Segundo Ciclo del Nivel Básico
MÓDULO 6 Álgebra y Valor posicional Taller 1 Introducción al Álgebra
Autoras Dra. Leandra Tapia Dra. Nurys del Carmen González Febrero 2012
Impreso en Santo Domingo, ReĂşblica Dominicana Por Printcorp Servicios GrĂĄficos Corporativos, S.R.L. 750 Ejemplares
CONTENIDO
Módulo 6 Álgebra y Valor posicional
7
Descripción
7
Propósitos
7
Contenidos
8
Productos del módulo
9
Bibliografía y otros recursos
9
Duración
9
Taller 1 Introducción al Álgebra
13
Actividad 1
13
Actividad 2
15
Actividad 3
16
Actividad 4
20
Actividad 5
24
Actividad 6
26
Actividad 7
29
Actividad 8
32
Actividad 9
33
Actividad 10
35
Actividad 11
36
Actividad 12
37
Actividad 13
39
Actividad 14
41
Actividad 15
45
Actividad 16
46
Actividad 17
47
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MÓDULO 6 Álgebra y Valor posicional
MÓDULO 6
Álgebra y Valor posicional
DESCRIPCIÓN El álgebra que se enseña en este ciclo se enfoca como el conjunto de conceptos y competencias ligadas a relaciones cuantitativas y como un estilo de pensamiento matemático ligado a la formalización de patrones, funciones y generalizaciones. En este taller se pretende desarrollar un entendimiento inicial de diferentes significados y usos de las variables a través de situaciones problema. Se pretende también que los docentes conozcan y se sientan a gusto utilizando y enseñando expresiones algebraicas.
PROPÓSITOS Representar la idea de variable como una cantidad desconocida utilizando letras o símbolos.
Modelar situaciones problema con objetos concretos y usar ecuaciones para establecer conclusiones.
Expresar relaciones matemáticas utilizando ecuaciones.
Discutir procesos de cambio en contextos diversos, dentro y fuera de la matemática.
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DIPOMADO EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
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CONTENIDOS Eje temático
Contenidos · · · · ·
Conocimiento
·
Comunicación
· · Resolución de problemas y Toma de decisiones
Variables. Ecuaciones. Ecuaciones equivalentes Explicación oral y escrita de los procesos seguidos. Lectura, escritura y representación de situaciones matemáticas en diferentes contextos. Utilización de modelos para representar situaciones cotidianas. Interpretación y seguimiento de instrucciones escritas. Lectura y análisis de información.
· ·
Resolución de problemas. Utilización de diferentes estrategias en la solución de problemas.
·
Justificación de respuestas.
Conceptuales
Procedimentales Razonamiento matemático
·
Utilización de diferentes estrategias para solucionar un problema.
·
Utilización de informaciones para generar respuestas.
· ·
Resolución de ecuaciones de primer grado. Resolución de situaciones problemáticas de la matemática y de la vida cotidiana. Análisis de los contenidos del curso en que enseña. Diseño de actividades para sus estudiantes. Reflexión sobre la práctica a la luz de las orientaciones de las jornadas y del acompañamiento. Respeto de las normas establecidas. Valoración de la utilización de diferentes estrategias para desarrollar procesos de enseñanzaaprendizaje. Valoración y disfrute al relacionar lo que aprende con su quehacer profesional. Disfrute del trabajo en matemática. Valoración los beneficios que aporta el compartir con otros el trabajo. Valoración del proceso de acompañamiento en el aula como medio para mejorar su desempeño.
· · ·
Conexiones
· ·
Apreciación de la matemática
· · · ·
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Actitudinales
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ACTIVIDADES Taller 1. Introducción al álgebra. (12 horas) Taller 2. Sistema de Numeración Decimal. (6 horas).
PRODUCTOS DEL MÓDULO Construcción de tableros y ábacos
BIBLIOGRAFÍA BASICA Libros de texto de los grados en que enseñan los docentes. Guías de los talleres. Proyecto Gauss. Programa Escuela 2.0, Ministerio de Educación de España. Instituto de Tecnología Educativa. Software GeoGebra. Ábacos. Bloques de Dienes.
