Πρόλογος Ελληνικής ΄Εκδοσης Ο Απειροστικός Λογισµός αποτελεί µέρος της µαθηµατικής παιδείας που πρέπει να λαµβάνει κάθε ϕοιτητής ϑετικών επιστηµών. Στην προσπάθεια εµπλουτισµού της ελληνικής ϐιβλιογραφίας επιλέξαµε να µεταφράσουµε ένα διεθνώς αναγνωρισµένο ϐιβλίο, το Calculus Early Transcendentals των C. Henry Edwards και David E. Penney. Η αγγλόφωνη έκδοση του ϐιβλίου, το οποίο κυκλοφορεί ήδη από το 1982 και τώρα ϐρίσκεται στην 7η αναθεωρηµένη έκδοσή του, αποτελεί έναν ενιαίο τόµο. Στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα, ωστόσο, η ύλη την οποία καλύπτει αναπτύσσεται συνήθως σε δύο εξαµηνιαία µαθήµατα και για τον λόγο αυτό, στην ελληνική έκδοση επιλέξαµε να το χωρίσουµε σε Τόµο Ι και ΙΙ. Στον πρώτο τόµο του ϐιβλίου παρουσιάζονται τα 7 από τα 14 κεφάλαια του πρωτοτύπου που αφορούν συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής. Συγκεκριµένα, στο Κεφάλαιο 0 παρουσιάζονται κάποιες εισαγωγικές και προαπαιτούµενες µαθηµατικές έννοιες από το Παράρτηµα του πρωτοτύπου. Τα Κεφάλαια 1 και 2 πραγµατεύονται την έννοια της συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης, ενώ στη συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια του ορίου. Τα Κεφάλαια 3 και 4 είναι αφιερωµένα στην παράγωγο και τις εφαρµογές της, ενώ στα κεφάλαια 5, 6 και 7 αναλύουµε τα ολοκληρώµατα, τεχνικές για τον υπολογισµό τους και εφαρµογές τους. Σε όλα τα κεφάλαια υπάρχει πληθώρα ασκήσεων και προβληµάτων για την καλύτερη εξάσκηση και κατανόηση των εννοιών από τους ϕοιτητές. Παράλληλα, υποστηϱίζεται η χρήση αριθµοµηχανής και Η/Υ µέσω συστηµάτων υπολογιστικής άλγεβρας, όπως το Mathematica και το Maple. Επιπλέον, στο τέλος κάθε ενότητας υπάρχουν ερωτήσεις σωστού/λάθους και ϑέµατα προς συζήτηση, ενώ κάθε κεφάλαιο ολοκληϱώνεται µε επανάληψη και επιπλέον προβλήµατα. Επίσης, στο τέλος του ϐιβλίου µπορείτε να ϐρείτε τις απαντήσεις στις ερωτήσεις σωστού/λάθους καθώς και στα µονού αριθµού προβλήµατα. Στο ϐιβλίο αυτό, όπως και στο πρωτότυπο, γίνεται χρήση διαφορετικών συστηµάτων µέτρησης. Για τον λόγο αυτό ϑα ήταν χρήσιµο οι ϕοιτητές να είναι εξοικειωµένοι τόσο µε το µετρικό σύστηµα MKS όσο και µε το Βρετανικό Μετρικό Σύστηµα. Ο Απειροστικός Λογισµός Ι ολοκληρώνεται µε τον δεύτερο τόµο, µε τίτλο Απειϱοστικός Λογισµός ΙΙ. Εκεί ϑα ακολουθήσουν τα κεφάλαια από το Calculus Early Transcendentals που αναφέρονται στις συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. Ιανουάριος 2016 Νίκος Ματζάκος nikmatz@gmail.com
v
Απειροστικός Λογισμός Περιεχόμενα Πρόλογος από την Αγγλική ΄Εκδοση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
xii
1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Πραγματικοί Αριθμοί και Ανισότητες 1 Επίπεδο Συντεταγμένων και Ευθεία Γραμμή 6 Επανάληψη στην Τριγωνομετρία 14 Μονάδες Μέτρησης και Μετατροπές 19 Βασικοί Τύποι από την ΄Αλγεβρα, τη Γεωμετρία και την Τριγωνομετρία 19
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Συναρτήσεις και Μαθηματικά Μοντέλα 24 Γραφικές Παραστάσεις Εξισώσεων και Συναρτήσεων 35 Πολυωνυμικές και Αλγεβρικές Συναρτήσεις 48 Υπερβατικές Συναρτήσεις 59 Προεπισκόπηση: Τι είναι ο Λογισμός; 71 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ορισμοί 76 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 76 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 77
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΛΟΓΙΣΜΟ 2.1 2.2 2.3 2.4
23
79
Εφαπτομένες και Πρόβλεψη Κλίσης 80 Η ΄Εννοια του Ορίου 91 Περισσότερα για τα ΄Ορια 103 Η ΄Εννοια της Συνέχειας 118 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήσεις και Συζήτηση 130 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 130 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 131
