ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΤΡΙΦΑΣΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα τριφασικά κυκλώµατα τα οποία προκύπτουν από το συνδυασµό µιας τριφασικής πηγής τάσης µε ένα τριφασικό φορτίο. Η έµφαση δίνεται στην ανάλυση των κυκλωµάτων και την εύρεση των τιµών των τάσεων και ρευµάτων. Τα πλεονεκτήµατα ενός τριφασικού συστήµατος σε σχέση µε το αντίστοιχο µονοφασικό αναπτύσσονται σε ξεχωριστή παράγραφο.
10.1 Τριφασική πηγή τάσης Στις αρχές του 19ου αιώνα υπήρχε διαµάχη µεταξύ του Thomas Edison που υποστήριζε το συνεχές ρεύµα και του George Westinghouse που πίστευε στο εναλλασσόµενο πολυφασικό ρεύµα. Πίσω από τον Westinghouse βρίσκονταν ο ιδιοφυής Niκola Tesla. Τελικά, επικράτησε η παραγωγή-µεταφορά και διανοµή της ηλεκτρικής ενέργειας να γίνεται µε τριφασικό εναλλασσόµενο ρεύµα. Η απόφαση αυτή, όπως θα δείξουµε στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, ήταν απολύτως ορθή καθώς τα τριφασικά συστήµατα παρουσιάζουν ορισµένα σοβαρά πλεονεκτήµατα σε σχέση µε τα µονοφασικά. Η συχνότητα της παραγόµενης τάσης στις Ευρωπαϊκές χώρες έχει καθιερωθεί στα 50 Hz. Στη Βόρειο Αµερική η συχνότητα λειτουργίας του συστήµατος βρίσκεται στα 60 Hz. Σε αυτοκινούµενες εγκαταστάσεις όπως πλοία και αεροπλάνα η συχνότητα λειτουργίας είναι συνήθως 400 Hz. Μία τριφασική πηγή τάσης είναι ένας συνδυασµός τριών πηγών µε το ίδιο πλάτος και συχνότητα αλλά µε διαφορά φάσης µεταξύ τους 120ο. Οι κυµατοµορφές των πηγών στο πεδίο του χρόνου έχουν τη µορφή
Ηλεκτροτεχνία για µηχανολόγους
198
v A (t ) = Vm cos ωt
( ) cos(ωt − 240 )
v B (t ) = Vm cos ωt − 120 o
(10.1)
o vC (t ) = Vm όπου η ενεργός τιµή των πηγών είναι V p = Vm / 2 .
Σχήµα 10.1: Οι κυµατοµορφές των πηγών τάσης ενός τριφασικού συστήµατος.
Στο σχήµα 10.1 φαίνεται ότι δύο διαδοχικές φασικές τάσεις συναντώνται στο σηµείο 0,5Vm. Επίσης όταν η πρώτη τάση µηδενίζεται, η τρίτη κατά σειρά έχει τιµή 0,866Vm. Η πολική µορφή των τάσεων είναι η εξής: V A = V p < 0o
V B = V p < −120 o
V C = V p < −240 o (10.2)
Το διανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων των πηγών δίνεται στο σχήµα 10.2. Τα διανύσµατα περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού µε κυκλική συχνότητα ω. Η σειρά διαδοχής είναι VA → VB → VC. Η σειρά διαδοχής έχει σηµασία στη φορά περιστροφής των ηλεκτρικών κινητήρων. Από το σχήµα 10.2 φαίνεται ότι το διανυσµατικό άθροισµα των πηγών είναι ίσο µε µηδέν V A +V B +V C = 0 (10.3)
Τριφασικά συστήµατα
199
Σχήµα 10.2: ∆ιανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων των πηγών ενός τριφασικού συστήµατος.
10.2 Συµµετρικά τριφασικά συστήµατα 10.2.1 Συµµετρικό τριφασικό σύστηµα σε συνδεσµολογία αστέρα Μία τριφασική πηγή συνδεδεµένη σε αστέρα απεικονίζεται στο σχήµα 10.3. Το κοινό σηµείο των πηγών ονοµάζεται ουδέτερο σηµείο και είναι το σηµείο ως προς το οποίο αναφέρονται τα δυναµικά των πηγών. Η κάθε πηγή αποτελεί µία φάση του συστήµατος και η τάση της ονοµάζεται φασική τάση. Οι φασικές τάσεις λοιπόν είναι οι VA, VB και VC. Η διαφορά δυναµικών µεταξύ των ελεύθερων άκρων δύο οποιονδήποτε πηγών ονοµάζεται τάση γραµµής, ή πολική τάση. Στο σχήµα 10.3 οι τάσεις γραµµής συµβολίζονται µε VAΒ , VBC, VCA και ισχύουν οι σχέσεις (10.4) V AB =V A −V B V BC = V B −V C V CA = V C −V A
200
Ηλεκτροτεχνία για µηχανολόγους
Σχήµα 10.3: Τριφασική πηγή σε αστέρα.
