ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Mgtr. Edgar Uriarte Bernal
Presentación
La asignatura de Análisis Matemático I es una asignatura del primer ciclo de las Escuelas de Ingeniería y es parte de la formación básica. Con la asignatura de Análisis Matemático I pretendo que el alumno profundice en aquellos conocimientos matemáticos básicos, que establecerán las bases imprescindibles para que el estudiante pueda abordar posteriormente con éxito el estudio de las distintas ramas que conforman los estudios de la Ingeniería.
Las Matemáticas constituyen una herramienta fundamental en la formación de un ingeniero ya que le permiten, por una parte, comprender los desarrollos teóricos de las materias de su especialidad y, por otra, resolver problemas que se le presenten en el desempeño de su profesión. Asimismo, las Matemáticas poseen un carácter formativo ya que contribuyen a desarrollar el hábito de plantear los problemas con rigor y a adquirir un auténtico método científico de trabajo. El objetivo principal de la signatura, es que los alumnos adquieran una base sólida en Matemáticas, así como destreza en sus operaciones y procedimientos y es prioridad que el estudiante aprenda a resolver problemas de forma rigurosa, seleccionando técnicas y estrategias potenciando de este modo el razonamiento crítico que caracteriza a esta disciplina.
INDICE LÍMITES Y CONTINUIDAD……………………………………………………........5 Noción Intuitiva de límite………………………………………………………….....6 Definición formal de límite…………………………………………………………...7 Teorema (Unicidad del límite)………………………………………………………..7 Propiedades de los límites……………………………………………………….........8 Formas Indeterminadas……………………………………………………………….9 Límites en el Infinito………………………………………………………………….11 Límites Laterales……………………………………………………………………...13 Límites por Racionalización………………………………………………………......14 Límites de Funciones Trigonométricas……………………………………………….15 Ejercicios para resolver……………………………………………………………….17 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN ……………………………………………….18 Continuidad en un punto………………………………………………………………18 Continuidad de las funciones usuales…………………………………………………19 DISCONTINUIDAD…………………………………………………………………...19 Tipos de Discontinuidad………………………………………………………………19 Ejercicios para resolver………………………………………………………….........20 ASINTOTAS…………………………………………………………………………..21 Definición………………………………………………………………………..........21 Asíntotas Verticales…………………………………………………………………...21 Asíntotas Horizontales………………………………………………………………...21 Asíntotas Oblicuas…………………………………………………………………….22 Ejercicios para Resolver………………………………………………………………22 DERIVADAS: Razón de cambio y Técnicas de derivación…………………………...23 Tasa de Variación……………………………………………………………………..23 Tasa de Variación Media……………………………………………………………...23 Tasa de Variación Instantánea…………………………………………………...……24 Definición de la derivada………….…………………………………………………..25 Interpretación Geométrica la derivada……………………………………………......25 Ecuación de la Recta Tangente y Recta Normal……………………………………...26 Derivada de una Función……………………………………………………………...26 Derivadas Laterales…………………………………………………………………...26
Técnicas de la derivación……………………………………………………………..29 Derivada de funciones trascendentes………………………………………………….30 Derivadas de funciones trigonométricas………………………………………………30 Derivada de función exponencial……………………………………………………..30 Derivada de función Logarítmica……………………………………………………..30 Fórmulas de Derivación……………………………………………………………….32 DERIVADAS: Regla De la cadena y Derivadas de Orden Superior…………………..32 Derivada de función compuesta (Regla de la Cadena)…………………..……………32 Derivadas de Orden Superior…………………………………………………………35 APLICACIONES DE LA DERIVADA………………………………………………..36 Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada…………………...37 Valor Máximo y Valor Mínimo de una función………………………………………38 Punto Crítico…………………………………………………………………………..40 Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función………………………………………………………………………………41 Criterio de la segunda derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función………………………………………………………………………………..43 Problemas para resolver……………………………………………………………….45 Bibliografía……………………………………………………………………………46
LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Uno de los conceptos básicos y fundamentales en el cálculo es el concepto de límite. Este concepto es importante para precisar otros temas, tales como continuidad, derivación, etc. En el siguiente ejemplo se intenta mostrar la idea de límite de una función real de variable real.
Sean f y g dos funciones reales definidas mediante la regla de correspondencia respectivamente:
fx x 6 ; x 3
y
2 x , x 3 gx 14 ; x 3
Observe que f3 no existe, mientras que g3 14 sin embargo el comportamiento de estas funciones en un vecindad de 3 excluyendo el punto 3 es exactamente el mismo y puede ser descrito del siguiente modo. “Para valores de x próximos al punto x 3 con x 3 los valores fx y gx se aproximan al número L 9 ” Al calcular el límite de una función f cuando x tiende al número a no interesa si la función f está definida en x a porque lo que se quiere es averiguar el valor al cual se aproxima fx cuando la variable independiente x tiende al número a .