vii
viii
Πρόλογος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
133 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
Παράγωγος και Ρυθμός Μεταβολής 134 Βασικοί Κανόνες Παραγώγισης 147 Κανόνας Αλυσίδας 159 Παραγώγιση Αλγεβρικών Συναρτήσεων 167 Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων σε Κλειστό Διάστημα Εφαρμοσμένα Προβλήματα Βελτιστοποίησης 184 Παράγωγοι Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων 200 Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις 210 Πεπλεγμένη Παραγώγιση και Σχετικοί Ρυθμοί 225 Διαδοχικές Προσεγγίσεις και η Μέθοδος του Newton 236 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα και Ορισμοί 250 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 251 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 252
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
175
257
Εισαγωγή 258 Μεταβολές, Διαφορικά και Γραμμικές Προσεγγίσεις 258 Αύξουσες και Φθίνουσες Συναρτήσεις και Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 267 Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου και Εφαρμογές 278 Σχεδίαση Απλής Γραφικής Παράστασης 289 Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης και Κυρτότητα 299 Σχεδίαση Γραφικής Παράστασης και Ασύμπτωτες 314 Απροσδιόριστες Μορφές και ο Κανόνας του L’Hopital 327 Περισσότερες Απροσδιόριστες Μορφές 335 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα, Ορισμοί και Αποτελέσματα 341 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 342 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 343
347 Εισαγωγή 348 Αντιπαράγωγος και Προβλήματα Αρχικών Τιμών 348 Στοιχειώδεις Υπολογισμοί Εμβαδού 363 Αθροίσματα Riemann και Ολοκλήρωμα 375 Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων 387 Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού 398 Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση 408 Εμβαδόν Επίπεδης Περιοχής 416 Αριθμητική Ολοκλήρωση 427 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα, Ορισμοί και Αποτελέσματα 444 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 445 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 446
Πρόλογος ix
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
Προσέγγιση Αθροίσματος Riemann 450 ΄Ογκος με τη Μέθοδο των Διατομών 461 ΄Ογκος με τη Μέθοδο των Κυλινδρικών Κελυφών 474 Μήκος Τόξου και Εμβαδόν Επιφάνειας εκ Περιστροφής 483 Δύναμη και ΄Εργο 494 Κέντρο Βάρους Επίπεδης Περιοχής και Καμπύλης 505 Ο Φυσικός Λογάριθμος ως Ολοκλήρωμα 514 Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 526 Υπερβολικές Συναρτήσεις 536 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ορισμοί και Τύποι 545 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 547 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 548
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
449
553
Εισαγωγή 554 Πίνακες Ολοκληρωμάτων και Απλές Αντικαταστάσεις 554 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες 559 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 566 Ρητές Συναρτήσεις και Μερικά Κλάσματα 573 Τριγωνομετρικές Αντικαταστάσεις 581 Ολοκληρώματα Τετραγωνικών Πολυωνύμων 586 Γενικευμένα Ολοκληρώματα 592 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στρατηγικές Ολοκλήρωσης 606 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα και Τεχνικές 608 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 608 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 609
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Σ/Λ
613
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
623