Στο σχήµα 10.4 δίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων φάσης και γραµµής µιας τριφασικής πηγής σε αστέρα.
Σχήµα 10.4 ∆ιανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων φάσης και γραµµής για σύνδεση πηγών σε αστέρα.
Από τη γεωµετρία του σχήµατος γίνεται φανερό ότι οι τάσεις γραµµής προηγούνται των φασικών τάσεων κατά 30ο. Από το νόµο των συνηµιτόνων βρίσκουµε ότι το µέτρο της τάσης γραµµής είναι
Τριφασικά συστήµατα
201
VL = V p2 + V p2 + 2V pV p cos 60 o = 3V p
(10.5)
δηλαδή VL = 1,732Vp. Με βάση τα παραπάνω, οι πολικές εκφράσεις των τάσεων γραµµής είναι οι εξής: V AB = 3V p < 30 o
V BC = 3V p < −90 o
V CA = 3V p < −210 o (10.6)
Οι τάσεις γραµµής περιστρέφονται σύγχρονα µε τις φασικές τάσεις και σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνίες 120ο. Προφανώς ισχύει V AB +V BC +V CA = 0 (10.7) Αν σε µία τριφασική πηγή σε αστέρα συνδέσουµε ένα τριφασικό φορτίο σε αστέρα έχουµε ένα σύστηµα αστέρα-αστέρα ή συµβολικά Υ-Υ. Αν η κάθε φάση έχει το ίδιο φορτίο µε τις άλλες το σύστηµα ονοµάζεται συµµετρικό. Το τριφασικό σύστηµα του σχήµατος 10.5 εκτός από τους αγωγούς των φάσεων διαθέτει και έναν τέταρτο αγωγό ΝΝ´ που ονοµάζεται ουδέτερος αγωγός.
Σχήµα 10.5: Συµµετρικό τριφασικό σύστηµα σε συνδεσµολογία αστέρα-αστέρα µε ουδέτερο αγωγό.
Ο νόµος των ρευµάτων του Kirchhoff στον κόµβο Ν´ δίνει I A +I B +IC = I N
(10.8)
Έστω ότι το φορτίο έχει πολική έκφραση Ζ = Ζ < φ. Τα ρεύµατα γραµµής γραµµής θα είναι
Ηλεκτροτεχνία για µηχανολόγους
202
V A′N ′ V p = < −ϕ Z Z Vp V < −ϕ − 120 o I B = B ′N ′ = (10.9) Z Z Vp V I C = C ′N ′ = < −ϕ − 240 o Z Z Το διανυσµατικό άθροισµα των ρευµάτων στον κόµβο Ν´ είναι ίσο µε 1 I A + I B + I C = (V A′N ′ +V B ′N ′ +V C ′N ′ ) = 0 = I N (10.10) Z αποτέλεσµα που σηµαίνει ότι σε ένα συµµετρικό σύστηµα σε συνδεσµολογία αστέρα-αστέρα, ο ουδέτερος δε διαρρέεται από ρεύµα και θεωρητικά µπορεί να αποµακρυνθεί. Το διανυσµατικό άθροισµα τάσεων και ρευµάτων δίνεται στο σχήµα 10.6. IA =
Σχήµα 10.6: ∆ιανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων και ρευµάτων του συµµετρικού συστήµατος αστέρα-αστέρα του σχήµατος 10.5.
Η ανάλυση των συµµετρικών συστηµάτων Υ-Υ µπορεί να απλοποιηθεί στην ανάλυση µίας και µόνο φάσης, σχήµα 10.7.
Τριφασικά συστήµατα
203
Σχήµα 10.7: Ισοδύναµο µονοφασικό κύκλωµα ενός συµµετρικού τριφασικού συστήµατος Υ-Υ.
Παράδειγµα 10.1 Σε ένα συµµετρικό τριφασικό σύστηµα Υ-Υ οι αγωγοί έχουν αντίσταση ΖΓ = 1+j0,5 Ω, ενώ το φορτίο έχει τιµή ΖΜ = 4-j2,5 Ω. Ζητείτε να υπολογιστούν τα ρεύµατα και οι τάσεις γραµµής. Το ισοδύναµο µονοφασικό σύστηµα απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα.
