GEOMETRÍA
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
INTRODUCIÓN A LA GEOMETRÍA. Los primeros conceptos geométricos tienen su origen en los tiempos prehistóricos. En contacto con la naturaleza, la humanidad fue descubriendo la rectitud del horizonte, la circularidad del Sol o la superficie lisa del mar. No obstante, esta “regularidad” rara vez se da físicamente en la naturaleza, si no más bien al contrario, apenas existen líneas totalmente rectas, círculos perfectos o superficies completamente lisas; por lo que estos conceptos aparecieron por la necesidad del ser humano de transformar el medio que le rodea, tanto para mejorar su adaptación al medio, como para rentabilizar su trabajo, pudiendo contabilizarlo con mayor precisión. La geometría nació en el antiguo Egipto, según el sabio griego Eudemo de Rodas “como resultado de la medición de sus tierras. Estas mediciones eran necesarias dado que las continuas crecidas del Nilo constantemente borraban las fronteras”. A través de la práctica y la experiencia, el pueblo egipcio y el babilónico llegaron a calcular muchas áreas y volúmenes y otros cálculos geométricos. Así, como su propio nombre indica, la geometría tuvo sus orígenes en las mediciones de tierra. No obstante, a lo largo de milenios ha evolucionado hasta convertirse en una ciencia compleja empleada en multitud de disciplinas: astronomía, arquitectura, ingeniería… todo aquello que requiera de cualquier tipo de mediciones. El desarrollo de esta ciencia comenzó en la época de los grandes pensadores helénicos: Tales, Pitágoras…Hacia el siglo III a.C. Euclides recopiló todos los conocimientos geométricos en una exposición sistemática y coherente titulada “Los elementos”, donde construyó toda la geometría a partir de 10 premisas básicas. Nosotros procederemos de la misma manera, introduciremos unos cuantos y sencillos conceptos a partir de los cuales construiremos estructuras más grandes, que, sobre todo, seremos capaces de medir. LOS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS. Observa la habitación donde te encuentras. Todos los cuerpos que ves ocupan un lugar en el espacio. A cada uno de estos objetos se les llama cuerpos físicos, y si se estudia su forma y tamaño, cuerpos geométricos. Éste será nuestro gran objetivo final de trimestre, estudiar la forma y tamaño de los cuerpos, así como la posición que ocupa en el espacio. Los cuerpos geométricos tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto. Los elementos que se distinguen en un cuerpo geométrico son: el punto, la línea y la superficie.
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Punto: El punto no tiene definición física, pero te puedes hacer una idea de lo que es pensando en la marca que deja la punta de una tiza al golpear la pizarra. El punto en matemáticas se entiende como sinónimo de posición. Los puntos se designan mediante una letra mayúscula y se simbolizan por un pequeño círculo o una cruz. Línea: La línea es un conjunto de puntos muy especial. Un ejemplo de línea es la marca que deja una tiza al deslizarse por la pizarra. Las líneas pueden ser rectas, curvas, mixtas, quebradas, onduladas y espirales. - La idea de línea recta es la sugerida por un hilo tensado. - La idea de línea curva está sugerida por un hilo sin tensar. - Línea mixta es la combinación de línea recta y curva. La idea de línea mixta te la da el perfil de un cazo. - La idea de línea quebrada o poligonal la da el perfil de una escalera. - La idea de línea ondulada te la da el perfil de los surcos de un sembrado. - La idea de línea espiral la da la concha de un caracol.
Además, las líneas pueden clasificarse en abiertas o cerradas. a) Abiertas: son líneas que no tienen ni principio ni final, es decir, ni comienzan ni terminan. No se toca ningún punto dos veces. b) Cerradas: es la línea que se traza de tal manera que empieza y termina en el mismo punto. Éste es el único punto que se toca dos veces cuando se dibuja la línea. Las líneas cerradas tienen un interior y un exterior. A la extensión interna se la llama superficie.
