - (-5) =

(+9) - (-17) + (-9)

(-32) + (+9) + (-3) =

(-12) + (+7) - (+12) =

(+8) - (-6) - (-8) =

(+8) - (-6) - (-8) =

(+7) + (+8) + (-16) =

(-2) - (+6) - (-4) =

(-3) + (+5) - (-5) =

(-7) - (+9) - (+8) + (-15) =

(-18) + (+3) + (-12) - (-3) =

(+9) - (-7) - (-6) + (-15) =

Pรกgina 96 de 266

(+24) - (+6) + (+7) - (+8) =

(+15) - (+6) - (-4) + (+16) =

(+39) - (-13) - (-3) - (+9)=

(-8) - (-4) - (-8) - (-12) =

(+15) + (+12) - (+16) - (+4) =

(-6) - (+4) + (-9) - (+13) =

(+16) + (-18) - (-8) + (-2) =

(+6) - (-9) - (+6) - (-15) =

(-24) + (-13) + (+15) + (-3)=

(+5) + (+12) - (+4) - (+11) =

(-19) + (+17) + (-24) + (+6)=

4 - (-3 + 4 - 5) -2 + (-3 + 4)=

(4 + 5) - 2 - (-3 + 6) - 3 - (-2 + 6) – 1=

- (-3 + 2 - 1) + 2 + (-3 + 4) – 3=

(-2 + 5) -3 - (2 - 4) - 3 + (2 + 3) + 3=

-2 - (-3 + 5) - (-3 + 4) - 3 + 2 + (-3 + 4)=

Página 97 de 266

4 - (3 - 2) - (2 - 5) - (-5 + 4 - 6)=

-3 + -2 + (-3 + 4) - 3 - (+2 - 1)=

-3 + 4 + (-2 + 1) -3 + (+2 - 5) - (-3 + 2)=

4 - 5 - (-3 + 6) - 2 (-3 + 4) – 3=

- (-2 + 1) - (4 - 3) - (-3 + 6) - (-3)=

-4 -3 + 2 + (-2 + 5) - 3 - (-4 + 2)=

-3 - (+2 - 1) - (-4 + 5) - (-3 + 4)=

4 - 5 - (-3 + 6) - 2 - (-3 + 4) – 3=

- (-2 + 1) - (+4 - 3) - (-3 + 6) - (3 + 5)=

+(-4 - 7) + (-3 – 4 – 5 - 8)=

-(+2 – 3 + 5) + (-2 + 6 – 4 + 7)=

–(+4 – 6 - 9) + (-4 + 5 – 2)=

–(+3 – 2 - 1) + (-5 + 7 + 4)=

+(-3 + 5 + 2 + 1) - (-8 – 4 – 9 - 5)=

Página 98 de 266

+(-4 + 7 + 2) + 9 - (-3 + 4 - 3)=

-(–5 + 6 – 3 + 6) + 3 - (+5 – 2 + 1)=

+(-8 – 3 - 9) + 4 + (-2 + 9)=

–(-5 - 3) - (+4 + 7 + 2 + 3)=

–2 - 4 + (-8 + 4 – 6 + 7)=

–3 + (-5 + 4) - (-8 + 3 + 9)=

4 - (-7 + 4 - 5) + (-5 + 1)=

2 + (-4 + 5) - (+6 + 6) + 7=

–3 - (+4 – 6 – 7 – 5 + 6) – 7 + 5=

+(-3 – 5 + 6) - (-4 – 5 - 9)=

+(-3 – 5 + 4) - (+4 + 5 + 6) =

–(-4 + 5 - 6) - (+7 – 3 + 6) – 5=

Página 99 de 266

– (8 + 4 – 10) + (2 – 12)=

– (-20 – 31) – 6 + (2 – 15)=

– 22 + 12 – (8 – 14 + 2) =

– 5 – (9 + 2) + (3 – 7) – 6=

5 – (6 – 7) + (4 – 9)=

– 5 + 3 – (6 – 5 + 8)=

9 – (3 – 5) + (6 + 4 – 7)=

– (4 – 7) – 8 + (9 – 2)=

5 – 12 + (3 – 7) – ( - 3 – 6)=

2 – (6 – 5 + 8) – (1+ 3) + 6=

3 - [- (-3 + 2 - 1) + 2 + (-3 + 4)]=

- [- 3 - (-2 + 5)] - [-3 - (+2 - 4) - 3] + 3 =

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Multiplica.

2·(–4)=

(–3)·(–5)=

(–5)·5=

(–1)·(–2)=

6·(–8)=

3·(–6)=

(–7)·(–4)=

3·(–1)=

(–4)·5·(–1)=

3·(–2)·7=

(–4)·(–2)·(–3)=

(–1)·(–1)=

3·4·(–6)=

2·(–2)·(–2)=

3·(–2)·(–1)·4=

8.(- 5).(-2)=

-4 . (- 2).(-5):2=

4.8 .(-8)=

Divide.

15:5=

(–14):(–7)=

(–12):4=

(–42):6=

21:(–3)=

(–18):(–3)=

(–63):9=

40:(–5)=

(–2):(–1)=

12:(–3)=

(–75):(–5)=

32:(–8)=

15: (-3) (- 1)=

45: (-5) : (-3)=

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Efectúa los siguientes productos y cocientes combinados: 2·8:4=

(+6) · (-2) · (+8) =

5) · [(+10) : (-2)] =

(-160) : (-40) =

(+200) : (+5) · (–2) =

(–15):5·12=

8:( –2)·(–1)=

–(–14):(–7)·(–3)=

12:[–(–2)]·(–11)=

(–3)·9:(–3)=

(–75):5:(–3)=

64:(–8):[–(–4)]=

–4·(–1):2=

21:(–7):(–3)=

(- 25) : 5

[(125: (-5)] =

- (- 40): 5x 6 : (- 8)=

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Calcula los siguientes ejercicios combinados : 6 · (2 - 3) =

–7 · (3 - 6)=

9 · (8 - 1) =

–8 · (8 - 1) =

4 · (–3 - 5) =

(–5 - 6)·(8 - 4) =

(–8 + 3)·(5 - 9) =

(–4 · 3)·(10 - 15) =

(–3 + 9)·( –32:8) =

(–9 + 6)·( –2 - 5) =

(–3 + 6 + 18) : (–3) =

(–4) – (–6) : (–3) =

5 : (–5) – (–7) · 2 =

(–11) –3 · (–4) : (–6) – (–9) =

[2 – (–5) – 3] · (–2) =

[6 – (–1) – (–13)] : (–5) =

[(–7 + 5 – 2) – (6 – 8) + 5] : (–3)=

[(–5) · (–3) · 4 + 12] : [–12 – (–3)]=

Página 103 de 266

–4 + 6 · (–2 + 5) : (–9) + 2 · 3=

–18 – [4 + (–6)] : 2 + 5=

{[–4 + 6 · (–2 + 5)] : (–7) + 2} · 3 =

18 : [6 – 3 · (–4 : 2 + 1)] – 3 =

(–5) – (–9) – 4 · (–3) : (–2) : (–6) =

3 – 6 : 2 · (–3) : [–2 + (–1)] =

[(–4 + 6 : 3 + 1)·(6 – 4 : 2) + 8] : (–2) =

2 + 4 : 2 – 3 · (–5) + 6 – 3 : (5 – 2 · 3)=

(–2) · [8 – 6 · (–3 + 12 : 2) : (–3) ] + (–3)=

76-[-7+5.(9-14+7)-5]-4.(-3)=

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7.(-8)+69:(-3)+15=

7.(-8)+69:(-3)+15=

86:2-75:5+90:15+6.(-8)=

–9-7-5.(-8)+4-92+72:(-6)=

5-(8+7-5).(-9+32-15)+18=

5.[7-6.(3-42:7+1)-14]+31=

(-6).(-4).(-5)+72.7– 400=

(-6-43+31).(94-73)-12:(-6)=

43-3.(-8)+4-3.2-6.5=

(-3-8+3.4).(7+31-34+11)-4=

-4+9.(-8-5.(-6)-21+35)-211=

5 + (–3) – (–2) + (4 – 6) – [3 – (6 – 4)]=

Página 105 de 266

(3 + 6 – 11) · (4 – 2 – 9) · (–1)=

5 · [8 – (2 + 3)] – (–4) · [6 – (2 + 7)]=

(–7) · [4 · (3 – 8) – 5 · (8 – 5)]=

(- 3) 2 – 4 - 2 – (5 – 9)=

– 2 (6 - 9) - (2 - 4) + 5 – 2=

- 3 · 49 + 2 (3 + 1 – 9)=

10 : (1 – 3) + 3 (- 4)=

– 12 : 4 - (- 2 + 7) – 3 · 17=

- (- 3 + 1) – (3 – 5)+ 2 (- 2)=

2 - (3 + 2 – 1) + 2 ( - 1)=

–12 + (-64) + (-17) + 4 =

25 – 50 – 56 + 50 – 25 + 56=

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3 - [-3 + (-3)] – 14 : (-7)=

2– [3 + (-2) - 5] + (-2)-(-5)-(-3)=

– 6 – 5 - [5 (-2) – 5] + (-5) – 4=

–9 : 3 – [ (8 –10) – (9 - 2)]=

[(-4) . 2 + 20 ] : (-4) + 2 [ (9 : (-3) ]=

(-35) : (-5) – 3 -(5 – 7)=

[(-4) : (+2)] – [(+7) – (-2)]=

[(+3) - (+5) + (+4)] : [(+15) : (-3) – (-7)]=

-13- (+3) - (-12) - (+7)=

[(-25) + 5 - (-2)] : (-8)=

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–8 - [ 5 - (-2 )] – 48 : [6 + (-14)]=

–11 - [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]=

9 - [24 - (-1 - 2)] : (-9)=

10 - 9 - [- (3 + 2) - (7 - 9)]=

(-7) · (+1) - [(-5) + (-2) - (-3)] · (-2) =

42 : [(-6) – (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]=

(10 -15) + 3 ·[3-(2 +1)]=

2 ·[8 – 4·(10 - 6) - (-3 - 2)]=

(-9 +7)· (3 – 2 ·4): [6 - (-9 + 10)]=

[8 - (-10 +14)]: [9 - (4 +2 ·3)]=

-5 ·[4-(3 -2·5 +8)]-[15 -(-5)]=

(-7) · [(+3) + (+4) - (2 + 5 - 1)] =

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Problemas En un frigorífico la temperatura del congelador es de –15º C y la de nevera es de 6º C, mientras que la del exterior es de 21º C. Calcula la diferencia entre: El exterior y el congelador.

El exterior y la nevera.

El congelador y la nevera.

Anaximandro, filósofo y matemático griego, A las 8 de la mañana el termómetro marcaba nació en el año 611 a. C. y murió en el año - 5 ºC; a las 12 del mediodía, la temperatura 547 a. C. ¿Qué edad tenía al morir? había subido 8ºC y, ahora, a las 12 de la noche, ha vuelto a bajar 5ºC. ¿Qué temperatura marca ahora el termómetro?

Julio nació en el año 149 antes de Cristo y murió en el año 98 antes de Cristo ¿Cuántos años vivió?

¿Cuál es la diferencia en metros entre la cima del Mont Blanc, que tiene 4 807 m de altura, y la fosa del Pacífico, que tiene 7 302 m de profundidad?

Elena ayer debía 235€ y hoy tiene 72€. Roma se fundó el año 753 a.C. y el fin del ¿Desde ayer qué cantidad de dinero ingresó o Imperio Romano en occidente tuvo lugar el gastó ? año 476 d.C. ¿Cuántos años transcurrieron desde la fundación de Roma hasta el fin del Imperio Romano de Occidente?

Un avión vuela a 7 600 metros de altura y un submarino está sumergido a 700 metros. ¿Qué distancia les separa?

En el indicador de un coche leemos que la temperatura interior es de 16 °C, y la exterior de -3°C. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre el interior y el exterior?

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En una ciudad, a las seis de la mañana, el Sara aparca el coche en el tercer sótano y termómetro marcaba -10 °C, y a las 12 horas sube a la quinta planta. ¿Cuántas indicaba 4 °C. ¿Cuál fue la variación de la plantas sube Sara? temperatura en grados?

María trabaja en la planta 15 de un edificio y Euclides, famoso geómetra, murió en el año aparca su coche 19 plantas más abajo. ¿En 265 a.C. y vivió 60 años. ¿En qué año nació? qué planta lo aparca?

Un avión vuela a 8 000 m de altura. Sube 1 000 m para evitar una tormenta y luego desciende hasta los 2 600 m. ¿Cuántos metros ha descendido el avión?

En un almacén tuvieron 3 400€de beneficio en el primer mes, perdieron 837 € en el segundo mes y ganaron 2 800 € en el tercer mes. ¿Tuvieron ganancias o pérdidas durante el trimestre? ¿A cuánto ascendieron

Hemos comprado 100 acciones de una empresa a un precio de 24 €. Pasados tres meses, el valor de cada acción es de 19 €. ¿A cuánto asciende la pérdida?

Hemos comprado un camión congelador que estaba, al ponerlo en marcha, a 25 °C. Al cabo de 4 horas estaba a –7 °C. ¿Cuántos grados bajó cada hora?

Un termómetro marca 12 °C después de La temperatura del congelador de casa pasa haber subido 7 °C y bajado 3 °C. ¿Cuál era la de 2 °C a –5 °C. ¿Ha aumentado o temperatura inicial? disminuido la temperatura? ¿Cuánto?

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El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año: ENERO-MAYO Pérdidas de 2475 € mensuales JUNIO-AGOSTO Ganancias de 8230 € mensuales SEPTIEMBRE Ganancias de 1800 € OCTUBRE-DICIEMBRE Pérdidas de 3170 € mensuales ¿Cuál fue el balance final del año?

¿En qué año nos situamos medio siglo antes Juan debe 417€ y paga por adelantado de su del año 15 de nuestra era? deuda 85€. ¿Cuánto seguirá debiendo?

Un barco pesquero capturó una gran cantidad de merluza y se dispone a congelarla. En el interior de su cámara frigorífica, la temperatura desciende 2 ºC cada diez minutos. Si al principio la cámara se encontraba a 4 ºC: ¿Qué temperatura habrá después de una hora ¿Cuánto tiempo tardará en estar a −30 ºC y media de funcionamiento?

Si una persona tiene 127 € en el banco y paga Elena ayer debía 235€ y hoy tiene 72€. dos facturas por un importe de 292 €, ¿en qué ¿Desde ayer ingresó o gastó dinero? ¿Qué situación queda su cuenta bancaria? cantidad?

El saldo de cartilla de ahorros de Elena es Completa los cuadrados mágicos, sabiendo hoy 154€ . Le cargan una factura de 313€. que la suma de los números en horizontal, en ¿Cuál es el saldo actual? vertical y en diagonal es la misma.

-4

3

-2

1

0

-1 -3

2

-6

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Estas son las temperaturas registradas un día de enero en diferentes ciudades europeas.

Barcelona: 11ºC París : 1ºC Berlín: - 2ºC Londres: 3ºC ¿Que diferencia de temperatura hay entre Barcelona y Londres?

Moscú: - 8ºC Roma: 4ºC Estocolmo: - 15ºC Lisboa: 13ºC ¿Y entre París y Moscú?

¿Cuál es la amplitud térmica entre la ciudad ¿Que diferencia de temperatura hay entre más calurosa y la más fría?

Moscú y Estocolmo?

El matemático griego Tales de Mileto nació Euclides, famoso geómetra, murió en el año en el año 624 a.C. y vivió 78 años. ¿En qué 265 a.C. y vivió 60 años.¿En qué año nació? año murió?

