6-Ε-019 - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ

8.

°ƒ∞ªªπ∫∂™ ¢π∞º√ƒπ∫∂™ ∂•π™ø™∂π™ B’ ∆∞•∏™ ª∂ ™∆∞£∂ƒ√À™ ™À¡∆∂§∂™∆∂™

8.1 ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ∂Âȉ‹ ÙfiÛÔ ÛÙ· ËÏÂÎÙÚÈο ‰›ÎÙ˘·, fiÛÔ Î·È ÛÙ· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·˘ÙfiÌ·ÙÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘, ÔÈ ‰È·ÊÔÚÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈΤ˜ Ì ÛÙ·ıÂÚÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜, ÁÈ' ·˘Ùfi Û’ ·˘Ùfi ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÌfiÓÔ Ì ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ Ì ÛÙ·ıÂÚÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. ∏ Â›Ï˘ÛË ·˘ÙÒÓ ı· Á›ÓÂÈ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ·Ó¿Ï˘Û˘.

8.2 ∂ÏÏÂÈ›˜ ¢È·ÊÔÚÈΤ˜ ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ™ÙËÓ Î·ÙËÁÔÚ›· ·˘Ù‹ ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ˘¿ÁÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ Ù¤ÛÛÂÚȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ› Ù‡ÔÈ: 2 2 1. d y = f(x) ‹ d y = C dx 2 dx 2 2 2. d y = f(y) dx 2 2 3. d y = f x, dy dx dx 2

‹ f dy dx

2 4. d y = f y, dy dx dx 2

‹ f dy dx

£· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ٤ÛÛÂÚ· ÎÏ·ÛÈο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ Ù‡ˆÓ.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 1 ¡· Ï˘ı› Ë °.¢.∂. d 2y = 5x dx 2

146

ª ∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞ ¡∞§À™∏ ππ

§‡ÛË d dy = 5x ⇒ d dy = 5xdx ⇒ dx dx dx

d dy = 5 xdx ⇒ dx

dy = 5 x 2 + c ⇒ dy = 5 x 2 + c dx ⇒ 2 2 dx dy =

2

5 x + c dx + c′ ⇒ y = 5 2 2

x 2dx + c

dx + c′ ⇒

3 y = 5 x + cx + c′ ⇒ y = 5 x 3 + cx + c′ 2 3 6

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ·) ∏ χÛË ÂÚȤ¯ÂÈ ‰‡Ô ÛÙ·ıÂÚ¤˜. ‚) ∏ ̤ıÔ‰Ô˜ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛı› Î·È Û ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2 ¡· Ï˘ı› Ë °.¢.∂. d 2y + 9y = 0 dx 2 §‡ÛË 2 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ Ù˘ Â͛ۈۋ˜ Ì·˜ d y = – 9y dx 2 Ì 2 dy dx , ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: dx 2 2 2 dy d y dx = – 2 Ø 9y dy dx ⇒ 2 dy d y dx = – 18y dy ⇒ dx dx 2 dx dx dx 2 2 2 d dy = – 18y dy ⇒ d dy = – 18 ydy + c ⇒ dx dx 2 2 2 dy = – 18 y + c ⇒ dy = – 9y 2 + c ⇒ dx dx 2

dy = c – 9y 2 dx

°ƒ∞ªªπ∫∂™ ¢π∞º√ƒ∂∆π∫∂™ ∂•π™ø™∂π™ µ’ ∆∞•∏™

ª∂ ™∆∞£∂ƒ√À™ ™À¡∆∂§∂™∆∂™

147

£¤Ùˆ c = c12:

dy c12 – 9y 2

= dx ⇒ 1

3 dy c1 2 1 – 9y c12

= x + c1 ⇒

1 arc sin 3y = x + c1 ⇒ arc sin 3y = 3x + 3c1 = 3x + Ê ⇒ c1 c1 3 c 3y = sin 3x + Ê ⇒ y = 1 sin 3x + Ê c1 3

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 3 ¡· Ï˘ı› Ë °.¢.∂.

