4
Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου
Ο
(Gottfried Wilhelm Leibniz) εισήχθη στο Πανεπιστήµιο της Λειψίας όταν ήταν 15 ετών, σπούδασε ϕιλοσοφία και νοµικά, αποφοίτησε σε ηλικία 17 ετών και απέκτησε το διδακτορικό του στην ϕιλοσοφία σε ηλικία 21 ετών. Ολοκληρώνοντας τις σπουδές του, ο Leibniz µπήκε στην πολιτική υπηρεσία (G. W. Leibniz) (1646–1716) του εκλέκτορα του Mainz, στη Γερµανία. Η σοβαρή του ενασχόληση µε τα µαθηµατικά δεν ξεκίνησε παρά µόνο το 1672 (σε ηλικία 26 ετών) όταν εστάλη στο Παρίσι σε διπλωµατική αποστολή. Εκεί, κατά την διάρκεια των επόµενων τεσσάρων ετών, συνέλαϐε τις κύριες αρχές του λογισµού, εργασία για την οποία ϑεωρείται, µαζί µε τον Newton, πατέρας του λογισµού. Οι ανακαλύψεις του Newton είχαν προηγηθεί ελάχιστα (στα τέλη της δεκαετίας του 1660) αλλά η δουλειά του Leibniz δηµοσιεύτηκε πρώτη το 1684. Παρά την ύπαρξη µιας ϑλιβερής αντιδικίας, η οποία διήρκεσε περισσότεϱο από έναν αιώνα, µεταξύ των υποστηρικτών του Newton και του Leibniz σχετικά µε την προτεραιότητα των ανακαλύψεων των δύο επιστηµόνων, είναι πια ξεκάθαρο ότι οι ανακαλύψεις τους έγιναν ανεξάρτητα. Σε ολόκληρη τη Ϲωή του, ο Leibniz αναζητούσε µια καθολική γλώσσα η οποία ϑα ενσωµάτωνε συµβολισµούς και ορολογία τέτοιους που να παρέχουν σε όλους τους µορφωµένους ανθρώπους τη δύναµη µιας ξεκάθαρης και ορθής αιτιολόγησης όλων των αντικειµένων. Ωστόσο, αυτός ο στόχος του επιτεύχθηκε, σε µεγάλο ϐαθµό µόνο στα µαθηµατικά. Ο διαφορικός συµβολισµός του για το λογισµό είναι αναµφισβήτητα το καλύτερο παράδειγµα ενός συστήµατος συµβολισµών επιλεγµένων ώστε να αντικατοπτρίζουν τέλεια τις ϐασικές λειτουργίες και διαδικασίες του αντικειµένου αυτού. Θα έλεγε κάποιος, πράγµατι, ότι ο συµβολισµός του λογισµού από τον Leibniz ϕέρνει στις δυνατότητες ενός τυπικού µαθητή προβλήµατα τα οποία απαιτούσαν κάποτε την ευϕυΐα του Αρχιµήδη ή του Newton για να λυθούν. Για αυτό το λόγο, κατά τη διάρκεια του 18ου αιώνα κυριάρχησε η
προσέγγιση του Leibniz στο λογισµό, παρόλο που η κάπως διαφορετική προσέγγιση του Newton ίσως ήταν πιο κοντά στη σύγχρονη κατανόησή µας για το αντικείµενο. Ο διαφορικός συµβολισµός προέρχεται από ένα απειροστό ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές dx και dy και υποτείνουσα ένα µικρό κοµµάτι της καµπύλης y = f (x). Αργότερα, ο Leibniz περιέγραψε τη στιγµή που οραµατίστηκε για πρώτη ϕορά αυτό το «χαρακτηριστικό τρίγωνο» σαν µια έκρηξη ϕωτός που ήταν η σύλληψη του λογισµού του. Πράγµατι, µερικές ϕορές αναφέρεται στο λογισµό σαν «η µέθοδός µου, το Χαρακτηριστικό Τρίγωνο».
y = f(x) dy dx
Το χαρακτηριστικό τρίγωνο του Leibniz
Το παρακάτω απόσπασµα παρουσιάζει τις εισαγωγικές παραγράφους του πρώτου δηµοσιευµένου άρθρου του Leibniz (στην Acta Eruditorum του 1684), όπου εµφανίστηκε αρχικά ο διαφορικός συµβολισµός. Στην πέµπτη γραµµή της δεύτερης παραγράφου ο κανόνας γινοµένου για την παραγώγιση εκφράζεται ως
d(xv) = x dv + v dx.
257
258
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου
4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο 3ο κεφάλαιο µάθαµε πως να παραγωγίζουµε µια µεγάλη ποικιλία αλγεβρικών και τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Είδαµε ότι οι παράγωγοι έχουν πολύ διαφορετικές εφαρµογές όπως τα προβλήµατα µέγιστου-ελάχιστου, τα προβλήµατα ϱυθµού µεταβολής και η επίλυση εξισώσεων µε τη µέθοδο του Newton. Σε αυτό το κεφάλαιο εξετάζουµε περισσότερες εφαρµογές της παραγώγισης που εξαρτώνται όλες από ένα µοναδικό ϑεµελιώδες ερώτηµα. ΄Εστω ότι y = f (x) είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση που ορίζεται στο κλειστό διάστηµα [a, b ] του µήκους ∆x = b − a. Τότε η ελάχιστη µεταβολή ∆y στην τιµή της f (x) καθώς το x αλλάζει από x = a σε x = b = a + ∆x είναι
∆y = f (b) − f (a).
(1)
Το ερώτηµα είναι : Πώς σχετίζεται η ελάχιστη µεταβολή ∆y µε την παράγωγο – το ϱυθµό µεταβολής- της συνάρτησης f στα σηµεία του διαστήµατος [a, b ]; Μια προσεγγιστική απάντηση δίνεται στην ενότητα 4.2. Αν η συνάρτηση συνέχιζε σε όλο το διάστηµα µε τον ίδιο ϱυθµό µεταβολής f ′ (a) που είχε όταν x = a, τότε η αλλαγή στην τιµή της ϑα ήταν f ′ (a)(b − a) = f ′ (a) ∆x. Αυτή η παρατήρηση δίνει την προσέγγιση
∆y ≈ f ′ (a) ∆x.
(2)
Μια ακριβής απάντηση στο προηγούµενο ερώτηµα δίνεται από το ϑεώρηµα µέσης τιµής της ενότητας 4.3. Αυτό το ϑεώρηµα υποδηλώνει ότι η ακριβής ελάχιστη µεταβολή δίνεται από
∆y = f ′ (c) ∆x
(3)
για κάποιον αριθµό c στο (a, b). Το ϑεώρηµα µέσης τιµής είναι το κεντρικό ϑεωρητικό αποτέλεσµα του διαφορικού λογισµού και είναι επίσης το κλειδί για πολλές από τις πιο προηγµένες εφαρµογές των παραγώγων.
4.2 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ, ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Μερικές ϕορές χρειαζόµαστε έναν γρήγορο και απλό υπολογισµό της αλλαγής της f (x) που προκαλείται από µια δεδοµένη αλλαγή του x. Θέτουµε y για f (x) και υποθέτουµε πρώτα ότι η αλλαγή στην ανεξάρτητη µεταβλητή είναι η ελάχιστη µεταβολή ∆x, έτσι ώστε το x να αλλάζει από την αρχική τιµή του στη νέα τιµή x + ∆x. Η αλλαγή στην τιµή του y είναι η ελάχιστη µεταβολή ∆y, υπολογισµένη από την αφαίρεση της παλιάς τιµής του y από τη νέα του τιµή :
y y = f(x) f(x + Δx) Δy f(x)
∆y = f (x + ∆x) − f (x).
Δx x
x + Δx
x
ΣΧΗΜΑ 4.2.1 Οι ελάχιστες μεταβολές ∆x και ∆y.
(1)
Οι ελάχιστες µεταβολές ∆x και ∆y παρουσιάζονται γεωµετρικά στο Σχήµα 4.2.1. Τώρα συγκρίνουµε την πραγµατική ελάχιστη µεταβολή ∆y µε την αλλαγή που ϑα εµφανιζόταν στην τιµή του y αν συνέχιζε να αλλάζει µε σταθερό ϱυθµό f ′ (x) ενώ η τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής αλλάζει από x σε x + ∆x. Αυτή η υποθετική αλλαγή στο y είναι το διαφορικό.
dy = f ′ (x) ∆x.