Notación Intuitiva de Límite
Considérese la función definida por: y fx
2x 2 x 1 ; x 1 x 1
En las tablas siguientes se hace un seguimiento de fx , cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) o por la derecha (valores mayores que 1)
X
fx
x
fx
0
1
2
5
0.3
1.6
1.7
4.4
0.5
2
1.5
4
0.75
2.5
1.25
3.5
0.9
2.8
1.1
3.2
0.95
2.9
1.05
3.1
0.99
2.98
1.01
3.02
0.995
2.99
1.005
3.01
0.999
2.998
1.001
3.002
0.9995
2.999
1.0005
3.001
0.9999
2.9998
1.0001
3.0002
Definición Formal de Límite. Sea f una función definida para todo x real de un intervalo abierto que contiene al número a , excepto posiblemente en a . El límite de la función f es aquel número real L
al que se aproxima fx cuando la variable independiente x tiende al número a .
Simbólicamente:
li m fx L
xa
Cuando: Dado 0 , existe 0 talque: x a , entonces fx L
Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen fx también está muy próxima a L.
Teorema (Unicidad del límite).-
El límite de una función cuando existe es único, es decir, si: li m fx L1
x a
y
li m fx L2
x a
L1 L2
Propiedades de los límites
1. Límite de la variable: es igual al valor al que tiende la variable. li m x a
xa
2. Límite de una constante: Es igual a la constante. li m C C
xa
3. Límite de la suma ó diferencia de funciones: es igual a la suma o diferencia de los límites de las funciones. li m fx gx li m fx li m gx
xa
x a
x a
4. Límite del producto de funciones: es igual al producto de los límites de las funciones. li m fx . gx li m fx . li m gx
x a
x a
x a
5. Límite del cociente de funciones: Es igual al cociente de los límites de las funciones. fx xlima fx li m x a gx li m gx xa
si gx 0
6. Límite de la potencia de una función: es igual a la potencia del límite de la función.
li m fx n li m fx x a xa
n
Ejemplos: Li m x 1 x 0
Li m 3x x 2 x 1
Li m x Li m 1
0 1
1
Li m 3x Li m x 2
3. 1 1
4
x 0
x 0
x 1
x 1
Li m senx cos x Li msenx Li mcos x 0 1 x 0
Li m x 2 x x4 Li m x 2 3x x 1
x 0
Li m x 2 Li m 3x
1 3
2
Li m x 2 . Li m x
16 . 2
32
x 1
x 1
x4
x4
Li mx 2 1
x2 1 Li m x 1 3x
Li m 3x 1
Li m 3 x2 x2
Li m x 35x
Li m x 3 x2 x2
x2
x2
1
x 0
x 1
Li m3x x 1
Lim x 1
Lim 5x
11 3
33
2 3
27
2 310 510
Formas Indeterminadadas Las formas indeterminadas son expresiones que no permiten indicar de manera inmediata cuál es el valor del límite. Las cuales son las siguientes:
Si en el cálculo de limites aparecen alguna(s) de estas formas, se debe calcular el límite usando otros procesos o artificios algebraicos con el propósito de evitar la indeterminación.
Ejemplos:
1. Calcular: li m x 3
2x x3
Solución Al cambiar el x por 3 se obtiene:
6 0
Para ver si este límite existe, hay que estudiar los límites laterales.
li m
x 3
2x x3
El signo de la fracción es + pues es x 3 (x se acerca hacia el 3 por su derecha)
li m
x 3
2x El signo de la fracción es – pues es x 3 (x se acerca hacia el 3 x3
por su izquierda)
Por lo tanto, este límite no existe al ser distintos los limites laterales.
2. Calcular: li m x 2
x 2 5x 6 x2 4
Solución Factorizando el numerador y el denominador x 2 5x 6 0 x 2x 3 x3 1 li m li m 2 x 2 0 x2 x 2x 2 x2 x 2 4 x 4 li m
3. Calcular: li m x1
x 1 x 1
Solución Al reemplazar el x por 1 nos da
0 la cual es indeterminada, entonces se tendrá 0
que resolver por su conjugado del numerador. Es decir:
li m x1
x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 li m li m li m x1 x 1 x 1 x1 x 1 x 1 x1 x 1 x 1 2
4. Calcular: li m x 0
1 1 x x
Solución: Al reemplazar el x por 0 nos da
0 , la cual es indeterminada, entonces se tendrá 0
que resolver por su conjugado del numerador. Es decir:
li m
x0
1 1 x 1 1 x 1 1 x x 1 1 li m li m li m x0 x0 x 1 1 x x0 1 1 x x 2 x 1 1 x
Limites en el infinito. Si fx se aproxima a un número finito L cuando x aumenta sin límite (o cuando x disminuye sin límite), se dice que el límite de fx está en el infinito, y se escribe. li m fx L
x
li m fx L
o
x
Geométricamente, la gráfica de f se aproxima a la recta horizontal y L a medida que x ó x , y y L se denomina asíntota horizontal de la grafica de f.
