16.8 κινηση σε σχεση με ενα περιστρεφομενο πλαισιο αναφορασ
335
ε. Δύο ειδικές περιπτώσεις Οι δύο ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη μελέτη της Δυναμικής.
1. Μη Περιστρεφόμενο Πλαίσιο Αναφοράς Αν το πλαίσιο x΄y΄z΄ δεν περιστρέφεται—αν, δηλαδή, ω = 0— οι Εξ. (16.24) και (16.26) συνεπάγονται:
dV = d V ` dt j/B dt
(16.27)
και
d2 V = d2 V c 2 m dt2 dt /B
(16.28)
Συνεπώς, η απόλυτη και σχετική παράγωγος είναι ίδιες για κάποιο μη περιστρεφόμενο πλαίσιο αναφοράς, ακόμα και αν το πλαίσιο μετατοπίζεται.
2. Διανύσματα Προσκολλημένα στο Κινούμενο Πλαίσιο Αν το διάνυσμα V είναι προσκολλημένο στο κινούμενο πλαίσιο x΄y΄z΄ (σώμα B), οι συνιστώσες του Vx΄, Vy΄, και Vz΄, παραμένουν σταθερές, που σημαίνει ότι (dV/dt)/B και (d2V/dt2)/B είναι μηδέν. Στην προκειμένη περίπτωση, η πρώτη και δεύτερη παράγωγος του V έχουν την ακόλουθη μορφή:
dV = ~ # V dt
(16.29)
d2 V = ~o # V + ~ # (~ # V) dt2
(16.30)
και
Σημειώνουμε ότι οι εκφράσεις στις Εξ. (16.29) και (16.30) είναι παρόμοιες με εκείνες για την πρώτη και δεύτερη παράγωγο του διανύσματος θέσεως r ενός σημείου του σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα - βλέπε Εξ. (16.3) και (16.4). Θα έπρεπε να περιμένουμε αυτή την ομοιότητα αφού και το διάνυσμα r είναι προσκολλημένο στο περιστρεφόμενο σώμα.
16.8 Κίνηση σε Σχέση με ένα Περιστρεφόμενο Πλαίσιο Αναφορά Στη παρούσα παράγραφο άρθρο θα εξετάσουμε τη σχετική κίνηση μεταξύ δύο σημείων που δεν ανήκουν στο ίδιο σώμα. Όπως θα δούμε, η σχετική κίνηση αυτού του τύπου περιγράφεται πολύ βολικά με τη χρήση ενός περιστρεφόμενου πλαισίου αναφοράς. Αν και το παρόν κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην επίπεδη κίνηση, η ανάλυση που ακολουθεί, ισχύει επίσης και για την κίνηση σε τρείς διαστάσεις, σε αντίθετη περίπτωση το επισημαίνουμε σχετικά.
Το Σχ. 16.14 απεικονίζει ένα στερεό σώμα B, η γωνιακή ταχύτητα του οποίου είναι ω. Το σημείο P κινείται ανεξάρτητα από το B κατά μήκος μιας σχετικής τροχιάς που βρίσκεται επί του B. Το σημείο P΄ (δεν απεικονίζεται) είναι το σημείο που είναι προσκολλημένο στο B και που ταυτίζεται με το P
z΄
Τροχιά του P πάνω στο σώμα B
B
ω P
z
rP/A A
rP
y΄ rA
O x
y x΄
Σχ. 16.14
336
κεΦΑΛΑΙΟ 16: επΙπεδη κΙνηΜΑΤΙκη ΑπΑρΑΜΟρΦΩΤΩν ΣΩΜΑΤΩν
τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Το σύστημα συντεταγμένων xyz είναι σταθερό, ενώ οι συντεταγμένες x΄y΄z΄ είναι προσκολλημένες στο B και το σημείο Α είναι η αρχή των αξόνων. Σύμφωνα με το Σχ. 16.14, rP = rA + rP/A, το οποίο μετά από παραγώγιση ως προς το χρόνο συνεπάγεται: vP = vA + vP/A
(16.31)
και όπου η σχετική ταχύτητα είναι:
v P/A = drP/A dt
(16.32)
Η σχετική ταχύτητα στην Εξ. (16.32) μετρείται σε σχέση με το σταθερό σύστημα συντεταγμένων xyz. Σε πολλές περιπτώσεις, όμως, η ταχύτητα του P περιγράφεται ευκολότερα σε σχέση με το κινούμενο σώμα B. Η σχέση μεταξύ των δύο αυτών ταχυτήτων μπορεί να βρεθεί αν αντικαταστήσουμε το V με το rP/A στην Εξ. (16.24) της προηγούμενης παραγράφου. Η αντικατάσταση αυτή συνεπάγεται:
