¶ƒ√§√°√™ ∆Ô ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi ·Â˘ı‡ÓÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ Ù˘ ∞ÓÒÙ·Ù˘ ∂η›‰Â˘Û˘. ÕÓÂÙ· fï˜ ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Î·È ·fi fiÏÔ˘˜ ÂΛÓÔ˘˜ Ô˘ ÂӉȷʤÚÔÓÙ·È ÁÈ· ¤Ó· ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi ‚È‚Ï›Ô ÛÙÔÓ ¯ÒÚÔ ÙˆÓ "∞ÓÒÙÂÚˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ". ∏ ‡ÏË ÙÔ˘ ηχÙÂÈ ÙÔÓ ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi, ÙËÓ ∞Ó·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙË ™˘Ó·ÚÙËÛȷ΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË, ÙÔÓ ¢È·ÊÔÚÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi, ÙÔÓ √ÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi Î·È Ù· πÛÙÔÚÈο ™ÙÔȯ›· Û ¤ÎÙ·ÛË Î·È ‚¿ıÔ˜ Ô˘ ÚԂϤÔÓÙ·È ÁÈ· ·˘Ù‹Ó ÙË ‚·ıÌ›‰· Âη›‰Â˘Û˘. ¶ÚÔÛÙ¤ıËΠ¤Ó· ÔÏfiÎÏËÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ì ÙÔ ÁÂÓÈÎfi Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ·Î¤ÙÔ MATLAB ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÈχÂÈ ÁÚ‹ÁÔÚ· Î·È Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· fiÏ· Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙˆÓ ıÂÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. ∏ Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÔˆÛ‰‹ÔÙ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ‰˘ÛÎÔϛ˜ ÛÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹, ÙË ‰È¿Ù·ÍË Î·È ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘. £· Ú¤ÂÈ, ¤Ú· ·fi ÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÁÓÒÛÂȘ Ô˘ ÚÔÛʤÚÂÈ, Ó· ·ÔηχÙÂÈ ·Ú¿ÏÏËÏ· Î·È ÙË ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÛΤ„˘ ·ÏÏ¿ Î·È ÙȘ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ÛÙËÓ ∂ÈÛÙ‹ÌË Î·È ÙËÓ ∆¯ÓÔÏÔÁ›·. √ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÂȉÈÒ͈Ó, ÛÂ Û˘Û¯ÂÙÈÛÌfi Ì ÙË ‰È·›ÛÙˆÛË fiÙÈ ÔÈ ÛËÌÂÚÈÓÔ› ·fiÊÔÈÙÔÈ ÙˆÓ §˘Î›ˆÓ, ·Ú¿ ÙÔ ·ÍÈfiÏÔÁÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ˘fi‚·ıÚÔ Ô˘ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó, ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙Ô˘Ó Ì ÙËÓ ·ÏÏ·Á‹ ‚·ıÌ›‰·˜ Âη›‰Â˘Û˘ ȉȷ›ÙÂÚ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÚÔÛ·ÚÌÔÁ‹˜ ÛÙÔÓ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi Ù˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜, Ô‰‹ÁËÛ·Ó ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. ∂›Ó·È ÛÎfiÈÌÔ Ó· ‰È¢ÎÚÈÓÈÛı› fiÙÈ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ¤¯ÂÈ Û¯Â‰È·Ûı› ÁÈ· Ó· ‰È‰·¯ı› Û' ¤Ó· ÂÍ¿ÌËÓÔ Ì ÙÂÙÚ¿ˆÚË ¤ˆ˜ ÂÍ¿ˆÚË ‰È‰·Ûηϛ· ÙËÓ Â‚‰ÔÌ¿‰· Î·È Ó· ¯ÚËÛÈ̇ÂÈ ·Ú¿ÏÏËÏ· ˆ˜ ‚È‚Ï›Ô ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ∞ÓÒÙÂÚˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. °È' ·˘Ùfi, Ë ·ÚÔ˘Û›·ÛË Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘ ¤ÁÈÓ Ì ÙÚfiÔ ·Ïfi Î·È Î·Ù¿ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ Û‡ÓÙÔÌÔ. √È Î·ı·Ú¿ ıˆÚËÙÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Û˘Óԉ‡ÔÓÙ·È ¿ÓÙÔÙ ·fi ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ô˘ ·Ó·Ï‡Ô˘Ó ÙÔ ÓfiËÌ¿ ÙÔ˘˜, ÂÓÒ ÔÈ ‰‡ÛÎÔϘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ·Ú·Ï›ÊıËÎ·Ó ‹ ÁÚ¿ÊÙËÎ·Ó Ì ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÁÚ·ÌÌ·ÙÔÛÂÈÚ¿ ÒÛÙ ӷ ‰È‰·¯ıÔ‡Ó ÂÈÏÂÎÙÈο, ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi Ó· ‚Ï¿ÙÂÈ ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ÙË ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. ∂Í' ¿ÏÏÔ˘ ¤Ó·˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·fi ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ÁÈ· χÛË ·Û΋ÛÂȘ Ì·˙› Ì ÙȘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜, ‰›ÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· ÛÙÔ˘˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ ÁÈ· ¿ÛÎËÛË Î·È Â̤‰ˆÛË Ù˘ ‡Ï˘. ¶ÈÛÙ‡ԢÌ fiÙÈ ·Ú·ı¤ÙÔÓÙ·˜ ÌÂÚÈο ÈÛÙÔÚÈο ÛÙÔȯ›· ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Ô˘ ¿ÊËÛ·Ó ·ÓÂÍ›ÙËÏÔ ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘˜ ÛÙËÓ ÂͤÏÈÍË Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÛÙ‹Ì˘, ‚ÔËıԇ̠ÙÔ˘˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ó ·Ê' ÂÓfi˜ ÌÂÓ ÂÈÎfiÓ· Ù˘ ‰È· ̤ÛÔ˘ ÙˆÓ ·ÈÒÓˆÓ ÔÚ›·˜ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ·Ê' ÂÙ¤ÚÔ˘ ‰Â Ó· ·ÈÛı·ÓıÔ‡Ó ÁÈ· ÌÈ· ·ÎfiÌË ÊÔÚ¿ ˘ÂÚ‹Ê·ÓÔÈ Ô˘ ÁÂÓÓ‹ıËÎ·Ó ŒÏÏËÓ˜. ¶ÏËıÒÚ· ÈÛÙÔÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÌÔÚ› Ó· ‚ÚÂÈ Ô ÂӉȷÊÂÚfiÌÂÓÔ˜ ÛÙÔ Internet. ∆¤ÏÔ˜, Â›Ó·È ‚¤‚·ÈÔ, fiÙÈ Î¿ı ÂÈÏÔÁ‹ ‹ ÚˆÙÔ‚Ô˘Ï›· ÙÔ˘ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙÔ˜, Ô˘ ı· ‚ÔËı‹ÛÂÈ ÙÔ˘˜ ÛÔ˘‰·ÛÙ¤˜ Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó ·¿ÓÙËÛË ÛÙ· ÎÚ›ÛÈÌ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù·: – °È·Ù› ÙfiÛ· Ì·ıËÌ·ÙÈο; ηÈ, – ¶Ò˜ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο ·˘Ù¿ Ì ٷ ¿ÏÏ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ù˘ ÛÔ˘‰‹˜ ÙÔ˘˜; Û˘Ì›ÙÂÈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓÂÈ ÙȘ ÚÔı¤ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘ÁÁڷʤˆÓ. ªπÃ∞§∏™ °§∞ª¶∂¢∞∫∏™ ∞¡∆ø¡∏™ °§∞ª¶∂¢∞∫∏™
™˘ÓÔÙÈο ¶ÂÚȯfiÌÂÓ· ª∂ƒ√™ ¶ƒø∆√ ñ µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1: ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› ·fi ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÏÔÁÈ΋ Î·È Ù· Û‡ÓÔÏ· . . . . . . . . . . 27 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2: ™‡ÓÔÏ· ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3: √Ú›˙Ô˘Û˜ Î·È ÁÚ·ÌÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4: ¶Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ª∂ƒ√™ ¢∂À∆∂ƒ√ ñ ¢π∞¡À™ª∞∆π∫√™ §√°π™ª√™ ∫∞π ∞¡∞§À∆π∫∏ °∂øª∂∆ƒπ∞ ∞. ¢π∞¡À™ª∞∆π∫√™ §√°π™ª√™ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5: √ÚÈÛÌÔ› Î·È ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ ÛÙ· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·. . . . . . . . . . . . . . . . 