MATEMÁTICA PARA INGENIEROS II
LIC. MAT. YOVANNA HUERTAS LLÚNCOR
PRESENTACIÓN
La asignatura de Matemática para Ingenieros II está ubicada en el área de Formación General en el Plan de Estudios de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil y Ambiental, contribuye a la formación del pensamiento abstracto y formal que es la base fundamental para realizar trabajos de investigación. El aprendizaje de los contenidos de Matemática para Ingenieros II sirve como requisito para el estudio de asignaturas de ciclos superiores que hacen uso de contenidos matemáticos. En ella se proporciona los conceptos, técnicas y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de varias variables, que es una parte esencial de la Matemática, de interés para los profesionales en Ingeniería en lo que concierne a optimización y cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. La asignatura de Matemática para Ingenieros II es importante porque brinda las herramientas necesarias para que el estudiante de Ingeniería desarrolle habilidades de cálculo, imaginación, intuición, generalización y capacidad de análisis, referidos a funciones de varias variables y modele, mediante ecuaciones diferenciales, situaciones de la vida real para resolver problemas propios de su especialidad.
ÍNDICE
PRESENTACIÓN……………………………………………………………………… INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………… CAPÍTULO I: ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1.
Ecuación Diferencial de Primer Orden
1.2.
Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria
1.3.
Ecuaciones de Variables Separables
1.4.
Ecuaciones Exactas
1.5.
Ecuación Homogénea
1.6.
Ecuaciones hechas exactas por un Factor Integrante apropiado
1.7.
ED de Bernoullí
1.8.
Ecuación Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes
1.9.
ED no Homogéneas: Método de Coeficientes Indeterminados
CAPÍTULO II: TRANSFORMADAS DE LAPLACE 2.1.
Tópicos de transformada de Laplace
2.2.
Solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace.
CAPÍTULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3.1.
Funciones de dos y tres variables Gráfica de funciones de dos variables. Dominio. Curvas de nivel. Funciones de tres variables. Dominio. Superficies de nivel.
3.2.
Derivadas parciales
3.3.
Derivadas parciales de orden superior
3.4.
Regla de la cadena para funciones de varias variables.
3.5.
Derivación parcial implícita.
3.6.
Derivada direccional.
3.7.
Gradiente de una función de dos y tres variables
3.8.
Optimización de funciones de varias variables.
3.9.
Multiplicadores de Lagrange de una función de dos y tres variables.
CAPÍTULO IV: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 4.1.
Cálculo de Integrales dobles por medio de integrales iteradas
4.2.
Cambio de orden de integración.
4.3.
Jacobiano de una función de dos y tres variables.
4.4.
Integrales dobles mediante coordenadas polares.
4.5.
Aplicaciones de la integral doble.
4.6.
Cálculo de integrales triples por medio de integrales iteradas.
4.7.
Volúmenes mediante integrales triples.
4.8.
Aplicaciones de la integral triple.
4.9.
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
ANEXOS Anexo 1: ………………………………………………….. REFERENCIAS……………………………………………………………………...
INTRODUCCIÓN Este cuaderno de apuntes para la asignatura de Matemática para Ingenieros II tiene por finalidad proporcionar un compendio de los contenidos a desarrollarse durante el presente ciclo académico en la escuela de Ing. Civil y Ambiental a los estudiantes del III ciclo. La asignatura de Matemática para Ingenieros II proporciona al estudiante conceptos, técnicas y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de dos y tres variables, como una parte esencial de la Matemática. Inicialmente se establece una relación y generalización entre el cálculo de una variable y el cálculo de varias variables, para luego resolver situaciones de optimización y cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. Se complementa con la aplicación de los tópicos básicos de las ecuaciones diferenciales y sus métodos. El desarrollo de contenidos será en forma dinámica con la participación activa de los estudiantes y con la guía del docente. Se complementa cada unidad con la presentación y exposición grupal de ejercicios o problemas de aplicación dejados a través del campus virtual. Se considera el trabajo en equipo como un espacio en el cual, alrededor de un objetivo común y con el aporte de sus integrantes, los mismos analizan, sintetizan y argumentan en el pleno sus ideas y propuestas sobre los ejercicios de aplicación de los temas desarrollados en clase. El desarrollo de las sesiones en aula incluirá orientación y asesoramiento al estudiante, lo que le permitirá efectuar sus consultas respecto a los conocimientos o aplicaciones en los que encuentra dificultades.
