Segundo Ciclo del Nivel Básico MÓDULO 4 Transformaciones Geométricas TALLER 3 Transformaciones geométricas. Teselados
Autoras Dra. Leandra Tapia Dra. Nurys del Carmen González Febrero 2012
Printcorp Servicios Grรกficos Corporativos, S.R.L.
Centro de Estudios Educativos CEED
CONTENIDO
CONTENIDO
Módulo 4 Transformaciones Geométricas
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Descripción
9
Propósitos
9
Contenidos
10
Productos del módulo
11
Bibliografía y otros recursos
11
Duración
11
Taller 3 Transformaciones geométricas. Teselados
15
Actividad 1
15
Actividad 2
16
Actividad 3
18
Actividad 4
20
Actividad 5
21
Actividad 6
22
Actividad 7
23
Actividad 8
25
Actividad 9
26
Actividad 10
27
Actividad 11
28
Actividad 12
30
Actividad 13
31
Actividad 14
32
Actividad 15
33
Anexo
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MÓDULO 4 Transformaciones Geométricas
MÓDULO 4 Transformaciones Geométricas
DESCRIPCIÓN En este taller se estudian las transformaciones geométricas, su conceptualización y obtención. Se estudia el significado de las transformaciones cómo relacionarlas entre sí, así como una de sus aplicaciones: los teselados o teselaciones utilizados en la creación y realización de diseños. El desarrollo de los contenidos de este taller se realizará utilizando modelos gráficos de transformaciones y situaciones que permitan conectar la temática con diseños construcciones del contexto natural, arquitectónico y artístico. También se promoverá la utilización de software para el aprendizaje y la construcción de diseños de teselados. Se promueve el desarrollo de los contenidos de los ejes temáticos a través de diferentes tipos de actividades donde los participantes deben mostrar sus procesos creativos aplicando los contenidos trabajados. Se analizarán las estrategias utilizadas en el aprendizaje de los contenidos y formas de adecuación de las mismas para desarrollar con sus estudiantes.
PROPÓSITOS Conceptualizar y representar traslaciones, reflexiones y rotaciones. Reconocer y crear transformaciones. Describir transformaciones realizadas. Identificar y crear teselados aplicando las transformaciones. Explicar y justificar razonamientos y conclusiones. Conocer recursos y materiales didácticos para la enseñanza-aprendizaje de los contenidos del taller. Diseñar y ejecutar propuestas teórico-prácticas para el desarrollo de los contenidos del taller.
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CONTENIDOS Contenidos
Eje temático Conocimiento
Comunicación
Resolución de problemas y Toma de decisiones
Razonamiento matemático
Conexiones
Apreciación de la matemática
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Transformaciones geométricas. o Traslación. o Reflexión. o Giro. Teselados. Explicación oral y escrita de los procesos seguidos en las construcciones y mediciones. Interpretación y seguimiento de instrucciones escritas. Lectura y análisis de información. Manejo del software GeoGebra. Utilización de representaciones gráficas para visualizar transformaciones geométricas. Identificación de transformaciones. Resolución de problemas. Utilización de diferentes estrategias en la solución de problemas. Uso de los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado y del pie cuadrado para resolver problemas. Construcción de teselados aplicando transformaciones. Explicación de los procesos seguidos para construir transformaciones. Medición y estimación de áreas utilizando el metro cuadrado, el pie cuadrado, entre otros. Construcción de la fórmula para obtener el área de polígonos. Utilización de informaciones para generar respuestas. Justificación de respuestas. Estimación de áreas. Medición de áreas utilizando el metro cuadrado y unidades arbitrarias. Creación de teselados. Resolución de situaciones problemáticas de la matemática y de la vida cotidiana. Análisis de los contenidos del curso en que enseña.
Conceptuales
Procedimentales
Análisis de las estrategias de enseñanzaaprendizaje utilizadas en el taller. Construcción de propuestas para desarrollar los contenidos con sus estudiantes. Escucha y sigue orientaciones verbales del profesor. Respeto de los turnos de compañeros y compañeras Valoración de los aportes de la matemática a nuestra vida cotidiana. Valoración y disfrute de relacionar lo que aprende con su trabajo como docente.