Es posible que fx aumente o disminuya sin límite cuando x también lo haga. Si esto sucede, con frecuencia es útil escribir. li m fx
o
li m fx
o
x
x
li m fx
x
li m fx
x
Gráficamente se muestra de la siguiente forma:
Fig. Límites en el infinito Una manera de hallar el límite de una función racional en el infinito es comparar los grados del numerador y el denominador y dividir el numerador y el denominador por x elevada al mayor de estos grados. Es decir:
li m
x
1 0 xn
Ejemplos:
a) Hallar: li m
x
2x 2 3x 1 3x 2 5x 2
Solución Se divide al numerador y denominador por x 2 para obtener:
3 1 2 2 2x 2 3x 1 200 2 x x li m li m 5 2 x 3x 2 5x 2 x 300 3 3 2 x x
b) Hallar: li m
x
x
2
x5 x
Solución Se resolverá aplicando conjugada
li m
x
x
2
x 5 x li m
x
li m
x
x
2
xx
x5 x .
x5 x li m 2 x x 5 x x x
2
x5 x
2
x5 x
li m
x
x2 x 5 x2 x2 x 5 x
5 1 0 1 x 1 5 1 0 0 1 2 1 2 1 x x 1
Limites laterales a) Limite Lateral por la derecha. Se dice que el número L es el límite de la función fx cuando x tiende a “a” por su derecha, li m fx L si la distancia fx L se hace tan pequeña como se x a
quiera al acercarnos tanto como queramos a “a”, manteniéndose siempre por la derecha de “a”. Sea la función fx de la figura:
Se verifica: cuando nos vamos acercando tanto como queramos a 0, por su derecha, la función se va acercando, más y más, hacia a 1, por tanto: li m fx 1
x0
b) Límite lateral por la izquierda: Se dice que el número L es el límite de la función fx cuando x tiende a “a” por su izquierda, li m fx L si la distancia fx L se hace tan pequeña como se quiera al x a
acercarnos tanto como queramos a “a”, manteniéndose siempre por la izquierda de “a”. Sea la función fx de la figura:
Se verifica: cuando nos vamos acercando tanto como queramos a 0, por su izquierda, la función se va acercando, más y más, hacia 0, por tanto: li m fx 0
x0
Limites por racionalización Ejemplo 01. Calcular li m 3 x1
x 1 x 1
Solución Aplicando el la sustitución, tenemos:
3
1 1 0 (indeterminado) 1 1 0
Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar un de los siguientes métodos. Primer Método Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y racionalizando el denominador para diferencia de cubos. x 1 x 1 li m 3 x1 x 1 x 1
Segundo Método
3 x 2 3 x 1 li m x 13 x 2 3 x 1 3 12 3 1 1 3 2 1 1 3 x 2 3 x 1 x1 x 1 x 1
Cambio de Variable: x u 6 . Entonces: Si : x 1 u 1 Reemplazando tenemos: li m
u1 3
u6 1 u6 1
li m u1
u3 1 u2 1
li m u1
u 1u 2 u 1 3 u 1u 1 2
Limites trigonométricos Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades:
Recordemos algunas equivalencias de funciones trigonométricas:
Para calcular límites trigonométricos usaremos con frecuencia las siguientes identidades trigonométricas al límite notable:
Ejemplos: 1. Calcular: li m x 0
tan x x
Solución li m
x0
tan x senx senx 1 senx 1 1 li m li m li m li m 1 1 x0 x . cos x x0 x cos x x x0 x x0 cos x 1
2. Calcular: li m x 0
x2 1 cos 3x
Solución 2
3x sen x2 x2 1 x 1 2 li m li m li m li m x 0 1 cos 3x x 0 2 x 0 2 3 3x 2 x0 3x 2sen 2 sen x 32 2 2 3x sen 2 13 2 li m 3 x 2 2 x 0 2
3. Calcular: l, i m
2
2
2 1 4 1 2 9 2 9
1 cos x x2
x 0
Solución Aplicando la sustitución, tenemos:
1 cos 0 0
2
0 (indeterminado) 0
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: 2
sen x 1 cos 2 x
sen 2 x 1 cos x 1 cos x li m li m li m x 0 1 cos x x 0 x 2 1 cos x x 0 x 2 1 cos x x2 sen 2 x li m 2 x 0 x
1 li m x 0 1 cos x
senx 1 1 li m x 0 x 2 2 2
4. Calcular: li m x a
senx sena xa
Solución Aplicando
el
teorema
de
sustitución,
tenemos:
sena sena 0 aa 0
(indeterminación) Cambiando variable u x a . Entonces si x a , u 0 y además: x u a Reemplazando y simplificando tenemos:
li m
u0
sen u a sena li m u0 u li m u0
li m u0
li m
sen u a senu cos a cos u sena sena
u
senu cos a cos u sena sena u senu cos a cos u 1 sena senu cos a
li m
cos u 1sena
u cos u 1 senu cos a li m sena li m u0 u0 u u u0
u
u u0
1
0
cos a 1 sen a 0 cos a
Ejercicios Propuestos
1. Calcular los siguientes límites: a) li m
x
x 3
b) li m
5
x 8
c) li m x 1
d) li m
m n
3
x2 1 6 3x
e) li m
3x 43 x 3 x x 2 7x 8
f) li m
x 2 23 x x3 3 x 3x x 12
g) li m
3
4 1 5x
x 3 3
x8 23 x 2
x 8
x 6
x2 1 2
3
x 2 3 5x 3 1 3x 3
mx 3nx m n nm x2 3 x3 2 3 3
2. Dibujar la gráfica de alguna función f que satisfaga las siguientes condiciones: f 2 0 ; f0 1 ; f2 0 ; f5 1 ; f6 0 ; f8 0 ;
li m fx 0 ;
x
li m fx 2 ; li m fx 0 ;
li m fx 3 ;
x2
x2
x 5
x 5
x 7
x
li m fx 1 ; li m fx ;
li m fx ;
x 3
li m fx
3. Hallar los siguientes límites: a) li m
2n 2 3n 5 3n 2 6n 7
b) li m
7n n 5n 6 n 3 11n n 4 n 10
n
n
c) li m 2n 4n 2 3n 2 n
d) li m
n
1 2 3 ... n 3n 2 1
4. Dibuje la gráfica de alguna función f que satisfaga las siguientes condiciones: Df : 1 , 3 ;
li m fx 1 ; li m fx 0 ; li m fx 1 ;
x 1
x 0
x2
x 3
x 1
li m fx 2 ; li m fx 1 ; li m fx 1 ; f 1 1
x 1
f0 0 ; f3 f1 1 ; f2 2
5. Calcular: li m
x2
x3 x 1 8 4x 3 x6
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Continuidad de una función en un punto Definición: Sea fx una función, decimos que fx es continua en x a cuando: li m fx fa
x a
La continuidad de fx en x a implica que se cumplan las siguientes condiciones: 1. La función está definida en x a , es decir debe existir fa 2. Exista el límite de f en x a , es decir que los límites laterales sean iguales. 3. los dos valores anteriores sena iguales. Una función es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos. Una función es discontinua en un punto cuando en dicho punto no es continua.
