Πρόλογος Μεταφραστών 'Οταν ο εκδοτικός όμιλος ΙΩΝ μας πρότεινε να μεταφράσουμε το βιβλίο του David C. Lay, ≪Linear Algebra and its Applications≫, η απόφαση μας ήταν σχεδόν αυτονόητη λόγω του επιστημονικού κύρους του συγγραφέα και της αναγνωρισιμότητας του Εκδοτικού Οίκου. Το κριτήριο που θα οριστικοποιούσε την αβίαστη πρώτη μας αντίδραση ήταν η επίδραση που θα είχε το περιεχόμενό του στους 'Ελληνες φοιτητές και ερευνητές και κατά πόσο η μελέτη του θα αποτελούσε συνθήκη ικανή και αναγκαία για την καλύτερη κατανόηση της γραμμικής άλγεβρας. Από τα πρώτα κεφάλαια, αίσθηση μας δημιούργησε ο συνδυασμός του υψηλού επιστημονικού επιπέδου με τον απλό και προσαρμοσμένο στα φοιτητικά, ερευνητικά και επαγγελματικά δεδομένα, τρόπο γραφής. 'Οσο προχωρούσαμε στην ανάγνωση διαπιστώναμε ότι το βιβλίο κάλυπτε σχεδόν όλους τους τομείς των επιστημών, τόσο με θεωρητικά θέματα όσο και με εφαρμογές του ερευνητικού, εμπορικού, βιομηχανικού, οικονομικού, κοινωνικού και διοικητικού κόσμου. Η ολοκλήρωση της μελέτης του μας βρήκε απόλυτα πεπεισμένους ότι το «Algebra and its Applications» του C. Lay, είναι ένα σύγγραμμα που θα συμβάλλει στην επίλυση αποριών και ταυτόχρονα θα βοηθήσει στη βαθιά μελέτη και μάθηση της γραμμικής άλγεβρας. 'Εχοντας γνώση του επιστημονικού υπόβαθρου του συγγραφέα και εμπιστοσύνη στον διεθνούς κύρους εκδοτικό οίκο ≪Addison-Wesley, Pearson Education Inc≫ και με την πεποίθηση ότι οι φοιτητές μας, ξεπερνώντας πια τον σκόπελο της διαφορετικής γλώσσας θα έρθουν πιο κοντά στη γνώση, αποδεχτήκαμε με μεγάλη τιμή και με αίσθημα ευθύνης το έργο της μετάφρασής του. Αρχικός μας στόχος ήταν η άρτια και πιστή απόδοση των όρων και των ορισμών του βασικού κειμένου στην Ελληνική γλώσσα. Στόχος που κατά τη διαδικασία της μετάφρασης έπρεπε να αναπροσαρμοστεί, ώστε να μην εισαχθούν νέοι όροι στα Ελληνικά Μαθηματικά Θέματα που ενδεχομένως θα αποπροσανατόλιζαν τους αναγνώστες, ταυτόχρονα όμως, έπρεπε να διατηρηθεί η ροή του λόγου του αρχικού κειμένου. Από την παραπάνω διαδικασία προέκυψε το Α ' γγλο-Ελληνικό Λεξικό Μαθηματικών 'Ορων της Γραμμικής Α ' λγεβρας, ως ειδικό παράρτημα, το οποίο έχει ήδη αναρτηθεί σε ηλεκτρονική μορφή στις ιστοσελίδες του εκδοτικού Ομίλου ΙΩΝ (www.iwn.gr) και στη δική μας (users.teiath.gr/mglamb). Το λεξικό που επεκτάθηκε και στην ΕλληνόΑγγλική μορφή και θα εμπλουτίζεται διαρκώς, είναι σε ελεύθερο .xls και .pdf format ώστε να μπορεί ο κάθε ενδιαφερόμενος να το αποθηκεύσει στον υπολογιστή του για χρήση και εκτός σύνδεσης. 'Ενα Ερμηνευτικό Λεξικό Βασικών Στοιχείων Γραμμικής Α ' λγεβρας δεν έλειπε φυσικά από το πρωτότυπο βιβλίο. Το λεξικό αυτό αποδόθηκε στην Ελληνική γλώσσα, αντιστράφηκε και λεξικογραφήθηκε στο Ελληνικό αλφάβητο και περιέχεται στο παρόν βιβλίο. Και αυτό το Ερμηνευτικό Λεξικό έχει αναρτηθεί στις παραπάνω ιστοσελίδες και είναι στη διάθεση κάθε μελετητή ενώ ο εμπλουτισμός του με νέα στοιχεία που θα προκύπτουν από τη διδασκαλία του μαθήματος, αλλά και την έρευνα και τη μελέτη θεμάτων που θα χρησιμοποιούν Γραμμική Α ' λγεβρα θα είναι συνεχής. Ως μία ενεργή ανατροφοδοτούμενη πηγή γνώσης αναμένουμε εξελίξεις και παρατηρήσεις από μελετητές και χρήστες στο email: Linear.Algebra@glampedakis.gr Ενισχυτικά στο θεωρητικό μέρος, συγγράφθηκαν προγράμματα σε MATLAB για τις Ασκήσεις και τα άλλα θέματα πληροφορικής που αναφέρονται στο βιβλίο. Τα προγράμματα έχουν αναρτηθεί στις ιστοσελίδες που προαναφέρονται και είναι ελεύθερα στη διάθεση των μελετητών. Οι νέες εκδόσεις του Ερμηνευτικού Λεξικού, του Α ' γγλο-Ελληνικού και ΕλληνόΑγγλικού Λεξικού καθώς και των Εφαρμογών σε MATLAB, μπορούν να αποστέλλονται δωρεάν στους ενδιαφερόμενους, με την αποστολή email στο: Linear.Algebra@glampedak is.gr Σε ειδικό παράρτημα παρατίθενται αναγκαίες αναφορές στα Αγγλοσαξονικά xi
συστήματα μονάδων που χρησιμοποιούνται στο βιβλίο και τις μετατροπές-αντιστοιχίες με το διεθνές σύστημα που χρησιμοποιούμε στην Ελλάδα. Παρατίθενται επίσης περιληπτικές αναφορές στους Μαθηματικούς και άλλους Επιστήμονες, (που στο κείμενο έχουν έναν αστερίσκο στο όνομά τους), έργα των οποίων αναφέρονται ή/και χρησιμοποιούνται στο βιβλίο. Η Αμερικανική 'Εκδοση του βιβλίου περιλαμβάνει δυο ακόμα κεφάλαια, που αναφέρονται σε προχωρημένα θέματα Γραμμικής Α ' λγεβρας, το 9 Optimization (Βελτιστοποίηση) και το 10 Finite-State Markov Chains (Αλυσίδες Μάρκοφ Πεπερασμένης Κατάστασης). Τα κεφάλαια αυτά είναι διαθέσιμα μόνο σε ηλεκτρονική μορφή, μέσω internet στην Αγγλική Γλώσσα. Στο σημείο αυτό θέλουμε να συγχαρούμε τον καθηγητή David C. Lay και όλους τους επιστήμονες που συνεργάστηκαν για τη δημιουργία αυτού του επιστημονικού συγγράμματος και μεταλαμπάδευσαν απλόχερα τις γνώσεις και την εμπειρία τους στην πιο εφαρμοσμένη περιοχή της μαθηματικής επιστήμης. Ο Καθηγητής Lay δίνει με αυτό το βιβλίο του τη δυνατότητα στους αγγλόφωνους, και εμείς σε ελληνόφωνους, προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές αλλά και στους επιστήμες όλων των πεδίων έρευνας και παραγωγής, να γνωρίσουν και να χρησιμοποιήσουν αυτό το εφαρμοσμένο μαθηματικό εργαλείο, που θα