Análisis Matemático III

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Jorge Guillermo Díaz Albújar

PRESENTACIÓN Esta publicación presenta los fundamentos teóricos y prácticos de las ecuaciones diferenciales ordinarias, Parciales, Transformada de Laplace y Series de Fourier. El sesgo con el que se exponen pretende enfocar los contenidos a la formación de los ingenieros, como se hace patente tanto en la presentación de las cuestiones teóricas, como en los ejercicios resueltos a los que se aplica. El modo de presentarlos es el que se utiliza en la docencia de la Escuela de Ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo (USAT), pero pretende constituir un texto de utilidad para la adquisición de conocimientos al respecto para cualquier estudiante de ingeniería. Para ser capaces de superar el grueso de las asignaturas tecnológicas de la carrera le bastaría al alumno con una base somera de matemáticas superiores que ampliara ligeramente los conocimientos con los que se accede a este curso. Si bien la mayor parte de las asignaturas tecnológicas se apoyan en una base matemática de cierta complejidad, (pensemos por ejemplo en las asignaturas de resistencia de materiales o de hidráulica, que a su vez están apoyadas en la mecánica de medios continuos), y que sin duda la teoría de estas materias sólo cobra sentido si se ha estudiado y asimilado antes una serie de conocimientos matemáticos de base, en la mayoría de los casos los cálculos necesarios para resolver en última instancia los problemas de estructuras o hidráulica acaban siendo operaciones aritméticas sencillas que no precisan de un aparato matemático demasiado complejo. En cualquier caso, la base científica es fundamental para la formación del ingeniero tal y como lo entendemos en nuestra sociedad. Me gustaría reproducir aquí la conocida cita de Galileo (1564-1642) al respecto de las matemáticas y el universo:

La filosofía está escrita en ese vasto libro que está permanentemente ante nuestros ojos (me refiero al universo), que sin embargo no puede entenderse si no se ha aprendido a comprender su lenguaje y a conocer el alfabeto en el que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, cuyo guión es el de los triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las que sólo podríamos vagar por mazmorras tenebrosas, Efectivamente, las leyes de la naturaleza están escritas en términos de ecuaciones diferenciales y es conveniente conocer el lenguaje de las matemáticas para ser capaz de conocer, resolver y dominar la naturaleza. La cuestión del control de la naturaleza podría llevar aquí a otro tipo de discusión sobre si el fin último de la tecnología es la dominación de la naturaleza o por el contrario sólo consigue descontrolarla, pero no divaguemos más… aún.

INTRODUCCIÓN: La concepción actual de la física está cimentada sobre la base de las ecuaciones diferenciales, de forma que cualquier fenómeno de la naturaleza se puede escribir en términos del equilibrio de fuerzas diferenciales que da la segunda ley de Newton. Como es conocido, la segunda ley de Newton establece que la variación de la cantidad de movimiento de un sistema físico es igual a la suma de fuerzas actuantes:

d mv dt

dv dm v dt dt

esto es, suma de fuerzas actuantes igual a masa por aceleración en el caso de la masa se conserve. El conocimiento y entendimiento son prerrequisitos para Ia aplicación eficaz de cualquier herramienta. Si no sabemos cómo funcionan las herramientas, tendremos serios problemas para reparar un automóvil, aunque la caja de herramientas sea de lo más completa. Esta es una realidad, particularmente cuando se usan computadoras para resolver problemas

ingeniería.

Aunque tienen

una gran utilidad

potencial,

las

computadoras son prácticamente ineficientes si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniería. A través de muchos años de observación y experimentación, los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general puede expresarse como una ley fundamental que engloba, en esencia, el conocimiento acumulado de experiencias pasadas. Así, muchos problemas de ingeniería se resuelven mediante el empleo de un doble enfoque: el empirismo y el análisis teórico. Hay que hacer un esfuerzo para que estos dos elementos del conocimiento lleguen a fundirse en uno solo. Mientras se toman nuevas medidas, se pueden modificar las generalizaciones o descubrirse otras nuevas. De igual manera, las generalizaciones pueden tener una gran influencia en la experimentación

y la observación.

En lo particular, las generalizaciones

pueden servir como principios de organización que pueden utilizarse para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema consistente y comprensible, con conclusiones que pueden ser graficadas. Desde Ia perspectiva de un problema de ingeniería ya resuelto, este sistema es aun mas útil cuando el problema se expresa en forma similar a un modelo matemático.

ÍNDICE PRESENTACIÓN………………………………………………………………………… 2 INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………. 3 ÍNDICE……………………………………………………………………………………... 4 LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS……………………………………………..6 CAPÍTULO I: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1.1.

Generalidades ...…………………………………………………………………..7 1.1.1. Definición …………………………………………………………….........7 1.1.2. Tipos ………………………………………………………………………..7 1.1.3. Características……………………………………………………………..8 1.1.3.1.

Orden de la ecuación…………………………………………8

1.1.3.2.

Grado de la ecuación…………………………………………8

1.1.4. Ecuación diferencial lineal………………………………………………8 1.1.5 Usos…………………………………………………………………………9 1.1.6 Ecuaciones semilineales y cuasilineales……………………………..9 1.2.

Solución de una ecuación diferencial…………………………………………10

1.3.

Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O)…………………………………….....11 1.3.1. Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden………………….. 11 1.3.1.1. Teorema(Existencia y Unicidad)……………………………. 13 1.3.2. Ecuaciones de Bernoulli……………………………………………….. 15 1.3.3. Ecuaciones Separable…………………………………………………. 20 1.3.4. Ecuaciones homogéneas……………………………………………… 23 1.3.5. Ecuaciones exactas…………………………………………………….. 24 1.3.5.1 Teorema de exactitud………………………………………… 25 1.3.6. Factor Integrante………………………………………………………… 25 1.3.7. Estabilidad Dinámica del equilibrio…………………………………… 28 1.3.7.1 Análisis Cuantitativo……………………………………………28 1.3.7.2 Análisis Cualitativo……………………………………………..28 1.3.8. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden...31

CAPÍTULO II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR 2.1.