(2)
΄Οπως δείχνει το Σχήµα 4.2.2, dy είναι η αλλαγή στο ύψος ενός σηµείου που κινείται κατά µήκος της εφαπτόµενης γραµµής στο σηµείο (x, f (x)) αντί κατά µήκος της καµπύλης y = f (x). Σκεφτείτε το x ως σταθερό. Τότε η εξίσωση (2) δείχνει ότι το διαφορικό dy είναι µια γραµµική συνάρτηση της ελάχιστης µεταβολής ∆x. Για αυτό το λόγο, το dy ονοµάζεται γραµµική προσέγγιση στην ελάχιστη µεταβολή ∆y. Μπορούµε να προσεγγίσουµε την f (x + ∆x) αντικαθιστώντας το dy µε ∆y:
f (x + ∆x) = y + ∆y ≈ y + dy. Επειδή y = f (x) και dy = f ′ (x)∆x, αυτό µας δίνει τον τύπο γραµµικής προσέγγισης
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′ (x) ∆x.
(3)
ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ, ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4.2
259
y y = f(x)
Εφαπτομένη στο (x, f(x))
y + Δy y + dy dy
Δy
y Δx x
x + Δx
x
ΣΧΗΜΑ 4.2.2 Ο υπολογισμός dy της πραγματικής ελάχιστης μεταβολής ∆y.
y
Το ϑέµα είναι ότι αυτή η προσέγγιση είναι «καλή», τουλάχιστον όταν το ∆x είναι σχετικά µικρό. Αν συνδυάσουµε τις εξισώσεις (1), (2) και (3), ϐλέπουµε ότι
y = f(x)
∆y ≈ f ′ (x) ∆x = dy. (a, f(a))
Εποµένως το διαφορικό dy = f ′ (x) ∆x είναι µια καλή προσέγγιση της ελάχιστης µεταϐολής ∆y = f (x + ∆x) − f (x). Αν αντικαταστήσουµε το x µε a στην εξίσωση (3), έχουµε την προσέγγιση f (a + ∆x) ≈ f (a) + f ′ (a) ∆x. (5)
y = f(a) + f'(a)(x - a)
x
a
Αν τώρα ϑέσουµε ∆x = x − a, έτσι ώστε x = a + ∆x, το αποτέλεσµα είναι
ΣΧΗΜΑ 4.2.3 Η γραφική παράσταση της γραμμικής προσέγγισης
f (x) ≈ f (a) + f ′ (a) · (x − a).
(6)
L(x) = f (a) + f ′ (a) · (x − a)
(7)
Επειδή το δεξί µέλος
′
L(x) = f (a) + f (a) · (x − a) είναι η εφαπτόμενη γραμμή στην y = f (x) στο σημείο (a, f (a)).
στην εξίσωση (6) είναι γραµµική συνάρτηση του x, την ονοµάζουµε γραµµική προσέγγιση L(x) της συνάρτησης f (x) κοντά στο σηµείο x = a. ΄Οπως απεικονίζεται στο Σχήµα 4.2.3, η γραφική παράσταση y = L(x) είναι µια ευθεία εφαπτόµενη στη γραφική παράσταση στη γραφική παράσταση της y = f (x) στο σηµείο (a, f (a)).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Βρείτε τη γραµµική προσέγγιση της συνάρτησης f (x) = 2 1.8 1.6 1.4 1.2 (0, 1) y 1 0.8 0.6 0.4 y = 1 + x 0.2 0 - 0.5 0
√
1+ x
κοντά στο σηµείο a = 0. y=1+
1 2
x
Λύση Παρατηρήστε ότι f (0) = 1 και ότι dy
Δy
f ′ (x) =
Δx
x
0.5
1 1 (1 + x)−1/2 = √ , 2 2 1+x
άρα f ′ (0) = 12 . Συνεπώς, η εξίσωση (6) µε a = 0 δίνει
1
ΣΧΗΜΑ √ 4.2.4 Η συνάρτηση f (x) =
(4)
1 + x και η γραμμική της προσέγγιση L(x) = 1 + 21 x κοντά στο a = 0.
f (x) ≈ f (0) + f ′ (0) · (x − 0) = 1 + 21 x = L(x). ΄Αρα η επιθυµητή γραµµική προσέγγιση είναι
√ 1 + x ≈ 1 + 12 x.
(8)
Το σχήµα 4.2.4 απεικονίζει √ την κοντινή προσέγγιση κοντά στο x = 0 της µη γραµµικής συνάρτησης f (x) = 1 + x από τη γραµµική της προσέγγιση L(x) = 1+ 12 x.
◗
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ Είναι ϕανερό στο Σχήµα 4.2.4 ότι η τιµή της γραµµικής προσέγγισης √ L(x) = 1 + 21 x είναι πιο κοντά στην πραγµατική τιµή της συνάρτησης f (x) = 1 + x όταν το x είναι πιο κοντά στο a = 0. Για παράδειγµα, οι κατά προσέγγιση τιµές √ 1.1 ≈ 1 + 12 (0.1) = 1.05 «χρησιµοποιώντας x = 0.1 στην (8) »
260
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου και
√ 1.03 ≈ 1 + 12 (0.03) = 1.015
«χρησιµοποιώντας x = 0.03 στην (8) »
είναι µε ακρίβεια δύο και τριών δεκαδικών ψηφίων (µε στρογγυλοποίηση) αντίστοιχα. Αλλά √
3≈1+
1 2
· 2 = 2, )
χρησιµοποιώντας x = 2, είναι µια πολύ κακή προσέγγιση του Η προσέγγιση
√ 3 ≈ 1.732.
√ 1 + x ≈ 1 + 12 x είναι µια ειδική περίπτωση της προσέγγισης (1 + x)k ≈ 1 + kx
(9)
(το k είναι σταθερά, το x είναι κοντά στο µηδέν), µιας προσέγγισης µε πολυάριθµες εφαρµογές. Η παραγώγιση της (9) είναι παρόµοια µε αυτή του Παραδείγµατος 1. (δείτε Πρόβληµα 39).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Χρησιµοποιείστε τον τύπο της γραµµικής προσέγγισης για να προσεγγίσετε (122)2/3. Παρατηρήστε ότι
h i2 (125)2/3 = (125)1/3 = 52 = 25.
Λύση Πρέπει να προσεγγίσουµε µια συγκεκριµένη τιµή του x2/3 , έτσι η στρατηγική µας είναι να εφαρµόσουµε την εξίσωση (6) µε f (x) = x2/3 . Παρατηρούµε πρώτα ότι f ′ (x) = 32 x−1/3 . Επιλέγουµε a = 125, επειδή γνωρίζουµε τις ακριβείς τιµές
f (125) = (125)2/3 = 25 και
f ′ (125) = 23 (125)−1/3 =
2 15
και επειδή το 125 είναι σχετικά κοντά στο 122. Τότε, η γραµµική προσέγγιση στην (6) προς την f (x) = x2/3 κοντά στο a = 125 παίρνει τη µορφή
f (x) ≈ f (125) + f ′ (125) · (x − 125), που σηµαίνει,
x2/3 ≈ 25 + Με x = 122 παίρνουµε
(122)2/3 ≈ 25 +
2 15 (x
− 125).
2 15 (−3)
= 24.6.
΄Ετσι, το (122)2/3 είναι κατά προσέγγιση 24.6. Η πραγµατική τιµή του (122)2/3 είναι περίπου 24.5984, έτσι ο τύπος στην (6) δίνει µια σχετικά καλή προσέγγιση σε αυτή την περίπτωση. ◗
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 ΄Ενα ηµισφαιρικό δοχείο µε ακτίνα 10 in. είναι γεµάτο µε νερό σε
Δx 10
x
ΣΧΗΜΑ 4.2.5 Το δοχείο του Παραδείγματος 3.
ϐάθος x ίντσες. Ο όγκος V του νερού στο δοχείο (σε κυβικές ίντσες) δίνεται από τον τύπο π V = (30x2 − x3 ) (10)
3
(Σχήµα 4.2.5). (Θα µπορείτε να παραγωγίσετε αυτό τον τύπο αφού µελετήσετε το κεφάλαιο 6). Υποθέστε ότι µετράτε το ϐάθος του νερού στο δοχείο και είναι 5 ίντσες 1 µε µέγιστο πιθανό σφάλµα µέτρησης 16 ίντσας. Υπολογίστε το µέγιστο σφάλµα στον υπολογισµένο όγκο του νερού στο δοχείο.