διευκολύνει την καθημερινότητά τους και τη λήψη κρίσιμων αποφάσεων. Εκφράζουμε θερμές ευχαριστίες στον Επίκουρο Καθηγητή Νίκο Ματζάκο, για τη επιμέλεια της μεταφοράς των κειμένων σε κώδικα LaTeX και της τελικής μορφοποίησης του βιβλίου. Χωρίς τη βοήθεια του δεν θα ήταν δυνατή η άρτια παρουσίαση του βιβλίου. Επίσης ευχαριστούμε τον συνεργάτη του Ηλιόπουλο Ηλία για τη μεταφορά των κειμένων στον κώδικα LaTeX. Ειλικρινείς ευχαριστίες εκφράζουμε στον Σταύρο Παροίκο του Atelie ΙΩΝ για την επαγγελματική και ευσυνείδητη συνεργασία του, και τέλος, ας μας επιτραπεί να αποδώσουμε τα εύσημα στον Εκδοτικό 'Ομιλο ΙΩΝ για την εμπιστοσύνη του στο απαιτητικό και δύσκολο έργο αυτής της μεταφοράς, τον οποίο και ελπίζουμε ότι δικαιώσαμε. Με την ελπίδα ότι το εγχείρημά μας αυτό θα συμβάλλει στη διεύρυνση των γνώσεων του ελληνικού μελετητικού και ερευνητικού κοινού αναφορικά με το αποτελεσματικό, πρακτικό και εφαρμοσμένο μαθηματικό εργαλείο της Γραμμικής Α ' λγεβρας, ευχόμαστε όμορφα ταξίδια κατά την ατέρμονη προσπάθεια κατανόησης της. Οι Μεταφραστές
Περιεχόμενα
Πρόλογος
xvi
Σημείωμα για του Φοιτητές
xxiii
Κεφάλαιο 1 Γραμμικά Συστήματα στην Γραμμική 'Αλγεβρα
1
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Γραμμικά Μοντέλα στην Οικονομία και την Επιστήμη των Μηχανικών 1 1.1 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 2 1.2 Πράξεις Γραμμών και Κλιμακωτή Μορφή 12 1.3 Διανυσματικές Εξισώσεις 24 1.4 Η Εξίσωση Μητρών Ax = b 34 1.5 Σύνολο Λύσεων Γραμμικών Συστημάτων 42 1.6 Εφαρμογές των Γραμμικών Συστημάτων 49 1.7 Γραμμική Ανεξαρτησία 55 1.8 Εισαγωγή στους Γραμμικούς Μετασχηματισμούς 62 1.9 Η Μήτρα Ενός Γραμμικού Μετασχηματισμού 70 1.10 Γραμμικά Μοντέλα στις Επιστήμες 80 Συμπληρωματικές Ασκήσεις 88
Κεφάλαιο 2 'Αλγεβρα Μητρών
91
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Μοντέλα Ηλεκτρονικών Υπολογιστών στο Σχεδιασμό Αεροπλάνων 91 2.1 Πράξεις Μητρών 93 2.2 Η Αντίστροφη Μήτρα 102 2.3 Τα Χαρακτηριστικά των Αντίστροφων Μητρών 111 2.4 Σύνθετες Μήτρες 117 2.5 Παραγοντοποίηση Μητρών 124 2.6 Το Μοντέλο Εισροών–Εκροών του Leontief 132 2.7 Εφαρμογές στα Γραφικά Υπολογιστών 138 2.8 Υπόχωροι του Rn 146 2.9 Διάσταση και Τάξη Υπόχωρου 153 Συμπληρωματικές Ασκήσεις 160
Κεφάλαιο 3 Ορίζουσες
162
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Τυχαία Μονοπάτια και Παραμόρφωση 163 3.1 Εισαγωγή στις Ορίζουσες 164 3.2 Ιδιότητες των Οριζουσών 170 3.3 Ο κανόνας του Cramer, 'Ογκοι, και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 177 Συμπληρωματικές Ασκήσεις 186 xiii
Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
189
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Διαστημική Πτήση και Συστήματα Ελέγχου 4.1 Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι 190 4.2 Μηδενόχωροι και Χώροι των Στηλών 199 4.3 Γραμμικοί Ανεξαρτησία Συνόλων, Βάσεις 208 4.4 Συστήματα Συντεταγμένων 216 4.5 Η Διάσταση ενός Διανυσματικού Χώρου 225 4.6 Βαθμός 230 4.7 Αλλαγή Βάσης 239 4.8 Εφαρμογές στις Εξισώσεις Διαφορών 244 4.9 Εφαρμογές της Αλυσίδας Markov 253 Συμπληρωματικές Ασκήσεις 262
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
189
265
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δυναμικά Συστήματα και Πιτσιλωτές Κουκουβάγιες 265 5.1 Ιδιοδιανύσματα και Ιδιοτιμές 266 5.2 Η Χαρακτηριστική Εξίσωση 273 5.3 Διαγωνοποίηση 281 5.4 Ιδιοδιανύσματα και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 288 5.5 Μιγαδικές Ιδιοτιμές 294 5.6 Διακριτά Δυναμικά Συστήματα 300 5.7 Εφαρμογές στις Διαφορικές Εξισώσεις 310 5.8 Επαναληπτικές Εκτιμήσεις των Ιδιοτιμών 318 Συμπληρωματικές Ασκήσεις 325
Κεφάλαιο 6 Ορθογωνιότητα και Ελάχιστα Τετράγωνα
329
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το Σύστημα Αναφοράς της Βορείου Αμερικής και το Παγκόσμιο Σύστημα Εντοπισμού Θέσης - Πλοήγησης 329 6.1 Εσωτερικό Γινόμενο και Ορθογωνιότητα 330 6.2 Ορθογώνια Σύνολα 338 6.3 Ορθογώνιες Προβολές 347 6.4 Η Διαδικασία ενΓραμ–Σςημιδτ 354 6.5 Προβλήματα Ελαχίστων τετραγώνων 360 6.6 Εφαρμογές των Γραμμικών Μοντέλων 368 6.7 Χώροι Εσωτερικού Γινομένου 377 6.8 Εφαρμογές των Χώρων Εσωτερικών Γινομένων 385 Συμπληρωματικές Ασκήσεις 391
Κεφάλαιο 7 Συμμετρικές Μήτρες και Τετραγωνικές Μορφές ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Επεξεργασία Πολυκαναλικής Εικόνας 7.1 Διαγωνιοποίηση Συμμετρικών Μητρών 397 7.2 Τετραγωνικές Μορφές 402 7.3 Βελτιστοποίηση υπό Συνθήκες 409 7.4 Ανάλυση σε Ιδιάζουσες Μορφές 416
395 393
7.5
Εφαρμογές στην Επεξεργασία Εικόνων και την Στατιστική Συμπληρωματικές Ασκήσεις 433
Κεφάλαιο 8 Η Γεωμετρία των Διανυσματικών Χώρων
426
435
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Πλατωνικά Στερεά 435 8.1 Ομοπαραλληλικοί (Αφινικοί) Συνδιασμοί 436 8.2 Αφινική Ανεξαρτησία 444 8.3 Κυρτοί Συνδυασμοί 454 8.4 Υπερεπίπεδα 461 8.5 Πολύτοπα 469 8.6 Καμπύλες και Επιφάνειες 481
Παραρτήματα Α Β
Μοναδικότητα της Ανηγμένης Κλιμακωτής Μορφής Μιγαδικοί Αριθμοί Π-495
Ερμηνευτικό Λεξικό Λ-501 Λύσεις στις Περιττού Αριθμού Ασκήσεις Ευρετήριο Ε-551 Πηγές Φωτογραφικού Υλικού 555
Π-493
Λ 513-549
Παραρτήματα Ελληνικής 'Εκδοσης 1. 2. 3. 4. 5.