CAPร TULO I ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales representan una de las mรกs importantes y fascinantes ramas de la matemรกtica que proporcionรณ el medio para las formulaciones matemรกticas y soluciones de variados problemas en ciencias e ingenierรญas. 1.1.
Ecuaciรณn Diferencial de Primer Orden Definiciรณn: Es una ecuaciรณn en la que interviene una funciรณn y una o varias de sus derivadas. Tipos: o
Ecuaciรณn diferencial ordinaria.
o
Ecuaciรณn diferencial en derivadas parciales.
Orden: estรก dado por el orden mรกs alto de su derivada. Grado: estรก dado por el exponente del mayor orden de su derivada.
ECUACIร N
1.2.
TIPO
ORDEN GRADO
Soluciรณn de una Ecuaciรณn Diferencial Ordinaria es soluciรณn de una ecuaciรณn diferencial si la ecuaciรณn se
Una funciรณn
satisface al sustituir en ella
y sus derivadas por
y sus derivadas respectivas.
Ejemplo:
Muestre que la funciรณn .
es la soluciรณn de la ecuaciรณn diferencial
1.3.
Ecuaciones de Variables Separables
Sea la ecuación diferencial:
Donde
es continua en
y
es continua en .
Luego: Para obtener la solución general:
Ejemplo: Hallar la solución general de:
1.4.
Ecuaciones Exactas La ecuación diferencial
es exacta si Ǝ una función
, con derivadas parciales continuas, tal que:
La solución general es la función Teorema: la ecuación diferencial
es exacta si y
solo si:
Ejemplo: a) Determinar si la ecuación es exacta:
b) Resolver la ecuación diferencial exacta:
1.5.
Ecuación Homogénea Función Homogénea: la función dada por n si:
es homogénea de grado
Donde n es un número real. Ejemplo: Determina cual de las funciones es homogénea: a) b) Definición:
una
ED
es
cualquier
donde
y
ecuación
de
la
forma
son funciones homogéneas del mismo
grado. Solución de una ED Homogénea: Si
es homogénea, se puede transformar en una
ecuación diferencial separable sustituyendo
Donde
es una función derivable en .
Ejemplo: Halla la solución general de la ec. diferencial homogénea:
1.6.
Ecuaciones hechas exactas por un Factor Integrante apropiado Si la ecuación diferencial
no es exacta, puede que
se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado
, llamado
factor integrante. Ejemplo: Si a la ecuación
se le multiplica por el factor integrante se
convierte
en
la
ecuación
diferencial
exacta
. Teorema: para la ecuación diferencial
:
A. Si Es una función de x solamente, entonces integrante.
es un factor
B. Si: Es una función de y solamente, entonces
es un factor
integrante. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial:
1.7.
ED de Bernoullí Las ecuaciones diferenciales de la forma:
Se conoce con el nombre de ecuación diferencial de Bernoulli. Puesto que la ecuación dada no es lineal, para resolverla, se efectúa el siguiente procedimiento: 1. Se multiplica a la ecuación por
, es decir:
2. A la ecuación resultante se le multiplica por
:
3. Sea 4. Reemplazando en el paso 2 obtenemos:
que es una ecuación diferencial lineal en
de primer orden.
Ejemplo: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes: a) b)
1.8.
Ecuación Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes son de la forma:
Donde
son constantes.
Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero se considera el polinomio característico de la siguiente forma:
Como el polinomio característico obtener las raíces
es de grado
entonces se puede
los cuales pueden ser, reales distintos, reales de
multiplicidad o números complejos. Para dar solución de la ecuación diferencial se consideran los siguientes casos: 1° Caso: Cuando las raíces de la ecuación polinómica distintas:
son reales y
entonces el sistema fundamental de soluciones de
la ecuación diferencial tiene la forma:
, y la solución general de
la ecuación diferencial lineal homogénea es:
2° Caso: Cuando algunas de las raíces de la ecuación polinómica de multiplicidad, consideremos multiplicidad
y
y donde
son es la raíz de
son las demás raíces y distintas.
Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma:
Y la solución general de la ecuación diferencial es:
3° Caso: Cuando las raíces de la ecuación polinómica
alguna de
estas
complejas:
raíces
son
y las demás raíces supongamos que sean reales y distintas. Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma: . La solución general de la ecuación diferencial es:
Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) 1.9.
ED no Homogéneas: Método de Coeficientes Indeterminados Las ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes indeterminados son de la forma:
Donde
son constantes reales.
Para obtener la solución general primero se determina la solución general de la ecuación lineal homogénea
, luego se busca una solución particular
cualquiera de la ecuación diferencial no homogénea
, y la solución general
de la ecuación inicial es:
El problema se reduce a encontrar una solución particular diferencial línea no homogénea. Cuando la función
tiene la forma
de la ecuación
donde
son polinomios de grado
entonces la solución particular
Donde
y y
y
respectivamente,
de la ecuación inicial es de la forma:
es el orden de multiplicidad de la raíz
son polinomios en
de grado
;
, de coeficientes
indeterminados. Para determinar la solución particular de la ecuación no homogénea, se consideran los siguientes casos: 1° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial inicial es la función
, entonces:
a) Si
, no es raíz de la ecuación característica
, entonces la
solución particular es:
b) Si
, es raíz de la ecuación característica
, entonces la
solución particular es:
Donde s es la multiplicidad de
.
2° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función , donde a) Si
es real, entonces:
, no es raíz de la ecuación característica
, entonces la
solución particular es:
b) Si
es raíz de la ecuación característica
, entonces la
solución particular es:
Donde
es la multiplicidad de
.
3° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función , donde de grado
y
respectivamente, entonces:
son polinomios
a) Si
no es raíz de la ecuación característica
, entonces la
solución particular es:
Donde b) Si
. es la raíz de la ecuación característica
, entonces la
solución particular es:
Donde
y
es la multiplicidad de la raíz
.
4° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función , polinomios de grado a) Si
y
donde
son
respectivamente, entonces:
no es raíz de la ecuación característica
, entonces
la solución particular es:
Donde b) Si
. es la raíz de la ecuación característica
, entonces la
solución particular es:
Donde
y
es la multiplicidad de la raíz
Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b)
.
CAPÍTULO II TRANSFORMADA DE LAPLACE Este método permite transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas e incluso incorporar las condiciones algebraicas dadas al problema algebraico sin necesidad de hacer ninguna consideración especial sobre ellas. La transformada de Laplace tiene muchas otras aplicaciones además de resolver ecuaciones diferenciales, tales como la evaluación de integrales y la solución de ecuaciones integrales. 2.3.
Tópicos de transformada de Laplace
Integrales Impropias Si
está definida para
integral impropia
, donde
es una constante, entonces la
está definida como:
si existe el límite. Cuando existe el límite se dice que la integral impropia es convergente; de otro modo, la integral impropia es divergente. Definición de Transformada de Laplace Suponga que
sea definida para
arbitraria. La transformada de Laplace de
y sea
una variable real
expresada por
o bien
, es
Para todos los valores de
para los cuales la integral impropia es convergente.