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
671
Για τους Συγγραφείς Ο C. Henry Edwards είναι οµότιµος καθηγητής µαθηµατικών στο Πανεπιστήµιο της Georgia. ∆ιδάκτωρ του Πανεπιστηµίου του Tennessee από το 1960, συνταξιοδοτήθηκε πρόσφατα έπειτα από 40 χρόνια διδασκαλίας, κατά τα οποία δίδασκε λογισµό ή διαϕορικές εξισώσεις σχεδόν σε κάθε εξάµηνο. ∆ίδαξε στα Πανεπιστήµια του Tennessee, του Wisconsin και της Georgia µε ένα µικρό διάλειµµα στο Ινστιτούτο Προηγµένων Σπουδών (Institute of Advanced Study) του Princeton ως υπότροφος ερευνητής του Ιδρύµατος Alfred P. Sloan. ΄Εχει τιµηθεί µε πλήθος ακαδηµαϊκών ϐραβείων µεταξύ των οποίων το µετάλλιο της τιµής του Πανεπιστηµίου της Georgia το 1983 (για τη συνεχή αριστεία του στη διδασκαλία τµηµάτων αριστούχων), το ϐραβείο Josiah Meigs το 1991(το µεγαλύτερο ακαδηµαϊκό ϐραβείο του ιδρύµατος) και το διαπολιτειακό ϐραβείο Georgia Regents το 1997 για την αριστεία του στην πανεπιστηµιακή διδασκαλία και έρευνα. Η ακαδηµαϊκή του καριέρα εκτείνεται από την έρευνα στην τοπολογία και την ιστορία των µαθηµατικών µέχρι τη χρήση της τεχνολογίας και των υπολογιστών στη διδασκαλία και τις εφαρµογές τους στα µαθηµατικά. Εκτός από τη συγγραφή εγχειριδίων για τον διαφορικό λογισµό, τη γραµµική άλγεβρα και τις διαϕορικές εξισώσεις είναι επίσης γνωστός στους διδάσκοντες τον διαφορικό λογισµό ως ο συγγραφέας του ϐιβλίου Η ιστορική εξέλιξη του Λογισµού (The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlagm 1979). Τη δεκαετία του ’90 υπήρξε ένας από τους ϐασικούς ερευνητές τριών προγραµµάτων υποστηριζόµενων από το Εθνικό ΄Ιδρυµα Επιστηµών (National Research Foundation): 1) ένα πρόγραµµα µαθηµατικών για σχολεία το οποίο περιελάµβανε τη χρήση του Maple στην ΄Αλγεβρα για αρχάριους, 2) ένα πρόγραµµα για τον Λογισµό µε χρήση Mathematica, 3) ένα εργαστηριακό πρόγραµµα MATLAB για ϕοιτητές που κάνουν αριθµητική ανάλυση και διαφορικές εξισώσεις. Ο David E. Penney, από το Πανεπιστήµιο της Georgia, ολοκλήρωσε τη διδακτορική του διατριβή το 1965 στο Πανεπιστήµιο Tulane (υπό την επίβλεψη του καθηγητή L.Bruce Treybig) ενώ παράλληλα δίδασκε στο Πανεπιστήµιο της New Orleans. Νωϱίτερα είχε εργαστεί στον χώρο της πειραµατικής ϐιοφυσικής στο Πανεπιστήµιο Tulane καθώς και στο Νοσοκοµείο Απόστρατων στη Νέα Ορλεάνη υπό την επίβλεψη του Robert Dixon McAffee), η οµάδα του οποίου ερευνούσε πρωτίστως την ενεργητική συµπεριφορά ιόντων νατρίου µέσω ϐιολογικών µεµβρανών. Η ϐασική συνεισφορά του Penney στην οµάδα ήταν η ανάπτυξη ενός µαθηµατικού µοντέλου το οποίο χρησιµοποιούσε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις για µεταβολικά ϕαινόµενα που ϱυθµίζουν τέτοιου είδους µεταφορές και ϑα µπορούσαν να έχουν εφαρµογή στο µέλλον στη ϕυσιολογία του νεφρού, στη ϱύθµιση της υπέρτασης και στη ϑεραπεία της συµφορητικής καρδιακής ανεπάρκειας. Επίσης, σχεδίασε και δηµιούργησε σερβοµηχανισµούς για την ακριβή παρακολούθηση της µεταφοράς ιόντων, ϕαινόµενο το οποίο περιλαµβάνει τη µέτρηση των δυναµικών σε microvolts σε αντιστάσεις εκατοµµυρίων mega ohm. Ο Penney ξεκίνησε να διδάσκει Λογισµό στο Tulane το 1957 και δίδασκε το συγκεκριµένο µάθηµα µε ενθουσιασµό κι ακαδηµαϊκή αριστεία σχεδόν σε κάθε εξάµηνο µέχρι τη συνταξιοδότησή του, στο τέλος της προηγούµενης χιλιετίας. Κατά τη διάρκεια της ϑητείας του στο Πανεπιστήµιο της Georgia έλαβε πλήθος διαπανεπιστηµιακών ϐραϐείων και επέβλεψε αρκετές διδακτορικές διατριβές και πτυχιακές εργασίες. ΄Εχει κάνει ερευνητικό έργο στη ϑεωρία των αριθµών και την τοπολογία και έχει γράψει εγχειρίδια για το λογισµό, τον προγραµµατισµό Η/Υ, τις διαφορικές εξισώσεις, τη γραµµική άλγεβρα και τα µαθηµατικά στις ϑεωρητικές σπουδές.