Λίγα λόγια για τους μεταφραστές ΠΕ-557 – ΠΕ-559 Αγγλοελληνικό λεξικό όρων γραμμικής άλγεβρας ΠΕ-561 – ΠΕ-574 Ελληνοαγγλικό λεξικό όρων γραμμικής άλγεβρας ΠΕ-575 – ΠΕ-589 Συστήματα μονάδων ΠΕ-591 – ΠΕ-596 Αναφορές αστερίσκων κειμένου ΠΕ-597 – ΠΕ-606
Πρόλογος Η αποδοχή των τριών πρώτων εκδόσεων της Γραμμικής Α ' λγεβρας και των Εφαρμογών της από φοιτητές και διδάσκοντες ήταν περισσότερο από ευχάριστη. Η παρούσα Τέταρτη 'Εκδοση παρέχει ουσιαστική στήριξη τόσο στη διδασκαλία όσο και στη χρήση της τεχνολογίας στο μάθημα της Γραμμικής Α ' λγεβρας. 'Οπως και στις προηγούμενες εκδόσεις, το βιβλίο παρέχει μια σύγχρονη και βασική εισαγωγή στη Γραμμική Α ' λγεβρα και μεγάλη ποικιλία από ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Το υλικό απευθύνεται σε φοιτητές που έχουν γνώση Ανάλυσης (Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού). Ο κύριος στόχος του βιβλίου είναι να βοηθήσει τους φοιτητές να κατανοήσουν τις βασικές έννοιες και να αποκτήσουν τις απαραίτητες δεξιότητες που θα χρησιμοποιήσουν αργότερα στην επαγγελματική τους σταδιοδρομία. Τα θέματα ακολουθούν τις συστάσεις του Αναλυτικού Προγράμματος Σπουδών της Γραμμικής Α ' λγεβρας, οι οποίες βασίζονται στην προσεκτική διερεύνηση των πραγματικών αναγκών των φοιτητών σε συνδυασμό με τις προτάσεις επαγγελματιών από διάφορους κλάδους που χρησιμοποιούν τη Γραμμική Α ' λγεβρα ως μαθηματικό εργαλείο. Ελπίζουμε ότι αυτό το βιβλίο είναι από τα πιο χρήσιμα και ενδιαφέροντα μαθηματικά συγγράμματα που προσφέρονται σε προπτυχιακούς φοιτητές και όχι μόνον.
ΤΙ ΝΕΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΕΚΔΟΣΗ Ο κύριος σκοπός της νέας έκδοσης είναι να ενημερώσει τις ασκήσεις και να παρέξει πρόσθετη ύλη, τόσο στο βιβλίο όσο και μέσω διαδικτύου. 1. Πάνω από το είκοσι πέντε τοις εκατό των ασκήσεων είναι νέες ή ενημερωμένες, ειδικά οι ασκήσεις που χρησιμοποιούν υπολογιστές. Οι ασκήσεις παραμένουν ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου, και οι νέες ασκήσεις ακολουθούν το ίδιο υψηλό επίπεδο των ασκήσεων των τριών τελευταίων εκδόσεων. Είναι γραμμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να ανατροφοδοτούν το περιεχόμενο και την ουσία της ενότητας που αντιστοιχούν και να αναπτύσσουν την εμπιστοσύνη των φοιτητών και εκπαιδευτικών, ενώ παράλληλα τους προκαλούν να εξασκηθούν και να γενικεύσουν τις νέες γνώσεις που μόλις απέκτησαν. 2. Το είκοσι πέντε τοις εκατό των εισαγωγών των κεφαλαίων είναι νέο. Τα εισαγωγικά αυτά κείμενα παρέχουν εφαρμογές της γραμμικής άλγεβρας και το κίνητρο για την ανάπτυξη των μαθηματικών που ακολουθεί στο κεφάλαιο. Το κείμενο επιστρέφει ξανά στην εφαρμογή της εισαγωγής προς το τέλος του κεφαλαίου. 3. 'Ενα νέο Κεφάλαιο: Το Κεφάλαιο 8, Η Γεωμετρία των Διανυσματικών Χώρων, προσφέρει μια νέα θεματολογία που οι φοιτητές μου έχουν πραγματικά απολαύσει τη μελέτη της. Οι Ενότητες 1, 2 και 3 του Κεφαλαίου παρέχουν τα βασικά γεωμετρικά εργαλεία. Στη συνέχεια, η Ενότητα 6 χρησιμοποιεί αυτά τα εργαλεία για να μελετήσει τις καμπύλες και τις επιφάνειες Bezier, οι οποίες χρησιμοποιούνται στη μηχανική και στα γραφικά των υπολογιστών μέσω internet (Adobe Illustrator και Macromedia FreeHand). Αυτές οι τέσσερις Ενότητες μπορούν να διδαχθούν σε τέσσερις ή πέντε διδακτικές ώρες των 50 λεπτών. 'Ενα δεύτερο -υψηλότερου επιπέδου- μάθημα γραμμικής άλγεβρας σε ανώτερο εξάμηνο, συνήθως ξεκινά με μια ουσιαστική επανάληψη των βασικών στοιχείων του πρώτου μαθήματος. Εάν μέρος του κεφαλαίου 8 έχει διδαχθεί σε προηγούμενο εξάμηνο, το επόμενο εξάμηνο θα μπορούσε να περιλαμβάνει μια σύντομη ανασκόπηση των Ενοτήτων 1 έως 3 και στη συνέχεια, να εστίαζει στη Γεωμετρία της Ενότητας 4 και 5. Αυτό θα οδηγήσει κατά συνέπεια στα κεφάλαια 9 και 10 που προσφέρονται μέσω internet. Τα κεφάλαια αυτά έχουν διδαχθεί μαζί με το xvi
Κεφάλαιο 8 σε αρκετά Πανεπιστήμια τα τελευταία πέντε χρόνια. 4. Ο Οδηγός Μελέτης, ο οποίος ήταν πάντα ένα αναπόσπαστο μέρος του βιβλίου, έχει ενημερωθεί ώστε να καλύψει και το νέο κεφάλαιο 8. 'Οπως και στις προηγούμενες εκδόσεις, ο Οδηγός Μελέτης περιλαμβάνει μια υπόδειξη επίλυσης για τις ασκήσεις με περιττό αριθμό. 5. Δύο νέα κεφάλαια είναι διαθέσιμα στο διαδίκτυο και μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη περίπτωση ενός υψηλότερου επιπέδου μαθήματος: Κεφάλαιο 9. Βελτιστοποίηση Κεφάλαιο 10. Αλυσίδες Markov Πεπερασμένης Κατάστασης. Σημείωση Μεταφραστών: Για τα δυο αυτά κεφάλαια, στην Αγγλική γλώσσα, απαιτείται κωδικός πρόσβασης που παρέχεται μέσω συνδρομών κολλεγίων, πανεπιστημίων και άλλων φορέων. Η Ελληνική 'Εκδοση του βιβλίου συνοδεύεται από CD με τα δυο αυτά κεφάλαια στα Αγγλικά, Διαφάνειες PowerPoint και 75 εικόνες από 25 βασικά σημεία του βιβλίου.