Ecuaciones Lineales de Segundo Orden…………………………………….33 2.1.1 Ecuaciones Homogéneas con coeficientes constantes…………...33 2.1.1.1.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes homogénea………………..34

2.1.1.2. Análisis de estabilidad Dinámica……………………..37 2.1.2. Ecuaciones Diferenciales de segundo orden con Coeficientes Constantes no Homogéneas……………………………………………………37 2.2 Ecuaciones diferenciales de orden superior……………………………………39 2.2.1 Análisis Cualitativo……………………………………………………….40 2.2.1.1

Teorema de Routh……………………………………………….40

2.2.2 Teorema: Principio de Superposición, ecuaciones homogéneas.43 2.2.2.1

Corolarios al Teorema de superposición……………………43

2.2.3

El Wronskiano…………………………………………………………….44

2.2.4

Criterio para soluciones linealmente independientes(Teorema)..45

2.2.5

Conjunto Fundamental de soluciones………………………………..45

2.2.6 Existencia de un conjunto Fundamental (Teorema)………………….46 2.2.7 Solución General, Ecuaciones Homogéneas………………………….46 2.2.8 Solución General, Ecuaciones No Homogéneas……………………...47 2.2.8.1. Principio de Superposición, Ecuaciones No Homogéneas.48 2.2.9. Reducción de Orden………………………………………………………48 2.2.10. Método de Coeficientes Indeterminados, Método de Superposición………………………………………………………………………51

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

CAPÍTULO I ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1.1.

Generalidades:

1.1.1. Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: 1.1.2. Tipos: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

2 xy 1

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

u x

u y

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

1.1.3. Características: 1.1.3.1. Orden de la ecuación El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. 1.1.3.2

Grado de la ecuación Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

1.1.4. Ecuación diferencial lineal Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma

an x y

an 1 y

n 1

... a1 x y ' a0 x y

g x , es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación. Ejemplos:

y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene

como soluciones y

y '' y

f x

k.e x , con k un número real cualquiera.

0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo

orden, tiene como soluciones y

f x

a cos x

bsen x , con a y

b reales. y '' y

0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo

orden, tiene como soluciones a.e x

1 , con a y b reales. ex

1.1.5.

Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Mx '' t

Cx ' t

Kx t

P t

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo. La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden: 2

u 2

u x2

donde t es el tiempo y x es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda. 1.1.6.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función y x puede escribirse en la forma:

f y n , y n 1 ,..., y '', y ', y, x

f1 z : f z,

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si f1

f1 z

n 1

,...,

, 1,

es una función afín, es decir,

az b

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n

más una función

cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función y x puede escribirse en la forma:

f y n , y n 1 ,..., y '', y ', y, x

fˆ y n , x

g y n 1 ,..., y '', y ', y, x

Se dice que dicha ecuación es semilineal si f 2

1.2.

f 2 z : fˆ ´z,

es una función lineal.

Solución de una ecuación diferencial

1.2.1. Tipos de soluciones Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: 1.2.1.1

Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o

más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y x ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

1.2.1.2 Solución particular: Si fijando cualquier punto P x0 , y0

por donde debe

pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C , y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el 10

nombre de solución particular de la ecuación en el punto P x0 , y0 , que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. 1.2.1.3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. 1.3.

Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O)

1.3.1. Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

dy f x, y dx y x0 y0 o en su forma implícita:

f x, y ,

dy dx

0 con y x0

Pero, una ecuación Diferencial lineal de primer orden se puede expresar de la siguiente forma:

y' p x y

g x

Bien, ahora determinamos su solución.

Multiplicando a ambos miembros de la ecuación por la función e

p x dx

y' p x y

p x dx

, tenemos:

g x

Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del producto de la función buscada y x con la función e

p x dx

, es decir: 11

d ye

p x dx

g x

Integrando miembro a miembro: p x dx

d ye

p x dx

g x dx

g x dx C 1

Finalmente, se obtiene y x

p x dx

g x dx C . La cual llamaremos

Soluciรณn General. Ejemplo 1 Encontrar la soluciรณn general para y ' 2 xy

Soluciรณn: Para este caso tenemos: p x

Calculando primero, e

p x dx

2x y g x 2 xdx

1 e

y x e

y x

O lo que es lo mismo: y

Luego utilizando la fรณrmula y x

p x dx

1 e 2

p x dx

g x dx C , resulta:

xdx C

2 1 Ce x , Soluciรณn General 2

Ejemplo 2

2 y x

Encontrar la solución general para y '

x 2 sen3 x

Solución:

2 y g x x

Para este caso tenemos: p x

Calculando primero, e

p x dx

2 dx x

Luego utilizando la fórmula y x

y x

1 x2

y x

O lo que es lo mismo: y

eln x

p x dx

x2 sen3x

p x dx

g x dx C , resulta:

x 2 x 2 sen3 xdx C

cos 3 x C 3

x 2 cos 3x Cx 2 , Solución General 3

1.3.1.1 TEOREMA Si las funciones p y g son continuas en un intervalo a, b , que contiene el punto x0 , entonces existe una función única y

y' p x y

g x para x

f x que satisface a la ecuación diferencial

a, b que cumple la condición inicial y x0

Ejemplo 3 Encontrar la solución particular para xy ' 2 y

4 x 2 si y 1

Solución: Dividimos para “ x ”:

4 x2

xy ' 2 y 2 y x

2 y g x x

Para este caso tenemos: p x

p x dx

Calculando primero, e

2 dx x

e2ln x

Con la condición y

y x

1 x2

y x

1 4 x x2

Finalmente

p x dx

g x dx C , resulta:

x 2 4 xdx C

C , Solución General x2

x 1

Luego utilizando la fórmula y x

O lo que es lo mismo: y

se obtiene: 2 1

C 1

1 SOLUCIÓN PARTICULAR x2

Ejemplo 4 Encontrar la solución particular para y ' y

2 xe2 x si y 0

Solución: Para este caso tenemos: p x

Calculando primero, e

p x dx

1 y g x

1dx

2 xe2 x

Luego utilizando la fórmula y x

p x dx

y x

1 2 xe 2 x e x dx C e x

y x

e x 2 xe x dx C

g x dx C , resulta:

La integral que resulta se la encuentra integrando Por Partes.

