4 Υδραυλική των ανοικτών αγωγών 4.1 Εισαγωγή .....................................................................................................96 4.2 Ειδική Ενέργεια ...........................................................................................98 4.2.1 Ροή πάνω από βαθμίδα ....................................................................102 4.2.2 Κρίσιμη Ροή ......................................................................................105 4.3 Μετρήσεις παροχής με τεχνικά έργα ελέγχου ..........................................106 4.4 Η επίδραση της τραχύτητας της κοίτης ....................................................109 4.5 Εξισώσεις ανοιχτών αγωγών .....................................................................111 4.5.1 Προφίλ ταχυτήτων σε ανοιχτούς αγωγούς........................................114 4.6 Μέτρηση της ροής σε φυσικά ρεύματα ....................................................115 4.7 Συμπερασματικές επισημάνσεις ...............................................................119 4.8 Βασικά Σημεία ...........................................................................................121 4.9 Προτεινόμενη βιβλιογραφία .....................................................................122 4.10 Προβλήματα ............................................................................................123 4.11 Περαιτέρω διερεύνηση ...........................................................................124
4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό, οι αρχές της μηχανικής των ρευστών εφαρμόζονται στην επιφανειακή ροή σε ανοιχτούς αγωγούς, όπως για παράδειγμα στα ποτάμια, στα ρεύματα και στα κανάλια. Από την παρατήρηση της ροής στους ανοιχτούς αγωγούς, αναδεικνύονται πολλά ενδιαφέροντα και σημαντικά ζητήματα. Γιατί η ροή των ποταμών ποικίλλει από βαθιά και ήρεμη σε ρηχή και χειμαρρώδη; Τι καθορίζει το βάθος του νερού σε ένα ποτάμι; Πώς συνδέονται το βάθος του νερού και η παροχή; Πώς η ταχύτητα σε έναν αγωγό μεταβάλλεται, καθώς αυξάνεται η ποσότητα του νερού που μεταφέρει το ρεύμα; Συλλογιστείτε την τελευταία ερώτηση: πώς συνδέονται η ταχύτητα και η παροχή ενός υδατορεύματος; Αποδεικνύεται ότι η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι το κλειδί για τον υπολογισμό του πόσο γρήγορα μια πλημμύρα θα ταξιδέψει προς τα κατάντη μέσα σε μια ποτάμια κοιλάδα. Πρέπει, επίσης, να γνωρίζουμε την ταχύτητα του νερού, αν θέλουμε να εκτιμήσουμε πόσο γρήγορα ένας ρύπος που έχει χυθεί σε ένα ποτάμι κινείται προς το σημείο υδροληψίας του υδραγωγείου μιας πόλης. Ένα παράδειγμα τέτοιου δυστυχήματος συνέβη στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν ένα βαγόνι που περιείχε επικίνδυνα χημικά εκτροχιάστηκε, με αποτέλεσμα να χυθούν στον ποταμό ανάντη μιας πόλης στην Καλιφόρνια. Ήταν επιτακτική ανάγκη σε αυτή την περίπτωση να γνωρίζουνε πότε έπρεπε να σταματήσει η υδροληψία της πόλης, ώστε να αποφευχθεί η είσοδος του μολυσμένου νερού στο σύστημα ύδρευσης. Αποδεικνύεται ότι, για τα ποτάμια, υπάρχει γενικά μια χρήσιμη σχέση μεταξύ της μέσης ταχύτητας της ροής και της παροχής σε αυτά (Σχ. 4.1). Η σχέση μεταξύ του βάθους του νερού και της παροχής είναι πολύ μεγάλης σημασίας στην υδρολογία. Συχνά χρειάζεται να γνωρίζουμε με ποιόν τρόπο το βάθος του νερού σε ένα κανάλι σχετίζεται με την ποσότητα του νερού που αυτό παροχετεύει. Σε αντίθεση με τους σωλήνες και τα λάστιχα του κήπου, που εξετάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, οι ανοικτοί αγωγοί έχουν ελεύθερη επιφάνεια. Το βάθος του νερού μεταβάλλεται μαζί με τις
Υδραυλική των ανοικτών αγωγών
97
Μέση ταχύτητα, U (m s-1)
10
1
0.1 0.1
1
Παροχή, Q
(m3
s-1)
10
100
Σχήμα 4.1 Η ταχύτητα και η παροχή στους ποταμούς συνήθως συνδέονται από μια εξίσωση δύναμης, η οποία σε λογαριθμικό χαρτί σχεδιάζεται σαν ευθεία γραμμή. Η εξίσωση της ευθείας γραμμής που παρουσιάζεται στη γραφική παράσταση είναι U = 0.28Q0.62. Στοιχεία από τον Miller et al. (1971).
