Mgtr. Julio CĂŠsar Moreno Descalzi
PRESENTACION La asignatura de Análisis Matemático I corresponde al Área de Formación General del Plan Curricular de la Facultad de Ingeniería. Está ubicada en el I ciclo y es de carácter teórico-práctico. La asignatura de Análisis Matemático I, la desarrollan todas las Escuelas de Ingeniería; en tal sentido y como una forma de apoyo al estudiante se ha elaborado este Cuaderno de Apuntes de Clase, el mismo que contiene un aspecto teórico básico y una gama de problemas de aplicación que el estudiante y el docente discutirán, analizarán e interpretaran resultados. El presente es un Avance de los temas de Funciones, Límites y Continuidad y Derivadas, todos ellos en un contexto unidimensional. Cabe el compromiso para próximamente conciliar en él, apuntes del cálculo diferencial en funciones de arias variables. Esperemos que la utilización del presente cuaderno se mejore y permita colaborar con el aprendizaje de los estudiantes en esta asignatura.
INDICE
FUNCIONES .................................................................................................................... 2 Función Lineal .............................................................................................................. 3 Función Cuadrática ....................................................................................................... 5 Función Exponencial .................................................................................................... 7 Crecimiento y Decaimiento Exponencial ................................................................. 8 Función Logarítmica .................................................................................................... 9 Problemas para Resolver ............................................................................................ 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD ....................................................................................... 14 Noción Intuitiva de límite:.......................................................................................... 14 Definición formal de Límite ....................................................................................... 15 Propiedades de los Límites ......................................................................................... 17 Límites Laterales ........................................................................................................ 18 Límites de Funciones Trigonométricas ...................................................................... 20 Teorema de Intercalación (Teorema del Sandwich) ................................................... 21 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN ..................................................................... 22 Continuidad en un punto ........................................................................................ 22 Continuidad en un intervalo ................................................................................... 23 DISCONTINUIDAD .................................................................................................. 23 Tipos de Discontinuidades...................................................................................... 23 Problemas para Resolver ............................................................................................ 25 DERIVADAS: Razón de cambio y Técnicas de derivación .......................................... 29 Incremento .................................................................................................................. 29 Significado Geométrico de la Derivada...................................................................... 31 Definición de Derivada............................................................................................... 33 Técnicas de Derivación .............................................................................................. 34 Problemas para Resolver ............................................................................................ 36 DERIVADAS: Regla de la cadena y Derivadas de Orden Superior .............................. 37 Concepto de Función Compuesta (función de función) ............................................. 37 Regla de la cadena ...................................................................................................... 37 Derivada de Funciones Trascendentes ....................................................................... 39 Derivada de Funciones Trigonométricas ............................................................... 39 Derivada de la Función Exponencial ..................................................................... 41 Derivada de la Función Logarítmica ..................................................................... 41 Derivadas de Orden Superior ..................................................................................... 42 Problemas para Resolver ............................................................................................ 43 Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada ............................ 44 Valor máximo y Valor mínimo de una función .......................................................... 46 Criterio de la Primera Derivada para determinar los máximos .................................. 48 y los mínimos de una función ..................................................................................... 48 Criterio de la Segunda Derivada para determinar los máximos ................................. 50 y los mínimos de una función ..................................................................................... 50 Problemas para Resolver ............................................................................................ 51 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ........................................................................... 52 1 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
TEMA 01
FUNCIONES
FUNCIONES El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemática. Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra. Definición: Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que asigna a cada elemento x X una única y Y . El conjunto X para el cual f asigna una única y Y se denomina el dominio de la función f: ( D f ). El conjunto de valores correspondientes y Y se conoce como el rango de la función ( R f ).
Si una función f asigna un valor y en el rango a cierta x en el dominio, escribimos:
y f (x) Leemos f (x) como “ f de x ”; se denomina el valor de f en x. Si una función se expresa por una relación del tipo y f (x) , entonces x se denomina la variable independiente o argumento de f y y se conoce como la variable dependiente. Notación de una función:
f ( x, y) AxB / y f ( x)
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A
B
A
B
Donde: A: Conjunto de partida B: Conjunto de llegada D f : Dominio de la función; conjunto de todas las preimágenes.
R f : Rango de la función; conjunto de todas las imágenes. y f (x) : Regla de correspondencia x : preimágenes; variable independiente. y : imágenes; variable dependiente.
Función Lineal Una función es lineal o de primer grado, si su regla de correspondencia es:
y mx b donde: m y b son constantes, con m 0
Grafica:
La Función Identidad:
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Con pendiente m<0
La Función Constante:
La Función de Proporcionalidad Directa:
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Función Cuadrática Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma:
f ( x) ax 2 bx c Donde: a, b y c son constantes y a 0
La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales. Si a 0 , se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a 0 , la parábola es negativa y abre hacia abajo.
a 0 Parábola que se abre hacia arriba
a 0 Parábola que se abre hacia arriba
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Observación: Notemos que la función f ( x)
1 no es cuadrática porque no se puede expresar de x2
la forma f ( x) ax 2 bx c . Si igualamos a cero f ( x) 0 , tenemos:
Fórmula de Carnot
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Función Exponencial DEFINICIÓN: Una función exponencial es una
f : tal que f x k .a x , donde a 0, a 1, k 0
En particular si el coeficiente k = 1, obtenemos la función exponencial de la forma:
y f x a x Cuando a > 1, la función exponencial es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, la función exponencial es estrictamente decreciente en su dominio.
Gráfica:
y2
x
1 y 2
x
Observa que:
Observe algunas características para cada una de las funciones exponenciales:
y 2x
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1 También para: y 2
x
Crecimiento y Decaimiento Exponencial Un Ejemplo Real: Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos cada espacios de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día? Min: 15, 30, 45, 60, ... Bact: 2, 4, 8, 16, … 2x Siendo x los intervalos de 15 minutos: .. 2
60 15
4
= 2 = 16 en una hora, 2
120 15
8
= 2 = 256 en dos horas,... 2
1440 15
= 296 . ¡en un día!
Esto nos da idea del llamado ¡Crecimiento Exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa. Fórmula General:
C (t ) P0 .2 Donde:
t d
C (t ) Población en el tiempo t P0 Población en el tiempo t 0
t = Tiempo estimado. d = Tiempo de duplicación.