Πρόλογος Αγγλικής ΄Εκδοσης Τόσο οι καθηγητές όσο κι οι ϕοιτητές του λογισµού στις µέρες µας αντιµετωπίζουν πέρα από τις παραδοσιακές προκλήσεις, κι άλλες, σύγχρονες, οι οποίες προέρχονται από τις αλλαγές στον ϱόλο αλλά και τη χρήση των µαθηµατικών από επιστήµονες και µηχανικούς, παγκοσµίως. ΄Ετσι, οι αλλαγές που κάναµε σε αυτή την αναθεώρηση του ϐιβλίου, σε συνδυασµό µε εκείνες που περιλαµβάνονται στην προηγούµενη (την έκτη έκδοση) είναι οι πιο εκτεταµένες και διεισδυτικές που έχουν γίνει από την πρώτη του έκδοση το 1982. Στην έκτη έκδοση του 2002 είχαν αφαιρεθεί από τον πίνακα περιεχοµένων δύο ολόκληρα κεφάλαια της προηγούµενης έκδοσης ενώ ταυτόχρονα προστέθηκε ένα ολόκληρο κεφάλαιο. Παρόλο που η παρούσα έκδοση διατηρεί τον ευρύτερο πίνακα περιεχοµένων της έκτης έκδοσης, έχουν πραγµατοποιηθεί σχεδόν σε κάθε ενότητα εποικοδοµητικές διορθώσεις και ϐελτιώσεις.
ΠΗΓΕΣ ΑΥΤΟΝΟΜΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ Νέοι οδηγοί μελέτης
Στο τέλος κάθε ενότητας παρέχονται δέκα ερωτήσεις σωστού/λάθους ώστε να ϐοηθούνται οι ϕοιτητές στον έλεγχο της µελέτης τους και να οδηγούνται συστηµατικά στα κοµµάτια εκείνα της ενότητας στα οποία χρειάζεται να ξαναδούν συγκεκριµένες έννοιες προτού επιχειρήσουν να λύσουν τα προβλήµατα. Υποδείξεις και απαντήσεις στις ερωτήσεις σωστού/λάθους δίνονται στο τέλος του ϐιβλίου. Οι ϕοιτητές µπορούν να τις συµβουλεύονται, αφού έχουν απαντήσει πρώτα στις ερωτήσεις. Αν διαπιστώσουν ότι κάποιες από τις απαντήσεις τους είναι λανθασµένες, τότε µπορούν να συµβουλευτούν την ανάλογη υπόδειξη. Αυτή ϑα τους παϱαπέµψει στο κατάλληλο κοµµάτι της ενότητας και µελετώντας το ξανά ϑα έχουν τη δυνατότητα να εντοπίσουν τα σηµεία στα οποία δυσκολεύτηκαν.
Νέες Ανακεφαλαιώσεις
Η κάθε ανακεφαλαίωση αποτελείται από δύο µέρη – Κατανόηση και Στόχοι- τα οποία προηγούνται των επιπλέον προβληµάτων του κεφαλαίου. Το κοµµάτι της Κατανόησης περιλαµβάνει έννοιες, ορισµούς, τύπους, αποτελέσµατα κλπ – µε αναφορές στις σχετικές σελίδες- τα οποία πρέπει να ξαναµελετηθούν στην προετοιµασία για το τεστ του κάθε κεφαλαίου. Βασίστηκε στην ιδέα ότι ο σπουδαστής που πραγµατικά χρειάζεται τη ϐοήθεια αυτής της επανάληψης, πιθανότατα δεν µπορεί µόνος του να σκιαγραφήσει τη δοµή του κεφαλαίου. ΄Οπως γνωρίζουν οι έµπειροι καθηγητές, πολλοί από τους ϕοιτητές (αν όχι οι περισσότεροι) χρειάζονται ϐοήθεια στην αναγνώριση, τον εντοπισµό και τη σύντοµη περιγραφή εκείνων των σηµείων του κεφαλαίου, η κατανόηση των οποίων συνιστά τη συνολική γνώση του κεφαλαίου. Το κοµµάτι των Στόχων εντοπίζει ενδεικτικά προβλήµατα σε κάθε ενότητα, τα οποία προτείνονται για επανάληψη. Και σε αυτή την περίπτωση, πολλοί ϕοιτητές δεν µπορούν να κατηγοριοποιήσουν και να αναγνωρίσουν τους τύπους των προβληµάτων τα οποία έχουν καλυφθεί και το τι ακριβώς χρειάζεται για την επίλυσή τους. ∆εν έχουν δουλέψει µε συνέπεια όλα τα προβλήµατα της κάθε ενότητας όπως καλύφθηκαν στο µάθηµα και πιθανά χρειάζονται ϐοήθεια στην αναγνώριση ενός ικανού αριθµού αντιπροσωπευτικών προβληµάτων. Εποµένως, το κοµµάτι αυτό του ανακεφαλαιωτικού υλικού παρέχει µια λίστα των µεθόδων και των τεχνικών οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν ανά ενότητα καθώς κι αρκετά ενδεικτικά προβλήµατα, επιλεγµένα ώστε να παρέχουν όση εξάσκηση χρειάζεται για την προετοιµασία του τεστ του κεφαλαίου.