άλλες υδραυλικές παραμέτρους. Στη συζήτηση της υδραυλικής των ανοικτών αγωγών που ακολουθεί, η σχέση μεταξύ του βάθους του νερού και της παροχής θα αποδειχτεί ότι είναι κεφαλαιώδης για τη μέτρηση της απορροής. Πρωταρχικός μας στόχος σε αυτό το κεφάλαιο είναι να διερευνηθεί η φυσική βάση των σχέσεων μεταξύ των υδραυλικών μεταβλητών που μπορούμε να μετρήσουμε στους ανοικτούς αγωγούς. Στο Κεφάλαιο 5, οι αρχές αυτές θα εφαρμοστούν στην υδραυλική των υδατορευμάτων. Προφανώς, όλα τα σημαντικά ζητήματα που αφορούν τη ροή στα κανάλια δεν μπορούν να απαντηθούν πλήρως σε μια σύντομη ανάπτυξη πάνω στην υδραυλική των ανοιχτών αγωγών. Πολλά σημαντικά φαινόμενα της ροής όμως μπορούν να περιγραφούν με έναν σχετικά απλό τρόπο, λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση της συνέχειας, την εξίσωση Bernoulli, καθώς και τις σχέσεις και συναρτήσεις του συντελεστή τριβής που αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Κατά την ανάπτυξη ορισμένων από τις αρχές της μηχανικής των ρευστών στο Κεφάλαιο 3, ξεκινήσαμε με την παραδοχή της ροής χωρίς τριβή. Φυσικά, δεν υπάρχουν
98 Στοιχεία Φυσικής Υδρολογίας υγρά που να έχουν συνεκτικότητα μηδέν ή σωλήνες που δεν έχουν καμία ανωμαλία στην επιφάνειά τους. Παρ’ όλα αυτά, η εξίσωση Bernoulli, με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει τριβή, είναι ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης για τη συζήτηση της φυσικής της ροής των υγρών σε σωλήνες και μπορεί να εφαρμοστεί άμεσα για τη μέτρηση απορροών, όπως για παράδειγμα στους μετρητές Venturi ή στους σωλήνες Pitot. Μια παρόμοια προσέγγιση είναι χρήσιμη και για τη ροή σε ανοικτούς αγωγούς. Μερικές αρχές για το πώς το βάθος του νερού μεταβάλλεται με την παροχή μπορεί να γίνουν αντιληπτές καλύτερα με την προϋπόθεση της άτριβης ροής. Αποδεικνύεται και πάλι ότι οι αρχές που προέρχονται από την υπόθεση της μη ύπαρξης τριβής είναι πολύτιμες για τη μέτρηση της απορροής σε ανοικτούς αγωγούς. Ως εκ τούτου, θα ξεκινήσουμε τη συζήτησή μας με τη διερεύνηση της ειδικής ενέργειας σε έναν κανάλι χωρίς τριβές και, στη συνέχεια, θα προχωρήσουμε στην εξέταση της ροής σε “πραγματικούς” ανοικτούς αγωγούς, όπου η τριβή ασκεί δεσπόζουσα επιρροή.
