2 ∫›ÓËÛË
∞ÂÈÎfiÓÈÛË Î˘ÎÏÈ΋˜ ΛÓËÛ˘
42 ◆ 2 ∫π¡∏™∏
2.1 ∫π¡∏ª∞∆π∫∏ ∆√À ™øª∞∆π√À ªÈ· ·’ ÙȘ ÈÔ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‡Ï˘ Â›Ó·È Ë Î›ÓËÛË. ∏ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÎÈÓ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ù˘ ∫ÈÓËÌ·ÙÈ΋˜. ™‡Ìʈӷ Ì ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ ıÂÒÚËÛË Ë ∫ÈÓËÌ·ÙÈ΋ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙȘ ÎÈÓ‹ÛÂȘ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙȘ ·Èٛ˜ Ô˘ ÙȘ ÚÔηÏÔ‡Ó. ¶·ÚfiÏ· ·˘Ù¿, Ë ∫ÈÓËÌ·ÙÈ΋ ¤¯ÂÈ ÂÈÚ·Ì·ÙÈΤ˜ ‚¿ÛÂȘ, ÁÈ·Ù› ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ê˘ÛÈÎfi ÂÚȯfiÌÂÓÔ. ∏ ÂÌÂÈÚ›· Ì·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ô Ê˘ÛÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì Ôχ ηϋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ì ÙÔÓ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ‰È·ÛÙ¿ÛˆÓ, ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ¤Ó·˜ ·Ú·ÙËÚËÙ‹˜ ÌÔÚ› Ó· ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙË ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. ™‡Ìʈӷ fï˜ Ì ÙË °ÂÓÈ΋ £ÂˆÚ›· Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Einstein, Ë ÔÔ›· Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· ¤¯ÂÈ ÂȂ‚·Èˆı› Î·È ·fi ›ÁÂÈ· ÂÈÚ¿Ì·Ù·, ÔÈ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ›ӷÈ, ÂÓ Á¤ÓÂÈ, ÌË∂˘ÎÏ›‰ÂȘ, fiˆ˜, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ‚·Ú˘ÙÈ΋ η̇ψÛË ÙÔ˘ ™‡Ì·ÓÙÔ˜. ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÚÔ‹˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Â›Ó·È ·˘ÙÔÓfiËÙË. ŸÙ·Ó ͤÚÔ˘Ì ӷ Ù·ÍÈÓÔÌ‹ÛÔ˘Ì ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ‰È·‰Ô¯‹ ÙˆÓ ÁÂÁÔÓfiÙˆÓ, ϤÌ fiÙÈ Î·Ù·ÚÙ›Û·Ì ÌÈ· ¯ÚÔÓÔÏfiÁËÛË. £· ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Â›Ó·È ÌÈ· ·fiÏ˘ÙË ¤ÓÓÔÈ·, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ·fi ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜. ¢˘Ô ·Ú·ÙËÚËÙ¤˜ ÙÔÔıÂÙË̤ÓÔÈ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·Ó·ÊÔÚ¿˜, ÌÔÚÔ‡Ó ÁÈ· Ù· ›‰È· ÁÂÁÔÓfiÙ· Ó· οÓÔ˘Ó ÙȘ ›‰È˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ¯ÚfiÓÔ˘. ∏ ∫Ï·ÛÈ΋ ªË¯·ÓÈ΋ ‚·Û›˙ÂÙ·È Û’ ·˘Ù‹ ÙËÓ ˘fiıÂÛË, Ô˘ ÚÔÙ¿ıËΠ·fi ÙÔÓ ¡Â‡ÙˆÓ·. ™Â ·ÓÙ›ıÂÛË, Ë ∂ȉÈ΋ £ÂˆÚ›· Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜, Ô˘ ‚·Û›˙ÂÙ·È Û ÂÈÚ·Ì·ÙÈο ÁÂÁÔÓfiÙ·, ·ÔÚÚ›ÙÂÈ ÙËÓ ˘fiıÂÛË ·˘Ù‹ Î·È ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ÔÈ ¯ÚfiÓÔÈ, fiˆ˜ ÌÂÙÚÔ‡ÓÙ·È ·fi ‰˘Ô ·Ú·ÙËÚËÙ¤˜ ÎÈÓÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ Ô ¤Ó·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÏÏÔ Ì ٷ¯‡ÙËÙ· Ô˘ ÏËÛÈ¿˙ÂÈ ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ʈÙfi˜, Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ›. °È· Ó· ηıÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ı¤ÛË ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ, ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜. ø˜ Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ıˆÚԇ̠¤Ó· ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Û˘Ó‰Â‰Â̤ÓÔ Ì ÙÔÓ ·Ú·ÙËÚËÙ‹. ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È ·Î›ÓËÙÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜, ·Ó ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ÛÙ·ıÂÚ¤˜ ÛÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÂÈÌ›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ΛÓËÛ˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·fiÏ˘ÙÔ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·, ·ÏÏ¿ Â›Ó·È Û¯ÂÙÈ΋ Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È. ¢˘Ô ·Ú·-
ÙËÚËÙ¤˜ ÙÔÔıÂÙË̤ÓÔÈ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·Ó·ÊÔÚ¿˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ۯÂÙÈ΋ ΛÓËÛË, ı· ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ ÙËÓ Î›ÓËÛË ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ¤Ó· ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ¤ÊÙÔÓÙ·˜ ηٷÎfiÚ˘Ê· ̤۷ Û’ ¤Ó· ÙÚ¤ÓÔ, ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÌÈ· ·Ú·‚ÔÏ‹ ÁÈ· ¤Ó·Ó Â͈ÙÂÚÈÎfi ·Ú·ÙËÚËÙ‹. ŒÓ· ÛÒÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÎÙÂÏ› ˆ˜ Û‡ÓÔÏÔ, ÂÓ Á¤ÓÂÈ, ÌÈ· ÔχÏÔÎË Î›ÓËÛË. ∏ ÔÏ˘ÏÔÎfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ·ÔʇÁÂÙ·È, ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ Î›ÓËÛË ÂÓfi˜ ÛËÌÂÈ·ÎÔ‡ ÛÒÌ·ÙÔ˜, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛˆÌ¿ÙÈÔ.