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Actitudinales
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PRODUCTOS DEL MÓDULO Diseño de actividades para sus estudiantes. Diseños de teselados.
BIBLIOGRAFÍA BASICA SEEC. (1995). Nivel Básico. Serie Innova 2000, 5.
González, Nurys. (1998). Teselaciones. SEEC.
Proyecto Gauss. Programa Escuela 2.0 Ministerio de Educación de España. Instituto de Tecnología Educativa.
Software GeoGebra.
Libros de texto de los grados en que enseñan los docentes.
Guías de los talleres.
DURACION 8 horas
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TALLER 3
Transformaciones geométricas Teselados
Simbologías Trabajo Individual Trabajo en Pareja Trabajo en Grupo Puesta en Común
Taller 3 Transformaciones geométricas. Teselados ACTIVIDAD 1
Deslizamientos, reflejos y giros. Observe las fotografías siguientes. Estas se relacionan con deslizamientos, reflejos y giros. Indique, para cada una, con cuál de esas transformaciones las relacionaría.
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ACTIVIDAD 2 Deslizamientos o traslaciones Las palabra deslizamiento o traslación, ¿qué imágenes les trae a sus mentes?, ¿en qué piensan? En la imagen siguiente, ¿cuál es el diseño que se “traslada”?
Observen la traslación de la figura , transformándose en la figura '.
A
B
G H G’
F
B’
A’
E
H’ ’
D
C
F’ E’ D’
16
C’
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ACTIVIDAD 2 Al trasladarse el punto A hasta la posición A', se mueve 6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.
¿Cómo se traslada el punto B hasta la posición B'?
¿Qué se puede decir del punto C al deslizarse hasta C'?
¿Cuánto se traslada E para transformarse en E'?
¿Cómo puede describirse el traslado de la figura al transformarse en '?
¿Cada punto de la figura se ha deslizado 6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo?
Al describir un deslizamiento o traslación se indica su dirección con una flecha que interconecta un punto con su transformado y la magnitud del deslizamiento.
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ACTIVIDAD 3 Aplicación Trasladen la figura , 7 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba:
A
B
G H F
E D
C
Obtengan la traslación de la figura M definida por 12 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo:
M
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ACTIVIDAD 3 Realicen: Una primera traslación, β', de 2 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo. Una traslación de la transformada, β'', de 6 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
β
Observen las figuras siguientes: ¿Qué traslación se ha realizado sobre Ω para obtener Ω'?
¿Qué traslación se ha realizado sobre Ω' para obtener Ω''?
¿Qué traslación se ha realizado sobre Ω para obtener Ω''?
En cada caso indiquen con una flecha la dirección de la traslación realizada.
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ACTIVIDAD 3
Ω’’ Ω‘
Ω
ACTIVIDAD 4 Traslación Elaboren una definición de traslación. Escríbanla.
Preséntela en la puesta en común.
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ACTIVIDAD 5 Reflexión Observa la ilustración siguiente. Se presenta la figura B y su transformada, B', por una reflexión con respecto al eje a:
A
B
C
D
D‘
π F
A’
B’
C’ π’
E
E‘
F’
eje a Si se dobla la cuadrícula por el eje a, ¿qué se puede decir de la figura π' con respecto a la figura π?
Si se trazara un segmento que uniera el punto B de la figura π con el punto B' de la figura π', ¿qué relación se da entre el segmento trazado y el “eje a”?
Si se trazara un segmento que uniera el punto F de la figura π con el punto F' de la figura π', ¿qué relación se da entre el segmento trazado y el “eje a”?
Si se trazara un segmento que uniera el punto E de la figura π con el punto E' de la figura π', ¿qué relación se da entre el segmento trazado y el “eje a”?
El eje a se denomina eje de reflexión. ¿qué se puede decir del eje de reflexión con respecto a cualquier segmento que une un punto de la figura π con su punto transformado de la figura π'?
En las fotos de la actividad 1, identifiquen las que representan una reflexión.
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ACTIVIDAD 6
Observe las figuras siguientes y realice lo que se le pide:
En la figura 1 reproduzca la mariposa utilizando el eje a, como eje de reflexión.