Πρόλογος xiii
Επιπρόσθετη βοήθεια Εννοιολογικές ερωτήσεις προς συζήτηση
Πριν από τη συλλογή προβληµάτων στο τέλος κάθε ενότητας υπάρχουν εννοιολογικές ερωτήσεις ανοιχτού τύπου µε τίτλο ΄Εννοιες : Ερωτήσεις και συζήτηση. Οι ερωτήσεις αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν είτε για ατοµική µελέτη είτε για οµαδική συζήτηση.
Απαντήσεις στις περιττού αριθμού ερωτήσεις
Η ενότητα µε τις απαντήσεις στο τέλος του ϐιβλίου επεκτάθηκε κατά πολύ σε αυτή την έκδοση, κυρίως µε την εισαγωγή πάνω από 340 νέων σχεδιαγραµµάτων. Πρόκειται για καλλιτεχνική δουλειά που έχει παραχθεί µε τη ϐοήθεια υπολογιστή και σκοπό έχει να ϐοηθήσει τους ϕοιτητές µε τα προβλήµατα, η κατανόηση των οποίων απαιτεί ισχυρό οπτικοποιηµένο κοµµάτι. Το αποτέλεσµα είναι µια πιο ελκυστική ενότητα απαντήσεων, η οποία προκαλεί την προσοχή των ϕοιτητών και την ανεξάρτητη µελέτη.
Διερευνήσεις από τους Φοιτητές Αρκετές από τις διερευνήσεις (ή πρότζεκτ) ξαναγράφτηκαν. Παρουσιάζονται µετά από τα προβλήµατα στο τέλος των σηµαντικών ενοτήτων. Οι περισσότερες (αν κι όχι όλες) από αυτές τις εργασίες χρησιµοποιούν τη σύγχρονη υπολογιστική τεχνολογία προκειµένου να διευκρινίσουν τις ϐασικές ιδέες της ενότητας που προηγήθηκε, ενώ πολλές από αυτές περιλαµβάνουν περαιτέρω προβλήµατα τα οποία απαιτούν επίλυση µέσω της χρήσης αριθµοµηχανής γραφηµάτων ή κάποιου συστήµατος υπολογιστικής άλγεβρας. Ιστορικό υλικό Οι ιστορικές και ϐιογραφικές πληροφορίες στην αρχή κάθε κεφαλαίου προσφέρουν στους ϕοιτητές την αίσθηση της εξέλιξης των µαθηµατικών από πραγµατικούς ανθρώπους. Πράγµατι, η αναλυτική µας παρουσίαση για τον λογισµό συχνά αντικατοπτρίζει την ιστορική του εξέλιξη- από την αρχαιότητα στα χρόνια του Newton, του Leibniz και του Euler και στη συνέχεια στη δική µας εποχή της νέας υπολογιστικής δύναµης και τεχνολογίας. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ Η επανέκδοση που έχετε στα χέρια σας περιλαµβάνει • • •
Εισαγωγή στο ν Λογισµό πλήρως ενταγµένη στο Α΄ Εξάµηνο ∆ιαφορικές εξισώσεις και εφαρµογές αυτών στο Β΄ Εξάµηνο Λογισµός πολλών µεταβλητών στο Γ΄ Εξάµηνο
Στα κεφάλαια 1 εως 6 (Τόµος Ι) καλύπτεται πλήρως η εισαγωγή στον λογισµό. Το κεφάλαιο 8 (µόνο στην πλήρη έκδοση του ϐιβλίου) για τις διαφορικές εξισώσεις εµφανίζεται πλέον αµέσως µετά από το Κεφάλαιο 7 (Τόµος Ι) περί τεχνικών ολοκλήρωσης. Περιλαµβάνει τα διανυσµατικά πεδία αλλά και τη µέθοδο του Euler σε συνδυασµό µε πιο απλές µεθόδους συµβολισµού (οι οποίες χρησιµοποιούν τεχνικές από το Κεϕάλαιο 7) καθώς και κάποιες ενδιαφέρουσες εφαρµογές εξισώσεων πρώτου και δευτέρου ϐαθµού. Το Κεφάλαιο 10 (΄Απειρες σειρές) (Κεφάλαιο 1, Τόµος ΙΙ) τελειώνει µε µια καινούρια ενότητα σχετικά µε τις λύσεις µέσω δυναµοσειράς διαφορικών εξισώσεων, ολοκληρώνοντας µε αυτό τον τρόπο τη µελέτη του λογισµού του Β΄ Εξαµήνου, µέσω των ϐασικών διαφορικών εξισώσεων.