Λύση Το σφάλµα στον υπολογισµένο όγκο V(5) είναι η διαφορά
∆V = V(x) − V(5) µεταξύ του πραγµατικού όγκου V(x) και του υπολογισµένου όγκου. ∆εν γνωρίζουµε το ϐάθος x του νερού στο δοχείο. Μας δίνεται µόνο ότι η διαφορά
∆x = x − 5 µεταξύ του πραγµατικού και του υπολογισµένου ϐάθους είναι αριθµητικά το πολύ 1 ίντσας :|∆x| ≦ 16 . Επειδή η Εξίσωση (10) δίνει
V ′ (x) =
π (60x − 3x2 ) = π(20x − x2 ), 3
1 16
ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ, ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4.2
261
η γραµµική προσέγγιση
∆V ≈ dV = V ′ (5) ∆x στο x = 5 δίνει
∆V ≈ π(20 · 5 − 52 ) ∆x = 75π ∆x.
1 Ακολουθώντας την κοινή επιστηµονική πρακτική ϑέτουµε ∆x = ± 16 που σηµαίνει ότι 1 1 − 16 ≦∆x ≦ 16 , και αυτό δίνει
∆V ≈ (75π) ±
1 16
≈ ±14.73 (in.3 ).
Ο τύπος της Εξίσωσης (10) δίνει τον υπολογισµένο όγκο V(5) ≈ 654.50 in.3 , αλλά τώρα καταλαβαίνουµε ότι αυτό µπορεί να είναι σφάλµα κατά σχεδόν 15 in.3 προς οποιαδήποτε διεύθυνση. ◗
Απόλυτα και σχετικά σφάλματα Το (απόλυτο) σφάλµα σε µια µετρηµένη ή κατά προσέγγιση τιµή ορίζεται ως το υπόλοιπο της αφαίρεσης της κατά προσέγγιση τιµής από την αληθή τιµή. Συνεπώς «πραγµατική τιµή = κατά προσέγγιση τιµή + σφάλµα» Το σχετικό σφάλµα είναι η αναλογία του (απόλυτου) σφάλµατος προς την αληθή τιµή, σφάλµα » «σχετικό σφάλµα = τιµή και µπορεί να δίνεται είτε ως αριθµητικό σφάλµα ή ως ποσοστό της τιµής.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Στο Παράδειγµα 3, ένα σχετικό σφάλµα στο µετρηµένο ϐάθος x 1
∆x = 16 = 0.0125 = 1.25% x 5 οδηγεί σε ένα σχετικό σφάλµα στον υπολογισµένο όγκο
dV 14.73 ≈ ≈ 0.0225 = 2.25%. V 654.50 Η σχέση µεταξύ αυτών των δύο σχετικών σφαλµάτων έχει κάποιο ενδιαφέρον. Οι τύποι για dV και V στο Παράδειγµα 3 δίνουν
dV π(20x − x2 ) ∆x 3(20 − x) ∆x = 1 = · . 2 3 V 30 − x x 3 π(30x − x ) ΄Οταν x = 5, αυτό δίνει
dV ∆x = (1.80) . V x
΄Αρα, για να προσεγγίσουµε τον όγκο του νερού στο δοχείο µε ένα σχετικό σφάλµα το πολύ 0.5%, για παράδειγµα, ϑα έπρεπε να µετρήσουµε το ϐάθος µε ένα σχετικό σφάλµα το πολύ (0.5%)/1.8, δηλαδή µε ένα σχετικό σφάλµα λιγότερο από 0.3%.
◗
Το σφάλμα στη γραμμική προσέγγιση Ας εξετάσουµε τώρα εν συντοµία το ερώτηµα της διαφοράς µεταξύ των τιµών µιας συνάρτησης f (x) και της γραµµικής της προσέγγισης L(x) κοντά στο σηµείο x = a. Αν ϑέσουµε ∆x = x − a και γράψουµε
y = f (x),
f (a + ∆x) = f (a) + ∆y,
και
L(x) = f (a) + f ′ (a) · ∆x = f (a) + dy, προκύπτει τότε ότι το σφάλµα στη γραµµική προσέγγιση δίνεται από
f (x) − L(x) = ∆y − dy,
(11)
262
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 4.2.6. Στο σχήµα ϕαίνεται ότι όσο πιο µικρό είναι το ∆x τόσο πιο κοντά είναι τα αντίστοιχα σηµεία στην καµπύλη y = f (x) και στην εφαπτόµενη γραµµή της y = L(x). Επειδή από την Εξίσωση (11) προκύπτει ότι η διαφορά στα ύψη δύο τέτοιων σηµείων είναι ίση µε ∆y − dy, ϕαίνεται από το σχήµα ότι το ∆y − dy προσεγγίζει το µηδέν καθώς το ∆x → 0. Υπάρχει όµως και συνέχεια : Η διαφορά
y
σφάλμα
∆y − dy = f (a + ∆x) − f (a) − f ′ (a) ∆x
Δy
είναι συνάρτηση του ∆x η οποία είναι µικρή ακόµη και συγκρινόµενη µε το ∆x. Για να δούµε το γιατί, ας γράψουµε
dy = f '(a) Δx Δx
ǫ(∆x) = a
a + Δx
x
f (a + ∆x) − f (a) ∆y − dy = − f ′ (a) ∆x ∆x
και παρατηρήστε ότι
lim ǫ(∆x) = f ′ (a) − f ′ (a) = 0.
ΣΧΗΜΑ 4.2.6 Το σφάλμα ∆y − dy της γραμμικής προσέγγισης dy ≈ f ′ (a) ∆x = dy.
(12)
∆x→0
Συνεπώς, το σφάλµα
∆y − dy = ǫ(∆x) · ∆x
(13)
στη γραµµική προσέγγιση dy = f ′ (a) ∆x της πραγµατικής ελάχιστης µεταβολής ∆y είναι το γινόµενο των δύο ποσοτήτων, οι οποίες και οι δύο προσεγγίζουν το µηδέν ως ∆x → 0. Αν ∆x είναι «πολύ µικρό» - έτσι ώστε ǫ(∆x) είναι επίσης «πολύ µικρό» - τότε ίσως να περιγράψουµε το γινόµενό τους στην (13) ως «πολύ πολύ µικρό». Σε αυτή την περίπτωση ίσως τελικά ξαναγράψουµε την Εξίσωση (13) µε τη µορφή
f (a + ∆x) − f (a) = f ′ (a) ∆x + ǫ(∆x) · ∆x,
(14)
εκφράζοντας την πραγµατική ελάχιστη µεταβολή ∆y = f (a + ∆x) − f (a) ως το άθροισµα του πολύ µικρού διαφορικού dy = f ′ (a) ∆x και του πολύ πολύ µικρού σφάλµατος ǫ(∆x) · ∆x σε αυτό το διαφορικό.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Αν y = f (x) = x3 , τότε απλοί υπολογισµοί (µε ∆x = x − a) δίνουν ∆y = f (a + ∆x) − f (a)
= (a + ∆x)3 − a3 = 3a2 ∆x + 3a(∆x)2 + (∆x)3
και
dy = f ′ (a) ∆x = 3a2 ∆x. Εποµένως,
∆y − dy = 3a(∆x)2 + (∆x)3 . Αν a = 1 και ∆x = 0.1, για παράδειγµα, τότε αυτοί οι τύποι δίνουν
∆y = 0.331,
dy = 0.3,
και
∆y − dy = 0.031,
απεικονίζοντας κατ’ αυτόν τον τρόπο τη µικρότητα στο σφάλµα ∆y − dy της γραµµικής προσέγγισης σε σύγκριση µε τις τιµές των ∆y και dy.
◗ Το Παράδειγµα 6 δείχνει πως µερικές ϕορές µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια αριθµοµηχανή γραφικών τσέπης ή έναν υπολογιστή για να προσδιορίσουµε πόσο ακριβής είναι µια γραµµική προσέγγιση – αναφορικά µε την ακρίβειά της σε ένα ολόκληρο διάστηµα που περιέχει το σηµείο x = a. Σε πολύ συγκεκριµένες περιστάσεις ϑέλουµε συχνά να προσδιορίζουµε ένα διάστηµα µέσα στο οποίο η γραµµική προσέγγιση παρέχει µια προσδιορισµένη ακρίβεια.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Βρείτε ένα διάστηµα στο οποίο η προσέγγιση √
1 + x ≈ 1 + 12 x
του Παραδείγµατος 1 να είναι ακριβής µέσα στο 0.1.
