4
Διανυσματικοί Χώροι
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Διαστημική Πτήση και Συστήματα Ελέγχου Το Columbia, με ύψος όσο με ένα 12όροφο κτίριο και βάρος 75 τόνων, εκτοξεύθηκε μεγαλοπρεπώς από την εξέδρα εκτόξευσης ένα δροσερό πρωινό Κυριακής των Βαΐων, τον Απρίλιο του 1981. Προϊόν εντατικής έρευνας και ανάπτυξης που διήρκησε 10 έτη, το πρώτο Αμερικάνικο διαστημικό λεωφορείο ήταν ένας θρίαμβος του μηχανικού σχεδιασμού συστημάτων ελέγχου, που περιλάμβανε πολλούς κλάδους της μηχανικής: αεροναυπηγική, χημεία, ηλεκτρολογία, υδραυλική και μηχανολογία. Τα συστήματα ελέγχου του διαστημικού λεωφορείου είναι απολύτως κρίσιμα για την πτήση. Επειδή το λεωφορείο είναι μία ασταθής άτρακτος, απαιτεί συνεχή ηλεκτρονική παρακολούθηση κατά τη διάρκεια της ατμοσφαιρικής πτήσης. Το σύστημα ελέγχου πτήσης στέλνει μια ακολουθία εντολών στις επιφάνειες ελέγχου αεροδυναμικής και σε 44 μικρούς αεριωθούμενους προωθητήρες. Στην Εικόνα 1 φαίνεται ένα τυπικό σύστημα ανατροφοδότησης κλειστού βρόχου που ελέγχει την κλίση της ατράκτου κατά τη διάρκεια της πτήσης. Commanded pitch rate Commanded pitch
+
K1
– Pitch rate
+ +
Από μαθηματική άποψη, τα σήματα εισόδου και εξόδου σε ένα σύστημα μηχανικής είναι συναρτήσεις. Είναι σημαντικό σε εφαρμογές, οι συναρτήσεις αυτές να μπορούν να προστεθούν όπως στην Εικόνα 1, και να πολλαπλασιαστούν με βαθμωτά. Αυτές οι δύο πράξεις συναρτήσεων έχουν αλγεβρικές ιδιότητες που είναι απόλυτα ανάλογες με τις πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων στον Rn και πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό, όπως θα δούμε στις ενότητες 4.1 και 4.8. Για αυτόν το λόγο, το σύνολο όλων των πιθανών εισροών (συναρτήσεων) ονομάζεται διανυσματικός χώρος. Το μαθηματικό υπόβαθρο για τα συστήματα μηχανικής στηρίζεται σε διανυσματικούς χώρους συναρτήσεων, και το κεφάλαιο 4 επεκτείνει τη Commanded pitch acceleration
K2
–
(Η κλίση είναι η γωνία ανύψωσης του κώνου μύτης). Τα σύμβολα διασταύρωσης (⊗) δείχνουν το πού τα σήματα από διάφορους αισθητήρες προστίθενται στα σήματα του υπολογιστή που ρέουν κατά μήκος της κορυφής του σχήματος.
Pitch rate error
+ + –
Controller
Shuttle dynamics
G1(s)
G2(s)
Pitch acceleration error
Pitch
Accelerometer s2
Rate gyro s Inertial measuring unit 1
ΕΙΚΟΝΑ 1 Σύστημα ανατροφοδότησης κλειστού βρόχου για το διαστημικό λεωφορείο. Πηγή: Adapted c from Space Shuttle GN&C Operations Manual, Rockwell International, 1988.