105 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6: ™˘ÛÙ‹Ì·Ù· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 7: ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔ˘˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 µ. ∞¡∞§À∆π∫∏ °∂øª∂∆ƒπ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 8: °Ú·Ì̤˜ ÛÙÔ Â›Â‰Ô (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 9: °ÂÓÈο ÂÚ› Î·Ì˘ÏÒÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 10: ™ÙÔȯ›· ·fi ÙË ÌÂϤÙË ÙÔ˘ R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 ª∂ƒ√™ ∆ƒπ∆√ ñ √§√∫§∏ƒø∆π∫√™ §√°π™ª√™ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 11: ŸÚÈÔ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 12: ™˘Ó¤¯ÂÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 13: ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 14: ¶ÂÚ› ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 15: ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ‰È·ÊÔÚÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 ª∂ƒ√™ ∆∂∆∞ƒ∆√ ñ √§√∫§∏ƒø∆π∫√™ §√°π™ª√™ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 16: £ÂÌÂÏÈÒ‰Ë ı¤Ì·Ù·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 17: °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 18: ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 19: ª¤ıÔ‰ÔÈ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 ª∂ƒ√™ ¶∂ª¶∆√ ñ ∞∫√§√À£π∂™ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 20: ∞ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ - ¶ÚfiÔ‰ÔÈ - ™ÂÈÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 ª∂ƒ√™ ∂∫∆√ ñ MATLAB ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 21: µ·ÛÈο ÛÙÔȯ›· Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 22: ∆· ª·ıËÌ·ÙÈο ÙÔ˘ Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 23: ∆· ÁÚ·ÊÈο ÙÔ˘ Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 24: ∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÛÙÔ Matlab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 25: ∞گ›· ÂÓÙÔÏÒÓ Î·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ M-Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 26: ¶ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi˜ Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 27: ¶ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈΤ˜ ̤ıÔ‰ÔÈ Ì Matlab ÌÂ Û˘Ì‚ÔÏÈÎfi ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 28: ∂ȉÈο ı¤Ì·Ù· ÙÔ˘ ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 29: ¢È·¯Â›ÚÈÛË ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 ¶·Ú¿ÚÙËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 µÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941 ∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ √ÓÔÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942 ∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ ŸÚˆÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
¶ÂÚȯfiÌÂÓ· ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹: ∞fi ÙÔÓ £·Ï‹ ÙÔÓ ªËÏ›ÛÈÔ ÛÙÔÓ ∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ ∫·Ú·ıÂÔ‰ˆÚ‹ . . . . . . . . 19 ª∂ƒ√™ ¶ƒø∆√ ñ µ∞™π∫∂™ ∂¡¡√π∂™ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1: ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› ·fi ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÏÔÁÈ΋ Î·È Ù· Û‡ÓÔÏ· . . 27 1.1 ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› ·fi ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÏÔÁÈ΋ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› ·fi ÙË ıˆڛ· ÙˆÓ Û˘ÓfiψÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› ·fi ÙËÓ ¿ÏÁ‚ڷ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2: ™‡ÓÔÏ· ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1 ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 ÀÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 ∏ Û˘Ì·Á‹˜ ¢ı›· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 ¢È¿ÛÙËÌ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 ¶ÂÚÈÔ¯‹ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 √ÚÈÛÌfi˜ Î·È ¿ÏÁ‚ڷ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 ∏ Ê·ÓÙ·ÛÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 ™˘˙˘Á›˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.6 ª¤ÙÚÔ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7 ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.8 £ÂÒÚËÌ·: πÛfiÙËÙ· ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.9 £ÂÒÚËÌ·: °ÈÓfiÌÂÓÔ ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.10 £ÂÒÚËÌ·: ¶ËÏ›ÎÔ ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.11 £ÂÒÚËÌ·: ∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ ªÈÁ·‰ÈÎÔ‡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.12 £ÂÒÚËÌ· De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.13 ƒ›˙˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.14 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÛËÌ·Û›· ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡. . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.15 ¡-ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.16 ∂ÎıÂÙÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.17 §ÔÁ¿ÚÈıÌÔ˜ (Ó¤ÚÈÔ˜) ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3: √Ú›˙Ô˘Û˜ Î·È ÁÚ·ÌÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1 √Ú›˙Ô˘Û˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.1 √ÚÈÛÌfi˜: √Ú›˙Ô˘Û· ‰Â˘Ù¤Ú·˜ ٿ͈˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.2 °Âӛ΢ÛË: √Ú›˙Ô˘Û· Ó-ÔÛÙ‹˜ ٿ͈˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.3 ∫·ÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.4 π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÔÚÈ˙Ô˘ÛÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 °Ú·ÌÌÈο ™˘ÛÙ‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8
ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏
3.2.1 ∂›Ï˘ÛË ÁÂÓÈÎÒÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2 √ÌÔÁÂÓ‹ ÁÚ·ÌÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4: ¶Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
√ÚÈÛÌfi˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ∞ÚÙȘ Î·È ÂÚÈÙÙ¤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 ¶ÂÚÈÔ‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 ªÔÓÔÙÔÓ›· Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ∞ÏÁ‚ڷ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6.1 πÛfiÙËÙ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6.2 ™‡ÓıÂÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6.3 ÕıÚÔÈÛÌ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6.4 ¢È·ÊÔÚ¿ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6.5 °ÈÓfiÌÂÓÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6.6 ¶ËÏ›ÎÔ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6.7 ∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.7 ∞ÎÚfiٷٷ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.8 ∫·ÙËÁÔڛ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.8.1 ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.8.2 ÀÂÚ‚·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.9 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
ª∂ƒ√™ ¢∂À∆∂ƒ√ ñ ¢π∞¡À™ª∞∆π∫√™ ∞√°π™ª√™ ∫∞π ∞¡∞§À∆π∫∏ °∂øª∂∆ƒπ∞ ∞. ¢π∞¡À™ª∞∆π∫√™ ∞√°π™ª√™ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5: √ÚÈÛÌÔ› Î·È ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ ÛÙ· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· . . . . . . . . 105 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11