De igual manera se podrá trabajar el Decaimiento Exponencial.
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Función Logarítmica La función logarítmica la podemos definir de la siguiente manera:
y log a x si y sólo si x a y Ejemplo: Siendo y log 2 x la función inversa de y = 2x, resulta:
Observe que el dominio y el rango, resultan:
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Problemas para Resolver
1-
La relación entre la temperatura del aire T (en oF) y la altitud h (en pies sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal para 0 < h < 20, 000. Si la temperatura al nivel del mar es 60º, un aumento de 5000 pies en altitud baja la temperatura del aire a 18º. Expresa T en términos de h y dibuja la grafica Calcula la temperatura del aire a una altitud de 15000 pies Aproxima la altitud a la que la temperatura sea 0.
2-
Las ballenas azules recién nacidas miden alrededor de 24 pies de largo y pesan 3 toneladas. Los cetáceos jóvenes son amamantados durante siete meses y al momento del destete, muchos miden 53 pies y pesan 23 toneladas. Denotemos con L y W la longitud en pies y el peso en ton respectivamente de una ballena de t meses de edad. Si L y t están relacionadas linealmente, expresa L en términos de t ¿Cuál es el aumento diario en la longitud de una ballena joven si 1 mes = 30 días? Si W y t están relacionadas linealmente, expresa W en términos de t ¿Cuál es el aumento diario en el peso de una ballena joven?
3-
Se ha determinado que para cierto material de construcción la demanda semanal, D se relaciona con el precio x (en dólares) de acuerdo a la siguiente función y = D(x) = 500 – 20x siendo 0 x 25 . Además la oferta semanal S es también función lineal del precio x y esta expresada por y = S(x) = 10x + 200. Calcula el precio al cual la oferta es igual a la demanda. Traza las gráficas en el mismo plano.
4-
Para estudiar la tasa a la que aprenden los animales, un investigador realizó un experimento en el que se enviaba una rata blanca en repetidas ocasiones por un laberinto de laboratorio. Se supone que el tiempo necesario para que la rata atravesara el laberinto en el n-ésimo intento era aproximadamente f (n) 3
12 n
minutos. a. ¿Cuál es el dominio de la función f? b. ¿Para qué valores de n tiene significado f(n) en el contexto del experimento? c. ¿Cuánto tiempo tardó la rata en atravesar el laberinto en el tercer intento? d. ¿En qué intento atravesó la rata el laberinto en 4 minutos o menos? 5-
El precio de un teodolito digital es de $1200.00 al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de $100.00. a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en plazos de 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 meses? b) Anota la expresión algebraica que determina la regla de correspondencia de la función. c) Determinar cuánto debe pagarse si el plazo es de 1 año. Grafica la función.
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6-
Desde un mini submarino en la superficie del mar se dispara un proyectil dirigido a un barco cuyo punto más cercano se encuentra a 13 m de distancia del punto de partida del proyectil, el cual está al ras del agua y la trayectoria que sigue el proyectil en el aire está dada por la función: y = −x2 + 12x− 20 a) ¿El proyectil alcanza al barco? b) Si no es así, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento el proyectil entra al agua?
7-
En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obtenido datos sobre la relación que hay entre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha graficado (figura adjunta). Ellos desean construir un modelo matemático que se ajuste a los datos que han obtenido.
8-
El gerente de una tienda de ladrillo ha encontrado que, a un precio (en soles)
p(x) 150 -
x 4
por millar de ladrillo, se venden x millares.
a) Hallar una expresión (función cuadrática) para el ingreso total por la venta de x millares de ladrillo. b) Hallar el número de millares de ladrillo vendidos que conducen a un ingreso máximo. c) Hallar el ingreso máximo.
9- Se desea hacer un corral de forma rectangular con 100m de malla, para encerrar algunos pollos, ¿cuál deben ser las dimensiones del corral para cubrir el área máxima? 10- Se sabe que el número de bacterias en cierto cultivo se triplica cada hora. Supóngase que la cuenta a las 7:00 de la mañana es 162 000. ¿Cuál fue la cuenta a las 11:00 a.m.? ¿Cuál a las 8:00 p.m.? 11- Una población de 4 millones de habitantes crece a una tasa de 3% anual. Estime el tamaño de la población al cabo de 5 años.
I
12- Utilizando la fórmula de la escala Richter R Log , determine la magnitud de I0 un sismo cuya intensidad es: a) 100 veces I0. b) 10 000 veces I0. c) 100 000 veces I0.
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13- El número de bacterias en un cultivo es de 45 millones. En contacto con un antibiótico descienden 3 millones cada segundo. a) Expresa la relación de dependencia. b) Elabora una tabla de valores, un gráfico, y determina el dominio y el rango. c) Realiza el análisis del gráfico. 14- La resistencia de una bacteria está dada por: R( x) x 2 200 x 500 Donde: x = cantidad de antibiótico (en miligramos) Halla la cantidad de miligramos de antibiótico con la cual la bacteria se hace menos resistente 15- Los registros de temperatura tomados entre las 0 horas y las 24 horas en una zona rural se ajustan a la función:
t ( x)
1 x 122 10 10
Donde: t = temperatura en grados centígrados. x = hora del día. a) ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora se registró? b) ¿A qué hora la temperatura fue de 0º C? c) ¿Qué temperatura se registró a las tres de la tarde? 16- Estos registros parciales de electrocardiogramas corresponden, aunque no en ese orden, a una persona normal, a una persona con taquicardia (“corazón rápido”) y a otra con bradicardia (“corazón lento”)
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a) b) c)
Obtén un valor estimado del periodo de la función representada en cada uno de los gráficos. Calcula para cada caso la cantidad aproximada de pulsaciones por minuto. Indica cuál es el que corresponde a cada uno de los casos mencionados.