189
190
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διανυσματικοί Χώροι
θεωρία των διανυσμάτων στον Rn για να συμπεριλάβει τέτοιες συναρτήσεις. Αργότερα,
θα δούμε πως προκύπτουν άλλοι διανυσματικοί χώροι στη μηχανική, τη φυσική και τη στατιστική. WEB
Οι μαθηματικοί σπόροι που φυτεύτηκαν στα κεφάλαια 1 και 2 φυτρώνουν και αρχίζουν να ανθίζουν σε αυτό το κεφάλαιο. Η ομορφιά και η δύναμη της γραμμικής άλγεβρας θα φανεί πιο καθαρά όταν θα δείτε τον Rn , ως έναν από μια ποικιλία διανυσματικών χώρων που εμφανίζονται σε εφαρμοσμένα φυσικά προβλήματα. Στην πραγματικότητα, η μελέτη των διανυσματικών χώρων δεν διαφέρει πολύ από μια μελέτη του ίδιου του Rn , επειδή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γεωμετρική εμπειρία σας με τους R2 και R3 για να απεικονίσετε πολλές άλλες πιο γενικές έννοιες. Αρχίζοντας με βασικούς ορισμούς στην ενότητα 4.1, το γενικό πλαίσιο διανυσματικών χώρων αναπτύσσεται σταδιακά σε όλο το κεφάλαιο. 'Ενας στόχος των ενοτήτων 4.3 - 4.5 είναι να καταδείξει πόσο άλλοι διανυσματικοί χώροι μοιάζουν πολύ με τον Rn . Η ενότητα 4.6 είναι μία από τις ενότητες σημαντικής σημασίας του κεφαλαίου, η οποία χρησιμοποιεί την ορολογία του διανυσματικού χώρου για να συνδέσει σημαντικά γεγονότα με ορθογώνιες μήτρες. Η ενότητα 4.8 εφαρμόζει τη θεωρία του κεφαλαίου σε διακριτά σήματα και εξισώσεις διαφορών που χρησιμοποιούνται σε ψηφιακά συστήματα ελέγχου, όπως του διαστημικού λεωφορείου. Οι αλυσίδες Markov, στην ενότητα 4.9, δημιουργούν μια μετάβαση από τις πιο θεωρητικές ενότητες του κεφαλαίου και δίνουν καλά παραδείγματα για έννοιες που θα εισαχθούν στο κεφάλαιο 5.
4.1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ Σημαντικό μέρος της θεωρίας των Κεφαλαίων 1 και 2 στηρίχθηκε σε παραδείγματα απλών και προφανών αλγεβρικών ιδιοτήτων του Rn , που αναφέρθηκαν στην Ενότητα 1.3. 'Οπως φάνηκε, υπάρχουν και πολλά άλλα μαθηματικά συστήματα που έχουν τις ίδιες ιδιότητες. Οι ιδιότητες αυτές παρατίθενται στον επόμενο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ
'Ενας διανυσματικός χώρος είναι ένα μη κενό σύνολο V αντικειμένων, που καλούνται διανύσματα, στο οποίο έχουν οριστεί δύο πράξεις, που ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός με βαθμωτά (πραγματικούς αριθμούς), για τις οποίες ισχύουν τα δέκα θεωρήματα (ιδιότητες) που αναφέρονται στα επόμενα.1 Τα αξιώματα πρέπει να ισχύουν για όλα τα διανύσματα u, v και w του V και για όλα τα βαθμωτά c και d. 1. Το άθροισμα των u και v, σημειώνεται ως u + v και ανήκει στο V. 2. u + v = v + u. 3. (u + v) + w = u + (v + w). 4. Υπάρχει ένα διάνυσμα του V που συμβολίζεται με 0 και λέγεται μηδενικό διάνυσμα) και για το οποίο ισχύει u + 0 = u (ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης). 5. Για κάθε u του V, υπάρχει ένα διάνυσμα −u του V τέτοιο ώστε u + (−u) = 0 (αντίθετο στοιχείο). 6. Το σκαλινό γινόμενο του u με το c, συμβολίζεται cu, είναι διάνυσμα και ανήκει στον V. 7. c(u + v) = cu + cv. 8. (c + d)u = cu + du. 9. c(du) = (cd)u. 10. 1u = u (ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού).