DURACION 8 horas
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TALLER 1 Introducción al Álgebra
Simbologías Trabajo Individual Trabajo en Pareja Trabajo en Grupo Puesta en Común
Taller 1
Introducción al Álgebra
ACTIVIDAD 1 El lenguaje del Álgebra Cada ilustración siguiente expresa un mensaje. El mensaje está dado en un lenguaje simbólico. Esto es, se usan símbolos para comunicar determinada información.
¿Qué se puede interpretar en cada caso?
¿Qué se debería hacer si al llegar a la panadería acompañados de nuestro querido Sansón encontramos en la puerta el cartel siguiente?
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ACTIVIDAD 1 ¿Qué definición darían de "lenguaje"? Usen el diccionario, si es necesario.
¿Para qué se utiliza un "lenguaje"?
¿Cuántas clases de lenguajes conocen?
Busquen en el diccionario el significado de cada una de las siguientes palabras: Código; Fórmula; Símbolo.
Lean y comenten la frase siguiente:
“El lenguaje algebraico facilita la comunicación matemática dando más claridad y precisión a lo que se desea expresar”.
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ACTIVIDAD 2 Relacionar una frase matemática con una frase escrita en el lenguaje del día a día Suponga que la letra "b" representa "Un número cualquiera". Una cada "frase simbólica" con la "frase en lenguaje cotidiano" que le corresponda:
Frase Simbólica
Frase en lenguaje cotidiano
b+8
Un número cualquiera menos siete
b - 2 = 10
Cinco veces un número cualquiera.
b-7
Un número cualquiera más ocho.
(5) (b)
Un número cualquiera menos dos es diez.
Invente una “frase en lenguaje cotidiano” que exprese lo que cada “frase simbólica” siguiente quiere decir: a) 2 + 4 = 6 ________________________________________ b) (5)(a) ___________________________________________ c) a + 1 ___________________________________________
Cuando se diga “un número cualquiera” utilice una letra para expresarlo. Esta puede ser “a”; “b”; “x”; “y” ó cualquier otra letra que desee. Invente una “frase simbólica” que exprese lo que cada “frase en lenguaje cotidiano” siguiente quiere decir: “Un número cualquiera sumado al número 5” _____________. “El doble de un número cualquiera” _____________________. “7 menos un número cualquiera” ________________________.
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ACTIVIDAD 3 El lenguaje de las fórmulas Las fórmulas se usan en la vida de todos los días, por los contadores, los laboratoristas, los médicos, en el sector bancario, en mecánica, por los ingenieros, por los técnicos, por los cocineros, por los abogados. Estas ayudan a resolver problemas de cualquier tipo. Observe las figuras siguientes realizadas en papel cuadriculado:
Sea U la unidad de Medida de la Superficie.
Tomando como referencia la unidad de medida dada. ¿Cuál es el área de la figura A?
¿Cuál es el área de la figura B?
¿Cuál es el área de la figura C?
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ACTIVIDAD 3
¿Cuál es el área de la figura D? 9 unidades y 4 mitades de unidad. Esto es,
1 1 1 1 9U + U + U + U + U = 11U 2 2 2 2
¿Cuál es el área de la figura E?
¿Cuál es el área de la figura F?
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ACTIVIDAD 3 Lo ideal sería, si es posible, disponer de una fórmula que permita calcular el área sin tener que contar cuántos cuadrados, unidad de medida, la figura contiene:
Se indica con e el número de vértices de los cuadrados que forman la cuadrícula que una figura contiene en su borde. En el caso de la figura A, e = 12. Se indica con i, los puntos intersecciones de la cuadrícula que se encuentran en el interior de la figura. En este caso A, i = 2 Completen la siguiente tabla, refiriéndose a las figuras anteriores de las que ya conoce su área; en la última columna se han colocado los valores de las áreas que se habían calculado:
Figura
e
i
1 e 2
1 e +i 2
1 ( e + i) - 1 2
A B C D E F
12
2
6
8
7
Área 7 7 4 11 8 10
Observen los resultados obtenidos en las dos últimas columnas.