Superficie: Una superficie es la parte interior que encierra una línea cerrada. Si las líneas que encierran la superficie son rectas, la superficie recibe el nombre de cara plana o polígono. Si son líneas curvas entonces reciben el nombre de cara curva. Observa que estas superficies están limitadas por una línea, es decir, tienen borde, y se les llama superficies finitas. Una superficie ilimitada recibe el nombre de plano. Para hacerte una idea de un plano o superficie ilimitada imagínate en un barco en alta mar: la superficie del mar no tiene fin. Cuerpos geométricos 3
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Se llama cuerpo geométrico al limitado por superficies planas o curvas, y sólo se tienen en cuenta su forma y extensión. i) Si las superficies son planas, el cuerpo se llama poliedro. ii) Si las superficies son curvas, el cuerpo se llama cuerpo redondo. Ejemplos: Identifica en las fotografías los elementos definidos hasta ahora:
En el primer dibujo observamos líneas rectas, curvas y superficies. En el segundo un poliedro (un prisma octogonal). En el tercero se pueden apreciar puntos. En el último se observa un cuerpo redondo. LÍNEA RECTA Una línea recta no tiene ni principio ni fin, es decir, ni comienza ni termina. Es infinita.
Propiedades: a) Por un punto pasan infinitas rectas:
b) Por dos puntos pasa una única recta:
Semirrectas y segmentos: Si en una recta se marca un punto A, la recta queda dividida en dos partes. A cada una de estas partes se la llama semirrecta.
Semirrecta es, pues, una recta que tiene principio o fin, según se considere al punto, origen o final. Si en una recta se marcan dos puntos A y B, a la porción de recta comprendida entre estos dos puntos se le llama segmento.
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De este modo, definiremos segmento como el conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos dados, que llamaremos extremos. Se designa de la forma AB .
Posiciones relativas de dos rectas: Coge dos bolígrafos de diferente color. Imagínate que el tablero de tu mesa es una superficie ilimitada, es decir, un plano. Las diferentes formas en que se pueden colocar bolígrafos en ese plano son:
Imagínate ahora, que los bolígrafos simbolizan rectas, entonces la situación anterior se puede definir como: i)
Rectas secantes: aquellas que tienen distinta dirección y un punto común, es decir, dos rectas que corten en un punto.
ii) Rectas paralelas: las dos rectas tienen la misma dirección, pero no tienen ningún punto en común, ni siquiera si las prolongamos. iii) Coincidentes: las dos rectas tienen la misma dirección. Tienen todos sus puntos en común. La situación es análoga si consideramos las tres dimensiones espaciales, donde distinguimos un caso adicional: iv) Rectas que se cruzan: aquellas que tienen distinta dirección y ningún punto en común. Imagina dos autopistas rectas que se cruzan por un puente. Nunca se cortan, es decir, nunca pasan por el mismo punto de la carretera. Un caso particular de rectas secantes son las rectas perpendiculares, aquellas que se cortan bajo un ángulo de 90º. Ejercicio: Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas líneas rectas pueden dibujarse que contengan a tres puntos? b) ¿Cómo son las líneas definidas por los bordes de este folio? SEGMENTOS: Igualdad: Dos segmentos se dicen iguales si al superponerlos coinciden, es decir, si se pueden colocar el uno sobre el otro de tal manera que los extremos coincidan (es decir, si su longitud es la misma). Si no se cumple lo anterior, los segmentos son desiguales.
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Razón de segmentos: Se define la razón de dos segmentos AB y CD como el cociente de sus medidas, referidas a la misma unidad. Ejemplo: Si AB =5cm y CD =2cm , entonces la razón de ambos segmentos es: AB 5cm = = 2.5 2cm CD
Proporcionalidad:
Dos o más pares de segmentos se dicen proporcionales si sus razones son iguales. A esta razón la llamaremos constante de proporcionalidad. Ejemplo: Los siguientes pares de segmentos son proporcionales:
Puesto que:
AB CD
=
4 EF 4 RS 4 =2 , = =2 , = =2 , 2 2 2 JK TU AB
luego son pares proporcionales.
CD
=
EF JK
=
RS TU
se cumple que:
=2
TEOREMA DE THALES:
Thales fue uno de los siete grandes sabios de Grecia. Entre otros se le atribuye este teorema, de gran utilidad práctica. Si dos rectas secantes son cortadas por varias paralelas, los segmentos que determinan sobre una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante. Una sencilla interpretación gráfica sería la siguiente: a) Dibujamos la situación, es decir, dos rectas r y r´ secantes y tres rectas paralelas a, b y c que las corten. b) Entonces, según el teorema de Thales, se verifica la relación: AB BC
Ejemplo:
=
A' B ' B' C '
En la siguiente figura, las rectas a y b son paralelas. Calcula la longitud del segmento x: Como estamos en la situación15descrita x por el teorema de Thales, = , de donde, despejando deberá verificarse que 12·15 x= = 6·15 = 90cm .2 12
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ÁNGULOS Se llama ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada una de las semirrectas se les llama lado. La abertura se señala con el que representa el ángulo es ∧ .
arco que va de lado a lado. El símbolo
A los ángulos los podemos designar de tres maneras: a) Con una letra mayúscula, que coincide con el nombre del vértice, debajo del símbolo
∧.
b) Con una letra griega dentro del ángulo, al lado del arco. c) Con las tres letras mayúsculas debajo del símbolo letra situada en el vértice que forma el ángulo .