2.2 ∆√ ¢π∞¡À™ª∞ ∆∏™ ∆∞ÃÀ∆∏∆∞™ ∏ ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ Û’ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ı¤Û˘ ÙÔ˘ r (t) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ √ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜. ø˜ Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Oxyz, Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È ÛÙÔ ™¯. 2-1. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ÂÚÓ¿ÂÈ ÙÔ ÛˆÌ¿ÙÈÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÚԯȿ. ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· ۈ̿ÙÈÔ Ô˘ ÎÈÓÂ›Ù·È ¿Óˆ ÛÙËÓ ÙÚԯȿ ÙÔ˘ ™¯. 2-1. ªÂ ÙËÓ ¿ÚÔ‰Ô ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ ÛˆÌ¿ÙÈÔ ÌÂÙ·ÎÈÓÂ›Ù·È Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· ı¤Û˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ Ì¤ÙÚÔ Î·È Î·Ù‡ı˘ÓÛË. ∏ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ ı¤Û˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Î·È Â›Ó·È ¢r = r (t + ¢t) – r (t)
(2.1)
∆Ô ÙÌ‹Ì· Ù˘ ‰È·ÁÚ·ÊfiÌÂÓ˘ ÙÚԯȿ˜, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È¿ÛÙËÌ·, ¢s Î·È Â›Ó·È ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ̤ÁÂıÔ˜. ø˜ Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ı¤Û˘ ÙÔ˘. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ˆ˜ ̤ÛË
™¯‹Ì· 2-1 ∆Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜.
2.3 ∆√ ¢π∞¡À™ª∞ ∆∏™ ∂¶π∆∞ÃÀ¡™∏™ ◆ 43
Ù·¯‡ÙËÙ· ÔÚ›˙ÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ ¢ r ÚÔ˜ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ¯ÚfiÓÔ ¢t, = ∆r ∆t
= =
x2 + y2 + z2
(2.6)
(2.2)
Î·È Â›Ó·È ¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ· Û˘ÁÁÚ·ÌÌÈÎfi Ì ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ ¢ r. ∏ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ì¤ÛË ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ¢s ÚÔ˜ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ¯ÚfiÓÔ ¢t
= ∆s ∆t
∆Ô Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ›ӷÈ
(2.3)
2.3 ∆√ ¢π∞¡À™ª∞ ∆∏™ ∂¶π∆∞ÃÀ¡™∏™ ø˜ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ¿˜ ÙÔ˘. ∞Ó ˘ = ¢ r/¢t Â›Ó·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘, Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ·˘ÙÔ‡ Û ÔÚÈṲ̂ÓË ı¤ÛË (fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ™¯. 2-2) ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ 2
ŸÙ·Ó Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ¢t Ù›ÓÂÈ ÛÙÔ Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô B ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙÔ A Î·È ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ¢ r Ù›ÓÂÈ Ó· ¿ÚÂÈ ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Ù˘ ÙÚԯȿ˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. ∆fiÙ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ¢ r/¢t Ù›ÓÂÈ Û’ ¤Ó· fiÚÈÔ, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÙÔ˘ r (t). ∂Í ÔÚÈÛÌÔ‡, Ë ÛÙÈÁÌÈ·›· Ù·¯‡ÙËÙ·, ‹ ·ÏÒ˜ Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ Û οÔÈ· ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t Â›Ó·È = ∆t→0 lim ∆r = ∆t→0 lim r (t + ∆t) – r (t) = dr dt ∆t ∆t
a = d = d r 2 dt dt
(2.7)
∏ ÌÔÓ¿‰· Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ÛÙÔ SI Â›Ó·È m/s2. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔ ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ Oxyz, Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È: 2
(2.4)
∏ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ‹˜ Ù˘ ÛÙÔ SI Â›Ó·È m/s. ∞ӷχÔÓÙ·˜ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ı¤Û˘ r ÛÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÛÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ Oxyz,
2 2 2 a = d r = d x i + d y j + d z k = ax i + ay j + az k (2.8) 2 2 2 2 dt dt dt dt
ÂÓÒ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ›ӷÈ: a = a =
2
2
2
ax + ay + az
(2.9)
r = x i + y j + z k ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ ÛÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ ˆ˜ = dr = dx i + dy j + dz k = x i + y j + z k (2.5) dt dt dt dt
Eº∞ƒª√°∏ 2-1 ∫˘ÎÏÈ΋ ΛÓËÛË
™¯‹Ì· 2-2 ∂ÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘.
ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ı, Ô˘ ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ ‰È¿Ó˘-
ŒÓ· ۈ̿ÙÈÔ ÎÈÓÂ›Ù·È Û ΢ÎÏÈ΋ ÙÚԯȿ ·ÎÙ›Ó·˜ r Ì ÛÙ·ıÂÚfi ̤ÙÚÔ Ù·¯‡ÙËÙ·˜. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ·˘ÙÔ‡. §‡ÛË £· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ Î›ÓËÛË Û’ ¤Ó· ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ Ì ·Ú¯‹ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ΢ÎÏÈ΋˜ ÙÚԯȿ˜, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ™¯. 2-3. √ ¿ÍÔÓ·˜ Oz Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ˜ ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ÙÚԯȿ˜ Ì ηÙ‡ı˘ÓÛË ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ. √ Ú˘ıÌfi˜
™¯‹Ì· 2-3 √Ì·Ï‹ ΢ÎÏÈ΋ ΛÓËÛË.
44 ◆ 2 ∫π¡∏™∏
ÛÌ· ı¤Û˘ ÙÔ˘ ÛˆÌ·Ù›Ô˘, ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ·fi ÙË ÁˆÓȷ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ˆ, Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË ω = dθ k dt
(2.11)
∏ Û˘¯ÓfiÙËÙ· f ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Û ·ÎÏÔ˘˜ ·Ó¿ ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙÔ, (c/s), ‹ Hz. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ı¤Û˘ r (t) ÙÔ˘ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ Û οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Û˘ÓÈÛÙˆÛÒÓ ÙÔ˘ ÛÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Ox Î·È Oy r (t) = r cos ˆt i + r sin ˆt j
= dr = –ω r sin ω ti + ω r cos ω tj dt
(2.10)
Î·È ÌÂÙÚÈ¤Ù·È Û rad/s. ∞Ó Ë ÁˆÓȷ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ˆ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹, Ë Î›ÓËÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ·Ï‹ ΢ÎÏÈ΋. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ë ‰È·ÁÚ·ÊfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ı ›ӷÈ: ı = ˆt. ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈο Ù˘ ΛÓËÛ˘ ·˘Ù‹˜ Â›Ó·È Ë ÂÚ›Ô‰Ô˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ∆ Î·È Ë Û˘¯ÓfiÙËÙ· f. ∆· ÌÂÁ¤ıË ·˘Ù¿ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È Ì ÙË ÁˆÓȷ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙË Û¯¤ÛË ω = 2π = 2π f T
∆Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘, ›ӷÈ
(2.12)
(2.13)
ÂÓÒ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Â›Ó·È =
⋅ = ω r sin2ω t + cos2ω t = ω r
(2.14)
∆Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘, Â›Ó·È 2 2 2 a = d = –ω r cos ω ti – ω r sin ω tj = – ω r (2.15) dt
ÂÓÒ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Â›Ó·È a = –ω 2r = ω 2r
(2.16)
∂Âȉ‹, ˘ = ˆr, ÌÔÚԇ̠ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ a Ì ÙË ÌÔÚÊ‹: 2 a = r
(2.17)
H ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÎÂÓÙÚÔÌfiÏÔ˜ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË. ∂º∞ƒª√°∏ 2-2 ªÔÓԉȿÛÙ·ÙË Î›ÓËÛË. ŒÓ· ۈ̿ÙÈÔ ÎÈÓÂ›Ù·È Û ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË a. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙÔ‡Ó Ë Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.