En la Figura 2, utilice el eje a como referencia para reproducir la mariposa mediante una traslación de dos unidades (cuadrícula).
Figura 1
Figura 2
Eje a
Eje a
La imagen producida por la reflexión y la traslación, ¿Son las mismas? ¿En qué se diferencian?
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ACTIVIDAD 7
En cada uno de los casos siguientes complete el patrón y explique qué tipo de transformaciones se han realizado para producir el diseño:
a)
b)
c)
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ACTIVIDAD 7
d)
e)
f)
Averigüe cómo se llama este tipo de diseño.
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ACTIVIDAD 8
Observen las figuras siguientes:
¿Qué transformación ha sufrido la figura 1 para transformarse en la figura 2?.
¿Y de la figura 1 a la figura 3?.
¿Y de la figura 2 a la figura 3?.
La figura Ω' siguiente es la transformada, por giro (rotación) alrededor del punto 0, de la figura Ω. La figura Ω recibió una rotación de 90 en el sentido de las manecillas del reloj.
Ω’
Ω O
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ACTIVIDAD 8
¿Cuántos grados han girado los puntos de la figura para transformarse en la figura Ω'?
¿Cuál es el sentido del giro?
¿Cómo puede describirse el giro de la figura al transformarse en la figura '?
Al describir un giro se indica su magnitud y el sentido
ACTIVIDAD 9 A continuación se presenta el patrón construido aplicando diferentes transformaciones al triángulo 1. 10 9
12 11
2 1
14 13
4 3
16 15
6 5
8 7
¿Qué movimiento se describe al mover el triángulo desde la posición 1 a la posición 3?.
¿Qué movimiento se describe al mover el triángulo desde la posición 1 a la posición 9?.
¿Qué movimiento se describe al mover el triángulo desde la posición 1 a la posición 2?. respuesta.
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ACTIVIDAD 9 ¿Qué movimiento se describe al mover el triángulo desde la posición 1 a la posición 3?.
¿Qué movimiento se describe al mover el triángulo desde la posición 1 a la posición 12?.
¿Qué tipo de movimientos pueden describirse sin levantar el triángulo?. respuesta.
Argumente
su
¿Qué tipo de movimientos requieren levantar el triángulo para describirse?. Argumente su respuesta.
ACTIVIDAD1 10
Observen el dibujo en la actividad anterior y contesten: ¿Se cubre todo el espacio del recuadro o queda espacio sin cubrir?. ¿Está algún triángulo sobre otro?. ¿Podemos afirmar que el triángulo ha teselado el recuadro?. Dialoguen sobre lo que entienden por teselar una región: hoja de papel, superficie de la butaca, etc. Escríbanlo.
Recorten los patrones de figuras utilizando la plantilla ofrecida por el profesor. Cada miembro elija uno de los patrones. Recorte en cartulina o papel todos los que sean necesarios para teselar la portada del fascículo de este taller. 1 La mayoría de las actividades sobre teselaciones son adecuaciones de las propuestas en el documento Teselaciones, de Nurys del Carmen González, SEEC, 1999.
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ACTIVIDAD 10
De esos polígonos: ¿Cuáles polígonos teselan?
¿Cuáles no teselan?
Expliquen las razones por las cuales consideran que esos polígonos teselan y los otros no. Justifiquen sus respuestas.
Según sus conclusiones, ¿cuáles de los polígonos regulares utilizados teselan?
Un área o región está teselada por un polígono o figura cuando éstos: • Cubren toda la región. • No están superpuestos.
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ACTIVIDAD 11
Con los resultados de la actividad anterior completen la tabla siguiente:
Lados del polígono regular
Tesela
No tesela
3 4 5 6 7 8
… Los polígonos regulares que teselan una región son:
Establezcan una conjetura sobre las razones por las cuales esos polígonos teselan y otros no.
Presenten sus resultados en la puesta en común.
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ACTIVIDAD 12 Observen los resultados obtenidos en la actividad anterior y luego completen la tabla siguiente:
Lados del polígono
Ángulo interior
Polígonos necesarios para completar 360º
3 4 5 6 7 8
60º
360º ÷ 60º = 6
90º
… n
¿Qué significa el resultado de cada división en la columna de la derecha?.