17- Planeación dietética: En un hospital un paciente que está a dieta de líquidos tiene que escoger jugo de ciruela o jugo de naranja para satisfacer su requerimiento de tiamina que es de 1 miligramo diario. Una onza de jugo de ciruela contiene 0.05 miligramos de tiamina y 1 una onza de jugo de naranja contiene 0.08. Si consume x onzas de jugo de ciruela y y onzas de jugo de naranja diariamente, ¿cuál es la relación entre x e y que satisface exactamente el requerimiento de tiamina? 18- Contaminación atmosférica: El índice de contaminación atmosférica en cierta ciudad varía durante el día de la siguiente manera:
2 4t 6 2t P(t ) 14 50 3t
si 0 t 2 si 2 t 4 si 4 t 12 si 12 t 16
Aquí t es el tiempo en horas, con t 0 corresponde a 6 A.M. y t 16 a 10 P.M. Haga la gráfica de esta función. ¿Cuáles son los niveles de contaminación a las 8 A.M., 12 del día, 6 P.M. y 8 P.M.? 19- Crecimiento de bacterias: Está comprobado que la bacteria Escherichia coli se reproduce al doble cada hora que pasa. Si se hace un cultivo en el que inicialmente hay 1000 bacterias de este tipo. ¿Cuántas habrá al cabo de 12 horas? Dibuja la gráfica que represente el crecimiento de la bacteria en las cuatro primeras horas. 20- Crecimiento de bacterias: Supongamos que cierto tipo de bacterias se reproduce al triple cada media hora. ¿Qué cantidad habrá al cabo de 3 horas si inicialmente hay 100 bacterias? 21- Decaimiento radiactivo: Cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de cuarenta minutos (es decir, en cuarenta minutos desaparece la mitad de la sustancia). ¿Qué fracción de la cantidad inicial de esta sustancia quedará después de 1 hora 20 minutos?
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TEMA 02
LÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Noción Intuitiva de límite: Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite. Considérese la función definida por: y f ( x)
2x2 x 1 , x 1 x 1
El único punto real en el cual f(x) no está definida es en x = 1; pero, en puntos tan cercanos a 1 como se desee, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?
En las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) o por la derecha (valores mayores que 1)
x
f(x)
x
f(x)
0 0.3 0.5 0.75 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 . .
1 1.6 2 2.5 2.8 2.9 2.98 2.99 2.998 2.999 2.9998 . .
2 1.7 1.5 1.25 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001 1.0005 1.0001 . .
5 4.4 4 3.5 3.2 3.1 3.02 3.01 3.002 3.001 3.0002 . .
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La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:
f ( x) 3 cuando x 1 (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1). O también:
Lím f ( x) 3 x1
(se lee: límite, cuando x tiende a 1, de f(x) es 3)
Definición formal de Límite Decimos que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y escribimos:
si se puede encontrar x suficientemente cerca de x0 tal que f(x) es tan cerca de L como se quiera. Es decir, el límite es L si f(x) tiende a L cuando x tiende a x 0. Más precisamente, decimos que , Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite. Interpretación Geométrica
La altura de la gráfica de f tiende a “L” cuando x tiende a “a”.
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Ejemplo: Usando la definición de límite de una función, pruébese que:
Lím(9 3x) 6 x5
Solución: Sea ε un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ tal que: 0 x 5 9 3x 6
…… (1)
Para ello considérese la desigualdad de la derecha de (1).
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger . (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para δ). 3
Prueba formal. Dado ε>0, existe >0, tal que, 3
Con lo que se comprueba que:
Lím(9 3x) 6 x5
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Para calcular el límite de una expresión algebraica (uso de las leyes o propiedades del álgebra) usaremos el Procedimiento Analítico.
Por ejemplo: Calcular: Lím x 1
Lím x1
x2 x 2 x 1
x2 x 2 ( x 1)( x 2) Lím x 1 x 1 x 1 Lím ( x 2) x 1
1 2 3
Propiedades de los Límites Si f (x) = c, constante, tendremos:
Si : y
resulta:
,
siendo k una constante.
siempre que B 0
Siempre que
sea un número real.
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Límites de Funciones Elementales Sean f y g funciones con límites en c, k una constante. Se tiene entonces que:
Lím k k
Lím x c
x c
x c
Aplicando propiedades de los límites para obtener: 1.- Lím (3x 3 4 x 8) x1
Solución
3 Lím x 4 Lím x Lím 8 3
x 1
x 1
x 1
3 1 4 1 8 9 3
x2 1 2.- Calcular: Lím 2 x1 x 3 x 2 Solución
( x 1)( x 1) ( x 1) Lím x 1 ( x 1)( x 2) ( x 2) Lím ( x 1) 2 x1 Lím ( x 2) 1 Lím x 1
x 1
2
Límites Laterales 1) Límite por la izquierda: El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si dado un ε>0, existe un δ > 0 tal que: si 0 < a - x < δ, |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como: Lím f ( x ) L x a
2) Límite por la derecha: El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si dado un ε>0, existe un δ > 0 tal que: si 0 < x - a < δ, |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como: Lím f ( x ) L x a
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Ejemplo: 1. Para la función:
1 x 2 , si x 2 f ( x) 2 x 1 , si x 2 Calcule los límites laterales (unilaterales) cuando x “tiende” a 2 por la derecha y por la izquierda
Graficando la función dada:
Solución:
Límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda:
Lím f ( x) Lím (1 x 2 ) 3 x2
x2
Límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha:
Lím f ( x) Lím (2 x 1) 5 x2
x2
TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. Esto es:
Lím f ( x) L xa
TEOREMA: Si existe el límite, éste es único.
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Límites de Funciones Trigonométricas Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades:
Recuerda: Las siguientes identidades trigonométricas:
Límites trigonométricos especiales:
sen x 1 x 0 x 1 cos x 2) lim 0 x 0 x tg x 3) Lím 1 x 0 x
1) lim
Ejemplo: Hallar el límite (si existe) de: a) Lím x 0
Cos x.tg x x
Solución:
Sen x Sen x Cos x Lím Lím 1 x0 x0 x x Cos x.tg x Lím 1 x0 x Cos x.