™¯‹Ì· 2-4 ªÔÓԉȿÛÙ·ÙË Î›ÓËÛË
§‡ÛË ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Ì ¿ÍÔÓ· ÙËÓ ÙÚԯȿ ÙÔ˘ ÛˆÌ·Ù›Ô˘, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ™¯. 24. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÁÈ· t = 0 Ë ·Ú¯È΋ ı¤ÛË Â›Ó·È xo Î·È Ë ·Ú¯È΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ˘o. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘, ∂Í. (2.7), ÌÔÚԇ̠ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔ ‰È·ÊÔÚÈÎfi Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ™¯‹Ì· 2-5 °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t ÁÈ· ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË. ∏ ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË.
d˘ = a dt OÏÔÎÏËÚÒÓÔÓÙ·˜, ¤¯Ô˘ÌÂ
t
d = o
∆Ô ™¯. 2-5 ‰›ÓÂÈ ÌÈ· ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t ÁÈ· ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË. ∏ ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÙÔ˘ ÎÈÓËÙÔ‡.
a dt o
Î·È ÂÂȉ‹ Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË a Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹, ˘ = ˘o + at
(2.18)
2.3 ∆√ ¢π∞¡À™ª∞ ∆∏™ ∂¶π∆∞ÃÀ¡™∏™ ◆ 45
∞fi ÙË ÁÓˆÛÙ‹ ÙÒÚ· Ù·¯‡ÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ı¤Û˘ ˆ˜ ÂÍ‹˜: §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ = dx dt
ÌÔÚԇ̠ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔ ‰È·ÊÔÚÈÎfi Ù˘ ı¤Û˘ dx = ˘ dt ªÂ ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ˘ ·fi ÙËÓ ∂Í.(2.18) Î·È ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ ¤ÎÊÚ·Û˘ ÚÔ·ÙÂÈ: x
t
o dt +
dx = xo
o
™¯‹Ì· 2-6 °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ı¤Û˘ x ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t ÁÈ· ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË. ∏ ÎÏ›ÛË Ù˘ ·˘Í¿ÓÂÙ·È ÔÌ·Ï¿ Î·È Û οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ˘.
t
at dt o
Î·È ÂÂȉ‹ ˘o Î·È a ÛÙ·ıÂÚ¤˜, x = xo + o t + 1 at 2
2
(2.19)
∆Ô ™¯. 2-6 ‰›ÓÂÈ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ı¤Û˘ x ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ë ·Ú¯È΋ ı¤ÛË xo = 0. ∏ ÎÏ›ÛË Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Ù˘ η̇Ï˘ ηٿ ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ÛÙÈÁÌÈ·›· Ù·¯‡ÙËÙ· ˘. ∏ ÎÏ›ÛË ·˘Í¿ÓÂÙ·È Û˘Ó¶∂πƒ∞ª∞ 2-1 ªÔÓԉȿÛÙ·ÙË Î›ÓËÛË ™∆√Ã√π ªÂÙ¿ ÙË ‰ÈÂÍ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ô ÛÔ˘‰·ÛÙ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÈηÓfi˜: ñ Ó· ·Ó·Ï‡ÂÈ ÌÈ· ΛÓËÛË ·fi Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ ηٷÁÚ·Ê‹˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Î·È Ù˘ ı¤Û˘, ñ Ó· ÌÂÙÚ¿ ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÎÈÓËÙÔ‡, ñ Ó· ηٷÛ΢¿˙ÂÈ Î·È Ó· ÂÚÌËÓ‡ÂÈ Ù· ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ù˘ ΛÓËÛ˘. ¶∂πƒ∞ª∞∆π∫∏ ¢π∞∆∞•∏ °Ú·ÌÌÈ΋ ·ÂÚÔÙÚԯȿ, ÎÈÓËÙfi (Ȥ·˜), Ê˘ÛËÙ‹-
™¯‹Ì· 2-7 °Ú·ÌÌÈ΋ ·ÂÚÔÙÚԯȿ.