drP/A = drP/A + ~ # r P/A c m dt dr /B
(16.33)
όπου ο δείκτης “/B” υποδηλώνει τις ποσότητες που μετρούνται σε σχέση με το σώμα B. Με την παρουσίαση του νέου συμβολισμού:
v P/B = c drP/A m dt /B
(16.34)
και μετά από την αντικατάσταση της Εξ. (16.33) στην Εξ. (16.31), η ταχύτητα του P παίρνει την ακόλουθη μορφή: vP = vA + ω rP/A + vP/B
(16.35)
Εφόσον το σημείο P΄ είναι προσκολλημένο στο σώμα B, η ταχύτητά του σε σχέση με το Α δίνεται από την ακόλουθη σχέση: vP΄/A = ω rP/A
(16.36)
Οπότε, η Εξ. (16.35) μπορεί να γραφτεί ως εξής: vP ταχύτητα του P
=
vA ταχύτητα της αρχής των αξόνων x΄y΄z΄, που είναι προσκολλημένοι στο σώμα B
+
vP΄/A ταχύτητα του P΄ σχετικά με το Α (το P΄ είναι προσκολλημένο στο σώμα B και ταυτίζεται με το P τη συγκεκριμένη στιγμή
+
vP/B ταχύτητα του P σχετικά με το σώμα B
(16.37)
Το Σχ. 16.15 απεικονίζει γραφικά τους όρους που περιέχονται στην Εξ. (16.37) για την περίπτωση της επιπέδου κινήσεως (η γωνιακή ταχύτητα ω είναι, κατόπιν υποθέσεως, αριστερόστροφη).
16.8 κΙνηΣη Σε ΣχεΣη Με ενΑ περΙΣΤρεΦΟΜενΟ πΛΑΙΣΙΟ ΑνΑΦΟρΑΣ
Παρατηρούμε ότι η κίνηση παριστάνεται ως μια μετατόπιση και μια περιστροφή του σώματος, συν την ταχύτητα του P σε σχέση με το σώμα. Η ταχύτητα vP είναι κάθετη στην απόλυτη τροχιά του P, ενώ το vP/B είναι κάθετο στην σχετική του τροχιά. Ο όρος της περιστροφής στο Σχ. 16.15 εκφράζεται από το εξωτερικό διανυσματικό γινόμενο ω rP/A, αλλά θα μπορούσε να αντικατασταθεί με την αριθμητική έκφραση στο Σχ. 16.18 (δ). Τροχιά του P σχετικά με το B
Τροχιά του P P΄
vΑ P΄
P
P΄
P vP/B
r
P/A
B
vP΄/A = ω rP/A
vP
A
vΑ
vΑ
ω
A A
Τροχιά του Α
A
Σχ. 16.15
Βρίσκουμε την επιτάχυνση του P παραγωγίζοντας την Εξ. (16.31). aP = aA + aP/A
(16.38)
όπου η σχετική επιτάχυνση είναι: 2 a P/A = dv P/A = d rP2/A dt dt
(16.39)
Αν αντικαταστήσουμε το V με το rP/A στην Εξ. (16.26) του προηγούμενου άρθρου, βλέπουμε ότι το δεξί σκέλος της Εξ. (16.39) μπορεί να γραφτεί ως ακολούθως: 2 a P/A = c d rP2/A m + ~o # rP/A + ~ # (~ # rP/A) + 2~ # v P/B dt /B
(16.40)
Ο πρώτος όρος της Εξ. (16.40) είναι η επιτάχυνση του P σε σχέση με το σώμα B: 2 a P/B = c d rP2/A m dt /B
(16.41)
Οι δύο επόμενοι όροι στην Εξ. (16.40) αντιπροσωπεύουν την επιτάχυνση του P΄ σε σχέση με το Α, δηλαδή:
a Pl/A = ~o # rP/A + ~ # (~ # rP/A)
(16.42)
Ο τελευταίος όρος στην Εξ. (16.40), που ονομάζεται επιτάχυνση Coriolis (από το Γάλλο μαθηματικό G.G. Coriolis), συμβολίζεται ως ακολούθως:
a C = 2~ # v P /B
(16.43)
Παρατηρούμε ότι η επιτάχυνση Coriolis αντιπροσωπεύει την αλληλεπίδραση μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας του σώματος και της ταχύτητας του P σε σχέση με το σώμα.