4.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 251
Πρόσθετη Μελέτη Hamming, R. W., Digital Filters, 3rd ed. (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989), pp. 1–37. Kelly, W. G., and A. C. Peterson, Difference Equations, 2nd ed. (San Diego: HarcourtAcademic Press, 2001). Mickens, R. E., Difference Equations, 2nd ed. (New York: Van Nostrand Reinhold, 1990), pp. 88–141. Oppenheim, A. V., and A. S. Willsky, Signals and Systems,2nd ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997), pp. 1–14, 21–30, 38–43. ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ kπ k Μπορεί να αποδειχθεί ότι τα σήματα 2k , 3k sin kπ 2 και 3 cos 2 είναι λύσεις της εξίσωσης:
yk+3 − 2yk+2 + 9yk+1 − 18yk = 0 Δείξτε πως αυτά τα σήματα ορίζουν μια βάση για το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης διαφορών.
4.8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιβεβαιώστε ότι τα σήματα των Ασκήσεων 1 και 2 είναι λύσεις των ακόλουθων εξισώσεων: 1. 2k , (−4)k ; yk+2 + 2yk+1 − 8yk = 0 k
k
2. 5 , (−5) ; yk+2 − 25yk = 0 Δείξτε ότι τα σήματα των Ασκήσεων 3-6 ορίζουν μια βάση για το σύνολο των λύσεων της ακόλουθης εξίσωσης. 3. Τα σήματα και η εξίσωση της Α ' σκησης 1. 4. Τα σήματα και η εξίσωση της Α ' σκησης 2. 5. (−2)k , k(−2)k · yk+2 + 4yk+1 + 4yk = 0 6. 4k cos kπ2 , 4k sin kπ2 · yk+2 + 16yk = 0
Στις ασκήσεις 7-12, θεωρείστε τα σήματα που αναγράφονται, ως λύσεις των δοθέντων εξισώσεων διαφορών. Ορίζουν τα σήματα μια βάση για το χώρο των λύσεων της εξίσωσης; Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα θεωρήματα. 7. 1k , 2k , (−2)k · yk+3 − yk+2 − 4yk+1 + 4yk = 0
8. (−1)k , 2k , 3k · yk+3 − 4yk+2 + 1yk+1 + 6yk = 0 9. 2k , 5k cos kπ2 , 5k sin kπ2 , yk+3 − 2yk+2 + 25yk+1 − 50yk = 0 10. (−2)k , k(−2)k , 3k , yk+3 + yk+2 − 8yk+1 − 12yk = 0
11. (−1)k , 2k , yk+3 − 3yk+2 + 4yk = 0
12. 3k , (−2)k , yk+4 − 13yk+2 + 36yk = 0 Στις ασκήσεις 13-16 βρείτε μια βάση για τον χώρο των λύσεων της εξίσωσης διαφορών. Αποδείξτε πως οι λύσεις που βρήκατε παράγουν τον χώρο των λύσεων. 13. yk+2 − yk+1 + 29 yk = 0
14. yk+2 − 5yk+1 + 6yk = 0
15. 6yk+2 + yk+1 − 2yk = 0
16. yk+2 − 25yk = 0
Οι ασκήσεις 17 και 18 αναφέρονται σε ένα απλό μοντέλο εθνικής οικονομίας που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών: Yk+2 − a(1 + b)Yk+1 + abYk = 1
(14)
Το Yk είναι το συνολικό εθνικό προϊόν κατά το έτος k, το a είναι μια σταθερά μικρότερη από 1, που ονομάζεται ελάχιστη τάση προς κατανάλωση, και b είναι μια θετική σταθερά προσαρμογής που περιγράφει πόσες αλλαγές στην κατανάλωση επηρεάζουν τον ετήσιο ρυθμό ιδιωτικής επένδυσης.1 17. Βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης (14) όταν a = .9 και b = 49 . Τί συμβαίνει στο Yk όταν αυξάνεται το k, [Υπόδειξη: Βρείτε πρώτα μια μερική λύση της μορφής Yk = T , όπου T είναι μια σταθερά που λέγεται το ισορροπημένο επίπεδο του εθνικού εισοδήματος]. 18. Βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης (14) όταν a = .9 και b = .5. Μια ελαφριά ράβδος υποστηρίζεται σε N σημεία που απέχουν 10 f t το ένα από το άλλο, προεξέχει δε 10 f t από το πρώτο σημείο στήριξης. 'Ενα βάρος 500 lb τοποθετείται στο άκρο της ράβδου (10 f t από την πρώτη υποστήριξη), όπως φαίνεται στο σχήμα. 'Εστω ότι yk είναι η ροπή κάμψης στην k-στή υποστήριξη, δηλαδή y1 = 5000 ft-lb. Ας υποθέσουμε ότι η ράβδος είναι σταθερά προσαρτημένη στη νιοστή υποστήριξη και ότι η ροπή κάμψης στο σημείο εκείνο είναι μηδενική. Στο μεταξύ, οι ροπές πληρούν την εξίσωση των τριών ροπών (three-moment equation): yk+2 + 4yk+1 + yk = 0 για k = 1, 2, . . . , N − 2
(15)
1 Για παράδειγμα, βλέπε Discrete Dynamical Systems, by James T. Sandefur (Oxford: Clarendon Press, 1990), pp. 267–276. The original accelerator-multiplier model is attributed to the economist P. A. Samuelson.