4.2 Ειδική Ενέργεια
Για να ξεκινήσουμε, αναλογιστείτε πώς συσχετίζονται η ταχύτητα και το βάθος του νερού στη ροή των ανοικτών αγωγών. Η ροή σε έναν ανοικτό αγωγό διαφέρει από τη ροή σε ένα σωλήνα στο ότι η ροή στον ανοιχτό αγωγό περιορίζεται μόνο εν μέρει από ένα στερεό όριο. Το άνω “όριο” της ροής στους ανοικτούς αγωγούς, μεταξύ του νερού και της ατμόσφαιρας, ονομάζεται ελεύθερη επιφάνεια. Η προσέγγιση που θα ακολουθήσουμε είναι η χρησιμοποίηση της εξίσωσης της συνέχειας και του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα. Για να διατηρηθεί η ανάλυση απλή, θα θεωρηθεί η ροή μόνιμη και χωρίς τριβές, έτσι ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση Bernoulli. Το πρώτο μας βήμα θα είναι η προσαρμογή της εξίσωσης αυτής σε μια μορφή κατάλληλη για την εφαρμογή σε ανοικτό αγωγό. Πρώτα, ας εξετάσουμε τη ροή σε ένα μικρό τμήμα του καναλιού (Σχ. 4.2). Σε ένα πολύ μικρό τμήμα του καναλιού (reach), οι απώλειες λόγω τριβών συχνά μπορούν να αγνοηθούν, όπως και κάθε αλλαγή στο υψόμετρο του πυθμένα. Η εξίσωση Bernoulli για μια ροϊκή γραμμή σε αυτό το μικρό τμήμα είναι: u2 p + +z= H 2g ! g
(4.1)
ή, u2 p + + (zb + h ! d ) = H , 2g ! g
όπου zb είναι το υψόμετρο του πυθμένα πάνω από ένα επίπεδο αναφοράς [L], h είναι το συνολικό βάθος του νερού [L], d είναι η απόσταση της ροϊκής γραμμής από την ελεύθερη επιφάνεια [L], και H είναι η συνολική ενέργεια ανά μονάδα βάρους ή ολικό φορτίο [L]. Το επίπεδο αναφοράς ή ορίζοντας (datum) είναι απλά μια συμφωνημένη στάθμη για τη μέτρηση του υψομέτρου. Συχνά χρησιμοποιείται η μέση στάθμη της θάλασσας. Όπως αναφέρθηκε κατά την εξαγωγή της εξίσωσης Bernoulli στο Κεφάλαιο 3, το H είναι μια
Υδραυλική των ανοικτών αγωγών
h , βάθος νερού
Γραμμή ροής
99
d
Ροή
zb , υψόμετρο πυθμένα
z
z
Datum (z = 0)
Σχήμα 4.2 Οριζόντια ροή σε ένα μικρό μήκος ενός υδατορεύματος. Σε αυτό το τμήμα η ροή μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη και χωρίς τριβές. Η συνολική ενέργεια ανά μονάδα βάρους του νερού κατά μήκος της γραμμής ροής είναι U2/2g + h + zb = E + zh, όπου Ε είναι η ειδική ενέργεια. σταθερά. Ο όρος zb + h – d είναι το φορτίο βαρύτητας. Εφόσον η ροή είναι οριζόντια, η επιτάχυνση του υγρού στην κάθετη κατεύθυνση είναι αμελητέα και η πίεση θα μεταβάλλεται ανάλογα με το βάθος, κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια, σύμφωνα με την υδροστατική εξίσωση. Έτσι, p = ρgd και η Εξίσωση 4.1 μπορεί να γραφτεί: u2 + d + (zb + h ! d ) = H. 2g
Σε αυτό το σημείο μπορεί να εισαχθεί μια χρήσιμη τροποποίηση: το d + (zb+h – d) είναι ίσο με zb + h, όπου h είναι το συνολικό βάθος του νερού και zb είναι το υψόμετρο του πυθμένα πάνω από το datum. Αυτό θα ισχύει για οποιαδήποτε γραμμή ροής, επειδή είναι ανεξάρτητη από το d (δηλαδή, η σχετική πίεση στην επιφάνεια του νερού (d = 0) είναι μηδέν και το συνολικό γεωμετρικό ύψος είναι zb + h). Για ροή χωρίς τριβή, η ταχύτητα θεωρείται σταθερή σε όλο το βάθος. Στην περίπτωση αυτή, η ταχύτητα σε κάθε ροϊκή γραμμή είναι η ίδια και ίση με τη μέση ταχύτητα ροής του ποταμού U [LΤ–1], και η Εξίσωση (4.1) μπορεί να γραφτεί ως εξής: U2 + h + zb = H. 2g
