Matemática Básica

Índice general 1. Sistema de N´ umeros Reales 1.1. Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sistema de N´ umeros Reales . . . . . . . . . . . . 1.3. Recta de N´ umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Recta de N´ umeros Reales . . . . . . . . . 1.3.2. Relación de Orden Menor que y Mayor que 1.3.3. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Distancia entre puntos . . . . . . . . . . . 1.3.5. Coordenada del punto medio . . . . . . . . 1.4. Exponentes Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Leyes de los exponentes . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2 2 4 6 6 7 8 9 9 10 10 10

2. Sistema Internacional de Unidades o Medidas 12 2.1. Notación Cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1. Representación de N´ umeros Enteros y Decimales en Notación Cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Sistema Internacional de Unidades o Medidas . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1. Unidades del Sistema Internacional de Medidas . . . . . . . . . . 15 2.2.2. Prefijos del Sistema Internacional de Medidas . . . . . . . . . . . 17 2.2.3. Medidas de Longitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.4. Medidas de Superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.5. Otras Medidas de Superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.6. Medidas de Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.7. Medidas de Capacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.8. Medidas de Longitud en el Sistema Inglés de Medidas. . . . . . . 19 2.2.9. Medidas de Superficie en el Sistema Inglés de Medidas. . . . . . . 19 2.2.10. Medidas de Volumen en el Sistema Inglés de Medidas . . . . . . . 20 2.3. Ejercicios Desarrollados del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Ecuaciones en R 3.1. Ecuación Algebraica. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Clases de Ecuaciones seg´ un su Conjunto Solución . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Ecuación Compatible: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

27 28 29 29

3.3.

3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

3.2.2. Ecuación Incompatible: . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Ecuación Equivalente: . . . . . . . . . . . . . . . Clases de Ecuaciones seg´ un el Grado del Polinomio . . . 3.3.1. Ecuación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Ecuación Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Ecuaciones Polinómicas de grado mayor que dos. Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones Logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Inecuaciones en R 4.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Clases de Intervalos . . . . . . . 4.1.2. Operaciones con Intervalos . . . 4.2. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Propiedades de las Inecuaciones 4.2.2. Inecuaciones Lineales . . . . . . 4.2.3. Inecuaciones Cuadr´aticas . . . . 4.2.4. Inecuaciones Polin´omicas . . . . 4.2.5. Inecuaciones Racionales . . . . 4.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . 4.4. Poblemas de Inecuaciones . . . . . . .

. . . . . . . . . .

30 30 30 30 33 37 39 41 42 45

. . . . . . . . . . .

50 50 50 51 52 52 52 53 56 59 60 61

5. Relaciones Binarias en R 5.1. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . 5.2. Relación Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Dominio y Rango de una Relación Binaria 5.2.2. Propiedades de una Relación Binaria . . . 5.3. Relaciones Binarias en R . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . 5.3.2. Gráficas de relaciones binarias en R . . . . 5.3.3. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5. La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.7. La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Problemas Aplicativos . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

63 63 63 64 65 66 66 66 67 67 70 72 74 75 77 79

6. Funciones Reales de Variable real 6.1. Definición de Función Real de Variable Real . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Dominio y Rango de una función real de variable real . . . . . . . . . . .

81 82 84

. . . . . . . . . . .

6.3. 6.4.

6.5. 6.6. 6.7.

6.2.1. Criterio para el cálculo del dominio y rango de una función real de variable real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Gráfica de una función real de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3.1. Propiedad Fundamental de las funciones reales de variable real . . 87 Clases de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4.1. Función Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4.2. Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4.3. Función C´ ubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4.4. Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4.5. Función Logar´ıtmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Trazado de gráficos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Problemas Aplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7. L´ımite y Continuidad de una funci´ on real de variable 7.1. Punto de acumulación: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. L´ımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. L´ımite de una función real de variable real . . . . . . . 7.4. Operaciones con Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. L´ımites Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Continuidad de una función real de variable real . . . . 7.7. Funciones continuas elementales . . . . . . . . . . . . . 8. Derivada de una Funci´ on Real de Variable 8.1. Fórmulas inmediatas de derivación . . . . 8.2. Derivada Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . 8.3. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . 8.4. L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Máximos y M´ınimos . . . . . . . . . . . . 8.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . 8.7. Problemas Aplicativos . . . . . . . . . . .

Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

109 109 112 118 120 124 134 137

. . . . . . .

141 144 149 153 154 159 164 165

´ 9. INTEGRACION 9.1. Fórmulas de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Integración por cambio de variable o por sustitución . . . . . . . . . 9.3. Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Aplicaciones de la Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 9.4.1. Aplicaciones de la Integral Definida al Cálculo de Areas. . . . 9.4.2. Aplicaciones de la Integral Definida al Cálculo de Vol´ umenes. 9.4.3. Momentos y Centros de Masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4. Longitud de Arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

167 168 181 186 187 187 189 191 195 197

. . . . . . .

Cap´ıtulo 1 Sistema de N´ umeros Reales Los n´ umeros reales se usan en toda la matem´atica y el estudiante debe estar familiarizado con s´ımbolos que los representan, por ejemplo: 2, 35, −7,

1.1.

√ 67 √ 5 , 5, 0, 28, 0,3333..., 476,32 34

Conjuntos Num´ ericos

N´ umeros Naturales o Enteros Positivos N = {1, 2, 3, 4, ...} N´ umeros Enteros Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

El conjunto Z incluye tanto a los enteros positivos como los negativos y el n´ umero cero, el cual no es ni negativo ni positivo. N´ umeros Racionales p Q = { / p y q son n´ umeros enteros, q 6= 0} q El conjunto Q est´a compuesto de todos los cocientes de dos enteros, siempre que el denominador no sea un cero; por ejemplo: −2 17 15 −8 0 , , = −5, = −8, =0 5 3 −3 1 7

Nota 1. El cociente

a b

es indefinido si b = 0. Por ejemplo:

7 0

0 0

son indefinidos.

N´ umeros Irracionales El conjunto de los n´ umeros irracionales, está formado por todos los n´ umeros que no se pueden expresar como el cociente de dos n´ umeros enteros. r √ √ 3 5 I = {..., − 5, 2, π, , etc.} 4 N´ umeros Reales El conjuntos de los n´ umeros reales R está formado por la unión de los conjuntos de los n´ umeros racionales e irracionales, es decir: R = Q∪I N´ umeros Complejos C = {x + iy/ x y ∈ R}, donde i =

√

Nota 2. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R y R ⊂ C Números Complejos Números Naturales 1,2,3,... Todos los números 0,1,2,3,... Números Enteros: ...,-3,-2,-1,0,1,...

Números Reales

Números Irracionales: π, 2, - 3 5 , -4.030030003...,...

Zero: 0

Enteros Negativos: ...,-3,-2,-1

Números Racionales Números Racionales que no son enteros: 2/3, -4/5, 19/-6, 8.2, 0.5666...

Figura 1.1: Conjuntos Num´ericos

−1

1.2.

Sistema de N´ umeros Reales

El conjunto de n´ umeros reales junto con las operaciones de la adición y la multiplicación se llama Sistema de N´ umeros Reales. Las reglas básicas del álgebra para este sistema nos permiten expresar hechos matemáticos en formas simples y concisas, y resolver ecuaciones para encontrar respuestas a preguntas matemáticas. Las propiedades básicas del sistema de n´ umeros reales con respecto a las operaciones de la adición y la multiplicación están en una lista en el siguiente cuadro, donde a, b y c representan n´ umeros reales. Propiedades del Sistema de N´ umeros Reales Adición 1. Propiedad de Clausura:

Multiplicaci´on 1. Propiedad de Clausura:

a + b es un n´ umero real 2. Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c 3. Propiedad Conmutativa: a+b= b+a 4. Propiedad de Identidad: El n´ umero real 0 es llamado identidad aditiva, ya que para todo n´ umero real a, se cumple: a+0=a=0+a 5. Propiedad del Inverso: Para todo n´ umero real a, existe un u ´ nico n´ umero real llamado inverso aditivo de a, representado por −a, de tal manera que: a + (−a) = 0 = (−a) + a 6. Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c

a · b es un n´ umero real 2. Propiedad Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c 3. Propiedad Conmutativa: a·b=b·a 4. Propiedad de Identidad: El n´ umero real 1 es llamado identidad multiplicativa, ya que para todo n´ umero real a, se cumple: a·1 =a = 1·a 5. Propiedad del Inverso: Para todo n´ umero real a 6= 0, existe un u ´ nico n´ umero real llamado rec´ıproco o inverso multiplicativo de a, representado por a1 , de tal manera que: a·

1 1 =1 =( )·a a a

Muchas propiedades adicionales de los n´ umeros reales pueden derivarse de las propiedades básicas. Las siguinetes propiedades también se utilizarán a lo largo de este texto. 1. Ley Cancelativa o Anulativa:

2. Ley de la Multiplicaci´ on por cero:

a) Si a + c = b + c, entonces a = b

a) a · 0 = 0 · a = 0

b) Si a · b = 0, entonces a = 0 ´o b = 0 (o ambas)

b) Si a · c = b · c y c 6= 0, entonces a=b Definici´ on 1.

Para los n´ umeros reales a y b, la diferencia, a − b, se define como: a − b = a + (−b) Definici´ on 2. Para los n´ umeros reales a y b, con b 6= 0 el cociente, a ÷ b, se define como: 1 a a ÷ b = a( ) = b b En el cociente ab , a se llama numerador y b denominador. Con frecuencia, el cociente de dos n´ umeros reales ab se llama fracci´ on. Ahora, hagamos una lista de las propiedades importantes de la sustracci´on, relacionadas con n´ umeros reales negativos y fraccionarios, con los cuales usted puede estar ya familiarizado. Propiedades de la Sustracci´ on y negativos Sean a y b dos n´ umeros reales diferentes de cero, entonces se cumple 1. −(−a) = a

3. −a = (−1)a

2. −(ab) = (−a)b = a(−b)

4. (−a)(−b) = ab

Propiedades de las Fracciones Para todas las fracciones

a b

y dc , donde b 6= 0 y d 6= 0, se cumple

1. Fracciones equivalentes

a c = ⇔ ad = bc b d

2. Regla de los signos

a −a a − = = b b −b

3. Cancelativa ac a = , bc b

6. Multiplicaci´on ac a c · = b d bd

c 6= 0 7. Divisi´on

4. Adici´on y sustracci´on con com´ un denominador

a c ÷ = b d

a c a±c ± = b b b

a b c d

ad a d · = , b c bc

c 6= 0

8. División de cero y división por cero 5. Adición y sustracción con distintos denominadores

a) 0 ÷ b = 0b , b 6= 0 b) 0 ÷ 0 =

a c ab ± dc ± = d b db

c) a ÷ 0 =

0 0 a 0

es indefinido es indefinido, a 6= 0

Nota 3. Un error com´ un es cancelar las letras v en la expresi´on

u+v . v

No se puede realizar ninguna cancelaci´on debido a que v no es factor tanto del numerador como del denominador como lo requiere la ley cancelativa.

1.3.

Recta de N´ umeros Reales

Para dos n´ umeros reales distintos a y b, siempre hay un tercer n´ umero real entre a+b ellos; por ejemplo, su promedio 2 es el punto medio entre ellos. De igual manera, para dos puntos distintos A y B en una recta, hay siempre un tercer punto entre ellos; por ejemplo, el punto medio M del segmento de recta AB. Hay muchas similaridades como ´esta entre el conjunto de n´ umeros reales y el conjunto de puntos en una recta que indican el uso de una recta para describir el conjunto de los n´ umeros reales. Esto puede hacerse como se explica a continuaci´on.

1.3.1.

Recta de N´ umeros Reales distancia x

distancia x -x

-2

-1

Unidad de longitud

Figura 1.2: Dada cualquier recta, escogemos un punto sobre ella para representar el n´ umero 0. Este punto, en particular, se llama origen. Si ahora seleccionamos un segmento de recta de longitud unitaria, como lo muestra la figura ??, cada n´ umero real positivo x puede representarse por un punto a una distancia x a la derecha del rigen. De igual forma,

cada n´ umero real negativo −x puede representarse con un punto a una distancia x hacia la izaquierda del origen. Esta asociación produce una correspondencia uno a uno entre el conjunto de n´ umeros reales y el conjunto de puntos en una recta, llamada recta de n´ umeros reales, recta num´ erica o recta coordenada. Para cualquier punto P dado en la recta numérica, el numero p, que corresponde a este punto se llama coordenada de P. En general, no diferenciaremos entre un punto sobre la recta numérica y su coordenada. As´ı por ejemplo, algunas veces nos referiremos al punto en la recta de n´ umeros reales con coordenada 6 como “el punto 6 ”

1.3.2.

Relaci´ on de Orden Menor que y Mayor que

Dos n´ umeros reales a y b, a 6= b, pueden compararse mediante la relación de orden menor que o mayor que. Relación de orden menor que: a es menor que b y se denota como a < b, si y solo si b − a es positivo. Relación de orden mayor que: b es mayor que a y se denota como b > a, si y solo si b − a es positivo. La recta de n´ umeros reales es u ´ til para demostrar la relación de orden menor que o mayor que. Geométricamente, a < b significa que el punto que corresponde a a en la recta numérica se halla a la izquierda del punto que corresponde a b. (véase la figura 1.3) a<b a

Figura 1.3: Dos relaciones de orden son importantes: 1. a es menor o igual a b, dado por a≤b⇔a<b ∨ a=b 2. a es mayor o igual a b, dado por a≥b⇔a>b ∨ a=b

1.3.3.

Valor Absoluto

También podemos utilizar la recta de n´ umeros reales para presentar la distancia. Como lo muestra la figura ??, la distancia desde el punto 2 hasta el origen es de 2 unidades y la distancia desde el punto −2 hasta el origen es de 2, ó −(−2), unidades. De nuestra discusión sobre la recta numérica resulta que, en general, la distancia de cualquier n´ umero al origen es el “valor sin signo”de ese n´ umero. De forma más precisa, como lo muestra la figura 1.4, para cualquier n´ umero real positivo x, la distancia del punto x al origen, es x; pero para cualquier n´ umero negativo y la distancia del punto y al origen, es −y. Por supuesto, para x = 0 la distancia al origen es 0. El concepto de distancia de un punto en la recta numérica al origen, es descrito por el valor absoluto. -y

Figura 1.4: Definici´ on 3. Para cualquier n´ umero real a, el valor absoluto de a denotado por |a| es: a, si a ≥ 0 |a| = −a, si a < 0 Propiedades del Valor Absoluto Sean x e y dos n´ umeros reales, entonces se cumple: |x| , |y|

1. |x| ≥ 0

5. | xy | =

2. |x| = 0 ⇔ x = 0

6. Desigualdad Triangular:

3. |x| = | − x| 4. |xy| = |x||y|

y 6= 0

|x + y| ≤ |x| + |y|

Definir estas propiedades con palabras es una froma de aumentar su comprensi´on de ellas. Por ejemplo, la propiedad 1 dice que el valor absoluto de una cantidada es siempre no negativa. La propiedad 5 dice que el valor absoluto de un cociente de dos n´ umeros es igual al cociente de los valores absolutos de los dos n´ umeros.

1.3.4.

Distancia entre puntos

El concepto de valor absoluto no sólo describe la distancia de un punto al origen; también es u ´ til para hallar la distancia entre puntos en la recta numérica. Debido a que deseamos describir la distancia como una cantidada positiva, restamos una coordenada de la otra y luego sacamos el valor absoluto de la diferencia. d(a,b)=lb-al

Figura 1.5: Definici´ on 4. Si a y b son dos puntos en la recta num´erica, la distancia de a a b es: d(a, b) = |b − a|

1.3.5.

Coordenada del punto medio

La definici´on anterior (de la distancia entre puntos), puede utilizarse para hallar una expresi´on para el punto medio de un segmento de recta. El punto medio m de un segmento de recta que une a a y b es el promedio de los dos extremos, es decir: a+b m= 2 d(a,m)

d(m,b)

Figura 1.6:

1.4. 1.4.1.

Exponentes Enteros Exponentes

Estamos seguros que es más conveniente escribir una suma repetida x+x+x+x+x+x de forma 6x. De igual manera, podemos escribir el producto repetido x·x·x·x de manera más efectiva, utilizando exponentes. En particular x · x · x · x = x4 En general, para cualquier n´ umero real x y para cualquier entero positivo n, el s´ımbolo x , que se lee como “x a la enésima potencia”, representa el producto de n factores de x. As´ı, xn = x | · x ·{zx · · · x} n

n−f actores

para cualquier entero positivo n. En la expresi´on xn , n se denomina exponente o potencia de x y x se denomina base. Por ejemplo, 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Nota 4. Es importante reconocer la diferencia entre 2x3 y (2x)3 . Los par´entesis indican que el exponente 3 se aplica a 2x y no s´olo a x. Es decir: 2x3 = 2 · x · x · x

(2x)3 = 2x · 2x · 2x = 8x3

De igual manera, hay que tener cuidado con las siguientes expresiones: −54 = −(5 · 5 · 5 · 5) = −625

1.4.2.

(−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Leyes de los exponentes

Ahora mencionaremos algunas propiedades que involucran a los exponentes: Sean x y y n´ umeros reales y m y n n´ umeros enteros. Entonces: xm xn

1. xm · xn = xm+n

2. (xm )n = xm·n = (xn )m

3. (x · y)n = xn · y n

7. x−n =

4. ( xy )n =

8. x0 = 1 con x 6= 0

xn yn

, con y 6= 0

√ n

= xm−n

√ m xm = x n = ( n x)m 1 xn

con x 6= 0

Nota 5. 00 es indefinido

Cap´ıtulo 2 Sistema Internacional de Unidades o Medidas Después de la Revolución Francesa los estudios para determinar un sistema de unidades u ´ nico y universal concluyeron con el establecimiento del Sistema Métrico Decimal. La adopción universal de este sistema se hizo con el Tratado del Metro o la Convención del Metro, que se firmó en Francia el 20 de mayo de 1875, y en el cual se establece la creación de una organización cient´ıfica que tuviera, por una parte, una estructura permanente que permitiera a los pa´ıses miembros tener una acción com´ un sobre todas las cuestiones que se relacionen con las unidades de medida y que asegure la unificación mundial de las mediciones f´ısicas. Antes de estudiar el Sistema Internacional de Medidas, hablaremos acerca de la Notación Cient´ıfica

2.1.

Notaci´ on Cient´ıfica

En algunas ocasiones, las cifras de n´ umeros enteros muy grandes, o las decimales extremadamente peque˜ nas, se representan en forma más simplificada. Veamos algunos ejemplos: La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo, o también de 300 000 000 m/seg Si hablamos de grandes cantidades de bytes, se puede decir que la capacidad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a 500 000 000 000 000 bytes. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos, se podr´ıa decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros. Sin embargo, en los textos cient´ıficos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan grandes, sino más bien simplificadas, utilizando un procedimiento matemático denominado “Notaci´ on Cient´ıfica”. Por tanto, las cifras de los items anteriores seguramente aparecer´ıan escritas en textos de ciencia y técnica de la forma siguiente: La velocidad de la luz es de 3 × 108 m/seg. 15

La capacidad de almacenamiento de datos de la gran computadora es de 5 × 1014 bytes, y La longitud de onda de los rayos c´osmicos es inferior a 1 × 10−14 metros.

Definici´ on 5.

La notaci´ on cient´ıfica o notaci´ on ´ındice est´ andar es una manera r´ apida de representar un n´ umero utilizando potencias de base diez. Esta notaci´on se utiliza para poder expresar f´acilmente n´ umeros muy grandes o muy peque˜ nos. Los n´ umeros se escriben como un producto: a × 10n

Siendo:

a un n´ umero entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente. n un n´ umero entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

2.1.1.

Representaci´ on de N´ umeros Enteros y Decimales en Notaci´ on Cient´ıfica

Cualquier n´ umero entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras que posea, se puede reducir empleando la notaci´on cient´ıfica. Veamos en la pr´actica algunos ejemplos: a) 529 745 386 b) 450 c) 590 587 348 584 d) 0, 3483 e) 0, 000987

= = = = =

5, 29 × 108 4, 5 × 102 5, 9 × 1011 3, 5 × 10−1 9, 87 × 10−4

Como se puede observar en los ejemplos anteriores, la notaci´ on cient´ıfica se compone siempre de un solo n´ umero entero y el resto pueden ser uno o varios decimales, seg´ un la mayor o menor exactitud que requiera una representación numérica determinada. La cantidad de decimales se puede recortar a uno o dos n´ umeros solamente por medio de la aproximación o redondeo de la cifra, pues el objetivo de emplear la notación cient´ıfica es, precisamente, acortar las cifras largas, ya sean de n´ umeros enteros o decimales. Para convertir en notación cient´ıfica el n´ umero del ejemplo (a), en este caso 529 745 386, se procede de la siguiente manera: se cuenta de derecha a izquierda, los espacios que existen entre el u ´ ltimo n´ umero en este caso 6, hasta llegar al primer n´ umero que es 5. Observe la figura 2.1 Como se puede apreciar, después de contar observamos que hay 8 espacios, por lo que la notación cient´ıfica del n´ umero 529 745 386, la podemos escribir como: 5, 29 × 108

derecha

izquierda

529 745 386 8 espacios

Figura 2.1: Notación Cient´ıfica de un n´ umero entero El exponente 8 representa los espacios que hemos contado desde el 6 hasta el 5. El procedimiento para convertir un n´ umero decimal en otro n´ umero en notación cient´ıfica es parecido al anterior. Tomemos el n´ umero del ejemplo e, el cual es 0, 000987. Para realizar la conversión corremos la coma hacia la derecha, hasta llegar al espacio después del primer n´ umero diferente de cero, en este caso 9; y luego contabilizamos los espacios que ésta se ha desplazado. Observe la figura 2.2 Por tanto la notación cient´ıfica derecha

izquierda

0,000987 4 espacios

Figura 2.2: Notación Cient´ıfica de un n´ umero decimal del n´ umero 0, 000987 será de la siguiente forma: 9, 87 × 10−4 Resaltaremos que cuando la coma se dezplaza de izquiera a derecha (como en este caso), el exponente 4 que representa el n´ umero de espacios que la coma ha recorrido, lleva signo negativo. Esto servirá para indicar que la notación cient´ıfica corresponde a un n´ umero fraccionario en lugar de un entero.

2.2.

Sistema Internacional de Unidades o Medidas

El Sistema Internacional de Unidades (SI) surge como una necesidad de uniformizar la comunicación mundial en cuanto a pesos y medidas, debido fundamentalmente a la diferencia de idiomas, estilos y terminolog´ıa que usa cada pa´ıs. El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système International d′ Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en todos los pa´ıses y es la forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es conocido como “sistema métrico”, especialmente en las naciones en las que a´ un no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas, que inicialmente definió seis unidades f´ısicas básicas. En 1971 se a˜ nadió la séptima unidad básica, el mol. Una de las principales caracter´ısticas, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional, es que sus unidades están basadas en fenómenos f´ısicos fundamentales. La u ´ nica excepción es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que está definida como ((la masa del prototipo internacional del kilogramo)), el cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las caracter´ısticas de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad. Entre el 2006 y el 2009 el SI se ha unificado con la norma ISO 31 para formar el Sistema Internacional de Magnitudes (ISO/IEC 80000, con la sigla ISQ)

2.2.1.

Unidades del Sistema Internacional de Medidas

Las unidades del SI son divididas en 3 clases: Unidades de Base Unidades Derivadas Unidades Suplementarias 1. Unidades de Base. Las unidades de base son 7, bien definidas por su convención; y están consideradas dimensionalmente independientes. 2. Unidades Derivadas. Las Unidades Derivadas son aquellas que están dadas por expresiones algebraicas a partir de las unidades de base, algunas de las cuales tienen un nombre especial y un s´ımbolo particular y pueden a su vez ser utilizadas para expresar otras unidades. Ahora mencionaremos algunas de éstas: 3. Unidades Suplementarias. Son las que a´ un no han sido clasificadas ni como unidades de base ni como unidades derivadas.

Cantidad

Unidad

S´ımbolo

Longitud Masa Tiempo Corriente El´ectrica Temperatura Termodin´amica Cantidad de Substancia Intensidad Luminosa

Metro Kilogramo Segundo Amperio Kelvin mol Candela

m kg s A k mol Cd

Cuadro 2.1: Unidades de Base del Sistema Internacional de Medidas

Cantidad

Unidad

S´ımbolo

´ Area Volumen Velocidad Aceleraci´on Masa Espec´ıfica Densidad de Corriente Volumen Espec´ıfico

metro cuadrado metro c´ ubico metro por segundo metro por segundo al cuadrado kilogramo por metro c´ ubico amperio por metro cuadrado metro c´ ubico por kilogramo

m2 m3 m/s m/s2 kg/m3 A/m2 m3 /kg

Cuadro 2.2: Unidades Derivadas expresadas en t´erminos de unidades base

Cantidad

Unidad

S´ımbolo

´ Angulo Plano ´ Angulo S´olido

radi´an estereoradi´an

rad sr

Cuadro 2.3: Unidades Suplementarias del Sistema Internacional de Medidas

2.2.2.

Prefijos del Sistema Internacional de Medidas

Los prefijos y s´ımbolos registrados en la tabla 2.4 son usados para indicar órdenes de magnitud de las unidades del Sistema Internacional. Entre las unidades base, la unidad de masa (kilogramo) es la u ´ nica cuyo nombre, por razones históricas contiene ya un prefijo. Los nombres de m´ ultiplos y subm´ ultiplos decimales de la unidad de masa están formados por prefijos enlazados a la palabra “gramo”, por ejemplo mg, pero no ukg, por que los prefijos compuestos no son admitidos. Los prefijos deben ser seleccionados para reducir d´ıgitos no significativos o ceros en fracciones decimales. Un prefijo preferiblemente deber´ıa ser seleccionado de tal manera que el valor numérico situado entre 0.1 y 1000 y la misma unidad, m´ ultiplo o subm´ ultiplo sea usado en un texto, incluyendo sus tablas y gráficos. Expresiones exponenciales de n´ umeros es aceptable. El prefijo deber´ıa ser enlazado a una unidad en el numerador. Un exponente enlazado a un s´ımbolo conteniendo un prefijo indica que la unidad con su prefijo es elevado a la potencia expresado por el exponente, Factor de Multiplicación 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 0, 1 0, 01 0, 001 0, 000 001 0, 000 000 001 0, 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 000 001

= = = = = = = = = = = = = = = =

1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

Prefijo

S´ımbolo

exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico fento atto

E P T G M k h da d c m u n p f a

Cuadro 2.4: Prefijos del Sistema Internacional de Medidas

2.2.3.

Medidas de Longitud.

Observe el cuadro 2.5 Factor de Multiplicaci´on 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 000 001 0, 000 000 001 0, 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 000 001

= = = = = = = =

1018 1015 1012 109 106 103 102 101

= = = = = = = =

10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

Prefijo

S´ımbolo

exametro petametro terametro gigametro megametro kilometro hectometro decametro metro decimetro centimetro milimetro micrometro nanometro picometro fentometro attometro

Em Pm Tm Gm Mm km hm dam m dm cm mm um nm pm fm am

Cuadro 2.5: Medidas de Longitud

2.2.4.

Medidas de Superficie.

Observe el cuadro 2.6 1 1 1 1 1 1 1

kilómetro cuadrado hectómetro cuadrado decámetro cuadrado metro cuadrado dec´ımetro cuadrado cent´ımetro cuadrado mil´ımetro cuadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

= = = = = = =

1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0, 001 m2 0, 0001 m2 0, 000001 m2

Cuadro 2.6: Medidas de Superficie

2.2.5.

Otras Medidas de Superficie.

Observe el cuadro 2.7

1 área 1 Hectárea 1 Centiárea

= 100 m2 = 10 000 m2 = 1 m2

a Ha Ca

Cuadro 2.7: Otras Medidas de Superficie

2.2.6.

Medidas de Volumen

. Observe el cuadro 2.8 1 1 1 1

metro c´ ubico dec´ımetro c´ ubico cent´ımetro c´ ubico mil´ımetro c´ ubico

m3 dm3 cm3 mm3

= = = =

1 m3 0, 001 m3 0, 000001 m3 0, 000000001 m3

Cuadro 2.8: Medidas de Volumen

2.2.7.

Medidas de Capacidad.

Observe el cuadro 2.9 1 1 1 1 1 1 1

kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dl l dl cl ml

= = = = = = =

1000 litros 100 litros 10 litros 1 litro 0, 1 litros 0, 01 litros 0, 001 litros

Cuadro 2.9: Medidas de Capacidad

2.2.8.

Medidas de Longitud en el Sistema Ingl´ es de Medidas.

Observe el cuadro 2.10 1 yarda 1 pie

= =

3 pies = 0, 914 m 12 pulgadas = 30, 48 cm

= =

914 mm 0, 3048 m

Cuadro 2.10: Medidas de Longitud en el Sistema Ingl´es de Medidas

2.2.9.

Medidas de Superficie en el Sistema Ingl´ es de Medidas.

Observe el cuadro 2.11

1 yarda cuadrada 1 pie cuadrado 1 pulgada cuadrada

= 0, 83616 m2 = 0, 09290 m2 = 0, 0006452 m2

Cuadro 2.11: Medidas de Superficie en el Sistema Ingl´es de Medidas

2.2.10.

Medidas de Volumen en el Sistema Ingl´ es de Medidas

Observe el cuadro 2.12 1 yarda c´ ubica 1 pie c´ ubico 1 pulgada c´ ubica

= 0, 764559 m3 = 0, 028317 m3 = 0, 000016387 m3

Cuadro 2.12: Medidas de Volumen Observaci´ on 1. El acre es una medida de superficie en los pa´ıses anglosajones, y: 1 acre = 4047 m2

2.3.

Ejercicios Desarrollados del cap´ıtulo

1. Expresar en notaci´on cient´ıfica los siguientes n´ umeros: a) 178 000 000 000 000 Soluci´ on: 178 000 000 000 000 = 1, 78 × 1014 b) 0, 0000345 Soluci´ on: 0, 0000345 = 3, 45 × 10−5 c) −0, 0000000001056 Soluci´ on: −0, 0000000001056 = −1, 056 × 10−10 2. Efectuar: R = 2 × 10−3 + 1, 2 × 102 − 5, 5 × 10−2 , y expresar el resultado en notaci´on cient´ıfica Soluci´ on: R = = = R =

2 × 10−3 + 1, 2 × 102 − 5, 5 × 10−2 0, 002 + 120 − 0, 055 119, 947 1, 19947 × 102

3. Convertir 120 km a metros. Soluci´ on:

x = 120km ×

1000m = 120 000 m = 1, 2 × 105 m 1km

4. Convertir 345 metros a kil´ometros. Soluci´ on:

x = 345m ×

1km = 0, 345 km = 3, 45 × 10−1 km 1000m

5. Convertir 22025 cm a metros Soluci´ on:

x = 22025cm ×

1m = 220, 25 m = 2, 2025 × 102 m 100cm

6. Convertir 134,45 mm a dec´ımetros Soluci´ on:

x = 134, 45mm ×

10−2 dm = 1, 3445 dm 1mm

7. Convertir 0,0467 km a cent´ımetros Soluci´ on:

x = 0, 0467km ×

105 cm = 4670 cm 1km

8. Convertir 35 km2 a m2 Soluci´ on:

x = 35km2 ×

1000000m2 = 35000000 = 3, 5 × 106 m2 1km2

9. Convertir 13,5 m2 a km2 Soluci´ on:

x = 13, 5m2 ×

10−6 km2 = 13, 5 × 10−6 = 1, 35 × 10−5 km2 1m2

10. Convertir 545 hect´areas a metros cuadrados Soluci´ on:

10000m2 x = 545Ha × = 545 × 104 = 5, 45 × 106 m2 1Ha 11. Convertir 23,5 pies a pulgadas Soluci´ on:

x = 23, 5pies ×

12pulgadas = 282pulgadas 1pie

12. Convertir 75,4 metros a pies Soluci´ on:

x = 75, 4m ×

2.4.

1pie = 247, 36pies 0, 3048m

Ejercicios Propuestos

1. Expresa en notaci´on cient´ıfica las siguientes cantidades a) 300 000 000

e) −7894, 34

b) 0, 000 000 1

i ) −0, 000 546

f ) 456, 987

j ) 0, 1589

c) 0, 000 000 62

g) 0, 000 000 000 93

k ) 12, 007 000

d ) −18 400 000 000

h) −0, 00345

l ) −0, 123 345

2. Expresa en notaci´on decimal las siguientes cantidades: a) 4 × 103

e) 1, 74 × 10−4

c) 5, 112 × 10−3

g) 9, 3 × 10−2

b) −6, 3456 × 10−6

d ) 1, 43 × 10−5

f ) 1, 3 × 105

h) 2, 5 × 107

i ) 1, 8 × 10−8

j ) −3, 45 × 10−1

k ) 6, 83 × 103

l ) −0, 45 × 10−4

3. Realizar la operaci´on: E=

0, 000 000 000 000 000 000 000 006 63 × 30 000 000 000 0, 000 000 091 16

4. Efectuar las siguientes operaciones, expresando el resultado tambi´en en notaci´on cient´ıfica

a) b) c) d) e) f) g)

3 × 10−1 − 5 × 10−2 + 3 × 10−3 9, 8 × 10−3 + 3, 2 × 102 1, 2 × 102 + 1, 8 × 103 2, 5 × 10−3 − 7, 3 × 10−5 3, 74 × 10−10 × 1, 8 × 1018 5, 4 × 108 × 6, 8 × 1012 5, 6 × 10−2 (4, 2 × 102 + 3, 3 × 103 )

(9×10−3 )(5×10−4 ) 1,5×108

(1,6×10−2 )(5×105 ) 4×10−6

7,2×10−6 (1,2×10−6 )(3×10−1 )

3,2×107 ×0,7 (2×1014 )(6×10−5 )

(3,2×10−1 )(1,5×10−3 ) 3×10−5

5. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de longitud: a) 35 km. a cm.

j ) 5, 789 cm. a Hm.

b) 1, 8 m. a mm.

k ) 25 m. a Hm.

c) 123 cm.a dm.

l ) 6, 72 cm. a Dm.

d ) 345, 32 Dm.a cm. e) 0, 345 m.a cm. f ) 234, 34 mm.a m.

m) 0, 54 mm. a m. n) 0, 54 mm. a m.

g) 756 dm. a Dm.

n ˜ ) 234, 567 cm. a Km.

h) 0, 12 mm. a cm.

o) 345 m. a Km.

i ) 45, 37 dm. a cm.

p) 234, 567 Km. a dm.

6. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de longitud: a) 52 yardas a cm.

g) 7, 56 m. a yardas

b) 3, 2 m. a pies

h) 0, 12 mm. a pies

c) 1, 23 cm. a pulgadas

i ) 45, 37 cm. a pulgadas

d ) 34, 5 m. a pulgadas

j ) 5, 789 pies a m.

e) 0, 345 pies a pulgadas

k ) 25 pulgadas a pies

f ) 234, 34 pulgadas a m.

l ) 6, 72 cm. a pies

7. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de ´area: a) 33 Ha. a m2 .

f ) 25 mm2 . a Ha.

b) 4, 532 m2. a Ha.

g) 7, 56 pies2 a yardas2

c) 1, 2 cm2 . a m2 .

h) 17, 4 Ha. a pies2

d ) 0, 54 m2. a mm2 .

i ) 63, 45 m2. a pies2

e) 653, 35 mm2. a cm2 .

j ) 0, 57 m2. a pulgadas2

8. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de volumen:

a) 15, 3 m3. a cm3 .

f ) 106, 76 mm3. a dm3 .

b) 13, 25 cm3. a m3 .

g) 7, 56 m3 a dm3

c) 0, 2789 dm3. a m3 .

h) 106, 76 mm3. a dm3 .

d ) 55, 78 m3. a mm3 .

i ) 1000 cm3. a m3

e) 27, 33 cm3. a mm3 .

j ) 559, 67 mm3. a m3

9. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de volumen: a) 15, 3 m3. a pies3 .

f ) 65, 76 m3. a pulgadas3

b) 103, 2 pies3. a m3 .

g) 7, 56 pies3 a pulgadas3

c) 0, 2789 yarda3 a m3 .

h) 233 pulgadas3 a pies3

d ) 55, 78 m3. a yardas3

i ) 1000 yardas3 a pies3

e) 27, 33 pulgadas3 a m3 .

j ) 559, 67 pulgadas3 a yardas3

10. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de capacidad: a) 150 litros a Hectolitros

f ) 15, 46 mililitro a litros

b) 45, 3 Hectolitros a litros

g) 7, 56 Hectolitro a mililitro

c) 23, 6 centilitro a litros

h) 233 centilitro a Kilolitro

d ) 25, 7 litros a centilitros

i ) 1000 Decalitro a litros

e) 27, 33 mililitro a centilitro

j ) 559, 67 Kilolitro. a litros

11. Resolver los siguientes problemas: a) De un rollo de alambre que tiene 45 m., se venden sucesivamente 5, 4m.; 80cm.; 170dm.; y 1200mm. ¿Cuántos metros quedan en el rollo? b) Un ciclista debe recorrer 150km. Después de haber recorrido 5000dm y 76000m. ¿Cuántos kilómetros le faltan recorrer? c) Calcula el área de un rectángulo que mide 570mm. de largo y 7, 6cm. de ancho. Expresa tu respuesta en dm2 d ) En un metro cuadrado de tierra se pueden sembrar aproximadamente 4 matas de col. ¿Cuántas matas se pueden sembrar en un terreno que ocupa una hectárea? e) . Una pintura rectángular se ha pegado en una hoja en blanco como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del papel que no ha sido cubierta por la pintura?