∧ , de manera que queda en el medio la
Ejemplo: Los lados son AB y AC. El vértice es el punto A. .
Clasificación: La clasificación de los ángulos se puede hacer en función de dos criterios: según la posición de las semirrectas o según su abertura. Según la posición de las semirrectas: i) Ángulo nulo: es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes. ii) Ángulo recto: el formado por dos semirrectas perpendiculares. iii) Ángulo llano: ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Observa que un ángulo llano son dos ángulos rectos. iv) Ángulo completo: aquel formado por dos semirrectas coincidentes. Un ángulo completo son cuatro rectos. Según su abertura: i) Ángulo agudo: ángulo cuya abertura es inferior a la de un ángulo recto. ii) Ángulo obtuso: ángulo cuya abertura es superior a la de un ángulo recto.
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EJERCICIOS: 1) ¿Qué clase de superficie es una pequeña extensión de un lago de aguas tranquilas? 2) ¿Qué clase de superficie es una gran extensión de la superficie del mar? 3) Compara a simple vista los siguientes segmentos y di cuáles son iguales. Compruébalo con algún instrumento de los usados en clase.
4) Dibuja un punto y una recta exterior. Traza a mano alzada la perpendicular desde aquel punto a la recta, y mide con una regla graduada la distancia correspondiente. Después repite el apartado anterior utilizando escuadra y regla. ¿Qué distancia es mayor?, ¿por qué? 5) Para pasar de una acera de una calle a la acera opuesta (se supone paralela a aquélla) ¿qué camino debes seguir para estar el menos tiempo posible expuesto a un atropello de un coche? 6) Traza a mano alzada rectas paralelas. Después, traza varias perpendiculares comunes y comprueba que los segmentos interceptados son de igual longitud (serán aproximadamente iguales, pues al hacerlo a mano alzada cometemos errores). 7) Imagina tres puntos no alineados. ¿Cuántas rectas que unan los puntos de dos en dos pueden trazarse?, ¿qué figura quedará siempre? 8) ¿Cuántos puntos pueden señalarse en un folio en blanco de forma que no haya dos de ellos alineados?, ¿y que no hayan tres alineados? 9) ¿Cómo han de ser dos rectas para que no se corten nunca por mucho que las prolonguemos hasta el infinito? 10)La suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360º. Si dos de los ángulos suman 130º, ¿cuánto miden los otros dos si se sabe que son iguales?
11) En cada una de las figuras, las rectas a, b y c son paralelas. Calcula el valor de x:
12) Di si son correctos los datos de la siguiente figura:
13) Averigua cuánto miden los segmentos
A' B '
y
B' C ' :
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POLÍGONOS. Ya habíamos estudiado que un polígono es toda superficie limitada por segmentos o líneas quebradas. Ahora vamos a estudiar las características y propiedades que nos permitan estudiar aquellas magnitudes que nos resulten de interés. Elementos de un polígono: Elementos de todo polígono son: a) Lados: todos los segmentos que delimitan el polígono. b) Vértices: puntos extremos de los segmentos. c) Ángulos interiores: los formados por cada dos segmentos consecutivos. d) Perímetro (p): suma de las longitudes de todos los lados. e) Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono. f) Apotema (a): segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de los lados. g) Radio (r): segmento que une el centro con uno de los vértices. Todos los polígonos tienen mismo número de vértices, ángulos y lados. Clasificación: Podemos clasificar los polígono según: a) Su forma: i) Regular: si todos sus lados son iguales. ii) Irregular: si al menos uno no es igual al resto. b) El número de lados: i) 3 lados: triángulo. ii) 4 lados: cuadrilátero. iii) 5 lados: pentágono. iv) 6 lados: hexágono. v) 7 lados: heptágono. vi) 8 lados: octágono. vii) 9 lados: eneágono. c) Según el tipo de ángulos: i) Cóncavo: si prolongando los lados del polígono, alguno de ellos pasa por el interior del mismo. ii) Convexo: si prolongando los lados del polígono, ninguno de ellos pasa por el interior del mismo.