En un laboratorio de biología están estudiando la resistencia de un microorganismo a los cambios de temperatura. Tienen una muestra a 3 °C bajo cero, suben su temperatura 40 °C, después la bajan 50 °C y la vuelven a subir 12 °C. ¿Cuál es la temperatura final de la muestra?

En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 °C cada hora. ¿Cuántas horas tardará en bajar la emperatura 20 °C?

Hemos comprado 350 kg de marisco a 29€el kilo, se han estropeado 123 kg y hemos vendido el resto a 35 €. ¿Cuánto hemos ganado o perdido?

Hemos comprado 225 acciones de una empresa a 23 € cada acción y las hemos vendido por 4 275 €. ¿Cuánto hemos ganado o perdido?

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Expresiones algebraicas LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRAICO 

El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje numérico.



El lenguaje que combina letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje algebraico.

EJEMPLO

Lenguaje usual

Lenguaje numérico

Catorce dividido entre siete

14 : 7

Dos elevado al cuadrado

22

Lenguaje usual

Lenguaje numérico

Un número menos 3 unidades

y−3

El cuadrado de un número

b2

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones matemáticas.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican.

DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal MONOMIO

3x

−5ab

−5x3

COEFICIENTE

3

-5

-5

PARTE LITERAL

x

ab

x3

GRADO

1

2

3

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MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ej: 3xy2; - xy2 son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (xy2).

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS • La suma y resta de monomios solo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.

• Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

EJEMPLO: 2x + x = (2 + 1)x = 3x 2x + y .- La suma se deja indicada, porque no son monomios semejantes.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.

Ejemplo: 3x · 2x = (3 · 2) . x . x = 6x2.

DIVISIÓN DE MONOMIOS El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya parte literal es el cociente de las partes literales.

EJEMPLO: 10x3 : (- 5x)=

10 x 3 · = - 2 x2.

5 x

Si x es el valor de un número cualquiera, escribe en lenguaje algebraico: Lenguaje usual

Lenguaje algebraico

La mitad de un número.

El doble de un número.

El triple de un número.

El cuadrado de un número.

El cubo de un número.

El doble de la suma de tres números.

Una cuarta parte de la suma de dos números.

El triple de un número menos cinco unidades.

El cuadrado de un número más una unidad La diferencia de dos números.

El número siguiente a un número entero.

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Escribe en lenguaje algebraico.

El doble de una cantidad más nueve.

Una cantidad más cinco.

Cuatro veces una cantidad menos nueve.

El doble del cuadrado de un número.

El doble de la suma de un número y cinco.

El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente.

El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

El triple del resultado de sumar un número con su inverso.

El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.

La mitad del resultado de sumarle 3 a un número.

El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos.

La cuarta parte de un número entero más el cuadrado de su siguiente.

El perímetro de un triángulo isósceles del que sabemos que su lado desigual mide 4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales.

El doble de la edad que tenía hace 7 años.

La suma de un número con el doble de otro.

La suma de tres números enteros consecutivos.

La diferencia de los cuadrados de dos números La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.

El cubo de la diferencia de dos números.

El doble de un número menos el triple de otro Una cuarta parte de la suma de dos números La suma de un número y su cuadrado.

El cuadrado de la diferencia de dos números.

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Calcula el valor numérico de cada expresión para el valor de x que se indica en cada caso.

Expresión

Valor de x

5x – 4 + x

-1

x – 3 + 7x

-2

x + 3 + 2x

-3

3x - x

-4

2x - 3

2

Valor numérico

Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican.

Expresión

Valores

x2 + (3 - y) ⋅ 2

x=2;

3⋅x-5⋅y

x =1 ; y = - 2

Valor numérico

y=-1

x ⋅ (x + 1) ⋅ (x - 1) + 3 x = -1 xy2 + 3x2y

x=0 ;

- 2(x+3y) – 3(x – y)

x = -2 ;

y=2 y=-1

Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 1 para estos valores: VALOR

SUSTITUCIÓN

OPERACIÓN

VALOR NUMÉRICO

x=0

2 ⋅ (0) + 1

2⋅0+1=0+1

1

x=2 x = −1 x = −2 Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican.

VALOR

x+y

2x −3y

(x + y)2

x=1;y=0 x = −1 ; y = 2 x = 1 ; y = −2 x = −2 ; y = 3 x = −1 ; y = −1

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Completa la siguiente tabla Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

2

8x

5 ab4c2 x2 y 3 2 p qr 4

3 m 2 Completa la tabla

Semejantes

Opuestos

2xz y 4xz -5ab y 5ab 7xy y 5xyz 6mn y 7mn 12ab y -5ab 7xyz y -7xyz - 6bm y 6bm Completa la siguiente tabla Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

2 2 a b 3 −2xyz

−3b2cm - 5y2fm a4xyz 2z5x3 -3x2y 6ab2c3 - xya4

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Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican.

VALOR

2x2 – 3x + 2

2 · (x – 3)

x3 + x2 + x + 2

x=1 x = –1 x = –2 x= 0 x= 2 Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican.

Valor de a y b

3(a+b)

2a + b2

a=0 b=1 a=1 b=2 a = −1 b = −2 a=2 b=3 a = −2 b = −3 Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican.

Valores de a y b

5a - 2b

(a + b)2

a=0 b=1 a=0 b=2 a = -1 b = -2 a=2 b=3 a = -2 b = -3 a=0 b=0 a = -1 b=2

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Relaciona las dos columnas.

La mitad de un número menos cinco.

●

●

x 6

La cuarta parte de la suma de un número menos tres.

●

●

3(x+y)

La quinta parte de un número menos el triple de dicho

●

●

x 2

La sexta parte de un número más seis.

●

●

x+y

El triple de la suma de dos números cualesquiera.

●

●

x 3 4

La suma de dos números cualesquiera.

●

●

x 5

número.

6

5

3x

Halla el resultado cuando sea posible 4x + x =

5mn − mn − 4mn =

x – 8x =

−5x3 − 3x3 =

5x + 2x2 =

2x2 + x2 + x2 =

-8x – 4x =

5x − 3x − x =

- 5x2 + 9x2 =

a+a+a+a=

9x + 12x =

p − 2p + 5p =

6x - 9x =

8x2 – 3x3 =

3x2 + 2x2 =

9x3 – 5x3 =

4x + x =

x - 3x - 4x =

3x + 6x - 4x =

5x + 6x =

4x2 - 9x2 =

2x - 5x - 4x =

5x - 8x =

7x2 - 10x2 =

6x - 3x =

9x - 6x =

6x + 2x + 5x =

8x - 5x =

8x + 9x =

3x + 2x + x =

3x + 2x =

3x2 + 2x2 =

3x+5x-2y+9y-4x-3x=

2a-5a+7a-8a+b=

2x2+5y-4x2-5x2-5y=

2(3+y)-4(y-2)+5z-6z=

4x-5b-m+5x-2m+4b=

2x2-z4+3x2-z4=

4b3-c4+c4-5b3+5c2=

4x-yz+x-6yz=

7x-2x- 4c2+ (-8c4)=

2yx5-5x2 – 3x2+5yx5=

Página 119 de 266

Utiliza el lenguaje algebraico para expresar Enunciado

Lenguaje algebraico

El perímetro de un rectángulo de base 2a y altura a.

El área de un rectángulo de base 2a y altura a.

En un corral hay x gallinas. ¿Cuántas patas suman en total?

Si en un establo hay n vacas, ¿cuántas patas tienen en total?

Tenía x € y me han dado 23 €. ¿Cuántos euros tengo ahora?

El lado de un cuadrado mide x cm.. ¿Cuánto mide el perímetro?

Isabel tiene x libros y su hermana Marta el doble. ¿Cuántos libros tiene Marta?

Un lado de un triángulo equilátero mide x metros. ¿Cuánto mide el perímetro?

Si compro x kg de manzanas a 1,25 € el kilo y n kg, de peras a 0,95€ el kilo, ¿cuánto tendré que pagar?

El doble de la suma de dos números.

La quinta parte de un número menos el triple de dicho número.

Simplifica las siguientes expresiones.

6xy – (5x2 – 3z + 4x2) – 9xy – 8z= 5x2 – 6xy3 – (3xy3 + 8x2 – 9xy3 )= 3x5 – 7x4 + 9x2+5x4 – 9x2 + 7x= – 8x5 + 5x4 – 9x2–3x5 + 7x4 – 7x3 + 22x2= - x3 + 5x4+x4 + 7x+2x5 – 8x3 + 5x– 3x5 + 7x3 – 8x= 8x7 – 56x5 + 48x3 – 8x2+14x7 – 56x5 + 49x2 – 63x3=

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Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

2yx2 –3x + 4x – 9yx2 = 5ax3 –7xb + 2xb – 9x2 + 2ax3 – 5x2 = 3x2 – 1 – 2x2 – x2 = 5yzx4 – 3x – 5yzx4 + 3x = –x2 + xy + x2 + x3 + xy = 8xy2 – 5x2y + x2y - xy2= 8x2 – x + 9x + x2= 2x2 –3x + 4x – 9x2 = 5x3 –7x + 2x – 9x2 + 2x3 – 5x2 = 3x2 – 1 – 2x2 – x2 = 5x4 – 3x – 5x4 + 3x = x2yz + 3xy2z – 2xy2z – 2x2yz= 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2 = 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) = 3xy − xy + 2xy + 5x − 2y + y + x = –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab= (x – y) – (y + z – p ) + (2y – x)= –7x4 + 6x2 + 6x +x5 – 3x2 – 2x2 + 3x5= 3 - 7x-3 -2 - 2x+5= 2x-5x2– 3x2+5x= xy2 – 3x2 – y2 + x2y – x2y – 5x2 + 3xy2 – y2 – 5x2 = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 = 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) = 7ab + 5ab − ab + 6ab − 2ab = 3xy − xy + 2xy + 5x − 2y + y + x = –5az + 2y – 2az + 5y + 7x +1 + –3az – 4y – 9x + 4y – 8x + 5 =

3x3 – 4x + 5x – 2x2 + 2x3 + 2x2= –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 + x3 –x5 + 3x2 =

4xy2 + 7x4 – 4x3 + xy2 – 6x4 + 5x3=

Página 121 de 266

 Multiplicación de monomios Realiza las siguientes operaciones.

3a ⋅ 2a =

2x2 . 3x =

2x ⋅ 3x ⋅ 4x =

5x4 . 4x2 =

x⋅x⋅x=

8x . 3x5 =

5a ⋅ (−5a2) =

2x2 · 4x3 · 5x6=

(−3a) ⋅ (−4a2) =

2a2 . 6a3 =

(−4x ) ⋅ (3x2) =

4a3 . 2a6 =

3x . 2x =

5b6 . 5b4 = 2 2 3 10 2 x x x 5 4 3

7z2 . (- 3 z4)= – x · 3x2 · (–x) =

1 x x 2

5 · (2x 2 y 3 z ) = (12x 3 ) · (4x ) = 2x · (–3x2) · (–x) = 2x ·( 5x 2 +3x 2 )= −4 ⋅ (x2 − x) − 2x = 3 ⋅ (x2 + x) + 5x = 4x (2x − 5)= 2 ⋅ (x + 1) = 3(2x + 3x2) = 2a(4a3 − 3a2) = (3 - ab + ab2)2a = 2(x2 + 3x) − 2x = - 3x (x3 − 2x + 4) − 12x = - x3(−5x + 4 − 3x2 − 10x) = -

1 x (- x4 + 3x − 2x) + x2 = 3

Página 122 de 266

 División de monomios Realiza las siguientes operaciones.

12x6 : 3x2 =

12x3 : 3x8 =

16a6 : 2a =

–8x3y2 : 2x2y=

12x3 : 3x8 =

2X5 : 2x5 =

24x8 : 2x6 =

3x3 : 3x2 =

16x7 : 4x5 =

8x3 : 2x =

16a6 : 2a =

a4 : a2 =

8b5 : 4b =

20m4 : 15m3 =

20c8 : 5c5 =

(−20z 5) : 4z4 =

15x3 : 5 x2=

-60x5y3z : 30x3yz =

12x : 3x =

12x8:3x5=

12x 4 = 3x

5x = x2

30x8 = 5x

60x8 = 6x2

(18x 6 y 2 z 5 ) : (6x 3 yz 2 ) =

(36 x 3 y 7 z 4 ) : (12x 2 y 2 ) =

(−12x5) : (−12x4)=

(−14y 4) : (−2y2) =

(7x5 : 7x) + x =

(6x7 : x3) − (5x : x) =

(8a2b : 4ab)+b2 =

3x (x +1) − (4x2 : x) =

(12a3b2 : 3a2b ) − b = 3(4xy2 : 2xy ) − 2y = 2x [(- 2y2x3) : (- x2y )]= [ (2x4 ) : x2] ⋅ 2x3= 15 x 2 18 x 4 5x 6x 2

45 x 4 y 2 5x 3 y 2

2x 4

Página 123 de 266

.er

Ecuaciones de 1 grado IGUALDADES , IDENTIDADES Y ECUACIONES Una IGUALDAD es una expresión matemática separada por un signo igual (=).

Las igualdades pueden ser: • Numéricas, si solo aparecen números: 5 + 2 = 7 o verdadera 5 + 2 = 8 o falsa • Algebraicas, si aparecen números y letras: 10 + x = 13 IDENTIDAD Una identidad es una igualdad algebraica (números y letras) que se cumple para cualquier valor de las letras: x + x = 2x es una identidad.

ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para determinados valores de las letras: x + 4 = 10 es una ecuación.

ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. x + 4 = 10 y 2x = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución x = 6.

2 ⋅ 6 = 12

6 + 4 = 10

LAS ECUACIONES Y SU ESTRUCTURA Miembros y términos Una ecuación es una igualdad algebraica que está separada por un signo igual (=).

Este signo diferencia dos partes en la ecuación, llamadas miembros, que contienen términos formados por números y/o letras.

Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros.

Primer miembro = 5+x= Términos: 5, x

Segundo miembro 12 Término: 12

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MÉTODO GENERAL DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES El objetivo de resolver ecuaciones es encontrar y hallar la incógnita. Para ello, debemos conseguir «dejarla sola», despejarla y encontrar el valor numérico que verifica la igualdad.

1.o Eliminar paréntesis.

2.º Observamos la ecuación. Detectamos en qué miembro/s está/n la/s incógnitas/s.

3.º Si los hubiera, reducimos términos que sean semejantes (números y/o letras).

4.º Para despejar la incógnita debemos transponer los términos que acompañan a las incógnitas mediante operaciones aritméticas.

Si en los dos términos de una ecuación se efectúa la misma operación: suma, resta, multiplicación o división, la igualdad no varía, y se obtiene otra equivalente.

5.º Reducimos términos semejantes (números y/o letras).

6.º Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico.

EJEMPLO : 2(x −4) −(6 + x) = 3x −4.

1.o Eliminar paréntesis. 2x − 8 − 6 − x = 3x − 4 2.o Reducir términos semejantes. x − 14 = 3x − 4 3.o Transponer términos: x – 3x = 14 – 4 4.o

Reducir términos semejantes. - 2x = 10

5.º o Despejar la incógnita. x

10 2

x

5

Di si son verdaderas o falsas las siguientes identidades. x + x = x2 a−b=b−a x + x = x2 a−b=b−a Indica cuáles de las expresiones son igualdades, identidades o ecuaciones.

EXPRESIÓN

TIPO

6 + 5 = 11 3 + x = 15 a+b=b+a 7 + 3 = 10 20 − x = 4 x + x + x = 3x 2(x + 2y) = 2x + 4y

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Completa la siguiente tabla.