1 2
¿Se podría afirmar usar la fórmula Área = ( e + i ) - 1 ·permite calcular el área de cualquier figura trazada sobre una cuadrícula? Justifique su respuesta.
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ACTIVIDAD 3 Ciertamente, se puede afirmar que:
1 2
Área = ( e + i ) - 1 Es la fórmula que expresa el área de las figuras trazadas sobre una cuadrícula.
Calculen, utilizando la fórmula determinada, el área de cada figura siguiente:
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ACTIVIDAD 4 El Cálculo literal Piense en algunas cajas de frutas que contienen, por ejemplo, naranjas, guineos, manzanas, cerezas que indicaremos brevemente con: n = Naranjas;
g = Guineos;
m = Manzanas;
c = Cerezas
Cada caja contiene una cierta cantidad de frutas. Complete las rayas en blanco con la forma abreviada que indique cantidad de frutas que contiene cada caja:
2c + 4n + 2g + 1m
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ACTIVIDAD 4 Para calcular el total de las frutas de cada clase, ¿cómo lo haría? Una manera de averiguarlo es calcular la siguiente suma: (2c + 4n + 2g + 1m) + (6g + 4m) + (3n + 6c) =
2c + 4n + 2g + 1m + 6g + 4m + 3n + 6c
O sea,
+
7
+
8
+
5
8
Así, el número total de frutas es igual a 7n + 8g + 5m + 8c Este resultado no puede escribirse de forma más abreviada. ¿Por qué?
De lo anterior se deduce que sólo es posible sumar, entre sí, términos semejantes.
más m
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igual +
m
=
2m
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ACTIVIDAD 4 Reduzca a una expresión más abreviada: n + n = ______________ 2g + 3g = ______________ 5c + 2c = ______________ 2m + m + m + 3m = ____________ Expresiones como: 12n, 11g, 5a2b, -3ª, 5abc,
1 p 2
se llaman términos.
2
¿Cuál es el coeficiente del término 5x ?
¿Cuál es el coeficiente del término 9xy?
2
¿Cuál es el coeficiente del término –3a ?
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ACTIVIDAD 4 ¿Cuál es la parte literal del término 2x2?
¿Cuál es la parte literal del término 7a?
¿Cuál es la parte literal del término –9x3?
Clasifique las siguientes expresiones matemáticas en numéricas y algebraicas: 3x + 5y – 3 8 (3 + 5) 2
3x + 6x + 9y 2a - 3b 8 (3 + a) 2
4x + 5x – 7 5 (4) + 6 3a + 2b + 7 ¿Cuándo se dice que una expresión es algebraica?, ¿cuándo es numérica?
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ACTIVIDAD 5
Términos semejantes 2
2
Observe la parte literal de los términos 3m n, -4m n, ¿son iguales?
Dos términos de denominarán semejantes si tienen la misma parte literal.