6.0 dm

0.2 dm

45 cm 0.4 m

f ) El largo de un rectángulo excede al ancho en 8m. Si cada dimensión se aumenta en 3 × 102 cm., el área aumentar´ıa en 57m2 . ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? g) En el huerto de una escuela se tiene sembrado un cantero de aj´ı que tiene forma rectángular de 8, 4m de largo por 20dm. de ancho y cubre dos séptimos del mismo. ¿Cuál es el área del huerto? Exprese su respuesta en metros cuadrados. h) En un salón de reuniones se coloca una alfombra rectángular de 2, 4m de largo por 20dm de ancho y cubre dos novenos del mismo. Si el salón es rectángular y posee 7, 2m de largo. ¿Cuánto mide el ancho del salón? i ) ¿Cuántos metros debe tener el largo de un aula que tiene 50dm de ancho, para que pueda contener 30 estudiantes a razón de 0,75m2 por estudiante? j ) Un ni˜ no tiene una pieza de cartón rectángular de 480mm de largo y 3, 7dm de ancho. Calcule el área y el per´ımetro de la pieza dando las respuestas en m2 y cm2 respectivamente. 12. Resolver los siguientes problemas: a) La altura de una pirámide regular de base cuadrada mide 1, 4dm y el lado de la base es de 1, 5 × 102 mm. Determinar: La longitud de la arista lateral en cm ¿Cuántos litros de capacidad puede contener esta pirámide?

b) Cu´antos litros de agua caben en una cisterna de forma de ortoedro si sus dimensiones son: largo 45dm, ancho 2, 5m y altura 2 × 102 cm

c) Determina la cantidad de litros de agua que pueden almacenarse en un tanque cil´ındrico de 5, 25 × 102mm de di´ametro y 95cm de altura

d ) Una caja de galletas tiene forma de cubo de 3, 5dm de arista. Determine:

¿Qué cantidad de metros de papel se necesita para forrar la caja, sin incluir las partes posterior e inferior. ¿Cuál es la máxima cantidad de galletas que puede contener la caja si cada una ocupa 25cm3 ? e) Para festejar el aniversario de bodas, Jorge compró 5 litros de vino blanco y 0,12 hectolitros de vino tinto, pagando en total 360 soles. Determine: ¿Cuánto cuesta el litro de cada uno, si el vino blanco es 4 soles más caro que el vino tinto? ¿En cuántos frascos de 125ml se podrá envasar el vino blanco?

Cap´ıtulo 3 Ecuaciones en R Las ecuaciones son de suma importancia en las matemáticas y otras ciencias, desde los babilonios, pasando por los egipcios y los griegos, ...hasta nuestra época, las ecuaciones han sido las herramientas matemáticas que se utilizan para resolver problemas donde se requiere saber el valor de una “incógnita”. Las ecuaciones son igualdades, que se hacen verdaderas para valores espec´ıficos, por ejemplo si: 3x + 5 = −1; para que esta igualdad sea verdadera, el valor de x debe ser −2 y no otro. Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita que hagan verdadera dicha igualdad. A su vez las soluciones pueden ser reales o imaginarias; seg´ un el caso, por ejemplo: x2 − 9 = 0, x puede tomar los valores 3 y −3, pero si x2 + 9 = 0, √ x toma valores 3i y −3i. Siendo i = −1 el s´ımbolo de Imaginario. Antes de definir lo que es una Ecuación, definiremos en términos matemáticos la palabra Igualdad Definici´ on 6. Igualdad Es aquella relación que existe entre dos cantidades y que nos indica que tiene el mismo valor. Las igualdades se clasifican en: 1. Igualdades Absolutas o Identidades. 2. Igualdades Relativas o Ecuaciones.

Igualdad Absoluta o Identidad Las igualdades absolutas o identidades, son aquellas que se verifican para cualquier sistema de valores atribuidos a sus variables. Ejemplo 3.1. 1. (x − y)2 = x2 − 2xy + y 2

3. (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

2. x2 − y 2 = (x + y)(x − y)

4. x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2)

Ahora en la siguiente secci´on estudiaremos la Igualdad Relativa o Ecuaci´on.

3.1.

Ecuaci´ on Algebraica. Clasificaci´ on

Definici´ on 7. Una variable es un s´ımbolo que est´ a representado por una letra, la cual toma uno o varios valores, que pertenecen a un mismo conjunto (el conjunto solución, que estudiaremos más adelante). Una incógnita o variable es la letra que representa al n´ umero buscado en la ecuación; generalmente se le representa por las letras x, y y z Definici´ on 8. Una constante es un s´ımbolo que nombra exactamente un elemento. Definici´ on 9. Se llama ecuaci´ on algebraica a la igualdad relativa de dos expresiones algebraicas que involucran al menos una variable; las cuales adquieren el mismo valor numérico, para los mismos valores de sus inc´ ognitas. Ejemplo 3.2. x+2 x−3

x x+1

1. 3x + 1 = 7x − 2

2. x2 + 7x + 10 = 0

4. x4 − 3x2 + 2 = 0

Definici´ on 10. Se llama Conjunto soluci´ on al conjunto cuyos elementos son todas las soluciones de una cierta ecuaci´on. Ejemplo 3.3. Para la ecuaci´on x3 + 4x2 + x − 6 = 0, sus ra´ıces o soluciones son: x1 = 1, x2 = −2

x3 = −3

Entonces su conjunto solución de ésta ecuaci´ on ser´ a: C.S = {−3, −2, 1} Las ecuaciones algebraicas se clasifican de dos maneras: 1. Seg´ un su Conjunto Solución, y 2. Seg´ un el Grado del Polinomio.

3.2.

Clases de Ecuaciones seg´ un su Conjunto Soluci´ on

Las ecuaciones algebraicas seg´ un su conjunto soluci´on pueden ser: Ecuación Algebraica

Compatible

Incompatible

Equivalente

Determinada

Indeterminada

Figura 3.1: Clasificación de una Ecuación Algebraica, seg´ un su conjunto solución

3.2.1.

Ecuaci´ on Compatible:

´ Es aquella cuyo conjunto soluci´on tiene por lo menos un elemento. Esta a su vez puede ser: 1. Ecuaci´ on Compatible Determinada: Es aquella en la que se pueden enumerar los elementos del conjunto soluci´ on. Ejemplo 3.4. La ecuaci´on x2 − 7x + 6 = 0

es una ecuación compatible determinada, ya que tiene como conjunto soluci´ on C.S. = {−6, −1} el cual es un conjunto finito, es decir sus elementos se pueden enumerar. 2. Ecuaci´ on Compatible Indeterminada: Es aquella en la que no se pueden enumerar los elementos del conjunto soluci´ on. Ejemplo 3.5. La ecuación x+2 x−2 8x − = 2 x−2 x+2 x −4 es una ecuación compatible indeterminada, ya que al solucionarla vamos a llegar a la igualdad 8x = 8x lo cual implica que su conjunto soluci´ on es C.S. = R − {−2, 2} y éste es un conjunto infinito.

3.2.2.

Ecuaci´ on Incompatible:

Denominada también Absurda o incosistente; es aquella cuyo conjunto soluci´ on no representa ning´ un elemento. Ejemplo 3.6. La ecuación x+3 x+5 = x−4 x−2 es una ecuación incompatible, puesto que al resolverla, llegaremos a la igualdad −6 = −20, lo cual es un absurdo, por tanto el C.S. = φ

3.2.3.

Ecuaci´ on Equivalente:

Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos soluciones poseen los mismos elementos. Ejemplo 3.7. Las ecuaciones: 3x − 2 = 10

5x − 14 = 6

son equivalentes, ya que tienen el mismo conjunto soluci´ on, el cu´ al es: C.S. = {4}

3.3.

Clases de Ecuaciones seg´ un el Grado del Polinomio

Llamadas también polinomiales, éstas pueden ser: 1. De grado uno o Lineales, 2. De grado dos o Cuadráticas, 3. De grado tres o C´ ubicas, etc En general a las ecuaciones de grado uno, dos, tres, etc, se les denomina: “Ecuaciones Polin´ omicas”. Ahora estudiaremos detenidamente cada una de este tipo de ecuaciones:

3.3.1.

Ecuaci´ on Lineal

Definici´ on 11. Una ecuaci´ on lineal es aquella cuyo mayor exponente de la variable o inc´ognita es 1.

Forma General: ax + b = 0 Resoluci´on ax = −b Siendo a 6= 0 ⇒ x = −b a Ejemplo 3.8. Resolver la siguiente ecuaci´ on lineal: 4x − (3x − 4) = 6x − (3 − 8x) + (−2x + 29) Soluci´ on: a) b) c) d) e) f)

Suprimir paréntesis: Transponer términos: Reducir términos Despejar x : Solución: Conjunto Solución:

4x − 3x + 4 4x − 3x − 6x − 8x + 2x −11x x x C.S.

= = = = = =

6x − 3 + 8x − 2x + 29 −3 + 29 − 4 22 22 −11

−2 {−2}

Ejemplo 3.9. Resolver la siguiente ecuaci´ on lineal: 9t + (−2t + 8) = 3t + (5 − 6t) − (−5t − 18) Soluci´ on: a) b) c) d) e) f)

Suprimir paréntesis: Transponer términos: Reducir términos Despejar t : Solución: Conjunto Solución:

9t − 2t + 8 9t − 2t − 3t + 6t − 5t 5t t t C.S.

= = = = = =

3t + 5 − 6t + 5t + 18 5 + 18 − 8 15 15 5

3 {3}

Ejemplo 3.10. Resolver la siguiente ecuaci´ on lineal: 5 3 3 m−2= m+ 2 4 5 Soluci´ on: a)

Transponer t´erminos:

Reducir t´erminos

3 m 2

− 54 m = 1 m 4

3 5

13 5

Despejar m :

m =

13 5 1 4

Soluci´on:

m =

52 5

Conjunto Soluci´on:

C.S. = { 52 } 5

Ejemplo 3.11. Resolver la siguiente ecuaci´ on: (2p + 5)2 − p(4p − 5) = 100 Soluci´ on: a) b) c) d) e) f)

Suprimir paréntesis: Transponer términos: Reducir términos Despejar p : Solución: Conjunto Solución:

4p2 + 20p + 25 − 4p2 + 5p 4p2 + 20p − 4p2 + 5p 25p p p C.S.

= = = = = =

100 100 − 25 75 75 25

3 {3}

Ejemplo 3.12. Resolver la siguiente ecuaci´ on: 8x − 5 3x + 7 =5− 2x + 5 3x + 2 Soluci´ on: 8x−5 2x+5

3x+7 3x+2

= 5

(8x−5)(3x+2)+(3x+7)(2x+5) (2x+5)(3x+2)

= 5

Transponer fracciones algebraicas:

Operamos las fracciones:

c) d) e)

Multiplicamos algebraicamente y reducimos términos: Transponer términos: Reducir términos

Despejar x :

x =

Soluci´on:

5 x = − 13

Conjunto Soluci´on:

30x2 + 30x + 25 = 30x2 + 95x + 50 30x2 + 30x − 30x2 − 95x = 50 − 25 −65x = 25 25 −65

5 C.S. = {− 13 }

En este ejemplo debemos tener mucho cuidado con la solución, ya que supongamos que la solución hubiese sido x = − 52 o x = − 32 , entonces la ecuación no existir´ıa, puesto que estos valores hacen de que el denominador de las fracciones sean cero, lo cual implicar´ıa que los términos 8x−5 y 3x+7 no existan. 2x+5 3x+2 Ejemplo 3.13. Resolver la siguiente ecuaci´ on: x+2 x2 6 + = x+2 2−x 4 − x2

Soluci´ on: 6(2−x)+(x+2)2 4−x2 2

x = 4−x 2 12 − 6x + x + 8x + 4 = x2 2x = −8 x = −4 C.S. = {−4}

En este ejemplo, al igual que el anterior, se debe tener cuidado con la soluci´on, puesto que x, no debe tomar los valores −2 y 2, por las mismas razones expuestas anteriormente.

3.3.2.

Ecuaci´ on Cuadr´ atica

Definici´ on 12. Una ecuaci´ on cuadr´ atica es aquella ecuaci´ on algebraica cuyo mayor exponente de la variable o inc´ognita es 2.

Forma General:

ax2 + bx + c = 0

donde: a, b y c ∈ R, con a 6= 0 Para solucionar una ecuación cuadrática, existen los siguientes métodos: Por Factorización. Utilizando la Fórmula Cuadrática. Completando Cuadrados. 1. Por Factorizaci´ on. Solucionaremos ecuaciones cuadráticas empleando los métodos de factorización como: factor com´ un y aspa simple. Ejemplo 3.14. Resolver la siguiente ecuaci´ on cuadr´ atica: 3x2 − 5x = 0 Soluci´ on: a) Factorizamos el factor com´ un x : Cada factor lo d) igualamos a 0 : e) Soluciones: f ) Conjunto Solución

x(3x − 5) = 0 x = 0 ∨ 3x − 5 = 0 x = 0 ∨ x = 35 C.S. = {0, 35 }

Ejemplo 3.15. Resolver la siguiente ecuaci´ on cuadr´ atica: x2 − 5x + 6 = 0

Soluci´ on: Para resolver esta ecuación, utilizaremos la factorización por el método del aspa simple, el cual en nuestro caso, consiste en hallar dos n´ umeros (con sus respectivos signos) que multiplicados den como resultado 6 y que sumados o restados den el valor de −5. As´ı pues, en este ejercicio, los n´ umeros buscados son −2 y −3: x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) (x − 2) = 0 x=2 C.S.

= = ∨ ∨ =

0 0 (x − 3) = 0 x=3 {2, 3}

Ejemplo 3.16. Resolver la siguiente ecuaci´ on cuadr´ atica: 3x2 + x − 2 = 0 Soluci´ on: 3x2 + x − 2 (3x − 2)(x + 1) (3x − 2) = 0 x = 23 C.S.

= = ∨ ∨ =

0 0 (x + 1) = 0 x = −1 {−1, 32 }

2. Por F´ ormula Cuadr´ atica. Dada la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0

(3.1)

donde: a, b y c ∈ R, con a 6= 0. Entonces la fórmula cuadrática para obtener las soluciones de la ecuación (3.1), es: √ −b ± ∆ x= , (3.2) 2a donde: ∆ = b2 −4ac, es denominado “Discriminante”de la ecuación (3.1). Luego, se tiene que: √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = y x2 = 2a 2a son las dos soluciones o ra´ıces de la ecuación (3.1). b.1) An´ alisis de la naturaleza de las ra´ıces de una ecuaci´ on cuadr´ atica. b.1.1) Si ∆ > 0, las ra´ıces x1 y x2 son reales y diferentes. b.1.2) Si ∆ = 0, las ra´ıces x1 y x2 son reales e iguales.

b.1.3) Si ∆ < 0, las ra´ıces x1 y x2 son complejas y conjugadas. Ejemplo 3.17. Resolver la siguiente ecuaci´ on cuadr´ atica: 3x2 + x − 2 = 0, utilizando la fórmula cuadr´ atica Soluci´ on: Primero analizaremos el discrimante para saber, si la ecuación tiene soluciones en R. En efecto: ∆ = b2 − 4ac = (1)2 − 4(3)(−2) = 25 > 0 Observamos que ∆ > 0, entonces la ecuación tiene soluciones reales. Luego, las ra´ıces son: √ −1 + 5 2 −b + ∆ = = x1 = 2a 6 3 y

√ −b − ∆ −1 − 5 x2 = = = −1 2a 6 Por tanto el conjunto soluci´on es: 2 C.S. = {−1, } 3

Ejemplo 3.18. Resolver la siguiente ecuaci´ on cuadr´ atica: x2 + x + 7 = 0, utilizando la fórmula cuadr´ atica Soluci´ on: Primero analizaremos el discrimante para saber, si la ecuación tiene soluciones en R. En efecto: ∆ = b2 − 4ac = (1)2 − 4(1)(7) = −27 < 0 Observamos que ∆ < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones reales, pero s´ı soluciones complejas y conjugadas; por tanto diremos que esta ecuación no tiene solución en R. La solución de este tipo de ecuaciones las dejaremos cuando estudiemos los n´ umeros complejos.

b.2) Propiedades de las ra´ıces de una ecuaci´ on cuadr´ atica. Las ra´ıces de la ecuaci´on (3.1) cumplen las siguientes propiedades.

b.2.1) Suma de ra´ıces: x1 + x2 = −b . a b.2.2) Producto de ra´ıces: x1 · x2 = ac .

b.2.3) Diferencia de ra´ıces: |x1 − x2 | =

√ ∆ . a

Ejemplo 3.19. En la ecuaci´on 4mx2 − (20m + 3)x + 15 = 0,

(3.3)

si la suma de las ra´ıces de la ecuaci´ on es 8, hallar el valor de m. Soluci´ on: Sean x1 y x2 las ra´ıces de la ecuación (3.3), entonces por propiedad de las ra´ıces de una ecuación cuadrática, se tiene: x1 + x2 = −

20m + 3 −(20m + 3) = 4m 4m

(3.4)

Por datos del problema tambi´en se tiene que: x1 + x2 = 8

(3.5)

Luego, igualando las ecuaciones (3.4) y (3.5), se tiene: 20m + 3 =8 4m As´ı, al despejar m en la ecuaci´on anterior, obtenemos m = 14 . Ejemplo 3.20. En la ecuaci´on (n − 1)x2 − 5x + 2n = 0,

(3.6)

si el producto de las ra´ıces de la ecuaci´ on es 4, hallar el valor de n. Soluci´ on: Sean x1 y x2 las ra´ıces de la ecuación (3.6), entonces por propiedad de las ra´ıces de una ecuación cuadrática, se tiene: x1 · x2 =

2n n−1

(3.7)

Por datos del problema tambi´en se tiene que:

x1 · x2 = 4 Luego, igualando las ecuaciones (3.7) y (3.8), se tiene: 2n =4 n−1

As´ı, al despejar n en la ecuaci´on anterior, obtenemos n = 2.

(3.8)

3.3.3.

Ecuaciones Polin´ omicas de grado mayor que dos.

Las ecuaciones polinómicas de grado n tienen la forma general siguiente: Forma General : P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 Donde: ai ∈ R, con i = 0...n y an 6= 0. Para solucionar este tipo de ecuaciones utilizaremos algunos métodos de factorización tales como el método de Ruffini, entre otros, que lo explicaremos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 3.21. Hallar el conjunto soluci´ on de la ecuaci´ on x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0

(3.9)

Soluci´ on: En primer lugar hallamos un conjunto de posibles puntos que anulen el polinomio, a los que llamaremos puntos cr´ıticos (P.C.), éste conjunto de puntos se halla de la siguiente manera: Divisores del Término Independiente } P.C. = {± Divisores del coeficiente Principal En nuestro caso, el término independiente es 6 y sus divisores son: 1, 2, 3 y 6; y el coeficiente principal (que es el coeficiente de la variable que tiene mayor exponente) es 1 y sus divisores es: 1. Por tanto: P.C. = {±

1, 2, 3, 6 } = {±1, ±2, ±3, ±6} 1

En este conjunto estar´an los puntos que anulen el polinomio, es importante destacar que no todos estos puntos anulan al polinomio. El siguiente paso es, observar si el polinomio es completo y ordenado, de lo contrario se completa con ceros y se ordena. Luego como nuestro polinomio cumple estas condiciones, entonces ubicamos los coeficientes de ´este, de la siguiente manera, y probamos con el punto cr´ıtico x = 1, si es que anula al polinomio. 1 x=1 ↓ 1

-1 -7 1 6 1 0 -7 -6 0 -7 -6 0

Observamos que el punto cr´ıtico x = 1, si anula al polinomio. Ahora repetimos el proceso con la u ´ ltima fila de la tabla anterior, y probamos con x = −1 1 x = −1 ↓ 1

0 -7 -6 -1 1 6 -1 -6 0

Volvemos a repetir el proceso con la u ´ ltima fila de la tabla anterior, y probamos con x = −2

x = −2

1 -1 -6 ↓ -2 6 1 -3 0

Luego nuestra ecuación (3.9)quedará expresada en términos de sus factores primos, de la siguiente manera: (x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3) = 0 De donde tenemos: x−1= 0 ∨ x+1 =0 ∨ x+2 =0 ∨ x−3= 0 De ésto u ´ ltimo se tiene: x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = −2 ∨ x = 3 Por tanto el conjunto solución es: C.S. = {−2, −1, 1, 3} Ejemplo 3.22. Hallar el conjunto soluci´ on de la ecuaci´ on x6 + 7x5 + 7x4 − 35x3 − 56x2 + 28x + 48 = 0

(3.10)

Soluci´ on: Hallamos el conjunto de puntos que posiblemente anulen al polinomio anterior. P.C. = {±

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 } = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12} 1

Ahora aplicamos el m´etodo de Ruffini, como en el ejemplo anterior. Probemos para x = −1 x = −1

1 7 7 -35 -56 28 ↓ -1 -6 -1 36 20 1 6 1 -36 -20 48

Probemos para x = 1 1 x=1 ↓ 1

6 1 -36 -20 48 1 7 8 -28 -48 7 8 -28 -48 0

Para: x = −2 x = −2 Para: x = 2

1 7 8 -28 -48 ↓ -2 -10 4 48 1 5 -2 -24 0

48 -48 0

1 x=2 ↓ 1

5 -2 -24 2 14 24 7 12 0

Para: x = −3 x = −3

1 7 12 ↓ -3 -12 1 4 0

Luego la ecuación (3.10), quedará expresada en términos de sus factores primos, de la siguiente forma: (x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2)(x + 3)(x + 4) = 0 Luego: x+1 =0 ∨ x−1= 0 ∨ x+2 =0 ∨ x−2= 0 ∨ x+3= 0 ∨ x+4= 0 De donde se tiene: x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = −2 ∨ x = 2 ∨ x = −3 ∨ x = −4 Por lo tanto el conjunto solución para la ecuación (3.10) es: C.S. = {−4, −3, −2, −1, 1, 2}

3.4.

Ecuaciones Exponenciales

Definici´ on 13. Es aquella ecuaci´on donde la inc´ ognita forma parte solo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Ejemplo 3.23. 8x = 512,

3x−1 = 2187,

63−3 = 63

Casos 1. Si bx = by ⇒ x = y con b 6= 0 y 1 2. Si xb = y b ⇒ x = y con b 6= 0 3. Si bb = xx ⇒ b = x con b 6= 0 y 1 Ejemplo 3.24. Resolver: 22x+3 − 32x+1 = 32x+2

Soluci´ on: 22x+3 = 32x+2 + 32x+1 22x 23 = 32x 32 + 32x 31 22x 23 = 22x 32x

32x (32 + 3) 12 23

( 32 )2x =

22 ·3 23

( 23 )2x =

3 2

( 23 )2x =

( 23 )−1

luego por la caso 1, se tiene que 2x = −1, de donde se tiene el conjunto soluci´on 1 C.S. = {− } 2

Ejemplo 3.25. Resolver: x3x Soluci´ on: Sabemos que: 0, 125 = Luego:

125 1000

1 8

0,5

= 0, 125

= ( 12 )3 x3x

0,5

= ( 12 )3

0,5

(xx )3 = ( 12 )3 1

xx 2 1

(xx 2 ) 1

(x 2 )x 2 aplicando el caso 3, se tiene:

1 2

= ( 12 ) 2

= ( 12 ) 2 =

1 2

(x 2 )2 = ( 21 )2 x

1 4

As´ı el conjunto soluci´on para esta ecuaci´on es: 1 C.S. = { } 4

3.5.

Ecuaciones Logar´ıtmicas

Definici´ on 14. El logaritmo de un n´ umero real positivo N en una base positiva b(diferente de la unidad), se define como el exponente x al cual hay que elevar a la base para que nos origine el n´ umero N. Es decir: logb N = x ↔ N = bx Definici´ on 15. Una ecuaci´ on logar´ıtmica, es aquella igualdad en donde aparecen expresiones logaritmicas y cuya caracter´ıstica es tener la inc´ ognita en la base b, o en el n´ umero N Propiedades de los logaritmos 1. logb b = 1

5. logb N n = n logb N

2. logb (AB) = logb A + logb B

6. loga N =

3. logb 1 = 0

7. logb a · loga b = 1

A 4. logb ( B ) = logb A − logb B

8. log 1 N = − logb N b

Ejemplo 3.26. Calcular x en: log25 5 = x + 3 Soluci´ on:

Por lo tanto:

5 5 5 ⇒1 − 52

= 25x+3 = (52 )x+3 = 52(x+3) = 2x + 6 = x

5 C.S. = {− } 2

Ejemplo 3.27. Resolver: 3 + [logx (log3 x)] = 0 Soluci´ on:

logx [log3 x] x−3 x x 3 xx 3 xx 3 (xx ) 3 (x3 )(x ) x3 x

= −3 = log3 x −3 = 3x 1 = 3 x3 1 3 = (3 x3 )x = 3 = 33 = 33 = 3 √ 3 = 3

logb N logb a

Por lo tanto:

√ 3 C.S. = { 3}

Ejemplo 3.28. Hallar x en: log xlog x − log x − 6 = 0 Soluci´ on:

log x · log x − log x − 6 = 0 (log x)2 − log x − 6 = 0 (log x − 3)(log x + 2) = 0

Entonces: x1 = 103 y x2 = 10−2 Por lo tanto:

C.S. = {10−2 , 103}

3.6.

Ejercicios Propuestos

1. Resolver las siguientes ecuaciones: a) x −

13 x 12

5 x 18

13 12

2. Hallar el valor de k para que la ecuaci´on: 2kx − 3 3kx − 2 + = 2k + 3 x−1 x+1

b) 3y − 4 = 5 + 3( y5 − 1) c) 2 − 4( 27 x + 17 ) =

d ) 5x − 3(3 − x4 ) =

3 −x 2 7 x−3 2

e) 5( 23 t − 35 t) + 1 = 2t − 2(t − 1) f)

g) h) i) j) k) l) m) n) n ˜) o) p) q) r)

2 m 3

− 4( m5 − 16 ) =

1 15 1 − 23 (z − 3) = 2 − 14 (3z − 4) 1 t ( − 2t ) + 19 = 12 ( 12 − 3t ) 2 3 p 2 p − 5( 12 + 14 ) = 3 − 2(1 − p6 ) 3 3( 11 x − x) − 4 = 2x − 3(1 − x6 ) 6 1−3x = 2x − 3(x − 21 ) 4 2t − t+1 = 3 − 3t−1 8 4 s−2 3s − 2 = 2(2 + 4s ) 3 x − 1 = x − 1−5x 4 2 1−9p p − 2 = 3 − 11p−1 3 2 2x−2 x x−1 1 − 15 = 3 + 5 y − 3−y = 32 y − 8−3y 3 4 a+3 a − a+1 = − 2 5 2 a+x x−b − a = 2 si a 6= b b

se reduzca a una ecuaci´on de primer grado. 3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) b)

x + 2y = 8 2x + y = 7 1 x 2

− x +

1 y 3 2 y 3

= 0 = 8

2x − 3y = −4 3x + y = 5

4x + 3y = 10 6x + 9y = 21

2x + 9y = 8 3x + 10y = 5

4x + 5y = −7 5x − 3y = 19

4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

x+3y 4

1 + x6 = − 12 x + 4y = 2

x+2y 2

+ 2x +

2x−y 4

= 29 y = 8

x − 3y = −1 3y − z = −9 x − 4y = 1

7. Si Ia = que:

E R+Ra

y E = RI, demuestre

R= c)

4x−3y+3 x+y−2

= 5 x + 2y = 1

x+y+2 x−2y+1

= 2 x + 3y = 16

4x−2y 3 2x−y 2

− +

2x−3y 5 x+5y 3

= =

7 15 23 6

Ra Ia I − Ia

8. Si E = Ix (Rx + R), E = Ia (Ra + R), y E = IR, demostrar que: ! I−Ix Ix I−Ia Ia

Rx =

9. Resolver las siguientes ecuaciones cuadr´aticas: a) x2 + 2x + 1 = 4

ax + by = a2 + b2 a2 x + b2 y = a2 b + ab2

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

1 x 3 x

9 x 3 x

10 x 5 x

+ +

1 y 2 y

+ −

5 y 10 y

+ −

9 y 6 y

= 7 = 16 = −1 = −5 = 1 = −3

b) x2 − 6x + 9 = 16

c) 3x2 + 2x − 3 = 2x2 + 7 − x

d ) 2x(2x − 5) + 18 = x(7 − x) − 12 e) x(2x − 1) +

g) 11(x − 1)2 = (2x − 3) + 4x + 1

h) (3x − 12 )(3x + 21 ) − 2x = 8x2 − 1 i ) 3x[2 − (2x + 5) + x2 − 12x − x−2 5

x + y − 2z = 8 a) 2x − y + z = 3 3x + y + 2z = 6

+ z = 2 3y − 2z = 22 c) 2x − y = 13

x−1 ] 3

+ 5x2 =

j ) (x + 1)[ 32 − 2(1 − x)] = 3x2 + k)

3x2 −x + 15 5 5 + x(2x−1) 6 3 2 2

f ) x(x − 1) + 1 =

6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres variables:

3x − 2y + 3z = 25 b) 2x − 4y + 2z = 14 x − y − z = −4

3 5

11(x−1) 2 6 4x2 +x−3

l ) 3x + 2 =

2(3x+2) x−1 (x+2)2 5

n ˜ ) 2x −

−

1 x2 +x−1

3(4x+3) 4−3x 3x+4 x+2

x2 −9 4

6x2 −2x+1 6

= +

(x+3)2 2

2x2 −3x 2 2

1 5

= −1

o) (x−3)(x−4)(x−5)−x (x−3) = 4x2 − 3x − 27

p) 2+(2x+3)(x−2) = (2x+1)(x− 4) + 18 q)

x−3 2x−5

3x+1 6x+1

1 1−x

√

1 x−x2

i ) 3x−2 = 4x−1 + 4

2(x − 3)(x + 31 ) = 0 √ √ t) x2 − 2x − 3 = 0

s) u)

a−x −2a = x−a a 2 2

v ) 9a x − 12ax − 12 = 0

)2 − 5( x+2 )+6=0 j ) ( x+2 x−1 x−1

x+1 k ) ( 2x−1 ) + 2( 2x−1 )=3 x+1

12. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

w ) x2 = 2a2 b2 + abx

a) ( 12 )2x−1 = 32

x ) a2 x2 − b2 = 2ab + 2a2 x

b) 3x + 32x = 2

z ) x2 = 2a2 b2 + abx

y) (a2 − b2 )x2 − 4abx + b2 = a2

10. Resolver las siguientes ecuaciones: 3

a) x − 6x + 11x − 6 = 0 b) x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0 c) x3 + 2x2 − 4x − 8 = 0

d ) x3 − x = 0 3

f ) x − 6x + 13x − 12x + 4 = 0

g) x4 − 3x3 − x2 + 3x = 0

h) x4 + 5x3 − 20x − 16 = 0 i ) x4 + 3x3 − x2 − 3x = 0

j ) x5 − 8x3 + 6x2 + 7x − 6 = 0

k ) x5 −5x4 +10x3 −10x2 +5x−1 = 0 l ) x5 − 2x4 − 2x3 + 4x2 + x − 2 = 0

m) 3x5 −3x4 −6x3 +6x2 +3x−3 = 0 11. Resolver las siguientes ecuaciones: a) x4 − 5x2 − 36 = 0 b) x4 − 5x2 + 4 = 0 4

c) x − 61x + 900 = 0

d ) x4 − 7x2 + 10 = 0 e) 2x4 − 4x2 + 2 = 0

g) x − 33x + 32 = 0 2

2 −3x−37

= 1331

2x−3

f) 3 ·3 = 35 √ g) 35x−11 = 9 √ 3 h) 52x+8 = 25 √ √ 3 i ) 2x+5 = 4x+2 k ) 22x − 10 · 2x + 24 = 0 l)

5x −5−x =3 2 x −x

m) e − 5e + 4e−3x = 0 3x = 3y · 81 n) x+y = 3 Resolver las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas: a) Sabiendo en cada caso el valor de log k =, calcular los logaritmos que se indican Siendo log k = 14, 4, hallar: r k 3 1 log ; log 0, 1k 2 ; log ; (log k)1/2 100 k b) log3 (x2 − 3x − 5) = log3 (7 − 2x)

c) log(x+4)+log(2x+3) = log(1− 2x) e) log2 (x + 3) = 4

e) 11x

= 4 · 2x+1 − 63

d ) log(x2 − 1) = − log(x − 1)

f ) x6 − 7x3 − 8 = 0 10

4 2x−1

j ) 2x+1 + 2x + 2x−1 = 7

e) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 4

c) 23x − 7 · 22x + 14 · 2x − 8 = 0

h) (4x + 3) = 11(4x + 3) − 28

f ) log(x + 3) = 10 + log(2x + 5) g) 2 log x − log(x − 16) = 2

h) e5x−13 = 4e4x

h) log(x + 1) = log(5x − 13) − log(x − 3)

i ) ex

i ) 2 log x − log(x − 16) = log 4

j ) log(5x+4)−log 2 = 12 log(x+4) √ √ k ) log 3x + 5 + log x = 1 l ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3

d ) 9x = 0, 576 e) 2x = 3 f ) 7x+1 = 2x g) 52x+1 = 6x−2

3.7.

2 +x

14. Usar logaritmos naturales o comunes para resolver x en t´erminos de y en las siguientes ecuaciones: a) y =

a) 5x = 3 c) 0, 2x = 0, 0016

= 7ex

j ) 4e3x+1 = 21 ex+11

13. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales aplicando las propiedades de los logaritmos:

b) 7x = 512

2 −1

ex +e−x ex −e−x

b) y =

ex −e−x 2

c) y =

10x −10−x 10x +10−x

d) y =

1 10x −10−x

15. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logar´ıtmicas: x+y = 22 a) log x − log y = 1 log(x + y) + log(x − y) = log 33 b) log x2 − log y 2 = 3

Problemas de Ecuaciones

1. La valla del patio rectangular de un colegio mide 3600 metros. Si su largo es el doble que su ancho, ¿cuáles son las dimensiones del patio? 2. Un terreno rectángular tiene un per´ımetro de 640 metros. Calcula las dimensiones del terreno sabiendo que uno de sus lados mide 8 metros más que el otro. 3. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cent´ımetros menos que la altura, y la diagonal mide 10 cent´ımetros. 4. Al aumentar en 5 metros el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en 75 metros cuadrados. Calcula el lado del cuadrado. 5. Calcular las dimensiones de un rectángulo, cuya área es de 375 metros cuadrados, además el largo es el doble del ancho menos cinco metros. 6. alcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres n´ umeros consecutivos. 7. Dado un terreno de forma rectangular en el que una de sus dimensiones mide el triple de la otra. Si disminuimos en 1 metro cada lado, el área inicial disminuye en 15 m cuadrados . Calcular las dimensiones y el área del terreno rectangular inicial.

8. Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su per´ımetro es 80 cm. Y la suma de sus catetos es 46cm. 9. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un per´ımetro de 54 metros, si su longitud es 3 metros menor que el doble de su ancho. 10. Un rectángulo de 24 metros de longitud tiene la misma área que un cuadrado que tiene 12 metros de lado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 11. Encuentre el per´ımetro de un triángulo, si uno de sus lados mide 16 pies, otro dos séptimos del primero y el tercero un tercio del per´ımetro. 12. Si la longitud y el ancho de un rectángulo de 4 por 2 metros se aumenta en la misma cantidad cada una, el área del nuevo rectángulo será dos veces el área original. ¿Cuáles serán las dimensiones del rectángulo (con dos cifras decimales)? 13. Encuentre la base b y la altura h de un triángulo cuya área es de 2 pies cuadrados si su base es 3 metros más larga que su altura. [Recuerde: El área de un triángulo está dada por A = 12 bh] 14. La diagonal de un rectángulo es de 10 metros, y el área es de 45 m2 . Encuentre las dimensiones del rectángulo correcto con una cifra decimal. De cada esquina de una hoja metálica cuadrada, se corta un cuadrado de 9 cm. por lado. Se doblan los lados para 15. construir una caja sin tapa. Si la caja debe contener 144 cent´ımetros c´ ubicos, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja metálica? Ver figura.

x 9 cm

9 cm

9 cm 9 cm

9 cm

16. Una caja sin tapa será construida de una hoja de metal rectángular cuya longitud es el doble que su anchura, a la cual se le quitará de cada esquina un cuadrado de 1 cm. por lado, y se doblará hacia arriba los lados. Si la caja tendrá capacidad para 4 cm3 , ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja metálica? 17. La piscina de un centro deportivo tiene 15 metros de ancho por 20 metros de largo. Los miembros del club desean agregar un pasillo de ancho uniforme alrededor de la piscina. Tienen suficiente material para 74 m2 . ¿Qué tan ancho puede ser este pasillo? 18. Un terreno rectángular de 4 metros de ancho por 8 metros de largo es usado como jard´ın. Se decide poner una vereda de ancho uniforme en toda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda? 19. Danessa quiere comprar una Alfombra para un cuarto que mide 12m por 15m. Quiere tener una franja uniforme de piso alrededor de la alfombra. Sólo puede comprar 108m2 de alfombra. ¿Qué dimensiones debe tener la alfombra?

Un arquitecto quiere construir un edificio rectángular en un terreno de forma triángular que tiene 200 pies de ancho y 400 pies de largo (véase la figura). En20. cuentre las dimensiones del edificio si la sección transversal de su área mide 15 000 pies2 . [Sugerencia: Use el teorema de Euclides para encontrar una relación entre el largo y el ancho del edificio.]

200 pies

15 000 pies

400 pies

Un arquitecto está dise˜ nando un marco en forma de A para una caba˜ na de descanso. Una sección transversal de la caba˜ na es un triángulo isósceles cuya área mide 98 pies2 . En la pared del frente se debe 21. poner una puerta corrediza que mide 6 pies de ancho y 8 de altura (véase la figura ??). Encuentre el ancho y la altura de la sección transversal de la caba˜ na. [Recuerde: El área de un triángulo con base b y altura h es bh ]. 2

8 pies

6 pies

Una pista de carreras de 14 de milla está formada por dos semic´ırculos unidos por carreteras rectas paralelas (véase la figura). Con el fin de proporcionar suficiente espacio para el equipo de servicio, veh´ıculos de emergencia y estacionamien22. to para espectadores, el área de la pista debe medir 100 000 pies2 . Encuentre la longitud de las carreteras y el diámetro de los semic´ırculos que más aproximen. [Recuerde: El área A y la circunferencia C de un c´ırculo de diámetro d están dados 2 por A = πd4 y C = πd.] Una artesa para agua está construida con una placa rectangular de metal de 4 por 6 pies, con los extremos doblados de tal forma que al unirse entre s´ı exactamente en 23. medio del rectángulo, forman un triángulo en cada lado (véase la figura). Si el volumen de la artesa es 9 pies3 , encuentre el ancho correcto con dos cifras decimales

100 000 pies 2

6 pies

2 pies

Un cono de papel para beber agua, con la forma de un cono circular está formado por 125 cent´ımetros cuadrados de papel (véase la figura). Si la altura del cono es 24. de 10 cent´ımetros, encuentre el radio correcto con dos cifras decimales. [Recuerde: El área√ de la superficie lateral del cono es S = πr r 2 + h2 ]

Se desea construir un silo para granos en forma de cilindro circular y semiesférico 25. en la parte superior. El diámetro del silo debe ser de 30 pies, ¿cuál será la altura del silo, si la capacidad debe ser de 11.250 pies3 ? Véase la figura.

30 pies

40.3

26.

100 m

200 m

Calcular L y el ´angulo β en la figura

27.

30 m 20 m 45˚

Calcular el valor de x en la figura ??

30˚ x

Se desea construir una rampa de acceso a la azotea de un edificio. Si la altura 28. del edificio es de 4 metros, ¿qué longitud tendrá la rampa si el ángulo de elevación debe ser de 30◦ ? Véase la figura

L 40 m

30˚

29. En la figura 3.2 se muestra una estructura de acero. Obtenga las longitudes ”x”, ”y”, ”z”, y el ´angulo θ. θ

45˚ 10 m

45˚ 14 m

14 m

10 m

Figura 3.2: 30. Un dise˜ nador de jardines usa tablones de 8 pies para formar una serie de triángulos isósceles a lo largo de la pared de una casa (véase la figura 3.3). Si el área de cada triángulo mide 24 pies2 , encuentre la base correcta con dos cifras decimales.

8pies

Figura 3.3: El due˜ no de una perrera tiene 270 metros de material para cercar y dividir un ´area rectangular en 10 jaulas iguales, co31. mo se ve en la figura. Encuentre dimensiones que permitan 100m2 para cada una de las jaulas. Un acuario sin tapa se va a construir con costados de 6 metros de largo y extremos cuadrados, como se ve en la figura. 32.

a) Encuentre la altura del acuario si el volumen ha de ser de 48m3 b) Encuentre la altura si se van a usar 44m2 de vidrio

33.

Un agricultor piensa usar 180 metros de cerca para encerrar una región rectangular, usando parte de un margen recta de un r´ıo en lugar de cerca como uno de los lados del rectángulo, como se ve en la figura. Encuentre el área de la región, si la longitud del lado paralelo a la margen mide a) el doble de la longitud de un lado adyacente b) la mitad de la longitud de un lado adyacente c) igual que la longitud de un lado adyacente

Cap´ıtulo 4 Inecuaciones en R Antes de estudiar las inecuaciones o desigualdades en R, estudiaremos los intervalos en el conjunto de los n´ umeros reales R.

4.1.

Intervalos

Definici´ on 16. Un Intervalo es un subconjunto del conjunto de los n´ umeros reales, diferente del vac´ıo, que se corresponden con los puntos de un segmento de recta, en la recta de los n´ umeros reales.

4.1.1.

Clases de Intervalos

Los intervalos se clasifican en Intervalos Finitos e Intervalos Infinitos. ´ 1. Intervalos Finitos. Estos pueden ser: Intervalo Abierto Cerrado Semiabierto

Notaci´on Simb´olica ha, bi (a, b) ]a, b[ [a, b] [a, bi ha, b]

Notaci´on en Conjunto {x/x ∈ R ∧ a < x < b} {x/x ∈ R ∧ a ≤ x ≤ b} {x/x ∈ R ∧ a ≤ x < b} {x/x ∈ R ∧ a < x ≤ b}

´ 2. Intervalos Infinitos. Estos pueden ser: Intervalo Infinito Abierto por la derecha Infinito Abierto por la izquierda Infinito Cerrado por la derecha Infinito Cerrado por la izquierda

Notaci´on Simb´olica h−∞, ai ha, +∞i h−∞, a] [a, +∞i

Notaci´on en Conjunto {x/x ∈ R ∧ x < a} {x/x ∈ R ∧ x > a} {x/x ∈ R ∧ x ≤ a} {x/x ∈ R ∧ x ≥ a}

Intervalo Infinito abierto por la derecha

Intervalo Abierto a

- α

Intervalo Infinito abierto por la α + izquierda

Intervalo Cerrado a

-α

Intervalo Semiabierto

Figura 4.1: Intervalos Finitos

4.1.2.

Intervalo Infinito cerrado por la derecha

+α

Intervalo Infinito cerrado por la izquierda

Figura 4.2: Intervalos Infinitos

Operaciones con Intervalos

En toda esta secci´on el conjunto R de n´ umeros reales ser´a considerado como el universo U, a menos q se especifique otra cosa. Ejemplo 4.1. Si A = h−6, 0i ∪ h1, 7]. Hallar A′ Soluci´ on: Recordemos que A′ es el complemento del conjunto A A

−6

A’

Figura 4.3: A′ = h−∞, −6] ∪ [0, 1] ∪ h7, +∞i Ejemplo 4.2. Si A = [2, 3], B = h0, 32 i y C = h−1, 2]. Hallar: 1. A ∩ B

3. B ∩ C

2. A ∩ C

4. (A ∪ B) ∩ C

Soluci´ on: C A -1

3/2

Figura 4.4: Ayud´andonos de la gr´afica en la figura 4.4 1. A ∩ B = φ

2. A ∩ C = {2} 3. B ∩ C = B = h0, 32 i 4. (A ∪ B) ∩ C = h0, 32 i ∪ {2}

4.2.

Inecuaciones

Definici´ on 17. De una forma general, una inecuaci´ on es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Ahora definiremos una inecuación desde el punto de vista del álgebra. Definici´ on 18. Una inecuación llamada también desigualdad, es una expresi´ on de la forma P (x) < Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado n y m respectivamente, además uno de ellos puede ser un polinomio de grado cero. Otras formas de expresar desigualdades son: P (x) > Q(x) P (x) ≤ Q(x) P (x) ≥ Q(x) A continuación mencionaremos algunas propiedades importantes que nos ayudarán en el desarrollo de ejercicios acerca de inecuaciones

4.2.1.

Propiedades de las Inecuaciones

Sean a, b, c n´ umeros reales, entonces se cumple: 1. Si a < b, entonces a + c < b + c

5. Para cualquier n´ umero real a, a2 > 0

2. Si a < b, entonces a − c < b − c

6. Si a > 0, entonces

1 a

7. Si a < 0, entonces

1 a

3. Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c 4. Si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c

4.2.2.

Inecuaciones Lineales

Las inecuaciones lineales son de la forma: ax + b < c, ax + b > c, ax + b ≤ c, ax + b ≥ c

donde: a, b y c son n´ umeros reales, con a 6= 0 Para resolver inecuaciones de éste tipo se busca despejar la variable, aplicando las propiedades estudiadas anteriormente y las leyes matemáticas básicas; como la de los signos, términos semejantes y demás. Ejemplo 4.3. Resolver: −3x + 4 < 11 Soluci´ on: −3x + 4 −3x −3x −7 −7 3

Por lo tanto:

< 11 < 11 − 4 < 7 < 3x < x

7 C.S = h− , +∞i 3

Ejemplo 4.4. Resolver: −5 ≤

4 − 3x <1 2

Soluci´ on: −5 −10 −10 − 4 −14 14 14 3

Por lo tanto:

4.2.3.

≤ 4−3x 2 ≤ 4 − 3x ≤ −3x ≤ −3x ≥ 3x ≥ x

< < < < > >

1 2 2−4 −2 2 (multiplicando por − 1) 2 3

2 14 C.S. = h , ] 3 3

Inecuaciones Cuadr´ aticas

Las inecuaciones cuadr´aticas son de la forma ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0

donde: a, b y c son n´ umeros reales, con a 6= 0. La resoluci´on de este tipo de inecuaciones, se puede hacer por el m´etodo de diagrama de signos, que lo explicaremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.5. Resolver: x2 − x − 6 ≥ 0

Soluci´ on: 1. El primer paso es determinar los puntos cr´ıticos, los cuales se obtienen desarrollando la ecuación: x2 − x − 6 = 0 Utilizando los métodos estudiados para resolver una ecuación cuadrática, obtenemos los puntos cr´ıticos: x = 3 y x = −2 2. Ahora ubicamos los puntos cr´ıticos hallados en el paso anterior, en la recta de los n´ umeros reales; luego particionamos la recta en los intervalos h−∞, −2], [−2, 3] y [3, +∞i, y ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternada empezando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.5.

+ −α

-2

+ 3

+α

Figura 4.5: 3. Por u ´ ltimo, observemos que en la inecuación del ejemplo, la expresión x2 − x − 6 es “≥ 0”(mayor o igual que cero), entonces el conjunto solución es la unión de los intervalos que tienen el signo “+”, es decir: C.S. = h−∞, −2] ∪ [3, +∞i Ejemplo 4.6. Resolver: x2 − x − 6 ≤ 0 Soluci´ on: 1. El primer paso es determinar los puntos cr´ıticos, los cuales se obtienen desarrollando la ecuación: x2 − x − 6 = 0 Utilizando los métodos estudiados para resolver una ecuación cuadrática, obtenemos los puntos cr´ıticos: x = 3 y x = −2 2. Ahora ubicamos los puntos cr´ıticos hallados en el paso anterior, en la recta de los n´ umeros reales; luego particionamos la recta en los intervalos h−∞, −2], [−2, 3] y [3, +∞i, y ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternada empezando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.5. 3. Por u ´ ltimo, observemos que en la inecuación del ejemplo dado, la expresión x2 −x−6 es “≤ 0”(menor o igual que cero), entonces el conjunto solución es la unión de los intervalos que tienen el signo “−”, en este caso: C.S. = [−2, 3]

Ejemplo 4.7. Resolver: x2 − x − 6 > 0 Soluci´ on: 1. El primer paso es determinar los puntos cr´ıticos, los cuales se obtienen desarrollando la ecuación: x2 − x − 6 = 0 Utilizando los métodos estudiados para resolver una ecuación cuadrática, obtenemos los puntos cr´ıticos: x = 3 y x = −2

+ −α

-2

+ 3

+α

Figura 4.6: 3. Por u ´ ltimo, observemos que en la inecuación del ejemplo, la expresión x2 − x − 6 es “> 0”(mayor que cero), entonces el conjunto solución es la unión de los intervalos que tienen el signo “+”, es decir: C.S. = h−∞, −2i ∪ h3, +∞i Ejemplo 4.8. Resolver: x2 − x − 6 < 0 Soluci´ on: 1. El primer paso es determinar los puntos cr´ıticos, los cuales se obtienen desarrollando la ecuación: x2 − x − 6 = 0 Utilizando los métodos estudiados para resolver una ecuación cuadrática, obtenemos los puntos cr´ıticos: x = 3 y x = −2

2. Ahora ubicamos los puntos cr´ıticos hallados en el paso anterior, en la recta de los n´ umeros reales; luego particionamos la recta en los intervalos h−∞, −2i, h−2, 3i y h3, +∞i, y ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternada empezando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.6. 3. Por u ´ ltimo, observemos que en la inecuación del ejemplo, la expresión x2 − x − 6 es “< 0”(menor que cero), entonces el conjunto solución es la unión de los intervalos que tienen el signo “−”, en este caso: C.S. = h−2, 3i

4.2.4.

Inecuaciones Polin´ omicas

Las inecuaciones polinómicas tienen la forma: P (x) : an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 > 0 P (x) : an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 < 0 Para un polinomio de grado n, con coeficientes reales: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 existen n n´ umeros reales ri con i = 1, n (no necesariamente distintos) tales que: P (x) = (x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) . . . (x − rn ) Si uno de los factores del polinomio P (x) es (x − r), entonces se dice que r es un cero o ra´ız de P (x); si m de estos factores son precisamente (x − r), r se llama un cero de multiplicidad m. Se dice que un valor cr´ıtico es un cero simple si su multiplicidad es uno, en caso contrario, se dice que es un cero m´ ultiple. Existen tres casos para resolver inecuaciones polinómicas y son los siguientes: 1. Caso I. Los ceros del polinomio P (x) son de multiplicidad simple, es decir, son reales y diferentes. Esto es, si: P (x) = (x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) . . . (x − rn ) donde: r1 < r2 < r3 < . . . < rn Los pasos a seguir son los siguientes: a) Se halla los valores cr´ıticos factorizando el polinomio P (x) y resolviendo la ecuación P (x) = 0. b) Se ubica los valores cr´ıticos sobre una recta real y se se˜ nalan los intervalos de variación. c) Se anota con signo (+) el u ´ ltimo intervalo hrn , +∞i, luego en los demás intervalos se alterna los signos (−), (+), (−),. . . de derecha a izquierda d ) El conjunto solución lo conforman la unión de intervalos con signo positivo si P (x) > 0 (o P (x) ≥ 0), o la unión de intervalos con signo negativo si P (x) < 0 (o P (x) ≤ 0). Ejemplo 4.9. Resolver: x4 + 2x3 − 9x2 − 2x + 8 > 0 Soluci´ on:

a) Hallamos los puntos cr´ıticos resolviendo la ecuaci´on x4 + 2x3 − 9x2 − 2x + 8 = 0 de donde se tiene: x = −4, x = −1, x = 1 y x = 2

b) Ahora ubicamos los puntos cr´ıticos (en orden) en la recta de los n´ umeros reales y luego la particionamos en los intervalos h−∞, −4i, h−4, −1i, h−1, 1i, h1, 2i y h2, +∞i; luego ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternada, de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.7

−α

-4

+ -1

+ 2

+α

Figura 4.7: c) Luego, el conjunto solución es la unión de los intervalos que tienen el signo positivo, pues en la inecuación, la expresión x4 + 2x3 − 9x2 − 2x + 8 es mayor que cero. As´ı pues: C.S = h−∞, −4i ∪ h−1, 1i ∪ h2, +∞i Ejemplo 4.10. Resolver: 2x4 − 7x3 − 11x2 + 22x + 24 ≤ 0 Soluci´ on: El desarrollo le dejamos al lector: P.C.: −1, 2, 4, −3/2 2. Caso II. Los factores de P (x) son todos lineales y algunos son ceros de multiplicidad m´ ultiple. Supongamos que (x − ri ) es el factor que se repite m veces, entonces puede ocurrir lo siguiente: a) Si m es par, los signos de los intervalos donde figure ri son iguales, es decir, no son alternados. Entonces se elimina el factor (x − ri ) y se trabaja con los demás factores como en el caso I. Esto es, si: 1) 2) 3) 4)

(x − ri )m (x − a)(x − b) > 0 ↔ (x − a)(x − b) > 0 y (x − ri )m (x − a)(x − b) < 0 ↔ (x − a)(x − b) < 0 y (x − ri )m (x − a)(x − b) ≥ 0 ↔ (x − a)(x − b) ≥ 0 ´o (x − ri )m (x − a)(x − b) ≤ 0 ↔ (x − a)(x − b) ≤ 0 ´o

Ejemplo 4.11. Resolver:

(x + 2)(x − 1)2 (x − 4) ≥ 0

x 6= ri x 6= ri x = ri x = ri

Soluci´ on: Observamos que en la inecuación dada, aparece el factor lineal (x − 1) elevado a un exponente par, en este caso 2. Aplicando el caso II en esta desigualdad, podemos eliminar el factor (x − 1)2 , pero teniendo en cuenta que x = 1 es también solución para esta inecuación. Entonces: (x + 2)(x − 1)2 (x − 4) ≥ 0 ⇔ (x + 2)(x − 4) ≥ 0 ∨ x = 1 Aplicando el caso I, se deduce que: C.S = h−∞, 2] ∪ [4, +∞i b) Si m es impar, el factor (x − ri ) tiene el mismo signo del factor (x − ri ), en consecuencia, la inecuación se resuelve como en el caso I, esto es, si: 1) (x − ri )m (x − a)(x − b) > 0 ↔ (x − ri )(x − a)(x − b) > 0 2) (x − ri )m (x − a)(x − b) < 0 ↔ (x − ri )(x − a)(x − b) < 0

Ejemplo 4.12. Resolver:

(x + 2)(x − 1)3 (x − 3)(x − 6) < 0 En esta inecuación observamos que hay un factor lineal elevado a un exponente impar, (x − 1)3 , entonces resolvemos la desigualdad como en el caso I, considerando el factor (x − 1). Entonces: (x + 2)(x − 1)3 (x − 3)(x − 6) < 0 ⇔ (x + 2)(x − 1)(x − 3)(x − 6) < 0 De donde se tiene el C.S. = h−2, 1i ∪ h3, 6i 3. Caso III. Cuando los factores de P (x) son lineales y cuadráticos, siendo los ceros del factor cuadrático no reales, entonces se prescinde de este factor y se analiza los signos con los demás factores. Ejemplo 4.13. Resolver: (x + 2)(x − 1)(x − 3)(x2 + 4) < 0 Soluci´ on: Observamos que en esta desigualdad, aparece un factor cuadrático irreducible (no factorizable), (x2 + 4), entonces eliminamos este factor, y se analiza la inecuación con los demás factores, es decir: (x + 2)(x − 1)(x − 3)(x2 + 4) < 0 ⇔ (x + 2)(x − 1)(x − 3) < 0 Aplicando el caso I, se tiene el conjunto solución: C.S = h−∞, −2i ∪ h1, 3i

Nota 6. Para determinar si el factor cuadr´ atico ax2 + bx + c es irreducible, basta analizar el discriminante ∆ = b2 − 4ac de la ecuaci´ on ax2 + bx + c = 0 Si ∆ < 0, el factor cuadrático es irreducible Ejemplo 4.14. Resolver: (x + 1)(x − 1)(x − 4)(x2 − 2x + 4) > 0 Soluci´ on: Observemos que el factor cuadrático x2 − 2x + 4 es irreducible, pues ∆ = −12 < 0, entonces debemos eliminar este factor, y analizar la inecuación con los demás factores, es decir: (x + 1)(x − 1)(x − 4)(x2 − 2x + 4) > 0 ⇔ (x + 1)(x − 1)(x − 4) > 0 Aplicando el caso I, obtenemos el conjunto solución: C.S. = h−1, 1i ∪ h4, +∞i Ejemplo 4.15. Resolver: (x3 − 8)(x2 − 9)2 (x2 + 4) ≤0 (x2 − 4)(x − 1) Soluci´ on: El desarrollo se deja al lector

4.2.5.

Inecuaciones Racionales

Las inecuaciones racionales son aquellas donde el numerador y denominador de la fracci´on que la define son polinomios lineales, se pueden esquematizar as´ı: P (x) <0 Q(x) para Q(x) 6= 0, o tambi´en como

P (x) Q(x)

Resolver una inecuaci´on racional la desigualdad

> 0, P (x) Q(x)

P (x) Q(x)

≥ 0,

P (x) Q(x)

≤0

> 0 con Q(x) 6= 0, es equivalente a solucionar

P (x)Q(x) > 0 Ejemplo 4.16. Resolver:

x+2 x+3

Soluci´ on: Resolver la inecuación dada, es equivalente a resolver la desigualdad (x + 2)(x + 3) > 0 con x + 3 = 6 0 (o x 6= −3) luego aplicando el caso I para inecuaciones polinómicas, tenemos el conjunto solución C.S. = h−∞, −3i ∪ h−2, +∞i

Ejemplo 4.17. Resolver:

x+2 x+3

≥0

Soluci´ on: Resolver la inecuaci´on dada, es equivalente a resolver la desigualdad (x + 2)(x + 3) ≥ 0

con x + 3 = 6 0 (o x 6= −3) luego aplicando el caso I para inecuaciones polin´omicas, tenemos el conjunto soluci´on C.S. = h−∞, −3] ∪ [−2, +∞i, con x 6= −3

o lo que es equivalente a:

C.S. = h−∞, −3i ∪ [−2, +∞i

4.3.

Ejercicios Propuestos

1. Resolver las siguientes inecuaciones: a) −1 ≤ −3 + 3x ≤ 2 b)

x 2

−

1 4

> 2x +

1 3

c) 5x − 2 < 10x + 8 < 2x − 8

d) e) f)

x a2 −b2

3x a+b

5 , a−b

a>b>0

2x + 4 > 5x + 2x, a > b > 0 3a 6b x + xb > 1 + xc , c > b > a > 0 a

2. Resolver las siguientes inecuaciones: a) 2x2 − 6x + 3 < 0

b) 9x2 + 54x > −76 c) 4x2 + 9x + 9 < 0

d ) x4 − 2x2 − 8 < 0 √ e) x2 − 2 3x − 2 > 0 k) l) m) n) n ˜) o) p) q) r) s) t)

f ) 3x2 − 10x + 3 < 0

g) 4x2 − 8x + 1 < 0

h) x(x − 3)(x − 1)(x + 2) > 16

i ) (x2 + x − 6)(4x − 4 − x2 ) ≤ 0

j ) x3 − 3x2 − 13x + 15 > 0

x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x + 12 > 0 (x2 − 2x − 5)(x2 − 2x − 7)(x2 − 2x − 4) ≤ 0 (x3 − 5x2 + 7x − 3)(2 − x) ≥ 0 (x2 + 6x − 1)(x3 − 2x2 − 2x + 4)(x + 5)5 > 0 (3 − x)3 (x2 − 1)2 (1 − x)5 x > 0 x4 − 3x3 + 5x2 − 27x − 36 < 0 (2x2 − 4x − 1)(3x2 − 6x + 4)(x2 + 4x − 2) ≥ 0 (x2 − 1)(x2 + 9)(x + 4)(x − 5) > 0 x6 + 6x4 + 9x2 + 4 ≤ 0 x5 − 6x4 − 17x3 + 17x2 + 6x − 1 > 0 x4 − 2x3 − 5x2 + 10x − 3 ≤ 0

3. Resolver las siguientes inecuaciones:

x+1 2−x

x 3+x

x+2 x−2

x2 +2 x2

x3 −4 x2 +2

≥

d) e) f)

4.4.

x3 −2 x2 +1

2x−1 x+4

> −3 x+2 3−x

x−1 x+3

(x2 +x−6)(x2 −x−6) (x2 −4)(x2 −16)

n ˜)

(x−3)(x+2)2 (x+1)(x−4) x(x+2)(x2 −3)(x+3)(x2 +4)

(x2 −5)(x2 +7) (x2 +x+1)(x2 −3x+2)

2x2 −3x+3 (x−2)(2x+3)

2x−25 2(x2 +2x−3)

x−3 x2 +x+4

x3 −x2 −8x+12 x2 +5x−14

x4 −3x3 −6x2 −28x−24 40+(x−1)(x−3)(x+4)(x+6)

≥0

2x 2x2 +7x+5

≤0

7 x−4

2 x2 +2 > xx4 +1 x4 +1 +1 1 3x+1 ≤ x <4 x x+4 > xx−2 2 −4 x2 +4x+4

x x2 +4

(x2 −2)(x+5)(x−3)

x2 −2x+3 x2 −4x+3

g) − 12 <

≤

x(x2 +2)(x+3)

(6x+3)2 (x2 +1)3 (3x−5)7 (x+6)2 (2x+3)17 (4x+2)2 (x2 +2)5 (2x−8)9 (x+1)2 (2x+5)13

30 x+2

≥0

2x+11 2(x2 −1)

≤0

1 x+3

≤0 <0

x x2 +6x+5

≤

7 x+1

Poblemas de Inecuaciones

1. Una resistencia de 7 ohmios y una resistencia variable se instalan en paralelo. La resistencia resultante RT est´a dada por RT =

7R 7+R

determine los valores de la resistencia variable R para los cuales la resistencia resultante RT será mayor de 3 ohmios. 2. Un macizo rectangular va a ser dos veces más largo que ancho. Si el área circundada debe ser de más de 98m2 , ¿qué puede concluir sobre el ancho del macizo? 3. La intensidad I en lumen de cierta fuente de luz en un punto a r cent´ımetros de la fuente está dada por 625 I= 2 r ¿A qué distancias de la fuente de luz la intensidad será menor de 25 lumens? 4. El n´ umero de diagonales d de un pol´ıgono de nlados, está dado por d=

(n − 1)n −n 2

¿Para qu´e pol´ıgonos pasar´a de 27 el n´ umero de diagonales?

Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectángulo. Como lo muestra la figura, un lado se extiende 5. 2 cm. y el otro 5 cm. Si el área del rectángulo resultante es menor de 130 cm2 , ¿Cuáles son las posibles longitudes de un lado del cuadrado original?

6. El aire seco tiende a avanzar hacia arriba y a expandirse, y al ir avanzando se enfr´ıa a una razón constante de 5,5◦ F por cada 1000 pies que asciende hasta alcanzar una altitud de 40 000 pies. Si la temperatura en el suelo es de 70◦ F , entonces la temperatura T a una altura h estará dada aproximadamente por T = 70 − 0,0055h . ¿Para qué rango de altitud la temperatura estará entre 26◦ F y −40◦ F , en total? 7. En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la temperatura a x kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada por T = 30 + 25(x − 3)

3 ≤ x ≤ 15

donde T es la temperatura en grados Celsius. ¿A qué profundidad la temperatura estará entre 200◦ y 300◦ en total? 8. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 m/seg. La distancia y de la pelota al suelo después de t segundos es: y = 80t − 16t2 . ¿En qué intervalo de tiempo la pelota estará a más de 96 metros de altura? 9.

Cap´ıtulo 5 Relaciones Binarias en R Como concepto fundamental, la palabra relación significa una conexión o correspondencia de un determinado ente con otro. As´ı por ejemplo, las expresiones “papá de”, “hijo de”, designan relaciones entre miembros de una familia (seres vivos); las expresiones “menor que”, “mayor que”denotan relaciones entre n´ umeros (entes abstractos). Expresiones como estas y muchas más, llevan a entender que relación es un conjunto de parejas que satisfacen una propiedad.

5.1.

Producto Cartesiano

Par Ordenado LLamaremos par ordenado de n´ umeros reales a la expresi´on (a, b) donde a es llamada la primera componente y b la segunda componente. A a tambi´en se le llama abcisa y a b ordenada. √ Ejemplo 5.1. (1, 2), (− 14 , 5), ( 7, 0) son ejemplos de pares ordenados. Igualdad de Pares Ordenados Los pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, es decir: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d

5.1.1.

Producto Cartesiano

Definici´ on 19. Dados dos conjuntos A y B (diferentes del conjunto vac´ıo), se llama producto cartesiano de A por B en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B y simb´ olicamente se representa as´ı: A × B = {(a, b) ∈ A × B/a ∈ A ∧ b ∈ B} Ejemplo 5.2. Dados los conjuntos: A = {2, 4, 6} y B = {1, 3}, hallar A × B y B × A. Adem´as representar geom´etricamente estos productos cartesianos. Soluci´ on: 66

A\B 2 4 6

1 3 (2, 1) (2, 3) (4, 1) (4, 3) (6, 1) (6, 3)

B\A 2 4 6 1 (1, 2) (1, 4) (1, 6) 3 (3, 2) (3, 4) (3, 6)

As´ı pues: A × B = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)} y B × A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 1), (3, 4), (3, 6)} Geom´etricamente representamos A × B y B × A respectivamente A

(2,3) 3

(4,3)

(6,3)

(1,6)

(3,6)

(1,4)

(3,4)

(1,2)

(3,2)

(2,1)

(4,1)

(6,1)

1 0

5.2.

Relaci´ on Binaria

Definici´ on 20. Dados los conjuntos A y B no vac´ıos. Se llama relaci´ on binaria de A en B (ó relación entre elementos de A y B) a todo subconjunto R del producto cartesiano A × B. Simbólicamente: R es una relaci´ on de A en B ⇔ R ⊆ A × B Ejemplo 5.3. Sean A = {2, 4, 6} y B = {1, 3}. Analice si los siguientes conjuntos son relaciones binarias de A en B: 1. R1 = {(2, 1), (6, 1), (6, 3)} 2. R2 = {(2, 3), (3, 4), (6, 1)} 3. R3 = {(2, 2), (4, 1)(6, 1)} 4. R4 = {(2, 3)(6, 3)} Soluci´ on: Sabemos que A × B = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)} Entonces 1. R1 es una relación binaria de A en B, pues R1 ⊂ A × B

2. R2 no es una relaci´on binaria de A en B, pues R2 * A × B, ya que (3, 4) ∈ / A×B

3. R3 no es una relaci´on binaria de A en B, pues R3 * A×B, ya que (2, 2) y (6, 1) no son elementos de A × B

4. R4 es una relaci´on binaria de A en B, pues R4 ⊂ A × B

Observaci´ on 2. Debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. Si A = B, entonces R es una relaci´ on en A ´ o, R es una relaci´ on entre elementos de A. 2. Si R es una relación entre elementos de A y B, al conjunto A le llamaremos conjunto de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada. 3. Si A tiene p elementos y B tiene q elementos, entonces existen 2n relaciones entre A y B, donde n = pq 4. Si A = B = R, entonces R es una relaci´ on binaria en R. 5. Una relación binaria R, entre elementos del conjunto de los n´ umeros reales R, está determinado por una funci´ on proposicional P (x, y), es decir: R = {(x, y) ∈ R × R/P (x, y)} 6. Cuando el par ordenado (a, b) satisface a la funci´ on proposicional P (x, y) de la relaci´ on R, diremos que (a, b) ∈ R, en caso contrario (a, b) ∈ / R.

5.2.1.

Dominio y Rango de una Relaci´ on Binaria

Definici´ on 21. Sean A y B dos conjuntos (no vac´ıos) y R una relaci´ on binaria de A en B, entonces: 1. El dominio de la relación R denotado por Dom(R), es el conjunto definido por: Dom(R) = {a ∈ A/∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R} 2. El rango de la relación R denotado por Ran(R), es el conjunto definido por: Ran(R) = {b ∈ B/∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R} La definición anterior nos dice, que el dominio de una relación R es el conjunto formado por todas las primeras componentes (sin que se repitan) de los pares ordenados que pertenecen a R; de la misma manera, el rango está formado por todas las segundas componentes (sin que se repitan) de los pares ordenados que pertenecen a R Ejemplo 5.4. Sean A = {2, 4, 6} y B = {1, 3} y sea R = {(2, 1), (4, 1)} una relación binaria de A en B, entonces: Dom(R) = {2, 4} y

Ran(R) = {1}

5.2.2.

Propiedades de una Relaci´ on Binaria

1. Reflexiva. Sea A un conjunto diferente del vac´ıo, y R una relación binaria en A, entonces diremos que R es reflexiva si para todo elemento a ∈ A, se cumple (a, a) ∈ R. R es reflexiva en A ⇔ ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ R 2. Sim´ etrica. Sea A un conjunto diferente del vac´ıo, y R una relación binaria en A, entonces diremos que R es sim´ etrica si (a, b) ∈ R, implica (b, a) ∈ R. R es simétrica en A ⇔ ∀ (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R

3. Transitiva. Sea A un conjunto diferente del vac´ıo, y R una relaci´on binaria en A, entonces diremos que R es transitiva si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, implica (a, c) ∈ R. R es transitiva en A ⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R]

4. Antisim´ etrica. Una relaci´on R en A, diremos que es antisim´ etrica si y solo si, (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R entonces a = b. R es antisim´etrica en A ⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b]

5. De Equivalencia. Una relación R en A es de equivalencia, si cumple la propiedad reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. 6. De Orden. Una relación R en A es de orden, si cumple la propiedad reflexiva, antisimétrica y transitiva a la vez.

5.3.

Relaciones Binarias en R

En esta sección estudiaremos las relaciones binarias en R, es decir aquellas relaciones que tienen como conjunto de partida y de llegada al conjunto de los n´ umeros reales R y sus respectivas gráficas. El producto cartesiano R × R o denotado simplemente por R2 está definido como: R2 = R × R = {(x, y) ∈ R2 /x ∈ R ∧ y ∈ R}

5.3.1.

Distancia entre dos puntos

Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dos puntos del plano cartesiano (o coordenado) R2 , entonces la distancia entre estos dos puntos est´a dado por: p d(P1 , P2 ) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Ejemplo 5.5. Dados los puntos P1 (1, 3) y P2 (−3, 4). Hallar la distancia del punto P1 a P2 R

P 2

y 2

y 1

x - x 1 2

x 1

Soluci´ on: d(P1 , P2 ) =

y - y 1 2

P 1

p √ (−3 − 1)2 + (4 − 3)2 = 17 = 4,123 u

x 2

5.3.2.