Πιο αναλυτικά . . . Εισαγωγικά Κεφάλαια (Τόμος Ι)
Αντί να επικεντρωθεί σε µία ανασκόπηση ϱουτίνας ϑεµάτων εισαγωγής στον λογισµό, το Κεφάλαιο 1 εξετάζει τις συναρτήσεις και τα γραφήµατα που χρησιµοποιούνται στη µαθηµατική µοντελοποίηση. Περιλαµβάνει µια ενότητα άτυπης καταγραφής των ϐασικών εισαγωγικών στοιχείων του λογισµού, ως προθάλαµο της πιο τυπικής διερεύνησής τους χρησιµοποιώντας τον ίδιο τον λογισµό. Το Κεφάλαιο 1 ολοκληρώνεται µε µια ενότητα η οποία απευθύνει το ερώτηµα «Τί είναι ο λογισµός ;». Το Κεφάλαιο 2 περί ορίων ξεκινάει µε µια ενότητα για τις εφαπτόµενες προετοιµάζοντας µε τον τρόπο αυτό την επίσηµη εισαγωγή στα όρια της Ενότητας 2.2. Τα τριγωνοµετρικά όρια διεϱευνώνται σε ολόκληρο το Κεφάλαιο 2 προκειµένου να επιτευχθεί µια πιο πλούσια οπτική εισαγωγή στην έννοια του ορίου.
xiv
Πρόλογος
Κεφάλαια Παραγώγισης (Τόμος Ι)
Η σειρά µε την οποία εµφανίζονται τα ϑέµατα των Κεφαλαίων 3 και 4 διαφέρει λίγο από την παραδοσιακή. Επιχειρούµε να ενισχύσουµε την αυτοπεποίθηση των ϕοιτητών παρουσιάζοντας ϑέµατα µε αυξανόµενο δείκτη δυσκολίας. Ο κανόνας της αλυσίδας εµφανίζεται σχετικά νωρίς (στην Ενότητα 3.3) και καλύπτουµε τις ϐασικές τεχνικές παραγώγισης των αλγεϐρικών συναρτήσεων προτού εισάγουµε τα µέγιστα και τα ελάχιστα στις Ενότητες 3.5 και 3.6. Η Ενότητα 3.7 εξετάζει τις παραγώγους και των έξι τριγωνοµετρικών συναρτήσεων κι η Ενότητα 3.8 εισάγει τις εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις. Η έµµεση παραγώγιση κι οι σχετικοί ϱυθµοί παρουσιάζονται τώρα σε µία ενότητα (3.9). Η προτίµηση των συγγραφέων για τη µέθοδο Newton ϑα ϕανεί οπωσδήποτε στην Ενότητα 3.10. Το ϑεώρηµα µέσης τιµής κι οι εφαρµογές του αναφέρονται αργότερα στο Κεφάλαιο 4. Επιπλέον, ένα από τα ϑέµατα που κυριαρχούν στο Κεφάλαιο 4 είναι η χρήση του λογισµού τόσο για τη δηµιουργία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων, όσο και για την εξήγηση και ερµηνεία γραφηµάτων τα οποία έχουν προκύψει από αριθµοµηχανή ή υπολογιστή. Το ϑέµα αυτό εξετάζεται στις Ενότητες 4.4 µε τον έλεγχο της πρώτης παραγώγου και 4.6 όπου εξετάζονται οι παράγωγοι ανώτερης τάξης κι η κυρτότητα. Μπορεί ϐέβαια να προκύπτει και στις ενότητες 4.8 και 4.9 µε τον κανόνα l’Hopital, ο οποίος εµφανίζεται εδώ αποκλειστικά στο πλαίσιο του διαφορικού λογισµού και εφαρµόζεται για να ολοκληρωθεί ο λογισµός των εκθετικών και λογαριθµικών συναρτήσεων.
