Matrius i sistemes

Solucionari

Unitat 3

Sistemes d’equacions lineals Comencem

R| S| T

x+ y=6 • El sistema és: x + z = 8 Es pot resoldre per reducció. y + z = 12 La solució és: 1, 5 i 7 anys respectivament.

• Per substitució s’obté: x = 1, y = 2, z = 3.

R| S| T

x + y + 2z = 1 les dues donades. Per exemple: x - 2 y - z = 3 2x - y + z = 4

En la tercera equació canviar el termi independent de l’exemple compatible indeterminat.

Exercicis 1. Substituir x = 0, y = 1 i z = 2 en cada una de les equacions de cada sistema. Si es verifiquen les tres alhora, és solució: a) No b) Sí c) Sí d) No. x+ y+z=0 2. a) -5 y = 1 (–4/5, –1/5, 1) 3z = 3

R| S| T R|- x + y + z = 2 b) S x + z = 1 T|9z = 9

(0, 1, 1).

x–y+z=3 c) 2x + y + 3 z = 5 – x + y – 8 z = –1

x–y+z=3 3x + 4 z = 8 –7 z = 2

–5 y= 21 x=

64 21

z=2

2x – y + z = 0 d ) 3x + y + z = 1 x+y+z=2

2x – y + z = 0 5 x + 2z = 1 2 x = –1

2 7

y=

3 4

z=

7 4

x=

–1 2

3. a) Posem la segona equació en primer lloc i dividim la tercera per 2 per aplicar Gauss:

F1 GG 3 H1

4. Sí. La suma de les tres equacions és una combinació lineal d’elles i el sistema que en resulta és equivalent al donat.

5. La tercera equació cal que sigui una combinació lineal de

I JJ K

F GG H

I JJ K

F GG H

I JJ K

-2 2 3 1 -2 2 3 1 -2 2 3 -3 1 0 ® 0 3 -5 -9 ® 0 3 -5 -9 1 -3 -2 0 3 -5 -5 0 0 0 4

el sistema és incompatible. b) Posar la segona equació en primer lloc. Es pot esquematitzar el procés representant les files de les successives matrius: F 1 , F 2 , F 3 ® F 1 , F' 2 = F 2 – 3F 1 , F'3 = F3 – 2F1 ® F1, F'2, F3'' = F'3 – 2F'2 ® Compatible determinat: (5, 7, 6) c) Posar la segona equació en primer lloc.

F1, F2, F3 ® F1, F'2 = F2 – 3F1, F'3 = F3 – 2F1 ® F1, F'2, F3'' = F'3 – 2F'2 ® Compatible determinat: (–3, –3, 0) d) F1, F2, F3 ® F1, F'2 = F2 + F1, F'3 = F3 – F1 ® F1, F' 2 , F 3 '' = F' 3 – F' 2 ® Compatible determinat: (1/20, 27/2, 3/5).

6. a) Posar la segona equació en primer lloc: F1, F2, F3 ® F1, F'2 = F2 – 3F1, F'3 = F3 – F1 ® Compatible indeterminat ja que F'2 = F'3. Les solucions expressades en funció de z, són: x = (7z – 17)/4 , y = (3z – 5)/4, z. b) Posar la tercera equació en primer lloc: F1, F2, F3 ® F1, F'2 = F2 – 2F1, F'3 = F3 – 3F1 ® F1, F'2, F3'' = F'3 – F'2 ® Compatible determinat: (7/5, 1/5, 1) c) Per reducció. Compatible determinat: x = 37 i y = –26 d) Per reducció. Compatible detrminat: x = 51/74 i y = = –64/37.

F1 GG 1 H -1

I JJ K

-1 1 7 1 -1 3 , çMç = 4 , rang M = rang M' = 1 1 1 = 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (4, 2, 5). b) çMç = 11 , rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (52/11, 59/11, 10/11) c) çMç = –6 , rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (5, 4, –1) d) çMç = –12, rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (–1/12, –1/4, 4/3).

7. a) M' =

8. a) çMç = 0. Hi ha un determinant de segon ordre diferent de 0, per tant, rang M = 2 i rang M' = 3 ja que el determinant que s’obté en orlar amb la columna de termes independents és diferent de 0. El sistema és incompatible. b) rang M = 2 i rang M' = 3. Igual que l’apartat anterior.