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ Εισαγωγή Βασικών Εννοιών Αρκετές θεμελιώδεις έννοιες της γραμμικής άλγεβρας παρουσιάζονται στα επτά πρώτα μαθήματα, σε ορισμούς του Rn , και στη συνέχεια εξετάζονται σταδιακά από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Γενικεύσεις των εννοιών αυτών εμφανίζονται στη συνέχεια ως φυσικές προεκτάσεις γνωστών καταστάσεων, που οπτικοποιούνται μέσα από τη γεωμετρική κατανόηση που αναπτύχθηκε στο κεφάλαιο 1. 'Ενα σημαντικό επίτευγμα του συγγράμματος είναι ότι το επίπεδο δυσκολίας παραμένει σχεδόν όμοιο σε όλο το βιβλίο.
Μια Σύγχρονη Αντίληψη του Πολλαπλασιασμού Μητρών Ο σωστός συμβολισμός και η ορθή σημειογραφία είναι ζωτικής σημασίας, και το βιβλίο αυτό αντικατοπτρίζει τον τρόπο που οι επιστήμονες και οι μηχανικοί χρησιμοποιούν τη γραμμική άλγεβρα στην πράξη. Οι ορισμοί και οι αποδείξεις έχουν επικεντρωθεί στις στήλες μιας μήτρας, αντί στα στοιχεία της. 'Ενα κεντρικό θέμα είναι να αντιμετωπίζουμε ένα γινόμενο μήτρας-διανύσματος, Ax, ως γραμμικό συνδυασμό των στηλών της A. Αυτή η σύγχρονη προσέγγιση απλοποιεί πολλούς παράγοντες, και μετασχηματίζει προβλήματα διανυσματικών χώρων σε μελέτη γραμμικών συστημάτων.
Γραμμικοί μετασχηματισμοί Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί δημιουργούν το «νήμα» με το οποίο είναι υφασμένη η ύλη του βιβλίου και η χρήση τους ενισχύει τη γεωμετρική κατανόηση του συγγράμματος. Στο κεφάλαιο 1, για παράδειγμα, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί παρέχουν μια δυναμική και γραφική όψη του πολλαπλασιασμού μήτρας-διανύσματος.
Ιδιοτιμές και Δυναμικά Συστήματα Οι ιδιοτιμές εμφανίζονται στα κεφάλαια 5 και 7. Επειδή όμως το συγκεκριμένο υλικό διδάσκεται σε μαθήματα αρκετές εβδομάδες, οι φοιτητές έχουν περισσότερο χρόνο από τον συνηθισμένο για να αφομοιώσουν και να επανεξετάσουν αυτές τις κρίσιμες έννοιες. Οι Ιδιοτιμές εμφανίζονται και εφαρμόζονται σε διακριτά και συνεχή δυναμικά συστήματα, τα οποία εμφανίζονται στις Ενότητες 1.10, 4.8 και 4.9, καθώς και σε πέντε Ενότητες του Κεφαλαίου 5. Η ύλη αρκετών μαθημάτων φτάνει στο Κεφάλαιο 5 μετά από περίπου πέντε εβδομάδες, έχοντας καλύψει τις Ενότητες 2.8 και 2.9 αντί του κεφαλαίου 4. Αυτές οι δύο κατ’επιλογήν ενότητες παρουσιάζουν όλες τις έννοιες των διανυσματικών χώρων του κεφαλαίου 4 που απαιτούνται στο κεφάλαιο 5.
Προβλήματα Ορθογωνιότητας και Ελαχίστων Τετραγώνων Στα προβλήματα της ορθογωνιότητας και των ελαχίστων τετραγώνων δίνεται μια πιο ολοκληρωμένη από εκείνη που συναντά κάποιος στα περισσότερα σχετικά συγγράμματα. Η Ομάδας Μελέτης του Αναλυτικού Προγράμματος της Γραμμική Α ' λγεβρα έχει τονίσει την ανάγκη για μια ουσιαστική παρουσίαση της ορθογωνιότητας και των προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων, επειδή η ορθογωνιότητα παίζει πολύ σημαντικό ρόλο τόσο στους υπολογισμούς μέσω υπολογιστή όσο και στην αριθμητική γραμμική άλγεβρα, επειδή ασύμβατα γραμμικά συστήματα εμφανίζονται πολύ συχνά σε πρακτικές εφαρμογές.
ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Εφαρμογές Μια ευρεία επιλογή εφαρμογών απεικονίζει τη δύναμη της γραμμικής άλγεβρας στο να ερμηνεύει θεμελιώδεις αρχές και να απλοποιεί υπολογισμούς στη μηχανική, στην επιστήμη των υπολογιστών, στα μαθηματικά, στη φυσική, στη βιολογία, στην οικονομία, στη στατιστική και σε άλλες επιστήμες. Ορισμένες εφαρμογές εμφανίζονται σε πλήρεις ενότητες και άλλες αντιμετωπίζονται με παραδείγματα και ασκήσεις σχετικών ενοτήτων. Επιπλέον, κάθε κεφάλαιο ανοίγει με ένα εισαγωγικό σημείωμα που θέτει τις βάσεις για κάποια εφαρμογή της γραμμικής άλγεβρας και παρέχει ένα κίνητρο για την ανάπτυξη των μαθηματικών που ακολουθούν. Το κείμενο επιστρέφει στην εν λόγω εφαρμογή σε μια Ενότητα προς το τέλος του Κεφαλαίου.
Μια Ισχυρή Γεωμετρική Ερμηνεία Πολλοί φοιτητές μαθαίνουν καλύτερα όταν οπτικοποιήσουν μια ιδέα, γι’αυτό σε κάθε σημαντική έννοια του μαθήματος δίνεται μια γεωμετρική ερμηνεία. Το βιβλίο περιέχει αρκετά περισσότερα σχέδια και εικόνες από την πλειονότητα των συγγραμμάτων που κυκλοφορούν. Κάποια από αυτά τα σχέδια και τις εικόνες παρουσιάζονται πρώτη φορά σε βιβλίο γραμμικής άλγεβρας.
Παραδείγματα Το βιβλίο αφιερώνει σε παραδείγματα μεγαλύτερο ποσοστό του επεξηγηματικού του υλικού από άλλα βιβλία γραμμικής άλγεβρας. Υπάρχουν περισσότερα παραδείγματα από όσα ένας εκπαιδευτικός προλαβαίνει να παρουσιάσει στο αμφιθέατρο. Τα παραδείγματα αυτά έχουν γραφτεί πολύ προσεκτικά και με πολλές λεπτομέρειες, έτσι οι φοιτητές μπορούν να τα μελετήσουν και εκτός αίθουσας.
