The third National Seminar of Mechanisms, Craiova, 2008
319
SINTEZA DINAMICĂ LA ANGRENAJELE CU ROŢI DINŢATE CU AXE PARALELE Florian Ion PETRESCU, Barbu GRECU, Adriana COMĂNESCU, Relly Victoria PETRESCU Abstract: In this paper one presents shortly an original method to obtain the efficiency of the geared transmissions in function of cover grade of the gearing. With the presented relations one can make the dynamic synthesis of geared transmissions, having in view increasing the efficiency of gearing mechanism in works.
1 Introducere În această lucrare se prezintă pe scurt o metodă originală de determinare a randamentului mecanismelor cu roţi dinţate cu axe paralele. Pe baza relaţiilor de calcul prezentate se poate face sinteza dinamică a angrenajelor, astfel încât să rezulte mecanisme cu randamente mari în funcţionare. Originalitatea metodei constă în modul de determinare a randamentului (la care nu se mai ţine cont de coeficientul de frecare din cuplă, acesta fiind considerat doar un efect suplimentar şi nu cauza principală care produce randamentul mecanic efectiv [1-3]). 2 Determinarea randamentului angrenajelor în funcţie de gradul de acoperire Se calculează randamentul unui angrenaj cu roţi dinţate cu axe fixe, ţinând cont de faptul că la un moment dat există mai multe perechi de dinţi în angrenare, şi nu doar una singură. Se pleacă de la ideea existenţei a patru perechi de dinţi în angrenare (simultan). Prima pereche de dinţi (mergând pe linia de angrenare de la dreapta spre stânga aşa cum intră ei în angrenare), are punctul de angrenare i, definit de raza vectoare ri1 şi de unghiul de (presiune) poziţie i1; forţele ce se manifestă în acest punct sunt forţa motoare Fmi, perpendiculară în punctul i pe vectorul de poziţie ri1 şi forţa ce se transmite de la roata 1 la roata doi prin punctul i, Fi, paralelă cu linia de angrenare şi îndreptată de la roata 1 către roata 2, forţa de
320
The third National Seminar of Mechanisms, Craiova, 2008
transmitere fiind practic proiecţia forţei motoare pe axa (linia) de angrenare; vitezele definite sunt similare cu forţele (fiind vorba de cinematica originală, de precizie); aceiaşi parametri se vor defini şi pentru celelalte trei puncte de angrenare, j, k, l (a se urmări desenul din figura 1). Se scriu pentru început relaţiile între viteze (1): vi vmi cos i ri 1 cos i rb1 1
vj vmj cos j rj 1 cos j rb1 1
(1)
vk vmk cos k rk 1 cos k rb1 1
vl vml cos l rl 1 cos l rb1 1 Din relaţiile (1) se obţine egalitatea vitezelor tangenţiale (2), şi se explicitează vitezele motoare (3): (2) vi vj vk vl rb1 1
O2 Fl, vl rb2 Fml, vml
Fi, vi
K2 l k rk1
Fmi, vmi
j
rl1
i
A
ri1j i
rj1
K1
rb1 O1
Fig. 1. Determinarea randamentului unui angrenaj cu roţi dinţate cu axe fixe (patru perechi de dinţi în angrenare simultan) rb1 1 r r r ; vmj b1 1 ; vmk b1 1 ; vml b1 1 (3) cos i cos j cos k cos l Forţele transmise simultan în cele patru puncte trebuie să fie egale între vmi
ele (4):
The third National Seminar of Mechanisms, Craiova, 2008
Fi Fj Fk Fl F
Forţele motoare se deduc (5): F F F F Fmi ; Fmj ; Fmk ; Fml cos i cos j cos k cos l
321
(4)
(5)
Randamentul instantaneu se scrie sub forma (6): Fi vi Fj vj Fk vk Fl vl P P i u Pc Pm Fmi vmi Fmj vmj Fmk vmk Fml vml
4 F rb1 1 F rb1 1 F rb1 1 F rb1 1 F rb1 1 cos 2 i cos 2 j cos 2 k cos 2 l 4 1 1 1 1 2 2 2 cos i cos j cos k cos 2 l
(6)
4
4 tg i tg j tg 2 k tg 2 l Relaţiile ajutătoare sunt (7) şi (8): K 1i rb1 tg i ; K 1 j rb1 tg j ; 2
2
K 1 k rb1 tg k ; K 1l rb1 tg l K 1 j K 1i rb1 (tg j tg i ); K 1 j K 1i rb1
2 2 tg j tg i z1 z1
K 1 k K 1i rb1 (tg k tg i ); K 1 k K 1i rb1 2
(7)
2 2 tg k tg i 2 z1 z1
K 1l K 1i rb1 (tg l tg i ); K 1l K 1i rb1 3
tg j tg i
2 2 tg l tg i 3 z1 z1
2 2 2 ; tg k tg i 2 ; tg l tg i 3 z1 z1 z1
(8)
S-au reţinut relaţiile (8) unde semnul plus este pentru angrenajele la care roata 1 conducătoare are dantură exterioară (angrenare exterioară sau interioară), iar
322
The third National Seminar of Mechanisms, Craiova, 2008