9. a) És fals. Depèn dels rangs de les matrius M' M'. b) És fals. Si és indeterminat té infinites solucions. c) És fals. Com a màxim és de rang 2, ja que només es pot considerar un determinant de segon ordre. d) És fals. Que sigui incopatible només depèn dels rangs de les matrius. e) És veritat. Coincideixen els rangs de les matrius i no hi ha cap determinant d’ordre superior a 3. f) És veritat. Té infinites solucions i per tant, tres de diferents.

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Batxillerat

McGraw-Hill/Interamericana S.A.U.

F GG H

IF JJ GG KH

I JJ K

F GG H

I JJ K

2 1 -1 x 3 10. a) 1 3 2 y = -1 , çMç = 45, per tant exis3 -1 5 z 7

teix la matriu inversa i podem trobar la solució:

F xI 1 F 17 GG yJJ = 45 GG 1 H z K H -10

IF JJ GG KH

Solució: (2, –1, 0)

F1 b) G 3 GH 2

IF JJ GG KH

I JJ K

F GG H

I JJ K

-4 5 3 2 13 -5 -1 = -1 .

5 5 7 0

I JJ K

FI GG JJ HK

la matriu inversa i podem trobar la solució:

IF I JJ GG JJ KH K

RS3x + 2 y + z = 1 Tx + y + z = 3 F xI F 1I 3 2 1I En notació matricial: FG J H 1 1 1K GGH yzJJK = GH 3JK . La matriu M

11. Per exemple:

és (2, 3), no és quadrada i no té inversa. No es pot resoldre el sistema per aquest mètode.

El sistema és compatible indeterminat. Les dues matrius són de rang 2.

IF JJ GG KH

I JJ K

FI GG JJ HK

2 -1 2 x 0 12. -1 2 -1 y = 1 i çMç = 0, per tant, M no té in1 1 1 z 1

versa i no es pot resoldre el sistema per aquest mètode.

13.

FG 1 -3IJ FG xIJ = FG 2IJ H 2 1K H yK H 3K

F I IJ FG IJ GG JJ KH K G J H K

11 1 1 3 2 x = 7 . i çMç = 7, y = -1 7 -2 1 3 7 La solució és: x = 11/7 i y = –1/7.

14. Per comprovar si els sistemes següents són de Cramer, calculem el determinant D de la matriu del sistema. Si és diferent de 0, es pot aplicar aquest mètode.

Calculem els determinants corresponents a cada incògnita, tot i que per trobar la tercera incògnita, també podem substitur les altres dues en una de les equacions. a) D = 4, Dx = 12, Dy = 4 i Dz = 4; x = Dx/D = 3, y = Dy/D = = 1 i z = Dz/D = 1. b) D = 8, Dx = 40, Dy = 24 i Dz = 16. La solució és: (5, 3, 2) c) D = –5, Dx = 5, Dy = 0 i Dz = –5. La solució és: (–1, 0, 1) d) D = 2, Dx = 5, Dy = 3 i Dz = 0. La solució és: (5/2, 3/2 , 0) e) D = –11, Dx = –96 i Dy = 10. La solució és: (96/11, –10/11) f) D = 1, Dx = 5 i Dy = –3. La solució és: (5, –3).

FG IJ FG HK H

McGraw-Hill/Interamericana S.A.U.

dre per Cramer ja que D = 7 ¹ 0.

La solució és: (1/7 + z, 18/7 + z, z).

b) D = 0 . Es pot considerar el sistema: D' = 3, Dx =

RS2 x - y = -3z T- x + 2 y = 3z

-3z -1 2 -3z = –3z, Dy = = 3z; 3z 2 -1 3z

z = l. Compatible indeterminat i la solució: (–l, l, l).

FI GG JJ HK

4 3 6 1 -3 1 7 = 2 -1 -4 5 3

La solució: (1, 2, 3).

F GG H

RS2 x + 3y = 8 + 5z es pot resolT- x + 2 y = 5 + z

16. a) D = 26. Es pot resoldre per Cramer. Dx = Dy = Dz = 0 per tenir una columna de zeros. És compatible determinat i la solució és la trivial: (0, 0, 0).

1 -1 x 6 -1 2 y = 7 , çMç = 13, per tant existeix 3 5 z 5

F x I 1 F -5 GG yJJ = 13 GG 7 H z K H 11

15. Si es considera el sistema

17. a) D = 6, Dx = Dy = Dz = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0) b) D = 0. Compatible indeterminat: (l, –1/4 l, –3/4 l) c) D = 2, Dx = Dy = Dz = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0) d) D = 0. Compatible indeterminat: (l, –2l, –l) e) D = –24, Dx = Dy = Dz = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0).