µ·ÛÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ÛÙ· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 ™˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 ÕÏÁ‚ڷ ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 ™˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÛËÌ›Ԣ Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Û ÏfiÁÔ Ï . . . . . . . . . . . . . 110 ∏ ÁˆÓ›· ÛÙ· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.1 ¢È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛÙÔ Â›Â‰Ô (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.2 ¢È·Ó‡ÛÌ·Ù· ÛÙÔÓ ¯ÒÚÔ (R3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ∞fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 ∂ÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ (·ÚÈıÌËÙÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ) . . . . . . . . . . 118 ∂͈ÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰˘Ô ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ (‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ) . . . . . . . . . 120 ªÈÎÙfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÚÈÒÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 ¢È¿ÊÔÚ˜ ·Ó·Áη›Â˜ Î·È ÈηӤ˜ Û˘Óı‹Î˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6: ™˘ÛÙ‹Ì·Ù· Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.1 °ÂÓÈο
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞
9
6.2 ∞ÏÏ·Á‹ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3 ªÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.4 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 7: ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔ˘˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ . . . . . . . . . . . . 141 7.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2 √ÚÈÛÌfi˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.3 °Ú·ÌÌÈ΋ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.3.1 π‰ÈfiÙËÙ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4 ¢È¿ÛÙ·ÛË Î·È ‚¿ÛË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.5 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.6 ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔfi §ÔÁÈÛÌÔ‡ ÛÙȘ £ÂÙÈΤ˜ ∂ÈÛً̘ . . . . . . . 152 7.7 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
µ. ∞¡∞§À∆π∫∏ °∂øª∂∆ƒπ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 8: °Ú·Ì̤˜ ÛÙÔ Â›Â‰Ô (R2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.1 ∏ ¢ı›·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.1.1 ∏ Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.1.2 ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ ¢ı›·˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1.3 ™˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.1.4 °ˆÓ›· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.1.5 ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.1.6 ¶ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÂȤ‰Ô˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· ‹ ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ˆ˜ ÚÔ˜ ¯ Î·È „ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.1.7 ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜–°Ú·ÌÌÈÎfi˜ ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi˜ .179 8.1.9 ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.1.10 ∂͛ۈÛË Â˘ı›·˜ Û ÔÏÈΤ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.2 √ ·ÎÏÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.2.1 ∏ Â͛ۈÛË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.2.2 ∂͛ۈÛË Î‡ÎÏÔ˘ Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ÙÚ›· ÛËÌ›· . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.2.3 ™¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ¿ÏÏË ÁÚ·ÌÌ‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.2.4 ∂͛ۈÛË Â˘ı›·˜ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˘ Û ÛËÌÂ›Ô Î‡ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . 193 8.3 ∏ ¤ÏÏÂÈ„Ë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.3.1 ™ÙÔȯ›· Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.3.2 ∏ Â͛ۈÛË Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.3.3 ¶·Ú·ÌÂÙÚÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.3.4 ¶ÔÏÈ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.3.5 ∂͛ۈÛË ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Û' ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘ . . . . . . . . . . . . 202 8.4 ∏ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.4.1 ™ÙÔȯ›· Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4.2 ∏ Â͛ۈÛË Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.4.3 ¶·Ú·ÌÂÙÚÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.4.4 ¶ÔÏÈ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.4.5 ∂͛ۈÛË Â˘ı›·˜ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˘ Û ÛËÌÂ›Ô ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . 212
10
ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏
8.5 ¶·Ú·‚ÔÏ‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.5.1 ™ÙÔȯ›· Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.5.2 ∏ Â͛ۈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.5.3 ™˘ÁÁÂÓ›˜ ·Ú·‚ÔϤ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.5.4 ¶·Ú·ÌÂÙÚÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.5.5 ¶ÔÏÈ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.5.6 ∂͛ۈÛË Â˘ı›·˜ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˘ Û ÛËÌÂ›Ô ·Ú·‚ÔÏ‹˜. . . . . . . . . . . 218 8.6 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 9: °ÂÓÈο ÂÚ› η̇ÏÒÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
°ÂÓÈ΋ Â͛ۈÛË Î·Ì‡Ï˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 ™¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ‰˘Ô Î·Ì˘ÏÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 ¢ÈÂÚ¢ÓËÛË Ù˘ ÁÂÓÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ η̇Ï˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . 231 ∫¤ÓÙÚÔ Î·Ì‡Ï˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 ∞ÍÔÓ˜ η̇Ï˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 10: ™ÙÔȯ›· ·fi ÙË ÌÂϤÙË ÙÔ˘ R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.1 ∂ÈÊ¿ÓÂȘ Î·È Î·Ì‡Ï˜ ÙÔ˘ R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.2 ∏ ¢ı›· ÛÙÔÓ R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.2.1 ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ¢ı›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.2.2 ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.3 ∆Ô Â›Â‰Ô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.3.2 ™˘Ó›‰· ÛËÌ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.3.3 ™¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 10.3.4 ™¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.3.5 ¶ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ R3 ˆ˜ ÚÔ˜ Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.3.6 ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.3.7 ∞fiÛÙ·ÛË ÂȤ‰Ô˘ ·fi Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.4 ∏ ÛÊ·›Ú· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.4.1 ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.4.2 ∂͛ۈÛË ÛÊ·›Ú·˜ Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi 4 ÛËÌ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.4.3 ™¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÂȤ‰Ô˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛÊ·›Ú· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.4.4 ∂›Â‰Ô ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ ÛÊ·›Ú·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.5 √ ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.5.1 ∫˘ÏÈÓ‰ÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.5.2 ∂͛ۈÛË Î˘ÏÈÓ‰ÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.5.3 ∂›‰Ë ΢ÏÈÓ‰ÚÈÎÒÓ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.6 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