(15)
ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ, ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4.2 2.5
263
Λύση Ακρίβεια µέσα στο 0.1 σηµαίνει ότι οι δύο συναρτήσεις της (15) διαφέρουν κατά λιγότερο από 0.1:
2
y = 1 + x + 0.1
1.5
το οποίο είναι ισοδύναµο µε
(0, 1)
y 1
y=1+ 0.5
1 x 2
y = 1 + x - 0.1
0 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
ΣΧΗΜΑ √ 4.2.7 Η συνάρτηση f (x) = 1 + x στο διάστημα −1 < x < 1.5. 1.6
y = 1 + x + 0.1
√
1 + x − 1 + 21 x
< 0.1,
√ √ 1 + x − 0.1 < 1 + 21 x < 1 + x + 0.1. ΄Ετσι, ϑέλουµε η γραφική παράσταση της γραµµικής προσέγγισης y = 1 + 21 x να ϐρίσκεται µεταξύ των δύο √ καµπυλών που επιτυγχάνονται µε την κάθετη µετατόπιση του γραφήµατος y = 1 + x κατά 0.1. Το Σχήµα 4.2.7 παρουσιάζει τα γραφήµατα όλων αυτών των καµπυλών στο διάστηµα −1 < x < 1.5. Σηµειώνονται τα σηµεία στα οποία η γραµµική προσέγγιση y = 1 + 21 x αναδύεται από το εύρος Ϲώνης 0.2 γύρω
√
από τη γραφική παράσταση y = 1 + xκαι ϐλέπουµε ότι χρειάζεται ένα µικρότερο διάστηµα γύρω από το x = 0 για να περικλείσουµε τη γραµµική προσέγγιση µέσα στο επιθυµητό ϕάσµα. Πράγµατι, εστιάζοντας, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 4.2.8, ϐλέπουµε ότι η προσέγγιση στη (15) είναι ακριβής εντός του 0.1 για κάθε x στο διάστηµα −0.6 < x < 0.9. ◗
1.4 1.2 y
(0, 1)
1
y=1+
1 x 2
0.8
Διαφορικά Ο τύπος γραµµικής προσέγγισης της (3) γράφεται συχνά µε dx αντί για ∆x:
y = 1 + x - 0.1
0.6
f (x + dx) ≈ f (x) + f ′ (x) dx.
0.4 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x
(16)
Σε αυτή την περίπτωση το dx είναι µια ανεξάρτητη µεταβλητή που ονοµάζεται διαφοϱικό του x, και το x είναι σταθερό. ΄Ετσι τα διαφορικά των x και y ορίζονται ως
dx = ∆x και dy = f ′ (x) ∆x = f ′ (x) dx.
ΣΧΗΜΑ √ 4.2.8 Η συνάρτηση
(17)
f (x) =
1 + x στο μικρότερο διάστημα −0.6 < x < 0.9.
Από αυτό τον ορισµό προκύπτει άµεσα ότι
dy f ′ (x) dx = = f ′ (x), dx dx
dy dx
το οποίο συµφωνεί απολύτως µε το συµβολισµό που χρησιµοποιούµε. Πράγµατι, ο Leibniz δηµιούργησε το διαφορικό συµβολισµό οραµατιζόµενος «απειροστές» ελάχιστες µεταβολές dx και dy (Σχήµα 4.2.9) και το λόγο τους dy/dx ως την κλίση της εφαπτόµενης γραµµής. Το κλειδί στην ανεξάρτητη ανακάλυψη του διαφορικού λογισµού του Leibniz στη δεκαετία του 1670 ήταν η διορατικότητά του ότι αν τα dx και dy είναι αρκετά µικρά, τότε είναι σχεδόν αδύνατον να διαχωρίσει κανείς το τµήµα της καµπύλης y = f (x) και το ευθύγραµµο τµήµα το οποίο συνδέει τα (x, y) και (x + dx, y + dy). Αυτή η διορατικότητα απεικονίζεται από τις διαδοχικές µεγεθύνσεις στα Σχήµατα 4.2.10 ως 4.2.12 της καµπύλης y = x2 κοντά στο σηµείο (1, 1). Ο διαφορικός συµβολισµός µας παρέχει ένα ϐολικό τρόπο για να γράφουµε τύπους παραγώγων. Υποθέστε ότι z = f (u), έτσι ώστε dz = f ′ (u) du. Για συγκεκριµένες επιλογές της συνάρτησης f , έχουµε τους τύπους
ΣΧΗΜΑ 4.2.9 Η κλίση της
d(un ) = nun−1 du, d(sin u) = (cos u) du,
εφαπτομένης ως λόγος των απειροστών ελάχιστων μεταβολών dy και dx.
d(eu ) = eu du, και ούτω καθεξής. ΄Ετσι, µπορούµε να γράψουµε κανόνες παραγώγισης σε παραγωγίσιµη µορφή χωρίς να πρέπει να προσδιορίζουµε την ανεξάρτητη µεταβλητή. Οι κανόνες αθροίσµατος, γινοµένου και πηλίκου παίρνουν τις αντίστοιχες µορφές
d(u + v) = du + dv, d(uv) = u dv + v du, και
d
u v
=
v du − u dv . v2
264
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου
8
1.4
2.5 y=
y = x2
6
y = x2
x2
2 1.2
y
y
4
y
1.5
dy
2
0
1
2
1
1
dx 0
3
0.5
dx
dx 0.8
1
1.2 x
x
ΣΧΗΜΑ 4.2.10 dx = 1.
dy
dy
1.4
1.6
0.9
1
1.1
1.2
x
ΣΧΗΜΑ 4.2.11 dx = 13 .
ΣΧΗΜΑ 4.2.12 dx =
1 . 10
Αν z = f (u) και u = g(x), µπορούµε να αντικαταστήσουµε du = g′ (x) dx στον τύπο dz = f ′ (u) du. Αυτό µας δίνει
dz = f ′ (g(x)) · g′ (x) dx. Αυτή είναι η διαφορική µορφή του κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης.
D x f (g(x)) = f ′ (g(x)) · g′ (x). ΄Ετσι ο κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης εµφανίζεται εδώ σαν να είναι το αποτέλεσµα µηχανικών χειρισµών του διαφορικού συµβολισµού. Αυτή η συµβατότητα µε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης είναι µία αιτία για την εξαιρετική χρησιµότητα του διαφορικού συµβολισµού στο λογισµό.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7
(αʹ) Αν y = 3x2 − 2x3/2 , τότε dy = 6x − 3 (ϐʹ) Αν u = sin2 t − cos 2t, τότε
√ x dx.
du = (2 sin t cos t + 2 sin 2t) dt = 3 sin 2t dt (χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα sin 2t = 2 sin t cos t). (γʹ) Αν w = zez , τότε
dw = (1 · ez + z · ez ) dz = (1 + z)ez dz.
◗
Απόδειξη του κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης Μπορούµε τώρα να χρησιµοποιήσουµε τη γνώση µας για το σφάλµα στις γραµµικές προσεγγίσεις για να αποδείξουµε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης για τη σύνθεση f ◦ g που δεν απαιτεί την υπόθεση g′ (x) , 0 την οποία χρειαστήκαµε στην Ενότητα 3.3. Εδώ υποθέτουµε µόνο την ύπαρξη των παραγώγων g′ (a) και f ′ (b) (όπου b = g(a)) των συναρτήσεων u = g(x) και y = f (g(x)) = f (u). Αν γράψουµε
∆u = g(a + ∆x) − g(a)
και
∆y = f (b + ∆u) − f (b),
τότε η Εξίσωση (14) σε αυτή την ενότητα – µε το g στη ϑέση του f - δίνει
∆u = g′ (a) ∆x + ǫ1 · ∆x = g′ (a) + ǫ1 ∆x
(18)
όπου ǫ1 → 0 καθώς ∆x → 0. Μια δεύτερη εφαρµογή της Εξίσωσης (14) – αυτή τη ϕορά µε u στη ϑέση του x—δίνει
∆y = f ′ (b) ∆u + ǫ2 · ∆u = f ′ (b) + ǫ2 ∆u = f ′ (g(a)) + ǫ2 · g′ (a) + ǫ1 ∆x
(19)
όπου ǫ2 → 0 καθώς ∆u → 0, και έτσι καθώς ∆x → 0 (επειδή η Εξίσωση (18) δείχνει ότι ∆u → 0 καθώς ∆x → 0). Τέλος, όταν διαιρούµε µε το ∆x στην Εξίσωση (19) και στη συνέχεια παίρνουµε το όριο καθώς∆x → 0, έχουµε
∆y dy = lim = lim f ′ (g(a)) + ǫ2 · g′ (a) + ǫ1 = f ′ (g(a)) · g′ (a). dx ∆x→0 ∆x ∆x→0
ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ, ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4.2
265
΄Ετσι έχουµε δείξει ότι ο τύπος του κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης D x f (g(x)) = f ′ (g(x)) · g′ (x) ισχύει για x = a.
4.2 Ερωτήσεις Σωστού/Λάθους Χρησιµοποιήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις σωστού/λάθους για να ελέγξετε την µελέτη αυτής της ενότητας. Μπορείτε να συµβουλευτείτε τις υποδείξεις στο τέλος του ϐιβλίου. 1. Υποθέστε ότι y = f (x) και ότι ∆x είναι µια ελάχιστη µεταβολή στο x. Τότε, εξ ορισµού, ∆y = f (x + ∆x) − f (x).