252
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διανυσματικοί Χώροι 10'
10' 1
500 lb
10' 2
y1
k = 0, 1, 2, . . . , έστω yk το άληκτο κεφάλαιο (υπόλοιπο κεφαλαίου) αμέσως μετά την k-στη δόση. Δηλαδή: 3
y2
N
y3
yN
Ροπές κάμψης σε μια στηριγμένη ράβδο. 19. Βρείτε τη γενική λύση των εξισώσεων διαφορών της άσκησης (15). Αιτιολογείστε την απάντησή σας. 20. Βρείτε τη μερική λύση της άσκησης (15) που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες y1 = 5000 και yN = 0. (Η απάντηση να είναι σε σχέση με το Ν). 21. 'Οταν ένα σήμα παράγεται από μια ακολουθία μετρήσεων μιας διαδικασίας (χημική αντίδραση, ροή θερμότητας διαμέσου ενός σωλήνα, κίνηση του μπράτσου ενός ρομπότ, κ.λπ.), το σήμα, συνήθως περιέχει τυχαίο θόρυβο που παράγεται από σφάλματα μετρήσεων. Μια τυπική μέθοδος προδιαδικασίας των δεδομένων ώστε να μειωθεί ο θόρυβος είναι να εξομαλυνθούν ή να φιλτραριστούν τα δεδομένα. 'Ενα απλό φίλτρο είναι η μετακίνηση του μέσου όρου που αντικαθιστά κάθε yk με το μέσο όρο του με δύο προσαρμοσμένες τιμές: 1 y 3 k+1
+ 13 yk + 13 yk−1 = zk
για k = 1, 2, . . .
Θεωρείστε ότι ένα σήμα yk , για k = 0, . . . , 14, είναι το: 9, 5, 7, 3, 2, 4, 6, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 5, 7 Χρησιμοποιείστε το φίλτρο για να υπολογίσετε τα z1 , . . . , z13 . Κατασκευάστε ένα γράφημα με διακεκομμένη γραμμή που υπερθέτει το αρχικό στο ομαλοποιημένο σήμα (και τα δύο γραφήματα στο ίδιο σύστημα). 22. 'Εστω {yk } η ακολουθία από δειγματοληψία του αναλογικού στις χρονικές στιγμές t = 0, 1, 2, . . . , σήματος 2 cos πt4 + cos 3πt 4 όπως φαίνεται στην εικόνα. Οι τιμές της yk , αρχίζοντας με k = 0, είναι: 3, .7, 0, −.7, −3, −.7, 0, .7, 3, .7, 0, . . . √ όπου .7 είναι η προσεγγιστική τιμή της 2/2. αʹ. Υπολογίστε το σήμα εξόδου {zk } όταν το {yk } περάσει μέσα από το φίλτρο του παραδείγματος 3. βʹ. Εξηγείστε πώς και γιατί, η έξοδος του ερωτήματος (α') έχει σχέση με τους υπολογισμούς στο παράδειγμα 3. y
πt ––– 3πt y = 2 cos –– 4 + cos 4
y1 = 10,000 + (.01)10,000 − 450 Νέο κεφάλαιο Τόκος Δόση κεφάλαιο οφειλή προστιθέμενη αʹ. Γράψτε μια εξίσωση διαφορών που να ικανοποιείται από το {yk }. βʹ. [Μ] Δημιουργείστε μια μήτρα που να περιέχει το k και το άληκτο κεφάλαιο του μήνα k (αμέσως μετά τη δόση του μήνα k). Γράψτε το πρόγραμμα ή τις εντολές/διαταγές που χρησιμοποιήσατε για να κατασκευάσετε τη μήτρα. γʹ. [Μ] Πόσο θα είναι το k μετά την τελευταία δόση; Πόσο θα είναι η τελευταία δόση· Πόσα χρήματα θα έχει πληρώσει συνολικά ο δανεισθείς; 24. Τη χρονική στιγμή k = 0, γίνεται μια αρχική επένδυση $1000 σε έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου που δίνει επιτόκιο 6% το χρόνο, με αποδιδόμενο τόκο μηνιαίως. (Το