La función de la izquierda no presenta ningún salto y decimos que es continua en cualquier punto del intervalo. La función de la derecha presenta un salto en el punto x 2 , decimos que no es continua es ese punto.
1. Continuidad de las funciones usuales: Las funciones polinómicas son siempre continuas Las funciones racionales son continuas para todo punto de su dominio. Esto es, en todos los puntos que no hagan cero el denominador. La función exponencial es siempre continua. La función y log x es continua para x 0 . Las funciones trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio. Las funciones definidas por trozos son continuas si cada trozo lo es, y si lo son en los puntos de unión. En general, una función será discontinua en todos los puntos que no pertenezcan a su dominio.
2. Tipos de discontinuidad Existen dos tipos de discontinuidad las cuales están caracterizados por: La función f tiene una discontinuidad evitable o removible en x0 , si: li m fx existe
x x0
y
li m fx fx0
x x0
La función f tiene una discontinuidad esencial o inevitable en x0 , si: li m fx
x x0
no existe
En este caso, si li m fx y x x0
li m fx es decir los limites laterales existen
x x0
pero son diferentes, se dice que la discontinuidad es de salto.
x 3 ; si x 1 Ejemplo: dada la función: fx mx n ; si 1 x 3 2 x 10x 11 ; si x 3
Halle los valores de “m” y “n” para que la función fx sea continua. Solución Como la función es continua lo haremos por separado, en los res casos son polinomios y además la función está definida en todo Para que fx sea continua es necesario que los límites laterales coincidan en los puntos de unión.
En x 1 li m fx li m x 3 4
x1
x1
;
li m fx li m mx n m n
x1
x1
Para que sea continua debe cumplirse que: 4 m n
En x 3 li m fx li m mx n 3m n
x3
x3
;
x3
x3
Para que sea continua debe cumplirse que: 10 3m n mn 4
Resolviendo el sistema: 3m n 10
m 3 ; n 1
Ejercicios para Resolver: 1. Determine si las siguientes funciones son continuas: a) fx
x 4 81 x2 9
x3 1 ; x 1 b) fx x 1 8 ; x 1 1 x ; x 2 c) fx 2 x ; 2 x 2 2x 1 ; x 2
x 3 x 2 2x 2 ; x 1 d) fx x 1 4 ; x 1
li m fx li m x 2 10x 11 10
2. Determine los valores de A y B de modo que la función f sea continua en todo su dominio. Ax 2 Bx 1 a) fx 2Ax B x 1 x 2A b) fx 3Ax B 6x 2B
c)
; x 1 ; 1 x 2 ; x2
; x 2 ; 2 x 1 ; x 1
Ax 2 2 ; x 1 fx 1 Bx 2 ; 1 x 3 2 Ax ; x 3
3. El costo c, en soles, por enviar un paquete es de 50 soles si pesa hasta 5 kilogramos, de 80 soles si su peso es mayor de 5 y hasta 10 kilogramos, y de x 70 soles si pesa más de 10 y hasta 50 kilogramos. Expresar la función del costo, analizar en qué puntos tiene discontinuidades y trazar su gráfica.