Gr´ aficas de relaciones binarias en R

Un conjunto G de puntos del plano cartesiano es la gráfica de la relación R si verifican la propiedad: P (x, y) ∈ G ⇔ (x, y) ∈ R En la práctica, la gráfica de una ecuación de la forma E(x, y) = 0 en las variables x e y, es la gráfica de la relación: R = {(x, y)/E(x, y) = 0} En las siguientes secciones estudiaremos algunas relaciones binarias en el conjunto d elos n´ umeros reales muy importantes, como son la Recta, Parábola, Circunferencia, Elipse e Hipérbola.

5.3.3.

La Recta

La recta es la gráfica de la relación R = {(x, y) ∈ R2 /Ax + By + C = 0} donde A, B y C son n´ umeros reales. Ejemplo 5.6. Trazar la gráfica de la relaci´ on R1 = {(x, y) ∈ R2 /2x + 5y − 10 = 0} Soluci´ on: Seg´ un un postulado de la geometr´ıa que afirma que dos puntos distintos determinan una recta y sólo una, entonces para nuestro ejemplo bastará hallar dos pares de puntos de la misma recta, de la siguiente manera: 1. Si x = 0, entonces 5y − 10 = 0 de donde se tiene y = 2, por lo tanto obtenemos el punto P (0, 2) que pertenece a la recta. 2. Si y = 0, entonces 2x − 10 = 0 de donde se tiene x = 5, por lo tanto obtenemos el punto Q(5, 0) que pertenece a la recta.

El dominio de esta relación es Dom(R1 ) = R y también el rango está dado por: Ran(R1 ) = R Ejemplo 5.7. Trazar la gráfica de la relaci´ on R2 = {(x, y) ∈ R2 /2x + 5y − 10 = 0, −2 < x ≤ 4} Soluci´ on: 1. Si x = −2 entonces 5y − 14 = 0 de donde se tiene y = 14 , por lo tan5 to obtenemos el punto P (−2, 14 ) que 5 pertenece a la recta. 2. Si x = 4 entonces 5y − 2 = 0 de donde se tiene y = 52 , por lo tanto obtenemos el punto Q(4, 25 ) que pertenece a la recta. El dominio de esta relación es Dom(R2 ) = h−2, 4] y también el rango está dado por:

2 14 Ran(R1 ) = , 5 5

Como podemos observar la gráfica de la ecuación de la forma Ax + By + C = 0 es una recta, ahora seguiremos estudiando más sobre rectas, antes debemos definir la pendiente de una recta. Definici´ on 22. Sea L una recta que no es paralela al eje Y y sean P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) puntos distintos en L. La pendiente m de L es: m = tan θ =

y2 −y1 x2 −x1

y 2

y - y 2 1 P1

y 1

θ x 2

θ x 1

x 1 x 2

Nota 7. 1. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de dicha recta. 2. La pendiente nos indica el comportamiento de la recta, es decir: a) Si m > 0 la recta se inclina hacia la dercha b) Si m = 0 la recta es paralela al eje horizontal X c) Si m < 0 la recta se inclina hacia la izquierda. 3. Si la recta L es paralela al eje Y , entonces la pendiente de L no está definida. Y

m<0

m=0

m>0

"m" no está definida

Ejemplo 5.8. Trace la recta que pasa por cada par de puntos y encuentre su pendiente m: 1. P (−1, 4) y Q(3, 2)

3. P (4, 3) y Q(−2, 3)

2. P (2, 5) y Q(−2, −1)

4. P (4, −1) y Q(4, 4)

Forma de punto pendiente para la ecuaci´ on de una recta Una ecuación para la recta que pasa por el punto P1 (x1 , y1 ) con pendiente m es y − y1 = m(x − x1 ) Ejemplo 5.9. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (3, 2) y tiene como pendiente m = −3. Ejemplo 5.10. Encuentre la ecuaci´ on de la recta que pasa por los punto P (−1, 4) y Q(3, 5). Forma de ordenada en el origen para la ecuaci´ on de una recta La ecuación de una recta que tiene pendiente m y pasa por la ordenada b, es: y = mx + b Ejemplo 5.11. Encuentre la ecuaci´ on de la recta en su forma ordenada en el origen, que tiene como pendiente 2 y corta al eje Y en el punto P (0, 5).

Ejemplo 5.12. Exprese la ecuaci´on 4x − 3y = 12 en forma de ordenada en el origen. Forma general para la ecuaci´ on de una recta La ecuaci´on general de una recta, es: Ax + By + C = 0 donde A, B y C son n´ umeros reales Ahora estudiaremos las rectas paralelas y perpendiculares 1. Rectas Paralelas L 1

Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son paralelas si m1 y m2 son iguales. Simb´olicamente:

L1 k L2 ⇔ m1 = m2 2. Rectas Perpendiculares Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y s´olo si el producto de sus pendientes es igual a −1. Simb´olicamente:

Y L 1

L1 ⊥ L2 ⇔ m1 · m2 = −1

Ejemplo 5.13. Encuentre la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto P (−1, 1) y es paralela a la recta 3x − 2y = 6 Ejemplo 5.14. Encuentre la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto P (−1, 1) y es perpendicular a la recta 3x − 2y = 6

5.3.4.

La Circunferencia

La circunferencia es la gráfica de la relación R = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0} donde D, E y F son n´ umeros reales. De la ecuación x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 , que es la ecuaci´ on general de la circunferencia, por el método de completar cuadrados se llega a una expresión de la forma: D 2 E 1 ) + (y + )2 = (D 2 + E 2 − 4F ) 2 2 4 1 2 2 Haciendo: t = 4 (D + E + 4F ), entonces: (x +

1. Si t > 0, la gráfica de R es una circunferencia de centro (− D2 , − E2 ) y radio r = 2. Si t = 0, la gráfica de R es un punto: (− D2 , − E2 ) 3. Si t < 0, R no tiene representación gráfica, es un conjunto vac´ıo. Ecuaci´ on particular o est´ andar de la circunferencia Si en la ecuación: (x +

D 2 E 1 ) + (y + )2 = (D 2 + E 2 − 4F ) 2 2 4

hacemos que:

h = − D2 k

= − E2

r2 =

1 (D 2 4

+ E 2 + 4F )

entonces, tenemos la ecuación particular de la circunferencia: (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 Luego: 1. El centro de la circunferencia está dado por el punto C(h, k), y 2. El radio de la circunferencia está dado por “r” Ejemplo 5.15. Graficar la relación R1 = {(x, y) ∈ R2 /(x − 1)2 + (y + 3)2 = 9} y, hallar el dominio y rango de de la relaci´ on Soluci´ on: Observemos que: (x − 1)2 + (y + 3)2 = 9 es la ecuación de una circunferencia, entonces tiene como centro al punto C(1, −3) y el radio es r = 3. De la gráfica, se obtiene: Dom(R1 ) = [−2, 4] y Ran(R1 ) = [−6, 0]

√

Ejemplo 5.16. Graficar la relaci´on R2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 + 4x − 2y + 1 = 0} y, hallar el dominio y rango de de la relaci´ on Soluci´ on: Observemos que x2 + y 2 + 4x − 2y + 1 = 0

es la ecuacón general de la circunferencia, ahora deduzcamos la ecuación particular por el método de completar cuadrados: (x2 + 4x) + (y 2 − 2y) + 1 = 0 (x + 42 )2 − ( 42 )2 + (y − 22 )2 − ( 22 )2 + 1 = 0 (x + 24 )2 + (y − 22 )2 = 4 (x + 2)2 + (y − 1)2 = 4 As´ı pues, el centro de la circunferencia es C(−2, 1) y el radio es r = 2. De la gráfica se determina que: Dom(R2 ) = [−4, 0] y Ran(R2 ) = [−1, 3] Ejemplo 5.17. Encuentre una ecuaci´ on de la circunferencia que tiene centro C(−2, 3) y contiene el punto P (4, 5). Graf´ıquela y, halle el dominio y rango.

5.3.5.

La Par´ abola

Definici´ on 23. Una par´ abola es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo F (el foco) y una recta fija L (la directriz) que est´a en el plano

La par´abola es la gr´afica de las relaciones R1 = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 + Bx + Cy + D = 0} o

Eje Focal

Directriz

R2 = {(x, y) ∈ R2 /Ay 2 + Bx + Cy + D = 0} donde: A, B, C y D son n´ umeros reales. En el siguiente cuadro haremos las diferencias entre las relaciones R1 y R2 Ax2 + Bx + Cy + D = 0 Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 Ecuación particular o estándar Parámetro Vértice Foco Recta Directriz L

(x − h)2 = 4p(y − k)

(y − k)2 = 4p(x − h)

V (h, k)

F (h, k + p)

F (h + p, k)

y =k−p

x=h−p

Observaci´ on 3. El parámetro p es la distancia que hay del foco al vértice, o también la distancia que hay del vértice a la recta directriz, es decir: p = d(F, V ) = d(V, L) En cuanto al comportamiento de las gráficas tenemos lo siguiente: 1. Para Ax2 + Bx + Cy + D = 0, si p > 0 la parábola se abre hacia arriba desde el vértice; si p < 0 la parábola se abre hacia abajo desde el vértice.

Figura 5.1: Comportamiento de la parábola Ax2 + Bx + Cy + D = 0 2. Para Ay 2 + Bx + Cy + D = 0, si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha desde el vértice; si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda desde el vértice. Ejemplo 5.18. Trazar las gráficas de las par´ abolas: 1. x2 − 4x + 4y = 0 2. y 2 − 6y − 4x + 5 = 0 3. 4x2 − 8x + 3y + 6 = 0

Adem´as hallar el dominio y rango.

Figura 5.2: Comportamiento de la par´abola Ay 2 + Bx + Cy + D = 0

5.3.6.

La Elipse

Definici´ on 24. Una Elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de cuyas distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva.

P(x,y)

F 1

F 2

La elipse es la gráfica de las relación R1 = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0} donde: A, B, C y D y E son n´ umeros reales. Luego, por el método de completar cuadrados se obtiene, la ecuación particular o estándar (x−h)2 a2

(y−k)2 b2

En la ecuación estándar de la elipse, se distinguen dos casos: 1. Caso I: Cuando a > b 2. CasoII: Cuando b > a En la elipse también hablaremos de centro, focos, vértices, rectas directrices, excentricidad, la manera de hallarlos depende del caso I o del caso II, como se muestra en el siguiente cuadro:

a>b C(h, k)

b>a C(h, k)

V´ertice

V (h ± a, k)

V (h, k ± b)

Distancia del centro al foco: c

c2 = a2 − b2

c2 = b2 − a2

Focos

F (h ± c, k)

F (h, k ± c)

Centro

Excentricidad e

Rectas Directrices

c a

L:x=h±

a e

c b

L:y=k±

b e

La manera de graficar una elipse, depende tambi´en del caso I y II, esto es: 1. Si a > b, la elipse tiene un comportamiento horizontal, esto debido a que su eje focal (recta en la que se encuentran sus focos) es paralelo al eje X 2. Si a < b, la elipse tiene un comportamiento vertical, esto debido a que su eje focal es paralelo al eje Y Y F 2

F 1

F 2

Eje Focal

F 1

Figura 5.3: Comportamiento de la elipse

Eje Focal

(x−h)2 a2

(y−k)2 b2

Ejemplo 5.19. Trace las gr´aficas de las elipses: 1.

(x−1)2 4

x2 25

(y+3)2 9

(y−1)2 4

3. 16x2 + 9y 2 + 64x − 18y − 71 = 0

5.3.7.

La Hip´ erbola

Definici´ on 25. Una Hip´ erbola es el conjunto de todos los puntos de un plano, tales que la diferencia de cuyas distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva.

Y P(x,y)

F 1

F 2

La hip´erbola es la gr´afica de las relaciones R1 = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 − By 2 + Cx + Dy + E = 0} o

R1 = {(x, y) ∈ R2 /By 2 − Ax2 + Cx + Dy + E = 0}

donde: A, B, C y D y E son n´ umeros reales. Luego, por el m´etodo de completar cuadrados se obtiene, las ecuaciones particular o est´andar respectivamente (x−h)2 a2 (y−k)2 b2

− −

(y−k)2 b2

(x−h)2 a2

En la hipérbola también hablaremos de centro, focos, vértices, rectas directrices, excentricidad, la manera de hallarlos depende del de sus ecuaciones estándar (o general), como se muestra en el siguiente cuadro: (x−h)2 a2

Centro

− (y−k) =1 b2 C(h, k)

(y−k)2 b2

− (x−h) =1 a2 C(h, k)

V´ertice

V (h ± a, k)

V (h, k ± b)

Distancia del centro al foco: c

c2 = a2 + b2

Focos

F (h ± c, k)

F (h, k ± c)

Excentricidad e

Rectas Directrices

c a

L:x=h±

a e

c b

L:y=k±

b e

La manera de graficar una hip´erbola, depende de las ecuaciones est´andar (o general): 2

1. Si la ecuación de la hipérbola es (x−h) − (y−k) = 1, la hiérbola tiene un compora2 b2 tamiento horizontal, esto debido a que su eje focal (recta en la que se encuentran sus focos) es paralelo al eje X 2

2. Si la ecuación es (y−k) − (x−h) = 1, la hipérbola tiene un comportamiento vertical, b2 a2 esto debido a que su eje focal es paralelo al eje Y Ejemplo 5.20. Trace la gráfica de las siguientes hipérbolas: 1. 9x2 − 16y 2 + 144x + 32y + 79 = 0 2. 4y 2 − 16x2 − 48x − 4y + 1 = 0 3. 9x2 − 4y 2 − 18x − 4y + 44 = 0 4. 5y 2 − 4x2 − 6x − 15y + 10 = 0

Figura 5.4: Comportamiento de la hip´erbola respectivamente

5.4.

(x−h)2 a2

−

(y−k)2 b2

= 1y

(y−k)2 b2

−

(x−h)2 a2

= 1

Ejercicios Propuestos

1. Trace la recta que pasa por los puntos P y Q a) P (3, 1), Q(0, 5) b) P (−4, 3), Q(1, 1)

c) P (−2, −1), Q(−3, 0)

d ) P (2, 6), Q(4, 12)

2. Trace la gr´afica de la recta que pasa por P y tiene como pendiente m a) P (3, 1), m =

1 2

b) P (−2, 4), m = −2

3. Trace las gr´aficas de las rectas en el mismo plano de coordenadas a) y = x + 3, y = x + 1, y = −x + 1

b) y = −2x − 1, y = −2x + 3, y = 1 x+3 2

4. Encuentre una forma general de una ecuaci´on de la recta que pasa por el punto P que satisfaga la condici´on dada. a) P (2, −4); paralela a la recta 5x − 2y = 4

b) P (4, 5); perpendicular a la recta 3x + 2y = 7 c) P (4, −5); que pasa por Q(−3, 6)

5. Use la forma de ordenada en el origen para hallar la pendiente de la recta dada y trace su gr´afica: a) 2x = 15 − 3y b) 4x − 3y = 9

c) 7x − 2y + 5 = 0

d ) 3x + 4y − 2 = 0

6. Trace la gr´afica de la circunferencia dada, hallando el dominio y rango. a) x2 + y 2 = 4 b) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 9

c) (x − 2)2 + y 2 = 16

d ) x2 + (y − 2)2 = 25

7. Encuentre una ecuaci´on de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas. √ a) Centro C( 14 , 0), radio 3 punto P (1, 2) b) Centro C(2, −3), radio 5 d ) Centro en el origen, pasando por c) Centro C(−4, 6), pasando por el el punto P (4, −7) 8. Encuentre el centro y radio de la circunferencia con la ecuaci´on dada, hallando el dominio y rango. a) x2 + y 2 − 4x + 6y − 36 = 0 b) x2 + y 2 + 4x − 117 = 0

c) 2x2 + 2y 2 − 12x + 4y − 15 = 0

d ) 9x2 + 9y 2 + 12x − 6y + 4 = 0

9. Hallar el parámetro, vértice, foco y directriz de la parábola. Trace su gráfica y, halle el dominio y rango. a) 8y = x2 b) 2y 2 = −3x

c) (x + 2)2 = −8(y − 1)

d ) (y + 1)2 = −12(x + 2) e) x2 − 4x − y + 2 = 0

f ) y 2 + 14y + 4x + 45 = 0

10. Encuentre la ecuaci´on de la par´abola que satisface las condiciones dadas. a) Foco F (2, 0), directriz x = −2

d ) V´ertice V (3, −5), directriz x = 2

c) V´ertice V (−2, 3), directriz y = 5

f ) V´ertice V (1, −2), foco F (1, 0)

b) Foco F (6, 4), directriz y = −2

e) V´ertice V (−1, 0), foco F (−4, 0)

11. Encuentre los v´ertices, focos, centro y las rectas directrices de la elipse. Trace su gr´afica y, halle el dominio y rango. a)

x2 9

y2 4

(y+4)2 9 2

e) 4x + 9y − 32x − 36y + 64 = 0

b) 4x + y = 16 2

(x−3)2 16 2

=1 2

c) 4x + 25y = 1

f ) 25x2 + 4y 2 − 250x − 16y + 541 = 0

12. Encuentre los vértices, focos, centro y las rectas directrices de la hipérbola. Trace su gráfica y, halle el dominio y rango. (x−3)2 25 2

(y−1)2 4 2

−

y2 4

b) y 2 −

x2 24

e) 144x −25y +864x−100y−2404 = 0

x2 9

c) 16x2 − 36y 2 = 1

−

f ) 4y 2 − x2 + 40y − 4x + 60 = 0

5.5.

Problemas Aplicativos

1. Alcances de transmisores de radio. La se˜ nal de una estación de radio tiene un alcance circular de 50 millas. Una segunda estación de radio, situada a 100 millas al este y 80 millas al norte de la primera estación, tiene un alcance de 80 millas. ¿Hay lugares donde las se˜ nales se puedan recibir de ambas estaciones de radio? Explique su respuesta. 2. Localizar el foco de una antena satelital de TV. El interior de una antena satelital de TV es un disco con forma de un paraboloide (finito) que tiene 4 metros de diámetro y 0.5 metros de profundidad, como se muestra en la figura. Encuentre la distancia del centro del disco al foco

44mm 4m 0.5m

3. Disco de antena. El disco de una antena satelital tiene la forma de un paraboloide que mide 10 pies de diámetro en el extremo abierto y tiene 3 pies de profundidad. ¿A qué distancia del centro del disco debe colocarse el receptor para recibir la máxima intensidad de ondas de sonido? 4. Espejo de Telescopio. El espejo para un telescopio reflector tiene la forma de un paraboloide (finito) de 10cm de diámetro y 1cm de profundidad. ¿A qué distancia del espejo se colectará la luz entrante? 5. Espejo de Telescopio. El espejo de una linterna tiene la forma de un paraboloide de 20 cm de diámetro y 5 cm de profundidad, como se ve en la figura. ¿Dónde debe colocarse el foco para que los rayos de luz emitidos sean paralelos al eje del parabolide? 6. Un t´ unel tiene forma parabólica, su altura máxima es de 12,8 metros y el ancho de la base es de 10,2 metros; ¿Cuál será el espacio libre vertical a 1,5 metros de la orilla del t´ unel? 7. Dimensiones de un arco.

El arco de un puente es semiel´ıptico, con eje mayor horizontal. La base del arco es de 50 metros de diámetro y la parte más alta del arco está 4 metros arriba del pavimento horizontal, como se ve en la figura. Encuentre la altura del arco a 2.5 metros del centro de la base 8. Dise˜ no oval. Un artista planea crear un dise˜ no el´ıptico con eje mayor de 1m y eje menor de 50cm, centrado en una puerta que mide 2m. por 70 cm. el método descrito por la figura. En una recta vertical que divide en dos a la puerta, ¿aproximadamente a qué distancia de cada extremo de la puerta deben insertarse las tachuelas? ¿De qué largo debe ser la cuerda?

50 m 4m

Cap´ıtulo 6 Funciones Reales de Variable real La noción de correspondencia se presenta con frecuencia en nuestra vida diaria. Algunos ejemplos se dan en la ilustración siguiente. Correspondencia 1. A cada estudiante de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo le corresponde un código de ingreso a la universidad. 2. A cada habitante de la ciudad de Chiclayo le corresponde una fecha de nacimiento. 3. Si la temperatura de la región Lambayeque se registra durante todo el d´ıa, entonces a cada instante corresponde una temperatura Cada correspondencia de la ilustración anterior comprende dos conjuntos, A y B. En la primera ilustración, A denota el conjunto de estudiantes de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo y B es el conjunto de códigos de ingreso a la universidad. A veces describimos correspondencias por diagramas del tipo que se muestan en la figura 6.1, donde los conjuntos A y B están representados por puntos dentro de las regiones en un plano. La flecha curva indica que el elemento y de B corresponde al elemento x de A. Los dos conjuntos pueden tener elemento en com´ un. En realidad, con freceuncia tenemos quue A = B. Es importante observar que a cada x en A corresponde exactamente una y en B, pero el mismo elemento de B puede corresponder a elemento diferentes de A. Por ejemplo, dos habitentes de Chiclayo pueden tener la misma fecha de nacimiento y la temperatura puede ser igual a diferentes horas. En casi toda este cap´ıtulo, A y B serán conjuntos de n´ umeros. En particular A = B = R (conjunto de n´ umeros reales). Cada una de nuestras ilustraciones de una correspondencia es una funci´ on que definimos como sigue x

A y

Figura 6.1:

Definici´ on 26. Una funci´ on f de un conjunto A = R a un conjunto B = R es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A exactamente un elemento y de B

6.1.

Definici´ on de Funci´ on Real de Variable Real

Definici´ on 27. Una funci´ on f de un conjunto A = R a un conjunto B = R es una correspondencia que asigna a cada n´ umero real x exactamente otro n´ umero real y. Considere el diagrama de la figura ??. Las flechas indican que los elemento f (w), f (z), f (x) y f (a) de B = R corresponden a los elementos w, z, x y a de A = R. A cada elemento de A = R hay asignado exactamente un valor de funci´on en B = R; no obstante, diferentes elementos de A = R, como por ejemplo w y z en la figura, pueden tener el mismo valor en B = R Los s´ımbolos:

w z

a A=R

f(w) f(z) f(x) f(a) B =R

R→R y f :R→R

significan que f es una función de R a R o simplemente que “ f es una funci´ on real de variable real ”. Ahora mencionaremos algunas definiciones de función real de variable real, equivalentes a la anterior. Definici´ on 28. Una función de R en R es una relaci´ on f ⊆ R×R que hace corresponder a cada elemento x de R (conjunto de partida) a lo m´ as un elemento y de R (conjunto de llegada), denotado por y = f (x) ∈ R Definici´ on 29. Un subconjunto de pares ordenados f ⊆ R × R es una funci´ on de R en R si para todo x ∈ R existe a lo más un elemento y ∈ R tal que (x, y) ∈ f Observaci´ on 4. En un par ordenado (x, y) ∈ f , a la segunda componente se le denota y = f (x) y se le llama el valor de la función f en x. A y = f (x) también se le denomina imagen de x mediante f , y al elemento x se le llama contraimagen (o antecedente) de y = f (x) Ejemplo 6.1. Sea la función real de variable real f , tal que f (x) = 3x2 − 2x + 1 . Hallar:

1. f (−2)

4. f (a + b)

2. f ( 14 ) √ 3. f ( 2)

5. f (a) + f (b)

Soluci´ on: Para hallar los valores de f en los puntos dados, debemos sustituir cada uno de éstos puntos por x en la ecuación f (x) = 3x2 − 2x + 1 As´ı pues: 1. f (−2) = 3(−2)2 − 2(−2) + 1 = 17 2. f ( 14 ) = 3( 14 )2 − 2( 14 ) + 1 = 11 16 √ √ 2 √ √ √ 3. f ( 2) = 3( 2) − 2( 2) + 1 = 3(2) − 2 2 + 1 = 7 − 2 2 4. f (a + b) = 3(a + b)2 − 2(a + b) + 1 = 3(a2 + 2ab + b2 ) − 2(a + b) + 1 = 3(a2 + b2 ) − 2(a + b) + 6ab + 1 5. f (a) + f (b) = 3(a)2 − 2(a) + 1 + 3(b)2 − 2(b) + 1 = 3(a2 + b2 ) − 2(a + b) + 2 Nota 8. Nótese que, en general f (a + b) 6= f (a) + f (b) Ejemplo 6.2. Si f (x + 2) = x2 − 3x + 4, hallar la regla de correspondencia de f , es decir f (x) Soluci´ on: Haciendo un cambio de variable, es decir, si u= x+2 entonces x= u−2 luego: f (u) = (u − 2)2 − 3(u − 2) + 4 = u2 − 7u + 14 Ahora consideremos nuevamente la variable x como otra variable en la ecuación anterior, y por lo tanto: f (x) = x2 − 7x + 14

6.2.

Dominio y Rango de una funci´ on real de variable real

Definici´ on 30. Se llama Dominio de una funci´ on f al conjunto de todos sus antecedentes (primeras componentes), y se le denota por: Dom(f ) = {x ∈ R / ∃ y ∈ R , (x, y) ∈ f } ⊆ R o Dom(f ) = {x ∈ R / ∃ y ∈ R , y = f (x)} ⊆ R Definici´ on 31. Se llama Rango o Recorrido de una funci´ on f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de R, v´ıa f ; y se le denota por: Ran(f ) = {y ∈ R / ∃ x ∈ R , y = f (x)} ⊆ R o Dom(f ) = {f (x) ∈ R / x ∈ Dom(f ) ⊆ R} ⊆ R Observaci´ on 5. De las definiciones anteriores se pueden deducir lo siguiente: 1. A la función f se le puede representar por el conjunto de pares ordenados f = {(x, f (x)) ∈ R× ∈ R = R2 / x ∈ Dom(f ) ⊆ R} 2. El Dominio de f viene a ser el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de f , mientras que el Rango de f viene a ser el conjunto de todas las segundas componentes. 3. El Rango de f , que es el conjunto de todas las im´ agenes de f , no necesariamente cubre a todo R 4. El conjunto de llegada que en este caso es R también es denominado Codominio de f f

y=f(x)

Dom(f)

Ran(f)

Figura 6.2:

6.2.1.

Criterio para el c´ alculo del dominio y rango de una funci´ on real de variable real.

Para calcular el dominio y rango de una función real de variable real, se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Para calcular el dominio de una función f , se analizan todos los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que f (x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado. 2. Para calcular el rango de una función f , primero se debe despejar la variable x en función de y, y luego se analizan todos los valores posibles que pueda tomar y de tal amera que x sea real. Ejemplo 6.3. Hallar el dominio y rango de la funci´ on f (x) = 3x + 1 Soluci´ on: 1. Para hallar el dominio de f , nos hacemos la siguiente pregunta: “¿para qué valores de x, existe la función f ?” Nuestra respuesta es, que la función existe para todo n´ umero real. Por lo tanto: Dom(f ) = R 2. Para hallar el rango de f , lo primero que haremos es despejar la variable x en función de y = f (x), es decir, si: y = 3x + 1 entonces

y−1 3 esta u ´ ltima expresión nos indica que la variable x está en función de y. Luego nos hacemos la siguiente pregunta: “¿para qué valores de y, existe la variable x?” x=

Al igual que cuando calculamos el dominio, nuestra respeusta es: la variable y existe para todo n´ umero real . Por lo tanto: Ran(f ) = R Ejemplo 6.4. Hallar el dominio y rango de la funci´ on f (x) =

1 x

Soluci´ on: 1. Para hallar el dominio de f , nos hacemos la siguiente pregunta: “¿para qué valores de x, existe la función f ?” Nuestra respuesta es, que la función existe para todo n´ umero real excepto para el valor 0, ya que, si evaluamos la función f en 0, se obtiene: f (0) =

1 ←∄ 0

y ya sabemos que esta u ´ ltima expresión no existe (o es indeterminado). Por lo tanto: Dom(f ) = R − {0} 2. Para hallar el rango de f , lo primero que haremos es despejar la variable x en función de y = f (x), es decir, si: 1 y= x entonces 1 x= y esta u ´ ltima expresión nos indica que la variable x está en función de y. Luego nos hacemos la siguiente pregunta: “¿para qué valores de y, existe la variable x?” Al igual que cuando calculamos el dominio, nuestra respuesta es: la variable y existe para todo n´ umero real excepto para el valor 0, ya que no está definido 01 . Por lo tanto: Ran(f ) = R − {0} Observaci´ on 6. Es importante mencionar que no siempre el dominio de una función real es igual al rango de ésta. Ejemplo 6.5. Hallar el dominio y rango de la funci´ on f (x) =

2x−1 3x+5

Soluci´ on: Siguiendo los mismos pasos de los ejemplos anteriores, obtenemos que: 5 Dom(f ) = R − {− } 3 y

2 Ran(f ) = R − { } 3

Ejemplo 6.6. Hallar el dominio y rango de la funci´ on f (x) =

4x x+3

Soluci´ on: El desarrollo le dejamos al lector.

6.3.

Gr´ afica de una funci´ on real de variable real

Definici´ on 32. Si f es una función real de variable real con dominio Dom(f ), entonces la gr´ afica de f denotado por Gra(f )es el conjunto de pares ordenados Gra(f ) = {(x, f (x))/ x ∈ Dom(f )} En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f (x); es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f (x)

Ejemplo 6.7. Trace las gr´aficas de las siguientes funciones 1. f (x) = x2 2. g(x) = x3 √ 3. h(x) = x Soluci´ on: Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la gr´afica. x 0 ± 12 ±1 ±2 ±3

f (x) = x 0 1 4

1 4 9

x 0

g(x) = x3 0

1 2

1 8

1 2 − 12 −1 −2

1 8 − 18 −1 −8

x 0 1 2 3 4 5

Figura 6.3: Graficas de F (x) = x2 , g(x) = x3 y h(x) =

6.3.1.

h(x) = 0 √1 √2 3 √2 5

√

x respectivamente

Propiedad Fundamental de las funciones reales de variable real

La propiedad fundamental de las funciones reales de variable real es la siguiente. “Una relaci´ on f ⊆ R2 = R × R es una función real de variable real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lo más en un punto.” Ejemplo 6.8. La circunferencia y la hipérbola son algunos ejemplos de relaciones que no son funciones, ya que si trazamos una recta vertical, ésta corta ala gr´ afica en más de un punto. Vea la figura 6.4 En la figura 6.5 se tienen ejemplos de graficas de relaciones que si son funciones, pues al trazar una recta vertical, ésta corta solo en un punto a la gráfica.

Y La circunferencia no es función f

X La Hipérbola no es función

Figura 6.4: Ejemplos de relaciones que no son funciones f

X X Si es función

Si es función

Figura 6.5: Ejemplos de relaciones que si son funciones

6.4.

Clases de Funciones

6.4.1.

Funci´ on Lineal

Definici´ on 33. Una función f es una funci´ on lineal, si f (x) = ax + b donde x ∈ R y a y b son constantes. Simb´ olicamente f : Dom(f ) ⊆ R → Ran(f ) ⊆ R x → f (x) = ax + b La gráfica de f de la definición precedente es la gráfica de y = ax + b, que por la forma de ordenada en el origen, es una recta con pendiente a y que pasa por el punto P (0, b). As´ı la gr´ afica de una funci´ on lineal es una recta. Como f (x) existe para toda x, entonces el dominio de f es R. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, si a 6= 0, entonces el rango de f también es R. Ejemplo 6.9. Sea f (x) = 2x + 3. 1. Trace la gráfica de f 2. Encuentre el dominio y rango de f Soluci´ on:

1. Como f (x) tiene la forma ax + b, con a = 2 y b = 3, f es una funci´on lineal. La gr´afica de y = 2x + 3 es la recta con pendiente 2 y punto de cruce 3con el eje Y , ilustrado en la figura 6.6.

Figura 6.6: 2. Vemos de la gráfica que x y y pueden ser cualquier n´ umero real, de modo que el dominio y el rango de f son R. Ejemplo 6.10. Si f es una función lineal tal que f (−2) = 5 y f (6) = 3, encuentre f (x), donde x es cualquier n´ umero real. Soluci´ on: Por la definición de función lineal, f (x) = ax + b donde a y b son constantes. Ahora por dato tenemos que: 1. f (−2) = 5, de donde se tiene: −2a + b = 5

(6.1)

6a + b = 3

(6.2)

2. f (6) = 3, entonces

Luego con las ecuaciones 6.1 y 6.2 se tiene un sistema de ecuaciones con dos variables, al solucionarlo, obtenemos que a=− Por lo tanto

1 4

y b=

1 9 f (x) = − x + 4 2

9 2

6.4.2.

Funci´ on Cuadr´ atica

Definici´ on 34. Una función f es una funci´ on cuadr´ atica, si f (x) = ax2 + bx + c donde a, b y c ∈ R con a 6= 0. Simbólicamente f : Dom(f ) ⊆ R → Ran(f ) ⊆ R x → f (x) = ax2 + bx + c La gráfica de una función cuadrática es una parábola, que se abre hacia arriba o abajo. Una parábola que se abre hacia la izquierda o a la derecha no es una función, ya que por la propiedad fundamental de las funciones reales de variable real, si trazamos una recta vertical, ésta corta en más de un punto a la gráfica. Ahora dada una función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c

(6.3)

y además sabemos que su gráfica es una parábola que abre hacia arriba o abajo, nos preguntamos ¿cómo reconozco si la párabola se abre hacia arriba o abajo?. El comportamiento de la parábola depende del coeficiente “a”, en la ecuación 6.3 pues: 1. Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba. 2. Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo. Nosotros también podemos encontrar el vértice V de la parábola que es la gráfica de la función cuadrática 6.3, de la siguiente manera: 2

b 4ac−b V = (− 2a , 4a )

a>0

a<0

2 4ac-b 4a

f 2 4ac-b 4a

- b 2a - b 2a

Figura 6.7: Comportamiento de la gráfica de una función cuadrática De la gráfica se puede observar que:

1. Cuando la par´abola se abre hacia arriba, entonces Dom(f ) = R y

4ac − b2 Ran(f ) = , +∞ 4a

2. Cuando la par´abola se abre hacia abajo, entonces Dom(f ) = R y Ran(f ) =

4ac − b2 −∞, 4a

Ejemplo 6.11. Sea la función f (x) = x2 − 3x + 2, determine 1. El vértice de la parábola 2. Los puntos en donde la parábola corta al eje X 3. Grafique la función 4. Halle el dominio y rango de la funci´ on Soluci´ on: 1. El vértice de la parábola lo podemos hallarlo utilizando la fórmula para el vértice de una parábola , entonces: −3 4(1)(2) − (−3)2 3 1 , = ,− V = − 2(1) 4(1) 2 4 2. Para hallar los puntos de intersección de la parábola con el eje X, hacemos que f (x) = 0, es decir: x2 − 3x + 2 = 0 originándose una ecuación cuadrática, al solucionarla, obtenemos que x = 1 y x = 2 3. Como el el coeficiente de x2 es a = 1 > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba desde el vértice, y luego tenemos la siguiente gráfica. Vea la figura 6.8 4. Por u ´ ltimo, de la gráfica se deduce que Dom(f ) = R y

1 Ran(f ) = − , +∞ 4

Figura 6.8: Ejemplo 6.12. Sea la función f (x) = −2x2 + 9x − 4, determine 1. El vértice de la parábola 2. Los puntos en donde la parábola corta al eje X 3. Grafique la función 4. Halle el dominio y rango de la funci´ on Soluci´ on: El desarrollo se deja al lector Teorema sobre el valor m´ aximo o m´ınimo de una funci´ on cuadr´ atica b Si f (x) = ax2 + bx + c, donde a 6= 0, entonces f (− 2a ) es

1. el valor máximo de f , si a < 0 2. el valor m´ınimo de f , si a > 0 Ejemplo 6.13. Una larga hoja rectangular metálica, de 20 metros de ancho, se ha de convertir en canal al doblar hacia arriba cada uno de los lax dos, de modo que sean perpendiculares a la x 20-2x hoja. ¿Cuántas metros deben doblarse hacia arriba de tal manera, que den al canal su máxima capacidad? Soluci´ on: Si x denota el n´ umero de metros que se doblan hacia arriba en cada lado, entonces el ancho de la base del canal es 20 − 2x metros. Es obvio pensar que la capacidad será máxima cuando el área de sección transversal del rectángulo con lados de longitudes x y 20 − 2x tiene su valor máximo. Sea A(x) esta área,entonces tenemos: A(x) = x(20 − 2x) = 20x − 2x2 A(x) = −2x2 + 20x

observemso que la función A(x) tiene la forma de una función cuadrática, es decir, A(x) = ax2 + bx + c con a = −2, b = 20, y c = 0. Ahora podemos dar respuesta a nuestra pregunta del ejemplo Como A es una función cuadrática y a = −2 < 0, se deduce del teorema anterior que el valor máximo de f se presenta en x=−

b 20 =− =5 2a 2(−2)

As´ı pues el n´ umero de pulgadas que se deben doblar hacia arriba de tal manera que el canal tenga una capacidad m´axima es, x = 5 metros.

