Relly Victoria PETRESCU, Florian Ion PETRESCU, Ovidiu ANTONESCU

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

1

DINAMICA MECANISMELOR CU CAME PENTRU MODULUL B (CU TACHET TRANSLANT CU ROLĂ) Relly Victoria PETRESCU, Florian Ion PETRESCU, Ovidiu ANTONESCU Abstract: The paper presents shortly an original method in determining the dynamic of the mechanisms with rotation cam and translated follower with roll. First, one presents the dynamics kinematics. Then one makes the dynamic analyze of few models, for some mouvement laws, imposed at the follower, by the sinthetized cam profile.

1 Introducere Lucrarea propune un model dinamic original exemplificat pentru cama rotativă cu tachet translant cu rolă. Se prezintă cinematica dinamică (de precizie, originală); în ultima parte a lucrării se analizează dinamic câteva legi de mişcare impuse tachetului prin profilul sintetizat al camei.

2 Dinamica mecanismului de distribuţie cu tachet translant cu rolă 2.1 Prezentare generală Mecanismele cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă (Modul B), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care ne obligă la un studiu mai amănunţit dacă dorim să determinăm cu precizie cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod normal acest tip de mecanism se studiază aproximativ, considerându-se, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, suficient, un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta (vezi fig. 1) prezintă însă o mare deficienţă datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt ce conduce la un studiu dinamic inadecvat. Un studiu precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre camă şi rola tachetului). Punctul A este definit de vectorul rA având lungimea (modulul) rA şi unghiul de poziţie A.

2

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

Fu, v2

Fn, vn 

Fn, vn

Fi, vi

B

Fm, vm

rb s

 A-

A

Fa, va rB rA

B0 rb n

s0

A0

x

B





A 

0 A e

C

O

r0

Fig. 1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă La fel se defineşte poziţia punctului B (centrul rolei), prin vectorul rB , care se poziţionează la rândul său prin, unghiul B şi are lungimea rB. Între cei doi vectori prezentaţi ( rA sirB ) se formează un unghi .

Unghiul 0 defineşte poziţia, de bază, a vectorului rB 0 , în triunghiul dreptunghic OCB0, astfel încât putem scrie relaţiile (1-4): (1) rB0  r0  rb s 0  rB20  e 2

(2)

cos  0 

e rB0

(3)

sin  0 

s0 rB0

(4)

Unghiul de presiune , care apare între normala n dusă prin punctul de contact A şi o verticală, are mărimea cunoscută dată de relaţiile (5-7): s0  s cos   (5) ( s 0  s) 2  ( s'e) 2

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

sin  

s'e ( s 0  s) 2  ( s'e) 2

s'e s0  s Vectorul rA se poate determina direct cu relaţiile (8-9): rA2  (e  rb  sin  ) 2  (s0  s  rb  cos  ) 2 tg 

rA  (e  rb  sin  ) 2  (s 0  s  rb  cos  ) 2 Putem determina direct şi unghiul A (10-11): e  rb  sin  cos  A  rA s  s  rb  cos  sin  A  0 rA

3

(6) (7)

(8) (9) (10) (11)

2.2. Trasare profil Se poate acum trasa direct profilul camei cu ajutorul coordonatelor polare rA (cunoscută, vezi relaţia 9) şi A (care se determină cu relaţiile 12-17): (12)    A  0 (13) cos   cos  A  cos  0  sin  A  sin  0 (14) sin   sin  A  cos  0  cos  A  sin  0 (15) A   (16) cos  A  cos   cos   sin   sin  (17) sin  A  sin   cos   sin   cos  2.3. Cinematica exactă la modulul B Se determină în continuare câteva relaţii de calcul, necesare obţinerii cinematicii precise pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă.

Din triunghiul OCB (fig. 1) se determină lungimea rB (OB) şi unghiurile complementare B şi  (unde unghiul B este unghiul COB, iar unghiul complementar  este de fapt unghiul CBO; aceste două unghiuri intuitive nu au mai fost trecute pe desenul din fig. 1. pentru a nu o încărca prea mult): (18) rB2  e 2  (s 0  s) 2