Explique por qué los tres términos siguientes son semejantes entre sí: 2
2
2a b, -2a b,
2 5
2
ab
Explique por qué los tres términos siguientes no son semejantes entre sí: 2
2
6a b, -2a , -4ab
2
La forma reducida de una expresión algebraica es aquélla en la que se han sumado algebraicamente los términos semejantes. La expresión reducida de 5b+ 3a - 2b + 5a - 4 es 3b + 8a – 4
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ACTIVIDAD 5 Complete los siguientes ejercicios escribiendo en la casilla en blanco, el coeficiente que falta: 1) n + n + n + n =
n
2) b + b + b =
b
Ejemplo:
3) a2b + a2b =
a2b
n+n+n=3 n
4) 2abc + abc + abc = 5) 6n – 3n =
abc
n
6) ab + ab + ab =
ab
Escriba las siguientes sumas en forma abreviada: 1) 3x + z + 2x + 4z = Ejemplo:
2) 7ab – 3a + 5ab + 2a = 3) 2a + b + c + 2ab = 4) 3x + 2y +
3x + 5y + 2x + y = 5x + 6y
1 x + 5y= 2
5)10a + 3b – 12b + 20b – 2a = Recuerde lo aprendido en relación a la sustracción entre números enteros: 5 – (3 + 8) = 5 – 3 – 8 = – 6 Observe con atención los ejemplos dados, Ejemplos :
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1)
3x – (x + 1) = 3x – x – 1 = 2x – 1
2)
5b – (b + 6) – (3b – 2) = 5b – b – 6 – 3b + 2 = b – 4
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ACTIVIDAD 5 Realice las sustracciones siguientes: 1) 3a - (a + 2) =
2) 5x - (2x + 6) =
3) 4a - (2 – a) =
4) 4 - (5 + 2x) =
5) 8x - (x + 5) – (3x - 3)
ACTIVIDAD 6
Expresiones equivalentes Observen los gráficos siguientes: Las barras se usarán para representar a la variable a: El cuadrado para representar el número 1: Así, de la siguiente manera se podrá representar a + 1
a
26
+
1
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ACTIVIDAD 6 La figura siguiente muestra 6 conjuntos de a+1:
Esto es: 6 veces (a + 1)
Las barras y cuadrados de la representación anterior se pueden reagrupar de la forma siguiente:
Un conjunto de “seis veces la barra a”, se escribe 6a
Un conjunto de “seis veces el cuadrado 1”, se escribe 6(1).
Esto es:
6a + 6(1) es lo mismo que 6a + 6 Por consiguiente se ha mostrado que: 6(a + 1) = 6a +6
Escriban la expresión algebraica equivalente al diagrama dado a continuación:
Equivale a
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ACTIVIDAD 6
Grafiquen y escriban la expresión algebraica equivalente al diagrama dado a continuación:
Utilicen el mismo procedimiento para mostrar por qué la expresión 2 (a + 3) es equivalente a la expresión 2a + 6. Esto es, 2 (a + 3) = 2a + 6
Compruebe que 3 ( a + 1 ) = 3a + 3
Compruebe que 3 ( x + 4 ) = 3x + 12
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ACTIVIDAD 7 Valor numérico A continuación se presenta un recibo de la CAASD
El recibo consta de: Una cuota fija de 162 pesos por mes por Consumo Básico. A la cuota fija se agrega otra cuota, llamada Consumo Adicional 1, correspondiente a las primeras 5 unidades consumidas. Estas unidades de agua consumidas, se pagan a 6 pesos la unidad de agua. A estas dos cuotas se agrega una tercera, llamada Consumo Adicional 2, que depende del número de unidades de agua consumidos después de las 5 primeras unidades; estas unidades se pagan a 8 pesos la unidad. Los recibos se pagan cada mes; por tanto el monto que pagó la Sra. Josefina Fuentes el mes de enero del 2004, es el de diciembre 2003 está dado por la expresión siguiente:
p = ConsumoBásico + ConsumoAdicional1 + ConsumoAdicional 2 p = 162 + 30 + 72
p = 264 Centro de Estudios Educativo CEED
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ACTIVIDAD 7 Este consumo puede escribirse mediante la expresión:
p = 162 + (6)( x) + (8)( y ) Siendo: “p” el dinero total que deberá pagar la Sra. Fuentes; “x” las unidades consumidas que son cobradas a 6 pesos; “y” las unidades consumidas que son cobradas a 8 pesos;
Si durante el mes de enero 2004 la Sra. Fuentes pagó por Consumo Adicional 1 la suma de 30 pesos, ¿Qué valor correspondió a “x” ?
Si durante el mes de enero 2004 la Sra. Fuentes pagó por Consumo Adicional 2 la suma de 72 pesos, ¿Qué valor correspondió a “y” ?
¿Cuántas unidades adicionales de agua consumió la Sra. Fuentes de las que se pagan a 6 pesos?
¿Cuántas unidades adicionales de agua consumió la Sra. Fuentes de las que se pagan a 8 pesos?