ECUACIÓN

1.er miembro

2.º miembro

Incógnita

7(x – 5) = 3x – 4 – (z + 1) + 3 = 7 – 5z –9m + 3 = 2m – 3 + m y + 6 + 5y = 4(y – 3) 9x + 10 = 3 + 7x + 5 1 + 7a – 2 = 5a – 3 Resuelve las siguientes ecuaciones x+2=4=

x – 2 = 3=

x – 1 = 5=

x–4=7=

x + 6 = 11=

x + 14 = 20=

2x + 3 = 9

5 – 3x = 2

3x + 1 = 1

5–x=0

1 – 6x + 3 = 2x – 12

4 – 3x + 2 = 4 – 5x

23x = 80=

4x + 4 = 12=

6x – 5 = 3=

2x + 2 = 12=

2 (x + 2) = 6

3 (4 – x) = 6

Página 126 de 266

2(x - 3) = 4x + 14

5(x - 2) = 3(x - 1) + 1

5(x + 3) = 4(x - 2)

2(x - 1) + (x + 3) = 5(x + 1)

x + 4 = 3(x + 12)

3(x + 1) - 4(x - 1) + 1 = 0

x + 3(x - 8) = 3(x - 6)

-3(4 - x) = x - 2(1 + x)

x - 9 = 15 + 2(x + 3)

x - (2x + 5) = 3(x - 1)

2(x - 5) = 3(x + 1) – 3

5(x - 1) - 6x = 3x - 9

3 + 2(x – 1) = 4x – 5

x – 3(x + 2) = 2(x – 1) – 1

Página 127 de 266

3(2x + 1) – (x + 2) = 2x – 3(x – 1)

x – (x + 3) – 2(x + 5) = 5 – 4(x + 3)

2 (x + 1) = 3x

3 (2 - x) = 2 + x

-3 (x - 2) = 6x – 3 + x

1 + 2 (x + 2) = -3 (1 + x)

2 + 3 (1 - 2x) = 2 (2 + 3x) -3

-3(-6x+5) =-3x +9 -2 (8+x)

2 (4x + 5) = -4x + 1 -2(-6+x)

2(-4x -2) + 4(3+x)=7x+4

4(-6x-7) = 4x + 10 - 2(1+x)

5x – 3(1+x) = 2(-7x-1) – 7

2(-2x – 9) + 4(-1+x) = 8x + 5

-3(-8x–2)+2(3+x)=-3x+1

Página 128 de 266

-3 (-3x - 6) + 2(6 + x) = -2x + 6

-2 (-8x-5) = 9x + 5 -2(9+x)

2(-4x -2) + 4(3+x)=7x+4

2 (4x + 5) = -4x + 1 -2(-6+x)

-3(-6x+5) =-3x +9 -2 (8+x)

-3 (x - 2) = 6x â&#x20AC;&#x201C; 3 + x

2x - (x + 5) = 6 + (x + 1)

5x 3

8 - (3x + 3) = x - (2x + 1)

4x - 2 = 7x - (x + 3) + (-x - 6)

8(x + 2) = 3(x - 5) - 7(x + 3)

2(3x 2) 5(2x 3) 5(1 2x)

2x

x 9

PĂĄgina 129 de 266

4(2x 3) 2(3x 2) 6 3( x 4)

3·(x + 7) – 6 = 2·(x + 8)

4(2x-1)+15=6 - 2(x-5)

4·(x – 3) – 7·(x – 4) = 6 – x

24 − (x + 3)= 12 + 2(9 − 2x)

8x 2

-3 (-3x - 6) + 2(6 + x) = -2x + 6

-2 (-8x-5) = 9x + 5 -2(9+x)

3x 1 x 2 1 x 5 15 3

x 4

5 2

3x 1

x 6

2x 7

2x 3

5

Página 130 de 266

x 2 4

3 2

3x 1 2

1 4

3x 1 x 2 1 x 5 15 3

3x 3 3x 2 1 4 2 6

x 6 3

2

4x 1 5

5x 1 6

x 3 12

4x 2 9

Pรกgina 131 de 266

x 3 2

5x 7 2

x 2 3

x 5 2

2x 4 3

10 x 55 2

10 x

5

3x 9 4

3(2 x )

5

95 10 x 2

x 4 5

5x 7 2

x 3 2

x 3 4

3x 9 4

5x

1

x 2

x 1 2

2x 4 3

5

Pรกgina 132 de 266

2

3x 1 15

3(2 x )

x 6

x 3 2

3x 1 4

3x 7 12

x 4 5

5x

2x

2x 3 6

x 4 3

1

x 2

x 4

x 5 4

5 2

x 3 10

x 6

0

5

33 8

2( x 3) 10 x

x 1 8

x 2 4

3 2

x 3 8

8x 1 2

3x 1 2

1 4

Pรกgina 133 de 266

3x 1 x 2 1 x 5 15 3

2

x 3

x 3 6

2x 4

5

2

4

5x 3 12

x 4 5

x 3 4

3x 5 4

5-

x 2 4

1

x 1 2

7x 3 10

4

x 3 12

Pรกgina 134 de 266

3x 5 2

3(3x 1) 5

1 3x x 5

3x 4 4

6 x 4

3 4

2x 1 5

5x 5 4

4 x 2

x 5 3( x 4) 6 8

2x

2x 3 3

x 6 12

x 3

2( x 1) 6

3

x 5 4

x 1 2

3x 2 6

x 3 8

x 2 3

7 3x

4

x 3 4

Pรกgina 135 de 266

Problemas Calcula dos números enteros consecutivos Calcula un número sabiendo que dicho cuya suma sea 61. número más su mitad, más su tercera parte es igual a 22.

Juan tiene 12 € más que su prima Ana. Si Sara tiene el doble de dinero que su primo entre los dos tienen 63 €, ¿cuánto dinero Alfonso. Si entre los dos tienen 24,6 €, tiene cada uno? ¿cuánto dinero tiene cada uno?

Silvia gasta la mitad de su paga en el cine y En un jardín, entre sauces, palmeras y pinos un sexto en golosinas. Si aún le quedan 4 €, hay 91 árboles. Si el número de palmeras es ¿cuánto le han dado de paga? el doble que el de sauces y el de pinos el doble que el de palmeras, ¿cuántos árboles hay de cada clase?

Cada lado de un triángulo mide 5 m más que El perímetro de un rectángulo mide 26 m. El el anterior. Si el perímetro mide 37,5 m, lado mayor mide 3 m más que el menor. ¿cuánto mide cada uno de los lados? ¿Cuánto mide cada lado?

La edad de un padre es el triple que la de su Pablo leyó en un día la cuarta parte de las hijo, si entre los dos suman 56 años ¿Cuál es páginas de un libro, y al día siguiente, una la edad de cada uno? tercera parte. Si aún le quedan por leer 75 páginas, ¿cuántas páginas tiene el libro?

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Antonio, Santiago y Paloma son guardias de Compré una camisa y una chaqueta por 72 €. seguridad que han cobrado 1 057 € por hacer La chaqueta costó 12 € más que la camisa. un trabajo. Santiago ha trabajado la mitad de ¿Cuánto costó cada prenda? días que Antonio, y Paloma el doble de días que Antonio. ¿Cuánto ha cobrado cada uno?

Antonio tenía x € su abuela le da el doble de Juanjo tiene el doble de edad que Raúl y lo que tenía. Si se gasta 5 € le quedan 4 €. Laura tres años más que Juanjo. Si la suma de ¿Cuánto dinero tenía Antonio? sus edades es 38, ¿cuál es la edad de cada uno?

Calcular la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que el perímetro mide 50 cm y que el lado desigual es 7 cm menor que uno de los lados iguales.

Antonio, que tiene 64 lápices, tiene el doble de lápices que Lucía; Lucía tiene el doble que Carlos y Carlos tiene el doble que Diana. ¿Cuántos lápices tiene cada uno?

Las gallinas y conejos de una granja suman Rafael gasta la mitad del dinero en ir al cine y en total 30 cabezas y 90 patas. ¿Cuántas la quinta parte en merendar, y aún le quedan gallinas y conejos hay?

36 €. ¿Cuánto dinero tenía cuando salió de casa?

Página 137 de 266

La edad de un padre es cinco veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cuatro veces la del hijo, ¿cuál es la edad actual de cada uno?

Edad Edad dentro de hoy de 2 años Hijo x x+2 Padre 5x 5x+2

Un padre tiene 50 años, y sus hijos, 12 y 7. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos?

EDAD Hoy Dentro de DE… x años Hijo I 12 x+12 Hijo II 7 x+7 Padre 50 x+50

Las edades de una madre y un hijo suman 40 Pablo tiene 14 años, y su madre, 42. Cuántos años, y dentro de 14 años la edad de la madre años deben transcurrir para que la edad de la será el triple de la del hijo. Calcula la edad madre sea el doble de la de Pablo? actual de cada uno.

Edad Edad dentro Edad Edad dentro de hoy de x años de hoy de 2 años Pablo 14 x+14 Hijo x x+14 Madre 42 x+42 Madre 40 - x 40 – x + 14

En un rectángulo la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de sus lados si su perímetro mide 72 cm.

En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 4 cm más largo que el lado desigual. Si el perímetro del triángulo mide 44 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado?

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María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cada uno?

EDAD Hoy Dentro de DE… 6 años Luis María Padre

Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

Ahora Dentro de x años Antonio Roberto Padre

Melisa tiene el triple de edad que su hija Un padre tiene 38 años, y su hijo, 11.

Marta. Calcula la edad de cada una sabiendo Cuántos años han de transcurrir para que el que, dentro de 12 años, la edad de Melisa padre tenga solo el doble de edad que el hijo? será solamente el doble que la de Marta.

Edad Edad dentro Edad Edad dentro de hoy de 12 años actual de x años Marta Padre Melisa Hijo

Reparte 1000 € entre tres personas de forma En las rebajas compré tres camisas y dos que la primera reciba el doble que la segunda pantalones por 126 €. Recuerda que el precio y esta el triple que la tercera. de un pantalón era el doble que el de una camisa. ¿Cuál es el precio de cada cosa?

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Roberto tiene el triple de edad que su hija La edad de doña Adela es seis veces la de su Nuria. Calcula la edad de cada uno sabiendo nieto Fernando, pero dentro de 8 años solo que dentro de 12 años la edad del padre será será el cuádruple. ¿Qué edad tiene cada uno? solamente el doble que la de la hija.

Hoy Dentro de 8 Hoy Dentro de 12 años años Abuela Nuria Fernando Roberto

En la caja de un supermercado hay 1 140 euros repartidos en billetes de 5, 10, 20 y 50 euros. Sabiendo que: ●Hay el doble de billetes de 5 € que de 10 €. ●De 10 € hay la misma cantidad que de 20 €. ●De 20 € hay seis billetes más que de 50 €. ¿Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?

Tres agricultores reciben una indemnización de 100 000 € por la expropiación de terrenos para la construcción de una autopista. ¿Cómo han de repartirse el dinero, sabiendo que el primero ha perdido el doble de terreno que el segundo, y este, el triple de terreno que el tercero?

Una ensaimada cuesta 10 céntimos más que un cruasán. Tres cruasanes y cuatro ensaimadas han costado 6 euros. ¿Cuál es el coste de cada pieza?

Un padre reparte semanalmente 98 euros entre sus cuatro hijos. Juan recibe 7 euros más que Pedro; éste 8 euros más que Agustín, y éste 5 euros más que Luis. ¿Cuánto recibe cada uno?

Un padre tiene 48 años y su hijo 25.

Averigua cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea el doble que la del hijo.

Ahora Transcurridos x años Padre Hijo

En una clase hay 6 alumnas más que alumnos. Si el grupo está formado por 28 personas, ¿cuántas alumnas y alumnos hay en esa clase?

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Sistema sexagesimal • Sexagésimo hace referencia a cada una de las 60 partes en las que se divide un total.

• Sexagesimal es un término que se aplica al sistema de contar o de subdividir de 60 en 60.

En el sistema sexagesimal, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior.

Este sistema sirve para medir los ángulos y tiempos.

MEDIDA DE ÁNGULOS • El grado es la unidad principal para medir ángulos.

• Para medir ángulos con más precisión, se utilizan, junto con los grados, el minuto y el segundo.

Un grado se escribe 1º.

1º = 60’ Un minuto se escribe 1’.

1’ = 60” Un segundo se escribe 1”.

1º = 3.600” (60 ⋅ 60) • Los babilonios dividieron el ángulo completo en 360º.

• Un ángulo llano mide 180º. Un ángulo recto mide 90º.

• Actualmente, para medir los ángulos, utilizamos el transportador.

MEDIDA DE TIEMPOS • Las unidades para medir el tiempo son el milenio (1.000 años), siglo (100 años), lustro (5 años), año, mes, semana, día, hora, minuto y segundo.

• Para medir períodos de tiempo menores que el día utilizamos la hora, el minuto y el segundo. x60 x60 Una hora se escribe 1 h.

1 h = 60 min Un minuto se escribe 1 min. 1 min = 60 s Grados minutos segundos Un segundo se escribe 1 s.

1 h = 3.600 s (60 ⋅ 60) /horas • Recuerda también que: – Una semana tiene 7 días. :60 :60 – Un día tiene 24 horas.

EXPRESIONES COMPLEJAS E INCOMPLEJAS Una medida de tiempo puede ser expresada de dos maneras: • De forma compleja, utilizando varias unidades. 1 h 35 min 10 s; 50 min 26 s • De forma incompleja, utilizando una sola unidad. 3.790 s; 2 h; 48 min Para pasar una medida de una forma a otra, en el sistema sexagesimal, procedemos así: • De forma compleja a incompleja: formamos grupos iguales de la unidad que nos piden multiplicando por 60.

• De forma incompleja a compleja: dividimos sucesivamente la medida y los cocientes sucesivos entre 60.

Una medida de tiempo puede ser expresada de dos maneras: • De forma compleja, utilizando varias unidades. 1 h 35 min 10 s • De forma incompleja, utilizando una sola unidad. 3.790 s

; 50 min 26 s

; 2 h ; 48 min

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REALIZAR OPERACIONES DE SUMA Y RESTA EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL Para sumar medidas de tiempos o ángulos se colocan los sumandos agrupados: horas con horas o grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos.

Al operar hay que tener en cuenta estos pasos.

1.º Si los segundos sobrepasan 60, los transformamos en minutos.

2.º Si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en horas o en grados.

3.º Procedemos a la suma.

EJEMPLO: Efectúa la suma: 75° 23’ 45” + 40° 38’ 29”.

1º Escribe la medida de los ángulos de manera que coincidan en columna las unidades del mismo orden y suma cada columna por separado.

2º Como 74” > 60”, pasa 74” a minutos y segundos (74” = 1’ 14”). Después, suma los minutos (61’ + 1’ = 62’).

3º Como 62’ > 60’, pasa 62’ a grados y minutos (62’ = 1º 2’). Después, suma los grados (115º + 1º = 116º).

75º 23’ 45” + 40º 38’ 29”

115º 61’ 74” +

1’ 14”

115º 62’ 14” + 1º

2’

.

115º 61’ 74” 115º 62’ 14” 116º 2’ 14” Para restar medidas de tiempos o ángulos se colocan el minuendo y el sustraendo, haciendo coincidir horas con horas o grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos.

Al operar hay que tener en cuenta estos pasos.

1.º Si algún dato del minuendo es menor que el del sustraendo transformamos una unidad de orden superior en la unidad correspondiente (1 grado o 1 hora es 60 minutos; 1 minuto es 60 segundos).

2.º Procedemos a la resta EJEMPLO: 3° 23’ 10” − 1° 25’ 34”

3° 23’ 10” − 1° 25’ 34”

Como 10 es menor que 34, pasamos 1 minuto a la columna de los segundos 23’ = 22’ + 1’.