Convergencia en la transformación de Laplace No todas las funciones tienen una transformación de Laplace. Aquí se dan algunas condiciones que garantizan la convergencia de la integral impropia. Definición: Una función
es de orden exponencial
tales que
. Definición: Una función si:
es continua por intervalos en el intervalo abierto
1)
es continua en todos los puntos en
con la posible
excepción, como máximo, de un número finito de puntos
.
2) En los puntos de discontinuidad, existen los límites a la derecha y a la izquierda de
, respectivamente y
Definición: Una función cerrado 1)
es continua por intervalos en el intervalo
si: es continua por intervalos en el intervalo abierto
2) El límite a la derecha de
existe para
3) El límite a la izquierda de Teorema: Si
.
.
existe para
.
es continua por intervalos en un intervalo finito cerrado , y si
es de orden exponencial
transformación de Laplace para
existe para
, entonces la
.
Ejemplo: a) Determine si la integral impropia
es convergente.
b) Hallar Propiedades de la transformación de Laplace Definición: 1) 2)
si:
está definida para todos los es
continua
por
intervalos
. en
cualquier
intervalo
cerrado
. 3)
es de orden exponencial .
Observación: Si
entonces
Teorema: Si
y
cualesquiera
y
,
existe para
.
, entonces para dos constantes y
Teorema: Si
, entonces para cualquier constante ,
Teorema: Si
, entonces para cualquier entero positivo
Teorema: Si
y si existe
Teorema: Si
, entonces:
Teorema: Si
entonces:
es periódico con período
, es decir
,
entonces:
Ejemplo: 1)
Hallar
si
2)
Hallar
si
3)
Hallar
. . .
2.4. Solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace. Transformaciones de Laplace de la derivadas La transformación de Laplace se usa para resolver problemas de valor inicial dados por la ecuación diferencial lineal de orden
con coeficientes
constantes:
junto con las condiciones iniciales
Teorema: Denote
por
son continuas para
y son de orden exponencial
entonces
Luego:
. Si
y sus primeras , y si
derivadas ,
En particular, para
y
, obtenemos:
Solución del problema de valor inicial Para resolver el problema de valor inicial dada, se toma la transformación de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, obteniendo por tanto una ecuación algebraica que contiene
. Se resuelve la ecuación para
y
después se toma la transformación inversa de Laplace para obtener . Ejemplo: 1)
Resolver
2)
Resolver
. .
CAPÍTULO III FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En asignaturas anteriores se ha estudiado funciones de una variable (independiente); sin embargo, muchas cantidades de uso frecuente son funciones de dos o más variable. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza (W = F.D) y el volumen de un cilindro circular recto
son funciones de dos variable. El volumen de un sólido es una función de tres variables.la notación de estas funciones es
rectangular
similar a la notación de funciones de una sola variable. 3.1.
Superficies Cilíndricas Recordemos que hay dos tipos de superficies: a)
Esferas:
b) Planos:
Un tercer tipo de superficies en el espacio son las superficies cilíndricas o simplemente cilindros. Cilindro: Sea C una curva en un plano y sea L una recta que no se encuentre en un plano paralelo. El conjunto de todas las rectas paralelas a L y que intersectan a C se le conoce como curva generatriz (o directriz) del cilindro y a las rectas se les conoce como rectas generatrices. Ejemplo: Graficar Se dibuja primero la curva
en el plano xy, luego se trazan rectas
paralelas al eje izquierdo de esta curva.
3.2.
Superficies Cuádricas Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. la ecuación general es:
Donde A, B, C,…,J son constantes; pero por traslación y rotación se puede convertir en una de las dos formas: ó Las superficies Cuádricas son la analogía tridimensional de las secciones cónicas en el plano. Existen
seis
tipos
básicos
de
superficies
Cuádricas:
Elipsoide,
hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.
Elipsoide La gráfica de la ecuación:
corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en
. La traza del elipsoide
sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse. La gráfica se muestra en la figura (1).