ASINTOTAS Definición: Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a infinito, dicha recta se llama ASINTOTA de la función. No todas las funciones tienen asíntotas. Las asíntotas de una función pueden ser: 1. Asíntotas Verticales: La recta x c es una asíntota vertical de una función fx si se cumple alguna de las siguientes condiciones: li m fx
ó
li m fx
ó
x c x c
Su gráfica es:
li m fx
x c
li m fx
x c
2. Asíntotas Horizontales: La recta y L es una asíntota horizontal de una función fx si se cumple alguna de las siguientes condiciones: li m fx L
x
ó
li m fx L
x
Su gráfica es:
3. Asíntotas Oblicuas: La recta y mx b es una asíntota oblicua de una función fx si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Por la izquierda
Por la derecha
fx x x b li m fx mx
fx x x b li m fx mx
m li m
x
m li m
x
Su gráfica es:
Ejercicios para Resolver. 1. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: a) Puede existir a la vez una asíntota horizontal y una oblicua cuando x tiende a
………………………………………………………………………. ( )
b) La gráfica de una función y las correspondientes asíntotas verticales nunca se interceptan ……………………………………………………………… ( ) c) Toda función racional tiene por lo menos una asíntota vertical ………… (
)
2. La función fx
x 1 no está definido en x 1 ni en x 1 , sin embargo tienen x2 1
una sola asíntota vertical. Justificar esta información. 3. Hallar las asíntotas de la curva y bosquejar la gráfica. a) fx
x3 3 x2
b) fx
x 2 2x x 1
c) fx
x 1 4 x2
d) fx
x3 x2 1
e) fx
x x2 1
Capitulo 2 Derivadas: Razón de cambio y Técnicas de derivación Tasa de Variación Consideremos una función y fx y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas “a” y “a+h”, siendo “h” un número real que corresponde al incremento de x ( Δx )
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo a, a h que representa por Δy , a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. Δy fa h fa
Tasa de Variación Media Se llama tasa de variación media (T.V.M), en el intervalo a, a h , y se representa por
Δy h
ó
Δy Δx
, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud
del intervalo considerando sobre el eje de abscisas , h ó Δx , esto es: T.V.Ma,a h
fa h fa h
La tasa de variación media se refiere siempre a un intervalo; también puede llamarse tasa de crecimiento o velocidad media del cambio.
Tasa de Variación Instantánea Llamamos tasa de variación instantánea de la función fx en el punto a , al límite de la tasa de variación media cuando b tiende a a . Es decir:
n TVIx li m b a
Δ fx fb fa li m b a Δ x ba
La tasa de variación instantánea se refiere siempre a un punto; puede llamarse también: velocidad instantánea o de cambio, razón de cambio, o simplemente tasa.
Ejemplo 1: Se registraron las temperaturas el 13 de Julio en la ciudad de Lima en el año 2011 las cuales arrojaron las siguientes temperaturas:
Hora
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
temperatura(Cº) 16 14 13 12 10 22 25 16 23 18 16 14
Encontrar la tasa de variación media de la temperatura entre las 2 y las 12 horas es:
TVM2,12
10 16 6 0.6 º C / h 12 2 10
Es decir significa que la temperatura entre las 2 y las 10 horas ha disminuido a razón de -0.6 de grado por hora.
Definición de Derivada. Derivada de una función en un punto. La derivada de la función fx en el punto x a es el valor del límite, si existe, de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable h ó Δx tiende a cero. F'a li m
Δy h
h0
li m h0
fa h fa h
Interpretación Geométrica Cuando h tiene a cero, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función fx en P, y por tanto el ángulo tiende a ser . tg li m h 0
Δy h
f'a
Ejemplo: Calcular la derivada de la función fx x 2 4x 5 en x 1 Solución
1 h 4x h 5 x 2 4 . 1 5 f1 h f1 li m h 0 h 0 h h 2 2 1 2h h 4 4h 5 h 6h li m li m li m h 6 6 h 0 h 0 h 0 h h 2
f' `1 li m
Ecuación de la Recta Tangente y Recta Normal
La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto a, fa es: y fa f'ax a
La ecuación de la recta normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto a, fa , su ecuación es: y fa
1 x a f' a
Derivada de una función Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada de f en “ x0 ” , denotada como f' x0 , se define como: f' x0 li m h 0
fx0 h fx0 h
Siempre que el límite exista Cuando la derivada en x0 existe se dice que es f diferenciable en x0 . Otras notaciones que se emplean para la derivada son: y' ó Dx y . Leibniz utilizó la notación:
dy dx
En cualquier caso, la derivada en “x” sería: f' x li m h0
fx h fx h
Derivadas laterales La derivada por la izquierda de la función fx en x a se define como:
f' a li m
h 0
fa h fa h
Es decir, h tiende a cero por la izquierda Análogamente, la derivada por la derecha de la función fx en x a , se define como:
f' a li m
h 0
fa h fa f
Propiedad: Una función es derivable en un punto si sus derivadas laterales existen y son iguales.
Ejemplos: 1. Dada la función y fx 8x 4 Hallar: a) La tasa de variación media en el intervalo x ; x h b) La tasa de variación instantánea en el punto x. Solución
a) TVMx ; x h
fx h fx 8x h 4 8x 4 8h 8 h h h
b) TVIx li m
fx h fx 8x h 4 8x 4 8h li m li m 8 h 0 h 0 h h h
h 0
2. Hallar la derivada por definición, de la función: fx x2 3x Solución: Utilizando la definición de derivada, el procedimiento a seguir para cualquier función se realiza los pasos siguientes: a) Colocamos la función fx según el dato.
b) Se sustituye en la función, “x” por “x+h” y se calcula el valor de la función fx h .