2. Αν y = f (x) και ∆x είναι µια ελάχιστη µεταβολή στο x, τότε, εξ ορισµού, dy = f ′ (x)∆x. 3. Αν y = f (x) και ∆x είναι µια ελάχιστη µεταβολή στο x, τότε ο τύπος της γραµµικής προσέγγισης δηλώνει ότι f (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′ (x)∆x. 4. √ Η γραµµική προσέγγιση στην f (x) = 1 + x ≈ 1 + x.
√ 1 + x κοντά στο σηµείο a = 0 είναι
5. Στο Παράδειγµα 2 ϐρήκαµε ότι (122)2/3 = 24.6. 6. Το σφάλµα στη γραµµική προσέγγιση L(x) = f (x) + f ′ (a)∆x της συνάρτησης f κοντά στο σηµείο x = a είναι f (x) − L(x) = ∆y − dy. 7. d(un ) = nun−1 .
8. d(sin u) = (cos u) du. 9. d(uv) = u dv + v du. 10. Αν w = w(z) = zez ,τότε dw = (1 + z)ez dz.
4.2 ΕΝΝΟΙΕΣ: ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ 1. Χρησιµοποιείστε τις Εξισώσεις (11) - (13) αυτής της ενότητας για να δείξετε ότι η γραµµική συνάρτηση L(x) = f (a) + f ′ (a) · (x − a) του x ικανοποιεί τη συνθήκη
lim f (x) − L(x)x − a = 0.
(20)
x→a
2. ΄Ολες οι γραµµικές συναρτήσεις L(x) = mx+b που ικανοποιούν την Εξίσωση (20) ονοµάζονται γραµµικοποίηση της συνάρτησης f (x) στο σηµείο x = a. Μπορεί µια συνάρτηση να έχει δύο διαφορετικές γραµµικοποιήσεις στο ίδιο σηµείο ; 3. Μπορεί µια συνάρτηση να έχει µια γραµµικοποίηση (όπως στο ερώτηµα 2) σε ένα σηµείο που δεν είναι παραγωγίσιµο ;
4.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Στα Προβλήµατα 1-16 γράψτε την dy συναρτήσει των x και dx. 1. y = 3x2 −
4 x2
√ 3. y = x − 4 − x3 5. y = 3x2 (x − 3)3/2 7. y = x(x2 + 25)1/4 9. y = cos
√
x
11. y = sin 2x cos 2x
sin 2x 13. y = 3x 1 15. y = 1 − x sin x
2. y = 2
√
3 x − √3 x
1 4. y = √ x− x x 6. y = 2 x −4 1 8. y = 2 (x − 1)4/3
10. y = x2 sin x 12. y = cos3 3x 3 −2x
17. f (x) =
1 1−x
19. f (x) = (1 + x)2 21. f (x) = (1 − 2x)3/2 23. f (x) = sin x
18. f (x) = √
1+x
20. f (x) = (1 − x)3
22. f (x) = e−x
24. f (x) = ln(1 + x)
Στα Προβλήµατα 25-34, χρησιµοποιείστε – όπως στο Παράδειγµα 2- µια γραµµική προσέγγιση L(x) µιας κατάλληλης συνάρτησης f (x) µε µια κατάλληλη τιµή a για να υπολογίσετε τον δοσµένο αριθµό. 25. 27.
√3
√4
√ 102 √ 28. 80
25
26.
15
30. 803/4
29. 65−2/3
14. y = x e
31. cos 43
32. sin 32◦
ln x 16. y = x
33. e1/10
34. ln
Στα Προβλήµατα 17-24, ϐρείτε – όπως στο Παράδειγµα 1– τη γραµµική προσέγγιση L(x) της δοσµένης συνάρτηση f (x) κοντά στο σηµείο a = 0.
1
◦
11 10
Στα Προβλήµατα 35-38 υπολογίστε το διαφορικό κάθε µέλους των δοσµένων εξισώσεων, αναφορικά µε το x και το y ως εξαρτηµένες µεταβλητές (σαν να ήταν και τα δύο συναρτήσεις µιας τρίτης, απροσδιόριστης µεταβλητής). ΄Επειτα λύστε για dy/dx.
266
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου
35. x2 + y2 = 1
36. xey = 1
37. x3 + y3 = 3xy
38. x ln y = 1
39. Αν D x xk = kxk−1 για κάθε πραγµατικό σταθερό αριθµό k (το οποίο ϑα τεκµηριωθεί στο κεφάλαιο 6), να γίνει παραγωγή του τύπου γραµµικής προσέγγισης (1 + x)k ≈ 1 + kx για x κοντά στο µηδέν. Στα Προβλήµατα 40 έως 47, χρησιµοποιείστε γραµµικές προσεγγίσεις για να υπολογίσετε την αλλαγή στο δοσµένο µέγεθος. 40. Η περιφέρεια ενός κύκλου, αν η ακτίνα του αυξάνεται από 10 in. σε 10.5 in. 41. Το εµβαδόν ενός τετραγώνου αν η πλευρά του µειώνεται από 10 ίντσες σε 10 in. σε 9.8 in. 42. Την επιφάνεια µιας σφαίρας αν η ακτίνα της αυξάνεται από 5 ίντσες σε 5 in. σε 5.2 in. (Σχήµα 4.2.13).
47. Η ηλεκτρική ισχύς (σε ϐατ) W = RI 2 ενός προβολέα µε αντίσταση R = 10 ohms, αν το ϱεύµα I αυξάνεται από 3 αµπέρ σε 3.1 αµπέρ. 48. Η ισηµερινή ακτίνα της Γης είναι περίπου 3960 mi. Υποθέστε ότι ένα καλώδιο τυλίγεται σφιχτά γύρω από τη γη στον ισηµερινό. Πόσο περίπου πρέπει να είναι το µήκος του καλωδίου αν πρόκειται να το τυλίξουµε γύρω από τη γη στηρίζοντας το σε στύλους ύψους 10 ft πάνω από το έδαφος ; Χρησιµοποιείστε τον τύπο γραµµικής προσέγγισης ! 49. Μετρήσαµε την ακτίνα µιας σφαιρικής µπάλας και είναι 10 1 in., µε µέγιστο σφάλµα 16 in. Ποιο είναι το µέγιστο σφάλµα που προκύπτει στον υπολογισµένο όγκο ; 50. Με ποια ακρίβεια πρέπει να µετρηθεί η µπάλα του προϐλήµατος 49 για να διασφαλιστεί σφάλµα το πολύ 1 in.3 στον υπολογισµένο όγκο·
r h
r
1 2 46. Η εµβέλεια R = 32 v sin 2θ ενός πυραυλικού ϐλήµατος που εκτοξεύεται µε αρχική ταχύτητα v = 80 ft/s, αν η αρχική γωνία κλίσης θ αυξάνει από 60◦ σε 61◦ .
51. Μετρήσαµε την ακτίνα ενός ηµισφαιρικού ϑόλου και είναι 100 m µε µέγιστο σφάλµα 1 cm (Σχήµα 4.2.16). Ποιο είναι το µέγιστο σφάλµα που µπορεί να υπάρχει στην υπολογισµένη του επιφάνεια ;
ΣΧΗΜΑ 4.2.13 ΤΗ σφαίρα του ΣΧΗΜΑ 4.2.14 Ο κύλινδρος του Προβλήματος 42—εμβαδού A = 4πr2 , Προβλήματος 43—όγκου V = πr2 h. όγκου V = 43 πr3 .
r
43. Ο όγκος ενός κυλίνδρου αν µειώνεται και το ύψος και η ακτίνα του από 15 cm σε 14.7 cm (Σχήµα 4.2.14). 44. Ο όγκος του κωνικού αµµόλοφου του Σχήµατος 4.2.15, αν η ακτίνα του είναι 14 in. και το ύψος του αυξάνεται από 7 in. σε 7.1 in.
ΣΧΗΜΑ 4.2.16 Το ημισφαίριο του Προβλήματος 51—καμπυλόγραμμη επιφάνεια A = 2πr2 . 52. Με ποια ακρίβεια πρέπει να µετρηθεί η ακτίνα ενός ηµισφαιρικού ϑόλου για να διασφαλιστεί σφάλµα το πολύ 0.01% στην υπολογισµένη του επιφάνεια ;
h r
Στα Προβλήµατα 53 έως 60, δίνονται µια συνάρτηση f (x) και ένα σηµείο x = a. Προσδιορίστε γραφικά ένα ανοιχτό διάστηµα I µε κέντρο το a έτσι ώστε η συνάρτηση f (x) και η γραµµική της προσέγγιση L(x) να διαφέρουν λιγότερο από τη δοσµένη τιµή ǫ σε κάθε σηµείο του I . 53. f (x) = x2 , 54. f (x) =
ΣΧΗΜΑ 4.2.15 Ο κωνικός αμμόλοφος του Προβλήματος 44— όγκου V = 13 πr2 h. 1 2 45. Η εµβέλεια R = 32 v sin 2θ ενός ϐλήµατος που εκτοξεύεται µε γωνία κλίσης θ = 45◦ , αν η αρχική ταχύτητά v του αυξάνεται από 80 ft/s σε 81 ft/s.