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ACTIVIDAD 7 Naturalmente, si la Sra. Josefina sólo consume 3 unidades de agua sólo deberá pagar:
p = ConsumoBásico + ConsumoAdicional1
Esto es,
p = 162 + (6)( x)
p = 162 + (6)(3)
p = 162 + 18
p = 180
Cuando consume 19 unidades debe pagar las 5 primeras unidades a 6 pesos y las 14 restantes a 8 pesos. El consumo adicional 2 corresponde al consumo que excede las 5 primeras unidades. Completen la tabla siguiente para determinar cuánto deberá pagar cada mes la Sra. Josefina cuando haya consumido las unidades que se indican.
Consumo Febrero Marzo x 4 5 y 23 48 p
Abril 4 0
Mayo 5 10
Junio 5 22
Julio 5 40
Explique qué cálculos ha realizado para obtener los valores de “p” que completan la tabla.
En cada caso se ha encontrado el valor numérico de la expresión:
p = 162 + (6)( x) + (8)( y ) Valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene cuando las variables se sustituyen por números y se realizan las operaciones indicadas. Calcular el valor numérico en cada una de las siguientes expresiones; cuando b = 1; cuando b = 3 y cuando b = -2. 1)3b + 5 – 2b + 9
3) 6 (b + 1)
5) b + 4 + 5b
2) 6 (b + 2)
4) b + 2
6) 6b - 1
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ACTIVIDAD 8 La factura de la electricidad Analicen la factura de la electricidad que se da a continuación y propongan una expresión algebraica para T. (T representará el importe total de dinero mensual que se deberá pagar por dicha factura).
Justifiquen con una explicación por qué se puede afirmar que el Importe Total es la suma de un Cargo fijo y un cargo llamado Energía.
¿Se podría afirmar que el pago de la electricidad consta de un Cargo fijo de 79.58 pesos más la cantidad de kilovatios (kWh) consumidos a razón de RD$ 5.78 el kilovatio?
¿Si la cantidad de kilovatios se representa por “x”, entonces “5.78x” representa el cargo llamado Energía? Expliquen.
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ACTIVIDAD 8 Escriban una frase del lenguaje cotidiano que traduzca la siguiente expresión algebraica: T = 79.58 + 5.78x
Según la factura dada el consumo fue de 788 kilovatios durante el mes de enero del 2004. Sustituyan 788 en la expresión presentada anteriormente y evalúen la expresión. ¿Qué resultado ha obtenido? ¿Coincide con el Importe Total consignado en la factura?
ACTIVIDAD 9
Propiedad distributiva Observen la figura siguiente que ilustra cómo dos rectángulos de área 32 u2 y 35u2 respectivamente, al unirlos forman un sólo rectángulo de áre a 37 u2. Esto es:
3
3 5
2
5+2 Observen también las figuras siguientes:
a
a b
c b+c
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ACTIVIDAD 9 Estas ilustran como dos rectángulos de área a • b y a • c respectivamente, forman un sólo rectángulo de área a • (b + c). Esto es: a (b + c) = a • b + a • c
También a · b se escribe ab.
a (b + c) = ab + ac El caso anterior ilustra que la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición sigue siendo válida, incluso cuando en el lugar de los números tenemos letras.
Propiedad Distributiva Para cualesquiera números a, b, c se tiene que: a (b + c) = ab + ac Observen que también puede utilizar la Propiedad Distributiva para escribir expresiones equivalentes. Por ejemplo, en cada expresión siguiente se aplica la propiedad distributiva para escribir una expresión equivalente: 3(x +2) 3 (x + 2) = (3)( x) + (3)(2) = 3x + 6
–(2y – 3) 2) –(2y – 3) = –1 (2y – 3) = –1 [2y + (–3)] = (–1)(2y) + (–1)( –3) = –2y + 3
Obtengan la expresión equivalente a la dada, realizando las multiplicaciones indicadas:
34
3(a + 2) =
5(-3t - 2) =
3(x - 5) =
-5(h + 4) =
-8(x + 2y) =
-8(x - 8) =
3(3 – 3a) =
0.75(10x + 4) =
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ACTIVIDAD 10 Iguladades Si dos letras m y n, representan el mismo número, entonces escribiremos m = n; m se llama primer miembro de la igualdad, y n se llama segundo miembro de la igualdad. Si m es 6 + 3 y n es el número 9, entonces escribiremos: m = n ó lo que es el mismo 6 + 3 = 9 Para cada igualdad que se da a continuación, también se da un conjunto de valores de la variable. Sustitúyanlos en cada igualdad para determinar cuáles valores hacen que la igualdad sea una proposición verdadera.