Η συνολική σύνθετη αντίσταση είναι Z = Z Ã + Z L = 1 + j 0,5 + 4 − j 2,5 = 5 − j 2 = 5,39 < −21,8 o Ω Το ρεύµα γραµµής υπολογίζεται ως IA =
VA 230 < 0 o = = 42,7 < 21,8 o A Z 5,39 < −21,8 o
Ηλεκτροτεχνία για µηχανολόγους
204
Τα υπόλοιπα ρεύµατα γραµµής έχουν πολική έκφραση I B = 42,7 < 21,8 o − 120 o = 42,7 < −98,2 o A I C = 42,7 < 21,8 o − 240 o = 42,7 < −218,2 o A Η τάση γραµµής έχει ενεργό τιµή VL = 3V p = 3 ⋅ 230 = 398,4V . Οι πολικές εκφράσεις των τάσεων γραµµής είναι V AB = 398,4 < 30 o V V BC = 398,4 < −90 o V V CA = 398,4 < −210 o V
10.2.2. Συµµετρικό τριφασικό σύστηµα σε συνδεσµολογία τριγώνου Η τριφασική πηγή σε συνδεσµολογία τριγώνου δίνεται στο σχήµα 10.8. Οι πηγές σχηµατίζουν έναν κλειστό βρόχο. Η συνδεσµολογία τριγώνου παρουσιάζει το µειονέκτηµα ότι η παραµικρή ασυµµετρία µεταξύ των πηγών προκαλεί την κυκλοφορία ρεύµατος στο βρόχο και για αυτό το λόγο δε χρησιµοποιείται συχνά στην πράξη. Οι φασικές τάσεις συµπίπτουν µε τις τάσεις γραµµής. Από το διανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων συµπεραίνουµε ότι (10.11) V AB +V BC +V CA = 0
Σχήµα 10.8: Τριφασική πηγή σε συνδεσµολογία τριγώνου και διανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων.
Τριφασικά συστήµατα
205
Η µετατροπή µιας τριφασικής πηγής από αστέρα σε τρίγωνο ή από τρίγωνο σε αστέρα γίνεται µε βάση τις παρακάτω απλές σχέσεις V p (∆ ) V p (∆ ) = 3V p (Y ) V p (Y ) = (10.12) 3 Η σύνδεση µιας τριφασικής πηγής σε τρίγωνο µε ένα συµµετρικό τριφασικό φορτίο σε τρίγωνο δηµιουργεί ένα συµµετρικό τριφασικό σύστηµα σε συνδεσµολογία τριγώνου-τριγώνου, ή σύστηµα ∆-∆, σχήµα 10.9.
Σχήµα 10.9: Συµµετρικό τριφασικό σύστηµα σε συνδεσµολογία τριγώνου-τριγώνου.
Οι τάσεις γραµµής συµπίπτουν µε τις φασικές τάσεις. Έστω ότι το φορτίο έχει πολική έκφραση Ζ = Ζ < φ. Τα φασικά ρεύµατα προκύπτουν από τις σχέσεις V V I A′B ′ = AB = L < −ϕ Z Z V V (10.13) I B ′C ′ = BC = L < −ϕ − 120 o Z Z V V I C ′A′ = CA = L < −ϕ − 240 o Z Z Κατά συνέπεια τα ρεύµατα γραµµής θα είναι I A = I A′B ′ − I C ′A′ I B = I B ′C ′ − I A′B ′ I C = I C ′A′ − I B ′C ′ (10.14) Το διανυσµατικό διάγραµµα τάσεων και ρευµάτων δίνεται στο σχήµα 10.10.
Ηλεκτροτεχνία για µηχανολόγους
206
Σχήµα 10.10: ∆ιανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων και ρευµάτων του συµµετρικού συστήµατος τριγώνου-τριγώνου του σχήµατος 10.9.