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TRIÁNGULOS. Un triángulo es un polígono de tres lados. El punto de corte de cada dos rectas se llama vértice y lo nombraremos con letras mayúsculas A, B y C. El valor de los ángulos de cada vértice se representa por Aˆ , Bˆ y Cˆ . Los lados opuestos a esos vértices los nombraremos con las mismas letras en minúsculas: a, b, y c.
Clasificación de los triángulos: Los triángulos, según la medida de sus ángulos, se clasifican en: •
Acutángulos si sus ángulos son agudos.
•
Rectángulos, cuando tienen un ángulo recto o que mide 90º.
•
Obtusángulos, cuando tiene un ángulo obtuso.
Los triángulos, según la medida de sus lados, se clasifican en: •
Equiláteros, cuando sus tres lados miden lo mismo.
•
Isósceles, cuando dos de sus lados miden lo mismo.
•
Escálenos, cuando los tres lados son desiguales.
Elementos del triángulo: i)
Medianas: La mediana es la recta que une cada vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triangulo se cortan en un punto que se llama baricentro. El baricentro tiene una propiedad: la distancia del baricentro al vértice sobre cada mediana es el doble de su distancia al lado opuesto.
ii) Mediatrices: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo que pasa por su punto medio. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro. Con centro en este punto se puede trazar la circunferencia circunscrita. iii) Alturas: La altura correspondiente a un vértice de un triángulo es la recta perpendicular al lado opuesto. Las alturas se cortan en un punto que se llama ortocentro. iv) Bisectrices: La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por su vértice y lo divide en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. v) Base: Es el lado sobre el cual se suele pintar “descansando” el triángulo. Como el triángulo tiene tres lados, tendrá tres bases.
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Propiedades de los triángulos
i) Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos. ii) Los ángulos Aˆ , Bˆ y Cˆ siempre suman 180º, es decir:
ˆ +B ˆ + Cˆ =180º A
iii) Un triángulo siempre se puede descomponer como suma de dos triángulos rectángulos trazando una altura. iv) Propiedad triangular: Con tres segmentos de cualquier longitud no se puede construir un triangulo. Para poder construirlo hace falta que la longitud de cada lado sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. v) Igualdad de triángulos Dos triángulos son iguales cuando tienen sus lados iguales y sus ángulos iguales. Para estudiar si dos triángulos son iguales basta con comprobar que parte de sus elementos son iguales. Estos elementos vienen dados por los criterios de igualdad de triángulos, condiciones mínimas que se deben cumplir para que dos triángulos sean iguales: a. CRITERIO 1º: Dos triángulos son iguales si tienen iguales los tres lados. b. CRITERIO 2º: Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que forman. c. CRITERIO 3º: Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos contiguos a él.
TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES. Los egipcios (y los babilonios antes que ellos) conocían que el triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades servía para trazar perpendiculares y ángulos rectos. También conocían que entre las longitudes de los lados existía una relación: la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Esta relación, llamada teorema de Pitágoras se cumple para todo triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al otro lado, el lado mayor, opuesto al ángulo recto, hipotenusa.
El área del cuadrado gris claro construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Formalmente, si llamamos b y c a los catetos y a a la hipotenusa. El teorema de Pitágoras dice: “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a 2 = b 2 + c 2 ”.
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ÁREA DE UN TRIÁNGULO Es el semiproducto (la mitad del producto) de la base por la altura:
Área =
base·altura b·h = 2 2
Cálculo del área conocidos sus tres lados Para calcular el área del triángulo hemos visto que se requieren las medidas de la base y la altura. Muchas veces no disponemos del dato de la altura, por lo que deberemos calcularlo a partir de otros datos, por ejemplo, a partir de las longitudes de los otros lados:
h=
1 2b
p·( p − 2a )( p − 2b )( p − 2c )
Mediante esta fórmula, conocida como fórmula de Apolunio, y la base podremos calcular el área.
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CUADRILÁTERO Es todo polígono de cuatro lados. En un cuadrilátero distinguimos: •
Lados opuestos, lados no consecutivos.
•
Vértices opuestos, vértices no consecutivos.
•
Diagonales, segmento que une dos vértices opuestos.
Clasificación Los cuadriláteros convexos se clasifican en: 1) Paralelogramos: aquellos cuyos lados son paralelos dos a dos. a) Cuadrado, tiene los cuatro lados de igual longitud y los cuatro ángulos de 90º. b) Rectángulo: lados opuestos de igual longitud y los cuatro ángulos de 90º. c) Rombo: todos los lados de igual longitud, pero los ángulos, iguales dos a dos, no son rectos. d) Romboide: lados iguales dos a dos y no rectos, y todos los lados desiguales. 2) No paralelogramos: aquellos que tienen al menos dos lados no paralelos. a) Trapecios: si sólo tienen dos lados no paralelos. Pueden ser: i)
Rectángulo: si tiene dos ángulos rectos.
ii) Isósceles: si los lados no paralelos tienen la misma longitud.
iii) Escaleno: ninguno de los anteriores.