Figura (1): Elipsoide Si cualesquiera dos de los semiejes a, b, c son iguales entre sí, la superficie es un elipsoide de revolución, si los tres son iguales, la superficie es una esfera. Paraboloide elíptico: La gráfica de la ecuación
es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipse :
Sus trazas sobre planos verticales, ya sean
o
son
parábola.
Figura (2): Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico: La gráfica de la ecuación:
es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas (
). Sus trazas sobre planos
verticales paralelos al plano xz son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano yz son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura (3).
Figura (3): Paraboloide hiperbólico. Cono elíptico: La gráfica de la ecuación:
es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales
son
elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas. Su gráfica se muestra en la figura (4).
Figura (4): Cono elíptico Hiperboloide de una hoja: La gráfica de la ecuación:
es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas sobre planos horizontales
son elipses.
Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan. Su gráfica se muestra en la figura (5).
Figura (5): Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas: La gráfica de la ecuación:
es un hiperboloide de dos hojas. Su gráfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales
son elipses y
sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).
Figura (6): hiperboloide de dos hojas. 3.3.
Funciones de dos y tres variables Gráfica de funciones de dos variables. Dominio. Curvas de nivel. Definición: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado único número real
, entonces
conjunto D es el dominio de valores
es el rango de .
Ejemplo: Halla el dominio de la función:
en D le corresponde un es una función de
y . el
y el correspondiente conjunto de
Gráfica de una función de dos variables Si
es una función de dos variables con dominio D, entonces la
gráfica de
es el conjunto de puntos y
tales que
está en D.
Ejemplo: Trace la gráfica de la función Curvas de nivel Las curvas de nivel de una función curvas con ecuación
de dos variables son las
, donde
es una constante (que
pertenece a la imagen de ).
Ejemplo: Trace las curvas de nivel de la función para
,
.
Funciones de tres variables. Dominio. Superficies de nivel. Una función de tres variables , es una regla que asigna a cada terna ordenada único denotado por
de un dominio
un número real
.
Es muy difícil visualizar una función
de tres variables por su
gráfica, puesto que estaría en un espacio de cuatro dimensiones, pero obtenemos alguna información de
al examinar sus
superficies de nivel, que son las superficies con ecuaciones
, donde
es una constante. Si el punto
se
mueve a lo largo de una superficie de nivel, el valor de permanece fijo. Ejemplo:
3.4.
a)
Encuentre el dominio de , si:
b)
Halle las superficies de nivel de la función:
Derivadas parciales Definición: Si respecto a
ya
, entonces las primera derivadas parciales de son funciones
y
definidas por:
Siempre que estos límites existan. Esta definición indica que si considera a hallar
entonces para hallar
se
constante y se deriva respecto a . De manera similar, para
, se considera a
constante y se deriva respecto a .
Notación para las primeras derivadas parciales: Dada
las derivadas parciales
y
se denotan:
Y
Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto y
se denotan:
Ejemplo: Encuentre las derivadas parciales
y
correspondientes a las
funciones: a) b) 3.5.
Derivadas parciales de orden superior Si
es una funci贸n de dos variables, sus derivadas parciales
son
tambi茅n funciones de dos variables. Luego podemos considerar sus derivadas parciales
que reciben el nombre de
segundas derivadas parciales de . Si
empleamos la siguiente notaci贸n:
Ejemplo: Halle las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones: a) b) Teorema de Clairaut: Suponga que contiene al punto
. Si
est谩 definida en un disco
son continuas en
, entonces:
que
3.6.
Regla de la cadena para funciones de varias variables. Regla de la cadena: una variable independiente Sea
donde y
,
y
es una función derivable de
y
. Si
son funciones derivables en , entonces
es una función derivable en y
Regla de la cadena: dos variables independientes Sea
donde
Si
y
es una función derivable de
y .
son tales que todas las primeras
derivadas ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s, ∂y/∂t existan, entonces ∂w/∂s y ∂w/∂t existen y están dadas por:
Ejemplo: a)
Si cuando
b)
, donde
y
, halle ∂z/∂t
.