1’ = 60”, que se lo sumamos a 10”.

3° 22’ 70” − 1° 25’ 34”

3° 22’ 70” − 1° 25’ 34”

Como 22 es menor que 25, pasamos 1 grado a la columna 2° 82’ 70”

de los minutos.

1° = 60’, que se lo sumamos a 22’.

− 1° 25’ 34”

Resta final .- 1° 57’ 36”

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REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES POR UN NÚMERO Para multiplicar medidas de tiempos o de ángulos por un número natural se procede así: 1º Multiplicamos cada unidad por el número natural.

2º Se efectúan las conversiones y agrupamientos necesarios (1 grado o 1 hora es 60 minutos; 1 minuto es 60 segundos).

EJEMPLO: Efectúa el producto: (23° 21’ 19”) ⋅ 4.

23° × 4° 92°

21’ × 4’ 84’

19” ×4” 76” 16”

76” = 60” + 16” = 1’ + 16 85’ = 60’ + 25’ = 1° + 25’

1’ 85’ 25’ 1º 93°

Resultado: (23° 21’ 19”) ⋅ 4 = 93° 25’ 16”

Para dividir medidas de tiempos o de ángulos entre un número natural se procede así: 1º Dividimos los grados (u horas) entre el número natural.

2º El resto de grados (u horas) se pasan a minutos y se añaden a los que hay.

Se dividen los minutos entre el número natural.

3º El resto de minutos se pasan a segundos y se añaden a los que hay.

Se dividen los segundos entre el número natural.

• Procura dejar espacio suficiente para que los cocientes de las diferentes unidades se vean claramente.

• Recuerda: Dividendo = Divisor ⋅ Cociente + Resto.

EJEMPLO: (85° 35’ 10”) : 3.

85º 35' 10" | 3 25 28° 31’ 43” 1° ⋅ 60 = 60' 95’ 02” 2’ ⋅ 60 = 120” 130” 10” Cociente: 28° 31’ 43” 1” Resto: 1”

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Completa la siguiente tabla.

MINUTOS (’)

GRADOS (°) 15

15 ⋅ 60 =

SEGUNDOS (’’) 15 ⋅ 3600 =

60 100 278 360

Completa la siguiente tabla.

MINUTOS (’)

GRADOS (°)

SEGUNDOS (’’) 32.400

600 33.600 61.200 120

Completa la siguiente tabla.

HORAS (h)

MINUTOS (min)

SEGUNDOS (s)

7 9 16 24 72

Completa la siguiente tabla.

HORAS (h)

MINUTOS (min)

SEGUNDOS (s)

300 10.800 600 43.200 60 120

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Expresa de forma incompleja. (segundos).

3 h y 45 min 55s

2 h y 20 min 40s

4º 25’48’’

1 h y 23 min 47s

3 h 19 min 26 s

1 h 42 min 33 s

4 h 58 min 40 s

7º 59 min 59 s

2 º 50 min 15 s

5h 23 min 45 s

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Expresa de forma compleja. ( horas, minutos y segundos).

22.300 s

66.400 s

44.4042 s

165.797 s

12345''

99999''

240.458''

116096''

Pรกgina 146 de 266

Efectúa las siguientes operaciones.

15° 22’ 30” + 8° 27’ 41”

1h 44’ 11” + 5h 16’ 9”

5h 43” + 13’ 10”

2° 7’ + 17° 49’ 54”

65º 19’ 43” + 24º 31’ 52”

38h 47’ 55” + 37h 38’ 16”

Página 147 de 266

Efectúa las siguientes operaciones.

32° 39' 48" + 45° 34' 33"

(30° 40' ) + (15' 18" ) + (38° 45" )

62° 39' 48"+ 45° 34' 33"

(45° 30' 49" )+ (12' 57" )+ (56" )

89° 59' 60"+ 63° 49' 27"

179° 59' 60"+ 63° 49' 27"

(63° 49' 27")+( 89° 60')+( 10' 33")

23° 45' 10" + 54° 37' 52"

Página 148 de 266

Efectúa las siguientes operaciones.

4° 11’ 17” − 1° 16’ 32”

11° 44’ 11” − 5° 16’ 39”

50’ 12’ 43” − 20º 33’ 50”

12° 7’ 55” − 7° 49’ 54”

42h 28’ 54” − 35h 17’ 9”

115h 39’ 56” − 32h 45’ 54”

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Efectúa las siguientes operaciones.

63° 25' 10" - 32° 7' 2"

63° 25' 10" - 30° 17' 42"

63° 25' 10" - 36° 45' 42"

9° 2" - 7° 42' 23"

93° 5' 7" - 30° 17' 42"

45° 30' 49" - 15° 12' 57"

62° 39' 48" - 45° 34' 33"

45° 34' 33" - 32° 39' 48"

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Efectúa las siguientes operaciones.

(14° 21’ 7”) ⋅ 5

(9° 30’ 10”) ⋅ 5

(50’ 43”) ⋅ 6

(2° 7’ 55”) ⋅ 12

56º

125º

33º

20'

15'

33'

40"

|5

37º

42'

15" | 4________

30" | 5

25º

50'

40" | 6________

33"

17º

|2

43'

24"

| 12_______

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Problemas Ángel ha estado conectado a Internet 1 h 10 min por la mañana y 2 h 25 min 40 s por la tarde. ¿Cuánto tiempo ha estado conectado en ¿Y cuánto tiempo ha estado conectado más total? por la tarde que por la mañana?

Los dos ángulos menores de un triángulo miden 43º 53' 42'' y 60º 15' 35''. ¿Cuánto mide el ángulo mayor? (Recuerda que la suma de los tres es 180º)

Un atleta ha tardado un total de 50 min 46 s en dar 9 vueltas a una pista de atletismo. Si ha mantenido el mismo ritmo en cada vuelta, ¿cuánto tiempo ha empleado en cada una?

Cristina ha utilizado el ordenador durante 8 h Elena utiliza un bono telefónico para hablar 37 min, de lunes a viernes. ¿Cuánto tiempo con su hijo Andrés, que está en Inglaterra. ha estado funcionando a diario el ordenador? Hablan a diario 25 minutos y 30 segundos. ¿Cuánto tiempo habla por teléfono Elena de lunes a viernes?

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Un grifo llena dos botellas de 1 litro de capacidad en un minuto. ¿Cuántas botellas se pueden llenar en 20 ¿Y en tres cuartos de hora? minutos?

Un ciclista ha empleado, en las dos etapas de contrarreloj, los siguientes tiempos.

– 1.ª etapa: 2 horas, 41 minutos y 44 segundos.

– 2.ª etapa: 1 hora, 20 minutos y 18 segundos. ¿Cuánto tiempo ha empleado en total?

¿Cuánto tiempo ha empleado más en la 1ª etapa?

Antonio realiza al día un paseo en el que tarda 2 h 15 min 18 s. Calcula. ¿y en un mes?

El tiempo total que pasea en 10 días.

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Sistema Métrico Decimal • Una magnitud es cualquier propiedad de los cuerpos que se puede medir.

• Medir una cantidad de una magnitud es compararla con otra cantidad fija llamada unidad de medida.

• Una medida se expresa con un número y una unidad de medida. Algunas magnitudes importantes son: -La longitud cuya unidad de medida principal es el metro.

-La capacidad cuya unidad de medida principal es el litro.

-La masa cuya unidad de medida principal es el gramo y el kilogramo.

Múltiplos del metro, litro y gramo kilómetro km kilolitro kl kilogramo kg

Unidad Submúltiplos del metro, litro y gramo principal hectómetro decámetro decímetro centímetro milímetro metro hm dam m dm cm mm hectolitro decalitro decilitro centilitro mililitro litro hl dal l dl cl ml hectogramo decagramo decigramo centigramo miligramo gramo hg dag g dg cg mg FORMA COMPLEJA E IMCOMPLEJA

Una medida está escrita en forma incompleja cuando para expresarla utilizamos una única unidad de medida.

Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma compleja.

El procedimiento a seguir es el mismo con las unidades de masa, capacidad y longitud.

De forma compleja a incompleja 3kl 5 dal pasarlo a dl: 3 kl x 10.000

= 30.000

5 dal x 100

=

500 30.500dl.

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UNIDADES DE SUPERFICIE • El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Se escribe m2.

• Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.

• Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del m2 son:

• Para medir grandes superficies, como extensiones agrarias o terrestres, se emplean otras unidades:

Unidades

Símbolo

Equivalencia

Equivalencia (en m2)

Hectárea

ha

1hm2

10.000m2

Área

a

1dam2

100m2

Centiárea

ca

1m2

1m2

UNIDADES DE VOLUMEN • El metro cúbico es la unidad principal de volumen. Se escribe m3.

TABLA DE EQUIVALENCIAS UNIDADES DE

m3

dm3

cm3

VOLUMEN UNIDADES DE

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

t

q

mag

kg

hg

dag

g

CAPACIDAD UNIDADES DE MASA

1 l = 1 dm3 = 1 kg

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Efectúa los siguientes cambios de unidades: 1200mm

hm

dm

dam

41hm

dam

cm

km

345m

km

mm

dm

1’92km

hm

cm

m

m

hm

dm

243 dm

mm

dam

km

0,06 hm

m

km

dm

39 mm

m

hm

dm

5,4 m

hm

mm

km

0,8 dm

hm

mm

km

2.000mm

Escribe, en cada caso, el signo <, > ó = según corresponda: 45cm

350mm

40mm

4cm

56km

3’5cm 45mm 0’45m 45dm Efectúa los siguientes cambios de unidades:

234hm

12hm

120m

12hm

1’2km

650mm

50cm

2,5 kg

cg

g

hg

587 cg

dag

mg

kg

0,7 dag

kg

hg

dg

5.345 mg

hg

dag

g

g

hg

mg

mg

kg

dag

0,24 kg

g

dg

mg

4.500 mg

g

dag

hg

1,65 dag

hg

mg

kg

57 dag

cg

mg

kg

6,6 dg 0,032 hg

Completa las siguientes igualdades: 3t= 5,4000 kg = 380 cg =

kg t dag

0,9 kg =

g 7 g = 7.000

96 hg = 96.000 47.000 mg =

39,1 dg = 0,0391 hg

0,04 g = 0,4

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Completa las siguientes igualdades: 850 cl =

l 61 l =

3,94 hl = 394 15,45 kl =

dal 98.100 l =

43 dl =0,43 l

kl

4.300 ml = 0,43

2,03 ml =

l

0,03 hl =

cl

EfectĂşa los siguientes cambios de unidades: 2,05 kl

cl

l

hl

4587 cl

dal

l

kl

30,7 dal

kl

hl

dl

534,5 ml

hl

dal

l

76,6 dl

dal

hl

cl

4,0352 hl

ml

l

dal

0,124 kl

l

dl

ml

4.500 ml

l

dal

dl

5,645 dal

hl

ml

kl

2,57 dal

cl

ml

l

Expresa en forma compleja las siguientes medidas.

2 284 cm.-

8 793 dam.-

0,045 km.-

13 274 hm.-

3.250 m.-

345,26 m.-

6500 dm

2.241mm.-

3.257cg.-

478hg.-

0,5kg.-

452,48g.-

4825l.-

45,587hl.-

45.587ml.-

457,45cl.-

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Escribe, en cada caso, el signo <, > ó = según corresponda: 350ml

40ml

0,44dl

66kl

234dal

12hl

1’2kl

3’5cl 45ml Expresa en metros

0’45l

45dl

12kl

1200l

550cl

50dl

55cl

3km 8hm 5dam

8dam 5m 7cm

1m 4dm 6cm 7mm

5dam 6m 3dm 4cm

5 dam 17 m 13 dm 1 cm

3 m 52 dm 13 cm

Expresa en gramos 4kg 5hg 2dag 3g

9hg 8dag 5g 4dg

6dag 8g 6dg 8cg

7dg 6mg

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Expresa en cm 2 m 15 dm 4 cm.-

7 dam 13 dm 500 mm

4dam 38 hm 4700 mm

44,45hm 34 m 140 mm

Expresa en dg 2 g 15 dag 4 cg.-

7 dag 13 g 500 mg

4kg 38 hg 4700 mg

44,45hg 34 g 140 mg

Expresa en litros 8kl 6hl 3l

5hl 2dal 7l 2dl

1dal 9l 6dl 3cl

4l 2dl 5cl 7ml

7,8 dl 35 cl 7 ml

3,4 kl 2hl 57 dl

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Calcula y expresa el resultado final en la unidad que se indica.

1’24g + 6’18dg + 378mg (en cg)

51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm (en m.)

42dl + 320cl + 2600ml (en l.)

(6 dag 2 g 5 cg) · 4 (en g.)

4 322 cm + 57 dm (en cm)

34,78 dam - 3,57 dm (en m)

3 hm 2 m 5 cm + 67,34 dam (en m)

4 km 7 dam 8 dm - 3 dam 8 cm (en dm)

3 0.072 kl + 5.06 dal + 400 ml (en cl)

56 dal + 2,5 hl + 672 (en l)

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Transforma en m2 32 dam2.-

3,007 dam2.-

3,6 dam2.-

0,008 km2.-

1,0005 km2.-

0,00001 km2.-

1,16 hm2.-

0,0035 hm2.-

12,165 hm2.-

56 dm2.-

Expresa el resultado final en la unidad que se indica.

2 km2 17 hm2 2 dam2 (en m2)

45 dam2 23 m2 945 cm2(en dm2)

1 km2 69 dam2(en hm2)

3 m2 52 dm2 13 cm2(en m2)

3km2 8hm2 5dam2(en m2)

1m2 4dm2 6cm2 7mm2(en cm2)

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Expresa en m3 83 dam3

1 233,33 cm3

231 hm3

123,44 mm3

0,034 dm3

0,049 km3

Expresa en litros 4 m3

2.000 mm3

50 dm3

3,5 kl

3.000 cm3

0,5 m3

Sabiendo la relaci贸n existente entre las medidas de capacidad y volumen, expresa.

4,25 dm3 en cl

15 hl 48 dal 5cl en dm3

8 hm3 12 dam3 7 m3 en hl

12 567 kl en cm3

P谩gina 162 de 266

Expresa en รกreas 18 ha 15 a 19 ca

15 ha 18 dam2 52 m2

3 hm2 4 a 6 dam2

12 hm2 4 dam2 32 m2

3 hm2 14 m2 193 dm2

0,3 km2 35 hm2 15 dam2

56 hm2 20 dam2 45 m2

27 km2 90 hm2 65 dam2 25 m2

Expresa en litros 6 m3 15 dm3 500 cm3

2 hg 500 dag 2 000 g

1 hm3 2 dam3 3 m3

16 m3 45 dm3 9 cm3

Pรกgina 163 de 266

Problemas Un atleta sale a correr todos los días para La capacidad de una piscina es de 75 kl. entrenar. Si cada día recorre 15 km 7hm 9 Actualmente contiene 300 hl. ¿Cuántos litros dam 6 m, ¿Cuántos km recorre a la semana? faltan para que se llene?

Pablo compra en la frutería 5kg de patatas, Queremos vender una finca de 2 ha 25 a por 0,5kg de limones, 15hg de peras, 3 kiwis (de 48 000 €. Calcula el precio del metro 125g cada uno) y 75 g de plátanos. ¿Cuántos cuadrado. kg de fruta ha comprado?

El volumen de un depósito de agua es 6500 El hombre del Tiempo del Telediario ha m3. ¿Cuántos litros tiene de capacidad? ¿Y dicho que ayer llovió en Antequera y cayeron hectolitros?