Από το σχήµα 10.10 φαίνεται ότι τα ρεύµατα γραµµής έπονται των φασικών ρευµάτων κατά 30ο. Επίσης είναι I L = 3I p . Επειδή στο σύστηµα δεν υπάρχει ουδέτερος, το διανυσµατικό άθροισµα των ρευµάτων γραµµής πρέπει ανά πάσα στιγµή να είναι ίσο µε µηδέν I A +I B +IC = 0 (10.15) Παράδειγµα 10.2 Μια τριφασική πηγή τάσης σε τρίγωνο µε πολική τάση 230 < 0ο συνδέεται µε συµµετρικό τριφασικό φορτίο σε συνδεσµολογία τριγώνου. Αν το φορτίο κάθε φάσης είναι Z = 3+j5 Ω να υπολογιστούν τα φασικά ρεύµατα και τα ρεύµατα γραµµής. Η πολική έκφραση του φορτίου είναι Ζ = 5,83 < 59ο Ω. Τα φασικά ρεύµατα υπολογίζονται ως I A′B ′ =
V A′B ′ 230 < 0 o = = 39,5 < −59 o A Z 5,83 < 59 o
και I B ′C ′ = 39,5 < −59 o − 120 o = 39,5 < −179 o A I C ′A′ = 39,5 < −59 o − 240 o = 39,5 < −299 o A
Τριφασικά συστήµατα
207
Τα ρεύµατα γραµµής είναι I A = 3 ⋅ 39,5 < −59 o − 30 o = 68,4 < −89 o A και I B = 68,4 < −179 o − 30 o = 68,4 < −209 o A I C = 68,4 < −299 o − 30 o = 68,4 < −329 o A
10.3 Ισχύς στα τριφασικά συστήµατα Η ισχύς που καταναλώνεται σε ένα συµµετρικό τριφασικό φορτίο είναι το άθροισµα των ισχύων στα επιµέρους φορτία. Κατά συνέπεια η συνολική ενεργός, άεργος και φαινόµενη ισχύς στο τριφασικό φορτίο θα είναι P = 3V p I p cos ϕ Q = 3V p I p sin ϕ
(10.16)
S = 3V p I p Σε ένα σύστηµα µε συνδεσµολογία αστέρα-αστέρα ισχύουν οι σχέσεις V Vp = L I p = IL (10.17) 3 Σε ένα σύστηµα µε συνδεσµολογία τριγώνου-τριγώνου είναι I V p = VL Ip = L (10.18) 3 Συνεπώς, σε κάθε περίπτωση οι σχέσεις 10.16 µπορεί να εκφραστούν ως συνάρτηση της τάσης γραµµής και του ρεύµατος γραµµής, ως P = 3V L I L cos ϕ Q = 3V L I L sin ϕ
(10.19)
S = 3V L I L Παράδειγµα 10.3 ∆ίνεται το συµµετρικό τριφασικό φορτίο του σχήµατος, όπου οι τάσεις γραµµής έχουν ενεργό τιµή 230 V. Αν η συχνότητα του δικτύου είναι ίση µε 50 Hz,
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Παράδειγµα 1.1 Ένα άτοµο σιδήρου περιέχει στον πυρήνα του 26 πρωτόνια και 29 νετρόνια, ενώ στις εξωτερικές στοιβάδες υπάρχουν συνολικά 23 ηλεκτρόνια. Να υπολογιστεί το συνολικό φορτίο του ατόµου σε Coulomb. Το πρωτόνιο έχει φορτίο ίσο µε +1 e, το ηλεκτρόνιο -1 e, ενώ το νετρόνιο είναι ηλεκτρικά ουδέτερο. Το συνολικό φορτίο του ατόµου θα είναι +26 e - 23 e = +3 e = +3 x 1,6x10-19 = + 4,8x10-19 C
Παράδειγµα 1.2 Ένα φορτίο Q εισάγεται στο χώρο µεταξύ δύο ακλόνητων φορτίων Q1 = 5C και Q2 = 3C και πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο φορτίων. Αν η απόσταση r µεταξύ των Q1 και Q2 είναι ίση µε 1 m να βρεθεί το σηµείο που ισορροπεί το φορτίο Q. Θεωρείστε ότι η µάζα των φορτίων είναι αµελητέα.
Ηλεκτροτεχνία για µηχανολόγους
222
Στην άγνωστη απόσταση x οι απωστικές δυνάµεις πάνω στο φορτίο Q θα είναι ίσες και αντίθετες. F1 = F2 Q1Q Q2 Q = 2 2 4πε o x 4πε o (r − x ) Q1 Q2 = 2 x (r − x )2
Q1 (r − x ) = Q2 x 2 2
(Q1 − Q2 )x 2 − 2Q1rx + Q1r 2 = 0 2 x 2 − 10 x + 5 = 0 Λύνουµε την εξίσωση δεύτερης τάξης που προκύπτει υπολογίζοντας τη διακρί2 νουσα ∆ = (− 10 ) − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 60 . Οι δύο λύσεις θα είναι 10 + 60 10 − 60 = 4,44m x2 = = 0,56m 2⋅2 2⋅2 Η πρώτη λύση προφανώς απορρίπτεται, εποµένως το σηµείο ισορροπίας είναι x = 0,56 m από το φορτίο Q1. x1 =
Παράδειγµα 1.3 Το φορτίο Q1 = 300 nC βρίσκεται ακλόνητα τοποθετηµένο στη θέση x = 0 και συνδέεται µε το φορτίο Q2 = 200 nC µέσω ελατηρίου σταθεράς k = 10 N/m και αρχικού µήκους L. Λόγω της δύναµης Coulomb που αναπτύσσεται µεταξύ των φορτίων το µήκος του ελατηρίου αυξάνεται κατά 10%. Υπολογίστε το αρχικό µηκος του ελατηρίου και την επιµήκυνση λόγω της δύναµης.