u Haciendo

du 1dx

dv e x dx xe x dx = xe x

e x dx e x

v xe x

resulta:

e x dx =

O lo que es lo mismo: y x

e x 2 xe x e x

Con la condición y

x 0

Finalmente

y x

e x 2 xe x e x

C , Solución General

se obtiene: 1

2 C

C 3

SOLUCIÓN PARTICULAR

1.3.2. ECUACIONES DE BERNOULLI Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en Lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli. Una Ecuación de Bernoulli tiene la forma

y' p x y

g x y n donde

n 0 n 1. Para encontrar su solución, se siguen los siguientes pasos: PASO 1: Dividir para y n .

y' yn

y' y

p x n

y yn

p x y1

g x n

yn yn

g x

PASO 2: Cambiar de variable: v

Adem谩s, derivando la nueva variable con respecto a x , se obtiene:

dv dx

1 n y1

dv dx

1 n y

dy dx

1 1 n y

y n dv 1 n dx

n 1

dy dx

dv dx

Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta:

y' y

p x y1

y n dv y 1 n dx

dv 1 n dx

g x

p x v

g x

La 煤ltima ecuaci贸n es lineal con respecto a la nueva variable v , PASO 3: Encontrar v x

PASO 4: Encontrar

y x , empleando el cambio de variable utilizado.

Ejemplo 1 Encontrar la soluci贸n general de x 2 y ' 2 xy

SOLUCIÓN: PASO 1:

x 2 y ' 2 xy

2 xy x2

2 y x

y' y3

y3 x2 1 3 y x2

Ecuación de Bernulli

1 y3 x2 y3

2 y x y3

y 3y'

2 Dividiendo para x

2 y x

Dividiendo para y 3

1 x2

PASO 2:

Aquí el cambio de variable sería: v

dy dx

1 2y

y 2 , entonces

dv dx

dy o también dx

dv dx

Reemplazando en y 3 y '

2 y x

1 dv 2 dx

dv dx

2 v x

4 v x

1 se obtiene: x2 1 x2

2 x2

PASO 3: Encontrar v . La última ecuación es lineal con respecto a v , por tanto podemos encontrarla de la manera descrita anteriormente.

4 dx x

4ln x

e e

ln x

1 x4

2x 5 5

1 x4

dx C

2 x 5

2 x 6 dx C

cx 4

PASO 4: Encontrar y

Como v

entonces y

2 5x

cx 4

Y al despejar, se obtiene:

1 2 cx 4 5x

y x

1 2 cx 4 5x 1 2 4 cx 5x

Ejemplo 1 Encontrar la solución general de y '

y xy 3 1

SOLUCIÓN: PASO 1: Primero la llevamos a la forma de Bernoulli

y xy 3 1

y' y

xy 4

Dividiendo para y 4 , se obtiene:

y' y4 y' y4

y y4 y

xy 4 y4 x

PASO 2: Aquí el cambio de variable sería: v

dy dx

1 3y

y 3 , entonces

dv dx

dy o también dx

dv dx

Reemplazando se obtiene: y' y

1 dv 4 y v 3 y 4 dx dv 3v 3x dx

PASO 3: Encontrar v .

e v

3 xdx

1 e

3 x dx C

Integrando por partes:

1 e

3 e 9

3 Ce3 x 9

PASO 4: Encontrar y

1 Ce3 x 3 1 entonces y 3 1 x Ce3 x 3 1 y x 1 3 x Ce3 x 3 y

Como v

1.3.3. ECUACIONES SEPARABLES Son Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se pueden expresar de la forma:

M x dx N y dy

Entonces, el método de solución será integrando, ambos miembros. EJEMPLO 1

Encontrar la solución general de

x2 1 y2

dy dx

SOLUCIÓN: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de y , y luego integrando. Resulta:

dy dx

x2 1 y2

1 y 2 dy

x 2 dx

1 y 2 dy

y3 3

x 2 dx

x3 3

EJEMPLO 2

Encontrar la solución particular de y '

x2 1 ; 2 y

SOLUCIÓN: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de y , y luego integrando. Resulta:

x2 1 2 y

dy dx

x2 1 2 y x 2 1 dx

2 y dy

x 2 1 dx

2 y dy

y2 2

Empleando la condición inicial

y2 2

2 4

x3 3

x C

x0 y0

3 4

, encontramos C, es decir:

x C

C 12 Entonces la ecuación particular sería:

y2 2

x3 3

x 12

Existen ecuaciones diferenciales que con un cambio de variable se convierten en separables. EJEMPLO 3 Encontrar la solución general de y '

1 2 tg x 2 y 2

SOLUCIÓN: La ecuación dada no es lineal y tampoco es separable directa, pero haciendo el cambio de variable u

x 2 y se podrá separar las variables.

Derivando la expresión de la nueva variable se obtiene:

Entonces y '

du dx

d x 2y dx

1 2

dy dx

u' 1 . Reemplazando y resolviendo, resulta: 2 1 2 tg x 2 y 2

tg 2u 2

u' 1 2 du dx

1 tg 2u

du dx

sec 2 u

La última ecuación es separable, resolviendo tenemos: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de u , y luego integrando. Resulta:

du dx

sec 2 u du sec 2 u

cos 2udu

1 1 cos 2u du 2 1 u 2

sen 2u 2

x C

Y regresando a la variable original, queda:

1 2

x 2y

sen2 x 2 y 2

x C Solución General.

1.3.4. ECUACIONES HOMOGENEAS Si una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la forma y '

f y / x se la

denomina Ecuación Diferencial Homogénea. Para encontrar su solución se realiza el cambio de variable v

y , para convertirla en x

una ecuación donde se pueda separar sus variables. Para obtener

dy se hace lo siguiente: dx

Despejando y tenemos: y

dy dv 1 v dx dxx Derivando con respecto a “ x ”, se obtiene: dv y' x v dx EJEMPLO 1

y x Encontrar la solución general de y ' y 1 x 1

SOLUCIÓN: Como es una ecuación homogénea hacemos el cambio de variable v

y de donde x

dv v. dx

Reemplazando, y resolviendo resulta:

y x y' y 1 x 1

dv dx

1 v 1 v

dv dx

1 v v 1 v

dv dx

1 v v 1 v 1 v 1 v v v2 1 v

dv x dx

1 2v v 2 1 v

dv dx

1 v dv 1 2v v 2

dx x

En la última ecuación están separadas sus variables y podemos proceder a integrar cada miembro:

1 v dv 1 2v v 2

dx x

1 ln 1 2v v 2 2

ln x

Finalmente debemos reemplazar v

y x

1 y ln 1 2 2 x

y x

ln x

C Solución General

1.3.5. ECUACIONES EXACTAS Sea la función z

f x, y . Su diferencial total es df

df x, y

Si f x, y

C entonces

f dx x

f dy y

dc f dy 0 y

Suponga ahora que se tiene una ecuación diferencial de la forma: M x, y dx

N x, y dy

Que represente la diferencial total de una función desconocida z

f x, y .