4

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

rB  rB2

(19)

e (20) rB s s (21) sin  B  cos   0 rB Din triunghiul oarecare OAB, la care se cunosc laturile OB şi AB şi unghiul dintre ele B (unghiul ABO), care reprezintă suma unghiurilor  şi , putem determina lungimea OA şi unghiul  (unghiul AOB): (22) cos(   )  cos   cos   sin   sin  2 2 2 (23) rA  rB  rb  2  rb  rB  cos(   ) cos  B  sin  

rA2  rB2  rb2 (24) cos   2  rA  rB (25) sin(   )  sin   cos   sin   cos  r (26) sin   b  sin(   ) rA Cu B şi  putem acum să determinăm A: (27) A B   Relaţia (27) o derivăm în raport cu timpul şi obţinem  A : (28)  A   B   Se derivează expresia (20) şi se obţine  B (32): e  r (29)  sin  B   B   2 B rB e  rB  rB (30)  B  ( s 0  s)  rB2 Pentru a afla rB se derivează expresia (18): 2  rB  rB  2  ( s 0  s)  s (31) rB  rB  ( s 0  s)  s Acum  B se scrie sub forma (32): e  ( s 0  s)  s e  s (32)  B   2 ( s 0  s)  rB2 rB Expresia lui  este ceva mai dificilă, pentru obţinerea ei derivăm în raport cu timpul relaţia (24) şi obţinem expresia (33): 2  rA  rB  cos   2  rA  rB  cos   2  rA  rB  sin     (33) 2  rA  rA  2  rB  rB

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

5

Din (33) se explicitează  (38), care se poate determina dacă obţinem mai întâi rA prin derivarea expresiei (23): 2  rA  rA  2  rB  rB  2  rb  rB  cos(   ) (34)  2  r  r  sin(   )  (  ) b

B

Pentru rezolvarea expresiei (34) sunt necesare derivatele  şi  .

Se derivează (7) şi se obţine (35 şi 36): s' '( s 0  e)  s'( s'e) (35) ' ( s 0  s) 2  ( s'e) 2 (36)    ' Se observă faptul că  este complementarul lui B, astfel încât vitezele lor (derivatele lor în raport cu timpul) sunt egale dar de semne contrare, astfel încât există relaţia: e  s (37)    B   2 rB Acum putem calcula  : r  r  cos   rA  rB  cos   rA  rA  rB  rB (38)   A B rA  rB  sin  Se poate determina acum  A (28) şi  A (39): (39) A         A În continuare reexprimăm funcţiile trigonometrice de bază (sin şi cos) de unghiul A în alt mod decât prin relaţiile (10-11), pe baza calculelor anterioare:

cos  A  sin  A 

e  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2  rb  ( s'e) rA  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2 ( s 0  s)  [ ( s 0  s) 2  ( s'e) 2  rb ] rA  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2

Putem să obţinem acum expresia cos(A-): ( s 0  s)  s' s' cos( A   )    cos  2 2 rA rA  ( s 0  s)  ( s'e)

(40)

(41)

(42)

Produsul cos(A-).cos se exprimă acum sub forma simplificată (43): s' (43) cos( A   )  cos    cos 2  rA Putem scrie următoarele forţe şi viteze: La intrare avem Fm şi vm perpendiculare pe vectorul rA. Ele se descompun în Fa (respectiv va), forţa şi viteza de alunecare dintre profile, şi în

6

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

Fn (respectiv vn) forţa şi viteza normale la profil, care trec prin punctul B şi se descompun la rândul lor în două componente; forţa Fi (respectiv viteza vi), forţa şi viteza de încovoiere a tachetului (produc vibraţii, oscilaţii laterale) şi forţa Fu (respectiv viteza v2), adică forţa utilă care deplasează tachetul efectiv şi viteza sa de deplasare v2. În plus forţa Fa dă naştere la un moment Fa.rb care face ca rola să se rotească.

Scriem următoarele relaţii de forţe şi viteze: v a  v m  sin( A   ) (44) Fa  Fm  sin( A   ) v n  v m  cos( A   ) (45) Fn  Fm  cos( A   ) vi  v n  sin  (46) Fi  Fn  sin  v 2  v n  cos   v m  cos( A   )  cos  (47) Fu  Fn  cos   Fm  cos( A   )  cos  2.4. Determinarea randamentului la modulul B Se determină în continuare randamentul mecanic exact al mecanismului.