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b) Lím x 0
x Sen 3x x Sen 5 x
Solución:
Lím x0
x Sen 3x 0 , es una indeterminación. x Sen 5 x 0
Sen 3x x1 x Sen 3x x f ( x) x Sen 5 x Sen 5 x x 1 x Sen 3x Sen 3x x 1 3 1 3 3x 3x Sen 5 x Sen 5 x x1 5 1 5 5x 5x
Sen 3x 3x 1 3 2 1 Lím x 0 Sen 5 x 1 5 6 3 1 5 5x 1 3
Lím x 0
x Sen 3x 1 x Sen 5 x 3
Teorema de Intercalación (Teorema del Sandwich) El teorema de intercalación, más coloquialmente llamado teorema del sandwich, es útil cuando queremos hallar el límite de una función que se encuentra "confinada" por dos funciones que ya conocemos. Si: y
,
Entonces:
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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Continuidad en un punto Ahora estamos listos para una definición formal de continuidad, El término continuo tiene prácticamente el mismo significado que en su uso cotidiano. La definición es simple: f(x) es continua en c si y sólo si Definición de Continuidad
Lím f ( x ) f (c ) x c
Note que la función o el límite o ambos podrían no estar definidos en c, en cuyo caso la ecuación no sería cierta, y por tanto f no es continua en c.
Decimos que una función es continua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
i. f (c) está definida ii. Lím f ( x) existe x c
iii . Lím f ( x) f (c) x c
Sean f y g funciones continuas en los reales. Los siguientes teoremas se cumplirán: Teorema 1: (f + g)(x) = f(x) + g(x) es continua en todos los reales. Teorema 2 (f − g)(x) = f(x) − g(x) es continua en todos los reales. Teorema 3 (f * g)(x) = f(x) * g(x) es continua en todos los reales. Teorema 4 (f / g)(x) = f(x) / g(x) es continua en los reales, mientras g sea diferente de 0. Teorema 5 (gof)(x) = g(f(x)) que es la composición de funciones, es continua en los reales.
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Continuidad en un intervalo Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real , se llama continua en todas partes.
DISCONTINUIDAD Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en a, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
Tipos de Discontinuidades Las discontinuidades se distribuyen en dos categorías: A) Evitable: (removible) Cuando existe el Lím f (x) pero no coincide con el valor de xa
f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a). La discontinuidad se evita definiendo f (a) Lím f ( x) xa
B) Inevitable: (esencial) Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Ejemplo: 1.- Con f(x) = x2, g(x) = ex Tendremos que:
(f + g)(x) = x2 + ex, (fog)(x) = f(ex) = (ex)2 son continuas.
x2 9 2.- La función f ( x) se considera que tiene una discontinuidad removible x 3 en x = 3. Pero si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener f(x) = x + 3, excepto en x = 3. Si hacemos que f(x) sea 6 en ese punto, obtenemos la función continua:
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Pero x + 3 = 6 para x = 3, y así podemos simplificar la función a g(x) = x + 3. (Esta no es la misma que la función original, en la cual hay un punto extra en (3,6)). Así el límite en x = 3 es 6. De hecho, esta clase de simplificación es siempre posible con una discontinuidad removible en una función racional.
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Problemas para Resolver 1.- Usando la definición de límite de una función, pruebe que: a)
Lím (4 x 1) 7 x2
2x 2 x 1 3 x 1
b)
Lím
c)
Lím (2 x 1) 3
d)
Lím (4 x 1) 11
x1
x2
x3
2.- Calcular los siguientes límites: 1)
Lím x 1
x3 1 x2 1
2)
x4 x 2
Lím x 4
3)
Lím
x2 4 x3 8
4)
Lím
5)
Lím
x7 x2 1 2x 7 x 3 300
6)
Lím
x 2
x
7)
x 2 4x 5 Lím x1 x 2 1
9)
Lím
x 3 x 9
11)
Lím
x 2 5x 6 x 2 x 12
13)
lim
15)
x3 1 1 Lím x1 x 1 x
17)
Lím
x 9
x 3
x2 1
x 1
a x 3 a 3
x0
19)
x
4 x 2 x
x 0
8)
10)
x3 1 x 1
x2 4 3 x 2 x 8
x3 1 1 Lím x 1 x 1 x
12)
Lim
14)
lim
x 2
x 1
1 3 x 2 2 x 2 x 3 5x 2 8x 1 x 4 x3 x 2 1
1 1 x 3 16) Lím x 3 x 3 3
18)
Lím x0
x8 2 x
mx m1 4mx 2 m 2mx 2 m1 2mx m Lím x2 nx n1 2nx n 2 x 4 25 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
3.- Cantidad de ladrillos.- Para la construcción de cierta obra la cantidad de ladrillos utilizados f(x) en x meses está dado por la siguiente ecuación:
f ( x) 2900 x 864 a) Determinar la cantidad de ladrillos que se utilizarán al término de la obra si ésta se aproxima a los 18 meses. b) Hallar la cantidad de ladrillos que se han utilizado si va casi medio año de trabajo. 4.- Población Suburbana.- Se estima que dentro de “t” años la población de cierta comunidad suburbana será: P (t) = 20 -
miles
Responda: a) ¿La población dentro de 9 años será? b) ¿Cuánto aumentará la población durante el noveno año? c) ¿Qué pasa con P (t) cuando “t” se incrementa cada vez más? Interprete su respuesta. 5.- Nivel de crecimiento infraestructural.- La población de una pequeña ciudad es analizada por ingenieros que estudian el nivel de crecimiento infraestructural, así a más población más crecimiento de la infraestructura, entonces respecto a la población se predice que:
N 20 000
10 000 (t 2) 2
Personas. (t en años)
Encontrar la población cuando han pasado muchísimos años. 6.- Volumen de combustible.- Un tanque de gasolina para un tráiler que transporta camionetas de doble tracción a la mina de Yanacocha puede ser vaciado todo el volumen de combustible en un tiempo “t” expresándose así: v
2 t 3 , donde t 2 49
“v” es volumen expresado en m3 y “t” el tiempo en minutos. ¿A qué valor se aproxima el volumen vaciado cuando el tiempo se aproxima a 7 minutos?