√
a = 1,
ǫ = 0.2
x, a = 1, ǫ = 0.1 1 55. f (x) = , a = 2, ǫ = 0.01 x √ 56. f (x) = 3 x, a = 8, ǫ = 0.01 57. f (x) = sin x, x
58. f (x) = e ,
a = 0, a = 0,
ǫ = 0.05 ǫ = 0.05
59. f (x) = sin x,
a = π/4,
ǫ = 0.02
60. f (x) = tan x,
a = π/4,
ǫ = 0.02
Κεφάλαιο 4 Επανάληψη
341
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Κατανόηση: ΄Εννοιες, ορισμοί, αποτελέσματα Ανατρέξτε στις παρακάτω σελίδες για να επανεξετάσετε τις έννοιες, τους ορισµούς και τους τύπους που ϑα πρέπει να έχετε κατανοήσει από το κεφάλαιο αυτό. Ενότητα Σελίδες 4.2 Η ελάχιστη µεταβολή ∆y και το διαφορικό dy της συνάρτησης y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Ο τύπος γραµµικής προσέγγισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Η γραµµική προσέγγιση της f (x) κοντά στο σηµείο x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Απόλυτα και σχετικά σφάλµατα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .261 Το σφάλµα ∆y − dy στη γραµµική προσέγγιση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Κανόνες παραγώγισης σε διαφορική µορφή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263–264 4.3 Αύξουσες και ϕθίνουσες συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Γεωµετρική ερµηνεία του ϑεωρήµατος µέσης τιµής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Το ϑεώρηµα του Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Πρόταση και απόδειξη του ϑεωρήµατος µέσης τιµής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Σταθερές συναρτήσεις και µηδενικές παράγωγοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Συναρτήσεις µε ίσες παραγώγους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Σηµασία του πρόσηµου της πρώτης παραγώγου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 4.4 ∆ιάκριση µεταξύ τοπικού (ή σχετικού) και ολικού (ή απόλυτου) ακρότατου . . . . . . . . . . . . 278 Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Προβλήµατα µεγίστου-ελαχίστου ανοικτού διαστήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου για τα καθολικά ακρότατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 4.5 Βήµατα για τις γραφικές παραστάσεις πολυωνύµων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Συµπεριφορά στο άπειρο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 289 Κρίσιµα σηµεία και αύξουσα/ ϕθίνουσα συµπεριφορά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 4.6 ∆εύτερη και ανώτερες παράγωγοι συνάρτησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 Σηµασία του πρόσηµου της δεύτερης παραγώγου :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300-305 καθοδική και ανοδική κλίση Το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301 Ορισµός κυρτότητας σε ένα διάστηµα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 Το κριτήριο της κυρτότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 304 Ορισµός σηµείων καµπής και το κριτήριο για τα σηµεία καµπής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Χρήση των σηµείων καµπής στη σχεδίαση καµπύλης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 4.7 ΄Απειρα όρια της συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Κατακόρυφες ασύµπτωτες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315 ΄Ορια στο άπειρο – δηλαδή καθώς το x → ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Οριζόντιες ασύµπτωτες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Στρατηγική σχεδίασης καµπύλης – ενώνοντας τα σηµεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Πλάγιες ασύµπτωτες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320 4.8 Ο κανόνας L’Hôpital και η απροσδιόριστη µορφή 0/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Η απροσδιόριστη µορφή ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Η τάξη µεγέθους των εκθετικών και λογαριθµικών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 4.9 Οι απροσδιόριστες µορφές 0 · ∞ και ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3352 Οι απροσδιόριστες µορφές 00 , ∞0 , και 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Ο αριθµός e ως όριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
342
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ (Συνέχεια) Στόχοι: Μέθοδοι και τεχνικές Εργαστείτε µε τα ακόλουθα προβλήµατα κάθε ενότητας για να εξασκηθείτε στις µεθόδους και τις τεχνικές που σας είναι απαραίτητες σε αυτό το κεφάλαιο. Σεςτιον Προβλήµατα 4.2 Υπολογισµός διαφορικών των συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 9, 13 Εύρεση των γραµµικών προσεγγίσεων των συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 23 Αριθµητικός υπολογισµός γραµµικών προσεγγίσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 31, 33 Εφαρµογή διαφορικών σε γεωµετρικές καταστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 43, 49 4.3 Χρήση αύξουσας και ϕθίνουσας συµπεριφοράς για την αντιστοίχιση συναρτήσεων µε τις γραφικές τους παραστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3 Προσδιορισµός διαστηµάτων αύξουσας – ϕθίνουσας σε µία συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 13, 19, 21 ΄Ελεγχος υποθέσεων και συµπερασµάτων για το ϑεώρηµα Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 31 ΄Ελεγχος υποθέσεων και συµπερασµάτων για το ϑεώρηµα µέσης τιµής . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35 4.4 Χρήση του ελέγχου πρώτης παραγώγου για την ταξινόµηση των κρίσιµων σηµείων . . . 3, 7, 13, 21, 23 Επίλυση εφαρµοσµένων προβληµάτων ϐελτιστοποίησης ανοικτού διαστήµατος . . . . . . . 31, 33, 35, 41, 45 4.5 Χρήση της συµπεριφοράς στο άπειρο για την αντιστοίχιση συναρτήσεων µε τις γραφικές τους παραστάσεις 1, 3 Εύρεση των κρίσιµων σηµείων και της αύξουσας – ϕθίνουσας συµπεριφοράς . . . . . . . . . 7, 11 Σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων πολυωνύµων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 19, 23, 27 4.6 Υπολογισµός ανώτερων παραγώγων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 13, 17 Εύρεση κρίσιµων σηµείων και σηµείων καµπής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 27 Εφαρµογή των ελέγχων δεύτερης παραγώγου και σηµείων καµπής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35, 47 Χρήση κυρτότητας και κρίσιµων σηµείων – σηµείων καµπής για τη σχεδίαση γραφικών παραστάσεων 63, 67, 75 Αντιστοίχιση γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων µε τις δεύτερες παραγώγους τους 77, 79 4.7 ∆ιερεύνηση άπειρων ορίων και ορίων στο άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 9 Χρήση ασύµπτωτων για την αντιστοίχιση συναρτήσεων µε τις γραφικές τους παραστάσεις 19, 21, 25 Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων µε ακρότατα, σηµεία καµπής και ασύµπτωτες. . . . . .35, 39, 43, 47, 49 4.8 Εφαρµογή του κανόνα l’Hôpital στις µορφές 0/0 και ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9, 13, 19, 25, 29, 33 4.9 Εφαρµογή του κανόνα l’Hôpital στις µορφές 0 · ∞ και ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 7, 9, 13, 17 Εφαρµογή του κανόνα l’Hôpital στις µορφές 00 , ∞0 , και 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 23, 31
Κεφάλαιο 4 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Στα Προβλήµατα 1 έως 6,γράψτε την dy συναρτήσει των x και dx.
√
1. y = (4x − x2 )3/2
2. y = 8x3
3. y =
4. y = sin x2
x+1 x−1 2
5. y = x cos
√
Υπολογίστε τις τρεις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων στα προβλήµατα 35 ως 44.
Στα Προβλήµατα 7 έως 16, υπολογίστε τον αριθµό που δίνεται µε γραµµική προσέγγιση 7. 8. 9. 10. 11. 13. 15.