Λυµένα παραδείγµατα
223
Η δύναµη Coulomb εξισορροπείται από τη δύναµη επαναφοράς του ελατηρίου Fελ = FC k∆L =
Q1Q2
4πε o (L + ∆L )
2
4πε o k 0,1L(1,1L ) = Q1Q2 2
4πε o k 0,11L3 = Q1Q2 όπου αντικαταστήσαµε την επιµήκυνση ∆L = 0,1L. Επιλύοντας ως προς το µήκος L έχουµε 1/ 3
1/ 3
Q1Q2 300 x10 −9 x 200 x10 −9 = = 0,079m = 7,9cm L = −12 4,4 x3,14 x8,85 x10 0,44πε o k Η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι ∆L = 0,1L = 0,79 cm.
Παράδειγµα 1.4 Στο ισόπλευρο τρίγωνο του σχήµατος να υπολογιστεί η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο Α αν είναι Q1 = 10 nC, Q2 = 2 nC, Q3 = 50 nC, και 2α = 0,1 cm.
Ηλεκτροτεχνία για µηχανολόγους
224
Τα Q1 και Q2 απέχουν από το σηµείο Α απόσταση α, ενώ το φορτίο Q3 απέχει απόσταση r που υπολογίζεται µε βάση το Πυθαγόρειο θεώρηµα
(2α )2 = r 2 + α 2
→
r = 3α = 0,173cm
Το µέτρο των εντάσεων που ανεξάρτητα δηµιουργούν τα τρία φορτία στο σηµείο Α υπολογίζεται ως εξής Q1 10 x10 −9 6 N = = 360 x 10 E A1 = 2 2 C 4πε oα 4 x3,14 x8,85 x10 −12 x(0,0005) E A2
Q2 2 x10 −9 N = = = 72 x10 6 2 2 −12 C 4πε oα 4 x3,14 x8,85 x10 x(0,0005)
E A3 =
Q3 50 x10 −9 N = = 150 x10 6 2 2 −12 C 4πε o r 4 x3,14 x8,85 x10 x(0,00173)
Η ένταση µε φορά κατά την κάτω πλευρά του τριγώνου θα είναι ίση µε N E A12 = E A1 − E A 2 = 360 x10 6 − 72 x10 6 = 288 x10 6 C Η συνολική ένταση στο σηµείο Α προκύπτει από το διανυσµατικό άθροισµα των ΕΑ12 και ΕΑ3.
Λυµένα παραδείγµατα
E A = E A212 + E A3 =
225
(288x10 ) + (150 x10 ) 6 2
6 2
= 325 x10 6
N C
Παράδειγµα 1.5 Στις κορυφές Α, Β και Γ του ορθογώνιου του σχήµατος είναι τοποθετηµένα τα φορτία q1 = 40 nC, q2 = 30 nC και qΙ = 50 nC αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το διάνυσµα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται στην κορυφή ∆. ∆ίνονται α = 8 cm, β = 6 cm.
Η διαγώνιος του ορθογωνίου έχει µήκος δ = α 2 + β 2 = 8 2 + 6 2 = 10cm . Υπολογίζουµε το µέτρο των εντάσεων που δηµιουργούν τα φορτία στην κορυφή ∆. E1 =
q1 40 x10 −9 N = = 99910 2 2 −12 C 4πε o β 4 x3,14 x8,85 x10 x(0,06 )
E2 =
q2 30 x10 −9 N = = 26975 2 2 −12 C 4πε oδ 4 x3,14 x8,85 x10 x(0,1)
q3 50 x10 −9 N E3 = = = 70250 2 2 −12 C 4πε oα 4 x3,14 x8,85 x10 x(0,08) Η γωνία φ που σχηµατίζει το διάνυσµα Ε2 µε τον άξονα των x µπορεί να υπολογιστεί ως