Θεωρήματα και Αποδείξεις Τα σημαντικότερα αποτελέσματα αναφέρονται ως θεωρήματα ενώ άλλα χρήσιμα συμπεράσματα εμφανίζονται σε χρωματιστά πλαίσια, για εύκολο εντοπισμό. Τα περισσότερα από τα θεωρήματα έχουν τις τυπικές αποδείξεις, που γνωρίζει ήδη ο φοιτητής. Σε μερικές περιπτώσεις, οι ουσιώδεις υπολογισμοί της απόδειξης παρατίθενται σε ένα προσεκτικά επιλεγμένο παράδειγμα. Τέλος, ορισμένες συνήθεις αποδείξεις παρουσιάζονται ως ασκήσεις, όπου κρίθηκε ότι θα είναι πιο χρήσιμες για τους φοιτητές.
Πρακτικά Προβλήματα Λίγα, προσεκτικά επιλεγμένα, Πρακτικά Προβλήματα εμφανίζονται ακριβώς πριν από κάθε ομάδα ασκήσεων και οι λύσεις τους παρουσιάζονται μετά τις ασκήσεις. Αυτά τα προβλήματα είτε επικεντρώνονται σε ενδεχόμενα προβληματικά σημεία των ασκήσεων, είτε παρέχουν μια «προθέρμανση» για τις ασκήσεις που ακολουθούν και οι λύσεις τους συχνά περιέχουν χρήσιμες υποδείξεις ή προειδοποιήσεις σχετικά με την πρόσθετη εργασία των φοιτητών.
Ασκήσεις Η αφθονία των ασκήσεων περιλαμβάνει από συνήθεις υπολογισμούς μέχρι εννοιολογικά ζητήματα που απαιτούν περισσότερη σκέψη. 'Ενας ικανός αριθμός καινοτόμων ερωτήσεων επικεντρώνεται στις εννοιολογικές δυσκολίες που έχω αντιληφθεί από τα γραπτά των φοιτητών μου με την πάροδο του χρόνου. Οι ομάδες των ασκήσεων είναι προσεκτικά επιλεγμένες και συμβαδίζουν με το πνεύμα του κειμένου του βιβλίου, ενώ οι εκτός σχολείου εργασίες (κατ' οίκον) γίνονται πιο εύκολες επειδή ένα μέρος του θέματος έχει ήδη παρουσιαστεί. 'Ενα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό των ασκήσεων είναι η αριθμητική τους απλότητα. Τα προβλήματα «ξεδιπλώνονται» αρκετά γρήγορα, ώστε οι φοιτητές να δαπανούν λιγότερο χρόνο σε αριθμητικούς υπολογισμούς. Οι λύσεις των ασκήσεων επικεντρώνονται στην κατανόηση του προβλήματος και όχι σε μηχανικούς υπολογισμούς. Οι ασκήσεις στην Τέταρτη 'Εκδοση περιέχουν όλες τις ασκήσεις της Τρίτης 'Εκδοσης, καθώς επίσης και νέα προβλήματα για τους φοιτητές και τους εκπαιδευτικούς. Οι ασκήσεις που σημειώνονται με το σύμβολο [Μ] χουν σχεδιαστεί για να λυθούν με τη βοήθεια ενός «Προγράμματος Μητρών» (όπως τα MATLAB® , MapleTM , Mathematica® , MathCad® , ή DeriveTM ,έναν προγραμματιζόμενο υπολογιστή με δυνατότητες διαχείρισης μητρών, όπως αυτοί της Texas Instruments).
Ερωτήσεις Σωστό/Λάθος Για να ενθαρρυνθούν οι φοιτητές να διαβάσουν ολόκληρο το κείμενο και να σκέφτονται κριτικά, έχω αναπτύξει 300 απλές ερωτήσεις σωστού/λάθους που εμφανίζονται σε 33 Ενότητες του βιβλίου, ακριβώς μετά τα υπολογιστικά προβλήματα. Οι ερωτήσεις μπορούν να απαντηθούν άμεσα από το κείμενο που έχουν μελετήσει και προετοιμάζουν τους φοιτητές για τα εννοιολογικά προβλήματα που ακολουθούν. Οι φοιτητές εκτιμούν τη σημασία των ερωτημάτων, εφ’ όσον έχουν κατανοήσει πρώτα τη αξία της προσεκτικής μελέτης του κειμένου. Βασισμένος σε τεστ στην τάξη και συζητήσεις με τους φοιτητές, αποφάσισα να μην συμπεριλάβω τις απαντήσεις στο βιβλίο. (Ο Οδηγός Μελέτης ενημερώνει τους φοιτητές πού να βρουν τις απαντήσεις των ερωτήσεων με περιττό αριθμό). 'Ελεγχος της κατανόησης της ύλης γίνεται με 150 επιπλέον ερωτήσεις σωστού/λάθους (κυρίως στο τέλος των κεφαλαίων). Το κείμενο παρέχει επίσης απλές απαντήσεις στα περισσότερα από αυτά τα ερωτήματα, αλλά παραλείπει τις αποδείξεις (που συνήθως απαιτούν κάποια σκέψη).
Ασκήσεις Συγγραφής Σε όλους τους φοιτητές της γραμμικής άλγεβρας, και όχι μόνο σε όσους σκοπεύουν να παρακολουθήσουν κάποιο μεταπτυχιακό πρόγραμμα μαθηματικών, είναι απαραίτητη η ικανότητα να γράφουν συνεκτικές μαθηματικές προτάσεις. Γιαυτό το βιβλίο περιλαμβάνει πολλές ασκήσεις στις οποίες μια γραπτή αιτιολόγηση είναι μέρος της απάντησης. Οι εννοιολογικές ασκήσεις που απαιτούν μια σύντομη απόδειξη συνήθως περιέχουν μόνο συμβουλές και υποδείξεις που βοηθούν έναν φοιτητή να ξεκινήσει την επίλυση, ενώ στο τέλος του βιβλίου περιλαμβάνεται, για όλες τις περιττές ασκήσεις μια λύση ή μια υπόδειξη, η δε λύση δίνεται στον Οδηγό Σπουδών, που περιγράφεται στα επόμενα.
Υπολογιστικά Θέματα Το κείμενο τονίζει τη συμβολή του υπολογιστή στην ανάπτυξη και την πρακτική αξία της γραμμικής άλγεβρας στον τομέα των Θεωρητικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών. Οι Αριθμητικές Σημειώσεις που υπάρχουν επισημαίνουν την προσοχή των μελετητών στη διάκριση μεταξύ θεμάτων υπολογισμών και θεωρητικών εννοιών, όπως η διαφορά μεταξύ της αντιστροφής μιας μήτρας και των εφαρμογών του υπολογιστή, π.χ. οι LU (Lower/Upper) παραγοντοποιήσεις.
WEB ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ Ο διαδικτυακός τόπος www.pearsonhighered.com/lay περιέχει υποστηρικτικό υλικό για το βιβλίο. Η ιστοσελίδα περιέχει για φοιτητές φύλλα επαναλήψεων και πρακτικές εξετάσεις (με λύσεις) που καλύπτουν τα κύρια θέματα του βιβλίου και προέρχονται από τα μαθήματα που έχω διδάξει τα τελευταία χρόνια. Κάθε φύλλο ανασκόπησης ταυτοποιεί βασικούς ορισμούς, θεωρήματα και δεξιότητες από ένα συγκεκριμένο τμήμα του βιβλίου.