337
κεΦΑΛΑΙΟ 16: επΙπεδη κΙνηΜΑΤΙκη ΑπΑρΑΜΟρΦΩΤΩν ΣΩΜΑΤΩν
Μετά από την αντικατάσταση των Εξ. (16.40)-(16.43) στην Εξ. (16.38), η επιτάχυνση του P παίρνει την ακόλουθη μορφή:
επιτάχυνση του P
=
aA
aP΄/A
+
επιτάχυνση της αρχής των αξόνων x΄y΄z΄, που είναι προσκολλημένοι στο σώμα B
aP/B
+
επιτάχυνση του P΄ σχετικά με το Α (το P΄ είναι προσκολλημένο στο σώμα B και ταυτίζεται με το P τη συγκεκριμένη στιγμή
aC
+
επιτάχυνση του P σχετικά με το σώμα B
επιτάχυνση του Coriolis
(16.44) Το Σχ. 16.16 απεικονίζει τους όρους που εμφανίζονται σε αυτήν της εξίσωση για την περίπτωση της επιπέδου κινήσεως (έχουμε υποθέσει ότι η o έχουν αριστερόστροφη γωνιακή ταχύτητα ω και η γωνιακή επιτάχυνση ~ φορά). Παρατηρούμε ότι η κίνηση αναπαρίσταται ως ένα άθροισμα της μετατοπίσεως και της περιστροφής του σώματος συν την επιτάχυνση του P σε σχέση με το σώμα συν την επιτάχυνση Coriolis. Οι όροι που αφορούν την
o # rP/A και ω (ω περιστροφή απεικονίζονται διανυσματικά στο Σχ. 16.16, ~ rP/A), αλλά μπορούν να αντικατασταθούν από τις αριθμητικές τους απεικονίσεις στο Σχ. 16.12(δ). Όπως βλέπουμε στο Σχ. 16.16, η επιτάχυνση Coriolis aC είναι κάθετη στο vP/B και στο ω. Όταν χρησιμοποιούμε αριθμητικό συμβολισμό, το μέγεθος του aC είναι 2ωvP/B και η κατεύθυνσή του
βρίσκεται διατηρώντας σταθερή την ουρά του vP/B και περιστρέφοντας το άνυσμα κατά 90° στην κατεύθυνση του ω.
ω (ω rP/A)
Τροχιά του P σχετικά με το B
~o # rP/A
Τροχιά του P P΄
P΄
P
P΄
aA
B
P/A
aP
r
338
aP A
Τροχιά του Α
~o
vΑ
ω
A
A
aΑ
aΑ
2ω ωP/B P P vP/B aP/B ω A
A
Σχ. 16.16
Επιτάχυνση Coriolis
Παράδειγμα 16.14 Όπως δείχνει το Σχ. (α), ένα σωματίδιο P ολισθαίνει προς το Β κατά μήκος μιας ημικυκλικής ράβδου ΑΒ ακτίνας 200 mm. Η ράβδος περιστρέφεται γύρω από τον πείρο στο Α και η ταχύτητα του P σε σχέση με τη ράβδο είναι σταθερά 120 mm/s. Όταν το σύστημα βρίσκεται στην απεικονιζόμενη θέση, η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου είναι ωΑΒ = 0,8 rad/s αριστερόστροφα και αΑΒ = 0,5 rad/s2 δεξιόστροφα. Για τη συγκεκριμένη θέση, να βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιταχύνσεως του P. y A ωAB = 0,8 rad/s aAB = 0,5 rad/s2
B
20
O
0
x
m
m
vP/AB = 120 mm/s P
(α)
Λύση
Σημειώνουμε ότι (1) η απόλυτη τροχιά του P΄ είναι ένας κύκλος με κέντρο το σημείο Α και (2) η τροχιά του P είναι ένας κύκλος με κέντρο το σημείο Ο. Λύση Ι (χρησιμοποιώντας ημιγραφικό συμβολισμό)
Αν το σώμα B στην Εξ. (16.37) αντιπροσωπεύει τη ράβδο ΑΒ, η ταχύτητα του P γίνεται vP = vA + vP΄/A + vP/AB. Με ημιγραφικό συμβολισμό, η παραπάνω εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή: vP = vA 0
vP΄/A
+
+
ωAB = 0,8 rad/s
A
28
2,
8
m
vP/AB
A
O
2,8
P΄
/A
m
m
rP/O
r
28
B
200 mm
Εισαγωγικές Παρατηρήσεις Το πρόβλημα θα λυθεί με τη χρήση ημιγραφικού συμβολισμού (Λύση Ι) και διανυσματικού συμβολισμού (Λύση ΙΙ). Και στις δύο περιπτώσεις χρησιμοποιούμε το σημείο P΄, που βρίσκεται επί της ράβδου ΑΒ και τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή ταυτίζεται με το P. Τα διανύσματα σχετικής θέσεως που απαιτούνται για τη λύση απεικονίζονται στο Σχ. (β).