6.4.3.

Funci´ on C´ ubica

Definici´ on 35. Una funci´on f es una funci´ on c´ ubica, si f (x) = ax3 + bx2 + cx + d donde a, b, c y d ∈ R con a 6= 0. Simb´ olicamente f : Dom(f ) ⊆ R → Ran(f ) ⊆ R x → f (x) = ax3 + bx2 + cx + d Las gr´aficas de estas funciones tienen el comportamiento que se muestran en las siguientes ejemplos: Ejemplo 6.14. Graficar:

Ejemplo 6.15. Graficar:

f (x) = x3 Soluci´ on:

f (x) = x3 + 2 Soluci´ on:

Figura 6.9: Comportamiento de las gr´aficas de una funci´on c´ ubica

Ejemplo 6.16. Graficar:

Ejemplo 6.17. Graficar:

f (x) = −x3

f (x) = −x3 + 2x2 + 4x − 1

Soluci´ on:

Figura 6.10: Comportamiento de las gr´aficas de una funci´on c´ ubica

6.4.4.

Funci´ on Exponencial

Definici´ on 36. Una función f es una funci´ on exponencial, si f (x) = ax para toda x en R, donde a > 0 y a 6= 1. Simb´ olicamente f : Dom(f ) ⊆ R → Ran(f ) ⊆ R x → f (x) = ax El comportamiento de la gráfica de una función exponencial f (x) = ax depende del valor que puede tomar a, es decir: 1. Si a > 1, la gráfica de f (x) = ax tiene el siguiente comportamiento

2. Si 0 < a < 1, la gr´afica de f (x) = ax tiene el siguiente comportamiento

Figura 6.11: Comportamiento de las gr´aficas de una funci´on exponencial

Ejemplo 6.18. Graficar: f (x) = 3x

Ejemplo 6.19. Graficar: 2 f (x) = ( )x 5

Figura 6.12: Graficas de las funciones f (x) = 3x y f (x) = ( 52 )x Aplicaci´ on: Crecimiento de bacterias Las funciones exponenciales pueden usarse para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo 6.20. Supongamos que en el laboratorio Suiza Lab, se observa experimentalmente que el n´ umero de bacterias en un cultivo se triplica al d´ıa. Si 500 bacterias est´an presentes al inicio, entonces obtenemos la tabla siguiente, donde t es el tiempo en d´ıas y f (t) es la cantidad de bacterias en el tiempo t. t (tiempo en d´ıas) 0 1 2 3 4 f (t) (cantidad de bacterias) 500 1500 4500 13500 40500 Parece que f (t) = (500)3t Con esta f´ormula podemos predecir el n´ umero de bacterias presentes en cualquier tiempo t. Por ejemplo, en t = 2,5 = 25 , 5

f (t) = (500)3 2 = 7794,25 ≈ 7794 En la definici´on siguiente usamos e ≈ 2,71828 como base para una importante funci´on exponencial.

Definici´ on 37. Una función f es una funci´ on exponencial natural, si f (x) = ex para toda x en R, donde e ≈ 2,71828. Simb´ olicamente f : Dom(f ) ⊆ R → Ran(f ) ⊆ R x → f (x) = ex El comportamiento de la gráfica de esta función es similar al comportamiento de la función f (x) = ax cuando a > 1, tal como lo muestra la figura 6.13

Figura 6.13: Observaci´ on 7. En todas las gráficas de las funciones exponenciales, podemos deducir que: 1. Dom(f ) = R 2. Ran(f ) = h0, +∞i Ley de la f´ ormula de crecimiento (o decrecimiento) “Sea q0 el valor de una cantidad q en el tiempo t = 0 (esto es, q0 es la cantidad inicial de q). Si q cambia instantáneamente a una raz´ on proporcional a su valor actual, entonces q = q(t) = q0 ert donde r > 0 es la rapidez de crecimiento (o r < 0 es la rapidez de decrecimiento) de q.” Ejemplo 6.21. La población de una ciudad en 1970 era de 153 800. Suponiendo que la población aumenta a razón de 5 % por a˜ no, prediga la poblaci´ on de la ciudad en el a˜ no 2013. Soluci´ on: Aplicamos la fórmula del crecimiento q = q0 ert con población inicial q0 = 153 800, rapidez de crecimiento r = 5 % = 0,05 y tiempo t = 2013 − 1970 = 43 a˜ nos. Entonces, una predicción para la población de la ciudad en el a˜ no 2013 es q(43) = 153 800e(0,05)(43) = 1 320 351,16 ≈ 1 320 351

Ejemplo 6.22. Trace la gr´afica de f si f (x) =

ex + e−x 2

Soluci´ on:

Figura 6.14: funci´on f (x) = ex y f (x) = e−x

6.4.5.

Funci´ on Logar´ıtmo

Definici´ on 38. Una función f es una funci´ on logar´ıtmo de x con base a, si f (x) = loga x para toda x ∈ h0, +∞i en donde a > 0 y a 6= 1. Simb´ olicamente f : h0, +∞i ⊆ R → Ran(f ) ⊆ R x → f (x) = loga x Observaci´ on 8. Recordemos que y = f (x) = loga x ⇔ x = ay para toda x > 0 y todo n´ umero real y. Observaci´ on 9. Recordemos que si no aparace indicada la base a en la funci´ on logar´ıtmica es decir y = f (x) = log x se entiende que el logaritmo está en base a = 10. El comportamiento de la gráfica de una función logar´ıtmica f (x) = loga x depende del valor que puede tomar a, es decir:

1. Si a > 1, la gr´afica de f (x) = loga x tiene el siguiente comportamiento

2. Si 0 < a < 1, la gr´afica de f (x) = loga x tiene el siguiente comportamiento

Figura 6.15: Comportamiento de las gráficas de una función logar´ıtmica Definici´ on 39. Una función f es una funci´ on logar´ıtmo natural, si f (x) = ln x para toda x ∈ h0, +∞i. Simbólicamente f : x ∈ h0, +∞i → Ran(f ) ⊆ R x → f (x) = ln x Observaci´ on 10. Recordemos que ln x = loge x para toda x > 0 y e = 2,71828. El comportamiento de la gráfica de esta función es similar al comportamiento de la función f (x) = loga x cuando a > 1, tal como lo muestra la figura 6.16 Ejemplo 6.23. En la escala Richter, la magnitud R de un terremoto de intensidad I está dada por I R = log I0 donde I0 es cierta intensidad m´ınima. 1. Si la intensidad de un terremoto es 10000I0, encuentre R. 2. Exprese I en términos de R e I0 . Soluci´ on:

Figura 6.16: Gr´afica de la funci´on f (x) = ln x 1.

R = log II0

Del enunciado

0 = log 10000I I0

Del dato I = 10000I0

= log 10000

cancelando I0

= log 104

1000 = 104 log 10x = x para toda x

R = 4

De este resultado vemos que un aumento multiplicado por diez en intensidad resulta en un aumento de 1 en magnitud (si 1000 se cambiara a 100 000, entonces 4 cambiar´ıa a 5) 2.

R = log II0 I I0

Del enunciado

= 10R

definici´on de logar´ıtmo

I = I0 · 10R

6.5.

Trazado de gr´ aficos especiales

Cuando se conoce una función y = f (x), en base a esta función, se puede construir otra función en una forma rápida mediante los siguientes criterios 1. Si se tiene la gráfica de y = f (x) entonces la gr´ afica de la funci´ on F (x) = f (x) + c se obtiene de la siguiente manera:

a) Si c > 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza verticalmente c unidades hacia arriba b) Si c < 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza verticalmente c unidades hacia arriba Ejemplo 6.24. Graficar las funciones f (x) = x2 , g(x) = x2 + 3 y h(x) = x2 − 3 Soluci´ on: sabemos que la gráfica de f (x) = x2 es una parábola con vértice en en el punto (0, 0), tal como lo muestra la figura 6.17

Figura 6.17: Gráfica de la función f (x) = x2 Luego, la gráfica de la función g(x) = x2 + 3, se obtendrá dezplazando la gráfica de la función f (x), 3 unidadaes hacia arriba, y la gráfica de h(x) = x2 − 3 se obtendrá dezplazando la gráfica de la función f (x), 3 unidadaes hacia abajo,como se muestra en la figura 6.18.

Figura 6.18: Gr´afica de las funciones g(x) = x2 + 3 y h(x) = x2 − 3 respectivamente 2. Si se tiene la gr´afica de y = f (x) entonces la gr´ afica de la funci´ on F (x) = f (x − c) se obtiene de la siguiente manera:

a) Si c > 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza horizontalmente c unidades hacia la derecha b) Si c < 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza horizontalmente c unidades hacia la izquierda Ejemplo 6.25. Graficar las funciones g(x) = (x − 4)2 y h(x) = (x + 4)2 Soluci´ on: sabemos que la gráfica de f (x) = x2 es una parábola con vértice en en el punto (0, 0), tal como lo muestra la figura 6.17, entonces las gráficas de las funciones g(x) y h(x) se obtendrán desplazando la gráfica de f (x), 4 unidades hacia la derecha y 4 hacia la izquierda respectivamente. Vea la figura 6.19

Figura 6.19: Gráfica de las funciones g(x) = (x − 4)2 y h(x) = (x + 4)2 respectivamente 3. Si se tiene la gráfica de y = f (x) entonces la gr´ afica de la funci´ on F (x) = f (x − h) + k se obtiene de la siguiente manera: a) Si h > 0 y k > 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza horizontalmente h unidades hacia la derecha y k hacia arriba. b) Si h < 0 y k > 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza horizontalmente h unidades hacia la izquierda y k unidades hacia arriba. c) Si h > 0 y k < 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza horizontalmente h unidades hacia la derecha y k unidades hacia abajo. d ) Si h < 0 y k < 0 la gráfica de la función y = f (x) se desplaza horizontalmente h unidades hacia la izquierda y k unidades hacia abajo. Ejemplo 6.26. Graficar las funciones g(x) = (x − 4)2 + 3, h(x) = (x + 4)2 + 3, m(x) = (x − 4)2 − 3 y n(x) = (x + 4)− 3

Soluci´ on: sabemos que la gráfica de f (x) = x2 es una parábola con vértice en en el punto (0, 0), tal como lo muestra la figura 6.17, entonces las gráficas de las funciones g(x), h(x), m(x) y n(x) se muestran en la figura 6.20 y 6.21

Figura 6.20: Gr´afica de las funciones g(x) = (x − 4)2 + 3 y h(x) = (x + 4)2 + 3 respectivamente

Figura 6.21: Gr´afica de las funciones g(x) = (x − 4)2 − 3 y h(x) = (x + 4)2 − 3 respectivamente

6.6.

Ejercicios Propuestos

1. Si a y h son n´ umeros reales, encuentre: f (a), f (−a), −f (a) y f (a + h) de las siguientes funciones. a) f (x) = 5x − 2

b) f (x) = 2x2 + 3x − 7

2. Si f es una función real de variable real, tal que f (x + 3) = x2 − 1, hallar el valor de f (a + 2) − f (2) a−2 con a 6= 2 3. Si f es una función real de variable real, tal que, f (x + 1) = x2 + 3 hallar el valor de f (a + 2) − f (a − 2) a−1 con a 6= 1 4. Diga si la relación dada es o no una función, utilizando la propiedad fundamental de las funciones reales de variable real. a) R = {(x, y)/x2 − y = 1}

b) R = {(x, y)/4y 2 − x2 = 144, y ≥ 0}

c) R = {(x, y)/x2 + y 2 + 2x−4y = 4} d ) R = {(x, y)/x2 −4x−2y +10 = 0}

5. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones a) f (x) =

5x−7 x+1

b) f (x) =

2x−8 3x−2

6. Si una funci´on lineal f satisface las condiciones dadas, encuentre f (x) a) f (−3) = 1 y f (3) = 2

b) f (−2) = 7 y f (4) = −2

7. Grafique y halle el dominio y rango de las siguientes funciones a) f (x) = 3x + 5 b) f (x) = −2x + 1, con x ∈ [0, 1] c) f (x) = x + 3, con −3 ≤ x < 4

d ) f (x) = 4x − 2, con 0 < x < 3 e) f (x) = −x + 4, con x ≥ 0

f ) f (x) = 23 x + −2, con x < −2

8. Determinar una funci´on cuadr´atica f que tiene a R como su dominio y tal que f (−1) = 3, f (2) = 0, f (4) = 28 9. Dadas las siguientes funciones

a) f (x) = x2 − 4x

d ) f (x) = −2x2 + 20x − 43

c) f (x) = 6x2 + 7x − 24

f ) f (x) = −3x2 − 6x − 6

b) f (x) = −12x2 + 11x + 15

e) f (x) = 2x2 − 4x − 11

hallar a) El vértice de la parábola b) Los puntos en donde la parábola corta al eje X c) Grafique la función d ) El valor máximo o m´ınimo de la función e) Halle el dominio y rango de la función 10. Grafique y halle el dominio y rango de las siguientes funciones a) f (x) = x2

c) f (x) = −x2 + x − 3, con −3 ≤ x < 4

b) f (x) = x2 − 3x + 1, con x ∈ [0, 1]

d ) f (x) = 3x2 +2x−4, con 0 < x < 3

11. Trace la gr´afica de f (x) = 4x y de f (x) = (0,25)x 12. Trace la gr´afica de f (x) = log4 x y de f (x) = log 1 x 2

13. Trace la gr´afica de las funciones, usando las gr´aficas de las funciones f (x) = x2 y f (x) = x3 a) f (x) = x2 + 5

d ) f (x) = (x + 2)3

b) f (x) = x3 − 1

e) f (x) = (x + 4)3 − 2

c) f (x) = (x − 1)2 + 1

f ) f (x) = (x − 2)2 − 5

14. Trace la gr´afica de las funciones, usando las gr´aficas de las funciones f (x) = ex a) f (x) = ex+2 b) f (x) = ex − 1 c) f (x) = ex + 3

d ) f (x) = ex−1 − 4 e) f (x) = ex+3 + 2

6.7.

Problemas Aplicativos

1. Aumento de temperatura del suelo. En 1870, el promedio de temperatura del suelo en Par´ıs fue de 11,8◦ C. Desde entonces, ha subido a un ritmo casi constante (lineal), llegando a 13,5◦ C en 1969. a) Exprese la temperatura T en (◦ C) en funci´on del tiempo t (en a˜ nos), donde t = 0 corresponde al a˜ no 1870 y 0 ≤ t ≤ 99 b) ¿Durante que a˜ no fue de 12,5◦ C el promedio de temperatura del suelo?

2. Construcción de una Caja. De una pieza rectangular de cartón que tiene dimensiones de 15 cm × 25 cm, una caja abierta se ha de construir al cortar un cuadrado idéntico de área x2 de cada esquina y voltear hacia arriba los lados (vea la figura). Exprese el volumen V de la caja como función de x.

15 x

3. Dimensiones de un edificio. Una peque˜ na unidad para oficinas debe contener 25 metros cuadrados. Un modelo simplificado se ilustra en la figura. a) Exprese la longitud y del edificio como función del ancho x b) Si las paredes cuestan 50 soles por metro cuadrado, exprese el costo C de las paredes como función del ancho x. (No considere el espacio de pared arriba de las puertas ni el grosor de las paredes.) 4. Reglamento de Construcción. El ayuntamiento de la ciudad de Chiclayo está proponiendo un nuevo reglamento de construcción, el cual requiere que el rebajo S para cualquier edificio desde una residencia sea un m´ınimo de 30 metros, más otros 2 metros por cada metro de altura arriba de 8 metros. Encuentre una función lineal para S en términos de h 5. Dimensiones de un acuario.

75cm

OFICINA 75cm

SALA DE ESPERA

Rebajo

Un acuario de 50 cm. de altura debe tener un volumen de 2 m3 . Con x denote la longitud de la base y y el ancho (vea la figura). a) Exprese y como funci´on de x. 50 cm

b) Exprese el n´ umero total S de pie cuadrado de vidrio necesario como funci´on de x.

6. Longitud de una cuerda floja La figura ilustra el aparato para un equilibrista. Dos postes se colocan a 15 metros uno del otro, pero el punto de uni´on P para la cuerda no se ha determinado. P

a) Exprese la longitud L de la cuerda como funci´on de la distancia x de P al suelo.

Cuerda

x L

b) Si la caminata total debe ser de 25 metros, determine la distancia de P al suelo. 7. Pista de un aeropuerto Las posiciones relativas de una pista para aviones y una torre de control de 6 metros de altura se ven en la figura. El principio de la pista está a una distancia perpendicular de 90 metros de la base de la torre. Si x denota la distancia que un avión se ha movido por la pista, exprese la distancia d entre el avión y la parte superior de la torre de control como función de x.

15 m.

6 m.

90m

8. Construcción de jaulas Con 300 metros de malla metálica se van a construir cuatro corrales para animales, como se ve en la figura. a) Exprese el ancho y como función de la longitud x b) Exprese el área encerrada total A de olas jaulas como función de x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

c) Encuentre las dimensiones maximizan el ´area encerrada.

que

9. Forma de un puente colgante Una sección de un puente colgante tiene su peso uniformemente distribuido entre torres gemelas que están a 120 metros entre s´ı y se elevan 30 metros sobre la calzada horizontal (vea la figura). Un cable tendido entre los remates de las torres tiene la forma de una parábola y su punto central está 5 metros sobre la calzada. Suponga que se introducen ejes de coordenadas, como se ve en la figura.

120m y

30m x

a) Encuentre una ecuación para la parábola. b) Nueve cables verticales igualmente espaciados se usan para sostener el puente (vea la figura). Encuentre la longitud total de estos soportes. 10. Renta de un departamento. La empresa de bienes ra´ıces Centenario S.A. es propietaria de 200 departamentos en edificios, que están ocupados en su totalidad cuando la renta es de 800 soles al mes. La empresa estima que por cada 25 soles de aumento en renta, 5 departamentos se desocuparán. ¿Cuál debe ser la renta para que la compa˜ n´ıa reciba el máximo ingreso mensual? 11. Crecimiento de población en India. En el a˜ no 2000, la estimación de población en India era de 500 millones y ha estado creciendo a razón de 1,8 % por a˜ no. Suponiendo que contin´ ue este rápido porcentaje de crecimiento, estime la población N(t) de India en el a˜ no 2014. 12. Crecimiento de población en India. Del ejercicio anterior, la población N(t) (en millones) de India t a˜ nos después de 2000 puede aproximarse con la fórmula N(t) = 500e0,018t ¿cuándo es que la población será de 2500 millones? 13. Crecimiento de población en Estados Unidos. La población N(t) (en millones) de Estados Unidos t a˜ nos después de 1980 se puede aproximar con la fórmula N(t) = 231e0,0103t a) ¿Cuándo es que la población será el doble de la de 1980? b) ¿Cuándo es que la población será de 2 000 millones? 14. Densidad de población urbana. Un modelo de densidad urbana es una fórmula que relaciona la densidad de población D (en miles/mi2 ) con la distancia x (en millas) del centro de la ciudad. La fórmula D = ae−bx

para la densidad central a y coeficiente de decaimiento b se ha encontrado apropiada para muchas grandes ciudades de Estados Unidos. Para la ciudad de Chiclayo en 1995, a = 5,5 y b = 0,10. ÂżAproximadamente a quÂ´e distancia era la densidad de poblaciÂ´on de 1000 por milla cuadrada?

Cap´ıtulo 7 L´ımite y Continuidad de una funci´ on real de variable real En esta sección se desarrolla la terminolog´ıa que nos ayudará a estudiar diferenciación de funciones de variable real. Esta sección está centrada en los conceptos de punto de acumulación, l´ımite y continuidad.

7.1.

Punto de acumulaci´ on:

Comenzamos esta secci´on con la definici´on de vencindad de un punto Definici´ on 40. Sea x0 ∈ R y δ > 0. En la recta real una vecindad o entorno de centro x0 y radio δ se define por Vδ (x0 ) = hx0 − δ, x0 + δi

(

)

xo+d

xo -d

Notaci´ on 1. Decimos que x ∈ Vδ (x0 )

si si si si

y y y y

solo solo solo solo

si si si si

x ∈ hx0 − δ, x0 + δi x0 − δ < x < x0 + δ −δ < x − x0 < δ |x − x0 | < δ

Ejemplo 7.1. Sea x0 = 2, δ = 1, hallar V1 (2). Soluci´ on: Por definici´on: V1 (2) =< 2 − 1, 2 + 1 >=< 1, 3 > δδ 1 2 3

112

Ejemplo 7.2. Sea V0,5 (x0 ) =< 0,5, 1,5 >, hallar x0 . Soluci´ on: Por definici´on: < 0,5, 1,5 >=< x0 − δ, x0 + δ >⇒ x0 − δ = 0,5 ⇒ x0 − 0,5 = 0,5 ⇒ x0 = 1 Ejemplo 7.3. Sea Vδ (x0 ) =< −1,4, 2,6 >, hallar x0 y δ. Soluci´ on: Haciendo los c´alculos, x0 = y x0 − δ = −1,4

−1,4 + 2,6 (x0 − δ) + (x0 + δ) = = 0,6 2 2 δ = x0 + 1,4 ⇒ δ = 0,6 + 1,4 = 2

Definici´ on 41 (Vecindad Reducida). Una vecindad reducidad de centro x0 y radio δ, se define como el conjunto. ′ Vδ (x0 ) = Vδ (x0 ) − {x0 } ′

Notaci´ on 2. Vδ (x0 ) se lee vecindad reducida de centro x0 y radio δ > 0 ′

Vδ (x0 ) = Vδ (x0 ) − {x0 } =< x0 − δ, x0 + δ > −{x0 } =< x0 − δ, x0 > ∪ < x0 , x0 + δ > Decimos que ′

x ∈ Vδ (x0 ) sii x ∈< x0 − δ, x0 > sii x ∈< x0 − δ, x0 > sii x0 − δ < x < x0 sii −δ < x − x0 < 0 sii −δ < x − x0 < 0 < δ sii |x − x0 | < δ,

∪ < x0 , x0 + δ >, ∨ x ∈< x0 , x0 + δ >, ∨ x0 < x < x0 + δ, ∨ 0 < x − x0 < δ, ∨ −δ < 0 < x − x0 < δ, x 6= x0

x 6= x0 x 6= x0 x 6= x0 x 6= x0 x 6= x0

Ejemplo 7.4. Expresar la vecindad reducida en un intervalo ′

V1,6 (3) =< 3 − 1,6, 3 + 1,6 > −{3} =< 1,4, 4,6 > −{3} ′

V0,5 (−2) =< −2 − 0,5, −2 + 0,5 > −{−2} =< −2,5, −1,5 > −{3} Definici´ on 42 (Punto de Acumulaci´on). Un punto x0 se llama punto de acumulaci´on de un conjunto A ⊂ R si ′

Vδ (x0 ) ∩ A 6= ∅ ′

Es decir, la vecindad reducida Vδ (x0 ) contiene al menos un punto de A.

Ejemplo 7.5. : 1. ¿x0 = 3 es un punto de acumulaci´ on de A =< 3, 5]? Soluci´on: La vencindad agujereada queda ′

′

Vδ (x0 ) = Vδ (3) =< 3 − δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >, δ > 0 Luego, la intersecci´on queda ′

Vδ (3) ∩ A = (< 3 − δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >)∩ < 3, 5] =< 3, 3 + δ >6= ∅

Por tanto, x0 = 3 es un punto de acumulaci´ on de A 2. ¿x0 = 2 es un punto de acumulaci´ on de A =< 0, 2]? Soluci´on: La vencindad agujereada queda ′

Vδ (2) =< 2 − δ, 2 > ∪ < 2, 2 + δ > Luego, la intersecci´on queda ′

Vδ (2) ∩ A = (< 2 − δ, 2 > ∪ < 2, 2 + δ >)∩ < 0, 2 >=< 2 − δ, 2 >6= ∅

Por tanto, x0 = 2 es un punto de acumulaci´ on de A 3. ¿x0 = −4 es un punto de acumulaci´ on de A = Z− ? Soluci´on: La vencindad agujereada queda ′

Vδ (−4) =< −4 − δ, −4 > ∪ < −4, −4 + δ > Luego, la intersecci´on queda ′

Vδ (−4) ∩ A = (< −4 − δ, −4 > ∪ < −4, −4 + δ >) ∩ Z−

Tomemos δ = 0,8

(< −4,8, −4 > ∪ < −4, −3,2 >) ∩ Z− = ∅

Por tanto, x0 = −4 no es un punto de acumulaci´ on de A

4. ¿x0 = 3 es un punto de acumulaci´ on de A = {1, 2, 3, 4, 5}? Soluci´on: La vencindad agujereada queda ′

Vδ (3) =< 3 − δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >

Luego, la intersecci´on queda ′

Vδ (3) ∩ A = (< 3 − δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >) ∩ {1, 2, 3, 4, 5}

Tomemos δ = 0,5 (< 2,5, 3 > ∪ < 3, 3,5 >) ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = ∅

Por tanto, x0 = 3 no es un punto de acumulaci´ on de A.

5. ¿x0 = 0 es un punto de acumulaci´ on de A = { n1 /n ∈ Z+ }? La notación moderna del l´ımite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso l´ımites en su Cours dánalyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha p´ ublica fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con l´ımites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

7.2.

L´ımites Laterales

Investiguemos el comportamiento de la función por derecha e izquierda de x0 = 2 Ejemplo 7.6. La función f (x) = x2 + 1 determina la posición de un automóvil en un determinado tiempo (x seg). x 1 f(x) 2 x f(x)

1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999 3.25 4.24 4.61 4.8025 4.9601 4.996001

3 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001 10 7.25 5.84 5.41 5.2025 5.0401 5.004001

La gr´afica de los puntos de la tabla 10

5.2 5 4.96

2 2

1 Izquierda

3 Derecha

Si nos acercamos por la derecha de 2, las im´ agenes se acercan a 5, entonces se dice 2 que el l´ımite de la funci´on f (x) = x + 1 cuando x tiende a 2 por la derecha es 5 y se escribe l´ım+ f (x) = 5 x→2

Si nos acercamos por la izquierda de 2, las im´ agenes se acercan a 5, entonces se dice 2 que el l´ımite de la funci´on f (x) = x + 1 cuando x tiende a 2 por la izquierda es 5 y se escribe l´ım− f (x) = 5 x→2

Definici´ on 43. Decimos que el l´ımite de f (x) es igual a L1 cuando x tiende a x0 por la derecha, si podemos aproximar los valores de f (x) a L1 tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca x0 por la derecha (x mayor que x0 ), en s´ımbolos l´ım f (x) = L1

x→x+ 0

Definici´ on 44. Decimos que el l´ımite de f (x) es igual a L2 cuando x tiende a x0 por la izquierda, si podemos aproximar los valores de f (x) a L2 tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca x0 por la izquierda (x mayor que x0 ), en s´ımbolos l´ım f (x) = L2

x→x− 0

Ejemplo 7.7. Calcular l´ım− (3x2 + 5x − 3) x→2

Soluci´ on: l´ım (3x2 + 5x − 3) = 3(2)2 + 5(2) − 3 = 19

x→2−

Ejemplo 7.8. Calcular l´ım + x→−4

x+3 2x − 1

Soluci´ on: l´ım +

x→−4

x+3 −4 + 3 1 = = 2x − 1 2(−4) − 1 9

Observaci´ on 11. Decimos que los l´ımites laterales existen siempre y cuando L1 y L2 pertenezcan a los reales. En s´ımbolos, l´ım f (x) = L1 ∈ R

x→x+ 0

, l´ım− f (x) = L2 ∈ R x→x0

Ejemplo 7.9. Calcular los l´ımites laterales de la funci´ on f (x) = x=3

x − 3, x ≥ 3 en x2 + 1, x < 3.

Soluci´ on: f (3) = 3 − 3 = 0 existe (la igualdad est´a en la primera funci´on) Los l´ımites laterales l´ım f (x) =

l´ım x − 3 = 3 − 3 = 0 (existe)

x→3+

l´ım x2 + 1 = (3)2 + 1 = 10 (existe)  x > −1  x + 3, Ejemplo 7.10. Calcular los l´ımites laterales de la funci´ on f (x) = 6, x = −1  2 x + x + 1, x < −1. en x = −1 l´ım f (x) =

x→3−

Soluci´ on: f (−1) = 6 existe (la igualdad est´a en la segunda funci´on) Los l´ımites laterales l´ım + f (x) = x→−1

l´ım f (x) =

x→−1−

l´ım x + 3 = 2 (existe)

x→−1+

l´ım x2 + x + 1 = (−1)2 + (−1) + 1 = 1 (existe)

x→−1−

Investiguemos el comportamiento de la función del ejemplo (9.57) Ejemplo 7.11. La función f (x) = x2 + 1 determina la posición de un automóvil en un determinado tiempo (x seg). x 1 f(x) 2 x f(x)

1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999 3.25 4.24 4.61 4.8025 4.9601 4.996001

3 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001 10 7.25 5.84 5.41 5.2025 5.0401 5.004001

La gr´afica de los puntos de la tabla 10

Esto afirma que los valores de f (x) = x2 + 1 se aproximan cada vez al n´ umero 5 cuando x se aproxima a 2 por derecha e izquierda El l´ımite de la funci´ on f (x) = x2 + 1 cuando x tiende a 2 es 5

5.2 5 4.96

Se escribe l´ım f (x) = 5 x→2

2 1

Observaci´ on 12. Decimos que el l´ımite de la funci´ on f (x) es igual a L y existe cuando x tiende a x0 si y solo si los l´ımites laterales existen y son iguales. En s´ımbolos: l´ım f (x) = L

x→x0

(existe)

si y solo si

l´ım f (x) = L, l´ım− f (x) = L

x→x+ 0

x→x0

Ejemplo 7.12. Calcular l´ım (3x2 + 5x − 3) x→2

Soluci´ on: Primero calculamos los l´ımites laterales l´ım+ (3x2 + 5x − 3) = 3(2)2 + 5(2) − 3 = 19 (existe)

l´ım+ f (x) =

x→2

l´ım (3x2 + 5x − 3) = 3(2)2 + 5(2) − 3 = 19 (existe)

l´ım f (x) =

x→2−

Los l´ımites laterales son iguales y existen, entonces l´ım (3x2 + 5x − 3) = 3(2)2 + 5(2) − 3 = 19

x→2

existe Ejemplo 7.13. Calcular el l´ımite de la funci´ on f (x) =

x − 3, x ≥ 3 en x = 3 x2 + 1, x < 3.

Soluci´ on: f (3) = 3 − 3 = 0 existe (la igualdad est´a en la primera funci´on) Los l´ımites laterales l´ım f (x) =

x→3+

l´ım− f (x) =

x→3

l´ım x − 3 = 3 − 3 = 0 (existe)

x→3+

l´ım− x2 + 1 = (3)2 + 1 = 10 (existe)

x→3

Los l´ımites laterales existen y son diferentes entonces l´ım f (x) no existe x→3  x > −1  x + 3, 6, x = −1 en Ejemplo 7.14. Calcular el l´ımite de la funci´ on f (x) =  2 x + x + 1, x < −1. x = −1 Soluci´ on: f (−1) = 6 existe (la igualdad est´a en la segunda funci´on) Los l´ımites laterales l´ım f (x) =

x→−1+

l´ım f (x) =

x→−1−

l´ım x + 3 = 2 (existe)

x→−1+

l´ım x2 + x + 1 = (−1)2 + (−1) + 1 = 1 (existe)

x→−1−

Los l´ımites laterales existen y son diferentes entonces l´ım f (x) no existe x→1

Observaci´ on 13. Nótese que x0 no necesariamente debe estar en el dominio de la función, de modo que no necesariamente est´ a definida f (x0 ). La existencia del l´ımite de la función f (x) es independiente de que x0 esté o no esté en el dominio de la funci´ on.

Ejemplo 7.15. Calcular el l´ımite de la funci´ on f (x) =

x + 3, x > −2 en x = −2 x2 − 3, x < −2.

Soluci´ on: f (−2) no existe Los l´ımites laterales l´ım f (x) =

x→−2+

l´ım f (x) =

x→−2−

l´ım x + 3 = −2 + 3 = 1 (existe)

x→−2+

l´ım x2 − 3 = (−2)2 − 3 = 1 (existe)

x→−2−

Los l´ımites laterales existen y son iguales entonces l´ım f (x) existe x→−2

Continuamos nuestro estudio, con el análisis de algunas gráficas de funciones Ejemplo 7.16. Analizar la gráfica de la funci´ on

65cm

•

x0 ∈ dom(f )

• •

existe f (x0 ) = L1 existe l´ım+ f (x) = L2

•

existe l´ım− f (x) = L1

• •

Los l´ımites laterales son diferentes l´ım f (x) = ∄

x→x0 x→x0

x→x0

Ejemplo 7.17. Analizar la gr´afica de la funci´ on

65cm

• x0 ∈ dom(f )

• •

existe f (x0 ) = L2 existe l´ım+ f (x) = L1

•

existe l´ım− f (x) = L1

• •

Los l´ımites laterales son iguales existe l´ım f (x) = L1

x→x0 x→x0

x→x0

Ejemplo 7.18. Analizar la gr´afica de la funci´ on

65cm

• x0 ∈ dom(f )

• •

existe f (x0 ) = L existe l´ım+ f (x) = L

•

existe l´ım− f (x) = L

• •

Los l´ımites laterales son iguales existe l´ım f (x) = L

x→x0 x→x0

x→x0

Ejemplo 7.19. Analizar la gr´afica de la funci´ on

65cm

• x0 no pertenece al dom(f )

• •

no existe f (x0 ) = ∄ existe l´ım+ f (x) = +∞

•

existe l´ım− f (x) = −∞

• •

Los l´ımites laterales son diferentes l´ım f (x) = ∄

x→x0 x→x0

x→x0

Ejemplo 7.20. Analizar la gr´afica de la funci´ on

65cm

• x0 no pertenece al dom(f )

• •

no existe f (x0 ) = ∄ existe l´ım+ f (x) = +∞

•

existe l´ım− f (x) = +∞

• •

Los l´ımites laterales son iguales l´ım f (x) = +∞ = ∄

x→x0 x→x0

x→x0

Ejemplo 7.21. Analizar la gr´afica de la funci´ on

65cm

• x0 no pertenece al dom(f )

7.3.

• •

no existe f (x0 ) = ∄ existe l´ım+ f (x) = −∞

•

existe l´ım− f (x) = −∞

• •

Los l´ımites laterales son iguales l´ım f (x) = −∞ = ∄

x→x0 x→x0

x→x0

L´ımite de una funci´ on real de variable real

El l´ımite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. Informalmente, el hecho que una función f tiene un l´ımite L en el punto x0 , significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a x0 , pero distintos de x0 . En s´ımbolos, l´ım f (x) = L

x→x0

El l´ımite de la función f (x) en el punto x0 , es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0 . Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0 .