Εφαρμογές από τα Κεφάλαια Η ιστοσελίδα περιέχει επίσης επτά μελέτες περιπτώσεων, οι οποίες επεκτείνουν τα θέματα που παρουσιάστηκαν στην αρχή κάθε κεφαλαίου, περιγράφοντας δεδομένα από τον πραγματικό κόσμο και δίνοντας ευκαιρίες για περαιτέρω διερεύνηση. Επιπλέον, περισσότερα από 20 'Εργα Εφαρμογής είτε εκτείνουν τα θέματα του βιβλίου είτε εισάγουν νέες εφαρμογές, όπως οι κυβικές splines, τα δρομολόγια των πτήσεων αεροπορικών εταιρειών, οι πίνακες κατάταξης στον αθλητισμό και οι κωδικοί διόρθωσης σφαλμάτων. Ορισμένες εφαρμογές των μαθηματικών είναι οι τεχνικές ολοκλήρωσης, οι ρίζες ενός πολυώνυμου, οι κωνικές τομές, οι τετραγωνικές (δεύτερου βαθμού) επιφάνειες, και τα ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών. Περιλαμβάνονται επίσης θέματα αριθμητικής γραμμικής άλγεβρας, όπως είναι οι αριθμοί κατάστασης, οι παραγοντοποιήσεις μητρών και η μέθοδος QR για την εύρεση των ιδιοτιμών. Σε κάθε παρουσίαση, υπάρχουν ασκήσεις που μπορεί να χρησιμοποιούν μεγάλα σύνολα δεδομένων (και κατά συνέπεια απαιτούν την πληροφορική για την επίλυσή τους).
Ξεκινώντας με την Τεχνολογία Εάν το μάθημά σας περιλαμβάνει κάποια εργασία με MATLAB, Maple, Mathematica ή αριθμομηχανές της Texas Instruments, μπορείτε να μελετήσετε στην ιστοσελίδα ένα από τα προγράμματα για μια αρχική βοήθεια. Επιπλέον, ο Οδηγός Σπουδών παρέχει εισαγωγικό υλικό για τους αρχάριους χρήστες.
Αρχεία Δεδομένων Εκατοντάδες αρχεία περιέχουν δεδομένα για περίπου 900 αριθμητικές ασκήσεις του βιβλίου, μελέτες περιπτώσεων και έργα εφαρμογής. Τα στοιχεία είναι διαθέσιμα στην ιστοσελίδα www.pearsonhighered.com/lay σε μια ποικιλία μορφών, αναγνωρίσιμων από τα MATLAB, Maple, Mathematica, και τις γραφικές αριθμομηχανές TI-83 +/86/89 της Texas Instruments. Οι φοιτητές μπορούν να έχουν πρόσβαση σε μήτρες και διανύσματα για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα μόνο με το πάτημα μερικών πλήκτρων, έτσι αποφεύγονται λάθη και εξοικονομείται χρόνος με τη μη καταχώρηση δεδομένων κατά τις εργασίες εκτός σχολείου.
Προγράμματα MATLAB Τα διερευνητικά προβλήματα καλούν τους φοιτητές να ανακαλύψουν βασικά μαθηματικά και αριθμητικά προβλήματα που εμφανίζονται στη γραμμική άλγεβρα. Ο Rick Smith συνέγραψε προγράμματα, που αναπτύχθηκαν για να υποστηρίξουν ένα μάθημα υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας στο Πανεπιστήμιο της Florida, στο οποίο χρησιμοποιείται το βιβλίο «Γραμμική 'Αλγεβρα και οι Εφαρμογές της» για πολλά χρόνια. Τα προβλήματα αυτά έχουν ένα εικονίδιο WEB σε κατάλληλα σημεία του κειμένου και περίπου τα μισά από αυτά εξερευνούν θεμελιώδεις έννοιες όπως ο χώρος των στηλών, η διαγωνιοποίηση μητρών και οι ορθές προβολές. Πολλές εφαρμογές επικεντρώνονται σε αριθμητικά θέματα όπως τα flops, οι επαναληπτικές μέθοδοι και η SVD, η παρεμβολή Lagrange και οι αλυσίδες Markov.
ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ Οδηγός Σπουδών Ο Οδηγός Σπουδών, είναι διαθέσιμος σε έντυπη έκδοση με χαμηλό κόστος. 'Εγραψα αυτόν τον οδηγό για να αποτελέσει αναπόσπαστο μέρος του μαθήματος. Στο κείμενο, ένα εικονίδιο SG παραπέμπει τους φοιτητές σε ειδικές υποενότητες του Οδηγού που τους βοηθούν να κατανοήσουν τις βασικές έννοιες του μαθήματος. Ο Οδηγός παρέχει μια αναλυτική λύση σε κάθε τρίτου περιττού αριθμού άσκηση, η οποία επιτρέπει στους φοιτητές να ελέγξουν την εργασία τους. Μια πλήρης εξήγηση παρέχεται στις περιττά αριθμημένες ασκήσεις που έχουν μόνο την ένδειξη «Υπόδειξη» στην Ενότητα των απαντήσεων, στο τέλος του παρόντος συγγράμματος, ενώ οι αναφορές «Προσοχή!» εντοπίζουν συνήθη σφάλματα και δείχνουν πώς να τα αποτρέψετε, και τέλος, τα πλαίσια MATLAB υποδεικνύουν τις εντολές του προγράμματος που απαιτούνται. Τα Παραρτήματα στον Οδηγό Σπουδών παρέχουν συγκρίσιμες πληροφορίες σχετικά με τα Maple, Mathematica και γραφικούς υπολογιστές της Texas Instruments (ISBN: 0-32138883-6).
'Εκδοση για τον Διδάσκοντα Για τη διευκόλυνση των εκπαιδευτικών, η ειδική αυτή έκδοση περιλαμβάνει σύντομες απαντήσεις σε όλες τις ασκήσεις. Μια Σημείωση για τον Διδάσκοντα στην αρχή του κειμένου παρέχει ένα σχόλιο σχετικά με τον σχεδιασμό και την οργάνωση του κειμένου, για να βοηθήσει τους εκπαιδευτικούς να σχεδιάσουν τα μαθήματά τους. Περιλαμβάνει επίσης και άλλη υποστήριξη για τους εκπαιδευτικούς. (ISBN: 0-321-38518-7)
Εγχειρίδια Τεχνολογίας για τον Διδάσκοντα Κάθε εγχειρίδιο περιέχει λεπτομερείς οδηγίες για την ενσωμάτωση ενός συγκεκριμένου πακέτου λογισμικού ή γραφικών, γραμμένο από καθηγητές που έχουν ήδη χρησιμοποιήσει υπολογιστές με το βιβλίο αυτό. Τα ακόλουθα εγχειρίδια είναι διαθέσιμα για εκπαιδευτικούς, μέσω της Pearson Instructor Resource Center, www.pearsonhighered.com/irc: MATLAB (ISBN: 0-321-53365-8), Maple (ISBN: 0-321-75605-3), Mathematica (ISBN: 0-321-38885-2), και TI-83C/86/89 (ISBN: 0-321-38887-9).