Κεφάλαια για τα Ολοκληρώματα (Τόμος Ι)
Το Κεφάλαιο 5 ξεκινάει µε µια Ενότητα για τις αντιπαραγώγους, η οποία ϑα έπρεπε να είχε κανονικά περιληφθεί στο προηγούµενο κεφάλαιο, αλλά τοποθετήθηκε εδώ λόγω της χρήσης του συµβολισµού των ολοκληρωµάτων. Με την εισαγωγή του ορισµένου ολοκληρώµατος στις Ενότητες 5.3 και 5.4 επικεντρωνόµαστε στα αθροίσµατα των άκρων και των µέσων κι όχι στα ανώτερα, κατώτερα και τα γενικά αθροίσµατα Riemann. Με αυτό τον τρόπο συνεχίζουµε µέχρι και την τελευταία ενότητα και ϕτάνουµε στην αριθµητική ολοκλήρωση. Το Κεφάλαιο 6 αρχίζει µε µια ενότητα αφιερωµένη στις προσεγγίσεις των αϑροισµάτων Riemann, µε παραδείγµατα τα οποία εστιάζουν στη ϱοή υγρών και σε ιατρικές εφαρµογές. Η Ενότητα 6.6 πραγµατεύεται το κέντρο ϐάρους επιπέδων και καµπύλων. Η ενότητα 6.7 προσεγγίζει τους λογαρίθµους µέσω ολοκληρωµάτων, ενώ οι ενότητες 6.8 και 6.9 καλύπτουν τόσο τον διαφορικό όσο και τον ολοκληρωτικό λογισµό των αντίστροφων τριγωνοµετρικών κι υπερβολικών συναρτήσεων. Το Κεφάλαιο 7 (Τεχνικές Ολοκληρωµάτων) έχει οργανωθεί µε τέτοιο τρόπο ώστε να καλύπτει τους διδάσκοντες οι οποίοι πιστεύουν πως χρειάζεται να παραµεϱίσουν τις παραδοσιακές µεθόδους, προκειµένου να δώσουν περισσότερο έδαφος σε σύγχρονες τεχνικές αριθµητικών και συµβολικών ολοκληρωµάτων. Η ολοκλήρωση κατά παράγοντες (7.3) προηγείται των τριγωνοµετρικών ολοκληρωµάτων (7.4). Η µέθοδος των µερικών κλασµάτων εµφανίζεται στην Ενότητα 7.5 κι ακολουθούν στις Ενότητες 7.6 και 7.7 οι τριγωνοµετρικές αντικαταστάσεις και τα ολοκληρώµατα που περιλαµβάνουν τετραγωνικά πολυώνυµα. Τα γενικευµένα ολοκληρώµατα εµφανίζονται στην Ενότητα 7.8 µε αρκετές υποενότητες σχετικά µε ειδικές συναρτήσεις και τυχαίες δειγµατοληψίες. Αυτή η αναδιοργάνωση του Κεφαλαίου 7 διευκολύνει τον διδάσκοντα να σταµατήσει σε όποιο σηµείο εκείνος επιθυµεί.
Παραμετρικές Καμπύλες και Πολικές Συντεταγμένες (Μόνο στην πλήρη έκδοση του βιβλίου) Αντί για τρεις διαφορετικές ενότητες σε σχέση µε τις παραβολές, τις ελλείψεις και τις υπερβολές, το Κεφάλαιο 8 ολοκληρώνεται µε την Ενότητα 8.6 η οποία εξετάζει συνολικά όλες τις κωνικές τοµές.
΄Απειρες Σειρές (Τόμος ΙΙ) Μετά από τη συνήθη εισαγωγή στη σύγκλιση των αόριστων σειρών στις Ενότητες 10.2 και 10.3, έχουµε στην Ενότητα 10.4 µία συνδυαστική παρουσίαση των πολυωνύµων Taylor και των σειρών Taylor. Με αυτό τον τρόπο ο διδάσκων µπορεί να πειραµατιστεί µε µία συντοµότερη παρουσίαση των αόριστων σειρών, αλλά παρόλα αυτά να εκθέσει τους σπουδαστές στις σειρές Taylor, οι οποίες είναι ιδιαιτέρως σηµαντικές στις εφαρµογές. Το πιο ϕρέσκο χαρακτηριστικό του Κεφαλαίου 10 είναι η τελευταία ενότητα σχετικά µε τις µεθόδους σειρών
Πρόλογος xv δυνάµεων και τη χρήση τους στην εισαγωγή νέων υπερβατικών συναρτήσεων. Με τον τρόπο αυτό ϕτάνουµε στη µέση του τρίτου µέρους του ϐιβλίου επιστρέφοντας στις διαφορικές εξισώσεις. Λογισμός Πολυμεταβλητών (Τόμος ΙΙ) Ο λογισµός παραδοσιακά πραγµατεύεται περισσότερες από µία µεταβλητές και εδώ ξεκινάµε στο Κεφάλαιο 11 µε διανύσµατα, καµπύλες και επιφάνειες. Το Κεφάλαιο 12 (Μερική Παραγώγιση) το οποίο ακολουθείται από τα Κεφάλαια 13 (Πολλαπλά Ολοκληρώµατα) και 14 (Λογισµός ∆ιανυσµάτων) πραγµατεύεται σε ένα µεγάλο κοµµάτι του προβλήµατα µέγιστου-ελάχιστου πολυµεταβλητών, στις ενότητες 12.5 (αρχική προσέγγιση στα προβλήµατα τέτοιου είδους), 12.9 (πολλαπλασιαστές Lagrange) και 12.10 (κρίσιµα σηµεία συναρτήσεων µε δύο µεταβλητές).