ª∂ƒ√™ ∆ƒπ∆√ ñ ¢π∞º√ƒπ∫√™ §√°π™ª√™ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 11: ŸÚÈÔ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 11.1 √ÚÈÛÌfi˜ ÔÚ›Ô˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 11.2 ¶Ï¢ÚÈο fiÚÈ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 11.3 °Âӛ΢ÛË Ù˘ Û‡ÁÎÏÈÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞
11
11.3.1 ™‡ÁÎÏÈÛË (fiÚÈÔ) ÁÈ· ¯ → + ∞, f/(a,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.3.2 ™‡ÁÎÏÈÛË (fiÚÈÔ) ÁÈ· ¯ → – ∞, f/(– ∞,‚) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.3.3 ™‡ÁÎÏÈÛË (fiÚÈÔ) ÁÈ· → Í, f/(a, ‚) Î·È Í∈ (·, ‚). . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.4 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›· Ù˘ Û‡ÁÎÏÈÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 11.5 £ÂˆÚ‹Ì·Ù· - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÔÚ›ˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 11.5.2 £ÂÒÚËÌ·: ŸÚÈÔ Û ÛÙ·ıÂÚ¿: lim ¯ =a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 ¯→·
11.5.3 ¶fiÚÈÛÌ·: ŸÚÈÔ ÛÙ·ıÂÚ¿˜: lim c = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 ¯→·
11.5.4 £ÂÒÚËÌ·: ŸÚÈÔ ÛÙ·ıÂÚ¿˜ › Û˘Ó¿ÚÙËÛË: lim (Î Ø f(¯)) = Î Ø lim f(¯), Î ≠ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 ¯→·
¯→·
11.5.5 £ÂÒÚËÌ·: ŸÚÈÔ Ú›˙·˜: lim ¯ = · · ≤ 0, ¯ ≥ 0 . . . . . . . . . . . . 290 ¯→·
11.5.6 £ÂÒÚËÌ·: ∞ÏÁ‚ڷ ÔÚ›ˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 11.6 √ ·ÚÈıÌfi˜ e ˆ˜ fiÚÈÔ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 11.7 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 12: ™˘Ó¤¯ÂÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 12.1 12.2 12.3 12.4
√ÚÈÛÌfi˜ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 ∂›‰Ë ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 µ·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 ™˘Ó¤¯ÂÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Û ‰È¿ÛÙËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.4.1 ¶Ï¢ÚÈ΋ Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Û ÛËÌÂ›Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.4.2 ™˘Ó¿ÚÙËÛË Û˘Ó¯‹˜ Û ‰È¿ÛÙËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 12.5 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 13: ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 13.1 13.2 13.3 13.4
√ÚÈÛÌfi˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 ¶Ï¢ÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›· Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 ™¯¤ÛË ÌÂٷ͇ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î·È ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. . . . . . . . . . . . . . . . 326 13.4.1 £ÂÒÚËÌ· Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 13.5 ∫·ÓfiÓ˜ ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 13.5.1 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÛÙ·ıÂÚ¿˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 13.5.2 ¶·Ú·ÁˆÁfi˜ Ù˘ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 13.5.3 ¶·Ú·ÁˆÁfi˜ Û‡ÓıÂÙ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 13.5.4 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ‡ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. . . . . . . . . . . . 330 13.5.5 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 13.5.6 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÙÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊÔ˘ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . 332 13.5.7 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ËÏ›ÎÔ˘ ‰‡Ô Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 13.5.8 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 13.5.9 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÂÎıÂÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 13.5.10 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Û‡ÓıÂÙ˘ ÂÎıÂÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 337 13.5.11 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 13.5.12 ¶·Ú¿ÁˆÁÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
12
ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏
13.5.13 ¶·Ú¿ÁˆÁÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . 342 13.5.14 ¶·Ú¿ÁˆÁÔÈ ˘ÂÚ‚ÔÏÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 13.5.15 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ·Ú·ÌÂÙÚÈ΋˜ ÌÔÚÊ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . 347 13.5.16 ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÏÂÁ̤Ó˘ ÌÔÚÊ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 13.5.17 ¶·Ú¿ÁˆÁÔÈ ·ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 13.5.18 ¶›Ó·Î·˜ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 352 13.6 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 14: ¶ÂÚ› ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
√ÚÈÛÌfi˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›· ÙÔ˘ ‰È·ÊÔÚÈÎÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 ∫·ÓfiÓ˜ ‰È·ÊfiÚÈÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 ¢È·ÊÔÚÈο ·ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 ∞Û΋ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 15: ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ‰È·ÊÔÚÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . 373 15.1 ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÔÚÊÒÓ (∫·ÓfiÓ·˜ L' Hopital*) . . . . . . . . . . 373 15.2 ªÂϤÙË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì ¯Ú‹ÛË ·Ú·ÁÒÁˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 15.2.1 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Fermat*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 15.2.2 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Rolle* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 15.2.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Lagrange* (‹ ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ·˘Í‹ÛˆÓ). . . . . . . . . . 