c) Se resta el valor de la nueva función fx h con la función fx , es decir: fx h fx
d) Se divide, a este nuevo valor entre “h”. e) Se determina el límite de este cociente: El valor que se obtiene es la derivada buscada. Aplicamos los pasos anteriores. a) fx x2 3x b) fx h x h2 3x h x2 2hx h2 3x 3h c) fx h fx x2 2hx h2 3x 3h x2 3x 2hx h2 3h d)
fx h fx 2hx h2 3h 2x h 3 h h
e) li m h 0
fx h fx li m 2x h 3 2x 3 h 0 h
Por lo tanto: f' x 2x 3
3. Hallar f'x ; si fx
1 x2
Solución a) fx
1 x2
b) fx h
1 x h 2
c) fx h fx
d)
1 1 x 2 x h 2 x 2 x h 2 h x h 2 x 2 x h 2x 2 x h 2x 2 x h 2x 2
fx h fx h
h 1 x h 2x 2 h x h 2x 2 1
e) li m h 0
fx h fx 1 1 li m h 0 x h 2x 2 x 22 h
4. Encuentre la derivada de fx x 3 Solución a) fx h x h3 x3 3x2h 3xh2 h3 b) fx h fx x3 3x2h 3xh2 h3 x3 h3x2 3xh h2
c)
fx h fx h 3x 2 3xh h2 3x 2 3xh h2 h h
d) li m h 0
fx h fx li m 3x 2 3xh h2 3x 2 h 0 h
Por lo tanto: la derivada de fx x3 es f'x 3x 2
Técnicas de la Derivación: El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso o complicado este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 1. Derivada de una Potencia Si fx xn con n N , entonces f'x n . xn 1 para todo x R 2. Derivada de una suma de funciones Si las funciones f y g son derivables en un punto a , la función f g también será derivable en el punto a , y se cumple que:
f g'a f'a g'a 3. Derivada del producto de una constante por una función Si f es una función derivable en a , la función g c . f , donde c es una constante, también es derivable en el punto a y se verifica que:
g'a c . f'a
4. Derivada de una función polinómica De los resultados anteriores se deduce inmediatamente que la derivada de una función polinómica fx an xn an 1xn 1 ... a1x a0 es otra función polinómica del tipo f'x nan xn 1 n 1an 1xn 2 ... a1 5. Derivada de un producto de funciones Si f y g son funciones derivables en un punto a , la función " f . g" también es derivables en el punto a y se cumple que:
f . g'a f'a . ga fa . g'a 6. derivada de un cociente Si f y g son funciones derivables en un punto a y ga 0 , entonces la función k
f también es derivable en a y se verifica que: g
k' a
f' a . ga fa . g' a
ga2
Reglas de Derivación Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
7. Derivadas de Funciones Trascendentes a) Derivada de la función fx senx La derivada de la función fx senx es la función f'x cos x b) Derivada de la función fx cos x La derivada de la función fx cos x es la función f'x senx c) derivada de la función fx tan x La derivada de la función fx tan x es la función f'x sec 2 x d) Derivada de la función fx cot x La derivada de la función fx cot x es la función f'x coc 2 x e) Derivada de la función fx sec x La derivada de la función fx sec x es la función f'x sec x . tan x f) Derivada de la función fx csc x La derivada de la función fx csc x es la función f'x csc x . cot x g) Derivada de función Logarítmica fx ln x La derivada de la función fx ln x es la función f' x
1 x
h) Derivada de la función fx loga x La derivada de la función fx loga x es la función f' x
1 x ln a
i) Derivada de la función fx a x La derivada de la función fx a x es la función f'x a x . ln a
j) Derivada de la función fx e x La derivada de la función fx e x es la función f'x e x
Fórmulas de derivación: Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las siguientes fórmulas:
DERIVADAS: Regla De la cadena y Derivadas de Orden Superior
Derivada de función compuesta. Regla de la cadena Para derivar funciones compuestas se utiliza el siguiente teorema, conocido con el nombre de regla de la cadena. Consideremos la función, que es la composición de las funciones g y h , de modo que fx h gx . Si la función g es derivable en el punto a y la función h es derivable en
el punto ga , entonces la función f es derivable en el punto a y se verifica que f'a h' ga. g'a .
O simplemente que es lo mismo:
Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían de la siguiente forma:
Ejemplo 01: Calcula la derivada de la función fx x 2 3x
2
Solución Tendremos: fx x 2 3x ux2 siendo ux x 2 3x 2
Aplicando la regla de la cadena:
f'x 2 . ux2 1 . u'x 2 . x 2 3x . 2x 3
Ejemplo 02: Calcular la derivada de la función fx ln4x 2 Solución Tendremos: fx ln4x 2 lnux , siendo ux 4x 2 Aplicando la regla de la cadena:
f' x
1 1 .u' x . 4 ux 4x 2
Ejemplo 03: Calcular la derivada de fx sen x 3 3 Solución Tendremos: fx sen x 2 3 senux , siendo: ux x 2 3
f'x cos ux . u'x 2x . cos x 2 3
Ejercicios desarrollados 1. Hallar la derivada de la función: fx x 2x 3 Solución Aplicamos la propiedad: u.v' u'. v u . v' df 1x 2 x 31 x 2 x 3 2x 1 dx
2. Hallar La derivada de la función: fx x 2 3
7
Solución Aplicamos la propiedad: un ' nun 1. u'
6 df 7 x 2 3 2x dx
3. Hallar la derivada de: fx
2x 2 5x 35 3x 5 3x 9
3
Solución '
f f'. g g'.f Aplicamos las propiedades: g2 g
;
un ' n . un 1 .u'
4 4x 5.3x5 3x9 3 33x5 3x9 4 15x 4 27x8 4 . 2x 2 5x 35 3x5 3x9 6
2 df 5 2x 5x 3 dx