45 litros de agua por m2 . Si la superficie de Antequera es de 8 km2 1,4 hm2 0,05 dam2 ¿Cuántos litros de agua cayeron en total?

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Un barco transporta 0,012 hm3 7,5 dam3 450 Un incendio forestal ha quemado la tercera m3 de vino y se quiere meter en camiones parte de un bosque de 12.300ha. Expresa la cisterna de 6 m3 ¿Cuántos camiones cisterna superficie quemada del bosque en m2. harían falta?

Un embalse contiene 95 hm3 de agua. Calcula.

Su capacidad en metros cúbicos.

Su capacidad en litros.

El volumen del depósito de una fábrica es de Queremos vallar un campo en forma de 8 m3 14 dm3 50 cm3 ¿Cuál es su capacidad en cuadrado, de lado 2 dam 50 cm.¿Cuántos litros? metros de alambrada tengo que comprar? Si el metro de alambrada tiene un precio de 12,50 €, ¿cuánto cuesta vallar el terreno?

La superficie de una finca es de 3 hm2 14 m2 2

193 dm . ¿Cuánto le falta para tener 5 ha?

¿Cuántas botellas de litro y medio se precisan para vaciar un depósito de 2,6 kl 8,9 hl 56 dal?

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Una caja de cerillas tiene un volumen de 40 En una carrera, Carmen ha recorrido 3 km 4 cm3. ¿Cuántas cajas se podrían colocar en hm 2 dam. ¿Cuántos metros le faltan para otra caja cuyo volumen es 1,8 dm3? recorrer 5 000 m?

David compra un rollo de papel pintado que Paula abre una botella de un litro de zumo. mide 15m y 50cm. Corta cuatro trozos de 2m Llena 3 vasos de 20cl cada uno. ¿Qué y 40cm cada uno, ¿cuántos metros de papel cantidad de zumo queda en la botella? le quedan?

¿Cuántos frascos de perfume de 12 cl se Un ciclista debe recorrer 148,6 km. Después llenan con un bidón de 15 litros? de recorrer 758 hm ,¿cuántos metros le faltan por recorrer?

Una botella llena de vino pesa 3,455 kg. Si la Una pared mide 36 m.,115 cm. y 50 mm. de botella vacía tiene un peso de 824 g., ¿cuál es largo. ¿Cuántos botes de pintura se el peso de vino que contiene en dag.? necesitarán para pintarle una raya verde, si con un bote se pintan 12 dm. ?

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Identificar y operar con Polinomios Un polinomio es la suma o resta de varios monomios.

– Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio.

– Los términos que no tienen parte literal se denominan términos independientes.

– El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes.

PRODUCTO DE POLINOMIOS Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios semejantes.

SACAR FACTOR COMÚN Una aplicación de la propiedad distributiva es sacar factor común. Esta operación consiste en extraer como factor común el monomio que se repite en todos los términos.

IGUALDADES NOTABLES Las igualdades notables son ciertas igualdades cuya aplicación resulta muy útil para abreviar cálculos con expresiones algebraicas. Las principales igualdades notables son: Cuadrado de una suma: (a + b)2 .- es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 Cuadrado de una diferencia: (a − b)2 .- es igual al cuadrado del primer sumando menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a −b)2 = a2 −2ab + b2 Suma por diferencia: (a + b) ⋅ (a − b).- El producto de una suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. (a + b) ⋅ (a −b) = a2 −b2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS -Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente.

- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante - Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial.

- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Ejemplo: 4x3 - 3x2 + 3 | x2 – x + 1 3 2 - 4x + 4x -4x 4x+1 x2 – 4x + 3 -x2 + x - 1 - 3x + 2

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Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: Un número x aumentado en 5 unidades.

El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide su área?

Los lados de un rectángulo miden x metros e y metros. ¿Cuánto mide su perímetro?

Halla el valor numérico para x= -1 e y=2

x2

y 2

x3 3x 2 y 3xy 2

y3

Completa esta tabla.

POLINOMIO

TÉRMINOS

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO DEL POLINOMIO

−2x3 + 3x − 5 5ab − 5ax 2b x3 − 2x2 − x − 3 6x − 7 5xy − 2y 5 2 a b+1 3

3xy + 5xy2 −2x2 + 3x − 1 4ab − 2a2b 6x3 − 5x2 + 2x − 4 7xy + 2y Halla el valor numérico del polinomio x2 −2x + 1 para los valores que se indican.

VALOR x=0

VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO 02 − 2 ⋅ 0 + 1 = 0 − 0 + 1 = 1

x=1 x = −2 x= − 3

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Simplifica y ordena estos polinomios: 3x3 – 4x + 5 - 2 + 2x3 + 2x2 4x2 + 7x – 4 + x2 – 6x4 + 5 3x – 4x3 + 8 – 2x3 - 5x 8 – 5x2 + 3x5 – x2 + x6 - 3 Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 –x5 + 3x2, calcula: P(x) + Q(x)

P(x) + Q(x) + R(x)

R(x) + P(x) P(x) – Q(x)

P(x) – Q(x) – R(x)

P(x) – R(x) + Q(x)

R(x) + P(x) – Q(x)

R(x) – P(x)

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Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 , Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 , R(x) = 6x2 + x + 1 , U(x)= x 2 + 2 , F( x) =4x 2 +5x -6 , H ( x) = 8x 3 + 4x 2 -x+ 5 y G(x ) = 2x 2 -4x .

Cal cu l a: P (x ) + Q(x ) − R (x )

2P (x ) − R (x )

P (x ) + 2 Q(x ) − R (x)

P (x ) + Q(x ) − R (x )

Q(x )+ R (x ) − P (x )

F(x )+(G(x ) - H (x )

3F(x ) -G(x )

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Dad os l os p ol in omi os: P(x)= 2x 2 − 3, Q (x)= 2x 3 − 3x 2 + 4x , F(x ) = 3x 4 + 5 x 3 − 2 x + 3, G(x) = 2x 2 − x + 3 . Cal cul a: 5F(x ) =

P (x ). Q(x )=

F(x ). G(x ) =

6 P (x ) +5x (G(x )=

Calcula: 3x · (x3 – 2x + 5)= (x + 2) · (x – 5)=

(x2 – 2) · (x2 + 2x – 3)=

(x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1)=

(x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3)=

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Calcula: (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1)= (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2)= (x + 1) · (x2 + x + 1)= 3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

(3x - 5) · (3x - 5) =

( x 7) ( x 2 3x 2) ( 2 x 5) =

(3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =

(x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =

(x3 – 2x2 – 4) · (– 3x2 + x – 5)=

(3x5 – 7x4 + 9x2 – 13) · (5x4 – 9x2 + 7x – 1)=

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Extrae factor común en las siguientes expresiones.

15x4 − 5x2 + 10x = 12x2 − 3x2 + 9x3= 3a + 6b + 12 = 6x2y + 4xy2 = 10xy2 − 20xy + 10x2y= 3x2 − 12x + 15x3= 3x4 + 15x2 – 6x= 4x2y + 6xy2 – 2xy= x3 - 4x2 + 3x = 4x3y2 - 8x2y3 + 2x4y = x3 - 4x2 + x = 3x5y4 + 9x2y3 - 3xy + 3y = 3x3y - 9xy2 + 27x4y3 = 6xy + 54x2y - 3xy2 = 5y2x - 15yx2 + y3x4 = 16x2y2 + 4xy3 - 28x3y3 = 6x2y2 - 9x3y6 + 27xy3 = 10x6y - 5x4y² + 25x3y3 – 5x²y5 = –12x3 – 8x4 + 4x2 +4x6 = –3xy – 2xy2 – 10x2yz = 2ab2 – 4a3b + 8a4b3 = 6x3y2 – 3x2yz + 9xy3z2 = 2ab2-4a3b+8a4b3 = -3xy-2xy2-10x2yz = Página 173 de 266

Desarrolla las siguientes expresiones utilizando la identidad notable correspondiente, y simplifica. Observa el ejemplo: (x + 5)2 = x 2 + 2 x 5 + 52 = x 2 + 10x + 25 (x + 2)2 = (x - 3)2 = (x + 4)(x - 4) = (x + 3)2 = (x - 4)2 = (x + 5) (x - 5) = (2x + 3)2 = (3x - 2)2 = (2x + 1) (2x - 1) = (2x - 5)2 =

( x 2 y) 2 =

2x

2 3

2

(a + 2b)2 = (xy + 1)2 = (2a − 3b)2 = (a − 6b)2 = (4x+5)2= (2a + b) (2a – b)= (5a + 1) (5a – 1)= (7 + x) (7 – x)= (a − 6b)2 =

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Expresa en forma de igualdad notable. Sigue el ejemplo x 2 + 10x + 25 =

(x + 5)2

x 2 + 2x + 1= 4x 2 − 4x + 1= x 2 + 10x + 25= 9a 2 − 30ab + 25b2= x 2 − 16= 4x 2 − 36=

x 4 49 = x 2 4 xy 4 y 2 = x2 + 14x +49 = a2 –b2= x2 − 20x +100 = x2 − 6x +9 = 25x2 − 1=

x 2 4 xy 4 y 2 = 36x2− 49 = 1 4 9 4 x y 25 16

36m2n2 - 25 = 9 2 49 2 a b 25 36

25x2 + 70xy + 49y2 = 49x2 - 14x + 1 =

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calcula 5x · (2x2 - 2x – 2)= (–3x4 – 9x3 + 7x – 6) · (–8x4)= (x3 – 5) · (3x2 + 6x – 2)=

( x 3 3 x 2 2 x) : x =

(2x 1) (5x 2) =

Divide x -4x +4x +2 | x2 - x

4

3

2

x5+ 3x4- 2x2+ 5x +2 | x3 - x+ 1

x5+7x3-5x+1 | x3 - 2x

x 6 + 5x 4 + 3x 2 − 2x | x2 – x + 3

x5+ 3x4- 2x2+ 5x+ 2 | x2 – x + 3 4

3

2

2

x −2x −11x +30x –20 | x +3 x - 2

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Ecuaciones de Segundo Grado Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax2 + bx + c = 0, donde: • a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a • ax2 → término cuadrático ; bx → término lineal

0. ; c → término independiente

• x es la incógnita.

FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula. ax2 + bx + c = 0 → x

b

b2 2a

4ac

ECUACIONES DEL TIPO ax2 + c = 0 Las ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado.

Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, donde b = 0. Para resolverlas se sigue este proceso. ax2 + c = 0 → ax2 = − c → x2 =

c →x= a

c a

• Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas: • Si el radicando es negativo, no hay solución.

ECUACIONES DEL TIPO

c a

x1

y

x2

c a

ax2 + bx = 0

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado.

Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, donde c = 0. Para resolverlas es necesario sacar x como factor común. ax2 + bx =0

x1 = 0 x (ax + b) = 0 →

ax+b= 0 →

x2 =

b a

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver un problema utilizando ecuaciones es conveniente seguir estos pasos.

1.o Lectura y comprensión del enunciado. Es necesario distinguir los datos conocidos y el dato desconocido, es decir, la incógnita.

2.o Planteamiento de la ecuación. Hay que expresar las condiciones del enunciado en forma de ecuación: la correspondencia entre los datos y la incógnita.

3.o Resolución de la ecuación. Se obtiene el valor de la incógnita resolviendo la ecuación.

4.o Comprobación e interpretación del resultado. Se debe comprobar si el resultado verifica el enunciado e interpretar la solución en el contexto del problema

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Resuelve

x2 4 x 0

7x2 − 28 =0

x2 x 0

5x2 = 45

3x2 2x 0

5x2 − 180 =0

2 x x2

18x2 − 72 = 0

7x

3x2 2x 2x2 4x

x2 + 4 =0

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3(x2 + x) = 3x − 12

x2

4 x2 1

6x2 = 30x

x2 6 10

3x2 7

25x2 − 100x =0

−4x2 + 16x = 0

5x2

12x2

45

81

x2 9

3

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Calcula

Pรกgina 180 de 266

x2 6x 9 16

4x2 4x 20 0

x2 + 12x + 35 = 0

2 x2 7 x 6 0

2 x x2

7x

x2 6 10

3x2 7

x2 9

Pรกgina 181 de 266

2x2 – 5x = 0

9x2 – 18x + 8 = 0

4x2 – 13x + 3 = 0

x2 2x 15 0

(x – 3)(x – 1) = 15

(x + 1)(x – 2) = 10

5x2 – 14x – 3 = 0

2x 2

x2 7 x 12 0

x2 8x 16 0

48 10x

Página 182 de 266

5x2 14x 3 0

x2 9x 40 0

15x2 16x 4 0

14x2 5x 1 0

x2 10x 25 0

6 x2 x 5 0

x2 2

2x 2 3

x

2x2 5 1 3

x2

x 5

3x 7 10

Pรกgina 183 de 266

x2 – (3x – 5)2 = 4 – (x – 1)2

x – (3x – 2)2 = 4 – (x + 1)2

(2x – 3)2 + 4x = 12 – 7x

(x + 2)2 – 2(3x – 2)2 = 5x + 2

(x – 3)2 – 2x = 3x – 15

(x – 3) (x + 2) = 0

(3x – 2)2 + 2x = 7 – 4x

x ( x + 7) = 18

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Problemas ¿Qué número multiplicado por su siguiente La suma de los cuadrados de dos números da 12? consecutivos es 265. ¿De qué números estamos hablando?

Calcula dos números enteros consecutivos El perímetro de un rectángulo mide 50 cm y cuyo producto sea 1260. el área 150 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo.

150m2

x

25 - x

Calcula la longitud de la base de un triángulo Para cercar una parcela rectangular de 1000 sabiendo que: m2 de superficie se han necesitado 140 m de • La base mide tres centímetros menos que la alambrada. ¿Cuáles son sus dimensiones? altura.

1000 m2 70 - x • La superficie del triángulo es igual a 35 cm2. x

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Calcular las dimensiones de un rectángulo ¿Cuál es el número cuyo quíntuplo sabiendo que es 7 cm más largo que ancho y aumentado en 6 unidades es igual a su que su área es de 120 cm2. cuadrado?

Calcula la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos es 7 cm más largo que el otro y que su superficie es de 15 cm2

El dividendo de una división es 1081, el divisor es doble que el cociente, y este y el resto son iguales. ¿Cuáles son el divisor, el cociente y el resto?

Preguntado un padre por la edad de su hijo El triple del cuadrado de un número natural contesta: “el producto de su edad hace 6 años es el doble del número más 645. Calcula por el de su edad hace 4 años es mi edad dicho número. actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo.

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Un jardín rectangular de50 m de largo por 34 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la m de ancho está rodeado por un camino de mitad del cuadrado de la edad que tenía hace arena uniforme. Halla la anchura de dicho 13 años. Calcula la edad de Pedro. camino si se sabe que su área es 540

Un rectángulo mide 5 cm más de alto que de Si multiplicamos la tercera parte de cierto ancho, y su área mide 150 cm2. ¿Cuánto número por sus tres quintas partes, miden sus lados? obtenemos 405. ¿Cuál es ese número?

Emilio tiene 22 años menos que su madre. Una compañía de 180 soldados está formada Calcula la edad de ambos si el producto de en filas. El número de soldados de cada fila sus edades es 608. es 8 más que el número de filas que hay.

Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una?

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Dos números naturales se diferencian en dos En un rectángulo el largo mide (x+7) y el unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ancho (x+2). Si el área del rectángulo es 36, ¿Cuáles son esos números? halla el valor de x.

Halla dos múltiplos de cuatro consecutivos La altura de un trapecio mide 5 cm y la base cuya suma de sus cuadrados es 400 mayor es 6 cm más larga que la base menor.

Calcula la longitud de cada una de esas bases sabiendo que el área del trapecio mide 65 m2.