7. Costo Promedio.- La compañía Custom fabrica una línea de escritorios ejecutivos. Se estima que el costo total de fabricación de x escritorios modelo ejecutivo es C(x)=100x+200 000 dólares por año. Calcular el costo promedio de producción de x 8.- Altura de un objeto.- Use la función: s(t ) 4.9t 2 150 que da la altura (en metros) de un objeto que cae desde una altura de 150m. La velocidad en el instante
t a segundos viene dada por Lím t a
s(a) s(t ) . Determinar la velocidad del objeto a t
cuando t 3 . ¿A qué velocidad impactará el suelo el objeto?
26 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
2 x 2, para x 1 2 x 2, para x 1
9.- Considere la función H definida por H(x) =
Represente en forma gráfica la función y halle cada uno de los siguientes límites, si existen. a. lím H(x) b. lím H(x) x1
x3
10.- Concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo.- La concentración de cierto medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t horas después de la inyección está dada por C(t) =
0,2t miligramos por t 2 1
centímetro cúbico. Evalúe lím C(t), e interprete el resultado. x
11.- Fuerza de reacción.- Cuando se le da cierta droga a una persona, su reacción se mide mediante los cambios en la presión de la sangre, cambios de temperatura, variación de pulso y otros cambios fisiológicos. La fuerza S de la reacción depende de la cantidad x de droga administrada y está dada por:
S ( x) x 2 (5 x) Determine la fuerza de reacción cuando la cantidad de unidades de droga x, es casi 1 y casi 3. 12.- Calcular los siguientes límites trigonométricos:
sen 4 x x 0 x tgx b) Lím x 0 x Cos x 1 c) Lím x0 x a) Lím
13.- Determinar los valores para las constantes m y n de modo que la siguiente función sea continua en toda la recta real.
, si x 3 2 f ( x ) mx n , si 1 x 3 2 , si x 1 14.- Determinar si la siguiente función:
x 2 4x 3 , si x 3 f ( x) x 3 5 , si x 3 es continua en a=3.
27 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
15.- Determinar cuáles son los puntos de discontinuidad de la función f , definida por:
3x 1 , si x 1 f x x 2 3 , si 1 x 3 4 x 1 , si x 3 Indicar cuáles son evitables y cuáles son inevitables. 16.- Precio de un medicamento.- Por la venta de un determinado medicamento se cobra la cantidad de $ 5.- No obstante si se le encargan más de 10 unidades de este medicamento, disminuye el precio por unidad, y por cada x unidades se cobra:
; si 0 x 10 5 x C ( x) 2 ax 500 ; si x 10 a) Halla “a” de forma que el precio del medicamento varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad de medicamento cuando se compran “muchísimas” unidades? 17.- Gasto en Ocio.- En cierto colectivo de familias el gasto mensual en ocio, G(x) en miles de soles está relacionado con sus ingresos mensuales, x en miles de soles atreves de la siguiente expresión:
0,02 x 1 ; 0 x 100 G ( x) 30 x 2 x 2300 ; 100 x a) Estudia la discontinuidad del gasto ¿El gasto en ocio de una familia es distinto si sus ingresos son ligeramente inferiores o superiores a los 100 soles? b) Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a los 15 000 soles
18.- Prueba de Atletismo.- Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en dias), obteniéndose que:
a) Comprueba si la función T es continua en todo su dominio. b) Sabiendo que la función T(x) decrece con x, por mucho que se entrene un deportista, ¿Será capaz de hacer la prueba en menos de un minuto?
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TEMA 03
DERIVADAS: Razón de Cambio y Técnicas de Derivación
DERIVADAS: Razón de cambio y Técnicas de derivación El CÁLCULO DIFERENCIAL es el estudio de la relación de los incrementos infinitamente pequeños de la variable dependiente con respecto a la variable independiente de una función.
Incremento Cuando una variable pasa de un valor numérico a otro, aumenta su valor este aumento se llama “incremento. Ahora el incremento puede ser positivo o negativo según que la variable aumente o disminuya, en este último caso algunos autores le llaman “decremento”. Los incrementos se representan así: Δx → que se lee “incremento de x” Δy → que se lee “incremento de y” Es evidente que cuando se incrementa la variable independiente de una función, la variable dependiente queda incrementada. Así: Sea la función:
y 3x 2 5
Si se incrementa la variable independiente en Δx, la variable dependiente queda incrementada en Δy.
Efectuando y simplificando:
29 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
Si a esta expresión se le resta la función original, se tiene el valor del incremento Δy. Así. Restando:
que es el valor del incremento experimentado por la función. Si a la diferencia anterior (incremento de la función) se le divide entre el incremento Δx y se lleva al límite, es decir cuando Δx tiende a “0” a esta relación en el límite, se llama DERIVADA. Así:
En el límite, cuando Δx → 0
Esta ultima expresión se lee: “derivada de y con respecto de x”
Regla general para la derivación por incrementos: 1. Se reemplaza “x” por “x +Δx” y se calcula el valor incrementado “y+Δy” de lafunción. 2. Se resta esta función incrementada del valor de la función original y se obtiene Δy. 3. Se divide entre Δx, ambos miembros de la función incrementada. 4. Se lleva al límite haciendo que Δx tienda a cero, el valor de este límite es la derivada. EJEMPLO: Hallar la derivada por incremento de la función:
y Solución:
1 x2
Incrementando:
Restando a la función incrementada:
30 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
Dividiendo entre Δx:
En el límite, cuando Δx → 0
Significado Geométrico de la Derivada En primer lugar debe recordarse que la pendiente de una recta, en Geometría Analítica, es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el eje de las absisas “x”. Sean la curva y f (x) , una secante y una tangente geométrica a la curva. Si h 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 1, una recta cuya pendiente es:
Esta expresión es la razón de cambio medio en f (a) sobre el intervalo (a, a h)
31 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
Figura 1 Como indica la figura 2, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser
Esta expresión es la razón de cambio instantánea de f (x) en “a”
Figura 2
Lím h0
f ( a h) f ( a ) y Lím h x 0 x 32
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CONCLUSIÓN: El valor de la derivada de un punto cualquiera de una curva es igual a la pendiente de la tangente geométrica a la curva en ese punto.
Definición de Derivada La derivada (de una función), es el resultado de hacer que la pendiente de una secante tienda a la pendiente de una tangente. En otras palabras podemos indicar que la derivada no es otra cosa que "la pendiente de la recta tangente que corta a una función en un punto determinado".