Puterea utilă se scrie: (48) Pu  Fu  v2  Fm  vm  cos 2 ( A   )  cos 2  Puterea consumată este: (49) Pc  Fm  v m Se determină randamentul instantaneu: P F  v  cos 2 ( A   )  cos 2  i  u  m m  Pc Fm  v m  cos 2 ( A   )  cos 2   [cos( A   )  cos  ] 2  [

(50)

2

s' s'  cos 2  ] 2  2  cos 4  rA rA

2.5. Determinarea funcţiei de transmitere, D, la modulul B Se determină în continuare funcţia de transmitere a mişcării la modulul B, adică funcţia notată cu D: Se reia viteza tachetului din expresia (47) şi se scrie sub forma (51):

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

v 2  v n  cos   v m  cos( A   )  cos   v m 

7

s'  cos 2   rA

(51) s ' 2 2 I 2  rA  A   cos   A  s' cos    A    s' cos  rA Pe de altă parte se cunoaşte pentru viteza tachetului expresia (52): (52) v2  s'D   Din egalarea celor două relaţii (51 şi 52) se identifică expresia lui D, extrem de complexă (53) (pentru derivatele lui D, volumul de lucru este mare): (53) D   AI  cos 2  2 Expresia lui cos  se cunoaşte (54): ( s 0  s) 2 2 (54) cos   ( s 0  s) 2  ( s'e) 2 Expresia lui ’A este ceva mai dificilă având forma din relaţia (55):

 AI  [(s 0  s) 2  e 2  e  s'rb  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2 ]  {[(s 0  s) 2  ( s'e) 2 ]  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2  rb  [ s' '( s 0  s)  s'( s'e)  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2 ]} /[( s 0  s) 2  ( s'e) 2 ] / {[(s 0  s) 2  e 2  rb2 ]  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2  2  rb  [( s 0  s) 2  e 2  e  s' ]} (55) Se dau în continuare şi expresiile lui  (56-57):

cos  

[(s 0  s) 2  e 2 ]  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2  rb  [(s 0  s) 2  e 2  e  s' ] rA  rB  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2 (56) sin  

rb  ( s 0  s)  s' rA  rB  ( s 0  s) 2  ( s'e) 2

(57)

2.6. Dinamica pentru modulul B Se utilizează pentru dinamica modulului B relaţiile (58-60): K2 [  m S*  mT* ]   2 2 2 (K  k ) k  2kK 2 2kx0 s  s  y' 2 2 K  k K  k (K  k ) X   kx0 2  [s  ] K k

(58)

8

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

K2  m S*  mT* ]   2 2 2 (K  k ) k  2kK 2 2kx0 s  s  ( D  s' ) 2 2 K k K k (K  k ) (59) X   kx0 2  [s  ] K k Cunoscându-l pe X îl putem determina imediat pe X cu relaţia (60): (60) X  s  X [

2.7. Analiza dinamică la modulul B În continuare se prezintă analiza dinamică a modulului B, pentru câteva legi de mişcare cunoscute.

Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 2), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet, h=6 [mm]. Unghiul de fază este, u=c=65 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=13 [mm].

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

8000

amax =6400

6000

s max =5.81

x0=20 [mm]

4000

hs =6 [mm] hT=6 [mm] i=1;=11.5%

2000 0 0

50

-2000 -4000

n=5500[rot/min] u=65 [grad] k=30 [N/mm] r0=13 [mm]

100

rb=13 [mm] e=6 [mm] 150 legea: sin-0 y=x-sin(2x)/(2)

amin= -3000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 880.53

Fig. 2. Analiza dinamică la modulul B. Legea SIN, n=5500 [rot/min] u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=13 [mm], hT=6 [mm].

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=6 [mm].

Randamentul are o valoare ridicată, =11.5%; reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=20 [mm].

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

9

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

yC [mm]

20  u= 65[grad]

15

 c= 65[grad]

10

r0= 13[mm]

5

rb = 13[mm] e= 6[mm] hT = 6[mm] 20 Legea SIN

0 -20

-10

-5

0

10 

-10 -15

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

Fig. 3. Profilul SIN la modulul B. n=5500 [rot/min] u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=13 [mm], hT=6 [mm].

Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 65 grade atingem aceleaşi vârfuri de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade. În figura 3 se poate urmări profilul aferent, trasat invers decât cele de la modulul C, adică cu profilul de ridicare în partea stângă şi cu cel de revenire în dreapta, (deoarece sensul de rotaţie a camei a fost şi el inversat, din orar în trigonometric).

Pentru legea cos (aşa cum ne-am obişnuit deja) vibraţiile sunt mai liniştite comparativ cu legea sin, la fel ca la modulul dinamic clasic, C (a se vedea diagrama dinamică din figura 4).

5000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã amax =4300

4000

s max =5.74

n=5500[rot/min] u=65 [grad] k=30 [N/mm] r0=13 [mm]

3000

x0=30 [mm]

2000

hs =6 [mm]

1000

hT=6 [mm] i=1;=10.5%

0 -1000 0

rb=6 [mm]

50

-2000 -3000

100

150e=0 [mm]

legea: cos-0 y=.5-.5cos(x)

amin= -2000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 601.01

Fig. 4. Analiza dinamică la modulul B. Legea COS, n=5500 [rot/min], u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=6 [mm], hT=6 [mm].