2 1 + x 2 d y + x dy = ax dx dx 2

§‡ÛË Œ¯Ô˘ÌÂ:

ax – x dy d 2y = dx = F x, dy 2 dx dx 1+ x2

£¤Ùˆ dy/dx = u, ÔfiÙÂ: d 2y = du ⇒ du = (a – u) x ⇒ du = xdx ⇒ dx a –u 1+ x2 dx 2 dx 1+ x2 du = a–u –

xdx + c ⇒ 1+ x2 d(u – a) = 1 d x 2 + 1 + c ⇒ 2 u–a x2 + 1 1

– ln u – a = 1 ln 1 + x 2 + c ⇒ ln 1 = ln 1 + x 2 2 + lnc1 ⇒ 2 u–a 1 =c 1 u–a

1+ x2

ŸÙ·Ó ı¤ÛÔ˘Ì u = dy/dx Î·È ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ͷӿ ÙȘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÓÔ˘ÌÂ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ y.

148

ª ∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞ ¡∞§À™∏ ππ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4 ¡· Ï˘ı› Ë °.¢.∂.

2 2 y d y = 1 + dy dx dx 2

(I)

§‡ÛË £¤Ùˆ dy/dx = u (1), ÔfiÙÂ: dy = u ⇒ d 2y = du = du dy = du u = u du dx dy dx 2 dx dy dx dy ÕÚ· Ë (I) Á›ÓÂÙ·È: y Ø u Ø du = 1 + u 2 ⇒ y Ø u Ø du = 1 + u 2 dy ⇒ udu = dy ⇒ y dy 1 + u2 d u2+ 1

dy + c ⇒ 1 y 2

udu = u2 + 1

u2 + 1

dy + c ⇒ y

=

1 ln 1 + u 2 – lne c = ln y ⇒ ln 1 + u 2 – lne c = ln y ⇒ 2 ln

1 + u 2 = ln y ⇒ y = 1 + u 2 ⇒ y = ± 1 1 + u 2 ⇒ ec ec ec

y2 = 1 + u e 2c

2

⇒ 1 + u 2 = y 2 e 2c ⇒ u 2 = y 2 e 2c – 1 ⇒ u = ±

y 2 e 2c – 1

∞fi (2) Î·È (1) ¤¯Ô˘ÌÂ: dy = u = ± dx 1

± ±

dy

y 2 e 2c – 1 ⇒ ±

y 2 e 2c – 1

= dx ⇒

dx ⇒ ln ye c –

dy =

ye c 2 – 12

ye c 2 – 1 = x + c

(*1) ™ËÌ›ˆÛË: °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ:

1 2

x –a

dx = ln x – x 2 – a 2 + c 2

(*1)

(2)

618

ª ∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞ ¡∞§À™∏ ππ

29.10 ∂ÓÙÔϤ˜-™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ™˘Ì‚ÔÏÈÎÒÓ ¶·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ (™.¶·Ú.) ∆Ô ML ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ÏËıÒÚ· ÂÓÙÔÏÒÓ Î·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙȘ Û˘Ì‚ÔÏÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. ∞˜ ‰Ô‡Ì ÙȘ ΢ÚÈfiÙÂÚ˜.