Definici´ on 45 (L´ımite). Se dice que l´ım f (x) = L si y solamente si para todo (∀) ε > 0, x→x0

existe (∃ )δ > 0, δ = δ(ε) tal que |f (x) − L| < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δ, x ∈ Df f(x)

L+ε

ε L L−ε

δ δ x0−δ x0 x0+δ

Observaci´ on 14. Se dice que la funci´ on f (x) tiene como l´ımite el n´ umero L , cuando x tiende a x0 , si fijado un n´ umero real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x − x0 | < δ , se cumple que |f (x) − L| < ε. Interpretación: l´ım f (x): L´ımite de una función f (x) x: Variable Independiente x0 : Punto de Acumulación x → x0 : x se aproxima a x0 , para valores mayores que x0 (por derecha) y para valores menores que x0 (por izquierda) L: es el resultado del l´ımite (se observa en el eje y ) ε(epsilón): Una distancia muy peque˜ na mayor que cero. δ(delta): Una distancia muy peque˜ na que depende del valor de ε |f (x) − L| < ε: Es un intervalo abierto −ε < f (x) < ε ⇒ L − ε < f (x) < L + ε ⇒ f (x) ∈< L − ε, L + ε > 0 < |x − x1 | < δ: Es un intervalo abierto Df : Dominio de la función f Teorema 1. Sean f y g dos funciones, reales de variable real, definidas al menos en un entorno reducido de un punto x0 esto es: l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = m entonces: x→x0

x→x0

a) l´ım [Kf (x)] = K x→x0

l´ım f (x)

x→x0

= KL

b) l´ım [f (x) + g(x)] = l´ım f (x) + l´ım g(x) = L + m x→x0

x→x0

c) l´ım [f (x) − g(x)] = l´ım f (x) − l´ım g(x) = L − m x→x0

x→x0

d) l´ım [f (x)g(x)] = l´ım f (x) l´ım g(x) = Lm x→x0

x→x0

(x) l´ım [ fg(x) ] x→x0

x→x0

l´ım f (x)

x→x0

l´ım g(x)

L m

x→x0

f) l´ım [logb f (x)] = logb [ l´ım ] = logb L, L > 0, b > 0, b 6= 1 x→x0

x→x0

l´ım f (x)

g) l´ım uf (x) = ux→x0 x→x0

= uL , u > 0 l´ım g(x)

h) l´ım f (x)g(x) = [ l´ım f (x)]x→x0 x→x0

x→x0

= Lm , L > 0

i) l´ım [f (x)]n = [ l´ım f (x)]n = Ln , n ∈ Z+ x→x0

x→x0

Ejemplo 7.22. Aplicaciones de los teoremas:

x −1 = 1. l´ım x→3 x

l´ım (x2 − 1)

x→3

l´ım x

x→3

l´ım x2 − l´ım 1

x→3

2 l´ım x − 1

x→3

32 − 1 8 = = 3 3

l´ım x log l´ ım (3x − 2) + 2x→1 log(3x − 2) + 2 log(1) + 21 2 x→1 2. l´ım = = = 4 4 x→1 3(1) + 6 9 3x + 6 3 l´ım x + 6 x

x→1

7.4.

Operaciones con Infinito

1. Sumas con infinito Infinito m´as un n´ umero ∞±k =∞ Infinito m´as infinito ∞+∞ =∞ Infinito menos infinito ∞ − ∞ = Ind

2. Productos con infinito Infinito por un n´ umero ∞(±k) = ±∞, k 6= 0 Infinito por infinito ∞(∞) = ∞ Infinito por cero 0(∞) = Ind 3. Cocientes con infinito y cero Cero partido por un n´ umero 0 = 0, k 6= 0 k Un n´ umero partido por cero k = ∞, k 6= 0 0 Un n´ umero partido por infinito k = 0, k 6= ∞ ∞ Infinito partido por un n´ umero ∞ = ∞, k 6= ∞ k Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

4. Potencias con infinito y cero

0 =0 ∞ ∞ =∞ 0 0 = Ind 0 ∞ = Ind ∞

Un n´ umero elevado a cero k0 = 1 Cero elevado a cero 00 = Ind Infinito elevado a cero ∞0 = Ind Cero elevado a un n´ umero

0 =

0, k > 0 ∞, k < 0

Un n´ umero elevado a infinito k k

+∞

−∞

∞, k > 1 0, 0 < k < 1 0, k>1 +∞, 0 < k < 1

Cero elevado a infinito 0∞ = 0 Infinito elevado a infinito ∞∞ = ∞ Uno elevado a infinito 1∞ = Ind 5. Logaritmos con infinitos y ceros Logaritmo con infinito logb (+∞) = +∞, si b > 1 logb (+∞) = −∞, si 0 < b < 1 Logaritmo con cero logb (0) = −∞, si b > 1 logb (0) = +∞, si 0 < b < 1

Ejemplo 7.23. Calcular los l´ımites de las siguientes funciones 1)∞ ± k = ∞

x→∞

2)∞ + ∞ = ∞

x→∞

l´ım (x + 3) l´ım (x2 + x)

x→∞

4)∞(±k) = ±∞, k 6= 0

x→−∞

5)∞(∞) = ∞ 6)0(∞) = Ind

l´ım

√

3)∞ − ∞ = Ind

x − x2

l´ım 3x2 l´ım

x→+∞

√

x(x − 3)

l´ım (x − 3) ln(x − 3)

x→3

Ejemplo 7.24. Calcular los l´ımites de las siguientes funciones 7)

0 = 0, k 6= 0 k

x x→0 3

k = ∞, k 6= 0 0

x→0

k = 0, k 6= ∞ ∞

10)

∞ = ∞, k 6= ∞ k

11)

0 =0 ∞

12)

∞ =∞ 0

0 13) = Ind 0 14)

∞ = Ind ∞

l´ım l´ım

−4 x

8 x→+∞ x l´ım l´ım

x→−∞

x 9

l´ım

x ln x

l´ım

ln(x − 8) x−8

x→0

x→8

x−3 x→3 x2 − 9 √ x l´ım x→∞ x − 8 l´ım

Ejemplo 7.25. Calcular los l´ımites de las siguientes funciones 15)k 0 = 1 16)00 = Ind 17)∞0 = Ind

18)1

∞

19)0

∞

= Ind

20)∞∞ = ∞

7.5.

l´ım x(x−8)

x→8

l´ım (x + 7)(x+7)

x→−7

l´ım (

x→4

1 (x−4) ) x−4

1 l´ım (1 + 2x) x

x→0

l´ım (x − 3)

x→3

1 −9

l´ım xx

x→+∞

L´ımites Indeterminados

Un l´ımite es indeterminado, cuando al reemplazar el punto de acumulación en la función, obtenemos uno de los siguientes resultados: 0 ∞ ∞ , , 1 , 0.∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 0 ∞ Los siguientes casos muestran técnicas para levantar indeterminaciones, es decir, obtener un valor determinado del l´ımite f (x) = 00 I. Si l´ım x→x0 g(x) A. Si f (x) y g(x) son polinomios: an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 0 l´ım = x→x0 bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b0 0 Para levantar la indeterminación factorizamos el numerador y denominador y cancelamos el factor x − x0 Recordar que: an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + . . . + abn−2 + bn−1 ) an + bn = (a − b)(an−1 − an−2 b + an−3 b2 − . . . ± bn−1 ) Ejemplo 7.26. :

3 2 −8−4 = 0 1. l´ım x +2 x − 4x − 4 = l´ım 8 4+−4 10 0 +6 x→2 x→2 x − 5x + 6 3 2 x2 (x + 1) − 4(x + 1) l´ım x +2 x − 4x − 4 = l´ım (x − 2)(x − 3) x→2 x→2 x − 5x + 6 (x2 − 4)(x + 1) = l´ım x→2 (x − 2)(x − 3) 4(3) (x + 2)(x + 1) = l´ım = = −12 x−3 x→2 −1 7 −1 = 2. l´ım xx − 1 x→1

0 0

6 5 4 3 2 7 − 1 = l´ım (x − 1)(x + x + x + x + x + x + 1) l´ım xx − 1 (x − 1) x→1 x→1 = l´ım (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + +x + 1) = 7 x→1

3. l´ım x7 + 32 = x→−2 x + 128

0 0

(x + 2)(x4 − 2x3 + 4x2 − 8x + 16) 6 5 4 3 2 x→−2 (x + 2)(x − 2x + 4x − 8x + 16x − 32x + 64) 5(16) 5 = = 7(64) 28

5 l´ım x7 + 32 = x→−2 x + 128

l´ım

4. Si f (x) = x3 + 3. Hallar l´ım

h→0

f (x + h)

f (x + h) − f (x) , h 6= 0 h

= (x + h)3 + 3 = x3 + 3x2 h + 3xh2 + 3xh2 + h3

3 2 2 3 3 f (x + h) − f (x) = x + 3x h + 3xh + h − x − 3 h h = 3x2 + 3xh + h2

f (x + h) − f (x) = l´ım (3x2 + 3xh + h2 ) = 3x2 h→0 h→0 h l´ım

2n −2n 5. l´ım 2x2n + 1 − 3x−2n = x→1 3x − 5 + 2x

0 0

(2xn + 3x−n )(xn − x−n ) 2xn + 3x−n 5 = l´ ım = =5 n −n n −2n n −n x→1 (3x − 2x 1 )(x − x ) x→1 3x − 2x l´ım

a+c − xa+d − xb+c + xb+d = 0 , a > b, c > d 6. l´ım x 0 x→1 x5 − x4 − x + 1

xa (xc − xd ) − xb (xc − xd ) (xa − xb )(xc − xd ) = l´ım 5 5 4 4 x→1 x − x − x + 1 x→1 x −x −x+1 b a−c d c−d x (x − 1)x (x − 1) = l´ım 5 x→1 x − x4 − x + 1 b+d x (x − 1)2 (xa−b−1 + xa−b−2 + . . . + 1)(xc−d−1 + xc−d−2 + . . . + 1 = l´ım x→1 (x + 1)(x2 + 1)(x − 1)2 xb+d (xa−b−1 + xa−b−2 + . . . + 1)(xc−d−1 + xc−d−2 + . . . + 1 = l´ım x→1 (x + 1)(x2 + 1) (a − b − 1)(1)(c − d − 1) (a − b − 1)(c − d − 1) = = (2)(2) 4 = l´ım

B. Si f (x) ´o g(x) son funciones irracionales, se racionaliza el numerador o denominador y se cancela el factor x − x0 Se recomienda tener en cuenta: √ √ √ √ √ √ √ √ n n n n n (a − b) = ( n a − n b)( an−1 + an−2 . n b + an−3 . b2 + . . . + bn−1 ) √ √ √ √ √ √ √ √ n n n n n n n (a + b) = ( n a + b)( an−1 − an−2 . b + an−3 . b2 − . . . ± bn−1 ) √ √ √ √ n a + m b = p am + p an , p es M.C.M(n, m) 1. l´ım √ x − 2 = x→2 4x + 1 − 3

0 0

√ (x − 2)( 4x√+ 1 + 3) x − 2 l´ım √ = l´ım √ x→2 x→2 ( 4x + 1 − 3)( 4x + 1 + 3) 4x + 1 − 3 √ (x − 2)( 4x + 1 + 3) = l´ım 4x √ +1−9 x→2 (x − 2)( 4x + 1 + 3) = l´ım 4(x − 2) x→2 √ 4x + 1+3 = 6 = 3 = l´ım 4 2 4 x→2

2. l´ım √ x→0

x = + 3x + 1 − 1

0 0

√ x( x2 + 3x√+ 1 + 1) x l´ım √ 2 = l´ım √ 2 x→0 x→0 ( x + 3x + 1 − 1)( x2 + 3x + 1 + 1) x + 3x + 1 − 1 √ x( x2 + 3x + 1 + 1) = l´ım x→0 x2 + 3x + 1 − 1 √ x( x2 + 3x + 1 + 1) = l´ım x(x + 3) x→0 √ 2 + 3x + 1 + 1 x = l´ım = 23 x+3 x→0

√ 4 x−1 3. l´ım √ = 00 x→1 5 x − 1 √ √ √ √ √ √ √ √ 4 4 5 5 5 ( 4 x − 1)( √x3 + √x2 + 4 x + 1)( √x5 + √x3 + √x2 + 5 x + 1) = l´ım √ √ √ 4 4 5 5 5 4 x→1 ( 5 x − 1)( x3 + x2 + x +√1)( x5 + x3 + x2 + 5 x + 1) √ √ √ 5 5 5 (x − 1)( x5√+ x3√+ x2 + 5 x + 1) = l´ım √ 4 3 + 4 x2 + 4 x + 1) x→1 (x −√1)( x√ √ √ 5 5 5 5 x5√+ x3√+ x2 + 5 x + 1 = l´ım = √ 4 4 4 x→1 4 x3 + x2 + x + 1 x2 +√x = 00 x→0 − x + 4 − x2 + 3x + 4 √ √ 2 2 −x+4+ (x + x)( x x2 + 3x +√4) √ √ = l´ım √ 2 2 2 x→0 ( x − x + 4 − x2 + 3x √+ 4)( x − x + 4 + x + 3x + 4) √ 2 2 2 (x + x)( x − x + 4 + x + 3x + 4) = l´ım 2 x→0 (x2 − √ x + 4) − (x + √3x + 4) 2 (x + x)( x2 − x + 4 + x2 + 3x + 4) = l´ım −4x √ x→0 √ 2 2 4 (x + x)( x − x + 4 + x2 + 3x + 4) = l´ım = = −1 −4 x→0 −4

4. l´ım √

5. l´ım √

x→2

x2 −√4 = 3 + 2x + 1 − 3x2 + 7x + 1

0 0

M.C.M.(2, 3) = 6

x2 −√4 3 x→2 x2 + 2x + 1 − 3x2 + 7x + 1 x2 −p 4 = l´ım p 6 2 x→2 (x + 2x + 1)3 − 6 (3x2 + 7x + 1)2 l´ım √

Factor Racionalizante(F.R.) p [ 6p (x2 + 2x + 1)3 ]5 p 6 6 (x2 + 2x + 1)3 ]4 [ p (3x2 + 7x + 1)2 ] +[ p 6 6 +[ p (x2 + 2x + 1)3 ]3 [ p (3x2 + 7x + 1)2 ]2 6 6 2 +[ p(x2 + 2x + 1)3 ] p [ (3x2 + 7x + 1)2 ]3 6 +[ p (x2 + 2x + 1)3 ][ 6 (3x2 + 7x + 1)2 ]4 +[ 6 (3x2 + 7x + 1)2 ]5

(x2 −p 4)(F.R.) = l´ım p x→2 ( 6 (x2 + 2x + 1)3 − 6 (3x2 + 7x + 1)2 )(F.R.) (x2 − 4)(F.R.) = l´ım 2 3 2 2 x→2 (x + 2x + 1) − (3x + 7x + 1) (x − 2)(x + 2)(F.R.) = l´ım 6 5 4 3 2 x→2 x + 6x + 6x − 22x − 40x − 8x (x − 2)(x + 2)(F.R.) = l´ım 4 3 2 x→2 x(x − 2)(x + 8x + 22x + 22x + 4) (x + 2)(F.R.) = l´ım 4 3 2 x→2 x(x + 8x + 22x + 22x + 4) 5 5 27 4(6)(3 ) 4(6)(3 ) = = = 3 3 2(216) 2(2 )(3 ) 2 C. Si f (x) ó g(x) son funciones trigonométricas, entonces aplicamos las identidades trigonométricas al l´ımite notable: u l´ım sen u =1

u→0

Recordemos algunas identidades trigonom´etricas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

sen u. csc u = 1 cos u. sec u = 1 tan u. cot u = 1 sen(A ± B) = sen A cos B ± sen B cos A cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sen A sen B A ± tan B tan(A ± B) = 1tan ∓ tan A tan B sen(2A) = 2 sen A. cos B cos(2A) = cos2 A − sen2 A 2 sen2 A = 1 − cos(2A) 2 cos2 A = 1 + cos(2A)

Ejemplo 7.27. : x = 1. l´ım sen x x→0

0 0

= l´ım

x→0

x 2. l´ım tan x = x→0

0 0

sen x −1 x

sen x −1 = l´ım = (1)−1 = 1 x→0 x

sen x sen x 1 = l´ım = l´ım l´ım = (1)(1/1) = 1 x→0 x cos x x→0 x→0 cos x x

sen(mx) = nx x→0

3. l´ım

0 0

m sen(mx) m sen(mx) m m = l´ım = (1) = x→0 (mx)n n x→0 mx n n

= l´ım

4. l´ım

x→0

sen(ax) = sen(bx)

0 0

sen(ax) sen(ax) l´ım a a(1) a ax x = l´ım = x→0 = = x→0 sen(bx) sen(bx) b(1) b l´ım b x→0 x bx x2 = x→0 1 − cos(3x)

5. l´ım

0 0



 3x −2 sen  x2 x 1  1  2  = l´ım l´ ım l´ ım = =     2 2 3x 2 3x x→0 x→0 x→0 2 3x 2 sen( ) 2 sen 2 3 2  2  3x −2 sen 2   = 21 ( 32 )−2  l´ım 3x2  = 12 ( 94 )(1)−2 = x→0 9 2

6. l´ımπ 1 π− sen x = 00 x→ 2 ( − x)2 2 Hacemos x − π2 = h ⇒ x = h + Si x →

π 2

2



π 2

⇒h→0

Sustituyendo: π π π ) 1 − (sen h cos + sen cos h) 2 = l´ım 2 2 l´ım 2 h→0 h→0 (−h)2 h   h 2 2 h 2 sen sen  h = l´ım 2 = 2 l´ım  = l´ım 1 − cos  h2 2 2 h→0 h→0 h→0 h h   h 2 sen   2  = 1 (1) = 1 = 42  l´ım 2 2 h h→0 2 x(1 − cos(sen x)) 7. l´ım = 00 sen(sen x) x→0 " # sen2 ( sen2 x ) sen2 x h 2 sen x i x sen2 x x 2 sen( ) 4 4 2 = l´ım = 2 l´ım =0 x→0 x→0 sen(sen x) sen(sen x) sen x sen x 1 − sen(h +

2 8. l´ım 1 − x = x→1 sen(2πx)

0 0

Hacemos x − 1 = h ⇒ x = h + 1 Si x → 1 ⇒ h → 0 Sustituyendo: 2 1 − (h + 1)2 = l´ım 1 − h − 2h − 1 h→0 sen(2πh + 2π) h→0 sen[2π(h + 1)] 2 h + 2h h = − l´ım = l´ım l´ım (h + 2) h→0 sen(2πh) h→0 sen(2πh) h→0

= l´ım

1 1 2πh (2) = − (1) = − = − l´ım h→0 2π sen(2πh) π π √ √ cos 2x = 0 9. l´ım 1 + x sen x − 0 2 x x→0 tan 2 √ √ √ √ ( 1 + x sen x − cos 2x)( 1 + x sen x + cos 2x) = l´ım √ x √ x→0 (tan2 )( 1 + x sen x + cos 2x) 2 1+ x sen x − cos 2x = l´ım √ √ x x→0 (tan2 )( 1 + x sen x + cos 2x) 2 (1 − cos 2x) + x sen x = l´ım √ x √ x→0 (tan2 )( 1 + x sen x + cos 2x) 2 2

2 sen x + x sen x√ x √ x→0 (tan2 )( 1 + x sen x + cos 2x) 2 2 sen2 x x sen x + x2 x2 = l´ım 2 x √ √ tan 2 x→0 ( 1 + x sen x + cos 2x) x2 sen x 2 sen x 2 + x = l´ım x √ x→0 1 tan x2 2 √ ( 1 + x sen x + cos 2x) x 4 2 2(1)2 + 1 = (4) 2 =6 (1) (1 + 1) = l´ım

f (x) ∞ =∞ g(x) Consiste dividir al numerador y denominador por la variables de mayor exponente

II. Si l´ım

x→x0

que figura en la funci´on. Se debe tener en cuenta lo siguiente: Si x → ±∞ entonces Si x → +∞ entonces x1n → 0, n ∈ Z+ Si x → −∞ entonces x1n → 0, n ∈ Z+

1 x

→0

Ejemplo 7.28. : 3 2 1. l´ım x + x 4 − 2x + 3 x→+∞ x +1

x3 + x2 − 2x + 3 x4 l´ım x + x 4 − 2x + 3 = l´ım 4 x→+∞ x→+∞ x +1 x +1 x4 1 1 2 3 + 2− 3+ 4 x x = l´ım x x 1 x→+∞ 1+ 4 x 0 = =0 1 3

5 3 2. l´ım x +23x − x x→+∞ x −1

x5 + 3x3 − x 3 1 − 1 + x + 3x − x x5 x2 x4 = 1 = ∞ l´ım = l´ım = l´ım 2 2 1 1 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x −1 0 x −1 − 5 3 5 x x x 5

3x + 4 3. l´ım 6x −2 x→+∞ 3x + 4 3+ 3x + 4 x l´ım = l´ım = l´ım x→+∞ 6x − 2 x→+∞ 6x − 2 x→+∞ 6− x √

3x2 + 2x − 1 x+6 x→+∞ Dividimos por:

4. l´ım

4 x =3=1 2 6 2 x

√

(

si , x → +∞ si x → −∞. r r 2 1 3x2 + 2x − 1 √ 3 + − 2 2 3 √ x x x l´ım = l´ım = = 3 x+6 6 x→+∞ x→+∞ 1 1+ x x x2 = |x| =

x −x

−2 5. l´ım √ 3x 2 x→−∞ 4x − 3x √+1 Dividimos por: x2 = |x| = −x cuando x → −∞ 3x − 2 2 3− 3 x x r r l´ım √ = l´ım = l´ım =− x→−∞ x→−∞ 2 4x2 − 3x + 1 x→−∞ 3 1 4x2 − 3x + 1 − 4 − + − x x2 x2 √ √ 2 9 − x 9 − x2 6. l´ım 2x + 1 sea f (x) = 2x +1 3x − 2

x→−∞

Dominio de f es:9 − x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 9 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ∧ 2x + 1 = 0 ⇒ x = − 12 Dom(f ) = [−3, 3] − {−1/2} No se puede calcular el l´ımite. r q √ x+ x+ x+3 √ 7. l´ım x→+∞ x+3

l´ım

x→+∞

q √ x+ x+ x+3 √ = x+3 =

l´ım

x→+∞

q √ x+ x+ x+3 x+3

v q u √ 1 u x+ x+3 u1 + x = l´ım u t 3 x→+∞ 1+ x = v s u √ u u1 + x + x + 3 u x2 u = l´ım t 3 x→+∞ 1+ x = v s u r u 1 x+3 u1 + + u x x4 u = l´ım t 3 x→+∞ 1+ x = v s u r u 1 1 3 u1 + + + 4 u 4 x x x u = l´ım t =1 3 x→+∞ 1+ x

III. Si l´ım [f (x)]g(x) = 1∞ x→x0

Para levantar la indeterminaci´on hacemos uso de los l´ımites notables siguientes: u 1 l´ım 1 + =e x→∞ u 1

l´ım (1 + x) x = e

x→0

Ejemplo 7.29. : ( 3x2 )( 23 )



2 x = l´ım  1  1. l´ım 1 + 3x  1 + 3x x→∞ x→∞ 2 1

= e3

2. l´ım (1 + 5x) x = l´ım (1 + 5x)( 5x )(5) = e5 x→0

x→0

3. l´ım (1 − 4x) 2x = l´ım (1 + (−4x))( −4x )(−2) = (e)−2 x→0

x→0

 x+7 x l´ım 1 + x→+∞  x + 7 x = l´ım  x = 4. l´ım x x+4 +4 x→+∞ x→+∞ l´ım 1 + x x→+∞ ( x )( 7 ) 1 7 x l´ım 1 + x 7 x→+∞ 7 = ( x4 )(4) = e4 = e3 e 1 l´ım 1 + x 

x→+∞

5. l´ım

x→+∞

x−5 x+2 

x 7 x x 4 x

x+2

= l´ım

x→+∞

1 + x−7 +2

( x+2 )(−7) −7

x+2

 1  = l´ım 1 + x + = e−7 2 x→+∞ −7 q 1 sen x = l´ım 1 + −2 sen x sen x 6. l´ım sen x 33 − + sen x x→0 3 + sen x x→0 

x (− 3+sen )( x1 ) 2 sen x

 1 3 + sen x  − 2 sen x 2 sen x 1 1 2 l´ım [(− )( )] −2 l´ım ( ) − x→0 x→0 3 + sen x sen x = e 3 + sen x = e 3 =e  = l´ım 1 + x→0

1 x l´ım ln[1 + 1 ]x 7. l´ım x[ln(x + 1) − ln x] = l´ım [ln x + x ] = x→0 x x→0 x→0 1 x1 = ln(l´ım (1 + x ) ) = ln e = 1 x→0

8. l´ım (2 − cos x) x2 = l´ım (1 + 1 − cos x) x2 = l´ım (1 + 2 sen2 x2 ) x2 x→0

x→0

= l´ım (1 + 2 sen2 x2 ) x→0

1 l´ım 2 x→0

sen x 2 x 2

1 ( 2 sen2 x 2

x→0

2 sen2 x 2 )( x2

= e 2 (1) = e 2 =

)

sen2 x 2 2 l´ım x2 x→0

√

2 l´ım

x→0

sen x 2 2x 2

1 x

9. l´ım (cos x + sen x) = l´ım (1 + cos x + sen x − 1) x x→0

x→0

= l´ım (1 + sen x − (1 − cos x)) x == l´ım (1 + sen x − 2 sen2 x2 ) x x→0

x→0

= l´ım (1 + sen x − x→0

( l´ım

= e x→0

7.6.

( 2 sen2 x2 ) sen x−2 sen2

sen x )−2 l´ım sen x x→0

sen x x . l´ım x 2 2 x→0

x 2

)(

sen x−2 sen2 x 2 x

)

l´ım

x→0

sen x−2 sen2 x 2 x

= e1−2(0).( 2 ) = e

Continuidad de una funci´ on real de variable real

Definici´ on 46 (Continuidad en un punto). Decimos que una funci´ on f es continua en un punto x0 si

a) f (x0 ) existe b) l´ım f (x) existe x→x0

c) l´ım f (x) = f (x0 )

L x

x→x0

La definición afirma que f es continua en x0 si f (x) tiende a f (x0 ). Por tanto una función continua tiene la propiedad de que un cambio peque˜ no en x solo produce una peque˜ na alteración en f (x). Los fenómenos f´ısicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad de un veh´ıculo var´ıan en forma continua con el tiempo, como pasa con la estatura de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situciones como las corrientes eléctricas. Geométricamente, una función continua en un punto x0 en un intervalo se puede concebir como una función cuya gráfica no se rompe en dicho punto. La gráfica se puede trazar sin levantar la punta del lapicero en el papel. Ejemplo 7.30. Analiza la continuidad de f en x0 = 0 3 x + 3x + 1 si x ≥ 0 f (x) = ln(x2 + ex ) si x < 0

a) f (x0 ) = f (0) = x3 + 3x + 1 = 1 b) Los l´ımites laterales existen l´ım x3 + 3x + 1 = 1

x→0+

l´ım ln(x2 + ex ) = 1

x→0−

entonces el l´ım f (x) = 1 x→0

c) l´ım f (x) = f (0) x→0

Por tanto f es continua en x0 = 0. Observaci´ on 15. Una funci´on f es discontinua en x0 si f no es continua en x0 . La discontinuidades en un punto x0 son de dos tipos: Decimos que f tiene discontinuidad evitable o removible si el l´ımite existe.

L2 L1 x

Decimos que f tiene discontinuidad esencial si los l´ımites laterales son diferentes o si el l´ımite de f es infinito (+∞ o −∞)

Ejemplo 7.31. Analiza la continuidad de f (x) =

x2 − 3 en x0 = −1 x+1

Soluci´ on: −2 f (x0 ) = f (−1) = no existe, entonces f es discontinua. Como 0 x2 − 3 l´ım =∞ x→−1 x + 1 entonces f presenta una discontinuidad no removible en el punto x0 = −1

Ejemplo 7.32. Analiza la continuidad de f (x) =

 2   x +1  

Soluci´ on:

x |x| + 3

x≥1

x<1

en x0 = 1

a) f (x0 ) = f (1) = 12 + 1 = 2 existe b) l´ım+ x2 + 1 = 2 x→1

c) l´ım− x→1

x 1 = . Entonces no existe l´ım f (x) x→1 |x| + 3 4

Por tanto f es discontinua en x = 1 y presenta una discontinuidad no removible. Ejemplo 7.33. Analiza la continuidad de f en x0  2  x − 1 si 1 − |x| si f (x) =  2 si

=1 x<1 x>1 x=1

a) f (x0 ) = f (1) = 2

b) l´ım+ (1 − |x|) = 0 x→1

c) l´ım− (x2 − 1) = 0. Existe l´ım f (x) x→1

x→1

Por tanto f no es continua en x = 1 y tiene discontinuidad evitable. Ejercicios: 1. f (x) = x2 + 1 en x0 = 1 x+3 en x0 x+1   x2 − 9 3. f (x) = +3  x−3   |x| 4. f (x) = |x| − 1  2 2. f (x) =

= −2 si si

x 6= −3 x = −3

x>2

x≤2

en x0 = −3

en x0 = 2

Propiedad 1. Sean f y g dos funciones de variable real, definidas al menos en un entorno de a. Si f y g son continuas en x = a entonces a) f es acotada para todo x ∈ V (a)

b) Si f (a) 6= 0 entonces f (x) y f (a) tienen el mismo signo para todo x ∈ V (a) c) kf es continua en x = a d) f ± g es continua en x = a e) f.g es continua en x = a f) f /g es continua en x = a, g 6= 0 g) 1/g es continua en x = a, g 6= 0 h) |f | es continua en x = a

7.7.

Funciones continuas elementales

1. Si f (x) = k entonces f es continua en todos los reales 2. Si f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 entonces f es continua en todos los reales an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 3. Si bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 No siempre es continua, generalmente es continua por intervalos. f es continua para todo punto del conjunto R − {x ∈ R : bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 } Si el denominador nunca es cero la funci´on es continua en todos los reales 4. Si f (x) = |x| entonces f es continua en R 5. Si f (x) = ex entonces f es continua en R 6. Si f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 entonces f es continua en R 7. Si f (x) = lnx entonces f es continua en (0, +∞) 8. Si f (x) = logbx, b > 0, b 6= 1 entonces f es continua en (0, +∞) √ 9. Si f (x) = x entonces f es continua en [0, +∞), x ≥ 0 10. Si f (x) = senx entonces f es continua en R 11. Si f (x) = cosx entonces f es continua en R 12. Si f (x) = tgx entonces f es continua en R − {x ∈ R : cosx = 0} = R − {(2n + 1) n ∈ Z}

π : 2

13. Si f (x) = cotgx entonces f es continua en R−{x ∈ R : senx = 0} = R−{nπ : n ∈ Z}

14. Si f (x) = kxk entonces f es continua en R − Z 15. Si f (x) = sgn(x) entonces f es continua en R − {0} Ejemplo 7.34. Algunos ejemplos 1. f (x) = senx + cosx es continua en todos los reales 2. f (x) = ln(x − 1) es continua en < 1, +∞) x2 es continua en todos los reales pues el denominador nunca es cero x2 + 1 √ 4. f (x) = x2 + 2 es continua en todos los reales pues el radical siempre es mayor que cero

3. f (x) =

Ejemplo 7.35. Analizar la continuidad de   √ 1−x f (x) = x2 + 4 − 1  ln(2 − x)

si si si

0≤x≤2 −1 ≤ x < 0 −4 ≤ x < −1

en el intervalo [−4, 2 > Soluci´ on: Sabemos que

f (x) = f1 (x) ∪ f2 (x) ∪ f3 (x) donde:

f1 (x) = √ 1−x f2 (x) = x2 + 4 − 1 f3 (x) = ln(2 − x)

si si si

0≤x≤2 −1 ≤ x < 0 −4 ≤ x < −1

Analicemos la continuidad de cada subfunci´on en los intervalos dados f1 (x) es continua en los reales entonces es continua en [0, 2] f2 (x) es continua en los reales entonces es continua en [−1, 0) f3 (x) es continua en (−∞, 2) entonces es continua en [−4, −1) Analicemos la continuidad de f (x) en los puntos de quiebre En x = 0 f (0) = 1 l´ım f (x) = l´ım+ (1 − x) = 1

x→0+

x→0

√ l´ım− f (x) = l´ım− ( x2 + 4 − 1) = 1

x→0

l´ım f (x) = f (0)

x→0

entonces f es continua en x = 0 En x = −1 √ (−1)2 + 4 − 1 = 5 − 1 √ √ l´ım + f (x) = l´ım + x2 + 4 − 1 = 5 − 1

f (−1) = x→−1

x→−1

l´ım f (x) = l´ım − ln(2 − x) = ln3

x→−1−

x→−1

entonces f no es continua en x = −1. Por tanto f es continua en [−4, 2] − {−1} Ejemplo 7.36. Analizar la continuidad de  2  x − 2x + 3 |x − 4| − 1 g(x) =  √ 2 x +5+2

si si si

0<x≤5 −2 ≤ x ≤ 0 −8 ≤ x < −2

en el intervalo [−8, 5]

Soluci´ on: Analicemos la continuidad de cada subfunci´on en los intervalos dados g1 (x) es continua en los reales entonces es continua en < 0, 5] g2 (x) es continua en los reales entonces es continua en [−2, 0] g3 (x) es continua en los reales entonces es continua en [−8, −2) Analicemos la continuidad de g(x) en los puntos de quiebre En x = 0

g(0) = 3 l´ım g(x) = l´ım+ (x2 − 2x + 3) = 3

x→0+

x→0

l´ım g(x) = l´ım− (|x − 4| − 1) = 3

x→0−

x→0

entonces g es continua en x = 0 En x = −2 g(−2) = | − 2 − 4| − 1 = 5 l´ım g(x) = l´ım + (|x − 4| − 1) = 5

x→−2+

x→−2

√ l´ım − g(x) = l´ım − ( x2 + 5 + 2) = 5

x→−2

entonces g es continua en x = −2. Por tanto g es continua en [−8, 5] Ejemplo 7.37. Analizar la continuidad de  2 x +1     x2 − 4 si h(x) =     −2 si 3

−1 ≤ x < 2 −4 ≤ x < −1

en el intervalo [−4, 2 >

Soluci´ on: h1 (x) es continua en [−1, 2), h2 (x) es continua en [−4, −1). En x = −1 h(−1) =

−2 3

x2 + 1 −2 l´ım + h(x) = l´ım + ( 2 )= x→−1 x→−1 x − 4 3 l´ım − h(x) = l´ım − (

x→−1

−2 −2 )= 3 3

entonces h es continua en x = −1. Por tanto h es continua en [−4, 2)

Cap´ıtulo 8 Derivada de una Funci´ on Real de Variable Real Sea ∆x = x − x0 la variaci´on de la variable x y sea ∆y = y − y0 la variaci´on de la variable y. El cociente de diferencias f (x) − f (x0 ) ∆y = ∆x x − x0

Variación de X

es la razón promedio de cambio de y con respecto a x. La razón de cambio promedio da una medición de cuanto cambia la función f cuando cambia x. f(x0) f(x )

y=f(x) x0

Variación de Y

∆f Si f (t) es la posición de una part´ıcula entonces es la razón promedio de cambio ∆t de la posición con respecto al tiempo. Ejemplo 8.1. Sea f (t) = t4 − 5t3 + 9 el desplazamiento en kil´ ometros de un auto en t horas. Encuentre la razón promedio de cambio del desplazamiento del auto desde las 5:00 hasta las 7:00 a.m. Soluci´ on: La razón promedio de cambio de f ∆f f (5) − f (3) 695 − 9 = = = 343Km/h ∆x 5−3 5−3

∆f Si Q(t) es la cantidad de carga eléctrica que pasa por un alambre entonces es la ∆t razón promedio de cambio de carga eléctrica respecto al tiempo. 144

Ejemplo 8.2. Sea Q(t) = t2 + 3t + 1 la cantidad de carga eléctrica en Couloms (C) que pasa por un alambre en t horas. Encuentre la raz´ on promedio de cambio de carga eléctrica desde las 5:00 hasta las 7:00 a.m. Soluci´ on: La razón promedio de cambio de Q ∆Q Q(5) − Q(3) 71 − 41 = = = 15C/h ∆x 5−3 5−3

∆P Si P (t) indica el n´ umero de individuos de una población entonces es la razón ∆t promedio de la población respecto al tiempo. Ejemplo 8.3. Sea P (t) = 500(3t ) el n´ umero de bacterias en t horas. Encuentre la razón promedio de cambio del n´ umero de bacterias desde 5:00 hasta las 7:00 a.m. Soluci´ on: La razón promedio de cambio de P ∆P P (5) − P (3) 1093500 − 121500 = = = 486000Bacterias/h ∆x 5−3 5−3

∆C Si C(x) es el costo total y x el n´ umero de unidades de cierto art´ıculo entonces ∆x es la razón promedio del costo respecto al n´ umero de unidades de cierto art´ıculo. Ejemplo 8.4. Se sabe que para producir x unidades de juguetes el costo total (soles) estará dado por el siguiente modelo matem´ atico: C(x) = 100 + 4x + 0,02x2 Encuentre la razón promedio de cambio del costo desde 50 hasta 51 juguetes. Soluci´ on: La razón promedio de cambio de C ∆C C(51) − C(50) 356,02 − 350 = = = 6,02soles/juguete ∆x 51 − 50 51 − 50 Si aproximamos x a x0 entonces ∆x se aproxima a cero. Este l´ımite ∆y f (x) − f (x0 ) = l´ım x→x0 ∆x→0 ∆x x − x0 l´ım

es la raz´on de cambio instant´anea de y con respecto a x. f(x0)

y=mx+b f(x )

y=f(x) x0

Observaci´ on 16. Esta raz´on de cambio instant´ anea toma diversas denominaciones, seg´ un el ´area de trabajo, por ejemplo 1. En f´ısica la denominan “Velocidad” ∆f ∆t→0 ∆t

V = l´ım

2. En electricidad la denominan “Corriente el´ectrica ” ∆Q ∆t→0 ∆t l´ım

3. En biolog´ıa la denominan “tasa de crecimiento de una poblaci´ on ” ∆P ∆t→0 ∆t l´ım

4. En econom´ıa la denominan “Costo marginal” ∆C ∆x→0 ∆x l´ım

5. En matem´atica la denominan “Derivada ” ∆f ∆x→0 ∆x

f ′ (x0 ) = l´ım

Definici´ on 47. Sea x0 ∈ dom(f ) un punto fijo. La derivada de f en x0 se define por: f ′ (x0 ) = l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

siempre que el l´ımite existe. Observaci´ on 17. La derivada se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto x = x0 . Observaci´ on 18.

dy , Df (x), f ′(x), f ′ (x) denota la derivada de f con respecto a x. dx

La derivada en cualquier punto x se define en forma an´ aloga por f ′ (x) = l´ım

h→0

f (x + h) − f (x) h

Observaci´ on 19. Una funci´on f es derivable en un intervalo I si f es derivable en todo punto de dicho intervalo. Ejemplo 8.5. Hallar la derivada de cada funci´ on

1. f (x) = x2 − 1 f (x + h) − f (x) h→0 h 2 (x + h) − 1 − (x2 − 1) = l´ım h→0 h = l´ım 2x + h

f ′ (x) = l´ım

h→0

= 2x 2. f (x) =

√

x f (x + h) − f (x) h→0 h √ √ x+h− h l´ım h→0 h x+h−x l´ım √ √ h→0 h( x + h + x) 1 l´ım √ √ h→0 x+h+ x 1 √ 2 x

f ′ (x) = l´ım = = = = 3. f (x) = senx, x =

π 2 f (x + h) − f (x) h→0 h sen(x + h) − senx l´ım h→0 h senxcosh + senhcosx − senx l´ım h→0 h senx(cosh − 1) + senhcosx l´ım h→0 h h senx(sen2 ) + senhcosx 2 l´ım h→0 h 0 + cosx cosx

f ′ (x) = l´ım = = =

= = = π Luego f ′ ( ) = 0 2

8.1.