¿Cuál es la edad de una persona si al Los miembros del equipo vamos a hacer un multiplicarla por 15 le falta 100 unidades regalo al entrenador que cuesta 80 €. Nos para completar el cuadrado de ella?. sale un poco caro, pero si fuéramos dos más, tocaríamos a dos euros menos cada uno. ¿Cuántos somos en el equipo?

N.° de componentes del equipo x 80 Cada una debe pagar 8 x 80 Si fueran dos más, cada uno pagaría x 2

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Una caja mide 5 cm de altura y de ancho, En una clase deciden que este verano van a cinco cm. más que de largo. Su volumen es escribir todos una carta al resto de 1500cm3. Calcular la longitud y la anchura. compañeros. Van a escribir 600 cartas.

Calcula el número de alumnos que hay en la clase.

Para vallar una finca rectangular de 750 m² Si un número aumentado en tres unidades se se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las multiplica por el mismo número dimensiones de la finca. disminuido en otras tres, se obtiene 55. ¿De qué número se trata?

Para cercar una parcela rectangular de 1000 Si el doble de un número se multiplica por m2 de superficie se han necesitado 140 m de ese mismo número disminuido en 5 alambrada. ¿Cuáles son sus dimensiones? unidades, da 12. ¿Qué número es?

El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y Calcula las dimensiones de una finca el área, 600 m2. Calcula sus dimensiones. rectangular que tiene 12 dam más de largo que de ancho, y una superficie de 640 dam2

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Proporcionalidad y Porcentajes RAZÓN ENTRE DOS NÚMEROS O CANTIDADES Una razón es el cociente entre dos números cualesquiera, a y b, que se pueden comparar :

a . b

Los términos de una razón se refieren a cantidades de dos magnitudes, el primero se llama antecedente y el segundo consecuente.

CONCEPTO DE PROPORCIÓN Dos razones

a c a y , forman una proporción cuando son iguales b d b

c se lee “a es a b como c d

es a d” En una proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de medios. a b

c ; d

a·d=c·d CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.

Cuando la razón entre dos cantidades es siempre la misma, este valor se llama constante de proporcionalidad.

1 2 3 0,1 0,1 0,1 …

10 20 30 Son una serie de razones iguales. Su valor es el mismo: 0,1.

Este valor es constante y es el mismo en todas las proporciones.

Se llama constante de proporcionalidad y se expresa con la letra k.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: – Al aumentar una cantidad el doble, el triple..., la otra también aumenta el doble, el triple...

– Al disminuir una cantidad la mitad, la tercera parte..., la otra también disminuye la mitad, la tercera parte...

EJEMPLO: Un cupón de lotería cuesta 2 €, dos cupones 4 €, 3 cupones 6 €...

• Distinguimos dos magnitudes: número de cupones y precio.

– Al aumentar el número de cupones, aumenta su precio.

– Al disminuir el número de cupones, también disminuye su precio.

– Son magnitudes directamente proporcionales: 1 2

0,5

2 4

0,5

3 6

0,5 …

La constante de proporcionalidad es siempre la misma: 0,5. Son series de razones iguales y forman fracciones equivalentes.

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REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA • La regla de tres simple directa nos permite calcular el valor desconocido de una proporción en la que las magnitudes son directamente proporcionales.

• Conocemos tres de los cuatro valores de la proporción, y el término desconocido (incógnita) lo nombramos con la letra x, y o z.

Podemos resolver los problemas mediante la regla de tres directa utilizando el método de reducción a la unidad, es decir, hallando el valor desconocido para el valor 1, y luego multiplicándolo por los restantes valores.

3 4

Si 3 cajas pesan 15 kg

15 ; 3.x = 15 . 4; x

x

60 ; 3

x = 20

4 cajas pesarán x kg MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES • Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: – Al aumentar una el doble, el triple..., la otra disminuye la mitad, la tercera parte...

– Al disminuir una la mitad, la tercera parte..., la otra aumenta el doble, el triple...

• Al multiplicar (o dividir) uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido (o multiplicado) por el mismo número.

EJEMPLO: Distinguimos dos magnitudes: caudal de agua (en litros por minuto) y tiempo en llenar el tonel.

– Al aumentar el número de litros por minuto, disminuye el tiempo en que se llenaría el tonel.

– Si disminuye el caudal, aumenta el tiempo.

– Son magnitudes inversamente proporcionales: CAUDAL (l/min)

3

6

9

12

TIEMPO (min)

15

7,5

5

3,75

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA • La regla de tres simple inversa nos permite calcular el valor desconocido de una proporción en la que las magnitudes son inversamente proporcionales.

• Conocemos tres de los cuatro valores de la proporción, y el valor desconocido (incógnita) lo nombramos con la letra x, y o z.

Si 10 albañiles tardan 45 días x albañiles tardarán 15 días

10 x

15 ; 45

10. 45= x .15; 450=15x x

450 ; 15

x = 30

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Expresa mediante una razón.

En el examen de matemáticas contesté seis preguntas de diez.

De los veinte alumnos que hay en clase la mitad son repetidores.

Leí cuarenta páginas de las ciento veinte que tiene el libro.

De cada cien tiros libres anoto sesenta y cinco.

Un canguro avanza doce metros en cuatro saltos.

De cada 100 frutales de una huerta la cuarta parte son manzanos.

Escribe D en los pares de magnitudes directamente proporcionales, I en las inversamente proporcionales .

El número de personas que van en el autobús y la recaudación del autobús El nº de vacas que posee un granjero y la cantidad de pienso que gasta a la semana El caudal (l/m) que arroja un manantial y el tiempo que tarda en llenar 20 litros La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en recorrer una distancia El número de horas trabajadas y el salario percibido El número de operarios y el tiempo empleado en hacer determinado trabajo El lado de un cuadrado y su perímetro.

El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer una obra.

El peso de los tomates y su precio.

Número de grifos y tiempo de llenado de un depósito.

El número de galletas de una caja y su peso.

El número de habitantes de un municipio y su consumo de agua.

El número de gallinas de un corral y el número de días que dura una cantidad de pienso.

Comprueba si son ciertas las siguientes proporciones .

24 3 y 4 32

5 10 y 6 13

1 20 y 2 40

5 1 y 9 2

5 10 y 6 13

24 3 y 4 32

9 1 y 3 27

5 10 y 6 13

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Calcula el valor de x en las siguientes proporciones: 5 3

25 x

5 42 x 3

45 x 6 9

72 135 6 10

x 45 30 x

70 1

x 225

12 9

8 x

3 5

6 x

x 8

3 24

14 21

x 69

x 6

5 2

x 7

6 2

5 9

x 36

2 3

4 x

3 5

x 10

6 x

4 8 10 15

20 30

440 x

x 6

12 x

14 63

x 63

65 91

x 24 = 4 32

3 x

50 2

x 3

12 24

3 x

12 x

6 5

8 10

x 8

75 10

x 8

5 10

x 8

30 8

x 12

5 42

45 x

7 35

x 10

6 5

x 40

x 4

40 16

7 x

14 4

8 7

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Completa la siguiente tabla sabiendo que es directamente proporcional. Halla la constante de proporcionalidad.

Cantidad alumnos

10

Precio pasaje (€)

20

5

30

15

60

Const. de prop.(k).- ___________________________________________________________ El precio de 2 bocadillos es de 1,50 €. Completa la tabla Cantidad

1

3

Importe

2

3,00

6

10

1,50

3,75

Sabiendo que cuatro entradas para el cine cuestan 12 euros. Completa la tabla con los valores que se indican.

Entradas

1

4

3

12

Euros

10

6

18

21

Completa la siguiente tabla sabiendo que es directamente proporcional. Halla la constante de proporcionalidad.

Magnitud 1

2

4

6

8

10

9

Magnitud 2

18

Para preparar 6 raciones de paella se necesitan 300 gramos de arroz. Completa la tabla de proporcionalidad para distintas raciones.

6

Número de raciones de arroz

12

2

18

3

300

Gramos de arroz

900

450

Completa la siguiente tabla inversamente proporcional. x (personas)

5

10

y (horas)

15

20

25

30

6

8 pintores tardan 30 días en pintar un hospital. Completa la tabla de proporcionalidad para el número de pìntores que se indica.

Pintores

8

Días

30

5

10

15

20 120

60

4

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Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tardarán los obreros que se indican en la siguiente tabla?.

Obreros

6

Horas

3

9

2

3

18

Un tren ha recorrido 240 Km. en tres horas. Si mantiene la misma velocidad, ¿Cuántos km. recorrerá en las horas que se indican?

Km.

240

Horas

1

5

4

6

2

3

Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en 14 días.

Completa la siguiente tabla.

Palas

4

Días

10

8

1

20

8

40

Sabiendo que un litro de aceite cuesta 2,50 euros. Completa la tabla con los valores que se indican.

Aceite

1

2

Euros

2,50

6

7,50

12,50

10

Dos obreros hacen una zanja en 20 días. Completa la tabla para los distintos valores.

Obreros

1

2

Días

4

20

9

5

10

8

Completa la tabla.

Lado del cuadrado

1

2

perímetro

3

4

5

7

9

8

Al cabo de 2 minutos, un grifo ha arrojado 70 litros de agua. Completa la siguiente tabla para conocer el número de litros que arroja desde 1 minuto hasta 10 minutos.

1

Minutos

2

3

4

5

6

7

8

9

10

70

Litros

Tres llaves llenan un estanque en 10 horas. completa la tabla.

Llaves

6

Horas

60

3

2

45 180

15 90

5

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Problemas Resuelve los siguientes problemas sabiendo que son directamente proporcionales.

Unos pantalones vaqueros cuestan 50 €, Compramos 3 kg de higos a 8,76 €. ¿Cuánto ¿cuánto pagaré si compro 3? costarán 8 kg?

Una máquina hace 300 tornillos en 4 horas. Una caldera consume 100 L de gasoil en 8 ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer 900 horas. ¿Cuánto gastará en 5 horas? tornillos?

Por 3,5 kg de carne he pagado 6,3 €. ¿Cuánto Dos kilos y medio de patatas cuestan 1,75 €. pagaré por 5kg? ¿Cuánto cuestan tres kilos y medio?

Un coche consume 7,8 L de gasolina cada Un paquete de 500 folios pesa 1,8 kg.

100 km. ¿Cuánto gastará en 540 km? ¿Cuánto pesará uno de 850 folios?

Un coche ha recorrido 30 kilómetros en 18 Carlos vende caramelos a 2 € la bolsa. minutos. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué ¿Cuánto costarán 7 bolsas? ¿Cuántas bolsas distancia recorrerá en el próximo cuarto de se pueden comprar con 38 €? hora?

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Por una compra de 70,5 €, en el Por el revelado de 36 fotografías nos han supermercado nos han dado 6 papeletas para cobrado 11,52 €. ¿Cuánto costará revelar 48 un sorteo. ¿Cuántas papeletas nos habrían fotografías? dado por una compra de 94 €?

Fabio ha dedicado 7 horas a ayudar a su Los padres de Alba han comprado 1,5 kg de padre, que le ha dado 42 €como recompensa. pescado por 18,26 €. ¿Cuánto habrán pagado ¿Cuánto le habría dado por 12 horas? por 3,75 kg?

En una fuente, se ha tardado 24 segundos en Un trozo de queso de 400 gramos cuesta 4,60 llenar un cántaro de 30 litros. ¿Cuánto se €. ¿Cuánto costará otro pedazo del mismo tardará en llenar un bidón de 50 litros? queso de 320 gramos?

Un tren ha recorrido 240 km en tres horas . Una población ha consumido 20.000m3 de Si mantiene la misma velocidad , ¿Cuántos agua en 5 meses. ¿Cuántos metros cúbicos km. recorrerá en cinco horas? consumirá en un año?

En una granja se han recogido 3 460 kg de Por 4 días de trabajo me han pagado 250 €. patatas en 5 días. Si se trabaja de forma ¿Cuánto cobraré por 13 días? uniforme, ¿cuántos kilos se recogerán en 12 días?

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Resuelve los siguientes problemas sabiendo que son inversamente proporcionales.

Seis personas efectúan un trabajo en 10 días. Un ganadero tiene 20 vacas y dispone de ¿Cuánto tardarán 8 personas en hacer el pienso para alimentarlas durante 60 días . Si mismo trabajo? tuviera 120 vacas, ¿Para cuántos días tendría pienso?

Ocho obreros construyen una pared en 9 días. Siete obreros tardan 9 horas en hacer una ¿Cuántos obreros se necesitarán para acabar obra. ¿Cuánto tardarán 3 obreros? la obra en 4 días?

Una piscina tiene tres desagües iguales. Si se abren dos, la piscina se vacía en 45 minutos. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?

Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en 14 días. ¿Cuánto se tarda en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de 7 palas excavadoras?

Un coche tarda 3 horas en recorrer un Un coche, a 90km/h hace un recorrido en 5 trayecto yendo a una velocidad de 90km/h. horas ¿Cuánto tiempo ganaría si aumentara ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo su velocidad en 10km/h? trayecto a 120km/h?

Diez obreros construyen un dique en 8 días. Un granjero calcula que en su almacén tiene ¿Cuánto tiempo invertirán, en el mismo pienso para dar de comer a 20 vacas durante trabajo, 16 obreros? medio mes. ¿Cuánto tiempo le durará el pienso si vende 5 vacas?

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Un pastor tiene 640 ovejas que sólo puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántas ovejas tiene que vender para alimentar a su rebaño 15 días más?

Tres mangueras iguales tardan 25 minutos en llenar una piscina hinchable. ¿Cuántas mangueras son necesarias para llenar la piscina en un cuarto de hora?

Un tractor, trabajando 8 horas al día, labra un campo en 9 días. ¿Cuántas horas diarias debe trabajar para realizar el trabajo en solo 6 días?

Al repartir una cantidad de euros entre 7 personas cada una recibe 12 euros. ¿Cuánto recibirían si el reparto se hiciera entre 6 personas?

6 fotocopiadoras tardan 6 horas en realizar un gran número de copias, ¿cuánto tiempo tardarían 4 fotocopiadoras en realizar el mismo trabajo?

Un estanque se llena en 16 horas con un caudal de 15 litros por segundo. ¿Cuántos l/seg habría que echarle para que se llenara en 12 horas?

Cinco agricultores recogen una cosecha de Un depósito se llena en 5 horas con un grifo peras en 4 horas. ¿Cuánto tardará un solo que arroja 180 litros de agua por minuto. agricultor en recoger la cosecha? ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si el grifo arroja 240 litros por minuto?

Cuatro caballos consumen un saco de pienso Dos trabajadores recolectan la uva de una en 6 días. ¿Cuánto duraría el saco de pienso viña en 9 horas. ¿Cuánto tardarían en hacer si hubiera ocho caballos? lo mismo 3 trabajadores?

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Resuelve los siguientes problemas de proporcionalidad (directa e inversa) Una cuadrilla de cinco operarios municipales Tres kilos de manzanas cuestan 3,75 €. limpia el polideportivo en 6 horas.¿Cuántos ¿Cuánto cuestan 4 kilos? operarios se necesitan para acabar en 3horas?

Un canguro avanza 12 metros en cuatro Dos máquinas cortacésped sigan un campo saltos. ¿Cuánto avanza en 10 saltos? en 6 horas. ¿Cuánto tardarán 3 máquinas en hacer el mismo trabajo?

Un granjero tiene pienso en su almacén para alimentar a 25 vacas durante 18 días. ¿Durante cuánto tiempo podría alimentar con ese pienso a 45 vacas?

El dueño de un supermercado abona una factura de 720 euros por un pedido de 15 cajas de aceite. ¿A cuánto ascenderá la factura por otro pedido de 12 cajas?