semnul minus se utilizează atunci când roata 1 conducătoare are dantură interioară, adică atunci când roata 1 conducătoare este un inel (numai la angrenarea interioară). Randamentul instantaneu din expresia (6) utilizează relaţiile (8) şi ia forma (9). Se porneşte în relaţia (9) cu expresia randamentului (6) pentru 4 perechi de dinţi în angrenare, dar imediat (chiar în cadrul relaţiei) se face o generalizare înlocuindu-se cifra 4 (patru perechi de dinţi în angrenare) cu variabila E, care reprezintă partea întreagă a gradului de acoperire +1, iar după ce expresiile scrise sub forma unor sume se restrâng, se înlocuieşte variabila E cu gradul de acoperire, ajungându-se astfel la forma finală. Randamentul mediu este mai interesant decât cel instantaneu şi se calculează (exact, prin integrarea celui instantaneu de la unghiul de presiune minim până la cel maxim), simplu prin aproximarea care determină randamentul mediu prin înlocuirea în expresia randamentului instantaneu a unghiului de presiune variabil (α1) cu valoarea sa medie dată de unghiul de presiune normal (standardizat, α0), (10):
i
4 4 tg i tg j tg 2 k tg 2 l 2
2
4 2 2 2 4 tg 2 i (tg i ) 2 (tg i 2 ) 2 (tg i 3 ) 2 z1 z1 z1 4 4 2 4 4 tg i 2 (02 12 22 32 ) 2 tg i (0 1 2 3) z1 z1 2
2
1 E 4 2 2 1 tg i ( i 1 ) 2 tg (i 1) i E z12 i 1 E z1 i 1 2
E
2
1 4 E ( E 1) (2 E 1) 4 tg 1 E ( E 1) 2 1 tg 1 E z12 6 E z1 2
1 2 ( E 1) (2 E 1) 2 tg 1 ( E 1) 2 1 tg 1 3 z12 z1
2
2
1
1 tg 21
2 2 tg 1 (12 1) (2 12 1) ( 12 1) 2 3 z1 z1 2
(9)
The third National Seminar of Mechanisms, Craiova, 2008
m
323
1 2 2 tg 0 1 tg 0 (12 1) (2 12 1) (12 1) 2 3 z1 z1 2
(10)
2
Unde 12 reprezintă gradul de acoperire şi se calculează cu expresia (11) pentru angrenarea exterioară şi cu relaţia (12) pentru angrenarea interioară:
a .e . 12
z12 sin 2 0 4 z1 4 z 22 sin 2 0 4 z 2 4 ( z1 z 2 ) sin 0
2 cos 0
(11)
12a.i.
z e2 sin 2 0 4 z e 4 z i2 sin 2 0 4 z i 4 ( z i z e ) sin 0 2 cos 0
(12) Calculele efectuate se centralizează în tabelul 1. Tabelul 1 Determinarea randamentului angrenajelor cu axe paralele z1
0
z2
12a.e.
[grad]
12ae
ae 21
12a.i.
12ai
ai 21
42
20
126
1.79
0.84
0.87
1.92
0.83
0.89
46
19
138
1.87
0.85
0.88
2.00
0.85
0.90
52
18
156
1.96
0.86
0.89
2.09
0.86
0.91
58
17
174
2.06
0.88
0.90
2.20
0.87
0.92
65
16
195
2.17
0.89
0.91
2.32
0.88
0.93
74
15
222
2.30
0.90
0.92
2.46
0.89
0.94
85
14
255
2.44
0.91
0.93
2.62
0.91
0.94
98
13
294
2.62
0.92
0.94
2.81
0.92
0.95
115
12
345
2.82
0.93
0.94
3.02
0.93
0.96
137
11
411
3.06
0.94
0.95
3.28
0.94
0.96
165
10
495
3.35
0.95
0.96
3.59
0.95
0.97
204
9
510
3.68
0.96
0.97
4.02
0.95
0.98
257
8
514
4.09
0.96
0.97
4.57
0.96
0.98
336
7
672
4.66
0.97
0.98
5.21
0.97
0.98
457
6
914
5.42
0.98
0.98
6.06
0.98
0.99
657
5
1314
6.49
0.98
0.98
7.26
0.98
0.99
324
The third National Seminar of Mechanisms, Craiova, 2008
3 Concluzii Randamentul cel mai ridicat care se poate obţine cu două roţi dinţate este cel al angrenării interioare, cu roata cu dantură interioară conducătoare (roata inel devine conducătoare, iar roata mai mică cu dantură exterioară va fi condusă); Invers, când formăm o angrenare interioară cu roata mică (cu dantură exterioară) conducătoare, randamentul rezultat este cel mai mic posibil; Atunci când angrenarea este exterioară, randamentul este mai ridicat pentru roata mare conducătoare; Cu cât unghiul normal de angrenare, 0, scade, creşte gradul de acoperire, şi odată cu el şi randamentul angrenării; când unghiul normal de angrenare, scade la valoarea de 5 grade, gradul de acoperire ajunge la valorile 6.5-7.3, iar randamentul ia valori teoretice de 99-99.5%, adică practic angrenajul va lucra cu randamente de 100%. Randamentul creşte şi odată cu numărul de dinţi al roţii conducătoare. Bibliografie 1- PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I., POPESCU N., „Determining Gear Efficiency”, In Gear Solutions magazine, March 2007, USA, p. 19-28; 2- PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I., POPESCU N., „Save Energy And Diminish The Pollutions By Increasing The Efficiency Of Gears”, În Conferinţa Naţională “MEDIU-06”, Craiova, Romania, 2006; 3- PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I., POPESCU N., „The efficiency of gears”, In the Second International Conference “Mechanics and Machine Elements”, Technical University of Sofia, November 4-6, 2005, Sofia, Bulgaria, Vol. II, p. 244249. Florian Ion PETRESCU Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul TMR Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042 petrescuflorian@yahoo.com Barbu GRECU Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul TMR Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042 bgrecu2000@yahoo.com Adriana COMĂNESCU Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul TMR Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042 adrianacomanescu@yahoo.com Relly Victoria PETRESCU Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul GDGI Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042 petrescuvictoria@yahoo.com