Entonces el asunto sería encontrar la función desconocida. 1.3.5.1 TEOREMA DE EXACTITUD Una ecuación diferencial M x, y dx N x, y dy 0 es exacta si y sólo si

M y

N x

EJEMPLO 1

y cos x 2 xe y

dy Encontrar la solución general de dx

senx x 2e y

SOLUCIÓN: En este caso la forma diferencial de la ecuación es: y cos x 2 xe y dx

senx x 2e y

M x, y

2 dy

N x, y

Veamos si es exacta

M y

cos x 2 xe y

N x

cos x 2 xe y

Como las derivadas cruzadas son iguales, por tanto la ecuación diferencial si es exacta y procedemos a encontrar la función solución. f x, y

M x, y dx

y cos x 2 xe y dx

f x, y

N x, y dy

senx

ysenx x2e y

x 2e y

2 dy

ysenx

x 2e y x 2e y

C1 2 y C2

2y C

1.3.6. FACTOR INTEGRANTE En la ecuación diferencial M x, y dx N x, y dy 0 , si

M y

N a veces es posible x

transformarla en exacta si se la multiplica por una función R x, y , es decir:

R x, y

M x, y dx

RMdx

RNdy

N x, y dy

Suponga que R

entonces

R x

y M R y

x R'N

NR ' R 1 N

N x

N x M R 0 y R

N x

M y

La última expresión es una ecuación diferencial lineal para R x

R x e

Por tanto

R x

1 N

N x 1 N

M dx y M y

1 N

N x

M dx y

dx C

N dx x

EJEMPLO Encontrar la solución general de:

dy dx

3x xy 2 y x2 y

SOLUCIÓN: dy dx y

M y

3x xy 2 y x2 y x 2 y dy xy 2 dx

2 yx

xy 2 dx

x 2 y dy

N x

2 xy

Hallemos R x

R x

1 N

e 4 xy y1 x

e e

1 x2

2 xy dx

2ln 1 x 2

1 x2

x 2 y dy

2 yx

y x2 y

xy 2 dx

N dx x

ln 1 x 2

Multiplicando la ecuaci贸n

M y

0 por R x

1 x2

resolviendo, resulta: 2

1 x2

3x xy 2 dx x

1 x

x y

1 x

2 2

y 2 dx

y x 2 y dy 0 y

1 x2

2 xy

1 x2

En este caso

si es exacta y x

1 x

2 xy 2

1 x2

Calculando f x, y , resulta:

f x, y

1 x

2 2

3 y 2 dx

y dy 1 x2

f x, y

3 y2

2 1 x2

y2 2 1 x2

Por tanto la soluci贸n general ser铆a:

3 2 1 x2 Si no existe R

y2 2 1 x2

R x , suponga ahora que R

R y entonces:

M N R y x M N MR ' R R 0 y x R'M

1 M

M y

N x

La última expresión es una ecuación diferencial lineal para R y

R y e

Por lo tanto

R y

1 M

M y

N dy x

1 M

M y

N dy x

0dx C

1.3.7. ESTABILIDAD DINÁMICA DEL EQUILIBRIO Se trata ahora de establecer el comportamiento de una trayectoria intertemporal y t . Determinar que ocurre con y t cuando ha transcurrido mucho tiempo t Para esto existen dos métodos: 1.3.7.1. ANÁLISIS CUANTITATIVO. Suponga que se conoce la regla de correspondencia y t . Entonces, si lim y t t

existe se dirá que y t es DINÁMICAMENTE ESTABLE, es decir se estabiliza o converge a un valor finito, al cual denotaremos como y y se le llamará el nivel de equilibrio intertemporal. Caso contrario, es decir si lim y t

se dirá que la

trayectoria de y t es DINÁMICAMENTE INESTABLE o también y t diverge del nivel de equilibrio y . 1.3.7.2. ANÁLISIS CUALITATIVO. Suponga que se tiene una ecuación diferencial de la forma

dy dt

f y Entonces es

posible determinar y t es dinámicamente estable o no, sin necesidad de encontrar la 28

regla de correspondencia de y t Esto se logra analizando el gráfico y ' vs y , el cual lo vamos a llamar DIAGRAMA DE FASE. Cuando y '

0 (positiva) entonces y es creciente; por tanto, arriba del eje y dibuje

unas flechas sobre la curva de fase moviéndose de izquierda a derecha. Y cuando

y ' 0 (negativa) entonces es decreciente; por tanto, debajo del eje y dibuje unas flechas sobre la curva de fase moviéndose de derecha a izquierda. Una vez hecho esto, se concluirá si y t se acerca o se aleja del nivel de equilibrio

y que ocurre cuando y ' 0 . EJEMPLO: Analizar la estabilidad dinámica de y t en la ecuación diferencial

dy dt

y 7; y 0

SOLUCIÓN: ANÁLISIS CUANTITATIVO

y 7

Observe que la ecuación diferencial dada es lineal y ' y

7 y por tanto es factible

obtener su solución de manera rápida.

y t e

et y t

7 e

1dt

dt C

7 Cet

Considerando la condición inicial, resulta:

y 0

7 Ce0

8 7 C 1 C Entonces: y t

7 et

Tomando límite al infinito tenemos: lim y t t

lim 7 et t

Por tanto, se concluye

que y t no es estable dinámicamente. Además, al graficar y t

7 et se observa este comportamiento.

Note que cuando ha transcurrido mucho tiempo la trayectoria se aleja (diverge) del nivel de equilibrio y

ANALISIS CUALITATIVO.

