Teorema de la Envolvente by Instituto Cpe

MICROECONOMÍA AVANZADA Teorema de la envolvente Teorema de la Envolvente

Introducción. Para adquirir una idea intuitiva acerca de la utilidad del Teorema de la Envolvente, vamos a comenzar viendo la aplicación del Teorema al ya conocido problema de la maximización de la utilidad del consumidor. Así, suponemos que un individuo tiene una función de utilidad U(x,y) y enfrenta Px, Py e I (precio del bien x, precio del bien e ingreso, respectivamente). Entonces, planteamos y resolvemos el problema, tal cual lo hacemos usualmente:

Max U(x,y)

Px.x + Py.y = I 1

x*(Px, Py, I) y*(Px, Py, I) 2

V(Px, Py, I) = U(x*(Px, Py, I), y*(Px, Py, I))

Ya planteado y resuelto el problema de optimización, ahora sí podemos decir V V V que el Teorema de la Envolvente sirve para determinar: , y . I PX PY Es decir, que lo utilizaremos, en el caso de este problema en particular, para saber como reaccionará el nivel de utilidad indirecta ante cambios infinitesimales en el precio del bien x, el precio del bien y, y en el ingreso del consumidor. 1

Este paso lo hacemos planteando el lagrangiano, obteniendo las CPO y reemplazando y sustituyendo las mismas, de modo de obtener x* e y* como función de las variables exógenas. En definitiva, obtenemos las funciones de demanda marshalianas. 2 Aquí, simplemente sustituimos x e y en la función de utilidad por x* e y* (que obtuvimos antes). De esta forma hallamos la función de utilidad indirecta. Jorgelina de Cabrera

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MICROECONOMÍA AVANZADA Teorema de la envolvente Presentación del teorema en forma más general. El citado teorema debe su popularidad a que, justamente, puede aplicarse a una gran variedad de problemas (además del visto en el punto anterior). Es por esto, que ahora lo plantearemos de forma más general, para luego sí poder utilizarlo en diferentes situaciones. El problema de optimización ahora será: Max z= f (x, y; )

G (x ,y; ) = 0

Para aclarar este planteo, procederemos a definir cada una de las variables utilizadas y entre paréntesis diremos a que corresponde en el ejercicio de la maximización de la utilidad del consumidor visto en la introducción de este apunte. Así: z: es la variable que maximizamos (nivel de utilidad) f: es la función objetivo ( U(x,y) ) x e y: son las variables de elección (cantidad de bienes x e y consumidos) G: es la restricción tal cual la reexpresamos para colocarla en el lagrangiano : es una variable exógena (podría ser Px, Py o I) Es decir, que tenemos nuevamente una función objetivo la cual maximizamos. En esta nueva formulación, la función objetivo, además de depender de las variables de elección, también depende de una variable exógena  (recordemos que para algunos problemas, como el visto en la introducción, podría z no depender de , pero la colocamos porque estamos planteando el problema de una forma bien general). Ahora, la restricción la hemos reexpresado como una función G (x ,y; ) = 0. Es decir, que debemos reexpresar la restricción tal cual lo hacemos cuando la colocamos en el lagrangiano. Ahora, que hemos planteado el problema de forma más general podemos decir, que es lo que asegura el Teorema de la Envolvente:

z * L   f   .G   3

L representa al lagrangiano en esta expresión.

Jorgelina de Cabrera

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En conclusión, lo que dice el Teorema de la Envolvente, es que si, en un problema de optimización, deseamos saber como reaccionará el valor de la función objetivo indirecta ante un cambio infinitesimal de una variable exógena, simplemente debemos derivar el lagrangiano respecto de dicha variable exógena. Demostración. Una vez comprendido cual es la utilidad del Teorema de la Envolvente, su demostración no es en absoluto, complicada. Primeramente vamos a hallar tres relaciones que se cumplen siempre en un problema de optimización y que nos servirán en la última parte de la demostración. Así, en el problema de maximización: Max z= f (x, y; )

G (x ,y; ) = 0

Planteamos el lagrangiano, L= f (x, y; ) + .( G (x ,y; ) ) CPO:

L X  f X  .G X  0



f X  .G X

(I)

LY  f Y  .GY  0



f Y  .GY

(II)

L  G( x, y; )  0

Ahora, obtenemos la tercer relación que luego utilizaremos. G (x ,y; ) = 0

Tomamos la restricción Y la diferenciamos totalmente Reexpresamos

G X .dx  GY .dy  G d  0 G X .dx  GY .dy  G d GX .

dx dy  GY .  G d d

(III)

Ahora, ya es directa la demostración: Jorgelina de Cabrera

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Así, siendo

z*  f(x * ( ), y * ( ); )

y * z * x *  fX  fY  f   

 Y como

Entonces:

Por def. de función objetivo indirecta Por regla de la cadena

y * z * x *  .G X .  .GY .  f   

Por relaciones (I) y (II)

y * z * x *   (G X .  .GY . )  f   

Factor común

z *   (G )  f  

Por la ecuación (III)

z *  f   .G 

L  f    .G 



z * L   

Conclusión. El Teorema de la Envolvente nos servirá para determinar como reacciona la función objetivo indirecta ante un cambio infinitesimal de una de las variables exógenas en un problema de optimización. Es decir, que debemos tener en cuenta que si en un problema de optimización, se produce un cambio discreto de la variable exógena, la fórmula obtenida no puede ser aplicada en forma directa aunque si sabremos que cuanto menor sea el cambio en la variable exógena, mayor la aplicabilidad de la conclusión del teorema, y llegado el extremo de un cambio infinitesimal, podremos aplicarla perfectamente.

Jorgelina de Cabrera