επιτόκιο ανά μήνα είναι 0,005 ή 0, 5% τον μήνα). Κάθε μήνα μετά την αρχική κατάθεση, κατατίθενται στο λογαριασμό και ένα πρόσθετο ποσό $200. Για k = 0, 1, 2, . . . , θεωρούμε yk το ποσό που υπάρχει στον λογαριασμό του μήνα k, ακριβώς μετά την k-στή κατάθεση. αʹ. Γράψτε μια εξίσωση διαφορών που να ικανοποιείται από το {yk }. βʹ. [Μ] Δημιουργείστε μια μήτρα που να δείχνει το k και το συνολικό ποσό του κεφαλαίου τους μήνες k, για k = 0 έως 60. Γράψτε το πρόγραμμα ή τις εντολές που χρησιμοποιήσατε για να δημιουργήσετε τη μήτρα. γʹ. [Μ] Πόσο θα είναι το ποσό του λογαριασμού μετά από δύο χρόνια (δηλαδή μετά τον 24ο μήνα), τέσσερα χρόνια και πέντε χρόνια; Ποιό ποσό από το συνολικό ποσό του λογαριασμού μετά τα πέντε χρόνια είναι ο τόκος; Στις ασκήσεις 25-28 δείξτε ότι το δοθέν σήμα είναι μια λύση της εξίσωσης διαφορών. Στη συνέχεια βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης. 25. yk = k2 ; yk+2 + 3yk+1 − 4yk = 7 + 10k 26. yk = 1 + k; yk+2 − 6yk+1 + 5yk = −4 27. yk = k − 2; yk+2 − 4yk = 8 − 3k 28. yk = 1 + 2k; yk+2 − 25yk = −48k − 20 Γράψτε τις εξισώσεις διαφορών στις ασκήσεις 29 και 30, ως συστήματα πρώτου βαθμού, xk+1 = Axk , για όλα τα k. 29. yk+4 + 3yk+3 − 8yk+2 + 6yk+1 − 2yk = 0 30. yk+3 − 5yk+2 + 8yk = 0
1 –1
1 2
t
Δειγματοληπτικά στοιχεία από το σήμα 2 cos πt4 + cos 3πt . 4 Οι ασκήσεις 23 και 24 αναφέρονται σε μια εξίσωση διαφορών της μορφής yk+1 − ayk = b, για δεδομένες σταθερές a και b. 23. 'Ενα δάνειο $10,000 είχε επιτόκιο 1% το μήνα με μηνιαία δόση $450. Το δάνειο λήφθηκε τον μήνα k = 0 και οι δόσεις άρχισαν ένα μήνα αργότερα, το μήνα k = 1. Για
31. Είναι η ακόλουθη εξίσωση διαφορών 3ου βαθμού; Εξηγείστε την απάντησή σας. yk+3 + 5yk+2 + 6yk+1 = 0 32. Ποιός είναι ο βαθμός της ακόλουθης εξίσωσης διαφορών; Εξηγείστε την απάντησή σας. yk+3 + a1 yk+2 + a2 yk+1 + a3 yk = 0 33. 'Εστω yk = k2 και zk = 2k|k|. Είναι τα σήματα {yk } και {zk } γραμμικά ανεξάρτητα; Αξιολογήστε τη συσχετισμένη μήτρα Casorati C(k) για k = 0, k = −1, και k = −2, και σχολιάστε τα συμπεράσματά σας. 34. 'Εστω f , g και h γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις ορισμένες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Κατα-
4.9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΜΑΡΚΟΦ 253 σκευάστε τρία σήματα με τιμές των συναρτήσεων στους ακέραιους: uk = f (k),
vk = g(k),
wk = h(k)
Είναι τα σήματα γραμμικά ανεξάρτητα στον S; Σχολιάστε την απάντησή σας. 35. 'Εστω a και b δύο μη μηδενικοί αριθμοί. Δείξατε ότι η απεικόνιση T που ορίζεται από τη σχέση T {yk } = {wk }, με: wk = yk+2 + ayk+1 + byk