Graficando la curva de fase, tenemos:

Por tanto la trayectoria para y t no es estable dinámicamente.

1.3.8.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Algunas

situaciones

problemáticas

conllevan

plantear

ecuaciones

diferenciales para llegar a su solución. Ejemplo (CURVA APRENDIZAJE) La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los impuestos prediales es proporcional al número de personas en el país que no ha oído hablar al respecto. a) Plantee la ecuación diferencial que describe el modelo b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial planteada. c) Grafique la solución general obtenida y analice la estabilidad dinámica. SOLUCIÓN: Sea Q Cantidad de personas que han oído hablar sobre el aumento

B : Población Total B Q : Cantidad de personas que no han oído hablar sobre el aumento

k : Constante de proporcionalidad a) La ecuación para el modelo sería:

b) La ecuación

dQ dt

Q t e

k B Q

kB es lineal, por tanto su solución sería:

kBe kt dt C

kdt

dQ dt

Q t

B Ce

e kt k

c) La grĂĄfica de la curva de aprendizaje serĂa:

Se observa que cuando ha transcurrido mucho tiempo Q converge a B .

CAPÍTULO II ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

2.1.

ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Las ecuaciones lineales de segundo orden tienen una importancia primordial en el estudio de las ecuaciones diferenciales por dos razones principales. La primera es que las ecuaciones lineales poseen una rica estructura teórica que sustenta varios métodos sistemáticos de resolución. Además, una parte sustancial de esta estructura y estos métodos son comprensibles en un nivel matemático bastante elemental. A fin de presentar las ideas clave en el contexto más sencillo posible, se les estudia en este capítulo para las ecuaciones de segundo orden. Otra razón para estudiar las ecuaciones lineales de segundo arden es que son imprescindibles en cualquier investigación

seria de las áreas clásicas de la física-matemática. No es posible

avanzar mucho en el análisis de la mecánica de fluidos, la conducción del calor, el movimiento ondulatorio o los fenómenos electromagnéticos sin encontrar que es necesario resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. 2.1.1. ECUACIONES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:

y '' p x y ' q x y

Si g x

g x

0 se llama Ecuación Homogénea caso contrario; es decir g x

0 se llama

Ecuación no Homogénea. Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma: ay '' by ' cy

g x donde a, b y c

y a

2.1.1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEA

ORDEN

CON

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes homogénea es de la forma:

ay '' by ' cy 0 La función " y " y k

ke rx , solución general de la ecuación diferencial anterior, es de la

forma y k ke rx (¿Por qué?). Donde " k " es una constante que da la generalidad de la solución. Entonces el objetivo ahora será hallar el valor de r . Bien, de la solución general tenemos:

y ' krerx y '' kr 2 erx

Reemplazando en ay '' by ' cy 0 tenemos: akr 2 erx

bkrerx

kerx ar 2

Ahora bien, k

ckerx br c

0 0

0 porque si no tuviéramos la solución trivial y como también

erx 0 , entonces ar 2 br c 0 . A esta expresión se la denomina Ecuación Auxiliar y es útil para hallar r .

Observa que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general r1 , r2

b 2 4ac 2a

Aquí se presentan tres casos. Caso I Discriminante positivo b2

4ac 0 . Entonces r1 y r2 son raíces reales y

diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales

y1 x

k1er1x

y2 x

k2 er2 x

La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones fundamentales. y x

k1e r1x

k2e r2 x

Caso II Discriminante cero b2

4ac 0 . Entonces r1 y r2 son raíces reales e iguales.

k1erx

En este caso la solución General sería: y x

k2 erx

Caso III Discriminante negativo b2

4ac 0 . Entonces r1

i y r2

i son complejas

conjugadas C1er1x

Reemplazando en y x

Como ei

i x

y x

C1e

y x

C1e x e

y x

i x

C2 e

C1e

cos x isen x y e

C2 er2 x tenemos:

C2 e x e ix

C2 e

ix ix

cos x isen x

Reemplazando tenemos:

y x y x

e e

Por tanto la solución sería y x

C1 cos x isen x x

C1 C2 cos x e

C2 cos x isen x C1i C2i sen x

k1sen x k2 cos x

EJEMPLO 1 Encuentre la solución general para y '' 4 y ' 12 y 0 SOLUCIÓN: En este caso la ecuación auxiliar sería r 2 Hallando las raíces tenemos

4r 12 0

r 6 r 2 r

0 2

Por tanto:

y1 x

k1e6 x

y2 x

k1e

y x

k1e6 x

k1e

Podemos comprobar que efectivamente esta es la función que satisface la ecuación diferencial dada. Obtengamos la primera y la segunda derivada

y ' 6k1e6 x y '' 36k1e6 x

2ke

4ke

Luego reemplazando

36k1e6 x

4k 2 e

24k1e6 x

8k2 e

12k1e6 x 12k2 e

0 0

EJEMPLO 2 Encuentre la solución general para 2 y '' 3 y ' y 0, y 0

1 y' 0

SOLUCIÓN: En este caso la ecuación auxiliar sería 2r 2 - 3r 1 0 Hallando las raíces tenemos

r r

9 4 2 1 4

1 4 1 2

r1 1 r2

k1e x

Por tanto, la solución general sería: y x

k2 e 2

Como las condiciones iniciales están dadas debemos encontrar las constantes k1 y k 2 1

y x

k1e x

k2 e 2

1 entonces y 0

k1e0

k2 e 2

Como y 0

1 k1

Obteniendo la primera derivada:

y' x

Como y ' 0

k1e x

1 x 1 k2e 2 2

y' x

k1e x

1 entonces y ' 0

k1e0

1 k1

1 k2 2

1 x 1 k2 e 2 2 1 0 1 k2 e 2 2

Resolviendo simultáneamente

1 k1

tenemos: 1 k2 2

Por tanto, la solución particular es: y x

0 y k1 1

2.1.1.2 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICA En el capítulo anterior se mencionó que la estabilidad dinámica de una trayectoria y t se la determina con lim y t . t