4. Hallar la derivada de la función: fx 8 x5 3x 4 24 Solución Para derivar la función debemos expresarlo como exponente fraccionario, es decir:
fx x 5 3x 4 24
8 1
7 df 1 5 . x 3x 4 24 8 . 5x 4 12x 3 dx 8
5. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y recta norma a la curva y fx x 3 2x 2 4 en el punto 2,4
Solución a) Primero calculamos la pendiente, derivando la función: y' 3x 2 4x
Como x 2 (también llamado abscisa) Entonces: m f'2 322 42 4
b) La ecuación de la recta tangente y normal es: Lt : y 4 4x 2 4x y 4 0 1 Ln : y 4 x 2 x 4y 18 0 2
6. Hallar la derivada de la función: Y 3x 2 5 . 53x Solución
6 6 df 6x . 53x 53x . 18x 5 . 3x 2 5 dx
6
Derivadas de orden superior La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir: Sea y fx una función “ n ” veces derivable, entonces: La primera derivada es: y ' f'x
dy fx h fx Dx y li m h 0 dx h
La segunda derivada es: y '' f''x
d2 y dx
Dx2 y li m
2
h 0
f'x h f'x h
La tercera derivada es: y ''' f'''x
d3 y dx
3
Dx2 y li m h 0
f'' x h f''x h
La n – ésima derivada es: y n f n x
dn y
dx n
Dxn y li m h0
f n 1x h f n 1x h
Ejemplos: 1. Hallar la segunda derivada de la siguiente función: y
1 1 2x
Solución La función podemos expresarla de esta forma para poder derivarla y 1 2x1 Ahora obteniendo su derivada y ' 1 2x 2 2 21 2x 2 y '' 2 21 2x 3 2 81 2x 3
2. Hallar la tercera derivada de la siguiente función: y x ex
Solución y ' 1 e x e x x e x x 1 y '' e x x 1 1 e x e x x 2 y ''' e x x 2 1 e x e x x 3
Aplicaciones de la derivada Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máximos y mínimos de una función. También la derivada es una herramienta muy útil para graficar funciones.
Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada Sea f una función continua con ecuación y f (x) , definida en un intervalo La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo a, b .
a, b .
En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es: 1. Creciente en los intervalos ]a, x3[, ]x5, x6[ 2. Decreciente en los intervalos ]x3, x5[, ]x6, b[ También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece. Note además que en los puntos (x3, f(x3)), (x5, f(x5)) y (x6, f(x6)) la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos. En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores. Teorema 1: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[. 1. Si
f´( x ) 0 para toda x en ]a, b[, entonces la función f es creciente
en [a, b]. 2. Si f ´( x ) 0 para toda x en ]a, b[, entonces la función f es decreciente en [a, b].
Ejemplos: 1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación
1 f ( x ) ( x 2 4 x 1) . 2 Para ello calculemos la primera derivada de Como Como
f : f´( x ) x 2 .
f´( x ) 0 x 2 0 , o sea si x 2 , entonces f es creciente para x 2 . f´( x ) 0 x 2 0 , o sea si
x 2 , entonces f es decreciente para
x 2. En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Valor máximo y valor mínimo de una función Si f es una función dada, entonces
f ( c ) es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto ]a, b[ tal que a<c<b y f ( c ) f ( x ) para x ] a, b[ , siendo x un valor del dominio de la función. Si
f ( c ) f ( x ) para toda x en el dominio de f, entonces f ( c ) es el valor máximo de
f o máximo absoluto. Similarmente,
f ( c ) es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto ]a, b[ tal que a<c<b y f ( c ) f ( x ) para x ] a, b[ , con x en el dominio de f. Si f ( c ) f ( x ) para toda x en el dominio de f, entonces se dice que mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.
f ( c ) es el valor
Ejemplo: Considere una función f definida en un intervalo c, d , cuya representación gráfica es la siguiente:
Note que f ( x 1 ) , es un máximo relativo y f ( x 3 ) es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.
Similarmente, f ( x 4 ) es un valor mínimo relativo y f ( x 2 ) es el mínimo absoluto de la función en c, d . Teorema 2 Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si f (c) es un valor máximo relativo de f y si existe f ´(c) entonces f ´(c) 0 .
Ejemplo: Considere la función f definida por La representación gráfica de la función es la siguiente:
Puede observarse que cuando x toma el valor de -2 entonces la función tiene un valor máximo. En este caso (-2, 3) es precisamente el vértice de la parábola con ecuación:
y
1 2 ( x 4x 8 ) . 4
Según el teorema anterior debe cumplirse que f ´( 2) es igual a cero. En efecto, como
f´( 2 )
f´( 2 )
1 ( 2 x 4 ) 0 , al sustituir x por -2 se obtiene que 4
1 ( 4 4 ) 0 , que era lo que quería comprobarse. 4
Teorema 3 Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si f(c) es un valor mínimo relativo de f y si f´(c) existe, entonces f´(c) = 0. Observación: El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que f´(c) sea igual a cero, no implica que en exista un máximo o un mínimo.
PUNTO CRÍTICO: Sea f una función. Recibe el nombre de puntos críticos del dominio de f, aquellos en los que f ´(x) es igual a cero o en los que f ´(x) no existe.