Un ciclista que avanza a 20 km/h tarda 52 Una fuente arroja 42 litros de agua en 6 minutos en ir desde su localidad al pueblo minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 15 vecino. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo minutos? trayecto una motocicleta que circula a 65 km/h?

Cuatro segadores cortan un campo de heno Cuatro cajas de galletas pesan 2,4 Kg. en tres horas. ¿Cuánto tardarán seis ¿Cuánto pesarán cinco cajas iguales a las segadores? anteriores?

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Un empleado recibió la semana pasada 60 € por 5 horas extraordinarias de trabajo. ¿Cuánto recibirá esta semana por solo 3 horas?

En una bodega con dos máquinas embotelladoras se envasa la cosecha de vino en 15 días. ¿Cuánto se tardaría teniendo una máquina más?

Un jardinero necesita 20 macetas para Un besugo de un kilo y doscientos gramos ha sembrar los bulbos que tiene si coloca 3 de costado 14,40 €. ¿Cuánto costará otro besugo ellos en cada maceta. ¿Cuántas necesitaría si de ochocientos gramos? colocase 4 bulbos en cada una?

Un autobús de línea, a 80 km/h, tarda 25 minutos en cubrir la distancia entre dos pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 100 km/h?

Con un depósito de agua, se abastece una cuadra de 20 caballos durante 15 días. ¿Cuánto duraría el depósito si se vendieran 8 caballos?

Un jardinero, con su máquina cortacésped, siega una parcela de 200 metros cuadrados en 18 minutos. ¿Qué superficie puede segar en hora y media?

Un grifo, con un caudal de 12 litros por minuto, ha tardado tres cuartos de hora en llenar un depósito. ¿Cuál deberá ser el caudal para llenar el mismo depósito en 20 minutos?

Si por 12 camisetas pago 96€, ¿cuánto pagaré Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en por 57 de esas camisetas? cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h?

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Porcentajes El porcentaje o tanto por ciento es la proporción directa más utilizada en nuestra vida cotidiana. Su símbolo es:

.

HALLAR EL PORCENTAJE DE UNA CANTIDAD Un porcentaje es una razón con denominador 100.

“Para calcular el Ej: 23

de una cantidad se multiplica por el tanto y se divide entre 100” 23 x 23 800 184 de 800.100 800 100 HALLAR EL PORCENTAJE DE UNA CANTIDAD

A.) DESCUENTO PORCENTUAL El descuento porcentual es la diferencia entre la cantidad inicial y la cantidad final. Con estos datos podremos calcular el Al descontarnos x

de descuento aplicado.

de una cantidad, sólo pagaremos el (100- x)

.

EJ: En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del 20% sobre el precio indicado.

Manuel ha comprado un par de zapatillas deportivas etiquetadas con 90 €. ¿Cuánto tiene que pagar?

(100 – 20)

de 90.- 80

80 90 de 90 .100

72 €

x 80

90 100

B.) INCREMENTO PORCENTUAL En los incrementos porcentuales, la cantidad inicial es menor que la final ya que el tanto por ciento aplicado se añade a la cantidad inicial.

EJ: Pablo ha comprado un coche cuyo precio de fabrica es de 8200€. A este precio, hay que añadirle un 16% de IVA. ¿Cuál será el precio final del coche?

(100 + 16) % de 8.200.-

116 8200 100

9512 €

x 116

8.200 100

INTERÉS Para calcular el interés que produce un capital se multiplica dicho capital por la tasa o razón aplicada y por el tiempo en años; después se divide entre 100. - I

C.r.t 100

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Como averiguar: UNA PARTE DEL TOTAL - EL TOTAL - EL TANTO POR CIENTO Calcular una parte del total 15 de 300 = A Parte Total

8

15 100

de 200 = A

magnitud x 300

Calcular el total 15 de B = 45 Parte Total

8

15 100

de B = 16

magnitud 45 x

Calcular el tanto por ciento C de 300 = 45 Parte Total

x 100

C

de 200 = 16

20% de 50 = X

15% de X = 30

X

de 200 = 24

12% de 425 = X

40% de X = 80

X

de 200 = 160

35% de 48 = X

25% de X = 75

X % de 300 = 60

magnitud 45 300

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28 % de 40 = X

65 % de X = 52

X % de 400 = 120

34 % de 65 = X

45 % de X = 27

X% de 300 = 15

28 % de 58 = X

55 % de X = 22

X% de 200 = 140

25 % de 70 = X

30 % de X = 24

X% de 1500 = 45

75 % de 80 = X

55 % de X = 22

X% de 20 = 16

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Problemas En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68% En el aparcamiento de unos grandes están contentos con la gestión municipal. almacenes hay 420 coches, de los que el 35 ¿Cuántos ciudadanos son? % son blancos. ¿Cuántos coches hay no blancos?

En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo han faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de que representa el 84% del total. ¿De cuántas ausencias? camas dispone el hospital?

¿Cuánto me costará un abrigo de 360 euros Una si barra de pan cuesta 0,85 € sin tener en me hacen una rebaja del 20%? cuenta el IVA (el IVA correspondiente al pan es el 4%). ¿Cuánto debo pagar incluido el IVA?

A un trabajador que ganaba 1300 euros En una tienda en la que todo está rebajado mensuales le van a aumentar el sueldo un el 15% he comprado un pantalón por el que 4%. ¿Cuál será su nuevo salario? he pagado 102 €. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?

Hoy ha subido el precio del pan el 10%. Si Una mercancía que pesaba 4.800 kg. perdió una barra me ha costado 0,77€, ¿cuánto en el transporte 144 kg. ¿Cuál es el % de valía ayer? pérdida?

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Un ejército de 161.000 soldados, pierde en El 18% de los alumnos de un colegio llegan combate 13.685 miembros. ¿Cuál es el a clase en autobús. Si hay 1.300 alumnos en % de bajas? el colegio, ¿cuántos alumnos van al colegio en autobús?

Sara compró un jersey que costaba 35€, Un jersey que costaba 45 € se vende en las pero le hicieron una rebaja del 15%. rebajas por 36 €. ¿Qué tanto /por ciento se ¿Cuánto pagó? ha rebajado?

Para el cumpleaños de mi hermano han comprado dos docenas de pasteles y yo me he comido 9. ¿Qué porcentaje del total me he comido?

Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina?

De 475 hombres encuestados solamente 76 Si a 621 se le aplica un incremento declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de porcentual y se obtiene 912,87 , ¿qué hombres reconocen saber planchar? incremento se ha aplicado?

El 34% de las personas asistentes a un Al subir el precio de una bicicleta un 20%, congreso son españoles. Sabiendo que el precio final es ahora de 360 euros. hay 85 españoles, ¿cuántas personas asisten ¿Cuál era el precio inicial? al congreso?

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El precio de un móvil era de 420 euros. Me Un juguete vale en una juguetería 40 euros. han rebajado un 16%, pero después me han Durante las fiestas navideñas sube un cargado el 16% de I.V.A. ¿Cuánto me ha 22%.¿Cuál es su precio final? costado?

Al rebajar el precio de un ordenador ha Después de rebajar el precio de un pasado de 1100 euros a 957 euros. ¿Qué ordenador un 8%, me ha costado 1196 tanto por ciento ha bajado? euros. ¿Cuál era su precio inicial?

Un trabajo realizado en un taller de automóviles vale 80 euros. Por pagarlo al contado me hacen un descuento del 7 %. ¿Cuánto me han descontado? ¿Cuánto tengo que pagar?

Durante un incendio ha ardido el 40 % de los árboles de un bosque. Si después del incendio contamos 4800 árboles, ¿cuántos árboles había al principio?

El precio de un traje es de 360 euros. En las ¿Qué interés produce, en 4 años, un capital rebajas se le ha aplicado un primer de 3 000 €, colocado al 5% anual? descuento del 30% y después se ha vuelto a rebajar un 20%. ¿Cuál es el precio final?

En el Banco Pastor se han ingresado 22 500 Calcula el interés producido por un capital € en una cuenta que está retribuida con un de 3.500 euros, colocado al 5% anual 6% de interés. ¿Cuánto dinero habrá en la durante tres años. cuenta al pasar un año? ¿Cuánto se gana cada mes?

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Sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas reciben el nombre de Ecuaciones Lineales.

Una solución de una ecuación lineal es un par de valores que hace cierta la igualdad.

Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones de las que se busca una solución común.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Cada ecuación lineal tiene una recta asociada en el plano.

Cada punto de esa recta representa una de las infinitas soluciones de la ecuación.

MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN a) Despejamos la incógnita en una de las dos ecuaciones. b) Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. c) Resolvemos la ecuación con una incógnita que resulta. d) Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita. e) Comprobamos que la solución obtenida verifica ambas ecuaciones.

2. MÉTODO DE IGUALACIÓN a) Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. b) Igualar las expresiones obtenidas. c) Resolver la ecuación de una incógnita que resulta. d) Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita. e) Comprobar la solución obtenida.

3. MÉTODO DE REDUCCIÓN a) Buscar un sistema equivalente donde los coeficientes de una misma incógnita sean iguales u opuestos. b) Restar o sumar las dos ecuaciones obtenidas, eliminando así una incógnita. c) Resolver la ecuación que resulta. d) Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita. e) Comprobar la solución obtenida.

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Representa grรกficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.: x y 6

x

y

3

x y 2 2y x 4

3x 2 y 10 x 3y 7

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Resuelve los siguientes sistemas por el mĂŠtodo de sustituciĂłn.

x 2y 5 3x 2 y 19

x x

5 x 4 y 17 6x y 9

x 3 y 21 2x 5 y 35

5x y 6 3x 2 y 14

3x 3 y x 5y

5 2

y y

3 9

5x 2 y 1 3x 3 y 5

x 3y 8 2x y 9

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x 2 3 y x 3

3x 1 2y 1 5 3x y 2 2

2x

y 3

2x

x 2 3( x

y

y

2x

y

4

y

4

6

2x 3 y 5 x 2 y x 2 y 3 3 42 y

4

x y) 2

1 4

x y 0 2 2 x 2y 4

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4x 3 y 1 3x 2 y 5

4x 5y 3 2x 3 y 6 4

1 2

5x 2 y 3 4x 3 y 1

2x 7 y 5x 2 y

2 1

5x 2 y 3x y 1 2

3

2x 3 y 1 4x 5 y 7

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Resuelve por el método de igualación 5x 2 y 2

x 2y

2

3x 5 y 15 2x 3y 9

2 x 3 y 14 3x y 14

5 x 2 y 11 2 x 3 y 12

2x y 2 3x y 5

6x 4 y 3 3x 8 y 4

x 2 y 13 x 5y 8

2x y 2 3x y 5

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5x 2x

y y

8 1

4x 5 y 2 3x 2 y 10

x 6y 2 x 3y 1

3x 5 y 4x y

5 1

8 x 7 y 15 x 6y 5

3x 2 y 5x 4 y

2 7

4( x 3) y 0 3( x 3) y 18

5x 3 y 1 4 x 2 y 14

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Resuelve por el método de reducción.

3x 2 y 4

5x 2 y

4

2 x 5 y 11 4x 3y 4

x 6y 4 3x 5 y 11

5x 2 y 4x 3 y

7

3( x 2) y 7 x 2( y 1) 0

2x y 6 4 x 3 y 14

4x 6 y 2 6x 5 y 1

2x 4 y 7 3x 5 y 4

2

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x 2y 1 3x y 10

3x y 4 6x 2 y 1

4x 3y 5 8 x 6 y 10

2 x 3 y 14 3x y 14

2x 3 y 3x 4 y

3x 2 y 4x 3y

1 0

2x y 7 3x 2 y 0

7 2

4 x 6 y 18 2x 5 y 3

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Problemas La suma de dos números es 15. La mitad de Cuatro barras de pan y seis litros de leche uno de ellos más la tercera parte del otro es cuestan 6,80 e; tres barras de pan y cuatro litros 6. ¿De qué números se trata? de leche cuestan 4,70 e. ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?

En una cafetería utilizan dos marcas de café, La suma de dos números es 14. Añadiendo uno una de 6 e/kg y otra de 8,50 e/kg. El al mayor se obtiene el doble del menor. Halla los encargado quiere preparar 20 kg de una dos números. mezcla de los dos cuyo precio sea 7 e/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase?

El perímetro de un rectángulo es de 14 cm y En una excursión hay 141 entre alumnos y alumnas sabemos que su base es 3 cm más larga que de un IES. El número de chicas es doble que el de su altura. Halla las dimensiones del chicos. ¿Cuántos chicos y chicas van? rectángulo.

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Juan e Isabel tienen formada una sociedad. Si Juan compra a Isabel 2 de sus acciones, los dos tendrán la misma participación en la empresa. Si Isabel compra tres acciones a Juan, la participación de Isabel será 6 veces mayor que la de Juan. ¿Cuántas acciones tiene cada uno?

Un total de 6 hamburguesas y 2 refrescos cuestan 20 €. Lo mismo que 4 hamburguesas y 8 refrescos. ¿Cuánto cuesta una hamburguesa?

Jesús tiene en su monedero 15 monedas por un total de 2,10 €. Sólo lleva monedas de 20 céntimos y de 5 céntimos. ¿Cuántas lleva de cada clase?

En una tienda hay 15 lámparas de 1 y 3 bombillas. Si las encendemos todas a la vez, la tienda queda iluminada por 29 bombillas. ¿Cuántas lámparas de cada tipo hay?

Para pagar un artículo que costaba 3 €, he utilizado nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado?

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 €. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas?

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Calcula dos números cuya suma sea 191 y su En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5 diferencia 67. € y bocadillos de tortilla a 2 €.En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 €.¿Cuántos se vendieron de cada clase?

En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 La base mayor de un trapecio es 2 cm más puntos por cada respuesta correcta y se larga que la menor; la altura del trapecio es 8 restan 0,25 puntos por cada error. Si mi cm y su área 48 cm2. ¿Cuánto miden las bases? nota ha sido 10,5, ¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido?

Un bodeguero ha mezclado dos cubas de vino: la primera, de mejor calidad, a 3 €/litro y la segunda, de calidad inferior, a 2,2 €/litro. De esta forma ha obtenido 16 hl de un vino de calidad intermedia que sale a 2,5 €/litro. ¿Cuál era el contenido de cada cuba? cantidad precio Coste total Mejor X 3 3x calidad Calidad Y 2,2 2,2x inferior mezcla x+y=1600 2,5 3x+2,2y= 2,5 ·1600

El aceite de oliva cuesta el doble que el de orujo, y si se mezclan en una proporción de 5 a 3 (en litros), resulta un aceite de calidad intermedia que cuesta 2,6 €/litro ¿Cuál es el precio de cada clase de aceite?

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La diagonal de un rectángulo mide 26 m y el La edad de Pedro, hoy, es el cuadrado de la perímetro 68 m. Calcula sus lados. de su hija, pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada uno?

Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto dinero lleva cada uno?

Un test consta de 48 preguntas. Por cada acierto se suma 0,75 puntos y por cada error se resta 0,25. Mi puntuación fue de 18 puntos. ¿Cuántos aciertos y errores tuve?

La edad de un padre es hoy siete veces la Se sabe que Noelia le saca 27 años a Marcos edad del hijo y dentro de 10 años será solo el y que dentro de 12 años le doblará en edad. triple. Calcula la edad actual de cada uno. ¿Qué edad tiene cada uno?

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La edad actual de Rosa es el cuadrado de la El perímetro de un rectángulo es de 20 cm, y de su hija y dentro de 9 años será solamente su área, de 21 cm2. ¿Cuáles son sus el triple. ¿Qué edad tiene cada una? dimensiones?