En algunos textos por comodidad se escribe así: (donde Δ x h )
En nuestro caso usaremos la segunda. NOTACIONES: Existen varias maneras de notaciones como por ejemplos:
En este modulo la notación que usaremos será: “ f ´(x) y´
dy ” dx
La función f es derivable en a si
y f (a h) f (a) Lím Lím h 0 x0 x h
existe.
En este caso el límite se designa por f ´(a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)
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y
1 x
Las tres funciones no son derivables en (0,0): La gráfica 1 tiene un vacío en x=0. En la gráfica 2 hay una “esquina” pronunciada en (0,0). En la gráfica 3 hay una “cúspide” en (0,0).
Técnicas de Derivación Si se tuviera que usar la definición de límite cada vez que se deseara calcular una derivada, sería tedioso y difícil para utilizar el cálculo en las aplicaciones. Por fortuna, esto no es necesario; pues se han desarrollado técnicas que simplifican el proceso de derivación: En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x.
1.
d (c ) 0 , siendo c una constante. dx
Ejemplo:
d (18) 0 dx
2.
d (x) 1 dx
3.
d d d (u v ...) (u) ( v ) ... dx dx dx
Ejemplo:
4. Ejemplo:
5.
d 3 d d ( x 2 x) ( x 3 ) ( 2 x) 3 x 2 2 dx dx dx
d d (c.u) c. (u) dx dx d d (5 x 4 ) 5 ( x 4 ) 5(4 x 3 ) 20 x 3 dx dx d d d (u.v ) u. ( v ) v. (u) dx dx dx 34 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
6.
d d d d (u.v.w ) u.v. ( w ) u.w. ( v ) v.w. (u) dx dx dx dx
7.
d u 1 d . (u), c 0 dx c c dx
8.
d c d 1 c d (u), u 0 c. 2 dx u dx u u dx
9.
10. Ejemplo:
11.
d u dx v
u.
d d ( v ) v. (u) dx dx , v 0 2 v
d m x mxm1 dx d 5 ( x ) 5 x 51 5 x 4 dx
d m d u mum1 (u) dx dx
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Problemas para Resolver
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
f ( x)
x 1 en el punto (1,0) . x3
Un laboratorio descubre que el costo de producir x vacunas está dado por: C 0.001x 3 0.3x 2 40 x 1000 a) Determinar el incremento en el costo cuando el número de vacunas se incrementa de 50 a 60. b) Calcule el costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60 unidades.
Cuando se le da cierta droga a una persona, su reacción se mide mediante los cambios en la presión de la sangre, cambios de temperatura, variación del pulso y otros cambios fisiológicos. La fuerza S de la reacción depende de la cantidad “x” de droga administrada y está dada por:
S ( x) x 2 (5 x) Determine el promedio de la razón de cambio en la fuerza de reacción cuando la cantidad de unidades de droga cambia de x 1 a x 3 .
Derivar por incrementos: y 4 x 2 10 3 b) y 5 x 2 x a)
c)
y
x2 4x 2
Derivar por fórmula y evaluar para el valor x asignado: a)
y 5x 3 2 x 2 10 x 5,
para x 2
y 2 x 3 x 5 , para x 3 2 c) y x 1 x 2 , para x 1 b)
Se proyecta que dentro de “x” meses, la población de cierto pueblo será: P( x) 2 x 4 x
3
2
5000
¿A qué razón cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses?
Una enfermedad se propaga con tal rapidez que al cabo de t semanas, el número de personas infectadas es:
N (t ) 5,175 t 3 (t 8)
0t 8
¿A qué razón se propaga la epidemia después de 3 semanas?
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TEMA 04
DERIVADAS: Regla de la cadena y Derivadas de Orden Superior
DERIVADAS: Regla de la cadena y Derivadas de Orden Superior Concepto de Función Compuesta (función de función) Sean las funciones f(x) = x2, g(x) = sen(x) la función f lo que hace es calcular el cuadrado f(1)=12=1, f(2)=22=4, etc. por tanto f(sen(x)) = sen2 (x) = f(g(x)) = (f o g)(x) es una función compuesta de g y de f que expresamos por f o g La interpretación de (f o g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso z=g(x)=sen(x) y después aplicamos f a z para obtener y=f(z)=z2=sen2(x) Recordar: (fog)(x)=f(g(x)).
Regla de la cadena Si y = f(u) y u = g(x), entonces se puede obtener la composición: y = (f o g) (x) = f (g(x)) Ahora, si se quiere calcular
dy basta con derivar esta última relación. dx
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La siguiente regla, conocida como la regla de la cadena, proporciona otra manera de hallar la derivada sin efectuar la composición.
REGLA DE LA CADENA: Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que H = f(u) y u = g(x), entonces: H´( x) (f o g)´( x) f ´( g(x)).g´( x)
Este resultado se conoce como regla de la cadena donde la función g(x) hace de variable intermedia o de paso para derivar la función compuesta f o g respecto de la variable independiente x, que podemos expresar así:
"La derivada de (f o g)(x) respecto de x es igual al producto de la derivada de (f o g) respecto de g, por la derivada de g respecto de x". Observaciones: i. Muchas veces, la regla de la cadena se recuerda más fácilmente, usando la notación de LEIBNITZ para la derivada. Esto es : Si y = g (u) y u = f (x) entonces:
ii. Regla de la cadena compuesta. Si y = g (u), u = f (x), t = h (x), entonces:
Ejercicios para resolver: Use la regla de derivación en cadena para hallar la derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = (x3 + x)2
b) f(x) = (1 + 5x + 2x3)7
c) f(x) =
d) f(x) =
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Derivada de Funciones Trascendentes
Derivada de Funciones Trigonométricas Derivadas de funciones trigonométricas básicas d sec( x ) sec( x ).tan( x ) dx
d csc( x ) csc( x ). cot( x ) dx
Probemos demostrar la derivada del SENO:
d Sen ( x h ) Sen x ( Sen x ) Lím dx h h 0 Recuerde que: =
Lím h 0
)
Sen x.Cos h Sen h.Cos x Sen x h
d Sen h.Cos x Sen x.( 1 Cos h ) ( Sen x ) Lím dx h h 0
1 Cos h Sen h Lím .Cos x Sen x. h h h 0
Calculando los límites por separado, tenemos: *
Lím h 0
**
senh senh . cos x cos x.Lím (cos x ).1 cos x h h h 0
Lím h 0
sen x.