γραμμικός μετασχηματισμός. Για δοσμένο z του V, υποθέστε ότι το x p του V ικανοποιεί τη σχέση T (x p ) = z, και έστω u ένα διάνυσμα στον πυρήνα του T . Δείξτε ότι u + x p ικανοποιεί τη μη ομογενή εξίσωση T (x) = z. 37. 'Εστω S0 ο διανυσματικός χώρος όλων των ακολουθιών της μορφής (y0 , y1 , y2 , . . .), και οι γραμμικοί μετασχηματισμοί T και D από τον S0 στον S0 που ορίζονται ως εξής: T (y0 , y1 , y2 , . . .) = (y1 , y2 , y3 , . . .) D(y0 , y1 , y2 , . . .) = (0, y0 , y1 , y2 , . . .)
είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός του S στον S. 36. 'Εστω V ένας διανυσματικός χώρος και T : V → V ένας
Δείξτε ότι ο TD = I ( ο ταυτοτικός μετασχηματισμός στην S0 ) και ακόμα ότι DT , I.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Εξετάστε τη μήτρα Casorati: 2k C(k) = 2k+1 2k+2
3k sin kπ 2
3k cos kπ 2
3k+1 sin (k+1)π 2
3k+1 cos (k+1)π 2
3k+2 sin (k+2)π 2
3k+2 cos (k+2)π 2
Θέστε k = 0 και κάνετε αναγωγή γραμμών στη μήτρα για να επιβεβαιώσετε ότι αυτή έχει τρεις οδηγούς θέσεις και επιπλέον είναι αντιστρέψιμη 1 0 1 1 0 1 3 0 ∼ 0 3 −2 C(0) = 2 4 0 −9 0 0 −13
Η μήτρα Καζοράτι είναι αντιστρέψιμη για k = 0, έτσι, τα σήματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Επειδή υπάρχουν τρία σήματα και ο χώρος H των λύσεων και εξισώσεων διαφορών έχει διάσταση 3 (σύμφωνα με το Θεώρημα 17), τα σήματα ορίζουν μια βάση για τον H, σύμφωνα με το Θεώρημα της Βάσης.
4.9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΜΑΡΚΟΦ Οι αλυσίδες του Markov (Μαρκόφ) που περιγράφηκαν στην ενότητα αυτή, χρησιμοποιούνται ως μαθηματικά μοντέλα για μια ποικιλία εφαρμογών στη βιολογία, επιχειρήσεις, στη χημεία, στη μηχανική, στη φυσική και αλλού. Σε κάθε περίπτωση, το μοντέλο χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα πείραμα ή μια μέτρηση που εκτελείται πολλές φορές με τον ίδιο τρόπο, όπου το αποτέλεσμα κάθε εκτέλεσης θα είναι ένα από τα πολλά πιθανά αποτελέσματα και θα εξαρτάται μόνο από αυτή τη συγκεκριμένη εκτέλεση. Για παράδειγμα, αν ο πληθυσμός μιας πόλης και των προαστίων της μετριέται κάθε χρόνο, τότε ένα διάνυσμα, όπως το: " # .60 x0 = (1) .40 Μπορεί να δηλώνει ότι το 60% του πληθυσμού ζει στην πόλη και το 40% στα προάστια. Οι δεκαδικοί αριθμοί στο x0 έχουν άθροισμα 1, γιατί αποτελούν το σύνολο του πληθυσμού της περιοχής. Τα ποσοστά είναι πιο βολικά από τους αριθμούς του πληθυσμού. 'Ενα διάνυσμα με μη αρνητικά στοιχεία, των οποίων το άθροισμα είναι 1 ονομάζεται διάνυσμα πιθανότητας (propability vector). Μια στοχαστική μήτρα (stochastic matrix) είναι μια τετράγωνη μήτρα της οποίας οι στήλες είναι διανύσματα πιθανότητας. Μια αλυσίδα Markov (Markov chain) είναι μια ακολουθία διανυσμάτων πιθανότητας x0 , x1 , x2 , . . ., μαζί με μια στοχαστική μήτρα P, έτσι ώστε: x1 = Px0 ,
x2 = Px1 ,
x3 = Px2 ,
...