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Είμαι πραγματικά ευγνώμων σε πολλές ομάδες ανθρώπων που με βοήθησαν όλα αυτά τα χρόνια στις διάφορες πτυχές αυτού του βιβλίου. Θέλω να ευχαριστήσω τον Israel Gohberg και τον Robert Ellis για τα περισσότερα από δεκαπέντε χρόνια ερευνητικής συνεργασίας, η οποία διαμόρφωσε σε μεγάλο βαθμό τη γνώμη μου για τη γραμμική άλγεβρα. Και, ήταν προνόμιο το να είσαι μέλος της Ομάδας Μελέτης του Αναλυτικού Προγράμματος της Γραμμικής Α ' λγεβρας μαζί με τους David Carlson, Charles Johnson και Duane Porter. Οι δημιουργικές ιδέες τους σχετικά με τη διδασκαλία της γραμμικής άλγεβρας έχουν επηρεάσει σημαντικά και με ποικίλους τρόπους αυτό το σύγγραμμα. Rafal Ablamowicz, Tennessee Technological University Brian E. Blank, Washington University in St. Louis Vahid Dabbaghian-Abdoly, Simon Fraser University James L. Hartman, The College of Wooster Richard P. Kubelka, San Jose State University Martin Nikolov, University of Connecticut Ilya M. Spitkovsky, College of William & Mary
John Alongi, Northwestern University Steven Bellenot, Florida State University Herman Gollwitzer, Drexel University David R. Kincaid, The University of Texas at Austin Douglas B. Meade, University of South Carolina Tim Olson, University of Florida Albert L. Vitter III, Tulane University
Για την τέταρτη αυτή έκδοση, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον αδελφό μου, Steven Lay, Πανεπιστήμιο Lee, για τη γενναιόδωρη βοήθεια και την ενθάρρυνσή του, καθώς και για τα πρόσφατα αναθεωρημένα από αυτόν Κεφάλαια 8 και 9. Επίσης ευχαριστώ τον Thomas Polaski, Πανεπιστήμιο Winthrop, για το πρόσφατα αναθεωρημένο Κεφάλαιο 10. Για τις καλές συμβουλές και τη βοήθεια με τα παραδείγματα στις εισαγωγές των κεφαλαίων, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Raymond Rosentrater, του Westmont
College. Μια άλλη ταλαντούχος καθηγήτρια, η Judith McDonald, του Washington State University, ανέπτυξε πολλές νέες ασκήσεις. Η βοήθεια και ο ενθουσιασμός της για το βιβλίο με αναζωογόνησαν και με ενέπνευσαν. Ευχαριστώ τους ειδικούς της τεχνολογίας που μόχθησαν για τα διάφορα συμπληρώματα στον Οδηγό Σπουδών της Τέταρτης 'Εκδοσης, την προετοιμασία των δεδομένων, τη συγγραφή σημειώσεων για τους διδάσκοντες, τη συγγραφή σημειώσεων προγραμματισμού για τους φοιτητές, και μοιράστηκαν τα έργα τους μαζί μας: Jeremy Case (MATLAB), Πανεπιστήμιο Taylor. Douglas Meade (Maple), Πανεπιστήμιο South Carolina. Michael Miller (TI Υπολογιστές),Western Baptist College και Marie Vanisko (Mathematica), Carroll College. Ευχαριστώ τον καθηγητή John Risley και τους μεταπτυχιακούς φοιτητές David Aulicino, Sean Burke και Hersh Goldberg για τις τεχνικές τους γνώσεις και τη βοήθεια στην ανάπτυξη των online μαθημάτων υποστήριξης του βιβλίου. ίΕίμαι ευγνώμων για τις δοκιμές και τους ελέγχους της online υποστήριξης στους Agnes Boskovitz, Malcolm Brooks, Elizabeth Ormerod, Alexander Isaev και John Urbas του Australian National University, John Scott και Leben Wee του Montgomery College, Maryland, και, Xingru Zhang στο SUNY University του Buffalo. Εκτιμώ την μαθηματική βοήθεια των Blaise DeSesa, Jean Horn, Roger Lipsett, Paul Lorczak, Thomas Polaski, Sarah Streett και Marie Vanisko, οι οποίοι έλεγξαν την ακρίβεια των υπολογισμών του βιβλίου. Τέλος, ευχαριστώ ειλικρινά το προσωπικό του Εκδοτικού Οίκου Addison-Wesley για τη βοήθειά του στην ανάπτυξη και την παραγωγή της Τέταρτης 'Εκδοσης: Caroline Celano, sponsoring editor, Chere Bemelmans, senior content editor, Tamela Ambush, associate managing editor, Carl Cottrell, senior media producer, Jeff Weidenaar, executive marketing manager, Kendra Bassi, marketing assistant Andrea Nix, text design. Για το τέλος κράτησα τους τρεις καλούς μου φίλους που με βοήθησαν στην ανάπτυξη του βιβλίου από την αρχή του, δίνοντας μου πολύτιμες συμβουλές και ενθάρρυνση, τους: Greg Tobin, εκδότη, Laurie Rosatone, πρώην εκδότρια, και, William Hoffman, συντάκτη. Σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ David C. Lay
Σημείωση για τους φοιτητές Το μάθημα αυτό είναι πιθανώς το πιο ενδιαφέρον από τα προπτυχιακά μαθήματα μαθηματικών που θα παρακολουθήσετε. Στην πραγματικότητα, μερικοί φοιτητές μου, μού έχουν γράψει ή μού έχουν μιλήσει μετά την αποφοίτησή τους, ότι εξακολουθούν να χρησιμοποιούν το βιβλίο περιστασιακά ως σημείο αναφοράς στην καριέρα τους σε μεγάλες επιχειρήσεις και σε μεταπτυχιακά προγράμματα. Οι παρατηρήσεις που ακολουθούν παρέχουν κάποιες πρακτικές συμβουλές και πληροφορίες που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε το υλικό και να απολαύσετε το μάθημα. Στη γραμμική άλγεβρα, οι έννοιες είναι εξίσου σημαντικές με τους υπολογισμούς. Οι πρώτες απλές αριθμητικές ασκήσεις στην αρχή κάθε ομάδας ασκήσεων, σας βοηθούν να κατανοήσετε τις βασικές διαδικασίες. Αργότερα στην καριέρα σας, οι υπολογιστές θα κάνουν τους υπολογισμούς για εσάς, αλλά θα πρέπει να ξέρετε να ερμηνεύετε τα αποτελέσματα, και στη συνέχεια να εξηγείτε τα αποτελέσματα αυτά σε άλλους ανθρώπους. Για αυτόν τον λόγο, πολλές ασκήσεις του βιβλίου σας ζητούν να εξηγήσετε ή να δικαιολογήσετε τους υπολογισμούς σας. Συχνά απαιτείται μια γραπτή εξήγηση ως μέρος της απάντησης. Για τις ασκήσεις με περιττό αριθμό, θα βρείτε είτε την επιθυμητή εξήγηση είτε, τουλάχιστον, μια καλή υπόδειξη. Θα πρέπει να αποφεύγετε τον πειρασμό να κοιτάζετε αυτές τις απαντήσεις πριν προσπαθήσετε να βρείτε μόνοι σας τη λύση. Διαφορετικά, είναι πιθανό να νομίζετε ότι κατανοείτε κάτι, ενώ στην πραγματικότητα δεν το έχετε κατανοήσει. Για να κατανοήσετε πλήρως τις έννοιες της Γραμμικής Α ' λγεβρας, θα πρέπει να διαβάσετε και να ξαναδιαβάσετε το κείμενο του βιβλίου προσεκτικά. Οι νέοι όροι και ορισμοί είναι γραμμένοι με έντονους χαρακτήρες και μερικές φορές βρίσκονται μέσα σε πλαίσια. 'Ενα ερμηνευτικό λεξικό των βασικών όρων υπάρχει στο τέλος του βιβλίου. Τέλος, τα σημαντικά στοιχεία αναφέρονται ως θεωρήματα ή περικλείονται σε χρωματιστά πλαίσια, για εύκολο εντοπισμό. Σας ενθαρρύνω να διαβάσετε τις πρώτες πέντε σελίδες της Εισαγωγής για να μάθετε περισσότερα σχετικά με τη δομή αυτού του βιβλίου. Αυτό θα σας δώσει ένα πλαίσιο για την κατανόηση του πώς μπορείτε να το μελετήσετε. Από πρακτική άποψη, η Γραμμική Α ' λγεβρα είναι μια γλώσσα. Θα πρέπει να μάθετε αυτή τη γλώσσα με τον ίδιο τρόπο που θα μαθαίνατε μια ξένη γλώσσα – δηλαδή, με καθημερινή εργασία και ενασχόληση. Η ύλη που παρουσιάζεται σε μια Ενότητα δεν θα είναι εύκολα κατανοητή, εκτός αν έχετε μελετήσει διεξοδικά το κείμενο και τις ασκήσεις των προηγούμενων κεφαλαίων. Το να συμβαδίζετε με την εξέλιξη της διδασκαλίας του μαθήματος θα σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και αγωνία!