¯Ò˜ Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ ˘o ÁÈ· t = 0. √ Ú˘ıÌfi˜ ·‡ÍËÛ˘ Ù˘ ÎÏ›Û˘ ·˘Ù‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ‰›ÓÂÈ ÙË ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË a. ∞·Ï›ÊÔÓÙ·˜ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ ∂Í.(2.18) Î·È (2.19) ÚÔ·ÙÂÈ =
2
o + 2a(x – xo)
(2.20)
Ú·˜ ·¤ÚÔ˜, ·ÈÛıËÙ‹Ú·˜ ı¤Û˘ (Laser Motion Sensor), ‰È·Û˘Ó‰ÂÙÈ΋ ‰È¿Ù·ÍË ∏/À (MOBILE – CASSY ), ÏÔÁÈÛÌÈÎfi ηٷÁÚ·Ê‹˜ – ÂÂÍÂÚÁ·Û›·˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ (CASSY Lab), H/Y. ¶∂πƒ∞ª∞∆π∫∏ ª∂£√¢√™ √ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ı¤Û˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ô˘ ÎÈÓÂ›Ù·È ÛÙË ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÚÔÙÚԯȿ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ·ÈÛıËÙ‹Ú· – ·ÓȯÓÂ˘Ù‹ ı¤Û˘ (Laser motion sensor). √ ·ÈÛıËÙ‹Ú·˜ ÂΤÌÂÈ ·ÏÌÔ‡˜ ʈÙfi˜ Ì ηıÔÚÈṲ̂ÓË Û˘¯ÓfiÙËÙ· 6 MHz Î·È ÙÔ˘˜ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ·Ó¿ÎÏ·Û‹ ÙÔ˘˜ ·fi ¤Ó· ÎÈÓÔ‡ÌÂÓÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ. √ Ï‹Ù˘ Â›Ó·È ÌÈ· ʈÙÔ‰›Ô‰Ô˜, Ë ÔÔ›· ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ ÙÔ Û‹Ì· ʈÙfi˜ Û ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfi-
46 ◆ 2 ∫π¡∏™∏
ÌÂÓË Ù¿ÛË Ù˘ ›‰È·˜ Û˘¯ÓfiÙËÙ·˜. ∂Âȉ‹ ÙÔ Êˆ˜ Êı¿ÓÂÈ ÛÙË ÊˆÙÔ‰›Ô‰Ô ÌÂÙ¿ ·fi ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ¢t, ÙÔ Û‹Ì· ¤¯ÂÈ ˘ÔÛÙ› ÌÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ê¿Û˘ Û ۇÁÎÚÈÛË Ì ¤Ó· Û‡Á¯ÚÔÓÔ Û‹Ì· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ηٿ ¢Ê = 2f¢t fiÔ˘ f Â›Ó·È Ë Û˘¯ÓfiÙËÙ· ÙˆÓ ·ÏÌÒÓ ÙÔ˘ laser. ∞˘Ù‹ Ë ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ê¿Û˘ ηٷÌÂÙÚÂ›Ù·È Î·È ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ·fiÛÙ·ÛË Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË s = c∆t = c∆ ϕ 2 4π f
fiÔ˘ c Â›Ó·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ʈÙfi˜. ∏ ηٷÁÚ·Ê‹ Î·È ÂÂÍÂÚÁ·Û›· ÙˆÓ ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ Ù˘ ı¤Û˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ô˘ ÎÈÓÂ›Ù·È ÛÙË ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÚÔÙÚԯȿ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÏÔÁÈÛÌÈÎÔ‡ CASSY® Lab, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÓȯÓ‡ÂÈ ·˘ÙfiÌ·Ù· ÙÔÓ ·ÈÛıËÙ‹Ú· ı¤Û˘ Î·È ÙÔÓ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÁÚ·ÊÈο. √È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÂÈÚ·Ì·ÙÈΤ˜ ·Ú¿ÌÂÙÚÔÈ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ·˘ÙÔÌ¿Ùˆ˜ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÂÓÂÚÁÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ·ÈÛıËÙ‹Ú· ı¤Û˘. ¶∂πƒ∞ª∞∆π∫∏ ¢π∞¢π∫∞™π∞ 1. ∏ ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÚÔÙÚԯȿ (™¯. 2-7) ¤¯ÂÈ Ú˘ıÌÈÛı› Ì ÌÈÎÚ‹ ÎÏ›ÛË, ÒÛÙ ÙÔ ÎÈÓËÙfi Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È ÏfiÁˆ Ù˘ ÎÏ›Û˘ Ù˘. 2. £¤ÛÙ Û ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ÙÔÓ ∏/À. ∆ÚÔÊÔ‰ÔÙ›ÛÙ ÙÔÓ ·ÈÛıËÙ‹Ú· ı¤Û˘ (Laser Motion Sensor) Û˘Ó‰¤ÔÓÙ¿˜ ÙÔÓ ÛÙË ‰È·Û˘Ó‰ÂÙÈ΋ ‰È¿Ù·ÍË (MOBILE – CASSY) ÙÔ˘ ∏/À. ¢È¢ıÂÙ‹ÛÙ ÙÔÓ ·ÈÛıËÙ‹Ú· laser Î·È ÙÔ ÎÈÓËÙfi Ì ÙÔ ÂȉÈÎfi ·Ó·ÎÏ·ÛÙÈÎfi ¯·ÚÙ› ηٿ ÙÚfiÔÓ ÒÛÙÂ Ë ‰¤ÛÌË Ó· ÌËÓ Û˘Ó·ÓÙ¿ ·ÓÂÈı‡ÌËÙ· ÂÌfi‰È·. √ ·ÈÛıËÙ‹Ú·˜ – ·ÓȯÓÂ˘Ù‹˜ ı¤Û˘ (Laser motion sensor S) ÂΤÌÂÈ ÔÚ·Ù‹ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· Ì‹ÎÔ˘˜ ·̷ÙÔ˜ ÂÚ›Ô˘ 650 nm Ì ÈÛ¯‡ ÂÍfi‰Ô˘ 0,2 mW. ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ÈÛ¯‡˜ ÂÍfi‰Ô˘ Â›Ó·È Ôχ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ ‚Ï¿‚˘ ÙÔ˘ Ì·ÙÈÔ‡, ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ·ÛÊ·Ï›·˜ ‰ÂÓ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÎÔÈÙ¿˙ÂÈ Î·Ó›˜ ÙË ‰¤ÛÌË Laser ·Â˘ı›·˜. 3. ∂ÈϤÍÙ ÙÔ ÏÔÁÈÛÌÈÎfi “CASSY Lab” ÛÙËÓ ÔıfiÓË ÙÔ˘ ∏/À. ∂ÓÂÚÁÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔÓ ·ÈÛıËÙ‹Ú· ı¤Û˘ ÂÈϤÁÔÓÙ·˜ ÙÔ ÁÚ·ÊÈÎfi ÙÔ˘ ۇ̂ÔÏÔ ÛÙÔ ·Ó·‰˘fiÌÂÓÔ Ï·›ÛÈÔ ‰È·ÏfiÁÔ˘ “Settings”. 4. £¤ÛÙ Û ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ÙÔ Ê˘ÛËÙ‹Ú· ·¤Ú· Î·È Ú˘ıÌ›ÛÙ ÙË ÚÔ‹ ÙÔ˘ ·¤Ú· Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘
ÂÚÈÛÙÚÂÊfiÌÂÓÔ˘ ‰È·ÎfiÙË (.¯. ̤¯ÚÈ ÙËÓ ¤Ó‰ÂÈÍË 3). ∆ÔÔıÂÙ‹ÛÙ ÙÔ ÎÈÓËÙfi ÛÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ·ÂÚÔÙÚԯȿ˜. ™ÙÔ Ï·›ÛÈÔ ‰È·ÏfiÁÔ˘ “Sensor Input Settings” ÂÈϤÍÙ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ « r 0 R » ÁÈ· ÙÔÓ Î·ıÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·Ú¯‹˜ ̤ÙÚËÛ˘ Ù˘ ı¤Û˘. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÎÏ›ÛÙ ٷ Ï·›ÛÈ· “Settings” Î·È “Sensor Input Settings”. ™ÙÔ Ï·›ÛÈÔ ‰È·ÏfiÁÔ˘ “Measuring Parameters” ηıÔÚ›ÛÙ ˆ˜ ¯ÚfiÓÔ Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛ˘ 3 - 4 s Î·È ÎÏ›ÛÙ ÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ Ï·›ÛÈÔ. 5. °È· Ó· ÍÂÎÈÓ‹ÛÂÙ ÙË Ï‹„Ë ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ Ù˘ ı¤Û˘ x ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t, ÂÈϤÍÙ ÙÔ ÂÈÎÔÓ›‰ÈÔ ¤Ó·Ú͢ – ¤Ú·ÙÔ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ (Start – Stop measurement), Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì’ ¤Ó· ÚÔÏfiÈ ÛÙË ÁÚ·ÌÌ‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ Î·È Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ·ÂÏ¢ıÂÚÒÛÙ ÙÔ ÎÈÓËÙfi. ∏ Ï‹„Ë ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ ı· ·Ú¯›ÛÂÈ ·˘ÙfiÌ·Ù·. 6. ∫·Ù·¯ˆÚ‹ÛÙ Û ›Ó·Î· ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ ı¤Û˘ x ÛÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ¯ÚÔÓÈΤ˜ ÛÙÈÁ̤˜ t. ¶·Ú·ÛÙ‹ÛÙ ÁÚ·ÊÈο ÙË ı¤ÛË x ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t ۯ‰ȿ˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË Î·Ì‡ÏË ·fi Ù· ÂÈÚ·Ì·ÙÈο ÛËÌ›·. 7. ∏ ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Û ¤Ó· ÌÈÎÚfi ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙË ÛÙÈÁÌÈ·›· Ù·¯‡ÙËÙ· ÛÙÔ Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘ ¯ÚÔÓÈÎÔ‡ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÙ ÙȘ Ù·¯‡ÙËÙ˜ ÛÙȘ ¯ÚÔÓÈΤ˜ ÛÙÈÁ̤˜ t1, t2, t3, …, ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ̤Û˜ Ù·¯‡ÙËÙ˜ Á‡Úˆ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜, ˆ˜ ÂÍ‹˜: 1 = x2 – xo , 2 = x3 – x1 , 3 = x4 – x2 , .... t2 – to t3 – t1 t4 – t2
∫·Ù·ÁÚ¿„Ù Û ›Ó·Î· ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ ÙȘ ÙÈ̤˜ ·˘Ù¤˜. ¶·Ú·ÛÙ‹ÛÙ ÁÚ·ÊÈο ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t. ™¯Â‰È¿ÛÙ ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË Â˘ı›· ·fi Ù· ÂÈÚ·Ì·ÙÈο ÛËÌ›·, ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙˆÓ ÂÏ·¯›ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ. ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÙ ÙËÓ ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜. ∆È ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Ë ÎÏ›ÛË ·˘Ù‹; 8. ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÙ ÙȘ ÂÈÙ·¯‡ÓÛÂȘ ÛÙȘ ¯ÚÔÓÈΤ˜ ÛÙÈÁ̤˜ t2, t3, … , ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ̤Û˜ ÂÈÙ·¯‡ÓÛÂȘ Á‡Úˆ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜, ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ: a2 = 3 – 1 , a3 = 4 – 2 , .... t3 – t1 t4 – t2
µÚ›Ù ÙË Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ Î·È Î·Ù·ÁÚ¿„Ù ÙËÓ ·fiÎÏÈÛË Î¿ı ÙÈÌ‹˜ ·fi ÙË Ì¤ÛË ÙÈÌ‹. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‚Ú›Ù ÙÔ ÂÈÚ·Ì·ÙÈÎfi ÛÊ¿ÏÌ· Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘.