En todos ellos, se definirá la altura como el segmento que une perpendicularmente a los lados paralelos, a los que llamaremos bases, mayor la más larga y menor la más pequeña.
b) Trapezoide: si todos sus lados son no paralelos.
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Área En general, el área de un paralelogramo será la base por la altura: Área = S = b·h NOTA: date cuenta que es el doble del área del triángulo.
El problema del cálculo de estas áreas es obtener la altura, no siempre sencillo. Para facilitar la tarea, se presentan las siguientes fórmulas válidas para las figuras anteriores (es un buen ejercicio intentar demostrar de donde se obtienen): ÁREA DEL PARALELOGRAMO
FÓRMULA
Cuadrado: lado x lado
A = l2
Rectangulo: base x altura
A = b·h
Rombo: semiproducto de las diagonales
A=
Romboide: base x altura
FIGURA
d ·D 2
A = b·h
El área de un trapecio se obtendrá mediante:
Área = S =
B +b ·h 2
donde B es la base mayor, b la menor y ha la altura.
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POLÍGONOS REGULARES El área de un polígono regular de n lados es el semiproducto del perímetro por la apotema:
Área =
Donde
el
perímetro
p = a +b +c +d +e + f .
apotema·perímetro 2
es
la
suma
de
todos
los
lados:
EL CÍRCULO Un círculo es una superficie limitada por una línea curva cerrada llamada circunferencia, formada por el conjunto de puntos del plano que equidista de uno dado, llamado centro. En un círculo distinguimos: Centro (C)
• •
Radio (r): segmento que une el centro con cada punto de la circunferencia.
•
Diámetro (d): segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
•
Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
•
Sector circular: porción de círculo limitada por dos radios.
•
Corona circular: parte del círculo limitada por dos círculos concéntricos.
Perímetro del círculo: longitud de la circunferencia Viene dado por la fórmula:
Longitud = L = diámetro·∏ = 2·r·∏ donde
∏ es
un número trascendente (tienen infinitos números decimales) y vale,
aproximadamente:
∏ = 3,1415921668....... ≈ 3,1416 Superficie Si considerásemos el círculo como un polígono regular (imagínate un polígono regular de infinitos lados, ¿a qué figura se parece?) cuyo perímetro fuera su circunferencia y la apotema el radio, entonces el área vendría dada por:
Área =
apotema· perímetro Longitud ·radio 2·∏·r ·r = = = ∏·r 2 2 2 2
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En cuanto a la corona circular, al ser la superficie que queda entre dos círculos concéntricos, si suponemos que sus radios son R (el del círculo mayor) y r (el del menor), se tendrá:
(
Área = S cc = ∏· R 2 − r 2
)
Para calcular el área de un sector circular, al ser éste una porción del círculo, bastará con hacer una regla de tres a partir del ángulo que forman los dos radios que delimitan el sector:
α
Área sec torcircular = ∏·r 2 · 360º SUPERFICIES DE FIGURAS IRREGULARES Cuando nos encontremos ante una figura de la cual desconozcamos su forma, bien por ser irregular, bien por desconocimiento, una buena aproximación es descomponer la figura en otros polígonos regulares más simples y bien conocidos (como pueden ser los triángulos). Así, por ejemplo, podríamos obtener el área de un cuadrado como suma del área de dos triángulos, o equivalentemente, la del triangulo como la mitad del área del cuadrado (compruébalo como ejercicio). Esta herramienta es muy útil cuando nos encontremos con figuras muy complicadas, y sobre todo con figuras irregulares; por ejemplo, podríamos descomponer la puerta del dibujo en dos superficies, un rectángulo y un semicírculo, ambos de fácil resolución.
Equivalentemente, podríamos aplicar la misma estrategia al mapa español, dividiéndolo en figuras regulares conocidas. En el dibujo conociendo la escala del plano, podríamos calcular una aproximación de la superficie total del territorio peninsular español.
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CUERPOS GEOMÉTRICOS LOS POLIEDROS. Todo cuerpo limitado por superficies de forma geométrica, se llama cuerpo geométrico. Hay dos clases de cuerpos geométricos: los poliedros y los cuerpos de revolución. Poliedro es todo cuerpo limitado por polígonos planos, llamados caras. En todo poliedro distinguimos: •
Caras: polígonos que limitan el poliedro.