Podemos ir analizando por casos. Caso I, y x k1er1t k2er 2t . Si las raíces son reales y diferentes, estas tienen que ser negativas para que la trayectoria sea dinámicamente estable. Caso II, y x k1ert k2 e rt . Si las raíces son reales e iguales entonces r tiene que ser negativa r 0 para que la trayectoria sea dinámicamente estable. Caso III y t

k2 senut . Si las raíces son complejas conjugadas entonces

k1 cos ut

la parte real λ tiene que ser negativa

0 para que la trayectoria sea

dinámicamente estable. 2.1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTE CONSTANTE NO HOMOGÉNEAS Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término g x variable es de la forma: ay '' by ' cy

g x

La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria

yc una solución particular . y p

y x

La Solución complementaria

yc x

yp x

SOL COMPL

SOL PART

satisface la ecuación homogénea

ayc '' byc ' cyc

Por tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionado anteriormente. La

Solución

particular

satisface

ay p '' by p ' cy p

ecuación

homogénea

g x

Esta solución, si es de forma polinómica o exponencial o trigonométrica de senos y cosenos, se la puede determinar empleando el llamado Método de los coeficientes indeterminados.

En estos casos, de acuerdo a la forma de g x , la solución particular y p x es deducible. Observe el siguiente cuadro.

Si g x

an x n

Si g x

a1sen x a2 cos x entonces y p x

an 1 x n

x s An x n

... a1 x a0 entonces y p x

entonces y p x

x s Ae

An 1 x n

... A1 x

x s Asen x B cos x

Note que la solución particular aparece multiplicada por x ' , esto es para el caso de que existan soluciones particulares que no sean linealmente independientes de las soluciones complementarias. Es decir, a necesidad se puede utilizar s 0,1,2 EJEMPLO 1 Sea

x 2 3x Hallar la solución general

y '' 4 y ' 9 y SOLUCIÓN:

La solución general es de la forma Primero, hallemos

y t

yc .

La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y ''c 4 y 'c 9 yc La ecuación auxiliar es r 2

4r 9

r1 , r2 r1 r2 Por tanto yc x

k1sen

4 9

2 20

r1 , r2 r1 , r2

0 . Hallando las raíces tenemos

r1 , r2

2 4

20 1 2 4 2 5i 2 4 2 5i r1 2 4 2 5i r1 2 5x

k2 cos

Segundo, hallemos y P . x2

Como g x

3x (polinomio de grado 2) entonces la solución particular es de la

Ax 2

forma yP x

Bx C (polinomio generalizado de grado 2). Luego debemos

determinar los coeficientes A, B y C . La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir, y ''P 4 y 'P 9 yP x 2 3 x Hallemos la primera y la segunda derivada para yP x

Ax2

Bx C

yP ' 2 Ax b yP '' 2 A Reemplazando y agrupando

2 A 8 Ax 4 B 9 Ax 2 9 Bx 9C 9 Ax 2

8 A 9B x

2 A 4B 9C

x 2 3x x 2 3x 0

Si dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales.

9A 1 Entonces 8 A 9 B

2 A 4 B 9C

Resolviendo el sistema simultáneo tenemos:

A Por, tanto yP x

1 19 C , B 9 81 y 1 2 19 94 x x 9 81 729

94 729

Finalmente la solución sería:

y x 2.2.

k1sen

k 2 cos

1 2 19 94 x x 9 81 729

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales de coeficientes constantes, podemos pensar en procedimientos análogos. EJEMPLO: Hallar la solución para y IV

6 y ''' 14 y '' 16 y ' 8 y

SOLUCIÓN: Primero, encontramos la solución complementaria yc Que satisface la ecuación homogénea

yc IV La ecuación auxiliar sería r

6 yc ''' 14 yc '' 16 yc ' 8 yc 3

14r

16r 8

24 .

Encontramos las raíces por división sintética 39

2r 2

r3 , r4 r3 , r4 r3

4 4 2

2 4 2

1 i

Por tanto

yc x

k1e

k2 e

k3sen k4 cos x

Segundo; la solución particular yP es de la forma yP

A porque g x

24 .

yP ' 0 yP '' 0 Entonces y ''' P

yP IV

6 y '''P 14 y ''P 8 yP

Reemplazando y calculando 0 6 0 Por tanto y x

k1e

k2 xe

14 0

16 0

0 24 8 A 24

k3senx k4 cos x

Observe que es dinámicamente estable, es decir que y t converge al nivel de equilibrio y 2.2.1.

3. ANÁLISIS CUALITATIVO

Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, podemos utilizar el siguiente análisis si se trata de determinar la estabilidad 2.2.1.1.

Teorema de Routh

Sea la ecuación polinómica de grado n a0 r n a1r n 1 a2 r n 2 a3r n 3 ...an 1r

0 40

La parte real de todas las raíces son negativas si y sólo sí los " n " primeros determinantes de la siguiente sucesión:

a1 ;

; a0

a4 ;

;...

Son todos positivos Nota:

0 Si m

Ya usted ha tenido la oportunidad de observar que para que una trayectoria y t , solución de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y término constante, sea dinámicamente estable se requiere que las raíces de la ecuación auxiliar o la parte real (en el caso de las raíces complejas) sean todas negativas. Entonces para determinar lo anterior basta con emplear el Teorema de Routh. EJEMPLO 1 Determine cualitativamente la estabilidad dinámica para

y IV

6 y ''' 14 y '' 16 y ' 8 y

SOLUCIÓN: Empleando el Teorema de Routh. La ecuación auxiliar es r 4

En este caso n

4 y además a2 a3 a4

6r 3 14r 2 16r 8

14 16 8

Los cuatro determinantes serían:

6 16

1 14

6 16

1 14

84 16 68

800

6 16

1 14

16 0

14 8

6400

Como todos los determinantes son positivos entonces todas las raíces son negativas; por tanto la solución es dinámicamente estable

Operadores diferenciales En cálculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es,

transforma

una

función

D cos 4 x

4sen4 x y D 5 x 3 6 x 2

Dy . El símbolo D se llama operador diferencial porque

diferenciable

otra

función;

por

ejemplo,

15 x 2 12 x . Las derivadas de orden superior

se pueden expresar en términos de D en forma natural:

d d2y dx dx 2 en donde

dny dx n

D Dy

D y y en general

Dn y ,

y representa una función suficientemente diferenciable. Las expresiones

interviene

D 3,

como

3D 4

polinomiales

donde

5 x3 D 6 x 2 D 2

4 xD 9 también son operadores diferenciales. En general, el

operador diferencial de orden n se define:

L an x Dn an Como

consecuencia

D cf x

dos

x Dn

... a1 x D a0 x ,

propiedades

básicas

cDf ( x) , donde c es una constante y D f x

g x

diferenciación

Df ( x) Dg ( x) ,

el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L , operando sobre una combinación lineal de dos funciones diferenciables, es lo mismo que una combinación lineal de L operando sobre las funciones individuales. En símbolos, esto significa que

f x

g x

en donde

Lf ( x) y

Lg ( x) ,

(9)

son constantes. A causa de la propiedad (9), se dice que el

operador diferencial de orden n, L, , es un operador lineal.