∞¡∞™∫√¶∏™∏ ◆ 47
™˘Ì›ÙÂÈ Ë Â˘ÚÂı›۷ ̤ÛË ÙÈÌ‹ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ Ì ÙËÓ ÚÔ·ÙÔ˘Û· ·fi ÙËÓ ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ˘ = f(t); ¶fiÛË Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ % ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜; 9. ∞Ó¿ÁÂÙ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË x = f(t) Û ÁÚ·ÌÌÈ΋, ˘Ôı¤ÙÔÓÙ·˜ Û¯¤ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: x = ktÓ. µÚ›Ù ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ó Î·È k. ¶ˆ˜ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ k Ì ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË a; µÚ›Ù ÙËÓ ÔÛÔÙÈ΋ Û¯¤ÛË Ù˘ ı¤Û˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ ÁÈ· ÙËÓ Î›ÓËÛË ·˘Ù‹. 10. ∂Îı¤ÛÙ ٷ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù¿ Û·˜.
2. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÌÂٷ͇ ̤Û˘ Î·È ÛÙÈÁÌÈ·›·˜ Ù·¯‡ÙËÙ·˜; 3. ¶ÔȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È ÙË ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÎÈÓËÙÔ‡, fiÙ·Ó Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹; ¶ÔÈ· ÌÔÚÊ‹ ¤¯Ô˘Ó Ù· ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ ı¤Û˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ; 4. ¶Ò˜ ηٷÁÚ¿ÊÂÙ·È ÙÔ ÛÙÈÁÌÈfiÙ˘Ô Ù˘ ı¤Û˘ ÙÔ˘ ÎÈÓËÙÔ‡ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ; 5. ¶Ò˜ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Ë ÛÙÈÁÌÈ·›· Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ÎÈÓËÙÔ‡ ·fi Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ Ù˘ ı¤Û˘ Î·È ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘;
∂ƒø∆∏™∂π™ 1. √Ú›ÛÙ ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÎÈÓËÙÔ‡.
∞¡∞™∫√¶∏™∏ 2-1 ¶Ò˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ÛÙÈÁÌÈ·›· Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ ۈ̷-
2-2 ¶Ò˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘; ∆È
Ù›Ô˘; ∆È ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Î·Ù‡ı˘ÓÛ‹ Ù˘ Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ‹˜ Ù˘; ∏ ÛÙÈÁÌÈ·›· Ù·¯‡ÙËÙ·, ‹ ·ÏÒ˜ Ù·¯‡ÙËÙ·, ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ Ì ‰È¿Ó˘ÛÌ· ı¤Û˘ r ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ ı¤Û˘ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ
ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Î·Ù‡ı˘ÓÛ‹ Ù˘ Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ‹˜ Ù˘; ∏ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ¿˜ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ
= dr dt
(2.4)
∏ Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ Ú˘ıÌfi ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ı¤Û˘ ÙÔ˘. ∏ ηÙ‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Â›Ó·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓË Ù˘ ÙÚԯȿ˜ Î·È ÚÔ˜ ÙË ÊÔÚ¿ Ù˘ ΛÓËÛ˘. ∆Ô Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ˆ˜
a =
2 d = dr 2 dt dt
∏ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ Ú˘ıÌfi ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ¿˜ ÙÔ˘. ∆Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ηÙ¢ı‡ÓÂÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ÎÔ›ÏÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÙÚԯȿ˜ ÙÔ˘ ÛˆÌ·Ù›Ô˘. ∆Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·Ûı› ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ, ˆ˜ a = ax i + ay j + az k
= ds dt
x2 + y2 + z2
(2.8)
ÔfiÙ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ›ӷÈ
fiÔ˘ s ÙÔ ‰È·Ó˘fiÌÂÓÔ ‰È¿ÛÙËÌ·. ∆Ô Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·Ûı› ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ˆ˜ =
(2.7)
(2.6)
∏ ÌÔÓ¿‰· Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÛÙÔ ‰ÈÂıÓ¤˜ Û‡ÛÙËÌ· ÌÔÓ¿‰ˆÓ (SI) Â›Ó·È ÙÔ m/s.