29.10.1 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ isstr ∏ ÂÓÙÔÏ‹ ·˘Ù‹ ÂϤÁ¯ÂÈ ·Ó ÌÈ· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÂÚȤ¯ÂÈ ™˘Ì‚ÔÏÈ΋ ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË, Â›Ó·È ‰ËÏ·‰‹ ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ¯·Ú·ÎÙ‹ÚˆÓ ¯ˆÚ›˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Í›· . ∞Ó Â›Ó·È ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÙÔ 1 ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È (Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ ‹ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ‹ ›Ó·Î·˜) ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÙÔ 0. ™ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 29-13 Ê·›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Î·Ù·¯ˆÚ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ a, b Î·È d ˆ˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÎÒÓ Î·È Ù˘ c ˆ˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ Î·È Ù˘ e ˆ˜ ›Ó·Î·. ªÂ ÙËÓ ÂÓÙÔÏ‹ isstr (ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹) ÙÔ ML ÁÈ· ÙȘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ a, b Î·È d Ì·˜ ·¿ÓÙËÛ 1 (‰ËÏ·‰‹: ¡∞π Â›Ó·È strings, ¿Ú· Û˘Ì‚ÔÏÈΤ˜, ¯ˆÚ›˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ Î·È ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Í›·) Î·È ÁÈ· ÙȘ c Î·È e ·¿ÓÙËÛ 0 (‰ËÏ·‰‹: √Ãπ, ‰ÂÓ Â›Ó·È strings, ¿Ú· ¤¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Î·È Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ·Í›·).

∂ÈÎfiÓ· 29-13

29.10.2 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ numeric ∏ ÂÓÙÔÏ‹ numeric ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ ÌÈ· Û˘Ì‚ÔÏÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Î·È ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÈ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·Ó ¤¯Ô˘Ì ÙË Û˘Ì‚ÔÏÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË: a='2012+2013+2014'

∂π¢π∫∞ £∂ª∞∆∞ ∆√À ªATLAB – ™Àªµ√§π∫√™ ¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™

ÌÂ ÙËÓ ÂÓÙÔÏ‹ >>K=numeric(a) ↵

‹ >>numeric(a) ↵

ÙÔ ML ÂÌÊ·Ó›˙ÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ‹:

K=6039

Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ 2012+2013+2014(=6.039). ™ËÌ›ˆÛË: H ÂÓÙÔÏ‹ numeric ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Û fiϘ ÙȘ ÂΉfiÛÂȘ. ¢Â›Ù ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 29-14.

∂ÈÎfiÓ· 29-14

29.10.3 ∞ÏÔÔ›ËÛË ¶·Ú¿ÛÙ·Û˘ – ∏ ∂ÓÙÔÏ‹ Simple (™.¶.) Î·È Simplify ∏ ÂÓÙÔÏ‹ simplify ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ› ÙË Û˘Ì‚ÔÏÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ ŒÛÙˆ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ: a = 3x6 – 12x5 + 6x3, b = x2 ηÈ, c = a/b = (3x6 – 12x5 + 6x3)/(x2) ∞Ó ‰ÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÓÙÔÏ‹: >>simplify(c) ↵

∆Ô ML ı· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Î·È ı· Ì·˜ ÂÈÛÙÚ¤„ÂÈ:

619

620

ª ∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞ ¡∞§À™∏ ππ

3x 6 – 12x 5 + 6x 3 = 3x 4 – 12x 3 + 6x = 3x x 3 – 4x 2 + 2 x2 ∆ËÓ ›‰È· ۯ‰fiÓ ÂÌÊ¿ÓÈÛË ı· ‰Â›ÍÂÈ Î·È Ë ÂÓÙÔÏ‹ simple(c), Ô˘ ÂÎÙÂÏ› ÌfiÓÔ ÙȘ ÂÈÙÚÂÙ¤˜ Ú¿ÍÂȘ. ¢Â›Ù ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 29-15.