Ecuaciones diferenciales Toda ecuación diferencial lineal se puede expresar en notación

D ; por ejemplo, la ecuación diferencial y ” en la forma D 2 y

5Dy

5 y’

5 x - 3 o como

5 x - 3 se puede escribir

6 y

5 x - 3 . Al

aplicar la ecuación (8), las ecuaciones diferenciales (6) y (7) de orden n se pueden escribir en forma compacta como

L y

0 y L y

g x

respectivamente. 42

Principio de superposición

En el siguiente teorema veremos que la suma o

superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución. 2.2.2. TEOREMA

Principio

superposición

linealidad),

ecuaciones

homogéneas Sean y1 , y2 ,... yk soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n , ecuación (6), donde x está en un intervalo I. La combinación lineal

Y=c1 y1 x

c2 y2 x

... ck yk x ,

en donde las ci , i 1, 2,..., k son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en el intervalo.

DEMOSTRACIÓN

Probaremos para el caso k

definido en (8) y sean y1 x

L y

0. Si definimos y c1 y1 x

L y

2.2.2.1.

y y2 x

L c1 y1 x

2. Sea L el operador diferencial

soluciones de la ecuación homogénea

c2 y2 x , entonces, por la linealidad de L ,

c2 y2 x

c1L y1

c2 L y2

c1 0 c2 0 0

Corolarios al teorema de superposición (o linealidad)

Un múltiplo constante, y

c1 y1 x , de una solución y1 x

de una ecuación

diferencial lineal homogénea también es una solución. Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre tiene la solución trivial y

EJEMPLO 1

Las funciones y1

x3 y ''' 2 xy ' 4 y

x 2 ln x son soluciones de la ecuación lineal homogénea

x 2 y y2

0 para x en el intervalo 0,

. Según el principio de superposición,

la combinación lineal

c1 x 2

c2 x 2 ln x

También es una solución de la ecuación en el intervalo. 43

e7 x es una solución de y '' 9 y ' 14 y

0 . Como la ecuación

diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y

ce7 x también es una

La función y

solución. Cuando c tiene diversos valores,

9e7 x , y

0, y

5e7 x ,…son

soluciones de la ecuación. Dependencia e Independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones,

f1 x , f 2 x ,..., f n x

es linealmente

dependiente en un intervalo I si existen constantes c1 , c2 ,..., cn no todas cero, tales que

c1 f1 x

c2 f 2 x

... cn f n x

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las que se cumple

c1 f1 x

c2 f 2 x

para toda x en el intervalo son c1

... cn f n x c2

..., cn

0 0.

Es fácil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, f1 x , f 2 x .

2.2.3. EL WRONSKIANO Supóngase que cada una de las funciones

f1 x , f 2 x ,..., f n x

posee n 1

derivadas al menos. El determinante

f1 '

f '2

fnP .

W f1 , f 2 ,..., f n

. f1

n 1

en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones.

2.2.4. TEOREMA(Criterio para soluciones linealmente independientes)

sean n soluciones, y1 , y2 ,..., yn , de la ecuación diferencial

an x

dny dx n

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

lineal, homogénea y de orden

a0 x y

n , en un intervalo I . Entonces, el conjunto de soluciones

es linealmente independiente en I si y solo si

W y1 , y2 ,... yn

para toda x en el intervalo. De acuerdo con el teorema anterior, cuando

an x

dny dx n

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

a0 x y

y1 , y2 ,... yn son n soluciones de 0 en un intervalo

I , el wronskiano W y1 , y2 ,... yn es idéntico a cero o nunca cero en el intervalo. Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene un nombre especial.

2.2.5. DEFINICIÓN: Conjunto fundamental de soluciones

Todo conjunto y1 , y2 ,..., yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

lineal

homogénea

orden

ecuación 45

an x

dny dx n

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

0 , en un intervalo n , se llama

a0 x y

conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

El asunto básico de si existe un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación lineal se contesta con el siguiente teorema. 2.2.6. TEOREMA. Existencia de un conjunto fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n , an x

dny dx n

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

a0 x y

0 , en un

intervalo I . Así como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una combinación lineal de los vectores i, j , k , linealmente independientes, toda solución de una ecuación diferencial lineal homogénea y de orden n , en un intervalo I , se puede expresar como una combinación lineal de n soluciones linealmente independientes en

I . En otras palabras, n soluciones linealmente independientes

y1 , y2 ,..., yn son las

unidades constructivas básicas de la solución general de la ecuación. 2.2.7. TEOREMA Solución general, ecuaciones homogéneas

Sean y1 , y2 ,..., yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n , an x

dny dx n

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

a0 x y

en un intervalo I . La solución general de la ecuación en el intervalo es

c1 y1 x

Este

an x

c2 y2 x

teorema

dny dx n

... cn yn x donde ci , i 1, 2,...n , son constantes arbitrarias.

establece

que

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

Y x es

a0 x y

cualquier

solución

0 en el intervalo, siempre

se pueden determinar las constantes C de tal modo que

Y x

C1 y1 x

C2 y2 x

... Cn yn x .

2.2.8. TEOREMA Solución general, ecuaciones no homogéneas

Sea yP cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden n n , ecuación a x d y n dx n

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

g x , en un intervalo

a0 x y

I , y sean y1 , y2 ,..., yn , un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada an x

dny dx n

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

a0 x y

, en I . Entonces , la solución general de la ecuación en el intervalo es

c1 y1 x

c2 y2 x

... cn yn x

En donde las ci , i 1, 2,..., n son constantes arbitrarias.