•
Aristas: Segmentos que resultan de la intersección de dos caras.
•
Diedros: regiones del espacio limitadas por dos caras que se cortan.
•
Vértices: puntos de intersección de dos o más caras.
•
Triedros: regiones del espacio limitadas por tres caras que se cortan en un punto.
•
Ángulos poliedros: regiones del espacio limitadas por cuatro o más caras que se cortan en un punto.
Poliedros regulares Un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares iguales y además en cada vértice se unen el mismo número de caras. Solo existen cinco poliedros regulares:
PRISMAS
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras, que son polígonos iguales y paralelos entre sí, llamadas bases, y sus otras caras laterales son paralelogramos. La altura del prisma es la distancia entre las bases. Un prisma es recto si las caras laterales son todas rectángulos, es decir si son perpendiculares a las bases. Cuando no es así, es oblicuo. Según la forma de las bases, los prismas se clasifican en triangulares, cuadrangulares, pentagonales... Un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares decimos que es regular. Unos prismas muy frecuentes son los paralelepípedos, prismas cuyas caras son todas paralelogramos. Si son rectos, se llaman ortoedros.
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Área A partir de su desarrollo (la figura plana que se obtiene al cortar el prisma por una de sus aristas), podemos deducir el área del prisma: i.
El área lateral es igual al perímetro de la base por la altura:
AL = pB ×h ii.
El área total es la suma del área lateral y el área de las bases:
AT = AL + 2 ×AB = pB + 2 AB Volumen El volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura:
V = AB ×h
PIRÁMIDES
Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y sus caras laterales son todas triángulos que tienen un vértice común. La altura es la distancia de ese vértice a la base. Una pirámide es recta si sus caras son todas triángulos isósceles, si no es así, es oblicua. Según el polígono que forma la base, las pirámides son triangulares, cuadrangulares,... Una pirámide recta con base un polígono regular decimos que es regular. Llamamos apotema de una pirámide regular a la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Área de las pirámides rectas El desarrollo de una pirámide recta está formado por la base y tantos triángulos como lados tiene la base. i.
El área lateral es igual al perímetro de la base por apotema de la pirámide partido por dos
AL = ii.
pB ×apL . 2
El área total es igual al área lateral más el área de la base
AT = AL + AB . Volumen El volumen de una pirámide es igual al área de la base por la altura
V =
AB ⋅ h . 3
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CUERPOS DE REVOLUCIÓN (O CUERPOS REDONDOS) Los cuerpos de revolución más importantes son el cilindro, el cono y la esfera. Se llaman así porque se obtienen a partir de un rectángulo, un triángulo rectángulo y una circunferencia. CILINDRO
Se obtiene girando un rectángulo sobre uno de sus lados.
Si observas el desarrollo de un cilindro te darás cuenta que está formado por un rectángulo y dos círculos. Área i.
El área lateral es la del rectángulo, uno de cuyos lados es igual a la longitud de la circunferencia de la base y el otro la altura del cilindro.
AL = pB ×h = 2π r ×h ii.
El área total es igual al área lateral más dos veces el área de la base
AT = AL + 2 AB = 2π r ×h + 2π r 2 Volumen
V = AB ×h CONO
Se obtiene por el giro de un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. Su desarrollo está formado por un sector circular y un círculo, que es la base. Área i.
El área lateral, la del sector circular, podemos calcularla como si fuese la de un triángulo, en el que la longitud de la base es la de la circunferencia y la altura es el radio del sector:
AL =
ii.