√
6401 (Παρατηρήστε ότι 802 = 6400.) 1 1.000007 (2.0003)10 (Παρατηρήστε ότι 210 = 1024.) √3 999 (Παρατηρήστε ότι 103 = 1000.) √3 √3 1005 12. 62 √5 263/2 14. 30 √4 √ 10 17 16. 1000
4 πr3 3
µιας σφαίρας, αν αν η ακτίνα r αυξηθεί 19. Ο όγκος V = από 5 cm σε 5.1 cm. 20. Ο όγκος V = 1000/p in.3 ενός αερίου, αν η πίεση p µειωθεί από 100 lb/in.2 σε 99 lb/in.2
√
21. Η περίοδος ταλάντωσης T = 2π L/32 ενός εκκρεµούς, αν το µήκος L αυξηθεί από 2 ft σε 2 ft 1 in. (Ο χρόνος T είναι σε δευτερόλεπτα και το µήκος L σε πόδια).) 22. Ο χρόνος Ϲωής L = 1030/E 13 µιας λάµπας µε τάση E ϐολτ (V), αν η τάση αυξηθεί από 110 V σε 111 V. Συγκρίνετε το αποτέλεσµά σας µε την ακριβή αλλαγή στη συνάρτηση L. Αν το ϑεώρηµα µέσης τιµής εφαρµοστεί στη συνάρτηση f στο διάστηµα [a, b], διασφαλίζεται η ύπαρξη µιας λύσης c στο διάστηµα (a, b) της εξίσωσης
f (b) − f (a) f ′ (c) = . b−a
[−1, 2]
26. f (x) = x3 · 28. f (x) =
√
5
3
31. f (x) = 3x − 5x + 60x
p 3y − 1
1 x2 + 9 √ 3 42. f (z) = 3 z + √5 z 8 44. g(t) = (3 − t)3/2
45. x1/3 + y1/3 = 1 5
47. y − 4y + 1 = 2
√
46. 2x2 − 3xy + 5y2 = 25 48. sin xy = xy
x
2
50. x5 + xy4 = 1
49. x + y = 5xy + 5 3
2
52. (x2 − y2 )2 = 4xy
51. y − y = x y
Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων στα Προϐλήµατα 53 ως 72 υποδεικνύοντας όλα τα κρίσιµα σηµεία, τα σηµεία καµπής και τις ασύµπτωτες. ∆είξτε ξεκάθαρα τη δοµή κυρτότητας. 53. f (x) = x4 − 32x 6
54. f (x) = 18x2 − x4
4
55. f (x) = x − 2x
√3 57. f (x) = x 4 − x
58. f (x) =
2
x +1 60. f (x) = x2 − 4 2 2x f (x) = 2 62. f (x) = x −x−2 f (x) = 3x4 − 4x3 64. f (x) = x2 f (x) = 2 66. f (x) = x3 − 12x x −1 f (x) = −10 + 6x2 − x3 x f (x) = , παρατηρήστε ότι 1 + x2 (x − 1)(x + 1) f ′ (x) = − (x2 + 1)2
59. f (x) = 61. 63. 65.
[−2, 1]
x·
[0, 4]
30. f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x
32. f (x) = (3 − x)
√
x
√
x−3 x−1 x+2 x x2 − x − 2 x3 2 x −1 x4 − 2x2
56. f (x) = x
και ότι
2x(x2 − 3) . (x2 + 1)3 70. f (x) = x4 − 12x2 1 1 72. f (x) = + 2 x x
f ′′ (x) = 69. f (x) = x3 − 3x
Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων στα προϐλήµατα 29 ως 33. Υποδείξτε τα τοπικά µέγιστα και ελάχιστα κάθε συνάρτησης και τα διαστήµατα στα οποία είναι αύξουσα ή ϕθίνουσα. ∆είξτε τη δοµή κυρτότητας της γραφικής παράστασης και προσδιορίστε όλα τα σηµεία καµπής. 29. f (x) = x2 − 6x + 4
40. g(x) =
68.
23. f (x) = x −
11 5 x· 5
39. f (t) = 2t3/2 − 3t4/3
67.
Στα Προβλήµατα 23 ως 28 δίνονται µια συνάρτηση f και ένα διάστηµα [a, b] Επαληθεύστε ότι ικανοποιούνται οι υποθέσεις του ϑεωρήµατος µέσης τιµής για την f στο [a, b]. Στη συνέχεια, χρησιµοποιήστε την εξίσωση που δίνεται για να ϐρείτε την τιµή του αριθµού c.
27. f (x) =
38. h(y) =
Στα Προβλήµατα 45 έως 52, υπολογίστε τις dy/dx και d2 y/dx2 υπό την προϋπόθεση ότι το y ορίζεται σύνθετα ως συνάρτηση του x από την εξίσωση που δίνεται.
18. Η επιφάνεια A = πr2 ενός κύκλου, αν η ακτίνα r µειωθεί από 10 cm σε 9.8 cm.
[−1, 2]
36. f (x) = (x + 1)100
1 1 37. g(t) = − t 2t + 1
t+2 t−2 √3 43. g(x) = 5 − 4x
17. Ο όγκος V = s3 ενός κύβου, αν το µήκος πλευράς s αυξηϑεί από 5 in. σε 5.1 in.
25. f (x) = x3 ·
35. f (x) = x3 − 2x
41. h(t) =
Στα Προβλήµατα 17 έως 22, υπολογίστε µε γραµµική προσέγγιση την αλλαγή στην ποσότητα που δίνεται.
1 · [1, 3] x 24. f (x) = x3 + x − 4· [−2, 3]
√
33. f (x) = (1 − x) 3 x
34. ∆είξτε ότι η εξίσωση x5 + x = 5 έχει ακριβώς µια πραγµατική λύση.
x2 + 9
x 6. y = sin 2x
x
343
71. f (x) = x3 + x2 − 5x + 3 73. Η συνάρτηση
f (x) =
1 x2 + 2x + 2
έχει µία και µόνο µέγιστη τιµή. Βρείτε τη. 74. Πρέπει να κατασκευάσετε ένα κυλινδρικό δοχείο, χωρίς καπάκι µε όγκο 1 ft3 . Το κυλινδρικό µέρος του δοχείου ϑα κατασκευαστεί από αλουµίνιο και η ϐάση από χαλκό. Ο χαλκός είναι πέντε ϕορές πιο ακριβός από το αλουµίνιο. Ποιες διαστάσεις ϑα ελαχιστοποιούσαν το συνολικό κόστος του δοχείου ;
344
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου
75. ΄Ενα ανοικτό ορθογώνιο κουτί ϑα έχει όγκο 4500 cm3 . Αν η ϐάση του είναι ένα ορθογώνιο του οποίου το µήκος είναι διπλάσιο του πλάτους του, ποιες διαστάσεις ϑα ελαχιστοποιούσαν τη συνολική επιφάνεια της ϐάσης και των τεσσάρων πλευρών του κουτιού ; 76. ΄Ενα µικρό ορθογώνιο κουτί πρέπει να κατασκευαστεί µε όγκο 324 in.3 Η ϐάση του είναι ένα τετράγωνο και κοστίζει διπλάσιο (ανά τετρ. ίντσα) από την κορυφή και τις τέσσερις πλευρές του. Ποιες διαστάσεις ϑα ελαχιστοποιούσαν το συνολικό κόστος του υλικού που χρειάζεται για την κατασκευή αυτού του κουτιού ; 77. Πρέπει να ϕτιάξετε ένα µικρό ορθογώνιο κουτί µε όγκο 400 in.3 Η ϐάση του είναι ένα ορθογώνιο του οποίου το µήκος είναι διπλάσιο του πλάτους του. Η ϐάση κοστίζει 7¢/in.2 , ενώ η κορυφή και οι τέσσερις πλευρές του κοστίζουν 5¢/in.2 Ποιες διαστάσεις ϑα ελαχιστοποιούσαν το κόστος του κουτιού ; 78. ΄Εστω ότι το f (x) είναι ένα κυβικό πολυώνυµο µε ακριβώς τρεις διαφορετικές πραγµατικές ϱίζες. Αποδείξτε ότι οι δύο ϱίζες του f ′ (x) είναι πραγµατικές και διαφορετικές. 79. ΄Εστω ότι για να λειτουργήσει ένα ϕορτηγό σε v µίλια ανά ώρα κοστίζει 1+(0.0003)v3/2 δολάρια ανά µίλι. Αν υπάρχουν πρόσθετα κόστη (όπως η αµοιβή του οδηγού) της τάξης των $10/ ώρα, ποια ταχύτητα ϑα ελαχιστοποιούσε το συνολικό κόστος ενός ταξιδιού 1000 µιλίων ; 80. Οι αριθµοί a1 , a2 , . . . , an είναι σταθεροί. Βρείτε έναν απλό τύπο για τον αριθµό x τέτοιον ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των αποστάσεων του x από τους n σταθερούς αριθµούς να είναι όσο το δυνατό µικρότερο. 81. Σχεδιάστε την καµπύλη y2 = x(x − 1)(x − 2), δείχνοντας ότι απαρτίζεται από δύο µέρη – ένα ϕραγµένο και ένα µη ϕραγµένο- και έχει δύο οριζόντιες εφαπτόµενες, τρεις κάθετες και δύο σηµεία καµπής. [Υπόδειξη : Παρατηρήστε ότι η καµπύλη είναι συµµετρική γύρω από τον άξονα των x. Αρχίστε προσδιορίζοντας τα διαστήµατα στα οποία είναι ϑετικό το γινόµενο x(x− 1)(x− 2). Υπολογίστε τις dy/dx και d2 y/dx2 µε σύνθετη παραγώγιση.] 82. ΄Ενας αγρότης ϑέλει να περιφράξει µία ορθογώνια επιϕάνεια 2400 ft2 . Θέλει επίσης να χρησιµοποιήσει επιπλέον περίφραξη για να δηµιουργήσει ένα εσωτερικό χώρισµα παράλληλο προς τις δύο εξωτερικές πλευϱές (Σχήµα 4.MP.1). Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό µήκος περίφραξης που απαιτεί αυτό το έργο ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο.