Función complementaria En el teorema anterior vemos, que la solución general de una ecuación lineal no homogénea consiste en la suma de dos funciones:

c1 y1 x

La combinación lineal yc x

dny general de an x dx n

c2 y2 x c1 y1 x

dny dx n

c2 y2 x

para

d n 1y dy ... a1 x n 1 dx dx

a0 x y

yP x

... cn yn x

d n 1y dy x ... a1 x n 1 dx dx

complementaria

an x

... cn yn x

yc x

yP x .

que es la solución

0 , se llama función

a0 x y la

ecuación

g x . En otras palabras, para

resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces,

función complementaria

cualquier solución particular. 47

2.2.8.1.

TEOREMA

Principio

superposición,

ecuaciones

homogéneas

Sean

soluciones

dny an x dx n

d n 1y dy x ... a1 x n 1 dx dx

yP1 , yP2 ,..., yPk de

particulares,

a0 x y

g x ,

ecuación

diferencial

lineal

homogénea de orden n, en el intervalo I que, a su vez, corresponden a k funciones distintas, g1 , g 2 ,..., g k . Esto es, supongamos que yPi , representa una solución particular de

an x y

ecuación

x y

n 1

... a1 x y ' a0 x y

1, 2,...k . Entonces yP

, en donde i

diferencial

correspondiente

gi x ,

yP1 x

yP2 x

... yPk x es una solución

particular de

an x y

x y

n 1

... a1 x y ' a0 x y

g1 x

g2 x

... g k x

2.2.9. REDUCCIÓN DE ORDEN Suponga

que

y1 representa

a2 x y '' a1 x y ' a0 x y

una

0 , y que

solución

trivial

ecuación

y1 está definida en un intervalo I .Se trata de

encontrar una segunda solución, y2 , tal que y1 , y2 sea un conjunto linealmente independiente en

y2 x y1 x sustituyendo

I . Entonces, su cociente y2

u x , o

y2 x

no es constante en I ; esto es,

u x y1 x .La función

u x se puede determinar

u x y1 x en la ecuación diferencial dada. A este método se le

llama reducción de orden, porque solo que resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para determinar u . EJEMPLO

Si y1

e x es una solución de y ” - y

0 en el intervalo

, aplique la reducción

de orden para determinar una segunda solución, y2 .

SOLUCIÓN:

Si y

u x e x , según la regla del producto

u x y1 x

y ' ue x Y así

y' y

Puesto que e x

e xu ', y '' ue x e x u '' 2u '

2e xu ' e xu '',

0, para esta última ecuación se requiere que u '' 2u ' 0. Al efectuar

la sustitución w u ' , esta ecuación lineal de segundo orden en u se transforma en

0, una ecuación lineal de primer orden en w. Usamos el factor integrante e 2 x

w ' 2w

y así podemos escribir

d 2x e w dx

Después de integrar se obtiene w

c1e

, o sea que u ' c1e

. Integramos de nuevo y

llegamos a

c1 e 2

u x ex

c2 .

Por consiguiente,

Al elegir c2

0 y c1

Dado que W e x , e en

c2 e x .

e x.

0 para todo x , las soluciones son linealmente independientes

independientes

u x ex

2 obtenemos la segunda solución que buscábamos, y2

Como hemos demostrado que

c1 e 2

una

ecuación

e x y y2 lineal

son soluciones linealmente

segundo

orden,

expresión

c2e x es realmente la solución general de y ” - y

0 en

. 49

Caso

General

a2 x y '' a1 x y ' a0 x y

dividimos

entre

que y1 x

y1 x

llevar

ecuación

0 a la forma estándar

y '' P x y ' Q x y En donde P x

para

a2 x

y Q x son continuas en algún intervalo I . Supóngase, además,

es una solución conocida de

y '' P x y ' Q x y

0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y

0, en I y que

u x y1 x , entonces

y ' uy1 ' y1u ', y '' uy1 '' 2 y1 ' u ' y1u ''

y '' Py ' Qy

u y1 '' Py1 Qy1

y1u ''

2 y1 ' Py1 u ' 0.

Para lo anterior se debe cumplir

y1u ''

2 y1 ' Py1 u ' 0 o sea

y1w '

2 y1 ' Py1 w 0,

En donde hemos igualado w u '. Obsérvese que la última de las ecuaciones es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables e integrar obtenemos

y ' dw 2 1 dx Pdx w y1

Pdx c o sea wy12

ln wy12

c1e

Pdx

De la última ecuación despejamos w , regresamos a w u ' e integramos de nuevo:

Si elegimos c1

1 y c2

Pdx

y12

dx c2.

0, vemos en y u x y1 x que una segunda solución de la

ecuación y '' P x y ' Q x y

0, es 50

P x dx

y1 x

e dx. y12 x

EJEMPLO

La función y1

x 2 es una solución de x 2 y '' 3xy ' 4 y

general en el intervalo 0,

0. Determine la solución

SOLUCIÓN Partimos de la forma reducida de la ecuación,

3 4 y' 2 y x x

y ''

P x dx

vemos

acuerdo

dx x 4

dx.

3 dx x

eln x

con

y1 x

e dx. , y12 x

que

dx 2 x ln x. x

La solución general en 0,

c1 x 2

está definida por y

c1 y1 c2 y2 ; esto es,

c2 x 2 ln x.

2.2.10. Método de coeficientes indeterminados, Método de la superposición

Bibliografía: Libros (1). Boyce, W. y Di Prima,R., Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera , Limusa Wiley, 4a. edición. (2) Elsgoltz, L., Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional , Editorial Mir, Moscu, 1969. (3) Espinoza Ramos Eduardo; Ecuaciones Diferenciales-Aplicaciones-5ta EdiciónLima Perú 1996 (4) O’Neil Peter V. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Thomson Edición 6. México, 2008 De internet (1) Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior-Parte IV ecuaciones de derivadas parciales Available: http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/6%20%20Ecuaciones%20Diferenciales%20de%20Derivadas%20Parciales.pdf (2) Métodos Clásicos de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Available: http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/LibroED.pdf