a = ax2 + ay2 + az2
(2.9)
ªÔÓ¿‰· ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ÛÙÔ ‰ÈÂıÓ¤˜ Û‡ÛÙËÌ· ÌÔÓ¿‰ˆÓ Â›Ó·È ÙÔ m/s2. 2-3 ¶Ò˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓȷ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Ë ÁˆÓÈ·-
΋ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘; ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÙÔ˘˜;
48 ◆ 2 ∫π¡∏™∏
∏ ÁˆÓȷ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘ Ô˘ ÎÈÓÂ›Ù·È Û ΢ÎÏÈ΋ ÙÚԯȿ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ¯ÚÔÓÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ı¤Û˘ ı:
2
a = ω r=
2 r
fiÔ˘ r Ë ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ΢ÎÏÈ΋˜ ÙÚԯȿ˜. ω = dθ dt
ÂÓÒ Ë ÁˆÓȷ΋ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ¯ÚÔÓÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ ÁˆÓȷ΋˜ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ˆ: a = dω dt
∏ ÌÔÓ¿‰· Ù˘ ÁˆÓȷ΋˜ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Â›Ó·È ÙÔ rad/s, ÂÓÒ Ù˘ ÁˆÓȷ΋˜ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ÙÔ rad/s2.
2-5 ŒÓ· ۈ̿ÙÈÔ ÎÈÓÂ›Ù·È Û ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË. ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ ı¤Û˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Â͛ۈÛË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙË ı¤ÛË; ∞Ó ˘o Â›Ó·È Ë ·Ú¯È΋ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È xo Â›Ó·È Ë ·Ú¯È΋ ı¤ÛË, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ Î·È Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Ì ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ˘ = ˘o + at
2-4 °È· ÙËÓ ÔÌ·Ï‹ ΢ÎÏÈ΋ ΛÓËÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘
ÔÈ· Â›Ó·È Ë Î·Ù‡ı˘ÓÛË Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ‹˜ ÙÔ˘; ∏ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÂÓfi˜ ÛˆÌ·Ù›Ô˘, Ô˘ ÂÎÙÂÏ› ÔÌ·Ï‹ ΢ÎÏÈ΋ ΛÓËÛË, ηÙ¢ı‡ÓÂÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ΢ÎÏÈ΋˜ ÙÚԯȿ˜ (ÎÂÓÙÚÔÌfiÏÔ˜ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË). ∆Ô Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË:
x = xÔ + Ôt + 1 at 2
(2.18) 2
(2.19)
∞·Ï›ÊÔÓÙ·˜ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ ÛÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÚÔ·ÙÂÈ: ˘2 = ˘o2 + 2a(x – xo)
(2.20)
¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 20t 2 – 4t + 5
2-1 ∏ ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÎÈÓËÙÔ‡ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x = 2t, y = -2t2+1, z = t2-t. ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÙÂ: (·) ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ (‰È¿Ó˘ÛÌ· Î·È Ì¤ÙÚÔ), (‚) ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ‹ ÙÔ˘ a ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ (‰È¿Ó˘ÛÌ· Î·È Ì¤ÙÚÔ).
‚) ∏ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÙÔ˘ ÎÈÓËÙÔ‡ ›ӷÈ
§‡ÛË ·) √È Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ÎÈÓËÙÔ‡ ›ӷÈ:
∆Ô Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ‹˜ ÙÔ˘ ›ӷÈ
x = dx = d(2t) = 2 dt dt
2 z = dz = d(t – t) = 2t – 1 dt dt
∆Ô ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È ˘ = 2 i – 4t j + (2t – 1) k ∆Ô Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ¿˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È =
2
2 + (–4t) + (2t – 1)
a = d = d 2i – 4tj + (2t – 1)k = –4j + 2k dt dt
a =
2 y = dy = d(–2t + 1) = –4t dt dt
2
=
2
(–4)2 + 22 = 20
2-2 ŒÓ· ÎÈÓËÙfi ÎÈÓÂ›Ù·È Û ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹. ∏ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ‹ ÙÔ˘ a Î·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË a = k , fiÔ˘ k ÌÈ· ıÂÙÈ΋ ÛÙ·ıÂÚ¿. ¡· ÂÎÊÚ·ÛÙÔ‡Ó Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Ù·: ˘, a Î·È x, fiÔ˘ x Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ ÎÈÓËÙÔ‡. °È· t = 0 ›ӷÈ: ˘o = 0 Î·È xo = 0. §‡ÛË ∞fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ¤¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο a = d dt