Αριθμητικές Σημειώσεις Ελπίζω να διαβάζετε τις Αριθμητικές Σημειώσεις που περιλαμβάνονται στο βιβλίο, ακόμη και αν δεν χρησιμοποιείτε έναν υπολογιστή. Στην πραγματική ζωή, οι περισσότερες εφαρμογές της Γραμμικής Α ' λγεβρας περιλαμβάνουν αριθμητικούς υπολογισμούς που υπόκεινται σε κάποιο αριθμητικό λάθος, ακόμα κι αν το σφάλμα αυτό είναι εξαιρετικά μικρό. Οι αριθμητικές σημειώσεις θα σας προειδοποιούν για πιθανές δυσκολίες που θα συναντήσετε στη χρήση της Γραμμικής Α ' λγεβρας αργότερα στην καριέρα σας, και εάν μελετήσετε τις σημειώσεις τώρα, είναι πιο πιθανό να τις θυμάστε αργότερα. Αν διαβάζετε ευχάριστα τις Αριθμητικές Σημειώσεις, μπορεί να θελήσετε αργότερα, να παρακολουθήσετε κάποιο μάθημα πάνω στην Αριθμητική Γραμμική Α ' λγεβρα. Λόγω της υψηλής απαίτησης για αυξημένη υπολογιστική ισχύ, οι μεν μαθηματικοί της πληροφορικής εργάζονται στην Αριθμητική Γραμμική Α ' λγεβρα προκειμένου να αναπτύξουν ταχύτερους και πιο αξιόπιστους αλγόριθμους για υπολογισμούς, οι δε ηλεκτρονικοί μηχανικοί στον σχεδιασμό ταχύτερων και μικρότερων υπολογιστών που θα τρέχουν τους αλγόριθμους. Πρόκειται για ένα συναρπαστικό πεδίο και το πρώτο xxiii
μάθημα σας στη γραμμική άλγεβρα, θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε γιάυτό.
Οδηγός Μελέτης Για να βοηθηθείτε στο να πετύχετε σε αυτό το μάθημα, σας προτείνω να αγοράσετε τον Οδηγό Σπουδών (www.mypearsonstore.com, 0-321-38883-6). 'Οχι μόνο θα σας βοηθήσει να μάθετε γραμμική άλγεβρα, αλλά θα σας δείξει και πώς να μελετήσετε τα μαθηματικά. Σε στρατηγικά σημεία στο βιβλίο, ένα εικονίδιο SG θα σας κατευθύνει σε ειδικές υποενότητες στον Οδηγό Σπουδών με τίτλο ”Mastering Linear Algebra Concepts” (Βασικές 'Εννοιες Γραμμικής Α ' λγεβρας). Εκεί θα βρείτε προτάσεις για τη δημιουργία αποτελεσματικών φύλλων ανατροφοδότησης των θεμελιωδών εννοιών. Η προετοιμασία των φύλλων είναι ένα από τα μυστικά για την επιτυχία σας στο αντικείμενο αυτό, γιατί έτσι θα δημιουργήσετε συσχετισμούς μεταξύ των διαφόρων εννοιών. Αυτοί οι συσχετισμοί είναι η «κόλλα» που θα σας επιτρέψει να οικοδομήσετε μια σταθερή βάση για την εκμάθηση και την απομνημόνευση των βασικών εννοιών του μαθήματος. Ο Οδηγός Σπουδών περιέχει την αναλυτική λύση των ασκήσεων κάθε τρίτο περιττό αριθμό, περιέχει επίσης και τις λύσεις σε όλες τις ασκήσεις με περιττό αριθμό για τις οποίες δίνεται μόνο μια υπόδειξη στην Ενότητα «Απαντήσεις των Περιττών Ασκήσεων». Ο Οδηγός είναι ανεξάρτητος από το βιβλίο διότι θα πρέπει να μάθετε να λύνετε τις ασκήσεις μόνοι σας, χωρίς ουσιαστική βοήθεια. (Γνωρίζω μετά από χρόνια εμπειρίας ότι αν υπάρχουν οι λύσεις των προβλημάτων στο τέλος ενός βιβλίου, επιβραδύνεται η κατανόηση των μαθηματικών από τους περισσότερους φοιτητές). Ο οδηγός περιέχει επίσης προειδοποιήσεις για τα συνηθισμένα λάθη που γίνονται και χρήσιμες συμβουλές που εφιστούν την προσοχή σας σε ασκήσεις κλειδιά και πιθανές ερωτήσεις των εξετάσεων. Εάν έχετε πρόσβαση σε προγράμματα, όπως τα MATLAB, Maple, Mathematica ή γραφικές αριθμομηχανές τύπου Texas Instruments, μπορείτε να εξοικονομήσετε πολλές ώρες χρόνου συμπληρωματικής εργασίας στο σπίτι. Ο Οδηγός Σπουδών θα είναι το «εγχειρίδιο εργαστηρίου» σας που σας εξηγεί πώς να χρησιμοποιήσετε κάθε ένα από αυτά τα βοηθητικά προγράμματα μητρών και θα εισάγει νέες εντολές, όπου αυτό είναι απαραίτητο. Μπορείτε να κατεβάσετε από την ιστοσελίδα www.pearsonhighered.com/lay στοιχεία και δεδομένα για περισσότερες από 850 ασκήσεις του βιβλίου. (Με το πάτημα μερικών πλήκτρων, μπορείτε να εμφανίσετε οποιοδήποτε αριθμητικό πρόβλημα στην οθόνη σας). Ειδικές εντολές μητρών θα εκτελέσουν τους υπολογισμούς αντί για εσάς! Η ύλη που θα διδαχθείτε τις πρώτες εβδομάδες της παρακολούθησης του μαθήματος είναι το στοιχείο που θα καθορίσει πόσο καλά θα τα πάτε στο μάθημα. Σας παρακαλώ να διαβάστε το ”How to Study Linear Algebra” (Πώς να Μελετήσετε τη Γραμμική Α ' λγεβρα) που βρίσκεται στον Οδηγό Σπουδών, το συντομότερο δυνατό. Οι φοιτητές μου έχουν βρει τις στρατηγικές που υπάρχουν πολύ χρήσιμες και ελπίζω ότι και εσείς θα τις βρείτε επίσης.