1 cos h 1 cos h sen x.Lím h h h 0
( sen x )( 0 ) 0
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Se puede escribir entonces: d (Sen x) Cos x 0 Cos x dx
d (Sen x) Cos x dx
Ejemplos: a)
d d ( sen 6 x ) cos 6 x. ( 6 x ) 6.cos 6 x dx dx
b)
cos 3 x d d ( sen 3 x ) cos 3 x . ( 3 x ) dx dx 3.3 x 2
c)
d 2 2 d 2 2 2 2 2 2 tan sec 2 . sec 2 . 2 .sec , x 0 dx x x dx x x x x x
Ejercicios para resolver: 1) y = 3 sen x 2) y = x + cos x 3)
y
sen( x ) 2
4) y = x - tan x 5) y = x sec x 6)
y
1 cos( x ) sen( x )
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Derivada de la Función Exponencial La función exponencial de base "a", con a 0 y a 1 , tiene como dominio
R y como àmbito 0, .
En el teorema siguiente se dará la derivada de la función exponencial.
d ( a x ) a x ln( a ) dx
Generalizando:
d (a u ) du a u ln a dx dx
Ejemplos: 1. 2. 3. Observe que si la base de la función exponencial es e , entonces
d ( e x ) e x ln( e ) e x .1 dx de donde:
d (ex ) ex dx
Derivada de la Función Logarítmica En el teorema siguiente se dará la derivada de la función logarítmica:
d (log u ) 1 log e dx u OBSERVE: Si el logaritmo es neperiano, ln u, por propiedad de logaritmos, ln(e) = 1, entonces:
d (ln u ) 1 dx u
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Derivadas de Orden Superior La primera derivada
df es una función que depende de “x”. Si derivamos esta función dx
con respecto de x, tendríamos la derivada de la derivada, o sea la “derivada segunda” de f con respecto de “x” o “derivada de segundo orden”. Esto es:
df d d f d df dx 2 dx dx dx dx 2
Análogamente, la “derivada tercera” o “derivada de tercer orden”, es:
d3 f d d2 f dx 3 dx dx 2
La derivada cuarta es:
d4 f d d3 f dx 4 dx dx 3
, y así sucesivamente.
Por ejemplo: Dada la función f x 3 , Hallar: La derivada primera: f ´
df 3x 2 dx
d2 f 6x dx 2 d3 f 6 La derivada tercera: f ´´´ dx 3 d4 f 0 La derivada cuarta: f ´´´´ dx 4 La derivada segunda: f ´´
Todas las derivadas siguientes son nulas
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Problemas para Resolver Usando las fórmulas de derivación y calcule las derivadas de: a) b) c) d)
y 7e x x 1 y x e 2 y x ln x ln ( x 1) y x 1
Una población crece de acuerdo al modelo logístico, tal que en el instante t su tamaño y está dado por: y y m (1 C. e kt ) 1 Con y m , C y k instante t.
constantes. Calcule la tasa de crecimiento de la población en el
La razón R en la cual una reacción química progresa es igual a T , donde T es la temperatura. Si T varía con el tiempo t de acuerdo a la fórmula:
T (3t 1) /(t 2) encuentre la razón de cambio de T respecto a t.
Después de una inyección, la concentración de cierta droga en la sangre de un paciente, cambia de acuerdo a la fórmula:
c pt 2 e kt Donde: p y k son constantes. Calcule la razón de crecimiento de la concentración en el tiempo t.
Calcular: a ) Sea f ( x ) x.cos x. Calcular f 3 ( x ). b ) Sea f ( x ) ln( x ). Calcular f " ( x ).
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TEMA 05
APLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Con la utilización de la derivada es posible obtener información sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla gráficamente.
Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada Sea f una función continua con ecuación y f (x) , definida en un intervalo a, b . La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo a, b .
En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es: 1. Creciente en los intervalos ]a, x3[, ]x5, x6[ 2. Decreciente en los intervalos ]x3, x5[, ]x6, b[
44 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.
Note además que en los puntos (x3, f(x3)), (x5, f(x5)) y (x6, f(x6)) la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.
En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores. Teorema 1:
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[. 1. Si f´( x ) 0 para toda x en ]a, b[, entonces la función f es creciente en [a, b]. 2. Si f´( x ) 0 para toda x en ]a, b[, entonces la función f es decreciente en [a, b].
Ejemplos: 1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación
1 f ( x ) ( x 2 4 x 1) . 2 Para ello calculemos la primera derivada de f : f´( x ) x 2 . Como f´( x ) 0 x 2 0 , o sea si entonces f es creciente para x 2 .
x 2,
Como f´( x ) 0 x 2 0 , o sea si entonces f es decreciente para x 2 .
x 2,
En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
45 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
Valor máximo y Valor mínimo de una función Si f es una función dada, entonces f ( c ) es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto ]a, b[ tal que a<c<b y f ( c ) f ( x ) para x ] a, b[ , siendo x un valor del dominio de la función. Si f ( c ) f ( x ) para toda x en el dominio de f, entonces f ( c ) es el valor máximo de f o máximo absoluto.
Similarmente, f ( c ) es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto ]a, b[ tal que a<c<b y f ( c ) f ( x ) para x ] a, b[ , con x en el dominio de f. Si f ( c ) f ( x ) para toda x en el dominio de f, entonces se dice que f ( c ) es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.
Ejemplo: Considere una función f definida en un intervalo c, d , cuya representación gráfica es la siguiente:
Note que f ( x 1 ) , es un máximo relativo y f ( x 3 ) es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.
Similarmente, f ( x 4 ) es un valor mínimo relativo y f ( x 2 ) es el mínimo absoluto de la función en c, d .
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Teorema 2
Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si f (c) es un valor máximo relativo de f y si existe f ´(c) entonces f ´(c) 0 .
