Números Naturais

+

Números Naturais

Matemática 2º ciclo

Isabel Carvalho Ano Letivo 2013/2014

NÚMEROS NATURAIS

Números primos e números compostos Número Primo - é um número natural que tem exatamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele próprio.

Ex: 3, 7, 11, 13 …

Número Composto – é um número natural maior do que 1, que possui mais de dois divisores.

Ex: 4, 20, 21, 50 …

Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.)

O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o número mais pequeno que é simultaneamente múltiplo desses números.

Podemos calcular o m.m.c. de duas formas diferentes: Decompondo os números em fatores primos ou fazendo os múltiplos de cada um dos números até encontrar o primeiro múltiplo comum. m.m.c. (10, 12, 15) = ?

!

2!

�10 = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,70, ‌ } �12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ‌ } �15 = {0, 15, 30, 45, 60, 75, ‌ } O primeiro múltiplo comum a (10, 12 e 15) Ê 60.

Pela decomposição em fatores primos escolhemos os fatores comuns e não comuns de maior expoente. m.m.c. (10, 12, 15) = 60

CritĂŠrios de divisibilidade CritĂŠrio de divisibilidade por 2 Um nĂşmero ĂŠ divisĂ­vel por 2 quando ĂŠ par, ou seja quando o seu algarismo das unidades ĂŠ 0, 2, 4, 6 ou 8.

CritĂŠrio de divisibilidade por 3 Um nĂşmero ĂŠ divisĂ­vel por 3 quando a soma dos seus algarismos ĂŠ um nĂşmero mĂşltiplo de 3.

CritĂŠrio de divisibilidade por 4 Um nĂşmero ĂŠ divisĂ­vel por 4 quando o nĂşmero formado pelos seus dois Ăşltimos algarismos for divisĂ­vel por 4.

CritĂŠrio de divisibilidade por 5 Um nĂşmero ĂŠ divisĂ­vel por 5 quando o seu algarismo das unidades ĂŠ 0 ou 5.

!

3!

CritĂŠrio de divisibilidade por 9 Um nĂşmero ĂŠ divisĂ­vel por 9 quando a soma dos seus algarismos ĂŠ um nĂşmero mĂşltiplo de 9.

CritĂŠrio de divisibilidade por 10 Um nĂşmero ĂŠ divisĂ­vel por 10 quando o seu algarismo das unidades ĂŠ 0.

Repara que‌ todo o número divisível por 10, Ê divisível por 2 e por 5; todo o número divisível por 4, Ê divisível por 2; todo o número divisível por 9, Ê divisível por 3.

PotĂŞncias de base e expoente naturais Uma potĂŞncia ĂŠ um produto de fatores iguais.

3

5 =5Ă—5Ă—5 LĂŞ-se: "cinco ao cubo" PotĂŞncia de expoente 1 đ?’‚đ?&#x;?

= đ?’‚, para qualquer nĂşmero natural a.

Convenção đ?’‚đ?&#x;Ž

!

= đ?&#x;?, para qualquer nĂşmero natural a.

4!

PotĂŞncias de base 10.

Para representar uma potĂŞncia de base 10, escreve-se o nĂşmero 1 seguido de tantos zeros quantas as unidades do expoente.

Podemos escrever qualquer nĂşmero como um produto de um nĂşmero entre 1 e 10 por uma potĂŞncia de base 10.

50 000 000 = đ?&#x;“ Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;• 5

780 000 = đ?&#x;•, đ?&#x;– Ă— 10

Um nĂşmero inteiro multiplicado por uma potĂŞncia de base 10 indica que iremos aumentar o nĂşmero de zeros Ă direita quantos indicar o expoente. đ?&#x;“đ?&#x;• Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;‘= 57000 Um nĂşmero decimal multiplicado por uma potĂŞncia de base 10 indica que iremos deslocar a vĂ­rgula para a direita tantas casas quantas indicar o expoente. đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;– Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;? = 2356,8

Multiplicação e divisĂŁo de potĂŞncias Multiplicação - Bases iguais e expoentes diferentes – dĂĄ-se a mesma base e somam-se os expoentes. đ?&#x;“đ?&#x;‘ Ă— đ?&#x;“đ?&#x;’

!