Si
, donde
, encuentre ∂z/∂s,
∂z/∂t. 3.7.
Derivación parcial implícita. Si la ecuación
define a
implícitamente como función
derivable de , entonces:
Si la ecuación F(x, y, z) = 0 define a z implícitamente como función derivable de x e y, entonces:
Ejemplo:
3.8.
a)
Encuentra y’ si y2 + 3x4 – 5xy - x2 + 4 = 0.
b)
Obtener ∂z/∂x y ∂z/∂y, si 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5 = 0
Derivada direccional. Definición: Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada
direccional
de
f
en
la
dirección
del
vector
unitario
es:
Ejemplo: Encuentre la derivada direccional
si:
Y u es el vector unitario dado por el ángulo θ = π/6. ¿Cuál es 3.9.
?
Gradiente de una función de dos y tres variables Definición: Si z = f(x, y), entonces el gradiente de f, denotada por es el vector: Entonces:
Propiedades: Sea f una función diferenciable en el punto (x, y) 1)
Si
2)
La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por El valor máximo de
3)
es
La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por El valor mínimo de
.
.
es -
Ejemplo: La temperatura, en grados Celcius sobre la superficie de placa metálica viene dada por:
Midiéndose x e y en pulgadas. Desde el punto (2, -3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?, ¿a qué ritmo se produce este crecimiento? 3.10. Optimización de funciones de varias variables. Teorema de valor extremo Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región R cerrada y acotada en el plano xy. 1. Existe por lo menos un punto en R en el que f toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en R en el que f toma un valor máximo. Definición de extremos relativos Sea f una función definida en una región R que contenga a (a, b). 1. La función f tiene un mínimo relativo en (a, b) si:
Para todo (x, y) en un disco abierto que contenga a (a, b). 2. La función f tiene un máximo relativo en (a, b) si:
Para todo (x, y) en un disco abierto que contenga a (a, b). Definición de punto crítico Sea f una función definida en una región abierta R que contenga al punto (a, b). El punto (a, b) es un punto crítico de f si se satisface alguna de las condiciones siguientes: 1.
.
2. No existe Teorema: Los extremos relativos se presentan únicamente en puntos críticos. Si f tiene un extremo relativo en un punto (a, b) de una región abierta R, entonces (a, b) es un punto crítico de f.
Criterio de las segundas derivadas parciales Sea f una función que tenga segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contenga un punto
en el cual,
Para buscar los extremos relativos de , considere la cantidad
1. Si
, entonces
tiene un mínimo relativo en
, entonces
tiene un máximo relativo
. 2. Si en
.
3. Si
, entonces
es un punto silla.
4. Si
el criterio no es concluyente.
Ejemplo: 1.
Determine los extremos relativos de
2.
Encuentre los extremos relativos de
.
3.11. Multiplicadores de Lagrange de una función de dos y tres variables. Este método permite resolver problemas de optimización donde existen restricciones. Teorema de Lagrange: Sean
y
parciales sean continuas y tales que
funciones cuyas primeras derivadas tenga un extremo en el punto
sobre la curva suave de la restricción entonces existe un número real
. Si
,
tal que
Método de los multiplicadores de Lagrange Sean
y
funciones que satisfagan la hipótesis del teorema de
Lagrange y sea
una función que tenga un mínimo o un máximo sujeto a
la restricción
. Para hallar el mínimo o el máximo de
se
siguen los siguientes pasos: 1. Se resuelven simultáneamente las ecuaciones
y
resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:
2. Se evalúa
en cada uno de los puntos solución obtenidos en el primer
paso. El valor mayor corresponde a un máximo de restricción
sujeto a la
el valor menor corresponde a un mínimo de
sujeto a la restricción
.