(4.2)
Οι δύο πρώτοι όροι της εξίσωσης αυτής, U2/2g + h μπορεί να ερμηνευθούν σαν η ενέργεια ανά μονάδα βάρους του νερού, με επίπεδο αναφοράς τον πυθμένα του καναλιού. Αυτός ο συνδυασμένος όρος ορίζεται ως ειδική ενέργεια, E [L]:
100 Στοιχεία Φυσικής Υδρολογίας
E=
U2 + h. 2g
(4.3)
Η Εξίσωση 4.2 μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: E + zb = H
(4.4)
Από την Εξίσωση 4.4 βλέπουμε ότι, εάν η στάθμη του πυθμένα ενός ποταμού παραμένει σταθερή, συνεπάγεται ότι, επειδή το H είναι σταθερό, το E πρέπει επίσης να μένει σταθερό. Η εξίσωση συνέχειας για τη μόνιμη, ομοιόμορφη ροή ενός ρευστού σταθερής πυκνότητας δηλώνει ότι η παροχή Q [L3T–1] παραμένει σταθερή, έτσι ώστε U1Α1 = U2Α2 = σταθερό, όπου το Α είναι το εμβαδό της διατομής της ροής [L2]. Για να απλοποιηθεί η ανάλυση ακόμα περισσότερο, θεωρούμε ότι ποτάμι έχει ορθογωνική διατομή. Τότε το εμβαδό της διατομής είναι ίσο με το πλάτος του ποταμού w [L], επί το βάθος h του νερού: Q = Uwh
(4.5)
Εάν, προς το παρόν, επίσης υποθέσουμε ότι το πλάτος του ποταμού είναι σταθερό, η Εξίσωση 4.5 συνεπάγεται ότι: qw =
Q = Uh = σταθερό w
(4.6)
όπου το qw είναι η μοναδιαία παροχή (παροχή ανά μονάδα πλάτους) [L2T–1]. Από την Εξίσωση 4.6, ο όρος U = qw/h μπορεί να αντικατασταθεί στην Εξίσωση 4.3: E=
qw2 + h. 2gh2
(4.7)
Η Εξίσωση 4.7 παρέχει έναν τρόπο για τον υπολογισμό του βάθους της ροής σε κανάλια χωρίς τριβή με γνωστή την παροχή και την ειδική ενέργεια. Δηλαδή, δίνοντας τιμές για το E και για το qw, το h είναι ο μοναδικός άγνωστος όρος στην Εξίσωση 4.7. Αν και είναι δυνατό να λυθεί η Εξίσωση 4.7 κατευθείαν, μια γραφική λύση είναι καταλληλότερη. Ένα διάγραμμα ειδικής ενέργειας είναι μια γραφική παράσταση της ειδικής ενέργειας E ως προς το βάθος του νερού h για μια δεδομένη τιμή της παροχής qw (Σχ.4.3). Από το διάγραμμα αυτό, βλέπουμε ότι, για οποιαδήποτε παροχή, υπάρχουν τρία βάθη για κάθε τιμή της ειδικής ενέργειας. (Η Εξίσωση 4.7 είναι μια κυβική εξίσωση του h, συνεπώς υπάρχουν τρεις ρίζες.) Μόνο δύο από αυτά τα πιθανά βάθη, h1 και h2, είναι θετικά, ενώ το τρίτο βάθος h3 δεν λαμβάνεται υπόψη, δεδομένου ότι δεν έχει καμία φυσική σημασία. Τα δύο θετικά βάθη, τα πιθανά για μια δεδομένη τιμή της ειδικής ενέργειας, καλούνται εναλλασσόμενα ή συζυγή βάθη. Το διάγραμμα ειδικής ενέργειας (Σχ. 4.3) παρουσιάζει ένα ελάχιστο της Ε που αντιστοιχεί στη συνθήκη (που καλείται κρίσιμη συνθήκη), όπου οι λύσεις h1 και h2 της Εξίσωσης 4.7 συμπίπτουν. Επομένως, κάτω από κρίσιμες συνθήκες, η ροή με μια μο-
Υδραυλική των ανοικτών αγωγών
101
1.5
1
Βάθος, h (m)
h=
2 3
E
h1 0.5
h=
E h2
0
−0.5
h3
0
0.5
Ειδική ενέργεια, E (m)
1
1.5
Σχήμα 4.3 Ένα διάγραμμα ειδικής ενέργειας για qw = 0.5 m2 s-1. Τα τρία βάθη, h1, h2, και h3, είναι εκείνα που επιτρέπονται από τη θεωρία για μια δεδομένη μοναδιαία παροχή και μια δεδομένη ειδική ενέργεια (0.75 m σε αυτό το σχήμα). Τα τρία βάθη είναι οι λύσεις στην κυβική εξίσωση που συνδέει τα E, h, και qw. Επειδή τα αρνητικά βάθη δεν έχουν καμία φυσική έννοια, στην πράξη χρησιμοποιείται το ανώτερο μέρος του διαγράμματος, με τις θετικές τιμές του h.