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de la siguiente función:
f ( x) 2 x 2 x 4
Solución:
Como f ( x) 2 x 2 x 4 , entonces f ( x) 4 x 4 x 3 Ahora: f ´(x) 0 si y solo si 4 x(1 x 2 ) 0 o sea si x 0 , ó, x 1 , ó, x 1
Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.
Criterio de la Primera Derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función. Teorema 4 Sea f una función continua en un intervalo cerrado intervalo abierto
a, b .
a, b , que es derivable en todo punto del
Sea c es un punto crítico.
a.
b.
c.
Si f ´(x) es positiva para todo x c , y negativa para todo x c , entonces f (c) es un valor máximo local de f (x) . Si f ´(x) es negativa para toda x c , y positiva para toda x c , entonces f (c) es un mínimo local de f (x) . Si f ´(x) es positiva para todo x c y también lo es para todo x c ; o si f ´(x) es negativa para todo x c y a su vez para todo x c , entonces f (c) no es un valor máximo local ni un valor mínimo local de f (x) .
Ejemplo: En el siguiente ejemplo se determinarán los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los puntos críticos y por último se aplica el teorema anterior.
1 f ( x) 4 x x 3 3 Note que f está definida para x R Como
f ´(x) 4 x 2 entonces f ´(x) 0 si y solo si x 2 ó x 2 .
Los valores críticos son
x 2 y x 2
Determinemos ahora cuándo
f ´(x) 0 y cuándo f ´(x) 0 .
f ´(x) (2 x) (2 x) , se deben resolver las desigualdades: (2 x) (2 x) 0; (2 x) (2 x) 0 . Nos ayudamos con la tabla siguiente:
Como
Como
f ´(x) 0 para x ,2 y f ´(x) 0 para x 2,2 entonces:
f 2 es un valor mínimo. Como
f ´(x) 0 para x 2,2 y f ´(x) 0 para x 2, entonces: f (2) es un valor máximo.
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Note que
f (2)
16 16 es un mínimo relativo y que f (2) es un máximo relativo, en 3 3
el dominio de la función.
Criterio de la Segunda Derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función Utilizaremos la segunda derivada para establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. Teorema 5 Sea f una función dos veces diferenciable en el punto crítico
a. b.
x c .Entonces:
x c es un máximo local de f siempre que f ´(c) 0 y f ´´(x) 0 . x c es un mínimo local de f siempre que f ´(c) 0 y f ´´(x) 0 .
Veamos un ejemplo
,
x 1
Note que la función f no está definida en La derivada de f está dada por
f ´(x)
x( x 2) , x 1 ( x 1) 2
Los valores críticos de f se obtienen cuando
f ´(x) 0 . En este caso, f ´(x) 0 si y solo si
x 0, ó x 2 . Ahora, la segunda derivada de f es
Vamos a evaluar
f ´´
2 ( x 1) 3
f ´´(x) en x 0 y x 2
a.
f ´´(0) 2 ; como 2 0 entonces f (0) es un valor mínimo relativo de f.
b.
f ´´(2) 2 ; como 2 0 entonces f (2) es un valor máximo relativo de f.
Gráficamente se tiene en el intervalo
4,2
EJERCICIOS PARA RESOLVER
Velocidad de la tos. Una persona tose cuando hay un objeto extraño en su tráquea. La velocidad de la tos depende del tamaño del objeto. Suponga que una persona tiene una tráquea cuyo radio es 20 mm. Si un objeto extraño tiene un radio r, en milímetros, entonces la velocidad V, en milímetros/segundo, necesaria para eliminar el objeto mediante la tos está dada por
V (r ) k 20r 2 r 3
,
0 r 20 ,
donde k es una constante positiva. ¿Para qué tamaño del objeto se necesita la velocidad máxima, con el fin de removerlo?
Temperatura en enero. Suponga que la temperatura T, en grados Fahrenheit, durante un día de 24 horas en enero está dada por
T ( x) 0.0027 x3 34x 240
, 0 x 24 , x donde es el número de horas desde la medianoche. Aproxime la temperatura mínima relativa y el momento en que se presenta.
Medicamentos en la corriente sanguínea. Después de aplicar una inyección, la cantidad de medicamento A en la corriente sanguínea disminuye después del tiempo t, en horas. Suponga que en ciertas condiciones A está dada por:
A(t )
A0 t 1 , 2
donde A0 es la cantidad inicial del medicamento aplicado. Suponga que se inyecta una cantidad inicial de 100 cm3. a.
Halle A(0), A(1), A(2), A(7), A(10).
b.
Halle el
Lím A(t ) . t
c. d. e.
0,
Determine el valor máximo de la inyección en el intervalo . Trace la gráfica de la función. De acuerdo con esta función, ¿el medicamento nunca abandonará completamente la corriente sanguínea? Justifique su respuesta.
Concentración de medicamento. La concentración C, en partes por millón, de un medicamento en el cuerpo durante t horas después de la ingestión está dada por la función
C (t ) 10t 2et .
a.
Halle la concentración después de 0, 2, 3 y 10 horas.
b. c.
Halle la razón de cambio de la concentración . Explique su significado. Halle el valor máximo de la concentración y donde se presenta.
d.
Trace una gráfica de la función para
C (t )
0 t 10 .
BIBLIOGRAFÍA
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