P΄, P
(β)
(α)
120 mm/s
282,8(0,8) =226.2 mm/s
m
45° P΄
από την οποία βρίσκουμε ότι: (vP)x = 226,2 ημ 45° + 120 = 280 mm/s (vP)y = 226,2 συν 45° = 160 mm/s ή 160
322 mm/s
Απάντηση
vP = 280
339
Βάσει της Εξ. (16.44), η επιτάχυνση του P είναι: aP = aA
aP΄/A
+
+
aP/AB
0
(β)
2(0,8)(120) = 192 mm/s2
ωAΒ = 0,8 rad/s
A
aC
+
O 8 2, 28
vP/AΒ
200 mm
m
m
aAΒ = 0,5 rad/s2
45°
ωAΒ
P΄
282,8(0,5) = 141,4 mm/s2
282,8(0,8)2 = 181 mm/s2
P
1202 = 72 mm/s2 200
Σημειώνουμε ότι η κατεύθυνση της επιταχύνσεως Coriolis βρίσκεται διατηρώντας σταθερή την ουρά του vP/AB και περιστρέφοντας το διάνυσμα κατά 90° στην κατεύθυνση του ωAB. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι το aP/AB περιέχει μόνο την κάθετη συνιστώσα v P2/AB /rP/O επειδή το μέγεθος του vP/AB είναι σταθερό. Η αποτίμηση των συνιστωσών της Εξ. (β) συνεπάγεται: (αP)x = —181 συν 45° — 141,4 ημ 45° = —228 mm/s2 (αP)y = 181 ημ 45° — 141.4 συν 45° + 72 + 192 = 292 mm/s2 ή
370 mm/s2 aP =
292
Απάντηση
228
Λύση ΙΙ (χρησιμοποιώντας διανυσματικό συμβολισμό) Βάσει της Εξ. (16.37), η ταχύτητα του P είναι: vP = vA + vP΄/A + vP/AB
(γ)
Εφόσον το Α είναι σταθερό σημείο, συνεπάγεται ότι: vA = 0
(δ)
Σημειώνουμε ότι εφόσον το σημείο P΄ είναι προσκολλημένο στη ράβδο ΑΒ, κινείται επί μιας κυκλικής τροχιάς με κέντρο το Α, συνεπώς παίρνουμε: vP΄/A = ωAB rP΄/A = (0,8k) (200i — 200j) = 160j + 160i mm/s
(ε)
Η ταχύτητα του P σχετικά με τη ράβδο ΑΒ είναι: vP/AB = 120i mm/s
(ζ)
Μετά από αντικατάσταση των Εξ. (δ)-(ζ) στην Εξ. (γ), η ταχύτητα του P δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: vP = 0 + (160j + 160i) + (120i) = 280i + 160j mm/s
340
Απάντηση
Σύμφωνα με την Εξ. (16.44), η επιτάχυνση του P είναι: aP = aA + aP΄/A + aP/AB + aC
(η)
Εφόσον το Α είναι σταθερό σημείο, συνεπάγεται ότι: aA = 0
(θ)
Επειδή η τροχιά του P΄ είναι ένας κύκλος με κέντρο το Α, η επιτάχυνση του P΄ σε σχέση με το Α (που, φυσικά, είναι επίσης η απόλυτη επιτάχυνση του P΄, αφού το Α είναι ένα σταθερό σημείο) είναι: aP΄/A = αAB × rP΄/A + ωAB × (ωAB × rP΄/A)
= (—0,5k) × (200i — 200j) + (0,8k) × (160i + 160j) = (—100j — 100i) + (128j — 128i)
= —228i + 28j mm/s2
(ι)
Η επιτάχυνση του P σχετικά με το ΑΒ έχει μόνο μια κάθετη συνιστώσα γιατί η vP/AB είναι σταθερή. Εφόσον η κάθετη συνιστώσα της σχετικής επιταχύνσεως κατευθύνεται προς το κέντρο της καμπυλότητας της σχετική τροχιάς (δηλαδή, προς το σημείο Ο), βρίσκουμε ότι: 2 (120) 2 a P/AB = (a P/AB) n = v P/AB j = j = 72j mm/s2 r P/ O 200
(κ)
Βάσει της Εξ. (16.43), η επιτάχυνση Coriolis είναι: aC = 2ωAB × vP/AB = 2(0,8k) × (120i) = 192j mm/s2
(λ)
Μετά από αντικατάσταση των Εξ. (θ)-(λ) στην Εξ. (η), παίρνουμε: aP = 0 + (—228i + 28j) + 72j + 192j = —228i + 292j mm/s2
Απάντηση
Παράδειγμα 16.15 Ο βραχίονας ΑΒ του μηχανισμού που απεικονίζεται στο Σχ. (α) περιστρέφεται δεξιόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ωAB = 6 rad/s. Όταν ο μηχανισμός βρίσκεται στην απεικονιζόμενη θέση, να υπολογίσετε την επιτάχυνση του ολισθητήρα Β σε σχέση με το βραχίονα DE και τη γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση του βραχίονα DE.