Ejemplo: Encuentre el valor máximo de sujeto a la restricción:
donde
y
,
.
Método de los multiplicadores de Lagrange con dos restricciones En los casos de problemas de optimización en los que intervienes dos funciones de restricciones multiplicador de Lagrange,
y
, puede introducirse un segundo
y resolver después la restricción
Donde los vectores gradiente no son paralelos. Ejemplo: Sea
una función que represente la
temperatura en cada punto de la esfera
. Encuentre las
temperaturas extremas sobre la curva formada en la intersección del plano
con la esfera.
CAPÍTULO IV INTEGRACIÓN MÚLTIPLE En este capítulo extenderemos la idea de una integral definida a integrales dobles y triples de funciones de dos o tres variables. Estas ideas se unan para calcular volúmenes, áreas superficiales, masas y centroides de regiones más generales. 4.10. Cálculo de Integrales dobles por medio de integrales iteradas 4.11. Cambio de orden de integración. 4.12. Jacobiano de una función de dos y tres variables. 4.13. Integrales dobles mediante coordenadas polares. 4.14. Aplicaciones de la integral doble. 4.15. Cálculo de integrales triples por medio de integrales iteradas. 4.16. Volúmenes mediante integrales triples. 4.17. Aplicaciones de la integral triple. 4.18. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
ANEXO 1:
REFERENCIAS Libros 1.
Acero, Ignacio; López Mariló. Ecuaciones diferenciales teoría y problemas. Alfaomega. Edición 1. México, 1999. Código en Biblioteca 515.35 A17.
2.
Blanchard, Paul; Devaney, Robert L.; Hall, Glen R. Ecuaciones Diferenciales. International Thomson Editores. Edición 1, México, 1998. Código en Biblioteca 515.35 B57E
3.
Borrelli, Robert L.; Coleman, Courtney S. Ecuaciones diferenciales: Una perspectiva de modelación. Oxford University Press. Edición 1. México, 2002. Código en Biblioteca 515.35 B74
4. Edwards Jr., Penney, David. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall, Edición 3; 1996. Código en Biblioteca 515.15/E26 - 003818. 5. Edwards, C. Henry; Penney, David E. Ecuaciones Diferenciales. Pearson Educación. Edición 4. México, 2001. Código en Biblioteca 515.35 E26. 6. Espinoza, Eduardo. Funciones de varias variables. Edición 1; 1992. Código en Biblioteca 515.84/E88 - 002609. 7. Goodman, A.W. Geometría Analítica y Cálculo. Limusa, Edición 1; 1992. Código en Biblioteca 516.3/G72 - 002641. 8. Heyd, David. Guía de Cálculo. Mc-Graw Hill Interamericana, Edición 1; 1993. Código en Biblioteca 515/H47 - 016403. 9. Larson, Ron; Hostetler, Robert; y Edwards Bruce. Cálculo II. Pirámide, Edición 7; 2002. Código en Biblioteca 515.33/L26. 10.
Ledder, Glenn. Ecuaciones diferenciales: Un enfoque de modelado. McGrawHill/Interamericana Editores. Edición 1. México, 2006. Código en Biblioteca 515.35 L36.
11. Leithold, Louis. Cálculo. Alfaomega, Edición 1; 2004. Código en Biblioteca 519.4/L42 - 028264. 12.
Rainville V. Earl D.; Bedient, Phillip E.; Bedient, Richard E. Ecuaciones Diferenciales. Pearson Educación. Edición 8. México, 1998. Código en Biblioteca 515.35 R18.
13. Stewart, James. Cálculo multivariable. Thomson, Edición 3; 1999.
Código en Biblioteca 515.84/S79 - 008705. 14. Thomas, George Jr. Cálculo varias variables. Pearson, Edición 11; 2006. Código en Biblioteca 515.T48. 15.
Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thomson Editores. Edición 8. México, 2006. Código en Biblioteca 515.35 Z77.