F´ ormulas inmediatas de derivaci´ on I. Si f (x) = k, entonces f ′ (x) = 0

Ejemplo 8.6. Aplicando la f´ormula I.

1. Si f (x) = 2 ⇒ f ′ (x) = 0 2. Si f (x) =

1 5

4. Si f (x) = cos(30◦ ) ⇒ f ′ (x) = 0

⇒ f ′ (x) = 0

3. Si f (x) = −π ⇒ f ′ (x) = 0

5. Si f (x) = 35 ⇒ f ′ (x) = 0 √ 6. Si f (x) = − 8 ⇒ f ′ (x) = 0

II. Si f (x) = x, entonces f ′ (x) = 1 Ejemplo 8.7. Aplicando la f´ormula II. 1. Si f (m) = m ⇒ f ′ (m) = 1

3. Si f (p) = p ⇒ f ′ (p) = 1

2. Si f (t) = t ⇒ f ′ (t) = 1

4. Si f (u) = u ⇒ f ′ (u) = 1

III. Si f (x) = [u(x)]n , n ∈ R, entonces f ′ (x) = n[u(x)]n−1 Ejemplo 8.8. Aplicando la f´ormula III. 1. Si f (x) = x2 ⇒ f ′ (x) = 2x 2. Si f (x) = x15 ⇒ f ′ (x) = 15x14 3. Si f (x) = x−4 ⇒ f ′ (x) = −4x−5

4. Si f (x) = x 3 ⇒ f ′ (x) = 13 x− 3

√ 1 5. Si f (x) = x ⇒ f ′ (x) = 12 x− 2 ; pues √ 1 f (x) = x = x 2

Propiedades Fundamentales de la Derivada Sean f y g dos funciones derivables en x ∈ I, entonces a. [kf (x)]′ = kf ′ (x) b. [f (x) ± g(x)]′ = f ′ (x) ± g ′(x) c. [f (x)g(x)]′ = f ′ (x)g(x) + g ′(x)f (x) 1 ′ −g ′ (x) ] = g(x) [g(x)]2 ′ f (x) f ′ (x)g(x) − g ′(x)f (x) e. = , g(x) 6= 0 g(x) [g(x)]2

d. [

Ejemplo 8.9. Encontrar la derivada de las siguientes funciones 1. f (x) = 6x7 entonces por propiedad y f´ ormula III f ′ (x) = 6(x7 )′ = 6(7x6 ) = 42x6 2. f (x) = x3 − 8x4 entonces f ′ (x) = (x3 − 8x4 )′ = (x3 )′ − (8x4 )′ = 3x2 − 32x3 3. f (x) = x2 (x3 − x)23 entonces f ′ (x) = (x2 )′ (x3 − x)23 + x2 ((x3 − x)23 )′ = 2x(x3 − x)23 + x2 (23)(x3 − x)22 (3x2 − 1)

4. f (x) =

x−1 entonces x2 + x

f ′ (x) =

(x − 1)′ (x2 + x) − (x − 1)(x2 + x)′ 1(x2 + x) − (x − 1)(2x + 1) = (x2 + x)2 (x2 + x)2 IV. Si f (x) = eu(x) , entonces f ′ (x) = eu(x) [u′ (x)]

Ejemplo 8.10. Aplicando la f´ormula IV. 1. Si f (x) = e−x entonces f ′ (x) = −e−x 2. Si f (x) = e(1+x 3. Si f (x) = e(3x

entonces f ′ (x) = 2xe(1+x

6 +x2 )

entonces f ′ (x) = (18x5 + 2x)e(3x

6 +x2 )

V. Si f (x) = au(x) entonces f ′ (x) = au(x) [u′ (x)]lna, a > 0, a 6= 1 Ejemplo 8.11. Aplicando la f´ormula V. 1. Si f (x) = 21−2x entonces f ′ (x) = −2ln2e1−2x 2

2. Si f (x) = 3x entonces f ′ (x) = 2x(ln3)3x

u′ (x) VI. Si f (x) = ln[u(x)] entonces f (x) = , u(x) > 0 u(x) ′

Ejemplo 8.12. Aplicando la f´ormula VI. 1. Si f (x) = ln(1 − 2x) entonces f ′ (x) =

−2 1 − 2x

2. Si g(x) = ln(3x − x2 )3 entonces g ′ (x) =

3(3x − x2 )(3 − 2x) (3 − 2x)3

VII. Si f (x) = logb [u(x)] entonces f ′ (x) =

u′ (x) , u(x) > 0 (ln b)u(x)

Ejemplo 8.13. Aplicando la f´ormula VII. 1. Si f (x) = log5 (1 − x2 ) entonces f ′ (x) =

−2x (1 − x2 ) ln 5

2. Si g(x) = log(1 − 2−x ) entonces g ′ (x) =

−2−x ln2 (1 − 2−x ) ln 10

VIII. Si f (x) = sen u(x) entonces f ′ (x) = [cos u(x)]u′ (x)

Ejemplo 8.14. Aplicando la fórmula VIII. 1. Si f (x) = sen x entonces f ′ (x) = cos x 2. Si f (x) = sen(1 − x2 ) entonces f ′ (x) = −2x cos(1 − x2 ) IX. Si f (x) = cos u(x) entonces f ′ (x) = [− sen u(x)]u′ (x) Ejemplo 8.15. Aplicando la fórmula IX. 1. Si f (x) = cos ex entonces f ′ (x) = −ex sen ex 2. Si f (x) = cos(1 − x2 ) entonces f ′ (x) = 2x sen(1 − x2 ) X. Si f (x) = tan u(x) entonces f ′ (x) = [sec2 u(x)]u′(x) Ejemplo 8.16. Aplicando la fórmula X. 1. Si f (x) = tan

√

1 − x entonces f ′ (x) =

√ −1 1 (1 − x)− 2 sec2 1 − x 2

2. Si f (x) = tan(1 − x2 ) entonces f ′ (x) = −2x sec2 (1 − x2 ) XI. f (x) = cot u(x) entonces f ′ (x) = [− csc2 u(x)]u′(x) Ejemplo 8.17. Aplicando la f´ormula XI. 1. Si f (x) = cot ln(1 − x2 ) entonces f ′ (x) = 2. Si f (x) = cot log sen x entonces f ′ (x) =

−2x csc2 (ln(1 − x2 )) 1 − x2

− cos x csc(log(sen x)) sen x ln 10

XII. f (x) = sec u(x) entonces f ′ (x) = sec u(x) tan u(x)u′ (x) Ejemplo 8.18. Aplicando la f´ormula XII. 1. Si f (x) = sec(1 − x) entonces f ′ (x) = − sec(1 − x) tan(1 − x) XIII. f (x) = csc u(x) entonces f ′ (x) = − csc u(x) cot u(x)u′ (x) Ejemplo 8.19. Aplicando la f´ormula XIII. 1. Si f (x) = arcsen x entonces f ′ (x) = √

1 1 − x2

2. Si f (x) = arcsen e−3x entonces f ′ (x) = p

−3e−3x

1 − [e−3x ]2

−u′ (x) XV. f (x) = arc cos u(x) entonces f ′ (x) = p 1 − [u(x)]2 u′(x) XVI. f (x) = arctan u(x) entonces f ′ (x) = 1 + [u(x)]2 −u′ (x) XVII. f (x) = arccotu(x) entonces f ′ (x) = 1 + [u(x)]2 u′ (x) p XVIII. f (x) = arcsecu(x) entonces f ′ (x) = u(x) [u(x)]2 − 1 −u′ (x) p XIX. f (x) = arccscu(x) entonces f ′ (x) = u(x) [u(x)]2 − 1

Ejemplo 8.20. Sea f (t) = t4 − 5t3 + 9 el desplazamiento en kil´ ometros de un auto en t horas. Encuentre la velocidad en el instante t ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 horas? ¿Cuándo está en reposo el auto? Soluci´ on: La velocidad en el instante t f ′ (t) = 4t3 − 15t2 La velocidad después de 2 y 4 horas f ′ (2) = 4(2)3 − 15(2)2 = −28km/h, f ′ (4) = 4(4)3 − 15(4)2 = 16km/h Un auto está en reposo cuando su velocidad es cero. La primera derivada f ′ (t) = 4t3 − 15t2 = t2 (4t − 15) se anula en t = 0, t = 15/4. El auto se encuentra en reposo a las 0 horas y a las 15/4 horas. Ejemplo 8.21. Sea Q(t) = t2 + 3t + 1 la cantidad de carga eléctrica en Couloms (C) que pasa por un alambre en t horas. Encuentre la corriente cuando t = 1. Soluci´ on: La intensidad de corriente eléctrica Q′ (t) = 2t + 3 en t = 1h Q′ (1) = 2(1) + 3 = 5C/h Ejemplo 8.22. Se sabe que para producir x unidades de juguetes el costo total (soles) estará dado por el siguiente modelo matem´ atico: C(x) = 100 + 4x + 0,02x2 Encuentre el costo marginal en 50 juguetes.

Soluci´ on: El costo marginal C ′ (x) = 4 + 0,04x en x = 50 C ′ (50) = 4 + 0,04(50) = 6soles/juguete

8.2.

Derivada Impl´ıcita

Las funciones que hemos encontrado hasta ahora se pueden describir expresando una variable expl´ıcitamente en t´erminos de otra variable por ejemplo √ x 5 y= , y = x2 + 6 x+1 Sim embargo, algunas funciones se definen impl´ıcitamente por medio de una relaci´on entre x e y, por ejemplo x2 + xy + y 3 = 9,

x2 sen y − 8xy + tan(xy)

Las derivadas de una expresión expl´ıcita se calculan mediante fórmulas de derivación, pero en una expresión impl´ıcita, podemos aplicar el método de derivación impl´ıcita sin ´ necesidad de despejar y. Este consiste en derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x y luego despejar y ′ en la ecuación resultante. dy . Ejemplo 8.23. Si x4 − y 3 + xy = 0 encontrar dx Soluci´ on: Derivando en ambos miembros: x4 − y 3 + xy = 0 4x3 − 3y 2 y ′ + y + xy ′ = 0 Despejamos y ′ de la ecuación resultante y′ =

−4x3 − y −3y 2 + x

Ejemplo 8.24. Si x sen y + cos 2y = cos y encontrar

dy . dx

Soluci´ on: Derivando en ambos miembros: x sen y + cos 2y = cos y sen y + x(cos y)y ′ − 2y ′ sen 2y = −y ′ sen y Despejamos y ′ de la ecuaci´on resultante y′ =

− sen y x cos y − 2 sen 2y + sen y

Ejemplo 8.25. La longitud del largo de un rect´ angulo disminuye a raz´ on de 2 cm/seg mientras que el ancho aumenta a raz´ on de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar: la variación del área del rectángulo la variación del per´ımetro del rect´ angulo Soluci´ on: El procedimiento es deducir una ecuación que relacione las dos cantidades y después aplicar la derivada impl´ıcita. Asignemos un s´ımbolo a las diferentes cantidades que nos mencione el problema L el largo del rectángulo, L = 12cm dL = −2cm/seg la razón o rapidez del largo respecto al tiempo. dt A el ancho del rectángulo, A = 5cm dA = 2cm/seg la razón o rapidez del ancho respecto al tiempo. dt Ar el a´rea del rectángulo, Ar = LA P el per´ımetro del rectángulo, P = 2L + 2A La razón de cambio del área del rectángulo se obtiene por derivación impl´ıcita de la función Ar = AL con respecto al tiempo dAr dL dA =A +L dt dt dt en los puntos L = 12, A = 5 dAr = (5)(−2) + +12(2) = 14cm/seg dt La razón de cambio del per´ımetro del rectángulo se obtiene por derivación impl´ıcita de la función P = 2L + 2A con respecto al tiempo dP dL dA =2 +2 dt dt dt en los puntos L = 12, A = 5 dAr = 2(−2) + 2(2) = 0cm/seg dt Ejemplo 8.26. Un hombre se aleja de un edificio de 30 metros de altura a una velocidad de 1.5 metros por segundo. Una persona en la azotea del edificio observa al hombre alejarse. A qué velocidad varia el ángulo de depresi´ on de la persona de la azotea hacia el hombre, cuando este dista 20 metros de la base del edificio.

Soluci´ on: Asignemos un s´ımbolo a las diferentes cantidades que nos mencione el problema x la distancia de la base del edificio hacia el hombre. La rapidez con que se aleja es

dx = 1,5m/s dt

θ el ańgulo de depresión cuando el hombre se encuentra a 30 metros del edificio. La variación del ángulo de depresión es

dθ dt

Se observa en el tri´angulo que tan θ =

30 , x

y derivando impl´ıcitamente dθ (sec θ) = dt

−30 x2

dθ = dt

−30 cos2 θ x2

Si x = 20

dx dt



2  30 √ −30 dθ  10 13  =  (1,5) dt (20)2

Ejemplo 8.27. Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 5 metros de ancho arriba y 4,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a raz´ on de 5 metros c´ ubicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 3 metros. Soluci´ on: Asignemos un s´ımbolo a las diferentes cantidades que nos mencione el problema 2r la anchura del agua en el cono.

h altura del agua en el cono y

dh raz´on de cambio de la altura del agua dt

V el volumen de agua en el cono. La variaci´on del volumen del agua con respecto al tiempo

dV = 5m3 /min dt

2.5

4.5 r

Las cantidades V y h se relacionan mediante la ecuación 1 V = πr 2 h 3 pero es importante expresar V solo en función de h. Para eliminar r recurrimos a la semejanza de los triángulos r 2,5 5h = −→ r = h 4,5 9 y la ecuación V se transforma en 1 1 V = πr 2 h = π 3 3

5h 9

25πh3 243

Al derivar impl´ıcitamente con respecto a t dV 25π 2 dh = h dt 81 dt De modo que dh 81 dV = dt 25πh2 dt Al sustituir h = 3m y

dV = 5m3 /min, obtenemos dt dh 81 9 = (5) = m/min 2 dt 25π(3) 5π

8.3.

Derivadas de Orden Superior

Definamos:

df dx d2 f f ′′ (x) = dx2 d3 f f ′′′ (x) = dx3 d4 f f (iv) (x) = dx4 .. .. . . f ′ (x)

f (n) (x)

= = =

dn f = dxn

d df dx dx d d2 f dx dx2 d d3 f dx dx3 .. . d d(n−1) f dx dx(n−1)

Ejemplo 8.28. Encontrar la segunda derivada de f (x) = x5 − 6x4 + 9x Soluci´ on: Aplicando f´ormulas y propiedades f ′ (x) = (x5 − 6x4 + 9x)′ = 5x4 − 24x3 + 9 f ′′ (x) = (5x4 − 24x3 + 9)′ = 20x3 − 72x2 Ejemplo 8.29. Encontrar la tercer derivada de f (x) = x ln x Soluci´ on: Aplicando f´ormulas y propiedades f ′ (x) = (x ln x)′ = ln x + x(1/x) f ′′ (x) = (ln x + 1)′ = 1/x f ′′′ (x) = (1/x)′ = −1/x2 Ejemplo 8.30. Encontrar la segunda derivada de f (x) =

√

9 − x2

Soluci´ on: Aplicando f´ormulas y propiedades √ −2x f ′ (x) = ( 9 − x2 )′ = √ 2 9 − x2 √ −x −1 9 − x2 + (x) √ −x 9 − x2 f ′′ (x) = ( √ )′ = 9 − x2 9 − x2

8.4.

L’Hospital

En esta sección presentaremos un método sistemático conocido como Regla de L’Hospital, para la evalución de formas indeterminadas. Caso A: Indeterminaciones 00 , ∞ ∞ f (x) 0 l´ım = x→a g(x) 0 o ∞ f (x) = x→a g(x) ∞ l´ım

Para levantar la indeterminaci´on, la regla de L’Hospital afirma que debemos derivar el numerador y denominador: f ′ (x) f (x) = l´ım ′ x→a g (x) x→a g(x) l´ım

Si otra vez resulta indeterminado, hay que derivar tantas veces hasta llegar a una determinaci´on. f (x) f ′ (x) f ′′ (x) f (n) (x) l´ım = l´ım ′ = l´ım ′′ = . . . = l´ım (n) x→a g(x) x→a g (x) x→a g (x) x→a g (x) Ejemplo 8.31. Hallar los siguientes l´ımites: ex x→∞ x2 l´ım

ex e∞ = = ∞ ∞ x→∞ x2 (∞)2 x ′ (e ) = l´ım 2 ′ x→∞ (x ) ex = l´ım = ∞ ∞ x→∞ 2x (ex )′ = l´ım x→∞ (2x)′ ex = l´ım = ∞ x→∞ 2 l´ım

ex − e−x x→0 sen x l´ım

ex − e−x e0 − e0 = = 00 x→0 sen x sen 0x (e − e−x )′ = l´ım x→0 (sen x)′ ex + e−x = l´ım = 2 x→0 cos x l´ım

sen x − x x→0 x l´ım

sen x − x sen 0 − 0 = = 00 x→0 x 0 (sen x − x)′ = l´ım x→0 (x)′ cos x − 1 = l´ım = 0 x→0 1 l´ım

ln sen 2x x→0 ln sen x l´ım

ln sen 2x ln sen 0 = x→0 ln sen x ln sen 0 l´ım

−∞ −∞

0 0

2 cos 2x ) 2x = l´ım sen cos x x→0 sen x (

2 cos 2x sen x x→0 cos x sen 2x

= l´ım

−4 sen 2x sen x + 2 cos 2x cos x = x→0 − sen x sen 2x + 2 cos x cos 2x

= l´ım

Caso B: Indeterminaci´on 0.∞ l´ım f (x)g(x) = 0.∞ = ∞ · 0

x→a

Para levantar la indeterminaci´on, la regla de L’Hospital afirma que debemos ex∞ 0 presarlo en la forma ∞ , 0: l´ım f (x)g(x) = l´ım

x→a

f (x) 1 g(x)

0 0

∞ ∞

o l´ım f (x)g(x) = l´ım

x→a

Ejemplo 8.32. Hallar el l´ımite:

x→a

g(x) 1 f (x)

l´ım x ln sen x

x→0

l´ım x ln sen x = 0 ln sen 0

= 0(−∞)

x→0

ln sen x 1 x→0 x

∞ ∞

−x2 cos x = x→0 sen x −2x cos x + x2 sen x = l´ım = x→0 cos x

0 0 0

= l´ım

cos x = l´ım sen x x→0 −1 x2 = l´ım

l´ım xe−x

x→∞

l´ım xe−x = ∞e−∞

x→∞

= ∞·0

l´ım

x = x→∞ ex

∞ ∞

1 = x→∞ ex

l´ım

Caso C: ∞ − ∞ Para levantar la indeterminaci´on, la regla de L’Hospital afirma que 0 debemos expresarlo en la forma : 0     1 1  1  g(x) − f (x)  0 1    = l´ım (f (x) − g(x)) = l´ım  − = l´ım  1 1  x→x0  1 1  0 x→x0 x→x0 . f (x) g(x) f (x) g(x) Ejemplo 8.33. Hallar el l´ımite:

1 x l´ım − x→1 ln x ln x x 1 1 1 l´ım − = − x→1 ln x ln x ln 1 ln 1 =

= = = = l´ım

x→1

= ∞−∞



 ln x − ln x 0   l´ım  x =  ln x x→1 0 . ln x x   (1/x)x − ln x − (1/x)   x2 l´ım   x→1 ln x (1/x)x − ln x ln x + .(1/x) x2 x   1 − ln x − x   x2 l´ım   x→1 2 ln x − (ln x)2 x2 0 1 − ln x − x l´ım = x→1 2 ln x − (ln x)2 0 (−1/x) − 1 l´ım x→1 2(1/x) − 2(ln x)(1/x) −1 − x l´ım = −1 x→1 2 − 2(ln x)

1 1 − ln x x − 1 1 1 1 1 l´ım − = − x→1 ln x x − 1 ln 1 1 − 1

(x − 1) − ln x x→1 (x − 1) ln x

= l´ım

x→1

= ∞−∞ =

0 0

1 2

1 − 1/x ln x + (x − 1)(1/x)

x−1 x→1 x ln x + (x − 1) 1 = l´ım x→1 ln x + x(1/x) + 1 1 = l´ım x→1 ln x + 2 = l´ım

Caso D: Indeterminaciones 1∞ , ∞0 , 00

l´ım f (x)g(x) = 1∞ , l´ım f (x)g(x) = ∞0 , l´ım f (x)g(x) = 00

x→x0

Para levantar la indeterminaci´on, la regla de L’Hospital afirma que debemos expresarlo en la forma 0.∞, l´ım f (x)g(x) = l´ım eg(x) ln f (x) = e0.∞

x→x0

Ejemplo 8.34. Hallar l´ım+ xsen x x→0

l´ım+ xsen x = 00 −→ l´ım+ esen x ln x = e0.∞

x→0

Basta con calcular l´ım sen x ln x = 0.∞

x→0+

= =

l´ım+

(ln x)′ (sec x)′

l´ım+

1/x sec x tan x

l´ım+

1 = 1/0 = +∞ x sec x tan x

x→0

Luego l´ım+ xsen x = e∞ = ∞

x→0

Ejemplo 8.35. Hallar l´ım (1 − 2x)1/x x→0

l´ım (1 − 2x)1/x = 1∞ −→ l´ım e(1/x) ln(1−2x) = e0.∞

x→0

Basta con calcular l´ım (1/x) ln(1 − 2x) = 0.∞

x→0

(ln(1 − 2x))′ x→0 (x)′

= l´ım

−2/(1 − 2x) x→0 1

= l´ım

−2 = −2/1 = −2 x→0 1 − 2x

= l´ım Luego

l´ım (1 − 2x)1/x = e−2

x→0

8.5.

M´ aximos y M´ınimos

Numerosos problemas prácticos nos exigen minizar un costo o maximizar un área, o de alguna manera, encontrar el mejor resultado en alguna situación. Aprenderemos cómo las derivadas nos ayudan a localizar los valores máximos y m´ınimos de las funciones. Definici´ on 48. Una función tiene un m´ aximo absoluto (global) en x = a si f (a) ≥ f (x), para todo x ∈ dom(f ) Definici´ on 49. Una función tiene un m´ınimo absoluto (global) en x = a si f (a) ≤ f (x), para todo x ∈ dom(f ) 12 10 8 6

4 2 0 −2 −4

Máximo Mínimo

−6 0

Mínimo 20

En la figura se observan los m´aximos y m´ınimos de una funci´on. Ejemplo 8.36. Por ejemplo f (x) = 3x2 − 12x + 5

Figura 8.1: M´aximos y M´ınimos Tiene un m´ınimo en x = 2

60 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −3

−2

−1

Figura 8.2: M´aximos y M´ınimos x x+1 No tiene m´aximos ni m´ınimos f (x) =

Observaci´ on 20. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza su máximo y m´ınimo en alg´ un punto de dicho intervalo Nos es tan sencillo calcular valores máximos y m´ınimos de una función con la definición, es por esto, que estudiaremos el criterio de la segunda derivada, este criterio nos permite a través de la segunda derivada calcular valores máximos y m´ınimos de una manera rápida y sencilla. Iniciemos el estudio con la definición de punto cr´ıtico. Definici´ on 50. Un n´ umero a ∈ dom(f ) es cr´ıtico si f ′ (a) = 0 o f ′ (a) no existe Ejemplo 8.37. Sea f (x) = x2 + 4x + 5 con dom(f ) = R y derivada f ′ (x) = 2x + 4 La derivada se anula en el punto x = −2 y este punto pertenece al dominio de la función. Entonces f tiene un punto cr´ıtico en x = −2 √ Ejemplo 8.38. Sea f (x) = x − 3 con dom(f ) = [3, +∞ > y derivada 1 f ′ (x) = √ 2 x−3 La derivada no está definida en x = 3 pero este punto pertenece al dominio de la función. Entonces f tiene un punto cr´ıtico en x = 3 x Ejemplo 8.39. Sea f (x) = con dom(f ) = R − {−1} y derivada x+1 f ′ (x) =

x′ (x + 1) − x(x + 1)′ 1 = 2 (x + 1) (x + 1)2

La derivada no est´a definida en x = −1, y este punto no pertenece al dominio de f. Entonces f no tiene puntos cr´ıticos.

Observaci´ on 21 (Criterio de la segunda Derivada:). Si x = a es un punto cr´ıtico de la funci´on f : R → R y si f ′′ (a) > 0 entonces f tiene un valor m´ınimo en x = a f ′′ (a) < 0 entonces f tiene un valor m´ aximo en x = a f ′′ (a) = 0 entonces no se puede afirmar que f tiene un valor m´ınimo o m´ aximo. Ejemplo 8.40. Sea f (x) = x4 − 4x2 + 2 con dominio dom(f ) = R y derivadas f ′ (x) = 4x3 − 8x, f ′′ (x) = 12x2 − 8 √ √ Los puntos x = 0, x = 2, x = − 2 son puntos cr´ıticos de f pues, √ √ f ′ (x) = 4x3 − 8x = (4x)(x − 2)(x + 2) = 0. Por el criterio de la segunda derivada 2 f ′′ (0) = 12(0)√ − 8 = −8 < 0 f tiene un m´ aximo en x = √ 0 √ ′′ 2 f ( √ 2) = 12( 2)√− 8 = 16 > 0 f tiene un m´ınimo en x = √ 2 2 ′′ f (− 2) = 12(− 2) − 8 = 16 > 0 f tiene un m´ınimo en x = − 2

Ejemplo 8.41. Sea f (x) =

√

x − 4 con dominio dom(f ) = [4, ∞ > y derivadas

1 −1 f ′ (x) = √ , f ′′ (x) = √ 2 x−4 4( x − 4)3 La primera derivada no est´a definida en x = 4 pero este punto pertenece al dominio de la funci´on, entonces f tiene un punto cr´ıtico en x = 4 Por el criterio de la segunda derivada f ′′ (4) =

−1 no existe 4( 4 − 4)3 √

Por tanto f no tiene valor m´aximo ni valor m´ınimo Ejemplo 8.42. Sea f (x) =

1 + x2 con dominio dom(f ) = R − {−1, 1} y derivadas 1 − x2

f ′ (x) =

4x 4(−x2 + 4x + 1) ′′ , f (x) = (1 − x2 )2 (1 − x2 )3

El punto x = 0 anula la primera derivada y f ′ no est´ a definida de x = 1, x = −1 entonces x = 0 es punto cr´ıtico de f. Y por el criterio de la segunda derivada. f ′′ (0) =

4(−(0)2 + 4(0) + 1) = 4 > 0 f tiene un m´ınimo en x = 0 (1 − (0)2 )3

Los valores máximo y m´ınimos de funciones tienen aplicaciones prácticas en muchas a´reas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar los costos y maximizar sus utilidades. Un f´ısico quiere conocer la velocidad máxima o m´ınima de un objeto. Un qu´ımico quiere maximizar o minimizar la concentración de un reactivo, etc. Ahora resolveremos problemas que involucren valores máximos y m´ınimos. Ejemplo 8.43. De una lámina rectangular de 120 m.× 75 m. Se desea construir una caja sin tapa del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea m´ aximo? ¿Cu´ al es el volumen m´ aximo que puede contener? Soluci´ on: Solución: Se desea construir una caja sin tapa con la lámina rectangular. La longitud de los lados del cuadrado la desconocemos, asi que le asignamos un valor x. X

120-2X

X 75-2x X

Una vez recortados los cuadraditos, doblaremos los contornos para formar la cajita. Las dimensiones de la base de la cajita son 120−2x y 75−2x. Como la cajita tiene la forma de un paralelep´ıpedo, el volumen de la cajita corresponde al volumen del paralelep´ıpedo (largo x ancho x altura), V (x) = (120 − 2x)(75 − 2x)x = 4x3 − 390x2 + 9000x El problema nos pide calcular las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo, entonces debemos calcular los valores donde la función volumen es máxima. Para ello calculamos las derivadas V ′ (x) = 12x2 − 780x + 9000,

V ′′ (x) = 24x − 780

La primera derivada se anula en los puntos x = 50 y x = 15. Descartamos x = 50, pues hace negativa a la expresión 75 − 2x y no podemos tener longitudes negativas, entonces el punto cr´ıtico es x = 15. Por el criterio de la segunda derivada V ′′ (15) = −420 < 0, V tiene un máximo en x = 15 Luego las dimensiones de la caja para que el volumen se máximo deben ser 120 − 2(15) = 90m. 75 − 2(15) = 35m. El volumen máximo resulta de reemplazar x = 15 en la función V (15) = (120 − 2(15))(75 − 2(15))(15) = 90(35)(15) = 47250m3

Ejemplo 8.44. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba entonces su altura después de t segundos es s(t) = 80t − 16t2 ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? Soluci´ on: El problema nos pide calcular la altura máxima, entonces debemos calcular los valores donde la función es máxima. Para ello calculamos las derivadas s′ (t) = 80 − 32t,

s′′ (t) = −32

s(t)

La primera derivada se anula en el punto x = 5/2, que corresponde al punto cr´ıtico. Por el criterio de la segunda derivada s′′ (5/2) = −32 < 0, s tiene un máximo en x = 5/2 Luego la altura máxima ocurre en el punto x = 5/2 y su valor máximo es s(5/2) = 80(5/2) − 16(5/2)2 = 100m. Ejemplo 8.45. El costo promedio por unidad (en miles de soles) al producir x varillas de fierro es C(x) = 20 − 0,06x + 0,0002x2 ¿Qué n´ umero de varillas de fierro producidas minimizar´ıan el costo promedio? ¿Cuál es el correspondiente costo m´ınimo por unidad? Soluci´ on: El problema nos pide calcular el costo m´ınimo correspondiente, entonces debemos calcular los valores donde la función es m´ınima. Para ello calculamos sus derivadas C ′ (x) = −0,06 + 0,0004x,

C ′′ (x) = 0,0004

La primera derivada se anula en x = 150, que corresponde al punto cr´ıtico. Por el criterio de la segunda derivada C ′′ (150) = 0,0004 > 0, C tiene un m´ınimo en x = 150. Luego 150 varillas minimizan el costo y el costo m´ınimo es C(150) = 15,5 miles de soles.

8.6.

Ejercicios Propuestos

1. Encuentre la derivada de la funci´on dada aplicando la definici´on de derivada. √ a) f (x) = 5x + 4 d ) f (x) = x + x b) f (x) = x3 − x2 + 2x c) f (x) =

4−3x 2+x

e) f (x) = x4 √ f ) f (x) = 1 + 2x

2. Derive la funci´on a) f (x) = 5x − 1

b) f (x) = x2 + 3x − 4

f ) f (x) = 4π 5 g) f (x) = ex+1 + 5

c) f (x) = 5ex + 3

h) f (x) = x2 + 2ex

d ) f (x) = x2 + 4x5 − 7 √ e) f (x) = 3 x

i ) f (x) = x− 5 √ √ 3 j ) f (x) = x2 + 2 x3

3. Derive la funci´on e) f (x) =

1 x4 +x2 +1

f ) f (x) =

ex x+ex

g) f (x) =

ax+b cx+d

h) f (x) =

u2 −u−2 u+1

a) f (x) = x − 3 sen x

e) f (x) =

tan x−1 sec x

b) f (x) = sen x + cos x

f ) f (x) = x sen x cos x

c) f (x) = 4 sec x + tan x

g) f (x) = csc x cot x

a) f (x) = x2 ex √ b) f (x) = xex c) f (x) =

x+2 x−1

d ) f (x) = (x3 − x + 1)(x−2 + 2x−3 ) 4. Derive la funci´on

d ) f (x) =

sen x x2

h) f (x) = cos x + ex sen x

5. Derive la funci´on a) f (x) = ln(2 − x)

b) f (x) = log3 (x2 − 4) c) f (x) = cos(ln x)

d ) f (x) =

1+ln x 1−ln x x

e) f (x) = 2 + 5 6. Derive la funci´on

f ) f (x) = 4x

3 +2x+6

g) f (x) = ln(x +

√

x2 − 1)

h) f (x) = log7 (x3 − 6x + 8) q i ) f (x) = log3 ( 3x+2 ) 3x−2

a) f (x) = (3x + 1)6 (5x2 − 7)3

c) f (x) =

(3x2 −1)5 (x3 +8)3

b) f (x) = (2x5 + 3x + 8)3 (x + 1)4

d ) f (x) =

(x4 +5)3 (5x3 +3x)2

7. Derive la funci´on a) f (x) = sen(e(2x

3 +6)3

)

b) f (x) = tan( eex −1 ) +1 c) f (x) = 3e

3x+5

cos(2x−1) d ) f (x) = ln( sen(5x 2 +3) )

e) f (x) = (log6 (3x3 + 2))5 x2 +5

+ e4

x+1

e f ) f (x) = sec3 ( 2x+3 )

8. Halle los valores m´aximo y/o m´ınimo de las siguientes funciones sobre el intervalo dado a) f (x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3]

d ) f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 15

c) f (x) = 2x3 + 3x2 + 4, [−2, 1]

f ) f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 24

b) f (x) = x3 − 3x + 1, [0, 3]

8.7.

e) f (x) = 5x2 + 10x − 9

Problemas Aplicativos

1. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadrangular, a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadrados de sus esquinas y doblando las pesta˜ nas sobrantes para que sean su altura. Calcular las dimensiones de la caja de mayor volumen. 2. Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de sus lados, ya que el cuarto lado estará limitado por el cause de un r´ıo. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada? 3. Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de sus lados, ya que el cuarto lado estará limitado por el cause de un r´ıo. ¿De qué medidads deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada? 4. Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular po sus cuatro lados. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada? 5. Se deben construir envases cil´ındricos de bebida con capacidad de 300 cm3 . Calcular las dimensiones que deben tener para que su costo sea m´ınimo. 6. Con un rollo de 270 metros de alambrada se deben construir dos corrales adyacentes idénticos. Calcular las dimensiones que debe tener el cercado para que el área abarcada sea máxima

7. Se debe construir una ventana que tenga 15 unidades de per´ımetro, cuya forma sea un rect´angulo y un semic´ırculo sobre su parte superior. Calcular las dimensiones que debe tener para que permita el m´aximo paso de luz.