longitudbase ×altura 2π r ×g = = π rg 2 2
2 El área total se obtiene sumando el área de la base: AT = π rg + π r
Volumen
V=
AB ×h π r 2 h = 3 3
ESFERA
La esfera se obtiene al girar una circunferencia sobre uno de sus diámetros. Área
A = 4π r 2
Volumen 4π r 3 V= 3 19
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PROBLEMAS 1. Desde un determinado lugar, Félix ve un avión que se encuentra situado sobre su cabeza. Al cabo de unos minutos, se ha movido 25º respecto a ese punto. ¿Cuáles serán las medidas de los otros dos ángulos que forman el triángulo? Ayúdate de la imagen y utiliza que los ángulos de un triángulo suman 180º. 2. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm. respectivamente. 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm. y uno de los catetos mide 6 cm. Halla la longitud de la hipotenusa. 4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 120 cm. y uno de los catetos mide 8 cm. Halla la longitud de la hipotenusa. 5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm. y 2 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 6. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 10 cm. y el otro lado es de 6 cm. Calcula el área del triángulo. 7. La base de un rectángulo es 5 veces mayor que su altura y el perímetro es de 24 cm. Calcula la superficie de este rectángulo. 8. Calcula el área de una cuartilla cuyas dimensiones son 16 cm. X 217 mm. 9. Las dimensiones de un campo rectangular son 3 Km. x 840 m Calcula la extensión del campo expresada en hectáreas. 10. El suelo de parqué de una habitación tiene forma de trapecio. Sus bases miden: 4,3 m y 3,4 m, y su altura es de 2 m. 10.1. Calcula su área. 10.2. ¿Cuánto tendré que pagar por acuchillar el suelo si el precio por metro cuadrado es de 10 euros? 11. ¿Cuánto mide el lado de una baldosa que tiene de superficie 324 cm2? 12. ¿Cuántas baldosas hay en un salón cuadrado de 6 m de longitud, si cada baldosa mide 20 cm. de lado? 13. ¿Cuánto costará empapelar una pared cuadrada de 3,5 m de lado, con un papel que cuesta 4 euros el metro cuadrado? 14. ¿Qué superficie tendrá un jardín con forma de paralelogramo que tiene 2 Hm., 7 dam. y 5m de largo y 9 dam. y 5 m de ancho? 15. ¿Cuántos árboles podré plantar en un terreno con forma de paralelogramo de 30 m de largo y 32 m de ancho, si cada planta necesita para su buen desarrollo 4 m 2? 16. Si la diagonal de un cuadrado mide 14 cm., calcula la superficie del cuadrado. 17. La diagonal de un rectángulo mide 10 dm. y uno de sus lados 8 dm. Calcula su área. 18. Sabiendo que las diagonales de un rombo miden 1,2 dm y 8 cm, calcula su superficie en centímetros cuadrados.
19. ¿Cuánto medirán las diagonales de un rombo inscrito en un rectángulo de 210 cm2 de superficie y 30 cm. de largo.
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20. Halla el área de un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm. 21. Calcula el área total y el volumen de un prisma triangular regular de 4 cm. de altura, sabiendo que el lado del triángulo mide 2 cm. 22. Halla el volumen de un prisma hexagonal sabiendo que el lado de la base mide 5 cm. y la altura 8 cm. 23. Un prisma recto tiene por base un triángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. respectivamente, si la altura del prisma mide 12 cm. calcula su área total y su volumen. 2
24. Halla el volumen de un prisma pentagonal de 25 m de base y 3,2 m de altura. 25. Un recipiente de forma hexagonal regular, tiene de perímetro de la base 90 cm. ¿cuál es su volumen si su altura mide 25 cm.? 26. Calcula el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo cuyas diagonales miden 3 y 4 cm. y la altura del prisma es 15 cm. 27. La base y la altura de los triángulos que forman las caras de una pirámide miden 4 y 6 cm. respectivamente. Si tiene por base un cuadrado ¿cuál es su área total? 28. ¿Cuántos m3 de tierra hay que extraer para abrir un túnel que tiene forma de semicilindro de 7 km. de largo y 3 m. de radio? 29. Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada sabiendo que la arista de la base mide 4 cm. y la altura de la pirámide 9 cm. 30. Halla el área total y el volumen de un cilindro de 4 cm. de radio se la base y 7 cm. de altura. 31. El diámetro de la base de un cilindro mide 10 cm., si su altura es 12 cm. calcula el área total y el volumen. 32. La altura de un cilindro es igual al perímetro de la base, sabiendo que el radio de la base mide 4 cm., calcula su volumen. 33. Calcula el área total y el volumen de un cono sabiendo que el radio de la base mide 5 cm. y la altura 8 cm. 34. Calcula el área y el volumen de una esfera de 6 cm. de radio. 35. Un rombo tiene 6 m de lado y su diagonal menor mide 7 m. Calcula su área. 36. Una escalera de 5 m de larga está apoyada en una pared, estando la base a 4 m de la misma. ¿A qué altura llega la escalera? 37. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm. 38. ¿Qué longitud deberá tener una escalera para que alcance la altura de 10m, si tiene que apoyarse a 3 m de la pared? 39. Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 4 cm. 40. Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm. 41. Calcula el área de los siguientes polígonos: 42. Un trapecio de bases 12 cm. y 8 cm. y de altura 5 cm. 43. Un rombo de diagonales 12 y 9 cm. 44. Un rombo de diagonal mayor 8 cm. y de lado 5 cm.