E En un taller hay 50 vehículos entre motos Una empresa aceitera ha envasado 3 000 l de coches. Si el número total de ruedas es 140. aceite en 1 200 botellas de 2 l y de 5 l. ¿Cuántos vehículos hay de cada tipo? ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

¿Cuántos litros de leche con un 10% de grasa La diferencia de dos números es 6, y la de hemos de mezclar con otra leche que tiene un sus cuadrados, 144. Halla los números.

4% de grasa para obtener 18 litros con un 6% de grasa?

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Concepto y tipos de Rectas ● Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos que no tiene principio ni fin. ● Para denominar una recta se suelen utilizar letras minúsculas. r Por un punto A pasan infinitas rectas. Dos puntos delimitan una recta.

SEMIRRECTA Y SEGMENTO • Una semirrecta es una recta que tiene principio (origen) pero no fin.

El punto A es el origen de las semirrectas a y b.

• Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

A y B delimitan el segmento AB de la recta a.

TIPOS DE RECTAS ● Rectas paralelas ● Rectas secantes Son rectas que nunca se cortan, no tienen Son rectas que se cortan en un punto. ningún punto en común.

● Rectas coincidentes ● Rectas perpendiculares Son rectas que se cortan en un punto, Dos rectas son coincidentes si tienen todos formando 4 ángulos rectos (90°). sus puntos en común

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Concepto y tipos de ángulos ● Un ángulo es la región que forman dos semirrectas que tienen el mismo origen. ● En un ángulo distinguimos: − Vértice E: origen de las semirrectas. − Lados D y F: semirrectas. − Amplitud: abertura del ángulo.

TIPOS DE ÁNGULOS SEGUN SU ABERTURA

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN Dos ángulos pueden estar relacionados entre sí según la siguiente clasificación.

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Indica el nombre de cada figura: recta, semirrecta o segmento.

s

f

O

g

Observa el siguiente grupo de rectas y responde. a) r y t son rectas ............................................ b) r y s son rectas ........................................... r

t

c) t y s son rectas ............................................ d) r y u son rectas ...........................................

s u

e) r y v son rectas ........................................... v

f) u y v son rectas ........................................... g) t y u son rectas ........................................... h) t y v son rectas ........................................... i) Si prolongásemos la recta u, s serían rectas ..............................................................

Dibuja: Dos rectas r y s que sean secantes en un punto A.

Dos rectas m y n que sean paralelas.

Dos semirrectas t y s con origen en un punto P.

Dos rectas v y w perpendiculares.

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Observa el dibujo y completa: Las rectas 1 y 2 son: _______________ Las rectas 2 y 3 son: _______________ Las rectas 1 y 3 son: _______________ El punto donde se cortan las rectas 1 y 2 es: ________________________________.

El punto donde se cortan las rectas 1 y 3 es: _________________________________.

Completa las frases: ● Si dos rectas que están situadas en un mismo plano por mucho que se prolonguen nunca se cortan, se llaman rectas: _________________________________ ●

Si dos rectas, al cortarse, forman cuatro ángulos iguales se llaman rectas:

__________________________________ ● Si dos rectas, al cortarse, forman cuatro ángulos que son iguales dos a dos, se llaman rectas: __________________________________.

Identifica los pares de rectas paralelas, secantes y perpendiculares.

Rectas paralelas: Rectas secantes: Rectas perpendiculares: Identifica el tipo de rctas

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Estudia la posición relativa de las rectas que se determinan en estos casos.

Las vías del tren.Las tres calles que convergen en una rotonda.Los bordes de los peldaños de una escalera.El largo y el ancho de una ventana.Los radios de la rueda de una bicicleta.Las huellas de un trineo en la nieve.Clasifica las siguientes rectas. a) r y s.b) r y t.-

r

c) u y t.-

u

d) r y u.t

s

e) u y s .-

En la siguiente ilustración consideramos las estacas como rectas. ¿Cómo son entre sí las estacas horizontales?

¿Cómo son entre sí las estacas verticales?

¿Cómo son las estacas verticales con respecto a las horizontales?

Clasifica las siguientes rectas a) a y b.b

b) a y c.-

c

a

c) a y d.d) b y d.d

e) d y c.-

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Nombra estos ángulos según su abertura

En los siguientes relojes indica varias horas para que las agujas del reloj formen ángulos rectos.

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Nombra según su abertura los ángulos que se señalan

.-

.-

..-

..-

.-

.-

Teniendo en cuenta que el ángulo recto mide 90º, calcula las medidas de estos ángulos.

Completa: Dos rectas

forman cuatro ángulos rectos.

Un ángulo

es mayor que un ángulo recto.

Un ángulo

es menor que un ángulo recto.

Un ángulo agudo

es que un ángulo obtuso.

Un ángulo obtuso

es que un ángulo agudo.

Un ángulo ______________________ tiene los lados perpendiculares.

Un ángulo ______________________ equivale a dos rectos.

Un ángulo completo equivale a ______________________ rectos.

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Observa que dos quesitos completan un ángulo recto. Teniendo esto en cuenta, copia y completa la tabla

Porciones

1

Ángulo

2

3

4

5

8

90º

Tipo de ángulo Nombra según su abertura los ángulos que se señalan

Â.-

.-

.-

.-

.-

.-

.-

.-

.-

.-

Indica el ángulo que forman las agujas del reloj.

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Nombra cada pareja de ángulos según su posición relativa.

Observa y nombra tres parejas de ángulos consecutivos

Calcula la medida del ángulo complementario en cada caso

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Encuentra en la ilustración

Tres pares de ángulos adyacentes: Tres pares de ángulos opuestos por el vértice: Encuentra, entre estos ángulos, dos parejas de complementarios y otras dos de suplementarios.

Complementarios:

Suplementarios:

Calcula la medida de los ángulos suplementarios

Completa la siguiente tabla. ÁNGULO 35º

89º

25º

45º

60º

Complementario Suplementario

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Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 1. Reconocimiento de triángulos: Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor.

Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO. (Tiene un ángulo de 90º).

Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO.( Los tres ángulos son menores de 90º).

Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO. (Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º) 2. Cálculo de la diagonal de un rectángulo. d2=a2+b2

Ejemplo: d2=42+32 d2=16+25 d2=25 d= 25 = 5m.

3. Cálculo de la altura de un triángulo isósceles.

152=122+x2 225=144+x2 x2 = 225 – 144 x= 81 x=9m

4. Calcular la apotema de un polígono regular

42=22+a2 16=4+a2 16-4=a2 22 12=a2 a= 12 =3,4 cm.

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Resuelve. ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?.

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?.

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?.

miden 8, 15 y 17 cm respectivamente?.

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

miden 7, 24 y 25 cm respectivamente?.

miden 8, 15 y 17 cm respectivamente?.

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

miden 4, 3 y 2 cm respectivamente?.

miden 4, 6 y 5 cm respectivamente?.

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados

miden 25, 17 y 8 cm respectivamente?.

miden 10, 26 y 24 cm respectivamente?.

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Calcula el lado desconocido

Pรกgina 234 de 266

Calcula el lado desconocido

Pรกgina 235 de 266

Calcula Los catetos de un triángulo rectángulo miden Calcula la altura de un triángulo equilátero 8 cm. y 6 cm.. Calcula la hipotenusa. que mide 12 cm. de lado.

En un triángulo rectángulo la hipotenusa Los catetos de un triángulo rectángulo miden mide 5 cm y el cateto mayor 4 cm. Calcula el 12 y 16 cm. Calcula la hipotenusa otro cateto.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 40 m. y uno de sus catetos 32 m. mide 10 cm.

Calcula el otro cateto.

Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos Calcula la apotema de un hexágono regular lados miden 15 y 20 cm. cuyo lado mide 19 cm.

Calcula la apotema de un hexágono regular En un triángulo rectángulo la hipotenusa de 13 cm de lado. mide 25 cm y un cateto 7 cm. Calcula el otro cateto.

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Calcula Calcula el lado de un rombo de 9 cm de La diagonal de un rectángulo mide 65 cm y diagonal mayor y 6 cm de diagonal menor. uno de sus lados, 33 cm. ¿Cuánto mide el otro lado?

Calcula a apotema e a área de un hexágono En un triángulo isósceles los lados iguales regular de 3 cm de lado. miden 9 cm y la base 6 cm. Calcula la altura.

El lado de un rombo mide 10 cm y su Las diagonales de un rombo miden 8 y 6 cm. diagonal mayor 16 cm. ¿Cuánto vale su Halla su lado. diagonal menor.

Los lados iguales de un triángulo isósceles Halla la altura de un trapecio isósceles de miden 5 cm. Si su base mide 6 cm, ¿cuánto base mayor 10 cm, base menor 7 cm y de medirá su altura? lado 8cm.

Calcula la apotema de un hexágono regular Halla la diagonal de un rectángulo, cuya base de 8 cm de lado. mide 4 cm y su diagonal 3 cm:

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Perímetros y Áreas de figuras planas Figura

Longitud Perímetro rectángulo

Área Área rectángulo

P = 2(b + a)

A=b·h

Perímetro cuadrado

Área cuadrado

P=4·l

A = l2

Perímetro romboide

Área romboide

2(b+a)

A=b·h

Perímetro triángulo

Área triángulo

P=a+b+c

A=

Perímetro rombo

b h 2

Área rombo

P = 4 ·l

Perímetro trapecio

Área trapecio

Perímetro hexágono P = 6 .l

Área hexágono p a A= 2

Longitud circunferencia

Área círculo

L=2 R

A = R2

Longitud sector circular

Área sector circular

……………L =

2 R nº 360

Perímetro corona circular P = 2.

(R + r)

……… A

R2 nº 360

Área corona circular A = (R2 – r2)

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Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras FIGURA

PERÍMETRO

ÁREA

4 cm.

15m

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Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras FIGURA PERÍMETRO

ÁREA

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Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras FIGURA PERÍMETRO

ÁREA

9dam

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Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras FIGURA

PERÍMETRO

ÁREA

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Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras FIGURA PERÍMETRO

ÁREA

Página 243 de 266

Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras FIGURA PERÍMETRO

ÁREA

Área de la zona coloreada

Página 244 de 266

Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras FIGURA PERÍMETRO

ÁREA

R= 2,5 cm.

Página 245 de 266

Calcula el área de la parte coloreada.

6 cm.

………12cm……...

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Calcula el área y el perímetro de estas figuras.

Un cuadrado de 6 centímetros de lado.

Un triángulo isósceles cuya base mide 5 centímetros, y cuyos lados iguales miden 8 centímetros.

Un hexágono regular cuyo lado mide 7 centímetros.

Un rombo de 7 metros de lado y 4m de diagonal menor

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Calcula el área y el perímetro de estas figuras.

Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 centímetros, respectivamente.

Un rombo cuyas diagonales son 6 y 8 respectivamente.

Un rectángulo cuya base mide 15 centímetros, y su diagonal, 17.

Un hexágono que mide 8 cm de lado y 7 cm de apotema.

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Calcula el área y el perímetro de estas figuras.

Un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

Un trapecio de base mayor 5cm, base menor 1,5 cm y altura 2 cm.

Un trapecio de base mayor 4 cm, base menor 2,4 cm y lado 2 cm.

Un hexágono de 4 metros de lado.

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Calcula el área y el perímetro de estas figuras.

Un hexágono de 6 cm de lado.

Un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 decímetros

Un hexágono regular de 10 centímetros de lado.

Un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 5 y 12 centímetros.

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Halla la longitud y el área de las siguientes figuras.

Un círculo de 20 metros de diámetro

Una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios 1,60 y 1,20 centímetros, respectivamente.

Un círculo sabiendo que su diámetro mide 8 centímetros.

Una corona circular cuyo radio mayor mide 8,2 centímetros y cuyo radio menor mide 5 centímetros

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Halla la longitud y el área de las siguientes figuras.

Un arco de circunferencia de 10 cm de radio y 40° de amplitud.

Un sector circular de 20 cm de radio y 30° de amplitud.

Un arco de circunferencia de 60° mide 23 m.

Un arco de circunferencia de 7,8 m de radio y de 125° de amplitud.

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Halla la longitud y el área de las siguientes figuras.

Una corona circular cuyos radios miden 5 cm y 7 cm

Un sector circular de 12,5 m de radio y 165° de amplitud.

Un círculo de 6,7 cm de radio.

Un sector circular de 4 cm de radio y 78º de amplitud.

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Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos Dibujo y Nomb re

Área

Volumen

AL = 4 a2 AT = 6 a2

V = a3

A = 2(ab + bc + ac)

V = Ab h=abc

Cubo o hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son Iguales.

Paralelepípedo u Ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectángulos

AL =

; (área del

triángulo por el nº de triángulos) AT = AL + Ab Ap = apotema pirámide

V=

Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos

Pbase = Perímetro base AL= Pb h; (área de una cara por el nº de caras) AT = AL + 2 Ab

V = Ab h

Prisma regular: Prisma cuyas bases son polígonos regulares

AL =

Ap

AT =

Ap +AB +Ab

PB = Perímetro base mayor Pb = Perímetro base menor Ap = apotema pirámide

V=

Tronco de Pirámide: Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

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AL = 2 r g AT = 2 r (g + r) V=

r2 g

g = generatriz =altura

Cilindro: Es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

AL =

rg

AT =

r (g + r)

V=

g = generatriz Cono: Es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos.

AL =

(R + r) g

AT =

[g(R +r) + R2 + r2 ]

g = generatriz

V=

Tronco de cono: Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

A=4

r2

V=

Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un semicírculo alrededor de su diámetro

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Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

Figura Área

Volumen

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Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

Figura Área

Volumen

Página 257 de 266

Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

Figura Área

Volumen

Página 258 de 266

Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

Figura Área

Volumen

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Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

Figura Área

Volumen

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Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

Figura Área

Volumen

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Calcula.

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de diagonales 12 y 18 cm y cuya altura es de 24 cm.

Calcular el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma pentagonal sabiendo que su altura mide 9 cm.; el lado de la base son 2cm y la apotema de la base 1,5 cm. /

Calcula el área lateral, área total y volumen de un cilindro de 3,5 cm de radio y 9,6 cm de altura.

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Calcula.

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono de 8 dm. de radio de la base y de 1 m de altura

Calcula la longitud de la circunferencia y la superficie del círculo correspondiente sabiendo que su radio mide 8 cm.

Calcula el área lateral, área total y el volumen de un prisma octogonal de 5cm. de lado; 6cm. de apotema de la base y 9 cm. de altura.

Sabiendo que la arista de un cubo es de 12 dm. Calcula el área total y el volumen

Calcula la superficie y el volumen de una esfera de 28dm. de radio .

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Calcula Calcula el área total y el volumen de una pirámide de base pentagonal, si la apotema de la base mide 4,13 cm, el lado de la base es 6 cm y la altura de cada uno de los triángulos de las caras es 9 cm.

Halla el área total y el volumen de una pirámide de base cuadrangular, si el lado de la base mide 3 dm y la apotema de la pirámide (altura del triángulo) mide 6 dm.

Halla el área total y el volumen de un cilindro que tiene un radio de la base de 4 cm y una altura de 7 cm.

Halla el área y el volumen de un cono que tiene de radio 3 m y de generatriz 10 metros

Halle el área de un prisma cuadrangular, que tiene unas bases con lados de 33 cm, y una altura de 75 cm.

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Calcula Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm

Calcula el área y el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 24 cm de lado y su arista lateral es de 37 cm.

Halla el área y el volumen de un prisma de 15 cm de altura, cuyas bases son triángulos equiláteros de lado 9 cm.

Calcula el área y el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado y su arista lateral es de 29 cm.

Calcula el área y el volumen de una habitación que tiene 5 m de largo, 4 m de ancho y 2,5 m de alto.

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