262
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διανυσματικοί Χώροι συμπεραίνουμε ότι το q δεν είναι το διάνυσμα σταθερής κατάστασης του P. 3. Η M στο Παράδειγμα 1, είναι μια κανονική στοχαστική μήτρα, γιατί τα στοιχεία της είναι όλα αυστηρά θετικά. 'Ετσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 18. Ξέρουμε ήδη το διάνυσμα σταθερής κατάστασης από το Παράδειγμα 4. Κατά συνέπεια, τα διανύσματα xk της κατανομής του πληθυσμού συγκλίνοντας στο " # .375 q= .625 WEB
Τελικά, θεωρούμε πως το 62.5% του πληθυσμού θα μένει στα προάστια.
Κεφάλαιο 4 Συμπληρωματικές Ασκήσεις 1. Χαρακτηρίστε κάθε πρόταση ως Αληθή ή Ψευδή. Αιτιολογείστε κάθε απάντηση. (Αν είναι Αληθής αναφέρατε τα κατάλληλα θεωρήματα. Αν είναι Ψευδής, εξηγείστε γιατί ή δώστε ένα αντιπαράδειγμα που να δείχνει γιατί η πρόταση δεν είναι αληθής σε κάθε περίπτωση). Στις προτάσεις (α') – (ς'), τα v1 , . . . , v p είναι διανύσματα σε έναν μη μηδενικό πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο V, και S = {v1 , . . . , v p }. αʹ. Το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών του v1 , . . . , v p είναι ένας διανυσματικός χώρος. βʹ. Αν το σύνολο {v1 , . . . , v p−1 } παράγει τον V, τότε και ο S παράγει τον V. γʹ. Αν το σύνολο {v1 , . . . , v p−1 } είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε είναι και το S . δʹ. Αν το S είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε το S είναι μια βάση του V. εʹ. Αν η γραμμική θήκη του S παράγει τον Span S = V, τότε κάποιοι υπόχωροι του S είναι βάση του V. ʹ. Αν dim V = p και Span S = V, τότε το S δεν μπορεί να είναι γραμμικά εξαρτημένο. ζʹ. 'Ενα επίπεδο του R3 είναι ένας δισδιάστατος υπόχωρος. ηʹ. Οι μη οδηγοί στήλες μιας μήτρας είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένες. θʹ. Πράξεις στις γραμμές μιας μήτρας A μπορεί να αλλάξουν τη σχέση γραμμικής εξάρτησης μεταξύ των γραμμών της A. ιʹ. Πράξεις στις γραμμές μιας μήτρας μπορεί να αλλάξουν τον μηδενοχώρο. ιαʹ. Η τάξη μιας μήτρας είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών γραμμών. ιβʹ. Αν μια m × n μήτρα A είναι ισοδύναμη κατά γραμμές με μια κλιμακωτή μήτρα U και αν η U έχει k μη μηδενικές γραμμές, τότε η διάσταση του χώρου των λύσεων της Ax = 0 είναι m − k. ιγʹ. Αν η B παράγεται από μια μήτρα A με αρκετές στοιχειώδεις πράξεις στις γραμμές, τότε rank B = rank A. ιδʹ. Οι μη μηδενικές γραμμές μιας μήτρας A ορίζουν μια βάση του χώρου των γραμμών Row A. ιεʹ. Αν οι μήτρες A και B έχουν την ίδιο ανηγμένη κλιμακωτή μήτρα, τότε οι χώροι των γραμμών τους είναι ίσοι, δηλαδή Row A = Row B. ι ʹ. Αν H είναι ένας υπόχωρος του R3 , τότε υπάρχει μια μήτρα A 3 × 3 τέτοια ώστε H = Col A. ιζʹ. Αν A είναι μια m × n μήτρα και ισχύει rank A = m, τότε ο γραμμικός μετασχηματισμός x 7→ Ax είναι ένα – προς ένα.