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ
Οι πρώτες µας ευχαριστίες για τις συµβουλές και την εποικοδοµητική τους κριτική στην προετοιµασία αυτής της έκδοσης πηγαίνουν στους παρακάτω ικανούς επιµελητές : Kenzu Abdella, Trent University Martina Bode, Northwestern University David Caraballo, Georgetown University Tom Cassidy, Bucknell University Lucille Croom, Hunter College Yuanan Diao, University of North Carolina at Charlotte Victor Elias, University of Western Ontario Haitao Fan, Georgetown University James J. Faran, V, The State University of New York at Buffalo K. N. Gowrisankaran, McGill University Quing Han, University of Notre Dame Melvin D. Lax, California State University, Long Beach Robert H. Lewis, Fordham University Allan B. MacIssac, University of Western Ontario Rudolph M. Najar, California State University, Fresno George Pletsch, Albuquerque Technical and Vocational Institute Nancy Rallis, Boston College Robert C. Reilly, University of California, Irvine James A. Reneke, Clemson University Alexander Retakh, Yale University Carl Riehm, McMaster University Ira Sharenow, University of Wisconsin, Madison Kay Strangman, University of Wisconsin, Madison Sophie Tryphonas, University of Toronto at Scarborough Kamran Vakili, Princeton University Cathleen M. Zucco-Teveloff, Trinity College Πολλές από τις ϐελτιώσεις της έκδοσης αυτής οφείλονται σε συναδέλφους και χρήστες των προηγούµενων έξι εκδόσεων στις Η.Π.Α., τον Καναδά αλλά και το εξωτερικό. Είµαστε ευγνώµονες σε όλους αυτούς, ιδιαιτέρως τους ϕοιτητές, οι οποίοι επικοινώνησαν µαζί µας και ελπίζουµε ότι ϑα συνεχίσουν να το κάνουν. Για αυτή την έκδοση ευχαριστούµε ιδιαίτερα τους Jill McClain Wardynski, Kurt Nolin και Harold Whipple, οι οποίοι – υπο την επίβλεψη των Teri Lovelace και Laurel Tech- όχι µόνο επιβεβαίωσαν τη λύση των παραδειγµάτων και των απαντήσεων του ϐιβλίου, αλλά έκαναν αναρίθµητα σχόλια κι υποδείξεις οι οποίες ϐελτίωσαν την αφήγηση του κειµένου σε µεγάλο ϐαθµό. Η τελική εµφάνιση και ποιότητα του ολοκληρωµένου ϐιβλίου αποτελεί ξεκάθαρη απόδειξη των ικανοτήτων, της επιµέλειας και του ταλέντου του εξαίρετου προσωπικού της Prentice Hall. Ευχαριστούµε ειδικά τον Adam Jaworski, οι υποδείξεις του ο-
xvi Πρόλογος ποίου ως µαθηµατικού µας εκδότη διαµόρφωσαν σηµαντικά αυτή την αναθεώρηση. Ευχαριστούµε επίσης τους Dawn Murrin και Christine Whitlock για τις ιδιαίτερα λεπτοµερείς και ποικίλες υπηρεσίες τους σε ενίσχυση των εκδοτών και συγγραφέων σε όλη τη διάρκεια της αναθεώρησης. Η Barbara Mack, η εκδότρια παραγωγής µας, διαχειρίστηκε όλη τη διαδικασία της παραγωγής επιδέξια κι οµαλά. Ο καλλιτεχνικός µας διευθυντής, Jonathan Boylan, επέβλεψε και συντόνισε τον ελκυστικό σχεδιασµό του κειµένου και το εξώφυλλο αυτής της έκδοσης. Ο καλλιτεχνικός µας συντάκτης Thomas Benfatti συντόνισε την παραγωγή των νέων γραφικών γι’ αυτή την αναθεώρηση. Τέλος, είναι για µας ιδιαίτερη χαρά να αποδώσουµε την τόσο ελκυστική στοιχειοθεσία και διάταξη των σελίδων του ολοκληρωµένου ϐιβλίου στον Dennis Kletzing και στην αξιοσηµείωτη εµπειρία του στη χρήση του Tex. C. Henry Edwards h.edwards@mindspring.com
David E. Penney depenney@bellsouth.net