Ejemplo: Considere la función f definida por:
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Puede observarse que cuando x toma el valor de -2 entonces la función tiene un valor máximo. En este caso (-2, 3) es precisamente el vértice de la parábola con ecuación:
y
1 2 ( x 4x 8 ) . 4
Según el teorema anterior debe cumplirse que f ´( 2) es igual a cero. En efecto, como f ´( 2 )
f´( 2 )
1 ( 2 x 4 ) 0 , al sustituir x por -2 se obtiene que 4
1 ( 4 4 ) 0 , que era lo que quería comprobarse. 4
Teorema 3 Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si f(c) es un valor mínimo relativo de f y si f´(c) existe, entonces f´(c) = 0.
47 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
Observación: El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que f´(c) sea igual a cero, no implica que en
exista un
máximo o un mínimo.
PUNTO CRÍTICO: Sea f una función. Recibe el nombre de puntos críticos del dominio de f, aquellos en los que f ´(x) es igual a cero o en los que f ´(x) no existe.
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de la siguiente función: f ( x) 2 x 2 x 4 Solución: Como f ( x) 2 x 2 x 4 , entonces f ( x) 4 x 4 x 3 Ahora: f ´(x) 0 si y solo si 4 x(1 x 2 ) 0 o sea si x 0 , ó, x 1 , ó, x 1 Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.
Criterio de la Primera Derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.
Teorema 4 Sea f una función continua en un intervalo cerrado a, b , que es derivable en todo punto del intervalo abierto a, b . Sea c es un punto crítico. a. Si f ´(x) es positiva para todo x c , y negativa para todo x c , entonces f (c) es un valor máximo local de f (x) . b. Si f ´(x) es negativa para toda x c , y positiva para toda x c , entonces f (c) es un mínimo local de f (x) . c. Si f ´(x) es positiva para todo x c y también lo es para todo x c ; o si f ´(x) es negativa para todo x c y a su vez para todo x c , entonces f (c) no es un valor máximo local ni un valor mínimo local de f (x) .
48 Universidad Católica “Santo Toribio de Mogrovejo”
Ejemplo: En el siguiente ejemplo se determinarán los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los puntos críticos y por último se aplica el teorema anterior.
1 f ( x) 4 x x 3 3 Note que f está definida para x R Como f ´(x) 4 x 2 entonces f ´(x) 0 si y solo si x 2 ó x 2 . Los valores críticos son x 2 y x 2 Determinemos ahora cuándo f ´(x) 0 y cuándo f ´(x) 0 . Como f ´(x) (2 x) (2 x) , se deben resolver las desigualdades:
(2 x) (2 x) 0; (2 x) (2 x) 0 . Nos ayudamos con la tabla siguiente:
Como f ´(x) 0 para x ,2 y f ´(x) 0 para x 2,2 entonces:
f 2 es un valor mínimo. Como f ´(x) 0 para x 2,2 y f ´(x) 0 para x 2, entonces:
f (2) es un valor máximo. La representación gráfica de la función es la siguiente: Note que f (2) que f (2)
16 es un mínimo relativo y 3
16 es un máximo relativo, en el 3
dominio de la función.
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Criterio de la Segunda Derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función Utilizaremos la segunda derivada para establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. Teorema 5 Sea f una función dos veces diferenciable en el punto crítico x c .Entonces: a. x c es un máximo local de f siempre que f ´(c) 0 y f ´´(x) 0 . b. x c es un mínimo local de f siempre que f ´(c) 0 y f ´´(x) 0 .
Veamos un ejemplo: Evaluar los máximos y mínimos de la siguiente función:
, Note que la función f no está definida en x 1 La derivada de f está dada por f ´(x)
x( x 2) , x 1 ( x 1) 2
Los valores críticos de f se obtienen cuando f ´(x) 0 . En este caso, f ´(x) 0 si y solo si x 0, ó x 2 . Ahora, la segunda derivada de f es f ´´
2 ( x 1) 3
Vamos a evaluar f ´´(x) en
x 0 y x 2 a. f ´´(0) 2 ; como 2 0 entonces f (0) es un valor mínimo relativo de f. b. f ´´(2) 2 ; como 2 0 entonces f (2) es un valor máximo relativo de f. Gráficamente se tiene en el intervalo
4,2
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Problemas para Resolver
Velocidad de la tos. Una persona tose cuando hay un objeto extraño en su tráquea. La velocidad de la tos depende del tamaño del objeto. Suponga que una persona tiene una tráquea cuyo radio es 20 mm. Si un objeto extraño tiene un radio r, en milímetros, entonces la velocidad V, en milímetros/segundo, necesaria para eliminar el objeto mediante la tos está dada por
V (r ) k 20r 2 r 3
,
0 r 20 ,
donde k es una constante positiva. ¿Para qué tamaño del objeto se necesita la velocidad máxima, con el fin de removerlo?
Temperatura en enero. Suponga que la temperatura T, en grados Fahrenheit, durante un día de 24 horas en enero está dada por
T ( x) 0.0027 x3 34 x 240
, 0 x 24 , x donde es el número de horas desde la medianoche. Aproxime la temperatura mínima relativa y el momento en que se presenta.
Medicamentos en la corriente sanguínea. Después de aplicar una inyección, la cantidad de medicamento A en la corriente sanguínea disminuye después del tiempo t, en horas. Suponga que en ciertas condiciones A está dada por:
A(t )
A0 t 1 , 2
donde A0 es la cantidad inicial del medicamento aplicado. Suponga que se inyecta una cantidad inicial de 100 cm3. a. Halle A(0), A(1), A(2), A(7), A(10). b. Halle el Lím A(t ) . t
c. Determine el valor máximo de la inyección en el intervalo [0, ∞]. d. Trace la gráfica de la función. e. De acuerdo con esta función, ¿el medicamento nunca abandonará completamente la corriente sanguínea? Justifique su respuesta.
Concentración de medicamento. La concentración C, en partes por millón, de un medicamento en el cuerpo durante t horas después de la ingestión está dada 2 t por la función C (t ) 10t e .
a. Halle la concentración después de 0, 2, 3 y 10 horas.
b. Halle la razón de cambio de la concentración C (t ) . Explique su significado. c. Halle el valor máximo de la concentración y donde se presenta. d. Trace una gráfica de la función para 0 t 10 .
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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