1. 3 + 2x = x + 4
2.
1 3 +x= 2 4
{– 2, – 1, 0, 1, 2}
;
3. 5(x + 2) – 3 = 6x + 6
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;
{
;
1 , 3
1 , 2
1 } 4
{– 2, – 1, 0, 1, 2}
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ACTIVIDAD 11 Identidades Calcule al valor numérico de la siguiente igualdad para a = 2: a2 – 2a + 1 = (a – 1) 2
¿Qué sucede al reemplazar a por 2?
¿Qué sucede al reemplazar a por -1?
¿Qué sucede al reemplazar a por 3?
Al sustituir la letra “a” por los valores 2, -1 y 3, ¿se obtuvo siempre una proposición verdadera?
Al sustituir la letra “a”, en la igualdad dada, por cualquier valor real que se quiera, la proposición que se obtiene siempre es verdadera. Este tipo de igualdad se denomina identidad. En la igualdad a + 3 = 8, sustituya a por 2, - 1, 3 y 5. En cada caso, ¿es verdadera la proposición resultante? Al sustituir a por cualquier valor real en la igualdad a + 3 = 8, ¿es siempre verdadera la proposición resultante? ¿Es la igualdad a + 3 = 8 una identidad?
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ACTIVIDAD 11 Una igualdad entre expresiones algebraicas que es siempre verdadera para cualquier valor de las letras que aparecen en ella se denomina Identidad.
Identifique cuáles de las siguientes igualdades son identidades y cuáles no lo son, justificando cada vez la respuesta dada: 2(t – 1) + 3t = 1 – 4(t – 3) (x – 2)( x + 2) = x2 – 4 4 – y2 = ( 2 – y ) (2 + y) x+4=7 (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1
ACTIVIDAD 12 Identidades Equivalentes Observe la siguiente igualdad: 15 – 2 = 10 + 3 evidentemente es “verdadera” Complete las siguientes tablas poniendo una cruz donde la respuesta sea correcta:
Tabla 1 Afirmaciones 8–2=5+1 8–2+1=5+1+1 8–2+2=5+1+2 8–2+6=5+1+6 8 – 2 - 1.5 = 5 + 1 + 1.5 8 – 2 + 0.4 = 5 + 1 + 0.4 8–2+5=5+1+7 Centro de Estudios Educativo CEED
Verdaderas
Falsas
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ACTIVIDAD 12 Tabla 2 Afirmaciones
Verdaderas
Falsas
4+6=8+2 4+ 6 – 1 = 8 + 2 – 1 4+6–2=8+2+2 4+6–3=8+2–3 4+6–6=8+2–6 4 + 6 – 1.5 = 8 + 2 – 1.5 4 + 6 – 1.5 = 8 + 2 + 1.5 4+6–3=8+2+3 De las observaciones realizadas a las tablas anteriores se puede concluir que:
Si en cada miembro de una identidad se suma o se resta un mismo número, la identidad seguirá siendo verdadera. La identidad así obtenida es equivalente a la identidad dada.