= đ?&#x;“đ?&#x;‘+đ?&#x;’ = đ?&#x;“đ?&#x;•

5!

- Bases diferentes e expoentes iguais – dĂĄ-se o mesmo expoente e multiplicam-se as bases. đ?&#x;“đ?&#x;” Ă— đ?&#x;‘đ?&#x;”

= (đ?&#x;“ Ă— đ?&#x;‘)đ?&#x;” = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;”

DivisĂŁo - Bases iguais e expoentes diferentes – dĂĄ-se a mesma base e subtraem-se os expoentes. đ?&#x;“đ?&#x;” á đ?&#x;“đ?&#x;?

= đ?&#x;“đ?&#x;” -đ?&#x;? = đ?&#x;“đ?&#x;’

- Bases diferentes e expoentes iguais – dĂĄ-se o mesmo expoente e dividem-se as bases. đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;’ á đ?&#x;‘đ?&#x;’

= (đ?&#x;?đ?&#x;“ á đ?&#x;‘)đ?&#x;’ = đ?&#x;“đ?&#x;’

Propriedades das operaçþes e regras operatórias.

Propriedade comutativa da adição: a + b = b + a (sendo a e b quaisquer números) Trocando a ordem das parcelas a soma não se altera.

!

6!

Propriedade associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) (sendo a, b e c quaisquer números) A soma não se altera associando as parcelas de forma diferente.

Existência do elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a (sendo a qualquer número) Numa adição entre duas parcelas a soma é igual a uma delas se a outra for zero.

Zero é o elemento neutro da adição.

Identidade Fundamental da Subtração: diferença + subtrativo = aditivo Propriedade comutativa da multiplicação a × b = b × a (sendo a e b quaisquer números) Trocando a ordem dos fatores o produto não se altera.

Exemplo: 3 × 8 = 8 × 3 Propriedade associativa da multiplicação 10 (a × b) × c = a × (b × c) (sendo a, b e c quaisquer números) Numa expressão numérica onde apenas aparece a operação multiplicação, os fatores podem ser associados de maneira diferente que o produto não se altera.

Exemplo: (4 × 5) × 2 = 4 × (5 × 2)

!

7!

Existência do elemento neutro da multiplicação a × 1 = 1 × a = a (sendo a qualquer número) O produto de qualquer número por 1 é o próprio número.

Exemplo: 3 × 1 = 1 × 3 = 3 Existência do elemento absorvente a × 0 = 0 × a = 0 (sendo a qualquer número) O produto de qualquer número por zero é sempre zero.

Exemplo: 7 × 0 = 0 × 7 = 0 Propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição a × (b + c) = a × b + a × c (sendo a, b, c quaisquer números) O produto de um número por uma soma é igual à soma dos produtos desse número por cada uma das parcelas.

Exemplo: 6 × (4 + 9) = 6 × 4 + 6 × 9 Propriedade distributiva da multiplicação relativamente à subtração a × (b - c) = a × b - a × c (sendo a, b, c quaisquer números) O produto de um número por uma diferença é igual à diferença entre o produto do número pelo aditivo e o produto do número pelo subtrativo.

Exemplo: 3 × (5 - 2) = 3 × 5 - 3 × 2

!

8!

Identidade fundamental da divisão Numa divisão inteira, se multiplicares o divisor pelo quociente e adicionares o resto, obténs o dividendo.

D=d×q+r Atenção, o resto é sempre menor que o divisor.

Ordem para a resolução de expressões numéricas !

1.º Resolvem-se as operações que estão dentro de parêntesis; 2.º Resolvem-se as potências; 3.º Resolvem-se as multiplicações e as divisões pela ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.

11

4.º As adições e subtrações resolvem-se pela ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.

! ! ! !

!

9!

+ “Os números são o degrau mais alto do conhecimento, são o conhecimento em si” Platão