18. a) |M | = |M'| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat i es pot resoldre per Gauss.

Les solucions es poden expressar: ((4 + l)/3, l, (19 + + 7l)/3). b) |M | = 0 i |M'| = –26. Rang de M = 2 i rang M' = 3.

El sistema és incompatible. c) |M | = –6. Rang M = rang M' = 3. El sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Cramer perquè té ja D = |M | = –6: Dx = 18, Dy = –12 i Dz = = 12. La solució és: (–3,2, –2) d) |M | = |M'| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat i es pot resoldre per Gauss. Les solucions es poden expressar: (–5 – 7l, –3 – 2l, l). e) |M | = –3. Rang M = rang M' = 3. El sistema és compatible determinat. La solució és: (2, –2, 3). f) |M | = 5. Rang M = rang M' = 2. El sistema és compatible determinat. La solució és: (–2, 3).

19. a) Si fem |M | = 0 ® k = 3. Per aquest valor, |M' | = 0 i rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat. Per k ¹ 3 és compatible determinat. b) Si fem |M | = 0 ® k = 2. Per aquest valor, |M' | = 0 i rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat. Per k ¹ 2 és compatible determinat i té la solució trivial. c) Si fem |M | = 0 ® k = 0. Per aquest valor, |M' | = 2. Per k = 0 el sistema és incompatible ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per k ¹ 0 és compatible determinat. d) Si fem |M | = 0 ® k = –6. Per aquest valor, |M' | = –7.

Per k = –6 el sistema és incompatible ja que rang M = = 2 i rang M' = 3. Per k ¹ –6 és compatible determinat. e) Si fem |M | = 0 ® k = 8. Per aquest valor, |M' | = 8.

Per k = 8 el sistema és incompatible ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per k ¹ 8 és compatible determinat. f) Per k = –1 el sistema és incompatible. Només serà compatible determinat si rang M = rang M' = 2.

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Batxillerat

Això implica que |M'| = 0 ® k = 2 ± 6 . Només és compatible determinat per aquests dos valors de k.

Per valors diferents d'aquests és incompatible.

20. Nombre de porcs: x, nombre de vaques: y, nombre de cavalls: z. x + y + z = 54 3 y= x Es pot resoldre per substitució: 4 2 z= y 3 La solució: 24 porcs, 18 vaques i 12 cavalls.

21. Edat més gran: x, edat del mitjà: y, edat més petita: z.

R|x + y + z = 100 S| y = 10 + z Tx = y + z Es pot resoldre per substitució: 50, 30 i 20 anys respectivament.

22. xyz ® 100x + 10y + z

R|x + y + z = 10 S| y = 3 T100 x + 10 y + z - (100z + 10 y + x) = 495

El nombre és 136.

23. Edat d'en Pere: x, edat de Maria: y.

RSx = 2 y Tx - 7 + y - 7 = x

Solució: 28 i 14 anys respectivament.

24. Edat de la nena: x, edat del pare: y, edat de l’àvia: z.

R|x + y + z = 100 S| y - x = z / 2 T14 x = 2 y

Solució: 5, 35 i 60 anys respectivament.

25. xyz ® 100x + 10y + z

R|x + z = y S|x + y + z = 10 T100z + 10 y + x - (100 x + 10 y + z) = 297

El nombre és 154.

Acabem 1. a) |M | = 23 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució: (1, –2, 3) b) |M | = –18 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució: (3, 3, 3) c) |M | = –18 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució: (5, 7, 1) d) |M | = 14 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució: (1, 5, 9)

e) |M | = 63 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució: (1/3, 4, 2) f) |M | = 30 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució: (4, 6, 1/2) g) |M | = 95 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució: (2, 5, 3) h) |M | = 0 ® rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat. La solució: (–2l, –l, l) i) |M | = 27 ® rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat; es pot resoldre per reducció o Gauss. La solució: (1/3, 1/3, 1/3).

2. Són sistemes homogenis i tenen com a mínim la solució trivial. c) és compatible indeterminat ja que |M | = 0. Les solucions: (0, l, l).