Aplicando la regla construida, escribe cuatro identidades que sean equivalentes a la siguiente identidad: 3 + 5 = 10 - 2
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ACTIVIDAD 13 Ecuaciones Si para la igualdad a + 3 = 8, calculamos su valor numérico se obtiene (complete):
a+3=8 Para a = – 4 Para a = 2 Para a = 7 Para a = – 2 Para a = 5
Verdaderas
–4+3=8 2+3=8 7+3=8 –2+3=8 5+3=8
Falsas Falsa
Puede comprobar que no es verdadera para cualquier valor de la variable “a”. Por tanto no es una identidad. La igualdad “a + 3 = 8” es verdadera únicamente para a = 5; para los demás valores de a es falsa.
A la igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es una identidad, la denominaremos ecuación.
Por tanto “a + 3 = 8” es una ecuación; ya que, la igualdad “a + 3 = 8” es verdadera sólo cuando “a” vale 5. La variable “a” se llama incógnita. a + 3 es el primer miembro de la ecuación 8 es el segundo miembro de la ecuación La ecuación “a + 3 = 8” es verdadera únicamente para a = 5 por esto diremos que 5 es la solución de la ecuación. También se dice que 5 satisface la ecuación dada.
Las soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita que satisfacen dicha ecuación. Dos ecuaciones se dicen ser equivalentes si tienen las mismas soluciones.
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ACTIVIDAD 13 ¿Las ecuaciones
“x – 3 = 2”
y
“x – 3 + 3 = 2 + 3” son equivalentes? ¿Por qué?
Sea la ecuación x – 5 = 9, complete:
x–5=9 Sumar “5” a ambos miembros de la ecuación: Realice las operaciones indicadas: Se obtiene la ecuación “x = 14” cuya solución es evidente.
¿Por qué se afirma que la ecuación “x = 14” tiene la misma solución que “x – 5 = 9”?
Se presenta a continuación la transformación de una ecuación en otra mucho más sencilla y equivalente a la dada. Escriba la justificación de cada paso realizado:
x+3=6 Justificación: x + 3 + (– 3) = 6 + (– 3) x=3 Se obtiene la ecuación “x = 3” cuya solución es evidente. Se presenta a continuación la transformación de una ecuación en otra mucho más sencilla y equivalente a la dada. Escriba la justificación de cada paso realizado:
1 x=4 3
Justificación:
1 3
3 x=3(4) (1)x=3(4) x = 12 Se obtiene la ecuación “x = 12” cuya solución es evidente.
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ACTIVIDAD 13 Se presenta a continuación la transformación de una ecuación en otra mucho más sencilla y equivalente a la dada. Escriba la justificación de cada paso realizado:
5x = 10
Justificación:
1 1 (5x) = (10) 5 5 (1)x=
10 5
x=2 Se obtiene la ecuación “x = 2” cuya solución es evidente.
En cada una de las siguientes ecuaciones, una simple operación en ambos miembros determinará una ecuación equivalente para la que la solución sea evidente. Determine la solución en cada una. 2.3b = 12
1.x – 3 = 18
3.
2 4 a= 5 5
4.x + 5 = 6
ACTIVIDAD 14 Resolución de ecuaciones
Se ha afirmado que dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Las siguientes operaciones realizadas en los miembros de una ecuación siempre dan el resultado de una nueva ecuación equivalente a la ecuación original: Sumar el mismo número real (puede estar representado por la variable) a ambos miembros de la ecuación. Multiplicar el mismo número real a ambas miembros de la ecuación (excepto el número cero, o una fracción de denominador cero y términos que contengan la variable).
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ACTIVIDAD 14 La estrategia para resolver una ecuación dada, es trabajar, operando en ambos miembros de la ecuación, para ir obteniendo ecuaciones equivalentes a la dada que sean cada una más simple que la anterior. No hay un patrón establecido para esto, el objetivo es obtener la ecuación equivalente de solución evidente. ¿Como resolver la ecuación 3(a + 4) = 2a – 5? Se realizan las operaciones indicadas en el primer miembro: 3a + 12 = 2a –5 Se suma (– 2a) en ambos miembros: 3a + 12 + (– 2a) = 2a –5 + (– 2a) Se simplifican las expresiones reduciendo los términos semejantes: 3a + 12 + (– 2a) = 2a –5 + (– 2a)
1a + 12 = –5 Se suma (– 12) en ambos miembros: 1a + 12 + (– 12) = –5 + (– 12) 0
–17
Se obtiene: 1a = –17 Por tanto, la posible solución es: a = –17 ¿Cómo se sabrá que efectivamente a = –17 es la solución? Hágalo.