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45. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 8 cm. y la base 10 cm. Calcula la altura sobre la base. 46. Calcula la apotema de un pentágono regular de 6 cm. de lados y 8 cm. de radio de la circunferencia circunscrita. 47. La diagonal de un rectángulo mide 12 cm. y uno de sus lados 10 cm. Calcula el otro lado. 48. Un ortoedro tiene por dimensiones 4 cm., 6cm y 7 cm. Calcula su área total y su volumen. 49. Halla el área lateral y el volumen de un cono de 10 m de generatriz si el radio de la base mide 3 m. 50. Calcula la superficie lateral y el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 4 m de lado de la base y 6 m de apotema lateral. 51. Calcula el área de uno de los triángulos que forman un octaedro si el área de este es 96 cm. 2
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52. Se quiere pintar una columna de 15 m de altura y 2 m de diámetro. ¿Cuántos m hay que 2
pintar? ¿Cuánto habrá que pagar por la pintura si el m cuesta 6euros?
ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN 1.- ¿Qué volumen tiene un cubo cuya superficie total es 18 m2? 2.- La diagonal de la cara de un cubo mide 2 m. Calcula su volumen. 3.- Calcula el volumen de una vasija rectangular de 20 cm de altura si el área de la base es de 40 cm2. 4.- Una lata de refresco tiene forma cilíndrica. Su altura es de 15 cm y el diámetro de la base mide 8 cm. Deseamos envasar 1000 litros de refresco. ¿Cuántas latas necesitaremos? 5.- Tenemos que fabricar 1000 barras cilíndricas huecas (sin bases) de 2 m de altura y 20 cm de diámetro de la base. ¿Qué cantidad de material necesitaremos? 6.- Un cilindro de 30 cm3 de capacidad es equivalente a un cono de altura 8 cm. Determina el radio de la base de dicho cono. 7.- Un depósito está formado por una parte central cilíndrica de un metro de diámetro y 2 m de altura. En sus extremos superior e inferior está rematado por dos semiesferas. Determina la superficie y el volumen de dicho depósito. 8.- Una esfera de radio 50 cm se inscribe en un cubo ¿Qué porcentaje del volumen del cubo no está ocupado por la esfera? 9.- Un estanque rectangular de dimensiones 15 × 20 m está vacío. Un grifo echa agua con un caudal de 20 litros/segundo. ¿Cuánto tardará el nivel del agua en alcanzar los 80 cm? 10.- Si echamos el líquido contenido en una vasija cilíndrica de 20 cm de radio, que alcanza una altura de 10 cm, en una vasija cilíndrica de 15 cm de diámetro, ¿qué altura alcanzará? ¿Llenará una vasija cónica de 10 cm de radio de la base y 21 cm de altura? 11.- El radio del sol es 108 veces mayor que el radio de la Tierra ¿En qué razón estarán sus volúmenes? 12.- El área de una superficie esférica es de 700 dm2. Halla el volumen de la esfera. 13.- Calcula el volumen de la pieza de la figura:
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14.- Calcula el volumen del vaso de la figura:
15.- Un depósito cilíndrico de agua de 10 m de altura y 4 m de radio está lleno. ¿Cuántos litros de agua hay que sacar para que el nivel descienda 3 m? 16.- Se ha pintado por dentro y por fuera un depósito cilíndrico sin tapadera de 9,7 dm de alto y 3,6 dm de radio. ¿Cuánto habrá costado la pintura a razón de 2,10 €/dm2? 17.- En un cono el radio de la base mide 5 cm y la generatriz 13 cm. Se corta el cono por un plano paralelo a la base que dista de ésta 5 cm. Halla el área lateral, el áraea total y el volumen del nuevo cono así obtenido. 18.- Para entrar en el libro Guinness se quiere llenar de zumo de naranja una esfera de 3 m de radio. ¿Cuánto costará la proeza, sabiendo que el 40 % de las naranjas es zumo y que éstas se pagan a 0,75 €/kg? 19.- Un carpintero compra un tronco cilíndrico de 4 m de largo por 1 m de diámetro. Halla el volumen de madera desperdiciado al sacar de él una viga de base hexagonal de las mayores dimensiones posibles. 20.- Un herrero dispone de una chapa cuadrada de 1,75 m de lado para realizar la pieza del dibujo ¿Cuánta chapa le sobrará?
10 dm
80 cm
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