383 15.2.4 £ÂÒÚËÌ· (™¯¤ÛË ÌÔÓÔÙÔÓ›·˜ Î·È ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘) . . . . . . 385 15.2.5 £ÂÒÚËÌ· (™¯¤ÛË ·ÎÚfiÙ·ÙˆÓ Ì ÙËÓ ÚÒÙË Î·È ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·Ú¿ÁˆÁÔ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 15.2.6 ™ËÌ›· η̋˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 15.2.7 ¢È¿Ù·ÍË ÎÔ›ÏˆÓ Î·È ÙÚ›ÙË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 15.2.8 ∞Û‡Ìو٘ ¢ı›˜ Ù˘ η̇Ï˘ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. . . . . . . . . . . 393 15.2.9 µ‹Ì·Ù· ÌÂϤÙ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ „ =›(¯) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 15.3 ÃÚ‹ÛË ·Ú¿ÁˆÁˆÓ Û ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÈÛً̘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 15.3.1 ™ÙËÓ π·ÙÚÈ΋ - ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 15.3.2 ™ÙȘ ∂ȯÂÈÚ‹ÛÂȘ- ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 15.3.3 ™ÙË ™Ù·ÙÈÛÙÈ΋ - ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 15.3.4 ™ÙË º˘ÛÈ΋ Î·È ÛÙȘ ¿ÏϘ ıÂÙÈΤ˜ ÂÈÛً̘ . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 15.4 ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ηٿ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . 411 15.4.1 ª¤ıÔ‰Ô˜ Newton* ‹ ̤ıÔ‰Ô˜ ÙˆÓ ÂÊ·ÙÔÌ¤ÓˆÓ . . . . . . . . . . . . . . 412 15.4.2 °Ú·ÊÈ΋ ̤ıÔ‰Ô˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 15.5 ÃÚ‹ÛË ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ÛÙËÓ ∞Ó·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 15.5.1 ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Î·È Â͛ۈÛË ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Û ÛËÌÂ›Ô Î‡ÎÏÔ 417 15.5.2 ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Î·È Â͛ۈÛË ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Û ÛËÌÂ›Ô ¤ÏÏÂȄ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 15.5.3 ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Î·È Â͛ۈÛË ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Û ÛËÌÂ›Ô ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 15.5.4 ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Î·È Â͛ۈÛË ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Û ÛËÌÂ›Ô ·Ú·‚ÔÏ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 15.6 ∞Û΋ÛÂȘ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞
13
ª∂ƒ√™ ∆∂∆∞ƒ∆√ ñ √§√∫§∏ƒø∆π∫√™ §√°π™ª√™ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 16: £ÂÌÂÏÈÒ‰Ë ı¤Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 16.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 16.2 ∆Ô ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 16.2.1 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›· ÙÔ˘ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . 440 16.2.2 ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 16.2.3 π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 16.3 £ÂÒÚËÌ· ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 16.4 ¢È¿Û·ÛË ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 16.5 ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 16.6 £ÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 16.7 ∆Ô ·fiÚÈÛÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 16.7.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 16.7.2 £ÂÒÚËÌ·: ™¯¤ÛË ·Ú·ÁÔ˘ÛÒÓ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . 460 16.7.3 √ÚÈÛÌfi˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 16.8 π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ·fiÚÈÛÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 17: °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 17.1 17.2 17.3 17.4
°ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Ì ¤Ó· ¿ÎÚÔ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ±∞ . . . . . . . . . . . . 465 °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Ì ٷ ‰˘Ô ¿ÎÚ· ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ±∞ . . . . . . . . . 467 °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· fiÙ·Ó Ë f(x) ¤¯ÂÈ ÛËÌ›· ·Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ . . . . . . . . . 469
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 18: ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ . . . . . . . . . . . 465 18.1 18.2 18.3 18.4
∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ·fiÚÈÛÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 ¢È·ÊÔÚÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·’ ٿ͈˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 ™¯¤ÛÂȘ Î·È ‰È·ÊÔÚ¤˜ ÌÂٷ͇ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘ Î·È ·fiÚÈÛÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . 476 ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 18.4.1 ∂Ì‚·‰¿ ÂȤ‰ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 18.4.2 ª‹ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘ ›‰˘ η̇Ï˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 18.4.3 ŸÁÎÔ˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 19: ª¤ıÔ‰ÔÈ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6
°ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ̤ÚË. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ì ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË (·ÏÏ·Á‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜) . . . . . . . . . . . . . . . 501 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·Ù¿ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ì ˘Ô‚È‚·ÛÌfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÚËÙ‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ì ·Ó¿Ï˘Û‹ Ù˘ Û ¿ıÚÔÈÛÌ· ·ÏÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 19.7 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ¿ÚÚËÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 19.7.1 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: f(xp1/q1, …, xpv/qv) . . . . . . . . . 530 19.7.2 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: f
x, ( ·x+‚) Áx+‰
p1 /q1
, …, ( ·x+‚) Áx+‰
pv/qv
. . 531
14
ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏
19.7.3 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: f (x, x2 + 1 ) . . . . . . . . . . 532 19.7.4 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: f (x, x2 – 1 ), x 1 1 . . . . . . 533 19.7.5 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: f (x, 1 – x2 ), x ! 1 . . . . . . 534 19.7.6 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: f (x, ·x2 + ‚x + Á) . . . . . 536 19.7.7 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: xÌ (· + ‚xÓ)p . . . . . . . . . . . . 537 19.8 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÂÎıÂÙÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 19.9 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 19.9.1 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f(ËÌx, Û˘Óx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 19.9.2 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ËÌÎx Ø ËÌÏx ‹ Û˘ÓÎx Ø Û˘ÓÏx ‹ ËÌÎx Ø Û˘ÓÏx . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 19.9.3 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ËÌmx Ø Û˘Ómx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 19.9.4 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ËÌmx, Û˘Ómx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 19.9.5 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ËÌmx ‹ Û˘Ómx ‹ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 n n ÙÚÈÁˆÓÔÌ. ÁÈÓfiÌÂÓÔ Û˘Ó x ËÌ x 19.10 ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