¿Se corresponde esa respuesta con los resultados de las actividades 12 y 13 anteriores?
Como consecuencia de estos resultados, ¿cuáles polígonos regulares teselan?, ¿Cuáles no?.
¿Qué significan los resultados decimales en algunas respuestas de la columna de la derecha?.
¿Qué pueden concluir de estos resultados?.
Estos resultados, ¿confirman o invalidan la conjetura establecida?.
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ACTIVIDAD 13
Observen el patrón que se forma con los resultados de la columna de la derecha en la actividad anterior. Reflexionen sobre: ¿Qué ocurre con esos valores a medida que aumenta el número de lados del polígono? El resultado, ¿volverá a ser un número entero? Justifiquen su respuesta.
En la secuencia el último número entero obtenido es el 3. Esto significa que se necesitarán 3 polígonos para completar los 360º alrededor de un vértice. Este polígono es el que tiene 6 lados, es decir un hexágono. Así alrededor del vértice A se pueden colocar solo 3 hexágonos
A
Como consecuencia de lo anterior, ¿cuál es el próximo número entero que puede aparecer en la columna de la derecha?
Esto significa que se necesitarán 2 polígono regulares para completar los 360º alrededor del vértice. Si solo son dos polígono, ¿cuánto deberá medir el ángulo de cada polígono en ese vértice?
¿Existe un polígono regular cuyo ángulo interior tenga esa medida? Justifique su respuesta.
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ACTIVIDAD 14 ¿A qué se denomina teselación regular?
Observen las tres teselaciones regulares siguientes:
Según los resultados de las actividades de anteriores, ¿podría construir otra teselación regular?
¿Cuántas teselaciones regulares hay? Seleccione un vértice en una de las tres teselaciones anteriores. ¿Cuántas formas coinciden en el vértice seleccionado?, ¿y en los demás vértices?
La teselación se llama 6.6.6, ¿Por qué?
¿Cómo se llama cada teselación siguiente?
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ACTIVIDAD 15 Además de las teselaciones con polígono regulares existen otras donde se utilizan diversos polígonos, regulares o no, o figuras.
Varios polígono regulares
Polígonos regulares e irregulares.
Polígono irregulares y otras figuras
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ACTIVIDAD 15 Identifiquen en los teselados anteriores las traslaciones, giros y reflexiones utilizados en su diseño.
Enumeren objetos del medio donde se identifican representaciones de teselaciones.
Dibújenlas, hagan fotos y preséntenlas en la puesta en común.
Seleccionen una de las plantillas del anexo. Discutan su diseño. ¿Para qué pueden usarla? ¿para diseñar pisos, vitrales, puertas, etc.?
Coloréenlas según uno de los usos que puedan darle. Preséntenla en la puesta en común.
Para investigar sobre M.C. Escher y sus teselaciones en el plano consulte la página siguiente, encontrará muchas de las creaciones de este matemático artista.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm
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ACTIVIDAD 16 Tarea 1. Busquen en su escuela o Distrito Educativo el texto TESELACIONES de Nurys del Carmen González, SEEC, 1999. En el analicen: Secretaría de Estado de Educación y Cultura Dirección de Currículo Área de Matemática
Teselaciones
Sus partes. Serie Desarrollo Curricular, Número 29
La estructura de esas partes. Los contenidos curriculares que ayuda a desarrollar. Los usos que usted puede darle con sus estudiantes. Los grados en los que lo puede utilizar. Cómo adecuarían las actividades propuestas para trabajarlas con sus estudiantes. Otros aspectos que considere pertinente. 2. En las páginas siguientes encontrará informaciones y excelentes actividades para trabajar las teselaciones. http://elclubdelamatematica.blogspot.com/2010/02/mosaico-o-teselado.html http://www.profesor.cl/geometria/Teselaciones.htm http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates12/dematesna0001/opciones/Teselaciones.ht m http://www.slideshare.net/alfon1/transformaciones-isometricas-2
3. Prepárese para rendir una prueba escrita de este módulo en nuestro próximo encuentro.
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ANEXO
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Impreso en Santo Domingo, Reública Dominicana Por Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L. 750 Ejemplares
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