E y
B 30
0m
30° D
m
ωΑΒ = 6 rad/s x
720 mm A
(α)
341
Λύση Εισαγωγικές Παρατηρήσεις Σημειώνουμε ότι η τροχιά του ολισθητήρα Β σε σχέση με το βραχίονα DE είναι η εγκοπή στο βραχίονα DE. Εφόσον η σχετική αυτή τροχιά είναι μια ευθεία, η κατεύθυνση του vB/DE και aΒ/DE (της ταχύτητας και της επιταχύνσεως του Β σε σχέση με το βραχίονα DE) είναι κατά μήκος αυτής της εγκοπής. Υποθέτουμε ότι το Β΄ είναι το σημείο επί του DE το οποίο ταυτίζεται με το Β τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Σύμφωνα με τις Εξ. (16.37) και (16.44), η ταχύτητα και η επιτάχυνση, αντίστοιχα, είναι vB = vD + vB΄/D + vB/DE και aB = aD + aB΄/D + aB/DE + aC όπου aC είναι η επιτάχυνση Coriolis. Εφόσον το D είναι ένα σταθερό σημείο (vD = 0 και aD = 0), οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιταχύνσεως είναι: vB = vB΄/D + vB/DE
(α)
aB = aB΄/D + aB/DE + aC
(β)
και
Οι εξισώσεις αυτές θα αναλυθούν με τη χρήση ημιγραφικού (Λύση Ι) και διανυσματικού συμβολισμού (Λύση ΙΙ). Καθ’ όλη τη διάρκεια των αναλύσεων θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οι τροχιές των Β και Β΄ είναι κύκλοι με κέντρο το Α και το D, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι τα ωDE και αDE έχουν αριστερόστροφες κατευθύνσεις και ότι τα vB/DE και aB/DE κατευθύνονται προς το D, όπως δείχνει το Σχ. (β). Το Σχ. (γ) απεικονίζει τα ανύσματα σχετικής θέσεως που απαιτούνται για την ανάλυση. Η απόσταση DB και η γωνία μεταξύ του DE και του άξονα x έχουν υπολογιστεί τριγωνομετρικά. E
aB/DE
vB/DE
B
y ωAB = 6 rad/s (const.) x
aDE ωDE
B, B΄ r B΄/D
D 18,05°
A
D
484
150
y
300
r
B/A
720
Διαστάσεις σε mm
(β)
A
x
30°
(γ)
Οι Εξ. (α) και (β) περιέχουν τα ακόλουθα διανύσματα: rB/A = 300(—συν 30°i + ημ 30°j) = —259,8i + 150j mm
(γ)
rB΄/D = 484(συν 18,05°i ημ 18,05°j) = 460,1i + 150j mm
(δ)
ωAB = 6k rad/s
(ε)
αAB = 0
ωDE = ωDEk rad/s
342
αDE = αDEk rad/s2
(ζ)
vB/DE = vB/DE = vB/DE(—συν 18,05°i — ημ 18,05°j) mm/s
(η)
aB/DE = αB/DE = αB/DE(—συν 18,05°i — ημ 18,05°j) mm/s2
(θ)