ναδιαία παροχή qw έχει την ελάχιστη ειδική ενέργεια. Το βάθος που αντιστοιχεί σε αυτή την κατάσταση λέγεται κρίσιμο βάθος, hc. Η κρίσιμη ροή είναι μια μοναδική περίπτωση, κατά την οποία για κάθε τιμή της ειδικής ενέργειας υπάρχει μόνο ένα δυνατό βάθος (το κρίσιμο βάθος). Για τιμές της Ε με δύο δυνατά (συζυγή) βάθη, το ένα θα είναι μεγαλύτερο από το κρίσιμο βάθος και το άλλο μικρότερο (Σχ. 4.3). Το βάθος ροής h1 αντιστοιχεί σε ένα τύπο ροής που είναι βαθύτερη και πιο αργή από την κρίσιμη ροή και ονομάζεται υποκρίσιμη ροή. Η ροή με βάθος h2 είναι ρηχότερη και πιο γοργή από την κρίσιμη ροή και ονομάζεται υπερκρίσιμη ροή. Το αρχικό πρόβλημα που τέθηκε στην αρχή αυτής της ανάπτυξης ήταν να καθοριστεί η ταχύτητα και το βάθος του νερού για μια δεδομένη παροχή και διατομή του ποταμού. Η εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli και της εξίσωσης της συνέχειας οδήγησε στο διάγραμμα ειδικής ενέργειας. Αυτό σημαίνει ότι η απάντηση στην ερώτηση απαιτεί μια πρόσθετη γνώση (της ειδικής ενέργειας της ροής) και ότι είναι δυνατοί δύο συν-
102 Στοιχεία Φυσικής Υδρολογίας
? ?
U1
U2
(α) Σωλήνας με στένωση
U1
U2
? ?
(β) Κανάλι με σκαλοπάτι
Σχήμα 4.4 Για την περίπτωση ενός σωλήνα (α) ή ενός ανοικτού αγωγού (β), μπορούν τα U2 και p2 ή h2 να υπολογιστούν εάν τα U1 και p1 ή h1 είναι γνωστά; Η απάντηση είναι απλώς “ναι” για το (α), αλλά για το (β) ο υπολογισμός του h2 δεν είναι τόσο απλός. Η απάντηση δίνεται με την εξέταση της σχέσης μεταξύ της ειδικής ενέργειας, της μοναδιαίας παροχής και του βάθους του νερού. δυασμοί βάθους και ταχύτητας. Κατά συνέπεια, θα πρέπει να εξετάσουμε περαιτέρω την ερώτηση για να καθορίσουμε πώς συσχετίζονται η ειδική ενέργεια με το βάθος.