ΣΧΗΜΑ 4.MP.2 Η περίφραξη του Προβλήματος 83. 84. ΄Ενας αγρότης ϑέλει να περιφράξει µία ορθογώνια επιφάνεια 2250 m2 . Θέλει επίσης να χρησιµοποιήσει επιπλέον πεϱίφραξη για να δηµιουργήσει τρία εσωτερικά χωρίσµατα παράλληλα προς τις δύο εξωτερικές πλευρές. Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό µήκος περίφραξης που απαιτεί αυτό το έργο ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο. 85. ΄Ενας αγρότης ϑέλει να περιφράξει µία ορθογώνια επιφάνεια A ft2 . Θέλει επίσης να χρησιµοποιήσει επιπλέον περίφραξη για να δηµιουργήσει n (ένας σταθερός αλλά απροσδιόριστος ϑετικός ακέραιος) εσωτερικά χωρίσµατα παράλληλα προς τις δύο εξωτερικές πλευρές. Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό µήκος περίφραξης που απαιτεί αυτό το έργο ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο. 86. Ποιο είναι το µήκος του µικρότερου ευθύγραµµου τµήµατος που ϐρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο µε τα άκρα του στον άξονα συντεταγµένων και είναι επίσης εφαπτόµενο στη γραφική παράσταση της y = 1/x2 ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο. 87. ΄Ενα ορθογώνιο τρίγωνο σχηµατίζεται στο πρώτο τεταρτηµόριο από ένα ευθύγραµµο τµήµα που είναι εφαπτόµενο στη γραφική παράσταση της y = 1/x2 και που τα άκρα του ακουµπούν στον άξονα των συντεταγµένων. Υπάρχει µέγιστη επιφάνεια ενός τέτοιου τριγώνου· Υπάρχει ελάχιστη ; ∆ικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. 88. ΄Ενα ορθογώνιο τρίγωνο σχηµατίζεται στο πρώτο τεταρτηµόριο από ένα ευθύγραµµο τµήµα που είναι εφαπτόµενο στη γραφική παράσταση της y = 1/x και που τα άκρα του ϐρίσκονται στον άξονα των συντεταγµένων. Υπάρχει µέγιστη επιφάνεια ενός τέτοιου τριγώνου ; Υπάρχει ελάχιστη ; ∆ικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. 89. ΄Ενα ορθογώνιο κουτί (µε καπάκι) πρόκειται να έχει όγκο 288 in.3 και η ϐάση του ϑα έχει ακριβώς τριπλάσιο µήκος από το πλάτος του. Ποια είναι η ελάχιστη πιθανή επιφάνεια αυτού του κουτιού ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο. 90. ΄Ενα ορθογώνιο κουτί (µε καπάκι) πρόκειται να έχει όγκο 800 in.3 , και η ϐάση του ϑα έχει ακριβώς τετραπλάσιο µήκος από το πλάτος του. Ποια είναι η ελάχιστη πιθανή επιφάνεια αυτού του κουτιού ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο.
ΣΧΗΜΑ 4.MP.1 Η περίφραξη του Προβλήματος 82. 83. ΄Ενας αγρότης ϑέλει να περιφράξει µία ορθογώνια επιϕάνεια 1800 ft2 . Θέλει επίσης να χρησιµοποιήσει επιπλέον περίφραξη για να δηµιουργήσει δύο εσωτερικά χωρίσµατα παράλληλα προς τις δύο εξωτερικές πλευϱές(Σχήµα 4.MP.2). Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό µήκος περίφραξης που απαιτεί αυτό το έργο ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο.
91. ΄Ενα ορθογώνιο κουτί (µε καπάκι) πρόκειται να έχει όγκο 225 cm3 , και η ϐάση του ϑα έχει ακριβώς πενταπλάσιο µήκος από το πλάτος του. Ποια είναι η ελάχιστη πιθανή επιφάνεια αυτού του κουτιού ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο. 92. ΄Ενα ορθογώνιο κουτί (µε καπάκι) πρόκειται να έχει όγκο V , και η ϐάση του ϑα έχει ακριβώς n ϕορές µήκος από το πλάτος του( όπου n ένας σταθερός αλλά απροσδιόριστος ϑετικός ακέραιος). Ποια είναι η ελάχιστη πιθανή επιφάνεια
Κεφάλαιο 4 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ αυτού του κουτιού ; Επαληθεύστε ότι η απάντησή σας αποδίδει το καθολικό ελάχιστο. 93. Η γραφική παράσταση της f (x) = x1/3 (1 − x)2/3 παρουσιάζεται στο Σχήµα 4.MP.3. Θυµηθείτε από την Ενότητα 4.7 ότι αυτή η γραφική παράσταση έχει µία πλάγια ασύµπτωτη µε την εξίσωση y = mx + b εφόσον
sin 2x x x − sin x 98. lim x→0 x3 ln(ln x) lim x→∞ ln x
96. lim x→0
x→2
lim [ f (x) − (mx + b)] = 0.
x→−∞
(Οι τιµές m και b µπορεί να διαφέρουν στις δύο περιπτώσεις όπου x → +∞ και x → −∞.) Η γραφική παράσταση εµφανίζεται εδώ να έχει µία τέτοια ασύµπτωτη καθώς το x → +∞. Βρείτε το m υπολογίζοντας
lim
Βρείτε τα όρια στα Προβλήµατα 95 έως 109. 95. lim
ή ότι
x→+∞
94. Είστε στο νοτιότερο σηµείο µίας κυκλικής λίµνης µε ακτίνα 1 mi. Θέλετε να κολυµπήσετε σε ευθεία πορεία προς ένα άλλο σηµείο της ακτής και µετά να τρέξετε προς το ϐορειότερο σηµείο της λίµνης. Τρέχετε δύο ϕορές πιο γρήγορα απ’ ότι κολυµπάτε. Ποια πορεία δίνει τον ελάχιστο χρόνο που απαιτείται για αυτή τη διαδροµή ;
x−2 x2 − 4 1 + cos x 97. lim x→π (x − π)2 tan t − sin t 99. lim t→0 t3
lim [ f (x) − (mx + b)] = 0
x→+∞
f (x) . x
100.
lim (cot x) ln(1 + x) 101.
x→0
102.
! 1 1 lim 2 − x→0 x 1 − cos x 103. √ √ x2 − x − 1 − x lim
105. 106.
lim (e1/x − 1) tan x
x→0+
lim
104.
x→∞
x2 x3 − x + 2 x2 + 3
!
x→∞
lim x1/x
΄Επειτα ϐρείτε το b υπολογίζοντας
345
x→∞
107.
lim (e2x − 2x)1/x
x→∞
2
lim [ f (x) − mx].
108.
x→+∞
Τέλος, ϐρείτε τα m και b για την περίπτωση που το x → −∞. y
2 2
-2
" !x # 1 lim x 1 + −e x→∞ x
[ Υπόδειξη : ΄Εστω ότι u = 1/x, και 109. πάρτε το όριο καθώς το u → 0+ . ]
Σύµφωνα µε το Πρόβληµα 53 της Ενότητας 7.6, η επιφάνεια 110. ενός ελλειψοειδούς που δίδεται µε την περιστροφή της έλλειψης γύρω από τον άξονα των x µε την εξίσωση
4
-4
lim [1 − exp(−x2 )]1/x
x→∞
4
x 2
x
a
+
y 2 b
=1
(0 < a < b)
-2
είναι
-4
√ όπου c = b2 − a2 . Χρησιµοποιείστε τον κανόνα l’Hôpital
"
b a b+c A = 2πab + ln a c a
!#
,
για να δείξετε ότι ,
ΣΧΗΜΑ 4.MP.3 Η γραφική παράσταση y = f (x) του Προβλήματος 93.
lim A = 4πa2 , b→a
η επιφάνεια µίας σφαίρας µε ακτίνα a.