ª∂ƒ√™ ¶∂ª¶∆√ ñ ∞∫√§√À£π∂™ – ¶ƒ√√¢√π – ™∂πƒ∂™ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 20: ∞ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ – ¶ÚfiÔ‰ÔÈ – ™ÂÈÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 20.1 ∞ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 20.1.1 √ÚÈÛÌfi˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 20.1.2 ºÚ¿ÁÌ· ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 20.1.3 µ·ÛÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÛÙȘ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 20.2 ¶ÚfiÔ‰ÔÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 20.2.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 20.2.2 ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 20.2.3 °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 20.2.4 ∞ÚÌÔÓÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 20.2.5 ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 20.3 ™ÂÈÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 20.3.1 √ÚÈÛÌfi˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 20.3.2 ™‡ÁÎÏÈÛË ÛÂÈÚ¿˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 20.3.3 ª¤ıÔ‰ÔÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÂÈÚ¿˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 20.3.4 π‰ÈfiÙËÙ˜ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 20.3.5 ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· Û‡ÁÎÏÈÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 20.3.6 ™ÂÈÚ¿ Taylor – ™ÂÈÚ¿ MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 20.3.7 ÃÚ‹ÛË ÙˆÓ ÛÂÈÚÒÓ Taylor ÁÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÔÚÊÒÓ. 603 20.3.8 ™ÂÈÚ¤˜ Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞
15
ª∂ƒ√™ ∂∫∆√ ñ MATLAB ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 21: µ·ÛÈο ÛÙÔȯ›· Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 21.1 ∆Ô ¶ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 21.2 ∏ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÔ˘ ÚÔÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 21.3 ∫·ıÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ÔıÔÓÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 21.4 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ format Î·È ÔÈ ·Ú¿ÌÂÙÚÔ› Ù˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 21.5 √È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ Matlab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 21.6 ¶ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· Ú¿ÍÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 21.7 √È ÂÓÙÔϤ˜ save Î·È load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 21.8 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ diary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 21.9 √È ÂÓÙÔϤ˜ who Î·È whos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 21.10 √È ÂÓÙÔϤ˜ ÂÌÊ¿ÓÈÛ˘ ·Ú¯Â›ˆÓ dir, is Î·È what . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 21.11 √È ÂÓÙÔϤ˜ ¯ÚfiÓÔ˘ clock, date, tic, toc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 21.12 ∞ÏÊ·ÚÈıÌËÙÈο – ∏ ÂÓÙÔÏ‹ input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 21.13 ∂ȉÈΤ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Î·È ÛÙ·ıÂÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 21.14 ÕÏϘ ÂÓÙÔϤ˜ ÙÔ˘ ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 21.14.1 √È ÂÓÙÔϤ˜ exit Î·È quit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 21.14.2 √È ÂÓÙÔϤ˜ clear Î·È clc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 22. ∆· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÙÔ˘ Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 22.1 ™Ù·ıÂÚ¤˜ Î·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 22.1.1 ∂ίÒÚÈÛË ÙÈÌ‹˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 22.1.2 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 22.2 ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 22.3 ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 22.4 ¶›Ó·Î˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 22.4.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 22.4.2 ∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ ›Ó·Î·˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 22.4.3 ∞Ó¿ÛÙÚÔÊÔ˜ ›Ó·Î·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 22.4.4 ∞ÚÈÛÙÂÚ‹ – ‰ÂÍÈ¿ ‰È·›ÚÂÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 22.4.5 ∞fiÛ·ÛÌ· ̤ÚÔ˘˜ ›Ó·Î· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 22.4.6 ™˘Ó¤ÓˆÛË – ·‡ÍËÛË ÈӿΈÓ. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË cat . . . . . . . . . . . . 672 22.4.7 ∂ÓÙÔϤ˜ ÂȉÈÎÒÓ ÈÓ¿ÎˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677 22.4.8 ¶›Ó·Î·˜ Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 22.4.9 ¶›Ó·Î·˜ Pascal (·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Cholesky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 22.4.10 ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÈÓ¿ÎˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 22.4.11 ¶›Ó·Î˜ Ì ‚‹Ì· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 22.5 ¢È·Ó‡ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 22.5.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 22.5.2 ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 22.5.3 ∆˘È΋ ·fiÎÏÈÛË (Standard Deviation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 22.6 ∞ÚÈÛÙÂÚ‹ ‰È·›ÚÂÛË. ∂›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 703 22.7 ¢ÂÍÈ¿ ‰È·›ÚÂÛË. ∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÈÓ¿ÎˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 22.8 ∂ÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ 2 ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 22.9 ∂͈ÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ 2 ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ cross . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
16
ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏
22.10 ∂ȉÈΤ˜ ÂÓÙÔϤ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›·˜ Û˘ÓfiÏˆÓ ÙÈÌÒÓ ÈÓ¿ÎˆÓ ‹ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ. √È ÂÓÙÔϤ˜ linspace Î·È logspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 23: ∆· ÁÚ·ÊÈο ÙÔ˘ Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 23.1 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 23.1.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË linspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 23.1.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË logspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 23.2 ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÁÚ·ÊÈÎÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 23.3 ¢È·ÌfiÚʈÛË ÁÚ·ÊËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 23.4 °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . 718 23.5 √È ÂÓÙÔϤ˜ ezplot Î·È fplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 23.6 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ fplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 23.7 ∫›ÓËÛË ÛÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· – ∏ ÂÓÙÔÏ‹ comet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 23.8 ¶ÔÏϷϤ˜ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . 729 23.9 ™˘ÛÙ‹Ì·Ù· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 23.10 °Ú·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Û ÔÏÈΤ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 23.11 °Ú·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Û ڷ‚‰ÔÁÚ¿ÌÌ·Ù· – πÛÙÔÁÚ¿ÌÌ·Ù· Î·È Î˘ÎÏÈÎÔ‡˜ ÙÔÌ›˜. √È ÂÓÙÔϤ˜ bar Î·È hist. . . . . . . . . . . 743 23.12 ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔÓ ÙÚÈۉȿÛÙ·ÙÔ ¯ÒÚÔ – °Ú·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÛÙȘ 3 ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 23.12.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË meshgrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 23.12.2 √È ÂÓÙÔϤ˜ mesh(z) Î·È surf(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 23.12.3 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 23.13 ∞Ôı‹Î¢ÛË ÁÚ·ÊÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 24: ∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÛÙÔ Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 24.1 24.2 24.3 24.4
°ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 ¶ÚfiÛıÂÛË – ∞Ê·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ – ¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ڷÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi . . . . . 755 ∞ÓÒÙÂÚ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 25: ∞گ›· ÂÓÙÔÏÒÓ Î·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ m-files . . . . . . . . . . . 761 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5
°ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 ¢ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ·Ú¯Â›ˆÓ script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765 ¢ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ·Ú¯Â›ˆÓ function-Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 ¢ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ·Ú¯Â›ˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ¯Ú‹ÛÙË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 ∞ÓÒÓ˘Ì˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 26: ¶ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi˜ Ì Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 26.1 26.2 26.3 26.4
™ÙÔȯ›· Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÏÔÁÈ΋˜ (ÕÏÁ‚ڷ Boole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 ™¯ÂÛÈ·ÎÔ› ÏÔÁÈÎÔ› ÙÂÏÂÛÙ¤˜ – Relational operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 §ÔÁÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ – ™¯ÂÛȷΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 §ÔÁÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ is… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 26.4.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ischar(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 26.4.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË isequal – ∂›Ó·È ›ÛÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 26.4.3 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË isletter – ∂›Ó·È ·ÏÊ·‚ËÙÈÎfi˜ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·˜ . . . . . . . . . 789 26.4.4 √È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ iskeyword (Â›Ó·È Ï¤ÍË ÎÏÂȉ›) Î·È isvarname. . . . . . . 790 26.4.5 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË isvector – ∂›Ó·È ‰È¿Ó˘ÛÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790
¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞
17
26.4.6 √È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ isfinite, isinf Î·È isnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 26.5 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË find . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 26.6 §ÔÁÈÎÔ› ÙÂÏÂÛÙ¤˜ – Logical operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 26.7 ∂ÓÙÔϤ˜ ·Ó·Î˘ÎÏÒÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 26.7.1 √È ÂÓÙÔϤ˜ for…end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 26.7.2 √È ÂÓÙÔϤ˜ while-end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 26.7.3 √È ÂÓÙÔϤ˜ if-else-elseif-end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805 26.7.4 √È ÂÓÙÔϤ˜ switch-case-otherwise-end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809 26.7.5 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 26.8 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ feval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816 26.9 ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ›Ó·Î· Î·È ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË abs. . . . . . . . . . . . . 818