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ACTIVIDAD 14 ¿Cómo resolver la ecuación 8x + 3 = 2x + 4? Se suma a ambos miembros (–2x): 8x + 3 + (–2x) = 2x + 4 + (–2x) Se reducen términos semejantes y se obtiene: 6x + 3 = + 4 Se suma a ambos miembros (–3): 6x + 3 + (–3) = 4 + (–3) 6x = 1 Se multiplica ambos miembros por (
1) 6
1 1 (6x) = (1) 6 6 X=1 Por tanto, la posible solución de la ecuación es: x = 1 ¿Cómo se sabrá que efectivamente x = 1 es la solución? Hágalo.
¿Cómo resolver la ecuación 3x – 1 = 2x – 6? Se suma en ambos miembros (– 2x): 3x – 1 + (– 2x) = 2x – 6 + (– 2x) Se reducen los términos semejantes, y se obtiene: 1x – 1 = – 6
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ACTIVIDAD 14 Se suma a ambos miembros (+1): x – 1 + (+1) = – 6 + (+1) x= –5 La posible solución de la ecuación es
x = – 5.
¿Cómo se determina que efectivamente x = – 5 es la solución?
Para comprobar la posible solución buscada; se sustituye la posible solución por la variable en la ecuación dada y ésta debe convertir la expresión obtenida en verdadera.
Escriban un procedimiento para resolver ecuaciones
Resuelvan las siguientes ecuaciones:
3x + 8 = 12 + x
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4b – 13 = 3b – 11
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ACTIVIDAD 14 4 + (2 – x) = 2 + 2x
4x – 11 = 2x – 7
4 + 2y + 1 = 3 + 5
16 (x – 2) = 8
5 x – 30 = 10
ACTIVIDAD 15 Resolución de ecuaciones En el Proyecto Gauss, en Materiales Didácticos de ESO, ingrese a Ecuaciones y Sistemas, busque en Ecuaciones de primer grado la actividad Balanza (Naturales). Experimente en ella lo aprendido sobre ecuaciones. http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/algebra/ecua ciones/balanza_naturales/actividad.html
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ACTIVIDAD 16 Resolución de problemas
Lean el problema siguiente: María Luisa pagó $2,430 de cuota mensual de un préstamo personal. Con esta cuota ha pagado hasta la fecha $12,344.50 ¿Cuánto había pagado antes de la última cuota? Analicen el proceso siguiente: Primera etapa: Comprender el problema ¿Qué pide el problema? Determinar cuánto dinero ha pagado María Luisa antes de su última cuota. ¿Con cuáles datos se cuenta para trabajar? Se conoce cuánto ha pagado en total y cuánto pagó en su última cuota. ¿Se tienen todos los datos que se requieren? Si.
Segunda etapa: Trazar un plan La estrategia será plantear una ecuación que represente la situación de María Luisa y resolverla. Tercera etapa: Poner en práctica el plan Se denomina “x” a la cantidad de dinero que había pagado María Luisa. Cantidad pagada anteriormente más última cuota
x x
46
+ + 2,430
da
12,344.50
2,430
=
12,344.50
- 2,430
=
12,344.50 - 2,430
x
=
9, 914.50
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ACTIVIDAD 16 Cuarta etapa: Comprobar los resultados Compruébelo! Resolver el problema siguiente usando las etapas de Polya: El perímetro de un solar rectangular, en el que la base es 2 veces la altura, es 900 mts. Calcular las dimensiones del solar.
ACTIVIDAD 17 TAREA Para el segundo día de taller: Traiga al aula los Bloques de Dienes de su escuela. Los necesitará para el próximo taller. Un cartón de los que se empacan los cartones del jugo o leche del desayuno escolar.
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