3. Nombre de caps en el primer corral: x, nombre de caps en el segon: y, nombre de caps en el tercer: z.

R|x + y + z = 1 300 S|x / y = 19 / 18 Ty / z = 6 / 5

Per substitució es resol fàcilment. La solució: 475, 450 i 375 caps de bestiar respectivament.

4. m2 la 1a parcel·la: x, m2 la 2a parcel·la: y, m2 la 3a parcel·la: z x + y + z = 1870 1 500 x + 1 800 y + 2 000 z = 3 360 000 2 000 z = 3/4(1 500 x + 1 800 y) Cal simplificar les equacions abans de resoldre el sistema. La solució: 500 m2, 650 m2 i 720 m2.

5. No és de Cramer si D = 0 Þ m = 3 i m = 1. Per m = –1, D = 8 i el sistema és compatible determinat.

La solució: (1/4, 1/4, 4).

6. Per a t = 4 rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat. Les solucions: ((–5 + 14l)/2), (–3 + + 8l)/2, l). Per t ¹ 4 és incompatible ja que rang M = 2 i rang M' = 3.

7. Preu 1a peça: x, 2a: y i 3a: z milions d’euros. x+y+z=2 1,2 x + 1,5y + 1,25z = 2,6 1,8 x + 1,9y + 1,85z = 3,7 Solució: 0,5, 0,5 i 1 milions respectivament.

8. Compatible indeterminat ja que rang M = rang M' = 2.

Una expressió de les solucions és: ((37l + 10)/5 , (1 – – 4l)/5, l). Cal resoldre les inequacions que donen les solucions en nombres positius. Pels valors de l tal que 0 < l < 1/4 les infinites solucions són positives.

9. Per exemple: a) Resoldre el sistema format per les dues equacions que és indeterminat i escriure una tercera equació que verifiqui una solució particular: 5x + y – 5z = 9 b) Qualsevol combinació lineal de les dues equacions: 5x – 3y = 3

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Batxillerat

McGraw-Hill/Interamericana S.A.U.

c) Com l’anterior però amb el terme independent diferent: 5x – 3y = 9.

10. xyz ® 100x + 10y + z

R|x + y + z = 18 S|100 xx ++10z y + z - (100z + 10 y + x) = 594 Ty = 2

R|x + y + z = 33 S|2 x = y + z Tx - y = 8

11. X, Y, Z preus dels espectacles respectivament:

Solució: 11, 3 i 19 punts respectivament.

17. Nombre de monedes de cada munt: x, y, z

R|2 X + Y + Z = 1 300 S|3 X + Y = 1 800 T X + Y + Z = 800

RSx + y + z = 48 Tx - y = 2 y - z = z - x

Solució: X = 50 euros, Y = 30 euros. i Z és gratis.

12. x, y , z les tres edats.

R|3x - 2 y + z = 22 S|x - y + 2z = 8 T2 x + y - z = 20

Solució: 16, 12 i 20 monedes respectivament.

18. Edats: x, y , z

R|x + y = 39 S| y + z = 43 Tz + x = 46

Solució: 21, 18 i 25 anys respectivament.

19. xy ® 10x + y

Solució: 9, 3 i 1 anys respectivament.

13. f(3) = 9 a + 3b + c = –1 f(2) = 4 a + 2b + c = 0 f(–1) = a – b + c = 15 Solució: f(x) = x2 – 6x + 8.

14. a) El sistema és compatible indeterminat ja que rang M = = rang M' = 2. Una expressió de les infinites solu-

FG 8 - l , 3 - 4l , l IJ H 2 2 K

R|x + y = 9 S|10x + y = 2 + 18 T10 y + x 10 y + x

El número és 72.

20. No és possible determinar els cotxes i les motos que hi ha en el garatge, ja que les dues condicions són equivalents. La segona és la primera multiplicada per 2.

21. Nombre de germans: x, import de l’herència: y

b) La suma de les expressions de les tres incògnites igualada a 0 dóna l = –1, així una solució és: (9/2, –7/2, –1).

McGraw-Hill/Interamericana S.A.U.

R|x + y + z = 42 S|x = y + z T y = 1,2( x / 2 + z / 3) Solució: 21, 15 i 6 respectivament.

16. x, y, z punts de cada exercici.

Solució: El nombre és 963.

cions és:

15. x, y, z electrodomèstics subministrats a cada establiment

30 000 x = y – 20 000 35 000 x = y + 50 000 5 fills i 150 000 euros d’herència.

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Batxillerat