Cap´ıtulo 9 ´ INTEGRACION La integración es un concepto fundamental de las matemáticas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático, es muy com´ un en la ingenier´ıa y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y vol´ umenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por cient´ıficos como Arqu´ımedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este u ´ ltimo y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. La palabra “integral”también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F (x), cuya derivada es la función f (x). Ejemplo 9.1. Una primitiva de la funci´ on f (x) = x, es la funci´ on F (x) = x2 /2 ya que d(x2 /2) = x, para todo x ∈ R dx Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que f (x) = x tendrá un n´ umero infinito de primitivas tales como x2 /2, x2 /2 + 15, x2 /2 − 61 Es más, cualquier primitiva de la funci´ on f (x) = x ser´ a de la forma F (x) = x2 /2 + C donde C es una constante conocida. El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Si F (x) es una primitiva de una función f (x), el conjunto de sus primitivas es F (x) + C, donde C es una constante. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f (x) y se representa como: Z f (x)dx 170

Se lee: “La integral definida de f (x) con respecto a la variable x” Se enuncian las principales primitivas de una funci´on de variable real con sus respectivos ejemplos

9.1.

F´ ormulas de integraci´ on

F´ ormula 1: I.

1dx = x + C

F´ ormula 2: Z [u(x)]n+1 II. [u(x)]n d(u(x)) = + C, n 6= −1 n+1 Ejemplo 9.2. Hallar

xdx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x, n = 1 d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z x2 1 xdx = [x] (1)dx = +C |{z} | {z } 2 u(x)n d(u(x))

Ejemplo 9.3. Hallar

x9 dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x, n = 9 d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z x10 9 x dx = [x]9 (1)dx = +C |{z} | {z } 10 u(x)n d(u(x))

Ejemplo 9.4. Hallar

x−5 dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x, n = −5 d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx

Z Ejemplo 9.5. Hallar

−5

x dx =

Z √ 5

x2 dx

[x]−5 (1)dx = | {z } | {z } u(x)n d(u(x))

x−4 +C −4

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x, n = 2/5 d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z 5x7/5 x7/5 2/5 x dx = [x]2/5 (1)dx = +C = +C | {z } | {z } 7/5 7 u(x)n d(u(x))

Ejemplo 9.6. Hallar

(sen x)3 cos xdx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = sen x, n = 3 d(u(x)) = cos x → d(u(x)) = cos xdx dx Z Z sen4 x 3 (sen x) cos xdx = [sen x]3 (cos x)dx = +C | {z } | {z } 4 u(x)n

Ejemplo 9.7. Hallar

d(u(x))

ln5 x dx x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = ln x, n = 5 d(u(x)) 1 1 = → d(u(x)) = dx dx x x Z Z Z ln5 x 1 1 ln6 x 5 5 dx = ln x dx = [ln x] dx = +C | {z } x x x 6 u(x)n | {z } d(u(x))

F´ ormula 3:

Z 1 [u(x)] III. a[u(x)] d[u(x)] = a +C ln a Ejemplo 9.8. Hallar

2x dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z 1 x x x 2 dx = 2 (1) dx = 2 +C |{z} | {z } ln 2 u(x) a

Ejemplo 9.9. Hallar

d(u(x))

3x−5 dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x − 5 d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z 1 x−5 x−5 x−5 3 dx = 3|{z} (1) dx = 3 +C | {z } ln 3 u(x) a

Ejemplo 9.10. Hallar

d(u(x))

5−3x+4 (−3)dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = −3x + 4 d(u(x)) = −3 → d(u(x)) = −3dx dx Z Z 1 −3x+4 −3x+4 5 (−3)dx = 5| −3x+4 dx = 5 +C {z } (−3) | {z } ln 5 u(x) a

Ejemplo 9.11. Hallar

d(u(x))

9sen x cos xdx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = sen x d(u(x)) = cos x → d(u(x)) = cos xdx dx Z Z 1 sen x sen x x 9 cos xdx = 9| sen x) dx = 9 +C {z } (cos | {z } ln 9 u(x) a

Ejemplo 9.12. Calcular

2log(x/3) dx x

d(u(x))

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = log(x/3) d(u(x)) = 1/x → d(u(x)) = (1/x)dx dx Z log(x/3) Z 2 1 1 log(x/3) log(x/3) dx = 2| {z } dx = 2 +C x x ln 2 u(x) | {z } a d(u(x))

Ejemplo 9.13. Hallar Z

u(x)

eu(x) d(u(x))

d(u(x)) =

F´ ormula 4:

1 u(x) u(x) e|{z} (d(u(x))) = e + C = eu(x) + C | {z } ln e u(x) a

d(u(x))

IV.

eu(x) d[u(x)] = eu(x) + C

d[u(x)] = ln |u(x)| + C u(x)

F´ ormula 5:

Ejemplo 9.14. Hallar

1 dx x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = dx dx d(u(x))

Z Ejemplo 9.15. Hallar

Z z}|{ 1 1dx dx = x x |{z}

= ln |x| + C

u(x)

cos x dx sen x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = sen x d(u(x)) = cos x → d(u(x)) = cos xdx dx

d(u(x))

Z z }| { cos x cos xdx dx = = ln | sen x| + C sen x sen | {z x} u(x)

Ejemplo 9.16. Hallar

1 dx x ln x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = ln x 1 1 d(u(x)) = → d(u(x)) = dx dx x x d(u(x))

Z z }| { 1 (1/x)dx dx = = ln | ln x| + C x ln x ln x |{z}

u(x)

F´ ormula 6:

VI.

Ejemplo 9.17. Hallar

sen[u(x)]d[u(x)] = − cos[u(x)] + C

4 sen 4x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = 4x d(u(x)) = 4 → d(u(x)) = 4dx dx Z Z 4 sen 4xdx = sen |{z} 4x (4) dx = − cos 4x + C | {z } u(x) d(u(x))

Ejemplo 9.18. Hallar

sen x/5 5

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x/5 d(u(x)) dx = (1/5) → d(u(x)) = dx dx 5 Z Z sen x/5 dx = sen x/5 (1/5) dx = − cos x/5 + C |{z} | {z } 5 u(x)

d(u(x))

Ejemplo 9.19. Hallar

3x2 sen x3

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x3 , d(u(x)) = 3x2 → d(u(x)) = 3x2 dx dx Z Z 2 3 3x sen x dx = sen |{z} x3 3x2 dx = − cos x3 + C | {z } u(x)

d(u(x))

F´ ormula 7:

VII.

Ejemplo 9.20. Hallar

cos[u(x)]d[u(x)] = sen[u(x)] + C

4 cos 4x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = 4x d(u(x)) = 4 → d(u(x)) = 4dx dx Z Z 4 cos 4xdx = cos |{z} 4x (4) dx = sen 4x + C | {z } u(x) d(u(x))

Ejemplo 9.21. Hallar

cos x/5 5

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x/5 d(u(x)) dx = (1/5) → d(u(x)) = dx dx 5 Z Z cos x/5 dx = cos x/5 (1/5) dx = sen x/5 + C |{z} | {z } 5 u(x)

Ejemplo 9.22. Hallar

d(u(x))

3x2 cos x3

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x3 , d(u(x)) = 3x2 → d(u(x)) = 3x2 dx dx

3x cos x dx =

F´ ormula 8: VIII.

Ejemplo 9.23. Hallar

cos |{z} x3 3x2 dx = sen x3 + C | {z } u(x)

d(u(x))

tan[u(x)]d[u(x)] = − ln | cos[u(x)]| + C

5 tan 5x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = 5x, d(u(x)) = 5 → d(u(x)) = 5dx dx Z Z 5 tan 5xdx = tan |{z} 5x (5) dx = − ln | cos 5x| + C | {z } u(x) d(u(x))

Ejemplo 9.24. Hallar

5x4 tan x5

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x5 , d(u(x)) = 5x4 → d(u(x)) = 5x4 dx dx Z Z 4 5 5x tan x dx = tan |{z} x5 5x4 dx = − ln | cos x5 | + C | {z } u(x)

Ejemplo 9.25. Hallar

d(u(x))

tan(ln x) x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = ln x, d(u(x)) 1 = → d(u(x)) = (1/x)dx dx x Z Z tan(ln x) dx = tan |{z} ln x (1/x) dx = − ln | cos(ln x)| + C | {z } x u(x)

d(u(x))

F´ ormula 9:

IX.

cot[u(x)]d[u(x)] = ln | sen[u(x)]| + C

Ejemplo 9.26. Hallar

5 cot 5x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = 5x, d(u(x)) = 5 → d(u(x)) = 5dx dx Z Z 5 cot 5xdx = cot |{z} 5x (5) dx = ln | sen 5x| + C | {z } u(x) d(u(x))

Ejemplo 9.27. Hallar

5x4 cot x5

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x5 , d(u(x)) = 5x4 → d(u(x)) = 5x4 dx dx Z Z 4 5 5x cot x dx = cot |{z} x5 5x4 dx = ln | sen x5 | + C | {z } u(x)

Ejemplo 9.28. Hallar

d(u(x))

cot(ln x) x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = ln x, d(u(x)) 1 = → d(u(x)) = (1/x)dx dx x Z Z cot(ln x) dx = cot |{z} ln x (1/x) dx = ln | sen(ln x)| + C | {z } x u(x)

d(u(x))

F´ ormula 10:

sec[u(x)]d[u(x)] = ln | sec[u(x)] + tan[u(x)]| + C

Ejemplo 9.29. Hallar

sec x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x, d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx

sec xdx =

Ejemplo 9.30. Hallar

sec |{z} x (1) dx = ln | sec x + tan x| + C | {z } u(x) d(u(x))

2x sec x2

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x2 , d(u(x)) = 2x → d(u(x)) = 2xdx dx Z Z 2 sec x dx = sec |{z} x2 (2x) dx = ln | sec x2 + tan x2 | + C | {z } u(x)

Ejemplo 9.31. Hallar

d(u(x))

−2x−3 sec(1/x2 )

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = 1/x2 , d(u(x)) = −2x−3 → d(u(x)) = −2x−3 dx dx Z Z −3 2 −2x sec(1/x )dx = sec 1/x2 −2x−3 dx = ln | sec(1/x2 ) + tan(1/x2 )| + C |{z} | {z } u(x)

d(u(x))

F´ ormula 11:

XI.

csc[u(x)]d[u(x)] = − ln | csc[u(x)] + cot[u(x)]| + C

Ejemplo 9.32. Hallar

csc x

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x, d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z csc xdx = csc |{z} x (1) dx = − ln | csc x + cot x| + C | {z } u(x) d(u(x))

Ejemplo 9.33. Hallar

2x csc x2

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x2 , d(u(x)) = 2x → d(u(x)) = 2xdx dx Z Z 2 csc x dx = csc |{z} x2 (2x) dx = − ln | csc x2 + cot x2 | + C | {z } u(x)

Ejemplo 9.34. Hallar

d(u(x))

−2x−3 csc(1/x2 )

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = 1/x2 , d(u(x)) = −2x−3 → d(u(x)) = −2x−3 dx dx Z

−3

−2x

csc(1/x )dx =

F´ ormula 12: XII.

Ejemplo 9.35. Hallar

csc 1/x2 −2x−3 dx = − ln | csc(1/x2 ) + cot(1/x2 )| + C |{z} | {z } u(x)

d(u(x))

sec2 [u(x)]d[u(x)] = tan[u(x)] + C

sec2 (x)

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x, d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z 2 sec (x)dx = sec2 (x) (1) dx = tan x + C |{z} | {z } u(x) d(u(x))

Ejemplo 9.36. Hallar

3 sec2 (3x + 5)

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = 3x + 5, d(u(x)) = 3 → d(u(x)) = 3dx dx

3 sec (3x + 5)dx =

F´ ormula 13: XIII.

Ejemplo 9.37. Hallar

sec2 (3x + 5) (3) dx = tan(3x + 5) + C | {z } | {z } u(x)

d(u(x))

csc2 [u(x)]f (x)d[u(x)] = − cot[u(x)] + C

csc2 (x)

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = x, d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z 2 csc (x)dx = csc2 (x) (1) dx = − cot x + C |{z} | {z } u(x) d(u(x))

Ejemplo 9.38. Hallar

3 csc2 (3x + 5)

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula:u(x) = 3x + 5, d(u(x)) = 3 → d(u(x)) = 3dx dx Z Z 2 3 csc (3x + 5)dx = csc2 (3x + 5) (3) dx = − cot(3x + 5) + C | {z } | {z } u(x)

d(u(x))

F´ ormula 14:

XIV.

Ejemplo 9.39. Hallar

csc2 [u(x)]f (x)d[u(x)] = − cot[u(x)] + C

−2 sec(−2x + 1) tan(−2x + 1)dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = −2x + 1, d(u(x)) = −2 → d(u(x)) = −2dx dx

−2 sec(−2x + 1) tan(−2x + 1)dx = =

Ejemplo 9.40. Hallar

sec(−2x + 1) tan (−2x + 1) (−2) dx | {z } | {z } u(x)

d(u(x))

sec(−2x + 1) + C

sec(x) tan(x)dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x, d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z sec(x) tan(x)dx = sec(x) tan (x) (1) dx = sec(x) + C |{z} | {z } u(x) d(u(x))

F´ ormula 15:

XV.

csc[u(x)]cot[u(x)]d[u(x)] = − csc[u(x)] + C

Ejemplo 9.41. Hallar

−2 csc(−2x + 1) cot(−2x + 1)dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = −2x + 1, d(u(x)) = −2 → d(u(x)) = −2dx dx Z Z −2 csc(−2x + 1) cot(−2x + 1)dx = csc(−2x + 1) cot (−2x + 1) (−2) dx | {z } | {z } u(x)

Ejemplo 9.42. Hallar

− csc(−2x + 1) + C

csc(x) cot(x)dx

Soluci´ on: Reconocemos los elementos de la f´ormula: u(x) = x, d(u(x)) = 1 → d(u(x)) = 1dx dx Z Z csc(x) cot(x)dx = csc(x) cot (x) (1) dx = − csc(x) + C |{z} | {z } u(x) d(u(x))

d(u(x))

A continuación Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales indefinidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad. Teorema 2 (Propiedades). : Si f (x), g(x) dos funciones reales de variable real y k una constante real entonces se cumple Z Z kf (x)dx = k f (x)dx Z

(f (x) + g(x))dx =

f (x)dx +

(f (x) − g(x))dx = f (x)dx − Z Ejemplo 9.43. Calcular x3 − 5ex dx

g(x)dx g(x)dx

Soluci´ on:

x − 5e dx =

Ejemplo 9.44. Calcular Soluci´ on: Z

cos x + x dx = =

Ejemplo 9.45. Calcular

x dx − 5

5ex dx Z

ex dx

− 5ex + C

cos x + x4 dx

x dx −

x4 4

= Z

cos xdx − sen x −

x5 5

x4 dx

tan(8x)dx

Soluci´ on: En este ejemplo, se utilizar´an la f´ormula , donde u(x) = 8x y d(u(x)) = 8dx y la propiedad 1

tan(8x)dx = =

(1/8)(8) tan(8x)dx

(1/8)

8 tan(8x)dx

= (1/8)(− ln | cos(8x)|) + C

Ejemplo 9.46. Calcular

√

5x dx 3x2 + 7

Soluci´ on: En este ejemplo, se utilizar´an la f´ormula 2, donde u(x) = 3x2 + 7 y d(u(x)) = 6xdx y la propiedad 1 Z

5x √ dx = 3x2 + 7

5x (1/6)(6) √ dx 3x2 + 7 Z 6x = (5/6) √ dx 3x2 + 7 Z = (5/6) (6x)(3x2 + 7)−1/2 dx =

(3x2 + 7)1/2 (5/6) 1/2

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Mencionemos algunos

9.2.

Integraci´ on por cambio de variable o por sustituci´ on

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Procedimiento Pr´ actico: a) Se hace el cambio de variable x = µ(t) b) Se diferencia en dos t´ erminos: dx = µ′ (t)dt c) Se despeja x y el diferencial dx si fuera posible R R d) Sustituimos en la integral: I = f (x)dx = f [µ(t)]µ(t)dt e) Si la integral resultante es m´ as sencilla, integramos. f ) Regresamos a la variable inicial x

Ejemplo 9.47. Hallar I =

e4x dx

Soluci´ on: a) Se hace el cambio de variable x =

t 4

1 b) Se diferencia en dos t´erminos: dx = dt 4 c) No es necesario despejar x y dx d) Sustituimos en la integral: I=

e dx =

1 e4(t/4) dt 4

e) Si la integral resultante es m´as sencilla, integramos. Z Z 1 4x et dt I = e dx = 4 | {z } Form 4

et + C

f) Regresamos a la variable inicial x x=

t → t = 4x 4

I = e4x + C Ejemplo 9.48. Calcular

Z √

1 − x2 dx

Soluci´ on: a) Se hace el cambio de variable x = sen(t) b) Se diferencia en dos t´erminos: dx = cos(t)dt c) x y el diferencial dx est´an despejados Z √ Z p 2 d) Sustituimos en la integral: I = 1 − x dx = 1 − (sen t)2 cos tdt

e) Si la integral resultante es m´as sencilla, integramos. Z √ Z p 2 I= 1 − x dx = 1 − (sen t)2 cos tdt =

(cos t) cos tdt Z

= = =

(cos t)2 dt

cos 2t + 1 dt 2 Z (1/2) cos 2t + 1dt | {z } Form 7 y 2

sen 2t = (1/2) +t +C 2 f) Regresamos a la variable inicial x x = sen t → t = arc sen x sen 2(arc sen x) I = (1/2) + arc sen x + C 2 Z 1 √ Ejemplo 9.49. Calcular dx 3x + 5 Soluci´ on: a) Se hace el cambio de variable x =

t−5 3

1 b) Se diferencia en dos t´erminos: dx = dt 3 c) No es necesario despejar x ni dx Z Z 1 1 dt √ √ d) Sustituimos en la integral: I = dx = 3x + 5 t3

e) Si la integral resultante es m´as sencilla, integramos. Z Z 1 1 dt √ √ I= dx = 3x + 5 t3 Z 1 = t−1/2 dt 3 | {z } Form 2

1 t1/2 +C 3 1/2

f) Regresamos a la variable inicial x t−5 → t = 3x + 5 3

x= I= Ejemplo 9.50. Hallar I =

1 (3x + 5)1/2 +C 3 1/2

ln x dx x

Soluci´ on: a) Se hace el cambio de variable t = ln x b) Se diferencia en dos t´erminos: dt =

1 dx x

c) No es necesario despejar x y dx d) Sustituimos en la integral: I=

ln x dx = x

1 ln x dx = x

e) Si la integral resultante es m´as sencilla, integramos. Z Z ln x I= dx = tdt x | {z }

Form f2

t2 +C 2

f) Regresamos a la variable inicial x I=

(ln x)2 +C 2

tdt

Ejemplo 9.51. Hallar I = Soluci´ on:

sen ax dx donde a ∈ R − {0}

a) Se hace el cambio de variable t = ax b) Se diferencia en dos t´erminos: dt = adx c) Despejamos dx =

dt a

d) Sustituimos en la integral: Z

sen axdx =

sen t

dt a

e) Si la integral resultante es m´as sencilla, integramos. Z Z 1 I = sen axdx = sen tdt a | {z } Form 6

1 (− cos t) + C a

f) Regresamos a la variable inicial x 1 I = (− cos ax) + C a Ejemplo 9.52. Hallar I =

2 +4x+3

(x + 2)dx

Soluci´ on: Se hace el cambio de variable t = x2 + 4x + 3 → dt = 2x + 4dx = 2(x + 2)dx →

dt = (x + 2)dx 2

Sustituimos I=

x2 +4x+3

(x + 2)dx =

dt et 2 | {z } Form 4

= Regresamos la variable original 1 2 I = (ex +4x+3 ) + C 2

1 t (e ) + C 2

Ejemplo 9.53. Hallar I =

Z √

1 + 3 cos2 x sen 2xdx

Soluci´ on: Se hace el cambio de variable t = 1 + 3 cos2 x → dt = 3(2) cos x sen xdx →

dt = sen 2xdx 3

Sustituimos I=

Z √

3 cos2

x sen 2xdx =

Z √ dt t 3 | {z } Form 2

1 = 3 Regresamos la variable original 1 I= 3

9.3.

(1 + 3 cos2 x)3/2 3/2

t3/2 3/2

Integral Definida.

Definici´ on 51. Si f es una funci´on continua definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho ∆x = (b−a) . Denotamos con x0 (= n a), x1 , x2 ,...,xn (= b) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos muestra x∗1 , x∗2 ,...,x∗n en estos subintervalos, de modo que x∗i se encuentre en el i−´esimo subintervalo [xi−1 , xi ]. Entonces la integral definida de f , desde a hasta b, es Rb a

f (x)dx = l´ım

n P

f (x∗i )∆x

n→∞i=1

Propiedades de la Integral Definida Rb Rb 1. a f (x)dx = − a f (x)dx Rb 2. a cdx = c(b − a), en donde c es cualquier constante. Rb Rb Rb 3. a [f (x) + g(x)]dx = a f (x)dx + a g(x)dx Rb Rb 4. a cf (x)dx = c a f (x)dx, en donde c es cualquier constante. Rb Rb Rb 5. a [f (x) − g(x)]dx = a f (x)dx − a g(x)dx Teorema Fundamental del C´ alculo

Teorema 3 (Teorema Fundamental del C´alculo, primera parte). Si f es continua en [a, b], la funci´on g definida por Rx g(x) = a f (t)dt a ≤ x ≤ b es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y g ′ (x) = f (x)

Teorema 4 (Teorema Fundamental del C´alculo, segunda parte). Si f es continua en [a, b], entonces Rb a

f (x)dx = F (b) − F (a)

en donde F es cualquier antiderivada de f , esto es, es una funci´ on tal que F ′ = f R2 Ejemplo 9.54. Calcular 0 (x3 + 1)dx Soluci´ on:

2 3

(x + 1)dx = 0

Ejemplo 9.55. Calcular Soluci´ on: Z

2 3

(x + 1)dx = −1

9.4. 9.4.1.

−1

(2)4 04 x4 + x

= ( + 4) − ( + 0) = 8 4 4 4 0

(x2 + x)dx

2 3 x3 x2

(2) (2)2 (−1)3 (−1)2 9 + = + − + =

3 2 −1 3 2 3 2 2

Aplicaciones de la Integral Definida. ´ Aplicaciones de la Integral Definida al C´ alculo de Areas.

En esta sección definiremos y calculamos a´reas, de regiones que se encuentran debajo de las gráficas de funciones. Ahora usaremos las integrales para hallar áreas de regiones delimitadas por las gráficas de funciones. La integral definida de una función f se interpreta como el área bajo la curva (la gráfica de la función f ). Sea f una función continua en el intervalo [a, b], entonces el área A de la región que está bajo la curva de la función f se puede calcular hallando la integral de la función f desde a hasta b, es decir Rb A = a f (x)dx

A=área a

´ Figura 9.1: Area bajo la curva de f

´ Figura 9.2: Area entre dos curvas de Ejemplo 9.56. Calcular el ´area bajo la curva y = x2 + 1 y sobre el eje X, en el intervalo [1, 2] Soluci´ on: Z

x3 10 = 3,33u2 A= (x + 1)dx = ( + x)|21 = 3 3 1 Si A es el área de la región R que está entre las curvas f (x) y g(x) con f (x) ≥ g(x) definidas en el intervalo [a, b], entonces el área A se puede calcular de la siguiente manera: Rb A = a [f (x) − g(x)]dx 2

f A=área g a

´ Figura 9.3: Area entre dos curvas de Ejemplo 9.57. Calcular el área entre las curvas f (x) = −x2 + 9 y g(x) = x2 + 1 Soluci´ on: Lo primero que tenemos que hacer es hallar los l´ımites de integración, éstos se obtienen de igualar las dos funciones es decir f (x) = g(x), de donde se obtiene: −x2 + 9 = x2 + 1

´ Figura 9.4: Area entre dos curvas de al desarrollar esta ecuaci´on se obtiene que x = −2 y x = 2 que son nuestros l´ımites de integraci´on, entonces: Z 2 Z 2 64 2 2 A= [(−x + 9) − (x + 1)]dx = [−2x2 + 8] = = 21,3u2 3 −2 −2

9.4.2.

Aplicaciones de la Integral Definida al C´ alculo de Vol´ umenes.

Al tratar de hallar el volumen de un sólido, enfrentamos el mismo tipo de problema que al buscar áreas. Aplicando el cálculo daremos una definición exacta de volumen.

Definici´ on 52. Sea S un sólido que se encuentra entre x = a y x = b. Si el ´ area de la sección transversal de S en el plano Px , que pasa por x y es perpendicular al eje X, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de S es V = l´ım

n P

n→∞i=1

A(x∗i )∆x =

Rb a

A(x)dx

Si el sólido generado al hacer girar una región limitada por dos curvas f (x) y g(x) con f (x) ≥ g(x) por la región, entonces el volumen se calculara de la siguiente manera V =π

Rb a

([f (x)]2 − [g(x)]2 )dx

Ejemplo 9.58. Encuentre el volumen del s´ olido obtenido al hacer girar la regi´ on limitada 2 por y = x , y = 4 y x = 0 alrededor del eje Y Soluci´ on: En la figura 9.5 se muestra la región y en la figura 9.6, el sólido que resulta al hacer girar la región alrededor del eje Y . Si cortamos el sólido de manera perpendicular al eje

Y a una altura y como se ve en la figura 9.6, entonces obtenemos un disco circular con radio x, en donde √ x= y Luego el a´rea de la sección tranversal a través de y está dada por: √ A(y) = πx2 = π( y)2 = πy As´ı pues el volumen del sólido es: Z 4 Z V = A(y)dy = 0

πy = π

y 2

4 = 8πu3 2 0

y=4

x=0

y=x2 X

Figura 9.5: Gr´afica de y = x2 Y

(x,y)

Figura 9.6: S´olido de revoluci´on generado por y = x2

Ejemplo 9.59. Encuentre el volumen del√s´ olido obtenido al hacer girar alrededor del eje 2 OX la regi´on limitada por y = x y y = x. Soluci´ on:

√ ´ Figura 9.7: Area entre las curvas y = x2 y y = x

Figura 9.8: S´olido de revoluci´on generado por y = x2 y y =

√

El punto de intersección de las dos gráficas, se halla haciendo √ x2 = x , de aqu´ı se obtiene los l´ımites de integración x = 0 y x = 1, entonces Z 1 Z 1 √ 2 x2 x5 3 2 2 V =π (( x) − (x ) )dx = (x − x4 )dx = π( − )|10 = πu3 2 5 10 0 0

9.4.3.

Momentos y Centros de Masa.

El objetivo principal de esta secci´on es determinar el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente , una placa delgada que ocupa una regi´on R de cualquier forma dada. Este punto se llama centro de masa o centro de gravedad de la placa.

y=f(x)

Figura 9.9: Suponga que la región R es del tipo que vemos en la figura 9.9, esto es, R queda entre l´ıneas x = a y x = b, arriba del eje X y abajo de la gráfica de f , donde f es una función continua. Entonces el centro de masa de la placa (o el centroide de R) está en el punto (¯ x, y¯), donde Rb x¯ = A1 a xf (x)dx y

y¯ = donde: A es el ´area de la regi´on R.

1 A

Rb 1 a 2

[f (x)]2 dx

Observaci´ on 22. El lugar del centro de masa es independiente de la densidad de la placa. Ejemplo 9.60. Hallar el centro de masa de la regi´ on R limitada por la par´ abola y = −x2 + 4, y el eje X. Soluci´ on: Y 4

-x2 +4

x=-2

x=2

Figura 9.10: Primero hallemos los l´ımites de integración, en nuestro caso, éstos van a ser los puntos de corte en donde la parábola intersecta al eje X, pues se calculan desarrollando la ecuación f (x) = 0, entonces −x2 + 1 = 0, de donde se obtiene x = −2 y x = 2.

Luego, calculamos el ´area A de la regi´on R. Z 2 A= (−x2 + 4)dx −2

como la gr´afica es sim´etrica con respecto al eje Y , entonces Z 2 Z 2 x3 32 2 A= (−x + 4)dx = 2 (−x2 + 4)dx = 2(− + 4x)|20 = u2 3 3 −2 0 Ahora calculamos el centroide de R R2

1 A

x¯ =

−2

32 3

xf (x)dx

−2

x(−x2 + 4)dx

3 32

4 3 (− x4 32

−2

(−x3 + 4x)dx + 2x2 )|2−2

x¯ = 0 y y¯ = =

1 A 1

32 3

1 [f (x)]2 dx −2 2

1 (−x2 −2 2

3 64

3 x5 ( 64 5

y¯ =

−2

+ 4)2 dx

(x4 − 8x2 + 16)dx − 83 x3 + 16x)|2−2

4 5

De esta manera, el centroide de la región R es: 4 (¯ x, y¯) = (0, ) 5 Si la región R está entre las dos curvas y = f (x) y y = g(x), donde f (x) ≥ g(x), entonces el centroide de R está en (¯ x, y¯), donde x¯ =

1 A

y y¯ =

Rb a

x[f (x) − g(x)]dx

1 ([f (x)]2 a 2

− [g(x)]2 )dx

Figura 9.11: Ejemplo 9.61. Hallar el centro de masa de la regi´ on R limitada por la par´ abola y = x2 , y la recta y = 3x. Soluci´ on: Primero hallemos los l´ımites de integración, haciendo x2 = 3x, de donde se obtiene x = 0 y x = 3. Luego, calculamos el área A de la región R. Z 3 3 x3 9 A= (3x − x2 )dx = ( x2 − )|30 = u2 2 3 2 0 Ahora calculamos el centroide de R

x¯ =

1 A

2 3x3 ( 9 3

3 2

9 2

x[3x − x2 ]dx

x¯ = 1,5

(3x2 − x3 )dx −

x4 3 )| 4 0

y¯ =

1 A

1 9

1 9x3 ( 9 3

162 45

9 2

1 ([3x]2 0 2

1 (9x2 0 2

R3 0

− [x2 ])dx

− x4 )dx

(9x2 − x4 )dx −

x5 3 )| 5 0

y¯ = 3,6 De esta manera, el centroide de la regi´on R es: (¯ x, y¯) = (1,5; 3,6)

9.4.4.

Longitud de Arco.

Cuando se habla de la longitud de arco, podr´ıamos pensar en ajustar un hilo sobre la curva y luego medir el hilo con una regla de medida. Pero este trabajo ser´ıa muy tedioso (aunque, no imposible) la curva a medir es muy complicada. Necesitamos una definición precisa para la longitud de un arco de curva, en los mismos términos en que hemos desarrollado los conceptos de área y de volumen. A continuación mencionamos un resultado muy importante para poder hallar la longitud de arco de una curva. Si f es continua en [a, b], la longitud de la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, es Rbp 1 + [f ′ (x)]2 dx a

Ejemplo 9.62. Determine la longitud de una estructura arquitect´ onica que tiene forma ln x 2 de la curva y = f (x) = x − 8 y cuya amplitud mide 2 metros. Soluci´ on: Primero hallemos f ′ (x), entonces f ′ (x) = 2x −

1 8x

Adem´as 1 + [f ′ (x)] = 1 + (2x −

1 1 1 1 ) = 4x2 + + = (2x + )2 2 8x 2 64x 8x

Entonces la longitud de arco podemos calcularla mediante Z bp Z 2r 1 L= 1 + [f â&#x20AC;˛ (x)]2 dx = (2x + )2 dx 8x a 0

de donde se tiene que. Z 2 1 1 L= (2x + )dx = (x2 + ln x â&#x2C6;&#x2019; 1)|20 = 3,0866m. 8x 8 0

9.5.

Ejercicios Propuestos.

1. Calcular las siguientes integrales R a) (5x3 + 3x3 − 3)dx √ R b) ( 14 x6 − 2x5 + π)dx √ R c) (3x7 − 23 x4 + 5 4x + 1)dx 2. Calcular las siguientes integrales R a) x(x2 − 3)7 dx √ R b) 2x5 x6 + 3dx R c) 7x3 (3x4 − 2)5 dx

3. Calcular las siguientes integrales R dx a) 5x+8 R 2 b) ex xdx R dx dx c) 1 x+3 2

4. Calcular las siguientes integrales R a) e5x dx R b) cosdx 2 R dx 7x c) 3x−7 R dx d ) 5−2x R e) cot(5x − 7)dx R f ) tan ϕ. sec2 ϕdϕ R g) sen2 x cos xdx R h) cos3 x sen xdx R 2 i ) √xx3 +1 dx

d) e) f)

R R

θdθ 1

(t 5 − t−3 + 2)dt 2

(3t− 3 + 5t2 + 5)d

R √ x 3 5x2 + 6dx R 3 e) (5x4x 4 −2)3 dx R f ) ( 16 x4 + 3)−8 x3 dx

d) e) f)

j) k) l) m) n) n ˜) o) p)

x2 dx 3x3 +3

x6 e−3x dx

3x5 dx 7x6 +2

√ cos xdx 2 sen x+1 √ tan x+1 dx cos2 x arctan x dx 1+x2

R R R R

R R

dx cos2 x(3 tan x+1)

cos(ln x) dx x ex dx 3+4ex √ √ 1+ x √ dx x dx √ √ √ x 1+ x

5. Encontrar el área de la región limitada por la curva que describe la gráfica de la función, el eje X y las rectas x = a y x = b a) f (x) = x2 + 2x + 2, x = −2, x = 1.

d ) f (x) = 3x, x = 0, x = 2

c) f (x) = 2x2 − x, x = −2, x = −1

f ) f (x) = −5x + 2, x = 2, x = 3

b) f (x) = 6 − x − x2 , x = −3, x = 2.

e) f (x) = x2 , x = −2, x = 3

6. Encontrar el área de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas. a) y = 9 − x2 , y = x2 . 2

b) y = x + 3, y = 4. 3

c) f (x) = x , g(x) = x

f ) f (x) = 4x, g(x) = 2x − 4 g) f (x) = x, g(x) = x2 − 4x + 6

d ) f (x) = 2x + 3, g(x) = x

h) f (x) = 4 − x2 , g(x) = x + 2

e) f (x) = 2x + 3, g(x) = x2 + 3x − 9

i ) f (x) = x3 + 1, g(x) = 4x + 1

7. Encontrar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado. Trace un esquema de la región, del sólido. a) y = x2 , x = 1, y = 0; alrededor del eje X. x

b) y = e , y = 0, x = 0, x = 1; alrededor del eje X. c) y = x2 , y 2 = x; alrededor del eje

X d ) y 2 = x, x = 2y; alrededor del eje Y e) y = x2/3 , x = 1, y = 0; alrededor del eje Y

8. Dibuje la regi´on limitada por las curvas y halle las coordenadas exactas del centroide. a) y = x2 , x = 2, y = 0.

d ) y = x1 , y = 0, x = 1, x = 2.

b) y = ex , y = 0, x = 0, x = 1. √ c) y = x, y = 0, x = 9.

e) y = x, y = 0, y = x1 , x = 2. f ) y = 2x , y = x2 , x = 0, x = 2.

9. Grafique y Calcule la longitud de la curva. a) y =

x2 2

b) y =

x3 6

−

ln x , 4

1 1 , 2x 2

2 ≤ x ≤ 4. ≤ x ≤ 1.

c) y =

x4 4

1 , 8x2

1 ≤ x ≤ 3. 3

d ) y = 13 (x2 + 2) 2 , 0 ≤ x ≤ 1.

Bibliograf´ıa ´ [1] Swokowski-Cole. Algebra y trigonometr´ıa con geometr´ıa anal´ıtica. 12a. edición. Editorial CENGAGE Learning. [2] Spinadel-Nottoli. Herramientas matemáticas, para la arquitectura y el dise˜ no. Editorial Nobuko. [3] Stewart J. Cálculo de una variable. Trascendentes Tempranas. 4a. edición. Editorial Thomson.

202