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 27: ¶ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈΤ˜ ̤ıÔ‰ÔÈ Ì Matlab ÌÂ Û˘Ì‚ÔÏÈÎfi ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 27.1 ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ·Ú·ÁÒÁˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË diff . . . . . . . . . . . 819 27.1.1 √ÚÈÛÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ – ∏ ¤ÎÊÚ·ÛË syms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 27.1.2 ÕÌÂÛË ·Ú·ÁÒÁÈÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820 27.1.3 ¶·Ú·ÁÒÁÈÛË Ì ·Ú¿ÌÂÙÚÔ ÛÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 27.1.4 ∂‡ÚÂÛË ÙÈÌ‹˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ı¤ÛË – ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË subs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 27.2 ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ (ª¶) 1˘ ٿ͈˜ . . . . . . . . . . . . . . . . 823 27.3 ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ (ª¶) ∞ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ . . . . . . . . . . . . 824 27.4 √ÏÈÎfi ‰È·ÊÔÚÈÎfi (√.¢.) 1˘ Ù¿Í˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 27.5 √ÏÈÎfi ‰È·ÊÔÚÈÎfi (√.¢.) ∞ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827 27.6 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË – ∞fiÚÈÛÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË int . . . . . . . . . . . . . . 829 27.7 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ì ·Ú¿ÌÂÙÚÔ (ÛÙ·ıÂÚ¿) . . . . . . . . . . . . . . . . 830 27.8 √ÚÈṲ̂ÓÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 27.9 ¢ÈÏ¿ ·fiÚÈÛÙ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832 27.10 ¢ÈÏ¿ ÔÚÈṲ̂ӷ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834 27.11 °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· (ÛÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 27.12 °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ¿ÎÚ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837 27.13 ¶ÔÏÏ·Ï¿ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· (·ÓÒÙÂÚ· ÙˆÓ ‰ÈÏÒÓ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839 27.14 ∂‡ÚÂÛË ÚÈ˙ÒÓ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 27.14.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 27.14.2 ª¤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 27.14.3 ª¤ıÔ‰Ô˜ Newton – Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 27.15 °Ú·ÌÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857 27.15.1 °ÂÓÈο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857 27.15.2 ∂›Ï˘ÛË ÁÂÓÈÎÒÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 27.15.3 √ÌÔÁÂÓ‹ ÁÚ·ÌÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 27.15.4 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ rref(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863 27.15.5 ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÛÙ· ÔÌÔÁÂÓ‹ ÁÚ·ÌÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . 868 27.16 ¡fiÚÌ· ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870 27.17 ¡fiÚÌ· ›Ó·Î· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871 27.18 ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ – π‰ÈÔÙÈ̤˜ Î·È È‰ÈԉȷӇÛÌ·Ù· ÂÓfi˜ ›Ó·Î·. 872 27.19 ¶ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÚÔÛ·ÚÌÔÁ‹˜ ÂÏ·¯›ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
18
ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 28: ∂ȉÈο ı¤Ì·Ù· ÙÔ˘ ML – ™˘Ì‚ÔÏÈÎfi˜ ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi˜ 875 28.1 ™˘Ì‚ÔÏÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875 28.2 ™˘Ì‚ÔÏÈÎÔ› ÙÂÏÂÛÙ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875 28.3 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ pretty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876 28.4 ™˘Ì‚ÔÏÈΤ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ symvar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877 28.5 ¶·Ú·ÁÒÁÈÛË Û˘Ì‚ÔÏÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878 28.6 √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ì‚ÔÏÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 28.7 ∂›Ï˘ÛË Û˘Ì‚ÔÏÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880 28.8 ∂›Ï˘ÛË Û˘Ì‚ÔÏÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ›Ó·Î˜ . . . . . . . . . . . . . 883 28.9 ™˘Ì‚ÔÏÈÎÔ› ›Ó·Î˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884 28.10 ∂ÓÙÔϤ˜ – ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Û˘Ì‚ÔÏÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ (™. ¶·Ú.). . . . . . . . . . 886 28.10.1 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ isstr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 28.10.2 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 28.10.3 ∞ÏÔÔ›ËÛË ·Ú¿ÛÙ·Û˘ – ∏ ÂÓÙÔÏ‹ Simple (™.¶.) Î·È Simplify . . 887 28.10.4 ∂ÎÙ¤ÏÂÛË Ú¿ÍˆÓ. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ expand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889 28.10.5 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·Ú¿ÛÙ·Û˘. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ factor . . . . . . . . . . . . . 892 28.10.6 ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¶.√. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË subs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892 28.10.7 ∞ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË Û ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ Ì ¿ÏÏË . . . . . . . 894 28.10.8 ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Î·È ·Ú·ÓÔÌ·ÛÙ‹ ÚËÙ‹˜ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË numden . . . . . . . . . . . 895 28.10.9 ∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ finverse . . . . . . . . 895 28.11 ™ÂÈÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 29: ¢È·¯Â›ÚÈÛË ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 29.1 29.2 29.3 29.4
∏ ÂÓÙÔÏ‹ disp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ num2str. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ sprint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 ∂ÎÙ‡ˆÛË Û ÂÎÙ˘ˆÙ‹ – ∂ÓÙÔÏ‹ print . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 29.4.1 ∂ÎÙ‡ˆÛË ÂÚÈÔ¯‹˜ ÂÓÙÔÏÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 29.4.2 ∂ÎÙ‡ˆÛË m-file (ÚÔÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 29.4.3 ∂ÎÙ‡ˆÛË ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡ (history) Î·È ÂÚÈÔ¯‹˜ ÂÚÁ·Û›·˜ (workspace) . 913 29.5 ∂ÎÙ‡ˆÛË Û¯Â‰›ˆÓ – Figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 29.6 ∞Ôı‹Î¢ÛË Û ·Ú¯Â›Ô – ¢È¿‚·ÛÌ· ·Ú¯Â›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 29.6.1 ¢ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ·Ú¯Â›Ô˘ – ∞Ôı‹Î¢ÛË ÛÙÔȯ›ˆÓ – ¢È¿‚·ÛÌ· ÛÙÔȯ›ˆÓ. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ fopen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 29.6.2 ∞Ôı‹Î¢ÛË ÂÚÁ·ÛÈÒÓ – workspace. √È ÂÓÙÔϤ˜ save-load. . . . . . . . 917 29.6.3 ∞Ôı‹Î¢ÛË ÂÓÙÔÏÒÓ – Command Window. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 29.7 ÕÏϘ ÂÓÙÔϤ˜ Î·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 29.7.1 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ pause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 29.7.2 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ ginput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920 ¶·Ú¿ÚÙËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 µÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941 ∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ √ÓÔÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942 ∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ ŸÚˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943