4.2.1 Ροή πάνω από βαθμίδα Μια σύγκριση μεταξύ της ροής σε έναν κλειστό αγωγό με στένωση και της ανάλογής της ροής με ελεύθερη επιφάνεια, δηλαδή ενός ρεύματος με ένα μικρό σκαλοπατάκι (βαθμίδα) στον πυθμένα, διαφωτίζει το ρόλο της ειδικής ενέργειας στην κατανόηση των προβλημάτων της ροής των ανοικτών αγωγών (Σχ. 4.4). Από την εξίσωση της συνέχειας και την εξίσωση Bernoulli, είναι εύκολο να υπολογιστεί η ταχύτητα ή η πίεση στη στένωση του σωλήνα, εάν γνωρίζουμε αυτές τις τιμές για την ευρύτερη διατομή. Όπως βρήκαμε στο Κεφάλαιο 3, U2 > U1 και p2 < p1 για μια μόνιμη, ομογενούς ρευστού, ροή χωρίς τριβή σε μια στένωση κλειστού αγωγού, όπως αυτή που φαίνεται στο Σχήμα 4.4. Αντίθετα με τη ροή διαμέσου της στένωσης στον σωλήνα, το ρεύμα φαίνεται να έχει μια “επιλογή”, καθώς ρέει πάνω από την βαθμίδα. Θα θεωρήσουμε ότι το πλάτος του ρεύματος είναι σταθερό και ότι η ροή παραμένει μέσα στην κοίτη. Τι θα συμβεί στην επιφάνεια του νερού καθώς η ροή περνά την βαθμίδα: θα ανυψωθεί, θα πέσει ή θα παραμείνει αμετάβλητη; Υποθέτοντας ότι η μετάβαση γίνεται ουσιαστικά χωρίς τριβή, η εξίσωση Bernoulli (4.2) μπορεί να γραφτεί ως εξής: U12 U2 + h1 = 2 + h2 + ! z, 2g 2g
(4.8)
όπου ο πυθμένας του ρεύματος ανάντη επιλέγεται σαν στάθμη αναφοράς και το z είναι το ύψος της βαθμίδας. Η επαναδιατύπωση της Εξίσωσης 4.8 με όρους ειδικής ενέργειας είναι: E1 = E2 + Δz = H
(4.9)
Υδραυλική των ανοικτών αγωγών
103
Επειδή αυτή είναι μια ροή χωρίς τριβές, η συνολική ενέργεια H πρέπει να μένει σταθερή. Ωστόσο, η Εξίσωση 4.9 δείχνει ότι η ειδική ενέργεια δεν θα είναι σταθερή, εάν το υψόμετρο του πυθμένα του καναλιού αλλάζει. Ξεκινάμε υποθέτωντας ότι η ροή ανάντη του σκαλοπατιού είναι υποκρίσιμη. Θεωρώντας ότι η ταχύτητα και το βάθος ροής ανάντη της βαθμίδας είναι γνωστά, μπορούμε να υπολογίσουμε την ειδική ενέργεια στα ανάντη, E1 = h1 +
U12 2g
(4.10)
και μπορούμε να εντοπίσουμε την E1 σε ένα διάγραμμα ειδικής ενέργειας, επειδή η μοναδιαία παροχή είναι επίσης γνωστή (Σχ. 4.5): (4.11)
qw = U1h1 1
E1
0.9
E2 = E1 − ∆z
0.8
h1
Βάθος, h (m)
0.7
h2
υποκρίσιμος κλάδος
0.6 0.5 0.4
h0
0.3
∆z
0.2 0.1
υπερκρίσιμος κλάδος
h'2
h'1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Ειδική Ενέργεια, E (m)
0.7
0.8
0.9
1
Σχήμα 4.5 Διάγραμμα ειδικής ενέργειας για ροή πάνω από σκαλοπάτι, qw = 0.5 m2 s–1. Η ειδική ενέργεια στο σημείο 1, 0.8 m αντιπροσωπεύεται από την κάθετη γραμμή στα δεξιά. Η ειδική ενέργεια στο σημείο 2 είναι 0.1 m μικρότερη απ’ ό,τι στο σημείο 1, γιατί το σκαλοπάτι στον πυθμένα έχει αυξήσει την δυναμική ενέργεια, μειώνοντας έτσι την ειδική ενέργεια. Η Ε2 φαίνεται σαν κάθετη γραμμή στο διάγραμμα, 0.1 m στα αριστερά της Ε1.