∂ÈÎfiÓ· 29-15

∞Ó Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, fiˆ˜ ÔÈ: n = x3y + 4x – 5 m = xy – 2y p = n/m = (x3y + 4x – 5)/(xy – 2y) ∏ ÂÓÙÔÏ‹ simplify(p) ÂÌÊ·Ó›˙ÂÈ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·: (x3y + 4x – 5)/y/(x – 2) ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ë ‰Â‡ÙÂÚË ‰È·›ÚÂÛË (‰Â‡ÙÂÚÔ /) ÂÓÔÂ›Ù·È Â› ÙÔ˘ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ Ù˘ ÚÒÙ˘. ¢ËÏ·‰‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÈÛ¯‡ÂÈ: [(x3y + 4x – 5)/y]/(x – 2) ŸÌˆ˜ Ë ÂÓÙÔÏ‹ simple(p) Â›Ó·È Â˘Ú‡ÙÂÚË Î·È ÂÌÊ·Ó›˙ÂÈ ÙfiÛÔ ÙËÓ simplify fiÛÔ Î·È ÔÏϤ˜ ¿ÏϘ ÌÔÚʤ˜, Ô˘ ÛÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ì·˜ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÁ¿Ï˜ ‰È·ÊÔÚ¤˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ¢Â›Ù ÙËÓ ÔıfiÓË 29-16.

∂π¢π∫∞ £∂ª∞∆∞ ∆√À ªATLAB – ™Àªµ√§π∫√™ ¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™

621

∂ÈÎfiÓ· 29-16

29.10.4 ∂ÎÙ¤ÏÂÛË ڿ͈Ó. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ expand ∏ ÂÓÙÔÏ‹ expand ÂÎÙÂÏ› ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó Û ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÒÛÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ÁÚ¿„Ô˘ÌÂ: >>syms x; ↵ >>f1=(x-2)*(x-2)*(x-2); ↵ >>f1 ↵

£· ÂÌÊ·Ó›ÛÂÈ: f1=

(x-2)∧3

622

ª ∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞ ¡∞§À™∏ ππ

Î·È ·Ó ‰ÒÛÔ˘ÌÂ: >>expand(f1) ↵

£· ÂÌÊ·Ó›ÛÂÈ: x∧3-6*x∧2+12*x-8

Î·È ÌÂ: >>pretty(expand(f1)) ↵

£· ÂÌÊ·Ó›ÛÂÈ: x3-6x2+12x-8

¢Â›Ù ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 29-17.

∂ÈÎfiÓ· 29-17

∞Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ Â›Ó·È ÈÔ Û‡ÓıÂÙ˜, Ë ÂÓÙÔÏ‹ ·˘Ù‹ Ì·˜ ··ÏÏ¿ÛÛÂÈ ·fi ÔÏÏ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ¤¯Ô˘Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ: f1 = 3x5y + 2x2y2 – 5xy3 f2 = 4x3 – 6x2y2 + 7xy4 – 3 Î·È ˙ËÙԇ̠ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (fm) Î·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ (fd) ÙÔ˘˜. ™ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 29-18 Ê·›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Î·Ù·¯ˆÚ‹ÛÂȘ, ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Ô˘ ›ӷÈ: fm = f1*f2 = 12x8y – 18x7y3 + 21x6y5 – 9x5y + 8x5y2 – 12x4y4 + 14x3y6 – 6x2y2 – 20x4y3 + 30x3y5 – 35x2y7 + 15xy3 ∂›Ó·È Ê·ÓÂÚfi ˆ˜ Ì "ÙÔ ¯¤ÚÈ" ı· οÓÔ˘Ì ۛÁÔ˘Ú· οÔÈÔ Ï¿ıÔ˜.

∂π¢π∫∞ £∂ª∞∆∞ ∆√À ªATLAB – ™Àªµ√§π∫√™ ¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™

623

∂ÈÎfiÓ· 29-18

√È Ú¿ÍÂȘ Â›Ó·È Ôχ ÈÔ ‰‡ÛÎÔϘ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘, fiÔ˘ ·Ó·ÌÊ›‚ÔÏ· Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È Â›Ó·È Ôχ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Î·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ Ï¿ıÔ˘˜ Â›Ó·È Â›Û˘ Ôχ ÌÂÁ¿ÏË. ™ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 29-19 Ê·›ÓÂÙ·È Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.

∂ÈÎfiÓ· 29-19