ιηʹ. Αν A είναι μια m × n μήτρα και ο γραμμικός μετασχηματισμός x 7→ Ax είναι επί, τότε rank A = m. ιθʹ. Μια μήτρα αλλαγής συντεταγμένων είναι πάντοτε αντιστρέψιμη. κʹ. Αν B = {b1 , . . . , bn } και C = {c1 , . . . , cn } είναι βάσεις ενός διανυσματικού χώρου V, τότε η j-στή στήλη της μήτρας P είναι το διάνυσμα συντεαλλαγής συντεταγμένων C←B ταγμένων [c j ]B . 2. Βρείτε μια βάση για το σύνολο όλων των διανυσμάτων της μορφής: a − 2b + 5c 2a + 5b − 8c −a − 4b + 7c . (Να είστε προσεκτικοί) 3a + b + c b1 1 −2 3. 'Εστω u1 = 4 , u2 = 2 , b = b2 και W = Span {u1 , u2 }. b3 −5 −6 Βρείτε μια έμμεση περιγραφή του W, δηλαδή, βρείτε ένα σύνολο μιας ή περισσότερων ομογενών εξισώσεων που χαρακτηρίζουν τα σημεία του W [Υπόδειξη: Πότε το b ανήκει στον W?] 4. Εξηγείστε ποιό είναι το λάθος στην ακόλουθη διατύπωση: 'Εστω f(t) = 3 + t και g(t) = 3t + t2 και ισχύει g(t) = tf(t). Τότε η {f, g} είναι γραμμικά εξαρτημένη αφού η g είναι πολλαπλάσιο της f. 5. Θεωρείστε τα πολυώνυμα p1 (t) = 1 + t, p2 (t) = 1 − t, p3 (t) = 4, p4 (t) = t + t2 και p5 (t) = 1 + 2t + t2 , και έστω H ένας υπόχωρος του P5 που παράγεται από το σύνολο S = {p1 , p2 , p3 , p4 , p5 }. Χρησιμοποιείστε τη μέθοδο που περιγράφηκε στην απόδειξη του Θεωρήματος της Γραμμικής Θήκης (Spanning Set Theorem) στην Ενότητα 4.3, για να δημιουργήσετε μια βάση του H. (Εξηγείστε πώς επιλέξατε τα στοιχεία του S .) 6. Υποθέστε ότι τα p1 , p2 , p3 και p4 είναι συγκεκριμένα πολυώνυμα, τα οποία παράγουν έναν διδιάστατο υπόχωρο H του P5 . Περιγράψτε πώς μπορεί κάποιος να ορίσει μια βάση του H εξετάζοντας τα τέσσερα πολυώνυμα χωρίς να κάνει κάποιες πράξεις. 7. Τί πρέπει να γνωρίζετε για το σύνολο των λύσεων μιας ομογενούς εξίσωσης 18 γραμμικών εξισώσεων με 20 μεταβλητές, προκειμένου να γνωρίζετε πώς κάθε συσχετισμένη μη ομογενής εξίσωση έχει μια λύση. Σχολιάστε το. 8. 'Εστω H ένας n-διαστάσεων υπόχωρος του n-διαστάσεων διανυσματικού χώρου V. Εξηγείστε γιατί H = V. 9. 'Εστω T : Rn → Rm ένας γραμμικός μετασχηματισμός.