10

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

Turaţia aleasă este de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=6 [mm].

Unghiul de fază este, u=c=65 [grad]; Raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=6 [mm].

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm].

Un studiu dinamic arată că ce se câştigă la randament în una din faze (urcare sau coborâre) datorită excentricităţii, e, se pierde în faza cealaltă, astfel încât, e, poate regla o fază şi în acelaşi timp o dereglează pe cealaltă.

Iată un motiv serios ca valoarea adoptată a lui e să fie zero.

Randamentul mecanismului are o valoare ridicată (mai mare decât cea de la modulul clasic, C), =10.5%, dar mai redusă cu un procent comparativ cu legea sin.

Reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=30 [mm].

Profilul COS (pentru modulul dinamic B), corespunzător diagramei dinamice din figura 4, este trasat în figura 5. Profilul de ridicare, sau de urcare, sau de atac, este cel din stânga, iar cel de revenire (sau coborâre), este situat în dreapta. Ca o primă observaţie aceste profiluri sunt mai rotunjite şi mai pline, comparativ cu cele de la modulul clasic, C.

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

yC [mm]

20  u= 65[grad]

15

 c= 65[grad]

10

r0= 13[mm] rb = 6[mm] e= 0[mm] hT = 6[mm] 20 Legea COS

5 0 -20

-10

-5 -10 -15

0

10 

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

Fig. 5. Profilul COS la modulul B. n=5500 [rot/min] u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=6 [mm], hT=6 [mm].

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

14000

n=5500[rot/min] u=80 [grad] k=50 [N/mm] r0=13 [mm]

amax =13000

12000 s max =5.37

10000

x0=50 [mm]

8000

hs=6 [mm]

6000

hT=6 [mm] i=1;=8.6%

4000

rb=6 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-0

2000

y=2x-x2

0 -2000 0

[mm].

11

50

100

amin= -600

150

200

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1896.75

Fig. 6. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-0, n=5500 [rot/min], u=80 [grad], r0=13 [mm], rb=6 [mm], hT=6

În figura 6 se analizează dinamic legea C4P, sintetizată de autori, pornind de la o turaţie n=5500 [rot/min].

Vârfurile negative ale acceleraţiilor sunt foarte reduse (funcţionare normală, cu zgomote şi vibraţii scăzute). Ridicarea efectivă (dinamică) a supapei este suficient de mare, smax=5.37 [mm], comparativ cu h impus de 6 [mm]. Randamentul se păstrează în limite normale, =8.6%. În figura 7. se prezintă profilul corespunzător.

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

yC [mm]

25 u= 80[grad]

20

c = 80[grad]

15

r0= 13[mm] rb = 6[mm] e= 0[mm] hT= 6[mm] Legea C4P1-0

10 5 0 -20

-10

-5 -10

0

10

20



-15 -20

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

Fig. 7. Profilul C4P la modulul B. În diagrama din figura 8 turaţia creşte până la 40000 [rot/min], în vreme ce randamentul creşte şi el, în detrimentul lui smax care abia mai atinge valoarea de 3.88 [mm].

12

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

120000 100000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=40000[rot/min] translant cu rolã u=80 [grad] k=400 [N/mm] r0=13 [mm] s max =3.88

amax =94000

80000

x0=150 [mm]

60000

hs =10 [mm]

40000

hT=10 [mm] i=1;=14.4%

20000 0 -20000 0 -40000

rb=6 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-5

50

100 amin= -33000

150

200 y=2x-x2 a[m/s2] s*k[mm] k= 19371.43

Fig. 8. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-5, n=40000 [rot/min].

3. Concluzii Se poate vorbi în mod evident de un avantaj al tachetului cu rolă, sau bilă, (Modul B), faţă de tachetul clasic cu talpă, (Modul C).

Se pot obţine aşadar turaţii ridicate, dar şi randamente superioare, cu ajutorul modulului B. Bibliografie 1- Petrescu F.I., Petrescu R.V., Contributions at the dynamics of cams. In the Ninth IFToMM International Sympozium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 123-128.

Relly Victoria PETRESCU Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul GDGI Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042 petrescuvictoria@yahoo.com Florian Ion PETRESCU Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul TMR Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042 petrescuflorian@yahoo.com Ovidiu ANTONESCU Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul TMR Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042 oval33@hotmail.com